理科数学试题 第 1 页（ 10 页）

高三年级理科数学试卷
试卷说明：试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12 题 60 分）第Ⅱ卷（非选择
题13—23 题 90 分）答卷前考生务必姓名准考证号填写答
题卡作答时答案写答题卡写试卷效

考试时间 ：120 分钟 考试分数：150 分
第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
1已知集合 { | 3}A x xZ ≤ { | ln 1}B x x集合 A B 关系韦恩图图示阴
影部分表示集合 ( )
A．{ | 0 }x x e B．{1 2 3}
C．{0 1 2} D．{1 2}
2 i 虚数单位复数
1i
2
z 复面应点坐标( )
A． )11( B． )11( C． )11(  D． )11( 
3已知 ab实数 p 直线 0xy圆 22( ) ( ) 2x a y b    相切 2q a b p q
( )
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
4天文学中天体明暗程度星等亮度描述两颗星星等亮度满足
m2m1 lg 中星等 mk 星亮度 Ek(k12) 已知太阳星等 267天狼
星星等 145太阳天狼星亮度值( )
A10101 B101 Clg101 D10101
5已知
2
33
3
2
11 log32a b c            
abc关系
A． abc B．c b a C．c a b D． a c b
6根样数
x 3 4 5 6 7 8
y 40 25 －05 05 －20 －30
回方程y^＝bx＋a( )
A．a>0b>0 B．a>0b<0 C．a<0b>0 D．a<0b<0
7已知 43( 0)cos( ) sin3 6 5
       sin( )12
  值（ ） 理科数学试题 第 2 页（ 10 页）
A． 23
5 B． 2
10 C． 23
5 D． 4
5
8函数 ( ) | | mf x x x（中 mR ）图．．．（ ）
A． B． C． D．
9丰富教职工文化生活某学校高年级高二年级高三年级行政部门挑选
出 4 位教师组成合唱团现 16 中选出 3 领唱求 3 部
门行政部门少选 1 选取方法种数
A．336 B．340 C．352 D．472
10已知3 4 12ab ab．．．满足关系（ ）
A． 4ab B． 4ab  C． 22( 1) ( 1) 2ab    D． 223ab
11 已 知 量 OA OB 满足 0OA OB 点 C AOB 30AOC   设
OC mOA nOB（m n R ） | | 1
2||
OA
OB
 m
n 
A 3
6 B 4 C 23 D 1
4
12已知 ()fx 奇函数 f(x)(x R )导函数f(1)0 x>0 时 ( ) ( ) 0xf x f x 
f(x)>0 成立 x 取值范围( )
A )10()1(  B )1()01(  C )01()1(  D )1()10( 
第Ⅱ卷 （非选择题 满分 90 分）
二填空题（题 5 分 20 分）
13实数 xy满足条件
2 0
0
3
xy
xy
y
  
 
 
34z x y值__________．
14曲线 3xy  ( 0 )x≥ 1x 处切线 x 轴围成图形面积 ．
15三棱锥 P ABC 中PA 面 ABC 2
3BAC  3AP  23AB  Q BC


O x
y
O x
y 理科数学试题 第 3 页（ 10 页）
边动点直线 PQ 面 ABC 成角值
3
 该三棱锥外接球
表面积__________．
16函数 ()y f x 定义域存 0x 00( ) 1x f x  成立称函数 ()fx具
性质 P
（1）列函数中具性质 P
① ( ) 2 2 2f x x   ② ( ) sinf x x ( [02 ])x  ③ 1()f x x x ( (0 ))x 
（2）函数 具性质 P实数 a 取值范围 （题第空 2
分第二空 3 分．）

三解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤第 17～21 题必考题
试题考生必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17（题满分 12 分）
已知数列 na 满足 1 1a   12 2 2n
nna a n n N 
    ．
(1)求证：数列
2
n
n
a
等差数列求出数列 na 通项公式
(2)求数列 na 前 n 项 nS




18．（题满分 12 分）
图四边形 ABCD 中 2π
3B 3AB  △ ABC 面积 33
4
．
（1）求 AC
（2） BC CD π
4D 求 AD ．



19．（题满分 12 分）
响应绿色出行某市推出享单车推出新源分时租赁汽车．中款
新源分时租赁汽车次租车收费标准两部分组成：①根行驶里程数 1 元
公里计费②行驶时间超 40 分时012 元分计费超 40 分时超出部分
020 元分计费．已知王先生家离班点15 公里天租该款汽车班
次．堵车红绿灯等素次路开车花费时间 t (分)机变量．现统
D
B
C
A
( ) lnf x a x理科数学试题 第 4 页（ 10 页）
计50次路开车花费时间时间段频数分布情况表示：
时间t （分）  2030  3040  4050  5060
频数 2 18 20 10
时间段发生频率视概率次路开车花费时间视车时间范围
 2060 分．
（1）写出王先生次租车费 y （元）车时间t （分）函数关系式
（2）王先生次开车时间超 40 分路段畅通设 表示 3 次租新源分时租
赁汽车中路段畅通次数求分布列期



20 （题满分 12 分）
图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 菱形 PA 面 ABCD 2AB 
60ABC E F 分 BC PC 中点
（1）证明： AE PD
（2）设 H 线段 PD 动点线段 EH 长值 5
求二面角 E AF C 余弦值



21（题满分 12 分）
已知 2( ) ln( )xf x e x a   ( 0)a 
（1） 1 0ax时求证： 2( ) ( 1)f x x x  
（2）存 0 0x  2
0 0 0( ) 2ln( )f x x a x   成立求实数 a 取值范围



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（二）选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第
题计分
22．[选修 4—4：坐标系参数方程] （题满分 10 分）
已知曲线 1C 参数方程 2 cos
3sin
x
y


 

( 参数)原点O 极点 x 轴非负半
轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 sin( ) 14
．
（1）求曲线 极坐标方程曲线 直角坐标方程
（2）射线 ()2OM      ： 曲线 交点 M射线
4ON ： 曲线
交点 N求 22
11
OM ON
 取值范围．





23．[选修 4—5：等式选讲] （题满分 10 分）
设函数 3( ) 2 2 ( 0)f x x a x aa     ．
（1） ( ) (0)g a f 解等式 ( ) 5ga≥
（2）求证： ( ) 2 3fx≥ ．







理科数学答案
1—5 D C B A B 6—10 B B C A D 11—12 C A
13 1 14．
12
1 1557 16（1）①②（2） 0a a e  
17 （题满分 12 分）
(1)证明： an＝2an－1＋2nan
2n＝2an－1＋2n
2n ＝an－1
2n－1＋1
an
2n－an－1
2n－1＝1………3 分
数列
an
2n 等差数列公差 d＝1首项a1
21＝1
2an
2n＝1
2＋(n－1)×1＝n－1
2
解 an＝ n－1
2 ×2 n＝(2n－1)2n－1 ……………………6 分
(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1①
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n② 理科数学试题 第 6 页（ 10 页）
①－②－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n
＝1＋ －2n－1
1－2 －(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3
Sn＝(2n－3)2n＋3 ………… …………12 分
18．（题满分 12 分）
解：（1） 1 3 3sin24AB BC B   2π
3B 3BC  ．…3 分
3AB  余弦定理 22 2π2 cos 33AC AB CB AB CB      ．
…………………… 6 分
（2）（1）知 π
6ACB BC CD π
3ACD．
△ ACD 中正弦定理
sin sin
AC AD
D ACD

36
2AD  ．……………………12 分
19（题满分 12 分）
（1） 时
时
： …………………… 6 分
（2）王先生租次新源分时租赁汽车路段畅通概率 ……7 分
取 ………………………8 分


分布列
………………10 分

D
B
C
A理科数学试题 第 7 页（ 10 页）
题意 …………………… 12 分
20．（题满分 12 分）
解析：（1）证明：∵四边形 ABCD 菱形 60ABC
∴ ABC 正三角形 E BC 中点
∴ AE BC BC AD AE AD
∵ PA 面 ABCD AE 面 ABCD
∴ PA AE PA  面 PAD AD 面 PAD PA AD A
∴ AE  面 PAD PD  面 PAD
∴ AE PD …………………… 4 分

（2）图 H PD 意点连接 AH EH
线段 EH 长时 EH PD （1）知 AE PD
∴ PD 面 AEH AH  面 AEH AH PD
Rt EAH 中 3AE  5EH  EA AH ∴ 2AH 
Rt PAD 中 2AD  45PDA∴ 2PA  …………6 分
（1）知 AE AD AP 两两垂直 A 坐标原点建立图示空间直角坐标
系 E F 分 BC PC 中点  000A  3 10B   310C
 020D  002P  300E 31 122F 

 300AE 
31 122AF  
设 面 AEF 法 量  1 1 1n x y z 0{
0
n AE
n AF


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1
1 1 1
30
{ 31 022
x
x y z

  
取 1 1z   02 1n ……………8 分
BD AC BD PA PA AC A BD 面 AFC
BD 面 AFC 法量  330BD  ……………10 分
cos n BD m BD
m BD


2 3 15
55 12


二面角 E AF C锐角求二
面角余弦值 15
5
…………………… 12 分
21．（题满分 12 分）
（1）设

( ) 0Fx  ()Fx 增 ( ) (0) 0F x F 递增
…………………… 4 分
（2） <0 0  解

单调递增 ………………………6 分
（ⅰ） 时 单调递增函数

： …………………………………………………8 分
（ⅱ） 时 设
理科数学试题 第 9 页（ 10 页）
： 单调递增函数：
时 恒成立合题意
综述： …………………… 12 分
22．（题满分 10 分）
解：（1）曲线 1C 参数方程 2 cos
3sin
x
y


 

( 参数)：
22
22cos sin 1
23
xy    
曲线 1C 普通方程
22
123
xy
cos sinxy   
曲线 1C 极坐标方程 2 2 2 23 cos 2 sin 6    2 2 2cos 2 6   ……3
分
曲线 2C 极坐标方程化 sin cos 2   
曲线 2C 直角方程 20xy   ……………………5 分
（2）已知设点 M 点 N 极坐标分 1() 2()4
 中
2
 
2 2
1 2
6
cos 2OM   
2 2
2 2
2
11
cossin ( )2
ON   
  



22
2
22
1 1 cos 2 7cos 2cos66OM ON
   

2
  1 cos 0  
22
11
OM ON
 取值范围 13()32
……………………10 分
23．（题满分 12 分）
解：（1） 0a 
33( ) (0) 2 2 5g a f a aaa       ≥

3 2a ≤ 10a  
等式 ( ) 5ga≥ 解集 3 1 02a a a  
≤ ≤ …………4 分
（2）已知： 理科数学试题 第 10 页（ 10 页）
33 2 2
3 3 3( ) 2 2 2 2 2
333 2 2
x a x aa
f x x a x x a a xa a a
x a xaa
   
   

    

()fx 3
2a

递减 3 2a
 
递增
min
3 3 3() ( )2 2(2)( )232 2 2f x f a aa a a       ≥
( ) 2 3fx≥ ……………………10 分







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