11 巧算
基础知识
常计算技巧:
(1) 凑整技巧——法凑整
(2) 等差数列求
(3) 裂项
(4) 通项纳
(5) 换元法
(6) 找规律
(7) 公式法
例题精讲
例 1: 计算:125´ 621´16 + 58
(2017 年五年级希杯 1 试第 1 题)
例 2:
计算: 2016´32 + 2016´ 680
(2016 年五年级希杯 1 试第 1 题)
例 3:
计算: (2016 + 201)´ 2017 2016´ (2017 + 2010)
(2017 年五年级希杯 2 试第 1 题)
例 4:
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç 1 5 ÷
3
2
ç 5
ç
9 ÷´ 5 ¸
2
÷
3 + 225 4 A 值 .
3
ç 1+ 24
÷ 7 4
è A ø
(2017 华杯初赛高组第 7 题)
例 5:
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1
3 3+
3 35
5+LL
2021051520210717
计算: 1
11 1 + 11
11 1 +…LL+ +1 1 1 1
1 1
1´1´´ ´
1 ´ ´´ ´
´ ´ ´ ´
2 23
3 3 34
45 5
202105152021061620210717
(2017 华杯决赛 B 卷高组第 1 题)
12 定义新运算
基础知识
1基概念: 定义新运算指新定义运算符号已知运算表达式表示种新运算. 2基思路: 新定义运算符号△◎※等等表示含义设定.解答类题目
关键理解新定义严格新定义式子代入数值定义新运算转化成熟悉 四运算.
例题精讲
例 1:
定义 a *b a ´b + a 2´b 3* m 17 m
_ .
(2017 年五年级希杯 2 试第 2 题)
例 2:定义: m Å n m´ m n´ n
2 Å2 Å4 44Å4 Å6 66Å6 Å8 88Å81Å010L…LLL 989Å81Å01000
(2016 年五年级希杯 2 试第 4 题)
例 3:[x]表示超 x 整数例[314]3 求
é 2017 ´ 3ù + é 2017 ´ 4ù + é 2017 ´ 5ù + é 2017 ´ 6ù + é 2017 ´ 7 ù + é 2017 ´8ù
ëê 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11 úû
(2017 华杯决赛 A 卷高组——第 1 题)
例 4:
列数 记 数字 :S(22) 2+24
等 .
(2017 华杯决赛 A 卷高组第 7 题)
13 计算综合
基础知识
1 等差数列通项公式: an a1 + (n 1)d (中 d 表示公差 an 表示第 n 项)
2 等差数列求项数公式: n (an a1 ) ¸ d +1
3 等差数列求公式: S (a1 + an )´ n
2
4 长方形数表中位置两块形状完全相区域应位置数差相 等两块区域总差单项差项数积
例题精讲
例 1:
100 加 15减 12加 3加 15减 12加 3……序断重复运算运算 26 步 结果 .( 1 步指加减数)
(2016 年五年级希杯 1 试第 6 题)
例 2:
根图示规律推知 M .
(2016 年五年级希杯 2 试第 10 题)
例 3:
表中8 位第 3 行第 2 列2017 位第 a 行第 b 列 a b .
1
4
5
2
3
6
9
8
7
10
13
14
11
12
15
18
17
16
19
22
23
20
21
…
(2017 年五年级希杯 2 试第 3 题)
例 4:
图正方体面展开图该正方体相两面数值相等 a b´ c 值 .
(2017 年五年级希杯 1 试第 8 题)
21 常见应题
基础知识
1 二量应题 解含两量应题时题中般会含两等量关系采列方程
方法两未知量设字母解题关键
2 工程问题 工程问题指分数解答关工作总量工作时间工作效率间相互关系问
题
工作总量:般抽象成单位1 工作效率:单位时间完成工作量 三基公式:工作总量工作效率×工作时间
工作效率工作总量÷工作时间 工作时间工作总量÷工作效率
3 等量代换问题 较法倍数关系进行等量代换 4 值原理
定差积积定差
例题精讲
例 1:
张超王海家文具店买样练铅笔张超买 5 练 4 支铅笔付
20 元找回 35 元王海买 2 练 2 支铅笔正 7 元整 练 25
元
(2017 五年级希杯 2 试——第 5 题)
例 2:
某项工程需 100 天完成开始 10 30 天完成全部工程 1 增加 10
5
完成项工程提前 10 天完成务
(2015 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题)
例 3:
磊买 3 块橡皮5 支铅笔需付 106 元 买品种 4 块橡皮4 支铅笔需付 12 元
块橡皮价格 22 元
(2016 希杯五年级 2 试——第 2 题)
例 4:
现甲乙丙三容量相水池台 A 型水泵单独甲水池注水台 B 型水泵单独 乙水池注水台 A 型台 B 型水泵起丙水池注水已知注满乙水池注满丙水池 需时间 4 时注满甲水池注满乙水池需时间 5 时注满丙水池三分二
需 4 时
(2014 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题)
例 5:
酒店 100 标准间房价 400 元天入住率 50降低 20 元房价增加 5
间入住求合适房价酒店收房费高
(2015 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题)
22 行程综合
基础知识
1 行程问题基公式: 路程速度×时间 均速度总路程÷总时间
2 例法:
设甲乙两走路程分 s 甲s 乙速度分 v 甲v 乙时间分
t 甲t 乙 s 甲v 甲×t 甲s 乙 v 乙×t 乙关系:
(1)时间相 t 甲 t 乙时 s 甲:s 乙v 甲:v 乙
(2)速度相 v 甲 v 乙时 s 甲:s 乙 t 甲:t 乙
(3)路程相 s 甲 s 乙时 v 甲:v 乙 t 乙:t 甲
例题精讲
例 1:
某天爸爸开车送红距学校 1000 米方步行学校结果红天家学
校 225 分钟 红骑行车家学校需 40 分钟均分钟步行 80 米骑行
车爸爸开车均分钟慢 800 米求红家学校距离少米?
(2017 五年级希杯 2 试——第 16 题)
例 2:
王教授早 8 点达车站候车登列车时站台时钟时针分针恰左右称.列车 8
点 35 分出发午 2 点 15 分达终点站.王教授走列车时站台时钟时针分针恰
称走出车站时恰 3 点整.王教授列车时间计 分钟.
(2015 华杯决赛高组 A 卷——第 4 题)
例 3:
已知 C AB 两中点午 7 点整甲车 A 出发 B 行进乙车丙车分 B
C 出发 A 行进甲车丙车相遇时乙车恰走完全程 3 午 10 点丙车达 A
8
10 点 30 分乙车走 A 时甲车距离 B 84 千米 A B 两距离 少千米?
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 9 题)
例 4:
张强骑车公交车 A 站出发着公交路线骑行分钟行 250 米段时间辆公 交车 A 站出发分钟行 450 米行驶 6 分钟需站停 1 分钟 辆公交车 出发 15 分钟时候追张强该公交车出发时候张强已骑距离少米?
(2016 五年级希杯 2 试——第 13 题)
例 5:
李双骑车 320 米分钟速度 A 驶 B 途中行车障推车继续前步行 5 分钟距 B 1800 米某修车15 分钟原车速 15 倍继续前行驶 B 达 B 时预计时间 17 分钟李双推车步行速度 米分钟
(2016 五年级希杯 1 试——第 18 题)
23 方程例法解应题
基础知识
列方程(组)解应题基步骤:
(1)审:认真审题弄清问题中已知量什未知量什间什等量 关系
(2)设:合理选择未知数解题关键步骤.直接设未知数间接设未知 数
(3)列:根题目中已知条件利等量关系列出方程(组)
(4)解:求出未知数值
(5)答:方程(组)解进行检查验算否符合题意针问题做出答案.
例题精讲
例 1:
数 abcd 均数 71 25×ab12c+48025×d a×b×c×d
(2017 五年级希杯 2 试——第 6 题)
例 2:
李老师带领学生参观科技馆学生数 5 倍数根规定教师学生原票价
半收费恰付钱数整数元付 1599 元问:班少名学生?原 票价少元?
(2017 五年级希杯 2 试——第 14 题)
例 3:
杯子装满浓度 16盐水中铁球体积 1043首先 球沉入盐水杯中结果盐水溢出 10取出球次中球沉入盐水杯中取出接 着球沉入盐水杯中取出杯中倒入纯水杯满止时杯中盐水浓度 少?(保留位数)
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题)
例 4:
清明节学车烈士陵园扫墓果汽车行驶 1 时车速提高五分
预定时间提前 20 分钟赶果该车先原速行驶 72 千米速度提高三分
预定时间提前 30 分钟赶学校烈士陵园少千米?
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 11 题)
例 5:
甲乙两船流时行 8 千米逆流时行 4 千米甲船流然返回乙船
逆流 两船时出发 3 时时回出发点 3 时中长时间甲 乙两船航行?
(2015 五年级希杯 2 试——第 13 题)
31 组合图形问题
基础知识
1 三角形面积 三角形面积底×高÷2 2 勾股定理
直角三角形中两条直角边方等斜边方.数学公式中常写成
a2 + b2 c2 .
例题精讲
例 1:
图正方形面积 1图中阴影部分面积 .
(2017 五年级希杯 2 试——第 7 题)
例 2:
图3×3 正方形网格.果正方形边长 1阴影部分面积( ). A:5 B:4 C:3 D:2
(2018 华杯初赛 A 卷高组——第 2 题)
例 3:
图三角形 ABC 中EBEDFCFD∠EDF72°∠AED+∠AFD °
(2018 华杯初赛 A 卷高组——第 4 题)
例 4:
相 3 直角梯形位置图示∠1
.
(2017 五年级希杯 2 试——第 4 题)
例 5:
图中四边形 ABCD 边长 11 厘米正方形G CD 四边形 CEFG 边长 9
厘米正方形H AB ∠EDH 直角三角形 EDH 面积( )方厘米.
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 4 题)
32 模型
基础知识
1 鸟头模型 两三角形角相等互补时两三角形面积等分夹两角两
组边积
A D
E
D
E
D 2 D
A A 2
1 A
E E 1
B C B C B
C B C
S
S
ADE
AD AE
ABC
AB
AC
2 蝴蝶模型
图梯形 ABCD 中 AB CD a b
(1) S
(2) S
AOD S
S
BOC
a2 ab ab b2 (a b)2
S S S
AOB AOD BOC COD ABCD
A B
O
D C
3 燕尾模型
S
S
ABD
ACD
BE
CE
图三角形 ABC 中
A
D
B E C
4 风筝模型
S
图
ABD
BE S
CBD DE
S ACD CE
S CBA AE
A
B E C
D
例题精讲
例 1:
图ABCD 长方形AEFG 正方形. AB6AD4 SDADE
2 求
SDABG .
(2017 五年级希杯 2 试——第 15 题)
例 2:
图三角形 ABC 中D BC 中点AF2BFCE3AE.连接 CF 交 DE P 点
求 EP 值.
DP
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 12 题)
例 3:
图长方形 ABCD 面积 60 EB2AEAFFD四边形 AEOF 面积
.
(2017 五年级希杯 1 试——第 16 题)
例 4:
图中ABCD 行四边形F AD S
面积72cm²求△CDE 面积
DAEF
8cm2 S
DDEF
12cm2 四边形 BCDF
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 13 题)
例 5:
图中ABCD 行四边形AMMBDNCNBEEFFC四边形 EFGH 面积 1求行四边形 ABCD 面积.
(2015 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题)
33 立体
基础知识
1三视图原立体图形
(1)类问题突破口俯视图俯视图相堆叠体底座先画出底座 根正视图左视图标出高度解决类问题方法.
(2)块面量体积解块 面量藏里面体积解.
(3)求体积解时注意:俯视图出现十字形时中间格空.
2三视图法求表面积: 立方体堆砌成立体图形表面积三视图法求解
例题精讲
例 1:
图示长宽高分 15cm5cm4cm 长方体中切割走块长宽高分 ycm5cmxcm 长方体(xy 整数)余部分体积 120cm³ x
cmy cm.
例 2:
(2015 华杯决赛高组 A 卷——第 6 题)
长方体棱长整数厘米棱长 88 厘米长方体总侧面积 ( )方厘米.
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题)
例 3:
图某体正面左面图形该体干棱长 1 正方体垒 成体体积 .
(2016 希杯五年级 2 试——第 8 题)
例 4:
64 体积 1 立方米正方体拼成正方体果正方体 8 顶点处正 方体掉时体表面积 方米.
(2015 希杯五年级 1 试——第 7 题)
例 5: 图干相正方体摆成体面前面左面分图形①
②③少需 正方体.
(2015 希杯五年级 1 试——第 10 题)
41 计数问题
基础知识
常方法:
(1)枚举法
(2)树形图
(3)加原理
(4)分类讨
例题精讲
例 1:
20152016201720182019 五数分填入图中写DOGCW五 方格 D+O+GC+O+W 种填法
(2017 五年级希杯 2 试——第 8 题)
例 2:
面 5 条直线 5 条直线形成 n 交点 n 少数值?
(2017 华杯决赛高组 A 卷——第 9 题)
例 3:
1~8 八然数中取三数中没连续然数取法 种
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题)
例 4:
1~100 然数中数字 5 倍数数
(2014 五年级希杯 2 试——第 2 题)
例 5:
2015 分数 11 11
11 …LL 11
11
11
化成数少限数?
22 33 44
22001144
22001155
22001166
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 10 题)
42 值问题
基础知识
常知识点: 少长短等问题称值问题值问题普遍应
类问题解决字描述问题类问题通常种类问题 结合考察学构造证极端分析力
(1)枚举法:情况全部列举出中找情况
(2)极端分析法:极端情况出发考虑
(3)值原理:定差积差积
例题精讲
例 1:
16 盒饼干中 15 盒质量(含盒子)相 1 盒少块果天称 少称 次定找出盒饼干
(2013 五年级希杯 1 试——第 15 题)
例 2:
边算式9 汉字代表数字 1 9汉字代表数字该算式 值( )
盼´+ 树´翠绿 + 天空´ 湛蓝
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 8 题)
例 3: 已知算式
abcd aad ´ e 式中字母代表数码问四位数 abcd 值少?
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 12 题)
例 4:
图边长 12 米正方形池塘周围草池塘边 ABCD 处根木桩 ABBCCD3 米现长 4 米绳子头羊拴中某根木桩羊草 活动区域面积应绳子拴 处木桩
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 1 题)
例 5:
某校学生提供苹果香蕉梨三种水果 作课间加餐名学生少选 择种 选 统计结果显示: 70 学生选择苹果 40 学生选香蕉 30 学生 选梨 三种水果选学生数占学生总数百分
(2017 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题)
43 抽屉原理利原
基础知识
常知识点: 苹果÷抽屉=商……余数
(1)余数=1结:少(商+1)苹果抽屉里
(2)余数=𝑥结:少(商+1)苹果抽屉里
(3)余数=0结:少 商 苹果抽屉里
例题精讲
例 1:
副扑克牌中(掉王)少取 张牌保证中 3 张牌点数 相
(2007 五年级希杯 1 试——第 14 题)
例 2:
口袋里分红黄黑球 478 取出球中 6 色少取 球
(2008 五年级希杯 1 试——第 14 题)
例 3:
530 书分 48 名学生少名学生分书数量相?
(2015 华杯决赛高组 C 卷——第 14 题)
例 4:
连续然数 123…2014 中取出 n 数 n 数满足意取中两数 会数数 5 倍试求 n 值说明理
(2014 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题)
51 数
基础知识
常知识点:
(1)整问题
(2)余数问题
(3)质数合数
(4)数倍数
例题精讲
例 1:
果三位数3□24倍数□里填数 数
(2013希杯1试)
例 2:
十位数 a2016b2017 33 整样十位数
(2013 希杯 1 试)
例 3:
1 5 7 组成位数字三位数中质数
(2014 希杯 1 试)
例 4:
10 2014 相积末位数
(2014 希杯 1 试)
例 5:
22017 ¸ 7 余数 . (注:xn 示 n x 相)
(2017 希杯 1 试)
例 6:
两然数 667公倍数公约数商等 120.求两数
.
(2015 华杯决赛高 A 卷)
52 纳规律
基础知识
容斥原理
图中圆表示 A 元素数中圆表示 B 元素数圆表示 C 元素 数.
例题精讲
� ∪ � ∪ � � + � + � − � ∩ � − � ∩ � − � ∩ � + � ∩ � ∩ �
例 1:
图黑白两种球逐层排列层左右逐排白球第 次黑 球 2013 时恰排完第 层第
(2016 希杯 2 试)
例 2:
然数 abc 分某长方体长宽高值两位数 ab bc 满足 ab + bc 79求
长方体体积值.
(2017 希杯 2 试)
例 3:
编号 123…2015 2015 盏亮着电灯拉线开关控制.编号
2 倍数3 倍数5 倍数灯线拉时亮着灯 盏.
(2015 希杯 1 试)
例 4:
158 朋友排成排左边第起(第发苹果)隔 1 发苹
果右边第起(第发香蕉)隔 2 发香蕉求没水果 朋友数.
(2015 希杯 2 试)
53 数学思想
基础知识
基知识点:
(1)整体思想
(2)等量代换思想
(3)定方程分类讨思想
(4)称重问题
例题精讲
例 1:
三然数 2015两两相加分 m+1m+2011 m+2012 m
(2015 年希杯 2 试)
例 2:
1~100 100 然数中掉两相邻偶数剩数均数 50掉两 数积 .
(2016 年希杯 2 试)
例 3:
已知三位数 abc a (b + c) 33 b (a + c) 40 三位数 .
(2015 年希杯 1 试)
例 4:
□○△分表示三木块质量相 1 克2 克3 克4 克 5
克根图 2 判断□质量 克○质量 克△质量 克
(2010 希杯 1 试)
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