理科数学试题 第 1 页 15 页

理科数学
考试时量：120 分钟 试卷满分：150 分
选择题（题 12 题题 5 分 60 分． 题出四选项中
项符合题目求）
1．设集合 {}{}2
2| log(2 ) | 3 20A x y x B x x x + < ACB
A．( 1) B．( 1] C．(2 ) D．[2 )
2 设i 虚数单位 ()2
aiz a Ri

纯虚数 a 
A． 1
2
B． 1
2 C．1 D． 1
3 已知某超市 2019 年 12 月收入支出数折线图图示：

根该折线图知列说法错误
A．该超市 2019 年 12 月中 7 月份收益高
B．该超市 2019 年 12 月中 4 月份收益低
C．该超市 2019 年 1~6 月份总收益低 2019 年 7~12 月份总收益
D．该超市 2019 年 7~12 月份总收益 2019 年 1~6 月份总收益增长 90 万元
4．已知 3sin( )3 2 2
   2020cos( )3
 
A．
2
3 B．
2
3 C． 1
2
D． 1
2

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5 已知
1
2
12
1ln 2x x e
3x 满足 3
3lnxex
A． 1 2 3x x x B． 1 3 2x x x C． 213x x x D． 3 1 2x x x
6 函数 2( ) 1 sin1 xf x xe

图象致形状

A B C D
7公元前 5 世纪古希腊哲学家芝诺发表著名阿基里斯悖：提出乌龟阿基里斯
前面 1000 米处开始阿基里斯赛跑假定阿基里斯速度乌龟 10 倍赛开始
阿基里斯跑 1000 米时乌龟便领先 100 米阿基里斯跑完 100 米时
乌龟先 10 米阿基里斯跑完 10 米时乌龟先 1 米……阿基里斯永远
追乌龟样规律阿基里斯乌龟距离恰 210 米时乌龟爬行总距
离
A．
410 1
90
 米 B．
510 1
900
 米 C．
510 9
90
 米 D．
410 9
900
 米
8已知函数 ( ) 2sin( )( 00 ) ( ) 2 ( ) 082f x x f f            fx
(0 ) 单调列说法正确
A． 1
2  B． 62()82f  
C．函数 []2
 单调递增 D．函数 图象关点 3( 0)4
 称
9 AOB 中OA a OB b满足 | | 2a b a b    面积值
A 3 B 2 C 23 D 22
10．已知双曲线 C：
22
221( 0 0)xy abab    12FF分左右焦点O 坐标原点
点 2F 关渐线称点恰落 1F 圆心 1OF 半径圆 C 离心率
A． 2 B． 3 C．2 D．3
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11 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中PQ 分 1AD 1BC动点满足 1AP B Q
列 4 命题中：
①存

某位置 AB PQ∥ ② BPQV 面积定值
③ 0PA  时直线 1PB 直线 AQ 定异面
④ 运动位置均 BC PQ 中正确命题序号
A ①②④ B ①③④ C ①③ D ②④
12．函数 1
2( ) 2 log ( 0)xxf x e x a a    区间(0 2) 两零点实数 a
取值范围
A 2( 2 2 )
e
B (0 2] C
2
2( 2 2 )
e
D
34
24(2 2 )
e

二填空题（题 4 题题 5 分 20 分． 答案填答题卡中横线）
13． 251()ax
x
 展开式中 5x 系数 80 实数 a __ __．
14．菱形 ABCD 中 060DAB菱形角线 BD 折起面 DAB 
面 BDC 时三棱锥 A BCD 外接球表面积5 AB 长 ．
15已知数列 na 满足 1 1a  1 35nna a n   *nN (1) 21na  
(2)
2
1
1
1( 1) ii
n
i
i
aa


16．图衡阳市相交点O 条东西走公路l 条南北走公路 m
商城 A部分边界椭圆四分两条公路椭圆称轴椭圆长半轴长 2
短半轴长 1(单位千米) 根市民建议欲新建条公路 PQ 点 PQ分公路 lm
求 椭圆形商城 相切公路 长短时OQ 长________千米
l
m
Q
O
P
理科数学试题 第 4 页 15 页
三解答题（题 6 题 70 分． 解答应写出文字说明证明程演算步骤）
（）必考题：60 分．
17．(题满分 12 分) 已知△ABC 角 ABC 边分 abc
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
ACACa b a．
（1）求角 B 值
（2）△ABC 面积33设 D 边 AC 中点求线段 BD 长值．

18．(题满分 12 分) 已知正方形 ABCDEF 分 ABCD 中点△ADE DE
折起△ACD 等边三角形图示记二面角 ADEC (0 )  
（1）证明：点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
（2）求角 正弦值
CB
A
BC
E
D
A
D
F
EF

19．(题满分 12 分) 图已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab+ > > 长轴 12AA 长 4
椭圆右焦点 F 作斜率 ( 0)kk¹ 直线交椭圆 BC 两点直线 12BA BA 斜率
积 3
4
（1）求椭圆C 方程
（2）已知直线 4lx 直线 11ABAC 分l 相交
MN两点设 E 线段 MN 中点求证：BC EF^





O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B 理科数学试题 第 5 页 15 页
20．(题满分 12 分)已知函数 ( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax     ．
（1） 1a  时求函数  fx区间[] 值域
（2）意 120 xx  
21
21()() 2 2xx
f x f x aee
   
求实数 a 取值范围


21 (题满分 12 分) 着科学技术飞速发展网络已逐渐融入日常生活
网购作种新消费方式具快捷商品种类齐全性价高等优势深受广消
费者认某网购公司统计五年公司网购数相关数(中x1
表示 2015 年x2表示 2016 年次类推y 表示数)：
x 1 2 3 4 5
y(万) 20 50 100 150 180
(1)试根表中数求出 y 关 x 线性回方程预测年该公司网购数
超 300 万
(2)该公司吸引网购者特推出玩网络游戏送免费购物券活动网购者根抛
掷骰子结果操控微型遥控车方格图行进 遥控车终停胜利营网购
者获免费购物券 500 元遥控车终停失败营 网购者获免费购物券
200 元 已知骰子出现奇数偶数概率 1
2
方格图标第 0 格第 1 格第 2 格…
第 20 格遥控车开始第 0 格网购者抛掷次骰子遥控车前移动次掷出奇
数遥控车前移动格（ k 1k  ）掷出偶数遥控车前移动两格（ 2k  ）
直遥控车移第 19 格胜利营）第 20 格（失败营）时游戏结束设遥控车移
第 (1 19)nn 格概率 nP试证明 1nnPP 等数列求网购者参游戏
次获免费购物券金额期值
附：线性回方程 ˆˆ ˆy bx a中 1
22
1
ˆ ˆˆ
n
ii
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx



  








理科数学试题 第 6 页 15 页
（二）选考题： 10 分．请考生第 2223 题中选题作答果做做
第题计分．
22 (题满分 10 分) [选修 4－4：坐标系参数方程]
直角坐标系 xOy 中点 13P（）直线l 参数方程 1
32
xt
yt

 
（t 参数）
O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0  
直线l 曲线 C 交 AB 两点．
（1）求直线l 普通方程曲线 C 直角坐标方程
（2）求 11
PA PB 值．


23 (题满分 10 分) [选修 4－5：等式选讲]
已知函数   1 ( 1)f x x m x mm     ．
（1） 2m  时求等式 ( ) 3fx 解集
（2）证明： 1( ) 3( 1)fx mm ．











理科数学试题 第 7 页 15 页


参考答案
考试时量：120 分钟 试卷满分：150 分
选择题（题 12 题题 5 分 60 分． 题出四选项中
项符合题目求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D D A C B C A C B D

二填空题（题 4 题题 5 分 20 分． 答案填答题卡中横线）
13． __ 2 __． 14． 3 ．
15 (1) 21na   32n  (2)
2
1
1
1( 1) ii
n
i
i
aa


29 33
22
nn
16． _ _

三解答题（题 6 题 70 分． 解答应写出文字说明证明程演算步骤）
（）必考题：60 分．
17．(题满分 12 分) 已知△ABC 角 ABC 边分 abc
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
ACACa b a．
（1）求角 B 值
（2）△ABC 面积33设 D 边 AC 中点求线段 BD 长值．
详解(1) sin ( sin 2 cos ) cos cos2 2 2 2 2
ACAACa b a
(cos cos sin sin ) 2 sin cos2 2 2 2 2 2
ACACAAab cos sin2
ACa b A 
正弦定理sin cos sin sin2
ACABA  0 sin 0sin 02
BAA    理科数学试题 第 8 页 15 页
cos sin2
AC A  cos sin 2sin cos2 2 2
BBBB
1cos (0 )2 2 2 2
BB  
23
B  2
3B 
(2)△ABC 面积33 1 sin 3 32 ac B  12ac 
D 边 AC 中点 1 ()2BD BA BC 2 2 21 ( 2 )4BD BA BC BA BC  

2 221 1 1( 2 cos ) (2 ) 34 4 4BD c a ac B ac ac ac      
仅 23ac 时取 3BD  线段 BD 长值 3

18．(题满分 12 分) 已知正方形 ABCDEF 分 ABCD 中点△ADE DE
折起△ACD 等边三角形图示记二面角 ADEC (0 )  
（1）证明：点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
（2）求角 正弦值
CB
A
BC
E
D
A
D
F
EF

详解(1)证明：点 A 作 AG⊥面 BCDE垂足 G连接 GCGD
△ACD 等边三角形 ACAD点 G CD 垂直分线
EF CD 垂直线点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
证：点 A 作 AG⊥EF证 AG⊥CD证 AG⊥面 BCDE
点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
(2) 解： G 坐标原点GA 直线 z 轴GF 直线 y 轴点 G 作行 DC
直线 x 轴建立空间直角坐标系设正方形 ABCD 边长 2a连接 AF
AF 3 aAE aEF2 a
3 3 3(000) (00 ) ( 0) ( 0) (0 0)2 2 2 2
aG A a C a a D a a E
G
y
z
x
A
D
E
CB
F 理科数学试题 第 9 页 15 页
设面 ADE 法量 m(xyz)
33022
20
m AD ax ay az
m DE ax ay
ìïï + ïïíïïï + ïî

取 y1 m 3( 21 )3 面 DEC 法量 n(001)
1cos 4
mn
mnq 15sin 4q
19．(题满分 12 分) 图已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab+ > > 长轴 12AA 长 4
椭圆右焦点 F 作斜率 ( 0)kk¹ 直线交椭圆 BC 两点直线 12BA BA 斜率
积 3
4
（1）求椭圆C 方程
（2）已知直线 4lx 直线 11ABAC 分l 相交 MN两点设 E 线段 MN 中
点求证： BC EF^
详解(1)设 1 1 2 2( ) ( )B x y C x y
点 B 椭圆
22
11
221xy
ab+
2
2 2 2
112 ()by a xa
12( 0) ( 0)A a A a
12
2
12
2
11
BA BA
yy bkk x a x a a +

2
2
3 4
b
a

12 4AA 2a 3b
椭圆 方程
22
143
xy+
(2)设直线 BC 方程 ( 1)y k x
22
( 1)
143
y k x
xy
ì ïïïïíï +ïïïî
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ +

22
1 2 1 222
8 4 124 3 4 3
kkx x x xkk
+ ++
O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B 理科数学试题 第 10 页 15 页
直线 1AB方程 1
1
( 2)2
yyxx++
令 4x 1
1
6
2M
yy x +

理 2
2
6
2N
yy x +

1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 3 ( ) 12 33( )2 2 2 2( ) 4
MN
E
yy y y kx x k x x ky x x x x x x k
+ + + + + + + + +

点 3(4 )E k (10)F
3
13EF BC
kk k k

BC EF^
20．(题满分 12 分)已知函数 ( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax     ．
（1） 1a  时求函数  fx区间[] 值域
（2）意 120 xx  
21
21()() 2 2xx
f x f x aee
   
求实数 a 取值范围
详解(1) 时 ( ) e sin 2( 2)xf x xx    ( ) e sin c 1( os )2
xf x x xx     
令 ( ) sin cos 12g x xx x    ( ) 1 cos sin 1 2 sin( )4g x x x x       
x   时 53
4 4 4x     
( ) 0gx  时 2sin( )42x  3
4 4 4x     解
2 x 
( ) 0gx  时 2sin( )42x  5
4 4 4x      解
2x   
()gx 2

单调递增 2
 

单调递减 ( ) ( ) 02g x g 
( ) 0fx  ()fx  单调递减
min max
( 4) (3 4)()()()()22
eef x f f x f

     
函数 ()fx区间 值域 ( 4) (3 4)22
ee

(2) 理科数学试题 第 11 页 15 页
化 21
21( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )22
xxf x a e f x a e      
函数 () ()(2 ) ( sin )2
xxGxfxa eeax xa       区间(0 ) 增函数
 0x  时 ( ) ( sin cos ) 0xG x e ax x x     sin cos 0ax x x   恒成立
① 0x  时aR
②0 x 时 sin cosxxa x

令 sin cos() xxhx x
 2
( 1)cos ( 1)sin() x x x xhx x
   
01x时( 1)cos 0( 1)sin 0 ( ) 0x x x x h x     
1 2x  时 ( ) 0hx 
2 x 时
()hx 0 单调递减 min
1()()h x h     1a 
综实数a 取值范围 1[) 

21 (题满分 12 分) 着科学技术飞速发展网络已逐渐融入日常生活
网购作种新消费方式具快捷商品种类齐全性价高等优势深受广消
费者认某网购公司统计五年公司网购数相关数(中x1
表示 2015 年x2表示 2016 年次类推y 表示数)：
x 1 2 3 4 5
y(万) 20 50 100 150 180
(1)试根表中数求出 y 关 x 线性回方程预测年该公司网购数
超 300 万
(2)该公司吸引网购者特推出玩网络游戏送免费购物券活动网购者根抛
掷骰子结果操控微型遥控车方格图行进 遥控车终停胜利营网购
者获免费购物券 500 元遥控车终停失败营 网购者获免费购物券
200 元 已知骰子出现奇数偶数概率 1
2
方格图标第 0 格第 1 格第 2 格…
第 20 格遥控车开始第 0 格网购者抛掷次骰子遥控车前移动次掷出奇
数遥控车前移动格（ k 1k  ）掷出偶数遥控车前移动两格（ 2k  ）
直遥控车移第 19 格胜利营）第 20 格（失败营）时游戏结束设遥控车移
第 (1 19)nn 格概率 nP试证明 1nnPP 等数列求网购者参游戏
次获免费购物券金额期值 理科数学试题 第 12 页 15 页
附：线性回方程 ˆˆ ˆy bx a中 1
22
1
ˆ ˆˆ
n
ii
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx



  




(1)
55
2
11
3 100 1920 55i i i
ii
x y x y x

   
1920 5 3 100ˆ 4255 5 9b    ˆ 100 42 3 26a     
求线性回方程 ˆ 42 26yx
令 *42 26 300x x N   解 8x 
预计 2022 年该公司网购数超 300 万
（3）遥控车开始第 0 格必然事件 0 1P  第次掷硬币出现正面遥控车移第
格概率 1
2 1
1
2P  遥控车移第 n（ 2 19n剟 ）格情况列两种
两种
①遥控车先第 2n  格掷出反面概率 2
1
2 nP 
②遥控车先第 1n  格掷出正面概率 1
1
2 nP 
21
11
22nnnPPP 1 1 2
1 ()2n n n nPPPP      
1 19n剟 时数列 1{}nnPP 公 1
2 等数列
23
1 2 1 3 2 1
1 1 1 11 ( ) ( ) ( )2 2 2 2
n
nnPPPPPPP     
式相加 231 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
n
nP      11( ) 1 ( )32
n  

1211 ( )32
n
nP    
（ 012 19n   ） 获胜概率 20
19
211 ( )32P   

失败概率 19
20 18
1 1 112 3 2PP  
（）
设参游戏次顾客获优惠券金额 X 元 200X  500 理科数学试题 第 13 页 15 页
X 期 20 19 192 1 1 1 1500 1 ( ) 200 1 ( ) 100 4 ( )3 2 3 2 2EX                       

参游戏次顾客获优惠券金额期值 191100 4 ( )2

约 400 元
（二）选考题： 10 分．请考生第 2223 题中选题作答果做做
第题计分．
22 (题满分 10 分) [选修 4－4：坐标系参数方程]
直角坐标系 xOy 中点 13P（）直线 l 参数方程 1
32
xt
yt

 
（t 参数）
O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0  
直线l 曲线 C 交 AB 两点．
（1）求直线l 普通方程曲线 C 直角坐标方程
（2）求 11
PA PB 值．
解析（1）直线 l 参数方程 （t 参数）
消参数直线 l 普通方程 21yx
曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0ρ θ θ 22sin 16 cos 0ρ θ ρ θ
曲线 C 直角坐标方程 2 16yx
（2）直线参数方程改写
51 5
253 5
xt
yt
 
 
（t 参数）
代入 22
1 2 1 2
4 4 5 3516 7 0 55 5 4y x t t t t t t       
12
12
1 1 8 10
35
tt
PA PB t t
   ．

23 (题满分 10 分) [选修 4－5：等式选讲] 理科数学试题 第 14 页 15 页
已知函数   1 ( 1)f x x m x mm     ．
（1） 2m  时求等式 ( ) 3fx 解集
（2）证明： 1( ) 3( 1)fx mm ．
解析(1)略解：  
312 ( )22
51( 2)22
32 ( 2)2
xx
f x x
xx
   
   

 

等式 解集 39()()44  
(2)证明： 1m    11f x m mmm    仅 1 xmm

时取
  1 1 1 1 11 1 3( 1) ( 1) 1 1f x m m mm m m m m m m       
仅 2m  1 22x 
时取证











理科数学试题 第 15 页 15 页














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