固体物理学题解答
黄昆 原著 韩汝琦改编
（陈志远解答仅供参考）
第章 晶体结构
11
解：实验表明元素原子离子具接球形称结构原子离子构成晶体作刚性球紧密堆积成样单原子晶体原胞作相球点阵排列堆积起空间利率晶体原胞包含点数目n球体积V球总体积nV晶体原胞体积Vc：晶体原胞空间利率
（1）简立方结构：（见教材P2图11）
a2r VVca3n1
∴
（2）体心立方：晶胞体角线BG
n2 Vca3
∴
（3）面心立方：晶胞面角线BC
n4Vca3
（4）六角密排：a2r晶胞面积：S6
晶胞体积：V
n126
（5）金刚石结构晶胞体角线BG n8 Vca3
12试证：六方密排堆积结构中
证明：六角密堆积结构中第层硬球ABO中心联线形成边长a2r正三角形第二层硬球N位球ABO围间隙正方三球相切：
NANBNOa2R
图中NABO构成正四面体…
13证明：面心立方倒格子体心立方体心立方倒格子面心立方
证明：（1）面心立方正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：
倒格子基矢定义：
理：面心立方倒格子基矢体心立方正格基矢相
面心立方倒格子体心立方
（2）体心立方正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：
倒格子基矢定义：
理：体心立方倒格子基矢面心立方正格基矢相
体心立方倒格子面心立方
15证明倒格子矢量垂直密勒指数晶面系
证明：
利容易证明
倒格子矢量垂直密勒指数晶面系
16简单立方晶格证明密勒指数晶面系面间距满足：中立方边长说明面指数简单晶面面密度较容易解理
解：简单立方晶格：
倒格子基矢定义：
倒格子基矢：
倒格子矢量：
晶面族面间距：
面指数越简单晶面晶面间距越晶面格点密度越单位表面量越样晶面越容易解理
第二章 固体结合
21两种价离子组成维晶格马德隆常数（）库仑相互作设离子总数
＜解＞ 设想正负两种离子相间排列限长离子键取负离子作参考离子（样马德隆常数中正负号样取遇正离子取正号遇负离子取负号）r表示相邻离子间距离
前边子2存着两相等距离离子参考离子左面右面边求2马德隆常数
X1时
23晶体相互作表示
试求：（1）衡间距
（2）结合（单原子）
（3）体弹性模量
（4）取计算值
解：（1）求衡间距r0
：
结合：设想分散原子（离子分子）结合成晶体定量释放出量称结合（w表示）
（2）求结合w（单原子）
题中标明单原子问题简化说明组成晶体基单元单原子非原子团离子基团复杂基元
显然结合衡时晶体势Umin
： （代入r0值代入）
（3）体弹性模量
体弹性模量公式：
（4）m 2n 10 w 4eV求αβ
①
②
代入①②
（1）衡间距r0计算
晶体
衡条件
（2）单原子结合
（3）体弹性模量
晶体体积A常数N原胞数目
晶体
衡条件
体弹性模量
（4）取
第三章 固格振动晶体热学性质
32讨N原胞维双原子链（相邻原子间距a）2N格波解 时维单原子链结果应
解：质量原子位2n1 2n+1 2n+3 ……质量原子位2n 2n+2 2n+4 ……
牛顿运动方程
N原胞2N独立方程
设方程解代回方程中
AB非零解
两种格波色散关系
q应两支格波：支声学波支光学波总格波数目2N
时
两种色散关系图示：
长波极限情况
维单原子晶格格波色散关系致
33考虑双子链晶格振动链邻原子间力常数交错两种原子质量相等邻原子间距试求处粗略画出色散关系曲线问题模拟样双原子分子晶体
答：（1）
浅色标记原子位2n1 2n+1 2n+3 ……深色标记原子位2n 2n+2 2n+4 ……
第2n原子第2n＋1原子运动方程：
体系N原胞2N独立方程
方程解：令解代入述方程：
AB非零解系数行列式满足：
令
两种色散关系：
时
时
（2）色散关系图：
37设三维晶格光学振动q0附长波极限
求证：
＜解＞
带入边结果
38N相原子组成面积S二维晶格德拜似计算热述低温极限热正
证明：间独立振动模式应面中半径间圆环面积
第四章 带理
41根状态简微扰结果求出相应波函数说明特性．说明代表驻波较两电子云分布说明隙源(假设)
＜解＞令简微扰波函数
取
带入式中
V(x)<0式B A
取
教材知均驻波． 驻波状态电子均速度零．产生驻波电子波矢时电子波波长恰满足布拉格发射条件时电子波发生全反射反射波形成驻波两驻波电子分布应代入量
42写出维电子似第n带(n123)中简约波数0级波函数
＜解＞
第带：
第二带：
第三带：
43电子周期场中势．
0
中d＝4b常数．试画出势曲线求均值晶体第第二禁带度．
＜解＞(I)题设势曲线图示．
(2)势均值：图见周期周期函数
题设积分限应区间需区间积分．时
（3）势[2b2b]区间偶函数展开成傅立叶级数
利积分公式
第二禁带宽度代入式
次利积分公式
44
解：求解面心立方学做体心立方
（1）计邻相互作紧束缚似结果晶体中S态电子量表示成：
面心立方中12邻取12邻坐标：
①
②
③
S态波函数球称方重叠积分相相值简单表示J1s态波函数偶宇称
∴邻重叠积分中波函数贡献正
∴J1＞0
邻格矢代入表达式：
+
（2）体心立方：8邻8邻坐标：
47维单原子链间距a总长度Na求（1）紧束缚似求出原子s态级应带E(k)函数（2）求出态密度函数表达式（3）果原子s态电子求等T0K费米级处态密度
＜解＞
(2)
(3)
第五章 晶体中电子电场磁场中运动
51设维晶体电子带写成 中晶格常数电子质量
试求（1）带宽度
（2）电子波矢k状态速度
（3）带顶带底电子效质量
解：（1）
[－coska+(2cos2ka－1)]
＝[(coska－2)2－1]
ka＝(2n+1)p时n0±1±2…
ka2np时
带宽度＝
（2）
(3)
时带底
时带顶
— END —
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黄昆 原著 韩汝琦改编
（陈志远解答仅供参考）
第章 晶体结构
11
解：实验表明元素原子离子具接球形称结构原子离子构成晶体作刚性球紧密堆积成样单原子晶体原胞作相球点阵排列堆积起空间利率晶体原胞包含点数目n球体积V球总体积nV晶体原胞体积Vc：晶体原胞空间利率
（1）简立方结构：（见教材P2图11）
a2r VVca3n1
∴
（2）体心立方：晶胞体角线BG
n2 Vca3
∴
（3）面心立方：晶胞面角线BC
n4Vca3
（4）六角密排：a2r晶胞面积：S6
晶胞体积：V
n126
（5）金刚石结构晶胞体角线BG n8 Vca3
12试证：六方密排堆积结构中
证明：六角密堆积结构中第层硬球ABO中心联线形成边长a2r正三角形第二层硬球N位球ABO围间隙正方三球相切：
NANBNOa2R
图中NABO构成正四面体…
13证明：面心立方倒格子体心立方体心立方倒格子面心立方
证明：（1）面心立方正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：
倒格子基矢定义：
理：面心立方倒格子基矢体心立方正格基矢相
面心立方倒格子体心立方
（2）体心立方正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：
倒格子基矢定义：
理：体心立方倒格子基矢面心立方正格基矢相
体心立方倒格子面心立方
15证明倒格子矢量垂直密勒指数晶面系
证明：
利容易证明
倒格子矢量垂直密勒指数晶面系
16简单立方晶格证明密勒指数晶面系面间距满足：中立方边长说明面指数简单晶面面密度较容易解理
解：简单立方晶格：
倒格子基矢定义：
倒格子基矢：
倒格子矢量：
晶面族面间距：
面指数越简单晶面晶面间距越晶面格点密度越单位表面量越样晶面越容易解理
第二章 固体结合
21两种价离子组成维晶格马德隆常数（）库仑相互作设离子总数
＜解＞ 设想正负两种离子相间排列限长离子键取负离子作参考离子（样马德隆常数中正负号样取遇正离子取正号遇负离子取负号）r表示相邻离子间距离
前边子2存着两相等距离离子参考离子左面右面边求2马德隆常数
X1时
23晶体相互作表示
试求：（1）衡间距
（2）结合（单原子）
（3）体弹性模量
（4）取计算值
解：（1）求衡间距r0
：
结合：设想分散原子（离子分子）结合成晶体定量释放出量称结合（w表示）
（2）求结合w（单原子）
题中标明单原子问题简化说明组成晶体基单元单原子非原子团离子基团复杂基元
显然结合衡时晶体势Umin
： （代入r0值代入）
（3）体弹性模量
体弹性模量公式：
（4）m 2n 10 w 4eV求αβ
①
②
代入①②
（1）衡间距r0计算
晶体
衡条件
（2）单原子结合
（3）体弹性模量
晶体体积A常数N原胞数目
晶体
衡条件
体弹性模量
（4）取
第三章 固格振动晶体热学性质
32讨N原胞维双原子链（相邻原子间距a）2N格波解 时维单原子链结果应
解：质量原子位2n1 2n+1 2n+3 ……质量原子位2n 2n+2 2n+4 ……
牛顿运动方程
N原胞2N独立方程
设方程解代回方程中
AB非零解
两种格波色散关系
q应两支格波：支声学波支光学波总格波数目2N
时
两种色散关系图示：
长波极限情况
维单原子晶格格波色散关系致
33考虑双子链晶格振动链邻原子间力常数交错两种原子质量相等邻原子间距试求处粗略画出色散关系曲线问题模拟样双原子分子晶体
答：（1）
浅色标记原子位2n1 2n+1 2n+3 ……深色标记原子位2n 2n+2 2n+4 ……
第2n原子第2n＋1原子运动方程：
体系N原胞2N独立方程
方程解：令解代入述方程：
AB非零解系数行列式满足：
令
两种色散关系：
时
时
（2）色散关系图：
37设三维晶格光学振动q0附长波极限
求证：
＜解＞
带入边结果
38N相原子组成面积S二维晶格德拜似计算热述低温极限热正
证明：间独立振动模式应面中半径间圆环面积
第四章 带理
41根状态简微扰结果求出相应波函数说明特性．说明代表驻波较两电子云分布说明隙源(假设)
＜解＞令简微扰波函数
取
带入式中
V(x)<0式B A
取
教材知均驻波． 驻波状态电子均速度零．产生驻波电子波矢时电子波波长恰满足布拉格发射条件时电子波发生全反射反射波形成驻波两驻波电子分布应代入量
42写出维电子似第n带(n123)中简约波数0级波函数
＜解＞
第带：
第二带：
第三带：
43电子周期场中势．
0
中d＝4b常数．试画出势曲线求均值晶体第第二禁带度．
＜解＞(I)题设势曲线图示．
(2)势均值：图见周期周期函数
题设积分限应区间需区间积分．时
（3）势[2b2b]区间偶函数展开成傅立叶级数
利积分公式
第二禁带宽度代入式
次利积分公式
44
解：求解面心立方学做体心立方
（1）计邻相互作紧束缚似结果晶体中S态电子量表示成：
面心立方中12邻取12邻坐标：
①
②
③
S态波函数球称方重叠积分相相值简单表示J1s态波函数偶宇称
∴邻重叠积分中波函数贡献正
∴J1＞0
邻格矢代入表达式：
+
（2）体心立方：8邻8邻坐标：
47维单原子链间距a总长度Na求（1）紧束缚似求出原子s态级应带E(k)函数（2）求出态密度函数表达式（3）果原子s态电子求等T0K费米级处态密度
＜解＞
(2)
(3)
第五章 晶体中电子电场磁场中运动
51设维晶体电子带写成 中晶格常数电子质量
试求（1）带宽度
（2）电子波矢k状态速度
（3）带顶带底电子效质量
解：（1）
[－coska+(2cos2ka－1)]
＝[(coska－2)2－1]
ka＝(2n+1)p时n0±1±2…
ka2np时
带宽度＝
（2）
(3)
时带底
时带顶
— END —
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