21 世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材




材 料 力 学

编 金康宁 谢群丹
副编 刘 宏 万 度
参 编 王筱玲 毛 云
参 编 毛文 张 军
审 袁海庆 张 军
参 编 李 磊 张 军
















容 简 介
教材分 12 章容包括：概述杆件拉伸压缩剪切扭转梁力梁应力梁
位移应力状态理强度理组合变形压杆稳定量法材料性研究中问题
教材章编写五部分组成：前言基容结思考题题
教材高等学校工科土木工程专业科学生教材教学参考书供相关专业工程技术
员参考
建议学时数 74 学时中理教学 68 学时实验 6 学时




图书版编目(CIP)数
材料力学金康宁谢群丹编 —北京：北京学出版社2006 1
(21世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材)
ISBN 7301104855
Ⅰ 材… Ⅱ ①金… ②谢… Ⅲ 材料力学—高等学校—教材 Ⅳ TB301
中国版图书馆 CIP 数核字(2006)第 001926 号


书 名：材料力学
著作责者：金康宁 谢群丹 编
策划编辑：吴 迪 李昱涛
责编辑：吴 迪
标准书号：ISBN 7301104855TU·00330
出 版 者：北京学出版社
址：北京市海淀区成府路 205 号 100871
网 址：httpcbspkueducn httpwwwpup6com
电 话：邮购部 62752015 发行部 62750672 编辑部 62750667 邮购部 62752015
电子信箱：pup_6@163com
排 版 者：北京东方华北彩印中心 电话：62754190
印 刷 者：
发 行 者：北京学出版社
销 者：新华书店
787毫米×1092 毫米 16开 195 印张 435 千字
2006 年 1 月第 1 版 2006 年 1 月第 1 次印刷
定 价：2800 元 丛书总序
国高等教育发展迅速全日制高等学校年招生数 2004 年已达 420 万毛
入学率 19步入国际公认高等教育众化阶段面规模扩招教育事业
发展改革坚持两体：学生教师教学质量提高两
体反映教材两体媒介属教学载体
教育部第三次新建科院校教学工作研讨会指出：高校办学定位明盲
目追求层次规格导致培养规格盲目拔高培养模式趋高校学生中升
热’考硕热’考博热’持续升温应试学倾然较普遍导致层次培养
目标难全面实现学生知识结构够合理动手力弱实际工作力强作
知识传承载体教材高等教育发展程中起着关重作目前教材建设
远远滞应型培养步伐许应型科院校直偏重研究型教材
缺乏针性强实教材
年国房产行业已成国民济支柱行业着世纪国城市化
趋势土木建筑行业实型需求持续增加满足相关应型科院
校培养应型教学需求 2004 年 10 月北京学出版社第六事业部开始策划
套丛书派出 10 位编辑分赴全国 30 省份调研两百院校课程改革教材
建设情况基础规划出涵盖土建六专业——土木工程工程理
建筑学城市规划排水建筑环境设备工程基础课程专业干课程系列教材
通 2005 年 1 月份湖南学组稿会 2005 年 4 月份三峡学审纲会全
国十高校知名专家教授努力成立丛书编审委员会
规划出首批包括土木工程工程理建筑环境设备工程等专业方 40 选题
位编老师参编老师艰苦努力北京学出版社级领导关心第六
事业部位编辑辛勤劳动首批教材终 2006 年春季学期前夕陆续出版发行
首批教材编写出版程中越越全国相关兄弟院校领导
专家力支持利运作第批土建教材鼓舞北京学出版社联合全
国七十家开设土木建筑相关专业高校 2005 年 11 月 26 日长沙中南林学院召开
21 世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材（第二批）组稿会规划①建
筑学专业②城市规划专业③建筑环境设备工程专业④排水工程专业⑤土木工
程专业道路桥梁岩土矿山课群组 60 选题北京学出版社规划
土木建筑系列教材已涵盖土建 6 专业年全国高等教育出
版界唯套完全覆盖土建六专业方系列教材 2007 年全部出版发行
国高等学校土木建筑专业教育国家教育部建设部指导土木建筑专
业指导委员会六年研讨已形成宽口径土建专业发展模式明确土木
建筑专业教育培养目标培养方案毕业生基规格宽口径视角求毕业生
事土木工程设计施工理工作业务范围涉房屋建筑隧道建筑公路

II
城市道路铁道工程桥梁矿山建筑等制定整套课程教学纲系列教材
根新培养方案课程教学纲批长期教学第线事教学年
工程验丰富教学验教师担编定位应型培养目标编撰具
特点：
(1) 宽口径土木工程专业培养方案注重提高学生综合素质创新力注重加
强学生专业基础知识优化基理知识结构刻意追求理研究型教材深度容取
舍少精培养土木工程师事设计施工理应方拓展
(2) 理解土木工程相关学科基础深入研究课程间相互关系课程教
材反映学科发展水保证教材身体系完整性量避免容重复
(3) 培养学生单专门设计技巧训练运现成方法取专门实践成功
够方法科学技术发展常改变解迅速发展方
法步教材编撰侧重培养学生透析理解教材中基理基特性性时
熟悉现行设计方法理工程背景变应万变系列教材力图涵盖两
方面
(4) 国颁发现行关土木工程类规范规程系 1999～2002 年完成修订
容较取舍更新反映国土木工程设计施工技术发展作应型教材
培养学生毕业获注册执业资格容涉少相关规范条文算例
规范条文释义
(5) 代土木工程设计越越计算机程序采通性商业软件
结构特殊求工程师行编写程序系列相关工程结构课程教材中阐述
真实结构简化计算模型数学表达式间关系基础出设计方法详细步骤
步骤均容易转换成工程结构流程图助培养学生编写计算机程序
(6) 科学发展观持续发展观念根课程特点反映学科现代新理
新技术新材料新工艺社会发展科技进步新成果充实更新教材容
教材中增加方面信息量时考虑开发音电子网络等媒体教学形
式提高教学效果效率
衷心感谢套系列教材位编著者没教学第线教改工程第线
辛勤实践出版规模系列实教材时感谢北京学出版社
广编著者提供广阔台进步提高专业领域教学质量教学水提供
条件
真诚希系列教材教师学生吝指正时提出宝贵意见
期进步系列教材进行修订完善
系列教材配套 PPT 电子教案出版社相关网站提供载

21 世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材
专家编审委员会
2006 年 1 月

前 言
教材适应土木工程专业材料力学课程教学需材料力学教学
纲规定基容分章编写编写时参国院校土木工程专业现行教学计划
拟定教材编写纲容突出土木工程专业中常材料结构特点
应
着科学技术飞速发展力学新知识断涌现土木工程技术力学求越
越高学校教学计划予材料力学课程教学时数越越少教材
编写程中量减少重复提高效率保证质量适应 21 世纪发展求较完
成材料力学课程教学务
教材系集体编写金康宁谢群丹编章编写员：第 1 章第 6 章第
12 章——湖南工业学谢群丹第 2 章第 4 章——湖北工业学毛云第 3 章第 5 章
附录 2——江西科技师院毛文第 7 章第 11 章——南昌工程学院万度第 8 章附录
1——南昌工程学院王筱玲第 9 章第 10 章——山西学刘宏教材华中科技学
金康宁教授统稿武汉理工学袁海庆教授仔细审阅全书表示深深谢意
编者水限时间仓促教材中存少缺点错误尚祈读者批评指正




编者
2005 年 10 月

目 录
第 1 章 绪 基概念 1
11 材料力学务
相关课程关系 1
12 材料力学基假设 2
13 杆件特征 2
14 杆件变形 3
141 杆件变形基形式 3
142 应变概念 4
15 杆件力 4
151 杆件力 截面法 4
152 应力概念 6
16 结 6
17 思考题 7
第 2 章 杆件拉伸压缩 8
21 轴拉伸压缩概念 8
22 拉(压)杆力计算 9
221 轴力概念 9
222 截面法求轴力 9
223 轴力图 10
23 横截面斜截面应力 11
231 横截面应力 11
232 斜截面应力 14
233 应力集中概念 15
24 胡克定律 16
25 材料拉伸压缩时力学性 19
251 材料拉伸压缩试验 19
252 低碳钢拉伸时力学性 20
253 材料拉伸时
力学性 22
254 材料压缩时力学性 24
26 强度条件截面设计基概念 25
261 许应力 25
262 强度条件 26
27 拉压超静定问题 29
271 超静定问题概念 29
272 超静定问题解法 29
273 温度应力问题 31
274 装配应力 33
28 结 35
29 思考题 35
210 题 36
第 3 章 剪切扭转 39
31 剪切 39
311 剪力切应力 39
312 连接中剪切挤
压强度计算 40
32 杆件扭转时力扭矩 43
33 薄壁圆筒扭转 45
34 剪切胡克定律切应力互等定理 46
341 剪切胡克定律 46
342 切应力互等定理 47
35 等直圆杆扭转 48
351 横截面应力 48
352 斜截面应力 53
353 等直圆杆扭转变形 55
36 非圆截面等直杆扭转 59
361 矩形截面杆 59
362 开口薄壁截面杆 61
363 闭口薄壁截面杆 62
37 结 65
38 思考题 67
39 题 67
第 4 章 梁力 74
41 梁计算简图 74
42 梁面弯曲 77 材料力学

·VI·
·VI·
43 梁力剪力弯矩 77
44 剪力方程弯矩方程
剪力图弯矩图 81
45 力分布荷载间
关系应 87
451 弯矩剪力分布荷载
集度间关系 87
452 常见荷载梁剪力图
弯矩图特征 88
46 区段叠加法作梁弯矩图 91
47 结 92
48 思考题 93
49 题 94
第 5 章 梁应力 98
51 梁横截面正应力 98
511 纯弯曲时梁横截面
正应力 99
512 横力弯曲时梁横截面
正应力 103
52 梁横截面切应力104
53 梁强度条件 110
531 梁正应力强度条件110
532 梁切应力强度条件113
54 梁合理强度设计 114
55 非称截面梁面弯曲117
551 非称截面梁面弯曲117
552 开口薄壁截面梁
弯曲中心 119
56 考虑材料塑性时梁极限弯矩121
57 结 124
58 思考题 126
59 题 127
第 6 章 梁位移 134
61 梁挠曲线微分方程134
62 积分法求梁位移136
63 叠加原理求梁位移140
64 梁刚度条件 141
65 超静定梁初步概念求解 142
66 结 144
67 思考题 145
68 题 146
第 7 章 应力状态 150
71 应力状态概念 150
711 点应力状态(state of
stresses at a given point) 150
712 面应力概念 151
72 面应力状态分析——解析法 152
721 意斜截面应力 152
722 面应力确定 153
723 剪应力 153
73 面应力状态分析——图解法 156
731 应力应力方位 158
732 剪应力方位 158
74 梁应力应力迹线 161
741 梁应力 161
742 应力迹线 161
75 三应力状态 162
76 广义胡克定律 164
77 三应力状态变形 166
771 体积应变 166
772 三应力状态弹性
变形 167
78 结 168
79 思考题 169
710 题 169
第 8 章 强度理 173
81 强度理概念 173
82 四强度理 174
821 拉应力理 174
822 伸长线应变理 175
823 切应力理 175
824 形状改变理 175
83 莫尔强度理 176
84 种强度理适范围 176 目 录

·VII·
·VII·
841 强度理选原176
842 强度计算步骤177
85 结 179
86 思考题 180
87 题 180
第 9 章 组合变形 182
91 组合变形概念 182
92 斜弯曲 183
93 拉伸(压缩)弯曲组合变形188
94 偏心压缩偏心拉伸192
95 截面核心 195
96 弯曲扭转组合变形199
97 结 204
98 思考题 204
99 题 205
第 10 章 压杆稳定 212
101 压杆稳定概念 212
102 两端铰支中心压杆欧拉公式214
103 约束条件压杆
欧拉公式216
104 界应力欧拉公式应范围220
1041 计算界应力
欧拉公式220
1042 欧拉公式应范围221
1043 超例极限时压杆
界应力 221
105 压杆稳定校核 224
106 提高压杆稳定性措施229
107 结 230
108 思考题 231
109 题 232
第 11 章 变形法 235
111 基概念 235
112 变形计算 235
1121 轴拉伸(压缩)杆
弹性变形 235
1122 受扭圆轴弹性变形 236
1123 杆弯曲情况
变形 237
1124 弹性变形般公式 238
113 卡氏定理 239
114 结 245
115 思考题 246
116 题 247
第 12 章 材料研究问题 249
121 材料疲劳破坏疲劳极限 249
1211 材料交变应力
疲劳破坏疲劳极限 249
1212 材料称非称循环
交变应力疲劳破坏
疲劳极限 252
122 材料动荷载作力学性 253
123 材料长期荷载作
蠕变现象 255
124 结 256
125 思考题 257
126 题 257
附录 1 截面图形性质 259
附 11 截面静矩形心 259
附 12 惯性矩惯性积极惯性矩 261
附 13 行移轴公式 264
附 131 行移轴公式 264
附 132 组合截面惯性矩
惯性积 266
附 14 转轴公式 268
附 15 截面惯性矩惯性轴 268
附录 2 型钢规格表 272
附录 3 简单荷载作梁
挠度转角 285
参考文献 288


第 1 章 绪 基概念
提：章首先介绍材料力学务相关课程间关系
次材料力学中实际材料作均匀连续性变形固体
数场合局限变形弹性变形范围进行研究
出杆件变形 4 种基形式：轴拉压剪切扭转弯曲
简单介绍截面法求杆件力基方法步骤
11 材料力学务相关课程关系
土木工程中种建筑物施工阶段承受外力统称荷载(load)例
吊车梁重力墙体重家具设备重力风载雪载震力爆炸力等建筑
物中承受荷载传递荷载空间骨架称结构(structure)结构构件
(member)组成保证结构够正常工作必须求组成结构
构件荷载作够正常工作
保证构件荷载作正常工作必须时满足三方面力学求强度
刚度稳定性求
(1) 构件抵抗破坏力称强度(strength)构件设计应保证规定荷载作
够正常工作会发生破坏例钢筋混凝土梁荷载作会发生破坏
(2) 构件抵抗变形力称刚度(stiffness)构件变形必须限制定限度
构件刚度满足求样正常工作例吊车梁果变形会影响吊车
运行
(3) 构件受荷载作时原形状衡应保证稳定衡构件
稳定性(stability)求例厂房中钢柱应该始终维持原直线衡形态保证
压弯
构件设计时构件强度刚度稳定性材料力学性关材料
力学性需通试验方法测定试验研究理研究材料力学两基
研究手段
综述通材料力学学解构件设计基力学原理适
选择材料构件截面形状尺寸材料力学务满足强度刚度稳定性
求构件设计安全济
材料力学理力学先修课程结构力学续课程理力学研究物
体机械运动般规律科学理力学刚体静力学中关衡概念建立衡方程
求解未知力方法材料力学中求解构件力基础材料力学构件强度刚度
稳定性研究结构力学中结构强度刚度稳定性研究坚实基础
材料力学理力学结构力学三密切相关课程材料力学起着承前启作材料力学

·2·
·2·
学程中应该逐步掌握建立构件力学模型方法构件受力分析中基概
念方法
12 材料力学基假设
理力学研究象刚体材料力学中构件变形忽略计
构件作变形体研究称变形固体(deformable solid)变形固体材
料制成构件进行强度刚度稳定性研究时抽象出某种理想力学模型通常根
性质做出定假设时忽略次素然进行理分析材料力学中
通常变形固体作基假设：
(1) 连续性假设(continuity assumption)
假设认构件材料变形然保持连续性整体积毫空隙
充满物质忽略体积空隙材料力学性质影响
(2) 均匀性假设(homogenization assumption)
假设认构件材料部分力学性相意点取出单元体
具整体样力学性
(3) 性假设(isotropy assumption)
假设认构件材料方力学性相工程常金属材
料然晶粒说力学性样宏观方力学性
接相材料方力学性相样材料称异性材料
木材等
(4) 变形假设(small transmogrification assumption)
假设认材料力学中研究构件承受荷载作时变形量总远
外形尺寸研究构件衡部受力变形等问题时般构件原始
尺寸进行计算
(5) 线弹性假设(linear elasticity assumption)
工程材料荷载作均发生变形果卸载变形消失物体恢复
原状称种变形弹性变形(elastic deformation)荷载时发生变形
部分卸载够消失部分变形会消失残留种残留变形部
分称塑性变形(plastic deformation)种材料讲定受力范围变形完全
弹性外力变形间成线性关系书面会讲种关系称胡克定律
(Hooke law)材料力学中研究部分问题局限弹性变形范围
综述材料力学中实际材料作均匀连续性变形固体
数场合局限变形弹性变形范围进行研究
13 杆件特征
材料力学研究象杆件杆件两素横截面(cross section)第 1 章 绪 基概念

·3·
·3·
轴线(axis)杆件分直杆曲杆图 11 示杆件(长度方)尺寸横(垂
直长度方)尺寸构件房屋梁柱等构件般抽象杆件直杆特
征轴线直线图 11(a)示曲杆特征轴线曲线图 11(b)示直杆曲
杆轴线横截面相互垂直材料力学中研究直杆数等截面通常称
等截面直杆横截面轴线变化杆件称变截面杆
轴线 截面
横截面

轴线
横截面
(a) (b)
图 11 杆件轴线横截面截面
(a) 直杆轴线直线(b) 曲杆轴线曲线
14 杆件变形
141 杆件变形基形式
杆件受力情况变形杆件变形基形式 4 种
1 轴拉伸轴压缩
等值反作线杆轴线重合外力作直杆变形长度改
变种变形形式称轴拉伸(axial tension)轴压缩(axial compression)图 12(a)
图 12(b)示
2 剪切
相距等值反横外力作杆变形横截面外力作
方发生相错动变形种变形形式称剪切(shear)图 12(c)示
3 扭转
等值反作面垂直杆轴两力偶作杆件意两相邻横
截面绕轴线发生相转动变形轴线维持直线种变形形式称扭转(torsion)
图 12(d)示
4 弯曲
等值反作杆件面两力偶作杆件面材料力学

·4·
·4·
发生变曲变形变形杆轴线弯成曲线种变形形式称弯曲(bending) 图 12(e)
示
工程实践中常构件荷载作时发生种基变形情况称组合变形
(combined deformation)课程首先分讨四种基变形然分析组合变形问题
F F FF
F
F
M T M T M M
(a) (b) (c)
(d) (e)
图 12 杆件变形基形式
(a) 拉伸(b) 压缩(c) 剪切(d) 扭转(e) 弯曲
142 应变概念
假设杆件原长 l承受轴拉力 F 作杆长变 l1图 13 示杆件
伸长
1ll lΔ − (11)
l1
l
d d1 F F

图 13 杆件变形横变形
lΔ 表示杆件总伸长量显然长度杆件伸长量相变形
程度量度杆件变形程度引入应变(strain)概念定义单位长度
伸长量线应变(通常简称应变)符号ε 表示杆件线应变
l
lε Δ (12)
式(11)知线应变伸长时正缩短时负
15 杆件力
151 杆件力 截面法
根理力学知识构件进行受力分析图 14(a)示杆件整体第 1 章 绪 基概念

·5·
·5·
受力分析图荷载 F支座反力 AxF AyF ByF 该杆件说称外力面
意力系三独立衡方程求出杆件三支座反力 cosAx αFF
1 sin2Ay By αFF F 样杆 AB 受外力全部确定外力作杆件部质
点间相位置发生变化杆件意相邻部分间相互作力会发生变化杆
件部相互作力产生变化量称杆件力假设物体均匀连续变形
固体物体部相邻部分间相互作力实际连续分布力系
分布力系合成(力力偶)简称力
现假想截面 CC 杆件切开图 14(b)示切开截面力实际
分布整截面连续分布力系分布力系截面形心 O 简化
截面力三分量 NF QF M

图 14 截面法求力
杆件整体衡脱离体应该处衡状态假想截面 CC
杆件切开左右两脱离体然保持静力衡状态样利静力
衡方程求出截面力
取杆件左边部分脱离体图 14(b)示进行受力分析建立静力衡
方程
0x ∑ N 0Ax + FF (13)
0y ∑ Q 0Ay − FF (14)
0o ∑ M 0Ay x⋅ −FM (15)
联立求解 NF QF M 值值注意式(15)中切断截面形
心矩心建立力矩衡方程取右半部分脱离体求出相结果 材料力学

·6·
·6·
述求杆件某截面处力方法称截面法(method of section)般步骤：
(1) 需求力截面处假想杆件截开取中某部分脱离体
(2) 取脱离体进行受力分析脱离体受力包括作脱离体外力切
断截面力
(3) 脱离体建立静力衡方程求出截面未知力
截面法求解杆件力关键截开杆件取脱离体样杆件截面力转化脱
离体外力
152 应力概念
外力作杆件某截面点处力分布集度称应力(stress)
图 15 示杆件截面 mm− 点 K 周围取微面积 AΔ 设 AΔ 分布
力合力 ΔF 微面积 AΔ 力 ΔF 均集度
A
Δ
Δ
F 称 AΔ 均应力微
面积 AΔ 限趋 0 时均应力极限值称 K 点总应力 p
0
lim
A AΔ→
Δ Δ
Fp (16)
p
σ K
m
m
τ
(b)

ΔF
AΔ
K
m
m
(a)
图 15 横截面微面积力应力
总应力 p 矢量方般截面垂直截面相切通常总应力 p 分
解截面垂直法分量σ 截面相切切分量τ 法分量σ 称正应力切
分量τ 称切应力应力量纲 12ML T− − 应力单位 2Nm 符号 Pa(帕)
21Pa1Nm 61MPa10 Pa 91GPa10 Pa
16 结
1 材料力学基务
保证构件荷载作正常工作必须时满足三方面力学求强度
刚度稳定性求材料力学务满足强度刚度稳定性求构件
设计安全济
2 杆件基假设基变形
材料力学中通常变形固体作基假设：连续性假设均匀性假设第 1 章 绪 基概念

·7·
·7·
性假设变形假设线弹性假设材料力学中研究部分问题局限弹性范
围
杆件 4 种基变形形式：轴拉压剪切扭转弯曲
3 截面法
截面法求力首先取中某部分脱离体然取脱离体进行受力分
析脱离体建立静力衡方程求出截面未知力
截面法求解杆件力关键截开杆件取脱离体样杆件截面力转化脱
离体外力
17 思 考 题
1 力外力间相互关系
2 截面正应力处处相？

第 2 章 杆件拉伸压缩
提：轴拉压构件基受力形式进行分析首先需计算力
章介绍计算力基方法——截面法判断材料否会发生破坏必须
解力截面分布状况应力试验观察现象做出面假设进出横
截面正应力计算公式根构件受轴力作破坏形式斜截面断裂进步
讨斜截面应力计算公式
保证构件安全工作需满足强度条件根强度条件进行强度校核
选择截面尺寸者计算容许荷载
章研究轴拉压杆变形计算目分析拉压杆刚度问题目
解决超静定问题做准备超静定结构必须助结构变形协调关系建立
补充方程求出全部未知力超静定问题中介绍温度应力装配应力概念
计算
材料具力学性章介绍塑性材料脆性材料典型代表低碳钢
铸铁拉伸压缩时力学性
21 轴拉伸压缩概念
实际工程中承受轴拉伸压缩构件相例起吊重物钢索桁架
中拉杆压杆悬索桥中拉杆等类杆件受力特点：外力外力合力作
线杆轴线重合变形特点：杆件着杆轴方伸长缩短种变形形式
称轴拉伸压缩类构件称拉杆压杆章研究直杆拉伸压缩
类杆件形状受力情况进行简化图 21 示受力变形示意图图中实
线受力前形状虚线表示变形形状

P
P P
P

图 21 轴拉压杆件变形示意图 第 2 章 杆件拉伸压缩

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22 拉(压)杆力计算
221 轴力概念
进行拉(压)杆强度计算必须首先研究杆件横截面力然分析横截面
应力面讨杆件横截面力计算
取直杆两端施加相等方相反作线直杆轴线相重合外力
产生轴拉伸变形图 22(a)示显示拉杆横截面力取横截面 mm−
拉杆分成两段杆件横截面力分布力系合力 NF 图 22(b) 22(c)
示外力 P 作线杆轴线相重合 NF 作线杆轴线相重合称 NF
轴力(axial force)左段静力衡条件 0X ∑ ： ()0+ −NFP NF P
左右两段横截面轴力具相正负号轴力符号作规定：
杆件产生伸长轴力正称拉力(tension)杆件产生缩短轴力负
称压力(compression)难理解拉力方离开截面压力方指截面

图 22 轴拉压杆横截面力
222 截面法求轴力
面分析轴力程中采方法书 151 中已介绍截面法(section
method)求力般方法材料力学中基方法截面法求轴拉(压)
杆轴力基步骤：
(1) 需求力截面处假想横截面杆件截开两部分
(2) 取部分研究象画出受力图注意部分作力(轴力)
加该研究象受力图中
(3) 利衡条件建立衡方程求出截面力轴力
便计算结果直接判断力实际指截面实际力指律
先设正方未知轴力均设拉力求出结果果正值说明实际指设
方相拉力果求出结果负值说明实际指设方相反材料力学

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压力
223 轴力图
次利截面法求出横截面轴力轴力杆轴分布图形描述
般杆件轴线行坐标轴表示横截面位置垂直该坐标轴方表示相应
力值样做出图形称轴力图(axial force diagram)称 NF 图轴力图够简
洁表示杆件横截面轴力方进行应力变形强度刚度等计算

面说明轴力图绘制方法：选取坐标系横坐标表示横截面位置坐标表
示相应横截面轴力然根段轴力符号绘出表示杆件轴力截
面位置关系图线谓轴力图样轴力图出段轴力
根正负号出段变形拉伸压缩
例 21 等直杆受力情况图 23 示试作轴力图

图 23 例 21 图
解：般说解题首先应搞清问题种类该杆受力特点知轴拉压杆
力轴力 NF 面截面法求力
图 24 示 AB 间取横截面 11杆件分两部分取左边部分研究
象(右边部分研究象)画出该脱离体受力图静力衡条件列方程
0X ∑
1 20 0+NF 1 20kN−NF
BC 间取横截面 22截面杆件分两部分取左边部分研究象(右
边部分研究象)静力衡条件列方程
0X ∑
2 20 40 0+−NF 2 20kNNF
CD 间取横截面 33截面杆件分两部分取左边部分研究象(右
边部分研究象)静力衡条件列方程
0X ∑
3 20 40 50 0+−+NF 3 30kN−NF
根 ABBCCD 段轴力符号画出轴力图图 24 示
注意画轴力图时般应受力图正杆件水放置倾斜放置时正值应画
杆件轴线行 x 横坐标轴方斜方负值画方斜方标出正
负号杆件竖直放置时正负值分画侧标出正负号轴力图适
画标线标线必须垂直坐标轴旁边应标明力图名称熟练必第 2 章 杆件拉伸压缩

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画隔离体受力图

图 24 例 21 图
23 横截面斜截面应力
231 横截面应力
横截面垂直杆轴线截面前面已介绍求杆件轴力仅知道杆件
横截面轴力立判断杆外力作否会强度足破坏例两根
材料相粗细直杆受样拉力作两杆横截面轴力相
着拉力逐渐增细杆必定先拉断说明杆件强度仅轴力关横截
面面积关必须横截面力分布集度(应力)度量杆件强度
拉(压)杆横截面轴力 NF 相应正应力般σ 表示确定该应力
必须解横截面分布规律般通观察变形规律确定正应力σ
分布规律
取等直杆侧面面做两条垂直轴线横线 ab cd 图 25(a)示两
端施加轴拉力 P 观察发现杆件变形程中 ab cd 保持直线然垂直
轴线分移 ab′′ cd′ ′ (图 25(a)中虚线)现象杆件变形外反应
根现象变形性出发作出假设：原面横截面变形保持
面垂直轴线假设称面假设(plane section assumption)该假设意味着杆
件变形意两横截面间线段伸长相等材料均质连续性假设材料力学

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推断：横截面应力均匀分布方垂直横截面横截面正应力σ
均匀分布图 25(b)示(推断已弹性试验证实)

图 25 面假设示意图
设杆横截面面积 A 微面积 dA 力分布集度σ 静力关系：
ddAA
A AA∫∫NF σ σσ
拉杆横截面正应力σ 计算公式
A NFσ (21)
式中σ 横截面正应力 NF 横截面轴力 A 横截面面积公式(21)
样适轴压缩情况 NF 拉力时σ 拉应力 NF 压力时σ 压应力
根前面关力正负号规定拉应力正压应力负
应该指出正应力均匀分布结杆离外力作点较远部分成立荷载
作点附截面时成立实际构件中荷载加载方式施
加构件截面应力分布影响实验研究表明加载方式
作力附截面应力分布影响结称圣维南(SaintVenant)原理根
原理拉(压)杆中离外力作点稍远横截面应力分布便均匀般
拉(压)杆应力计算中直接公式(21)
杆件受外力作时通截面法求轴力 maxNF 果等截面杆件
利公式(21)立求出杆正应力 max
max A NFσ 果变截面杆件般需
求出段杆件轴力然利公式(21)分求出段杆件正应力进行较确
定正应力 maxσ
例 22 变截面圆钢杆 ABCD 图 26(a)示已知 1 20kNP 2 35kNP
3 35kNP 1 12mmd 2 16mmd 3 24mmd 试求：
(1) 截面轴力作轴力图
(2) 杆正应力
解：(1) 求力画轴力图分取三横截面 IIⅡⅡⅢⅢ杆件截开右
边部分研究象截面轴力分 1NF 2NF 3NF 表示设拉力部分
受力图图 26(b)示部分静力衡方程 0X ∑ ：
1120kNNFP
26第 2 章 杆件拉伸压缩

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2210+−NFPP ⇒ 2 15kN−＝NF
33210++−NFPPP ⇒ 3 50kN−NF
中负号表示轴力设方相反压力作出轴力图图 26(c)示

图 26 例 22 图
(2) 求正应力该杆变截面杆 AB BC CD 三段仅力横
截面面积需分求出段横截面正应力利式(21)分求 AB BC
CD 段正应力
3
21
1 2
21
20 10 N 17684 N mm 17684MPaπ 12 mm4
A
× ×
NFσ
3
22
2 2
22
15 10 N 7460 N mm 7460MPaπ 16 mm4
A
−× − −×
NFσ
3
23
3 2
23
50 10 N 11052 N mm 11052MPaπ 24 mm4
A
−× − −×σ NF
述结果见该钢杆正应力发生 AB 段17684MPa 材料力学

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232 斜截面应力
前面讨拉(压)杆横截面正应力实验表明材料拉(压)杆破坏发生
斜截面全面研究杆件强度需进步讨斜截面应力
设直杆受轴拉力 P 作横截面面积 A 意斜截面 mm− 杆件假想
切开设该斜截面外法线 x 轴夹角α 图 27(a)示设斜截面面积 Aα
cos
AAα α
设 αNF mm− 截面力左段衡求 α NF P 图 27(b)示仿横
截面应力推导方法知斜截面点处应力均匀分布 αP 表示应力
cos cosAAα
α
α α PPP σ
式中σ 横截面正应力应力 αP 分解成斜截面法线方分量 ασ 斜截面切
线方分量 ατ ασ 称正应力(normal stress) ατ 称切应力(shear stress)图 27(c)
示关应力符号规定：正应力符号规定前切应力绕截面时针转动时正反
负α 符号规定： x 轴逆时针转外法线方时正反负
图 27(c)知
2cos cosααα ασσP (22)
sin sin cos sin 22ααα αα α στσP (23)
式(22)式(23)出 ασ ατ 均角度α 改变 0α D 时 ασ 达
值值σ 斜截面 mm− 垂直杆轴线横截面正应力发生横截面
45α D 时 ατ 达值值
2
σ 切应力发生轴线成 45D 角斜截面

图 27 斜截面应力 第 2 章 杆件拉伸压缩

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分析结果压杆样适
轴拉(压)杆中切应力正应力二分果材料抗
剪抗拉(压)力弱材料切应力发生破坏例子
铸铁受轴压力作时候着 45°斜截面方发生剪切破坏
233 应力集中概念
前面介绍应力计算公式适等截面直杆横截面缓变化拉压杆该
公式计算应力工程实际中般允许然实际工程中某构件常切口圆孔
沟槽等形状发生突然改变情况试验理分析表明时横截面应力
均匀分布局部范围急剧增种现象称应力集中(stress concentration)
图 28(a)示带圆孔薄板承受轴拉力 P 作试验结果知：圆孔
附局部区域应力急剧增离区域稍远处应力迅速减趋均匀
图 28(b)示 II 截面孔边应力 maxσ 截面均应力 nσ K
表示
max
n
K σ
σ (24)
K 称理应力集中系数(theoretical stress concentration factor)反映应力集中
程度 1 系数试验理分析结果表明：构件截面尺寸改变越急剧构
件孔越缺口角越尖应力集中程度越严重构件应量避免带尖角
孔槽阶梯形杆变截面处圆弧渡量圆弧半径
种材料应力集中反应相塑性材料(低碳钢)具屈服阶段孔边
附应力 maxσ 达屈服极限 Sσ 时该处材料首先屈服应力暂时增外
力继续增增力截面尚未屈服材料承担截面点应力相继
增屈服极限该截面应力逐渐趋均图 29 示塑性材料制作
构件静荷载作考虑应力集中影响脆性材料制成构件情况
材料存屈服孔边应力值达材料强度极限时该处首先
产生裂纹脆性材料制作构件应力集中降低构件承载力
静载荷作应考虑应力集中材料承载力削弱脆性材料部
均匀存少孔隙缺陷例含量片状石墨灰铸铁部均匀性已
造成严重应力集中测定类材料强度指标时已包含部应力集中影响
构件形状引起应力集中处次位类材料做成构件形状改
变引起应力集中考虑
针静载作情况构件受击荷载者周期性变化荷载作时
塑性材料脆性材料应力集中构件强度严重影响造成极
危害 材料力学

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图 28 带圆孔薄板应力集中 图 29 塑性材料应力集中
24 胡 克 定 律
杆件轴拉伸压缩时轴线方尺寸横尺寸发生改变杆件轴线方
变形称变形杆件垂直轴线方变形称横变形
设等直杆原长l 横截面面积 A 图 210 示轴拉力 P 作
杆件长度l 变 1l 伸长量
1ll lΔ −

图 210 轴伸长变形示意图
lΔ 称绝伸长反映总变形量法说明杆变形程度 lΔ l 杆件
正应变
l
lε Δ (25)
材料应力超某限值 Pσ (会讲应力值称材料例极限)
时应力应变成正
Eεσ (26)
胡克定律(Hooke law)根著名英国科学家 Robert Hooke 命名公式
(26)中 E 弹性模量称杨氏模量(Young’s modulus)根位英国科学家第 2 章 杆件拉伸压缩

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Thomas Young 命名ε 量纲量 E 量纲σ 相常单位 6MPa(10 Pa)
9GPa(10 Pa) E 材料性材料均方关公式(25)公
式(26)样适轴压缩情况
公式(21)公式(26)代入公式(25)胡克定律种表达式
ll EAΔ NF (27)
该式出杆长外力变 EA 值越变形 lΔ 越 EA 反映
杆件抵抗拉伸(压缩)变形力称杆件抗拉(抗压)刚度(axial rigidity)
公式(27)适轴压缩情况应时 NF 压力负值伸长量 lΔ 算出
负值杆件缩短
设拉杆变形前横尺寸分 a b 变形尺寸分 1a 1b (图 210)
1aa aΔ − 1bb bΔ −
试验知二横正应变相等
ab
abε Δ Δ′ (28)
试验结果表明应力超材料例极限时横正应变正应变绝
值常数该常数称泊松(Poisson’s ratio) μ 表示量纲量
表示
ε εμ ε ε
′ ′ − (29)

ε με′ − (210)
公式(29)公 式(210)样适轴压缩情况弹性模量 E 样泊松 μ
材料弹性常数材料试验测定绝数性材料 μ 介
0～05 间种常材料 E μ 值列表 21 中
表 21 材料弹性模量泊松
弹性常数 钢合金钢 铝合金 铜 铸铁 木(纹)
(GPa)E 200～220 70～72 100～120 80～160 8～12
μ 025～030 026～034 033～035 023～027 —
例 23 图 211(a)示铅垂悬挂等截面直杆长度l 横截面面积 A 材
料重γ 弹性模量 E 试求该杆总伸长量
解：(1) 计算吊杆力
吊杆轴线坐标轴吊杆底部原点取坐标系横截面位置 x 表示
取横截面取面部分研究象(图 211(b))杆意横截面轴力
( )x AxγNF
(2) 计算吊杆变形
杆轴力变量直接应胡克定律计算变形 x 处截取微段 dx材料力学

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研究受力情况图 211(c)示 dx 极微该微段两面应力认相
等该微段伸长
( )dd x xx EAΔNF
杆总伸长量
( ) 2
0 0 0
d γdd2
ll lxx Axllx xEA EA E
γΔ Δ ∫∫ ∫NF

图 211 例 23 图
例 24 图 212(a)示简易托架尺寸图示杆件横截面面积分
226880mmBCA 21024cmBDA 两杆弹性模量 E200GPaP60kN试求 B 点
位移
解：(1)计算杆力截断 BC BD 两杆结点 B 研究象设 BC 杆轴
力 1NF BD 杆轴力 2NF 图 212(b)示根静力衡方程计算
1
3 45kN4
PNF
2
5 75kN4
P− −NF
(2) 计算 B 点位移公式(27)求出 BC 杆伸长量

33
1
3
45 10 3 10 2511mm200 10 26880
BC
BC
BC
ll EA
×××Δ ××
NF
BD 杆变形量

33
2
3
75 10 5 10 183mm200 10 1024 100
BD
BD
BD
ll EA
−× ××Δ −×× ×
NF
计算出结果负值说明杆件缩短
假想托架结点 B 拆开 BC 杆伸长变形成 1BCBD 杆压缩变形成 2BD
分 C 点 D 点圆心 CB DB 半径作弧相交 B 处该点托架变形第 2 章 杆件拉伸压缩

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B 点位置变形 1BB 2BB 两段极短弧分 BC BD 垂线
代两垂线交点 3B 3BB B 点位移种作图法称切线代圆弧法
现解析法计算位移清楚起见边形 132BB B B 放图 212(c)示
图知：
B 点水位移垂直位移分
1 2511mmxBCBBBlΔ Δ
14 4 2 243
434 334171mm545 54yBDBCBDBBBBBBBBB l l l⎛⎞Δ + ×+ ×Δ×+Δ+Δ××⎜⎟⎝⎠

B 点总位移
22 2 22511 4171 334mmBxylBBΔΔ +Δ +
结构原尺寸相变形称变形变形条件般结构原
形状尺寸计算支座反力力采述切线代圆弧方法确定位移
简化计算学中方利简化计算

图 212 例 24 图
25 材料拉伸压缩时力学性
251 材料拉伸压缩试验
前面讨拉(压)杆计算中涉材料力学性例弹性模量 E 泊松 μ
等面学强度计算中涉外力学性谓力学性指材料外
力作表现出强度变形方面特性通种试验测定出材料力学性
加载方式温度等素关节介绍材料静载(缓慢加载)常温(室温)拉伸
(压缩)试验力学性
常温静载拉伸实验(tensile test)测定材料力学性基试验国家标准(金
属材料室温拉伸试验方法GBT 228—2002)中方法求详细规定金属材材料力学

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料通常采圆柱形试件形状图 213 示长度l 标距(gage length)标距般
两种 5ld 10ld 前者称短试件者称长试件式中 d 试件直径

图 213 金属材料圆柱形试件
低碳钢铸铁两种类型材料工程实际中广泛材料力学
性较典型两种材料代表讨力学性
252 低碳钢拉伸时力学性
低碳钢( Q235)指含碳量 03碳素钢俗称 A3 钢低碳钢试件两端
装入试验机(Testmachine)缓慢加载受拉力产生变形利试验机动绘图
装置画出试件试验程中标距l 段伸长 lΔ 拉力 P 间关系曲线该曲线
横坐标 lΔ 坐标 P 称试件拉伸图图 214 示
拉伸图试样尺寸关拉力 P 试件原横截面面积 A 横截面正
应力σ 作坐标伸长量 lΔ 标距原始长度l 应变ε 作横坐标
获σ ε− 曲线图 215 示称应力―应变图(stressstrain diagram)应力―应变
曲线

图 214 低碳钢试件拉伸图 图 215 低碳钢拉伸时σ ε− 曲线图
低碳钢σ ε− 曲线见整拉伸程分述 4 阶段
(1) 弹性阶段 oa 应力σ a 点应应力时果卸外力变形全部消失
种变形称弹性变形(elastic deformation)阶段称弹性阶段相应 a 点
应力 eσ 表示材料产生弹性变形应力称弹性极限(elastic limit)
弹性阶段开始斜直线 oa′ 表示应力 a′ 点相应应力时应力应变成
正
Eσ ε (211)
符合胡克定律公式(211)知 E 斜线 oa′ 斜率 a′ 点相应应力 pσ 表示第 2 章 杆件拉伸压缩

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应力应变成正应力称例极限(proportional limit)σ ε− 曲线
超 a′ 点 aa′ 段图线微弯 a a′ 极接工程中弹性极限例极限
严格区分低碳钢例极限 200MPapσ ≈ 弹性模量 200GPaE ≈
应力超弹性极限卸外力材料变形部分消失部分残留
残留部分变形称残余变形塑性变形
(2) 屈服阶段bc 应力达b 点相应值时应力增加微范围
波动变形继续增σ ε− 曲线出现条似水锯齿形线段种应力
保持变应变显著增长现象称屈服流动bc 阶段称屈服阶段屈服阶段
高应力低应力分称屈服极限屈服极限屈服极限般
屈服极限稳定规定屈服极限材料屈服强度(yield strength) sσ 表示低碳钢
屈服强度 235MPasσ ≈
试件表面磨光应力达屈服极限时试件表面轴线约 45°
系列条纹图 216 示材料部晶格间相滑移形成称滑移线
(sliplines)前面分析知道轴拉压时轴线成 45°斜截面切
应力见滑移现象切应力达某极限值引起

图 216 低碳钢试件屈服时表面滑移线
(3) 强化阶段 ce 屈服阶段结束材料恢复抵抗变形力增加拉力继
续变形种现象称材料强化 c 点曲线高点 e ce 阶段强化阶段e 点
应应力材料承受应力称极限强度(ultimate strength) bσ 表示
低碳钢强度极限 380MPabσ ≈ 阶段中试件发生明显横收缩
果阶段中意点 d 处逐渐卸掉拉力时应力―应变关系着斜直
线 dd′ 回 d′ 点 dd′ 似行 oa 时材料产生塑性变形(plastic deformation)
横坐标中 od′ 表示残留塑性应变dg′ 表示弹性应变果立重新加载应力―应
变关系体卸载时斜直线 dd′ 变化 d 点曲线 def 变化直断裂
图 215 中出重新加载程中直 d 点前材料变形弹性 d 点开
始塑性变形较图中 oa abcdef′ ddef′ 两条曲线知重新加载时例极限
提高材料强度提高塑性变形降低说明常温材料预拉
强化阶段然卸载重新加载时材料例极限提高塑性降低种现象称冷
作硬化工程中常利冷作硬化提高材料强度例冷拉办法提高钢筋
强度时消利面例冷轧钢板冷拔钢丝时加工硬化降低
材料塑性继续轧制拉拔困难恢复塑性进行退火处理
(4) 局部变形阶段 ef e 点前试件标距段变形通常均匀达 e 点
试件变形开始集中某局部长度处横截面面积迅速减形成颈缩(necking)现象
图 217 示局部截面收缩试件继续变形需拉力逐渐减直 f 点试材料力学

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件断裂

图 217 低碳钢试件颈缩现象
述实验现象知应力达 sσ 时材料会产生显著塑性变形进影响结
构正常工作应力达 bσ 时材料会颈缩导致断裂屈服断裂均属破坏
现象 sσ bσ 衡量材料强度两重指标
材料产生塑性变形力称材料塑性性塑性性工程中评定材料质量优劣
重方面衡量材料塑性指标延伸率δ 断面收缩率ψ 延伸率δ 定义
1 100ll
lδ −× (212)
式中 1l 试件断裂长度l 原长度
断面收缩率ψ 定义
1 100AA
Aψ −× (213)
式中 1A 试件断裂断口面积 A 试件原横截面面积
工程中通常延伸率δ ≥5材料称塑性材料(ductile materials)δ ≤5材料称
脆性材料(brittle materials)低碳钢延伸率δ 25～30截面收缩率ψ 60塑
性材料铸铁陶瓷等属脆性材料
253 材料拉伸时力学性
1 铸铁拉伸时力学性
铸铁拉伸时σ ε− 曲线图 218 示整拉伸程中σ ε− 关系微弯曲线
直拉断时试件变形然工程中较低拉应力似认变形服
胡克定律通常条割线代曲线图 218 中虚线示确定弹性模量 E
样确定弹性模量称割线弹性模量铸铁没屈服现象强度极限 bσ 衡量
强度唯指标
b

图 218 铸铁拉伸时σ ε− 曲线图 第 2 章 杆件拉伸压缩

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2 种材料拉伸时力学性
图 219(a)中出种塑性材料拉伸时σ ε− 曲线特点拉断前
均较塑性变形然应力―应变规律相 16Mn 钢低碳钢样
明显弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形阶段外材料没明显屈服
阶段没明显屈服阶段塑性材料通常产生塑性应变 02时应力作屈
服极限称名义屈服极限 02σ 表示图 219(b)示常材料力学性
表 22 出

(a) (b)
图 219 种塑性材料拉伸时σ ε− 曲线图
表 22 常材料力学性质
材料名称 牌 号 sσ (MPa) bσ (MPa) 5δ () 备 注
Q215 215 335～450 26～31 应旧牌号 A2
Q235 235 375～500 21～26 应旧牌号 A3
Q255 255 410～550 19～24 应旧牌号 A4
普通碳素钢
Q275 275 490～630 15～20 应旧牌号 A5
25 275 450 23 25 号钢
35 315 530 20 35 号钢
45 355 600 16 45 号钢
优质碳素钢
55 380 645 13 55 号钢
15MnV 390 530 18 15 锰钒
低合金钢
16Mn 345 510 21 16 锰 材料力学

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续表
材料名称 牌 号 sσ (MPa) bσ (MPa) 5δ () 备 注
20Cr 540 835 10 20 铬
40Cr 785 980 9 40 铬 合金钢
30CrMnSi 885 1080 10 30 铬锰硅
ZG200400 200 400 25
铸钢
ZG270500 270 500 18
HT150 150
灰铸铁
HT250

250


铝合金 LY12 274 412 19 硬铝
注： 5δ 表示标距 5ld 标准试样伸长率灰铸铁 bσ 拉伸强度极限
254 材料压缩时力学性
般细长杆件压缩时容易产生失稳现象材料压缩试件般做成短粗金属
材料压缩试件圆柱混凝土石料等试件立方体
低碳钢压缩时应力―应变曲线图 220 示便较图中画出拉伸时
应力―应变曲线虚线表示出屈服前两条曲线基重合表明低碳
钢压缩时弹性模量 E 屈服极限 sσ 等拉伸时基相着外力增
试件越压越扁断裂图 221 示法测出压缩时强度极限低
碳钢般做压缩实验力学性拉伸实验确定类似情况般塑性金属材
料中存塑性材料铬钼硅合金钢拉伸压缩时屈服极限相
材料做压缩试验测定压缩屈服极限

图 220 低碳钢压缩时σ ε− 曲线图 图 221 低碳钢压缩时变形示意图
脆性材料拉伸时力学性压缩时较区例铸铁压缩拉伸时应
力―应变曲线分图 222 中实线虚线示图见铸铁压缩时强度极限拉
伸时约拉伸时强度极限 3～4 倍铸铁压缩时轴线约成 45°斜面断裂
图 223 示说明切应力达极限值破坏拉伸破坏时横截面断裂说明拉
应力达极限值破坏脆性材料混凝土石料具述特点抗压强度第 2 章 杆件拉伸压缩

·25·
·25·
远高抗拉强度脆性材料适宜做承压构件

图 222 铸铁压缩时σ ε− 曲线图 图 223 铸铁压缩时断裂示意图
综述塑性材料脆性材料力学性区：
(1) 塑性材料断裂前塑性变形脆性材料直断裂变形
二者基区工程中需锻压冷加工构件承受击荷载构件
宜采塑性材料
(2) 塑性材料抵抗拉压强度基相制作受拉构件制
作受压构件土木工程中出济性考虑常塑性材料制作受拉构件脆性
材料抗压强度远高抗拉强度脆性材料制作受压构件例建筑物基础等
材料塑性脆性着条件变化例塑性材料低温会变
硬脆塑性材料会着时间增加变脆温度应力状态应变速率等会
发生变化
26 强度条件截面设计基概念
前面已讨轴拉伸压缩时杆件应力计算材料力学性进
步讨杆强度计算问题
261 许应力
材料拉伸压缩试验知：脆性材料应力达强度极限 bσ 时会发生断裂塑
性材料应力达屈服极限 sσ ( bσ )时会发生显著塑性变形断裂然容许
构件发生较变形般容许断裂破坏形式屈服出现较
变形破坏种形式材料破坏时应力称极限应力(ultimate stress) uσ 表示塑
性材料通常屈服应力 sσ 作极限应力脆性材料强度极限 bσ 作极限应力
根分析计算构件应力称工作应力(working stress)保证构件足够强
度求构件工作应力必须材料极限应力分析计算时采取简化措施
作构件外力估计定准确实际材料性质标准试样存差异等素
构件实际工作条件偏安全定强度储备强度计算中引材料力学

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·26·
进安全系数(factor of safety) n 设定构件工作时容许值许应力(allowable
stress)[σ ]表示
[] u
n
σσ (214)
式中 n 1 系数许应力低极限应力
确定安全系数时应考虑材质均匀性构件重性工作条件载荷估计准确
性等建筑结构设计中倾根构件材料具体工作条件结合制造类构件
实践验前技术水规定安全系数种材料工作条件
安全系数许应力设计手册规范中具体规定般常温静载塑性材料
取 n ＝15～22脆性材料般取 n 30～50 甚更
262 强度条件
保证构件工作时强度够破坏求构件工作应力超材
料许应力强度条件(strength condition)
maxσ ≤[ ]σ (215)
轴拉伸压缩等直杆强度条件表示
max
max Aσ N F ≤[ ]σ (216)
式中 maxσ 杆件横截面正应力 maxNF 杆件轴力A 横截面面积[ ]σ
材料许应力
截面变化拉(压)杆件(阶梯形杆)需求出段正应力找出值
应强度条件
根强度条件解决类强度问题
(1) 强度校核已知拉压杆截面尺寸荷载材料许应力公
式(216)验算等式否成立进确定强度否足够工作时否安全
(2) 设计截面已知拉压杆承受荷载材料许应力强度条件变成
A ≥ []
max
σ
NF (217)
确定构件需横截面面积值
(3) 确定承载力已知拉压杆截面尺寸材料许应力强度条件变成
maxNF ≤ [ ]A σ (218)
确定构件承受轴力确定构件承担许荷载
应指出果工作应力 maxσ 略微许应力般超许应力
5工程然认允许
例 25 绳索起吊钢筋混凝土图 224(a)示子重量 10kNW 绳索
直径 40mmd 容许应力[ ] 10MPaσ 试校核绳索强度 第 2 章 杆件拉伸压缩

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·27·

(a) (b)
图 224 例 25 图
解：(1) 计算绳索轴力
混凝土研究象画出受力图图 224(b)示根称性易知左右两段绳
索轴力相等记 1NF 根静力衡方程
12sin45WD
NF
计算
1
2 52kN2 WNF
(2) 校核强度
3
211
22
4 20 2 10 563Nmm 5 63MPa [ ] 10MPa314 40 σAdσ NNFF × <π×
绳索满足强度条件够安全工作
例 26 例 24 示结构(图 212(a))中 BC 杆圆截面钢杆直径 d185mmBD
杆 8 号槽钢两杆[σ ]160MPa条件变试校核该托架强度
解：(1)计算杆力
例 24 结果 1 45kNNF
2 75kN−NF
(2) 校核两杆强度
BC 杆横截面面积
2
2π 26880mm4BC
dA 利公式(21)该杆工作
应力

3
1 45 10 16741MPa26880BC
BCAσ × NF
工作应力许应力增幅度
634100160
16041167 ×−
工程增幅 5认允许强度符合求
BD 杆型钢表查横截面面积 1024 2cm 杆工作应力 材料力学

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·28·
[] MPa160MPa2473
102410
1075
2
3
<−
×
×− σσ BD
计算结果表明托架强度足够
例 27 图 225(a)简易起重设备示意图杆 AB BC 均圆截面钢杆直径均
mm36d 钢许应力[] 170MPaσ 试确定吊车许起重量[]W
解：(1) 计算 ABBC 杆轴力
设 AB 杆轴力 1NF BC 杆轴力 2NF 根结点 B 衡(图 225(b))
12cos30 0NNFF+ D
1 sin 30 0WNF − D
解
1223WW−NNFF
式表明AB 杆受拉伸BC 杆受压缩强度计算时取绝值
(2) 求许载荷
公式(218)知 AB 杆达许应力时
1 2WNF ≤ []
2π 36 170 1730kN4A σ ××

W ≤865kN
BC 杆达许应力时
2 3WNF ≤ []
2π 36 170 1730kN4A σ ××

W ≤999kN
两者间取值该吊车许载荷[]865kNW

(a) (b)
图 225 例 27 图 第 2 章 杆件拉伸压缩

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·29·
27 拉压超静定问题
271 超静定问题概念
前面讨问题中约束反力杆件力静力衡方程全部求出种
静力衡方程式求解约束反力力问题称静定问题(statically determinate
problem)工程实践某求需增加约束杆件未知约束反力数目超
列出独立静力衡方程式数目样约束反力力仅静力
衡方程式完全求类问题称超静定问题静定问题(statically indeterminate
problem)例图 226(a)示结构受力图 226(b)示根 AB 杆衡条件
列出三独立衡方程 0X ∑ 0Y ∑ 0CM ∑ 未知力 4 ANF
AY 1NF 2NF 显然仅静力衡方程求出全部未知量该问题超静定
问题未知力数独立衡方程数出数目称超静定次数该问题次超静定
问题

(a) (b)
图 226 次超静定问题受力分析图
(a) 超静定结构示意图(b) 超静定杆受力分析
272 超静定问题解法
超静定问题解法般三方面条件进行考虑：
(1) 静力衡方程
(2) 补充方程(变形协调条件)
(3) 物理关系(胡克定律热膨胀规律等)
现简单问题例说明
例 28 图 227(a)示结构123 杆弹性模量 E横截面面积均 A杆长
均l 横梁 AB 刚度远远 123 杆刚度横梁成刚体横梁作
荷载 P计横梁杆重试确定 123 杆轴力
解：设荷载 P 作横梁 AB 移动 111ACB位置(图 227(b))杆皆受拉伸
设杆轴力分 1NF 2NF 3NF 均拉力(图 227(c))该力系面行力
系两独立衡方程未知力三次超静定问题解决类问题材料力学

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先列出静力衡方程
0Y ∑ 123P++NN NFFF (a)
0AM ∑ 2320aa×+ × NNFF (b)

(a) (b) (c)
图 227 例 28 图
求出三轴力列出补充方程力 P 作三根杆伸长意
间必须保持定互相协调关系种关系称变形协调条件
横梁 AB 视刚体该结构变形协调条件： 111 BCA 三点直线
(图 227(b))设 1lΔ 2lΔ 3lΔ 分 123 杆变形根变形关系列出
变形协调方程
2
31
2 lll ΔΔ+Δ (c)
杆件变形力间存着定关系称物理关系胡克定律应力
超例极限时胡克定律知
1
1
ll EAΔ NF 2
2
ll EAΔ NF 3
3
ll EAΔ NF (d)
物理关系代入变形协调条件建立力间应保持相互关系关系
需补充方程说式(d)代入式(c)
31
2
2
ll
lEA EA
EA
+

NN
N
FF
F
整理
13
22
+ NN
N
FF F (e)
建立补充方程
式(a)式(b)式(e)式联立求解
1
5
6NF P 2
1
3NF P 3
1
6−NF P
计算结果出：12 杆轴力正说明实际方假设致变形伸长第 2 章 杆件拉伸压缩

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3NF 负值说明 3 杆实际方假设相反变形缩短说明横梁 AB 绕着 CB 两点
间某点发生逆时针转动
般说超静定问题中力仅荷载结构形状关杆件抗拉
刚度 EA 关单独增某根杆刚度该杆轴力相应增静定问题
静定问题重区
273 温度应力问题
工程实际中构件结构物会遇温度变化情况例工作条件中温度改变
季节变化时杆件会伸长缩短静定结构变形温度变化时会
杆产生应力超静定结构中约束增加变形受部分全部限制温度变
化时会杆产生应力种应力称温度应力计算温度应力方法荷载作
超静定问题解法相似处杆变形包括两部分温度引起变形
部分外力引起变形
例 29 图 228(a)示杆件 AB两端刚性支承面联结温度变化时固定端限
制杆件伸长缩短AB 两端产生约束反力试求反力 AR BR (图 228(b))

图 228 例 29 图
解：静力衡方程 0X ∑ 出
BA RR (a)
未知支反力两独立衡方程次超静定问题
求解该问题必须补充变形协调条件假想拆右端支座时杆件变形
温度升高 TΔ 时杆件升温产生变形(伸长)
TllT ΔΔ α (b)
式中α 材料线膨胀系数然右端作 BR 杆 BR 作产生变形(缩
短)
EA
lRl B
R
−Δ (c)
式中E 材料弹性模量A 杆件横截面面积事实杆件两端固定长度允
许变化必须
0Δ+Δ RT ll (d)
该问题变形协调条件(b)(c)两式代入式(d)
0−Δ EA
lRTl Bα (e)
材料力学

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TEARB Δ α
轴力 BR−NF 杆中温度应力 T ETAσα−ΔNF
温度变化较时杆温度应力数值十分观例两端固定钢杆
610512 −×α ℃温度变化 40℃时杆温度应力
96 6200 10 125 10 40 100 10 Pa 100MPaT ETσα −Δ× × × × ×
实际工程中避免产生温度应力采取某措施效降低温度
应力例道中加伸缩节钢轨段间留伸缩缝样削弱膨胀约束
降低温度应力
例 210 刚性重横梁 AB O 点处铰支两根抗拉刚度相弹性杆悬吊着
图 229(a)示两根吊杆温度升高 TΔ 时求两杆产生轴力
解：(1) 列静力衡方程截取图 229(b)示研究象设 1 杆轴力 1NF 2
杆轴力 2NF 静力衡方程 0OM ∑
1220aa×+ × NNFF (a)

图 229 例 210 图
(2) 列变形协调方程假想拆两杆横梁间联系允许膨胀时两杆
温度产生变形均 TllT ΔΔ α 已伸长杆横梁相连接时两杆分
引起轴力 1NF 2NF 两杆次变形两杆变形横梁绕 O 点转动终位置
图 229(b)中虚线示图中 1lΔ 2lΔ 分 12 杆产生总变形包括温度轴力
引起变形变形协调条件
2lΔ 2 1lΔ (b)
(3) 列出物理方程
1
1
lllTEA αΔ +ΔNF 2
2
lllTEA αΔ +ΔNF (c) 第 2 章 杆件拉伸压缩

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式(c)代入式(b)
212 lTEA α− ΔNNFF (d)
式补充方程
联立求解式(a)式(d)
1
2
5
EA TαΔ−NF 2 5
EA TαΔNF
1NF 负值说明 1 杆受压力轴力设方相反
274 装配应力
构件制造微误差难免静定结构中种误差会结构形状略
微改变会构件产生附加力超静定结构中情况样杆件尺寸
微差异会杆件产生应力图 230 示静定结构杆 AB 预定尺寸制
作短点杆 AC 连接会引起 A 点位置微偏移图中虚线示
图 231(a)示超静定结构中设杆 3 预定尺寸作短点三杆连接需杆
3 拉长杆 1杆 2 压短强行安装 A′ 点处时杆 3 中产生拉力杆 1杆 2 中产
生压力种安装引起力称装配力相应应力称装配应力计算
装配应力方法解超静定问题方法相似仅关系中考虑尺寸差异面举例
说明


图 230 静定结构装配力
例 28 图 231(a)示桁架杆 3 设计长度l 加工误差δ lδ  已知杆 1
杆 2 抗拉刚度均 11EA杆 3 抗拉刚度 22EA求三杆中轴力 1NF 2NF 3NF

(a) (b)
图 231 例 28 图 材料力学

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解：三杆装配杆 1 杆 2 受压轴力压力分设 12N NF F 杆 3 受拉轴力
拉力设 3NF 取结点 A′研究象受力图图 231(b)示该结点仅两
独立静力衡方程未知力数目 3次超静定问题
根结点 A 衡
0X ∑ 12sin sin 0αα− NNFF (a)
0Y ∑ 31 2cos cos 0αα−− NN NFF F (b)

12NNF F
312cos0α− NNFF (c)
图 231(a)知变形关系
δα Δ+Δ cos
1
3
ll (d)
根物理关系
3
3
22
ll EA
Δ NF (e)
1
1
11cos
ll EA α
Δ NF (f)
式(e)式(f)代入式(d)补充方程
3 1
2
22 11cos
l l
EA EA δα
+N NF F (g)
联立求解(c)(g)两式
2
11
12
311
22
cos
21cos
EA
EAl
EA
αδ
α

+
NNFF
3
11
3
311
22
2cos
21cos
EA
EAl
EA
αδ
α

+
NF
计算结果正轴力方设方相例结果超静定问题
中杆轴力杆间刚度关刚度越杆承受轴力越杆中轴
力该杆横截面面积杆装配应力
装配应力结构未承受载荷前已具应力称初应力种初应力带
利果例装配应力构件工作应力相叠加构件应力更高应避免存
加利例预应力钢筋混凝土构件混凝土初始压应力会构件
工作应力相互抵消部分提高构件承载力 第 2 章 杆件拉伸压缩

·35·
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28 结
1 截面法求拉压杆件力
方法步骤假想杆件截开取脱离体研究象作受力图然
衡方程求解
2 拉压等直杆件横截面正应力公式
Aσ NF
3 拉压杆件应力应变关系(胡克定律)
Eσ ε
轴力常数等直杆写成
ll EAΔ NF
胡克定律应条件材料超例极限
4 拉压杆强度条件
maxσ ≤[ ]σ
运条件进行三方面计算：①强度校核②截面设计③确定容许荷载
5 材料拉伸压缩时力学性
6 超静定结构初步概念求解
7 章重概念力轴力正应力切应力斜截面应力面假设
泊松弹性模量关系抗拉刚度拉压应变应力集中等
29 思 考 题
1 中间荷载作力杆否中间荷载作截面截面法？
2 图 232 示凹槽杆公式(21)凹槽段否适？


图 232 思考题 2 图
3 图 233 示杆钢铝两种材料牢固黏结成问公式(21)否适？ 材料力学

·36·
·36·

图 233 思考题 3 图
4 低碳钢拉伸中应该说应力增加导致试件破坏什σ ε− 曲线中出
现颈缩图中应力反降？
5 图 234 示结构变形结点 A 新位置 A′ 正确？什？
A′ A′ A′ A′

图 234 思考题 5 图
210 题
1 求图 235 示杆指定截面轴力
3
3
3
3
2
2
12
2 1
2
2
1
1
1
1
(a)
(b)
(c)
图 235 题 1 图
2 求图 236 示等直杆指定横截面力画出轴力图 第 2 章 杆件拉伸压缩

·37·
·37·

3 2
3 2
3
3 2
2
1
1
1
1


(a)
(b)
图 236 题 2 图
3 计算题 2 中示杆件横截面应力已知图 236(a)图中横截面面积 2200mmA
图 236(b)中横截面面积分 2
1 200mmA 2
2 300mmA 2
3 400mmA
4 图 237 示杆受重杆长l 密度 ρ 横截面面积 A 试画轴力图
求横截面正应力
5 根边长 50mm 正方形截面杆根边长 100mm 正方形截面杆受
样轴拉力试求横截面应力
6 图 238 示拉杆承受轴拉力 15kNP 杆件横截面面积 2150mmA α 斜截
面横截面夹角试求 30 45α DD 时斜截面正应力切应力

图 237 题 4 图 图 238 题 6 图
7 杆件受图 239 示轴外力作杆横截面面积 A500mm 2 E200GPa求图
示杆变形量


图 239 题 7 图
28 图 240 示结构 A 点处作竖直力 P24kN已知实心杆 AB AC材料力学

·38·
·38·
直径分 d 1 8mm d 2 ＝12mm材料弹性模量 E210GPa试求 A 点铅垂方
位移

图 240 题 8 图
9 图 241 示钢杆两端固定已知 2
1 100mmA 2
2 200mmA E210GPa
6125 10α −×℃试求温度升高 30℃时杆应力


图 241 题 9 图
10 图 242 示刚性梁受均布荷载作梁 AB A 端铰支 B 点 C 点两钢杆
CE BD 支承已知钢杆 CE BD 横截面面积分 2
1 400mmA 2
2 200mmA
钢杆许应力[σ ]160MPa试校核钢杆强度
11 阶梯型杆图 243 示端固定端刚性底面留空隙 008mmΔ
段横截面面积 2
1 40cmA 1 100GPaE 段 2
2 20cmA 2 200GPaE 问：
(1) 力 P 等少时端空隙恰消失
(2) 500kNP 时段应力值少


P

图 242 题 10 图 图 243 题 11 图


第 3 章 剪切扭转
提：章讨杆件剪切扭转两种基变形
剪切杆件基变形杆件横截面力剪力 QF 保证连接件正常
工作般需进行连接件剪切强度挤压强度计算章探讨采实计算法进
行简化计算
扭转杆件基变形杆件横截面力偶矩扭矩 T章根传动
轴功率 P 转速 n 计算杆件承受外力偶矩通截面法计算扭矩探讨
扭矩图绘制方法
章研究薄壁圆筒扭转变形横截面切应力分布薄壁圆筒扭转实
验推出剪切胡克定律探讨切应力互等定理
保证杆件受扭情况正常工作满足强度求外须满足刚度求
章变形关系物理关系静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面
切应力公式基础建立扭转强度条件时研究等直圆杆扭转变形基础
建立扭转刚度条件章探讨杆件斜截面应力分布
章研究等直圆杆扭转仅限线弹性范围材料符合胡克定律面假设
基
实际工程中时会遇非圆截面等直杆扭转问题章简单介绍矩形截面
杆开口薄壁截面杆闭口薄壁截面杆扭转问题
31 剪 切
311 剪力切应力
剪切(shear)杆件基变形计算简图图 31(a)示杆件受相距
相方相反横外力 F 作时着两侧外力间横截面发生相
错动种变形形式称剪切外力 F 足够时杆件便会剪断发生相错动
横截面称剪切面(shear surface)
然外力 F 剪切面发生相错动该截面必然会产生相应力抵抗变
形种力称剪力(shearing force)符号 QF 表示运截面法容易分析
出位剪切面剪力 QF 外力 F 相等方相反图 31(b)示材料力学中通
常规定：剪力 QF 研究分离体意点力矩时针方正逆时针方
负图 31(b)中剪力正 材料力学

·40·
·40·
F
F
F
F F
FQ
Q
(a) (b)
图 31 剪切计算简图
正轴拉伸压缩中杆件横截面轴力 FN 正应力σ 关系样剪力 QF 样
切应力(shearing stress) τ 合成结果剪切变形仅仅发生范围
外力作变形部分附剪切面剪力分布情况十分复杂简化计算
工程中通常假设剪切面点处切应力相等剪力 QF 剪切面面积 AS
切应力均值τ 作计算切应力(称名义切应力)
Q
SAτ F (31)
切应力方正负号规定均剪力 QF 致
312 连接中剪切挤压强度计算
建筑结构干构件组合成构件构件间必须采某种连接件
(connective element)特定连接方式加连接工程实践中常连接件诸铆钉螺
栓焊缝榫头销钉等承受剪切构件然连接件受剪时
伴着变形剪切素已螺栓连接例图 32(a)示
连接处产生破坏包括：两侧钢板接触面压力 F 作螺栓 aa 截面
剪断图 32(b)示螺栓钢板接触面相互挤压产生松动导致失效钢板
受螺栓孔削弱截面处产生塑性变形相应保证连接件正常工作般需
进行连接件剪切强度挤压强度计算钢板抗拉强度计算
F
F F
Fa
a

(a) (b)
图 32 螺栓连接
(a) 螺栓连接钢板(b) 螺栓受力图
考虑连接件变形较复杂工程设计中通常采工程实计算法(engineering
method of practical analysis)进行简化计算面继续螺栓连接例介绍剪切强度挤压
强度实计算钢板抗拉强度计算铆钉连接榫接焊接等连接计算参
阅相关教材
1 剪切强度计算
图 32(a)中螺栓连接两块钢板承受力 F 作显然螺栓受力情况第 3 章 剪切扭转

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aa 截面发生相错动发生剪切变形前述剪切面切应力
Q
SA Fτ
保证螺栓剪断必须切应力τ 超材料许切应力[]τ 剪切强度
条件表示
[]Q
SA ≤τ τF (32)
许切应力[]τ 通实验确定：剪切实验中剪切破坏时材料极限切应力
uτ 安全数该种材料许切应力[]τ 钢材工程常取
[ ] (075 08) [ ]σ∼τ []σ 钢材许拉应力数连接件说剪切变形剪切
强度
2 挤压强度计算
图 32(a)中螺栓钢板相接触侧面会发生相互间局部承压现象称
挤压(bearing)接触面压力称挤压力(bearing force)符号 Fbs 表示挤
压力足够时螺栓压扁钢板孔缘处压皱导致连接松动失效工程设
计中通常假定挤压面应力均匀分布挤压力根受外力静力衡条件求
挤压面名义挤压应力
bs
bs
bsAσ F (33)
式中Abs 计算挤压面(effective bearing surface)面积接触面面(键连接中键轴
接触面)时计算挤压面面积 Abs 取实际接触面面积接触面圆柱面(螺栓连接中
螺栓钢板接触面)时计算挤压面面积 Abs 取圆柱面直径面投影面积图 33(a)
示
实际挤压应力(bearing stress)接触面分布复杂接触面形状
材料性质直接相关根理分析圆柱状连接件钢板接触面理挤压应力圆
柱面分布情况图 33(b)示式(33)计算名义挤压应力接触面中点处
理挤压应力值相
直径投影面
实际接触面
F σbs

(a) (b)
图 33 挤压面面积理挤压应力分布
(a) 挤压面面积计算(b) 理挤压应力分布 材料力学

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防止连接松动失效必须挤压应力超材料许挤压应力[ ]bsσ
挤压强度条件表示
[]bs
bsbs
bsAσ σ ≤F (34)
材料许挤压应力[ ]bsσ 应根实验结果确定钢材工程常取
[ ]bs (17 20) [ ]σ σ∼ [ ]σ 钢材许拉应力必须注意连接件连接件材
料时应选取抵抗挤压力较弱材料许挤压应力[ ]bsσ
例 31 螺栓接头图 34 示已知 F40kN螺栓钢板材料均 Q235 钢许
切应力[ ]τ 130MPa许挤压应力[ ]bsσ 300MPa试计算螺栓需直径
10
10
20
d
F F

图 34 例 31 图
解：截面选择问题先根剪切强度条件式(32)求螺栓直径根挤
压强度条件式(34)校核
首先分析螺栓受力显然螺栓两剪切面受力 F
作截面法剪切面剪力
Q 2 FF
剪力关已知数代入剪切强度条件式(32)

3
Q 6
2
2S
240102 130 10 Paπ π
4
Add
×× ××
≤τ
F
F
求螺栓直径

3
6
24010 0014 m 14 mmπ 130 10d ×× ××
≥
校核挤压强度显然静力衡条件知螺栓受挤压力
FbsF
计算挤压面面积 Abs 螺栓直径截面面积
bsA dδ
相关数代入挤压强度条件式(34)
[]
3
6bs
bs bs3
bs
40 10 143 10 Pa 143 MPa20 10 0014Adδ −
× × <××σ σF F
见螺栓直径取 14mm 满足挤压强度条件 第 3 章 剪切扭转

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32 杆件扭转时力扭矩
扭转(torsion)杆件基变形计算简图图 35(a)示：相等
方相反作面垂直杆件轴线外力偶(矩 Me)作直杆意两横截面(
图中 mm− 截面 nn− 截面)绕轴线相转动杆件轴线保持直线表面
线成螺旋线种变形形式称扭转
工程中受扭杆件常见例机械中传动轴汽车转轴土工实验
钻杆建筑结构中雨篷梁等单纯发生扭转杆件果杆件变形扭转
次变形忽略计扭转变形进行强度刚度计算果杆件
扭转外变形(雨篷梁受弯钻杆受压)通组合变形计算
类问题第 9 章讨
研究受扭杆件应力变形首先计算轴横截面力
工程中常传动轴例知道传递功率 P 转速 n作
轴外力偶矩通功率 P 转速 n 换算功率秒钟做功
33
ee
2 π10 10 60
nPM Mω−−× ×× ×
作轴外力偶矩
e 9 549 PM n (35)
式中功率 P 单位 kW外力偶矩 Me 单位 N·mω 单位 rads转速 n 单
位 rmin
杆件外力偶矩确定截面法计算意横截面力图 35(a)示圆
轴欲求 mm 截面力假设 mm 截面圆轴分二取左半段分析
图 35(b)示衡方程
x 0M ∑ e 0TM−

eTM
T x
m
mn
n
m
m
M M Mee e

(a) (b)
图 35 扭转计算简图
T 横截面力偶矩称扭矩(torsional momenttorque)果取圆轴右半段
分析横截面求扭矩数值相等方相反两段杆求
横截面扭矩正负号致材料力学中通常规定：右手螺旋法确定扭矩矢材料力学

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量果扭矩矢量指截面外法方致扭矩正反负
杆件作外力偶矩时表现轴线横截面扭矩变化情况
确定扭矩位置仿轴力图绘制方法绘制扭矩图(torque diagram)
例 32 传动轴图 36(a)示轴转速 n500rmin动轮输入功率 PA
600kW三动轮输出功率分 PBPC180kWPD240kW试计算轴扭
矩作扭矩图
解：首先计算外力偶矩(图 36(a))
36009 549 1146 10500AM ××N·m1146kN·m
31809 549 344 10500BCMM × ×N·m344kN·m
32409 549 458 10500DM ××N·m458kN·m

然轴计算简图(图 36(b))计算段轴扭矩先考虑 AC 段截面
22 处截开取截面左侧进行分析图 36(c)示假设 T2 正衡方程
0xM ∑ 2 0BAMMT− +

2 1146 344ABTM M− − 802kN·m
理 BA 段
1 344BTM− − kN·m
CD 段
3 458DTM kN·m
注意求截面扭矩时通常采设正法假设扭矩正
结果负值话说明该截面扭矩实际方假设方相反
根扭矩做出扭矩图图 36(d)示图见扭矩发生 AC 段
值 802kN·m

(a) (b)

粗矩图 (kN·m)

(c) (d)
图 36 例 32 图 第 3 章 剪切扭转

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33 薄壁圆筒扭转
讨等直圆杆扭转前先研究较简单扭转问题——薄壁圆筒扭转
设薄壁圆筒壁厚δ 远均半径 r两端承受外力偶矩 Me图 37(a)
示圆筒横截面扭矩截面应力微面积 dA 积合成横截
面应力切应力
横截面圆周点处切应力变化规律圆筒受扭前筒表面画出组
等间距线圆周线形成系列矩形方格然两端施加外力偶矩 Me圆筒
发生扭转变形时观察：
(1) 圆筒表面线变形保持直线倾斜微角度γ
(2) 圆周线形状间距保持变绕轴线旋转角度
筒壁薄圆周线转动视整横截面绕轴线转动圆筒两端截面间
相转动角度称相扭转角(relative angle of twist)符号ϕ 表示图 37(b)示
表示杆扭转变形外圆筒意两横截面间相转动筒表面矩
形方格直角改变相角度γ 图 37(c)示种改变量γ 称切应变
(shearing strain)横截面切应力作结果薄壁圆筒壁厚δ 远均半径
γ 似认切应力壁厚变
分析知薄壁圆筒扭转时横截面处切应力τ 值均相等方
圆周相切截面扭矩 T 该截面应力τ 微面积 dA 积合成图 37(d)
示知
2d2π 2πA
T Arrrrτ δτ δ τ⋅∫

22π
T
rτ δ (36)
薄壁圆筒表面切应变γ 相距 l 两端面间相扭转角ϕ 间关系式
图 37(b)示关系求
r
l
ϕγ (37)
式中切应变γ 量纲量
M Me e
da
b c
δ

φγ
γ
M
a＇
b＇ c＇
d＇
e eM
b＇
c＇
d＇
a＇ γ
r
x
τdAeM

(a) (b) (c) (d)
图 37 薄壁圆筒扭转变形 材料力学

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34 剪切胡克定律切应力互等定理
341 剪切胡克定律
通薄壁圆筒扭转实验材料纯剪应力状态应力应变间关系
零开始逐渐增加外力偶矩 Me(数值等扭矩 T)记录相应相扭转
角ϕ 发现外力偶矩定范围时相扭转角ϕ 扭矩 T 间成正图 38(a)
示利式(36)式(37)切应变γ 切应力τ 间线性关系图 38(b)
示表达式
Gτ γ (38)
式称材料剪切胡克定律(Hooke law in shear)式中例常数 G 称材料切
变模量(shear modulus)称剪切弹性模量量纲弹性模量 E 量纲相国际单
位制中单位常取 MPa GPa
τ
OO
T
γφ
(a) (b)
图 38 T ϕ− 曲线τ γ− 曲线
(a) T ϕ− 曲线 (b) τ γ− 曲线
章提性材料两弹性常数——弹性模量 E 泊松 μ 证明
E μ G 间存关系
2(1 )
EG μ + (39)
式表明性材料三弹性常数两独立表 31 出常
材料 E μ G 值
τ ― γ 曲线切应力τ 达材料剪切例极限 Pτ 会出现屈服现象扭
矩变相扭转角继续增屈服终止会出现强化现象(注意防止薄壁发生皱
褶)说剪切胡克定律式(38)切应力超材料例极限值适
表 31 常材料 E μ G 值
材料名称 E(GPa) μ G(GPa)
碳钢 196～206 024～028 785～794
合金钢 194～206 025～030 785～794
灰口铸铁 113～157 023～027 441
青铜 113 032～034 412 第 3 章 剪切扭转

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续表
材料名称 E(GPa) μ G(GPa)
硬铝合金 696 — 265
混凝土 152～358 016～018 —
橡胶 000785 0461 —
木材(纹) 98～118 00539 —
木材(横纹) 049～098 — —
342 切应力互等定理
承受扭转薄壁圆筒两横截面两径截面两圆柱面截取微
正六面体称单元体边长分 dxdy dz图 39(a)示
现分析单元体侧面应力左右两侧面(圆筒横截面)切应
力τ 方行 y 轴前两面(圆筒表面行面)应力
单元体处衡状态衡方程 0yF ∑ 知左右两侧面作剪力 ddyzτ
相等方相反组成力偶矩 (dd)dyz xτ 单元体转动趋
满足外两衡条件 0xF ∑ 0zM ∑ 单元体两面(圆筒径
截面)必相等方相反剪力 ddx zτ ′ 组成矩 (dd)dx zyτ ′ 力偶
衡条件
(dd)d(dd)dx zy yzxτ τ′

τ τ′ (310)
式表明两相互垂直面切应力必然成存数值相等两者垂
直两面交线方均指背离该交线切应力互等定理(theorem of
conjugate shearing sress)该定理正应力存情况样适具普遍意义
图 39(a)示单元体两相互垂直面切应力正应力种应力
状态称纯剪切应力状态(shearing state of stresses)简称纯剪应力状态薄壁圆筒等直
圆杆发生扭转时均处纯剪应力状态种单元体前两面应力
改面图加表示图 39(b)示
x
z
x
y
d
d
τ′
τ
τ
dx
y
z
τ
τ′
τ′
τ
τ′

(a) (b)
图 39 切应力互等
(a) 单元体纯剪应力状态(b) 面图表示 材料力学

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35 等直圆杆扭转
351 横截面应力
1 横截面应力
前述等直圆杆发生扭转时处纯剪应力状态横截面切应力正应
力推导圆杆扭转时横截面切应力公式三方面着手分析：先变形关
系找出切应变变化规律利物理关系找出切应力横截面分布规律根
静力学关系导出切应力公式
1) 变形关系
研究圆杆横截面切应变变化规律表面画线圆周线图 310(a)
示杆两端施加外力偶矩 Me 发现图 310(b)示现象：圆周线形状
间距均保持变变形条件线似直线倾斜微角度γ
根观察现象合理假设：扭转时横截面刚性面样围绕杆轴线
转动说圆杆横截面变形保持面形状变半径保持
直线相邻两横截面间距离变假设称面假设(plane assumption)实验表
明杆扭转变形等直圆杆圆周线垂直轴线面面假设仅适
等直圆杆假设推导出应力变形公式已实验理证实
Me eM

Me eM
γ

(a) (b)
图 310 等直圆杆扭转变形
(a) 画网格圆杆(b) 受外力偶矩圆杆变形
现假设圆杆截取段长 d x 杆段进行分析面假设知杆段变形
情况图 311(a)示：截面 nn 相截面 mm 转角度 dϕ 半径 O2B
转动角度 dϕ 时截面转动圆杆表面线 AB 倾斜微角度γ
A 点处切应变(参阅 33 节)半径点 D 线 CD 倾斜微角度 ργ
C 点处切应变图 311(a)示关系
dtan d
DD
xCDρρ
ρ ϕγγ ′≈

d
dxρ
ϕγρ (a) 第 3 章 剪切扭转

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式中 ρ D 圆心 O2 距离 d
dx
ϕ 表示相扭转角ϕ 轴线变化率截面
常量式表明等直圆杆横截面点处切应变正该点圆心距离
2) 物理关系
线弹性范围剪切胡克定律成立切应力切应变成正式(a)代入剪切胡克
定律式(38)横截面距圆心 ρ 处切应力 ρτ 变化规律表达式
d
dGGxρρ
ϕτγ ρ (b)
式表明半径 ρ 圆周点处切应力 ρτ 值相等半径 ρ 成正
切应变垂直半径面切应力方垂直半径切应力半径变化规
律图 311(b)示
3) 静力学关系
横截面切应力变化规律表达式(b)中 d
dx
ϕ 尚未确定需进步考虑静力学关系
求出切应力圆杆横截面取微面积 dA图 311(b)示切力 dAρτ
整截面切力圆心力矩该横截面扭矩 T
dA
A Tρρτ ∫ (c)
式(b)代入式(c)整理
2d dd A
GATx
ϕ ρ ∫ (d)
定义
2
p dA
I Aρ ∫ (311)

p
d
d
T
x GI
ϕ (312)
pI 称横截面圆心极惯性矩(polar moment of inertia of an area)横截面
量关单位 m4式(312)代入式(b)
p
T
Iρ
ρτ (313)
式等直圆杆扭转时横截面点处切应力公式
图 311(b)式(313)知横截面周边点处 rρ 处切应力达值

max
p
Tr
Iτ (314)
定义
p
p
IW r (315)
材料力学

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·50·
max
p
T
Wτ (316)
式中Wp 称扭转截面系数(section modulus of torsion)单位 m3
n
n
m
m
A
O
D＇
DC
B＇
BA
TTT
O O1 2
τ
τ max
ρ
d
dφ
ργ γ
ρ
ρ
dx

(a) (b)
图 311 等直圆杆扭转时切应变切应力
(a) 等直圆杆扭转时切应变(b) 等直圆杆扭转时切应力分布
切应力公式推导面假设材料符合胡克定律公式适线
弹性范围等直圆杆包括实心圆截面杆空心圆截面杆
实心圆截面图 312(a)示极惯性矩(参阅附录 1)
4
p
π
32
dI (317)
式代入式(315)实心圆截面扭转截面系数
3
pp
p
π
2 16
II dW rd (318)
空心圆截面图 312(b)示空心圆截面设想圆面积减圆面积
利式(317)
4
44 4
p
ππ()(1)32 32
DIDd α−− (319)
空心圆截面扭转截面系数
44 3
p 4
p
π ()π (1 ) 2 16 16
I Dd DW DD α− − (320)
式中 d
Dα 空心圆截面外直径
max maxττ
D
dd

(a) (b)
图 312 圆截面空心圆截面切应力分布 第 3 章 剪切扭转

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例 33 长度 l 两根受扭圆轴实心圆轴空心圆轴图 313 示
两者材料相圆轴两端承受 Me 外力偶矩圆轴外表面线倾斜角
度相等实心轴直径 D1空心轴外径 D2径 d2 2209dDα 试
求两杆外径 12D D 两杆重量
Me eM
eM eM
dD
D1
22
l
l

图 313 例 33 图
解：圆轴外表面线倾斜角度相等两轴横截面外边缘处切应变相等

1max 2 maxγγ
两轴材料相 G1G2剪切胡克定律式(38)
1max 2 maxττ
两轴扭转截面系数分
3
1
p1
π
16
DW

3
42
p2
π (1 )16
DW α−
两式分代入式(316)两轴切应力
11
1max 3
p11
16
π
TT
WDτ

22
2max 34
p2 2
16
π (1 )
TT
WDτ α −
根面求 1max 2 maxττ T1T2Me α 09 代入整理
33 441
2
110907D
D α− −
两轴材料长度均相两轴重量横截面面积 材料力学

·52·
·52·
2
21
11
22 2
2222
2
π
074 37π (1 ) 1 09(1 )4
DAD
ADD αα
−−−

见切应力相等情况空心圆轴实心圆轴节省材料空心
圆轴工程中广泛应例汽车飞机传动轴采空心轴减轻零件
重量提高运行效率
2 强度条件
受扭杆件强度条件(strength condition)：杆件横截面工作切应力 maxτ
超材料许切应力[]τ
[ ]maxτ τ≤ (321)
等直圆杆工作切应力发生扭矩横截面(危险截面)边缘
点(危险点)处式(316)强度条件表达式写
[]max
max
p
T
Wτ τ ≤ (322)
变截面圆杆阶梯状圆轴工作切应力定发生扭矩截
面需综合考虑扭矩 T 扭转截面系数 Wp 确定
利强度条件表达式(322)实心(空心)圆截面杆进行强度计算强度校
核截面选择许荷载计算
实验表明静荷载作材料扭转许切应力许拉应力间存着定
关系例钢材[ ] (05τ ～06[ ]σ 铸铁[ ] (08τ ～1) [ ]σ 说通常根
材料许拉应力确定许切应力传动轴类构件作
非静荷载考虑素(忽略次影响进行简化计算)许切应力
值较静荷载略低
例 34 例题 32 中传动轴(图 36(a))空心圆截面轴外直径α 06材
料许切应力[ ] 60 MPaτ 试强度条件选择轴直径
解：例题 32 中已求 Tmax802kN·m已知数代入式(320)
33
443
p
ππ(1 ) (1 06 ) 00544 π16 16
DDWDα−−
式代入式(322)整理空心圆轴强度条件需外直径
[]
33 3
max
6
802 10 0035 m 35 mm00544ππ(60 10 )
TD τ
××
例 35 阶梯形圆轴图 314(a)示轴直径分 d150mmd280mm
扭转力偶矩分 Me108kN·mMe212kN·mMe32kN·m材料许切应力
[ ] 40MPaτ 试校核该轴强度
解：截面法求出圆轴段扭矩做出扭矩图图 314(b)示
第 3 章 剪切扭转

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·53·
dd
DCA B
Me1 2eM 3eM21
(a)
(b)
2020
08
kN·m)（

图 314 例 35 图
扭矩图见CD 段 DB 段直径相 DB 段扭矩 CD 段两段
校核 DB 段强度AC 段扭矩然 DB 段直径 DB 段 AC
段强度需校核
AC 段
() []
3
6AC AC
max 3331p1
08 10 16 326 10 Pa 326 MPaπ π 50 10
16
TT
dWτ τ
−
×× × <
××

DB 段
() []
3
6DB DB
max 3332p2
21016 199 10 Pa 199 MPaπ π 80 10
16
TT
dWτ τ
−
×× × <
××

计算结果表明该轴满足强度求
352 斜截面应力
圆杆扭转实验中发现样种现象：低碳钢试件破坏杆件横截面
断开图 315(a)示铸铁试件破坏着杆轴线约成 45°角螺旋形曲面
断开图 315(b)示分析种现象成必研究圆杆扭转时斜截面
应力

(a) (b)
图 315 扭转破坏
(a) 低碳钢扭转破坏(b) 铸铁扭转破坏
34 节中讨纯剪应力状态单元体采面图表示(图 39(b))现
单元体取垂直前面斜截面 ef外法线 n 方 x 轴成α 角图
316(a)示α 角符号规定： x 轴方外法线 n 逆时针方转动时取正值材料力学

·54·
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时针方转动时取负值
求斜截面 ef 应力应截面法假想 ef 面截开左边部分 edf 进行分析
图 316(b)示 fdde 面作已知切应力τ τ′ef 面作未知正应力 ασ
切应力 ατ 选取参考坐标轴ξ η 分行垂直 ef 面设 ef 面面积 dA
fd 面 de 面面积分 dAcosα dAsinα 衡方程 0Fξ ∑ 0Fη ∑ 分
d(dcos)cos(dsin)sin0AA Aαττααταα′−+

d(dcos)sin(dsin)cos0AA Aαστααταα′++
d
f
ee
d c
ba
f
x
n
xτ
τ′
τ′ τ′
τ
τ
τ
α
α
α αα
σα
ξ
η

(a) (b)
图 316 斜截面应力
(a) 纯剪应力状态取斜面(b) 斜截面应力分析
利切应力互等定理τ τ′ 整理两式斜截面正应力切应力
计算公式
sin 2ασ τα− (a)

cos 2ατ τα (b)
式(b)知α 0°α 90°截面(单元体四侧面)切应力达极值
均τ α ±45°斜截面切应力 0式(a)知α ±45°斜
截面正应力达极值
max45σ στ− +D

min45σ στ+ −D
说该两截面正应力分 ασ 中值值拉应力压
应力绝值等τ 图 317 示
必须说明结仅限等直圆杆扭转情况纯剪应力状态
普遍特点
根分析解释材料试件扭转实验中出现结果：低碳钢等塑性
材料剪切强度低拉伸强度试件扭转破坏切应力作结果铸铁等脆性
材料拉伸强度低剪切强度试件扭转破坏拉应力作结果 第 3 章 剪切扭转

·55·
·55·
d c
ba
4
5
°
4
5
°
x
τ′
τ′
τ
τ
maxσ
maxσ
σ min
σ min

图 317 正应力切应力极值
铸铁等脆性材料制成杆件应斜截面拉应力建立强度条
件考虑斜截面拉应力横截面切应力间固定关系工程
惯采式(321)进行强度计算形式然模糊材料强度破坏实质实际
样
353 等直圆杆扭转变形
1 扭转变形
等直圆杆扭转变形通两横截面相扭转角ϕ 度量前面 d
d x
ϕ 表
达式(312)改写
p
ddT xGIϕ
式杆轴线方积分
0
P
ddl
l
T xGIϕϕ∫∫ (323)
两端承受外力偶矩 Me 作等直圆杆横截面扭矩 T 均等 Me
圆杆材料制成 G Ip 常量式相距 l 两端面间相扭
转角
p
Tl
GIϕ (324)

e
p
M l
GIϕ (325)
ϕ 单位弧度(rad)式中 GIp 称等直圆杆扭转刚度(torsion rigidity)相扭
转角ϕ 反扭转刚度 GIp段扭矩等横截面圆杆杆两端相扭转
角ϕ
1 P
n
ii
i i
Tl
GIϕ

∑ (326)
情况杆件长度时横截面扭矩相时两端面材料力学

·56·
·56·
间相扭转角ϕ 法表示出圆杆扭转变形程度工程中通常采单位长度
扭转角(torsional angle perunit length)度量圆杆扭转变形单位长度扭转角扭转
角杆长度变化率ϕ′ 表示定义
P
d
d
T
x GI
ϕϕ′ (327)
式中ϕ′ 单位 radm
例 36 实心钢制圆截面杆图 318 示已知 MA900N·mMB1700N·m
MC800N·ml1400mml2600mm杆直径 d180mmd260mm钢切变模量
G80GPa试求截面 C 相截面 A 扭转角 ACϕ
CA B
MMM CBA d d1
2
ll12

图 318 例 36 图
解：首先截面法求出 AB 段 BC 段扭矩
1 900ATMN·m
2 800CTM− − N·m
AB 段 BC 段扭矩横截面分计算截面 B 相截面 A
扭转角 ABϕ 截面 C 相截面 B 扭转角 BCϕ 两者代数截面 C 相截面 A
扭转角 ACϕ 扭转角转取决扭矩转
3
311
934P1
900 400 10 112 10 radπ80 10 (80 10 )32
AB
Tl
GIϕ
−
−
−
×× ×
××××

3
322
934P2
800 600 10 472 10 radπ80 10 (60 10 )32
BC
Tl
GIϕ
−
−
−
−× × −×
××××

截面 C 相截面 A 扭转角 ACϕ
33 3112 10 472 10 360 10 radAC AB BCϕϕϕ −− −+×− ×−×
转 MC 相
2 刚度条件
等直圆杆扭转时满足强度条件外时需限制扭转变形满
足刚度条件(stiffness condition)例机床轴扭转角会影响机床加工精度机器传
动轴扭转角会机器产生较强振动工程中刚度求通常规定单位长度扭
转角值 maxϕ′ 超许单位长度扭转角[]ϕ′
max []ϕ ϕ′ ′≤ (328)
实际工程中[]ϕ′ 单位通常采°m值根轴工作求定例精密机
器轴[]ϕ′ 值般取 015°m～05°m般传动轴[]ϕ′ 值般取 05°m～第 3 章 剪切扭转

·57·
·57·
10°m精度求高轴[]ϕ′ 值放宽 2°m 左右类轴许单位长度
扭转角[]ϕ′ 具体数值参阅关机械设计手册
必须注意式(327)求ϕ′ 值单位 radm应先单位换算
°m代入式(328)
max
P
180 []π
T
GI ϕ′× ≤ (329)
利式实心(空心)圆截面杆进行刚度计算刚度校核截面选择
许荷载计算
例 37 例题 34 中材料切变模量 G80GPa许单位长度扭转角[]ϕ′ 09°m试
选择轴直径
解：例题 34 中强度条件已求该空心圆轴外直径 35mm现
刚度条件计算轴外直径
例题 32 中已求 Tmax802kN⋅ m已知数代入式(319)
44
444
p
ππ(1 ) (1 06 ) 00272π32 32
DDI Dα−−
式代入式(329)满足刚度条件需外直径
4
max
4 3
92
180 1
00272ππ[]
180 802 10
80 10 00272 π 09
0093 m 93 mm
TD G ϕ××′×
×× ×× ××


然空心圆轴外直径 35mm 满足强度条件考虑刚度条件
求该圆轴外直径必须 93mm
例 38 例题 35 中材料切变模量 G80GPa许单位长度扭转角[]ϕ′ 1°m试
校核该轴刚度
解：例题 35 中已进行强度校核计算结果表明该轴满足强度求现进行
刚度校核
例题 35 中已求出圆轴段扭矩扭矩图图 314(b)示
扭矩图见CD 段 DB 段直径相 DB 段扭矩 CD 段两段
校核 DB 段刚度AC 段扭矩然 DB 段直径 DB 段 AC
段刚度需校核
AC 段

[]
3
max
934P1
180 08 10 180
ππ 80 10 (50 10 ) π32
093 m
ACT
GIϕ
ϕ
−
××′ ×
× ×× × ×
′ 材料力学

·58·
·58·
DB 段

[]
3
max
934P2
180 20 10 180
ππ 8010 (8010) π32
036 m
BDT
GIϕ
ϕ
−
××′ ×
× ×× × ×
′
计算结果表明该轴满足刚度求
例 39 两端固定圆截面杆 AB 图 319(a)示截面 CD 处分作扭转
力偶矩 M1 M2已知杆扭转刚度 pGI 试求 AB 两端支反力偶矩
解：题独立静力学衡方程 0xM ∑ 两未知支反力偶 MA
MB扭转次超静定问题(statically indeterminate problem)扭转超静定问题
综合运变形相容条件力变形间物理关系静力学衡条件求解
解固定端 B 余约束加相应未知力偶 MB图 319(b)示图 319(a)
出B 作固定端扭转角应 0变形方程
0Bϕ
固定端 B 扭转角作 M1M2 MB 分引起式写
12
0BBM M Mϕϕ ϕ ϕ +− (a)
杆处线弹性范围时扭转角力偶矩间物理方程
1
1
p
M
M l
GIϕ (b)
2
22
p p
·2 2
M
M lMl
GI GIϕ (c)
p p
·3 3
B
B B
M
M lMl
GI GIϕ (d)
式(b)式(c)式(d)代入式(a)补充方程
12
12
33BM MM+ (e)
静力学衡方程 0xM ∑
12ABM MMM++ (f)
式(e)代入式(f)
12
21
33AM MM+
A BC D
M 1 M 2
lll
(a)
BA DC
M 1 M 2 M B
x
l l l
(b)
图 319 例 39 图 第 3 章 剪切扭转

·59·
·59·
36 非圆截面等直杆扭转
实际工程中时会遇非圆截面等直杆扭转问题例建筑结构中受
扭构件非圆截面构件前面提雨篷梁扭转矩形截面杆扭转问题
航空结构中会采薄壁截面杆件承受扭转
节分析等直圆杆扭转问题时面假设前提非圆截面等直杆扭
转时横截面会产生翘曲(warping)图 320 示保持面面假设成立
等直圆杆扭转时计算公式适非圆截面等直杆扭转问题类
问题求解般采弹性力学方法

图 320 矩形截面杆扭转
非圆截面等直杆扭转分扭转(free torsion)约束扭转(constrained torsion)
杆件横截面翘曲时称扭转称纯扭转(pure torsion)时杆件意
两相邻横截面翘曲情况完全相纤维长度保持变横截面切应
力正应力杆件受约束翘曲时称约束扭转时横截面翘曲
情况相横截面引起附加正应力般实心截面杆约束扭转引起
正应力忽略计薄壁截面杆约束扭转引起正应力忽略
节简单介绍矩形截面杆薄壁截面杆扭转问题
361 矩形截面杆
弹性力学分析结果表明矩形截面杆扭转时横截面切应力分布具
特点：
(1) 截面周边点处切应力方必定周边相切截面顶点处切应力必定 0
结切应力互等定理推出
(2) 切应力发生长边中点处短边中点处切应力该边切应力
值
图 321 示切应力 maxτ 单位长度扭转角ϕ′ 短边中点处切应力 1τ 根
公式计算： 材料力学

·60·
·60·
max
t
T
Wτ (330a)
t
T
GIϕ′ (330b)
1maxτ ντ (330c)
b
hτ
τ 1
max

图 321 矩形截面杆扭转时切应力分布
式中Wt 称扭转截面系数It 称截面相极惯性矩(equivalent polar moment of an
area)GIt 称非圆截面杆扭转刚度WtIt 圆截面 pW pI 量纲相
意义完全矩形截面 WtIt 截面尺寸间关系
2
tWhbα (331a)
3
tI hbβ (331b)
系数α β ν 矩形截面边长 hb 关值查表 32
表 32 矩形截面杆扭转时系数
hb 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100 ∞
α 0208 0219 0231 0246 0258 0267 0282 0291 0299 0307 0313 0333
β 0141 0166 0196 0229 0249 0263 0281 0291 0299 0307 0313 0333
ν 1000 0930 0858 0796 0767 0753 0745 0743 0743 0743 0743 0743
表出 hb>10 狭长矩形截面 1
3αβ ≈ 0743ν
般矩形相区现δ 表示狭长矩形短边长度 1
3αβ ≈ 代入式(331)
2
t
1
3Whδ (332a)
3
tt
1
3I hWδ δ (332b)
式代入式(330)狭长矩形截面切应力单位长度扭转角 第 3 章 剪切扭转

·61·
·61·
max 2
3T
hτ δ (333a)
3
3T
Ghϕ δ
′ (333b)
狭长矩形截面切应力分布图 322 示切应力长边点处方均长边
相切数值两端部分外均相等
h
d
图 322 狭长矩形截面杆扭转切应力分布
例 310 矩形截面等直杆横截面长边长度 400mm短边长度 30mm杆长
2m杆两端承受 6kN·m 扭转力偶材料许切应力[τ]60MPa
切变模量 G80GPa许单位长度扭转角[]ϕ′ 15°m试校核该杆强度刚度
解：该杆横截面边长 hb40030>10作狭长截面矩形杆已知数代入式
(333)
3
6
max 22
3361050 10 Pa 50MPa [ ]04 003
T
hτ τδ
×× × <×
3
39 3
336100021rad80 10 04 003
12 m [ ]
T
Ghϕ δ
ϕ
××′ ×××
′
计算结果表明该杆满足强度条件刚度条件
362 开口薄壁截面杆
工程中减轻结构重提高材料利率常常会采薄壁截面杆件
果薄壁截面杆截面壁厚中线条封闭曲线折线称开口薄壁截面杆
(thinwalled bar with open cross section)图 323 示截面开口薄壁截面工程
常类轧制型钢(角钢工字钢槽钢等)截面认开口薄壁截面
开口薄壁截面杆横截面作干狭长矩形组合截面扭转情
况薄壁截面发生转动薄壁截面变形前面投影形状认变
杆件扭转时截面组成部分单位长度扭转角整横截面单位长度扭转
角ϕ′ 相变形相容条件
iϕ ϕ′ ′ (i12…n) (a) 材料力学

·62·
·62·
式中 iϕ′ 截面第 i 组成部分单位长度扭转角式(330b)补充方程
tt
i
i
T T
GI GI (i12…n) (b)
式中 tiiI T 分截面第 i 组成部分相极惯性矩承受扭矩 tI T 整截
面相极惯性矩承受扭矩

图 323 开口薄壁截面
外静力学关系
1
n
i
i
TT

∑ (c)
联立式(b)式(c)求
tt
1
n
i
i
I I

∑ (d)
截面组成部分作狭长矩形截面根式(332b)式改写
3
t
1
1
3
n
ii
i
Ihδ

∑ (e)
式中 ih iδ 第 i 狭长矩形边长根式(330a)式(332b)式(b)狭长矩
形截面切应力
max
tt t
ii
iii
ii
TT T
WI Iτ δδ (f)
式知整横截面切应力发生厚度狭长矩形长边中点处
值
max
max max
3t
1
3
n
ii
i
TT
I h
δτδ
δ


∑
(334)
中心线曲线开口薄壁截面杆计算时展开截面作狭长矩形截面
处理
363 闭口薄壁截面杆
工程中外类薄壁截面杆横截面壁厚中线条封闭曲线折线
称闭口薄壁截面杆(thinwalled bar with closed cross section) 图 324 示箱形环形
截面闭口薄壁截面例箱形截面梁桥梁工程中广泛 第 3 章 剪切扭转

·63·
·63·

图 324 箱形环形薄壁截面
现分析图325示壁厚变闭口薄壁截面杆两端作着扭转外力偶
壁厚薄假设切应力壁厚均匀分布方壁厚中线相切图 326(a)
示
x
Me Me
δ

图 325 闭口薄壁截面杆扭转
相距 dx 两横截面两壁厚中线相交截面杆壁中切取单元体 abcd
设横截面 b c 两点处切应力分 1τ 2τ 壁厚分 1δ 2δ 图 326(b)
示根切应力互等定理知两截面切应力分 1τ 2τ 衡方
程 0xF ∑
11 2 2ddx xτδ τδ

11 2 2τ δτδ
两截面意选取式知横截面意位置处切应力该处壁
厚积常数
τδ 常数
τ δ 称剪力流式出壁厚变闭口薄壁截面杆扭转时横截面
切应力着壁厚发生改变壁厚处切应力
现推导切应力τ 计算公式壁厚中线取微段弧长 ds该段力元素
dsτδ 方中线相切图 326(c)示静力学关系知横截面切应力横
截面点 O 力矩等横截面扭矩 T
(d) dss
Tsrrsτδ τδ∫ ∫
式中r 矩心 O 微元 ds 垂直距离图 326(c)知rds 图中阴影三角形面积
两倍壁厚中线长度 s 积分等该中线围面积 A 两倍
2TAτδ
改写 材料力学

·64·
·64·
2
T
Aτ δ (335)
式闭口薄壁截面杆扭转时横截面点处切应力计算公式面已
知道壁厚处切应力横截面切应力
max
min2
T
Aτ δ (336)
rO
sx
a b
d
b
τ
T
x
dd
d
c
a
d c
τ δ
τ δ
1 1
2 2

(a) (b) (c)
图 326 闭口薄壁截面杆扭转时切应力分布
(a) 切应力壁厚分布(b) 微元段切应力分析(c) 切应力分析
闭口薄壁截面杆单位长度扭转角根量原理求解：应变数值等外力
做
功(应变讨参阅第 11 章)
2
d22s
TsG
τ ϕδ ′∫
式(335)代入式求闭口薄壁截面杆单位长度扭转角
2
d
4 s
Ts
GAϕ δ
′ ∫ (337)
壁厚相等(δ 常数)时
24
Ts
GAϕ δ
′ (338)
式中s 壁厚中线长度
例 311 试较开口薄壁圆闭口薄壁圆切应力单位长度扭转角设二
者材料长度直径 d壁厚δ 承受扭矩 T 相开口薄壁圆闭口薄壁
圆切开细缝
解：前述知开口薄壁圆计算时展开截面作狭长矩形截面
处理式(322)知
22
t
11π33Wh dδ δ
33
t
11π33I hdδ δ
两式代入式(330a)式(330b)
max1 2
t
3
π
TT
Wdτ δ 第 3 章 剪切扭转

·65·
·65·
1 3
t
3
π
TT
GI G dϕ δ
′
闭口薄壁圆式(336)式(338)
max 2 2
2
2
2 π2π()2
TT T
dA dτ δ δδ

2 223
2
π 4
πd4 πd4G( )4
Ts T d T
GA Gϕ δ δδ
′
开口薄壁圆闭口薄壁圆切应力
2
max1
max 2
2
3
3π 12 2
π
T
dd
T
d
τ δ
τδ
δ

开口薄壁圆闭口薄壁圆单位长度扭转角

3
21
2
3
3
3π () 14 4
π
T
dGd
T
Gd
ϕ δ
ϕδ
δ
′ ′ 
计算结果出闭口薄壁圆强度刚度远远开口薄壁圆
工程受扭杆件量避免采开口薄壁杆件产生种现象原两种
截面切应力壁厚分布情况图 327 示
T T

图 327 开口薄壁圆闭口薄壁圆截面切应力分布
37 结
1 连接件剪切挤压强度计算
保证连接件正常工作般需采实计算法进行连接件剪切强度挤压
强度校核
剪切强度式
[]Q
S
F
Aτ τ ≤ (32) 材料力学

·66·
·66·
挤压强度式
[]bs
bsbs
bs
F
Aσ σ ≤ (34)
2 薄壁圆筒扭转时变形切应力分布
横截面切应力计算公式
22π
T
rτ δ (36)
3 剪切胡克定律切应力互等定理
剪切胡克定律：切应力τ 切应变γ 间成正关系
Gτ γ (38)
切应力互等定理：两相互垂直面切应力必然成存数值相等两
者垂直两面交线方均指背离该交线
4 等直圆杆扭转时横截面切应力分布强度条件
横截面切应力横截面周边点处值
max
p
T
Wτ (316)
强度条件式
[]max
max
p
T
Wτ τ ≤ (322)
利强度条件表达式实心(空心)圆截面杆进行强度计算强度校核截
面选择许荷载计算
5 等直圆杆扭转时变形刚度条件
等直圆杆扭转变形通两横截面相扭转角ϕ 度量考虑情况
杆件长度时横截面扭矩相采相扭转角ϕ 法表示出圆杆
扭转变形程度工程中通常采单位长度扭转角度量圆杆扭转变形
p
d
d
T
x GI
ϕϕ′ (327)
等直圆杆扭转时满足强度条件外满足刚度条件刚度条件式
max
p
180 []π
T
GI ϕ′× ≤ (329)
利刚度条件式实心(空心)圆截面杆进行刚度计算刚度校核截面选
择许荷载计算
6 矩形截面杆薄壁截面杆扭转
矩形截面杆受扭横截面会发生明显翘曲面假设矩形截面杆
切应力单位长度扭转角计算公式等直圆杆相应公式形式类似中 WtIt第 3 章 剪切扭转

·67·
·67·
圆截面 pW pI 具相意义
薄壁截面杆扭转中应注意基情形相情况闭口薄壁圆
强度刚度远远开口薄壁圆
38 思 考 题
1 什剪切？试述剪切变形特征
2 压缩挤压什？什挤压许应力压缩许应力？
3 铆钉受剪切纯剪切？什？
4 外力偶矩扭矩什？计算？
5 等直圆杆切应力公式建立？基假设什？
6 两根长度直径均相材料制成等直圆杆两端作相扭转力
偶矩试问：
(1) 切应力否相？什？
(2) 相扭转角否相？什？
7 果等直圆杆直径增倍余条件变切应力扭转角样
变化？
8 试根切应力互等定理标出图示单元体侧面切应力
9 受扭空心圆轴实心圆轴节省材料原什？
10 空心圆杆Ⅰ实心圆杆Ⅱ组成受扭圆轴图示扭转程中两杆间没
相滑动试列条件画出横截面切应力水直径变化情况：①两杆材料相
GⅠGⅡ②两杆材料GⅠ2GⅡ
ττ
Ⅰ
Ⅱ

图 328 思考题 8 图 图 329 思考题 10 图
39 题
1 托架图 330 示铆钉钢板间搭接已知铆钉直径 d20mm外力
F35kN试求危险铆钉剪切面切应力数值方
2 图 331 示拉杆头部已知 D32mmd20mmh12mm杆件材料许材料力学

·68·
·68·
切应力[] 100MPaτ 许挤压应力[ ]bs 240MPaσ 试校核该杆剪切强度挤压
强度
225
75
75
75
d
h
D
50kN
图 330 题 31 图 图 331 题 32 图
3 两块钢板两相螺栓连接起图 332 示已知两块钢板厚度均
10mm螺栓直径 17mm已知钢板受拉力 F60kN螺栓许切应力
[] 140MPaτ 许挤压应力[ ]bs 280MPaσ 试校核该连接件强度确定该接头
许荷载[F]
F
F
10
17

图 332 题 33 图
4 图 333 示 5 完全相铆钉两块厚度分 8mm 10mm 钢板搭
接起已知钢板受拉力 F200kN铆钉许切应力[] 140MPaτ 许挤压应
力[ ]bs 320MPaσ 求铆钉需直径
F
F
FF
8mm
10mm

图 333 题 34 图
5 图 334 示传动轴 200rmin 转速匀速转动动轮 B 输入功率 60kW
动轮 ACDE 输出功率分 18kW12kW22kW 8kW试作轴扭矩图
F 第 3 章 剪切扭转

·69·
·69·
EBA CD
M A MMMMBCDE

图 334 题 5 图
6 圆轴直径 48mm转速 200rmin果该轴横截面切应力 100MPa
传递功率？
7 作图 335 示轴扭矩图求切应力注意图(c)中 AB 段承受均布外力
偶 m 作 eMm l
dd
llll ll
Me06M3 eMee08 M06 eM eMeM

(a) (b)
A B C D
ll l
m
d2d
eM

(c)
图 335 题 7 图
8 图 336 示等直圆杆 BC 段受均布力偶作集度 m圆杆材料切变
模量 G试作圆杆扭矩图计算 AC 两截面间相扭转角
m
CBA
d
l2 l2

图 336 题 8 图
9 图 337 示传动轴直径 100mm已知材料切变模量 G80GPaMA1kN·m
MB2kN·mMC35kN·mMD05kN·m试求：
(1) 作扭矩图
(2) 横截面切应力 材料力学

·70·
·70·
(3) CD 截面间扭转角 AD 截面间扭转角
BA C D
2m05m1m
AMMM MBC D

图 337 题 9 图
10 图 338 示阶梯状圆杆材料制成 AB 段 BC 段单位长度扭转角相
M1 M2 值少？
MM
CBA
d2d
1
2

图 338 题 10 图
11 直径 60mm 实心圆杆承受 3kN·m 外力偶矩 Me 作图
339 示试求：
(1) 横截面切应力
(2) 横截面半径 r15mm 部分承受扭矩占全部横截面扭矩百分
(3) 挖掉半径 r15mm 部分横截面切应力增加百分
l
6030
e eMM

图 339 题 11 图
12 图 340 示实心圆杆承受 14kN·m 外力偶矩 Me 作直径
100 mm长 1m材料切变模量 G80GPa试求：
BCO
AM
B
A
e
25
100
1000

图 340 题 12 图
(1) 切应力两端面间相扭转角
(2) 图示截面 ABC 三点处切应力数值方 第 3 章 剪切扭转

·71·
·71·
(3) C 点处切应变
13 材料制成实心空心圆截面杆长度质量均相等实心杆直径 D1
空心杆外径 D2径 d2 22dDα 二者承受外力偶矩分 M1 M2
两杆横截面切应力相等试求 M1 M2 值
14 等直圆杆图 341 示已知 d40mml400mmG80GPa ACϕ 1试求：
(1) 杆切应力
(2) D 截面相 B 截面扭转角
d
DC
MMM
BA
ee e
2lll

图 341 题 14 图
15 图 342 示长 l 圆锥形杆两端面直径分 d1 d2两端承受外
力偶矩 Me 作试求杆两端面间相扭转角
1 dd
l
Me
eM
2

图 342 题 15 图
16 实心圆杆传递功率 P330kW转速 n300rmin材料许切应力
[] 60MPaτ 切变模量 G80GPa求该杆 2m 长度相扭转角超 1°
试确定该杆直径
17 已知某圆轴许切应力[] 21MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭转角
[]03mϕ′ °问该轴直径达时轴直径应强度条件决定刚度条件然
满足
18 实心等直圆杆受力图 343 示已知 MA299kN·mMB72kN·m
MC421kN·m材料许切应力[] 70MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭转
角[]ϕ′ 1°m试确定该杆直径
CAB05m10m
MA M MCB
d

图 343 题 18 图 材料力学

·72·
·72·
19 图 344 示端固定空心圆截面杆长 4m外径 60mm径 50mm受
集度 02kN·mm 均布力偶 m 作杆材料许切应力[] 40MPaτ 切变模量
G80GPa许单位长度扭转角[]ϕ′ 03°m试校核该杆强度刚度
m
4m

图 344 题 19 图
20 两端固定阶梯状圆轴图 345 示截面突变处承受外力偶矩 Me 作
d12d2试求固定端支反力偶矩 AM BM 作扭矩图
C BA
M
dd 21
e
l l2

图 345 题 20 图
21 图 346 示端固定组合圆截面轴两种材料制成外两轴
结合紧密外面空心轴外径 100mm径 50mm切变模量 262GPa里面实心
轴直径 50mm切变模量 786GPa轴端承受外力偶矩 Me12kN·m
作试绘制该组合轴横截面切应力分布
eM
100
50

图 346 题 21 图
22 图 347 示圆轴已知 d130mmd215mmM1500N·mM2300N·m
材料许切应力[] 50MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭转角[]25mϕ′ °
试校核该轴强度刚度 第 3 章 剪切扭转

·73·
·73·
C D EA B
M
d d
M
1 2
1 2
250150150250

图 347 题 22 图
23 图 348 示受扭杆件横截面面积均 10 000mm2杆件材料制
成许切应力[] 50MPaτ 试根强度条件较抗扭承载力

图 348 题 23 图

第 4 章 梁 力
提：前面章节中已介绍轴拉(压)杆件受扭杆件力计算章
讨受弯杆件力计算
弯曲变形构件称梁(beam)房屋建筑中楼板梁(图 41)火车轮轴
(图 42)章研究外力作面变形面(面弯曲)梁
梁力计算前面样然采截面法荷载作梁横截面产生力
包括剪力弯矩截断梁横截面会剪力弯矩取截面左右侧部分研
究象通静力衡方程求出该横截面力通列出剪力方程弯矩方程
绘制剪力图弯矩图反映出梁横截面力方
通分析剪力方程弯矩方程发现剪力弯矩荷载间存微分关系相应剪
力图弯矩图荷载间存某规律规律写剪力方程弯矩方程直
接作出力图材料服胡克定律变形前提利叠加法更方便作出
力图
41 梁计算简图
梁约束条件荷载千差万便计算般抓住素做出简化出
计算简图首先梁简化般计算简图中梁轴线代梁外需支座
荷载进行简化面分讨梁支座荷载简化

楼板梁
楼板
墙

图 41 楼板梁计算简图 图 42 火车轮轴计算机简图 第 4 章 梁力

·75·
·75·
1 支座简化
根结构中梁约束情况支座般简化三种基形式
(1) 动铰支座图 43(a)动铰支座简化形式该支座限制截面垂直支承
面方移动动铰支座约束相应支反力垂直支承面
反力Y
(2) 固定铰支座两约束相应约束反力两分水反力 X 垂直反
力Y (图 43(b))
(3) 固定端梁固定端发生方移动转动约束反力 XY
外阻止转动反力偶 m (图 43(c))
里需指出理想转动绝固定实际存
摩擦力存转动会完全约束材料变形梁会完全固定
运动相较忽略

图 43 种支座约束反力
(a) 动铰支座(b) 固定铰支座(c) 固定端
2 载荷简化
梁载荷通常简化三种形式
(1) 集中力作梁区域横力特点分布范围远轮轴
梁长度简化集中力火车轮轴 P(图 42)吊车梁挂重物Q
(图 44(a))等常单位牛顿(N)千牛顿(kN)

图 44 集中力均布载荷分布载荷示意图
(a) 吊车梁载荷分布示意图(b) 闸门立柱静水压力分布示意图 材料力学

·76·
·76·
(2) 集中力偶工程中某梁通梁连接构件承受梁轴线行外力作
图 45(a)示做梁受力分析时该力梁轴线简化轴外力 xP
作梁载荷面外力偶 0M (图 45(b))该外力偶作承力构件梁连接处
区域称集中力偶集中力偶常单位 Nm⋅ kN m⋅

(a)
(b)

图 45 集中力偶示意图
(a) 承受梁行外力示意图(b) 力梁轴线简化示意图
(3) 分布载荷连续作梁段整长度横作力简化轴线
分布载荷建筑结构承受风压水压梁重等常见分布载荷吊车梁
重(图 44(a))均匀分布分布载荷般简称均布载荷闸门立柱静水压力
(图 44(b))线性分布分布载荷分布载荷载荷集度 q 表示 q 常数分
布荷载均布载荷设梁段 xΔ 分布载荷合力 PΔ (图 46)
lim Pq x
Δ Δ (41)
式中 q 常单位 Nm kN m


图 46 分布载荷示意图
3 静定梁基形式
载荷支座简化梁轴线表示梁画出计算简图图 4l图 42
图 44 中分画出楼板梁火车轮轴吊车梁闸门立柱计算简图
面弯曲问题中梁外力均作面面力系建立三
独立静力衡方程果梁未知支座反力三全部反力通静力衡
方程求解样梁称静定梁常见静定梁三种形式
(1) 简支梁(simply supported beam)端固定铰支座端动铰支座梁
称简支梁吊车梁(图 44(a))两支座间距离称跨度
(2) 外伸梁(beam with an overhang)简支梁端两端伸出支座外称外伸
梁火车轮轴(图 42)外伸梁
(3) 悬臂梁(cantilever beam)端固定端端梁称悬臂梁闸门立
柱(图 44(b)) 第 4 章 梁力

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·77·
工程中梁支座反力数目效衡方程数目样梁称静
定梁者超静定梁(图 41)确定静定梁全部支反力静力衡方程外需考虑
梁变形面章节进行介绍
42 梁面弯曲
弯曲杆件基变形果杆件作垂直轴线外力(通常称横力)
变形前原直线轴线变曲线种变形称弯曲变形(bending deformation)
弯曲变形变形杆件通常称梁(beam)
工程实际中杆件外载荷作发生弯曲变形事例例楼板梁
(图 41)火车轮轴(图 42)桥式吊车梁(图 44(a))闸门立柱(图 44(b))等杆件垂
直轴线载荷作均发生弯曲变形
绝数受弯杆件横截面具称轴图 47(a)中虚线杆件具
称面(图 47(b)中阴影面)杆轴线包含称面外力(者外力合力)作
称面时杆件轴线称面弯曲成条面曲线种变形称面
弯曲常见基情况火车轮轴吊车梁闸门立柱等面弯曲实例

(a)
称面

(b)
图 47 受弯杆件称轴称面
(a) 受弯杆件称轴(b) 受弯杆件称面
43 梁力剪力弯矩
研究梁弯曲时强度刚度问题首先应该确定梁外力作横截面
力般采截面法力分析普遍方法计算静定梁中指定截面力
图 48(a)示简支梁 AB承受两集中力 P 作求 mm− 截面力首先整材料力学

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梁研究象画出受力图根静力衡方程确定支座反力 AR BR 均
P 方然截面法假想面 mm− 截面处梁截开截断横截面
加剪力 QF 弯矩 M 相等方相反两力(图 48(b)(c))梁
力应该轴力受弯杆件外力均垂直轴线 mm− 截面轴
力零里表示出
梁 AB 处衡状态截开左右两段应保持衡现左段梁 AC 研
究象该段梁作力 QF M 外力 P AR (图 48(b))力外力
y 轴投影代数应零 0Y ∑
0AQRPF− −
⇒ 0QAFRP − (a)

(a)

(b) (c)
图 48 截面法求梁力
左段梁外力力 mm− 截面形心取矩代数应零
0CM ∑
() 0AMPxaR x+ −− ×
⇒ ()AM RxPxaPa×−− (b)
力 QF 横截面相切称 mm− 面剪力(shear force) 力 M 位梁称面
称 mm− 面弯矩(bending moment)
取右段梁研究象(图 48(c))利衡方程求截面 mm− 剪力 QF 弯矩
M 数值左段梁求结果相方相反
截面左右两段梁分求剪力弯矩数值相等符号相
般联系变形现象规定符号：
剪力——微段梁两横截面间发生左右错动(微段梁发生时针转动)剪力
正反负(图 49(a))
弯矩——微段梁发生凸面弯曲(微段梁侧纤维受拉)弯矩正反
负(图 49(b)) 第 4 章 梁力

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·79·

QF 正 QF 负 M 正 M 负
(a) (b)
图 49 剪力弯矩符号规定
(a) 剪刀符号规定(b) 弯矩符号规定
例 41 图 410(a)示外伸梁端受集中力 P 作试计算 112233 横截面
剪力弯矩

(b) (c) (d)
(a)

图 410 例 41 图
解：(1)计算支反力整体研究象静力衡方程
0AM ∑ 20BRlPl× −×
0BM ∑ 0ARlPl× +×
求
ARP − 2BRP
AR 负值表示方图示设方相反果正值表示实际方图示
设方相
(2) 计算 11 截面剪力弯矩截面 11 处梁假想切开选择左段研究象
假定 11 截面剪力 1QF 弯矩 1M 均正方(图 410(b))列衡方程
0Y ∑ ⇒ 1QAFR P−
1 0CM ∑ ⇒ 021 ×− lRM A ⇒ 21
PlM −
(3) 计算 22 33 截面剪力弯矩截面 22 处梁假想截开选择左段研
究象(图 410(c))列衡方程 材料力学

·80·
·80·
0Y ∑ ⇒ 2QAFR P−
2 0CM ∑ ⇒ 02 Δ×− ARM ⇒ 02 M
理假想截开截面 33 选择右段作研究象(图 410(d))列衡方程
0Y ∑ ⇒ 3QFP
2 0CM ∑ ⇒ 03 Δ×+ PM ⇒ 03 M
计算程知：
(1) 横截面剪力数值等该截面左侧(右侧)梁外力垂直轴线方
投影代数
(2) 横截面弯矩数值等该截面左侧(右侧)梁外力该截面形心力
矩代数
采述规律确定截面力时外力方力符号存关系：
(1) 确定剪力时截面左侧梁段外力右侧梁段外力(左右
外力)引起正剪力反引起负剪力
(2) 确定弯矩时截面左侧梁段外力截面形心取矩时针转右侧梁段
外力截面形心取矩逆时针转力矩(左右逆力矩)引起正弯矩反
引起负弯矩
例 42 图 411 示简支梁 AB承受线性分布载荷集度 0q 试求 C 截面剪
力弯矩

图 411 例 42 图
解：(1)计算支反力计算支反力 AR BR 时梁载荷合力代利积
分知合力相求三角形分布荷载面积
2
0lq 方作点离支座
B 距离
3
l 图 411 中虚线表示根衡方程
0AM ∑ 03
2
2
0 ×−× llqlRB

0BM ∑ 032
0 ×−× llqlRA
求
0
6A
qlR
3
0lqRB 第 4 章 梁力

·81·
·81·
方图 411 示
(2) 计算 C 截面剪力弯矩C 截面力直接利左侧梁段 AC 外力
确定 C 点处梁载荷集度 al
q0 AC 梁段分布载荷合力
l
aqaal
q
22
1 2
00 ××
作线 C 截面距离
3
a 方 C 截面引起负剪力负弯矩
左侧梁段支反力
6
0lq C 截面引起正剪力正弯矩 C 截面
剪力 QCF 弯矩 CM 分
2
2200(3)26QC A
qa qaFR lall − −
)(632
220
2
0 all
aqa
l
aqaRM AC −×−×
果根 C 截面右侧梁段外力计算会获相结果
44 剪力方程弯矩方程 剪力图弯矩图
般说梁力轴线方变化果横坐标 x (方左
右)表示横截面梁轴线位置剪力 QF 弯矩 M 表示坐标 x 函数
()QQFFx
)(xMM
两方程分称梁剪力方程弯矩方程
绘制轴力图扭矩图样图线表示梁横截面剪力弯矩梁轴线变
化情况称剪力图(shear force diagram)弯矩图(bending moment diagram)
作剪力图时取行梁轴线直线横坐标 x 轴x 值表示横截面位置
坐标表示相应截面剪力正负
作弯矩图方法剪力图体相仿弯矩图画梁纤维受拉
面标正负号根 43 节规定弯矩梁部纤维受拉正
说梁正弯矩应画横轴方样做法续课程土木工程专
业设计惯取致
面举例说明建立剪力方程弯矩方程绘制剪力图弯矩图方法
例 43 简支梁 AB 受集中力 P 作图 412(a)示试列出剪力方程弯矩方程
绘制剪力图弯矩图
解：(1)计算支座反力整体研究象列衡方程
0AM ∑ 0×−× aPlRB
0BM ∑ 0×−× bPlRA 材料力学

·82·
·82·
求
l
PbRA l
PaRB
方图 412(a)示
(2) 建立剪力弯矩方程梁 C 截面作集中力 P 建立剪力方程弯矩
方程时必须分 ACCB 两段考虑
AC 段取横截面距 A 点距离 x 表示根衡条件 AC 段剪

(a)

(b) (c)
图 412 例 43 图
力方程弯矩方程分
1()QA
PbFx R l )0( ax << (a)
1() A
PbM xRx xl× (0 )x a≤≤ (b)
CB 段取横截面距 A 端距离 x 根衡条件截面剪力方
程弯矩方程分
2 ()QA
PbPaFx R P Pll
− − − )( lxa << (c)
2 () ( ) ( )A
PaM xRxPxa lxl×−− − ()axl≤≤ (d)
实际列 CB 段力方程时选右侧梁段研究象会更简单
(3) 绘制剪力弯矩图(a)(c)两式知ACCB 两段剪力分常数剪
力图两条行 x 轴直线图 412(b)示(b)(d)两式知弯矩方程均次
函数弯矩图两条斜直线图 412(c)示里弯矩梁部纤维受拉
弯矩图画梁方力图知弯矩集中力作点处值
l
PabM max 该截面处剪力图突变突变量等集中力 第 4 章 梁力

·83·
·83·
例 44 图 413 示简支梁跨度l 试建立重 q 作梁剪力方程弯矩方程
绘制剪力图弯矩图
解：(1)计算支座反力根称性易知 AB 两端支座反力相等
2qlRR BA (a)
方图 413(a)示
(2) 建立剪力弯矩方程左端 A x 坐标原点取横截面左端研
究象该横截面位置 x 表示设该截面剪力 ( )QFx弯矩 ()xM 均
设正方图 413(b)示列衡方程
0Y ∑ () 0AQRqxFx−−
0CM ∑ 02)( ×+×− xqxxRxM A

(a) (b)

(c) (d)
图 413 例 44 图
式(a)代入面两式解
() 2Q
qlFx qx − )0( lx << (b)
22)( 2xqxqlxM − (0 )x l≤≤ (c)
(b)(c)两式分剪力方程弯矩方程
(3) 绘制剪力图弯矩图式(b)知剪力图直线需算出意两横截面
剪力值 AB 两截面剪力作出剪力图图 413(c)示式(c)知弯
矩图抛物线需算出截面弯矩值作出曲线例计算列五截面
弯矩值：
x 0 4
l
2
l
4
3l l
M 0 32
3 2ql
8
2ql
32
3 2ql 0 材料力学

·84·
·84·
作出弯矩图图 413(d)示
剪力图弯矩图知 AB 支座处横截面剪力绝值值
max 2Q
qlF
梁跨中截面剪力 0QF 弯矩达值
8
2
max
qlM
例中某梁段研究象衡条件推出剪力方程弯矩方程建立
剪力方程弯矩方程基方法外剪力图弯矩图中 Qx FM 坐标较明确
图中坐标系省
例 45 简支梁 AB 承受集中力偶 0M 作图 414(a)示试作梁剪力图弯矩图

(a)

(b) (c)
图 414 例 45 图
解：(1)计算支反力衡方程分求支反力
0
A
MR l
l
MRB
0−
反力 AR 方图示 BR 负值表示方图 414(a)中假设方相反两
支反力形成力偶矩刚集中力偶 0M 衡
(2) 建立剪力弯矩方程梁作集中力偶剪力弯矩方程样应分段列
出利截面法分 AC CB 段截取横截面根截面左侧(右侧)梁段外力
列出剪力方程弯矩方程
AC 段
0
1()QA
MFx R l (0 )x a< ≤ (a)
xl
MxRxM A
0
1 )( ⋅ (0 )x a<≤ (b) 第 4 章 梁力

·85·
·85·
CB 段
0
2 ()QA
MFx R l
()axl<≤ (c)
)()( 0
02 xll
MMxRxM A −−−⋅ ()ax l< ≤ (d)
(3) 绘制剪力弯矩图(a)(c)两式知两段梁剪力相等AB 梁剪
力图条行 x 轴直线(图 414(b))(d)(b)两式知左右两段梁弯矩图
条斜直线(图 414(c)) AB BC 段弯矩分梁部部纤维受拉
弯矩图分画横轴方方图见 ba < 时绝值弯矩发生
集中力偶作处右侧截面值
l
bMM 0
max
集中力偶作处弯矩图突变突变量等集中力偶
例 46 作图 415(a)示简支梁剪力图弯矩图
剪力图 (kN)
弯矩图 (kN m)(e)
(c)
(d)

图 415 例 46 图
解：(1) 计算支座反力根荷载支座反力称性
8416kN2ABRR ×
(2) 建立剪力弯矩方程根荷载情况分 ACCDDB 三段分列出剪力方程
弯矩方程设坐标轴 x 支座 A 原点三段剪力方程弯矩方程分
AC 段
() 16QAFx R
() 16AM xRxx
CD 段
() ( 2)168(2)328QAFx R qx x x −− −− − 材料力学

·86·
·86·
22() (2)164(2)2A
qMx Rx x x x −− −−
DB 段
() 16QBFx R− −
() (8 ) 16(8 )BM xR x x − −
(3) 绘制剪力弯矩图根方程知ACDB 段剪力图水直线弯矩图斜
直线CD 段剪力图斜直线弯矩图二次抛物线作出剪力图弯矩图图 415(b)
图 415(c)示图见剪力发生 ACDB 两段弯矩发生跨中横截
面
例题见集中力(包括集中荷载支座反力)作截面剪力似没
确定值剪力图突变突变绝值等集中力数值突变方左右
集中力方相(例题 43)集中力偶作处弯矩图突变突变绝值等
集中力偶数值(例题 45)分析力图突变原假设集中力作点两侧截
取 xΔ 梁段(图 416(a))衡条件难出集中力作点两侧剪力 1QF 2QF 差
值必然集中力 P 实际剪力图种突然变化作范围分
布外力简化集中力结果果集中力 P 视 xΔ 梁段均匀分布分布力合
力(图 416(b))该处剪力图图 416(c)示例题 46 中果均布荷载变
成集中力作跨中 xΔ 梁段分布力合力然变剪力图(图 415(b))中斜线
会变陡 xΔ →0 时剪力图斜线趋垂直剪力图表现突变集中力偶作
截面做样解释

(b) (c) (a)
图 416 剪力图突变示意图
(a) 微段受力示意图(b) 集中力视分布力示意图(c) 集中力视分布力剪力图
工程中常常遇根杆件组成框架结构例房屋建筑中梁柱构成结构
结点处梁柱截面发生相转动者说结点处两杆件间夹角保持变
样结点称刚结点(stiff joint)具刚结点结构称刚架(rigid frame)
果刚架支座反力力均静力衡条件确定样刚架称静定刚架作
刚架力图方法基梁相通常面刚架力剪力弯矩外轴力作
图时分杆进行面举例说明静定刚架弯矩图作法轴力图剪力图需时
类似方法绘制
例 47 面刚架 ABC承受图 417(a)示载荷作已知均布荷载集度 q 集中力
qaP 试作刚架弯矩图
解：(1)计算支反力利整体刚架衡条件确定支座反力设固定铰支座 A 反力第 4 章 梁力

·87·
·87·
AAXY 动铰支座 C 反力 CY 方图示列衡方程
0X ∑ ⇒ qaX A 2
0AM ∑ ⇒ 022 ⋅−⋅+⋅ aYaqaaqa C ⇒ qaYC 2
3
0Y ∑ ⇒ 0−− qaYY AC ⇒ qaYA 2
1
计算出结果均正值说明支座反力实际方均设方相
(a) (b)
图 417 例 47 图
(2) 建立弯矩方程作弯矩图 BC 杆 C 原点取坐标 1x 集中力 P
作BC 杆弯矩方程应分段列出：
CD 段
11 1
3() 2CM xYxqax ( )10 x a≤≤
DB 段
1
2
111 2
1)()( qaxqaaxPxYxM C +−− 1(2)ax a≤≤
AB 杆 A 原点取坐标 2x 该杆弯矩方程
22
22222() 222A
qqM xXxx qaxx − − 2(0 2 )x a≤≤
根段弯矩方程作出刚架弯矩图图 417(b)示绘制弯矩图时般弯矩
图画杆件受压侧注明正负号
45 力分布荷载间关系应
451 弯矩剪力分布荷载集度间关系
例题 43 中弯矩方程 ()M x 表达式 x 求导剪力方程 ()Qx剪材料力学

·88·
·88·
力方程 ()Qx表达式 x 求导均布载荷集度 q 事实直梁中载荷集度剪
力弯矩间关系普遍存掌握关系绘制剪力图弯矩图帮助
检查绘制剪力图弯矩图否正确面研究载荷集度 q 剪力 Q 弯矩
M 间关系
设意载荷作直梁图 418(a)示梁左端原点选取 x 坐标轴
梁分布载荷 ()qx x 连续函数规定正 x 截面处截取长度 dx 微段
表示图 418(b)中 dx 微段承受分布载荷 ()qx作设 x 横截面弯矩剪力分
()M x ()QFx坐标 x + dx 横截面弯矩剪力分 ()M x +d ( )M x
()QFx+d ( )QFx方图 418(b)示
(a) (b)

图 418 梁微段力示意图
微段列衡方程
0Y ∑ () ()d () d () 0QQQFx qxxFx Fx+ −−
⇒ d() ()d
QFx qxx (42)
0CM ∑ () d() ()d d () d () 02Q
xMx F x x qx x Mx Mx+ +⋅−−
略高阶微量 () dd 2
xqx x⋅
⇒ d() ()d Q
Mx Fxx (43)
公式(43)中 ()QFx x 求导次带入式(42)
⇒
2
2
d() ()d
Mx qxx (44)
式(42)式(43)式(44)载荷集度剪力弯矩间微分关系式(42)表示剪
力图某点处切线斜率等相应点处荷载集度公式(43)表示弯矩图某点处
切线斜率等相应点处剪力
452 常见荷载梁剪力图弯矩图特征
根 q QF M 微分关系出载荷集度剪力图弯矩图三者间某规律第 4 章 梁力

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现结合图 419 示实例(图中未注明具体数值)图 419(a)中规定坐标系中纳

尖角
弯矩突变
尖角
拐点
极值
剪力突变
剪力突变
剪力突变
剪力变
极值
(b)
(a)
(c)
剪力图
弯矩图

图 419 载荷集度剪力图弯矩图三者间规律
(a) 载荷分布图(d) 剪力图(c) 弯矩图
(1) 梁荷载作 0)( xq 时剪力 QF 常数剪力图行轴线直线
时弯矩图 d() ()d Q
Mx Fxx
常数知直线果 0QF 水直线图 419(c)
中 BC 段果 0QF ≠ 倾斜直线方取决剪力正负号 0QF > 时弯矩
图升斜直线图 419(c)中 AB 段 0QF < 时弯矩图降斜直线图
419(c)中 CD DE 两段 CD DE 两段中剪力 QF 相等弯矩图中两条
斜直线行
(2) 梁载荷 q 常数时式(42)知剪力图点斜率常数
剪力图斜直线式(44)知弯矩方程 ()M x x 二次函数弯矩图二次抛物线
图 419(c)中 EGGH 两段
果某段梁均布载荷 q 0>q
2
2
d 0d
M
x > 弯矩图条凸抛物线
图 419(c)中 GH 梁段反果梁作均布载荷 02
2
d 0d
M
x <
弯矩图条凸曲线图 419(c)中 EG 梁段剪力 QF 零截面 d
d
M
x 0
弯矩图斜率零处弯矩极值图 419(c)中 F 截面弯矩极值H 截
面弯矩极值应注意极值弯矩全梁说定值弯矩弯矩
发生集中力作处者集中力偶作处 材料力学

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(3) 集中力作处剪力图突变突变数值等该处集中力时弯矩
图斜率发生突变弯矩图出现转折点图 419(c)中 BCE 截面
(4) 集中力偶作处剪力图变化弯矩图突变突变数值等该处集中力
偶集中力偶作处两侧剪力相等弯矩图该点斜率总相等
图 419(c)中 D 截面
现关载荷集度剪力图弯矩图间关系整理表 41供参考
面举例说明述关系应
例 48 图 420(a)示外伸梁承受均布载荷 10kNmq 集中力偶 0M ＝16kN m⋅
集中力 4kNP 作试微分关系作剪力图弯矩图
解：(1) 计算支反力利静力衡条件求梁支反力
5kNAR 3kNBR
(c)
(b)
(a)
弯矩图 (kN m)
剪力图 (kN)

图 420 例 48 图
(2) 绘制剪力图应微分关系绘制剪力图时梁左端开始易知 4kNQCF −
CA 段荷载 0q 剪力图水直线 4kNQ AF −左 支座 A
支反力 AR 剪力图产生突变值5kN A 截面右侧剪力
1kNQQAAAFFR+右左
AD 段荷载 0q 剪力图水直线集中力偶两侧剪力相等
1kNQQDQDAFFF左右右
DB 段 q 负常数剪力图应降直线 3kNQB BFR− −
QQDDFF左右 确定 BD 段剪力图图 420(b)示
(3) 绘制弯矩图然梁左端开始 CA 段 QF 负常数弯矩图降
直线
0CM 第 4 章 梁力

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·91·
04 16kN mAMP− − ⋅
CA 段弯矩图根式(43)知道弯矩图斜率－4 0CM
直接求出
40416AM − × − kN·m
AD 段 QF 正常数弯矩图升直线
04 08 12ADMRP−−左 kN·m
AM 左DM 数值 AD 段弯矩图
DB 段梁均布载荷弯矩图凸抛物线
0 12 16 04DDMMM+−+右左 kN·m 0BM
外 QF 0 E 截面弯矩极值数值
203 (03) 0452EB
qMR×−× kN·m
BED MMM 左 三点光滑连接成凸抛物线连成 DB 段弯矩图图 420(c)
示
方法利荷载集度剪力弯矩三者间微分关系样必
写出剪力弯矩方程直接绘制剪力图弯矩图般说利微分关系绘制剪力图
弯矩图方法：首先根梁载荷支座情况找出控制截面(集中力集中力偶
分布荷载起点终点支座等处均作控制截面)梁分干段段梁载荷
情况判断剪力图弯矩图形状然求出控制截面力值连成直线曲线
作出力图
46 区段叠加法作梁弯矩图
梁荷载作产生力受外力呈线性关系变形时跨长
改变忽略计求梁支座反力剪力弯矩时原始尺寸进行计算梁
项荷载时作时荷载引起力独立互影响单
独算出项荷载单独作梁剪力图弯矩图然坐标应叠加梁
荷载作力图原理称叠加原理应叠加原理条件变形
材料服胡克定律
般荷载作剪力图般直线图形较简单般叠加原理作图
绘制梁弯矩图时果简单载荷作弯矩图较熟悉叠加法作出荷
载作弯矩图较方便
例 49 图 421(a)示悬臂梁试叠加法作梁弯矩图
解：荷载作集中力 P 均布荷载 q 叠加(图 421(b)(c))作出荷载单独作
弯矩图(图 421(e)(f))两图弯矩符号相反叠加时放横坐标
侧图 421(d)示两图重叠部分正值负值相互抵消剩余部分注
明正负号求弯矩图基线改水线 421(g)示总弯矩图 材料力学

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注意：叠加法坐标叠加图形简单拼合
(e)
(g)
(d) (f)
(b)(a) (c)

图 421 例 49 图
例 410 简支梁 AB 承受集中力 P 集中力偶 Pam 作图 422(a)示试叠
加法作梁弯矩图
(d)
(a)
(f)(e)
(b) (c)

图 422 例 410 图
解：首先原结构分解集中力 P 集中力偶 m 单独作两简支梁图 422(a)
图 422(b)图 422(c)示分作出 P m 单独作弯矩图(图 422(e)图 422(f))
弯矩图折线组成直线直线叠加然直线叠加时需求出 ACD
B 四控制截面弯矩值作出弯矩图图 422(e)图 422(f)两图弯矩值求
0ABMM PaPaPaM C 3
1
3
1
3
2 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−+
121
333DM Pa Pa Pa⎛⎞+−−⎜⎟⎝⎠左 3
2
3
1
3
1 PaPaPaM D +右
AB 梁 Pm 时作弯矩图 422(d)示
47 结
1 梁横截面力计算方法梁力方程力图 第 4 章 梁力

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计算梁力基方法截面法
剪力符号脱离体时针转动剪力正反负
弯矩符号梁侧纤维受拉正反负弯矩图画两受拉侧
2 梁力分布荷载间关系
d() ()d
QFx qxx d() ()d Q
Mx Fxx
2
2
d() ()d
Mx qxx
3 区段叠加法作弯矩图
48 思 考 题
1 图 423 示梁作分布荷载求梁力时什情况静力等效
集中力代分布荷载什情况？


图 423 思考题 1 图
2 图 48 示简支梁求 mm − 横截面力时果左段研究象横截面
力仅 AR 左边集中力 P 关 mm − 截面力右边集中力 P BR
没关系呢？
3 图 424 示两相简支梁承受总荷载均 qlP 图(a)集中作
图(b)均匀分布请问种情况更危险？

(a) (b)
图 424 思考题 3 图
4 均布荷载剪力弯矩间微分关系反应意义什？集中荷载作
点关系否适？
5 什集中力偶作处梁剪力图没变化弯矩图发生突变？
6 图 425 示简支梁荷载三角形分布 AC 段剪力图弯矩图分水
线斜直线二次抛物线三次抛物线？

图 425 思考题 6 图 材料力学

·94·
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49 题
1 试求图 426 示梁中指定截面剪力弯矩
(c)
(a)
(d)
(b)

图 426 题 1 图
2 试列出图 427 示梁剪力方程弯矩方程绘制剪力图弯矩图
(a) (b)
(d)(c)
(f)(e)
8kNm 8kNm10kN

图 427 题 2 图
3 带中间铰 C 三支点梁 ABD受荷载图 428 示试作剪力图弯矩图
4m 2m 2m 2m
12kN8kNm

图 428 题 3 图
4 试绘制图 429 中刚架弯矩图 第 4 章 梁力

·95·
·95·
(a) (b) (c)
(d) (e)
图 429 题 4 图
5 利叠加法画出图 430 示结构弯矩图
(e) (f)
(c)
(a)
(d)
(b)

图 430 题 5 图
6 根 M QF q 间微分关系指出图 431 中剪力图弯矩图中错误 材料力学

·96·
·96·
M图
(a)
Q图
(b)
M图
Q图

图 431 题 6 图
7 图 432 中车简支梁移动轮子梁作集中力 P轮子间
轴距变 a 试问：车行什位置时梁弯矩？值少？

图 432 题 7 图
8 梁剪力图图 433 示试作弯矩图荷载图已知梁集中力偶矩作
(a) (b)
图 433 题 8 图
9 梁弯矩图图 434 示试作梁荷载图剪力图 第 4 章 梁力

·97·
·97·
2kN m
2kN m
(c)
2m2m1m 1m
(d)
2m 1m
1kN m
2kN m
1m1m
(a)
3m
1kN m
1kN m
2kN m
2kN m
1m
(b)
1m4m
2kN m
1kN m

图 434 题 9 图


第 5 章 梁 应 力
提：章研究梁线弹性范围面弯曲情况应力分析强度计算问题
章面假设出发设梁线间相互挤压关系物理关系
静力学关系三方面入手导出纯弯曲时梁横截面点正应力公式推广横力
弯曲情形
梁横截面般正应力切应力章介绍矩形工字形圆形薄壁
环形截面切应力分布规律切应力计算公式
梁横截面正应力切应力计算公式基础建立梁正应力强度条件
切应力强度条件强度条件进行强度计算应该注意少数情形梁
正应力强度条件
降低梁正应力提高梁抗弯力章合理选择截面形状采
变截面梁合理配置梁荷载支座三方面探讨梁合理强度设计
章简单讨非称截面梁产生面弯曲条件建立弯曲中心概念
外章简单阐述梁塑性极限计算基原理提出塑性铰概念
51 梁横截面正应力
般情形梁弯曲时横截面弯矩 M 剪力 QF 种弯曲称横力弯
曲(bending by transverse deformation)章知梁横截面弯矩正应力合成
剪力切应力合成梁横截面般正应力切应力
果某段梁横截面弯矩常量剪力零该段梁弯曲称纯弯曲(pure
bending)图 51 中两种梁 AB 段属纯弯曲显然纯弯曲时梁横截面存
切应力

(a) (b)
图 51 梁纯弯曲
(a) 悬臂梁纯弯曲(b)简支梁纯弯曲 第 5 章 梁应力

·99·
·99·
511 纯弯曲时梁横截面正应力
考虑应力变形间关系根梁纯弯曲时变形情况推导梁横截面
弯曲正应力(normal stress in bending)分布
现取称截面梁(矩形截面梁)梁侧面画两条横线 aabb 两条
线 ccdd图 52(a)示然梁两端施加外力偶 Me梁发生纯弯曲实验结果表
明梁变形线 cc dd 弯曲成弧线中面 cc 线缩短面 dd 线伸长
横线 aa bb 保持直线相旋转角度继续垂直弯曲线
图 52(b)示
eeMM a
a
b
b
c c
d ddd
cc
b
b
a
a

(a) (b)
图 52 纯弯曲变形
(a) 画标识线称截面梁(b) 梁纯弯曲变形
根述变形现象做假设：梁受力弯曲横截面会发生转动保
持面继续垂直梁变形轴线弯曲面假设(plane assumption)时
假设：梁线仅承受轴拉伸压缩线间相互挤压两
假设已实验理分析证实
梁弯曲变形凹边线缩短凸边线伸长变形连续性中间
必层线长度保持变面称中性层(neutral surface)中性层横截
面交线称该截面中性轴(neutral axis)图 53 示梁弯曲时横截面绕
中性轴作相转动
中性轴中性层
e eMM

图 53 中性层中性轴
现推导纯弯曲时梁横截面正应力公式推导等直圆杆扭转切应力公式相
似物理静力学三方面综合考虑
1 方面
假想梁中截取长 dx 微段进行分析梁弯曲面假设知两横截面相
转动角度 dθ 图 54(a)示图中 ρ 中性层曲率半径取梁轴线 x 轴材料力学

·100·
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横截面称轴 y 轴中性轴(横截面具体位置尚未确定) z 轴图 54(b)
示现求距中性轴 y 处线 ab 线应变ab 线变形前原长 dx( dρ θ )变形
长度 ()dyρ θ+ ab 线线应变
()dd
d
yyρ θρθε ρ θρ
+ − (a)
式表明梁横截面点处线应变ε 该点中性轴距离 y 成正
2 物理方面
前述梁线间相互挤压材料处线弹性范围拉伸
压缩弹性模量相时虎克定律
yσε ρE E (b)
式表明梁横截面点处正应力σ 该点中性轴距离 y 成正离中
性轴等距线点处正应力相等图 54(c)示
z
y Adσ
z
y
x
xd
ρ
θ
a by
d
OO
O

(a) (b) (c)
图 54 弯曲正应力分布
(a) 梁弯曲截面相变化(b) 梁截面坐标轴(c) 梁截面正应力分布
3 静力学方面
中性轴位置曲率半径 ρ 均未确定需静力学方面加考虑
梁横截面取微面积 dA该面积作微力 dAσ 构成空间行力
系组成三力分量：轴力 NF 绕 yz 轴矩 MyMz
N dA
FAσ ∫
dy A
M zAσ ∫
dz A
M yAσ ∫
前述梁纯弯曲时横截面力分量仅弯矩 M截面 NF My
均等零 Mz 横截面弯矩 M
N d0A
FAσ ∫ (c)
d0y A
MzAσ ∫ (d) 第 5 章 梁应力

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·101·
dz A
M yAMσ ∫ (e)
式(b)代入三式根附录Ⅰ中关截面参数定义
N d0z
A
ESEFyAρρ ∫ (f)
d0yz
y A
EIEMzyAρρ ∫ (g)
2 d z
z A
EIEM yA Mρρ ∫ (h)
式中Sz 横截面 z 轴静矩(static moment of an area)Iyz 横截面惯性积(product of
inertia of an area)Iz 横截面中性轴 z 惯性矩(moment of inertia of an area)
式(f)中 0E
ρ ≠ 必 Sz0根附录Ⅰ知中性轴 z 轴必然通横截
面形心(center of an area)中性轴位置确定
式(g)中 y 轴横截面称轴 Iyz0该式然成立
式(h)中性层曲率(curvature)
1
z
M
EIρ (51)
式中EIz 称梁弯曲刚度(flexural rigidity)式表明曲率 1
ρ
表示梁弯曲变形
梁承受弯矩 M 成正弯曲刚度 EIz 成反
式(51)代入式(b)
z
M y
Iσ (52)
梁纯弯曲情形横截面点处正应力公式式中M 横截面弯
矩y 求应力点 y 轴距离Iz 横截面中性轴 z 惯性矩
式(52)中弯矩 M 距离 y 规定符号代入计算正应力σ正
值拉应力负值压应力具体计算程中般取弯矩 M 距离 y 绝
值代入式(52)进行计算正应力拉压梁变形情况判断：中性层分
界线梁变形凸边应力拉应力凹边应力压应力实际根弯矩 M 方
容易判断出梁变形情况
必须说明式(52)适矩形截面外适具称轴 y 种形状
截面
式(52)出等截面梁说弯曲正应力发生横截面距中性轴
远(截面边缘)点处值
max
max
z
M y
Iσ
令
max
z
z
IW y (53) 材料力学

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·102·

max
z
M
Wσ (54)
式中Wz 称弯曲截面系数(section modulus in bending)截面性质值
横截面形状尺寸关单位 m3
图 55(a)示矩形截面
3212
2 2 6
z
z
I bh bhW hh (55)
图 55(b)示圆形截面
4364
2 2 32
z
z
I ddW dd
π π (56)
轧制型钢弯曲截面系数 Wz 直接附录 2 中型钢规格表中查
zz
y y
oo dh
b

(a) (b)
图 55 矩形圆形截面弯曲截面系数
(a) 矩形截面梁(b) 圆形截面梁
梁受弯时横截面拉应力压应力矩形圆形工字形类截面
中性轴横截面称轴拉应力压应力绝值相等图 56(a)
示 T 字形类中性轴称轴截面拉应力压应力绝值
等图 56(b)示前者拉应力压应力直接公式(54)求
者应分截面受拉受压侧距中性轴远距离代入式(52)求相应
应力
M
σ
σ
y
z
M
σ
σ
y
z
cmax
t maxt max
cmax

(a) (b)
图 56 拉应力压应力
(a) 矩形梁截面拉压应力分布(b) T 形梁截面拉压应力分布 第 5 章 梁应力

·103·
·103·
512 横力弯曲时梁横截面正应力
式(52)根纯弯曲情形推导出梁横截面点处正应力公式横力
弯曲(横截面剪力弯矩情形)该公式似适
梁作横力时切应力存梁横截面梁变形发生翘曲
保持面时梁线间会产生某种程度挤压弹性理分析
实验研究结果表明跨长截面高度(跨高)lh 5 细长梁切应力存
正应力分布影响甚微忽略计实际工程中常梁跨高 lh 值
般远远 5应纯弯曲时正应力公式计算梁横力弯曲时横截面正
应力足满足工程精度求梁跨高越计算结果误差越
例 51 简支木梁受力图 57(a)示已知 q2kNml2m试较梁竖放(图
57(b))放(图 57(c))时横截面 c 处正应力
C
10cm
10cm
20cm z
y
y
z
ll
q
A B
20cm

(a) (b) (c)
图 57 例 51 图
解：首先计算横截面 C 处弯矩
232(2 ) 2 10 4 400088C
qlM ×× N·m
梁竖放时弯曲截面系数
22
43
1
01 02 667 10 m66z
bhW −× ×
横截面 C 处正应力
6
max1 4
1
4000 610Pa6MPa667 10
C
z
M
Wσ − ××
梁放时弯曲截面系数
22
43
2
02 01 333 10 m66z
bhW −× ×
横截面 C 处正应力
6
max 2 4
2
4000 12 10 Pa 12MPa333 10
C
z
M
Wσ − ××
显然
max1σ ∶ max 2σ 1∶2
说梁竖放时危险截面处承受正应力放时半建
筑结构中梁般采竖放形式 材料力学

·104·
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例 52 图 58(a)示 T 字形截面简支梁中点 C 处承受集中力 F 作已知 F50kN
横截面中性轴 z 轴惯性矩 44105 10 mzI −× 试求弯矩截面拉应力
压应力
解：首先作简支梁弯矩图图 58(c)示图出弯矩发生梁
中点截面 C 值
max
1150 244MFl××25kN m ⋅
图M
BA
1m
C
2m
F
Mmax
y
zo
300
10060
340
60
320
(a)
(b)
M 图

图 58 例 52 图
根中性轴位置梁受力情况确定梁中性轴部分承受压应力
部分承受拉应力拉应力压应力作点分距中性轴远边缘
边缘点图 58(b)示尺寸代入式(52)
3
6t
tmax 4
25 10 01 238 10 Pa 238MPa105 10z
My
Iσ −
×× ×× (拉)
3
6c
cmax 4
25 10 03 714 10 Pa 714MPa105 10z
My
Iσ −
×× ×× (压)
52 梁横截面切应力
横力弯曲情形梁横截面弯曲正应力外弯曲切应力(shearing
stress in bending)切应力截面分布规律较正应力复杂节算做详细
讨仅准备矩形截面梁工字形截面梁圆形截面梁薄壁环形截面梁切应力分布
规律作简单介绍具体推导程参阅相关教材
1 矩形截面梁
矩形截面梁横截面图 59(a)示宽 b高 h截面作剪力 QF 弯
矩 M强调切应力图中未画出正应力狭长矩形截面梁侧面没切
应力横截面侧边点处切应力必然行侧边 y 轴处切应力必然着 y 方
考虑狭长矩形截面切应力宽度方变化作假设：(1)横截第 5 章 梁应力

·105·
·105·
面点处切应力均行侧边(2)距中性轴 z 轴等距离点处切应力相等
弹性理分析结果表明狭长矩形截面梁述假设正确般高度
宽度矩形截面梁工程计算中满足精度求
根假设利静力衡条件推导出矩形截面等直梁横截面点
处切应力计算公式处略推导程出结果：
*
Q z
z
S
I bτ F (57)
式中 QF 横截面剪力Iz 横截面中性轴 z 轴惯性矩b 矩形截面宽度 *
zS
横截面距中性轴 y 横线外部分面积(图 59(a)中阴影部分面积)中性轴
静矩切应力τ方剪力 QF 方相
矩形截面静矩 *
zS 等考虑面积该面积形心中性轴距离积
2
*22()()( )2224z
h yhbhSb yy y
−
− + −
式代入式(57)截面距中性轴 y 处点切应力
2
Q 2()24z
h yIτ −F (58)
式知矩形截面切应力着截面高度二次抛物线规律变化图 59(b)
示
2
hy ± 时横截面边缘处切应力 0τ 0y 时中性轴
点处切应力值
y
h o
y
τmax
b
τ
zτ max

(a) (b)
图 59 矩形截面切应力分布规律
(a) 矩形截面切应力分布(b) 矩形截面切应力高度分布

2
Q
max 8 z
h
Iτ F
已知矩形截面中性轴惯性矩
3
12z
bhI 代入式
SS
max
33
22bh Aτ F F (59)
式中Abh矩形截面面积式出矩形截面梁切应力均切材料力学

·106·
·106·
应力 15 倍
2 工字形截面梁
土木工程中常工字形截面梁工字形截面简化图510(a)示图形
翼缘腹板组成工字形截面翼缘腹板切应力分布需分研究
首先分析工字形截面翼缘切应力分布翼缘表面没切应力存
翼缘厚度薄翼缘切应力水方切应力分量行 y 轴方
切应力分量次研究表明翼缘切应力腹板切应力
强度计算时般予考虑
工字形截面腹板视狭长矩形研究矩形截面时两假设
样适式(57)求腹板点处切应力
*
Q z
z
S
I dτ F (510)
式中 QF 横截面剪力Iz 工字形截面中性轴 z 轴惯性矩d 腹板厚度 *
zS
横截面距中性轴 y 横线外部分(含翼缘)面积(图 510(a)中阴影部分面积)
中性轴静矩腹板部分切应力方剪力 QF 方相切应力样
腹板高度二次抛物线规律变化切应力发生中性轴图 510(b)示
整横截面切应力值
*
Qmax
max
z
z
S
I dτ F (511)
式中 *
maxzS 中性轴边半横截面面积中性轴 z 轴静矩实际计算时
工字钢截面式中 *
max
z
z
I
S
查型钢规格表中 x
x
I
S

τmin
τmax
y
x
d
maxτ
τ
h
b
h
y
1

(a) (b)
图 510 工字形截面切应力分布规律
(a) 工字形截面切应力分布(b) 工字形截面切应力高度分布
图 510(b)见腹板切应力切应力相差接均匀分布
截面剪力 QF 全部(约 95～97)腹板承担工程常常剪力腹
板面积似计算工字形截面梁切应力 第 5 章 梁应力

·107·
·107·
QQ
max
11dh Aτ F F (512)
式中A1dh1腹板面积
工字形截面梁受弯时切应力腹板承担弯曲正应力翼
缘承担样截面处材料充分利
3 圆形截面梁
土木工程中圆形截面梁木结构圆形截面切应力分布规律矩形截面
复杂处作详细推导
切应力互等定理知意横截面点切应力必圆周相切矩形截面
作两假设成立研究表明圆形截面切应力中性轴点处
中性轴两端切应力方 y 轴行假设中性轴切应力方均行剪力
FQ点处切应力相等采公式(57)求切应力 maxτ
该式中 b 圆直径 d 代 *
zS 半圆面积中性轴静矩值
3
12
dπ 圆形
截面中性轴惯性矩
4
64z
dI π 代入式(57)
3
* QQQQ
max 4
2
4412
33
464
z
z
d
S
dI bAdd
τ
π
ππ
FF FF (513)
式中 2
4A dπ 圆形截面面积式知圆形截面切应力截面
均切应力 4
3
倍圆形截面切应力分布规律图 511 示
y
d z
y
max
τ
τ

图 511 圆形截面切应力分布规律
4 薄壁环形截面梁
图 512 示薄壁环形截面圆环均半径 r壁厚δ rδ 
作假设：(1)横截面切应力方相切圆周(2)切应力壁厚均匀分布
根假设推导出横截面点切应力计算公式式(57)具相形式
薄壁环形截面切应力发生中性轴采式(57)求切应力 maxτ材料力学

·108·
·108·
时需该式中 b 两倍壁厚 2δ 代 *
zS 半圆环面积中性轴静矩
值 22 rδ 附录 1 知环形截面中性轴惯性矩 3πzI rδ 代入式(57)

*2
QQ Q Q
max 3
2 2222
z
z
Sr
I br r A
δτ δδ δ
× π× π
F FFF (514)
式中 2A rδπ 环形截面面积式知环形截面切应力截面
均切应力 2 倍环形截面切应力分布规律图 512 示
r
y
z
maxmax
δ
τ
τ
τ

图 512 薄壁环形截面切应力分布规律
面分析出等直梁言切应力发生剪力横截面
般位该截面中性轴种形状截面切应力计算公式知
等直梁横截面切应力般公式统表述

*
Qmax max
max
z
z
S
Ibτ F (515)
式中 QmaxF 梁剪力Iz 横截面中性轴 z 轴惯性矩b 横截面中性轴
处宽度 *
zS 横截面中性轴侧面积中性轴静矩
例 53 图 513(a)示简支梁 56a 号工字钢制成中点处承受集中力 F 作已
知 F150kN试较该梁中正应力切应力
解：首先作简支梁弯矩图剪力图图 513(b)(c)示图出该梁
承受弯矩剪力分
max 375kN mM ⋅
Qmax 75kNF
现求梁正应力查型钢规格表知 56a 号工字钢 32 34231cmzW (
型钢规格表 xW 值)梁正应力
3
6max
max 6
375 10 1601 10 Pa 1601MPa2 34231 10z
M
Wσ −
× ×× 第 5 章 梁应力

·109·
·109·

图 513 例 53 图
接着求梁切应力查型钢规格表知 56a 号工字钢 *
max
4773cmz
z
I
S
腹板厚度 d125mm梁切应力
* 3
Qmax Q 6
max 23
*
max
75 10 126 10 Pa 126MPa4773 10 125 10
z
zz
z
FS F
IId dS
τ −−
× ××××
进行较
max
max
1601 127126
σ
τ
见梁中正应力切应力校核梁强度时时
需考虑正应力强度条件忽略切应力强度条件
例 54 外伸梁受力截面尺寸图 514(a)示已知：F 1 400kNF 2 200kN
a 2mh 1 400mmh 2 300mmb 1 300mmb 2 200mm试求该梁中弯曲切应
力
解：首先求梁支反力
FA150kNFB450kN
作外伸梁剪力图图 514(b)示图出该梁承受剪力
Qmax 250kNF
求该截面两参数(分矩形面积惯性矩静矩减矩形面积惯性
矩静矩)
33 33
11 2 2 3403 04 02 03 115 10 m12 12 12 12z
bh bhI −××−−×
* 33
max 1 1 2 2 03 02 01 02 015 0075 375 10 mzSAyAy −− ××−×× × 材料力学

·110·
·110·
b
b
hh
a2a2a
2
2
1
1
y
z
200kN150kN
FF FF
2B1A

(a) (b)

图 514 例 54 图
梁中切应力
* 33
Qmax 6
max 3
250 10 375 10 163 10 Pa 163MPa115 10 005
z
z
S
Ibτ
−
−
×× × ×××
F
53 梁强度条件
前面已提梁横力弯曲时横截面时存着弯矩剪力般应
正应力切应力两方面考虑梁强度计算
实际工程中梁细长梁居般情况梁少发生剪切破坏
弯曲破坏说细长梁强度正应力控制正应力强度条件
设计梁般满足切应力强度求需进行专门切应力强度校核少数
情况弯矩较剪力梁(短粗梁集中荷载作支座附梁)
铆接焊接组合截面钢梁者某抗剪力较差材料(木材)制作梁等
进行正应力强度校核外进行切应力强度校核
531 梁正应力强度条件
等直梁说弯曲正应力发生弯矩截面距中性轴远(
边缘)点处该处切应力零该处正应力相忽略计横截
面正应力点处应力状态视单轴应力状态单轴应力状态
强度条件形式建立梁正应力强度条件：梁工作正应力 maxσ 超材料许
弯曲正应力[]σ
max
max []
z
M
Wσ σ ≤ (516)
材料许弯曲正应力般似取材料许拉(压)应力者关设计规范选
取利正应力强度条件式(516)梁正应力进行强度计算解决强度校核截
面设计许荷载确定等三类问题
必须指出脆性材料(铸铁)制成梁许拉应力许压应力第 5 章 梁应力

·111·
·111·
相等横截面中性轴称轴必须拉伸压缩分进行
强度校核求梁工作拉应力工作压应力(注意二者常常发生
横截面)分超材料许拉应力许压应力
例 55 两根 28a 号槽钢组成简支梁受三集中力作图 515(a)示已知该
梁 Q235 钢制成许弯曲正应力[] 170MPaσ 试求梁许荷载[F]
解：首先求梁支反力
FAFB15F
作梁弯矩图图 515(b)示图出该梁承受弯矩梁中
点值
max 4M F
型钢规格表查 28a 号槽钢弯曲截面系数 340328cm3该梁两根 28a
号槽钢组成梁 Wz 值
32 340328 680656cmzW ×
式(516)
max []zMWσ≤
664 680656 10 170 10F −×××≤
3289 10 N 289kNF ×≤
该梁许荷载[F]289kN
2m2m2m2m
F FF
A B
4F
3F 3F
M

(a) (b)
图 515 例 55 图
例 56 T 字形铸铁外伸梁受力图 516(a)示已知材料许拉应力 t[]30MPaσ
许压应力 c[]90MPaσ 试校核梁强度
解：首先确定中性轴位置根形心坐标公式求
0
12268213 88cm12 2 8 2y × ×+×××+×
行移轴公式求截面中性轴惯性矩 Iz
33
2482 2 212 128 2 (14 88 ) 2 12 (88 ) 764cm12 2 12 2zI ××+××−−++××−
作梁弯矩图图 516(b)示图知B 截面 C 截面弯矩分
maxBMM 4 kN·m
CM 35 kN·m
截面弯矩截面边缘中性轴距离材料许应力三方面综合考虑危
险点出现 B 截面边缘 C 截面边缘出现 C 截面边缘
B 截面边缘受拉 材料力学

·112·
·112·

32
61
tmax t8
4 10 (14 88) 10 272 10 Pa 272MPa [ ]764 10
B
z
My
Iσ σ
−
−
××− × × <×
B 截面边缘受压

32
60
cmax c8
4108810 461 10 Pa 461MPa [ ]764 10
B
z
My
Iσ σ
−
−
××× × <×


1
0y
y
20
120
20
80
1m1m1m
DBCA
11kN 4kN
M图 y
z
4kN· m
35kN· m
(a)
(b)

图 516 例 56 图
C 截面边缘受拉
32
60
tmax t8
35 10 88 10 403 10 Pa 403MPa [ ]764 10
C
z
My
Iσ σ
−
−
××× × >×
梁强度满足求
例题出中性轴截面称轴脆性材料制成梁危险截面
定弯矩截面出现弯矩反较弯矩时果截面拉
应力边距中性轴较远算出结果超许拉应力类问题考虑全面T
字形截面梁工程中常梁应注意合理放置量弯矩截面受拉边距中性轴
较外设计 T 字形截面尺寸时充分利材料抗拉抗压强度应该
中性轴截面边缘距离恰等许拉压应力
例 57 图 517(a)示工字钢制成外伸梁许弯曲正应力[] 160MPaσ 试
选择工字钢型号
解：作梁弯矩图图 517(b)示图出该梁承受弯矩 B
截面值
max 68M kN·m


(a) (b)
2m 2m 2m
34kN 60kN
M 图
68kN· m
26kN· m

图 517 例 57 图 第 5 章 梁应力

·113·
·113·
正应力强度条件梁必需弯曲截面系数 Wz
3
63 3max
6
68 10 425 10 m 425cm[] 16010z
MW σ
−× ××
型钢规格表查 25b 号工字钢弯曲截面系数 42272cm3值梁必需
Wz 值 425cm3仅仅相差 054时正应力
3
6max
max 6
68 10 1609 10 Pa 1609 MPa[ ] 42272 10
Mσ σ −
× ××
超许弯曲正应力 160MPa 1差异般规定 5范围
选 25b 号工字钢
532 梁切应力强度条件
前面已提等直梁正应力发生弯矩横截面距中性轴远点
处该处切应力零处单轴应力状态等直梁切应力发生剪
力横截面中性轴点处该处正应力零处纯剪切应力状态
纯剪切应力状态强度条件形式建立梁切应力强度条件：梁工作切应力
maxτ 超材料许切应力[]τ
*
Qmax max
max []z
z
FS
Ibτ τ ≤ (517)
材料许切应力关设计规范中具体规定
例 58 例题 57 中外伸梁材料许切应力[] 100MPaτ 工字钢型号选定
试校核该梁切应力强度
解：例题 57 中已选 25b 号工字钢正应力超许正应力差值
般规定 5范围满足正应力强度条件现校核该梁切应力强度
作梁剪力图图 518 示图出该梁承受剪力
Qmax 47 kNF
13kN34kN
图SF
2m 2m 2m
34kN 60kN
47kN

图 518 例 58 图
25b 号工字钢查型钢规格表
*
max
2127cmz
z
I
S

QF 图材料力学

·114·
·114·
腹板厚度
10mmd
式(511)梁切应力校核切应力强度：
3
Qmax
max 23
*
max
6
47 10
2127 10 10 10()
221 10 Pa 221 MPa [ ]
z
z
F
I dS
τ
τ
− −
××××
× <

满足正应力强度条件时梁切应力强度条件满足梁安全
设计梁截面时通常先正应力强度条件选出截面进行切应力强度校核
题出般情形梁强度控制素正应力正应力强度条件
设计截面尺寸需切应力进行强度校核
54 梁合理强度设计
前述梁横截面般时存着正应力切应力梁强度通常正
应力强度条件控制强度条件设计梁时梁正应力强度条
件式(516)
max
max []
z
M
Wσ σ ≤
该式知减弯矩提高弯曲截面系数者弯矩较梁段进行局部加
强降低梁正应力提高梁抗弯力梁设计更合理实际工
程中常采合理设计方法包括：合理选择截面形状采变截面梁合理配置梁
荷载支座
1 合理选择截面形状
正应力强度条件式(516)出弯矩确定时梁弯曲截面系数越横截面
承受正应力越然增梁截面面积弯曲截面系数 Wz 增加样
会造成材料浪费济角度取合理截面设计指满足强度求
前提选择截面面积 A (材料耗量少)截面形式者说截面面
积 A 相(材料耗量相)情况获更弯曲截面系数 Wz
横截面点正应力正点中性轴距离截面边缘点应力
达许应力时中性轴处点正应力处材料未充分利
中性轴附面积较截面显然合理圆形截面属类截面样
面积环形截面 Wz 圆形截面样道理矩形截面梁竖放
放合理(参见例 51)样面积工字形槽形截面竖放矩形截面更合
理说提高材料利率增强梁承载力应该量中性轴部
分材料移远离中性轴边缘工字钢槽钢等宽翼缘梁弯曲理指导设计
出合理截面 第 5 章 梁应力

·115·
·115·
综述考虑种形状截面否合理 WzA 值值越材料
越济截面越合理表 51 出种常截面形式 WzA 值
表 51 常截面 WzA 值
截面形式 矩形 圆形 工字形 槽形
WzA 0167h 0125d 029~031h 027~031h
表出矩形截面保持面积变增梁高 h 减梁宽 b 增
WzA 值增加济合理性必须注意梁高度增加限度矩
形截面高时容易引起梁失稳(参阅第 10 章)
然选择梁截面合理形状时考虑横截面应力分布外必须考虑材
料力学性梁条件制造工艺等方面问题考虑梁横截面距
中性轴远边缘点处分拉应力压应力充分发挥材料潜力
应量两者时达材料许应力拉伸压缩许应力值相塑性材
料(建筑钢)梁应采中性轴称轴截面形式工字形矩形薄壁箱形圆
形环形等抗压强度远高抗拉强度脆性材料(铸铁)梁宜采 T 字形
等边工字形等中性轴称截面形式翼缘部分置受拉侧
木梁然材料拉压强度制造工艺求采矩形截面截面
高宽定求北宋李诫 1100 年著营造法式书中指出矩形木梁
合理高宽 hb 151807 年英国著名物理学家托马斯·杨(TYoung)然哲学
机械技术讲义书中指出矩形木梁合理高宽： 2h
b 时强度 3 h
b 时
刚度
2 采变截面梁
等直梁正应力强度条件式(516)确定截面尺寸时弯矩
工程实际中梁弯矩梁长度方会发生变化说弯矩横截
面正应力达材料许应力时余横截面正应力材料
许应力材料充分利克服足弯矩较梁段进行局部加
强梁设计变截面梁梁横截面尺寸致适应弯矩梁长度方变化达
节约材料减轻重目假梁横截面正应力相等均达材料
许应力样变截面梁通常称等强度梁(beam of constant strength)强度条
件
() []()
Mx
Wx σ (518)
式中 M(x)W(x)分表示梁意 x 截面弯矩弯曲截面系数式根弯矩变
化规律确定等强度梁截面变化规律
例 59 图 519(a)示矩形截面简支梁中点处受集中力 F 作设截面宽度 b 变
改变高度 h成等强度梁试求高度截面位置变化规律 h(x)
解：梁左半段距左端 x 处弯矩 材料力学

·116·
·116·
F2F2
F
图 520 叠板弹簧
() 2
FM xx
弯曲截面系数
2 ()() 6
bh xWx
根等强度梁强度条件式(518)
2
() 2 []()()
6
F xMx
bh xWx σ
求
3() []
Fxhx b σ (a)
梁左半段高度变化规律右半段左半段称需求式(a)梁两
端截面高度零法抵抗剪力必须切应力强度条件确定截面
高度
Q
max
min
332[]22
F F
Abhτ τ
求
min
3
4[]
Fh b τ (b)
式(a)式(b)确定梁外形厂房建筑中常见鱼腹梁图 519(b)示
b
h(x)
x
F2 F2
l l
F

F

(a) (b)
图 519 例 59 图
等强度梁种理想变截面梁实际工程中考虑
制造工艺方面限制构造求构件般设计成似
等强度梁例车辆起承重减振作叠板弹簧(图 520)
实质种高度变宽度变化矩形截面简支梁宽度
切割然叠合起制成似等强度梁
3 合理配置梁荷载支座
工艺求许条件通合理配置梁荷载支
座位置降低梁弯矩值
图 521(a)示简支梁跨度中央受集中力 F 作时梁弯矩
max 4
FlM 果集中力通辅助梁作梁图 521(b)示梁弯第 5 章 梁应力

·117·
·117·
矩降原半通合理分散集中荷载降低弯矩值
l4l2l4
F
4
Fl
l
F
lF
8

(a) (b)
图 521 分散荷载弯矩影响
(a) 简支梁集中荷载作弯矩图(b) 简支梁分散荷载作弯矩图
样通合理调整支座间距降低弯矩值图 522(a)示均布荷载简支梁
梁弯矩
2
max 8
qlM 果简支梁两端支座分中间移动 02 l 图 522(b)
示梁弯矩降
2
max 40
qlM 仅原 20工厂矿山中常见
龙门吊车(图 523)立柱位置两端降低横梁中弯矩值
02l02l
q
l
2l
8
l
q
50
l 2 2l
50
2l
40q
q q
q
F

(a) (b)
图 522 移动支座弯矩影响 图 523 龙门吊车示意图
(a) 简支梁两端支承时弯矩图
(b)支座中间移 02 l 简支梁弯矩图
55 非称截面梁面弯曲
551 非称截面梁面弯曲
前面推导称截面梁(具称面外力外力偶作该面细长
梁)发生面弯曲时横截面正应力计算公式(52) 材料力学

·118·
·118·
z
M y
Iσ
现简单介绍该公式推广非称截面梁面弯曲情形适情况
图 524 示 Z 字形截面梁非称截面梁图中 yz 轴横截面形心
惯性轴 x 轴惯性轴构成面(xy 面 xz 面)形心惯性面
1 纯弯曲时情形
果外力偶作梁形心惯性面行面该梁发生面弯曲
外力偶行 xy 面推导称截面梁面弯曲时横截面正应力计算公式
相类似根静力衡关系三方程必然时成立
x
z
y
O

图 524 非称截面梁面弯曲
N d0A
FAσ ∫ (a)
d0y A
MzAσ ∫ (b)
dz A
M yAMσ ∫ (c)
现假设公式
z
M y
Iσ 然成立代入三式
N d0A
z
MFyAI ∫ (d)
d0y A
z
MMyzAI ∫ (e)
2 dz A
z
MM yAMI ∫ (f)
yz 轴横截面形心惯性轴
d0A
yA∫
d0A
yz A ∫
2 d zA
yAI∫
显然式(d)式(e)式(f)均满足假设成立说非称截面梁发生面弯
曲情形称截面梁面弯曲时横截面正应力计算公式(52)然适 第 5 章 梁应力

·119·
·119·
2 横力弯曲时情形
实验结果理分析表明横力必须作梁形心惯性面行某特定
面保证梁发生面弯曲扭转时公式
z
M y
Iσ 然适特定面
梁述形心惯性面发生弯曲时剪力 QF 面果横力作
该特定面行面梁发生面弯曲外会发生扭转
图 525(a)示槽形截面悬臂梁横截面两根轴分 y 轴 z 轴(z 轴截
面称轴)梁端加载横力 F通实验发现外力 F 作线截
面形心位形心惯性面 xy 面时悬臂梁发生面弯曲发生扭转
图 525(b)示外力 F 作线某特定点 A 时梁会发生面弯曲图
525(c)示

(a) (b) (c)
图 525 横力作位置非称截面梁变形影响
(a) 槽形截面悬臂梁(b) 施加作线形心外力梁变形(c) 力作线某特定点时梁变形
552 开口薄壁截面梁弯曲中心
进步理分析(参阅关教材处作详细探讨)证明述外力 F 作线
特定点 A实际截面切应力合力(剪力)作点该点通常称截面
弯曲中心(bending center)称剪切中心(shear center)非称截面梁说横
外力 F 面通截面弯曲中心梁会弯曲扭转
土木工程中尤钢结构中量采开口薄壁截面杆件类构件抗弯
强度较强抗扭刚度较弱容易扭转变形失稳破坏开口薄壁
截面梁必须严格注意外荷载作线截面弯曲中心
见工程实际中确定截面弯曲中心位置相重面简单介绍
确定弯曲中心位置规律：
(1) 具称轴截面例槽形开口薄壁环形截面等弯曲中心必定
称轴图 526 示 材料力学

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·120·
e
0
y
A O z
e
δy
zA O r1
h
1b
e b1h2 2
1 δ
4 Iz
e r0

(a) (b)
图 526 弯曲中心称轴
(a) 槽形截面(b) 开口薄壁环形截面
(2) 具两称轴反称轴截面例工字形Z 字形截面等弯曲中心
形心重合图 527 示
z
y
O
y
z
O
A A

(a) (b)
图 527 弯曲中心形心重合
(a) 工字形截面(b) Z 字形截面
(3) 干中线交点狭长矩形组成截面 T 字形等边等边角钢截面
等弯曲中心中线交点图 528 示
A
O
y
z
O
A z
y
A
O z
y
(a) (b) (c)
图 528 弯曲中心两中线交点
(a) T 形截面(b) 等边角钢截面(c) 等边角钢截面 第 5 章 梁应力

·121·
·121·
规律知弯曲中心位置截面形状尺寸关弯曲中
心仅取决截面剪力作线位置方数值关
例 510 开口薄壁截面梁 36a 号槽钢制成横截面图 529(a)示现该梁受
行腹板面横力 F 作求梁发生面弯曲试求横力 F
作位置
解：梁仅发生面弯曲扭转横力 F 作线必须截面弯曲中心
A图 529(b)示现求弯曲中心 A 距截面腹板中线距离 e
型钢规格表查 36a 号槽钢参数：
h360mmb96mmd9mmδ16mm 411 874cmzI
δy
z
O h
b b1
h
1
O
A
z
y δ
e
d F

(a) (b)
图 529 例 510 图

1
996 915mm22
dbb− −
1
1623602344mm22hh δ−× −×
根关数求 e 值
22 22
11
4
915 344 16 334mm4 4 11874 10z
bhe I
δ ×× ××
横力 F 应作腹板外侧距腹板中线 334mm 处述求解 e 公式推导
参阅参考文献 1
56 考虑材料塑性时梁极限弯矩
线弹性阶段梁正应力出现危险截面距中性轴远(边缘)处
讨梁正应力强度时计算梁正应力强度条件式(516)进行强度
设计法充分发挥梁承载力原：塑性材料制成梁言
应力达屈服极限时危险截面边缘处进入屈服阶段截面部分然
处弹性阶段承受更荷载整截面进入屈服阶段梁会产生破
坏失承载力算荷载称梁极限荷载(limit load)土木工程中某材料力学

·122·
·122·
s
e e
s
S
S
sS
O
Se

图 530 理想弹塑性模型σ ε− 关系
钢筋混凝土构件强度极限状态设计
考虑塑性材料超弹性阶段应力―应变关
系复杂性通常材料简化理想弹塑性模型
(elasticideal plastic model)认材料拉伸压
缩时弹性模量 E 屈服极限 Sσ 均相材料简化
σ ε− 关系图 530 示外假设超出
线弹性范围梁弯曲变形然符合面假设
假设已实验证明梁线线应变
ε 高度然线性变化
现考虑称截面简支梁跨中受集中力 F 作图 531(a)示线弹
性范围梁横截面意点处正应力正该点中性轴距离
横截面正应力刚达材料屈服极限 Sσ 时正应力横截面高度分布规
律图 531(b)中实线示时梁开始屈服发生塑性变形横截面承受弯矩
Ms 称梁屈服弯矩(yield bending moment) S
SS
max
z
z
IM Wy
σ σ (519)
外荷载继续增时横截面线应变增始终保持线性分布横截
面正应力达屈服极限 Sσ 区域边缘逐渐中性轴扩展线应变 Sε ε
点处正应力达 Sσ Sε ε> 点处正应力保持 Sσ 点处塑性区域 Sε ε>
点处处线弹性阶段相应正应力横截面高度分布规律图 531(b)中
虚线示
σs
sσσs
sσ
a a
F

(a) (b) (c)
图 531 弯曲变形弹性塑性发展
(a) 受载称截面简支梁(b) 正应力刚达 Sσ 时正应力分布(c) 全部正应力均达 Sσ 时分布
整横截面正应力均达 Sσ 时横截面高度分布规律图 531(c)
示截面全部成塑性区域梁发生明显塑性变形达极限状态(limit state)
时截面承受弯矩称极限弯矩(limit bending moment) Mu 表示值
tc
tc
uS S
S
St c
d()()d
(d d)
()
AA
AA
M yA y A
yA yA
SS
σσ
σ
σ
+−−
+
+
∫∫
∫∫ 第 5 章 梁应力

·123·
·123·
式中AtAc 分代表横截面受拉受压区域面积
t
t dA
SyA ∫
c
c dA
SyA ∫ 分
AtAc 中性轴静矩均取绝值现设
StcWSS + (520)

uSSM Wσ (521)
式中Ws 称塑性弯曲截面系数(plastic section modulus in bending)单位 m3 mm3
梁跨中截面(危险截面)弯矩达极限弯矩 Mu 时附形成图 532(a)阴影
部分示塑性区跨中截面两侧两段梁极限弯矩 Mu 变条件绕截面
中性轴发生相转动恰似该截面处安置中间铰链铰链两侧作着等
Mu 外力偶矩图 532(b)示通常称塑性铰(plastic hinge)
a a
F
aa
F
M uuM

(a) (b)
图 532 塑性铰
(a) 形成塑性区梁(b) 塑性铰
静定梁言梁形成塑性铰梁达极限状态产生明显塑性
变形时梁承受荷载达值极限荷载
梁达极限状态时根静力学条件轴力 FN0 确定出现塑性铰截面中性轴
位置
tc
NS Sd()d0AA
FA Aσσ+−∫∫

tcA A (522)
式知出现塑性铰截面中性轴截面分两面积相等区域
具水称轴截面例矩形工字形截面线弹性状态极限状态中性轴位
置重合截面水称轴没水称轴截面例工字形截面
两种状态中性轴位置重合中性轴塑性区增加断移动梁线弹
性状态变化极限状态时中性轴初始形心位置移二等分面积处
例 511 试求矩形截面梁极限弯矩值 WsWz
解：矩形截面具水称轴(中性轴) tcSS 高 h宽 b 矩形
截面
2
tc24 8
bh h bhSS ×
矩形截面梁极限弯矩 材料力学

·124·
·124·
2
uSsStc S()4
bhMW SSσ σσ +
矩形截面梁屈服弯矩
2
sS S6z
bhMWσ σ
极限弯矩屈服弯矩相较
us
s
15
z
MW
MW
通例说明通考虑材料塑性充分发挥材料承载潜力效提
高梁承载力矩形截面梁说提高 50
表 52 出工程中常种截面 WsWz( MuMs)值供参考
表 52 常截面 WsWz 值
截面形式 工字形 薄壁环形 矩形 圆形
WsWz 115~117 127 150 170
57 结
1 梁弯曲时正应力计算公式
梁纯弯曲情形横截面点处正应力公式
z
M y
Iσ (52)
式纯弯曲条件导出推广应横力弯曲情形梁弯曲正应力截面高度
呈线性分布中性轴处正应力零截面边缘处正应力达值
max
z
M
Wσ (54)
正应力正负符号通常根弯矩方直观判断
2 梁弯曲时切应力计算公式
种常截面梁切应力
矩形截面梁：
Q
max
3
2 Aτ F (59)
工字形截面梁：
*
Qmax
max
z
z
S
I dτ F (511)
圆形截面梁：
Q
max
4
3 Aτ F (513) 第 5 章 梁应力

·125·
·125·
薄壁环形截面梁：
Q
max 2 Aτ F (514)
等直梁横截面切应力般公式统表述
*
Qmax max
max
z
z
S
Ibτ F (515)
梁切应力发生中性轴点处截面边缘处切应力般零
3 梁强度条件
等直梁正应力发生弯矩横截面距中性轴远点处该处切
应力零处单轴应力状态等直梁切应力发生剪力横截面中
性轴点处该处正应力零处纯剪切应力状态分单轴应力状态
纯剪切应力状态强度条件形式建立梁正应力强度条件
max
max []
z
M
Wσ σ ≤ (516)
切应力强度条件：
*
Qmax max
max []z
z
FS
Ibτ τ ≤ (517)
细长梁强度正应力控制切应力强度影响忽略计
正应力强度条件设计梁少数特殊情况般满足切应力强度求
需进行专门切应力强度校核
4 梁合理强度设计
通合理强度设计效提高梁抗弯强度实际工程中常采合
理设计方法包括：
合理选择截面形状 zWA值值越材料越济截面
越合理
采变截面梁通等强度梁节约材料减轻重
合理配置梁荷载支座效降低梁弯矩值
5 非称截面梁面弯曲
非称截面梁发生面弯曲情形称截面梁面弯曲时横截面正应力计
算公式(52)然适非称截面梁说横外力 F 面通
截面弯曲中心梁会弯曲扭转工程实际中确定截面弯曲中心位置相
重
6 考虑材料塑性时梁极限弯矩
考虑材料塑性时通常材料简化理想弹塑性模型
梁屈服弯矩
sSzM Wσ (519) 材料力学

·126·
·126·
梁极限弯矩
uSsM Wσ (521)
梁危险截面弯矩达极限弯矩时该截面出现塑性铰静定梁言
梁形成塑性铰梁达极限状态产生明显塑性变形时梁承受
荷载达值极限荷载
58 思 考 题
1 推导梁弯曲正应力公式时作假设？假设什条件正
确？
2 什梁弯曲时中性轴定会通横截面形心？
3 梁发生面弯曲试绘出图 533 示种形状截面弯曲正应力高度变化分布
规律

(a) (b) (c) (d)
图 533 思考题 3 图
4 图 534 示简支梁受均布荷载作横截面采两种形式种整根矩形木
梁制成种两根正方形木梁相叠成间连接试问二者应力否
相等
l
q

(a) (b) (c)
图 534 思考题 4 图
5 什等直梁切应力般剪力横截面中性轴点处
横截面边缘边缘点处切应力零？
6 弯矩截面定危险截面？什？
7 试区分概念意义：纯弯曲横力弯曲中性轴形心轴弯曲刚度弯曲截
面系数 第 5 章 梁应力

·127·
·127·
8 什弯曲中心？研究弯曲中心什实际意义？
9 什塑性铰？
10 试述梁截面正应力弹性阶段塑性阶段发展程
59 题
1 长 l 钢带截面宽 b厚 t该钢带重 F放刚性面钢
带端施加 F3 拉力时试求钢带拉起离开刚性面长度 a 钢带
正应力
2 厚度 15mm 钢带卷成直径 3m 圆环已知钢弹性模量 E210GPa
试求钢带横截面正应力
3 钢丝绕直径 2m 卷筒已知钢丝弹性模量 E200GPa屈服极限
MPa200s σ 求钢丝中正应力超材料屈服极限试选择钢丝直径
4 图 535 示长 l 悬臂梁 16 号工字钢制成已知 l1mF20kN试求固定端
截面 abc d 点弯曲正应力
y
zd
c
ba
l
F

图 535 题 4 图
5 受均布荷载作某工字形截面等直外伸梁图 536 示试求梁正应力
时支座位置
6 某外伸梁受力情况图 537 示该梁材料 18 号工字钢试求正应力
C
aa
q
A B
l
BA
30kN
C
10kN
D
15m 15m 10m

图 536 题 5 图 图 537 题 6 图
7 图 538 示简支梁 18 号工字钢制成外荷载作测 D 截面边缘处
线应变 4103 −×ε 已知钢弹性模量 E200GPaa1m试求梁正
应力
8 某外伸梁受力情况图 539 示该梁材料 25a 号工字钢试求梁切
应力 材料力学

·128·
·128·
C
a
2a
q
A B
176kN 31kN
04m 06m 05m
D
qa2
a
2 1m
72kN

图 538 题 8 图 图 539 题 8 图
9 某 T 字形截面铸铁悬臂梁受力图 540 示欲梁拉应力压
应力
3
1 试求翼缘合理宽度
F
z
y
b
400
60
y
y30
1
2

图 540 题 9 图
10 图 541 示 T 字形截面外伸梁受均布荷载作试求梁正应力
切应力
50kN· m
2m 1m
142
30
200
y
z
20160

图 541 题 10 图
11 图 542 示简支梁工字钢制成已知钢许弯曲正应力[ ] 152MPaσ 试
选择工字钢型号
12 图 543 示矩形截面简支梁受均布荷载 q 作已知截面尺寸 b×h试求梁
边缘总伸长
25m
75kN75kN
25m25m25m
75kN
l
q
A B A B

图 542 题 11 图 图 543 题 12 图
13 图 543 示简支梁设计截面已知 q10kN·ml4m材料许弯曲正应力第 5 章 梁应力

·129·
·129·
[] 160MPaσ 试(1)设计圆形截面直径 d(2)设计 bh12 矩形截面(3)选择工字钢
型号说明种截面省材料
14 T 字形截面铸铁外伸梁受力图 544 示已知材料许拉应力
t[] 40MPaσ 许压应力 c[]100MPaσ 试正应力强度条件校核梁强度
15 两根 36a 号槽钢组成梁图 545 示已知 F44kNq1kNm钢许弯
曲正应力[] 170MPaσ 试正应力强度条件校核梁强度
20kN
AC BD
2m 3m 1m
200
30
170
30
z
y
10kNm

图 544 题 14 图
q
A B
FFFF F
6× 1m6m y
z

图 545 题 15 图
16 图 546 示起重机行车梁起重机重 P50kN行走两根工字钢
组成简支梁起重机起重量 F10kN 钢材许弯曲正应力
[] 170MPaσ 设全部荷载均分配两根梁试选择工字钢型号
4m1m 1m
P
10m
F
BA
z
y

图 546 题 16 图
17 T 字形截面悬臂梁受力图 547 示已知 F7kNMe5kN·m材料许拉
应力 t[]5MPaσ 许压应力 c[]12MPaσ 截面中性轴惯性矩
410 000cmzI
(1) 试求梁切应力 材料力学

·130·
·130·
(2) 梁截面放置算合理？
(3) 梁截面合理放置 Me5kN·m 变试求许荷载[F]值
220
60
1m1m
C BA
eM
20
y
z
F

图 547 题 17 图
18 图 548 示矩形截面简支梁圆柱形木料锯成已知 F5kNa15m材料许
弯曲正应力[] 10MPaσ 试确定弯曲截面系数时矩形截面高宽 h
b

梁需木料直径 d
F
a a a
F
z
y
b
d
h

图 548 题 18 图
19 增弯曲截面系数直径 d140mm 圆形截面梁截面边缘切
部分高度δ 图 549 示试求弯曲截面系数δ 值
20 图 550 示正方形截面梁弯曲截面系数图中切尖角
尺寸δ 应少？时弯曲截面系数较未切尖角时增加百分少？
21 横截面图 551 示铸铁简支梁跨长 l2m梁跨中受集中力
F80kN 作已知材料许拉应力 t[]30MPaσ 许压应力 c[]90MPaσ 试
确定截面尺寸δ 值
z
y
d
δ
z
y
δ
h
y
z
δ
δ8
2 δ
10 δ

图 549 题 19 图 图 550 题 20 图 图 551 题 21 图
22 图 552 示正方形截面木梁 C 截面处钻直径 d70mm 圆孔(考虑圆孔第 5 章 梁应力

·131·
·131·
处应力集中影响)材料许弯曲正应力[] 10MPaσ
(1) 试设计正方形截面尺寸
(2) 校核 C 截面强度
z
y
b
b
d70
8kN
600
400
150 C
9kN

图 552 题 22 图
23 题 516 中条件变钢许切应力[] 100MPaτ 试选择工字
钢型号
24 图 553 示悬臂梁长 l800mm三块 50mm×100mm 木板胶合成
端受集中力 F 作胶合面许切应力[ ] 034MPaτ 木材许弯曲正
应力[] 10MPaσ 试求梁许荷载[F]梁正应力
100
50
50
50
l
y
z
F

图 553 题 24 图
25 图 554 示简易起重设备吊车梁 20a 号工字钢制成跨长 l5m
起重量(含电葫芦重)F30kN已知钢材许切应力[] 100MPaτ 许弯曲正应力
[] 170MPaσ 试校核梁强度
26 矩形截面梁受力图 555 示已知梁截面高宽 2h
b
材料许弯曲
正应力[] 10MPaσ 许切应力[] 5MPaτ 试设计该梁截面尺寸
10kNm
2m 1m
10kN 8kN
1m
A BC D
F

图 554 题 25 图 图 555 题 26 图
27 组合木梁受力情况横截面尺寸图 556 示材料许弯曲正应力材料力学

·132·
·132·
[] 10MPaσ 许切应力[ ] 25MPaτ 试该梁进行强度校核
C
2m1m
60kNm
A BD
2m
E
10kN· m
05m
z
y
150
75 75
200
400
100
50
50

图 556 题 27 图
28 荷载 F 直接作跨长 l6m 简支梁 AB 中点时梁正应力超
许值 30消载现象配置图 557 示辅助梁 CD试求辅助梁
跨长 a
29 图 558 示悬臂梁长 l1m端受集中力 F10kN 作已知材料
许弯曲正应力[] 160MPaσ 许切应力[] 100MPaτ 该梁横截面等宽度
高度 h 变化矩形宽度 b30mm试设计等强度梁画出梁致形状
BA
l
F
C D
a
05l
05a l
F

图 557 题 28 图 图 558 题 29 图
30 试判断图 559 示种截面弯曲中心致位置

(a) (b) (c) (d) (e)
图 549 题 30 图
31 试确定图 560 示薄壁截面弯曲中心 A 位置壁厚δ 常数
32 矩形截面简支梁受力图 561 示梁跨中达极限弯矩时试确定梁塑性区
宽度 ls
33 图 562 示 T 形截面梁材料简化理想弹塑性模型屈服极限
s 235MPaσ 试求该梁极限弯矩 第 5 章 梁应力

·133·
·133·
34 图 563 示矩形截面外伸梁受均布荷载作已知梁截面尺寸 b60mm
h120mm材料屈服极限 s 235MPaσ 试求梁极限荷载
z
y
rA O
e b
F
l
l s

图 560 题 31 图 图 561 题 32 图
C
1m3m
q
A B
70
70
8
8

图 562 题 33 图 图 563 题 34 图

第 6 章 梁 位 移
提：前面章节中已讨受拉(压)杆件受扭杆件变形位移计算
章讨受弯杆件变形位移计算
荷载作梁点处产生应力时发生变形种变形积累形成
梁挠曲线梁截面处产生挠度转角章建立挠曲线似微分方程入手研究
梁位移计算方法
保证梁正常工作梁满足强度求外须满足刚度求章研究梁
位移基础建立梁刚度条件
刚度计算外研究梁弯曲时位移重目解超静定梁章
简单超静定梁解法进行讨拉压超静定问题类似解超静定梁问题
衡条件外需考虑变形协调条件研究梁位移变形求解超静定梁必前提
工程中梁挠度梁变形轴线条光滑连续曲线轴线
点略轴线方线位移分量认仅挠度外章研究梁
变形均弹性范围材料服胡克定律概括说变形线弹性章研究
梁位移两约定条件
61 梁挠曲线微分方程
梁变形轴线发生弯曲形成条挠曲线(deflection curve)挠曲线形状
梁弯矩直接关系节里首先建立梁挠度弯矩间关系
表现挠度截面弯矩某种似微分关系建立梁挠曲线方程基础
图 61 示取梁变形前轴线 x 轴轴线垂直轴 y 轴 xy 面梁
形心惯性面梁变形轴线 xy 面弯成曲线挠曲线图 61
示度量梁位移两基量：轴线点(横截面形心) y 方线位移 v
称该点挠度(deflection)横截面绕中性轴转动角度θ 称该截面转角(slope)
图 61 见某截面转角θ 时挠曲线该点切线 x 轴间夹角考虑工
程惯梁挠度正取坐标系中 y 轴正取方
转角时针正梁变形挠曲线函数表达式表示：
()vfx (a)
式中x 梁变形前轴线意点横坐标v 该点挠度式(a)称挠曲线方程
挠度函数
微变形条件挠曲线条扁曲线梁横截面转角
该处挠曲线切线斜率代表 第 6 章 梁位移

·135·
·135·
F
A B
C
A B
C
y
x
C′ B′
vc
θ
θ

图 61 推导梁挠曲线似微分方程坐标系
tanθ θ≈ (b)
考虑
tan ( )vfxθ ′ ′

()f xθ ′ (c)
式(c)称转角方程表达梁横截面转角挠度关系
第 5 章建立挠曲线曲率(curvature)弯矩关系式(51)示
1
z
M
EIρ
高等数学中曲率公式：
()32 2
1
1
v
vρ
′′
′+
(d)
根变形假设梁挠曲线非常缓 2v′ 1 相微量方高阶微量
略式(d)改写
1 vρ
′′ (e)
显然式(51)式(e)建立表示挠度 v 弯矩 M 关系微分方程
选坐标系相适应先协调弯矩曲率正负号问题取坐标系
梁挠曲线曲率凸正挠曲线凸意味着梁部纤维受拉应负弯矩
图 62(a)示相反挠曲线曲率凹负应正弯矩图 62(b)示考虑
种正负号关系式(51)右边加负号
1
z
M
EIρ − (f)
式(f)式(e)建立微分方程式：
zEI v Fa Fx′′ − (61)
式(61)梁挠曲线微分方程(differential equation of the deflection curve)
似微分关系称挠曲线似微分方程谓似忽略剪力引起剪
切变形曲率表达式中略 2v′ 项 材料力学

·136·
·136·
x
M M
M＜0
v′′＞0
x
M M
M＞0
v′′＜0
(a) (b)
图 62 曲率正负号规定
(a) 梁受负弯矩作(b)梁受正弯矩作
62 积分法求梁位移
节建立梁挠曲线似微分方程求解梁转角方程挠曲线方程
式(61)改写
()zEI v M x′′ − (62)
等直杆EIz 常数微分方程直接通积分求解：
1()dzEI v M x x c′ −+∫ (63a)
11( ( )d )dzEIv Mxxxcxd −++∫∫ (63b)
式中两积分常数 c1 d1 利梁边界条件(boundary condition)确定代入式(63(a))
式(63(b))分梁转角方程挠曲线方程
第 4 章讨弯矩方程时注意梁梁段弯矩表达式
相式(62)需分段积分分解出段挠曲线表达式种情况
确定积分常数需利梁边界条件外需利梁段分界处连续条
件(continuity condition)
表 61 常见支承情况边界条件
支承形式 边界条件
固定端

0
0
v
v
θ ′


固定铰


固定铰


0v
第 6 章 梁位移

·137·
·137·
表 62 常见情况连续条件
荷载支承形式 连续条件


vv
θ θ


左右
左右



0vv
θθ


左右
左右

例 61 截面悬臂梁受均布荷载作EIz 常数求端挠度转角
分析：悬臂梁受满布均布荷载作全梁范围弯矩表达式相题
式(62)建立挠曲线微分方程式(63)式(63)积分利支座端挠度转角
0 边界条件解出积分常数挠曲线方程转角方程进求指定截
面处挠度转角
q
A B
l
x
x
y
图 63 例 61 图
解：首先列弯矩方程
2211
22M ql qlx qx− + −
梁挠曲线微分方程
2211
22zEI v ql qlx qx′′ −+
式进行次积分
223
1
111
226zEI v ql x qlx qx c′ −++ (1)
进行第二次积分
22 3 4
12
111
4624zEI v ql x qlx qx c x c −+ ++ (2)
考虑边界条件悬臂梁说悬臂端转角挠度 0
0x 0vθ ′
0x 0v 材料力学

·138·
·138·
述 2 边界条件代入式(1)式(2)解出积分常数
1 0c 2 0c
述积分常数代入式(1)转角方程：
223111
226zzEI EI v ql x qlx qxθ ′ − + (3)
积分常数代入式(2)挠曲线方程：
22 311144624zEI v ql x qlx qx−+ (4)
x l 分代入式(3)式(4)梁端转角挠度：

34
68Bxl Bxl
z z
ql qlvvvEI EIθ ′
根挠度转角正负号规定述结果表明转角时针挠度方
例 62 图示简支梁试求满跨均布荷载作挠曲线方程转角方程
分析：题例 61 类似全梁范围弯矩方程相边界条件考虑简支梁
支承条件题应梁端两支座处挠度 0 作边界条件
q
A B
l
C vmax Aθ Bθ
x
x
2
l
y
图 64 例 62 图
解：首先列出梁弯矩方程：
211() 22M xqlxqx−
然写出挠曲线似微分方程：
211
22zEI v qlx qx′′ − +
式进行第次积分
23
1
11
46zEI v qlx qx c′ −++ (1)
进行第二次积分
34
12
11
12 24zEI v qlx qx c x c −+++ (2)
该梁边界条件
0x 0v
x l 0v 第 6 章 梁位移

·139·
·139·
先第 1 边界条件代入式(2)解出积分常数 c2：
2 0c
第 2 边界条件代入式(2)解出积分常数 c1：
3
1 24
qlc
求出积分常数代入式(1)式(2)分梁转角方程挠曲线方程：
3
2311
4624zz
qlEI EI qlx qxθ −+ +
3
3411
12 24 24z
qlEI v qlx qx x− + +
例 63 求图 65 示悬臂梁挠曲线方程
分析：悬臂梁 xa 处受集中力作集中力两侧梁段弯矩方程相
题式(62)应分段建立挠曲线微分方程积分会存 4 积分常数边
界条件仅 2 (参考例 61)足确定 4 积分常数必须利集中力
F 作截面两侧挠度转角连续条件方解出积分常数挠曲线方程
转角方程
F
A B
l
a
x
y
C

图 65 例 63 图
解：首先分段写梁弯矩方程
()M xFaFx −+ (0≤x≤a)
() 0Mx (a≤x≤l)
挠曲线方程分段写出：
zEI v Fa Fx′′ − (0≤x≤a) (1)
0zEI v′′ (a≤x≤l) (2)
式(1)进行第次积分第二次积分
2
11
1
2zEI v Fax Fx c′ −+ (3)
23
111
11
26zEI v Fax Fx c x d −++ (4)
式(2)进行第次积分第二次积分
22zEI v c′ (5)
22 2zEI v c x d + (6) 材料力学

·140·
·140·
梁边界条件
0x 1 0v′
0x 1 0v
确定 4 积分常数述 2 边界条件外引入 C 截面处 2 连续条
件 x a 处AC 段 C 截面挠度转角 CB 段 C 截面挠度转角应分相等
12x axavv ′ ′
12x axavv
利述 2 边界条件 2 连续条件 4 条件解出 4 积分常数
首先两边界条件代入式(3)式(4)解
1 0c 1 0d
利 2 连续条件 2 方程：
2
2
1
2Fa a Fa c⋅ −
23
22
11
26Fa a Fa c a d⋅ −+
解出
23
2226
Fa Facd−
积分常数分代入式(4)式(6)梁 2 区间挠曲线方程：
2
1 (3 )6 z
FxvaxEI − (0≤x≤a)
2
2 (3 )6 z
FavxaEI − (a≤x≤l)
63 叠加原理求梁位移
变形材料线弹性(linear elasticity)条件梁挠度转角作梁
荷载呈线性关系梁受项荷载时作时先分计算项荷载单独作时梁
挠度转角然求代数项荷载作时位移叠
加原理(superposition principle)求解梁位移中应
例 64 图 66(a)示简支梁受均布荷载集中力偶作试叠加原理求梁跨中 C 处
挠度支座处截面转角
分析：梁荷载分解均布线荷载集中力偶两项简单荷载附录分查出两
种简单荷载单独作时梁位移值叠加原理求需位移
解：附录图 66(b)图 66(c)示荷载作位移分
4
1
5
384c
qlv EI
2
2 16c
Mlv EI− 第 6 章 梁位移

·141·
·141·
425
384 16c
ql Mlv EI EI−
3
1 2 24 6AA A
ql Ml
EI EIθθ θ+ −
3
1 2 24 3BB B
ql Ml
EI EIθθ θ+−+

(a) (b)

(c)
图 66 例 64 图
64 梁刚度条件
强度条件选择梁截面需确定梁刚度条件梁进行刚度校
核说梁变形应该规定限度土木建筑中梁刚度条件通常规定
挠度 maxv 跨度l 值应限制容许挠跨[ ]vl 范围
maxv v
ll
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
≤ (64)
梁容许挠跨般 1
250
～ 1
1000
范围
例 65 简支梁图 67 示 8l m[ ] 1 500vl 210E GPa[ ] 100σ MPa采
20 a 号工字钢试根梁刚度条件确定容许荷载[ ]q 校核强度
分析：简支梁均布荷载作跨中挠度着荷载增加挠度逐渐增加
跨中挠度值 [ ]maxvv 时梁承受均布荷载容许荷载[q]然计算容
许荷载[q]作梁产生正应力 maxσ 容许应力[ ]σ 较 材料力学

·142·
·142·
q
A B
l
Z
I20a

图 67 例 65 图
解：首先查附表 20 a 号工字钢 2 370zI cm4 237zW cm3刚度条件跨
中挠度
[]
4
max
5
384 500z
ql lvvEI
[]
98
33
384 384 210 10 2370 10 155 500 5 500 8
zEIq l
−××× × ×× ×× kNm
232
max
6
1115 10 888 506237 10zz
qlM
WWσ −
×× ×
× MPa＜[ ] 100σ MPa
满足强度条件
65 超静定梁初步概念求解
前面章讨轴拉压杆受扭转圆杆受弯曲梁约束反力构件
力够通静力衡方程求解类问题称静定问题(statically determinate problem)
工程实际中构件反力力静力衡方程全部确定例
图 68(a)中跨度悬臂梁减挠度弯矩端增
加支座图 68(b)示样 AxF AyF AM BxF 等四反力面
意力系建立独立静力衡方程三梁四支座反力仅静
力衡方程确定类仅静力衡方程直接求解问题称超静定问题
(statically indeterminate problem)
超静定结构中约束维持结构衡状态说余惯称余
约束(redundant constrain)余约束相应支座反力称余未知力(redundant unknown
force)未知力数减独立静力衡方程数结果超静定次数(degree of
statically indeterminate problem)超静定次数等余约束余未知力数 第 6 章 梁位移

·143·
·143·
(a) (b)
q
A B
l
MA
FAy FBy
FAx
q
A B
l

图 68 静定梁超静定梁
(a) 静定梁(b) 超静定梁
求出超静定结构全部未知力静力衡方程外寻找补充方程补充
方程数目应等超静定次数说等余约束余未知力数存
余约束杆件变形必然存定限制条件种条件称变形协调条件
求变形相容方程(geometrically compatibility equation of deformation)服
胡克定律材料应力超例极限时变形力成正满足胡克定
律物理方程物理方程代入变形相容方程补充方程补充方程静力
衡方程联立求解求出全部未知力综合运变形物理静力学三
方面条件求解超静定问题方法关键根变形协调条件建立变形相容方程
求解超静定结构时假想某处余约束解该处施加解
约束相应余未知力作荷载余未知力静定结构称基
结构基结构余未知力作处位移应满足原超静定结构约束条件变形
协调条件物理方程代入变形相容方程求出余未知力求出余未知力
构件力应力变形均基结构进行计算
例 66 试作图 69(a)示超静定梁弯矩图
分析：梁次超静定梁需建立补充方程解余约束反力代
时基结构必须静定变体系原结构变形状态
受力状态完全等价解余约束变形相容方程物理关系求出
补充方程求出余未知力
解：取支座 B 余约束假想解约束代假设未知力 FB
图 69(b)示静定基结构作基结构荷载两种种原均布荷载 q
种未知力 FB两种荷载分单独作基结构图 69(c)图 69(d)根
叠加原理 B 端竖线位移
B Bq BFvv v+ (a)
式中 Bqv BFv 分表示原荷载 q 未知力 FB 单独作基结构时 B 端引起
竖线位移
基结构原结构变形相根原结构支座 B 边界条件
0Bv (b)

0Bq BFvv+ (c) 材料力学

·144·
·144·
式(c)建立补充方程
附录：
4
8Bq
qlv EI
3
3
B
BF
Flv EI−
Bqv BFv 代入式(c)
3
8BFql
FB 正号表明原假设指正确
求出余未知力 FB 基结构图 69(b)静力衡方程求出梁余支
座反力
0AxF 5
8AyFql 21
8AM ql
图 69(f)示弯矩出现剪力零截面跨中弯矩 21
16 ql

图 69 超静定梁求解
66 结
1 梁挠曲线似微分方程积分
梁挠曲线似微分方程
z
Mv EI
′′ −
(c) 原均布荷载单独
作时位移
(d) 未知力单独
作时位移
FB
(e) FS 图
FB
(f) M 图
(b) 基结构 (a) 原结构 第 6 章 梁位移

·145·
·145·
建立方程应梁线弹性微变形假设方程适线弹性
变形情况方程进行积分利梁边界条件(梁弯矩方程分段表示时
利梁挠度转角连续条件)确定积分常数梁挠曲线方程转角方程
变形材料线弹性约定条件求解梁位移时利叠加原理梁受
项荷载作时先分计算(查表)项荷载单独作梁位移然求
代数项荷载作位移
2 梁刚度条件
maxv
l
≤ v
l
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦

利述条件梁进行刚度校核截面设计容许荷载计算
3 超静定梁初步概念求解
拉压超静定问题类似里样运变形协调条件先假想解余约束
代余未知力利变形协调条件建立补充方程补充方程求出余未知力然
解出反力力
已分讨拉(压)杆件受扭杆件受弯杆件变形问题杆件变形
计算建立杆件刚度条件必备前提求解超静定问题重基础
67 思 考 题
1 梁挠曲线似微分方程什适挠度情况
2 关章节章里 运叠加原理求梁力变形叠加原理适条
件什
3 图示长度 l重量 P 等直梁放置水刚性面左端点施
力 3P 提未提起部分保持面密合试求提起部分长度 a

图 610 思考题 3 图
4 解超静定梁程首先解余约束形成基结构计
算基结构进行基结构原结构等价条件什？什
基结构求解作原结构解？
5 章前面章节里分讨拉压超静定问题超静定梁解法超静
定问题解法特点什？ 材料力学

·146·
·146·
68 题
1 试积分法求图 611 示梁挠曲线方程截面转角 Aθ Bθ 跨中挠度EI
常数
q
A B
(a)
2
l
2
l
A B
M
l
(b)
图 611 题 1 图
2 试积分法求图 612 示梁挠曲线方程端转角 Bθ 挠度 Bv EI 常数
A B
l
(a)
0q

A B
(b)
F
2
l
2
l

图 612 题 2 图
3 试叠加法求图 613 示梁端转角 Bθ 挠度 Bv EI 常数
4 试叠加法求图 614 示梁截面转角 Aθ Cθ 端挠度 Cv EI 常数

A B
F
3
l
F
3
l
3
l

q
A B
F
2l l
C
图 613 题 6 图 图 614 题 6 图
5 图 615 示变截面悬臂梁 ABCB 段承受均布荷载 q 已知 212I I 试
积分法叠加法求端挠度 Bv
6 图 616 示面刚架横截面面积均 A 抗弯刚度 EI 端受集中
力 F 作试分求梁端截面C 垂直位移水位移 第 6 章 梁位移

·147·
·147·
q
A BI2 I1 C
2
l
2
l

F
A
B
C
l
l

图 615 题 6 图 图 616 题 6 图
7 图 617 示矩形截面简支梁 AB已知 2hb 20q kNm 5l m容许挠度
[] 1
250vl [ ] 100σ MPa 200E GPa试选择矩形截面尺寸
q
A B
l
b
h

图 617 题 7 图
8 图 618 示悬臂梁 AB两根槽钢组成已知 20q kNm 3l m
[ ] 100σ MPa 210E GPa容许挠度[ ] 1400vl 试选择槽钢型号
q
A B
l

图 618 题 8 图
9 图 619 示工字钢简支梁 AB已知 50F Kn 4l m [ ] 160σ MPa
210E GPa容许挠度[ ] 1 400vl 试选择工字钢型号

A B
F
2
l
2
l

图 619 题 9 图 材料力学

·148·
·148·
10 图 620 示两等强度梁 AB端受集中力 F 作试分求梁挠
曲线方程
F
A B
(a)
l
b
h
F
A
B
(b)
l
h
b

图 620 题 10 图
11 图 621 示梁 AB 强度刚度足截面样材料短梁 AC 加
固试求(1)两梁接触处压力 CF (2)加固梁 AB 弯矩 B 点挠度减百分数
F
A BC
2
l
2
l

图 621 题 11 图
12 求图 622 示超静定梁支座反力
F
A B
(a)
l 2l
F
A B
(b)
l 2l
C

图 622 题 12 图
13 求图 623 示超静定梁支座反力
q
A B
(a)
l l
F
A B
(b)
l l 2l

图 623 题 13 图 第 6 章 梁位移

·149·
·149·
14 图 624 示悬臂梁抗弯刚度 500EI kN·m2果梁支座间距1mm
集中力 10F kN 作梁端时求支座反力
F
A B
1m
1mm

图 624 题 14 图
15 图 625 示梁承受均布荷载 q 作试作剪力图弯矩图
q
A B
l l
C

图 625 题 15 图


第 7 章 应 力 状 态
提：构件材料受力情况破坏情况均相
构件点应力情况全面解章研究构件点处方位截面
应力变化规律——应力状态问题
71 应力状态概念
711 点应力状态(state of stresses at a given point)
前面章中计算杆件应力时般取杆横截面研究分析
杆件种基变形时应力分布规律建立强度条件
[ ]maxσ σ≤ [ ]maxτ τ≤
材料受力情况破坏面发生横截面
例铸铁轴拉伸时破坏面发生横截面轴压缩时着约 45D
斜截面破坏(图 71(a)(b))例低碳钢扭转受力时破坏面发生横截面
果铸铁受扭破坏面发生约 45D 螺旋面(图 72(a)(b))果杆件受种基
变形组合作破坏面发生横截面产生情况原说明斜截面
应力横截面应力必杆件某点应力情况全面解
般说受力杆件某点处方位截面应力集合称该点应力状态(state of
stress at a point)章研究点处应力状态

(a) (b) (a) (b)
图 71 铸铁受拉压时破坏情况 图 72 低碳钢铸铁受扭破坏情况
(a) 铸铁拉伸破坏(b) 铸铁压缩破坏 (a) 低碳钢受扭破坏(b) 铸铁受扭破坏
研究受力杆件某点应力状态通常围绕该点取出限正六面体——
单元体(element) 研究单元体边长限认单元体面应力均匀第 7 章 应力状态

·151·
·151·
分布应两行面应力相等 6 面应力知道 3 面
应力图 73(a)取杆件 A 点作单元体横截面正应力
Z
My
Iσ
确定切应力
*
Z
Z
QS
bIτ 确定根切应力互等定理(theorem of conjugate shearing
stress)时确定两面应力(图 73(b))般说单元体面法线定坐标
轴行该面应力σ τ 写成 x xσ τ

(a) (b)
图 73 梁 A 点应力状态
(a) 受集中力简支梁(b) 梁 A 点单元体应力状态
712 面应力概念
单元体切应力 0 面称面(principal plane)面正应力称应力
(principal stress)(图 74(a))根切应力互等定理单元体某面切应力 0 时
垂直两面切应力时 0三面相互垂直应三
应力相互垂直应力通常 1σ 2σ 3σ 表示代数值排列值
1σ 值 3σ 某点三应力分 60MPa 90MPa 10MPa− －三
应力排列： 12 310MPa 60MPa 90MPaσσ σ−− 中应力 0 时该
应力参加排列某点三应力： 90MPa 0 10MPa− 1 10MPaσ 2 0σ
3 90MPaσ −
根点应力状态应力 0 数目应力状态分三类：
(1) 单应力状态(one dimensional state of stresses)应力 0(图 74(b))
(2) 二应力状态(plane state of stress)二应力 0(图 74(c))
(3) 三应力状态(threedimensional state of stress)三应力 0(图 74(d))
三应力状态称空间应力状态二应力状态称面应力状态单应力状态
称简单应力状态章研究面应力状态

(a) (b) (c) (d)
图 74 单元体应力
1σ
2σ
3σ 材料力学

·152·
·152·
72 面应力状态分析——解析法
721 意斜截面应力
单元体行面应力 0面应力状态(图 75(a)) z 方
应力单元体改成图 75(b)形式 yx 面存 xσ yσ x yτ τ− 面
根单元体面已知应力确定斜截面未知应力找出该点处应
力方位

yσ
xτ
xσ
xσ
yσ
τ
xσ xσ
xσ
yσ
yσ yσ
yτ
yτ
xτ ατ
yσ yσ
α α
xσ x
b c t
z
x
n
xτ
α
α
ασ n
α
xσ
b c
y

(a) (b) (c) (d)
图 75 面应力状态
设斜面外法线 n x 轴夹角α (α 角逆时针转正)该斜面称α 面
(图 75(c))α 面应力分 α ασ τ 表示取出α 面部分隔离体分析
(图 75(d))设 α ασ τ 正假定斜面面积 Aα 现分斜面法线 n 切线t 取
衡方程：
0nF ∑
( cos )cos ( sin )sin ( cos )sin ( sin )cos 0xyxyAA A A Aαα α α α ασσ αασαατααταα−−++
0tF ∑
( cos )sin ( sin )cos ( cos )cos ( sin )sin 0xyxyAA A A Aαα α α α ατσ αασαατααταα−−++
x yτ τ (方已确定没－号)
整理式：
cos 2 sin 222
xy xy
xα
σσ σσσ ατ α+−+ − (71)
sin 2 cos22
xy
xα
σστ ατ α−+ (72)
式面应力状态α 斜面 α ασ τ 计算公式
取 β 斜面 β 面α 面垂直( 90β α +D )式 β 面应力
cos 2 sin 222
xy xy
xβ
σσ σσσ ατ α+−− + 第 7 章 应力状态

·153·
·153·
(sin2cos2)2
xy
xβ
σστ ατ α−− +
ασ βσ 相加：
x yαβσ σσσ++
知意两相互垂直面正应力保持变
722 面应力确定
1 面
切应力 0 面面式(72)中 0α α 时应
0
0ατ 0α 面
面方位
0 00sin 2 cos2 02
xy
xααα
σστατα
− +
0
2tan 2 x
x y
τα σ σ− − (73)
特注意 0α 应力 xσ yσ 较值夹角
2 应力
应 0α 面正应力应力应力相互垂直根意两相互垂直面
正应力保持变原知应力单元体正应力极值分达
极值极值 0tan 2α 换算成 00sin 2 cos2α α0
πsin(2 )2α + 0
πcos(2 )2α + 分
代入式(71)中：
22
max
min
()22
xy xy
x
σσ σσσ τ+−± + (74)
式应力计算公式该点处正应力
723 切应力
意截面 ατ α 变量函数求出切应力根式(72)α
求阶导数
d ()cos22sin2d xy x
ατ σ σαταα − −
1α α 时 d 0d
ατ
α 1α 截面切应力极值 1α 代入式
11
1
()cos22sin20
t a n 2 2
xy x
xy
x
σ σατα
σσα τ
−−
−
(75)
利 x yτ τ− 式求解出两角度两角度相差 90°
0
1
1tan 2 tan 2α α− 1022αα+90° 10α α＝+45°说明切应力面夹材料力学

·154·
·154·
角 45°式(75)中解出 11sin 2 cos2α α 代入式(72)求切应力值值
22
max
min
()2
xy
x
σστ τ−± + (76)
例 71 试计算图 76 示单元体指定截面应力已知 80MPaxσ 40MPayσ −
60MPaxτ − 计算求出应力方


图 76 例 71 图
分析：已知单元体 x 面 y 面应力斜面法线 n x 轴夹角α 30°
式(71)(72)计算出 α 面正应力切应力式(74)求出应力
解：(1) 先 80MPaxσ 40MPayσ − 60MPaxτ − α 30°代入式(71)(72)


30 cos 2 sin 222
80 ( 40) 80 ( 40) cos(2 30 ) ( 60)sin(2 30 )22
10196MPa
xy xy
x
σ σσσσατα+−+ −
+− −−+ ×−−×

D
DD
30 sin 2 cos 22
80 ( 40) sin(2 30 ) 60cos(2 30 )2
2196MPa
xy
x
σστατα−+
−−×−×

D
DD
(2) 面应力
确定面方位根式(73)单元体已知应力代入：
0
2 2(60)tan 2 180 ( 40)
x
xy
τα σσ
× −− − −−−
02α 45° 0α 225°
0α 应力 1σ x 轴夹角应力：

22
max
min
22
()22
80 ( 40) 80 ( 40)()(60)22
xy xy
x
σσ σσστ+−± +
+− −−± +−

yσ
xσ
yσ
xσ
xτ
x
nyτ
30第 7 章 应力状态

·155·
·155·
10485MPa20 8485 6485MPa
⎧± ⎨−⎩

知： 1 10485MPaσ 2 0σ 3 6485MPaσ −
例 72 受力杆件中某点单元体图 77 示已知 12380MPa 0 20MPaσσσ−
试求：(1) 1α 60°斜面应力(2) 2α − 30°斜面应力(3) 切应力

(a) (b) (c) (d)
图 77 例 72 图
分析：该单元体正应力没切应力利式(71)(72)(76)时 0xτ 代入

解：(1) 求 1α 60°斜面应力
11α ασ τ设 13 0xyxσσσστ 式(71)
(72)：

1
1
80 ( 20) 80 ( 20) cos(2 60 ) 5MPa22
80 ( 20) sin(2 60 ) 433MPa2
α
α
σ
τ
+− −−+ ×
−−×
D
D

(2) 求 2α −30°斜面应力样采式(71)(72)：

2
2
80 ( 20) 80 ( 20) cos(2 ( 30 )) 55MPa22
80 ( 20) sin(2 ( 30 )) 433MPa2
α
α
σ
τ
+− −−+ ×−
−−×−−
D
D

(3) 切应力式(76)：
22 13
max
min
80 20() 50MPa222
xy
x
σσ σσττ− − +± + ± ± ±
切应力面 1tan 2 2
xy
x
σσα τ
−∞ 1α 45° max 1τσ夹45°角
1α 45°面正应力：
11
80 20 80 20cos 2 cos90 30MPa22 22
xy xy
α
σσ σσσα+− −+++D＝
例 73 铸铁材料圆轴(图 78(a))试分析扭转时边缘点 A 应力情况
分析：圆轴受扭时横截面边缘处切应力值：
1σ 1σ
1σ 1σ 1σ 1σ 1α 1α
2α
yσ yσ yσ yσ
3σ 3σ
3σ3σ
α 5
1σ 材料力学

·156·
·156·
P
n
M
Wτ
取边缘点 A 分析(图 78(b))单元体面正应力 0
0 xy x yσ στττ −
该单元体属纯切应力状态代入式(74)求出边缘点 A 应力

图 78 例 73 图
解：式(74)：
22
max
min
()22
xy xy
x
σσ σσσ ττ+−± +±
13 σ τστ−
应力方： 0
2tan 2 x
xy
τα σσ −−−
∞

00
00
2 90 2 270
45 135
αα
αα
DD
DD
＝－
＝＝－

述结果表明杆轴 45± D 方应力分达拉应力
压应力圆轴受扭时表面点 maxσ 面加连成倾角 45D 螺旋面(图 72(b))
铸铁抗拉强度低抗压强度杆件螺旋面拉伸发生断裂破坏
73 面应力状态分析——图解法
节面应力状态分析解析法中已知单元体 x yxyσ σττ− 解
析法计算出斜面应力 α ασ τ 面图解方式描述单元体应力情况
现式(71)(72)
cos 2 sin 222
xy xy
xα
σσ σσσ ατ α+−+ − (a)
sin 2 cos22
xy
xα
σστ ατ α−+ 第 7 章 应力状态

·157·
·157·
消α (a)改写
cos 2 sin 222
xy xy
xα
σσ σσσ ατ α+−− −
sin 2 cos22
xy
xα
σστ ατ α−+
两式等号两边方相加：
22 22()()22
xy xy
xαα
σσ σσσ ττ+−−++ (b)
x yxσ στ 已知量式(b)σ 水坐标τ 坐标圆心
( 02
xyσσ+ )点半径 22()2
xy
x
σσ τ− + 圆称 x yx yσ στ τ − 构成圆应
力圆(stress circle)该应力早德国工程师莫尔(Otto Mohr 1835—1918)引入称
莫尔应力圆(Mohr circle for stresses)
面根单元体已知应力 x yx yσ στ τ − (图 79(a))作出相应应力圆(图 79(b))

(a) (b)
图 79 根单元体作出应力圆
(a) 单元体应力分布(b) 单元体应力圆
σ ～τ 直角坐标系选取适例量取 1111xxOB B D Dστ点2 yOB σ
22 yBD τ− 2D 点连接 12D D 两点 12D D σ 轴相交点 C C 圆心 1CD 半
径作圆单元体应应力圆显然圆心 C 坐标
2
x yσ σ+ 半径 1CD CD2
R 22()2
xy
x
σσ τ− + 点 1D 坐标代表单元体 x 面应力求单元体
某α 面应力 αα ατ 应力圆半径 1CD 2α 转动半CE 点
E 坐标 (σ τ）求现证明：
E 点坐标 ()OF EF
0
00
cos(2 2 )
cos2 cos2 sin2 sin2
OF OC OF OC CE
OC CE CE
αα
α ααα
++ +
+ −


2
x yOC σ σ+ 01 0cos 2 cos 2 2
x yCE CD σ σαα−
01 0sin 2 sin 2 xCE CDα ατ− 材料力学

·158·
·158·
OF cos 2 sin 222
xy xy
xα
σσ σσσ ατ α+−+ −
理 EF ατ sin 2 cos22
xy
x
σσ α τα− +
见应力圆点单元体面存应关系应原：基准
致点面应转角两倍转相根种应关系单元体 x y 面应力已
知 ()x yx yσ στ τ− 作出应力圆(图 79(b))方便确定α 面应
力 α ασ τ

(a) (b)
图 710 α 面应力应力圆点应关系
(a) 单元体应力分布(选α 面)(b) α 面应力应力圆点应关系
731 应力应力方位
利应力圆确定应力数值方位图 710(b)示应力圆点 12A A
分横坐标轴值值该两点代表面应力
22
11 1111OA OC CA OC CB B D σ ++ + 22()22
xy xy
x
σσ σσ τ+−++
22
21222 ()22
xy xy
xOA OC C A OC CB σσ σσσ τ+−− − − +
解析法公式完全相面方位应力圆点 1D 转点 1A 11D A 应
圆心角 02α (设 0α 时针转负)
11
0
1
2tan 2 x
x y
DB
CBα
τ
σ σ− − −
单元体 x 面法线时针转 0α 面方位
应力圆 1D 点作σ 轴行线交圆周 2E 点连 21EA线单元体作
21EA行线面方位圆弧 11D A 应圆周角弧应圆心角
半 x 面法线水坐标轴行容易确定面方位
732 切应力方位
单元体切应力(maximum shearing stress)解析法中式(76)求出应力圆第 7 章 应力状态

·159·
·159·
切应力应力圆高点 00D D ′低点 (图 710)该两点坐标两切应力
值
22 22
max 1 1 1 1
min
()2
xy
xCD CB B D σστ τ−±+ ± +
应力圆见 01D A 圆弧应圆心角90D 1A 0D 逆时针转单元体
应力 1σ 逆时针转 45D 正号切应力面时针转 45D 负号切应力面
切应力应力夹 45D 角
例 74 面应力状态图 711(a)示已知 50MPa 20MPaxxστ 图解法
试求：
(1) 60α D 截面应力
(2) 应力单元体绘出面位置应力方
(3) 切应力单元体绘出切应力作面

(a) (b) (c)
图 711 例 74 图
分析：已知单元体 x 面 y 面应力根该两面应力先作出应力圆斜
面法线 n x 轴夹角 60α D 应力圆 1CD 半径逆时针转 2120α D 交 圆
周点 E E 坐标求应力圆σ 轴交点 12A A 应力应力圆
坐标高点 maxτ 根 1D 1A 夹圆心角 02α maxτ 1A 夹角确
定 1σ maxτ 方
解：首先(图 711(b)) ~σ τ 坐标例确定 12(5020) (0 20)DD−两点连 12D D
交σ 轴C 点C 圆心 1CD 半径作圆求应力圆
(1) 求 60α D 面应力应力圆 1CD 半径逆时针转120D 交圆周 E 点量取
E 坐标值 48MPa 117MPaααστ α 面应力
(2) 求应力应力圆圆周σ 轴交点 12A A 该两点横坐标单元
体两应力量取：
12357MPa 0 7MPaσσσ−
11D A 圆弧应圆心角：
0
2 220 4tan 2 50 5
x
xy
τα σσ
× −−−− 材料力学

·160·
·160·
25 3
25 3
150D
图 712 例 75 图
002 386 193αα− −DD
单元体时针转 0α 面方作图出 1D 作σ 轴行线
交应力圆圆周点 1D′连 11D A′ 11D A′ σ 轴夹角 0α 单元体作 11D A′
行线 1σ 方
(3) 求切应力
切应力应位置应力圆 00D D′ 点量取 max 32MPa τ 0D
1A 夹90D 角 maxτ 1σ 夹 45D 角 01D D 夹角：
090 2 90 386 514αDDDD－＝－＝
单元体中 x 面逆时针转 514 2572
D
D maxτ 面负号切应力
min max32MPaτ τ− 面垂直(图 711(c))
例 75 已知单元体(图 712)中 α 面 y 面应力 95MPa 25 3MPaααστ
45MPa 25 3MPayyστ 试求：
(1) 单元体应力方
(2) 单元体 x 面应力 xσ

分析：单元体方应力应力圆圆周
α 面 y 面应力圆周
~σ τ 坐标例确定α 面应点
1D (2510) y 面应点 2D (5 －5)连
12D D 作 12D D 垂直分线交σ 轴C
C 圆心 1CD 半径作圆该单元体σ 应应力圆(图 713(a))
解：(1) 量取 1OA 1 120MPaσ 量取 2OA 2 20MPaσ
量取 11D A 应圆心角 1260α D 1 30α D 单元体α 面时针转30D 应
力 1σ 面量取 22D A 应圆心角 2260α − D 2 30α − D 单元体 y 面逆时针
转30D 应力 2σ 面(图 713(b))
(2) α 面 x 面夹角 60D 1CA 半径量取 2120α D 交圆周 E (图 713(c))
E 点坐标 x 面应力量取 E 坐标值 95MPa 25 3MPaxxστ−
题解析法求出应力请读者行练

图 713 例 75 图解法 第 7 章 应力状态

·161·
·161·
74 梁应力应力迹线
741 梁应力
梁横力弯曲时横截面边缘点处单应力状态外余点均产生正应
力切应力横截面挤压 0yσ 横截面正应力 x
Z
My
Iσ 切应力
*
QZ
x
Z
FS
bIτ
梁点应力计算式：
22
1
3
()22
xx
x
σσσ τ± + (77)
xσ 拉压应力 13σ σ2 0σ 拉应力压应力
742 应力迹线
取梁截面 mm− 高度选取 12345 点(图 714)根点正应力
切应力利应力圆确定点处应力数值面位置 mm− 截面处1
5 两点处单应力状态3 点处纯切应力状态24 点处双应力状态点
单元体应力圆出应力方梁高度连续变化梁应力方
变化规律应力迹线应力迹线条曲线该曲线切线该点应力方
致

图 714 梁 mm 截面点应力方
梁取等距离干截面 123…(图 715(a)) a 点求该点应力 1σ 材料力学

·162·
·162·
延长 2 截面交 b 点求 b 点应力方延长交 3 截面 c 点类推
abc…折线应力轨迹线相邻截面越迹线越真实样出
应力迹线(图 715(b))实线代表 1σ 虚线代表 3σ 梁应力迹线中性层交角
45D 梁边缘应力梁轴线行垂直两应力迹线交点处切线垂
直

图 715 应力迹线
(a) 应力轨迹线(b) 应力 1σ 3σ 迹线
知道梁应力方变化规律工程设计中钢筋混凝土梁中
应力迹线判断裂缝发生方适配置钢筋承担梁点拉
应力
75 三应力状态
单元体三应力均 0 时称三应力状态低碳钢拉伸时断口
处应力状态三应力状态(图 716(a))拉杆横截面截面行截面取
单元体(图 716(b))三相互垂直面面拉伸时三应力拉应
力三应力状态面利应力圆确定该点处正应力切应力

图 716 低碳钢拉伸断口处应力
先研究应力 3σ 行斜截面应力情况(图 717(a)) 3σ 该截面
行该斜截面应力σ τ3σ 关应力 12σ σ 决定 12σ σ
作应力圆点表示该圆正应力分 12σ σ理行 12σ σ
斜截面σ τ 分( 13σ σ )( 23σ σ )作应力圆表示(图 717(b))
三应力行意斜截面(图 717(c))应力 nσ nτ (abc 截面)必处三第 7 章 应力状态

·163·
·163·
应力圆围成阴影范围某 D 点 D 点确定较复杂常里
作进步介绍

(a) (b) (c)
图 717 三应力状态
(a) 应力 3σ 行斜截面应力情况(b) 应力圆(c) 三应力均行斜截面应力状态
根分析三应力圆中 13σ σ 作应力圆三应力圆中应力圆
称极限应力圆 1σ 该点正应力 3σ 该点正应力单元体中意斜截
面应力定 13σ σ间
切应力等应力圆 B 点坐标该应力圆半径：
13
max 2
σ στ − (78)
maxτ 面 2σ 方行 13σ σ 面交 45D 角
例 76 空间应力状态单元体图 718(a)示已知 60MPa 20MPaxyσσ−
40MPa 50MPaxzτσ− − 试求该单元体正应力切应力
分析：三应力状态已知 zσ 面面 zσ 应力
根 x y 面应力 x yxσ στ 作出应力圆求出余两应力(图 718(b))
解：图解法(图 718(b))：
12766MPa 366MPaσσ−
见正应力：
3 50MPazσσ−
切应力 13σ σ 组成应力圆高点 B
13
max
766 50 633MPa22
σ στ − +

图 718 例 76 图 材料力学

·164·
·164·
76 广义胡克定律
研究单拉伸压缩时已知道正应力未超例极限时正应力线应变
成线性关系
Eσ ε
横线应变根材料泊松出：
E
σε με μ− −′
节研究复杂应力状态应力应变间关系——广义胡克定律
受力杆件点处 A 三应力 123σ σσ 均例极限时利叠加原
理认三应力状态单元体三单应力状态单元体叠加成(图 719(a))

(a) (b) (c) (d)
图 719 三应力状态叠加
(a) 三应力状态(b) 1σ 单独作(c) 2σ 单独作(d) 3σ 单独作
正应力 1σ 单独作时(图 719(b))单元体 1σ 方线应变 1
11 E
σε 应力
23σ σ 单独作时(图 719(c)(d))单元体 1σ 方线应变分：
32
12 13EE
σσεμεμ− −
123σ σσ 作单元体 1σ 方线应变：
[]11112131 2 3
1 ()Eε εεε σμσσ++ − +
23σσ理求出单元体 方线应变：

[]
[]
2213
3321
1 ()
1 ()
E
E
εσμσσ
εσμσσ
⎫−+⎪⎪⎬
⎪−+⎪⎭
(79)
三应力状态时广义胡克定律(generalized Hook’s law) 123ε εε 分
应力 123σ σσ 方致称点处应变三应变代数值排列
123ε εε≥ ≥ 中 13ε ε 分该点处方线应变值值
1max3minε εεε (710) 第 7 章 应力状态

·165·
·165·
般情况受力杆件某点处单元体面正应力切应力弹性
理证明性材料线弹性范围处变形时点处线应变
x yzε εε 该点正应力 x yzσ σσ 关切应变该点切应力关
求线应变时考虑切应力影响求切应变时考虑正应力影响图 719
中 123σ σσ 换成x yzσ σσ 单元体 x yz 方线应变：
1 ()
1 ()
1 ()
xxyz
yyzx
zzxy
E
E
E
εσμσσ
εσμσσ
εσμσσ
⎫⎡ ⎤−+⎣ ⎦⎪
⎪⎪⎡ ⎤−+⎬⎣ ⎦⎪
⎪⎡ ⎤−+⎪⎣ ⎦⎭
(711)
面应力状态时 0zσ 时式成：
1 ()
1 ()
()
xxy
yyx
zxy
E
E
εσμσ
εσμσ
εμσσ
⎫−⎪
⎪⎪−⎬
⎪
+⎪
⎪⎭
(712)
面应变状态时 0zε 时 ()z xyσ μσ σ+
式出面应力状态 0zε ≠ 面应变状态 0zσ ≠ 值
注意
理切应变切应力出：
xy yz zx
xy yz zxEEE
τττγγγ (713)
例 77 图 720 示钢梁梁 A 点处测线应变 66400 10 120 10xyεε− −× −×
试求： A 点处 x y 方正应力 z 方线应变已知弹性模量 200GPaE 泊松
03μ

图 720 例 77 图
分析： A 点单元体 0zσ 该单元体处面应力状态 xyEε εμ代入
式(711)中求
解：
66
9
1400 10 ( 03 ) 120 10200 10 xyσσ−−× − −××
材料力学

·166·
·166·
9
1 (03)200 10 y xσ σ−×

解
80MPa 0xyσσ


66
9
1 ()
1 (0038010) 12010200 10
zzxyEεσμσσ
−
⎡⎤−+⎣⎦
−××−××

77 三应力状态变形
771 体积应变
单元体处复杂应力状态时体积发生变化设单元体边长分
dddx yz 变形前单元体体积
0 dddV xyz
变形单元体体积变
1123
123122331123
d(1 )d(1 )d(1 )
ddd(1 )
Vx y z
xyz
εεε
ε εεεεεεεεεεε
+ + +
+++++++
略二阶微量
10 123(1 )VV ε εε+++
单元体单位体积改变体积应变(volumetric strain)
Θ 10
123
0
VV
V ε εε−++ (714)
式(79)中三应变代入式
Θ 123
12()E
μ σ σσ−++ (715)
式表明意点处体积应变θ 取决三应力取决间
例
纯剪切面应力状态 1230x xσ τσ σ τ − 式(714)知体积
应变 0θ 般形式空间应力状态切应力体积应变影响体积应变正应
力关：
Θ 12()x yzE
μ σ σσ−++ (716)
单元体面三应力相等时 123nσ σσσ 式(715)变：
Θ 12(3 )
3(1 2 )
nn
n EEK
σ σμ σ
μ
−
−
(717) 第 7 章 应力状态

·167·
·167·
式中
3(1 2 )
EK μ −
称体积变形系数
图 721(a)示单元体分解图 721(b)图 721(c)两种应力情况叠加
图 721(b)中单元体面作着数值相等应力 123
3n
σ σσσ + + 该单元体边长
例伸长缩短单元体发生体积改变发生形状改变

图 721 单元体变形包括体积改变形状改变
图 721(c)中三应力分
123nnnσ σσσσσ− −−
三应力
123123()()() 30nnn nσσ σσ σσ σσσ σ−+−+−++−
0θ 该单元体发生形状改变发生体积改变知图 721(a)中示单元
体变形时包括体积改变形状改变
772 三应力状态弹性变形
种基变形杆件变形分析时变形单位体积储存变形单
应力状态：
1
2u σε
图 721(a)示三应力状态单元体变形
11 2 2 33
11 1
22 2u σ εσεσε+ +
式(79)代入式写成：
[][][]{}11 23 22 13 33 21
1 () () ()2u E σσ μσ σ σσ μσ σ σσ μσ σ−++−++−+
222
123 122331
1 2( )2E σσσ μσσσσσσ⎡⎤++−++⎣⎦ (718)
应力计算杆件单位体积弹性变形公式单元体变形分
体积改变形状改变变形成体积改变形状改变两部
分组合
duu uθ + (719)
式中 uθ 体积改变(volumetric strain energy per unit volume) du 形状改变
(distortional strain energy per unit volume) 材料力学

·168·
·168·
图 721(b)示单元体面作相等正应力 123
3n
σ σσσ + +
式(718)体积改变：
222 2221 2( )2 nnn nnnu Eθ σσσ μσσσ⎡ ⎤++−++⎣ ⎦
2
123
12()6E
μ σ σσ−++ (720)
u 中减uθ 形状改变 du ：
222 2
123 122331 123
222
123122331
1122( ) ( )26
1 ()6
duuu EE
E
θ
μσ σσ μσσσσσσ σσσ
μ σσσσσσσσσ
−⎡⎤− + + − + + − + +⎣⎦
+ ++− − −

222
12 23 31
1 ()()()6E
μ σσ σσ σσ+ ⎡ ⎤−+−+−⎣ ⎦ (721)
78 结
1 点应力状态
般受力情况构件点处应力般相点截面
应力般谓点应力状态指点方位截面应力
变化规律表示点应力状态围绕讨点取正六面体——单元体
三相互垂直面应力已知时通解析法图解法求意方位截面应力
单元体三相互垂直面应力代表点应力状态
2 面应力状态问题
应力零时时单元体成面应力状态般已知单元体相互垂
直两面应力根解析法公式求意斜截面应力
cos 2 sin 222
xy xy
xα
σσ σσσ ατ α+−+ −
sin 2 cos22
xy
xα
σστ ατ α−+
利应力圆求意斜截面应力根 x y 面应力作出应力圆
根点面应关系应力圆确定求截面点然根该点坐标值计算出该
斜面应力
利解析法图解法计算出应力切应力确定面位置
应力：
22
max
min
()22
xy xy
x
σσ σσσ τ+−± +
应力方： 第 7 章 应力状态

·169·
·169·
0
2tan 2 x
x y
τα σ σ− −
切应力：
22
max
min
()2
xy
x
σστ τ−± +
应力 1σ 3σ 分构件中某点处正应力正应力该点方
位截面正应力数值定 1σ 3σ 间
3 广义胡克定律
广义胡克定律建立单元体中应力应变间关系利种关系已知应力
求应变已知应变求应力
79 思 考 题
1 什点处应力状态？什研究点处应力状态？研究点处
应力状态？
2 什面应力？应力正应力什区？确定面应力状态
三应力作面？
3 利应力圆求意斜截面应力应力切应力切应力？样确
定述应力作面？样应力圆中表示出？
4 说面应力状态中 maxσ 方位必定切应力 x yτ τ 指象限
种说法？什？
5 二应力状态切应力什公式计算？利二应力状态应力圆求
出切应力单元体真正切应力？
6 受力杆件某点处方线应变零该点处方正应
力零某方正应力零该点处方线应变零种说
法？什？
7 计算杆件变形什情况叠加什情况叠加？
8 材料相 ab 两单元体已知：a 单元体应力 123300MPaσσσ
b 单元体应力 12 3100MPa 300MPa 400MPaσσ σ− 问两单元体体
积改变差异？体积改变否相？形状改变否相？
710 题
1 横截面 240 5mm× 矩形受拉试件轴线成 45α D 角斜面切应力
150MPaτ 时试件出现滑移线试求时试件受轴拉力 PF 值
2 试解析法求图 722 示单元体指定斜截面应力方标单元材料力学

·170·
·170·
体(应力单位 MPa )

图 722 题 2 图
3 木杆中截取单元体应力状态图 723 示木纹方 x 轴成30D 角
木纹方许切应力1MPa 试通计算说明应力状态否安全？
4 试求图 724 示悬臂梁距离端 072m 截面顶面 40mm 点处
应力方

图 723 题 3 图 图 724 题 4 图
5 单元体面应力图 725 示(应力单位 MPa )试利应力圆求：
(1) 指定截面应力
(2) 应力数值
(3) 单元体画出面位置应力方

图 725 题 5 图
6 焊接工字型截面钢梁受力情况图 726 示已知 pq480kN 40kN mFF
试求梁C 截面左侧边 K 点处应力方 第 7 章 应力状态

·171·
·171·

图 726 题 6 图
7 试解析法图解法求图 727 示单元体应力面单元体绘
出面位置应力方(应力单位 MPa )

图 727 题 7 图
8 图 728 示梁进行试验时测梁 A 点处应变 305 10xε −×
4 165 10yε −×梁材料弹性模量 210GPaE 泊松 03μ 试求梁 A 点处正
应力 x yσ σ
9 图 729 示扭转力偶 25Tm kN·m作直径 60mmd 钢轴试求
圆轴表面点处轴线成 30α D 方线应变已知钢弹性模量 210GPaE
泊松 028μ

图 728 题 8 图 图 729 题 9 图
710 单元体面应力图 30 示(应力单位 MPa )试应力圆求应力材料力学

·172·
·172·
切应力

图 730 题 10 图
11 图 731 示简支梁采 28a 工字钢中性层C 点处贴电阻应变片方
轴线成 45D 角测应变 526 10ε −− × 已知钢材弹性模量 200GPaE 泊松
03μ 试求梁荷载 PF
12 处二应力状态单元体两应力相等 12100MPaσσ
材料弹性模量 200GPaE 泊松 025μ 试求单元体三应变
13 图 732 示体积 310 10 10mm×× 立方铝块放入宽度正10mm 钢槽
中设立方体顶面施加压力 P 6kNF 铝泊松 033μ 钢槽变形计求铝块
三应力

图 731 题 11 图 图 732 题 13 图
14 直径 30mmd 实心钢球承受均匀静水压力压强14MPa
体积会减少少？(已知钢球 210GPa 03E μ )
15 某钢梁截面矩形受力图 733 示材料弹性模量 200GPaE 泊松
03μ 试验测 A 点处 uv 方线应变 661015 10 1715 10uvεε− −− × × 试
求： (1) A 点处应变(2) A 点处线应变

图 733 题 15 图


第 8 章 强 度 理
提：前面章已研究基变形时构件强度条件章根材料
力学性受力情况危险点处复杂应力状态构件建立常温静荷载强度
条件应力建立强度条件
构件受力处复杂应力状态时应力止种情况通试验
确定构件强度根量破坏现象通判断推理概
括提出种种关破坏原假说找出引起破坏素实践检验断完
善章提出关材料破坏原假设计算方法建立复杂应力状态强度条件
介绍目前 4 种常强度理意义发展容应
81 强度理概念
基变形时构件强度条件建立实验基础杆轴拉压时材料处单
应力状态强度条件
[]max
max
N
Aσ σ ≤
式中材料许应力[ ]σ 直接通拉伸试验测出材料失效时应力安全系
数 n 获
圆轴扭转时材料处纯剪切应力状态强度条件
[]max
max
t
T
Wτ τ ≤
式中材料许应力[ ]τ 直接通试验测出材料失效时应力安全系数 n 获

梁横力弯曲时弯曲正应力弯曲切应力强度条件分
[]max
max
Z
M
Wσ σ ≤ []max max
max
QFS
Ibτ τ
∗× ≤
式中材料许应力[ ]σ [ ]τ 直接通拉伸试验测出材料失效应力安全系
数 n 获
说简单应力状态建立强度条件较简单做拉伸压缩试
验解决
工程实践中数受力构件处复杂应力状态果应力考虑般情况三
应力 1σ 2σ 3σ 间种值实际难实验方法测出种应力
例材料极限应力解决样问题简单应力状态实验结果出发推测材
料破坏原构件外力作意点应力应变积蓄应变材料力学

·174·
·174·
设想材料破坏危险点应力应变应变等某素关长期实践
试验数中分析材料破坏现象进行推理材料破坏原提出种假说种假说
认定材料破坏某特定素引起简单应力状态复杂应力状态
素引起破坏简单应力状态试件试验结果复杂应力状态
构件破坏联系起样建立强度理
综合分析材料破坏现象认构件强度足引发两种失效形式：
(1) 脆性断裂：材料明显塑性变形发生断裂断面较粗糙发生垂直
正应力截面铸铁受拉扭低温脆断等关断裂强度理：拉应
力理伸长线应变理
(2) 塑性屈服(流动)：材料破坏前发生显著塑性变形破坏断面粒子较光滑发
生切应力面例低碳钢拉扭铸铁压关屈服强度理切应力理
形状改变理
强度破坏提出种假说种假说差异认：
材料某种方式破坏(屈服断裂)应力应变应变等诸素中某
素引起类假说单应力状态复杂应力状态造成破坏原相
引起破坏素相强度理关材料破坏现象原假设认
简单应力状态复杂应力状态材料某类型破坏某种素引起
利简单应力状态实验结果建立复杂应力状态强度条件称
强度理(strength theories)
82 四强度理
材料破坏物理质分脆断屈服两类形式强度理相应
分两类面介绍目前常四强度理
821 拉应力理
理称第强度理理认破坏拉应力复杂简
单应力状态第应力达单拉伸时强度极限断裂
破坏形式：断裂
破坏条件：
1 bσ σ (81)
强度条件：
1 []σ σ≤ (82)
实验证明该强度理较解释石料铸铁等脆性材料拉应力截面发
生断裂现象单受压三受压等没拉应力情况适合
缺点：未考虑两应力
范围：适脆性材料受拉铸铁拉伸扭转 第 8 章 强度理

·175·
·175·
822 伸长线应变理
理称第二强度理理认破坏伸长线应变复杂
简单应力状态第应变达单拉伸时极限值断裂破坏假设：伸
长应变达简单拉伸极限(假定直发生断裂胡克定律计算)
破坏形式：断裂
脆断破坏条件：
1
b
u E
σεε
1123
1 [( )]Eε σμσσ−+
破坏条件： 123()bσ μσ σ σ− + (83)
强度条件： 123()[]σ μσ σ σ−+≤ (84)
实验证明该强度理较解释石料混凝土等脆性材料受轴拉伸时横截面发
生断裂现象实验结果少材料吻合已少
缺点：广泛解释脆断破坏般规律
范围：适石料混凝土轴受压情况
823 切应力理
理称第三强度理理认破坏切应力 maxτ 复杂
简单应力状态切应力达单拉伸时极限切应力值屈服破坏假设：
复杂应力状态危险标志切应力达该材料简单拉压时切应力极限
破坏形式：屈服
破坏素：切应力
屈服破坏条件：
max
max 1 3
2
1 ()2
s
u
σττ
τ σσ

−

破坏条件：
13 sσ σσ− (85)
强度条件：
13[]σ σσ− ≤ (86)
实验证明理较解释塑性材料出现塑性变形现象没
考虑 2σ 影响理设计构件偏安全
缺点： 2σ 影响
范围：适塑性材料般情况形式简单概念明确机械广理结果
较实际偏安全
824 形状改变理
理称第四强度理理认：材料处什应力状态材料发材料力学

·176·
·176·
生屈服原形状改变( du )达某极限值建立
破坏条件： 222
12 23 31
1 ()2()()2 sσ σσσσσσ−+−+−
强度条件： []222
4122331
1 ()()()2rσ σσ σσ σσ σ−+−+−≤ (87)
根种材料(钢铜铝)薄试验资料表明形状改变理第三强度理
更符合实验结果纯剪切第三强度理第四强度理计算结果差
时第三强度理屈服条件出结果第四强度理计算结果 15
四种强度理统形式：令相应力 rnσ 强度条件统表达式 []rnσ σ≤
相应力表达式：
11[]rσ σσ ≤
21 23()[]rσ σμσσ σ− + ≤
313[]rσ σσ σ−≤
[]222
4122331
1 ()()()2rσ σσ σσ σσ σ−+−+−≤
83 莫尔强度理
莫尔强度理简单假设材料破坏某素(例应力应变)
达极限值引起种应力状态材料破坏试验结果考虑材
料拉压强度承认切应力引起屈服剪断原考虑剪切面正应
力影响建立起强度理
强度条件：
13
[] [][]
σσ σσσ
+
−
− ≤ (88)
相应力表达式：
13
[] [][]rm
σσ σσσσ
+
−
− ≤ (89)
分析：莫尔强度理考虑材料抗拉抗压力等情况符合脆性材料(岩石
混凝土等)破坏特点未考虑中间应力 2σ 影响足处[ ]σ + [ ]σ − 相
材料式(88)演化成式(86)
84 种强度理适范围
841 强度理选原
1 强度理选原
(1) 脆性材料：应力等 0 时第理应力 0 第 8 章 强度理

·177·
·177·
应力 0 时莫尔理应力等 0 时第三第四强度
理
(2) 塑性材料：应力等 0 时第强度理应力状态时
第三第四强度理
(3) 简单变形时：律应强度准扭转：
[ ]maxτ τ≤
(4) 破坏形式温度变形速度等关
842 强度计算步骤
强度计算步骤
(1) 外力分析：确定需外力值
(2) 力分析：画力图确定危险面
(3) 应力分析：画危险面应力分布图确定危险点画出单元体求应力
(4) 强度分析：选择适强度理计算相应力然进行强度计算
例 81 图 81 示单元体试第三第四强度理求相应力
分析：题出 2 单元体分二三应力单元体直接根单
元体三应力应公式(86)公式(87)求解
解：(a)图示二应力状态单元体：

图 81 例 81 图

313
222
4
0 ( 120) 120MPa
1[(0 120) ( 120 120) ( 120 0) 120MPa2
r
r
σ σσ
σ
−−−
++−++−−

(b)图示三应力状态单元体：

3
22 2
4
70 ( 220) 150MPa
1 (150 70 220 ) 195MPa2
r
r
σ
σ
− − −
++

例 82 铸铁零件危险点单元体图 82 示
[σ + ]50MPa[σ − ]150MPa莫尔理校核强度
分析：先求出单元体应力公式(88)校核
强度
图 82 例 82 图 材料力学

·178·
·178·
解：
(1) 求应力
22
1
28 28() (24)418MPa22σ + +−
22
3
28 28( ) ( 24) 138MPa22σ − +−−
(2) 强度校核 50418 ( 138) 464MPa [ ]150rmσ σ +−− <
零件安全
例 83 受压力作容器圆筒部分意点 A(图 83(a))处应力状态图 83(b)
示容器承受压力时应变计测 4188 10xε −× 4737 10yε −×已知
钢材弹性模量 E210GPa泊松 03μ 许应力[] 170MPaσ 试第三强度理
校核 A 点强度
分析：首先根已知条件计算出 A 点应力确定应力然代入第三强度理
公式进行计算校核强度

图 83 例 83 图
解：
9
44
22
9
44
22
12 3
21 10( ) (188 10 03 737 10 ) 628MPa1103
21 10( ) (737 10 03 188 10 ) 183MPa1103
183MPa 628MPa 0
xxy
yyx
yx
E
E
σεμεμ
σεμεμ
σσ σσ σ
−−
−−
×+×+××−−
×+×+××−−


根第三强度理： 313183MParσσσ−

[ ]
[]
3 183 170 100 764170
rσσ
σ
− −×
3rσ 超[ ]σ 764满足强度求
例 84 图 84 示 T 型截面铸铁外伸梁试莫尔强度理校核 B 截面腹板翼第 8 章 强度理

·179·
·179·
缘交界处强度铸铁抗拉抗压许应力分[ ] 30MPaσ + [ ] 160MPaσ −
分析：题确定 B 截面腹板翼缘交界处横截面应力然莫尔强度理
公式校核强度必先计算 B 截面 b 点正应力切应力求出应力
代入莫尔强度理公式校核强度

图 84 例 84 图
解：图 84 易知B 截面： 4M − kN·m 65kNQF −
根截面尺寸求：
4763cmzI *3672cmzS
算出：
6
4
* 33
4
41032 168MPa763 10
65 10 672 10 286MPa763 10 20
z
Qz
z
My
I
FS
Ib
⎧ ×× ⎪ ×⎪⎨ ×× ×⎪ ⎪ ××⎩
σ
τ

截面 B 翼缘 b 点应力状态图 84 示求出应力：铸铁抗拉
压强度等应莫尔强度理：
1 22
3
173168 168( ) 286 MPa04722
σ
σ
⎫ ⎧± + ⎬⎨−⎩⎭

13
[] 30173 ( 047) 174MPa [ ][] 160rmσ σ+
+
−
− − − <σσσσ

满足莫尔强度理求
85 结
1 强度理概念
强度理关材料失效现象原假设认简单应力状态复杂
应力状态材料某类型破坏某种素引起利简单应力状态
实验结果建立复杂应力状态强度条件
2 常 5 种强度理相应力
11[]r ≤σ σσ
21 23()[]r μ− + ≤σ σσσσ
313[]r −≤σ σσ σ 材料力学

·180·
·180·
[]222
4122331
1 ()()()2r σ σσσσσσ−+−+−≤σ
13
[] [][]rm
σ σ σ+
−
− ≤σσσ
3 强度理适范围
仅取决材料性质危险点处应力状态关般情况脆性材料
选关脆断强度理莫尔强度理塑性材料选关屈服强度理材料
失效形式应力状态关例塑性脆性材料三拉应力情况断
裂形式失效宜采拉应力理三压应力情况引起塑性变形宜采第三
第四强度理
86 思 考 题
1 什强度理什研究强度理？
2 四种强度理强度条件什？说明基观点阐明适范围？
3 什强度理？四种强度理优缺点？
4 已知点应力状态图 85 示 [ ]σ σ≤ [ ]τ τ≤ 什说该点应
力满足强度条件？理？

图 85 思考题 1 图
5 低碳钢试件轴拉压时破坏着轴线约成 45°面发生铸铁轴压缩时
切应力( max
1
22
P
A
στ )关什第 2 章中建立强度条
件时正应力考虑呢
87 题
1 直径 d01m 圆杆受力图 86 示 7T kN·m 50kNP T7 kN·m
P50kN 铸铁构件[ ] 40MPaσ  试第强度理校核杆强度

图 86 题 1 图 第 8 章 强度理

·181·
·181·
2 图 87 示两端封闭铸铁圆筒承受压 MPa 5p 轴压力 kN 100F
力偶矩 mkN 3e ⋅M 作径 mm 100d 壁厚 mm 10t 铸铁许拉
应力 MPa 40][ t σ 泊松 250ν 试第二强度准校核强度
p FF
M e M e

图 87 题 2 图
3 图 88 示钢制圆柱形薄壁压力容器径 mm 800d 壁厚 mm 4t 材料
许应力 MPa 120][ σ 试分第三第四强度理确定该容器许压 ][p
p
d
t


图 88 题 3 图
4 图 89 示 25b 工字钢制成简支梁钢许应力 MPa 160][ σ 许切
应力 MPa 100][ τ 试该梁作全面强度校核
10kNm
02m
200kN 200kN
02m
2m
DCAB
10
118
250
13
z

图 89 题 4 图
5 已知铸铁零件危险点处应力图示试分第二强度理莫尔强度理
校核零件强度否安全

图 810 题 85 图

第 9 章 组 合 变 形
提：章杆件种基变形基础进步讨工程实际中常见斜弯曲
拉伸(压缩)弯曲偏心压缩(拉伸)弯曲扭转等种组合变形时强度问题叠加原
理基础分析讨组合变形情况危险截面危险点确定方法进出
种组合变形强度条件
91 组合变形概念
前面章中分讨杆件拉压剪切扭转面弯曲四种基变形条件
强度刚度问题工程实际中受力构件发生变形两种两种
基变形构成例图 91(a)中机床立柱受轴拉伸时弯曲变形图(b)机
械传动中圆轴扭转弯曲变形组合图 91(c)中厂房立柱轴压缩弯曲变形
组合等种两种两种基变形组成变形称组合变形(combined
deformation)

e
F

(a) (b) (c)
图 91 种组合变形形式
(a) 立柱拉弯组合变形(b) 圆轴弯扭组合变形(c) 厂房立柱压弯组合变形
构件外力作线弹性范围满足变形条件受力变形原
始尺寸形状进行计算构件外力引起变形相互独立互影响样
处理组合变形问题时先构件受外力简化符合种基变形作条件
外力系通种基变形条件力应力变形进行分析计算然根叠
加原理综合考虑组合变形情况构件危险截面位置危险点应力状态
构件进行强度计算
需指出构件超出线弹性范围满足变形假设基变形会互相
影响样应叠加原理进行计算类问题解决参阅相关资料介绍
章涉容叠加原理均适 第 9 章 组合变形

·183·
·183·
92 斜 弯 曲
第 4 章弯曲问题中已介绍梁受外力外力偶均作梁称面
梁变形挠曲线称面种弯曲称面弯曲工程实
际中常常会遇梁横力梁称面称面夹
角情况例屋顶檩条倾斜安置时梁承受铅垂方外力称面
受力简图图 92 示种情况梁变形挠曲线外力
面种弯曲称斜弯曲(oblique bending)
F

图 92 矩形截面受力图
图 93 示矩形截面悬臂梁例端受 y 轴夹角ϕ集中力 F 作
力 F 先简化面弯曲情况力 F y 轴 z 轴进行分解
cosyFF ϕ sinzFFϕ (a)
分力 yF zF 作梁分铅垂称面(xOy 面)水称
面(xOz 面)发生面弯曲距左端点 x 截面 zF yF 引起截面弯
矩值分：
( )yzM Fl x − ( )zyM Fl x − (b)
设 ( )M Fl x−式(a)代入式(b)中
sinyMMϕ coszMMϕ (c)
ϕ
x
y
z
F
O
•C(yz)
x
l
D1
D2

图 93 悬臂梁斜弯曲受力图 材料力学

·184·
·184·
截面点 C(yz)处 yM zM 引起正应力分
y
y
M z
Iσ ⋅′ − z
z
M y
Iσ ⋅′′ − (d)
中负号表示均压应力点处正应力正负实际情况确定C 点
处正应力
y z
yz
MzM y
I Iσσ σ ⋅ ⋅′′′+ − −
式(c)代入式
sin cos
yz
M zyII
ϕϕσ
⎛⎞
− +⎜⎟⎜⎟⎝⎠
(91)
面分析式(91)知梁固定端截面弯矩顶点 D1 D2 点危
险点分拉应力压应力拉压应力绝值相等知危险点应力状
态均单应力状态梁强度条件：
[]max max max
sin cos
yz
Mz yII
ϕϕσ σ
⎛⎞
+⎜⎟⎜⎟⎝⎠
≤
[]max
y z
yz
M M
WWσ σ+≤ (92)
面弯曲样危险点应离截面中性轴远点处类具棱角矩形
截面梁危险点位置均应危险截面顶点处较容易确定图 94 示
没棱角截面先确定出截面中性轴位置确定出危险点位置

ϕ
F
y
z
A
中性轴
α
•
•D1
D2

图 94 横截面中性轴位置图
中性轴正应力必 0设截面中性轴点坐标( OOyz )式
(91)
OO
sin cos 0
yz
Mz yII
ϕϕσ
⎛⎞
− + ⎜⎟⎜⎟⎝⎠

中性轴方程式
OO
sin cos 0
yz
zyII
ϕ ϕ+ (93)
式知条通截面形心斜直线设 z 轴夹角α 第 9 章 组合变形

·185·
·185·
O
O
tan tanz
y
y I
zIα ϕ (94)
截面中性轴 z 轴夹角α 确定位置
式(93)式(94)知截面中性轴特点：
(1) 中性轴通截面形心
(2) 位置取决外力 F z 轴夹角截面形状尺寸外力
关
(3) 外力 F 第三象限时中性轴必第二四象限外力 F 第二四
象限时中性轴必第三象限
(4) 截面 y zI I≠ 时α ϕ≠ 中性轴垂直外力 F截面挠曲线面
中性轴垂直挠曲线外力作面面称斜弯曲反截面
y zI I 时α ϕ ϕ 值中性轴会外力 F 垂直梁会发生面
弯曲例圆正方形正边形等截面均类截面
图 94 示确定中性轴位置作行中性轴两直线分横截面
周边相切 D1D2 两点分截面拉应力压应力
梁斜弯曲时挠度利叠加原理进行计算 图 95 图 93 示悬臂梁
端截面弯曲变形公式知 yF zF 引起两方挠度值分：

3 3cos
33
y
y
zz
Fl Flf EI EI
ϕ⋅ ⋅
3 3sin
33
z
z
yy
Fl Flf EI EI
ϕ⋅ ⋅
总挠度值：
22
y zf ff+
设挠度 f z 轴夹角β
tan tanzz
yy
fI
fIβ ϕ
式式(94)知 β α 挠曲线面始终截面中性轴垂直
截面 y zI I≠ 时 β ϕ≠ 图 95 知梁变形挠曲线外力 F 作面
面会发生斜弯曲 y zI I 时β ϕ 时面弯曲 z yI I> 时β ϕ> 表
明挠曲线面外力面倾角 z yI I 值越横截面越
狭长时ϕ 值会引起弯曲面倾角危险点应力会显著增
计算表明矩形截面高宽 33hb 外力 F 倾角 5ϕ D 时 44β D 说明
y zf f≈ 时横截面正应力 maxσ 较 0ϕ D 时正应力增约 30高狭
梁讲面弯曲工作强度利 0ϕ ≠ D 会斜弯曲影
响梁产生侧失稳造成事片面采高狭横截面提高梁强度 材料力学

·186·
·186·

F
y
z
β
fy
fA
中性轴
α
f

图 95 斜弯曲挠度计算示意图
例 91 图 96 屋顶结构图已知屋面坡度 1∶2二桁架间距离 3m木檩
条间距 15m屋面檩条重 06kN m 木檩条 280 120mm× 矩形截面弹性
模量 10GPaE 许应力 [ ] 10MPaσ 许挠度 [ ] 200fl 试校核木檩条强度
刚度
分析：屋面重量通檩条传桁架檩条桁架支承设两端铰支
檩条计算简图简化图 96(b)示跨度 3ml 受均布荷载
06 15 09kN mq ×
屋面坡度 1∶2图 96(c)中 tan 1 2ϕ 26 34ϕ ′ D 檩条受分布荷
载通截面形心铅垂檩条应斜弯曲变形
解：(1) 确定危险截面力
檩条受力状态知中点截面应弯矩 2
max 8M ql 该截面危险
截面两形心惯性面 xyxz 弯矩分

22
max
900 3cos cos cos 26 34 9056N m88z
qlMM ϕϕ× ′⋅ ⋅D

22
max
900 3sin sin sin 26 34 4528N m88y
qlMM ϕϕ× ′⋅ ⋅D
(2) 强度校核
斜弯曲强度条件：
[]max
y z
yz
M M
WWσ σ+≤
截面性质：

229
43120 80 10 128 10 m66y
hbW
−
−×× ×

229
4380 120 10 192 10 m66z
bhW
−
−×× ×

[]62
max 44
4528 9056 825 10 Nm 825MPa128 10 192 10
y z
yz
M M
WWσ σ−−+ + × <×× 第 9 章 组合变形

·187·
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满足强度求

图 96 例 91 图
(3) 刚度校核
分析知挠度发中点 yz 两方挠度值分
( ) 4 4
3
312
9
5cos 5900cos26343 737 10 m80 120 10384 384 10 10 12
y
z
qlf EI
ϕ −
−
′×× ××××× ×
D

( ) 4 4
3
312
9
5sin 5900sin26343 829 10 m120 80 10384 3841010 12
z
y
qlf EI
ϕ −
−
′×× ××××× ×
D

总挠度
[]22 2 2 3000737 829 1109mm 15mm200yzfff f+ + <
见满足刚度求
例 92 图 97 工字钢截面简支梁 4ml 中点受集中荷载 7kNF 作荷载 F 通
截面形心铅垂轴夹角 20ϕ D 材料[ ] 160MPaσ 试选择工字钢型号

图 97 例 92 图
分析：根梁受力特点知发生斜弯曲变形应先通受力分析确定危险截面
危险点相应公式选择截面 材料力学

·188·
·188·
解：中点截面弯矩值
max
74 7kN m44
FlM × ⋅
梁中间截面危险截面 D1D2 点危险点分相等拉
压应力强度条件
[]max
y z
yz
M M
WWσ σ+≤
[]max max
sin 20 cos20y z
yz y z
M M MWW W Wσ σ
⎛⎞
+ +⎜⎟⎜⎟⎝⎠
DD
≤

[]
max sin 20 cos20z
z
y
M WW Wσ
⎛⎞
+⎜⎟⎜⎟⎝⎠
DD≥
式中 yW zW 均定参数需采试算法先假设 10z
y
W
W 试算
()3
63
6
710 10sin 20 cos20 1908 10 m160 10zW −× +××
DD≥
查表试选 No18 工字钢 3185cmzW 326cmyW
36
max 66
sin 20 cos 207 10 1276 10 Pa 1276MPa26 10 185 10σ −−
⎛⎞× + × ⎜⎟××⎝⎠
DD

材料[ ] 160MPaσ 截面选选 No16 工字钢 3141cmzW
3212cmyW
36
max 66
sin 20 cos 207 10 1596 10 Pa 1596MPa212 10 141 10σ −−
⎛⎞× + × ⎜⎟××⎝⎠
DD

该值材料许应力较接 141 67 10212
z
y
W
W <选 No16 工字钢较
合适
外外力 F 铅垂轴夹角 0ϕ D 梁正应力

3
6max
max 6
710 497 10 Pa 497MPa141 10z
M
Wσ −
× ××
见斜弯曲时正应力面弯曲时 32 倍
93 拉伸(压缩)弯曲组合变形
杆件基变形知轴拉压时杆件受外力合力作线必须通轴线
弯曲时受外力须杆件轴线垂直杆件受轴力横力作时外力
合力作线通轴线时杆件产生拉伸(压缩)弯曲组合变形例图 98(a)第 9 章 组合变形

·189·
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示悬臂吊车横梁 AB受压缩时受弯曲变形压弯组合变形
外梁发生横力弯曲时受轴力作构成拉弯(压弯)组合变形图 98(b)
示需注意利叠加原理杆件须满足应条件材料线弹性范围
符合变形假设例图 98(b)中梁弯曲刚度 EI 较挠度较
原始尺寸计算时叠加原理适
q
F

(a) (b)
图 98 梁受拉弯组合变形图
(a) 起重架 AB 梁拉弯组合(b) 悬臂梁受拉弯组合
图 99(a)示矩形截面等直杆端受集中力 F 作例说明拉(压)弯组合
变形时分析方法强度计算问题

α
F
Fx Fy
+
(a) (b) (c)
l

图 99 悬臂梁受拉弯组合图
设力 F 杆轴线端截面相交夹角α 先力 F 分解轴线垂直
轴线方两分力 Fx Fy分
cosxFF α sinyFFα
图 99(b)知杆件轴拉伸横截面正应力均匀分布图 910(a)示
截面点均危险点正应力
x
N
F
Aσ
图 99(c)知杆件面弯曲固定端截面弯矩 yM Fl 截面
边缘点均危险点横截面正应力线性分布图 910(b)示正应
力
y
M
FlM
WWσ 材料力学

·190·
·190·

σN σM
σmax
σmi n
(a) (b) (c)
图 910 横截面应力分布图
(a) 轴拉伸时应力分布图(b) 横弯曲时正应力分布图(c)拉弯组合时正应力分布图
利叠加原理拉伸弯曲正应力叠加危险截面正应力截面高度变化情
况图 910(c)示线性分布危险截面危险点正应力
max
min
xF M
A W
σ
σ ±
应注意图 910(c) NMσ σ< 时情况时 maxσ 拉应力 minσ 压应力
NMσ σ≥ 时 maxσ minσ 均拉应力截面应力分布情况根实际受力状
态确定
分析知危险点处应力状态应单应力状态截面 maxσ 材
料许应力相较建立强度条件：
[]max
xF M
AWσ σ+≤ (95)
许拉压应力相等材料危险截面时存拉压应力时须
杆拉压应力分满足杆件拉压强度条件
例 93 图 911(a)示起重架起重量 40kNG 结构重计横梁 AB 两根槽
钢组成跨长 35ml [ ] 120MPaσ 200GPaE 试求：
(1) 选择槽钢型号
(2) 拉杆 BC 10mm 40mmbh× × 钢条材料 AB 梁相载荷 G 作
梁 AB 中点时计算该点铅垂位移
分析：应先作出 AB 梁受力图便确定变形形式进步确定危险截面危险
点进行相应计算
解：(1) AB 梁受力简图图 911(b)示知应压弯组合变形载荷 G 移
动梁中点时横梁处危险状态弯矩轴力图图 911(c)(d)示判断出危
险截面应梁中点截面力分量：
N
2403464kNtan 30 2tan 30
GF DD
40 35 35kN m44z
GlM × ⋅
危险截面边缘压应力应点进行计算 第 9 章 组合变形

·191·
·191·

图 911 例 93 图
强度条件 []N z
z
F M
AWσ σ+≤ 进行截面设计
式中 AMz 均定参数直接求出先弯曲强度选择截面然
考虑轴力进行校核
[]z
z
M
Wσ σ ≤
[]
3
33 3
6
35 10 0292 10 m 292cm120 10
z
z
MW σ
−×××
≥
截面两槽钢组成应 3146cm2
z
z
MW 查表选 No18 号槽钢相关
截面参数 22929cmA 31522cmzW 413699cmzI
横梁压应力值：

33
N
max 46
3464 10 35 10 1209MPa2 2929 10 2 1522 10
z
z
F M
AWσ −−
××+ + ×× ××
然 [ ]max 120MPaσσ>
[ ]
[]
max 1209 120 075 5120
σσ
σ
− −<
超许应力足 5认满足强度求
(2) 求载荷作点铅垂位移
材料受力线弹性范围变形叠加原理进行计算
变形关系图 911(e)示仅轴力作时 材料力学

·192·
·192·

N11
1 962
11 1
3
3464 35
cos30 200 10 10 40 10 cos 30
202 10 m 202mm
FlFl
EA EAδ −
−
× ××××
×
DD

N22
2 94
22 2
3
3464 35
200102292910
0104 10 m 0104mm
FlFl
EA EAδ −
−
×××× ×
×

轴力引起荷载作点位移：
12
1
1 1 202 0104 211mm2 2 sin 30 tan 30 2 sin 30 tan 30
Bf δδδ⎛⎞⎛⎞ + + ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠DD DD
弯矩引起荷载作点位移：

333
3
2 98
40 10 35 652 10 m 652mm48 48 200 10 2 13699 10z
Glf EI
−
−
×× ××××× ×
荷载作点铅垂位移：
12211 652 863mmfff+ +
94 偏心压缩偏心拉伸
杆件受杆轴线行重合外力作时会杆产生偏心压缩(eccentric
compression)偏心拉伸(eccentric tension)现象例图 91(a)示机床立柱图 91(c)
示厂房立柱分偏心拉伸偏心压缩
现矩形截面等直杆受距离截面形心 O e 偏心压力 F 作例分析
偏心压缩(拉伸)时杆件强度计算问题
图 912(a)示设偏心压力 F 作点 A 坐标(eyez)根力系等效原理
先力 F 截面形心 O 点简化符合基变形外力作条件静力等效力系
图 912(b)示原偏心压力 F 转化：
轴压力 F
作 xOz 面力偶矩 O
y zM Fe
作 xOy 面力偶矩 O
z yM Fe
述力作分杆发生轴压缩两称面纯弯曲
压弯弯组合变形图 912(b)知杆件横截面力轴力弯矩
均保持变分：
NFF O
y yzM MFe O
z zyM MFe
述三种力截面点 B(yz)处产生正应力分
NF F
A Aσ ′ − y z
yy
Mz Fe z
I Iσ ⋅ ⋅′′ − yz
zz
Fe yMy
IIσ ⋅⋅′′′ −
式中A yI zI 分杆件横截面面积截面形心惯性轴 yz 轴惯性矩
般情况种力截面某点处产生应力正负均受力图直接判断出第 9 章 组合变形

·193·
·193·
图 912(a)示情况σ ′ σ ′′ σ ′′′ 均压应力式中均负号表示

•
x z
y
• e O
F A(eyez)
•
z
y
•
O
F
My
Mz
C
z
y
D
•
B(yz)
(a) (b)

图 912 矩形截面偏心受力示意图
(a) 偏心受力示意图(b) 力形心简化示意图
根叠加原理 B 点处正应力：
yz
yz
Fe yFe zF
A IIσσ σ σ ⋅⋅′′′′′′++ −− − (a)
式(a)知图 912(b)中横截面角点 C 产生压应力横截面拉
应力话拉应力必发生截面角点 D 处 CD 两点危险点两点
应力状态均单应力状态偏心压缩(拉伸)强度条件表示：
[ ]
[]
max
max
t y tz
c cyz
Fe yFe zF
AI I
σ σ
σ σ
⋅⋅− ± ± ≤ (96)
没明显凸出棱角横截面图 913 示形状截面先确定出截面中
性轴位置进步确定出危险点位置

y
z
ay
az
中性轴
O
•
•
C
D
•e

图 913 中性轴位置示意图 材料力学

·194·
·194·
设偏心压力作点 A 点中性轴点坐标( OOyz )中性轴
应力 0式(a)：
OO1 0yz
yz
eyez
AI I
⋅⋅+ + (b)
引入惯性半径：
yyiIA zziIA
式(b)写：
OO
2210yz
yz
eyez
ii
⋅⋅+ + (97)
式偏心压缩时中性轴方程设两坐标轴截距分 ayaz
式(97)知值分

2
z
y
y
ia e −
2
y
z
z
ia e − (98)
式(97)式(98)知偏心压缩(拉伸)时中性轴特点：
(1) 中性轴通截面形心
(2) 中性轴位置仅取决外力作点位置偏心矩 e 值横截面形状尺
寸外力关
(3) 外力作点 A 中性轴分处截面形心相两边
(4) 外力作点 A 分截面称轴 yz 轴时中性轴分 zy 轴行
单偏心压缩(拉伸)
确定截面中性轴位置分作中性轴行两直线截面外边
缘相切 CD 两点图 913 示该两点分产生压拉应力危险点
例 94 矩形截面短柱承受载荷 1 25kNP 2 5kNP 作 P1 偏心距 25mme
柱高 600mml 尺寸图 914(a)示已知材料许拉应力[ ] 10MPatσ
许压应力[ ] 15MPacσ 试校核短柱强度确定危险截面中性轴位置

图 914 例 94 图
分析：短柱受力状态知应偏心压缩变形固定端截面危险截面 第 9 章 组合变形

·195·
·195·
解：危险截面力分量
N125kNFP (压)
33
1 25 10 25 10 625N myMPe −×× × × ⋅
33
2 5 10 600 10 3 000N mzMPh −××× × ⋅
危险截面 AC 两点分产生拉应力压应力式(96)

[]
N
3
62929
25 10 625 6 3 000 6
100 150 10 150 100 10 100 150 10
883MPa
y z
A
yz
t
MF M
AW Wσ
σ
− −−
− + +
×××− + +×× ×× ××
<


N
3
62929
25 10 625 6 3 000 6 100 150 10 150 100 10 100 150 10
y z
c
yz
MF M
AW Wσ
−−−
− − −
×××+ +×× ×× ××

1217MPa < []cσ
短柱满足强度条件
欲确定危险截面中性轴位置设中性轴点坐标( OOyz )
()N 0yO zO
OO
yz
MzFMyyz AI Iσ − + +


3
6212212
25 10 625 12 3000 12 0100 150 10 150 100 10 100 150 10OOzy−− −
×× ×− ++×× × × × ×
中性轴方程
2994 6389 1 0OOzy+ −
分令 0Oz 0Oy 中性轴 yz 轴截距分
157mmya
334mmza
中性轴位置图 914(b)示
95 截 面 核 心
知道中性轴截面分成拉压两应力区域式(98)出外力偏
心距 eyez 愈时中性轴截距 ayaz 愈中性轴离截面形心越远甚会移
截面外样偏心压缩言截面会产生压应力没拉应力
偏心压力作截面形心附某范围时中性轴截面外截面周边相
切整截面出现拉应力截面产生压应力外力作范围称该截
面截面核心(core of section) 材料力学

·196·
·196·
土建工程中常砖石混凝土等类建筑材料抗拉强度远低抗压强度
类构件进行设计计算时安全起见般截面出现拉应力免出现
拉裂破坏类问题截面核心概念具重意义
确定形状截面截面核心边界时应先确定截面形心惯性轴图 915
示截面设 yz 轴形心惯性轴作截面边界相切直线 11作中性
轴 yz 轴截距 ayaz式(98)
2
z
y
y
ie a−
2
y
z
z
ie a − (99)

y
z 1
1
4
az
ay
• 1
•
•
B
C
2 2
3
3
4
4
3
•4 2

图 915 意截面核心示意图
确定点 1 位置坐标(eyez)该点中性轴 11 应外力
作点截面核心边界点理作出截面边界相切系列中性
轴式(99)确定出应截面核心边界点点序连接起封闭
曲线该曲线截面核心边界该曲线围成面积图形截面核心
图 915 中带阴影线面积
确定较规边形截面核心时某截面边界线作中性轴确定
应截面核心边界点图 915 中截面 ABBC 边分 ABBC 边(直线
22直线 33)作中性轴时应截面核心边界点(外力作点)分 23 点
截面顶点 B 作出系列斜率截面相交中性轴例直线 44
中条 B 点中性轴点坐标(yBzB)代入中性轴方程(97)中
2210yBzB
yz
eyez
ii
⋅⋅+ +
式中 yBzB 惯性半径常数表示外力作点坐标 eyez
间关系直线方程说直线 44 中性轴绕 B 点转动时应外力作
点 4 必然条连接 23 点直线移动种情况需确定边形边界
作中性轴应外力作点直线连接确定截面核心边界
应注意周边凹进部分截面确定截面核心边界时取凹进部分
周边相切直线作中性轴该直线横截面相交样截面拉应力
存
图 916 示工程中常见矩形截面欲确定截面核心分取截面边界 AB
BCCDAD 中性轴确定出中性轴应截面核心边界点点次第 9 章 组合变形

·197·
·197·
直线连接截面核心范围现取 AB 中性轴 yz 两轴截距分
1 2y
ha 1za ∞
矩形截面惯性半径
2
2
12y
bi
2
2
12z
hi
式(99) AB 中性轴应截面核心边界点 1 坐标
2
1
1 6
z
y
y
i he a− −
2
1
1
0y
z
z
ie a −
理确定分 BCCDAD 中性轴时应截面核心边界点 234 坐
标分 2(0
6
b )3( 6
h 0)4(0
6
b− )确定四点次直线相连矩
形截面截面核心边界图 916 知位截面中央菱形角线长度分
3b 3h 矩形截面受偏心压力作时欲横截面出现拉应力
受偏心压力必须图 916 示阴影线范围截面核心范围
图 917 示直径 d 圆截面作圆截面边界相切 AB 直线中性轴
yz 两轴截距分
1 2y
da 1za ∞
圆截面惯性半径
4yz
dii
式(99) AB 中性轴应截面核心边界点 1 坐标
2
1
1 8
z
y
y
i de a −−
2
1
1
0y
z
z
ie a −
圆截面称性知截面核心边界应圆直径 4d 圆
截面截面核心直径 4d 心圆图 917 中阴影线面积

图 916 矩形截面截面核心 图 917 圆截面截面核心
例 95 试确定图 918 示 No20 号槽钢截面截面核心
分析：次选取截面边界中性轴式(99)求出相应外力作点位置
次连接确定点相应截面截面核心 材料力学

·198·
·198·

图 918 例 95 图
解：查表知 No20 号槽钢惯性半径
209cmyi 764cmzi
分 ADABBCCD 中性轴时求出两坐标轴截距 ayaz
式(99)
2
z
y
y
ie a −
2
y
z
z
ie a −
应荷载作点坐标(eyez)次连接点求截面截面核心
图 918 示具体计算见表 91
表 91 例 95 计算结果
中性轴编号 AD CD BC AB
ay 10 ∞ 10 ∞ 中性轴截距
(cm) az ∞ 555 ∞ 195
应截面核心界点 1 2 3 4
2
z
y
y
ie a− 584 0 584 0
截面核心边界
点坐标值(cm) 2
y
z
z
ie a− 0 0787 0 224

例 96 图 919 示欲建造矩形截面混凝土挡水坝水高度 h水混凝
土容重分 wγ cγ 25wcγ γ 求坝底拉应力 0试设计坝宽度 b
分析：取单位长度坝体考虑坝体受静水压力重作底面偏心受压
受剪组合剪力导致拉应力偏心受压处理坝底截面
拉应力 0受合力作点必须通截面核心边缘
解：矩形截面截面核心关系图 919 知：
21
263wc
bhhbhγγ

25wcγ γ 第 9 章 组合变形

·199·
·199·

2225bh
063bh

图 919 例 96 图
96 弯曲扭转组合变形
基变形中研究圆轴受扭时强度刚度问题工程实际中杆件受
扭转变形时会受横力弯曲作种弯曲变形忽略时杆件
发生变形应扭转弯曲作弯扭组合变形图 920 示折杆端受
铅垂方集中力作杆件 BC 段发生横力弯曲变形 AB 段发生变形
扭转弯曲组合变形

图 920 拐轴受力示意图
现图 921(a)示传动轴例说明弯扭组合变形条件构件强度问题设传动
轴传动轮受水方集中力 F 工作阻力偶 Me 作处衡状态传
动轮半径 R构件重计明确传动轴基变形形式首先力 F 轴心简
化力 F 附加力偶 Me 等效力系图 921(b)示受力简图知传动
轴应弯扭组合变形
根轴受力状态分作出弯矩图扭矩图(剪力忽略计)图 921(c)(d)
示知轴中间截面传动轮截面危险截面力值弯矩 M 扭矩 T
分：
4
FlM eTM FR
力状态作出危险截面应力分布图图 921(e)示知危险截面材料力学

·200·
·200·
弯曲拉压正应力发生水直径前两点 k k′ 处扭转切应力发生
圆截面周边点处综合情况知 k k′ 点应危险截面危险点
该两点应力状态图 921(f)示均面应力状态危险点处正应力切应力
分：
x
y
M
Wσ x
P
T
Wτ (a)

A F B Me
C
B Me A
FMe
(a)
(b)
M
T
(c)
(d)
l2 l2
x
y
z
O
x
z
O
σ
max
σx
τx σx
τx
(f)
x
y
z
k′
k σ +
max
τmax
τmax
(e)
图 921 圆轴受弯扭组合应力计算示意图
(a) 圆轴受弯扭组合示意图(b) 圆轴受弯扭计算简图(c) 弯矩图
(d) 扭矩图(e) 横截面应力分布图(f) 单元体
许拉压应力相材料两点危险程度样取点进
行强度分析现取 k 点进行强度计算危险点应力状态复杂应力状态
建立基变形强度条件方法解决强度问题需应强度理解决
应力计算公式危险点 k 三应力 第 9 章 组合变形

·201·
·201·
2
1 222
3
2
1 422 22
0
xx x
x xx
σ σσ στ στσ
σ
⎛⎞± +± +⎜⎟⎝⎠

(b)
塑性材料言应采第三第四强度理进行强度计算采第三强度理
相应力
22
313 4rxxσ σσ σ τ− +
强度条件
[]22
3 4rxxσ στ σ+≤ (910)
式(a)代入式(910)中考虑圆截面惯性矩极惯性矩关系 2P yWW
式(910)表达式
[]
2 2 22
3 4r
yP y
MTMT
WW Wσ σ
⎛⎞ ⎛⎞ ++⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠
≤ (911)
理第四强度理强度条件
[]22
4 3rxxσ στ σ+≤ (912)

[]
22
4
075
r
y
MT
Wσ σ+ ≤ (913)
圆截面受弯扭组合变形杆件确定出危险截面弯矩 M 扭矩
T式(911)式(913)进行强度计算
外圆轴受拉(压)弯扭组合变形作危险点 k 正应力拉伸(压
缩)弯曲变形产生时第三第四强度理相应力表示：

2 2
N
3 4r
yP
F MT
AW Wσ
⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
(914)


2 2
N
4 3r
yP
F MT
AW Wσ
⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
(915)
关式分析程读者行考虑
应该指出述圆轴受弯扭组合变形问题假设圆轴处静止衡状
态进行分析讨实际般机械传动中圆轴应处均速转动状态时圆
轴截面危险点应力处周期性交变化状态中种状态产生应力称
交变应力交变应力状态构件应力远静载时强度指标情况
发生突然破坏关交变应力问题第 12 章中进行介绍
例 97 水薄壁圆 ABA 端固定支承B 端刚性臂 BC 垂直连接 800mml
300mma 图 922 示圆均直径 0 40mmD 壁厚 5 mmt π 材料
[ ] 100MPaσ C 端作铅垂载荷 200NP 试第三强度理校核圆强度 材料力学

·202·
·202·
分析：应先受力分析作出杆受力图确定变形形式
解：杆 AB 受力简图图 922(b)示知弯扭组合变形 MT 图图 922(c)
图 922(d)示知危险截面固定端 A 截面力
3200 800 10 160N mMFl − × × ⋅
3200 300 10 60N mTFa − × × ⋅
截面惯性矩

3122
840
0
5π 40 101 ππ 410m22 2 8
P DIIDt
−
−
×× ×⎛⎞× ×⎜⎟⎝⎠

抗弯截面系数
()
8
64
30
410 2 192 10 m52 40 10
IW Dt
−
−
−
×× ×+ ⎛⎞+×⎜⎟π⎝⎠

式(911)第三强度理强度条件
[]
22
3r
MT
Wσ σ+ ≤
[]
22
6
3 6
160 60 89 10 Pa 89MPa192 10rσ σ−
+××
≤
AB 杆满足强度条件

图 922 例 97 图 第 9 章 组合变形

·203·
·203·
例 98 某精密磨床砂轮轴图 923 示已知电动机功率 3kWP 转速 1 400rpmn
转子重力 1 101NG 砂轮直径 25cmD 重力 2 275NG 磨削力 3yzFF 轴直
径 50cmd 材料[ ] 60MPaσ 砂轮机满负荷工作时试校核轴强度
分析：应先受力分析作出杆受力图确定变形形式

(a) (b)
mN520 ⋅
T
y
x
mN218 ⋅
mN228 ⋅

Mz
x
z My

mN321 ⋅
(c) (d) (e)
图 923 例 98 图
解：(1) 受力分析
题应先已知条件求出砂轮轴受外力受扭转力偶矩
39549 9549 205N m1400e
PM n ⋅
磨削力
e
2
205 2 164N22510z
MF D −
× ×
3 3164492NyzFF×
根砂轮轴受力状态作出受力简图图 923(b)示
(2) 力分析
作出轴扭矩 T弯矩 MyMz 图图 923(c)图 923 (d)图 923 (e)示知危险
截面截面 B力分量扭矩弯矩值分：
205N meTM ⋅
22 2 2213 282 354N myzMMM+ + ⋅
应注意圆截面直径形心惯性轴弯矩 MyMz 合成先
求出合成弯矩 M M 进行应力强度计算圆截面合成应两
相互垂直面面弯曲方法进行计算 材料力学

·204·
·204·
(3) 强度校核
第三强度理

()
[]
22 2 2
4 33
075 354 075 205 323MPa
50 1032
r
MT
Wσ σ
−
++× π ××
≤
述计算见轴强度非常保守精密磨床加工精度求较高
轴设计根轴刚度进行设计
97 结
组合变形时构件强度计算材料力学中具广泛实意义问题计算
力作叠加原理基前提构件全部荷载作发生应力变形等构件
荷载单独作时发生应力变形总符合力独立性作前
提时叠加原理适必须加注意
分析组合变形杆件强度问题方法步骤纳
(1) 分析作杆件外力外力分解成种杆件产生单基变形时受
力情况
(2) 作出杆件种基变形情况力图确定危险截面力值
(3) 通危险截面应力分布规律分析确定危险点位置明确危险点
应力状态
(4) 危险点单应力状态基变形时情况建立强度条件复杂应
力状态应相应强度理进行强度计算
98 思 考 题
1 分析组合变形基方法叠加法应条件什？什？
2 悬臂梁横截面形状分图 924 示作端载荷 P 垂直梁轴
线作方图中虚线示试问梁发生什变形？

(a) (b) (c) (d) (e) (f)
图 924 思考题 2 图 第 9 章 组合变形

·205·
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3 梁截面图 925 示时承受弯矩 yM zM 作该截面弯曲正应
力 max
y z
y z
M M
WWσ +试问述计算否正确？
y
z
O •
My
Mz

图 925 思考题 3 图
4 横力弯曲梁横力作梁形心惯性面梁否产生面弯曲？
5 什截面核心？样画出截面截面核心？
6 建立组合变形强度条件时否须应强度理建立？什情况
应强度理进行强度计算？试介绍种组合变形进行分析讨
99 题
1 图 926 示截面 16a 号槽钢简支梁跨长 42ml 受集度 2kN mq
均布荷载作梁放 20ϕ D 斜面试确定危险截面 A 点 B 点处弯曲正应力

图 926 题 1 图
2 矩形截面悬臂梁承受荷载图 927 示已知材料许应力[ ] 10MPaσ 弹
性模量 10GPaE
(1) 2hb 时试设计截面尺寸 bh
(2) 求端挠度 材料力学

·206·
·206·

图 927 题 2 图
3 图 928 示矩形截面简支梁受均布荷载 2kN mq 作荷载作面梁
称面夹角 30ϕ D 已知该梁材料弹性模量 10GPaE 4ml
120mmb 160mmh 许应力[ ] 12MPaσ 许挠度[] 150
lw 试校核梁强度
刚度

图 928 题 3 图
4 图 928 示悬臂梁受集中力 F 作已知横截面直径 120mmD 30mmd
材料许应力[ ] 160MPaσ 试求中性轴位置强度条件求梁许荷载[ ]F

图 929 题 4 图
5 图 930 示悬臂梁承受载荷 F 作实验测梁表面 A B 点处线
应变 421 10Aε −× 432 10Bε −× 材料弹性模量 200GPaE 试求荷载 F 方位
角 β 值
6 图 931 示钻床立柱铸铁制成 15kNP 许拉应力[ ] 35MPatσ 试
确定立柱需直径 d 第 9 章 组合变形

·207·
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图 930 题 5 图 图 931 题 6 图
7 图 932 示起重装置滑轮 A 安装槽钢组合梁端部已知荷载许应力
试选择槽钢型号

图 932 题 7 图
8 字架承受载荷图 933 示试求 II 截面正应力 A 点正应力

图 933 题 8 图
9 图 934 示矩形截面杆端承受位称面载荷 60kNF
作试求：
(1) 横截面点 A 正应力取值时截面高度 h
(2) 述 h 值点 A 正应力值
10 矩形截面柱受力图 935 示试求：
(1) 已知 5β D 时求图示横截面 abc 三点正应力
(2) 求横截面点 b 正应力 0 时角度 β 值 材料力学

·208·
·208·

图 934 题 9 图 图 935 题 10 图
11 图 936 示楼梯木斜梁长度 4ml 截面 01m 02mbh× ×矩形
受均布荷载作 2kN mq 试作梁轴力图弯矩图求横截面拉压应力
12 图 937 示已知砖砌烟囱高度 30mh 底截面 mm− 外径 1 3md
径 2 2md 重 1 2 000kNP 受 1kN mq 风力作烟囱作等截面杆
试求：

图 936 题 11 图 图 937 题 12 图
(1) 烟囱底截面压应力
(2) 烟囱基础埋深 0 4mh 基础填土重 2 1 000kNP 土壤许压应力
[ ] 03MPaσ 圆形基础直径 D 应？
13 图 938 示浆砌块石挡土墙墙高 4m已知墙背承受土压力 137kNF
铅垂线成夹角 457α D 浆砌石密度 33235 10 kg mρ × 尺寸图示
试取 1m 长墙体作研究象计算作截面 AB A 点 B 点处正应力砌体
许拉压应力分[ ] 014MPatσ [ ] 35MPacσ 试校核强度
14 图 939 示某渡槽刚架基础已知顶面受柱子传弯矩
110M kN·m轴力 N 980kNF 水剪力 Q 60kNF 基础重基础土重总
重 173kNW 试作出基础底面反力分布图(设反力直线规律分布) 第 9 章 组合变形

·209·
·209·

图 938 题 13 图 图 939 题 14 图
15 图 940 示正方形截面杆端固定端中间部分开切槽杆
端受行杆轴线力 1kNF 试求杆横截面正应力指出作
位置
16 图 941 示矩形截面钢杆应变片测表面轴线应变分
310 10aε −× 304 10bε −× 材料弹性模量 210GPaE 试画出横截面正应力分
布图求拉力 F 偏心距 e 数值

图 940 题 15 图 图 941 题 16 图
17 试求图 942 示截面截面核心

图 942 题 17 图 材料力学

·210·
·210·
18 图 943 示传动轴转速 110r minn 传递功率 11kWP 皮带紧边张力
松边张力 3 倍许应力[ ] 70MPaσ 试第三强度理确定该传动轴外伸段
许长度 l
19 图 944 示手摇绞车轴直径 30mmd 材料 Q235 钢[ ] 80MPaσ
试第三强度理求绞车起吊重量 P

图 943 题 18 图 图 944 题 19 图
20 曲拐受力图 945 示圆杆部分直径 50mmd 试画出表示 A 点处应力
状态单元体求应力切应力
21 图 946 示铁道路标圆信号板装外径 60mmD 空心圆柱信号板
受风载荷 22kN mp 材料许应力[ ] 60MPaσ 试第三强度理选定
空心柱厚度

图 945 题 20 图 图 946 题 21 图
22 铝制圆轴右端固定左端受力图 947 示轴直径 32mmd 试确定点 a
点 b 应力状态计算 3rσ 4rσ 值
23 端固定半圆形曲杆尺寸受力图 948 示曲杆横截面正方形边长
30mma 荷载 12kNF 材料许应力[ ] 165MPaσ 试第三强度理校核曲
杆强度(剪力忽略计) 第 9 章 组合变形

·211·
·211·

图 947 题 22 图 图 948 题 23 图
24 图 949 示钢制实心圆轴轴齿轮 C 作铅垂切力 1 5kNFτ 径
力 1 182kNrF 齿 轮 D 作水切力 2 10kNFτ 径力 2 364kNrF 齿 轮 C
D 节圆直径分 400mmCd 200mmDd 设许应力[ ] 100MPaσ 试第四强
度理求轴直径

图 949 题 24 图
25 图 950 示传动轴传递功率 7kWP 转速 200r minn 齿轮 A 作力
F 水线夹角 20D (压力角)皮带轮 B 拉力 Q1F Q2F 水方 Q1 Q22F F
轴许应力[ ] 80MPaσ 试列两种情况第三强度理确定轴直径

图 950 题 25 图
(1) 忽略皮带轮重
(2) 考虑皮带轮重 18kNW

第 10 章 压 杆 稳 定
提：章着重讨受压直杆稳定性计算通两端铰支细长压杆稳定性分析
阐明压杆衡稳定性基概念明确压杆界力意义确定方法进步讨
支承情况界力影响欧拉公式统形式通界应力总图明确压
杆柔度物理意义揭示压杆强度稳定性间关系明确欧拉公式
适范围介绍运长中柔度杆稳定计算公式进行简单压杆稳定校核方法
101 压杆稳定概念
绪中已指出衡量构件承载力指标强度刚度稳定性关杆件种
基变形常见组合变形强度刚度问题前述章节中已作较详细阐述
均未涉稳定性问题事实杆件受压力作时存稳定性
问题
材料拉压力学性实验中高 20mm直径 10mm 短粗铸铁试件进行
压缩试验时强度足发生破坏强度条件出发该试件承载力应
横截面面积关试件长度关果该试件加足够长度施加
轴压力时会发现杆件发生强度破坏前会突然侧发生明显弯曲继续
加力会发生折断丧失承载力见时压杆承载力取决强度
受压时弯曲刚度关压杆稳定性关
工程建设中压杆稳定问题没引起足够重视设计合理发生
起严重工程事例 1907 年北美洲魁北克圣劳伦斯河座跨度 548m 钢桥
正修建时两根压杆失稳定造成全桥突然坍塌严重事 19 世纪末
瑞士座铁桥辆客车通时桥桁架中压杆失稳致桥发生灾难性坍塌
约 200 遇难 1983 年 10 月 4 日处北京中国社会科学研究院科研楼工
钢脚手架距面 5～6 处突然外拱刹间座高达 542m长 1725m总重 5654kN
型脚手架轰然坍塌5 死亡7 受伤脚手架建筑材料部分报废导致
灾难性事直接原脚手架结构身存严重缺陷致结构失稳坍塌实际
早 1744 年出生瑞士著名科学家欧拉(L Euler)理想压杆弹性范围稳定
性进行研究导出计算细长压杆界压力计算公式科学问题样
压杆稳定性研究发展生产力发展水密切相关欧拉公式面世相长时
间里未认识重视时工程生活建造中实木桩石柱
细长直 1788 年熟铁轧制型材开始生产然出现钢结构特 19 世纪
着铁路金属桥梁量建造细长压杆量出现相关工程事断发生引起
压杆稳定问题重视进行断深入研究 第 10 章 压杆稳定

·213·
·213·
压杆外许形式构件样存稳定性问题薄壁球形容器
径压力作变形(图 101(a))狭长梁弯曲时侧弯失稳(图 101(b))两铰拱竖
载荷作变虚线示形状失稳(图 101(c))等材料力学涉压杆稳定
性问题时形状构件稳定性分析理基础
P P

图 101 种形式稳定性问题
(a) 薄壁球形容器失稳(b) 狭长矩形截面梁侧弯失稳(c) 两铰拱失稳
细长压杆言失承载力原强度问题稳定性
问题图 102(a)示两端铰支受轴压力匀质细长直杆例说明关稳定性
基概念杆件受逐渐增加轴压力 F 作时始终保持直线衡状态
时受水方干扰力 Q 干扰时压杆会产生微弯(图 102(a)中虚线示)
干扰力消失会出现两种情况：
① 轴压力 F 某极限值 F cr 时压杆复原直线衡种横干
扰力 Q 够恢复原直线衡状态衡称稳定衡状态图 102(b)示
② 轴压力 F 极限值 F cr 时已横干扰力 Q压杆恢复原
直线衡状态呈弯曲状态横截面弯矩值断增加压杆弯曲变形增
弯曲变形屈曲毁坏种原直线衡状态称稳定衡状态
图 102(c)示
③ 轴压力 F 等极限值 F cr 时压杆恢复原直线衡状态保持微
弯状态种稳定衡状态渡稳定衡状态直线衡称界衡状态
图 102(d)示时界值 F cr 称压杆界力(critical force)压杆丧失直
线衡状态渡曲线衡失承载力现象称丧失稳定简称失稳(lost
stability buckling)
述材料均匀轴线直线压力作线通轴线等直压杆称理想
中心受压直杆实际压杆材料均匀初曲率加载微偏心等等素
影响均引起压杆变弯实际压杆会达理想压杆界压力前突然变弯
失承载力实际压杆轴压力极限值定低理想压杆界压力 Fcr
便研究章理想中心受压直杆研究象讨压杆稳定性问题
综述知压杆否具稳定性取决受轴压力研究压杆
稳定性关键确定界力 F cr F < F cr 时压杆处稳定衡状态 F > Fcr
时处稳定衡状态 材料力学

·214·
·214·
F F < F cr F >F cr
(a) (b) (c)
Q
F F cr
(d)
图 102 细长压杆衡形式
(a) 受水干扰力杆件微弯(b) 细长压杆稳定衡
(c) 细长压杆稳定衡(d) 细长压杆界衡
102 两端铰支中心压杆欧拉公式
设两端铰支理想中心受压细长直杆压力达界值 F cr 时 横素干
扰压杆微弯状态保持衡见界压力 F cr 压杆保持微弯衡
压力现确定界压力 F cr 计算公式
建立图 103 示坐标系 xoy假想距坐标原点 O x 处杆件截开取部分
研究象(图 103(b)示)截面轴压力 F cr 外作弯矩 M(x)弯
矩值
( ) crM xFy ⋅ (a)
y
x
F cr
(a)
y
x
x
l
O
F cr
(b)
y
x
O
M(x)
l2
δ

图 103 细长压杆衡形式
(a) 细长压杆受压衡(b) 细长压杆受压局部受力分析
压杆应力例极限范围线弹性工作条件利第 6 章公式
(61)梁变形条件挠曲线似微分方程 第 10 章 压杆稳定

·215·
·215·
( )2
2
d
d
M xy
x EI− (b)
式(a)代入式(b)杆轴微弯成曲线似微分方程

2
cr
2
d
d
Fyy
x EI− (c)
令
2 crFk EI (d)
常系数线性二阶齐次微分方程

2
2
2
d 0d
y kyx + (e)
微分方程通解
sincosya kxb kx + (f)
式中 a b 积分常数杆端边界条件确定图 103 知
0x 时 0y 代入式(f)
0b
式(f)写
sinya kx (g)
x l 时 0y 代入式(g)
sin 0akl (h)
式 0a sin 0kl 时成立 0a 时式(g)变 0y ≡ 表示压
杆横截面挠度均等零压杆弯曲处直线衡状态界压力作
压杆保持微弯衡状态前提相符必然
sin 0kl
式成立 kl 值
kl n π
中 n 意整数(n0123…)

nk lπ
式代回式(d)中

22
2 cr
2
F nk EI l
π


22
cr 2
nEIF l
π
式知： n 意整数压杆保持微弯衡状态界压力 F cr
理穷实际压杆界压力作已处稳定
衡稳定衡渡界衡状态丧失稳定性 0n 时合求 1n
时F cr 值保证压杆安全工作界压力 F cr 材料力学

·216·
·216·

2
cr 2
EIF l
π (101)
式两端铰支等截面理想细长压杆界压力计算公式式早欧拉导出
称欧拉公式(Euler formula)
klπ 代入式(g)中
sin xya l
π (i)
式压杆处界衡状态时挠曲线方程知半正弦波形曲线
图 103 示
图 103 知 2x l 时 y δ (δ 压杆中点挠度值)代入(i)中
a δ
式说明积分常数 a 物理意义压杆中点处产生挠度压杆挠曲线方
程表示
sin xy lδ π
式中δ 机值 cr保持直线 crF F 时横素干扰压杆δ 意微值情况保
持微弯衡状态压杆受压力 F 中点挠度δ 间关系图 104 中 OAB 折线
表示实际δ 具确定性公式推导程中式(b)挠曲线
似微分方程采挠曲线精确微分方程
crd
d
Fy
s EI
θ − (j)
求压力 F 中点挠度δ 间关系图 104 中
OAC 曲线示曲线知 cr≥F F 时F δ
着应关系中点挠度δ 确定性存
实际受压杆件材料均匀存初
曲率加载微偏心等素影响压力 F 未达
界压力 F cr 前实际已出现微弯变形图
104 中 OD 曲线表示 F δ 间关系
103 约束条件压杆欧拉公式
杆件受轴压力作发生微弯曲时挠曲线形式杆端约束情况直
接关系说明条件相情况压杆两端约束界压力
推导杆端约束条件细长压杆界压力计算公式时采述类似方法
进行推导外利方法杆端某种约束细长受压杆界状态
时挠曲线形状两端铰支受压杆挠曲线形状进行分析该约束条件

δ
F
O
Fcr B
C
D
A
图 104 压杆 Fδ 关系 第 10 章 压杆稳定

·217·
·217·
界压力计算公式节利该方法出种典型约束条件理想中心受压直杆界
压力计算公式
节知两端铰支细长压杆挠曲轴线形状半正弦波杆端约
束条件细长压杆够找挠曲轴线两拐点两弯矩零截面认
该截面处铰链支承两拐点间段杆视两端铰支细长压杆
界压力应相长度两端铰支细长压杆相例端固定端铰支细长压杆
挠曲轴线距固定端 03l 处拐点样两铰链长度 07l 界
压力应长度 07l 两端铰支细长压杆界压力公式相两端固定细长压杆
两拐点间长度 05l需公式(101)中长度 l 换 05l 端
固定端端受轴压力细长压杆相两端铰支长 2l 压杆挠曲
线半部分等表 101 出种工程实际中常见理想约束条件细长压杆挠曲线
形状相应欧拉公式表达式
表 101 种支承约束条件等截面细长压杆界压力欧拉公式
支端
情况
两端铰支
端固定
端铰支
两端固定
端固定
端
两端固定
横方相
移动
界状态时挠曲线形状


l
A
B
Fcr
A
B
Fcr
07l
• C
C：挠曲线拐点
l
A
B
Fcr
05l
C •
• D
CD：挠曲线拐点

A
l
2
l
Fcr

l
A
B
Fcr
05l
C •
C：挠曲线拐点
界力
公式
2
cr 2
EIF l
π
()
2
cr 207
EIF
l
π≈
()
2
cr 205
EIF
l
π
()
2
cr 22
EIF
l
π
2
cr 2
EIF l
π
长度系
数μ
1μ 07μ ≈ 05μ 2μ 1μ

表 101 知种约束条件等截面中心受压细长直杆界压力欧
拉公式写成统形式
()
2
cr 2
EIF
lμ
π (102)
公式中：系数 μ 称压杆长度系数(factor of length)压杆杆端约束情况关 lμ材料力学

·218·
·218·
称原压杆计算长度称相长度(equivalent length)物理意义种支
承情况两拐点间长度挠曲线相半波正弦曲线段长度
应指出杆端方约束情况相时(球形铰约束)欧拉公式中惯性
矩 I 应取值应取形心惯性矩方杆端约束情况(柱形铰
约束)惯性矩 I 应取挠曲时横截面中性轴惯性矩外工程实际中实
际支承理想支承约束差异长度系数μ应表 101 中参数作参考根实际情
况进行选取关设计规范中压杆长度系数μ具体规定
例 101 图 105 示矩形截面细长压杆两端柱形铰约束 xoy 面视
两端铰支 xoz 面视两端固定压杆弹性范围工作试确定压杆截面
尺寸 b h 间应合理关系
h
l
l
x
x
y
z
o
o b

图 105 例 101 图
分析：谓求解杆件截面相应合理关系应杆件面具相稳定
性应压杆分 xoy xoz 两面失稳时界压力相
解：(1) 压杆 xoy 面失稳压杆视两端铰支长度系数 1μ 截
面中性轴惯性矩
3
12z
bhI
公式(102)知

2 23
cr 2212
zEI EbhF ll
π π′
(2) 压杆 xoz 面失稳压杆视两端固定长度系数 05μ 截面
中性轴惯性矩
3
12y
hbI
公式(102)知

()
2 23 23
cr 22 2
4
12 305
yEI Ehb EhbF lll
π ππ′′
(3) 分析应
cr crFF′ ′′
第 10 章 压杆稳定

·219·
·219·

23 23
2212 3
Ebh Ehb
ll
ππ

224hb
合理截面尺寸关系
2hb
例 102 试推导端固定端细长压杆界压力 crF 欧拉公式已知压杆长度
l抗弯刚度 EI
分析：压杆界力 crF 作挠曲线形状图 106 示挠度值δ端处
先写出压杆意横截面弯矩方程挠曲线似微分方程求解
x
y
Fcr δ
y
x
l

图 106 例 102 图
解：意 x 横截面界力引起弯矩
cr() ( )M xF yδ −−
()M x 值代入梁变形条件挠曲线似微分方程
( )2
cr
2
()d
d
Mx Fyy
xEIEI
δ −−


2
cr cr2
d
d
yEI F F yx δ−
令 2 crFk EI

2
22
2
d
d
y ky kx δ+
该微分方程通解
sincosya kxb kxδ ++
式中abk 定常数边界条件确定：
0x 时 0y b δ−
0x 时 0y′ 0a 材料力学

·220·
·220·
(1 cos )ykxδ−
边界条件 x l 时 y δ 代入式
(1cos)klδ δ −
式知 cos 0kl
2
nkl π ( )1 3 5n
取值 1n 时 2kl π

2
2 cr
2(2 )
Fk EI l
π
端端固定细长压杆界力欧拉公式：

2
cr 2
π
(2 )
EIF l
两端支承形式理想中心受压直杆界力欧拉公式均利述类似
方法求
104 界应力欧拉公式应范围
1041 计算界应力欧拉公式
研究理想直杆受压力作强度问题时通应力进行相关计算
压杆工程实际问题进行系统分析研究引入界应力(critical force)概念
谓界应力界压力作压杆横截面均正应力假设压杆横截
面面积 A界应力

2
cr
cr 2
π
()
F EI
A lAσ μ
式中 2I Ai iIA 压杆横截面惯性半径(radius of gyration of an area) 参 见
附录 12界应力公式

2
cr 2
π
()
E
liσ μ
引入参数 λ
l
i
μλ (103)
知

2
cr 2
π Eσ λ (104)
式计算细长压杆界应力欧拉公式式中 liλ μ 称压杆柔度长细
(slenderness)量纲量反映压杆长度支承情况横截面形状尺寸等
素界应力综合影响公式(104)出压杆界应力柔度方成反
压杆柔度值越界应力越压杆越容易失稳见柔度 λ 压杆稳定计算中第 10 章 压杆稳定

·221·
·221·
非常重参数
1042 欧拉公式应范围
受压杆件言什条件需强度原进行分析什情况需考
虑稳定性呢？事实推导压杆界力欧拉公式时 102 节中公式(c)梁挠
曲线似微分方程该方程材料服胡克定律线弹性范围成立
欧拉公式应适范围界应力超材料例极限

2
cr 2 p
Eσ σλ
π ≤


2
p
Eλ σ
π≥
式中例极限 Pσ 弹性模量 E 均材料关参量令

2
P
P
Eλ σ
π (105)

pλ λ≥ (106)
式欧拉公式适范围说压杆实际柔度 λ 等材
料例极限 pσ 应柔度值 pλ 时欧拉公式适
pλ 仅仅材料力学性关材料 pλ 值 Q235 低碳钢例
200MPapσ 206GPaE 代入式(126)

29
6
206 10 100200 10pλ π× ×≈×
表明 Q235 钢制成压杆柔度 100λ ≥ 时应欧拉公式(102)
公式(104)计算界力界应力 Pλ λ≥ 压杆称柔度杆(slender column)长细
杆前面提细长压杆均类压杆
1043 超例极限时压杆界应力
压杆柔度值 pλ λ< 时说明压杆横截面应力已超材料例极限 Pσ
时欧拉公式已适种情况压杆界应力工程计算中常采建立实验基
础验公式计算中机械工程中常直线型验公式钢结构中常
抛物线型验公式
1 直线验公式
般表达式
cr abσ λ− (107)
式表明压杆界应力柔度成线性关系式中ab 材料性质关常
数单位 MPa表 102 中出种常见材料 ab 值供查 材料力学

·222·
·222·
表 102 种常见材料直线公式系数 ab 柔度 pλ sλ
材 料 MPa()a MPa()b pλ sλ
Q235 钢 304 112 100 614
优质碳钢
306MPasσ 460 257 100 60
硅钢
353MPasσ 577 374 100 60
铬钼钢 980 53 55 40
硬铝 372 214 50
铸铁 332 145 80
木材 39 02 50
知道压杆柔度越界应力越塑性材料制成压杆例
界应力达材料屈服极限时已属强度问题直线验公式
适范围验公式算出界应力超压杆材料压缩屈服极限应力
cr sabσ λσ −<
式
sa
b
σλ −>
式中ab sσ 均材料力学性关常数令
s
s
a
b
σλ − (108)

sλ λ> (109)
式中 sλ 应材料屈服极限 sσ 时柔度值例 Q235 钢屈服极限 235MPasσ
常数 304MPaa 112MPab
304 235 60112
s
s
a
b
σλ − − ≈
种常见材料 sλ 值表 102 中查
见压杆实际柔度 sλ λ> pλ λ< 时直线验公式(107)计算界应
力直线验公式适范围 s pλ λλ< <
压杆柔度值 sλ λ≤ 时界应力达超材料屈服极限已属强度问
题会出现失稳现象类压杆稳定形式处理材料界应力 crσ 表
示
cr sσ σ
综述计算压杆界应力时应根柔度值选择相应计算公式塑
性材料制成压杆界应力柔度关系曲线相应计算公式图 107 表示
称界应力总图(total diagram of critical stress)图知压杆分三类 第 10 章 压杆稳定

·223·
·223·
(1) pλ λ≥ 时称细长杆柔度杆欧拉公式(104)计算界应力
(2) s pλ λλ<< 时称中长杆中柔度杆直线验公式(107)计算界
应力
(3) sλ λ≤ 时称短粗杆柔度杆界应力材料屈服极限属强
度问题
sσσ cr
λpλs
σp
σs
λ
σ
O
2
cr 2
π Eσ λ
λσ ba −cr

图 107 直线型界应力总图
2 抛物线型验公式
般表达式
2
cr 1 1abσ λ− (1010)
式表明压杆界应力柔度成二次抛物线关系式中a1b1 材料性质
关常数钢结构中常公式

2
cr 1s
c
λσσ αλ
⎡ ⎤⎛⎞⎢ ⎥−⎜⎟⎢ ⎥⎝⎠⎣ ⎦
(1011)
式中α λc 材料关常量中λc 细长压杆非细长压杆分界值初曲
率压力偏心残余应力等素影响工程中实际受压杆件处理想中心受
压直杆状态实例极限应柔度值 Pλ 分界点材
料相关验值λc 分界值例 Q235 钢 043α 123cλ 种常材料αλc
值相关手册查压杆柔度值 cλ λ< 时界应力验公式(1011)
计算界应力总图图 108 示根压杆柔度值λc 压杆分两类：

λc
σc
σs
λ
σ
O
2
cr 2
Eσ λ
π
()2
cr 1scσσ αλλ⎡⎤ −⎢⎥⎣⎦

图 108 抛物线型界应力总图 材料力学

·224·
·224·
(1) cλ λ≥ 时称细长杆欧拉公式(104)计算界应力
(2) cλ λ< 时称非细长杆抛物线验公式(1011)计算界应力
非细长压杆两种验公式外界应力计算观点
折减弹性模量理等参阅关书籍
例 103 两端铰支空心圆外径 60mmD 径 45mmd 材 料 120pλ
70sλ 直线验公式 cr 304 112σ λ− 试求：
(1) 应欧拉公式计算该压杆界应力长度 minl
(2) 压杆长度 min
3
4 l 时界应力值
分析：应欧拉公式条件压杆必须柔度杆根 Pλ λ≥ 条件确定 minl
解：(1) 公式(103)知压杆柔度
l
i
μλ
惯性半径
22 2 211 7560 4544 4
IiDdA + +
欧拉公式应条件
120P
l
i
μλλ≥
两端铰支知长度系数 1μ
120 75 2250mm 225m14
pil λ
μ
× ×
≥
压杆长度
min 225ml
(2) 压杆长度 min
3
4ll 时柔度值
min333120 90444p
ll
ii
μμλλ× ×

s pλ λλ<<
压杆中长杆应直线验公式 cr 304 112σ λ−
cr 304 112 90 2032MPaσ −×
105 压杆稳定校核
压杆界应力压杆具稳定性极限应力压杆初曲率压力偏心
材料均匀支座缺陷等素界压力影响非常需欧拉公式第 10 章 压杆稳定

·225·
·225·
验公式计算出界应力 crσ 1 稳定安全系数 nst压杆稳定许
应力
[] cr
cr
stn
σσ
[ ]crσ 作压杆具稳定性极限应力压杆稳定条件
[]N
cr
F
Aσ σ ≤ (1012)
荷载表示
[]cr
cr
st
FFFn ≤ (1013)
应时述稳定条件表示安全系数法
cr
wstnnσ
σ ≥ (1014)

cr
wst
FnnF ≥ (1015)
式中 wn 实际稳定安全系数 stn 定稳定安全系数
外须指出压杆稳定性整体言截面局部削弱(开孔开槽)
时考虑稳定性影响削弱截面需作强度校核
钢结构中常折减系数法压杆稳定性进行计算
[]NF
Aσ ϕσ ≤
式中ϕ 称折减系数压杆稳定许应力[ ]crσ 材料强度许应力[ ]σ 值
ϕ 实际压杆柔度 λ 函数应 λ ϕ 值钢结构相关资料中查
例 104 例 101 中已知矩形截面高 60mmh 宽 25mmb 压杆长度 15ml
压杆材料 Q235 钢规定稳定安全系数 st 3n 压杆受 90kNF 压力作时
试校核压杆稳定性
分析：欲校核该压杆稳定性须先确定压杆柔度值确定计算界应力公式
然稳定性条件压杆进行校核压杆 xoy xoz 面柔度值
须分计算取较柔度值进行稳定性校核
解：(1) 计算柔度 λ
压杆 xoy 面失稳例 101 图 105 知该面压杆视两端铰支
长度系数 1μ 时横截面绕 z 轴转动惯性半径

3 12 60 1732mm
23 23
z
z
I bh hi Abh
柔度
1 1500 8661732z
z
l
i
μλ × 材料力学

·226·
·226·
xoz 面失稳压杆视两端固定长度系数 05μ 时横截面绕 y
轴转动惯性半径

3 12 25 722mm
23 23
y
y
I hb bi Abh
柔度
05 1500 972722y
y
l
i
μλ ×
较两方柔度值 y zλ λ> 压杆必先 xoz 面失稳应 yλ
计算压杆界应力
(2) 计算界压力
查表 102 知Q235 钢 100pλ 614sλ s ypλ λλ< < 说明压杆中柔
度杆应直线验公式进行计算 Q235 钢验公式 cr 304 112σ λ−
cr 304 112 304 112 972 1951MPayσλ− −×
(3) 稳定性校核
稳定性条件式(1012)压杆许界应力
[] cr
cr
st
1951 65MPa3n
σσ


3
6
w 6
90 10 60 10 Pa 60MPa60 25 10
F
Aσ −
× × ×× [ ]crσ<
压杆稳定性满足求
例中安全系数法压杆进行稳定性校核
稳定性条件式(1014)
cr
wst
1951 325 360nnσ
σ >
工

知压杆稳定外采式(1013)式(1015)压杆进行稳定校核
行分析计算
例 105 两端铰支圆截面压杆长度 2ml 材料弹性模量 200GPaE
200MPaPσ 轴压力 20kNF 规定稳定安全系数 st 4n 试稳定条件设
计压杆直径 d
分析：压杆直径 d 求量法确定杆件柔度确定界应力计
算公式采试算法先假设应欧拉公式计算求出直径
求出柔度验证否满足欧拉公式应条件
解：欧拉公式(102)长度系数 1μ

() ()
22 94 934
cr 22
200 10 25 10
3212 64
EI d dF
lμ
ππ×××π×π
××

式(1015)安全系数法 第 10 章 压杆稳定

·227·
·227·

934
cr
wst3
25 10 n432 20 10
F dn F
×π ××
≥
解
00426md ≥ 取 43mmd
压杆惯性半径

4
2
64 43 108mm444
Id di Ad
π π
柔度值
12000 1852108
l
i
μλ ×
式(105)知

22 9
6
200 10 993200 10P
P
Eλ σ
ππ×× ×
pλ λ> 应欧拉公式计算正确取 43mmd
例 106 两端固定压杆长 7ml 横截面两 10 号槽钢组成已知材料
200GPaE 123cλ 材料验公式 2
cr 235 0006 66 MPaσλ− 规定稳定安全系
数 st 3n 试求两槽钢紧(图 109(a)示)离开相距 40mma 放置(图 109(b))时
钢杆许载荷 F

z
y
(b)
z
y y1
a zo
(c)

l
A
B
F
(a)
图 109 例 105 图
分析：压杆许载荷取决杆件界力需先求出压杆柔度值选择相应
界应力计算公式求解
解：型钢表知 10 号槽钢参数： 21274cmA 41983cmzI
1
4256cmyI
152cmoz
(1) 截面图 109(b)两槽钢紧放置时知
2
1 2 2 1274 2548cmAA×
( )1
224
min 2( ) 2 256 152 1274 110cmyyoII IzA +⋅ + × 材料力学

·228·
·228·
截面惯性半径
min
1
110 208cm2548
y
y
Iii A
图 109(a)知压杆方支承均两端固定长度系数均 05μ
2
05 7 168 123208 10yc
y
l
i
μλλ−
× >×
知压杆柔度杆欧拉公式计算界应力

22 9
cr 22
200 10 699MPa168y
Eσ λ
ππ××

64
cr cr 1 699 10 2548 10 1781kNFAσ −⋅ ×× ×
稳定性条件式(1013)许载荷
[] cr
1cr
st
1781 594kN3
FFF n<
(2) 截面图 109(c)两槽钢离开定距离放置时需计算两方惯性矩
判断压杆失稳方
42 1983 3966cmzI ×
1
2
2 2yy o
aI IzA
⎡⎤⎛⎞++⋅⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦
2
442 256 152 1274 3669cm2
⎡⎤⎛⎞++×⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦

y zI I< 两方长度系数均 05μ 压杆应首先绕 y 轴失稳

1
3669 38cm2548
y
y
Ii A
柔度公式(1012)
2
05 7 921 12338 10yc
y
l
i
μλλ−
× <×
压杆非细长杆界应力验公式计算
2
cr 235 0006 66 yσ λ− 2235 0006 66 921 1785MPa− ×
64
cr cr 1 1785 10 2548 10 4548kNFAσ −⋅ ×× ×
式(1013)许载荷
[] cr
2cr
st
4548 1516kN3
FFF n<
较两种情况知两槽钢离开定距离截面形式压杆稳定性明显增
强承载力提高条件许情况 y zI I 便压杆两方
相等抵抗失稳力设计压杆合理截面形状基原 第 10 章 压杆稳定

·229·
·229·
106 提高压杆稳定性措施
谓提高压杆稳定性提高压杆界应力计算界应力欧拉公式
(104)知欲提高压杆界应力两方面考虑
1 合理选材料
柔度压杆界应力 crσ 材料弹性模量 E 成正选 E 值材
料提高压杆稳定性工程实际中般压杆均钢材制成种类型
钢材弹性模量 E 值均 200～240GPa 间差高强度钢代普通钢做
成压杆提高稳定性意义中柔度杆验公式知界应力
材料强度关选高强度钢利压杆稳定性
2 减压杆柔度
界应力公式知压杆柔度越界应力越减柔度提高压
杆稳定性途径式(103)柔度计算公式
l
i
μλ
知减压杆柔度三方面考虑：
(1) 选择合理截面形状增截面惯性矩
压杆横截面面积 A 定时应材料远离截面形心惯性矩 I 增
样惯性半径 iIA 增柔度值减图 1010(a)示面积相时
空心圆截面实心圆合理图 1010(b)中四等边角钢组成截面分散布置形式
组合截面集中布置形式组合截面合理增加截面惯性矩限制
加圆环截面半径减壁厚样会压杆壁薄发生局部折皱导致整体
失稳型钢组合成压杆应缀条板分开放置型钢联成整体提高
整体稳定性相关容钢结构课程中介绍

(a) (b)
图 1010 截面示意图
(a) 实心截面空心截面(b) 集中布置组合截面分散布置组合截面
外述原选择截面时应考虑压杆面应具相
稳定性应压杆面具相柔度值杆端弯曲面约束材料力学

·230·
·230·
性质相(球形铰支承)应截面方惯性矩相约束性质(柱形铰支
承)应压杆方柔度值量相等
(2) 减压杆长度
条件许情况通增加中间约束等方法减压杆计算长度样
压杆柔度值明显减达提高压杆稳定性目提高稳定性效方
法
(3) 改善压杆支承
表 101 知杆端约束刚性越强压杆长度系数越界应力越
通增加杆端支承刚性提高压杆稳定性
107 结
工程实际中受压杆件应综合考虑两方面问题强度问题稳定性问题章
介绍压杆稳定基概念柔度压杆界压力界应力计算方法
稳定性校核注意方面问题
1 受压杆件强度稳定性问题分界
解决受压杆件承载力问题时必须先明确属方面问题应先
柔度计算公式
l
i
μλ
计算出压杆柔度值 λ λ 值确定压杆类型明确压杆应强度稳定
性问题
2 界应力总图
界应力总图较清晰反映柔度压杆应界应力计算公式
压杆 Pλ λ≥ 时称细长杆柔度杆界压力界应力欧拉公式计
算：

()
2
cr 2
EIF
lμ
π
2
cr 2
Eσ λ
π
pλ λ< 时称非细长杆该类压杆界应力计算方法两种
1) 直线验公式
s pλ λλ<< 时中柔度杆(称中长杆)时直线验公式计算：
cr abσ λ−
sλ λ≤ 时短粗杆(称柔度杆)界应力材料屈服极限属
强度问题
情况压杆柔度杆分长细杆中长杆短粗杆三类 第 10 章 压杆稳定

·231·
·231·
2) 抛物线验公式
该公式考虑实际压杆理想中心受杆直杆区材料例极
限应柔度值 pλ 压杆进行分类建立实验基础 cλ 值做压杆分界
值压杆 cλ λ< 时抛物线验公式计算界应力：
2
cr 1 1abσ λ−
利抛物线验公式时材料 cλ 值压杆分二类长细杆非长细杆
计算出界应力达屈服极限时实际已属强度问题
3 压杆稳定性条件
压杆界应力压杆保持稳定极限承载力考虑种综合素影响
实际压杆极限应力应许界应力控制
[] cr
cr
stn
σσ
压杆稳定性条件三种形式：
1) 基形式
[]N
cr
F
Aσ σ ≤ []cr
cr
st
FFFn ≤
2) 安全系数法
cr
wstnnσ
σ ≥ cr
wst
FnnF ≥
式中 wn 实际稳定安全系数 stn 定稳定安全系数
3) 折减系数法
[]NF
Aσ ϕσ ≤
式中ϕ 称折减系数ϕ 实际压杆柔度 λ 函数应 λ ϕ 值钢结构
相关资料中查样形式压杆强度条件统起
108 思 考 题
1 受压杆强度问题稳定性问题区联系？
2 试说明压杆界压力界应力含义界力否压杆受作力
关？
3 受压杆长度增加倍界压力界应力变化？圆截面压杆
直径增加倍界压力界应力值变化？
4 压杆柔度反映压杆素？
5 端固定端压杆横截面图 1011 示种形状问压杆失稳时
横截面会绕根轴转动？ 材料力学

·232·
·232·


图 1011 思考题 5 图
6 果压杆横截面 y zI I> 杆件失稳时横截面定绕 z 轴转动失稳？
109 题
1 图 1012 示细长压杆两端球形铰支弹性模量 200GPaE 试欧拉公式
计算界力：
(1) 圆形截面： 25mmd 1ml
(2) 矩形截面： 240mmhb 1ml
(3) 16 号工字钢 2ml
2 根30mm 50mm× 矩形截面压杆材料弹性模量 200GPaE 例极限
200MPapσ 两端球形铰支试问压杆长度 l 少时应欧拉公式计算界力
3 某钢材已知 230MPapσ 274MPasσ 200GPaE 验公式
cr 338 122σ λ− 试计算 pλ sλ 值绘制界应力总图
4 某连杆图 1013 示截面工字形材料 Q235 钢连杆轴压力
465kN摆动面( xy 面)两端认铰支摆动面垂直 xz 面两端
认固定支座试确定工作安全系数
F
l
b
h
d



图 1012 题 1 图 图 1013 题 4 图
5 图 1014 示横截面两56mm 56mm 8mm× × 等边角钢组成压杆长 15m
两端铰支 150kNF 角钢 200GPaE 200MPapσ 计算界应力验公式：
2
cr 235 000666σ λ− 试确定压杆界应力工作安全系数
6 图 1015 示钢托架已知 DC 杆直径 40mmd 材料低碳钢弹性模量第 10 章 压杆稳定

·233·
·233·
206GPaE 规定稳定安全系数 st 2n 试校核该压杆否安全？

06m 03m
F70KN
A
D
C 45° B

图 1014 题 5 图 图 1015 题 6 图
7 图 1016 示铰接杆系 ABC 两根具相截面样材料细长杆组成
杆件面 ABC 失稳引起毁坏试确定荷载 F 时θ 角(假设 0 2θ π≤≤ )
8 试求图 1017 示千斤顶丝杠工作安全数已知承载力 150kNF
效直径 1 52mmd 长度 05ml 材料 Q235 钢 235MPasσ 丝杠视端固定
端

图 1016 题 7 图 图 1017 题 8 图
9 图 1018 示正方形桁架 50kNP 边杆横截面面积均 2
1 295mmA
角杆面积 2
2 417mmA 杆截面形状均实心圆桁架边长 05ma 100pλ
(1) st 3n 校核稳定性
(2) 试求桁架许荷载[ ]P
(3) 压力 P 改拉力桁架许荷载[ ]P 否会变化？
10 图 1019 示正方形桁架五根圆截面钢杆组成已知杆直径 30mmd
1ma 材料 200GPaE [ ] 160MPaσ 100pλ st 3n 试求结构许荷载[ ]P
11 某活塞杆两端视铰支承受压力 120kNP 长度 18ml 直径 75mmd
材料 Q275 钢 210GPaE 240MPapσ st 8n 试校核该活塞杆稳定性
12 图 1020 示立柱 6ml 两根 No10 槽钢组成材料弹性模量
200GPaE 例极限 200MPapσ 立柱顶端球形铰支根部固定端试问两槽材料力学

·234·
·234·
钢间距 a 时立柱界压力 crF 高值少？

A2
A1
P P
a


a
45°
P

图 1018 题 9 图 图 1019 题 10 图
13 图 1021 示结构AB 杆 No16 号工字钢BC 杆直径 60mmd 圆截面
杆已知材料 205GPaE 90pλ 50sλ 中长杆验公式 cr 338 122σ λ− MPa
计算强度许应力[ ] 140MPaσ 稳定安全系数 st 3n 试求荷载 F 许值
F
l
z
y
a


A B
F
C
1m 1m
1m

图 1020 题 12 图 图 1021 题 13 图
14 图 1022 示结构 ABCD 三根直径均 d 圆截面钢杆组成 B 点铰支A
点 C 点固定D 铰接点 10l
d π结构杆件面 ABCD 弹性失稳丧失
承载力试确定作结点 D 处荷载 F 界值
15 图 1023 示 Q235 钢制成钢 20t ℃时安装时子受力已知
钢外径 70mmD 径 60mmd 钢线膨胀系数 6125 10α −×℃ 1− 206GPaE
温度升高少度时子失稳定？



6m

图 1022 题 14 图 图 1023 题 15 图


第 11 章 变 形 法
提：章讨利变形原理解决变形固体外作位移计算中
介绍卡氏定理关原理方法利该法计算杆杆系位移问题
111 基 概 念
弹性体外力作发生变形时外力作点产生位移弹性
体变形程中外力作线方做功功称外力功W 表示弹性体
变形弹性范围时外力零缓慢增加外力功量形式储存弹性体部
通常称变形U 表示卸载程中弹性体恢复原状力
根量守恒定律知计量损失弹性体变形数值应等荷
载做功：
WU (111)
根原理求解变形固体位移力方法称量法
112 变形计算
现讨杆件种基变形变形计算
1121 轴拉伸(压缩)杆弹性变形
图 111(a)示受拉直杆线弹性范围拉力 PF 零开始增加终值时
杆件伸长 lΔ 拉力 PF 间关系斜直线(图 111(b))外力 PF 做功
三角形OAB 面积表示：
1
2 PWFl Δ (112)
根式(111)知受拉杆弹性变形
1
2 PUW Fl Δ
PFll EAΔ 式写成

2 2
22
PFl EA lU EA l
Δ (113) 材料力学

·236·
·236·

(a) (b)
图 111 轴受拉杆外力功
(a) 受拉直杆(b) PF lΔ 关系
1122 受扭圆轴弹性变形
圆轴受扭时(图 112(a))弹性范围外力偶矩 0 增加终值 M扭转角ϕ
M 关系斜直线(图 112(b))拉伸时样外力偶矩 M 做功图 112(b)
三角形OAB 面积表示：
1
2WMϕ (114)
图 112(a)示圆轴意横截面扭矩常量
nM M
相距l 两横截面相转角
n
P
M l
GIϕ
圆轴储存变形：

2
21
222
n P
n
P
Ml GIUW M GI lϕ ϕ (115)
圆轴扭矩变量 ()nM x 时圆轴变形

2 ()d
2
n
Pl
M xxU GI ∫ (116)

(a) (b)
图 112 圆轴扭转
(a) 圆轴受扭 (b) M ϕ 关系 第 11 章 变形法

·237·
·237·
1123 杆弯曲情况变形
1 纯弯曲情况
图 113 示等直杆两端受称面集中力偶 0M 作发生纯弯曲
外力偶零逐渐增加终值 0M 时梁两截面均产生转角θ 外力偶做功

图 113 梁纯弯情况变形
0
1
2WMθ (117)
中
000
362
M lMlMl
EI EI EIθ +
杆弹性变形

2 2
0
0
12
22
Ml EIUW Ml EI l
θ (118)
2 横力弯曲
杆横力弯曲(图 114(a))梁横截面弯矩剪力般情况弯矩
剪力截面位置变化 x 函数弯矩剪力产生位移分独立
分计算弯矩剪力相应变形细长梁情况剪切产生变形通
常忽略计计算弯曲产生变形

(a) (b)
图 114 横力弯曲情况变形图
(a) 横力弯曲(b) 受弯时微段 材料力学

·238·
·238·
梁取出长 dx 微段(图 114(b))左右两截面弯曲分 ()M x
() d ()M xMx+ 省略弯矩增量 d()M x 微段作纯弯曲情况应公式(119)

2 ()dd 2
M xxU EI
全梁弯曲变形

2 ()d
2l
M xxU EI ∫ (119)
梁段弯曲 ()M x 函数表示列积分应分段进行然求
总
1124 弹性变形般公式
面导出公式出种基变形情况杆件弹性变形数
值等变形程中外力做功写成统形式：
1
2 PUW Fδ (1110)
式中 PF 广义力拉伸时表示拉力扭转弯曲时表示力偶矩δ 广义位移
广义力相应位移
集中力应线位移集中力偶应角位移线弹性体情况广义
力广义位移线性关系运胡克定理式写成：

2 2
22
PFl CU Cl
δ (1111)
式中C 杆刚度式出弹性变形广义力广义位移二次函数
例 111 试分计算图 115 示梁变形
分析：图 115(a)梁处纯弯状态图 115(b)图 115(c)梁处横力弯曲状态计
剪力影响情况应公式(1110)进行计算

(a) (b) (c)
图 115 例题 111 图
(a) 悬臂梁受集中力偶(b) 悬臂梁受集中力(c) 悬臂梁受集中力集中力偶
解：梁变形分

222
00
1 0
d()d
222
l
l
M xMlMxxU EI EI EI∫∫

2232
2 0
()d()d
226
l PP
l
Fx x FlMxxU EI EI EI
− ∫∫ 第 11 章 变形法

·239·
·239·
22
2220
30000
2223
22300
00
()d()d 1 (2 )d222
11()23262
llP
P
l
PP
PP
MFxxMxxUMMFxxEI EI EI
Ml MFlFlMl MFl FlEI EI EI EI
− −+
−++−
∫∫ ∫

面计算出 12 3UU U+≠变形力二次函数求弯矩时运
叠加原理 0() FPM xM M+求弹性变形时应叠加原理
2222
00()PPM FMFx+≠+中 3U 中
2
0
2
PM Fl
EI
⎛⎞−⎜⎟
⎝⎠
PF 0M 作时相互影响
做功
113 卡 氏 定 理
应节导出弹性变形公式计算杆件结构位移限单荷载作
荷载作点荷载作方应位移图 115(a)中杆长l
杆刚度 EI 已知时计算 B 截面转角
2
0
2
M lU EI 外力偶 0M 做功
0
2
BMW θ WU
0
2
BM θ 2
0
2
M l
EI
0
B
M l
EIθ
结果梁变形章中计算结果致面计算出变形力
函数变形力求偏导数
2
00
002 B
Ml MlU
M M EI EI θ⎛⎞∂∂ ⎜⎟∂∂⎝⎠

表明变形力偏导数等力作点力作方位移偶然巧合
普遍规律——卡氏定理(ACastigliano law)
卡氏定理： n 外力(广义力)作弹性体该弹性体变形U
外力偏导数等该力作点该力作方位移表达式
1
1P
U
Fδ ∂ ∂ 2
2P
U
Fδ ∂ ∂
n
Pn
U
Fδ ∂ ∂
证明
设 12P PPnFF F 作弹性体(图 116)力产生相应位移 12 nδ δδ
变形程中外力做功等弹性体变形变形U 12P PPnFF F 函数
(Uf 12P PPnFF F ) (a) 材料力学

·240·
·240·

图 116 弹性体受 n 外力作
外力 P iF 增量 d PiF 变形U 相应增量 d Pi
Pi
U
F
∂
∂ F 弹性体
变形
U + d Pi
Pi
U FF
∂
∂ (b)
变形外力加载次序关外力加载次序改先作 d PiF d PiF 方
位移 d iδ 弹性体变形 1 dd2 PiiF δ⋅ 作 12 P PPn F FF力做
功U 弹性体变形式(b)相 12P PPn F FF作时 d PiF 做
功( d PiF ) iδ 总变形
1 dd dd2 Pii PiiFUFδ δ++ (c)
式(c)应等式(b)
1ddd(d)2PiPiiPii
Pi
UUFFUFF δ δ∂+++∂
忽略二阶微量证：
i
Pi
U
Fδ ∂ ∂ (1112)
应卡氏定理时 PiF 广义力 iδ 广义位移导出卡氏定理时变形外力
作次序关材料服胡克定理时外力引起位移忽略相互影响
变形力偏导数力分量外力偏导数形式出现分述
轴拉(压)：

2
NNN()d () ()() d2i
Pi Pi Pill
Fxx Fx FxU xF F EA EA Fδ ∂∂∂ ∂∂ ∂∫∫
扭转：

2
000()d () ()() d2i
Pi Pi P P Pill
Mxx MxMxU xFF GIGIFδ ∂∂∂ ∂∂ ∂∫∫ (1113)
弯曲：

2 ()d () ()() d2i
Pi Pi Pill
MxxUMxMxxFF EIEIFδ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∫∫
欲计算没外力作截面处位移时先设想该点欲求位移方作假第 11 章 变形法

·241·
·241·
设力 PF′ (广义力)写出力(包括 PF′ )作变形 PF′ 求偏导数然令 PF′ ＝
0求计算结果正表示位移 PF′ 方相反否相反
＇0 ＇ 0()
PF
P
U
Fδ
∂ ∂ (1114)
例 112 图 117 示外伸梁已知抗弯刚度 EI 常数试求跨中C 截面竖位移 cyδ
分析：梁作两种荷载 PF 0M 先分段算出梁该荷载作弯矩方程根
卡氏定理弯矩方程 PF 求偏导数代入式(1113)积分前 0 PM Fl 代
入计算结果求

图 117 例题 112 图
解：先计算支座反力
0
2
P
RA
MFF l− 0
2
P
RB
MFF l+
分段计算弯矩方程相应导数：
AC 段：
0 1
1
()() 22
P
P
MFMxxMx x xlF
∂ −∂
CB 段：
0
2 () ( ) ( )22
P
RA P
M xFlMx FxFx lx l−−−−
2 ()
22P
Mx lx
F
∂ −∂
BD 段：
30() ( ) ( )2RA P RB
lM xFxFx FxlM−−+−
3 () 0
P
Mx
F
∂ ∂


3
3311 2 222
0 2
() ()() () () ()dd d
lll
lcy l
PP P P
Mx MxMx Mx Mx MxU x xxFEIF EIF EIFδ ∂∂∂∂ + +∂∂ ∂ ∂∫∫∫ 材料力学

·242·
·242·

0 0
002
0 2
1 ()d()()d22222P P
l lPP
lMFl MFl
MMxFFxlxx xxlx xEI l l
⎡ ⎤⎡⎤− +−−−⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦∫∫

3
( )24
PFl
EI− ↑
负号表示位移 PF 作方相反
例 113 试求图 118(a)示简支梁支座 A 转角 Aθ 跨中C 截面竖位移 cyδ 已知
EI 常数
分析：求截面没相应荷载应卡氏定理求该截面位移求截
面处加相应外力(求转角 Aθ A 截面加力偶 M ′ ( M ′ 0)图 108(b)
示求C 截面竖位移C 截面加集中力 PF′ ( PF′ 0)(图 108(c)示)
计算出相应 ()M x
M
∂
′∂
()
P
M x
F
∂
∂
代入式(1114) 令 00PMF′ ′ 然积分
结果求

图 118 例题 113 图
解：(1) 求 Aθ 图 118(b)示
支座反力：
0
RA
M MF l
′+
0
RB
M MF l
′+−
0 ()
xRA
Mx M xlMFxM ll
′ −′−+
()M xxl
M l
∂−′∂

0
0 0
2
00
2
() () 1 ( )d( )()d
()1 d(6
l
A
l M
MxMx Mx M x l x lx xEI M EI l l l
Mxl MlxEI l EI
θ
′
′∂−−+′∂
−−↵
∫∫
∫ ）

计算结果负表示 A 截面位移假设 M ′ 方相反时针转
(2) 求 cyδ 图 118(c)示 第 11 章 变形法

·243·
·243·
支座反力：
0
2
P
RA
MFF l
′+
AC 段：
0
1() 2
P
RA
M xFMx Fx l
′+
1()
2P
Mx x
F
∂ ′∂
CB 段：
0
2
2
()() ( )22
()
2
P
RA P
P
M xFl xlMx FxFx l
Mx lx
F
′ −′−− +
∂ −′∂


11 2 2
0 2
002
000 2
2
0
() () () ()dd
()1 ()()d()()d22 2 2
()16
P P
lll
lcy
PP
l lPP
lFF
Mx Mx Mx MxxxEI F EI F
Mx MxFx F l xxlxx xEI l l
Ml
EI
δ
′′
∂∂ ∂∂+′′∂∂
⎡⎤′′− −+ ++⎢⎥
⎣⎦
↓
∫∫
∫∫
计算结果正表示C 截面位移假设力 PF′ 方致位移
例 114 轴线四分圆周面曲杆(图 119(a)) A 端固定端 B 作竖
直集中力 PF EI 常数求 B 点垂直水位移
分析：曲杆位移问题曲杆仅产生弯矩剪力产生轴力压缩变形远
弯曲变形忽略轴力变形影响

(a) (b)
图 119 例题 114 图
解：先计算 B 点垂直位移 Byδ
图 119(a)知曲杆 mm− 截面弯矩
() cosPMx FR θ 材料力学

·244·
·244·
求：
() cos
P
Mx RF θ∂ ∂
公式(1114)
3
322
0
() () 1dcosd4
P
By P
Pl
FRMx Mx xFREI F EI EIδθθ
π π∂ ∂∫∫
求 B 点水位移 Cxδ B 截面加水力 PF′
() cos (1sin)PPMx FR FRθ θ′+−
() (1 sin )
P
Mx RF θ∂ −′∂
公式(1114)：
3
32
0
0
() () 1d(1sin)cosd()2
P
P
Cx P
Pl F
FRMx Mx sFREI F EI EIδθθθ
π
′
⎡⎤∂−→⎢⎥′∂⎣⎦∫∫
结果正位移设力 PF′ 方致
例 115 卡氏定理求梁跨中C 截面竖位移 Cyδ EI 常数
分析：梁作荷载跨度均具体数值计算出弯矩方程具体
荷载求偏导数应荷载梁长数值代数表示求出段弯矩方程
相应偏导数利公式(1114)计算出结果荷载跨度数值代入
求

图 1110 例题 115 图
解：设 1220kN 10kN 4mPPFFl 图 1110(b)示
(1) 支座反力：
12
22
P P
RA
FFF −
123
22
P P
RB
FFF +
(2) 分段写出 ()M x 1PF 求偏导数
0AC段（ ≤ x ≤ )2
l ：
12
1() 22
PPFFM xxx− 第 11 章 变形法

·245·
·245·
1
1
()
2P
Mx x
F
∂ ∂
2
lCB段（ ≤ x ≤ )l ：
11 2
2 () 22 2
PP PFl Fx F xMx− −
2
1
()
2P
Mx lx
F
∂ −∂
CD l段（ ≤ x ≤ 3 )2
l ：
31 2() ( ) () ()2RA P RB P
lM xFxFx FxlFxl −−+−−
3
1
() 0
P
Mx
F
∂ ∂
(3) 求位移 cyδ

1
2
3
3311 2 222
0 211 1 1
12 1 22
0 2
33
12 20kN
10kN
4
() ()() () () ()dd d
11()d(())d22 2 22
120()48 32 3
P
P
lll
lcy l
PP P P
l lPP P P
l
PPF
F
lm
Mx MxMx Mx Mx MxU x xxFEIFEIF EIF
FF F Fxxlxxx lx xEI EI
Fl Fl
EI EI
δ



∂∂∂∂ + +∂∂ ∂ ∂
− −+−−
−
∫∫ ∫
∫∫
计算结果正表示C 截面位移 1PF 方致位移
114 结
(1) 物体受荷载作时会发生变形荷载作点产生荷载相应位移
荷载零逐渐增加终值(静荷载)荷载便做功值等荷载终值
相应位移积半
1
2 PWFδ
式中 PF 广义力δ 广义位移
计加载程中量损失根量守恒原理外力功全部转变变形储存
弹性体
UW
便建立荷载位移间关系研究物体变形位移量法
(2) 应量法计算杆件变形前提杆件处线弹性范围
(3) 变形广义力广义位移二次函数变形恒正变形应
叠加原理
(4) 变形外力位移终值关加载程序关 材料力学

·246·
·246·
(5) 卡氏定理计算位移重方法表达式
n
Pn
U
Fδ ∂ ∂
变形外力 PnF 偏导数等力 PnF 该力方相应位移计算结果
正表示 nδ PnF 方致否相反
(6) 应卡氏定理时求位移截面相应外荷载假设求位移
相应力 PF′ 作求位移截面处然计算出结构原荷载 PF′ 作变
形变形 PF′ 求偏导数
P
U
F
∂
′∂
出结果令 PF′ ＝0求
(7) 结构时作相外荷载应荷载分设 12PPFF 求出
i
Pi
U
F δ∂ ∂
结果令 12P PPFF F 求
115 思 考 题
1 理解外力加载程中做功 1
2 PWFδ ？
2 什求出梁力变形采叠加原理求梁弹性变形采叠加
原理？
3 计算弹性杆件变形基原理什？
4 试列出杆件种基变形时变形计算式
5 理解变形简单叠加计算杆件组合变形时什变形基
变形叠加？
6 卡氏定理求图 1111 示刚架 A 截面竖位移时计剪力轴力位
移影响否 Ay
P
U
F δ∂ ∂
？什？

图 1111 思考题 1 图 第 11 章 变形法

·247·
·247·
116 题
1 两根圆截面直杆材料相尺寸图 1112 示试较两杆变形

图 1112 题 1 图
2 试计算图 1113 示梁变形

(a) (b)
图 1113 题 2 图
3 试卡氏定理计算图 1114 示梁挠度 Ay By

(a) (b)
图 1114 题 3 图
4 试卡氏定理计算图 1115 示梁跨中C 截面挠度 Cy
5 试卡氏定理计算图 1116 示悬臂梁端挠度 By 转角 Bθ
材料力学

·248·
·248·

(a) (b)
图 1115 题 4 图

(a) (b)
图 1116 题 5 图
6 图 1117 示变截面梁试卡氏定理求 PF 作 B 截面竖位移 By 支座 A
转角 Aθ

(a) (b)
图 1117 题 6 图
7 图 1118 示刚架 EI 常数试卡氏定理求C 截面水位移 Cxδ 转角 Cθ

图 1118 题 7 图


第 12 章 材料研究问题
提：章中讨问题均常温静载前提条件果构件
工作条件高低温者受动荷载作力学性发生变化
(1) 材料交变应力作疲劳破坏疲劳极限疲劳破坏突然发生构
件破坏时工作应力远低材料屈服极限需研究材料疲劳极限
(2) 材料动荷载作力学性构件承受动荷载作时应变速率较强
度极限承受静载高屈服阶段明显塑性降低寒冷工作条件钢材应变时效
效应降低钢板韧性发生脆性断裂需研究塑性材料阻止脆性断
裂力击韧性
(3) 材料长期高温恒定荷载作蠕变现象材料长期高温恒定
荷载作塑性变形着时间增长断发展逐步取代初始弹性变形
材料中应力时间增长逐渐降低应力松弛
121 材料疲劳破坏疲劳极限
1211 材料交变应力疲劳破坏疲劳极限
1 金属材料疲劳破坏
工程中构件应力时间做交变化例吊车梁变荷载作
构件应力时间交变化车轴受荷载时间改变车
轴身旋转横截面轴心外点位置时间改变该点弯曲应力
时间做周期性变化种时间作交变化应力称交变应力(alternating stress)
铁丝反复弯折样钢材等金属材料受次加力破坏受
次反复加力作发生破坏种现象疲劳破坏(fatigue failure)机器结构物发
生破坏原约 70～80疲劳破坏引起疲劳破坏发生时材料工作应
力远低屈服极限没明显塑性变形发生突然断裂破坏引起重
事发生社会带危害金属疲劳破坏机理阐明作基
础建立强度设计方法寿命预测方法疲劳破坏防止方法非常重
交变应力作疲劳破坏全然静荷载作破坏特征：①构件
工作应力远低静荷载作屈服强度极限强度②塑性较钢材
疲劳破坏没明显塑性变形情况突然发生③疲劳破坏断口表面呈现两
截然区域光滑区晶粒状粗糙区图 121 示
代实验研究结果表明疲劳破坏实质金属材料交变应力反复作
部微缺陷应力集中产生塑性变形萌生裂纹着外力反复作次数增材料力学

·250·
·250·
加微裂纹逐渐扩展导致材料开裂破坏通常说疲劳断裂指微观裂
缝连续反复荷载作断扩展直脆性断裂(brittle fracture)疲劳破坏疲
劳裂纹源形成疲劳裂纹扩展脆断三阶段组成破坏程
疲劳裂纹源形成：金属部结构均匀造成应力传递衡方
会成应力集中区时金属表面损伤金属部缺陷处存许微
裂纹足够交变应力持续作金属材料中利位置处晶粒切应力作
面形成滑移带循环滑移会形成微观裂纹种斜裂纹扩展定深度会转
垂直应力方扩展裂纹形成宏观裂纹
疲劳裂纹扩展：应力交变化时裂纹两侧表面材料时压紧时张开
材料相互反复压紧形成断口表面光滑区域断裂前光滑区域
已形成疲劳裂纹扩展区
疲劳破坏阶段：位疲劳裂纹尖端区域材料处高度应力集中状态
通常处三拉伸状态疲劳裂纹扩展定深度时材料中够传递应
力部分越越少正常工作应力发生骤然扩展剩余截面继
续传递应力时会引起材料剩余截面脆性断裂断口表面粗晶粒状区域发生脆
性断裂剩余截面
粗糙区
光滑区
裂纹源
图 121 材料疲劳破坏断口分区示意图
2 交变应力基参量
交变应力疲劳破坏静应力破坏截然表征材料抵抗破坏力
强度指标金属疲劳破坏交变应力中应力水应力变化情况应
力循环次数等关先介绍描述交变应力变化情况基参量
设简支梁放置重量 Q 电动机电动机转动时引起干扰力 sinFtω 梁
产生受迫振动图 122 示梁跨中边缘危险点处拉应力时间正弦曲线变化
种应力时间变化曲线称应力谱(stress spectrum)梁中危险点应力某固
定值 maxσ 值 minσ 间做周期性变化应力变化周期称次应力循
环(stress cycle)完成次应力循环需时间称周期 T应力循环中应力
应力值称交变应力应力(stress ratio)循环特征 r 表示
min
max
r σ
σ (121) 第 12 章 材料研究问题

·251·
·251·

mσ
0
σΔ aσ
minσ
σ
t
maxσ

图 122 梁振动时交变应力
应力 maxσ 应力 minσ 差值二分称应力幅(stress amplitude)表示交变
应力中应力交变化程度
max min
1 ()2aσσσ− (122)
应力 maxσ 应力 minσ 代数均值称均应力 mσ 表示
max min
1 ()2mσσσ+ (123)
maxσ minσ 相等符号相反应力
min
max
1r σ
σ − (124)
1r − 时情况称称循环(symmetrical circulation)称循环外余应力循环
称非称循环(unsymmetrical circulation)非称循环中 min 0σ 应力
0r 种情况称脉动循环(pulsatile circulation)
构件静应力作点处应力保持恒定均 max minσ σ 静应力视交
变应力种特殊情况应力 1r
点应力切应力τ 代σ 外值注意应力应
力带正负号里绝值较者应力规定正正号应力反
应力负号
3 疲劳极限
金属材料交变应力作工作应力远低屈服极限时发生疲劳
破坏静载作测定屈服极限强度极限已作强度指标疲劳强度
指标应重新测定疲劳强度(fatigue strength)材料身性关外变形形式
应力应力循环次数关疲劳强度疲劳试验测定材料称循环弯曲时
疲劳强度 GB 4337—84 旋转弯曲疲劳试验测定显然试样受交变应力中
应力 maxσ 越高疲劳破坏历应力循环次数 N 越低试样疲劳破坏历应力
循环次数称材料疲劳寿命(fatigue life)降低应力疲劳强度会提高
应力降低某数值时试样历限次应力循环发生疲劳破坏相应应力
值 maxσ 称材料疲劳极限(fatigue limit) rσ 表示标 r 表示交变应力应力 材料力学

·252·
·252·
1212 材料称非称循环交变应力疲劳破坏疲劳极限
1 材料称循环疲劳极限
称循环交变应力材料疲劳极限通组试件疲劳实验机进行疲劳
实验测定种钢材材料加工成 d7～10mm表面光滑圆截面试样
试验时首先取第根试样放旋转弯曲疲劳试验机试验程中试件断旋
转试件表面点应力应力应力间周复始变化第
根试样应力 max 1σ 较高历 1N 次循环试样发生疲劳破坏 1N 称应力 max 1σ
时疲劳寿命取第二根试样应力 max 2σ 略低第根试样历 2N 次循环
试样发生疲劳破坏次降低应力水出全组试样相应疲劳寿命整理试验结果
作材料交变应力值疲劳破坏关系 S―N 曲线(S 代表正应力σ 切
应力τ )疲劳强度设计基础数 7
0 10N 称循环基数
果钢铁材料完成 710 次应力循环疲劳试验发生疲劳破坏认永远
会发生疲劳破坏时应力值称钢材疲劳极限结构物疲劳极限作
基准进行疲劳设计十年承受 710 次应力循环前认拥疲劳
极限材料超 710 次应力循环超长寿命区发现发生疲劳破坏
现行寿命预测方法设计规范已满足超长寿命机械设备求外
限资源长期充分社会持续发展保障超长寿命疲劳行研究
金属材料研究重课题
铜铝等色金属合金材料 S―N 曲线没明显水直线部分
般规定循环基数测定应应力作类材料条件疲劳极限
0N
rσ 表示
2 材料非称循环疲劳极限
称循环交变应力 1r − 非称循环交变应力定应
力 r 值进行疲劳试验求出相应 S―N 曲线利 S―N 曲线便确定 r 值
疲劳极限 rσ 非称循环交变应力成：应力循环中均应力 mσ 基
础叠加应力幅 aσ 称循环交变应力
选取均应力 mσ 横轴应力幅 aσ 轴坐标系图 123 示应
应力循环 mσ aσ 便坐标系中确定应 P 点点横坐标相
加该点代表应力循环应力
max maσ σσ + (126)
原点 P 点作射线 OP斜率
max min
max min
1tan 1
a
m
r
r
σ σσα σσ σ
− − + + (127)
见循环特征 r 相应力循环射线离原点越远横坐
标越应力循环 maxσ 越显然 maxσ 超循环特征 r 疲劳极
限 rσ 会出现疲劳破坏条原点出发射线疲劳极限
确定界点 第 12 章 材料研究问题

·253·
·253·
mσ
aσ
bσ
0
α
P
P＇
aσ
mσ
1−σ
A
C
B
γ
2
0σ
2
0σ

图 123 疲劳极限曲线
称循环 1r − 0mσ maxασ σ 表明称循环应点轴
1σ − 轴确定称循环界点 A静载 1r + maxmσ σ 0ασ 表明
静载应点横轴 bσ 横轴确定静载界点 B脉动循环 0r
式(126)知 tan 1α 表明脉动循环应点α 45°射线疲劳极
限 0σ 相应界点 C总循环特性 r确定疲劳极限相应界点
ABC 点连成光滑曲线疲劳极限曲线图 123 示曲线 APCB′
maσ σ− 坐标面疲劳极限曲线坐标轴围成区域点代表应
力循环应力必然循环特征 r 疲劳极限会引起疲劳破坏
疲劳极限曲线确定通常需少数种特殊循环特征疲劳实验直接确定
然分 AB 点 BC 点连成直线似代实际疲劳极限曲线
实际构件外形尺寸表面质量工作环境试样影响疲劳
极限数值分通应力集中系数尺寸系数表面质量系数等修正系数反映
然考虑适安全系数确定构件疲劳许应力建立疲劳强度极限时名
义应力进行计算
焊接钢结构构件连接需考虑焊接残余应力影响钢结构疲
劳裂纹般焊缝处产生发展疲劳计算中应力幅建立疲劳强度条件
包括常幅疲劳变幅疲劳钢结构设计规范般规定中指出应力变化循环次数
N≥105 时应进行疲劳计算应力循环中出现拉应力部位必验算疲劳强度
122 材料动荷载作力学性
材料交变应力作表现出常温静载时力学性外应变速率应
力速率样会材料力学性产生影响试验研究指出应变速率(strain speed)
超 d
dt
εε
•
3mmmms 种影响更加明显构件应变速率超 3mmmms 材料力学

·254·
·254·
荷载通常称动荷载(dynamic load)
加载速率试样中应力速率样测定材料屈服极限 sσ 影响
加载速率超塑性变形传播速率会材料塑性变形抗力提高显示出
加载速率低塑性变形传播速率时测定屈服极限 sσ 没影响
般情况短期加载拉伸试验中室温中表现塑性材料塑性指标温
度降低减温度增加塑性指标显著增衡量材料强度指标 sσ bσ
着温度降低增温度增加减
动荷载作材料强度极限提高屈服阶段明显塑性韧性降低
构件击荷载作应变速率非常高材料表现出常温静载时力学性
研究材料击荷载作力学性显十分必
韧性包括击韧性断裂韧性般说强度材料抵抗变形断裂力塑性
表示断裂时材料总塑性变形程度韧性指材料塑性变形断裂全程中吸收
量力强度塑性综合表现击韧性指结构构件承受动荷载击荷
载作力
工程中衡量材料抵抗击力标准断试件需量少击荷载
作构件积蓄应变数值等击力做功击试验中带
切槽弯曲试样置试验机支架切槽位受拉侧图 124 示重锤
定高度落试样次作断时试样吸收量等重锤做功W 称
材料击功(impact energy)击功材料组织缺陷十分敏感灵敏反映材料品
质宏观缺陷微观组织方面微变化果单位断口面积击力做功表示
称材料击韧度(impact toughness) Kα 单位 Jmm2
试样 试样

(a) (b)
图 124 击试验示意图
(a) 击试验机(b) 击试样
K
W
Aα (128)
Kα 越表示材料抗击力越强种类材料抗击力相差塑性材
料抗击力远高脆性材料例低碳钢击韧性远高铸铁
击韧度材料性指标时击韧度测量试样尺寸形状支承
条件等素关便较测定击韧度时采标准试样国通标准试样两
端简支弯曲试样分 U 形切槽试样 V 形切槽式样图 125(a)图 125(b)示第 12 章 材料研究问题

·255·
·255·
击试样开切槽越尖锐应力集中程度越高试样吸收量越越反
映出材料阻止裂纹扩展力 V 形切槽试样测定击韧度更
55
40
2
2
(a)
10
10
55
40
45°
2
(b)
10
10

图 125 击试验标准试样
(a) U 形切槽试样(b) V 形切槽试样
采 V 形切槽试样时测击功W 材料击功需切口处截
面积显然采两种试样试样击韧度值材料两种切槽试样
测击韧度值常数两者简单换算
试验结果表明 Kα 数值温度降低减着温度降低某狭窄温度
区间 Kα 数值骤然降材料变脆冷脆现象击韧度骤然降温度
转变温度(transformation temperature)确定转变温度两种约定标准第种标准 V
形切槽试样断口外观分析确定试样断断面部分面积呈晶粒状脆性断口
部分面积纤维状塑性断口V 形切槽试样应力集中程度较高断口分区
较明显组 V 形切槽试样温度进行试验晶粒状断口面积占整断面面积
百分温度降低升高般晶粒状断口面积占整断面面积 50时温度规
定转变温度记 FATT种标准 U 形切槽试样 Kα 值确定组材料
热处理状态试样加工程完全相 U 形切槽试样温度进行击试验
数整理成击韧度 Kα 组试样 Kα 值 40 Kα 值算术
均值应温度作转变温度
寒冷工作条件钢板击韧性结构工作性非常重修建寒冷区
桥梁钢求低环境温度条件保证击韧性目前桥梁钢板标准求必
须保证 0℃－5℃时韧性时甚保证－20℃－40℃时良韧性设
计规范中般根验规定室温低 077Jmm2～096 Jmm2
国北方高寒区桥梁规定－40℃低温桥梁击韧度值
防止桥梁严寒季节发生脆断
123 材料长期荷载作蠕变现象
量实验表明材料超定温度高温拉伸试件名义应力作塑性变形
着时间增长断发展种现象称蠕变(creep)蠕变引起构件真实应力断
增加真实应力达材料极限应力时构件发生断裂构件发生蠕变时保持总
伸长量变构件中应力会着蠕变发展逐渐减种现象称应力松弛材料力学

·256·
·256·
拉伸试样高温恒定荷载作维持两端位置固定动材料时间发展蠕变
变形逐步取代初始弹性变形试样中应力时间增长逐渐降低
图 126 示某金属材料拉伸试样某恒定高温长期受恒定荷载作时
蠕变变形(线应变ε 表示)加载时间发展典型蠕变曲线图中见加载材料
首先产生应变 0ε 进入蠕变阶段蠕变曲线分四阶段：
t
稳定阶段
加速阶段
A
E
D
C
B
稳定
阶段
破坏阶段ε
0ε
O
图 126 拉伸试样恒定高温蠕变曲线
AB：稳定阶段蠕变开始 AB 段蠕变变形增加较快应变速率逐渐
降低阶段蠕变速率稳定称稳定阶段
BC：稳定阶段BC 段蠕变速率达低保持常数
CD：加速阶段 C 点直 D 点蠕变速率逐渐增变化
DE：破坏阶段达 D 点蠕变速度骤然增加较短时间试样断裂
时试样会出现颈缩
影响蠕变两素温度应力水构件工作温度越高蠕变速率越
温度超某界限值会发生明显蠕变变形温度界限值称蠕变界温度
(creep critical temperature)定应力水蠕变界温度通常约材料熔点
半软金属(铅)某非金属材料(塑料)常温发生蠕变变形高温合
金高温度会发生蠕变高拉应力水冷拔预应力钢丝常温
明显蠕变现象
工程常混凝土材料常温会发生蠕变松弛物理实质金属材料完
全具金属材料相仿蠕变松弛现象
124 结
1 材料交变应力作疲劳破坏
材料发生疲劳破坏应力低静荷载作极限应力必须研究材料历
穷次应力循环历规定较循环次数破坏应力(应力循环
中应力)该应力称材料耐劳极限材料循环特征耐劳极限
构件耐劳极限构件外形应力集中程度构件尺寸构件表面质量腐蚀第 12 章 材料研究问题

·257·
·257·
性环境等素关
2 材料动荷载作力学性
应变速率ε
•
≥3mmmms 塑性性降低击荷载作塑性性降
更明显低温更低某温度转变温度材料发生冷脆现象材料抵
抗击荷载力击韧度衡量击韧度带 U 形切槽 V 形切槽标准试件
击试验测定低温工作构件应击韧度转变温度提出相应求
动荷载击荷载作构件应力变形计算教材未涉兴趣读者参考
关文献关规范中类动荷载系数进行修正
3 材料高温长期荷载作蠕变松弛
名义应力水较高恒定情况蠕变变形时间增加真实应力断增加
达极限应力发生破坏相反现象应力松弛构件施加定荷载发生
变形保持应变变情况蠕变变形逐步代弹性变形应力断
减达规定应力水工程需考虑蠕变变形应力松弛影响
125 思 考 题
1 交变应力材料发生破坏原什？静荷载破坏区？
2 变形形式材料(光滑试样)言种应力循环中疲劳极限
低？
3 试举出列种交变应力工程实例：(1)应力称循环(2)应力脉动循环
(3)交变应力循环特征保持变(4)交变应力均应力保持变(5)交变应力
应力保持变
4 采取措施提高构件疲劳强度？
5 应变速率应力速率材料力学性影响？
6 谓蠕变松弛？
7 通常什物理量表示材料击韧度？材料击韧度样测定？
8 测定材料转变温度？
126 题
1 已知某发动机连杆头螺钉工作时受拉力 max 583F kN拉力
min 558F kN螺纹处径 d 115mm试求均应力 mσ 应力幅 aσ 循环特征 r
作出 tσ − 曲线
2 maσ σ− 坐标系中标出图 127 示应力循环应点求出原点出发
通点射线 mσ 轴夹角α 材料力学

·258·
·258·

0
σ
t
100MPa
60MPa O

图 127 题 2 图


附录 1 截面图形性质
提：受力形式杆件应力变形仅取决外力杆件尺寸
杆件截面性质关研究杆件应力变形研究失效问题时
涉截面形状尺寸关量量包括：形心静矩惯性矩惯性半
径极惯性矩惯性积轴等统称面图形性质
研究述性质时完全考虑研究象物理力学素作纯问题
加处理面图形性质般杆件横截面形状尺寸关面介绍
性质表征量杆件应力变形分析计算中占举足轻重作
附 11 截面静矩形心
意面图形图附 11 示取面积微元 dA该微元 zOy 坐标系中
坐标 zy定义列积分：

图附 11 静矩概念
dy A
SzA ∫ dz A
SyA ∫ (附 11)
量纲长度 3 次方
均质薄板重心面图形形心相坐标 Cz Cy
dCyA
A zzAS⋅ ⋅∫
薄板重心坐标 Cz

d yA
C
zA Sz A A∫
理
z
C
Sy A 材料力学

·260·
·260·
图附 12 例 11
形心坐标
y
C
Sz A z
C
Sy A (附 12)

y CSAz z CSAy
式(附 12)知某坐标轴通形心轴图形该轴静矩等零 0Cy
0zS 0Cz 0yS 反图形某轴静矩等零该轴必然通图形
形心静矩选坐标轴关值正负零
面图形简单面图形组成称组合面图形设第 i 块分图形
面积 iA 形心坐标 Ci Ciyz 静矩形心坐标分

1
n
z iCi
i
SAy

∑
1
n
y iCi
i
SAz

∑ (附 13)
1
1
n
iCi
iz
C n
i
i
A ySy A A



∑
∑
1
1
n
iCi
y i
C n
i
i
A zSz A A



∑
∑
(附 14)
例附 11 求图附 12 示半圆形 y zSS形心位置
解：称性 0Cy 0zS 现取行 y 轴
狭长条作微面积 dA
22d2d2 dA yz R z z −

dy A
SzA ∫ 22 3
0
22d3
R
z RzzR⋅ − ∫
4
3
y
C
S Rz Aπ
例附 12 确定形心位置图附 13 示

图附 13 例 12
解：图形作两矩形ⅠⅡ组成图示坐标矩形面积形心位置分

矩形Ⅰ：
1 120 10 1200A × mm2 附录 1 截面图形性质

·261·
·261·
1
10 52Cy mm 1
120 602Cz mm
矩形Ⅱ：
2 70 10 700A × mm2
2
7010 452Cy +mm 1
10 52Cz mm
整图形形心C 坐标

11 2 2
12
1200 5 700 45
1200 700
197 mm
CC
C
Ay Ayy AA
+ +
×+ × +



11 2 2
12
1200 60 700 5
1200 700
397mm
CC
C
Az Azz AA
+ +
× +× +


附 12 惯性矩惯性积极惯性矩
(1) 面图形某坐标轴 2 次矩图附 14 示

图附 14 惯性矩惯性积极惯性矩概念
2dy A
I zA ∫ 2dz A
I yA ∫ (附 15)
量纲长度 4 次方恒正
组合图形惯性矩设 yiziI I 分图形惯性矩总图形轴惯性矩
1
n
y yi
i
I I

∑
1
n
z zi
i
I I

∑ (附 16)
(2) 定义式
dyz A
I yz A ∫ (附 17)
图形正交轴 y z 轴惯性积量纲长度 4 次方 yzI 正负材料力学

·262·
·262·
零 yz 轴中根称轴惯性积零
(3) ρ 表示微面积 dA 坐标原点O 距离定义图形坐标原点O 极惯性矩
2dp A
I Aρ ∫ (附 18)

222yzρ +
极惯性矩(轴)惯性矩关系
( )22dp yzA
I yzAII ++∫ (附 19)
式(附 19)表明图形意两互相垂直轴(轴)惯性矩等该两轴交点
极惯性矩
(4) 定义式
y
y
Ii A z
z
Ii A (附 110)
图形 y 轴 z 轴惯性半径
例附 13 试计算图附 15(a)示矩形截面称轴(形心轴)x y 惯性矩

(a) (b)
图附 15 例 13
解：先计算截面 x 轴惯性矩 xI 取行 x 轴狭长条(图(a)作面积元素
ddA by )根公式(附 15)第二式

2
222
2
dd12
h
hx A
bhIyAbyy
−
∫∫
理计算 y 惯性矩 yI 时取 ddA hx (图(a))根公式(附 16)第式
2
3
22
2
dd12
h
hy A
bhIxAhxx−
∫∫
截面高度行四边形(图(b))形心惯性矩样
3
12x
bhI
例附 14 求图附 16 示圆形截面 y zyzpI II I 附录 1 截面图形性质

·263·
·263·

图附 16 例 14
解：图示取 dA根定义

4
22222
2
πd2d64
D
Dy A
DIzAzRzz
−
⋅−∫∫
轴称性
y zI I
4π
64
D
0yzI
公式(附 19)
4π
32pyz
DIII+
空心圆截面外径 D 径 d
()4
4π 164yz
DII α −
d
Dα

4
4π (1 )32p
DI α−
例附 15 求图附 17 示三角形图形 yI yzI

图附 17 例 15 材料力学

·264·
·264·
解：取行 y 轴狭长矩形 ddA yz ⋅ 中宽度 y z 变化 byzh


3
23
0
dd4
h
y A
bbhIzAzzh ∫∫
dyz A
I yz A ∫ 图示

22
0
d28
h
yz
ybhIzyz∫
例附 16 组合图形：264试确定形心

图附 18 例 16
解：取称轴形心位置选坐标关
组合板块 1：

111
1
12
100 20mm
10 100 110mm2C
Abh
hyh
×
++

组合板块 2：

222
2
2
20 100mm
100 50mm22C
Abh
hy
×


组合截面形心
11 2 2
12
80mmiCi CC
C
i
Ay Ay Ayy AAA
+ +
∑
∑
形心位置：
80mm0CCyz
附 13 行移轴公式
附 131 行移轴公式
面图形相互行两直角坐标轴惯性矩惯性积相果
中轴图形形心轴 ()CCyz 时图附 19 示行移轴公式 附录 1 截面图形性质

·265·
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图附 19 行移轴公式
2
2
C
C
CC
yy
zz
yz y z
I IaA
I IbA
I IabA
⎧ +
⎪⎪ +⎨
⎪ +⎪⎩
(附 111)
简单证明：
()2222ddd2ddyCCCAA A A A
I zA z a A z A azAa A++ +∫∫ ∫ ∫ ∫
中 dCA
z A∫ 图形形心轴 Cy 静矩值应等零
2
CyyI IaA+
理证(附 111)中两式
关图形行轴惯性矩惯性积间关系移轴定理中式(附 111)
表明：
(1) 图形意轴惯性矩等图形该轴行形心轴惯性矩加图形
面积两行轴间距离方积
(2) 图形意直角坐标轴惯性积等图形行该坐标轴通
形心直角坐标轴惯性积加图形面积两行轴间距离积
(3) 面积 a2b2 项恒正形心轴移行意轴惯性矩总增
加
ab 原坐标系原点新坐标系中坐标二者号时正异号时负
移轴惯性积增加减少
结：面相互行坐标轴惯性矩形心轴惯性积移
轴公式时应注意 ab 正负号
例附 17 试求图示 r1m 半圆形截面轴 x 惯性矩中轴 x 半圆形底边
行相距 1 m 材料力学

·266·
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图附 110 例 17
解：知半圆形截面底边惯性矩
44ππ
128 8
dr
行轴定理截面形心轴 x0 惯性矩

242 4448
823 89yc
rrr rrI ππ π⎛⎞− −⎜⎟π π⎝⎠

行轴定理截面 x 轴惯性矩

424234
24848(1 )23 89239xxo
rrrrrrrII πππ+ + − + + +π ππ
附 132 组合截面惯性矩惯性积
工程计算中应广泛组合图形惯性矩惯性积求图形通形心
轴惯性矩惯性积必须首先确定图形形心形心轴位置
组合图形简单图形(例矩形正方形圆形等)组成确
定形心形心轴形心惯性矩程中均采积分利简单图形
性质移轴转轴定理般应列步骤进行
组合图形分解干简单图形应式(附 15)确定组合图形形心位置形心
坐标原点设 xOy 坐标系 xy 轴般简单图形形心轴行确定简单图形身
形心轴惯性矩利移轴定理(必时转轴定理)确定简单图形 xy 轴惯性矩
惯性积相加(空洞时减)便整图形 IxIy Ixy
例附 18 确定列图形形心位置计算面图形形心轴 yC 惯性矩
zc
y
yc1
yc
yc2
C
C1
C2
No14b
No20b
O
zo1
h
zc

图附 111 例 18 附录 1 截面图形性质

·267·
·267·
解：(1) 查型钢表
槽钢 No14b
24
11121316cm 611cm 167cmyC oAIz
工字钢 No20b
24
2239578cm 2 500cm 20cmyCAI h
(2) 计算形心位置
组合图形称性(称轴 zC 轴)知：
yC0

11 2 2
12
21316 (167 20) 39578 10
21316 39578
1409cm
cc
C
Az Azz AA
⋅+⋅ × ++ ×++


(3) 行移轴公式计算图形 yC 轴惯性矩

2 2
1) 1 1 1
4
611 (167 20 1409) 21316
1 2858cm
yC yCIICCA+ + +− ×



2 2
2) 2 2
4
2 500 (1409 10) 39578
3 1621cm
yC yCIICOA+ + −×


(4) 求组合图形 yC 轴惯性矩
4
1) 2) 4 4479cmyC yC yCII I+

11 2 2
12
21316 (167 20) 39578 10
21316 39578
1409cm
CC
C
Az Azz AA
⋅+⋅ × ++ ×++


例附 19 计算列图形 yz 轴惯性积
z
40
40
10
10
y
O
1
2

图附 112 例 19
解：图形分成 12 两部分
12 1 2
40 10 10 40
00 010
4
d (dd) (dd) d d d d
40 000 37 500 77 500mm
yz
AA A A
I yzA yzyz yzyz yyzz yy zz
+
+ +
+
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 材料力学

·268·
·268·
附 14 转 轴 公 式
意面图形(附 113) y 轴 z 轴惯性矩惯性积式(附 15)～式(附 19)求
坐标轴 yz 绕坐标原点O 点旋转α 角逆时针转角正新旧坐标轴间
应关系

图附 113 转轴公式
1 cos sinyy zα α+
1 cos sinyy zα α+
关系代入惯性矩惯性积定义式相应量新旧转换关系转轴公
式
1
2
1 dcos2sin222
yz yz
yyzA
IIIIIzA Iα α+−− −∫ (附 112)
1
cos 2 sin 222
yz yz
zyz
IIIIIIα α+−− + (附 113)
11
sin 2 cos22
yz
yz yz
IIIIα α−+ (附 114)
三式惯性矩惯性积转轴公式面计算截面惯性矩时

附 15 截面惯性矩惯性轴
式(附 114)出确定点(坐标原点)坐标轴旋转时着角度 α 改
变惯性积发生变化根惯性积正负特点总找角
度 0α 相应 0x 0y 轴图形坐标轴惯性积等零
确定 0α 令式(附 114)中
11y zI 零令 0α 惯性矩极值时方位角条
件
1
dd0yI α 附录 1 截面图形性质

·269·
·269·
0
2tan 2 yz
y z
I
I Iα − − (附 115)
式(附115)求出 0α 0 2α π+ 确定惯性轴 0y 0z 式(附115)求出 sin2 0α
cos2 0α 代回式(附 112)(附 113)惯性矩两极值称惯性轴
定义：点存样坐标轴图形惯性积等零坐标轴便称
点轴图形轴惯性矩称轴惯性矩简称惯性矩显然惯性矩
具极极特征
根式(附 112)式(附 113)惯性矩计算式
()0
2 21 422
yz
y yz yz
III II I++−+ (附 116)
()0
2 21 422
yz
y yz yz
III II I++−+ (附 117)
需指出意点(图形图形外)轴通形心轴称形心
轴图形形心轴惯性矩称形心惯性矩工程计算中意义形心轴形
心矩图形称轴时称轴垂直意轴二者交点轴

图附 114 称轴
图附 15 示具称轴图形位称轴 y 侧部分图形 xy 轴惯性
积位侧图形惯性积二者数值相等反号整图形 xy 轴
惯性积 0xyI 图附 15 称轴轴 xy 轴 C 形心 xy 形心
轴应式(附 112)式(附 113)确定形心轴位置形心轴 x 轴夹角 0α
利转轴定理直接应式(附 116)式((附 117)计算形心惯性矩 0xI 0yI
式(附 114)尚证明
11y zyzI III+ + (附 118)
通坐标原点意直角坐标轴惯性矩常量两惯性
矩中必然极值极值
惯性轴通形心称形心惯性轴相互惯性矩称形心惯性矩
例附 110 确定图形形心惯性轴位置计算形心惯性矩
解：(1) 首先确定图形形心利行移轴公式分求出矩形 y 轴 z 轴惯性
矩惯性积矩形 材料力学

·270·
·270·

图附 115 例 110
矩形Ⅰ：
1
23 2 4
11
1 0059 0011 0074 5 0011 0059 3609cm12CyyII aAΙΙ+ × × + × ×
1
2324
11
1 0059 0011 ( 0035) 0011 0059 982cm12CzzII bAΙΙ+ ×× +−× ×
11
4
11 1 0 ( 0035) 0074 5 0011 0059 169cmCCyz y zII abAΙΙ++−× ××−
矩形 Ⅱ：
1
II II 31 0011 016 3 76912CyyII×× cm4
1
II II 31 016 0011 17812CzzII×× cm4
II 0yzI
矩形 Ⅲ：
III I 3609yyII cm4
III I 982zzII cm4
III I 169yz yzII− 4cm (Yab 分图附 110 均反号)
整图形 y 轴 z 轴惯性矩惯性积
1 0973yy y yII I IΙΙΙΙΙΙ+ + cm4
198zz z zII I IΙΙΙΙΙΙ+ + cm4
II III 3384yz yz yz yzII I IΙ+ + − cm4
(2) 求 yI zI yzI 代入式(Ⅰ16)
0
2 2(338)tan 2 07521 0973 198
zy
yz
I
IIα − −×− −−

0 185α D 1085D 附录 1 截面图形性质

·271·
·271·
0α 两值分确定形心惯性轴 0y 0z 位置
0
1 0973 198 1 0973 198 cos37 ( 338)sin37 1 21022yI +−+ −−DDcm4
0
1 0973 198 1 0973 198 cos 217 ( 338)sin 217 8522zI +− +−−DDcm4
例附 111 试确定图示面图形形心惯性轴位置求形心惯性矩
120
180
40
30 30
y
ycC
zc
O
1
2
zc

图附 116 例 111
解：(1) 计算形心位置：组合图形外面矩形 1 减里面矩形 2
组合图形称性(称轴 cz 轴)知： 0cy
11 2 2
12
120 180 90 60 140 70 1027mm120 180 60 140
cc
c
Az Azz AA
⋅−⋅ × ×−× × −×−×
(2) 计算面图形 cz 轴 cy 轴惯性矩

33
64
32
32
64
11180 120 140 6012 12
234 10 mm
1[ 120 180 (1027 90) 120 180]12
1 [ 60 140 (1027 70) 60 140]12
391 10 mm
zc
yc
I
I
× × −× ×
×
×× + − ×× −
×× + − ××
×

(3) cz 轴称轴 cy 轴 cz 轴形心惯性轴形心惯性矩

64
0
64
0
391 10 mm
234 10 mm
yc yc
zc zc
II
II
×
×


附录 2 型钢规格表
表附 21 热轧等边角钢(GB 9787—1998)


符号意义：
b——边宽度 I—惯性矩
d——边厚度 i——惯性半径
r——圆弧半径 W——弯曲截面系数
r1——边端圆弧半径 z0——重心距离

参考答案 尺 寸
(mm)
XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢
号数
b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m2m)
Ix
(cm4)
ix
(cm)
Wx
(cm3)
Ix0
(cm4)
Ix0
(cm)
Wx0
(cm3)
Iy0
(cm4)
Iy0
(cm)
Wy0
(cm3)
Ix1
(cm4)
Z0
(cm)
2 20
3
4
1132
1459
0889
1145
0078
0077
040
050
059
058
029
036
063
078
075
073
045
055
017
022
039
038
020
024
081
109
060
064
25 25
3
4
35
1432
1859
1124
1459
0098
0097
082
103
076
074
046
059
129
062
095
093
073
092
034
043
049
048
033
040
157
211
073
076


续表
参考答案 尺 寸
(mm) XX X0X0 Y0Y0 X1X1 角钢
号数
b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m2m) Ix
(cm4)
ix
(cm)
Wx
(cm3)
Ix0
(cm4)
Ix0
(cm)
Wx0
(cm3)
Iy0
(cm4)
Iy0
(cm)
Wy0
(cm3)
Ix1
(cm4)
Z0
(cm)
30 30
3
4
45
1749
2276
1373
1786
0117
0117
146
184
091
090
068
087
231
292
115
113
109
137
061
077
059
028
051
062
217
363
085
089
36 36
3
4
5
45
2109
2756
3382
1656
2163
2654
0141
0141
0141
258
329
395
111
109
108
099
128
156
409
522
624
139
138
136
161
205
245
107
137
065
071
070
070
076
093
109
468
625
784
100
104
107
40 40
3
4
5
2359
3086
3791
1852
2422
2976
0157
0157
0156
359
460
553
123
122
121
123
160
196
569
729
876
155
154
152
201
258
301
149
191
230
079
079
078
096
119
139
641
856
1074
109
113
117
45 45
3
4
5
6
5 2659
3486
4292
5076
2088
2736
3369
3985
0177
0177
0176
0176
517
665
804
933
140
138
137
136
158
205
251
295
820
1056
1274
1476
176
174
172
170
258
332
400
464
214
275
333
389
090
089
088
088
124
154
181
206
912
1218
1525
1836
122
126
130
133
5 50
3
4
5
6
55
2971
3897
4803
5688
2332
3059
3770
4465
0197
0197
0196
0196
718
926
1121
1305
155
154
153
152
196
256
313
368
1137
1470
1779
2068
196
194
192
191
322
416
503
585
298
382
464
542
100
099
098
098
157
196
213
263
1250
1669
209
2514
134
138
142
146
56 56
3
4
6
3343
4390
2624
3446
0221
0220
1019
1318
175
173
248
324
1614
2092
220
218
408
528
424
546
113
111
202
252
1756
2343
148
153
56 56
5
8
6
7
5415
8367
4251
6568
0220
0219
1602
2363
172
168
397
603
2542
3737
217
211
642
944
661
989
110
109
298
416
2933
4724
157
168

续表
参考答案 尺 寸
(mm) XX X0X0 Y0Y0 X1X1 角钢
号数
b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m2m) Ix
(cm4)
ix
(cm)
Wx
(cm3)
Ix0
(cm4)
Ix0
(cm)
Wx0
(cm3)
Iy0
(cm4)
Iy0
(cm)
Wy0
(cm3)
Ix1
(cm4)
Z0
(cm)
63 63
4
5
6
8
10
7
4978
6143
7288
9515
1657
3907
4822
5712
7469
9151
0248
0248
0247
0247
0246
1903
2317
2712
3446
4109
196
194
193
190
188
413
508
600
775
939
3017
3677
4303
5456
6485
246
245
243
240
236
678
825
966
1225
1456
789
957
1120
1433
1733
126
125
124
123
122
329
390
446
547
636
3335
4173
5014
6711
8431
170
174
178
185
193
7 70
4
5
6
7
8
8
5570
6875
8160
9424
10667
4372
5397
6406
7398
8373
0275
0275
0275
0275
0274
2639
3212
3777
4309
4817
218
216
215
214
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273
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268
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138
138
137
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495
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186
191
195
199
203
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5
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7
8
10
9
7367
8797
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11503
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231
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148
147
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247
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2016
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2025
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11970
13697
17174
215
219
223
227
235

续表
参考答案 尺 寸
(mm) XX X0X0 Y0Y0 X1X1
Z0
(cm) 角钢
号数
b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m2m) Ix
(cm4)
ix
(cm)
Wx
(cm3)
Ix0
(cm4)
Ix0
(cm)
Wx0
(cm3)
Iy0
(cm4)
Iy0
(cm)
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(cm3)
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(cm4)
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0354
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0353
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2007
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350
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341
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178
178
176
175
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248
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0393
0393
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0391
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309
308
305
303
300
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2506
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18198
20897
23507
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33095
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390
389
388
384
381
377
374
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2955
3324
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5857
4792
5474
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7435
8684
9900
11089
200
199
198
196
195
194
194
1269
1426
1575
1857
2108
2344
2563
20007
23354
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33448
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47075
53980
267
271
276
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299
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14
12
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0433
0432
0431
0431
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340
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335
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3605
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309
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0491
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488
485
482
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6493
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12316
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250
248
246
2586
3062
3503
52101
65193
78342
337
345
353

续表
参考答案 尺 寸
(mm) XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢
号数
b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m2m) Ix
(cm4)
ix
(cm)
Wx
(cm3)
Ix0
(cm4)
Ix0
(cm)
Wx0
(cm3)
Iy0
(cm4)
Iy0
(cm)
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(cm3)
Ix1
(cm4)
Z0
(cm)
125 125 14 33367 26193 0490 48165 380 5416 76373 478 8641 19957 245 3913 95161 361
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0551
0550
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431
428
426
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5980
6875
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543
540
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278
276
275
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0630
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0629
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0709
0709
0708
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556
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513
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32206
37441
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97141
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398
396
394
393
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12396
13552
14655
16655
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427039
480813
534751
645716
546
554
562
569
587
注：截面图中 r1d3 表中 r 值数孔型设计作交货条件



表附 22 热轧等边角钢(GB 9787—1998)


符号意义：
B——长边宽度 b——短边宽度
d——边厚度 r——圆弧半径
r1——边端圆弧半径 I——惯性矩
i——惯性半径 W——弯曲截面系数
x0——形心坐标 y0——形心坐标

参考数值 尺寸
(mm) XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢
号数
B b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m22) Ix
(cm4)
Ix
(cm)
WX
(cm3)
IY
(cm4)
iy
(cm)
wy
(cm3)
Ix1
(cm4)
Y0
(cm)
Iy1
(cm4)
X0
(cm)
Iu
(cm4)
iu
(cm)
Wu
(cm3)
tanα
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3
4
1162
1499
0912
1176
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0079
070
088
078
077
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055
022
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019
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156
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034
034
016
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0392
0381
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3
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1939
1171
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0102
0101
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101
100
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055
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112
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042
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1890
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0127
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054
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0143
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144
142
147
191
134
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078
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147
151
223
300
064
068
080
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061
060
051
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0383
0380
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3
4
55
2431
3177
1908
2494
0161
0160
624
802
160
159
184
239
202
258
091
090
082
106
1249
1665
160
165
331
445
073
077
120
153
070
069
068
087
0404
0402


续表
参考数值 尺寸
(mm) XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢号数
B b d r
截面面积
(cm2)
理重量
(kgm)
外表面积
(m22) Ix
(cm4)
Ix
(cm)
WX
(cm3)
IY
(cm4)
iy
(cm)
wy
(cm3)
Ix1
(cm4)
Y0
(cm)
Iy1
(cm4)
X0
(cm)
Iu
(cm4)
iu
(cm)
Wu
(cm3)
tanα
5636 56 36
3
4
5
6
2743
3590
4415
2153
2818
3446
0181
0180
0180
888
1125
1386
180
179
177
232
303
317
292
376
449
103
102
101
105
137
165
1754
2339
2925
178
182
187
470
633
794
080
085
088
173
223
267
079
079
078
087
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136
0408
0408
0404
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0202
0201
0201
1649
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112
111
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204
208
212
215
863
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086
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0396
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0225
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223
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128
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357
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236
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098
098
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0435
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256
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141
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138
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265
269
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125
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108
107
274
320
370
416
0388
0387
0384
0381



续表
参考数值 尺寸
(mm) XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢
号数
B b d r
截面
面积
(cm2)
理重
量
(kgm)
外表
面积
(m22) Ix
(cm4)
Ix
(cm)
WX
(cm3)
IY
(cm4)
iy
(cm)
wy
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(cm4)
Y0
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X0
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(cm4)
iu
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Wu
(cm3)
tanα
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6
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5661
6717
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0286
0286
0286
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8101
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288
286
285
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1174
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1527
1832
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158
157
156
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291
295
300
304
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129
133
136
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123
123
122
121
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0384
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10
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0320
0320
0319
0319
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329
318
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19971
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328
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147
150
158
1842
2100
2350
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138
138
137
135
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602
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10
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0354
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1981
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304
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172
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0354
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0353
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2330
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201
200
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196
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1025
1248
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357
362
370
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8082
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157
161
165
172
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2895
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153
153
151
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0402
0401
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0403
0403
0402
0402
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25677
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402
401
398
395
2686
3041
3733
4401
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11667
230
228
226
224
1201
1356
1656
1943
45499
51999
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406
414
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12032
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192
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176
175
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1364
1601
0408
0407
0404
0400
注：1 括号型号推荐 2截面图中 r1d3 表中 r 数孔型设计作交货条件

续表
参考数值 尺寸
(mm) XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢
号数
B b d r
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm)
外表
面积
(m22
)
Ix
(cm4)
Ix
(cm)
WX
(cm3)
IY
(cm4)
iy
(cm)
wy
(cm3)
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(cm4)
Y0
(cm)
Iy1
(cm4)
X0
(cm)
Iu
(cm4)
iu
(cm)
Wu
(cm3)
tanα
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8
10
12
14
12
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26400
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0452
0451
0451
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59410
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5587
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12069
14603
16979
19210
259
256
254
251
1734
2122
2495
2854
73053
91320
109609
127926
450
458
466
474
19579
24592
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204
212
219
227
7038
8582
10021
11413
198
196
195
194
1431
1748
2054
2352
0441
0409
0406
0403
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10
12
14
16
13
25315
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34709
39281
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0512
0511
0510
0510
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78491
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100304
514
511
508
505
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20503
23906
27120
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285
282
280
277
2656
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3583
4024
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163556
190850
218179
524
532
540
548
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40594
47642
54822
228
236
243
251
12174
14233
16223
18257
219
217
216
216
2192
2579
2956
3344
0390
0388
0385
0382
1811 180 110
10
12
14
16
28373
33712
38967
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22273
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0571
0570
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308
306
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194040
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589
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614
44722
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252
295
267
16650
19487
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24894
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240
239
238
2688
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3632
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0374
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0369
2012
5
200 125
12
14
16
18
14
37912
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55526
29716
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0641
0640
0639
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202335
223830
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641
638
635
11673
13465
15218
16933
48316
55083
61544
67719
357
354
352
349
4999
5744
6469
7174
319385
372617
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654
602
670
678
78774
92247
105886
119713
283
291
299
306
28579
36258
36621
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274
273
271
270
4123
4734
5332
5918
0392
0390
0388
0385
注：1 括号型号推荐 2 截面图中 r1d3 表中 r 数孔型设计作交货条件

表附 23 热轧工字钢(GB 706—1988)

符号意义：
h——高度 r1——腿端圆弧半径
b——腿高度 I——惯性矩
d——腰高度 W——弯曲截面系数
δ——均腿高度 i——惯性半径
r——圆弧半径 S——半截面静矩
参考数值
XX YY
尺 寸
(mm) 型号
h b d δ r r1
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm) IX
(cm4)
WX
(cm3)
iX
(cm)
IX：SX
(cm)
IX
(cm4)
WX
(cm3)
iY
(cm)
10
126
100
126
68
74
45
5
76
84
65
7
33
35
143
181
112
142
245
44843
49
77529
414
5159
859
1085
33
46906
972
12677
152
1609
14
16
18
140
160
180
80
88
94
55
6
65
91
99
107
75
8
85
38
4
43
215
261
306
169
205
241
712
1130
1660
102
141
185
576
658
736
12
138
154
644
931
122
161
212
26
173
189
2
20a
22b
200
200
100
102
7
9
114
114
9
9
45
45
355
395
279
311
2370
2500
237
250
815
796
172
169
158
169
315
331
212
206
22a
22b
220
220
110
112
75
95
123
123
95
95
48
48
42
464
33
364
3400
3570
309
325
899
878
189
187
225
239
409
427
231
227
25a
25b
250
250
116
118
8
10
13
13
10
10
5
5
485
535
381
42
502354
528396
40188
42272
1018
9938
2158
2127
280046
309297
48283
52423
2403
2404
28a
28b
280
280
122
124
85
105
137
137
105
105
53
53
5545
6105
434
479
711414
7480
50815
53429
1132
1108
2462
2424
345051
379496
56565
61209
2495
2493

续表
参考数值
XX YY
尺 寸
(mm) 型号
h b d δ r r1
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm) IX
(cm4)
WX
(cm3)
iX
(cm)
IX：SX
(cm)
IX
(cm4)
WX
(cm3)
iY
(cm)
32a
32b
32c
320
320
320
130
132
134
95
115
135
15
15
15
115
115
115
58
58
58
6705
7345
7995
527
577
628
110755
116214
121675
6922
72633
76047
1284
1258
1234
2746
2709
2677
45993
50153
54381
70758
75989
81166
2619
2614
2608
36a
36b
36c
360
360
360
136
138
140
10
12
14
158
158
158
12
12
12
6
6
6
763
835
907
599
656
712
15760
16530
17310
875
919
962
144
141
138
307
303
299
552
582
612
812
843
874
269
264
26
40a
40b
40c
400
400
400
142
144
146
105
125
145
165
165
165
125
125
125
63
63
63
861
941
102
676
738
801
21720
22780
23850
1090
1140
1190
159
156
152
341
336
332
660
692
727
932
962
996
277
271
265
45a
45b
45c
450
450
450
150
152
154
115
135
155
18
18
18
135
135
135
68
68
68
102
111
120
804
874
945
32240
33760
35280
1430
1500
1570
177
174
171
386
38
373
855
894
938
114
118
122
289
284
279
50a
50b
50c
500
500
500
158
160
162
12
14
16
20
20
20
14
14
14
7
7
7
119
129
139
936
101
109
46470
48560
50640
1860
1940
2080
197
194
19
428
424
418
1120
1170
1220
142
146
151
307
301
296
56a
56b
56c
560
560
560
166
168
170
125
145
165
21
21
21
145
145
145
73
73
73
13525
14645
15785
1062
115
1239
655856
685125
714394
234231
244669
255141
2202
2163
2127
4773
4717
4666
137016
148675
155839
16508
17425
18334
3182
3162
3158
63a
63b
63c
630
630
630
176
178
180
13
15
17
22
22
22
15
15
15
75
75
75
1549
1675
1801
1216
1315
141
939162
980836
1022511
298147
316338
329842
2462
242
2382
5417
5351
5292
170055
181207
192491
19324
2036
21388
3314
3289
3268
注：截面图表中标注圆弧半径 rr1 凝孔型设计作交货条件

表附 24 热轧槽钢 (GB 707—1988)

符号意义：
h——高度 r1——腿端圆弧半径
b——腿宽度 I——惯性矩
d——腰厚度 W——弯曲截面系数
δ——均腿厚度 i——惯性半径
r——圆弧半径 z0——YY 轴 Y1Y1 轴间距
参考数值
XX YY Y1Y1
尺 寸
(mm) 型号
H B D δ R r1
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm) WX
(cm3)
IX
(cm4)
iX
(cm)
WY
(cm3)
Iy
(cm4)
iX
(cm)
Iy1
(cm4)
z0
(cm)
5 50 37 45 7 7 35 693 544 104 26 194 355 83 11 209 135
63 63 40 48 75 75 375 8444 663 16123 50876 2453 450 11872 1185 2838 136
8 80 43 5 8 8 4 1024 804 253 1013 315 579 166 127 374 143
10 100 48 53 85 85 425 1274 10 397 1983 395 78 256 141 549 152
126 126 53 55 9 9 45 1569 1237 62137 391466 4953 10242 3799 1567 7709 159
14a
b 140
140
58
60
6
8
95
95
95
95
475
475
1851
2131
1453
1673
805
871
5637
6094
552
535
1301
1412
532
611
17
169
1071
1206
171
167
16a
16
160
160
63
65
65
85
10
10
10
10
5
5
2195
2515
1723
1974
1083
1168
8662
9345
628
61
163
1755
733
834
183
182
1441
1608
18
175
18a
18
180
180
68
70
7
9
105
105
105
105
525
525
2569
2929
2017
2299
1414
1522
12727
13699
704
684
2003
2152
986
111
196
195
1897
2101
188
184
20a
20
200
200
73
75
7
9
11
11
11
11
55
55
2883
3283
2263
2577
178
1914
17804
19137
786
764
242
2588
128
1436
211
209
244
2684
201
195

续表

参考数值
XX YY Y1Y1
尺 寸
(mm) 型号
H B D δ R r1
截面
面积
(cm2)
理
重量
(kgm) WX
(cm3)
IX
(cm4)
iX
(cm)
WY
(cm3)
Iy
(cm4)
iX
(cm)
Iy1
(cm4)
z0
(cm)
22a
22
220
220
77
79
7
9
115
115
115
115
575
575
3184
3624
2499
2845
2176
2338
23939
25714
867
842
2817
3005
1578
1764
223
221
2982
3263
21
203
a
25b
c
250
250
250
78
80
82
7
9
11
12
12
12
12
12
12
6
6
6
3491
3991
4491
2747
3139
3532
269597
282402
295236
336962
353004
369045
9823
9405
9065
30607
32657
35926
175529
196421
218415
2243
2218
2206
322256
353187
384133
2065
1982
1921
a
28b
c
280
280
280
82
84
86
75
95
115
125
125
125
125
125
125
625
625
625
4002
4562
5122
3142
3581
4021
340328
36646
392594
476459
513045
549632
1091
106
1035
35718
37929
40301
217989
242144
267602
2333
2304
2286
387566
427589
426597
2097
2016
1951
a
32b
c
320
320
320
88
90
92
8
10
12
14
14
14
14
14
14
7
7
7
487
551
615
3822
4325
4828
474879
509012
543145
756806
81442
869033
1249
1215
1188
46473
49157
52642
304787
336332
374175
2502
2471
2467
55231
592933
643299
2242
2158
2092
a
36b
c
360
360
360
96
98
100
9
11
13
16
16
16
16
16
16
8
8
8
6089
6809
7529
478
5345
501
6597
7029
7461
118742
126518
134294
1397
1363
1336
6354
6685
7002
455
4967
5364
273
27
267
8184
8804
9479
244
237
234
a
40
c
400
400
400
100
102
104
105
125
145
18
18
18
18
18
18
9
9
9
7505
8305
9105
5891
6519
7147
8789
9322
9856
175779
186445
197112
1530
1498
1471
7883
8252
8619
592
640
6878
281
278
275
10677
11356
12207
249
244
242



附录 3 简单荷载作梁挠度转角



序号 梁荷载弯矩图 挠曲线方程 转角挠度
1

2
2
eM xw EI

e
B
M l
EIθ
2e
2B
M lw EI

2
2
(3 )6
FxwlxEI
−
2
3B
Fl
EIθ
3
3B
Flw EI

3
2
(3 )6
(0 )
FxwaxEI
xa
−
≤≤

2
(3 )6
()
FawxaEI
axl
−
≤≤

2
2B
Fa
EIθ
2
(3 )6B
FawlaEI
−
4
2
22(64)24
qxwxllxEI
+−
3
6B
ql
EIθ
4
8B
qlw EI


w y 方挠度
wBw(l)梁右端处挠度
()B wlθ ′ 梁右端处转角
w y 方挠度
wcw( 2
l )梁中点挠度
(0)a wθ ′ 梁左端处转角
()a wlθ ′ 梁右端处转角 材料力学

·286·
·286·
续表
序号 梁荷载弯矩图 挠曲线方程 转角挠度
5
2
32 230 (10 10 5 )120
qxwllxlxxEIl
− + −
3
0
B 24
qx
EIθ
4
0
30B
qlw EI

6 ()(2)6
AMxwlxlxEIl
−−
3
A
A
M l
EIθ
6
A
B
M l
EIθ −
2
16
A
C
M l
EIθ
7 22()6
BMxwlxEIl
−
6
B
A
M l
EIθ
3
B
B
M l
EIθ −
2
16
B
c
M lw EI

8 323(2 )24
qxwllxxEI
− +
3
24A
ql
EIθ
3
24B
ql
EIθ −
45
384c
qlw EI

9 42240 (7 10 3 )360
qxwllxxEIl
− +
3
07
360A
ql
EIθ
3
0
45B
ql
EIθ
4
05
768c
qlw EI

10

22(3 4 )48
FxwlxEI
−
( 0 2
lx≤≤ )
2
16A
Fl
EIθ
2
16B
Fl
EIθ −
3
48c
Flw EI

附录 3 简单荷载作梁挠度转角

·287·
·287·
续表
序
号
梁荷载弯矩图 挠曲线方程 转角挠度
11
222()6
FbxwlxbEIl
−−
(0 x a≤≤)
2223()(6
Fb lwxalbxxEIl b
⎡ ⎤⎢ ⎥ − + −−⎢ ⎥⎣ ⎦

( axl≤≤)
()
6A
Fab l b
EIlθ +
()
6B
Fab l a
EIlθ + −
22(3 4 )
48c
Fb l bw EI
−
( a≥b 时)
12

222(6 3 2 )6
eMxwalalxEIl
−−−
(0 x a≤≤)
ab
2
l 时
22e (4)24
MxwlxEIl
−
( 0 2
lx≤≤ )
6A
Me
EIlθ
( )22632al a l−−
22(3)6B
Me laEIlθ −

2
lab 时
24
e
A
M l
EIθ
24
e
B
M l
EIθ 0cw
13

33 2
3222124
qb x x lw EIl b b b
⎡ ⎤⎛⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟ −−−⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )0 x a≤≤
23 2
22 42(2)()24
qbxbxwlbxaEI l l
⎡ ⎤⎢ ⎥ −−−−−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )axl≤≤
( )22 22
24A
qb l b
EIlθ
−

22(2 )
24B
qb l b
EIlθ − −
53
3
31
24 4 2c
qb l lw EIl b b
⎛⎞⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝⎠

( ab> 时)
53
3
45
5
3
24 4
11 21216
c
qb lw EIl b
ll a
bb l
⎡⎢ −⎢⎣
⎤⎛⎞⎥⎟⎜+•− ⎟⎜ ⎥⎟⎟⎜⎝⎠⎥⎦
( ab< 时)
21 世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材
专家编审委员会
彭少民
副 (拼音序排名)
陈伯 金康宁 李 忱 李 杰
罗迎社 彭 刚 许成祥 杨 勤
俞 晓 袁海庆 周先雁
委 员 (拼音序排名)
邓寿昌 付晓灵 放龙 培玲
李晓目 李学罡 刘 杰 刘建军
刘文生 罗 章 石建军 许 明
严 兵 张泽 张仲先 21 世纪全国应型科土木建筑系列实规划教材
参编学校名单（拼音排序覆盖 26 省市治区）
1 安徽理工学
2 北京建筑工程学院
3 北京联合学
4 长春工程学院
5 长江学
6 长沙理工学
7 东南学
8 广州学
9 贵州学
10 桂林工学院
11 合肥工业学
12 河北工业学
13 河北建筑工程学院
14 河南学
15 黑龙江科技学院
16 湖南城市学院
17 湖南学
18 湖南工程学院
19 湖南工学院
20 湖南科技学
21 华北电力学
22 华北水利水电学院
23 华东交通学
24 华中科技学
25 淮阴工学院
26 黄石理工学院
27 江汉学
28 江苏学
29 江西科技师范学院
30 九江学院
31 昆明理工学
32 丽水学院
33 辽宁工程技术学
34 蒙古科技学
35 南昌工程学院
36 南昌航空工业学院
37 南华学
38 南京工程学院
39 南京林业学
40 南阳理工学院
41 宁波工程学院
42 三峡学
43 山东交通学院
44 山西学

45 海学
46 石河子学
47 石家庄铁道学院
48 四川理工学院
49 太原理工学
50 天津工业学
51 天津商学院
52 武汉学
53 武汉工程学
54 武汉工业学院
55 武汉科技学
56 武汉科技学院
57 武汉理工学
58 西安建筑科技学
59 西安科技学
60 西北农林科技学
61 西南交通学
62 西南林学院
63 湘潭学
64 孝感学院
65 浙江科技学院
66 中国质学
67 中南学
68 中南林学院
69 重庆学
70 株洲工学院

参 考 文 献
1 孙训方方孝淑关泰．材料力学(第 4 版)．北京：高等教育出版社2002
2 张流芳．材料力学．武汉：武汉理工学出版社2002
3 范钦珊．材料力学．北京：清华学出版社2004
4 袁海庆．材料力学．武汉：武汉工业学出版社2000
5 粟．材料力学．北京：高等教育出版社1989
6 刘鸿文．简明材料力学．北京：高等教育出版社2004
7 刘鸿文．材料力学教程 北京：机械工业出版社1993
8 顾玉林．材料力学．北京：高等教育出版社1993
9 胡增强．材料力学题解析．北京：中国农业机械出版社1988


710 题
71 横截面 240 5mm× 矩形受拉试件轴线成 45α D 角斜面剪应力
150MPaτ 时试件出现滑移线试求时试件受轴拉力 PF 值
72 试解析法求图 722 示单元体指定斜截面应力方标单
元体(应力单位 MPa ) 第 3 章 剪切扭转

·39·
·39·
(b)(a) (d)(c)
图 722 题 72 图
73 木杆中截取单元体应力状态图示木纹方 x 轴成30D 角木
纹方许剪应力1MPa 试通计算说明应力状态否安全？
74 试求图 724 示悬臂梁距离端 072m 截面顶面 40mm 点
处应力方
05MPa
2MPa
1MPa
A

图 723 题 73 图 图 724 题 74 图
75 单元体面应力图 725 示(应力单位 MPa )试利应力圆求：
(1) 指定截面应力
(2) 应力数值
(3) 单元体画出面位置应力方
(d)(c)(b)(a)

图 725 题 75 图
76 焊接工字型截面钢梁受力情况图 726 示已知 480kN 40kN mPqFF
试求梁C 截面左侧边 K 点处应力方 第 3 章 剪切扭转

·40·
·40·
BCA
FF F

图 726 题 76 图
77 试解析法图解法求图 727 示单元体应力面单元体
绘出面位置应力方(应力单位 MPa )
(d)(c)(a) (b)
(h)(g)(f)(e)

图 727 题 77 图
78 图 728 示梁进行试验时测梁 A 点处应变 305 10xε −×
4 165 10yε −×梁材料弹性模量 210GPaE 泊松 03μ 试求梁 A 点处正
应力 x yσ σ
79 图 729 示扭转力偶 25 TmKNm 作直径 60dmm 钢轴试求
圆轴表面点处轴线成 30α D 方线应变已知钢弹性模量 210EGPa
泊松 028μ
xA
y
Tm
α

题 78 图 题 79 图
710 单元体面应力图 730 示(应力单位 MPa )试应力圆求应力第 3 章 剪切扭转

·41·
·41·
剪应力
y
x
z
(c)(b)
z
x
yy
x
z
(a)
图 730 题 710 图
711 图 731 示简支梁采 28a 工字钢中性层C 点处贴电阻应变片方
轴线成 45D 角测应变 526 10ε −− × 已知钢材弹性模量 200GPaE 泊松
03μ 试求梁荷载 PF
712 处二应力状态单元体两应力相等 12100MPaσσ
材料弹性模量 200GPaE 泊松 025μ 试求单元体三应变
713 图 732 示体积 310 10 10mm×× 立方铝块放入宽度正10mm 钢
槽中设立方体顶面施加压力 6kNPF 铝泊松 033μ 钢槽变形计求铝
块三应力
F
F
A B

题 711 图 题 713 图
714 直径 30mmd 实心钢球承受均匀静水压力压强14MPa
体积会减少少？(已知钢球 210GPa 03E μ )
715 某钢梁截面矩形受力图 733 示材料弹性模量 200GPaE 泊松
03μ 试验测 A 点处 uv 方线应变 661015 10 1715 10uvεε− −− × × 试
求： (1) A 点处应变(2) A 点处线应变
A

图 733 题 715 图 第 3 章 剪切扭转

·42·
·42·
68 题
61 试积分法求图示梁挠曲线方程截面转角 Aθ Bθ 跨中挠度EI 常数
q
A B
(a)
2
l
2
l
A B
M
l
(b)
图 611 题 61 图
62 试积分法求图示梁挠曲线方程端转角 Bθ 挠度 Bv EI 常数
A B
l
(a)
0q

A B
(b)
F
2
l
2
l

图 612 题 62 图
63 试叠加法求图示梁端转角 Bθ 挠度 Bv EI 常数
64 试叠加法求图示梁截面转角 Aθ Cθ 端挠度 cv EI 常数

A B
F
3
l
F
3
l
3
l

q
A B
F
2l l
C

图 613 题 63 图 图 614 题 64 图
65 图 615 示变截面悬臂梁 ABCB 段承受均布荷载 q 已知 212I I 试
积分法叠加法求端挠度 Bv
66 图 616 示面刚架横截面面积均 A 抗弯刚度 EI 端受集
中力 F 作 试分求梁端截面C 垂直位移水位移 第 3 章 剪切扭转

·43·
·43·
q
A BI2 I1C
2
l
2
l

F
A
B
C
l
l

图 615 题 65 图 图 616 题 66 图
67 图 617 示矩形截面简支梁 AB已知 2hb 20q kNm 5l m容许挠
度[] 1
250vl [ ] 100σ MPa 200E GPa试选择矩形截面尺寸
q
A B
l
b
h

图 617 题 67 图
68 图 618 示悬臂梁 AB两根槽钢组成已知 20q kNm 3l m
[ ] 100σ MPa 210E GPa容许挠度[ ] 1400vl 试选择槽钢型号
q
A B
l

图 618 题 68 图
69 图 619 示工字钢简支梁 AB已知 50F kN 4l m[ ] 160σ MPa
210E GPa容许挠度[ ] 1 400vl 试选择工字钢型号

A B
F
2
l
2
l

图 619 题 69 图 第 3 章 剪切扭转

·44·
·44·
610 图 620 示两等强度梁 AB端受集中力 F 作 试分求梁
挠曲线方程
F
A B
(a)
l
b
h
F
A
B
(b)
l
h
b

图 620 题 610 图
611 图 621 示梁 AB 强度刚度足截面样材料短梁 AC 加
固试求(1)两梁接触处压力 CF (2)加固梁 AB 弯矩 B 点挠度减百分数
F
A BC
2
l
2
l

图 621 题 611 图
612 求图 622 示超静定梁支座反力
F
A B
(a)
l 2l
F
A B
(b)
l 2l
C

图 622 题 612 图
613 求图 623 示超静定梁支座反力
q
A B
(a)
l l
F
A B
(b)
l l 2l

图 623 题 613 图 第 3 章 剪切扭转

·45·
·45·
614 图624示悬臂梁抗弯刚度 500EI kN· m2果梁支座间距1mm
集中力 10F kN 作梁端时求支座反力
F
A B
1m
1mm

图 624 题 614 图
615 图 625 示梁承受均布荷载 q 作试作剪力图弯矩图
q
A B
l l
C

图 625 题 615 图

49 题
41 试求图示梁中指定截面剪力弯矩
(c)
(a)
(d)
(b)

图 426 题 41 图
42 试列出图示梁剪力方程弯矩方程绘制剪力图弯矩图 第 3 章 剪切扭转

·46·
·46·
(a) (b)
(d)(c)
(f)(e)
8kNm 8kNm10kN

图 427 题 42 图 第 3 章 剪切扭转

·47·
·47·
43 带中间铰 C 三支点梁 ABD受荷图示试作剪力图弯矩图
4m 2m 2m 2m
12kN8kNm

图 428 题 43 图
44 试做列刚架弯矩图
(a) (b) (c)
(d) (e)
图 429 题 44 图
45 利叠加法画出列结构弯矩图
(e) (f)
(c)
(a)
(d)
(b)

图 430 题 45 图 第 3 章 剪切扭转

·48·
·48·
46 根 M Q q 间微分关系指出列剪力图弯矩图中错误
M图
(a)
Q图
(b)
M图
Q图

图 431 题 46 图
47 车简支梁移动轮子梁作集中力 P轮子间轴距变
a 试问：车行什位置时梁弯矩值少

图 432 题 47 图
48 梁剪力图图示试作弯矩图荷载图已知梁集中力偶矩作
(a) (b)
图 433 题 48 图
49 梁弯矩图图示试作梁荷载图剪力图 第 3 章 剪切扭转

·49·
·49·
2kN m
2kN m
(c)
2m2m1m 1m
(d)
2m 1m
1kN m
2kN m
1m1m
(a)
3m
1kN m
1kN m
2kN m
2kN m
1m
(b)
1m4m
2kN m
1kN m

图 434 题 49 图 第 3 章 剪切扭转

·50·
·50·
39 题
31 托架图 330 示铆钉钢板间搭接已知铆钉直径 d20mm外力
F35kN试求危险铆钉剪切面切应力数值方
32 图 331 示拉杆头部已知 D32mmd20mmh12mm杆件材料许
切应力[] 100MPaτ 许挤压应力[ ]bs 240MPaσ 试校核该杆剪切强度挤压
强度
225
75
75
75
d
h
D
50kN
图 330 题 31 图 图 331 题 32 图
33 两块钢板两相螺栓连接起图示已知两块钢板厚度均
10mm螺栓直径 17mm已知钢板受拉力 F60kN螺栓许切应力
[] 140MPaτ 许挤压应力[ ]bs 280MPaσ 试校核该连接件强度确定该接头
许荷载[F]
F
F
10
17

图 332 题 33 图
34 图 333 示 5 完全相铆钉两块厚度分 8mm 10mm 钢板
搭接起已知钢板受拉力 F200kN铆钉许切应力[] 140MPaτ 许挤压
应力[ ]bs 320MPaσ 求铆钉需直径
F 第 3 章 剪切扭转

·51·
·51·
F
F
FF
8mm
10mm

图 333 题 34 图
35 图 334 示传动轴 200rmin 转速匀速转动动轮 B 输入功率 60kW
动轮 ACDE 输出功率分 18 kW12kW22 kW 8 kW试作轴扭矩图 第 3 章 剪切扭转

·52·
·52·
EBA CD
M A MMMMBCDE

图 334 题 35 图
36 圆轴直径 48mm转速 200rmin果该轴横截面切应力
100MPa传递功率？
37 作图 335 示轴扭矩图求切应力注意图(c)中 AB 段承受均布外
力偶 m 作 eMm l
dd
llll ll
Me06M3 eMee08 M06 eM eMeM

(a) (b)
A B C D
ll l
m
d2d
eM

(c)
图 335 题 37 图
38 图 336 示等直圆杆 BC 段受均布力偶作集度 m圆杆材料切
变模量 G试作圆杆扭矩图计算 AC 两截面间相扭转角
m
CBA
d
l2 l2

图 336 题 38 图
39 图 337 示传动轴直径 100mm已知材料切变模量 G80GPaMA1kN·m
MB2kN·mMC35kN·mMD05kN·m试求：
(1) 作扭矩图
(2) 横截面切应力
(3) CD 截面间扭转角 AD 截面间扭转角 第 3 章 剪切扭转

·53·
·53·
BA C D
2m05m1m
AMMM MBC D

图 337 题 39 图
310 图 338 示阶梯状圆杆材料制成 AB 段 BC 段单位长度扭转角
相 M1 M2 值少？
MM
CBA
d2d
1
2

图 338 题 310 图
311 直径 60mm 实心圆杆承受 3kN·m 外力偶矩 Me 作图 339
示试求：
(1) 横截面切应力
(2) 横截面半径 r15mm 部分承受扭矩占全部横截面扭矩百分
(3) 挖掉半径 r15mm 部分横截面切应力增加百分
l
6030
e eMM

图 339 题 311 图
312 图 340 示实心圆杆承受 14 kN·m 外力偶矩 Me 作直径 100
mm长 1m材料切变模量 G80GPa试求：
(1) 切应力两端面间相扭转角
(2) 图示截面 ABC 三点处切应力数值方
(3) C 点处切应变
BCO
AM
B
A
e
25
100
1000

图 340 题 312 图 第 3 章 剪切扭转

·54·
·54·
313 材料制成实心空心圆截面杆长度质量均相等实心杆直径
D1空心杆外径 D2径 d2 2
2
d
Dα 二者承受外力偶矩分 M1 M2
两杆横截面切应力相等试求 M1 M2 值
314 等直圆杆图 341 示已知 d40mml400mmG80GPa ACϕ 1℃
试求：
(1) 杆切应力
(2) D 截面相 B 截面扭转角
d
DC
MMM
BA
ee e
2lll

图 341 题 314 图
315 图 342 示长 l 圆锥形杆两端面直径分 d1 d2两端承受
外力偶矩 Me 作试求杆两端面间相扭转角
1 dd
l
Me
eM
2

图 342 题 315 图
316 实心圆杆传递功率 P330kW转速 n300rmin材料许切应力
[] 60MPaτ 切变模量 G80GPa求该杆 2m 长度相扭转角超 1°
试确定该杆直径
317 已知某圆轴许切应力[] 21MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭
转角[]03mϕ′ °问该轴直径达时轴直径应强度条件决定刚度条件
然满足
318 实心等直圆杆受力图 343 示已知 MA299kN·mMB72kN·m
MC421kN·m材料许切应力[] 70MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭转
角[]ϕ′ 1°m试确定该杆直径
CAB05m10m
MA M MCB
d

图 343 题 318 图 第 3 章 剪切扭转

·55·
·55·
319 图 344 示端固定空心圆截面杆长 4m外径 60mm径 50mm
受集度 02kN·mm 均布力偶 m 作杆材料许切应力[] 40MPaτ 切变模
量 G80GPa许单位长度扭转角[]ϕ′ 03°m试校核该杆强度刚度
m
4m

图 344 题 319 图
320 两端固定阶梯状圆轴图 345 示截面突变处承受外力偶矩 Me 作
d12d2试求固定端支反力偶矩 AM BM 作扭矩图
C BA
M
dd 21
e
l l2

图 345 题 320 图
321 图 346 示端固定组合圆截面轴两种材料制成外两轴
结合紧密外面空心轴外径 100mm径 50mm切变模量 262GPa里面实心
轴直径 50mm切变模量 786GPa轴端承受外力偶矩 Me12kN·m 作
试绘制该组合轴横截面切应力分布
eM
100
50

图 346 题 321 图
322 图 347 示圆轴已知 d130mmd215mmM1500N·mM2300N·m材
料许切应力[] 50MPaτ 切变模量 G80GPa许单位长度扭转角[]25mϕ′ °试
校核该轴强度刚度 第 3 章 剪切扭转

·56·
·56·
C D EA B
M
d d
M
1 2
1 2
250150150250

图 347 题 322 图
323 图 348 示受扭杆件横截面面积均 10 000mm2杆件材料
制成许切应力[] 50MPaτ 试根强度条件较抗扭承载力
Ⅶ
Ⅰ ⅡⅢ
Ⅳ Ⅴ
Ⅶ
Ⅵ
Ⅷ
100
151
100
151
113
40
10
30
300
250
100
100
300
300300
300
85 85
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅳ Ⅴ Ⅵ
Ⅶ Ⅷ

图 348 题 323 图

97 思 考 题
91 分析组合变形基方法叠加法应条件什？什？
92 悬臂梁横截面形状分思 92 图示作端载荷 P 垂直梁第 3 章 剪切扭转

·57·
·57·
轴线作方图中虚线示试问梁发生什变形？

(a) (b) (c) (d) (e) (f)
图 924 思考题 92 图 第 3 章 剪切扭转

·58·
·58·
93 梁截面图 95 示时承受弯矩 yM zM 作该截面弯曲正应
力 max
y z
y z
M M
WWσ +试问述计算否正确？
y
z
O •
My
Mz

图 925 思考题 93 图
94 横力弯曲梁横力作梁形心惯性面梁否产生面弯曲？
95 什截面核心？样画出截面截面核心？
96 建立组合变形强度条件时否须应强度理建立？什情况
应强度理进行强度计算？试介绍种组合变形进行分析讨
98 题
91 图 926 示截面 16a 号槽钢简支梁跨长 42ml 受集度 2kN mq
均布荷载作梁放 20ϕ D 斜面试确定危险截面 A 点 B 点处弯曲正应力
答案： 131MPaAσ − 753MPaBσ

l
图 926 题 91 图
92 矩形截面悬臂梁承受载荷图 927 示已知材料许应力[ ] 10MPaσ
弹性模量 10GPaE
(1) 2hb 时试设计截面尺寸 bh
(2) 求端挠度
答案： 90mmb 180mmh 197mmf 第 3 章 剪切扭转

·59·
·59·


图 927 题 92 图
93 图 928 示矩形截面简支梁受均布荷载 2kN mq 作荷载作面梁
称面夹角 30ϕ D 已知该梁材料弹性模量 10GPaE 4ml
120mmb 160mmh 许应力[ ] 12MPaσ 许挠度[] 150
lw 试校核梁强度
刚度
答案： max 12MPaσ max 198
lw


图 928 题 93 图
94 图 928示悬臂梁受集中力 F 作已知横截面直径 120mmD 30mmd
材料许应力[ ] 160MPaσ 试求中性轴位置强度条件求梁许荷载[ ]F
答案： 63 13θ D ＇[ ] 1215kNF


题 94 图
95 图 930 示悬臂梁承受载荷 F 作实验测梁表面 A B 点处线
应变 421 10Aε −× 432 10Bε −× 材料弹性模量 200GPaE 试求载荷 F 方位
角 β 值
答案： 103kNF 31 21β D ＇ 第 3 章 剪切扭转

·60·
·60·
96 图 931 示钻床立柱铸铁制成 15kNP 许拉应力[ ] 35MPatσ 试
确定立柱需直径 d
答案： 122mmd




图 930 题 95 图 图 931 题 96 图
97 图 932 示起重装置滑轮 A 安装槽钢组合梁端部已知载荷许应力
试选择槽钢型号
答案：No22 槽钢


题 97 图
98 字架承受载荷图示试求 II 截面正应力 A 点正应力
答案： max 796MPaσ + max 117MPaσ − 517MPaAσ −


图 933 题 98 图 第 3 章 剪切扭转

·61·
·61·
99 图 934 示矩形截面杆端承受位称面载荷 60kNF
作试求：
(1) 横截面点 A 正应力取值时截面高度 h
(2) 述 h 值点 A 正应力值
答案： 75mmh 40MPaAσ
910 矩形截面柱受力图 935 示试求：
(1) 已知 5β D 时求图示横截面 abc 三点正应力
(2) 求横截面点 b 正应力 0 时角度 β 值
答案： 476β D


题 99 图 题 910 图
911 图示楼梯木斜梁长度 4ml 截面 01m 02mbh× ×矩形受均布荷
载作 2kN mq 试作梁轴力图弯矩图求横截面拉压应力
答案： max 509MPaσ + max 529MPaσ −
912 已知砖砌烟囱高度 30mh 底截面 mm 外径 1 3md 径 2 2md
重 1 2000kNP 受 1kN mq 风力作烟囱作等截面杆试求：
(1) 烟囱底截面压应力
(2) 烟囱基础埋深 0 4mh 基础填土重 2 1000kNP 土壤许压应力
[ ] 03MPaσ 圆形基础直径 D 应？
答案： max 072MPaσ − 416mD

第 3 章 剪切扭转

·62·
·62·
题 911 图 题 912 图 第 3 章 剪切扭转

·63·
·63·
913 图示浆砌块石挡土墙墙高 4m已知墙背承受土压力 137kNF
铅垂线成夹角 457α D 浆砌石密度 33235 10 kg mρ × 尺寸图示试取
1m 长墙体作研究象计算作截面 AB A 点 B 点处正应力砌体许
拉压应力分[ ] 014MPatσ [ ] 35MPacσ 试校核强度
答案： 0193MPaAσ − 0011MPaBσ −
914 图示某渡槽刚架基础已知顶面受柱子传弯矩 110kN mM ⋅
轴力 980kNNF 水剪力 60kNSF 基础重基础土重总重 173kNW
试作出基础底面反力分布图(设反力直线规律分布)
答案： 101kN mAq 167 kN mBq


FS
FN
W

题 913 图 题 914 图
915 正方形截面杆端固定端中间部分开切槽杆端受行
杆轴线力 1kNF 试求杆横截面正应力指出作位置
答案： max 140MPaσ
916 图示矩形截面钢杆应变片测表面轴线应变分 310 10aε −×
304 10bε −× 材料弹性模量 210GPaE 试画出横截面正应力分布图求拉
力 F 偏心距 e 数值
答案： 1838kNF 1785mme




题 915 图 题 916 图
题 913第 3 章 剪切扭转

·64·
·64·
917 试求图示截面截面核心
答案：a 339mmye ± 1514mmze ±
b 正方形角顶点均两称轴相顶点间距离 364mm
c 扇形

(c) (b)(a)
题 917 图
918 图示传动轴转速 110r minn 传递功率 11kWP 皮带紧边张力松边
张力三倍许应力[ ] 70MPaσ 试第三强度理确定该传动轴外伸段许长
度 l
答案： 510mml
919 图示手摇铰车轴直径 30mmd 材料 Q235 钢[ ] 80MPaσ 试第三
强度理求铰车起吊重量 P
答案： 788NP


题 918 图 题 919 图
920 曲拐受力图示圆杆部分直径 50mmd 试画出表示 A 点处应力状态
单元体求应力切应力
答案： 1 335MPaσ 3 995MPaσ − max 217MPaτ
921 铁道路标圆信号板装外径 60mmD 空心圆柱信号板受风载
荷 22kN mp 材料许应力[ ] 60MPaσ 试第三强度理选定空心柱厚度 第 3 章 剪切扭转

·65·
·65·
答案： 265mmt

题 920 图 题 921 图
922 铝制圆轴右端固定左端受力图示轴直径 32mmd 试确定点 a
点 b 应力状态计算 3rσ 4rσ 值
答案： 3 1088MParσ 4 942MParσ
923 端固定半圆形曲杆尺寸受力图示曲杆横截面正方形边长
30mma 载荷 12kNF 材料许应力[ ] 165MPaσ 试第三强度理校核曲杆
强度(剪力忽略计)
答案： 1008MPaBσ 1749MPaCσ


题 922 图 题 923 图
924 图示钢制实心圆轴轴齿轮 C 作铅垂切力 1 5kNFτ 径力
1 182kNrF 齿轮 D 作水切力 2 10kNFτ 径力 2 364kNrF 齿轮 CD
节圆直径分 400mmCd 200mmDd 设许应力[ ] 100MPaσ 试第四强度
理求轴直径
答案： 519mmd 第 3 章 剪切扭转

·66·
·66·


题 924 图 第 3 章 剪切扭转

·67·
·67·
925 图示传动轴传递功率 7kWP 转 速 200r minn 齿 轮 A 作力 F 水
线夹角 20D (压力角)皮带轮 B 拉力 1SF 2SF 水方 122SSF F 轴
许应力[ ] 80MPaσ 试列两种情况第三强度理确定轴直径

题 925 图
(1) 忽略皮带轮重
(2) 考虑皮带轮重 18kNW
答案： 48mmd 493mmd
参考书目
1．材料力学 编：袁海庆 武汉工业学出版社20008
2．材料力学(第二版) 编：粟 高等教育出版社19899
3．材料力学(第四版)孙训方方孝淑关泰 编 高等教育出版社20042
4．简明材料力学 编：刘鸿文 高等教育出版社20044
5．材料力学 编：顾玉林 高等教育出版社199310
6．材料力学题解析 胡增强 编 中国农业机械出版社19881

第 3 章 答 案
1 104MPaτ
2 663MPaτ bs 102MPaσ
3 132MPaτ bs 176MPaσ [] 635kNF
4 191mmd ≥
5 正扭矩 T 201kN·m
负扭矩 T 086kN·m
6 P 4545kW
7 (a) e
max 3
384
π
M
dτ (b) e
max 3
16
π
M
dτ (c) e
max 3
16
π
M
dτ 第 3 章 剪切扭转

·68·
·68·
8
2
4
12
πAC
ml
Gdϕ
9 (1) max 3kNT
(2) max 153MPaτ
(3) 31274 10 radCDϕ −× 3191 10 radADϕ −×
10 1
2
15M
M
11 (1) max1 707MPaτ (2) 625rT
T
(3) max 2
max1
Δ754MPa 665ττ τ
12 (1) max 714MPa 102τϕD
(2) 714MPa 357MPaAB Cττ τ
(3) 30446 10Cγ −×
13
2
1
2
2
1
1
M
M
α
α
− +
14 (1) max 698MPaτ (2) 2DBϕ D
15
22
e 1122
33
12
32 []3π
Ml dddd
Gddϕ ++
16 d≥1113mm
17 d≥100mm
18 d≥744mm
19 max 365MPaτ max 087 mϕ′ °
20 e
32
33AM M e
1
33BM M
21 1kN TT外
max max544MPa 815MPaττ外
22 DE 段： max 499MPaτ max 238 mϕ′ °
AC 段： max 475MPaτ max 227 mϕ′ °
23 [ ] 142kNT C [ ] 273kNT C
[ ] 427kNT C [ ] 104kNT C
[] 6kNT C [ ] 456kNT C
[ ] 722kNT C [ ] 14kNT C

第 3 章 剪切扭转

·69·
·69·






第 5 章 答 案
1ss 2
3al max 23
Fl
btσ
2 max 105MPaσ
3 2mmd ≤
4 142MPaabσσ 124MPacσ 0dσ
5 02al
6 max 947MPaσ
7 max 120MPaσ
8 max 618MPaτ
9 316mmb
10 tmax 771MPaσ cmax 463MPaσ max 243MPaτ
11 32460cmzW 选 56b 号工字钢
12
3
2Δ 2
qll bh E
13 (1) 2108mm A 9160mmd ≥≥
(2) 2572mm A 6543mmb ≥≥
(3)16 号工字钢 2A2610mm
14 A 截面： tmax 302MPaσ cmax 69MPaσ
D 截面： tmax 345MPaσ cmax 151MPaσ
15 max 1535MPaσ
16 max 1402kNM 选取两根 25b 号工字钢
17 (1) max 169MPaτ
(2) 翼缘放置合理
(3) [ ] 727kNF
18 2h
b 227mmd ≥
19 154mmδ
20 2
18 hδ 增加 535 第 3 章 剪切扭转

·70·
·70·
21 27mmδ ≥
22 (1) 1715mmb ≥
(2) max 75MPaσ
23 选取两根 25b 号工字钢
24 [ ] 38kNF ≤ max 82MPaσ
25 max 158MPaσ max 249MPaτ
26 128mmb
27 max 84MPaσ max 12MPaτ
28 1385ma
29 () 354hx x max 112mmh min 5mmh
31
2222π 4
4 π
bbrre br
++ +
32 s 3
ll
33 u 414kN mM 
34 u 571kN mq
第 7 章 答 案
71 PF ＝60KN
72
() 437 366
() 175 216
() 60 40
() 384 07
aMPaMPa
bMPaMPa
cMPaMPa
dMPaMPa
αα
αα
αα
αα
στ
στ
στ
στ

− −
−
−

73 30 155 MPaτ D 安全
74 13 01062 0073 473MPa MPaσα−D
75 (a)
13
25 26
20 40
MPa MPa
MPa MPa
ααστ
σσ

− (b)
13
26 15
300
MPa MPa
MPa
ααστ
σσ
−
−
(c)
13
50 0
50
MPa MPa
MPa
ααστ
σσ
−
− (d)
13 0
40 10
41 61 3935
MPa MPa
MPa MPa
αασ τ
σσ α

−D
76 13 015 125 7075MPa MPaσα−−D
77 (a) 13 01605 305 2356MPa MPaσσ α−−D
(b) 13 01605 305 2356MPa MPaσσ α−D
(c) 13 0554 1154 5528MPa MPaσσ α−−D
(d) 13 036 176 656MPa MPaσσ α−D
(e) 1301697 5303 1635MPa MPaσσα− − − D
(f) 130170 70 716MPa MPaσσα−D 第 3 章 剪切扭转

·71·
·71·
(g) 130180 80 635MPa MPaσσαD
(h) 13 0138 18 702MPa MPaσσ α−−D
78 126 725xyMPa MPaσσ
79 6311 10αε −×
710 (a) 123max947 50 53 447MPa MPa MPa MPaσσστ
(b) 123 max50 20 80 65MPa MPa MPa MPaσσ σ τ−
(c) 12 3 max50 50 80 65MPa MPa MPa MPaσσ σ τ−−
711 PF ＝126KN
712 6
1 375 10ε −× 6
2 375 10ε −× 6
1 250 10ε −− ×
713 12 30 198 60MPa MPaσσ−−
714 10 3113 10Vm−Δ ×
715 6
1 239 10ε −× 6
2 30 10ε −− × 6
3 169 10ε −− ×
6100 10xε −× 630 10yε −− × 630 10zε −− ×
参考资料：
孙训芳材料力学第三版 高等教育出版社
粟材料力学第二版 高等教育出版社
刘鸿文材料力学第二版 高等教育出版社
附录Ⅱ 型钢规格表
表 1 热轧等边角钢（GB 9787—1998）


符号意义：
b——边宽度 I—惯性矩
d——边厚度 i——惯性半径
r——圆弧半径 W——弯曲截面系数
r1——边端圆弧半径 z0——重心距离

参考答案 尺 寸
mm
XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢号
数
b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m2m
Ix
cm4
ix
cm
Wx
cm3
Ix0
cm4
Ix0
cm
Wx0
cm3
Iy0
cm4
Iy0
cm
Wy0
cm3
Ix1
cm4
Z0
cm
2 20
3
4
1132
1459
0889
1145
0078
0077
040
050
059
058
029
036
063
078
075
073
045
055
017
022
039
038
020
024
081
109
060
064
25 25
3
4
35
1432
1859
1124
1459
0098
0097
082
103
076
074
046
059
129
062
095
093
073
092
034
043
049
048
033
040
157
211
073
076


参考答案
Z0
cm
尺 寸
mm
XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢
号数
b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m2m Ix
cm4
ix
cm
Wx
cm3
Ix0
cm4
Ix0
cm
Wx0
cm3
Iy0
cm4
Iy0
cm
Wy0
cm3
Ix1
cm4

30 30
3
4
45
1749
2276
1373
1786
0117
0117
146
184
091
090
068
087
231
292
115
113
109
137
061
077
059
028
051
062
217
363
085
089
36 36
3
4
5
45
2109
2756
3382
1656
2163
2654
0141
0141
0141
258
329
395
111
109
108
099
128
156
409
522
624
139
138
136
161
205
245
107
137
065
071
070
070
076
093
109
468
625
784
100
104
107
40 40
3
4
5
2359
3086
3791
1852
2422
2976
0157
0157
0156
359
460
553
123
122
121
123
160
196
569
729
876
155
154
152
201
258
301
149
191
230
079
079
078
096
119
139
641
856
1074
109
113
117
45 45
3
4
5
6
5 2659
3486
4292
5076
2088
2736
3369
3985
0177
0177
0176
0176
517
665
804
933
140
138
137
136
158
205
251
295
820
1056
1274
1476
176
174
172
170
258
332
400
464
214
275
333
389
090
089
088
088
124
154
181
206
912
1218
1525
1836
122
126
130
133
5 50
3
4
5
6
55
2971
3897
4803
5688
2332
3059
3770
4465
0197
0197
0196
0196
718
926
1121
1305
155
154
153
152
196
256
313
368
1137
1470
1779
2068
196
194
192
191
322
416
503
585
298
382
464
542
100
099
098
098
157
196
213
263
1250
1669
209
2514
134
138
142
146
56 56
3
4
6
3343
4390
2624
3446
0221
0220
1019
1318
175
173
248
324
1614
2092
220
218
408
528
424
546
113
111
202
252
1756
2343
148
153
56 56
5
8
6
7
5415
8367
4251
6568
0220
0219
1602
2363
172
168
397
603
2542
3737
217
211
642
944
661
989
110
109
298
416
2933
4724
157
168 参考答案 尺 寸
mm
XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢
号数
b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m2m Ix
cm4
ix
cm
Wx
cm3
Ix0
cm4
Ix0
cm
Wx0
cm3
Iy0
cm4
Iy0
cm
Wy0
cm3
Ix1
cm4
Z0
cm
63 63
4
5
6
8
10
7
4978
6143
7288
9515
1657
3907
4822
5712
7469
9151
0248
0248
0247
0247
0246
1903
2317
2712
3446
4109
196
194
193
190
188
413
508
600
775
939
3017
3677
4303
5456
6485
246
245
243
240
236
678
825
966
1225
1456
789
957
1120
1433
1733
126
125
124
123
122
329
390
446
547
636
3335
4173
5014
6711
8431
170
174
178
185
193
7 70
4
5
6
7
8
8
5570
6875
8160
9424
10667
4372
5397
6406
7398
8373
0275
0275
0275
0275
0274
2639
3212
3777
4309
4817
218
216
215
214
212
514
632
748
859
968
4180
5108
5993
6835
7637
274
273
271
269
268
844
1032
1211
1381
1543
1099
1334
1561
1782
1998
140
139
138
138
137
417
495
567
634
698
4574
5721
6873
8029
9192
186
191
195
199
203
75 75
5
6
7
8
10
9
7367
8797
10160
11503
14126
5818
6905
7976
9030
11089
0295
0294
0294
0294
0293
3997
4695
5357
5996
7198
233
231
230
228
226
732
864
993
1120
1364
6330
7438
8496
9507
11392
292
290
289
288
284
1194
1402
1602
1793
2148
1663
1951
2218
2486
3005
150
149
148
147
146
577
667
744
819
956
7056
8455
9871
11297
14171
204
207
211
215
222
8 80
5
6
7
8
10
9
7912
9397
10860
12303
15126
6211
7376
8525
9658
11874
0315
0314
0314
0314
0313
4879
5735
6558
7349
8843
248
247
246
244
242
834
987
1137
1283
1564
7733
9098
10407
11660
14009
313
311
310
308
304
1367
1608
1840
2016
2476
2025
2372
2709
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3677
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159
158
157
156
666
765
858
946
1108
8536
10250
11970
13697
17174
215
219
223
227
235 续表
参考答案 尺 寸
mm XX X0X0 Y0Y0 X1X1
角钢
号数
b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m2m Ix
cm4
ix
cm
Wx
cm3
Ix0
cm4
Ix0
cm
Wx0
cm3
Iy0
cm4
Iy0
cm
Wy0
cm3
Ix1
cm4
Z0
cm
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7
8
10
12
10
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0354
0353
0353
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278
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274
271
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1454
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2007
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350
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178
178
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175
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0393
0393
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0391
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309
308
305
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300
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388
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200
199
198
196
195
194
194
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1857
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20007
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276
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14
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0433
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0491
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385
383
3252
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488
485
482
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3503
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65193
78342
337
345
353
续表
参考答案 尺 寸
mm XX X0X0 Y0Y0 X1X1角钢
号数
b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m2m Ix
cm4
ix
cm
Wx
cm3
Ix0
cm4
Ix0
cm
Wx0
cm3
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cm4
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14
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0551
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546
554
562
569
587
注：截面图中 r1d3 表中 r 值数孔型设计作交货条件


表 2 热轧等边角钢（GB 9787—1998）


符号意义：
B——长边宽度 b——短边宽度
d——边厚度 r——圆弧半径
r1——边端圆弧半径 I——惯性矩
i——惯性半径 W——弯曲截面系数
X0——形心坐标 y0——形心坐标

参考数值 尺寸
mm XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢号
数
B b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m22 Ix
cm4
Ix
cm
WX
cm3
IY
cm4
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cm
wy
cm3
Ix1
cm4
Y0
cm
Iy1
cm4
X0
cm
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cm4
iu
cm
Wu
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4
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1499
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078
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034
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100
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0127
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120
153
070
069
068
087
0404
0402 续表
参考数值 尺寸
mm XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢
号数
B b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
m22 Ix
cm4
Ix
cm
WX
cm3
IY
cm4
iy
cm
wy
cm3
Ix1
cm4
Y0
cm
Iy1
cm4
X0
cm
Iu
cm4
iu
cm
Wu
cm3 tanа
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177
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0408
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098
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0404
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256
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269
273
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118
121
125
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885
1018
1138
110
108
108
107
274
320
370
416
0388
0387
0384
0381

续表
参考数值 尺寸
mm XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢
号数
B b d r
截面
面积
cm2
理
重量
kgm
外表
面积
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cm3
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0286
0286
0286
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158
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156
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291
295
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304
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129
133
136
1098
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123
123
122
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0384
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10
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0320
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147
150
158
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2350
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138
137
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172
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0402
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1601
0408
0407
0404
0400
注：1 括号型号推荐 2截面图中 r1d3 表中 r 数孔型设计作交货条件
参考数值 尺寸
mm XX YY X1X1 Y1Y1 UU 角钢号
数
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面积
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外表
面积
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0392
0390
0388
0385
注：1 括号型号推荐 2 截面图中 r1d3 表中 r 数孔型设计作交货条件 表 3 热轧工字钢（GB 706—1988）

符号意义：
h——高度 r1——腿端圆弧半径
b——腿高度 I——惯性矩
d——腰高度 W——弯曲截面系数
δ——均腿高度 i——惯性半径
r——圆弧半径 S——半截面静矩
参考数值
XX YY 尺 寸 mm
型号
h b d δ r r1
截面
面积
cm2
理
重量
kgm IX
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WX
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iX
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IX：SX
cm
IX
cm4
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35
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43
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141
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138
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931
122
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20a
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200
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13
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105
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2493
参考数值
XX YY 尺 寸 mm
型号
h b d δ r r1
截面
面积
cm2
理
重量
kgm IX
cm4
WX
cm3
iX
cm
IX：SX
cm
IX
cm4
WX
cm3
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cm
32a
32b
32c
320
320
320
130
132
134
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115
135
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15
15
115
115
115
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58
58
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158
158
158
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6
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812
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264
26
40a
40b
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400
400
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144
146
105
125
145
165
165
165
125
125
125
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63
63
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941
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265
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45b
45c
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450
450
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135
155
18
18
18
135
135
135
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68
68
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284
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50a
50b
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500
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20
20
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7
7
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129
139
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101
109
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50640
1860
1940
2080
197
194
19
428
424
418
1120
1170
1220
142
146
151
307
301
296
56a
56b
56c
560
560
560
166
168
170
125
145
165
21
21
21
145
145
145
73
73
73
13525
14645
15785
1062
115
1239
655856
685125
714394
234231
244669
255141
2202
2163
2127
4773
4717
4666
137016
148675
155839
16508
17425
18334
3182
3162
3158
63a
63b
63c
630
630
630
176
178
180
13
15
17
22
22
22
15
15
15
75
75
75
1549
1675
1801
1216
1315
141
939162
980836
1022511
298147
316338
329842
2462
242
2382
5417
5351
5292
170055
181207
192491
19324
2036
21388
3314
3289
3268
注：截面图表中标注圆弧半径 rr1 凝孔型设计作交货条件
表 4 热轧槽钢 （GB 707—1988）

符号意 义：
h ——高 度 r1——腿端圆弧半径
b ——腿 宽度 I——惯性矩
d ——腰 厚度 W——弯曲截面系数
δ—— 均腿厚度 i——惯性半径
r—— 圆弧半径 z0——YY 轴 Y1Y1 轴间距
参考数值
XX YY Y1Y1 尺 寸 mm
型号
H B D δ R r1
截面
面积
cm2
理
重量
kgm WX
cm3
IX
cm4
iX
cm
WY
cm3
Iy
cm4
iX
cm
Iy1
cm4
z0
cm
5 50 37 45 7 7 35 693 544 104 26 194 355 83 11 209 135
63 63 40 48 75 75 375 8444 663 16123 50876 2453 450 11872 1185 2838 136
8 80 43 5 8 8 4 1024 804 253 1013 315 579 166 127 374 143
10 100 48 53 85 85 425 1274 10 397 1983 395 78 256 141 549 152
126 126 53 55 9 9 45 15691237 62137 391466 4953 10242 3799 1567 7709 159
14a
b
140
140
58
60
6
8
95
95
95
95
475
475
1851
2131
1453
1673
805
871
5637
6094
552
535
1301
1412
532
611
1 7
169
1071
1206
1 71
167
16a
16
160
160
63
65
65
85
10
10
10
10
5
5
2195
2515
1723
1974
1083
1168
8662
9345
628
61
163
1755
733
834
1 83
182
1441
1608
1 8
175
18a
18
180
180
68
70
7
9
105
105
105
105
525
525
2569
2929
2017
2299
1414
1522
12727
13699
704
684
2003
2152
986
111
196
195
1897
2101
188
184 20a
20
200
200
73
75
7
9
11
11
11
11
55
55
2883
3283
2263
2577
178
1914
17804
19137
786
764
242
2588
128
1436
211
209
244
2684
201
195

参考数值
XX YY Y1Y1 尺 寸 mm
型号
H B D δ R r1
截面
面积
cm2
理
重量
kgm WX
cm3
IX
cm4
iX
cm
WY
cm3
Iy
cm4
iX
cm
Iy1
cm4
z0
cm
22a
22
220
220
77
79
7
9
115
115
115
115
575
575
3184
3624
2499
2845
2176
2338
23939
25714
867
842
2817
3005
1578
1764
223
221
2982
3263
21
203
a
25b
c
250
250
250
78
80
82
7
9
11
12
12
12
12
12
12
6
6
6
3491
3991
4491
2747
3139
3532
269597
282402
295236
336962
353004
369045
9823
9405
9065
30607
32657
35926
175529
196421
218415
2243
2218
2206
322256
353187
384133
2065
1982
1921
a
28b
c
280
280
280
82
84
86
75
95
115
125
125
125
125
125
125
625
625
625
4002
4562
5122
3142
3581
4021
340328
36646
392594
476459
513045
549632
1091
106
1035
35718
37929
40301
217989
242144
267602
2333
2304
2286
387566
427589
426597
2097
2016
1951
a
32b
c
320
320
320
88
90
92
8
10
12
14
14
14
14
14
14
7
7
7
487
551
615
3822
4325
4828
474879
509012
543145
756806
81442
869033
1249
1215
1188
46473
49157
52642
304787
336332
374175
2502
2471
2467
55231
592933
643299
2242
2158
2092
a
36b
c
360
360
360
96
98
100
9
11
13
16
16
16
16
16
16
8
8
8
6089
6809
7529
478
5345
501
6597
7029
7461
118742
126518
134294
1397
1363
1336
6354
6685
7002
455
4967
5364
273
27
267
8184
8804
9479
244
237
234
a
40
c
400
400
400
100
102
104
105
125
145
18
18
18
18
18
18
9
9
9
7505
8305
9105
5891
6519
7147
8789
9322
9856
175779
186445
197112
1530
1498
1471
7883
8252
8619
592
640
6878
281
278
275
10677
11356
12207
249
244
242
附录Ⅲ 简单荷载作梁
挠度转角
w y 方挠度
wBw(l)梁右端处挠度
θBw’(l)梁右端处转角
序
号
梁荷载弯矩图 挠曲线方程 转角挠度
1

2
2
eM xw EI

B
Mel
EIθ
2
2B
Melw EI

2

2
(3 )6
FxwlxEI
−
2
B 3
Fl
EIθ
3
3B
Flw EI

3

2
(3 )6
(0 )
FxwaxEI
xa
−
≤≤

2
(3 )6
()
FawxaEI
axl
−
≤≤

2
B 2
Fa
EIθ
2
(3 )6B
FawlaEI
−
4

2
22(64)24
qxwxllxEI
+−
3
B 6
ql
EIθ
4
8B
qlw EI

5

2
32 230 (10 10 5 )120
qxwllxlxxEIl
− + −
3
0
B 24
qx
EIθ
4
0
30B
qlw EI







w y 方挠度
wcw( 2
l )梁中点挠度
θAw’(0)梁左端处转角
θBw’(l)梁右端处转角
6

()(2)6
AMxwlxlxEIl
−−
3
A
A
M l
EIθ
6
A
B
M l
EIθ −
2
16
A
C
M l
EIθ
7

22()6
BMxwlxEIl
−
6
B
A
M l
EIθ
3
B
B
M l
EIθ −
2
16
B
c
M lw EI

8

323(2 )24
qxwllxxEI
− +
3
24A
ql
EIθ
3
24B
ql
EIθ −
45
384c
qlw EI

9

42240 (7 10 3 )360
qxwllxxEIl
− +
3
07
360A
ql
EIθ
3
0
45B
ql
EIθ
4
05
768c
qlw EI

10

22(3 4 )48
FxwlxEI
−
0 2
lx≤≤
2
16A
Fl
EIθ
2
16B
Fl
EIθ −
3
48c
Flw EI


11

222()6
FbxwlxbEIl
−−
0 x a≤≤
2223()(6
Fb lwxalbxxEIl b
⎡ ⎤⎢ ⎥ − + −−⎢ ⎥⎣ ⎦

axl≤≤
()
6A
Fab l b
EIlθ +
()
6B
Fab l a
EIlθ + −
22(3 4 )
48c
Fb l bw EI
−
( a≥b 时)
12

222(6 3 2 )6
eMxwalalxEIl
−−−
0 x a≤≤
ab
2
l 时
22(4)24
eMxwlxEIl
−
0 2
lx≤≤
6A
Me
EIlθ
( )22632al a l−−
22(3)6B
Me laEIlθ −

2
lab 时
24
e
A
M l
EIθ
24
e
B
M l
EIθ 0cw
13

33 2
3222124
qb x x lw EIl b b b
⎡ ⎤⎛⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟ −−−⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )0 x a≤≤
23 2
22 42(2)()24
qbxbxwlbxaEI l l
⎡ ⎤⎢ ⎥ −−−−−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )axl≤≤
( )22 22
24A
qb l b
EIlθ
−

22(2 )
24B
qb l b
EIlθ − −
53
3
31
24 4 2c
qb l lw EIl b b
⎛⎞⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝⎠

（ ab 时）
53
3
45
5
3
24 4
11 21216
c
qb lw EIl b
ll a
bb l
⎡⎢ −⎢⎣
⎤⎛⎞⎥⎟⎜+•− ⎟⎜ ⎥⎟⎟⎜⎝⎠⎥⎦
（ ab≺ 时）


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