第七章作业题目： 数学模型
15体注射葡萄糖溶液时血液中葡萄糖浓度g(t)增长率注射速率r成正体血液容积v成反体组织吸收作g(t)减少率g(t)身成正分种假设建立模型讨稳定情况
（1）体血液容积v变
（2）v着注入溶液增加
（3）排泄等素v 增加极限值
解：模型假设：
模型中符号说明：
葡萄糖浓度g(t)
注射速率r
体血液容积v
基模型：
(常数) ⑴
(1)V常数时衡点稳定
果g横轴轴作出方程图形（图1）分析葡萄糖浓度增长速度着g增加变化情况概出g(t)变化规律
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[0210005g{g0100}PlotStyle>{RGBColor[100]}]
：
图1 ～g曲线
利matlab操作窗口中输入代码命令：
gdsolve(＇Dgk1*rvk2*g＇＇g(0)g0＇＇t＇)
解
g k1*rvk2+exp(k2*t)*(k1*r+g0*v*k2)vk2
整理：
⑵
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[02100+Exp[05t]{t0100}PlotStyle>{RGBColor[100]}]
：
图2 g～t曲线
图知道衡点稳定
(2)妨设
（常数） ⑶
方程⑴⑵存衡点⑵解出代入⑴
⑷
⑷治方程衡点稳定性概念治方程言意义⑷治方程考虑稳定性
(3)妨设
（常数） ⑸
果V横轴轴作出方程图形（图3）分析体血液容积V增长速度着V增加变化情况概出V(t)变化规律
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[05(2000v){v02000}PlotStyle>{RGBColor[010]}]
：
图3 ～V曲线
利matlab操作窗口中输入代码命令：
vdsolve(＇Dvu*(v1v)＇＇v(0)v0＇＇t＇)
：
v v1+exp(u*t)*(v1+v0)
整理：
⑹
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[2000Exp[05t](20001000){t0100}PlotStyle>{RGBColor[010]}]
：
图4 V～t曲线
图知道衡点稳定
方程⑴⑸存衡点：稳定⑸解出代入⑴：
⑺
⑺治方程考虑稳定性
12题目：物种迁移问题
14陆物种数目作常数物种独立陆附岛屿迁移数量增加尚未迁移物种增加导致岛物种减少适假设建立岛物种数模型讨稳定状况
问题：
陆物种数目作常数物种独立陆附岛屿迁移岛物种数量增加尚未迁移物种数目关着迁移物种增加导致岛物种减少适假设建立物种数模型讨稳定状况
二模型假设：
1)假定陆物种数目常数
2)岛物种数增加率尚未迁移物种数成正例系数(>0)
3)岛物种数减少已迁移物种数成正例系数(>0)
三模型建立：
记岛物种数陆物种数假设知数学模型：
四模型求解：
模型求解值时物种达稳定状态微分方程稳定性理知：先令0衡点检验点导数值否0衡点稳定点模型 Mathematica求解：
Solve[a*(Nx)b*x0x]
D[a*(Nx)b*xx]
结果
ab
面求解x0衡点f(x)衡点导数值0x0稳定点
17讨种捕鱼业持续收获效益模型设渔场鱼量方程71节（3）式捕捞强度变化规律单位时间收入支出时（见71节（9）式）增加时减少变化率成正
（1）建立关方程求衡点讨起稳定性
（2）结果71节效益模型捕捞度模型进行较
模型假设：记时刻渔场中鱼量关然增长工捕捞作假设：
（i）捕捞条件增长服logistic规律
： （1）
（中r固增长率N环境容许鱼量表示单位时间增长率）
(ii)单位时间捕捞量渔场鱼量成正单位时间捕捞强度E单位时间捕捞量：
（2）
条件捕捞情况渔场量满足方程：
（3）
令：两衡点 （4）
（iii）捕捞强度着单位时间变化变化设鱼销售单价常数单位捕捞率（条出海渔船）费常数单位时间收入支出S分
（5）
捕捞强度： （6）
单位时间利润 （7）
稳定条件（4）代入（7）式
（8）
微分法求解利润衡点稳定性：
衡点
稳定条件
稳定
（2） 捕捞度模型：效益模型计划捕捞基础渔场单独营者计划捕捞追求利益值果渔场众盲目者会蜂拥时导致捕捞度
第题中（8） 式令解
：
图解法确定：
r
盲目捕捞强度图解法
图知捕捞度模型71模型致
（1）知时衡点稳定
时稳定点完全成—价格决定出现捕捞度
第五章作业题目
15 侦察机搜索潜艇设时艇点飞机点海里（见图527）时艇潜入水中着飞机知道某方直线形式逃艇速20海里时飞机速度40海里时定航线搜索潜艇仅飞艇正方时发现
（1）原点建立坐标（r）系点位径见图分析图中PQR组成三角形证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点出数螺线表达式画出条航线示意图
（2）整条航线光滑直线段应数螺线点相切找出条光滑航线
（3）定发现潜艇航线中条航线短长度少光滑航线长度少
问题重述
侦察机搜索潜艇设时潜艇点飞机点O处OA＝6浬时潜艇潜入水中着飞机知道某方直线形式逃艇速20浬时飞机速度公里时定航线搜索潜艇仅飞潜艇正方时发现
（1）原点建立坐标（r）系点位径见图分析图中PQR组成三角形证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点出数螺线表达式画出条航线示意图
（2）整条航线光滑直线段应数螺线点相切找出条光滑航线
（3）定发现潜艇航线中条航线短长度少光滑航线长度少
二 问题分析
证明存航线证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点证明航线存
三 模型假设符号说明
设数螺线飞达点
四 建立模型求解：
1证明找出行航线
1）确定数螺线方程
图①原点建立极坐标系点位径
设数螺线
某时刻飞机达点潜艇恰达点位圆心圆周飞机M飞潜艇航R飞机搜索潜艇必飞机潜艇时达R飞机速度潜艇2倍：
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
数学分析中极坐标弧长积分公式：
PR长度：
：
……⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
：代入：
…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
①②③式：
数螺线：
（）
2）确定点轨迹圆周
设点圆意点中图②飞机达时潜艇恰飞机圆周（圆心坐标原点）满足：
：
化极坐标方程轨迹：
3）确定行航线原命题证
综限时间（长飞机达数螺线飞行周）飞机定搜索潜艇航线先点直线飞条数螺线飞行周
圆周意点：
：
数螺线表达式：
： （）
中条行航线图③示：
2寻找光滑航线
1）确定直线：
直角坐标系直线方程
令：：
令：
极坐标直线方程：
（中直线径夹角直线径交点图④示）
点直线方程：
2）确定数螺线点斜率：
令：直线斜率：
数螺线：点斜率：
3）确定直线数螺线切点：
航线光滑直线数螺线圆切点
须满足条件：
…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④圆
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⑤直线
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑥数螺线
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑦数螺线斜率直线斜率相等
联立④⑤⑥⑦式解：
： 点：
直线：
数螺线：
两条称光滑航线（图⑤—a图⑤—b示）飞机先直线飞数螺线飞行周
3计算短航程光滑航程
1）求短航程
令短直线航程
图⑥示轨迹圆易知圆距离取短时：
4
令短螺线航程
前述数螺线()确定中知式中：表示螺线开合程度表示螺线形状变前提螺线绕极点（原点）进行旋转保证定搜潜艇 变()变数螺线绕极点意旋转圆交点均满足求
分析数螺线特点知螺线距极点越点绕螺线周航程越短数螺线圆位置关系交时螺线航程短代入：时： ：
积分
求：
图⑥示综知直线航程取短时螺线航程取短时重合总短航程短直线航程短螺线航程
短总航程：
＝＋＝
２）光滑航程
取光滑航程时时
令光滑直线航程
令光滑螺线航程
积分
求光滑螺线航程：
＝
光滑航程光滑直线航程光滑螺线航程
光滑航程：
+
五 解解释：
面解题程中已说明
六模型局限性推广
该模型考虑艇速侦察机速度距离确定情况种情况认质考虑问题思想说模型变想应该更复杂应该讲艇速侦察机速度设变量两者距离设变量样会更加实该模型忽略客观存易计算影响较素飞机潜艇速度匀速等次素实际问题中限制性素远远超素研究问题影响较文分析方法存定局限性改进提高通模型建立样模型新认识
注：题函数图均函数作图软件ZT函数作图 ver510作成
14鱼塘捕获量问题
摘 文讨通控制鱼群休养时间捕获力捕获量渔业持续发展问题
问题：首先通基假设模型简化微分数学思想建立相关微分方程次运微分方程中常数变易法变量分离法方程进行求解外通微分方程求现实生活中鱼苗尾数尾鱼重时间变化相关函数
问题二：通微分数形结合思想建立微分方程模型利微分方程理方程衡点进行分析结合MatlabMaple等相关软件绘制捕获量鱼尾数函数示意图出结果实际意义
捕捞时间满足时获持续捕获量捕获时间会加剧鱼群竞争利鱼群增长造成济损失捕获时间量捕捞利渔业持续发展浪费然资源
模型应范围广泛仅适优化渔业资源实现持续发展适家禽养殖林业畜牧业等相关领域
关键词 捕获量尾数捕获时间
问题提出
渔业资源种持续资源合理该资源渔业产量化渔民收益化着时间增长鱼尾数会着饲养繁殖鱼塘部环境变化改变通建立数学模型控制捕获时间捕获量捕捞时间开始持续捕获量该实际问题解决渔民重意义
通建立具体数学模型解决问题：
问题：鱼塘中投放尾鱼苗着时间增长鱼苗尾数减少重量增加喂养引起尾鱼重量增加率鱼表面积成正消耗引起尾鱼重量减少率重量身成正条件分建立尾数尾鱼重量微分方程进行求解
问题二：鱼苗持续增长控制网眼办法捕鱼时刻开始捕捞确定捕捞力时刻开始捕获量
问题分析
鱼尾数然净相增长率关
2鱼尾数捕获量关
3鱼尾数相减少率关
4捕获力鱼尾数关
5捕获时间鱼群变化率关
6鱼尾数繁殖率关
基假设
尾数相减少率常数
2喂养引起尾鱼重量增加率鱼表面积成正
3消耗引起尾鱼重量减少率重量身成正
4鱼然净增长率常数
5鱼塘部环境稳定尾数受然灾害影响
6渔网眼正方形鱼立方体模型
二 符号表示
符号表示
意义
时刻鱼尾数
投放尾鱼苗质量
投放鱼苗尾数
鱼密度
时刻尾鱼质量
尾数相减少率
尾鱼重量增加率表面积例系数
尾鱼重量减少率重量身例系数
正方体边长
网眼边长
网眼边长
捕捞力
三 模型建立
模型 根尾数相减少率常数列出关尾数变化微分方程根尾鱼重量增加率表面成正重量减少率重量身成正列出关重量微分方程
关尾数微分方程：
（1）
关重量微分方程：
（2）
中表示鱼表面积
模型二 捕捞时刻应取中较时间中表示尾数达稳定点需时间表示鱼刚等网眼角线长需时间捕捞时建立关尾数Logistic差分模型求出方程衡态分析衡态稳定性出稳定时鱼尾数Matlab画出产量尾数变化关系图出佳捕获量捕获时鱼尾数进计算出时捕捞力
捕捞时建立关尾数Logistic差分方程
（3）
四 模型求解分析
模型
变量分离法解出尾数时间变化关系式：
变量分离法解出尾鱼重量时间变化关系式：
结合伯努力方程常数变异法求出捕捞时尾数时间变化关系式
捕捞时初始条件解出进出捕捞时尾数时间变化关系式
（4）
求（3）衡态令
出衡态 ：
衡态稳定性进行分析
令
时稳定稳定
时稳定稳定
面分析知时捕捞量稳定附终鱼量会趋0
带入（4）求出鱼尾数达时需时间
正方体边长刚等网眼角线长时需时间
时
带入式
（1）时时刻捕获捕获量
然条件鱼量时间增长符合关系式
捕捞率
记原点处切线方程
作出图（图1）
图1
（注：常系数根数拟合取定值作图）
时交点横坐标（0）
直线知坐标稳定条件单位时间持续产量图知
顶点相交时产量时知
时捕获量顶点处
（2）时时刻获捕鱼量 时鱼塘中鱼条数
时捕鱼量
捕捞强度
五 模型评价推广
模型优点：鱼简化成立方体模型根已知条件建立求解微分方程通数形结合结果进行分析缺点然鱼简化成立方体模型简化求解难度实际情况相符
该模型应范围广泛仅适优化渔业资源实现持续发展适家禽养殖林业畜牧业等相关领域
17 建立肿瘤生长模型通量医疗实践发现肿瘤细胞生长现象：i）肿瘤细胞数目超时床观察ii）肿瘤生长初期定时间肿瘤细胞增加倍iii)肿瘤生长期种生理条件限制肿瘤细胞数目趋某稳定值
② 较Logistic模型Gompertz模型：中细胞数极值参数
②说明述两模型Usher模型：特例解释参数意义
＼
生长模型特征分析应
摘：文通肿瘤动态生长模型分析运微分方程知识求初始条件模型通解曲线变化情况微分方程分析两方面较两种生长模型LogisticGompertz出种模型更适合肿瘤生长规律然通计算出两种模型USER模型特例结重点分析USER模型参数变化引起模型变化情况够选择参数概位置通数拟合确定USER模型终情形样更符合研究象动态变化作预测模型具重现实意义总文简单复杂浅入深帮助更认识种生长模型更运学知识解决现实问题
问题背景
建立肿瘤生长模型通量医疗实践发现肿瘤细胞列现象：1）肿瘤细胞数目超10^11床观察2）肿瘤生长初期定时间肿瘤细胞增加倍3）种生理条件限制肿瘤生长期肿瘤细胞数目趋某稳定值
二问题描述
1 较Logistic模型Gompertz模型：
中n（t）细胞数N极限值中 参数
2说明述两模型Usher模型：
特例
三 Logistic模型回顾
式中 增长率N环境量 拐点n(0)n0 求解
四．Gompertz模型分析
微分方程：
分析该微分方程n(0)n0解 通计算（见附录）性质：
t 时n(t) N t 较时 1 n(t) 增长率 指数增长模型 n< >0
n> <0 n 曲线拐点
五 Gompertz Logistic模型图形较
n (t)
N
Gompertz
Logistic
t
述两种模型发现t较时Gompertz模型似指数增长点两种模型接N值肿瘤生长规律观察初始值Gompertz模型中通解中数起降维作实际数拟合中够提高计算精度便计算综述Gompertz较Logistic更适合研究象肿瘤生长规律接研究外种模型通计算前面两种模型存联系会发现什刚刚研究两种模型什会点
六Usher模型
1时Logistic模型 0时取极限（根洛必达法求导计算见附录）化Gompertz模型
Usher模型（）成变量考虑 取值情况观察该变化子变化情况（图）发现着值减曲线变越越陡峭1时曲线呈线性变化推测Usher模型时选择重里称形状子研究象应选择值利规律选择值时指明方
结：Logistic Gompertz存着联系两者均Usher模型特例
Gompertz模型更适合肿瘤生长规律Usher模型中形状子越速率变化越
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15体注射葡萄糖溶液时血液中葡萄糖浓度g(t)增长率注射速率r成正体血液容积v成反体组织吸收作g(t)减少率g(t)身成正分种假设建立模型讨稳定情况
（1）体血液容积v变
（2）v着注入溶液增加
（3）排泄等素v 增加极限值
解：模型假设：
模型中符号说明：
葡萄糖浓度g(t)
注射速率r
体血液容积v
基模型：
(常数) ⑴
(1)V常数时衡点稳定
果g横轴轴作出方程图形（图1）分析葡萄糖浓度增长速度着g增加变化情况概出g(t)变化规律
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[0210005g{g0100}PlotStyle>{RGBColor[100]}]
：
图1 ～g曲线
利matlab操作窗口中输入代码命令：
gdsolve(＇Dgk1*rvk2*g＇＇g(0)g0＇＇t＇)
解
g k1*rvk2+exp(k2*t)*(k1*r+g0*v*k2)vk2
整理：
⑵
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[02100+Exp[05t]{t0100}PlotStyle>{RGBColor[100]}]
：
图2 g～t曲线
图知道衡点稳定
(2)妨设
（常数） ⑶
方程⑴⑵存衡点⑵解出代入⑴
⑷
⑷治方程衡点稳定性概念治方程言意义⑷治方程考虑稳定性
(3)妨设
（常数） ⑸
果V横轴轴作出方程图形（图3）分析体血液容积V增长速度着V增加变化情况概出V(t)变化规律
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[05(2000v){v02000}PlotStyle>{RGBColor[010]}]
：
图3 ～V曲线
利matlab操作窗口中输入代码命令：
vdsolve(＇Dvu*(v1v)＇＇v(0)v0＇＇t＇)
：
v v1+exp(u*t)*(v1+v0)
整理：
⑹
令利Mathematica操作窗口中输入代码命令：
Plot[2000Exp[05t](20001000){t0100}PlotStyle>{RGBColor[010]}]
：
图4 V～t曲线
图知道衡点稳定
方程⑴⑸存衡点：稳定⑸解出代入⑴：
⑺
⑺治方程考虑稳定性
12题目：物种迁移问题
14陆物种数目作常数物种独立陆附岛屿迁移数量增加尚未迁移物种增加导致岛物种减少适假设建立岛物种数模型讨稳定状况
问题：
陆物种数目作常数物种独立陆附岛屿迁移岛物种数量增加尚未迁移物种数目关着迁移物种增加导致岛物种减少适假设建立物种数模型讨稳定状况
二模型假设：
1)假定陆物种数目常数
2)岛物种数增加率尚未迁移物种数成正例系数(>0)
3)岛物种数减少已迁移物种数成正例系数(>0)
三模型建立：
记岛物种数陆物种数假设知数学模型：
四模型求解：
模型求解值时物种达稳定状态微分方程稳定性理知：先令0衡点检验点导数值否0衡点稳定点模型 Mathematica求解：
Solve[a*(Nx)b*x0x]
D[a*(Nx)b*xx]
结果
ab
面求解x0衡点f(x)衡点导数值0x0稳定点
17讨种捕鱼业持续收获效益模型设渔场鱼量方程71节（3）式捕捞强度变化规律单位时间收入支出时（见71节（9）式）增加时减少变化率成正
（1）建立关方程求衡点讨起稳定性
（2）结果71节效益模型捕捞度模型进行较
模型假设：记时刻渔场中鱼量关然增长工捕捞作假设：
（i）捕捞条件增长服logistic规律
： （1）
（中r固增长率N环境容许鱼量表示单位时间增长率）
(ii)单位时间捕捞量渔场鱼量成正单位时间捕捞强度E单位时间捕捞量：
（2）
条件捕捞情况渔场量满足方程：
（3）
令：两衡点 （4）
（iii）捕捞强度着单位时间变化变化设鱼销售单价常数单位捕捞率（条出海渔船）费常数单位时间收入支出S分
（5）
捕捞强度： （6）
单位时间利润 （7）
稳定条件（4）代入（7）式
（8）
微分法求解利润衡点稳定性：
衡点
稳定条件
稳定
（2） 捕捞度模型：效益模型计划捕捞基础渔场单独营者计划捕捞追求利益值果渔场众盲目者会蜂拥时导致捕捞度
第题中（8） 式令解
：
图解法确定：
r
盲目捕捞强度图解法
图知捕捞度模型71模型致
（1）知时衡点稳定
时稳定点完全成—价格决定出现捕捞度
第五章作业题目
15 侦察机搜索潜艇设时艇点飞机点海里（见图527）时艇潜入水中着飞机知道某方直线形式逃艇速20海里时飞机速度40海里时定航线搜索潜艇仅飞艇正方时发现
（1）原点建立坐标（r）系点位径见图分析图中PQR组成三角形证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点出数螺线表达式画出条航线示意图
（2）整条航线光滑直线段应数螺线点相切找出条光滑航线
（3）定发现潜艇航线中条航线短长度少光滑航线长度少
问题重述
侦察机搜索潜艇设时潜艇点飞机点O处OA＝6浬时潜艇潜入水中着飞机知道某方直线形式逃艇速20浬时飞机速度公里时定航线搜索潜艇仅飞潜艇正方时发现
（1）原点建立坐标（r）系点位径见图分析图中PQR组成三角形证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点出数螺线表达式画出条航线示意图
（2）整条航线光滑直线段应数螺线点相切找出条光滑航线
（3）定发现潜艇航线中条航线短长度少光滑航线长度少
二 问题分析
证明存航线证明限时间飞机定搜索潜艇航线先点直线飞某点P0条数螺线飞行周P0圆周点证明航线存
三 模型假设符号说明
设数螺线飞达点
四 建立模型求解：
1证明找出行航线
1）确定数螺线方程
图①原点建立极坐标系点位径
设数螺线
某时刻飞机达点潜艇恰达点位圆心圆周飞机M飞潜艇航R飞机搜索潜艇必飞机潜艇时达R飞机速度潜艇2倍：
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
数学分析中极坐标弧长积分公式：
PR长度：
：
……⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
：代入：
…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
①②③式：
数螺线：
（）
2）确定点轨迹圆周
设点圆意点中图②飞机达时潜艇恰飞机圆周（圆心坐标原点）满足：
：
化极坐标方程轨迹：
3）确定行航线原命题证
综限时间（长飞机达数螺线飞行周）飞机定搜索潜艇航线先点直线飞条数螺线飞行周
圆周意点：
：
数螺线表达式：
： （）
中条行航线图③示：
2寻找光滑航线
1）确定直线：
直角坐标系直线方程
令：：
令：
极坐标直线方程：
（中直线径夹角直线径交点图④示）
点直线方程：
2）确定数螺线点斜率：
令：直线斜率：
数螺线：点斜率：
3）确定直线数螺线切点：
航线光滑直线数螺线圆切点
须满足条件：
…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④圆
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⑤直线
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑥数螺线
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑦数螺线斜率直线斜率相等
联立④⑤⑥⑦式解：
： 点：
直线：
数螺线：
两条称光滑航线（图⑤—a图⑤—b示）飞机先直线飞数螺线飞行周
3计算短航程光滑航程
1）求短航程
令短直线航程
图⑥示轨迹圆易知圆距离取短时：
4
令短螺线航程
前述数螺线()确定中知式中：表示螺线开合程度表示螺线形状变前提螺线绕极点（原点）进行旋转保证定搜潜艇 变()变数螺线绕极点意旋转圆交点均满足求
分析数螺线特点知螺线距极点越点绕螺线周航程越短数螺线圆位置关系交时螺线航程短代入：时： ：
积分
求：
图⑥示综知直线航程取短时螺线航程取短时重合总短航程短直线航程短螺线航程
短总航程：
＝＋＝
２）光滑航程
取光滑航程时时
令光滑直线航程
令光滑螺线航程
积分
求光滑螺线航程：
＝
光滑航程光滑直线航程光滑螺线航程
光滑航程：
+
五 解解释：
面解题程中已说明
六模型局限性推广
该模型考虑艇速侦察机速度距离确定情况种情况认质考虑问题思想说模型变想应该更复杂应该讲艇速侦察机速度设变量两者距离设变量样会更加实该模型忽略客观存易计算影响较素飞机潜艇速度匀速等次素实际问题中限制性素远远超素研究问题影响较文分析方法存定局限性改进提高通模型建立样模型新认识
注：题函数图均函数作图软件ZT函数作图 ver510作成
14鱼塘捕获量问题
摘 文讨通控制鱼群休养时间捕获力捕获量渔业持续发展问题
问题：首先通基假设模型简化微分数学思想建立相关微分方程次运微分方程中常数变易法变量分离法方程进行求解外通微分方程求现实生活中鱼苗尾数尾鱼重时间变化相关函数
问题二：通微分数形结合思想建立微分方程模型利微分方程理方程衡点进行分析结合MatlabMaple等相关软件绘制捕获量鱼尾数函数示意图出结果实际意义
捕捞时间满足时获持续捕获量捕获时间会加剧鱼群竞争利鱼群增长造成济损失捕获时间量捕捞利渔业持续发展浪费然资源
模型应范围广泛仅适优化渔业资源实现持续发展适家禽养殖林业畜牧业等相关领域
关键词 捕获量尾数捕获时间
问题提出
渔业资源种持续资源合理该资源渔业产量化渔民收益化着时间增长鱼尾数会着饲养繁殖鱼塘部环境变化改变通建立数学模型控制捕获时间捕获量捕捞时间开始持续捕获量该实际问题解决渔民重意义
通建立具体数学模型解决问题：
问题：鱼塘中投放尾鱼苗着时间增长鱼苗尾数减少重量增加喂养引起尾鱼重量增加率鱼表面积成正消耗引起尾鱼重量减少率重量身成正条件分建立尾数尾鱼重量微分方程进行求解
问题二：鱼苗持续增长控制网眼办法捕鱼时刻开始捕捞确定捕捞力时刻开始捕获量
问题分析
鱼尾数然净相增长率关
2鱼尾数捕获量关
3鱼尾数相减少率关
4捕获力鱼尾数关
5捕获时间鱼群变化率关
6鱼尾数繁殖率关
基假设
尾数相减少率常数
2喂养引起尾鱼重量增加率鱼表面积成正
3消耗引起尾鱼重量减少率重量身成正
4鱼然净增长率常数
5鱼塘部环境稳定尾数受然灾害影响
6渔网眼正方形鱼立方体模型
二 符号表示
符号表示
意义
时刻鱼尾数
投放尾鱼苗质量
投放鱼苗尾数
鱼密度
时刻尾鱼质量
尾数相减少率
尾鱼重量增加率表面积例系数
尾鱼重量减少率重量身例系数
正方体边长
网眼边长
网眼边长
捕捞力
三 模型建立
模型 根尾数相减少率常数列出关尾数变化微分方程根尾鱼重量增加率表面成正重量减少率重量身成正列出关重量微分方程
关尾数微分方程：
（1）
关重量微分方程：
（2）
中表示鱼表面积
模型二 捕捞时刻应取中较时间中表示尾数达稳定点需时间表示鱼刚等网眼角线长需时间捕捞时建立关尾数Logistic差分模型求出方程衡态分析衡态稳定性出稳定时鱼尾数Matlab画出产量尾数变化关系图出佳捕获量捕获时鱼尾数进计算出时捕捞力
捕捞时建立关尾数Logistic差分方程
（3）
四 模型求解分析
模型
变量分离法解出尾数时间变化关系式：
变量分离法解出尾鱼重量时间变化关系式：
结合伯努力方程常数变异法求出捕捞时尾数时间变化关系式
捕捞时初始条件解出进出捕捞时尾数时间变化关系式
（4）
求（3）衡态令
出衡态 ：
衡态稳定性进行分析
令
时稳定稳定
时稳定稳定
面分析知时捕捞量稳定附终鱼量会趋0
带入（4）求出鱼尾数达时需时间
正方体边长刚等网眼角线长时需时间
时
带入式
（1）时时刻捕获捕获量
然条件鱼量时间增长符合关系式
捕捞率
记原点处切线方程
作出图（图1）
图1
（注：常系数根数拟合取定值作图）
时交点横坐标（0）
直线知坐标稳定条件单位时间持续产量图知
顶点相交时产量时知
时捕获量顶点处
（2）时时刻获捕鱼量 时鱼塘中鱼条数
时捕鱼量
捕捞强度
五 模型评价推广
模型优点：鱼简化成立方体模型根已知条件建立求解微分方程通数形结合结果进行分析缺点然鱼简化成立方体模型简化求解难度实际情况相符
该模型应范围广泛仅适优化渔业资源实现持续发展适家禽养殖林业畜牧业等相关领域
17 建立肿瘤生长模型通量医疗实践发现肿瘤细胞生长现象：i）肿瘤细胞数目超时床观察ii）肿瘤生长初期定时间肿瘤细胞增加倍iii)肿瘤生长期种生理条件限制肿瘤细胞数目趋某稳定值
② 较Logistic模型Gompertz模型：中细胞数极值参数
②说明述两模型Usher模型：特例解释参数意义
＼
生长模型特征分析应
摘：文通肿瘤动态生长模型分析运微分方程知识求初始条件模型通解曲线变化情况微分方程分析两方面较两种生长模型LogisticGompertz出种模型更适合肿瘤生长规律然通计算出两种模型USER模型特例结重点分析USER模型参数变化引起模型变化情况够选择参数概位置通数拟合确定USER模型终情形样更符合研究象动态变化作预测模型具重现实意义总文简单复杂浅入深帮助更认识种生长模型更运学知识解决现实问题
问题背景
建立肿瘤生长模型通量医疗实践发现肿瘤细胞列现象：1）肿瘤细胞数目超10^11床观察2）肿瘤生长初期定时间肿瘤细胞增加倍3）种生理条件限制肿瘤生长期肿瘤细胞数目趋某稳定值
二问题描述
1 较Logistic模型Gompertz模型：
中n（t）细胞数N极限值中 参数
2说明述两模型Usher模型：
特例
三 Logistic模型回顾
式中 增长率N环境量 拐点n(0)n0 求解
四．Gompertz模型分析
微分方程：
分析该微分方程n(0)n0解 通计算（见附录）性质：
t 时n(t) N t 较时 1 n(t) 增长率 指数增长模型 n< >0
n> <0 n 曲线拐点
五 Gompertz Logistic模型图形较
n (t)
N
Gompertz
Logistic
t
述两种模型发现t较时Gompertz模型似指数增长点两种模型接N值肿瘤生长规律观察初始值Gompertz模型中通解中数起降维作实际数拟合中够提高计算精度便计算综述Gompertz较Logistic更适合研究象肿瘤生长规律接研究外种模型通计算前面两种模型存联系会发现什刚刚研究两种模型什会点
六Usher模型
1时Logistic模型 0时取极限（根洛必达法求导计算见附录）化Gompertz模型
Usher模型（）成变量考虑 取值情况观察该变化子变化情况（图）发现着值减曲线变越越陡峭1时曲线呈线性变化推测Usher模型时选择重里称形状子研究象应选择值利规律选择值时指明方
结：Logistic Gompertz存着联系两者均Usher模型特例
Gompertz模型更适合肿瘤生长规律Usher模型中形状子越速率变化越
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