数值线性代数上机习题第四章实验报告


    第四章机题
    1考虑两点边值问题

    容易知道精确解

    微分方程离散化[01]区间n等分令h1n

    差分方程

    简化

    离散化线性方程组系数矩阵

    分Jacobi迭代法GS迭代法SOR迭代法求线性方程组解求4位效数字然较精确解误差
    考虑样问题
    解 (1)出算法:
    解令中



    利Jacobi迭代法GS迭代法SOR迭代法解线性方程组均步骤求解:
    step1定初始量x0(000)迭代次数N精度求c令k1
    step2令xB*x0+g
    step3||xx0||2step4k>N算法停止迭代失败否令x0x转step2
    Jacobi迭代法中BD1*(L+U)gD1*b
    GS迭代法中BD1*(L+U)gD1*b
    SOR迭代法中B(Dw*L)1*[(1w)*D+w*U]gw*(Dw*L)1*b
    外SOR迭代法中面算法step1中定松弛子w中0计算结果规定w05
    (2) 定方程
    Axb中矩阵A题目示n1阶矩阵
    第1n1方程中y(0)y(1)存方程右端应减y(0)y(1)项b(1)a*h2c*y(0)b(n1)a*h2(c+h)*y(n)b(i)a*h2i2n1

    程序
    1 Jacobi迭代法编成函数[xk]Jacobi(AbcN)
    function [xk]Jacobi(AbcN)
    Ddiag(diag(A))
    Ltriu(A)A
    Utril(A)A
    BD^(1)*(L+U)
    gD^(1)*b
    x0zeros(length(A)1)
    xB*x0+g
    k1
    while norm(xx02)>000001
    x0x
    xB*x0+g
    kk+1
    if k>N
    break
    end
    end
    end


    2 GS迭代法编成函数 [xk]GaussSeidel(AbcN)
    function [xk]GaussSeidel(AbcN)
    Udiag(diag(A))triu(A)
    x0zeros(length(A)1)
    Btril(A)^(1)*U
    gtril(A)^(1)*b
    xB*x0+g
    k1
    while norm(xx02)>000001
    x0x
    xB*x0+g
    kk+1
    if k>N
    break
    end
    end
    end

    3 SOR迭代法编成函数 [xk]SOR(AbwcN)
    function [xk]SOR(AbwcN)
    Ddiag(diag(A))
    LDtril(A)
    UDtriu(A)
    x0zeros(length(A)1)
    B(Dw*L)^(1)*((1w)*D+w*U)
    gw*(Dw*L)^(1)*b
    xB*x0+g
    k1
    while norm(xx02)>000001
    x0x
    xB*x0+g
    kk+1
    if k>N
    break
    end
    end
    end

    4 问题1求解 ex4_1
    clearclc
    c1
    c01
    c001
    c00001
    a12n100h1n
    w12N1000000
    A(2*c+h)*eye(n1)
    for i2n1w
    A(i1i)c+h
    A(ii1)c
    end
    b[a*h^2*ones(n21)a*h^2(c+h)]
    for i1n1
    x(i)i*h
    y(i)((1a)(1exp(1c)))*(1exp(x(i)c))+a*x(i)
    end
    [y1n1]Jacobi(AbcN)
    [y2n2]GaussSeidel(AbcN)
    [y3n3]SOR(AbwcN)
    disp(['c'num2str(c)'时'])
    disp(['Jacobi迭代精确解差'num2str(norm(y'y1inf))])
    disp(['迭代次数'num2str(n1)])
    disp(['GS迭代精确解差'num2str(norm(y'y2inf))])
    disp(['迭代次数'num2str(n2)])
    disp(['SOR迭代精确解差'num2str(norm(y'y3inf))])
    disp(['迭代次数'num2str(n3)])


    计算结果
    (1)
    c1时
    Jacobi迭代精确解差00021999
    迭代次数11796
    GS迭代精确解差00017027
    迭代次数6227
    SOR迭代精确解差0004511
    迭代次数15367
    (2)
    c01时
    Jacobi迭代精确解差00094349
    迭代次数5353
    GS迭代精确解差00093007
    迭代次数2797
    SOR迭代精确解差0010279
    迭代次数7300
    (3)
    c001时
    Jacobi迭代精确解差0066098
    迭代次数532
    GS迭代精确解差0066089
    迭代次数318
    SOR迭代精确解差006615
    迭代次数834
    (4)
    c00001时
    Jacobi迭代精确解差00049526
    迭代次数116
    GS迭代精确解差00049507
    迭代次数108
    SOR迭代精确解差00049789
    迭代次数267
    结果分析
    三种迭代法误差基相GS迭代法收敛速度明显Jacobi迭代法SOR迭代法收敛速度较慢原收敛子非佳


























    2 考虑偏微分方程

    中边界条件u1x方y方均匀剖分N等份令h1N设应中心差分离散化差分方程代数方程组

    取g(xy)f(xy)分exp(xy)x+yGS迭代法求解述方程组请列表较N204080时收敛需迭代次数CPU时间迭代终止条件||xk+1xk||2<107


    解 求解程问题1
    定方程组成(n1)2维列量记

    Axbg(xy)f(xy)分exp(xy)x+yA形式


    边值

    中标存0n时h2(i*h+j*h)应相应加12(两变量标均含0n时)

    程序
    (1)Jacobi迭代法程序问题1
    (2)问题2求解程序ex4_2
    clearclc
    c10^(7)
    n[204080]
    N1000000
    for m13
    h1n(m)
    Azeros((n(m)1)^2)
    bzeros((n(m)1)^21)
    for i1(n(m)1)^2
    if i>1
    A(i1i)1 A(ii1)1
    end
    if i>n(m)1
    A(iin(m)+1)1 A(in(m)+1i)1
    end
    iiceil(i(n(m)1))
    if mod(in(m)1)~0
    jjmod(in(m)1)
    else
    jjn(m)1
    end
    A(ii)4+exp(ii*jj*h^2)
    b(i)h^3*(ii+jj)
    if ii1||iin(m)1
    b(i)b(i)+1
    end
    if jj1||jjn(m)1
    b(i)b(i)+1
    end
    end
    disp(['n'num2str(n(m))])
    tic
    [yk]GaussSeidel(AbcN)
    toc
    disp(['迭代次数'num2str(k)])
    end
    结果
    n
    20
    40
    80
    CPU time
    0080063 seconds
    1941715 seconds
    112580604 seconds
    迭代次数
    24
    26
    27

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    文档贡献者

    文***享

    贡献于2023-03-14

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