2021新教版升
初数学专题复讲义
专题 数
考点扫描
数知识包括数奇偶性质数合数数整余数性质数位含义均数分解数方数倍数数
1数奇偶性
奇数+奇数偶数 奇数+偶数奇数 偶数+偶数偶数
奇数×奇数奇数 偶数×偶数偶数 奇数×偶数偶数
奇数奇数相加奇数 偶数奇数相加偶数
（式子中含偶数相结果偶数）
2数整常见数整特征
（1）2：位偶数
（2）3：数位3倍数
（3）5：位 05
（4）425：两位4（25）整
（5）8125：三位8（125）整
（6）9：数位9倍数
（7）7：整数位数字截余数中减位数2倍差7倍数例判断133否7倍数程：13－3×2＝71337倍数例判断6139否7倍数程：613－9×2＝595 59－5×2＝4961397倍数
（8）11：奇数位数字偶数位数字差(减)11倍数
（9）13：位数末三位数末三位前数字组成数差13整13整
（10）17：整数位数字截余数中减位数5倍果差17倍数原数17整
3余数性质
（1）余数加性：余数等余数
（2）余数减性：差余数等余数差
（3）余数性：积余数等余数积
（4）余性质：
余数果两整数余数相差定数整
数果两整数余数相方定数整数
抛砖引玉
例1列数中（ ）时35倍数．
A．18 B．102 C．45
解析时35倍数必须满足：末尾05数位3整进出结．18位85倍数102位25倍数455倍数4+593倍数
答案：C
例2 时235整两位数 时23整三位数 三位数 ．
解析（1）根235倍数倍数特征知时235倍数倍数位0十位满足3倍数十位满足3倍数369中3解答（2）根23倍数数特征：2倍数数位偶数3倍数数位数相加3整时23整三位数百位应1十位0位2然时23整三位数百位十位9位数偶数3整6三位数996解答
答案：30102996．
例32309少加 3倍数少减 5倍数
解析根2整特征：位02468数5整数特征：位数字0者5数解答．分析知：2+3+914153整少应加12309位9位数05时5整少减4
答案：14．
例4三连续偶数90三数分 ．
解析然数中相邻两偶数相差2设90三连续偶数中x两分x+2x+4等量关系式：x+x+2+x+490．解方程
答案：283032．
例5养鸡场天收160千克鸡蛋18千克鸡蛋装箱装少箱？剩少千克？
解析求160千克鸡蛋装箱剩少千克求160里面18法计算商箱数余数剩千克数．
答案：解：160÷188（箱）…16（千克）
答：装8箱剩16千克
沙场点兵
10157四数中选三数组成三位数数2倍数3倍数5倍数样三位数（ ）
A．2 B．3 C．4
2列队伍第16序循环报数报3支队伍数定（ ）倍数
A．2 B．3 C．5 D．6
3 三连续偶数120中数 ．
4 学献爱心捐款五名学捐410元捐款数恰5连续偶数五名学捐少钱？
5根绳子长21米剪8米做根长跳绳剩2米做根短跳绳．做少根短跳绳？剩少米？
实战演练
1（2016•广州）两位数5余37余5两位数（ ）
A．72 B．37 C．33 D．68
2（2016•长沙）某学计算道法时误数35写成53商35余12正确商余数 ．
3（2016•东莞）三连续奇数645．三奇数中奇数 ．
4（2017•漳州）2整3整两位数 3整5整三位数 ．
5（2017•枞阳县）列式计算：数99商10余数整数数少？
6（2017•德化县）学校进行团体操表演行站20正站24排．果站成16排行需站少？
专题二 数运算
考点扫描
1四运算意义
（1）整数加法数加法分数加法意义：两数合成数运算
（2）整数减法数减法分数减法意义：已知两数中加数求加数运算
（3）整数法意义：求相加数简便运算
（4）数法意义：数整数整数法意义相数数求数十分百分……少
（5）整数分数意义：数分数求数分少
（6）分数整数意义：分数整数求相分数简便运算
（7）整数法数法分数法意义：已知两数积中数求数运算
2四运算计算方法
（1）加减法计算方法
①整数加法：相数位齐低位加起位数相加满十前位进
②整数减法：相数位齐低位减起位数够减前位退位加10减
③数加减法：计算数加减法时先数点齐（相数位齐）整数加减法法进行计算数里齐横线数点点数点
④分数加减法：分母分数相加减分母变分子相加减异分母分数相加减先通分然分母分数加减法法进行计算
（2）法计算方法
①整数法：低位高位分数位数数位求数末位位齐然次求积加起
②数法：先整数法法算出积数中位数积右边起数出位点数点
③分数法：分数整数分数分子整数相积作分子分母变分数分数分子相积作分子分母相积作分母
（3）法计算方法
①整数法：数高位起数位先数前位果前位数取位位商写位面次余数必须数求出商高位果数位够商1位写0
②数法：数整数时整数法进行计算商数点数数点齐数数时先数转化成整数时数扩相倍数然数整数法进行计算
③分数法：甲数乙数（0外）等甲数乙数倒数
3整数四运算中部分间关系
（1）加法：加数+加数加数－加数
（2）减法：差减数－减数减数减数－差减数减数+差
（3）法：积数×数数积÷数
（4）法：商数÷数数数÷商数数×商
4四运算定律运算性质
（1）运算定律
加法结合律：两数相加交换加数位置变：a+bb+a
加法结合律：三数相加先前两数相加加第三数者先面两数相加第相加变：a+b+c(a+b)+ca+(b+c)
法交换律：两数相交换数位置积变：a×bb×a
法结合律：三数相先前两数相第三数者先面两数相第数相积变：a×b×c(a×b)×ca×(b×c)
法分配律：两数数相等两数分数相两积加起：(a+b)×ca×c+b×ca×(b+c)a×b+a×c
（2）运算性质
减法运算性质：a－(b+c)a－b－c a－(b－c)a－b+c
法运算性质（数0）：
a÷(b×c)a÷b÷c a÷(b÷c)a÷b×c
(a+b)÷ca÷c+b÷c (a－b)÷ca÷c－b÷c
5 四混合运算序
四运算分两级：加法减法做第级运算法法做第二级运算
（1）没括号算式里果含级运算左右次计算果含两级运算先做第二级运算做第级运算
（2）括号算式里先算括号里面算中括号里面算括号外面
抛砖引玉
例1求加数简便运算做法 （判断错）
解析题考察整数法应法意义：求相加数简便运算法
答案：错误
例2道减法算式中减数减数差48减数（ ）
A．24 B．12 C．16 D．18
解析题考察整数加法减法根减数减数+差减数减数差减数2倍482求出减数2448÷224
答案：A
例3750÷90等（ ）
A．商8余3 B．商80余2 C．商8余30
解析题考察余数法根整数法计算750÷908…30商8余数30
答案：C
例4三位数位数商（ ）
A．两位数 B．三位数 C．三位数两位数
解析三位数位数先百位数字位数够够说百位数字位数数字较果位数相等够商百位三位数果百位数字位数百位十位数组成两位数位数商商十位两位数
答案：C
例5两数相商50余30果数数时缩10倍商余数（ ）
A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30
解析数数时缩10倍商50数缩10倍余数缩10倍3
答案：B
例6数18倍36求数半少？（ ）
A．36÷18÷2 B．36×18÷2 C．36÷18×05 D．36×18×05
解析题考察数四混合运算首先3618求出数少然2求出数半少36÷18÷220÷210
答案：A
例7算式补充完整
4× 24
30× 60
÷860
21÷ 7
÷39
30÷ 5
+80120
﹣3090
9× 81
÷660
解析题考察整数法应整数加法减法整数法应互逆关系（1）（2）（9）根数积÷数求解（3）（5）（10）根数数×商进行求解（4）（6）根数数÷商求解（7）根加数﹣加数求解（8）根减数减数+差求解
答案：
4× 6 24
30× 2 60
480 ÷860
21÷ 3 7
27 ÷39
30÷ 6 5
40 +80120
120 ﹣3090
9× 9 81
120 ÷660
例8
计算面题（简算简算）
200﹣180÷15×2
4671﹣681﹣319
×15×
÷（﹣）×
×+÷
÷[（+ ）×]
解析（1）先算法算法算减法
（2）根连续减两数减两数进行简算
（3）直接约分进行计算
（4）先计算括号减法计算法计算法
（5）倒数根法分配律进行简算
（6）先计算括号加法计算中括号法算法
答案：（1）200﹣180÷15×2 （2）4671﹣681﹣319
200﹣12×2 4671﹣（681+319）
200﹣24 4671﹣10
176 3671
（3）×15× （4）÷（﹣）×
9× ÷×
2 ××
（5）×+÷ （6）÷[（ + ）×]
×+× ÷[×]
×（+） ÷
×1 ×
3
例9动物园里头蓝鲸天吃450千克食物饲养员准备7吨食物够蓝鲸吃20天？
解析头蓝鲸天吃450千克食物20天需吃食物量20450千克45020求出需少千克根1吨1000千克换算成吨单位数7吨较
答案：解：450×209000（千克）
9000千克9吨
9吨＞7吨
够
沙场点兵
1已知○+△□列算式正确（ ）
A．○+□△ B．△+□○ C．□﹣△○
2 25×40结果中 0
3计算2274+（825﹣475÷25×4）第步应算（ ）
A．825﹣475 B．475÷25 C．25×4 D．2274+825
4 3×÷3×（ ）
A．1 B．0 C． D．9
5样简便样计算
（1）326×53+074×53 （2）×27+63÷5+
（3）+（16+）×10 （4）125×28×
6列式计算：
（1）数数201求数
（2） 1差商少？
实战演练
1（2016•广州）学+﹣×÷四种运算．现规定*种新运算．A*B表示2A﹣B：4*34×2﹣35．7*6*5 ．
2（2017•福建）五位数8□35△果数时235整□代表数字 △代表数字 ．
3（2015•济南）马虎计算139加位数时错误数末尾齐结果184．正确数应（ ）
A．45 B．634 C．589
4（2017•商河县）甲数840______乙数少？果求乙数算式840÷（l+）横线应补充条件（ ）
A．甲数乙数 B．甲数乙数少
C．乙数甲数 D．乙数甲数少
5（2016•龙湾区）20千米（ ）千米少20
A．24 B．16 C．22 D．25
6 （2017•南阳）（1）倒数差商少？（列综合算式）
（2）法算式中数数商余数147．已知商11余数2求数少？（方程）
专题三 代数式方程
考点扫描
1数运算
（1）四运算序：括号先算括号没括号先加减
（2）数法：数法整数法运算方法类似数成整数运整数法计算出
（3）快速出数法数位数：数法位数少取决两数数位数果数末尾数字相0出现位数减0数
（4）快速出整数法商位数：商位数取决数数位数差果数左边第位数左边第位商位数数数位数差果数左边第位数左边第位商位数数数位数差+1
（5）分数法：数等数倒数
（6）运算定律：①加法交换律：a+bb+a
②加法结合律：(a+b)+ca+(b+c)
③法交换律：a×bb×a
④法结合律：(a×b)×ca×(b×c)
⑤法分配律：a×c+b×c (a+b)×c
（7） 添括号括号运算序影响：式子中级运算时果括号前加法者法时括号括号符号改变果括号前减法者法时括号括号符号改变果添加括号前面加法者法括号符号改变果添加括号前减法法时括号符号改变
2简易方程
（1）四运算间部分关系：
加数加数 （例x+38样进行验算）
（2）解方程：数积÷数（例5×X18）
（3）减数差+减数（例x75） 减数减数差（例7x5）
（4）数商×数（例x÷75） 数数÷商（例21÷x3）
3等式性质
（1）方程两边时加（减）数左右两边然相等
方程两边时（0）数左右两边然相等
（解方程应注意：书写时注意先写解字行等号齐连等）
（2）解方程时量未知数等式边出现等式两边未知数情况（例：爸爸年龄子32岁子年龄9倍爸爸子少岁？根爸爸年龄—子年龄相差年龄等量关系式列方程）
（3）列方程解应题
列方程解应题字母代未知数根等量关系列出含未知数等式列出方程然解出未知数值列方程解应题优点未知数直接参加运算解类应题关键够正确设立未知数找出等量关系建立方程找出等量关系熟练运数量间种已知条件掌握两点正确列出方程
（4）列方程解应题般步骤：
①弄清题意找出已知条件求问题
②题意确定等量关系设未知数x
③根等量关系列出方程
④解方程
⑤检验写出答案
抛砖引玉
例1两根2米长电线第根全长第二根米剩电线（ ）
A．第根长 B．第二根长 C．样长 D．法较
解析第根：全长成单位1剩长度全长（1﹣）法求出剩长度第二根：全长减米剩长度．较剩长度求解．第根：2×（1﹣）2×（米）第二根：2﹣（米）<第二根剩长
答案：B
例2面道题括号掉影响计算结果？（ ）
A．（40+60）÷20 B．300÷（5×6） C．200﹣（60×2）
解析整数混合运算运算序逐分析出答案．A（40+60）÷20掉括号先算法算加法改变运算序影响计算结果B300÷（5×6）掉括号先算法算法改变运算序影响计算结果C200﹣（60×2）掉括号先算法算减法改变运算序影响计算结果
答案：C
例3甲袋A千克面粉乙袋B千克面粉果乙袋取出6千克放入甲袋中甲乙两袋重量相等列等式 ．
解析根乙袋取出6千克放入甲袋中甲乙两袋重量相等说明甲乙两袋相差6×212千克等式AB﹣12．根题意出：AB﹣6×2B﹣12B﹣A12
答案：B﹣A12．
例49千克盐均分装x瓶子里瓶装15千克．方程表示（ ）方程解（ ）
解析题意关系：瓶装千克数×瓶子数总重量列方程解答．设均分装x瓶子里15x9x6
答案：15x9x6
例5养殖场789鸡鸭少69鸭？（先写等量关系式两种方法列X解）
解析设鸭x方法：鸭数﹣鸡数鸡鸭少数x﹣78969
方法二：鸭数﹣鸡鸭少数鸡数x﹣69789．
答案：解：方法：等量关系：鸭数﹣鸡数鸡鸭少数
设鸭x
x﹣78969
x﹣789+78969+789
x858
方法二：等量关系：鸭数﹣鸡鸭少数鸡数
设鸭X
X﹣69789
X﹣69+69789+69
X858
答：鸭858
沙场点兵
1设a正整数b负整数c绝值数a﹣b+c（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
230x10倍25求x少？列方程（ ）
A．30+10x25 B．10x﹣2530 C．30﹣10x25
3 某音社外出租光盘收费方法：张光盘出租头两天天收08元天收05元张光盘出租第n天（n2然数）应收租金 元
4 辆汽车时行90千米样速度甲开乙行a时距乙b千米．含字母式子表示甲乙两路程 千米甲乙需 时
5 生产批电视机计划天生产m台生产a天适应市场需求需提前3天完成务．
（1）代数式表示实际天应生产少台
（2）m1000a28时天生产少台
实战演练
1（2016•泉州）甲数x乙数甲数3倍6求乙数算式（ ）
A．x÷3+6 B．（x+6）÷3 C．（x﹣6）÷3 D．3 x+6
2（2017•宜昌）客车时行a千米汽车时行b千米两车分甲乙两时出发c时相遇甲乙两距离（ ）
A．（a+b）c B．a+bc C．ab+c D．a+b+c
3（2017•绍兴）建筑工a吨水泥天b吨3天式子表示剩吨数 果a20b4剩 吨
4（2016•高邮市）求未知数x．
48﹣3x18 ：x：24 75x+65x28
5（2017•济南）求未知数x．
①3x﹣36×530
②x现三数456组成例求x．
6（2017•菏泽）x2倍3684求x．
专题四 例
考点扫描
1意义：两数相做两数
例632中：号读作
号前面数做前项号面数做项
前项项商做值
2前项项时（0外）相数值变做基性质
3例意义：表示两相等式子做例判定两否组成例组成例四数做项分项外项
4例基性质：例里两外项积等两项积做例基性质判定两否组成例重运例基性质解例
5解例：根例基性质果已知例中意三项求出例中外未知项求例中未知项做解例
6正例反例概念意义
正例意义：两种相关联量种量变化量着变化应两数值（商）定两种量做成正y：xk（K定值）
反例意义：两种相关联量种量变化应两数积定两种量做成反例量反例关系式：xyK（K定值）
抛砖引玉
例11757÷ 28÷ ．
解析解决题关键175175化成分数分子分母时25化成简分数分子分母7化成分子7做数分母4做数转化成法算式7÷47÷4数数4化成28÷16进行转化填空
答案：449167．
例2写出两值8 组成例 ．
解析意写出两值8进组成例．8：1816：288：116：2
答案：8：116：28：116：2．
例3先求填空回答面问题
（1）图中AB两正方形边长 周长 两组成例？
（2）AB两正方形面积 边长组成例？
解析判断两相关联量间成什例两量应值定应积定果值定成正例果积定成反例
答案：解：（1）图中AB两正方形边长5：101：2
周长（5×4）：（10×4）20：401：2
1：21：2两组成例
（2） AB两正方形面积：
（5×5）：（10×10）
25：100
1：4
1：4≠1：2边长组成例
例4解例：
（1）x：2： （2） （3）x：20 （4）x÷15
解析考查解例方法
答案：解：（1）x：2：
x2×
x÷÷
x
（2）
075x05×6
075x÷0753÷075
x4
（3）x：20
5x2×20
5x÷540÷5
x8
（4）x÷15
x
x÷÷
x
例5批化肥第次运走30吨第二次运走总数剩化肥运走化肥质量4：5批化肥少吨？
解析根剩化肥运走化肥重量4：5：两次运走化肥重量占总重量总数减第二次运走总数第次运走30吨应分率30应分率批化肥少吨
答案：解：4+59
30÷（﹣）
30÷
135（吨）
答：批化肥135吨
沙场点兵
13：8 组成例（ ）
A．8：3 B．02：05 C．15：40 D．7：21
2甲数等乙数（甲数乙数0）甲数乙数（ ）
A．： B．6：5 C．5：6 D．：
3圆锥底面半径圆柱底面直径相等二者高相等．圆锥体圆柱体体积（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：3 D．4：3
4解方程解例：
x：1014：13 21x78
13：1889：x 2x+3092
5运批货物运走剩3：7果运走30吨剩货物占原货物批货物原少吨？
实战演练
1（2017•杭州）03：( )( )( )折( )成
2（2017•杭州）钟面时针转速分针转速（ ）
A．1：60 B．1：12 C．12：1 D．60：1
3（2016•广州）甲数乙数少25甲数乙数简整数（ ）
A．1：4 B．4：1 C．3：4 D．4：3
4（2016•温州）求未知数x．
x：2： +x
5（2016•武汉）操作题
（1）请正方形中画圆
（2）果该正方形面积4方厘米计算正方形面积圆面积
6（2016•温州）明读书午读部分时读页数未读页数1：9午午读6页时已读页数未读页数变成1：3书少页？
专题五 探索规律
考点扫描
1数字规律
（1）数列：定次序排列列数做数列
数列中规律
①规律隐含相邻两数差中
②规律隐含相邻两数倍数中
③前项组组单位隐含定规律
④相隔项间存着定规律
⑤数列项分项数方数
⑥数列中项前项
2图形规律
（1）图形规律指根组相关图形总结出图形变化反映规律
（2）解决图形规律问题方法两种种数字图形图形转化成数字规律数字规律解决问题种通图形直观性图形变化中直接寻找规律
3算式中规律
（1）利计算器独立探索发现规律
（2）利规律完成计算
抛砖引玉
例1找出列数列规律规律( )填合适数：
(1) 471013( )( )
(2) 847260( )( )
(3) 2618( )( )
(4) 62512525( )( )
(5) 14916( )
(6) 261220( )( )
解析通已知数前两项观察分析发现：
(1)规律：前项+3项应填16
(2)规律：前项12项应填4836
(3)规律：前项×3项应填54162
(4)规律：前项÷5项应填51
(5)规律：数列项次11×142×2 93×3164×4应填5×525
(6)规律：数列项次21×262×3123×4204×5应填 5×6306×742
答案：（1）16（2）4836（3）54162（4）51（5）25（6）3042
例2寻找规律填数：
（1）
（2）
（1）_______________
（2）_______________
解析（1）考察两数差321616311516331716知面？351619面？18+1634
（2）左右135？9…知12面？7681012？…知9面？14
答案：（1）1934（2）714
例3列组图形中寻找规律规律？处填合适数：
（1）
（2）
解析（1）观察前两图形中数知圆圈数等三圆圈数积半第三图形中？5×3×8÷260第四图形中？(21×2)÷3÷27（2）观察前两图形中已知数发现108+53 87+43三角形里面数减三角形外面数中间圆圈数第三图形中？12+158第四图形中？7+153
答案：（1）607（2）83
例4寻找规律填数：
1×9+211
12×9+3111
123×9+41111
（ ）×9+511111
1234567×9+（ ）11111111
解析第数次：112123……然数序次末尾数字第二数9加数第数位数1加数结果1组成整数
1×9+21112×9+3111123×9+411111234×9+5111111234567×9+81111111
答案：12348
沙场点兵
1找出列数列规律规律( )填合适数：
（1）18202430( )
（2）1112141826( )
（3）25112347( )( )
2寻找规律空格填数：
（1）
（2）
3列表格中寻找规律求出？：
（1） （2）
（1）___________ （2）___________
4图火柴棒面图示横着拼正方形拼出10正方形时______根火柴棒
5观察规律：123456789×91111111101
123456789×182222222202
123456789×273333333303
：123456789×36_______________
123456789×72_______________
实战演练
1(2013•长沙)发现规律10等式：1+234+5+67+89+10+11+1213+14+15第10等式左右两边_______
2（2016•广州）黑白两种颜色正方形纸片黑色纸片数逐渐加1规律拼成列图案：图示
（1）第4图案中白色纸片少张？
（2）第n图案中白色纸片少张？
3（2016•广州）规律填空：224610162642（ ）（ ）
4（2016•北京）计算根3600÷18200直接写出面题数
（1）36÷18（ ） （2）900÷18（ ）
（3）3600÷72（ ） （4）360÷72（ ）
5(2017•武汉)观察图形找规律：
（1）图形变化规律填表：
正方形数
1
2
3
4
5
…
直角三角形数
0
4
8
…
（2）果画8正方形_____直角三角形画n正方形______直角三角形
专题六 面积计算
考点扫描
1面图形周长面积意义
（1）周长：封闭图形周长度周长
（2）面积：物体表面围城面图形
2面图形周长面积
（1）周长面积公式：
长方形：周长（长+宽）×2面积长×宽
正方形：周长边长×4 面积边长×边长
行四边形：面积底×高
三角形：面积底×高÷2
梯形：面积（底+底）×高÷2中位线×高
圆：周长直径×半径×2面积半径×半径×
扇形：面积半径×半径××
提示求规四边形周长时采移方法变成基图形利周长计算公式计算
（2） 计算组合图形面积组合图形分解成已学图形通移割补等量代换等方法解决
抛砖引玉
例1明长25米篱笆围城面墙养鸡栏（图）养鸡栏面积少？
解析解答题关键求出梯形底必求出底底长题求出长度题属梯形面积计算梯形面积(底+底)×高÷2根图意知篱笆总长减6m梯形底根图形公式数代入计算
答案：（256)×3÷2
19×3÷2
285(m2)(梯形面积)
答：养鸡栏面积285方米
例2已知梯形底20厘米底34厘米中阴影部分面积442方厘米求梯形面积
解析阴影部分三角形知道面积底三角形面积公式求出高梯形高然利梯形面积公式求出梯形面积
答案：三角形高：442×2÷3426（厘米）
梯形面积：（20+34）×26÷2
54×26÷2
702（方厘米）
答：梯形面积702方厘米
例3运动场（图）两头半圆形中间长方形运动场周长少米？面积少方米？
解析题考查面图形周长面积意义理解运动场周长指围成运动场周长圆周长长方形两条长边运动场面积圆面积长方形面积
答案：运动场周长：
125×2+314×50
250+157
407（米）
运动场面积：
125×50+314×（50÷2）2
6250+19625
82125（方米）
答：运动场周长407米．面积82125方米
例4图半圆点O 圆心半径3厘米梯形ACDE底半圆直径条直线底2厘米底4厘米求图阴影部分面积
解析题考查组合图形面积割补方法题中求阴影部分面积两块便求解运割补法两块阴影合成块左边阴影切割移动右边割补整阴影部分梯形直接利梯形面积公式求出该阴影部分面积
答案：（2+4）×3÷2
6×3÷2
18÷2
9（方厘米）
答：阴影部分面积9方厘米
例5图两相直角梯形重叠成图中标出三数(单位：厘米)图中阴影部分面积少方厘米？
解析重叠部分两相直角梯形组成公部分阴影部分面积等面空白部分梯形面积：底1028厘米底10厘米高3厘米然代入梯形计算公式解答
答案：(10−2+10)×3÷2
18×3÷2
27(方厘米)
答：阴影部分面积27方厘米
例6图圆周长328厘米圆面积长方形面积正相等图中阴影部分周长少厘米？
解析求阴影部分周长先阴影部分长方形宽圆半径r已知圆面积长方形面积相等圆面积πr2长方形面积长方形长×rπr2长方形长×r两条长相圆周长阴影部分周长：圆周长+圆周长圆周长解答
答案：328×41(厘米)
答：阴影部分周长41厘米
沙场点兵
132米长篱笆墙方围块直角梯形菜块菜占面积少方米？
2东东家块梯形菜底15米底28米中阴影部分种白菜种白菜部分面积140方米梯形菜面积少方米？
3求面图形面积（单位：厘米）
4求图中阴影面积（单位：厘米）
5图两完全样分图中阴影部分面积少方厘米？(单位：厘米)
6图圆周长20厘米圆面积长方形面积相等阴影部分周长（ ）厘米
实战演练
1（2016•泸西县）图梯形底长5厘米底长8厘米已知阴影部分面积24方厘米求梯形面积
2（2016•天津）图圆周长628厘米圆面积长方形面积相等图中阴影部分面积少方厘米？
3（2017•杭州）正方形ABCD边长1cm图中4弓形面积少？
4（2016•广州）求阴影部分面积（单位：分米）
5（2017•海）图块长方形草坪长16米宽10米中间两条路条长方形条行四边形草部分(阴影部分)面积？(单位：米)
专题七 立体图形
考点扫描
1长方体正方体意义联系
（1）长方体定义：六长方形（特殊情况两相面正方形）围成立体图形作长方体
（2）正方体定义：六完全相正方形围成立体图形作正方体特殊长方体长宽高相等长方体
（3）长方体正方体特征相点点
名称
长方体
正方体
相点
面
6
棱
12条
顶点
8
点
面形状
6面长方形2相面正方形
6面相正方形
面
相面面积相等
6面面积相等
棱长度
组互相行4条棱长度相等
12条棱长度相等
2圆柱圆锥定义特征
（1）圆柱定义：长方形条边直线轴旋转周体作圆柱
（2）圆锥定义：直角三角形条直角边直线轴旋转周体作圆锥
（3）圆柱圆锥特征：
名称
较
面
高
圆柱
三面两底面面积相等圆侧面高展开长方形正方形长方形长底面周长宽圆柱高
圆柱两底面垂直距离作圆柱高高垂直两底面圆柱数条高
圆锥
两面面圆侧面展开扇形
圆锥顶点圆锥顶点底面圆心垂直距离圆锥高圆锥条高
3观察物体
（1）站位置物体形状
（2）生活实际中常三视图法画立体图形分正面面侧面三方物体然三张图描述图形
4体积容积
（1）体积：物体占空间作物体体积体积通常V表示常体积单位立方米立方分米立方厘米
（2）容积：容器容纳物体体积作容积容量常容积单位升毫升体积容积单位间换算：1立方分米1升1立方厘米1毫升
5立体图形侧面积表面积体积计算公式
名称
图形
字母意义
侧面积
表面积
体积
长方体
a长
b宽
h高
S侧2(a+b)h
S2(ab+ah+bh)
Vabh
正方体
a棱长
S侧4a2
S6a2
Va3
圆柱
S底面积
r底面半径
h高
C底面周长
S侧Ch2πrh
S表面积Ch+2πr2
Vπr3
圆锥
S底面积
r底面半径
h高
R扇形半径
n扇形圆心角
S侧
S表面积+S底面积
Vπr2 h
抛砖引玉
例1判断：
（1）6面12条棱8顶点物体长方形（ ）
（2）果物体两面面积相等两圆物体定圆柱（ ）
解析题旨考查学生立体图形特征掌握情况（1）必须强调6面面长方形判定长方体（2）必须强调粗细相判断圆柱
答案：（1）×（2）×
例2正方体表面全部涂成红色果切割成27正方体（图示）正方体中面红色两面红色三面红色少？
解析正方体切割成正方体面红色正方体面中间块两面红色正方体条棱中间块三面红色位顶点处块正方体六面12条棱8顶点面红色6两面红色12三面红色8
答案：分：6128
例3图正面形状（ ）左面形状（ ）面形状( )
A B C
解析正面前面图形左边竖着两正方形边横着三左面图形左边竖着两正方形面竖着2面图形排三正方形排左侧
答案：BAC
例4圆柱形游泳池底面直径40米水深2米
（1） 游泳池占面积少方米？
（2） 围绕游泳池周围护栏护栏长少米？
（3） 挖成游泳池需挖土少立方米？
（4） 游泳池侧面池底抹层水泥抹水泥面积少方米？
解析立体图形测量实际生活联系先确定问求什：（1）求圆柱底面积（2）求圆柱底面周长（3）求圆柱体积（4）求圆柱侧面积底面积
答案：（1）314×（40÷2）21256（方米）
答：游泳池占面积1256方米
（2）314×401256（方米）
答：护栏长1256方米
（3）1256×22512（立方米）
答：需挖土2512立方米
（4）1256×2+125615072（方米）
答：抹水泥面积15072方米
例5某学组弄清规物体体积进行操作测量
（1） 明准备长方体玻璃钢测量出玻璃钢壁长6分米宽高4分米
（2） 兰玻璃缸中倒入2分米深水
（3） 红物体放入玻璃缸中发现水正淹没物体
（4） 强测出水面升2厘米
（5） 华称出质量1250千克
请根测量结果算出规物体体积
解析物体完全浸没水中时升高水体积等规物体体积规物体体积等长6分米宽4分米高2厘米长方体体积
答案：2厘米02分米
6×4×0248（立方分米）
沙场点兵
1 图（ ）表面展开图高（ ）侧面积（ ）方厘米底面积（ ）方厘米
3cm
628cm
2 5正方体搭成立体图形面形状左面形状立体图形（ ）
A B C
3盖正方形纸盒底标字母M剪开展成面图形想想面图形（ ）（ ）
M
M
M
M
A B C
4 面图形长方体前面面图形请画出面图形标明尺寸求出表面积体积（单位：cm）
6 6
10 8
5 图块长方形铁皮利图中阴影部分刚做成油桶（接头处忽略计）求油桶容积（π取314）
实战演练
1 （2017•河南）郑两骰子面点数符合规：骰子相两面点数7面4骰子展开图中两郑骰子（ ）
Ⅰ6
3
2
5
4
1
Ⅱ4
3
5
6
1
2
Ⅲ6
4
1
5
2
3
Ⅳ4
6
2
5
1
3
AⅠⅡ BⅡⅢ CⅢⅣ DⅠⅣ
2 （2017•河南）郑积木玩具（图左）角度观察项？（ ）
A B C D
3 （2017•河南）感谢家郑端出蛋糕右图蛋糕长30cm宽30cm高20cm长方体先蛋糕表面浇满层薄薄巧克力（巧克力法渗透底座）然切成干块均1000cm3正方体蛋糕请根条件作答
（1） 切成（ ）块蛋糕
（2） 面巧克力蛋糕（ ）块
（3） 两面巧克力蛋糕（ ）块
（4） 三面巧克力蛋糕（ ）块
4 （2016•河南）列图明画长方体展开图认正确（ ）
A B
C D
5（2016•河南）长方体形状蛋糕盒长宽30cm高12cm果根绳子捆扎（图）结处长15cm需绳子长_________cm
专题八 统计概率
考点扫描
1统计表
（1）单式统计表：组统计项目统计表做单式统计表
（2）复式统计表：两组两组统计项目统计表做复式统计表
（3）制作统计表步骤：
①搜集整理数
②确定表格式栏目数量根纸张制成表格
③填写栏目项目名称填写数
④计算总计合计填入表中般总计放横栏左格合计放竖栏格
⑤写表格名称注明制表时间
2统计图
（1）条形统计图折线统计图扇形统计图特点作：
条形统计图
折线统计图
扇形统计图
特点
单位长度表示定数量
整圆面积表示总数圆扇形面积表示部分占总数百分数
直条长短表示数量少
折线起伏表示数量增减变化
作
图中清楚出数量少便相互较
图中清楚出数量增减变化情况出数量少
图中清楚出部分总数百分部分部分间关系
（2）绘制条形统计图步骤：
①根图纸画出两条互相垂直射线
②水射线（横轴）适分配条形位置确定直条宽度间隔
③水射线垂直射线（轴）根数具体情况确定单位长度
④数画出长短直条注明数
⑤写统计图名称标明制图时间
（3）会根统计图表进行数分析提出问题作出简单判断预测决策
均数中位数众数三常见统计量
①均数：求均数实质数量总量（）变情况通移补少变相等求均数基数量关系式：总数量÷总份数均数解题关键根已知条件确定总数量相应总份数
②中位数：调查组数序排列起中处正中间数做组数中位数果数偶数时取正中间两计算两数均数作该组数中位数
③众数：组数中出现次数数做组数众数果组数出现次数数组数众数
3性
（1）性：什情况会发生事件定会发生事件情况会发生事件 发生事件某种情况会发生情况会发生事件会发生事件
（2）性：发生事件中果出现该事件情况较说该事件发生性较果出现该事件情况较少说该事件发生性较
（3）游戏规公性公性参游戏活动象获胜性相等
抛砖引玉
例1列调查方式合适（ ）
A解炮弹杀伤力采普查方式
B解全国中学生睡眠状况采普查方式
C解保护水资源意识采抽样调查方式
D载航天器神舟六号零部件检查采抽样调查方式
解析A解炮弹杀伤力具破坏性应抽象调查选项错误B．解全国中学生睡眠状况数耗时长应采抽样调查方式选项错误C．解保护水资源意识数普查时间长应采抽样调查正确D．载航天器神舟六号零部件检查零部件数量限零部件关系飞行安全应该采全面调查选项错误
答案：C
例2布袋中红球8白球5黑球12颜色外没区机袋中取出1球黑球概率（ ）
A B C D
解析红球8白球5黑球1225黑球13机袋中取出1球黑球概率
答案：D
例3面申报2008年奥运会办城市票情况统计图
60
50
40
30
20
10
0
56
23
18
9
北京 伦 巴黎 伊斯坦布尔
单位：票
（1）四申办城市票总数（ ）票
（2）北京（ ）票占票总数（ ）％
（3）投票结果出报纸电视说：北京票数遥遥领先什样说？
解析（1）56+23+18+9106(票)（2）56÷106528（3）条形统计图中明显出北京票数远远超三国家票数报纸电视说：北京票数遥遥领先
答案：（1）106（2）56528（3）条形统计图中明显出北京票数远远超三国家票数
例4根统计图回答列问题：
明家4月水费统计图
A B C D
85
94
62
27
费元
月份
0
20
40
60
80
100
120
（1）明家4月均水费少元？
（2）估计C月月？理什？
（3）预测明家接月水费少元？说说理
解析（1）（27+62+94+85）÷467（元）（2）估计C月7月天气越越热洗澡水量（3）天气渐渐变凉水量会越越少
答案：（1）67（2）7月（3）合理
沙场点兵
1说法合理（ ）
A明10次抛图钉试验中发现3次钉尖说钉尖概率30
B抛掷枚普通正六面体骰子出现6概率16意思6次1次掷6
C某彩票中奖机会2果买100张彩票定会2张中奖
D次课堂进行试验中甲乙两组学估计硬币落正面概率分048051
2透明布袋中红色黑色白色玻璃40颜色外完全相．李通次摸球试验发现中摸红色黑色球频率稳定1545口袋中白色球数（ ）
A6 B16 C18 D24
3六（1）班参加植树活动班问班长出勤情况班长说：班50没全部齐部分出勤率（ ）
A48 B50 C100 D96
4果甲邀请乙玩时抛掷两枚硬币游戏游戏规：时抛出两正面乙1分抛出结果甲1分 谁先累积10分谁获胜认 （填甲乙）获胜性更
5面记录六（1）班第组学生期中考试成绩（单位：分）
83898155627078948497861006675
请根面记录分数填写表回答问题
分数
合计
100
9099
8089
7079
6069
60分
数
（1）该组均成绩（ ）分
（2）优秀率（接满分80分计算）（ ）
（3）格率（ ）
（4）优秀学生学生（ ）（ ）
实战演练
1（2017•盐城）李红面靶掷块石头（四靶相等均等分）击中靶阴影部分？（ ）
A． B． C． D．
2（2016•保定）笑笑做100次投币实验正面62次反面38次．继续做第101次实验性（ ）
A．正面．前面100次情况分析正面性
B．反面．正面出现次数够该出现反面
C．正面反面性占半
3（2017•许昌）虎家区旁路口统计1分钟车流量根统计结果进行预测列说法合理（ ）
车型
汽车
公汽车
面包车
电瓶车
辆数
24
18
18
10
A．辆出现面包车
B．辆出现性四种车
C．辆出现汽车性
D．辆出现电瓶车性
4（2017•绍兴）抽屉中10球意摸出球然放进抽屉摸出方法摸球刚连续摸10次次摸球情况表．
摸球次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
摸出球颜色
红
黄
红
红
黄
红
红
红
红
黄
根面摸球情况推测抽屉中 色球绿色球
5 （2016•泰州）箱子里放着黄色乒乓球估计球数量20白色乒乓球放入箱子中充分搅拌混合意摸出30球发现中3白球估计箱子里原约少黄色乒乓球？
6（2008•武昌区）盒子里放60形状质量样球分红球白球黄球摸出红球性设计两种方案？请写出
专题九 应题（）行程问题工程问题
沙场点兵
行程问题历年升初考试重点学校行程压轴题处理见学校行程重视程度行程题身题干长模型样变化众学生说处理起头疼学校考察重点充分体现学生题目分析力
1 行程问题基公式
（1）基公式：路程＝速度×时间
（2）基类型：相遇问题：速度×相遇时间＝相遇路程
追问题：速度差×追时间＝路程差
流水问题：关键抓住水速追相遇时间产生影响
水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（水速度＋逆水速度）÷2水速＝（水速度－逆水速度）÷2
（水速度逆水速度船速水速4量中2求外2）
（3）问题：利相应知识解决差分倍盈亏
（4）复杂行程
①次相遇问题②环形行程问题③运例方程等解复杂题
2 工程问题基公式
（1）工作总量工作效率×工作时间
（2）工作效率工作总量÷工作时间
（3）工作时间工作总量÷工作效率
基思路：①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
抛砖引玉
例1某AB均速度3米秒原路返回时秒行7米回均速度（ ）米秒
A．42 B．48 C．5 D．54
解析首先根速度×时间路程路程定时速度时间成反时返回时时间7：3然设时时间7t秒返回时间3t秒根路程÷时间速度两间距离2倍回时间求出回均速度少
答案：A
例2虎早家学校学走13千米走03千米发现没带数学作业回家取．样时学走（ ）千米
A．1 B．16 C．06 D．03
解析走03千米发现没带数学作业回家取样时学走路程203千米．解答．03×206（千米）
答案：C
例3李王字员．样份稿件李54分钟王需时． 字速度快
解析样份稿件说明工作量相较两需时间时间长速度慢时间短速度快求解．时50分钟54＞50
答案：王
例4修条水渠甲工程队20天完成乙工程队30天完成．两队合修 天
解析条水渠长度作单位1单独修甲队20天完成乙队30天完成．甲天工作效率乙天工作效率根工作量÷工作效率合作时间解答
答案：12．
例5录入份稿件甲单独录入12时完成乙单独录入15时完成现甲乙起录入少时完成份稿件？
解析份稿件总量作单位1两工作效率根工作量÷效率合作时间列式解答
答案：解：÷（+）
÷
（时）
答：时完成份稿件
沙场点兵
1项工程甲单独完成需12天甲乙合作需8天乙单独完成需（ ）天
A．4 B．8 C．12 D．24
2某山速度时2千米山速度时4千米山山均速度时（ ）千米
A．3 B． C．32 D．法求解
3加工种零件明8分钟林10分钟．明林工作效率 明工作效率林高
4工厂买米608千克已吃4天天吃52千克剩吃8天吃完剩均天吃少千克？
5县城省城铁路长595千米．列火车县城省城原需7时火车提速需5时．火车提速时原行少千米？
实战演练
1（2016•新乡）甲乙两车时两相行距中点14千米方相遇两车相遇时行路程差（ ）千米
A．7 B．14 C．28 D．42
2甲45秒做3零件乙做零件20秒丙1分钟做5零件．工作效率高（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．确定
3（2016•安阳）李老师书店买书带钱正买20山水画书者32物画书果李老师买8物画书剩钱买15山水画书 （判断错）
4（2017•濮阳）明坡速度时36千米坡时时45千米斜坡明先坡原路返回18时段斜坡全长 千米
5（2016•广州）甲乙两车AB两午8时时出发相行．知甲速度乙速度快2千米时午10点两车相距36千米继续前行2时两车相距36千米求AB两距离？
6（2017•深圳）项工程甲独做10天完成乙独做12天完成现两合做完成工资2200元果完成工程量分配工资甲乙分少元？
专题十 应题（二）分数百分数应题
考点扫描
1解决分数应题关键找标准量单位1单位1已知法解决单位1未知法解决
2找单位1：分率句中分率前面占面
3写数量关系式技巧：
（1）相×占相
（2）分率前：单位1量×分率分率应量
（3）分率前少意思： 单位1量×（1 分率）分率应量
4类型：
（1）求单位1量分少：单位1量×分
（2）已知单位1分少求单位1量
（3）求甲乙（少）分规律：甲乙差÷乙
（4）已知甲乙（少）分求甲规律：乙数×（1±分）
（5）已知甲乙（少）分求乙规律：甲数÷（1±分）
5求数数百分：数÷数×100
百分数意义：表示数数百分数百分数百分率百分
6已知数求数百分少数×百分数
7数数（少）百分 数数（少）量÷数
8差倍倍问题：解倍差倍问题题目时注意找准单位1量通常情况设单位1量ｘ量单位1间关系含ｘ式子表示出量根差列出方程
9应该缴纳税款做应纳税额应纳税额种收入率做税率
应纳税额收入×税率
10利息利率问题：存入银行钱做金取款时银行金外外付钱做利息利息占金百分率做利率 利息金×利率×时间
11折问题：折十分百分十商品现价 商品原价 × 折数
12盈利亏问题
13浓度问题：关浓度计算百分数应题重容解答浓度问题时首先弄清关浓度问题概念
溶剂：溶解物质液体水溶解盐糖等
溶质：溶解物质盐糖等水溶解
溶液：溶质溶剂组成液体盐水糖水等
浓度：溶质溶液值浓度通常百分数表示百分浓度盐盐水值做盐水浓度
面概念引申出关系式：
溶质重量+溶剂重量溶液重量
溶质重量÷溶液重量浓度
溶液重量×浓度溶质重量
溶质重量÷浓度溶液重量
思维：解答浓度问题时牢牢抓住题目中变量基础灵活运关系式
方法：方程解答类问题方法
抛砖引玉
例1种纺织品合格率98300件产品中（ ）件合格
A2 B4 C6 D294
解析题考查知识点数百分少数×百分数求数题中合格件数300×98294（件） 合格件数3002946（件）
答案：C
例2养鸡场养鸡3000总数蛋鸡蛋鸡少？
解析解决类问题首先找单位1什单位1已知未知单位1已知法解决单位1未知法解决题意知鸡总数量做单位1单位1已知法进行解答3000蛋鸡数量
答案：3000×1800（）
例3种洗发液瓶装450克瓶装200克瓶装瓶装分？
解析求甲乙分规律：甲乙量÷乙题意瓶装瓶装分等瓶瓶装量差瓶装量
答案：（450200）÷200
例4益民五金公司年营业总额400万元果营业额3％缴纳营业税年应缴纳营业税少万元？
解析题考查纳税问题应该缴纳税款做应纳税额应纳税额种收入率做税率果营业额3％缴纳营业税营业额作单位1缴纳营业税占营业额3％400万元3％求数百分少法计算计算时百分数化成分数数计算
答案：400×3％ 400×310012（万元）400×3％400×00312（万元）
答：年应缴纳营业税12万元
例5浓度25食盐水400克浓度5食盐水100克混合求混合食盐溶液浓度
解析题考查两种溶液混合配制问题混合前溶液总重量变混合前两种溶液中含盐总混合溶液中含盐量
答案：400×25100（克）
100×55（克）
（100+5）÷（400+100）×10021
答：混合食盐溶液浓度21
例6某商店时卖出两件商品件30元中件盈利20％件亏20％商店卖出两件商品总体盈利亏？具体少？
解析盈利20％售出价成价（1 + 20％）亏20％售出价成价（120％）两件商品售出价30元分算出两件商品成价
答案：30÷（1+20％）25（元）
30÷（120％）375（元）
25+375625（元）
625–6025（元）
答：商店卖出两件商品总体亏亏25元
沙场点兵
1 饲养场养鸭1200养鸡鸭求养鸡少？
2学校建座教学楼投资180万元计划节省计划投资少万元？
3王叔叔买辆价值16000元摩托车规定买摩托车缴纳10％车辆购置税王叔叔买辆摩托车花少钱？
4 方明1500元存入银行定期二年年利率450％两年方明取款时5％缴纳利息税期方明实利息少元？
5某商品果现价18元出售亏25％原成少元？果想盈利25％应少元出售该商品？
实战演练
1（2016•静海）2015年2月份阴天晴天少雪天晴天少月晴天（ ）
A．15天 B．10天 C．20天
2（2017•新乡）种商品价格第次降价20接着涨价20结果原价相（ ）
A．变 B．降低40 C．提高4 D．降低4
3（2017•信阳）六年级1班男生20女生25男生女生少 女生男生
4（2017•诸暨）某公司震汶川建希学实际投资550万元计划超额20万元超额百分？（数百分号前保留整数）
5（2017•瑞安）市学开展奉献爱心情系灾区募捐活动五年级捐款占全校总捐款六年级捐款占全校总捐款两年级捐款6000元．学募捐少元？
6 （2016•三门峡）双运动鞋7折出售原便宜255元．双运动鞋原价少元？
专题十 应题（三）应题（鸡兔笼优化问题等）
考点扫描
1 牛吃草问题
牛吃草问题称消长问题17世纪英国伟科学家牛顿提出典型牛吃草问题条件假设草生长速度固定变头数牛吃光片草需天数相求干头牛吃片草吃少天吃天数草天天生长草存量着吃天数断变化解决牛吃草问题常四基公式分：
（1）草生长速度（应牛头数×吃较天数﹣相应牛头数×吃较少天数）÷（吃较天数﹣吃较少天数）
（2）原草量牛头数×吃天数﹣草生长速度×吃天数
（3）吃天数原草量÷（牛头数﹣草生长速度）
（4）牛头数原草量÷吃天数+草生长速度
四公式解决消长问题基础
（5）牛吃草程中草断生长解决消长问题重点想办法变化中找变量．牧场原草变新长草然变化匀速生长天新长出草量应该变．正变量够导出面四基公式
2鸡兔笼问题
（1）方法：假设法方程法抬腿法列表法
（2）公式1：（兔脚数×总数﹣总脚数）÷（兔脚数﹣鸡脚数）鸡数总数﹣鸡数兔数
公式2：（ 总脚数﹣鸡脚数×总数）÷（兔脚数﹣鸡脚数）兔数 总数﹣兔数鸡数
公式3：总脚数÷2﹣总头数兔数 总数﹣兔数鸡数
公式4：鸡数（4×鸡兔总数﹣鸡兔总脚数）÷2 兔数鸡兔总数﹣鸡数
公式5：兔总数（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总数）÷2 鸡数鸡兔总数﹣兔总数
公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2鸡
公式7：4×+2（总数﹣x）总脚数 （x兔总数﹣x鸡数方程）
公式8：鸡数：鸡数鸡脚数﹣（总脚数÷总数）：（总脚数÷总数）﹣鸡脚数
抛砖引玉
例1牧场已知养牛54头6天草吃养牛46头9天草吃．果养牛42头天牧场草吃呢？
解析头牛天吃牧草作1：牧场原草6天新长草54头牛6天吃牧草：54×6324求出牧场原草9天新长草46头牛9天吃牧草：46×94141天新长草：（414324）÷（96）30牧场原草：54×630×6144天新长草足够30头牛吃42头牛减30头剩12头吃原牧场草求．
答案：（1）54头牛6天吃牧草：54×6324
（2）46头牛9天吃牧草：46×9414
（3）1天新长草：（414324）÷（96）30
（4）牧场原草：54×630×6144
（5）天新长草足够30头牛吃42头牛减30头剩12头吃原牧场草：144÷（4230）12（天）
答：养42头牛12天牧场草吃
例2桶酒天桶裂缝漏掉等量酒现桶酒果6喝4天喝完果4喝5天喝完．桶酒天漏掉酒供喝天？
解析设1天饮酒量1份天漏酒量：（6×4﹣4×5）÷（5﹣4）4（份）求出桶酒天漏掉酒供喝天
答案：解：设1天饮酒量1份
天漏酒量：
（6×4﹣4×5）÷（5﹣4）
4÷1
4（份）
4÷14（）
答：桶酒天漏掉酒供4喝天
例3明玩抛硬币游戏规：枚硬币抛起落正面前走15步背面退10步明抛10次结果前走100步硬币正面少次？背面少？
解析落正面前走15步背面退10步硬币次正面次背面走步数相差10+1525（步）弄清关系解道题难
答案：解：假设10次全正面前走步数：
15×10150（步）
实际相差步数：15010050（步）
背面次数：50÷（10+15）2（次）
正面次数：1028（次）
答：硬币正面8次背面2次
例4白兔晴天天拔24萝卜雨天天拔16萝卜天拔168萝卜均天拔21学请算算天天晴天？
解析拔168萝卜均天拔21求出拔168÷218天假设8天全雨天拔萝卜16×8128已知168少16812840晴天雨天拔24168求出晴天40÷85天
答案：168÷218（天）
（16816×8）÷（2416）5（天）
答：晴天5天
例5托运玻璃仪器250箱合规定箱运费20元损失损坏箱仅运费箱赔偿损失费100元运输结算时想获运费损坏少箱？
解析假设运输结算时获运费0元果没损坏会获运费：20×2505000（元）两者相差5000元损坏箱会少运费：100+20120（元）根两差求出损坏箱数列式：5000÷120≈417（箱）损坏41箱
答案：解：假设运输结算时获运费0元
（20×2500）÷（100+20）
5000÷120
≈417（箱）
≈41（箱）
答：运输结算时想获运费损坏41箱
沙场点兵
1某演唱会检票前干分钟观众开始排队等候入场分钟观众数样．开始检票等候队伍消失时开4入场口需50分钟时开6入场口需30分钟．问果时开7入场口需分钟（ ）
A．18分钟 B．20分钟 C．22分钟 D．25分钟
2停车场摩托车汽车50辆车轮总数160停车场汽车（ ）辆
A．30 B．20 C．25
3夏令营活动中48位学生参观科普展览．售票处规定门票券10元十券张70元．购买门票少 元
4牧场片匀速生产草供27头牛吃6周者供23头牛吃9周果草场面积扩原3倍供54头牛吃周？
5美宇公司准备105名工购套工作服．三家商场符合求服装套服装定价260元．三家商场优惠情况：A商场：次购买50套顾客七五折B商场：买十送三C商场：买四送
（1）应该家商场购买较合算？
（2）美宇公司花少钱买批工作服？
6次捐款活动中六年级灾区朋友捐款450元全10元纸币5元纸币50张10元5元纸币少张？
实战演练
1（2017•泉州）鸡兔笼问题国古代数学名题孙子算中记载题目样：鸡兔笼三十五头九十四足问鸡兔？学出古代名题结果（ ）
A．鸡23兔12 B．鸡12兔23 C．鸡14兔21
2（2017•成）五期间甲商场五折方式优惠乙商场满200送100元优惠券措施优惠．妈妈算花900元购物（ ）商场较合算．
A．甲 B．乙 C．甲乙均 D．法确定
3（2016•周口）种洗衣粉甲乙丙三商店售价袋6元现三商店分方式促销甲商店优惠15乙商店满100元优惠25丙商店买4送．果买10袋种洗衣粉想花少钱应该 购买需花 元
4（2014•长沙）牧场牧草天匀速生长供9头牛吃12天供8头牛吃16天现开始4头牛吃第7天开始增加干头牛6天吃光草问增加 头牛
5（2014•南京）六童节六（2）班木偶戏购买50张票中部分张15元部分张20元总票价880元．两种票买少张？
6 （2017•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动天该专卖店购买商品两种方案：
方案：168元购买会员卡成会员会员卡购买商店意商品律商品价格八折优惠
方案二：购买会员卡购买商店商品律商品价格九五折优惠
已知芳5月1日前该商店会员
（1）芳购买会员卡购买件商品时付380元．购买件商品优惠少元？
（2）请帮芳算算购买商品超少元时采方案更合算？
专题十二 数学拓展（抽屉原理容斥原理方阵问题时钟问题等）
考点扫描
1抽屉原理
（1）抽屉原理定义
般情况n+1n+1苹果放n抽屉里中必定少抽屉里少两苹果称种现象抽屉原理
（2）抽屉原理基公式
判断三量：苹果：具体
抽屉：少类（谁相者谁抽屉）
类型：求少数者证明少数
均分思想：苹果抽屉商余数
少数商+1
类型二：求苹果
苹果少（少数1）×抽屉+1
类型三：求抽屉（考查非常少解）
抽屉（苹果—1）÷（少数—1）
（三类型中求少数苹果树题目中会出现少唯独求抽屉时候会出现）
2容斥原理
（1）两集合容斥原理：
果计数事物AB两类A类B类元素数总 属A类元素数+ 属B类元素数—A类B类元素数（A∪B A+B A∩B)
（2）三集合容斥原理：
果计数事物ABC三类A类B类C类元素数总 A类元素数+ B类元素数+C类元素数—A类B类元素数—A类C类元素数—B类C类元素数+A类B类C类元素数
（3） 三集合容斥关系公式：A∪B∪C A+B+C A∩B B∩C C∩A +A∩B∩C
3方阵问题
日常生活中常见物排成正方形形状花盆摆成正方形学参加运动会入场式进行队列操练解放军排着整齐方队接受检阅等训练接受检阅定规排成定队形产生类数学问题数学通常研究样问题称方阵问题掌握类问题解题规律提高解题力培养思维灵活性
士兵排队横着排行竖着排列行数列数相等恰排成正方形方队种方队做方阵(方问题)摆放方阵中果实心中实方阵果方阵空心中空方阵
观察中实方阵难发现方阵基特点：
（1）方阵行物体数列物体数相等
（2）掉横竖排时1物体时属减行列
（3）果外圈形成正方形第层里圈第二层话会发现相邻两正方形边数相差2相邻两层相差总数8
（4）边(物)数四周(物)数关系：
四周(物)数[边(物)数1]×4
边(物)数四周(物)数÷4+1
（5）中实方阵总数(物)边(物)数×边(物)数
观察中空方阵难发现方阵基特点：
中空方阵总(物)数（外层边(物)数－中空方阵层数）×中空方阵层数×4
4 时钟问题
（1）时钟问题—钟面追击
基思路：封闭曲线追击问题
（2）关键问题：
确定分针时针初始位置
确定分针时针路程差
（3）基方法：
①分格方法：
时钟钟面圆周均分成60格格称1分格分针时走60分格周时针走5分格分针分钟走1分格时针分钟走分格
②度数方法：
角度观点钟面圆周周360°分针分钟转度6°时针分钟转度度
抛砖引玉
例1长8厘米宽6厘米长方形边长5厘米正方形图放桌面(阴影图形重叠部分)两图形盖住桌面面积少方厘米
解析题意计数事物长方形面积正方形面积两类长方形面积称A类元素正方形面积称B类元素
答案：A∪BA+BA∩B6×8+5×54×3×67
例2参加军训学生进行队列表演排成七行七列正方形队列果掉行列请问：掉少名学生？剩少名学生？
解析图表示4行4列实心正方形队列图中出正方形队列特点：（1）正方形队列行列数相等总数＝行数×列数（2）掉横竖排时1时属减行列图中点A示掉总数＝原行数×2－1掉总数＝减少行数×2＋1
答案：掉数＝7×2－1＝13（）
掉数＝（7－1）×2＋1＝13（）
剩数＝（7－1）×（7－1）＝36（）
剩数＝7×7－13＝49－13＝36（）
答：果掉行列掉13名学生剩36名学生
例3队士兵排成中实方阵外层100请问：方阵中士兵少？
解析想求出方阵中少士兵应先求出方阵外层边少已知方阵外层100100÷4＝25（）边25呢？均分成4份需加1正边数
答案：100÷4＋1＝26（）
26×26＝676（）
答：方阵中士兵676
例4游行队伍中手持鲜花少先队员辆彩车四周围成边三层方阵外边层边12请问：彩车周围少先队员少？
解析请学画图图三层中空方阵示意图难发现特点：
（1）外层边点数相邻层边点数2（2）相邻两层间点总数相差8
答案：解：外层队员总数：12×4－4＝44（）
三层队员总数：44+（44－8）+（44－8×2）
＝44+36+28＝108（）
答：彩车周围少先队员108
例5某单位100名员工进行调查结果发现喜欢球赛电影戏剧中58喜欢球赛38喜欢戏剧52喜欢电影喜欢球赛喜欢戏剧18喜欢电影喜欢戏剧16三种喜欢12喜欢球赛喜欢电影少？
解析 记A类元素：喜欢球赛记B类元素：喜欢戏剧 记C类元素：喜欢电影设喜欢球赛喜欢电影x
答案：解：A∪B∪CA+B+CA∩BB∩CC∩A+A∩B∩C58+38+521816x+12100
x26
答：喜欢球赛喜欢电影3
例6篮子里苹果梨桃橘子现干朋友果朋友中意两水果少少朋友保证两朋友水果相？
解析苹果：？抽屉：相法少数：2
答案：先算抽屉：果水果相：4种法
果水果：4×3÷26种法
抽屉10
苹果（21）×10+111（）
少11朋友保证两朋友水果相
沙场点兵
1某单位青年员工85中68会骑行车62会游泳会骑车会游泳12会骑车会游泳( )
A57 B73 C130 D69
2某班统计考试成绩数学90分25语文90分21两科中少科90分38问两科90分
3实验学四年级原准备排成正方形队列参加广播操表演服装够横竖减少排样需掉27请问：四年级原准备少参加表演？
4干名学排成中实方阵12方阵改摆成横两方增加1方阵差9排满请问：原学生少？
5 正方形舞厅四周均匀装彩灯果四角装盏边装12盏舞厅四周装彩灯少盏？
实战演练
1（2017•湛江）四年级班54定阅学生优秀作文数学世界两种读物13订阅学生优秀作文45少订阅种读物订阅数学世界（ ）
A．13 B．22 C．33 D．41
2（2017•安阳）五年级122名学参加语文数学考试少门功课取优秀成绩中语文成绩优秀65数学成绩优秀87语文数学优秀（ ）
A．30 B．35 C．57 D．65
3（2017•安徽）学校文艺组少会演奏种乐器已知会拉手提琴24会弹电子琴17中两样会8文艺组
4（2017•贵阳）六童节前夕校园雕塑周围204盆鲜花围成边三层方阵请求出外面层边鲜花少盆？
5（2016•南阳）明明围棋子摆成三层中空方阵果外层边围棋子15明明摆方阵里层周少枚棋子？摆三层空心方阵少枚棋子？
6（2017•济宁）杨树柳树隔株相间种法种成7行7列方阵问方阵外层杨树柳树少棵？方阵中杨树柳树少棵？
升初真题卷
郑州市2016年升初真题试卷
选择题（10题题4分计40分）
1右图2007年10月份日历表意圈出竖列相邻三数三数（ ）
日 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A69 B54 C27 D40
2图示两天衡3球体重量等（ ）正方体重量
A2 B3 C4 D5
3明6天次舞蹈课华14天次天舞蹈课（ ）天次舞蹈课相遇
A24 B42 C48 D56
4选项符合描述图形（ ）
三角形PQR直角三角形角R直角边RQ长度边PQ长度短MPQ中点点N边QR中点点S三角形点线段MN线段MS长
A B
C D
5木匠段32米长木材想利家中块设置护栏块形状做设计四种设计方案中32米木材作护栏收尾封闭（ ）
A B
C D
6列图明画长方体展开图认正确（ ）
A B
C D
7阅读列文字图表回答问题：
（1）袋子里红色糖果少？（ ）
A6 B5 C4 D3
（2）列两种糖果数量样？（ ）
A红色棕色 B蓝色粉色 C蓝色紫色 D橙色粉色
（3）李便袋子中糖果什颜色？（ ）
A橙色 B红色 C蓝色 D紫色
（4）李便袋子中取糖果红色糖果性？（ ）
A35 B20 C90 D15
二填空题（3题满分10分）
1请天合适 +—×÷运算符号等式成立
3（ ）3（ ）3（ ）310
2梯形底底2倍果底延长9cm成行四边形面积增加18cm2原梯形面积 cm2
3长方形状蛋糕盒长宽30cm高12cm果根绳子困扎（图）结处长15cm需绳子长 cm
三综合实践（满分40分）
1图某城市2006年五月九月月均气温统计图
（1）相邻两月均气温变化 月 月（2分）
（2）5月均气温少摄氏度？请列式计算（6分）
2家汽车杂志开展新车评估活动评估分高新车颁年度佳车型称号表显示五种新车型评估结果
注：表中数值车型方面评估分中3分表示优秀2分表示良1分表示
积分规：车型积分3S+F+E+T
该杂志积分规计算车型评估分积分规：
车型积分3S+F+E+T
（1） 车型C1分少？请列式计算（4分）
（2）车型积分规进行计算排名（两车型总分相等时排名首先考虑安全性次考虑燃油效率次考虑车舒适性考虑外观请相应车型填入面排序中）：（4分）① ② ③ ④ ⑤
（3）车型C1制造商认述规公车型C1积分高（允许列高分情况）该设置新积分规？式子中填写四3正整数表示新规请填写想规写出四新规：（4分）
新规1：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规2：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规3：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规4：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
3海域中船灯塔港口位置图示
（1）船位灯塔 （请准确填写方位）（4分）
（2）图中港口船距离4cm例尺1：100000实际距离 千米
4海域中灯塔灯光亮暗规律般设计工作模式模式运行次时间称灯塔工作重复运行周期图中示该灯塔种工作模式持续运行14秒灯光亮暗情况：
（1）该灯塔工作重复运行周期 秒
（2）分钟时间里该灯塔灯亮累计时间 秒
（3）现求灯塔工作短运行周期6秒分钟灯亮累计时间30秒请图中满足求种工作模式持续运行12秒灯光亮暗情况图样方式表示出
郑州市2017年升初真题试卷
选择题（7题题4分计28分）
1郑计划年夏天读30书书做读书笔记现已读a书中b书没做读书笔记述项表达式中正确表示郑少书没做读书笔记？( )
A30b？ B？+ab30 C30+ab Dab
2 郑两正方形骰子面点数符合规：骰子相两面点数7面四骰子展开图中两郑骰子（ ）
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
AⅠⅡ B．ⅡⅢ C．ⅢⅣ D．ⅠⅣ
3 郑积木玩具（图左）角度观察项（ ）
B B C D
4 吃完饭郑告诉顿饭消费300元中饮料58元凉菜46元热菜196元（包含特价菜32元）已知该饭店两种优惠方式中优惠方式满80元减10元优惠方式二九折选择中种特价菜饮料参优惠计算请问少支付少钱？（ ）
A279元 B280元 C27375元 D270元
5餐结束获次转盘抽奖机会已知抽中二等奖性等奖性2倍抽中三等奖性等奖3倍余参奖抽中参奖性三等奖2倍请问抽中等奖性少？（ ）
A三分 B六分 C八分 D十二分
6老郑表示国际友欢迎位外国伙伴抽奖机会请问外国伙伴抽中等奖性相？（ ）
A外国伙伴抽中性较 B外国伙伴抽中性较
C两者性相 D确定
7 根信息推测抽奖转盘中饭店？（ ）
A B C D
二． 填空题（5题计20分）
1老郑账组递等式式子里运算符号括号清请帮补充完整（4分）
10 30 20 20 60 15
300 20 20 4
280 20 4
14 4
10
2 郑准备两种形状木板拼接制作成桌号牌两块木板形状分行四边形三角形桌牌形状梯形（右图示）已知行四边形面积三角形面积24cm2梯形底底分5cm11cm梯形面积（ ）cm2（4分）
3老郑计划块面积27cm2板刷漆已知千克油漆刷板3m2根表规格购买油漆老郑少需花费（ ）元（3分）
规格
单价
桶桶装油漆10kg
桶190元
中桶桶装油漆5kg
桶100元
桶桶装油漆3kg
桶68元
迷桶桶装油漆2kg
桶50元
4郑正生日老郑布置房间准备楼梯装饰花边花边形状右图示请问花边周长（ ）dm（3分）
5 感谢家郑端出蛋糕右图蛋糕长30cm宽30cm高20cm长方体先蛋糕表面浇满层薄薄巧克力（巧克力法渗透进底座）然切成干块均匀1000cm3正方形蛋糕请根条件作答（6分）
（1） 切成（ ）块蛋糕
（2） 面巧克力蛋糕（ ）块
（3） 两面巧克力蛋糕（ ）块
（4） 三面巧克力蛋糕（ ）块
三． 综合实践（9题计42分中第23两题单选题）
餐外国伙伴聊起官渡战事玩起模拟战争游戏现请智慧解决战争游戏中数学问题吧
古代行军粮草非常关键士兵般会身携带干粮保证5~10天时间作战需规定名战士天须带12公斤干粮表中列5名士兵根行军时长携带类型干粮数量
1 请计算AB答题卡AB处数字填写出（6分）
士兵
士兵甲
士兵乙
士兵丙
士兵丁
士兵戊
行军天数（天）
5
8
6
9
10
面饼（块）
0
96
36
A
48
馒头（）
75
0
0
30
B
肉干（条）
0
0
27
9
27
2 规模作战常涉量军粮消耗假设曹军粮草官提供粮草需支持曹军2万名士兵3月作战时间请问约会官渡战准备少干粮？（3分）
A22000000kg B2160000kg C1100000kg D2200000kg
3 曹操佯攻延津吸引袁军兵力关羽阵斩颜良解白马围已知延津白马西南方345km处请问延津县右图中点？（4分）
A 甲 B乙 C丙 D丁
假设穿越三国时代担军前锋统领天辰时（早7点整）全军准备出发务率领前锋部队快速前进建成营（已知建立营需2时）等候军天黑前会合入住营
4 天全军行军务48km天黑时间酉时（午5点）保证全军利会合军前锋部队行军速度分少达少？请列式进行计算（5分）
5第二天前锋部队5kmh速度行军军3kmh速度行进离出发点10km方发现敌情立派出队士兵回通报军请问士兵约点军相遇？请列式进行计算（6分）
6 第三天前锋部队搭建营范围图曲线示格子宽度100m请利方格估算营面积计算估算程（4分）
7 官渡战曹操组建威名远震骑兵部队——虎豹骑已知骑兵锋常锥形阵阵右图示图锥形阵成等腰三角形矩形组合假着阵型实线边界4米布置骑兵3组军阵部区域站骑兵请问图表示阵中少名骑兵？请列式进行计算（4分）
8 假阵需增加420名骑兵骑兵放ABCD两条线段更长请问时军队围区域面积少？请列式进行计算（5分）
9 军阵移动成移旋转两种运动方式结合图示格宽度代表200米列军阵南移08千米西移06千米O点中心时针旋转90°达图位置请答题卡方格纸画出军阵移动前位置（5分）
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2021新教版升
初数学专题复讲义
专题 数
考点扫描
数知识包括数奇偶性质数合数数整余数性质数位含义均数分解数方数倍数数
1数奇偶性
奇数+奇数偶数 奇数+偶数奇数 偶数+偶数偶数
奇数×奇数奇数 偶数×偶数偶数 奇数×偶数偶数
奇数奇数相加奇数 偶数奇数相加偶数
（式子中含偶数相结果偶数）
2数整常见数整特征
（1）2：位偶数
（2）3：数位3倍数
（3）5：位 05
（4）425：两位4（25）整
（5）8125：三位8（125）整
（6）9：数位9倍数
（7）7：整数位数字截余数中减位数2倍差7倍数例判断133否7倍数程：13－3×2＝71337倍数例判断6139否7倍数程：613－9×2＝595 59－5×2＝4961397倍数
（8）11：奇数位数字偶数位数字差(减)11倍数
（9）13：位数末三位数末三位前数字组成数差13整13整
（10）17：整数位数字截余数中减位数5倍果差17倍数原数17整
3余数性质
（1）余数加性：余数等余数
（2）余数减性：差余数等余数差
（3）余数性：积余数等余数积
（4）余性质：
余数果两整数余数相差定数整
数果两整数余数相方定数整数
抛砖引玉
例1列数中（ ）时35倍数．
A．18 B．102 C．45
解析时35倍数必须满足：末尾05数位3整进出结．18位85倍数102位25倍数455倍数4+593倍数
答案：C
例2 时235整两位数 时23整三位数 三位数 ．
解析（1）根235倍数倍数特征知时235倍数倍数位0十位满足3倍数十位满足3倍数369中3解答（2）根23倍数数特征：2倍数数位偶数3倍数数位数相加3整时23整三位数百位应1十位0位2然时23整三位数百位十位9位数偶数3整6三位数996解答
答案：30102996．
例32309少加 3倍数少减 5倍数
解析根2整特征：位02468数5整数特征：位数字0者5数解答．分析知：2+3+914153整少应加12309位9位数05时5整少减4
答案：14．
例4三连续偶数90三数分 ．
解析然数中相邻两偶数相差2设90三连续偶数中x两分x+2x+4等量关系式：x+x+2+x+490．解方程
答案：283032．
例5养鸡场天收160千克鸡蛋18千克鸡蛋装箱装少箱？剩少千克？
解析求160千克鸡蛋装箱剩少千克求160里面18法计算商箱数余数剩千克数．
答案：解：160÷188（箱）…16（千克）
答：装8箱剩16千克
沙场点兵
10157四数中选三数组成三位数数2倍数3倍数5倍数样三位数（ ）
A．2 B．3 C．4
2列队伍第16序循环报数报3支队伍数定（ ）倍数
A．2 B．3 C．5 D．6
3 三连续偶数120中数 ．
4 学献爱心捐款五名学捐410元捐款数恰5连续偶数五名学捐少钱？
5根绳子长21米剪8米做根长跳绳剩2米做根短跳绳．做少根短跳绳？剩少米？
实战演练
1（2016•广州）两位数5余37余5两位数（ ）
A．72 B．37 C．33 D．68
2（2016•长沙）某学计算道法时误数35写成53商35余12正确商余数 ．
3（2016•东莞）三连续奇数645．三奇数中奇数 ．
4（2017•漳州）2整3整两位数 3整5整三位数 ．
5（2017•枞阳县）列式计算：数99商10余数整数数少？
6（2017•德化县）学校进行团体操表演行站20正站24排．果站成16排行需站少？
专题二 数运算
考点扫描
1四运算意义
（1）整数加法数加法分数加法意义：两数合成数运算
（2）整数减法数减法分数减法意义：已知两数中加数求加数运算
（3）整数法意义：求相加数简便运算
（4）数法意义：数整数整数法意义相数数求数十分百分……少
（5）整数分数意义：数分数求数分少
（6）分数整数意义：分数整数求相分数简便运算
（7）整数法数法分数法意义：已知两数积中数求数运算
2四运算计算方法
（1）加减法计算方法
①整数加法：相数位齐低位加起位数相加满十前位进
②整数减法：相数位齐低位减起位数够减前位退位加10减
③数加减法：计算数加减法时先数点齐（相数位齐）整数加减法法进行计算数里齐横线数点点数点
④分数加减法：分母分数相加减分母变分子相加减异分母分数相加减先通分然分母分数加减法法进行计算
（2）法计算方法
①整数法：低位高位分数位数数位求数末位位齐然次求积加起
②数法：先整数法法算出积数中位数积右边起数出位点数点
③分数法：分数整数分数分子整数相积作分子分母变分数分数分子相积作分子分母相积作分母
（3）法计算方法
①整数法：数高位起数位先数前位果前位数取位位商写位面次余数必须数求出商高位果数位够商1位写0
②数法：数整数时整数法进行计算商数点数数点齐数数时先数转化成整数时数扩相倍数然数整数法进行计算
③分数法：甲数乙数（0外）等甲数乙数倒数
3整数四运算中部分间关系
（1）加法：加数+加数加数－加数
（2）减法：差减数－减数减数减数－差减数减数+差
（3）法：积数×数数积÷数
（4）法：商数÷数数数÷商数数×商
4四运算定律运算性质
（1）运算定律
加法结合律：两数相加交换加数位置变：a+bb+a
加法结合律：三数相加先前两数相加加第三数者先面两数相加第相加变：a+b+c(a+b)+ca+(b+c)
法交换律：两数相交换数位置积变：a×bb×a
法结合律：三数相先前两数相第三数者先面两数相第数相积变：a×b×c(a×b)×ca×(b×c)
法分配律：两数数相等两数分数相两积加起：(a+b)×ca×c+b×ca×(b+c)a×b+a×c
（2）运算性质
减法运算性质：a－(b+c)a－b－c a－(b－c)a－b+c
法运算性质（数0）：
a÷(b×c)a÷b÷c a÷(b÷c)a÷b×c
(a+b)÷ca÷c+b÷c (a－b)÷ca÷c－b÷c
5 四混合运算序
四运算分两级：加法减法做第级运算法法做第二级运算
（1）没括号算式里果含级运算左右次计算果含两级运算先做第二级运算做第级运算
（2）括号算式里先算括号里面算中括号里面算括号外面
抛砖引玉
例1求加数简便运算做法 （判断错）
解析题考察整数法应法意义：求相加数简便运算法
答案：错误
例2道减法算式中减数减数差48减数（ ）
A．24 B．12 C．16 D．18
解析题考察整数加法减法根减数减数+差减数减数差减数2倍482求出减数2448÷224
答案：A
例3750÷90等（ ）
A．商8余3 B．商80余2 C．商8余30
解析题考察余数法根整数法计算750÷908…30商8余数30
答案：C
例4三位数位数商（ ）
A．两位数 B．三位数 C．三位数两位数
解析三位数位数先百位数字位数够够说百位数字位数数字较果位数相等够商百位三位数果百位数字位数百位十位数组成两位数位数商商十位两位数
答案：C
例5两数相商50余30果数数时缩10倍商余数（ ）
A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30
解析数数时缩10倍商50数缩10倍余数缩10倍3
答案：B
例6数18倍36求数半少？（ ）
A．36÷18÷2 B．36×18÷2 C．36÷18×05 D．36×18×05
解析题考察数四混合运算首先3618求出数少然2求出数半少36÷18÷220÷210
答案：A
例7算式补充完整
4× 24
30× 60
÷860
21÷ 7
÷39
30÷ 5
+80120
﹣3090
9× 81
÷660
解析题考察整数法应整数加法减法整数法应互逆关系（1）（2）（9）根数积÷数求解（3）（5）（10）根数数×商进行求解（4）（6）根数数÷商求解（7）根加数﹣加数求解（8）根减数减数+差求解
答案：
4× 6 24
30× 2 60
480 ÷860
21÷ 3 7
27 ÷39
30÷ 6 5
40 +80120
120 ﹣3090
9× 9 81
120 ÷660
例8
计算面题（简算简算）
200﹣180÷15×2
4671﹣681﹣319
×15×
÷（﹣）×
×+÷
÷[（+ ）×]
解析（1）先算法算法算减法
（2）根连续减两数减两数进行简算
（3）直接约分进行计算
（4）先计算括号减法计算法计算法
（5）倒数根法分配律进行简算
（6）先计算括号加法计算中括号法算法
答案：（1）200﹣180÷15×2 （2）4671﹣681﹣319
200﹣12×2 4671﹣（681+319）
200﹣24 4671﹣10
176 3671
（3）×15× （4）÷（﹣）×
9× ÷×
2 ××
（5）×+÷ （6）÷[（ + ）×]
×+× ÷[×]
×（+） ÷
×1 ×
3
例9动物园里头蓝鲸天吃450千克食物饲养员准备7吨食物够蓝鲸吃20天？
解析头蓝鲸天吃450千克食物20天需吃食物量20450千克45020求出需少千克根1吨1000千克换算成吨单位数7吨较
答案：解：450×209000（千克）
9000千克9吨
9吨＞7吨
够
沙场点兵
1已知○+△□列算式正确（ ）
A．○+□△ B．△+□○ C．□﹣△○
2 25×40结果中 0
3计算2274+（825﹣475÷25×4）第步应算（ ）
A．825﹣475 B．475÷25 C．25×4 D．2274+825
4 3×÷3×（ ）
A．1 B．0 C． D．9
5样简便样计算
（1）326×53+074×53 （2）×27+63÷5+
（3）+（16+）×10 （4）125×28×
6列式计算：
（1）数数201求数
（2） 1差商少？
实战演练
1（2016•广州）学+﹣×÷四种运算．现规定*种新运算．A*B表示2A﹣B：4*34×2﹣35．7*6*5 ．
2（2017•福建）五位数8□35△果数时235整□代表数字 △代表数字 ．
3（2015•济南）马虎计算139加位数时错误数末尾齐结果184．正确数应（ ）
A．45 B．634 C．589
4（2017•商河县）甲数840______乙数少？果求乙数算式840÷（l+）横线应补充条件（ ）
A．甲数乙数 B．甲数乙数少
C．乙数甲数 D．乙数甲数少
5（2016•龙湾区）20千米（ ）千米少20
A．24 B．16 C．22 D．25
6 （2017•南阳）（1）倒数差商少？（列综合算式）
（2）法算式中数数商余数147．已知商11余数2求数少？（方程）
专题三 代数式方程
考点扫描
1数运算
（1）四运算序：括号先算括号没括号先加减
（2）数法：数法整数法运算方法类似数成整数运整数法计算出
（3）快速出数法数位数：数法位数少取决两数数位数果数末尾数字相0出现位数减0数
（4）快速出整数法商位数：商位数取决数数位数差果数左边第位数左边第位商位数数数位数差果数左边第位数左边第位商位数数数位数差+1
（5）分数法：数等数倒数
（6）运算定律：①加法交换律：a+bb+a
②加法结合律：(a+b)+ca+(b+c)
③法交换律：a×bb×a
④法结合律：(a×b)×ca×(b×c)
⑤法分配律：a×c+b×c (a+b)×c
（7） 添括号括号运算序影响：式子中级运算时果括号前加法者法时括号括号符号改变果括号前减法者法时括号括号符号改变果添加括号前面加法者法括号符号改变果添加括号前减法法时括号符号改变
2简易方程
（1）四运算间部分关系：
加数加数 （例x+38样进行验算）
（2）解方程：数积÷数（例5×X18）
（3）减数差+减数（例x75） 减数减数差（例7x5）
（4）数商×数（例x÷75） 数数÷商（例21÷x3）
3等式性质
（1）方程两边时加（减）数左右两边然相等
方程两边时（0）数左右两边然相等
（解方程应注意：书写时注意先写解字行等号齐连等）
（2）解方程时量未知数等式边出现等式两边未知数情况（例：爸爸年龄子32岁子年龄9倍爸爸子少岁？根爸爸年龄—子年龄相差年龄等量关系式列方程）
（3）列方程解应题
列方程解应题字母代未知数根等量关系列出含未知数等式列出方程然解出未知数值列方程解应题优点未知数直接参加运算解类应题关键够正确设立未知数找出等量关系建立方程找出等量关系熟练运数量间种已知条件掌握两点正确列出方程
（4）列方程解应题般步骤：
①弄清题意找出已知条件求问题
②题意确定等量关系设未知数x
③根等量关系列出方程
④解方程
⑤检验写出答案
抛砖引玉
例1两根2米长电线第根全长第二根米剩电线（ ）
A．第根长 B．第二根长 C．样长 D．法较
解析第根：全长成单位1剩长度全长（1﹣）法求出剩长度第二根：全长减米剩长度．较剩长度求解．第根：2×（1﹣）2×（米）第二根：2﹣（米）<第二根剩长
答案：B
例2面道题括号掉影响计算结果？（ ）
A．（40+60）÷20 B．300÷（5×6） C．200﹣（60×2）
解析整数混合运算运算序逐分析出答案．A（40+60）÷20掉括号先算法算加法改变运算序影响计算结果B300÷（5×6）掉括号先算法算法改变运算序影响计算结果C200﹣（60×2）掉括号先算法算减法改变运算序影响计算结果
答案：C
例3甲袋A千克面粉乙袋B千克面粉果乙袋取出6千克放入甲袋中甲乙两袋重量相等列等式 ．
解析根乙袋取出6千克放入甲袋中甲乙两袋重量相等说明甲乙两袋相差6×212千克等式AB﹣12．根题意出：AB﹣6×2B﹣12B﹣A12
答案：B﹣A12．
例49千克盐均分装x瓶子里瓶装15千克．方程表示（ ）方程解（ ）
解析题意关系：瓶装千克数×瓶子数总重量列方程解答．设均分装x瓶子里15x9x6
答案：15x9x6
例5养殖场789鸡鸭少69鸭？（先写等量关系式两种方法列X解）
解析设鸭x方法：鸭数﹣鸡数鸡鸭少数x﹣78969
方法二：鸭数﹣鸡鸭少数鸡数x﹣69789．
答案：解：方法：等量关系：鸭数﹣鸡数鸡鸭少数
设鸭x
x﹣78969
x﹣789+78969+789
x858
方法二：等量关系：鸭数﹣鸡鸭少数鸡数
设鸭X
X﹣69789
X﹣69+69789+69
X858
答：鸭858
沙场点兵
1设a正整数b负整数c绝值数a﹣b+c（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
230x10倍25求x少？列方程（ ）
A．30+10x25 B．10x﹣2530 C．30﹣10x25
3 某音社外出租光盘收费方法：张光盘出租头两天天收08元天收05元张光盘出租第n天（n2然数）应收租金 元
4 辆汽车时行90千米样速度甲开乙行a时距乙b千米．含字母式子表示甲乙两路程 千米甲乙需 时
5 生产批电视机计划天生产m台生产a天适应市场需求需提前3天完成务．
（1）代数式表示实际天应生产少台
（2）m1000a28时天生产少台
实战演练
1（2016•泉州）甲数x乙数甲数3倍6求乙数算式（ ）
A．x÷3+6 B．（x+6）÷3 C．（x﹣6）÷3 D．3 x+6
2（2017•宜昌）客车时行a千米汽车时行b千米两车分甲乙两时出发c时相遇甲乙两距离（ ）
A．（a+b）c B．a+bc C．ab+c D．a+b+c
3（2017•绍兴）建筑工a吨水泥天b吨3天式子表示剩吨数 果a20b4剩 吨
4（2016•高邮市）求未知数x．
48﹣3x18 ：x：24 75x+65x28
5（2017•济南）求未知数x．
①3x﹣36×530
②x现三数456组成例求x．
6（2017•菏泽）x2倍3684求x．
专题四 例
考点扫描
1意义：两数相做两数
例632中：号读作
号前面数做前项号面数做项
前项项商做值
2前项项时（0外）相数值变做基性质
3例意义：表示两相等式子做例判定两否组成例组成例四数做项分项外项
4例基性质：例里两外项积等两项积做例基性质判定两否组成例重运例基性质解例
5解例：根例基性质果已知例中意三项求出例中外未知项求例中未知项做解例
6正例反例概念意义
正例意义：两种相关联量种量变化量着变化应两数值（商）定两种量做成正y：xk（K定值）
反例意义：两种相关联量种量变化应两数积定两种量做成反例量反例关系式：xyK（K定值）
抛砖引玉
例11757÷ 28÷ ．
解析解决题关键175175化成分数分子分母时25化成简分数分子分母7化成分子7做数分母4做数转化成法算式7÷47÷4数数4化成28÷16进行转化填空
答案：449167．
例2写出两值8 组成例 ．
解析意写出两值8进组成例．8：1816：288：116：2
答案：8：116：28：116：2．
例3先求填空回答面问题
（1）图中AB两正方形边长 周长 两组成例？
（2）AB两正方形面积 边长组成例？
解析判断两相关联量间成什例两量应值定应积定果值定成正例果积定成反例
答案：解：（1）图中AB两正方形边长5：101：2
周长（5×4）：（10×4）20：401：2
1：21：2两组成例
（2） AB两正方形面积：
（5×5）：（10×10）
25：100
1：4
1：4≠1：2边长组成例
例4解例：
（1）x：2： （2） （3）x：20 （4）x÷15
解析考查解例方法
答案：解：（1）x：2：
x2×
x÷÷
x
（2）
075x05×6
075x÷0753÷075
x4
（3）x：20
5x2×20
5x÷540÷5
x8
（4）x÷15
x
x÷÷
x
例5批化肥第次运走30吨第二次运走总数剩化肥运走化肥质量4：5批化肥少吨？
解析根剩化肥运走化肥重量4：5：两次运走化肥重量占总重量总数减第二次运走总数第次运走30吨应分率30应分率批化肥少吨
答案：解：4+59
30÷（﹣）
30÷
135（吨）
答：批化肥135吨
沙场点兵
13：8 组成例（ ）
A．8：3 B．02：05 C．15：40 D．7：21
2甲数等乙数（甲数乙数0）甲数乙数（ ）
A．： B．6：5 C．5：6 D．：
3圆锥底面半径圆柱底面直径相等二者高相等．圆锥体圆柱体体积（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：3 D．4：3
4解方程解例：
x：1014：13 21x78
13：1889：x 2x+3092
5运批货物运走剩3：7果运走30吨剩货物占原货物批货物原少吨？
实战演练
1（2017•杭州）03：( )( )( )折( )成
2（2017•杭州）钟面时针转速分针转速（ ）
A．1：60 B．1：12 C．12：1 D．60：1
3（2016•广州）甲数乙数少25甲数乙数简整数（ ）
A．1：4 B．4：1 C．3：4 D．4：3
4（2016•温州）求未知数x．
x：2： +x
5（2016•武汉）操作题
（1）请正方形中画圆
（2）果该正方形面积4方厘米计算正方形面积圆面积
6（2016•温州）明读书午读部分时读页数未读页数1：9午午读6页时已读页数未读页数变成1：3书少页？
专题五 探索规律
考点扫描
1数字规律
（1）数列：定次序排列列数做数列
数列中规律
①规律隐含相邻两数差中
②规律隐含相邻两数倍数中
③前项组组单位隐含定规律
④相隔项间存着定规律
⑤数列项分项数方数
⑥数列中项前项
2图形规律
（1）图形规律指根组相关图形总结出图形变化反映规律
（2）解决图形规律问题方法两种种数字图形图形转化成数字规律数字规律解决问题种通图形直观性图形变化中直接寻找规律
3算式中规律
（1）利计算器独立探索发现规律
（2）利规律完成计算
抛砖引玉
例1找出列数列规律规律( )填合适数：
(1) 471013( )( )
(2) 847260( )( )
(3) 2618( )( )
(4) 62512525( )( )
(5) 14916( )
(6) 261220( )( )
解析通已知数前两项观察分析发现：
(1)规律：前项+3项应填16
(2)规律：前项12项应填4836
(3)规律：前项×3项应填54162
(4)规律：前项÷5项应填51
(5)规律：数列项次11×142×2 93×3164×4应填5×525
(6)规律：数列项次21×262×3123×4204×5应填 5×6306×742
答案：（1）16（2）4836（3）54162（4）51（5）25（6）3042
例2寻找规律填数：
（1）
（2）
（1）_______________
（2）_______________
解析（1）考察两数差321616311516331716知面？351619面？18+1634
（2）左右135？9…知12面？7681012？…知9面？14
答案：（1）1934（2）714
例3列组图形中寻找规律规律？处填合适数：
（1）
（2）
解析（1）观察前两图形中数知圆圈数等三圆圈数积半第三图形中？5×3×8÷260第四图形中？(21×2)÷3÷27（2）观察前两图形中已知数发现108+53 87+43三角形里面数减三角形外面数中间圆圈数第三图形中？12+158第四图形中？7+153
答案：（1）607（2）83
例4寻找规律填数：
1×9+211
12×9+3111
123×9+41111
（ ）×9+511111
1234567×9+（ ）11111111
解析第数次：112123……然数序次末尾数字第二数9加数第数位数1加数结果1组成整数
1×9+21112×9+3111123×9+411111234×9+5111111234567×9+81111111
答案：12348
沙场点兵
1找出列数列规律规律( )填合适数：
（1）18202430( )
（2）1112141826( )
（3）25112347( )( )
2寻找规律空格填数：
（1）
（2）
3列表格中寻找规律求出？：
（1） （2）
（1）___________ （2）___________
4图火柴棒面图示横着拼正方形拼出10正方形时______根火柴棒
5观察规律：123456789×91111111101
123456789×182222222202
123456789×273333333303
：123456789×36_______________
123456789×72_______________
实战演练
1(2013•长沙)发现规律10等式：1+234+5+67+89+10+11+1213+14+15第10等式左右两边_______
2（2016•广州）黑白两种颜色正方形纸片黑色纸片数逐渐加1规律拼成列图案：图示
（1）第4图案中白色纸片少张？
（2）第n图案中白色纸片少张？
3（2016•广州）规律填空：224610162642（ ）（ ）
4（2016•北京）计算根3600÷18200直接写出面题数
（1）36÷18（ ） （2）900÷18（ ）
（3）3600÷72（ ） （4）360÷72（ ）
5(2017•武汉)观察图形找规律：
（1）图形变化规律填表：
正方形数
1
2
3
4
5
…
直角三角形数
0
4
8
…
（2）果画8正方形_____直角三角形画n正方形______直角三角形
专题六 面积计算
考点扫描
1面图形周长面积意义
（1）周长：封闭图形周长度周长
（2）面积：物体表面围城面图形
2面图形周长面积
（1）周长面积公式：
长方形：周长（长+宽）×2面积长×宽
正方形：周长边长×4 面积边长×边长
行四边形：面积底×高
三角形：面积底×高÷2
梯形：面积（底+底）×高÷2中位线×高
圆：周长直径×半径×2面积半径×半径×
扇形：面积半径×半径××
提示求规四边形周长时采移方法变成基图形利周长计算公式计算
（2） 计算组合图形面积组合图形分解成已学图形通移割补等量代换等方法解决
抛砖引玉
例1明长25米篱笆围城面墙养鸡栏（图）养鸡栏面积少？
解析解答题关键求出梯形底必求出底底长题求出长度题属梯形面积计算梯形面积(底+底)×高÷2根图意知篱笆总长减6m梯形底根图形公式数代入计算
答案：（256)×3÷2
19×3÷2
285(m2)(梯形面积)
答：养鸡栏面积285方米
例2已知梯形底20厘米底34厘米中阴影部分面积442方厘米求梯形面积
解析阴影部分三角形知道面积底三角形面积公式求出高梯形高然利梯形面积公式求出梯形面积
答案：三角形高：442×2÷3426（厘米）
梯形面积：（20+34）×26÷2
54×26÷2
702（方厘米）
答：梯形面积702方厘米
例3运动场（图）两头半圆形中间长方形运动场周长少米？面积少方米？
解析题考查面图形周长面积意义理解运动场周长指围成运动场周长圆周长长方形两条长边运动场面积圆面积长方形面积
答案：运动场周长：
125×2+314×50
250+157
407（米）
运动场面积：
125×50+314×（50÷2）2
6250+19625
82125（方米）
答：运动场周长407米．面积82125方米
例4图半圆点O 圆心半径3厘米梯形ACDE底半圆直径条直线底2厘米底4厘米求图阴影部分面积
解析题考查组合图形面积割补方法题中求阴影部分面积两块便求解运割补法两块阴影合成块左边阴影切割移动右边割补整阴影部分梯形直接利梯形面积公式求出该阴影部分面积
答案：（2+4）×3÷2
6×3÷2
18÷2
9（方厘米）
答：阴影部分面积9方厘米
例5图两相直角梯形重叠成图中标出三数(单位：厘米)图中阴影部分面积少方厘米？
解析重叠部分两相直角梯形组成公部分阴影部分面积等面空白部分梯形面积：底1028厘米底10厘米高3厘米然代入梯形计算公式解答
答案：(10−2+10)×3÷2
18×3÷2
27(方厘米)
答：阴影部分面积27方厘米
例6图圆周长328厘米圆面积长方形面积正相等图中阴影部分周长少厘米？
解析求阴影部分周长先阴影部分长方形宽圆半径r已知圆面积长方形面积相等圆面积πr2长方形面积长方形长×rπr2长方形长×r两条长相圆周长阴影部分周长：圆周长+圆周长圆周长解答
答案：328×41(厘米)
答：阴影部分周长41厘米
沙场点兵
132米长篱笆墙方围块直角梯形菜块菜占面积少方米？
2东东家块梯形菜底15米底28米中阴影部分种白菜种白菜部分面积140方米梯形菜面积少方米？
3求面图形面积（单位：厘米）
4求图中阴影面积（单位：厘米）
5图两完全样分图中阴影部分面积少方厘米？(单位：厘米)
6图圆周长20厘米圆面积长方形面积相等阴影部分周长（ ）厘米
实战演练
1（2016•泸西县）图梯形底长5厘米底长8厘米已知阴影部分面积24方厘米求梯形面积
2（2016•天津）图圆周长628厘米圆面积长方形面积相等图中阴影部分面积少方厘米？
3（2017•杭州）正方形ABCD边长1cm图中4弓形面积少？
4（2016•广州）求阴影部分面积（单位：分米）
5（2017•海）图块长方形草坪长16米宽10米中间两条路条长方形条行四边形草部分(阴影部分)面积？(单位：米)
专题七 立体图形
考点扫描
1长方体正方体意义联系
（1）长方体定义：六长方形（特殊情况两相面正方形）围成立体图形作长方体
（2）正方体定义：六完全相正方形围成立体图形作正方体特殊长方体长宽高相等长方体
（3）长方体正方体特征相点点
名称
长方体
正方体
相点
面
6
棱
12条
顶点
8
点
面形状
6面长方形2相面正方形
6面相正方形
面
相面面积相等
6面面积相等
棱长度
组互相行4条棱长度相等
12条棱长度相等
2圆柱圆锥定义特征
（1）圆柱定义：长方形条边直线轴旋转周体作圆柱
（2）圆锥定义：直角三角形条直角边直线轴旋转周体作圆锥
（3）圆柱圆锥特征：
名称
较
面
高
圆柱
三面两底面面积相等圆侧面高展开长方形正方形长方形长底面周长宽圆柱高
圆柱两底面垂直距离作圆柱高高垂直两底面圆柱数条高
圆锥
两面面圆侧面展开扇形
圆锥顶点圆锥顶点底面圆心垂直距离圆锥高圆锥条高
3观察物体
（1）站位置物体形状
（2）生活实际中常三视图法画立体图形分正面面侧面三方物体然三张图描述图形
4体积容积
（1）体积：物体占空间作物体体积体积通常V表示常体积单位立方米立方分米立方厘米
（2）容积：容器容纳物体体积作容积容量常容积单位升毫升体积容积单位间换算：1立方分米1升1立方厘米1毫升
5立体图形侧面积表面积体积计算公式
名称
图形
字母意义
侧面积
表面积
体积
长方体
a长
b宽
h高
S侧2(a+b)h
S2(ab+ah+bh)
Vabh
正方体
a棱长
S侧4a2
S6a2
Va3
圆柱
S底面积
r底面半径
h高
C底面周长
S侧Ch2πrh
S表面积Ch+2πr2
Vπr3
圆锥
S底面积
r底面半径
h高
R扇形半径
n扇形圆心角
S侧
S表面积+S底面积
Vπr2 h
抛砖引玉
例1判断：
（1）6面12条棱8顶点物体长方形（ ）
（2）果物体两面面积相等两圆物体定圆柱（ ）
解析题旨考查学生立体图形特征掌握情况（1）必须强调6面面长方形判定长方体（2）必须强调粗细相判断圆柱
答案：（1）×（2）×
例2正方体表面全部涂成红色果切割成27正方体（图示）正方体中面红色两面红色三面红色少？
解析正方体切割成正方体面红色正方体面中间块两面红色正方体条棱中间块三面红色位顶点处块正方体六面12条棱8顶点面红色6两面红色12三面红色8
答案：分：6128
例3图正面形状（ ）左面形状（ ）面形状( )
A B C
解析正面前面图形左边竖着两正方形边横着三左面图形左边竖着两正方形面竖着2面图形排三正方形排左侧
答案：BAC
例4圆柱形游泳池底面直径40米水深2米
（1） 游泳池占面积少方米？
（2） 围绕游泳池周围护栏护栏长少米？
（3） 挖成游泳池需挖土少立方米？
（4） 游泳池侧面池底抹层水泥抹水泥面积少方米？
解析立体图形测量实际生活联系先确定问求什：（1）求圆柱底面积（2）求圆柱底面周长（3）求圆柱体积（4）求圆柱侧面积底面积
答案：（1）314×（40÷2）21256（方米）
答：游泳池占面积1256方米
（2）314×401256（方米）
答：护栏长1256方米
（3）1256×22512（立方米）
答：需挖土2512立方米
（4）1256×2+125615072（方米）
答：抹水泥面积15072方米
例5某学组弄清规物体体积进行操作测量
（1） 明准备长方体玻璃钢测量出玻璃钢壁长6分米宽高4分米
（2） 兰玻璃缸中倒入2分米深水
（3） 红物体放入玻璃缸中发现水正淹没物体
（4） 强测出水面升2厘米
（5） 华称出质量1250千克
请根测量结果算出规物体体积
解析物体完全浸没水中时升高水体积等规物体体积规物体体积等长6分米宽4分米高2厘米长方体体积
答案：2厘米02分米
6×4×0248（立方分米）
沙场点兵
1 图（ ）表面展开图高（ ）侧面积（ ）方厘米底面积（ ）方厘米
3cm
628cm
2 5正方体搭成立体图形面形状左面形状立体图形（ ）
A B C
3盖正方形纸盒底标字母M剪开展成面图形想想面图形（ ）（ ）
M
M
M
M
A B C
4 面图形长方体前面面图形请画出面图形标明尺寸求出表面积体积（单位：cm）
6 6
10 8
5 图块长方形铁皮利图中阴影部分刚做成油桶（接头处忽略计）求油桶容积（π取314）
实战演练
1 （2017•河南）郑两骰子面点数符合规：骰子相两面点数7面4骰子展开图中两郑骰子（ ）
Ⅰ6
3
2
5
4
1
Ⅱ4
3
5
6
1
2
Ⅲ6
4
1
5
2
3
Ⅳ4
6
2
5
1
3
AⅠⅡ BⅡⅢ CⅢⅣ DⅠⅣ
2 （2017•河南）郑积木玩具（图左）角度观察项？（ ）
A B C D
3 （2017•河南）感谢家郑端出蛋糕右图蛋糕长30cm宽30cm高20cm长方体先蛋糕表面浇满层薄薄巧克力（巧克力法渗透底座）然切成干块均1000cm3正方体蛋糕请根条件作答
（1） 切成（ ）块蛋糕
（2） 面巧克力蛋糕（ ）块
（3） 两面巧克力蛋糕（ ）块
（4） 三面巧克力蛋糕（ ）块
4 （2016•河南）列图明画长方体展开图认正确（ ）
A B
C D
5（2016•河南）长方体形状蛋糕盒长宽30cm高12cm果根绳子捆扎（图）结处长15cm需绳子长_________cm
专题八 统计概率
考点扫描
1统计表
（1）单式统计表：组统计项目统计表做单式统计表
（2）复式统计表：两组两组统计项目统计表做复式统计表
（3）制作统计表步骤：
①搜集整理数
②确定表格式栏目数量根纸张制成表格
③填写栏目项目名称填写数
④计算总计合计填入表中般总计放横栏左格合计放竖栏格
⑤写表格名称注明制表时间
2统计图
（1）条形统计图折线统计图扇形统计图特点作：
条形统计图
折线统计图
扇形统计图
特点
单位长度表示定数量
整圆面积表示总数圆扇形面积表示部分占总数百分数
直条长短表示数量少
折线起伏表示数量增减变化
作
图中清楚出数量少便相互较
图中清楚出数量增减变化情况出数量少
图中清楚出部分总数百分部分部分间关系
（2）绘制条形统计图步骤：
①根图纸画出两条互相垂直射线
②水射线（横轴）适分配条形位置确定直条宽度间隔
③水射线垂直射线（轴）根数具体情况确定单位长度
④数画出长短直条注明数
⑤写统计图名称标明制图时间
（3）会根统计图表进行数分析提出问题作出简单判断预测决策
均数中位数众数三常见统计量
①均数：求均数实质数量总量（）变情况通移补少变相等求均数基数量关系式：总数量÷总份数均数解题关键根已知条件确定总数量相应总份数
②中位数：调查组数序排列起中处正中间数做组数中位数果数偶数时取正中间两计算两数均数作该组数中位数
③众数：组数中出现次数数做组数众数果组数出现次数数组数众数
3性
（1）性：什情况会发生事件定会发生事件情况会发生事件 发生事件某种情况会发生情况会发生事件会发生事件
（2）性：发生事件中果出现该事件情况较说该事件发生性较果出现该事件情况较少说该事件发生性较
（3）游戏规公性公性参游戏活动象获胜性相等
抛砖引玉
例1列调查方式合适（ ）
A解炮弹杀伤力采普查方式
B解全国中学生睡眠状况采普查方式
C解保护水资源意识采抽样调查方式
D载航天器神舟六号零部件检查采抽样调查方式
解析A解炮弹杀伤力具破坏性应抽象调查选项错误B．解全国中学生睡眠状况数耗时长应采抽样调查方式选项错误C．解保护水资源意识数普查时间长应采抽样调查正确D．载航天器神舟六号零部件检查零部件数量限零部件关系飞行安全应该采全面调查选项错误
答案：C
例2布袋中红球8白球5黑球12颜色外没区机袋中取出1球黑球概率（ ）
A B C D
解析红球8白球5黑球1225黑球13机袋中取出1球黑球概率
答案：D
例3面申报2008年奥运会办城市票情况统计图
60
50
40
30
20
10
0
56
23
18
9
北京 伦 巴黎 伊斯坦布尔
单位：票
（1）四申办城市票总数（ ）票
（2）北京（ ）票占票总数（ ）％
（3）投票结果出报纸电视说：北京票数遥遥领先什样说？
解析（1）56+23+18+9106(票)（2）56÷106528（3）条形统计图中明显出北京票数远远超三国家票数报纸电视说：北京票数遥遥领先
答案：（1）106（2）56528（3）条形统计图中明显出北京票数远远超三国家票数
例4根统计图回答列问题：
明家4月水费统计图
A B C D
85
94
62
27
费元
月份
0
20
40
60
80
100
120
（1）明家4月均水费少元？
（2）估计C月月？理什？
（3）预测明家接月水费少元？说说理
解析（1）（27+62+94+85）÷467（元）（2）估计C月7月天气越越热洗澡水量（3）天气渐渐变凉水量会越越少
答案：（1）67（2）7月（3）合理
沙场点兵
1说法合理（ ）
A明10次抛图钉试验中发现3次钉尖说钉尖概率30
B抛掷枚普通正六面体骰子出现6概率16意思6次1次掷6
C某彩票中奖机会2果买100张彩票定会2张中奖
D次课堂进行试验中甲乙两组学估计硬币落正面概率分048051
2透明布袋中红色黑色白色玻璃40颜色外完全相．李通次摸球试验发现中摸红色黑色球频率稳定1545口袋中白色球数（ ）
A6 B16 C18 D24
3六（1）班参加植树活动班问班长出勤情况班长说：班50没全部齐部分出勤率（ ）
A48 B50 C100 D96
4果甲邀请乙玩时抛掷两枚硬币游戏游戏规：时抛出两正面乙1分抛出结果甲1分 谁先累积10分谁获胜认 （填甲乙）获胜性更
5面记录六（1）班第组学生期中考试成绩（单位：分）
83898155627078948497861006675
请根面记录分数填写表回答问题
分数
合计
100
9099
8089
7079
6069
60分
数
（1）该组均成绩（ ）分
（2）优秀率（接满分80分计算）（ ）
（3）格率（ ）
（4）优秀学生学生（ ）（ ）
实战演练
1（2017•盐城）李红面靶掷块石头（四靶相等均等分）击中靶阴影部分？（ ）
A． B． C． D．
2（2016•保定）笑笑做100次投币实验正面62次反面38次．继续做第101次实验性（ ）
A．正面．前面100次情况分析正面性
B．反面．正面出现次数够该出现反面
C．正面反面性占半
3（2017•许昌）虎家区旁路口统计1分钟车流量根统计结果进行预测列说法合理（ ）
车型
汽车
公汽车
面包车
电瓶车
辆数
24
18
18
10
A．辆出现面包车
B．辆出现性四种车
C．辆出现汽车性
D．辆出现电瓶车性
4（2017•绍兴）抽屉中10球意摸出球然放进抽屉摸出方法摸球刚连续摸10次次摸球情况表．
摸球次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
摸出球颜色
红
黄
红
红
黄
红
红
红
红
黄
根面摸球情况推测抽屉中 色球绿色球
5 （2016•泰州）箱子里放着黄色乒乓球估计球数量20白色乒乓球放入箱子中充分搅拌混合意摸出30球发现中3白球估计箱子里原约少黄色乒乓球？
6（2008•武昌区）盒子里放60形状质量样球分红球白球黄球摸出红球性设计两种方案？请写出
专题九 应题（）行程问题工程问题
沙场点兵
行程问题历年升初考试重点学校行程压轴题处理见学校行程重视程度行程题身题干长模型样变化众学生说处理起头疼学校考察重点充分体现学生题目分析力
1 行程问题基公式
（1）基公式：路程＝速度×时间
（2）基类型：相遇问题：速度×相遇时间＝相遇路程
追问题：速度差×追时间＝路程差
流水问题：关键抓住水速追相遇时间产生影响
水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（水速度＋逆水速度）÷2水速＝（水速度－逆水速度）÷2
（水速度逆水速度船速水速4量中2求外2）
（3）问题：利相应知识解决差分倍盈亏
（4）复杂行程
①次相遇问题②环形行程问题③运例方程等解复杂题
2 工程问题基公式
（1）工作总量工作效率×工作时间
（2）工作效率工作总量÷工作时间
（3）工作时间工作总量÷工作效率
基思路：①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
抛砖引玉
例1某AB均速度3米秒原路返回时秒行7米回均速度（ ）米秒
A．42 B．48 C．5 D．54
解析首先根速度×时间路程路程定时速度时间成反时返回时时间7：3然设时时间7t秒返回时间3t秒根路程÷时间速度两间距离2倍回时间求出回均速度少
答案：A
例2虎早家学校学走13千米走03千米发现没带数学作业回家取．样时学走（ ）千米
A．1 B．16 C．06 D．03
解析走03千米发现没带数学作业回家取样时学走路程203千米．解答．03×206（千米）
答案：C
例3李王字员．样份稿件李54分钟王需时． 字速度快
解析样份稿件说明工作量相较两需时间时间长速度慢时间短速度快求解．时50分钟54＞50
答案：王
例4修条水渠甲工程队20天完成乙工程队30天完成．两队合修 天
解析条水渠长度作单位1单独修甲队20天完成乙队30天完成．甲天工作效率乙天工作效率根工作量÷工作效率合作时间解答
答案：12．
例5录入份稿件甲单独录入12时完成乙单独录入15时完成现甲乙起录入少时完成份稿件？
解析份稿件总量作单位1两工作效率根工作量÷效率合作时间列式解答
答案：解：÷（+）
÷
（时）
答：时完成份稿件
沙场点兵
1项工程甲单独完成需12天甲乙合作需8天乙单独完成需（ ）天
A．4 B．8 C．12 D．24
2某山速度时2千米山速度时4千米山山均速度时（ ）千米
A．3 B． C．32 D．法求解
3加工种零件明8分钟林10分钟．明林工作效率 明工作效率林高
4工厂买米608千克已吃4天天吃52千克剩吃8天吃完剩均天吃少千克？
5县城省城铁路长595千米．列火车县城省城原需7时火车提速需5时．火车提速时原行少千米？
实战演练
1（2016•新乡）甲乙两车时两相行距中点14千米方相遇两车相遇时行路程差（ ）千米
A．7 B．14 C．28 D．42
2甲45秒做3零件乙做零件20秒丙1分钟做5零件．工作效率高（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．确定
3（2016•安阳）李老师书店买书带钱正买20山水画书者32物画书果李老师买8物画书剩钱买15山水画书 （判断错）
4（2017•濮阳）明坡速度时36千米坡时时45千米斜坡明先坡原路返回18时段斜坡全长 千米
5（2016•广州）甲乙两车AB两午8时时出发相行．知甲速度乙速度快2千米时午10点两车相距36千米继续前行2时两车相距36千米求AB两距离？
6（2017•深圳）项工程甲独做10天完成乙独做12天完成现两合做完成工资2200元果完成工程量分配工资甲乙分少元？
专题十 应题（二）分数百分数应题
考点扫描
1解决分数应题关键找标准量单位1单位1已知法解决单位1未知法解决
2找单位1：分率句中分率前面占面
3写数量关系式技巧：
（1）相×占相
（2）分率前：单位1量×分率分率应量
（3）分率前少意思： 单位1量×（1 分率）分率应量
4类型：
（1）求单位1量分少：单位1量×分
（2）已知单位1分少求单位1量
（3）求甲乙（少）分规律：甲乙差÷乙
（4）已知甲乙（少）分求甲规律：乙数×（1±分）
（5）已知甲乙（少）分求乙规律：甲数÷（1±分）
5求数数百分：数÷数×100
百分数意义：表示数数百分数百分数百分率百分
6已知数求数百分少数×百分数
7数数（少）百分 数数（少）量÷数
8差倍倍问题：解倍差倍问题题目时注意找准单位1量通常情况设单位1量ｘ量单位1间关系含ｘ式子表示出量根差列出方程
9应该缴纳税款做应纳税额应纳税额种收入率做税率
应纳税额收入×税率
10利息利率问题：存入银行钱做金取款时银行金外外付钱做利息利息占金百分率做利率 利息金×利率×时间
11折问题：折十分百分十商品现价 商品原价 × 折数
12盈利亏问题
13浓度问题：关浓度计算百分数应题重容解答浓度问题时首先弄清关浓度问题概念
溶剂：溶解物质液体水溶解盐糖等
溶质：溶解物质盐糖等水溶解
溶液：溶质溶剂组成液体盐水糖水等
浓度：溶质溶液值浓度通常百分数表示百分浓度盐盐水值做盐水浓度
面概念引申出关系式：
溶质重量+溶剂重量溶液重量
溶质重量÷溶液重量浓度
溶液重量×浓度溶质重量
溶质重量÷浓度溶液重量
思维：解答浓度问题时牢牢抓住题目中变量基础灵活运关系式
方法：方程解答类问题方法
抛砖引玉
例1种纺织品合格率98300件产品中（ ）件合格
A2 B4 C6 D294
解析题考查知识点数百分少数×百分数求数题中合格件数300×98294（件） 合格件数3002946（件）
答案：C
例2养鸡场养鸡3000总数蛋鸡蛋鸡少？
解析解决类问题首先找单位1什单位1已知未知单位1已知法解决单位1未知法解决题意知鸡总数量做单位1单位1已知法进行解答3000蛋鸡数量
答案：3000×1800（）
例3种洗发液瓶装450克瓶装200克瓶装瓶装分？
解析求甲乙分规律：甲乙量÷乙题意瓶装瓶装分等瓶瓶装量差瓶装量
答案：（450200）÷200
例4益民五金公司年营业总额400万元果营业额3％缴纳营业税年应缴纳营业税少万元？
解析题考查纳税问题应该缴纳税款做应纳税额应纳税额种收入率做税率果营业额3％缴纳营业税营业额作单位1缴纳营业税占营业额3％400万元3％求数百分少法计算计算时百分数化成分数数计算
答案：400×3％ 400×310012（万元）400×3％400×00312（万元）
答：年应缴纳营业税12万元
例5浓度25食盐水400克浓度5食盐水100克混合求混合食盐溶液浓度
解析题考查两种溶液混合配制问题混合前溶液总重量变混合前两种溶液中含盐总混合溶液中含盐量
答案：400×25100（克）
100×55（克）
（100+5）÷（400+100）×10021
答：混合食盐溶液浓度21
例6某商店时卖出两件商品件30元中件盈利20％件亏20％商店卖出两件商品总体盈利亏？具体少？
解析盈利20％售出价成价（1 + 20％）亏20％售出价成价（120％）两件商品售出价30元分算出两件商品成价
答案：30÷（1+20％）25（元）
30÷（120％）375（元）
25+375625（元）
625–6025（元）
答：商店卖出两件商品总体亏亏25元
沙场点兵
1 饲养场养鸭1200养鸡鸭求养鸡少？
2学校建座教学楼投资180万元计划节省计划投资少万元？
3王叔叔买辆价值16000元摩托车规定买摩托车缴纳10％车辆购置税王叔叔买辆摩托车花少钱？
4 方明1500元存入银行定期二年年利率450％两年方明取款时5％缴纳利息税期方明实利息少元？
5某商品果现价18元出售亏25％原成少元？果想盈利25％应少元出售该商品？
实战演练
1（2016•静海）2015年2月份阴天晴天少雪天晴天少月晴天（ ）
A．15天 B．10天 C．20天
2（2017•新乡）种商品价格第次降价20接着涨价20结果原价相（ ）
A．变 B．降低40 C．提高4 D．降低4
3（2017•信阳）六年级1班男生20女生25男生女生少 女生男生
4（2017•诸暨）某公司震汶川建希学实际投资550万元计划超额20万元超额百分？（数百分号前保留整数）
5（2017•瑞安）市学开展奉献爱心情系灾区募捐活动五年级捐款占全校总捐款六年级捐款占全校总捐款两年级捐款6000元．学募捐少元？
6 （2016•三门峡）双运动鞋7折出售原便宜255元．双运动鞋原价少元？
专题十 应题（三）应题（鸡兔笼优化问题等）
考点扫描
1 牛吃草问题
牛吃草问题称消长问题17世纪英国伟科学家牛顿提出典型牛吃草问题条件假设草生长速度固定变头数牛吃光片草需天数相求干头牛吃片草吃少天吃天数草天天生长草存量着吃天数断变化解决牛吃草问题常四基公式分：
（1）草生长速度（应牛头数×吃较天数﹣相应牛头数×吃较少天数）÷（吃较天数﹣吃较少天数）
（2）原草量牛头数×吃天数﹣草生长速度×吃天数
（3）吃天数原草量÷（牛头数﹣草生长速度）
（4）牛头数原草量÷吃天数+草生长速度
四公式解决消长问题基础
（5）牛吃草程中草断生长解决消长问题重点想办法变化中找变量．牧场原草变新长草然变化匀速生长天新长出草量应该变．正变量够导出面四基公式
2鸡兔笼问题
（1）方法：假设法方程法抬腿法列表法
（2）公式1：（兔脚数×总数﹣总脚数）÷（兔脚数﹣鸡脚数）鸡数总数﹣鸡数兔数
公式2：（ 总脚数﹣鸡脚数×总数）÷（兔脚数﹣鸡脚数）兔数 总数﹣兔数鸡数
公式3：总脚数÷2﹣总头数兔数 总数﹣兔数鸡数
公式4：鸡数（4×鸡兔总数﹣鸡兔总脚数）÷2 兔数鸡兔总数﹣鸡数
公式5：兔总数（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总数）÷2 鸡数鸡兔总数﹣兔总数
公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2鸡
公式7：4×+2（总数﹣x）总脚数 （x兔总数﹣x鸡数方程）
公式8：鸡数：鸡数鸡脚数﹣（总脚数÷总数）：（总脚数÷总数）﹣鸡脚数
抛砖引玉
例1牧场已知养牛54头6天草吃养牛46头9天草吃．果养牛42头天牧场草吃呢？
解析头牛天吃牧草作1：牧场原草6天新长草54头牛6天吃牧草：54×6324求出牧场原草9天新长草46头牛9天吃牧草：46×94141天新长草：（414324）÷（96）30牧场原草：54×630×6144天新长草足够30头牛吃42头牛减30头剩12头吃原牧场草求．
答案：（1）54头牛6天吃牧草：54×6324
（2）46头牛9天吃牧草：46×9414
（3）1天新长草：（414324）÷（96）30
（4）牧场原草：54×630×6144
（5）天新长草足够30头牛吃42头牛减30头剩12头吃原牧场草：144÷（4230）12（天）
答：养42头牛12天牧场草吃
例2桶酒天桶裂缝漏掉等量酒现桶酒果6喝4天喝完果4喝5天喝完．桶酒天漏掉酒供喝天？
解析设1天饮酒量1份天漏酒量：（6×4﹣4×5）÷（5﹣4）4（份）求出桶酒天漏掉酒供喝天
答案：解：设1天饮酒量1份
天漏酒量：
（6×4﹣4×5）÷（5﹣4）
4÷1
4（份）
4÷14（）
答：桶酒天漏掉酒供4喝天
例3明玩抛硬币游戏规：枚硬币抛起落正面前走15步背面退10步明抛10次结果前走100步硬币正面少次？背面少？
解析落正面前走15步背面退10步硬币次正面次背面走步数相差10+1525（步）弄清关系解道题难
答案：解：假设10次全正面前走步数：
15×10150（步）
实际相差步数：15010050（步）
背面次数：50÷（10+15）2（次）
正面次数：1028（次）
答：硬币正面8次背面2次
例4白兔晴天天拔24萝卜雨天天拔16萝卜天拔168萝卜均天拔21学请算算天天晴天？
解析拔168萝卜均天拔21求出拔168÷218天假设8天全雨天拔萝卜16×8128已知168少16812840晴天雨天拔24168求出晴天40÷85天
答案：168÷218（天）
（16816×8）÷（2416）5（天）
答：晴天5天
例5托运玻璃仪器250箱合规定箱运费20元损失损坏箱仅运费箱赔偿损失费100元运输结算时想获运费损坏少箱？
解析假设运输结算时获运费0元果没损坏会获运费：20×2505000（元）两者相差5000元损坏箱会少运费：100+20120（元）根两差求出损坏箱数列式：5000÷120≈417（箱）损坏41箱
答案：解：假设运输结算时获运费0元
（20×2500）÷（100+20）
5000÷120
≈417（箱）
≈41（箱）
答：运输结算时想获运费损坏41箱
沙场点兵
1某演唱会检票前干分钟观众开始排队等候入场分钟观众数样．开始检票等候队伍消失时开4入场口需50分钟时开6入场口需30分钟．问果时开7入场口需分钟（ ）
A．18分钟 B．20分钟 C．22分钟 D．25分钟
2停车场摩托车汽车50辆车轮总数160停车场汽车（ ）辆
A．30 B．20 C．25
3夏令营活动中48位学生参观科普展览．售票处规定门票券10元十券张70元．购买门票少 元
4牧场片匀速生产草供27头牛吃6周者供23头牛吃9周果草场面积扩原3倍供54头牛吃周？
5美宇公司准备105名工购套工作服．三家商场符合求服装套服装定价260元．三家商场优惠情况：A商场：次购买50套顾客七五折B商场：买十送三C商场：买四送
（1）应该家商场购买较合算？
（2）美宇公司花少钱买批工作服？
6次捐款活动中六年级灾区朋友捐款450元全10元纸币5元纸币50张10元5元纸币少张？
实战演练
1（2017•泉州）鸡兔笼问题国古代数学名题孙子算中记载题目样：鸡兔笼三十五头九十四足问鸡兔？学出古代名题结果（ ）
A．鸡23兔12 B．鸡12兔23 C．鸡14兔21
2（2017•成）五期间甲商场五折方式优惠乙商场满200送100元优惠券措施优惠．妈妈算花900元购物（ ）商场较合算．
A．甲 B．乙 C．甲乙均 D．法确定
3（2016•周口）种洗衣粉甲乙丙三商店售价袋6元现三商店分方式促销甲商店优惠15乙商店满100元优惠25丙商店买4送．果买10袋种洗衣粉想花少钱应该 购买需花 元
4（2014•长沙）牧场牧草天匀速生长供9头牛吃12天供8头牛吃16天现开始4头牛吃第7天开始增加干头牛6天吃光草问增加 头牛
5（2014•南京）六童节六（2）班木偶戏购买50张票中部分张15元部分张20元总票价880元．两种票买少张？
6 （2017•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动天该专卖店购买商品两种方案：
方案：168元购买会员卡成会员会员卡购买商店意商品律商品价格八折优惠
方案二：购买会员卡购买商店商品律商品价格九五折优惠
已知芳5月1日前该商店会员
（1）芳购买会员卡购买件商品时付380元．购买件商品优惠少元？
（2）请帮芳算算购买商品超少元时采方案更合算？
专题十二 数学拓展（抽屉原理容斥原理方阵问题时钟问题等）
考点扫描
1抽屉原理
（1）抽屉原理定义
般情况n+1n+1苹果放n抽屉里中必定少抽屉里少两苹果称种现象抽屉原理
（2）抽屉原理基公式
判断三量：苹果：具体
抽屉：少类（谁相者谁抽屉）
类型：求少数者证明少数
均分思想：苹果抽屉商余数
少数商+1
类型二：求苹果
苹果少（少数1）×抽屉+1
类型三：求抽屉（考查非常少解）
抽屉（苹果—1）÷（少数—1）
（三类型中求少数苹果树题目中会出现少唯独求抽屉时候会出现）
2容斥原理
（1）两集合容斥原理：
果计数事物AB两类A类B类元素数总 属A类元素数+ 属B类元素数—A类B类元素数（A∪B A+B A∩B)
（2）三集合容斥原理：
果计数事物ABC三类A类B类C类元素数总 A类元素数+ B类元素数+C类元素数—A类B类元素数—A类C类元素数—B类C类元素数+A类B类C类元素数
（3） 三集合容斥关系公式：A∪B∪C A+B+C A∩B B∩C C∩A +A∩B∩C
3方阵问题
日常生活中常见物排成正方形形状花盆摆成正方形学参加运动会入场式进行队列操练解放军排着整齐方队接受检阅等训练接受检阅定规排成定队形产生类数学问题数学通常研究样问题称方阵问题掌握类问题解题规律提高解题力培养思维灵活性
士兵排队横着排行竖着排列行数列数相等恰排成正方形方队种方队做方阵(方问题)摆放方阵中果实心中实方阵果方阵空心中空方阵
观察中实方阵难发现方阵基特点：
（1）方阵行物体数列物体数相等
（2）掉横竖排时1物体时属减行列
（3）果外圈形成正方形第层里圈第二层话会发现相邻两正方形边数相差2相邻两层相差总数8
（4）边(物)数四周(物)数关系：
四周(物)数[边(物)数1]×4
边(物)数四周(物)数÷4+1
（5）中实方阵总数(物)边(物)数×边(物)数
观察中空方阵难发现方阵基特点：
中空方阵总(物)数（外层边(物)数－中空方阵层数）×中空方阵层数×4
4 时钟问题
（1）时钟问题—钟面追击
基思路：封闭曲线追击问题
（2）关键问题：
确定分针时针初始位置
确定分针时针路程差
（3）基方法：
①分格方法：
时钟钟面圆周均分成60格格称1分格分针时走60分格周时针走5分格分针分钟走1分格时针分钟走分格
②度数方法：
角度观点钟面圆周周360°分针分钟转度6°时针分钟转度度
抛砖引玉
例1长8厘米宽6厘米长方形边长5厘米正方形图放桌面(阴影图形重叠部分)两图形盖住桌面面积少方厘米
解析题意计数事物长方形面积正方形面积两类长方形面积称A类元素正方形面积称B类元素
答案：A∪BA+BA∩B6×8+5×54×3×67
例2参加军训学生进行队列表演排成七行七列正方形队列果掉行列请问：掉少名学生？剩少名学生？
解析图表示4行4列实心正方形队列图中出正方形队列特点：（1）正方形队列行列数相等总数＝行数×列数（2）掉横竖排时1时属减行列图中点A示掉总数＝原行数×2－1掉总数＝减少行数×2＋1
答案：掉数＝7×2－1＝13（）
掉数＝（7－1）×2＋1＝13（）
剩数＝（7－1）×（7－1）＝36（）
剩数＝7×7－13＝49－13＝36（）
答：果掉行列掉13名学生剩36名学生
例3队士兵排成中实方阵外层100请问：方阵中士兵少？
解析想求出方阵中少士兵应先求出方阵外层边少已知方阵外层100100÷4＝25（）边25呢？均分成4份需加1正边数
答案：100÷4＋1＝26（）
26×26＝676（）
答：方阵中士兵676
例4游行队伍中手持鲜花少先队员辆彩车四周围成边三层方阵外边层边12请问：彩车周围少先队员少？
解析请学画图图三层中空方阵示意图难发现特点：
（1）外层边点数相邻层边点数2（2）相邻两层间点总数相差8
答案：解：外层队员总数：12×4－4＝44（）
三层队员总数：44+（44－8）+（44－8×2）
＝44+36+28＝108（）
答：彩车周围少先队员108
例5某单位100名员工进行调查结果发现喜欢球赛电影戏剧中58喜欢球赛38喜欢戏剧52喜欢电影喜欢球赛喜欢戏剧18喜欢电影喜欢戏剧16三种喜欢12喜欢球赛喜欢电影少？
解析 记A类元素：喜欢球赛记B类元素：喜欢戏剧 记C类元素：喜欢电影设喜欢球赛喜欢电影x
答案：解：A∪B∪CA+B+CA∩BB∩CC∩A+A∩B∩C58+38+521816x+12100
x26
答：喜欢球赛喜欢电影3
例6篮子里苹果梨桃橘子现干朋友果朋友中意两水果少少朋友保证两朋友水果相？
解析苹果：？抽屉：相法少数：2
答案：先算抽屉：果水果相：4种法
果水果：4×3÷26种法
抽屉10
苹果（21）×10+111（）
少11朋友保证两朋友水果相
沙场点兵
1某单位青年员工85中68会骑行车62会游泳会骑车会游泳12会骑车会游泳( )
A57 B73 C130 D69
2某班统计考试成绩数学90分25语文90分21两科中少科90分38问两科90分
3实验学四年级原准备排成正方形队列参加广播操表演服装够横竖减少排样需掉27请问：四年级原准备少参加表演？
4干名学排成中实方阵12方阵改摆成横两方增加1方阵差9排满请问：原学生少？
5 正方形舞厅四周均匀装彩灯果四角装盏边装12盏舞厅四周装彩灯少盏？
实战演练
1（2017•湛江）四年级班54定阅学生优秀作文数学世界两种读物13订阅学生优秀作文45少订阅种读物订阅数学世界（ ）
A．13 B．22 C．33 D．41
2（2017•安阳）五年级122名学参加语文数学考试少门功课取优秀成绩中语文成绩优秀65数学成绩优秀87语文数学优秀（ ）
A．30 B．35 C．57 D．65
3（2017•安徽）学校文艺组少会演奏种乐器已知会拉手提琴24会弹电子琴17中两样会8文艺组
4（2017•贵阳）六童节前夕校园雕塑周围204盆鲜花围成边三层方阵请求出外面层边鲜花少盆？
5（2016•南阳）明明围棋子摆成三层中空方阵果外层边围棋子15明明摆方阵里层周少枚棋子？摆三层空心方阵少枚棋子？
6（2017•济宁）杨树柳树隔株相间种法种成7行7列方阵问方阵外层杨树柳树少棵？方阵中杨树柳树少棵？
升初真题卷
郑州市2016年升初真题试卷
选择题（10题题4分计40分）
1右图2007年10月份日历表意圈出竖列相邻三数三数（ ）
日 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A69 B54 C27 D40
2图示两天衡3球体重量等（ ）正方体重量
A2 B3 C4 D5
3明6天次舞蹈课华14天次天舞蹈课（ ）天次舞蹈课相遇
A24 B42 C48 D56
4选项符合描述图形（ ）
三角形PQR直角三角形角R直角边RQ长度边PQ长度短MPQ中点点N边QR中点点S三角形点线段MN线段MS长
A B
C D
5木匠段32米长木材想利家中块设置护栏块形状做设计四种设计方案中32米木材作护栏收尾封闭（ ）
A B
C D
6列图明画长方体展开图认正确（ ）
A B
C D
7阅读列文字图表回答问题：
（1）袋子里红色糖果少？（ ）
A6 B5 C4 D3
（2）列两种糖果数量样？（ ）
A红色棕色 B蓝色粉色 C蓝色紫色 D橙色粉色
（3）李便袋子中糖果什颜色？（ ）
A橙色 B红色 C蓝色 D紫色
（4）李便袋子中取糖果红色糖果性？（ ）
A35 B20 C90 D15
二填空题（3题满分10分）
1请天合适 +—×÷运算符号等式成立
3（ ）3（ ）3（ ）310
2梯形底底2倍果底延长9cm成行四边形面积增加18cm2原梯形面积 cm2
3长方形状蛋糕盒长宽30cm高12cm果根绳子困扎（图）结处长15cm需绳子长 cm
三综合实践（满分40分）
1图某城市2006年五月九月月均气温统计图
（1）相邻两月均气温变化 月 月（2分）
（2）5月均气温少摄氏度？请列式计算（6分）
2家汽车杂志开展新车评估活动评估分高新车颁年度佳车型称号表显示五种新车型评估结果
注：表中数值车型方面评估分中3分表示优秀2分表示良1分表示
积分规：车型积分3S+F+E+T
该杂志积分规计算车型评估分积分规：
车型积分3S+F+E+T
（1） 车型C1分少？请列式计算（4分）
（2）车型积分规进行计算排名（两车型总分相等时排名首先考虑安全性次考虑燃油效率次考虑车舒适性考虑外观请相应车型填入面排序中）：（4分）① ② ③ ④ ⑤
（3）车型C1制造商认述规公车型C1积分高（允许列高分情况）该设置新积分规？式子中填写四3正整数表示新规请填写想规写出四新规：（4分）
新规1：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规2：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规3：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
新规4：车型积分（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T
3海域中船灯塔港口位置图示
（1）船位灯塔 （请准确填写方位）（4分）
（2）图中港口船距离4cm例尺1：100000实际距离 千米
4海域中灯塔灯光亮暗规律般设计工作模式模式运行次时间称灯塔工作重复运行周期图中示该灯塔种工作模式持续运行14秒灯光亮暗情况：
（1）该灯塔工作重复运行周期 秒
（2）分钟时间里该灯塔灯亮累计时间 秒
（3）现求灯塔工作短运行周期6秒分钟灯亮累计时间30秒请图中满足求种工作模式持续运行12秒灯光亮暗情况图样方式表示出
郑州市2017年升初真题试卷
选择题（7题题4分计28分）
1郑计划年夏天读30书书做读书笔记现已读a书中b书没做读书笔记述项表达式中正确表示郑少书没做读书笔记？( )
A30b？ B？+ab30 C30+ab Dab
2 郑两正方形骰子面点数符合规：骰子相两面点数7面四骰子展开图中两郑骰子（ ）
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
AⅠⅡ B．ⅡⅢ C．ⅢⅣ D．ⅠⅣ
3 郑积木玩具（图左）角度观察项（ ）
B B C D
4 吃完饭郑告诉顿饭消费300元中饮料58元凉菜46元热菜196元（包含特价菜32元）已知该饭店两种优惠方式中优惠方式满80元减10元优惠方式二九折选择中种特价菜饮料参优惠计算请问少支付少钱？（ ）
A279元 B280元 C27375元 D270元
5餐结束获次转盘抽奖机会已知抽中二等奖性等奖性2倍抽中三等奖性等奖3倍余参奖抽中参奖性三等奖2倍请问抽中等奖性少？（ ）
A三分 B六分 C八分 D十二分
6老郑表示国际友欢迎位外国伙伴抽奖机会请问外国伙伴抽中等奖性相？（ ）
A外国伙伴抽中性较 B外国伙伴抽中性较
C两者性相 D确定
7 根信息推测抽奖转盘中饭店？（ ）
A B C D
二． 填空题（5题计20分）
1老郑账组递等式式子里运算符号括号清请帮补充完整（4分）
10 30 20 20 60 15
300 20 20 4
280 20 4
14 4
10
2 郑准备两种形状木板拼接制作成桌号牌两块木板形状分行四边形三角形桌牌形状梯形（右图示）已知行四边形面积三角形面积24cm2梯形底底分5cm11cm梯形面积（ ）cm2（4分）
3老郑计划块面积27cm2板刷漆已知千克油漆刷板3m2根表规格购买油漆老郑少需花费（ ）元（3分）
规格
单价
桶桶装油漆10kg
桶190元
中桶桶装油漆5kg
桶100元
桶桶装油漆3kg
桶68元
迷桶桶装油漆2kg
桶50元
4郑正生日老郑布置房间准备楼梯装饰花边花边形状右图示请问花边周长（ ）dm（3分）
5 感谢家郑端出蛋糕右图蛋糕长30cm宽30cm高20cm长方体先蛋糕表面浇满层薄薄巧克力（巧克力法渗透进底座）然切成干块均匀1000cm3正方形蛋糕请根条件作答（6分）
（1） 切成（ ）块蛋糕
（2） 面巧克力蛋糕（ ）块
（3） 两面巧克力蛋糕（ ）块
（4） 三面巧克力蛋糕（ ）块
三． 综合实践（9题计42分中第23两题单选题）
餐外国伙伴聊起官渡战事玩起模拟战争游戏现请智慧解决战争游戏中数学问题吧
古代行军粮草非常关键士兵般会身携带干粮保证5~10天时间作战需规定名战士天须带12公斤干粮表中列5名士兵根行军时长携带类型干粮数量
1 请计算AB答题卡AB处数字填写出（6分）
士兵
士兵甲
士兵乙
士兵丙
士兵丁
士兵戊
行军天数（天）
5
8
6
9
10
面饼（块）
0
96
36
A
48
馒头（）
75
0
0
30
B
肉干（条）
0
0
27
9
27
2 规模作战常涉量军粮消耗假设曹军粮草官提供粮草需支持曹军2万名士兵3月作战时间请问约会官渡战准备少干粮？（3分）
A22000000kg B2160000kg C1100000kg D2200000kg
3 曹操佯攻延津吸引袁军兵力关羽阵斩颜良解白马围已知延津白马西南方345km处请问延津县右图中点？（4分）
A 甲 B乙 C丙 D丁
假设穿越三国时代担军前锋统领天辰时（早7点整）全军准备出发务率领前锋部队快速前进建成营（已知建立营需2时）等候军天黑前会合入住营
4 天全军行军务48km天黑时间酉时（午5点）保证全军利会合军前锋部队行军速度分少达少？请列式进行计算（5分）
5第二天前锋部队5kmh速度行军军3kmh速度行进离出发点10km方发现敌情立派出队士兵回通报军请问士兵约点军相遇？请列式进行计算（6分）
6 第三天前锋部队搭建营范围图曲线示格子宽度100m请利方格估算营面积计算估算程（4分）
7 官渡战曹操组建威名远震骑兵部队——虎豹骑已知骑兵锋常锥形阵阵右图示图锥形阵成等腰三角形矩形组合假着阵型实线边界4米布置骑兵3组军阵部区域站骑兵请问图表示阵中少名骑兵？请列式进行计算（4分）
8 假阵需增加420名骑兵骑兵放ABCD两条线段更长请问时军队围区域面积少？请列式进行计算（5分）
9 军阵移动成移旋转两种运动方式结合图示格宽度代表200米列军阵南移08千米西移06千米O点中心时针旋转90°达图位置请答题卡方格纸画出军阵移动前位置（5分）
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