页 1 第
华南师附中 2020 届高三年级月考（二）
数 学（文科）

试卷 5 页23 题满分 150 分考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名考生号试室号座位号填写答题卡
2．作答选择题时选出题答案 2B 铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂
黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3 非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域
相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液
求作答效
4 考生必须保证答题卡整洁考试结束答题卡交回
第Ⅰ卷
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求
1．已知集合 { |( 3)( 1) 0}A x x x    { 1| 1}B x x  ‖ R ABIð （ ）
A．[ 10) (23] U B．(23]
C．( 0) (2 ) U D．( 10) (23) U
2．复面已知复数 z 应点复数1 i 应点关实轴称 z
i  （ ）
A． B． 1 i C． 1 i D．1 i
3．圆柱挖圆锥圆锥底面圆柱底面重合顶点圆柱底面中心．
圆柱轴截面边长 2 正方形圆锥侧面展开图面积（ ）
A． 5 B． 6 C．3π D．4π
4．国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红光点点倍加增
灯三百八十请问尖头盏灯？意思：座 7 层塔挂 381 盏灯相邻两层中
层灯数层灯数 2 倍塔顶层（ ）灯
A．1 盏 B．3 盏
C．5 盏 D．9 盏
5．已知 实数 值（ ）
A．2 B．2 C．0 D．1
6．已知 12 2x y x x    y 值（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
7．已知 xy∈R x>y>0（ ） 页 2 第
A． 11xy xy   B．cos cos 0xy
C． 110xy D．lnx+lny>0
8．函数   2sin 4 4f x x 
图象坐标变横坐标伸长原 2 倍右移 4

单位函数  gx图象  0g  （ ）
A． 2 B． 2 C． 2 D．0
9．已知△ABC 角 ABC 边分 a b c 22()a b c ab   30B  4a 
△ABC 面积（ ）
A． 4 B．33 C． 43 D．63
10．等差数列{}na 前 n 项 nS 1 23a  6812Sa nS 达值 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．黄金三角形两种中底腰黄金分割黄金三角形认美三角形
顶角36等腰三角形(种顶角108等腰三角形)例正五角星五黄金
三角形正五边形组成图示黄金三角形 ABC 中 51
2
BC
AC
 根
信息sin234（ ）
A．1 2 5
4
 B． 35
8

C． 15
4
 D． 45
8

12．已知三棱锥 D ABC 顶点球O 表面 AB AC 6AB  26AC 
顶点 D 面 投影 E BC 中点 5DE  球 表面积（ ）
A．16 B．17 C．60 D．64π
第Ⅱ卷
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．已知幂函数 ()f x x 图象点 (2 2) ()fx定义域_______
14．已知量 (1 2)
r
a (2 )bm
r
ab
rr ab
rr
g ______ 页 3 第
15．已知实数 x y 满足
2 1 0
0
20
x
xy
xy

 
   
目标函数 2z x y值______
16．设函数
3
221() 33
axf x bx a x    处取极值 0

三解答题： 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤第 17~21 题必考题
试题考生必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17．（题满分 12 分）
公差 0 等差数列{}na 中 1a 3a 9a 成公 等数列数列{}nb 满足
*2 2 1()
2 2
na
n
n
nkb k N
a n k
  
．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）求数列 前 2n 项 2nT．

18．（题满分 12 分）
图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 行四边形 22AB AD 3PD BD AD
PD 底面
（Ⅰ）证明： BC⊥面 PBD
（Ⅱ）求 A 面 PBC 距离




19．（题满分 12 分）
某县畜牧技术员张三李四 9 年直该县山羊养殖业规模进行踪调查张三提供
该县某山羊养殖场年养殖数量 y（单位：万）相应年份 x（序号）数表散点图（
图示）根散点图发现 y x 较强线性相关关系
年份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
年养殖山羊
万 12 15 16 16 18 25 25 26 27 页 4 第

（Ⅰ）根表中数统计量求 y 关 x 线性回方程（参考统计量：
 9 2
1
60i
i
xx

   9
1
12ii
i
x x y y

  
（Ⅱ）李四提供该县山羊养殖场数 z（单位：）关 x 回方程 2 30zx

  
试估计：①该县第年养殖山羊少万？
②第年该县山羊养殖数量第年相缩？
附：回直线方程斜率截距二估计公式分：
ˆb
 
1
2
1
()
()
n
ii
i
n
i
i
x x y y
xx






ˆ ˆa y bx ．

20．（题满分 12 分）
已知椭圆  
22
22 1 0xyC a bab    离心率 6
3
两焦点短轴端点连线构成三
角形面积 2
（Ⅰ）求椭圆 C 方程
（Ⅱ）设圆 O： 223
4xy相切直线 l 椭圆 C 交 AB 两点（O 坐标原点）求△AOB
面积值．

21．（题满分 12 分）
已知函数 ( ) lnf x x ( ) 1g x x
（Ⅰ）证明： 0x  时 ()()f x g x
（Ⅱ） [1e]x 时等式 ()()g x af x 成立求 a 取值范围

（二）选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第
题计分
22．选修 44：坐标系参数方程（题满分 10 分） 页 5 第
面直角坐标系 xOy 中直线 1 3 4 0C x y   曲线 2 (1
x cosC y sin
 

 
参数）坐标
原点O 极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求 12CC极坐标方程
（Ⅱ）曲线 3C 极坐标方程
3
  ( 0)  曲线 3C 分交 12CC AB两点求||AB ．

23．选修 45：等式选讲（题满分 10 分）
已知函数   2 4 1f x x x    xR．
（Ⅰ）解等式   9fx
（Ⅱ）方程   2f x x a   区间 02 解求实数 a 取值范围 页 6 第
数学（文科）参考答案
选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C
7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D
二填空题
13．[0 ) 14．10 15．3 16．
三解答题
17解：（Ⅰ）公差 d 0 等差数列{}na 中 1a 3a 9a 成公 等数列
2
3 1 9a a a 3 1 3a a a 2
1 1 1( 2 ) ( 8)a d a a d   1 1a  化简 1 1ad
nan
（Ⅱ）（1） 2 2 1
2 2
n
n
nkb
n n k
   
*kN
前 2n 项 21
2 (2832 2 )(4812 4)n
nTn     
2(1 4 ) 1 2(4 1)(4 4 ) 2 ( 1)1 4 2 3
nn
n n n n     
．

18 （Ⅰ）证明：∵ 2 2 2AD BD AB∴ AD BD
∵ AD BC ∴ BC BD
∵ PD 底面 ABCD∴ PD BC
∵ PD BD DI∴ BC  面 PBD
（Ⅱ）解： PD ABCD BD ABCDQ 面 面
PD BD
226PB PD BD   
（1） 面
PB  面 PBD
BC PB
1 1 6162 2 2PBCS BC PB       
1 3 322 2 2ABCS    
设 A 面 PBC 距离 d
P ABC A PBCVV 页 7 第
11
33ABC PBCS PD S d    
6
2d
A 面 PBC 距离 6
2

19 解：（Ⅰ）设 y 关 x 线性回方程 ˆˆ ˆy bx a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 59x        
12 15 16 16 18 25 25 26 27 29y        

9
1
9
2
1
( )( ) 12ˆ 0260()
ii
i
i
i
x x y y
b
xx



  



ˆˆ 2 02 5 1a y bx     
关 线性回方程 ˆ 02 1yx
（Ⅱ）估计第 年山羊养殖数 2ˆ ˆ (02 1)( 2 30) 04 4 30y z x x x x        
①第 1 年山羊养殖数 04 4 30 336    该县第年养殖山羊约336万
②题意 204 4 30 336xx    整理( 9)( 1) 0xx  
解 9x  1x  （舍）
第 10 年该县山羊养殖数量相第 1 年缩

20 解：（I）题设： 6 23
c bca 
解 223 1ab
∴椭圆 C 方程
2
2 13
x y
（Ⅱ）设    1 1 2 2 x A x y B y
1 AB  x 轴时 3AB 
2 AB x 轴垂直时设直线 AB 方程 y kx m
已知 2
3
21
m
k


 223 14mk 页 8 第
y kx m代入椭圆方程消 y
整理 2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m    
2 2 2 2 236 4(3 1)(3 3) 27 3 0k m k m k        恒成立
 2
1 2 1 222
316 3 1 3 1
mkmx x x xkk
   

      
 222
22 22
12 2 22
12 1361 k 1 3131
mkmAB x x k kk
     

  
 
  
 
2 2 2 2 2
2222
12 1 3 1 3 1 9 1
3 1 3 1
k k m k k
kk
    



 
2
42
2
2
12 123 3 019 6 1 96
k kkk k k
     
12342 3 6  
仅 2
2
19k k 3
3k  时等号成立
0k  时 3AB 
综述 max 2AB  △AOB 面积值 3
2


21 解：（Ⅰ）令 () () ()ln 1 0h x f x g x x x x     
11＇( ) 1 xhx xx
   
(01) ＇( ) 0 ( )x h x h x   时 单调递增
(1+ ) ＇( ) 0 ( )x h x h x   时 单调递减
1 ( )x h x 时 取值
( ) (1) 0h x h  
( ) ( ) 0f x g x
 0x  时 ()()f x g x 页 9 第
（Ⅱ）令       ln 1h x af x g x a x x       12
22
a a xhx xxx
   
① 0a  时   0hx  函数  hx 1 e 单调递减
   10h x h 满足题意
② 0a  时令   0hx  24xa
 204xa 时   0hx   24xa  时
函数  204a 单调递增 24a  单调递减
（ⅰ） 24ae
2
ea  时 单调递增
    10h x h e a e     1 ea 时解
（ⅱ） 214ae 1
22
ea 时函数  214a 单调递增 24ae单调递减
       224 ln4 212ln2 210h x h a a a a a a a       
设     12 ln 2 2 1 22
em x x x x x    
   2ln 2 0m x x 
 mx 1 22
e

单调递增
  1 02m x m
满足题意
（ⅲ） 20 4 1a 10 2a时 单调递减
满足题意
综述： a 取值范围 1 2
 

22解： （Ⅰ） cos sinxy   Q
1 3 cos sin 4 0C       
1
x cos
y sin



 
 22 11xy    cos sinxy   Q 页 10 第
   22cos sin 1 1       2 2 sin 0     2 2sinC 
（Ⅱ）曲线 3C ( 0)3

设 1233AB   
      
12
44 3 2sin 3333cos sin33



12
3|| 3AB    
23 解：（Ⅰ）   9fx 化 2 4 1 9xx   

2
3 3 9
x
x

 

12
59
x
x
  
 

1
3 3 9
x
x

  

解： 24x 12x   21x   
原等式解集{ | 2 4}xx  
（Ⅱ）题意：   225f x x a a x x        02x ．
方程   2f x x a   区间 02 解  函数 ya 函数 2 5y x x   图象区间 交点
Q 时 2 195 74y x x   


实数 a 取值范围
19 74




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