点差法求解中点弦问题
点差法求解圆锥曲线题目中交代直线圆锥曲线相交截线段中点坐标时候利直线圆锥曲线两交点交点代入圆锥曲线方程作差求出直线斜率然利中点求出直线方程点差法时计算量较少解决直线圆锥曲线位置关系时非常效弊端保证直线圆锥曲线定两交点时判式加检验
定理1椭圆（＞＞0）中直线椭圆相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
定理2双曲线（＞0＞0）中直线双曲线相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
定理3 抛物线中直线抛物线相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
注意：公式条件：（1）直线抛物线两交点（2）直线斜率存
椭圆
1椭圆＋＝1点P(21)作条直线交椭圆AB两点线段ABP点分求直线方程．
解 法：图设求直线方程y－1＝k(x－2)
代入椭圆方程整理(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0 (*)
设直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
x1x2(*)方程两根∴x1＋x2＝
∵P弦AB中点∴2＝＝解k＝－∴求直线方程x＋2y－4＝0
法二：设直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
∵P弦AB中点∴x1＋x2＝4y1＋y2＝2
∵AB椭圆∴x＋4y＝16x＋4y＝16两式相减(x－x)＋4(y－y)＝0
(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0∴＝＝－
kAB＝－∴求直线方程y－1＝－(x－2)x＋2y－4＝0
2已知椭圆+1求斜率3弦中点轨迹方程．
解答解：设P（xy）A（x1y1）B（x2y2）．
∵P弦AB中点∴x1+x22xy1+y22y．+1①+1②
②﹣①﹣．∴﹣3整理：x+y0．
解x求轨迹方程：x+y0．（﹣＜x＜）
∴点P轨迹方程：x+y0（﹣＜x＜）
3（2013秋•启东市校级月考）中心原点焦点坐标（0±5）椭圆直线3x﹣y﹣20截弦中点横坐标椭圆方程 1 ．
解答解：设椭圆1（a＞b＞0）a2﹣b250①
设直线3x﹣y﹣20椭圆交点A（x1y1）B（x2y2）弦AB中点（x0y0）
∵x0∴代入直线方程y0﹣2﹣
∴AB斜率k﹣•﹣•3∵﹣1∴a23b2②
联解①②a275b225∴椭圆方程：1答案：1．
4例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）左右焦点分离心率右准线方程
(Ⅰ) 求椭圆标准方程
(Ⅱ) 点直线该椭圆相交MN两点求直线方程
解：（Ⅰ）根题意求椭圆方程
（Ⅱ）椭圆焦点 设直线椭圆截弦MN中点
行四边形法知：：①
直线斜率存轴时点P重合题设相矛盾直线斜率存：②
②代入①整理：
解：
②知合题意
求直线方程
6（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆条弦斜率3直线交点恰条弦中点M点M坐标 ．
解答解：设直线椭圆交点分（x1y1）（x2y2）
两式相减0（y1﹣y2）（y1+y2）﹣3（x1﹣x2）（x1+x2）
﹣3×直线斜率3∴3
∵两交点中点直线xx1+x21∴3﹣3×1÷（y1+y2）
∴﹣．中点M坐标（﹣）．答案：（﹣）．
7图中椭圆C：EF焦点点D点O坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C标准方程
（Ⅱ）点K满足问否存行EF直线椭圆C交两点MN存求出直线斜率取值范围存说明理
x
y
D
E
F
O
解：（Ⅰ）略：
（Ⅱ）分析：∵
设MN中点H条件涉弦MN中点弦MN斜率点差法
设直线斜率（
① ② ①－②：
∵∴解点椭圆
8已知椭圆垂直轴意条弦中点椭圆中心求证：直线直线斜率积定值
证明 设
（1）（2）
：
（定值）
二双曲线
1点P(41)直线l双曲线－y2＝1相交AB两点PAB中点求l方程．
[解析] 设A(x1y1)B(x2y2)－y＝1－y＝1两式相减：
(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0∵PAB中点∴x1＋x2＝8y1＋y2＝2
∴＝1求直线l斜率1∴l方程y－1＝x－4x－y－3＝0
2设AB双曲线x2－＝1两点点N(12)线段AB中点(1)求直线AB方程
(2)果线段AB垂直分线双曲线交CD两点ABCD四点否圆？什？
[分析] 证明ABCD四点圆首先判断圆心位置ABCD四点圆∵CD垂直分AB圆性质知圆心直线CD∴CD中点M圆心证明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|．
[解析] (1)题意设直线AB方程y＝k(x－1)＋2
(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k2)－2＝0①
设A(x1y1)B(x2y2)∵x1x2方程①两实根2－k2≠0
韦达定理x1＋x2＝N(12)AB中点＝1
k(2－k)＝2－k2解k＝1∴直线AB方程y＝x＋1
(2)x2－2x－3＝0解x1＝3x2＝－1
∴A(34)B(－10)．∵CD线段AB垂直分线CD直线方程y＝－x＋3
x2＋6x－11＝0
设C(x3y3)D(x4y4)CD中点M(x0y0)．韦达定理x3＋x4＝－6x3x4＝－11
x0＝(x3＋x4)＝－3y0＝－x0＋3＝6
|CD|＝＝＝＝4
|CM|＝|MD|＝2∵|MA|＝|MB|＝＝2
∴ABCD四点M距离相等ABCD四点圆．
3已知双曲线方程x2－＝1
试问：否存点B(11)分弦？果存求出弦直线方程果存请说明理．
[分析] 易判断出点B(11)双曲线外部妨假定符合题意弦存弦两端点应分双曲线左右两支直线倾角90°
[解析] 解法：设B(11)分弦直线方程y＝k(x－1)＋1代入双曲线方程x2－＝1(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0
解k∴＝1∴k＝2>存点B(11)分弦．
解法二：设存点B分弦MN设M(x1y1)N(x2y2)．
x1＋x2＝2y1＋y2＝2
①－②(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0∴kMN＝＝2直线MN：y－1＝2(x－1)．
消y2x2－4x＋3＝0Δ＝－8<0
说明直线MN双曲线相交点B分弦存．
[点评] 题：
果点B双曲线部该点中点弦定存．
果点B双曲线外部该点中点弦存．
点B部需检验点B外部必须检验．
关双曲线部外部请图双曲线面划分开图中阴影部分双曲线部部分双曲线外部．
4设双曲线中心原点抛物线顶点双曲线右焦点抛物线准线双曲线右准线．
（Ⅰ）试求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线双曲线交两点求
（Ⅲ）直线否存样实数直线双曲线交点关直线 (常数)称存求出值存请说明理．
解：（Ⅰ） 抛物线顶点准线双曲线C中
双曲线C方程
（Ⅱ）：
设
（Ⅲ）假设存样实数直线双曲线交点关直线称线段AB垂直分线 设线段AB中点：①
：②①②：
：：
直线双曲线C相交AB两点 ＞0＜6 符合题意值存
5
三抛物线
1．抛物线y2＝8x中(1－1)中点弦直线方程( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
[答案] C[解析] 设弦两端点A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝－2
∵AB抛物线∴y＝8x1y＝8x2两式相减(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)
∴＝－4∴直线AB方程y＋1＝－4(x－1)4x＋y－3＝0
2．点(31)抛物线y2＝2px条弦中点条弦直线斜率2p＝________
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1y1)P2(x2y2)
∵y1＋y2＝2∴p＝2
3．点Q(41)作抛物线y2＝8x弦AB恰Q分求弦AB直线方程．
[答案] 4x－y－15＝0
[解析] 解法：设Q中点弦AB端点坐标A(x1y1)B(x2y2)y＝8x1①
y＝8x2② x1＋x2＝8y1＋y2＝2③ ①－②(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
③代入④y1－y2＝4(x1－x2)4＝∴k＝4
∴求弦AB直线方程y－1＝4(x－4)4x－y－15＝0
4（2004•福建）图P抛物线C：yx2点直线l点P抛物线C交点Q．
（Ⅰ）直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围．
分析（1）设M（x0y0）欲求点M轨迹方程寻找坐标关系通外两点PQ中点M关系结合中点坐标公式求解
（2）欲取值范围转化表示成某变量表达式然求表达式值问题外化简例式般线段投影坐标轴线段解决．
解答解：（Ⅰ）设P（x1y1）Q（x2y2）M（x0y0）题意x1≠0y1＞0y2＞0．
yx2①y＇x．∴点P切线斜率kx1
∴直线l斜率kl﹣﹣∴直线l方程y﹣x12﹣（x﹣x1）②
联立①②消yx2+x﹣x12﹣20．
∵MPQ中点∴x0﹣y0x12﹣（x0﹣x1）
消x1y0x02++1（x0≠0）∴PQ中点M轨迹方程yx2++1（x≠0）．
方法二：设P（x1y1）Q（x2y2）M（x0y0）题意知x1≠0y1＞0y2＞0．yx2①
y′x．∴点P切线斜率k切x1∴直线l斜率kl﹣﹣
直线l方程y﹣x12﹣（x﹣x1）．②
方法：联立①②消yx2+x﹣x12﹣20．∵MPQ中点
∴x0﹣y0x12﹣（x0﹣x1）．消x1y0x02++1（x0≠0）
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1（x≠0）．
（Ⅱ）设直线l：ykx+b题意k≠0b≠0T（0b）．
分PQ作PP＇⊥x轴QQ＇⊥x轴垂足分P＇Q＇．
yx2ykx+b消xy2﹣2（k2+b）y+b20．③
y1+y22（k2+b）y1y2b2．∴|b|（）≥2|b|2|b|2．
∵y1y2取切相等正数∴取值范围（2+∞）．
5例（05全国Ⅲ文22）设两点抛物线AB垂直分线
（Ⅰ）仅取值时直线抛物线焦点F？证明结
（Ⅱ）时求直线方程
解：（Ⅰ）设线段AB中点直线斜率直线斜率存仅时AB垂直分线轴抛物线焦点F直线斜率存方程
：
直线焦点F：相矛盾
直线斜率存时抛物线焦点F
综述仅时直线抛物线焦点F
（Ⅱ）时
：
求直线方程
6
7已知椭圆垂直轴意条弦中点椭圆中心求证：直线直线斜率积定值
证明 设（1）（2）
：
（定值）
8已知三顶点抛物线中重心抛物线焦点求直线方程
解 已知抛物线方程设中点三点线分成解
设（1）（2）
：
直线方程
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点差法求解圆锥曲线题目中交代直线圆锥曲线相交截线段中点坐标时候利直线圆锥曲线两交点交点代入圆锥曲线方程作差求出直线斜率然利中点求出直线方程点差法时计算量较少解决直线圆锥曲线位置关系时非常效弊端保证直线圆锥曲线定两交点时判式加检验
定理1椭圆（＞＞0）中直线椭圆相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
定理2双曲线（＞0＞0）中直线双曲线相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
定理3 抛物线中直线抛物线相交MN两点点弦MN中点弦MN直线斜率
证明：设MN两点坐标分
注意：公式条件：（1）直线抛物线两交点（2）直线斜率存
椭圆
1椭圆＋＝1点P(21)作条直线交椭圆AB两点线段ABP点分求直线方程．
解 法：图设求直线方程y－1＝k(x－2)
代入椭圆方程整理(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0 (*)
设直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
x1x2(*)方程两根∴x1＋x2＝
∵P弦AB中点∴2＝＝解k＝－∴求直线方程x＋2y－4＝0
法二：设直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
∵P弦AB中点∴x1＋x2＝4y1＋y2＝2
∵AB椭圆∴x＋4y＝16x＋4y＝16两式相减(x－x)＋4(y－y)＝0
(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0∴＝＝－
kAB＝－∴求直线方程y－1＝－(x－2)x＋2y－4＝0
2已知椭圆+1求斜率3弦中点轨迹方程．
解答解：设P（xy）A（x1y1）B（x2y2）．
∵P弦AB中点∴x1+x22xy1+y22y．+1①+1②
②﹣①﹣．∴﹣3整理：x+y0．
解x求轨迹方程：x+y0．（﹣＜x＜）
∴点P轨迹方程：x+y0（﹣＜x＜）
3（2013秋•启东市校级月考）中心原点焦点坐标（0±5）椭圆直线3x﹣y﹣20截弦中点横坐标椭圆方程 1 ．
解答解：设椭圆1（a＞b＞0）a2﹣b250①
设直线3x﹣y﹣20椭圆交点A（x1y1）B（x2y2）弦AB中点（x0y0）
∵x0∴代入直线方程y0﹣2﹣
∴AB斜率k﹣•﹣•3∵﹣1∴a23b2②
联解①②a275b225∴椭圆方程：1答案：1．
4例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）左右焦点分离心率右准线方程
(Ⅰ) 求椭圆标准方程
(Ⅱ) 点直线该椭圆相交MN两点求直线方程
解：（Ⅰ）根题意求椭圆方程
（Ⅱ）椭圆焦点 设直线椭圆截弦MN中点
行四边形法知：：①
直线斜率存轴时点P重合题设相矛盾直线斜率存：②
②代入①整理：
解：
②知合题意
求直线方程
6（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆条弦斜率3直线交点恰条弦中点M点M坐标 ．
解答解：设直线椭圆交点分（x1y1）（x2y2）
两式相减0（y1﹣y2）（y1+y2）﹣3（x1﹣x2）（x1+x2）
﹣3×直线斜率3∴3
∵两交点中点直线xx1+x21∴3﹣3×1÷（y1+y2）
∴﹣．中点M坐标（﹣）．答案：（﹣）．
7图中椭圆C：EF焦点点D点O坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C标准方程
（Ⅱ）点K满足问否存行EF直线椭圆C交两点MN存求出直线斜率取值范围存说明理
x
y
D
E
F
O
解：（Ⅰ）略：
（Ⅱ）分析：∵
设MN中点H条件涉弦MN中点弦MN斜率点差法
设直线斜率（
① ② ①－②：
∵∴解点椭圆
8已知椭圆垂直轴意条弦中点椭圆中心求证：直线直线斜率积定值
证明 设
（1）（2）
：
（定值）
二双曲线
1点P(41)直线l双曲线－y2＝1相交AB两点PAB中点求l方程．
[解析] 设A(x1y1)B(x2y2)－y＝1－y＝1两式相减：
(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0∵PAB中点∴x1＋x2＝8y1＋y2＝2
∴＝1求直线l斜率1∴l方程y－1＝x－4x－y－3＝0
2设AB双曲线x2－＝1两点点N(12)线段AB中点(1)求直线AB方程
(2)果线段AB垂直分线双曲线交CD两点ABCD四点否圆？什？
[分析] 证明ABCD四点圆首先判断圆心位置ABCD四点圆∵CD垂直分AB圆性质知圆心直线CD∴CD中点M圆心证明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|．
[解析] (1)题意设直线AB方程y＝k(x－1)＋2
(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k2)－2＝0①
设A(x1y1)B(x2y2)∵x1x2方程①两实根2－k2≠0
韦达定理x1＋x2＝N(12)AB中点＝1
k(2－k)＝2－k2解k＝1∴直线AB方程y＝x＋1
(2)x2－2x－3＝0解x1＝3x2＝－1
∴A(34)B(－10)．∵CD线段AB垂直分线CD直线方程y＝－x＋3
x2＋6x－11＝0
设C(x3y3)D(x4y4)CD中点M(x0y0)．韦达定理x3＋x4＝－6x3x4＝－11
x0＝(x3＋x4)＝－3y0＝－x0＋3＝6
|CD|＝＝＝＝4
|CM|＝|MD|＝2∵|MA|＝|MB|＝＝2
∴ABCD四点M距离相等ABCD四点圆．
3已知双曲线方程x2－＝1
试问：否存点B(11)分弦？果存求出弦直线方程果存请说明理．
[分析] 易判断出点B(11)双曲线外部妨假定符合题意弦存弦两端点应分双曲线左右两支直线倾角90°
[解析] 解法：设B(11)分弦直线方程y＝k(x－1)＋1代入双曲线方程x2－＝1(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0
解k
解法二：设存点B分弦MN设M(x1y1)N(x2y2)．
x1＋x2＝2y1＋y2＝2
①－②(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0∴kMN＝＝2直线MN：y－1＝2(x－1)．
消y2x2－4x＋3＝0Δ＝－8<0
说明直线MN双曲线相交点B分弦存．
[点评] 题：
果点B双曲线部该点中点弦定存．
果点B双曲线外部该点中点弦存．
点B部需检验点B外部必须检验．
关双曲线部外部请图双曲线面划分开图中阴影部分双曲线部部分双曲线外部．
4设双曲线中心原点抛物线顶点双曲线右焦点抛物线准线双曲线右准线．
（Ⅰ）试求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线双曲线交两点求
（Ⅲ）直线否存样实数直线双曲线交点关直线 (常数)称存求出值存请说明理．
解：（Ⅰ） 抛物线顶点准线双曲线C中
双曲线C方程
（Ⅱ）：
设
（Ⅲ）假设存样实数直线双曲线交点关直线称线段AB垂直分线 设线段AB中点：①
：②①②：
：：
直线双曲线C相交AB两点 ＞0＜6 符合题意值存
5
三抛物线
1．抛物线y2＝8x中(1－1)中点弦直线方程( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
[答案] C[解析] 设弦两端点A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝－2
∵AB抛物线∴y＝8x1y＝8x2两式相减(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)
∴＝－4∴直线AB方程y＋1＝－4(x－1)4x＋y－3＝0
2．点(31)抛物线y2＝2px条弦中点条弦直线斜率2p＝________
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1y1)P2(x2y2)
∵y1＋y2＝2∴p＝2
3．点Q(41)作抛物线y2＝8x弦AB恰Q分求弦AB直线方程．
[答案] 4x－y－15＝0
[解析] 解法：设Q中点弦AB端点坐标A(x1y1)B(x2y2)y＝8x1①
y＝8x2② x1＋x2＝8y1＋y2＝2③ ①－②(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
③代入④y1－y2＝4(x1－x2)4＝∴k＝4
∴求弦AB直线方程y－1＝4(x－4)4x－y－15＝0
4（2004•福建）图P抛物线C：yx2点直线l点P抛物线C交点Q．
（Ⅰ）直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围．
分析（1）设M（x0y0）欲求点M轨迹方程寻找坐标关系通外两点PQ中点M关系结合中点坐标公式求解
（2）欲取值范围转化表示成某变量表达式然求表达式值问题外化简例式般线段投影坐标轴线段解决．
解答解：（Ⅰ）设P（x1y1）Q（x2y2）M（x0y0）题意x1≠0y1＞0y2＞0．
yx2①y＇x．∴点P切线斜率kx1
∴直线l斜率kl﹣﹣∴直线l方程y﹣x12﹣（x﹣x1）②
联立①②消yx2+x﹣x12﹣20．
∵MPQ中点∴x0﹣y0x12﹣（x0﹣x1）
消x1y0x02++1（x0≠0）∴PQ中点M轨迹方程yx2++1（x≠0）．
方法二：设P（x1y1）Q（x2y2）M（x0y0）题意知x1≠0y1＞0y2＞0．yx2①
y′x．∴点P切线斜率k切x1∴直线l斜率kl﹣﹣
直线l方程y﹣x12﹣（x﹣x1）．②
方法：联立①②消yx2+x﹣x12﹣20．∵MPQ中点
∴x0﹣y0x12﹣（x0﹣x1）．消x1y0x02++1（x0≠0）
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1（x≠0）．
（Ⅱ）设直线l：ykx+b题意k≠0b≠0T（0b）．
分PQ作PP＇⊥x轴QQ＇⊥x轴垂足分P＇Q＇．
yx2ykx+b消xy2﹣2（k2+b）y+b20．③
y1+y22（k2+b）y1y2b2．∴|b|（）≥2|b|2|b|2．
∵y1y2取切相等正数∴取值范围（2+∞）．
5例（05全国Ⅲ文22）设两点抛物线AB垂直分线
（Ⅰ）仅取值时直线抛物线焦点F？证明结
（Ⅱ）时求直线方程
解：（Ⅰ）设线段AB中点直线斜率直线斜率存仅时AB垂直分线轴抛物线焦点F直线斜率存方程
：
直线焦点F：相矛盾
直线斜率存时抛物线焦点F
综述仅时直线抛物线焦点F
（Ⅱ）时
：
求直线方程
6
7已知椭圆垂直轴意条弦中点椭圆中心求证：直线直线斜率积定值
证明 设（1）（2）
：
（定值）
8已知三顶点抛物线中重心抛物线焦点求直线方程
解 已知抛物线方程设中点三点线分成解
设（1）（2）
：
直线方程
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