高等数学课程教学纲
Advanced Mathematics A
课程代码：03100A01 03100A02 课程性质：公基础理课(必修)
适专业：工科专业（创新班） 总学分数：11
总学时数：176 修订年月：2015年12月
编写年月：2013年7月 执 笔：许君臣王振友李锋
课程简介(中文)：
高等数学门工科专业必修公基础理课讲授分析学基础元函数微分学元函数积分学常微分方程空间解析量代数元函数微分学元函数积分学穷级数等方面容序课程学奠定必数学基础
课程简介(英文)：
Advanced mathematics is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering It mainly concerns basic analysis calculus of unary functions ordinary differential equations spatial analysis and vector algebra calculus of multivariate functions infinite series etc Also it lays the necessary mathematical foundation for the study of subsequent courses
课程目
通课程学学生掌握相应基概念基理基运算技逐步培养学生具抽象思维力逻辑推理力空间想象力注意培养学生具较熟练运算力综合运学知识分析解决问题力序课程学奠定必数学基础提供必备数学工具
二课程教学容学时分配（总176学时 理176学时）
() 教学容
1．函数极限连续
函数：映射函数概念函数表示法函数特性复合函数反函数分段函数隐函数概念基初等函数性质图形初等函数简单应问题函数关系建立
极限：数列极限定义收敛数列性质函数极限定义函数左右极限函数极限性质穷穷概念关系极限四运算法两极限存准（夹逼准单调界准）两重极限穷较
函数连续性：函数连续定义间断点分类初等函数连续性闭区间连续函数性质（界性值性零点定理介值定理）
2．元函数微分学
导数微分：导数定义导数意义物理意义函数导性连续性关系面曲线切线法线导数四运算法复合函数求导法基初等函数导数公式高阶导数概念初等函数二阶导数求法隐函数参数式确定函数二阶导数求法微分定义微分运算法（含微分形式变性）微分应
中值定理导数应：费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式洛必达法导数判定函数单调性函数极值概念求法简单值值应问题导数判定函数曲线凹凸性拐点渐线函数作图弧微分曲率定义计算曲率圆曲率半径
3．元函数积分学
定积分：原函数定积分定义定积分性质基积分公式换元积分法分部积分法理函数三角函数理式简单理函数积分
定积分应：定积分定义性质积分限函数导数牛顿—莱布尼茨公式定积分换元法分部积分法广义积分概念定积分学中应（面积旋转体体积行截面面积已知立体体积面曲线弧长）定积分物理中应（变力直线作功水压力引力）
4．常微分方程
微分方程基概念：微分方程定义阶解通解初始条件特解初值问题积分曲线
阶微分方程：分离变量微分方程齐次方程阶线性微分方程伯努利方程
降阶高阶微分方程： 型型型
高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解性质解结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程（）
微分方程解简单物理问题
5 量代数空间解析
量代数：空间直角坐标系量概念量线性运算量坐标量数量积量量积两量夹角两量行垂直条件单位量方数方余弦
面直线：面方程（点法式般式截距式）直线方程（参数式称式般式）夹角（面面面直线直线直线）行垂直条件（面面面直线直线直线）点面点直线距离
曲面空间曲线：曲面方程概念球面方程坐标轴旋转轴旋转曲面母线行坐标轴柱面方程空间曲线参数方程般方程空间曲线曲面坐标面投影
常二次曲面方程图形
6 元函数微分学
元函数：元函数概念二元函数表示二元函数极限连续性界闭区域连续函数性质
偏导数全微分：元函数偏导数定义计算法高阶偏导数概念复合函数二阶偏导数求法全微分定义全微分存必条件充分条件元复合函数求偏导法隐函数求偏导公式方导数梯度
偏导数应：空间曲线切线法面曲面切面法线元函数极值求法值值问题简单应条件极值拉格朗日数法
7．元函数积分学
二重积分：二重积分概念性质计算（直角坐标极坐标）
三重积分：三重积分概念性质计算（直角坐标柱面坐标球面坐标）
重积分应：中应（曲面面积立体体积）物理中应（质心转动惯量引力）
曲线积分：两类曲线积分定义性质两类曲线积分计算法两类曲线积分联系曲线积分应格林公式面曲线积分路径关条件二元函数全微分求积
曲面积分：两类曲面积分定义性质两类曲面积分计算法两类曲面积分关系高斯公式通量散度斯托克斯公式环流量旋度
曲线曲面积分应
8．穷级数
常数项级数：穷级数收敛发散定义收敛级数概念穷级数基性质级数收敛必条件级数级数敛散性正项级数较值根值审敛法交错级数莱布尼兹定理绝收敛条件收敛概念关系
幂级数：函数项级数收敛函数概念幂级数概念阿贝尔定理较简单幂级数收敛域求法幂级数收敛区间基性质求幂级数函数函数展开成幂级数
傅里叶级数：三角级数概念狄利克雷充分条件函数展开傅里叶级数奇偶函数傅里叶级数函数展开正弦余弦级数定义区间函数傅里叶级数般周期函数傅里叶级数
(二) 学时分配
课程教学时数176学时分两学期学期教学容课时分配表：（课外学时例均12）
序号
课程容
学时数分配
计
总学时数
理学时
实训学时
题
课
机学时
高等数学A（1）
1
函数极限连续
16
14
2
16
2
导数微分
14
10
4
14
3
中值定理导数应
16
14
2
16
4
定积分
10
8
2
10
5
定积分应
16
12
4
16
6
微分方程
16
14
2
16
合 计
88
72
16
88
高等数学A（2）
1
量代数空间解析
16
14
2
16
2
元函数微分学
20
16
4
20
3
重积分
16
12
4
16
4
曲线积分曲面积分
20
16
4
20
5
穷级数
16
14
2
16
合 计
88
72
16
88
总 计
176
144
34
176
三课程教学基求
高等数学A(1)
1函数极限连续
（1）理解函数概念解函数性质（界性单调性奇偶性周期性）
（2）理解复合函数反函数概念
（3）会建立简单实际问题中函数关系式
（4）理解极限概念解极限定义掌握极限四运算法复合函数极限运算法
（5）解极限性质掌握函数子序列极限间关系
（6）理解极限存夹逼准会两重极限求极限
（7）理解穷穷穷阶概念性质会等价穷求极限
（8）理解函数连续概念解间断点概念会判间断点类型
（9）解初等函数连续性理解闭区间连续函数性质(值定理零点定理介值定理)
2元函数微分学
（1）理解导数微分概念导数意义物理意义理解函数导性连续性间关系会导数表达实际问题量变化率
（2）熟练掌握导数四运算法复合函数求导法掌握基初等函数导数公式解反函数求导法
（3）解高阶导数概念掌握初等函数阶二阶导数求法
（4）会求隐函数参数式确定函数阶二阶导数会求简单实际问题相关变化率问题
（5）解微分四运算法阶微分形式变性
（6）理解罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理解柯西(Cauchy)定理泰勒(Taylor)定理会应中值定理证明简单等式等式
（7）会洛必达(L’Hospital)法求未定式极限
（8）理解函数极值概念掌握导数判断函数单调性求极值方法会求解较简单值值应问题
（9）会导数判断函数图形凹凸性会求拐点会描绘函数图形(包括水铅直渐进线)
（10）解弧弧微分概念解曲率曲率半径概念会计算曲率曲率半径
（11）解求方程似解二分法切线法思想
3元函数积分学
（1）理解原函数定积分概念性质掌握定积分基公式换元法分步积分法会求简单理函数三角函数理式积分
（2）理解定积分概念性质解函数积充分条件
（3）理解变限积分作限函数求导定理掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式
（4）掌握定积分换元法分步积分法
（5）解两类广义积分概念广义积分换元法分步积分法
（6）掌握定积分表达量物理量(面积体积弧长功引力等)方法
（7）解定积分似计算法(矩形法梯形法抛物线法)
4常微分方程
（1）解微分方程解阶通解初始条件特解等概念
（2）掌握变量分离方程阶线性方程解法会解齐次方程伯努利(Bernoulli)方程解变量代换求解方程思想
（3）会降阶法解列方程：
（4）理解线性微分方程解结构解常数变易法
（5）掌握二阶常系数齐次线性方程解法会求项形常系数非齐次线性方程特解
（6）会微分方程解简单问题物理问题
高等数学A(2)
5量代数空间解析
（1）理解空间直角坐标系理解量概念表示掌握量运算(线性运算数量积量积混合积)掌握两量垂直行条件
（2）掌握单位量方余弦量坐标表达式坐标表达式进行量运算方法
（3）掌握面方程直线方程求法会利面直线相互关系解决关问题
（4）理解曲面方程概念解常二次曲面方程图形解坐标轴旋转轴旋转曲面母线行坐标轴柱面方程
（5）理解解空间曲线参数方程般方程解曲面交线坐标面投影
6元函数微分学
（1）理解元函数概念
（2）解二元函数极限连续性概念界闭区域连续函数性质
（3）理解偏导数全微分概念解全微分存必条件充分条件解阶全微分形式变性
（4）解方导数梯度概念掌握求方导数梯度计算方法
（5）掌握复合函数阶偏导数求法会求复合函数二阶偏导数
（6）会求隐函数(包括两方程组成方程组确定隐函数)偏导数
（7）解曲线切线法面曲面切面法线会求方程
（8）理解元函数极值条件极值概念会求元函数极值解求条件极值拉格朗日数法会求解较简单值值应问题解二法
（9）解二元函数泰勒公式
（10）解量函数矢端曲线概念解量函数导量微分概念
7元函数积分学
（1）理解二重积分三重积分概念性质
（2）掌握二重积分计算方法(直角坐标极坐标)会计算简单三重积分(直角坐标柱面坐标球面坐标)解重积分换元法
（3）理解两类曲线积分概念性质相互间关系掌握两类曲线积分计算方法
（4）掌握格林(Green)公式面曲线积分路径关条件会解全微分方程观察出简单积分子
（5）理解两类曲面积分概念性质相互间关系会计算两类曲面积分
（6）掌握高斯公式解斯托克斯(Stokes)公式
（7）解数量场量场量微分算子Ñ 概念解散度旋度概念计算公式解通量散度间关系环流量旋度间关系
（8）会重积分曲线积分曲面积分求量物理量(体积曲面面积弧长质量重心转动惯量引力功通量等)
8穷级数
（1）理解穷级数收敛发散函数概念熟悉穷级数基性质收敛必条件
（2）解正项级数较审敛法极限审敛法掌握级数级数收敛性熟练掌握正项级数值审敛法
（3）解交错级数莱布尼兹定理理解绝收敛条件收敛概念绝收敛收敛关系
（4）解函数项级数收敛域函数概念掌握较简单幂级数收敛域求法
（5）解幂级数收敛区间基性质会求简单幂级数函数会幂级数函数求简单数项级数
（6）解函数展开泰勒级数充分必条件会利马克劳林(Maclaurin)展开式简单函数间接展开成幂级数
（7）解幂级数似计算简单应
（8）解函数展开傅里叶(Fourier)级数狄利克雷(Dirichlet)条件会定义函数展开傅里叶级数会定义函数展开正弦余弦级数
四课程课程联系分工
先修课程：
续课程：作公基础课许继公基础课专业基础课专业课基础工程数学学物理材料力学电工电路等
五建议教材教学参考书
［1］济学数学教研室编高等数学第七版高等教育出版社
［2］吴赣昌编高等数学理工类第四版中国民学出版社
［3］马知恩王绵森编工科数学分析基础册高等教育出版社
［4］工科数学课程教学指导委员会编高等数学释疑解难高等教育出版社
［5］济学数学教研室编高等数学题全解指南解高等教育出版社
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Advanced Mathematics A
课程代码：03100A01 03100A02 课程性质：公基础理课(必修)
适专业：工科专业（创新班） 总学分数：11
总学时数：176 修订年月：2015年12月
编写年月：2013年7月 执 笔：许君臣王振友李锋
课程简介(中文)：
高等数学门工科专业必修公基础理课讲授分析学基础元函数微分学元函数积分学常微分方程空间解析量代数元函数微分学元函数积分学穷级数等方面容序课程学奠定必数学基础
课程简介(英文)：
Advanced mathematics is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering It mainly concerns basic analysis calculus of unary functions ordinary differential equations spatial analysis and vector algebra calculus of multivariate functions infinite series etc Also it lays the necessary mathematical foundation for the study of subsequent courses
课程目
通课程学学生掌握相应基概念基理基运算技逐步培养学生具抽象思维力逻辑推理力空间想象力注意培养学生具较熟练运算力综合运学知识分析解决问题力序课程学奠定必数学基础提供必备数学工具
二课程教学容学时分配（总176学时 理176学时）
() 教学容
1．函数极限连续
函数：映射函数概念函数表示法函数特性复合函数反函数分段函数隐函数概念基初等函数性质图形初等函数简单应问题函数关系建立
极限：数列极限定义收敛数列性质函数极限定义函数左右极限函数极限性质穷穷概念关系极限四运算法两极限存准（夹逼准单调界准）两重极限穷较
函数连续性：函数连续定义间断点分类初等函数连续性闭区间连续函数性质（界性值性零点定理介值定理）
2．元函数微分学
导数微分：导数定义导数意义物理意义函数导性连续性关系面曲线切线法线导数四运算法复合函数求导法基初等函数导数公式高阶导数概念初等函数二阶导数求法隐函数参数式确定函数二阶导数求法微分定义微分运算法（含微分形式变性）微分应
中值定理导数应：费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式洛必达法导数判定函数单调性函数极值概念求法简单值值应问题导数判定函数曲线凹凸性拐点渐线函数作图弧微分曲率定义计算曲率圆曲率半径
3．元函数积分学
定积分：原函数定积分定义定积分性质基积分公式换元积分法分部积分法理函数三角函数理式简单理函数积分
定积分应：定积分定义性质积分限函数导数牛顿—莱布尼茨公式定积分换元法分部积分法广义积分概念定积分学中应（面积旋转体体积行截面面积已知立体体积面曲线弧长）定积分物理中应（变力直线作功水压力引力）
4．常微分方程
微分方程基概念：微分方程定义阶解通解初始条件特解初值问题积分曲线
阶微分方程：分离变量微分方程齐次方程阶线性微分方程伯努利方程
降阶高阶微分方程： 型型型
高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解性质解结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程（）
微分方程解简单物理问题
5 量代数空间解析
量代数：空间直角坐标系量概念量线性运算量坐标量数量积量量积两量夹角两量行垂直条件单位量方数方余弦
面直线：面方程（点法式般式截距式）直线方程（参数式称式般式）夹角（面面面直线直线直线）行垂直条件（面面面直线直线直线）点面点直线距离
曲面空间曲线：曲面方程概念球面方程坐标轴旋转轴旋转曲面母线行坐标轴柱面方程空间曲线参数方程般方程空间曲线曲面坐标面投影
常二次曲面方程图形
6 元函数微分学
元函数：元函数概念二元函数表示二元函数极限连续性界闭区域连续函数性质
偏导数全微分：元函数偏导数定义计算法高阶偏导数概念复合函数二阶偏导数求法全微分定义全微分存必条件充分条件元复合函数求偏导法隐函数求偏导公式方导数梯度
偏导数应：空间曲线切线法面曲面切面法线元函数极值求法值值问题简单应条件极值拉格朗日数法
7．元函数积分学
二重积分：二重积分概念性质计算（直角坐标极坐标）
三重积分：三重积分概念性质计算（直角坐标柱面坐标球面坐标）
重积分应：中应（曲面面积立体体积）物理中应（质心转动惯量引力）
曲线积分：两类曲线积分定义性质两类曲线积分计算法两类曲线积分联系曲线积分应格林公式面曲线积分路径关条件二元函数全微分求积
曲面积分：两类曲面积分定义性质两类曲面积分计算法两类曲面积分关系高斯公式通量散度斯托克斯公式环流量旋度
曲线曲面积分应
8．穷级数
常数项级数：穷级数收敛发散定义收敛级数概念穷级数基性质级数收敛必条件级数级数敛散性正项级数较值根值审敛法交错级数莱布尼兹定理绝收敛条件收敛概念关系
幂级数：函数项级数收敛函数概念幂级数概念阿贝尔定理较简单幂级数收敛域求法幂级数收敛区间基性质求幂级数函数函数展开成幂级数
傅里叶级数：三角级数概念狄利克雷充分条件函数展开傅里叶级数奇偶函数傅里叶级数函数展开正弦余弦级数定义区间函数傅里叶级数般周期函数傅里叶级数
(二) 学时分配
课程教学时数176学时分两学期学期教学容课时分配表：（课外学时例均12）
序号
课程容
学时数分配
计
总学时数
理学时
实训学时
题
课
机学时
高等数学A（1）
1
函数极限连续
16
14
2
16
2
导数微分
14
10
4
14
3
中值定理导数应
16
14
2
16
4
定积分
10
8
2
10
5
定积分应
16
12
4
16
6
微分方程
16
14
2
16
合 计
88
72
16
88
高等数学A（2）
1
量代数空间解析
16
14
2
16
2
元函数微分学
20
16
4
20
3
重积分
16
12
4
16
4
曲线积分曲面积分
20
16
4
20
5
穷级数
16
14
2
16
合 计
88
72
16
88
总 计
176
144
34
176
三课程教学基求
高等数学A(1)
1函数极限连续
（1）理解函数概念解函数性质（界性单调性奇偶性周期性）
（2）理解复合函数反函数概念
（3）会建立简单实际问题中函数关系式
（4）理解极限概念解极限定义掌握极限四运算法复合函数极限运算法
（5）解极限性质掌握函数子序列极限间关系
（6）理解极限存夹逼准会两重极限求极限
（7）理解穷穷穷阶概念性质会等价穷求极限
（8）理解函数连续概念解间断点概念会判间断点类型
（9）解初等函数连续性理解闭区间连续函数性质(值定理零点定理介值定理)
2元函数微分学
（1）理解导数微分概念导数意义物理意义理解函数导性连续性间关系会导数表达实际问题量变化率
（2）熟练掌握导数四运算法复合函数求导法掌握基初等函数导数公式解反函数求导法
（3）解高阶导数概念掌握初等函数阶二阶导数求法
（4）会求隐函数参数式确定函数阶二阶导数会求简单实际问题相关变化率问题
（5）解微分四运算法阶微分形式变性
（6）理解罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理解柯西(Cauchy)定理泰勒(Taylor)定理会应中值定理证明简单等式等式
（7）会洛必达(L’Hospital)法求未定式极限
（8）理解函数极值概念掌握导数判断函数单调性求极值方法会求解较简单值值应问题
（9）会导数判断函数图形凹凸性会求拐点会描绘函数图形(包括水铅直渐进线)
（10）解弧弧微分概念解曲率曲率半径概念会计算曲率曲率半径
（11）解求方程似解二分法切线法思想
3元函数积分学
（1）理解原函数定积分概念性质掌握定积分基公式换元法分步积分法会求简单理函数三角函数理式积分
（2）理解定积分概念性质解函数积充分条件
（3）理解变限积分作限函数求导定理掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式
（4）掌握定积分换元法分步积分法
（5）解两类广义积分概念广义积分换元法分步积分法
（6）掌握定积分表达量物理量(面积体积弧长功引力等)方法
（7）解定积分似计算法(矩形法梯形法抛物线法)
4常微分方程
（1）解微分方程解阶通解初始条件特解等概念
（2）掌握变量分离方程阶线性方程解法会解齐次方程伯努利(Bernoulli)方程解变量代换求解方程思想
（3）会降阶法解列方程：
（4）理解线性微分方程解结构解常数变易法
（5）掌握二阶常系数齐次线性方程解法会求项形常系数非齐次线性方程特解
（6）会微分方程解简单问题物理问题
高等数学A(2)
5量代数空间解析
（1）理解空间直角坐标系理解量概念表示掌握量运算(线性运算数量积量积混合积)掌握两量垂直行条件
（2）掌握单位量方余弦量坐标表达式坐标表达式进行量运算方法
（3）掌握面方程直线方程求法会利面直线相互关系解决关问题
（4）理解曲面方程概念解常二次曲面方程图形解坐标轴旋转轴旋转曲面母线行坐标轴柱面方程
（5）理解解空间曲线参数方程般方程解曲面交线坐标面投影
6元函数微分学
（1）理解元函数概念
（2）解二元函数极限连续性概念界闭区域连续函数性质
（3）理解偏导数全微分概念解全微分存必条件充分条件解阶全微分形式变性
（4）解方导数梯度概念掌握求方导数梯度计算方法
（5）掌握复合函数阶偏导数求法会求复合函数二阶偏导数
（6）会求隐函数(包括两方程组成方程组确定隐函数)偏导数
（7）解曲线切线法面曲面切面法线会求方程
（8）理解元函数极值条件极值概念会求元函数极值解求条件极值拉格朗日数法会求解较简单值值应问题解二法
（9）解二元函数泰勒公式
（10）解量函数矢端曲线概念解量函数导量微分概念
7元函数积分学
（1）理解二重积分三重积分概念性质
（2）掌握二重积分计算方法(直角坐标极坐标)会计算简单三重积分(直角坐标柱面坐标球面坐标)解重积分换元法
（3）理解两类曲线积分概念性质相互间关系掌握两类曲线积分计算方法
（4）掌握格林(Green)公式面曲线积分路径关条件会解全微分方程观察出简单积分子
（5）理解两类曲面积分概念性质相互间关系会计算两类曲面积分
（6）掌握高斯公式解斯托克斯(Stokes)公式
（7）解数量场量场量微分算子Ñ 概念解散度旋度概念计算公式解通量散度间关系环流量旋度间关系
（8）会重积分曲线积分曲面积分求量物理量(体积曲面面积弧长质量重心转动惯量引力功通量等)
8穷级数
（1）理解穷级数收敛发散函数概念熟悉穷级数基性质收敛必条件
（2）解正项级数较审敛法极限审敛法掌握级数级数收敛性熟练掌握正项级数值审敛法
（3）解交错级数莱布尼兹定理理解绝收敛条件收敛概念绝收敛收敛关系
（4）解函数项级数收敛域函数概念掌握较简单幂级数收敛域求法
（5）解幂级数收敛区间基性质会求简单幂级数函数会幂级数函数求简单数项级数
（6）解函数展开泰勒级数充分必条件会利马克劳林(Maclaurin)展开式简单函数间接展开成幂级数
（7）解幂级数似计算简单应
（8）解函数展开傅里叶(Fourier)级数狄利克雷(Dirichlet)条件会定义函数展开傅里叶级数会定义函数展开正弦余弦级数
四课程课程联系分工
先修课程：
续课程：作公基础课许继公基础课专业基础课专业课基础工程数学学物理材料力学电工电路等
五建议教材教学参考书
［1］济学数学教研室编高等数学第七版高等教育出版社
［2］吴赣昌编高等数学理工类第四版中国民学出版社
［3］马知恩王绵森编工科数学分析基础册高等教育出版社
［4］工科数学课程教学指导委员会编高等数学释疑解难高等教育出版社
［5］济学数学教研室编高等数学题全解指南解高等教育出版社
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