§47 解三角形综合应
新考纲
考情考分析
够运正弦定理余弦定理等知识方法解决测量计算关实际问题
利正弦定理余弦定理测量距离高度角度等实际问题常三角恒等变换三角函数性质结合考查加强数学知识应性．题型选择题填空题中档难度
实际测量中常见问题
求AB
图形
需测量元素
解法
求
竖
直
高
度
底部
达
∠ACB＝αBC＝a
解直角三角形
AB＝atan α
底部达
∠ACB＝α
∠ADB＝β
CD＝a
解两直角三角形
AB＝
求
水
距
离
山两侧
∠ACB＝α
AC＝b
BC＝a
余弦定理
AB＝
河两岸
∠ACB＝α
∠ABC＝β
CB＝a
正弦定理AB＝
河岸
∠ADC＝α
∠BDC＝β
∠BCD＝δ
∠ACD＝γ
CD＝a
△ADC中AC＝
△BDC中BC＝
△ABC中应
余弦定理求AB
知识拓展
实际问题中常术语
1．仰角俯角
目标线铅垂面水视线目标视线夹角目标视线水视线方仰角目标视线水视线方俯角(图①)．
2．方角
相某正方水角南偏东30°北偏西45°等．
3．方位角
指正北方时针转目标方线水角B点方位角α(图②)．
4．坡度(称坡)
坡面垂直高度水长度．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)A处B处仰角αB处A处俯角βαβ关系α＋β＝180°( × )
(2)俯角铅垂线视线成角范围( × )
(3)方位角方角实质样均确定观察点目标点间位置关系．( √ )
(4)方位角范围[02π)方角范围般( √ )
题组二 教材改编
2[P11例1]图示设AB两点河两岸测量者A侧河岸边选定点C测出AC距离50 m∠ACB＝45°∠CAB＝105°计算出AB两点距离________ m
答案 50
解析 正弦定理＝
∵B＝30°
∴AB＝＝＝50(m)．
3．[P13例3]图山脚A测山顶P仰角30°倾斜角15°斜坡走a米BB处测山顶P仰角60°山高h＝______米．
答案 a
解析 题图∠PAQ＝α＝30°
∠BAQ＝β＝15°△PAB中∠PAB＝α－β＝15°
∠PBC＝γ＝60°
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°
∴＝∴PB＝a
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a
题组三 易错纠
4．某次测量中A处测半面方B点仰角60°C点俯角70°∠BAC等( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
答案 D
5图示DCB三点面条直线DC＝aCD两点测A点仰角分60°30°A点离面高度AB＝________
答案 a
解析 已知∠DAC＝30°△ADC等腰三角形AD＝aRt△ADB中AB＝AD＝a
6．次抗洪抢险中某救生艇发动机突然发生障停止转动失动力救生艇洪水中漂行时风北偏东30°风速20 kmh水流正东流速20 kmh考虑素救生艇洪水中漂行方北偏东________速度________ kmh
答案 60° 20
解析 图∠AOB＝60°余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200OC＝20∠COy＝30°＋30°＝60°
题型 求距离高度问题
1．(2018·吉林长春检测)江岸边炮台高30 m江中两条船船炮台底部水面炮台顶部测俯角分45°60°两条船炮台底部连线成30°角两条船相距____m
答案 10
解析 图
OM＝AOtan 45°＝30(m)
ON＝AOtan 30°＝×30
＝10(m)
△MON中余弦定理
MN＝
＝＝10 (m)．
2(2017·郑州中月考)图示山顶铁塔B处测面点A俯角α塔底C处测A处俯角β已知铁塔BC部分高h山高CD＝________
答案
解析 已知∠BCA＝90°＋β∠ABC＝90°－α∠BAC＝α－β∠CAD＝β
△ABC中正弦定理＝
＝
∴AC＝＝
Rt△ACD中CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝
山高CD
3．(2018·日模拟)船时15 km速度东航行船A处灯塔B北偏东60°方行驶4 h船达C处灯塔北偏东15°方时船灯塔距离________ km
答案 30
解析 图题意知∠BAC＝30°∠ACB＝105°
∴B＝45°AC＝60正弦定理＝
∴BC＝30(km)．
思维升华 求距离高度问题注意事项
(1)选定确定创建三角形首先确定求量三角形量已知直接解未知量未知量放确定三角形中求解．
(2)确定正弦定理余弦定理果选择更便计算定理．
题型二 求角度问题
典例 图示位A处信息中心获悉：正东方相距40海里B处艘渔船遇险原等营救．信息中心立消息告知南偏西30°相距20海里C处乙船现乙船北偏东θ方直线CB前B处救援cos θ值________．
答案
解析 △ABC中AB＝40AC＝20∠BAC＝120°
余弦定理
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800
BC＝20
正弦定理＝
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝
∠BAC＝120°知∠ACB锐角cos∠ACB＝
θ＝∠ACB＋30°cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝
思维升华 解决测量角度问题注意事项
(1)首先应明确方位角方角含义
(2)分析题意分清已知求根题意画出正确示意图关键重步
(3)实际问题转化数学方法解决问题注意正弦余弦定理联袂．
踪训练 图示已知两座灯塔AB海洋观察站C距离相等灯塔A观察站C北偏东40°方灯塔B观察站C南偏东60°方灯塔A灯塔B______方．
答案 北偏西10°
解析 已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°
AC＝BC∴∠A＝∠ABC＝50°60°－50°＝10°
∴灯塔A位灯塔B北偏西10°方．
题型三 三角形三角函数综合问题
典例 (2018·石家庄模拟)△ABC中abc分角ABC边(2a－c)cos B－bcos C＝0
(1)求角B
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x求函数f(x)值f(x)取值时x值．
解 (1)(2a－c)cos B－bcos C＝0
2acos B－ccos B－bcos C＝0
正弦定理2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0
2sin Acos B－sin(C＋B)＝0
C＋B＝π－Asin(C＋B)＝sin A
sin A(2cos B－1)＝0
△ABC中sin A≠0
cos B＝B∈(0π)B＝
(2)B＝
f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ＋(k∈Z)时f(x)取值1
思维升华 三角形三角函数综合问题助三角函数性质整体代换思想数形结合思想结合三角形中角范围充分利正弦定理余弦定理解题．
踪训练 设f(x)＝sin xcos x－cos2
(1)求f(x)单调区间
(2)锐角△ABC中角ABC边分abcf＝0a＝1求△ABC面积值．
解 (1)题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－
－＋2kπ≤2x≤＋2kπk∈Z
－＋kπ≤x≤＋kπk∈Z
＋2kπ≤2x≤＋2kπk∈Z
＋kπ≤x≤＋kπk∈Z
f(x)单调递增区间
(k∈Z)
单调递减区间(k∈Z)．
(2)f＝sin A－＝0sin A＝
题意知A锐角cos A＝
余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A
1＋bc＝b2＋c2≥2bc
bc≤2＋仅b＝c时等号成立．
bcsin A≤
△ABC面积值
函数思想解三角形中应
典例 (12分)某港口O件重物品艇送艘正航行轮船．艇出发时轮船位港口O北偏西30°该港口相距20海里A处正30海里时航行速度正东方匀速行驶．假设该艇直线方v海里时航行速度匀速行驶t时轮船相遇．
(1)希相遇时艇航行距离艇航行速度应少？
(2)假设艇高航行速度达30海里时试设计航行方案(确定航行方航行速度)艇短时间轮船相遇说明理．
思想方法指导 已知两边中边角解三角形时设出第三边利余弦定理列方程求解三角形中值问题建立函数模型转化函数值问题解决．
规范解答
解 (1)设相遇时艇航行距离S海里[1分]
S＝
＝＝[3分]
t＝时Smin＝10v＝＝30
艇30海里时速度航行相遇时艇航行距离．[6分]
(2)设艇轮船B处相遇．
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)[8分]
v2＝900－＋∵0∴900－＋≤900－≤0解t≥
t＝时v＝30
v＝30时t取值值
时△OAB中OA＝OB＝AB＝20[11分]
设计航行方案：
航行方北偏东30°航行速度30海里时．[12分]
1．(2018·武汉调研)已知AB两间距离10 kmBC两间距离20 km现测∠ABC＝120°AC两间距离( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案 D
解析 图示余弦定理AC2＝100＋400－2×10×20×
cos 120°＝700∴AC＝10
2．(2018·襄阳模拟)图两座灯塔AB海岸观察站C距离相等灯塔A观察站南偏西40°灯塔B观察站南偏东60°灯塔A灯塔B( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
答案 D
解析 条件图知∠A＝∠CBA＝40°
∠BCD＝60°∠CBD＝30°
∠DBA＝10°
灯塔A灯塔B南偏西80°
3．艘海轮A处出发时40海里速度南偏东40°方直线航行30分钟达B处C处座灯塔海轮A处观察灯塔方南偏东70°B处观察灯塔方北偏东65°BC两点间距离( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案 A
解析 图示易知
△ABC中AB＝20∠CAB＝30°∠ACB＝45°
根正弦定理
＝
解BC＝10
4．(2018·广州模拟)图气球A测正前方河流两岸BC俯角分75°30°时气球高60 m河流宽度BC等( )
A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 图∠ACD＝30°∠ABD＝75°AD＝60 m
Rt△ACD中
CD＝＝
＝60(m)
Rt△ABD中BD＝＝＝
＝60(2－)m
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m
5图两座相距60 m建筑物ABCD高度分20 m50 mBD水面建筑物AB顶端A建筑物CD张角( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
答案 B
解析 题意AD＝20AC＝30
CD＝50△ACD中
余弦定理cos∠CAD＝
＝＝＝
0°<∠CAD<180°∠CAD＝45°
顶端A建筑物CD张角45°
6．(2018·郑州质检)图示测量河岸塔高AB时选塔底B水面两测点CD测∠BCD＝15°∠BDC＝30°CD＝30点C测塔顶A仰角60°塔高AB等( )
A．5 B．15
C．5 D．15
答案 D
解析 △BCD中∠CBD＝180°－15°－30°＝135°
正弦定理＝BC＝15
Rt△ABC中AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15
选D
7．轮船A轮船B中午12时时离开海港C两船航行方夹角120°两船航行速度分25 n mileh15 n mileh午2时两船间距离________n mile
答案 70
解析 设两船间距离dd2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900∴d＝70两船相距70 n mile
8．(2018·哈尔滨模拟)图某工程中长100 m倾斜角75°斜坡改造成倾斜角30°斜坡保持坡高变坡底需加长________m
答案 100
解析 设坡底需加长x m
正弦定理＝解x＝100
9．(2018·青岛模拟)船正北航行见正西方相距10海里两灯塔恰条直线继续航行半时见灯塔船南偏西60°灯塔船南偏西75°艘船速度时________海里．
答案 10
解析 图示题意∠BAC＝60°∠BAD＝75°
∠CAD＝∠CDA＝15°CD＝CA＝10
Rt△ABC中AB＝5
艘船速度＝10(海里时)．
10图山底A点处测山顶仰角∠CAB＝45°倾斜角30°斜坡走1 000米S点测山顶仰角∠DSB＝75°山高BC________米．
答案 1 000
解析 题图知∠BAS＝45°－30°＝15°
∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°
∴∠ASB＝135°
△ABS中正弦定理＝
∴AB＝1 000∴BC＝＝1 000
11．(2018·泉州质检)图某住宅区面图呈圆心角120°扇形AOBC该区出入口区里条行AO路CD已知某OOD走D2分钟DDC走C3分钟．步行速度分钟50米该扇形半径________米．
答案 50
解析 图连接OC△OCD中OD＝100CD＝150∠CDO＝60°余弦定理OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500解OC＝50
12图渔船甲位岛屿A南偏西60°方B处岛屿A相距12海里渔船乙10海里时速度岛屿A出发正北方航行渔船甲时B处出发北偏东α方追赶渔船乙刚2时追．
(1)求渔船甲速度
(2)求sin α值．
解 (1)题意知∠BAC＝120°AB＝12AC＝10×2＝20∠BCA＝α
△ABC中余弦定理
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784
解BC＝28
渔船甲速度＝14(海里时)．
(2)△ABC中AB＝12∠BAC＝120°BC＝28∠BCA＝α正弦定理＝
sin α＝＝＝
13(2018·德阳模拟)图水面两座直立相距60 m铁塔AA1BB1已知塔AA1底部塔BB1顶部仰角塔BB1底部塔AA1顶部仰角2倍两塔底部连线中点C分两塔顶部仰角互余角．塔BB1底部塔AA1顶部仰角正切值________塔BB1高________ m
答案 45
解析 设塔BB1底部塔AA1顶部仰角α
AA1＝60tan αBB1＝60tan 2α
∵两塔底部连线中点C分两塔顶部仰角互余角∴△A1AC∽△CBB1∴＝
∴AA1·BB1＝900∴3 600tan αtan 2α＝900
∴tan α＝tan 2α＝
BB1＝60tan 2α＝45
14
图气象部门预报距离某码头南偏东45°方600 km处热带风暴中心正20 kmh速度正北方移动距风暴中心450 km区受影响该码头受热带风暴影响时间________h
答案 15
解析 记现热带风暴中心位置点At时热带风暴中心达B点位置△OAB中OA＝600AB＝20t∠OAB＝45°根余弦定理OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×令OB2≤45024t2－120t＋1 575≤0解≤t≤该码头受热带风暴影响时间－＝15
15图示村庄A两条夹角60°公路ABAC根规划两条公路间区域建工厂P分两条公路边建两仓库MN(异村庄A)求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ
(1)ANAM含θ关系式表示出
(2)设计(ANAM长时)工厂产生噪声居民影响(工厂村庄距离AP)
解 (1)∠AMN＝θ
△AMN中正弦定理
＝＝
AN＝sin θAM＝sin(120°－θ)．
(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)θ∈(0°120°)(中利诱导公式知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))
仅2θ＋150°＝270°θ＝60°时工厂产生噪声居民影响时AN＝AM＝2千米．
16．已知△ABC三角ABC边分abc量m＝(cos Bcos C)n＝(2a＋cb)m⊥n
(1)求角B
(2)b＝求a＋c取值范围．
解 (1)∵m＝(cos Bcos C)n＝(2a＋cb)m⊥n
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0
正弦定理cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0
2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A
∵A∈(0π)∴sin A≠0∴cos B＝－
∵0(2)余弦定理
b2＝3＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2
仅a＝c时取等号．
∴(a＋c)2≤4a＋c≤2
∴a＋c取值范围(2]．
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新考纲
考情考分析
够运正弦定理余弦定理等知识方法解决测量计算关实际问题
利正弦定理余弦定理测量距离高度角度等实际问题常三角恒等变换三角函数性质结合考查加强数学知识应性．题型选择题填空题中档难度
实际测量中常见问题
求AB
图形
需测量元素
解法
求
竖
直
高
度
底部
达
∠ACB＝αBC＝a
解直角三角形
AB＝atan α
底部达
∠ACB＝α
∠ADB＝β
CD＝a
解两直角三角形
AB＝
求
水
距
离
山两侧
∠ACB＝α
AC＝b
BC＝a
余弦定理
AB＝
河两岸
∠ACB＝α
∠ABC＝β
CB＝a
正弦定理AB＝
河岸
∠ADC＝α
∠BDC＝β
∠BCD＝δ
∠ACD＝γ
CD＝a
△ADC中AC＝
△BDC中BC＝
△ABC中应
余弦定理求AB
知识拓展
实际问题中常术语
1．仰角俯角
目标线铅垂面水视线目标视线夹角目标视线水视线方仰角目标视线水视线方俯角(图①)．
2．方角
相某正方水角南偏东30°北偏西45°等．
3．方位角
指正北方时针转目标方线水角B点方位角α(图②)．
4．坡度(称坡)
坡面垂直高度水长度．
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)A处B处仰角αB处A处俯角βαβ关系α＋β＝180°( × )
(2)俯角铅垂线视线成角范围( × )
(3)方位角方角实质样均确定观察点目标点间位置关系．( √ )
(4)方位角范围[02π)方角范围般( √ )
题组二 教材改编
2[P11例1]图示设AB两点河两岸测量者A侧河岸边选定点C测出AC距离50 m∠ACB＝45°∠CAB＝105°计算出AB两点距离________ m
答案 50
解析 正弦定理＝
∵B＝30°
∴AB＝＝＝50(m)．
3．[P13例3]图山脚A测山顶P仰角30°倾斜角15°斜坡走a米BB处测山顶P仰角60°山高h＝______米．
答案 a
解析 题图∠PAQ＝α＝30°
∠BAQ＝β＝15°△PAB中∠PAB＝α－β＝15°
∠PBC＝γ＝60°
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°
∴＝∴PB＝a
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a
题组三 易错纠
4．某次测量中A处测半面方B点仰角60°C点俯角70°∠BAC等( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
答案 D
5图示DCB三点面条直线DC＝aCD两点测A点仰角分60°30°A点离面高度AB＝________
答案 a
解析 已知∠DAC＝30°△ADC等腰三角形AD＝aRt△ADB中AB＝AD＝a
6．次抗洪抢险中某救生艇发动机突然发生障停止转动失动力救生艇洪水中漂行时风北偏东30°风速20 kmh水流正东流速20 kmh考虑素救生艇洪水中漂行方北偏东________速度________ kmh
答案 60° 20
解析 图∠AOB＝60°余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200OC＝20∠COy＝30°＋30°＝60°
题型 求距离高度问题
1．(2018·吉林长春检测)江岸边炮台高30 m江中两条船船炮台底部水面炮台顶部测俯角分45°60°两条船炮台底部连线成30°角两条船相距____m
答案 10
解析 图
OM＝AOtan 45°＝30(m)
ON＝AOtan 30°＝×30
＝10(m)
△MON中余弦定理
MN＝
＝＝10 (m)．
2(2017·郑州中月考)图示山顶铁塔B处测面点A俯角α塔底C处测A处俯角β已知铁塔BC部分高h山高CD＝________
答案
解析 已知∠BCA＝90°＋β∠ABC＝90°－α∠BAC＝α－β∠CAD＝β
△ABC中正弦定理＝
＝
∴AC＝＝
Rt△ACD中CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝
山高CD
3．(2018·日模拟)船时15 km速度东航行船A处灯塔B北偏东60°方行驶4 h船达C处灯塔北偏东15°方时船灯塔距离________ km
答案 30
解析 图题意知∠BAC＝30°∠ACB＝105°
∴B＝45°AC＝60正弦定理＝
∴BC＝30(km)．
思维升华 求距离高度问题注意事项
(1)选定确定创建三角形首先确定求量三角形量已知直接解未知量未知量放确定三角形中求解．
(2)确定正弦定理余弦定理果选择更便计算定理．
题型二 求角度问题
典例 图示位A处信息中心获悉：正东方相距40海里B处艘渔船遇险原等营救．信息中心立消息告知南偏西30°相距20海里C处乙船现乙船北偏东θ方直线CB前B处救援cos θ值________．
答案
解析 △ABC中AB＝40AC＝20∠BAC＝120°
余弦定理
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800
BC＝20
正弦定理＝
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝
∠BAC＝120°知∠ACB锐角cos∠ACB＝
θ＝∠ACB＋30°cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝
思维升华 解决测量角度问题注意事项
(1)首先应明确方位角方角含义
(2)分析题意分清已知求根题意画出正确示意图关键重步
(3)实际问题转化数学方法解决问题注意正弦余弦定理联袂．
踪训练 图示已知两座灯塔AB海洋观察站C距离相等灯塔A观察站C北偏东40°方灯塔B观察站C南偏东60°方灯塔A灯塔B______方．
答案 北偏西10°
解析 已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°
AC＝BC∴∠A＝∠ABC＝50°60°－50°＝10°
∴灯塔A位灯塔B北偏西10°方．
题型三 三角形三角函数综合问题
典例 (2018·石家庄模拟)△ABC中abc分角ABC边(2a－c)cos B－bcos C＝0
(1)求角B
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x求函数f(x)值f(x)取值时x值．
解 (1)(2a－c)cos B－bcos C＝0
2acos B－ccos B－bcos C＝0
正弦定理2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0
2sin Acos B－sin(C＋B)＝0
C＋B＝π－Asin(C＋B)＝sin A
sin A(2cos B－1)＝0
△ABC中sin A≠0
cos B＝B∈(0π)B＝
(2)B＝
f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ＋(k∈Z)时f(x)取值1
思维升华 三角形三角函数综合问题助三角函数性质整体代换思想数形结合思想结合三角形中角范围充分利正弦定理余弦定理解题．
踪训练 设f(x)＝sin xcos x－cos2
(1)求f(x)单调区间
(2)锐角△ABC中角ABC边分abcf＝0a＝1求△ABC面积值．
解 (1)题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－
－＋2kπ≤2x≤＋2kπk∈Z
－＋kπ≤x≤＋kπk∈Z
＋2kπ≤2x≤＋2kπk∈Z
＋kπ≤x≤＋kπk∈Z
f(x)单调递增区间
(k∈Z)
单调递减区间(k∈Z)．
(2)f＝sin A－＝0sin A＝
题意知A锐角cos A＝
余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A
1＋bc＝b2＋c2≥2bc
bc≤2＋仅b＝c时等号成立．
bcsin A≤
△ABC面积值
函数思想解三角形中应
典例 (12分)某港口O件重物品艇送艘正航行轮船．艇出发时轮船位港口O北偏西30°该港口相距20海里A处正30海里时航行速度正东方匀速行驶．假设该艇直线方v海里时航行速度匀速行驶t时轮船相遇．
(1)希相遇时艇航行距离艇航行速度应少？
(2)假设艇高航行速度达30海里时试设计航行方案(确定航行方航行速度)艇短时间轮船相遇说明理．
思想方法指导 已知两边中边角解三角形时设出第三边利余弦定理列方程求解三角形中值问题建立函数模型转化函数值问题解决．
规范解答
解 (1)设相遇时艇航行距离S海里[1分]
S＝
＝＝[3分]
t＝时Smin＝10v＝＝30
艇30海里时速度航行相遇时艇航行距离．[6分]
(2)设艇轮船B处相遇．
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)[8分]
v2＝900－＋∵0
t＝时v＝30
v＝30时t取值值
时△OAB中OA＝OB＝AB＝20[11分]
设计航行方案：
航行方北偏东30°航行速度30海里时．[12分]
1．(2018·武汉调研)已知AB两间距离10 kmBC两间距离20 km现测∠ABC＝120°AC两间距离( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案 D
解析 图示余弦定理AC2＝100＋400－2×10×20×
cos 120°＝700∴AC＝10
2．(2018·襄阳模拟)图两座灯塔AB海岸观察站C距离相等灯塔A观察站南偏西40°灯塔B观察站南偏东60°灯塔A灯塔B( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
答案 D
解析 条件图知∠A＝∠CBA＝40°
∠BCD＝60°∠CBD＝30°
∠DBA＝10°
灯塔A灯塔B南偏西80°
3．艘海轮A处出发时40海里速度南偏东40°方直线航行30分钟达B处C处座灯塔海轮A处观察灯塔方南偏东70°B处观察灯塔方北偏东65°BC两点间距离( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案 A
解析 图示易知
△ABC中AB＝20∠CAB＝30°∠ACB＝45°
根正弦定理
＝
解BC＝10
4．(2018·广州模拟)图气球A测正前方河流两岸BC俯角分75°30°时气球高60 m河流宽度BC等( )
A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 图∠ACD＝30°∠ABD＝75°AD＝60 m
Rt△ACD中
CD＝＝
＝60(m)
Rt△ABD中BD＝＝＝
＝60(2－)m
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m
5图两座相距60 m建筑物ABCD高度分20 m50 mBD水面建筑物AB顶端A建筑物CD张角( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
答案 B
解析 题意AD＝20AC＝30
CD＝50△ACD中
余弦定理cos∠CAD＝
＝＝＝
0°<∠CAD<180°∠CAD＝45°
顶端A建筑物CD张角45°
6．(2018·郑州质检)图示测量河岸塔高AB时选塔底B水面两测点CD测∠BCD＝15°∠BDC＝30°CD＝30点C测塔顶A仰角60°塔高AB等( )
A．5 B．15
C．5 D．15
答案 D
解析 △BCD中∠CBD＝180°－15°－30°＝135°
正弦定理＝BC＝15
Rt△ABC中AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15
选D
7．轮船A轮船B中午12时时离开海港C两船航行方夹角120°两船航行速度分25 n mileh15 n mileh午2时两船间距离________n mile
答案 70
解析 设两船间距离dd2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900∴d＝70两船相距70 n mile
8．(2018·哈尔滨模拟)图某工程中长100 m倾斜角75°斜坡改造成倾斜角30°斜坡保持坡高变坡底需加长________m
答案 100
解析 设坡底需加长x m
正弦定理＝解x＝100
9．(2018·青岛模拟)船正北航行见正西方相距10海里两灯塔恰条直线继续航行半时见灯塔船南偏西60°灯塔船南偏西75°艘船速度时________海里．
答案 10
解析 图示题意∠BAC＝60°∠BAD＝75°
∠CAD＝∠CDA＝15°CD＝CA＝10
Rt△ABC中AB＝5
艘船速度＝10(海里时)．
10图山底A点处测山顶仰角∠CAB＝45°倾斜角30°斜坡走1 000米S点测山顶仰角∠DSB＝75°山高BC________米．
答案 1 000
解析 题图知∠BAS＝45°－30°＝15°
∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°
∴∠ASB＝135°
△ABS中正弦定理＝
∴AB＝1 000∴BC＝＝1 000
11．(2018·泉州质检)图某住宅区面图呈圆心角120°扇形AOBC该区出入口区里条行AO路CD已知某OOD走D2分钟DDC走C3分钟．步行速度分钟50米该扇形半径________米．
答案 50
解析 图连接OC△OCD中OD＝100CD＝150∠CDO＝60°余弦定理OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500解OC＝50
12图渔船甲位岛屿A南偏西60°方B处岛屿A相距12海里渔船乙10海里时速度岛屿A出发正北方航行渔船甲时B处出发北偏东α方追赶渔船乙刚2时追．
(1)求渔船甲速度
(2)求sin α值．
解 (1)题意知∠BAC＝120°AB＝12AC＝10×2＝20∠BCA＝α
△ABC中余弦定理
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784
解BC＝28
渔船甲速度＝14(海里时)．
(2)△ABC中AB＝12∠BAC＝120°BC＝28∠BCA＝α正弦定理＝
sin α＝＝＝
13(2018·德阳模拟)图水面两座直立相距60 m铁塔AA1BB1已知塔AA1底部塔BB1顶部仰角塔BB1底部塔AA1顶部仰角2倍两塔底部连线中点C分两塔顶部仰角互余角．塔BB1底部塔AA1顶部仰角正切值________塔BB1高________ m
答案 45
解析 设塔BB1底部塔AA1顶部仰角α
AA1＝60tan αBB1＝60tan 2α
∵两塔底部连线中点C分两塔顶部仰角互余角∴△A1AC∽△CBB1∴＝
∴AA1·BB1＝900∴3 600tan αtan 2α＝900
∴tan α＝tan 2α＝
BB1＝60tan 2α＝45
14
图气象部门预报距离某码头南偏东45°方600 km处热带风暴中心正20 kmh速度正北方移动距风暴中心450 km区受影响该码头受热带风暴影响时间________h
答案 15
解析 记现热带风暴中心位置点At时热带风暴中心达B点位置△OAB中OA＝600AB＝20t∠OAB＝45°根余弦定理OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×令OB2≤45024t2－120t＋1 575≤0解≤t≤该码头受热带风暴影响时间－＝15
15图示村庄A两条夹角60°公路ABAC根规划两条公路间区域建工厂P分两条公路边建两仓库MN(异村庄A)求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ
(1)ANAM含θ关系式表示出
(2)设计(ANAM长时)工厂产生噪声居民影响(工厂村庄距离AP)
解 (1)∠AMN＝θ
△AMN中正弦定理
＝＝
AN＝sin θAM＝sin(120°－θ)．
(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)θ∈(0°120°)(中利诱导公式知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))
仅2θ＋150°＝270°θ＝60°时工厂产生噪声居民影响时AN＝AM＝2千米．
16．已知△ABC三角ABC边分abc量m＝(cos Bcos C)n＝(2a＋cb)m⊥n
(1)求角B
(2)b＝求a＋c取值范围．
解 (1)∵m＝(cos Bcos C)n＝(2a＋cb)m⊥n
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0
正弦定理cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0
2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A
∵A∈(0π)∴sin A≠0∴cos B＝－
∵0
b2＝3＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2
仅a＝c时取等号．
∴(a＋c)2≤4a＋c≤2
∴a＋c取值范围(2]．
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