计算技巧及方法总结

计算技巧方法总结
般说二阶三阶行列式根定义做
1二阶行列式

2三阶行列式

例1计算三阶行列式
解


四阶者行列式建议采定义常采行列式性质降价法做前需记忆常见行列式形式便计算


计算三角形行列式
三角形行列式
角行列式
二行列式性质计算
1记住性质计算行列式前提
行列式行列互换行列式称转置行列式记

性质1 行列式转置行列式相等
注 性质1知道行列式中行列具相位行列式行具性质列样具
性质2 交换行列式两行(列)行列式变号
推 行列式中两行(列)应元素相行列式零
性质3 数行列式某行(列) 等数行列式

第行(列)记()
推1 行列式某行(列)中元素公子提行列式符号外面
推2 行列式中两行(列)元素成例行列式零
性质4 行列式某行(列)元素两数 例



性质5 行列式某行(列)元素数加行(列)应位置元素 行列式变
注 数第行加第行记作 数第列加第列记作
2利三角化计算行列式
计算行列式时常行列式性质化三角形行列式计算 例化三角形行列式步骤
果第列第元素0 先第行行交换第列第元素0 然第行分适数加行第列第元素外余元素全0
样方法处理第行第列余低阶行列式继续直成三角形行列式时角线元素积求行列式值

例2

例3（1）（第二行互换）
（2）（第二三列互换）
（3）（第二两行相等）
（4）（第二三列相等）

例4（1）第三行第行倍
（2）第列第二列成例第二列第列4倍

例5


例6 设 求
解 利行列式性质


例7（1）
（2）

例8

注 般说式成立


例9（1）式表示第行1加第二行 值变
（2）式表示第列1加第三列 值变

例10计算行列式
解 先第行公子3提出：

计算

例11 计算
解


例12计算
解 注意行列式列4数6第234行时加第1行提出公子6行减第行化三角形行列式


注：仿述方法更般结果


例13 计算
解 根行列式特点第1列加第2列然第2列加第3列第3列加第4列目中零元素增



例14 计算
解 第4行开始行减前行：



三 行列式行(列)展开（降阶法）
1行列式行(列)展开
定义1 阶行列式中掉元素第行第列余阶行列式称中元素余子式 记 记

称元素代数余子式
引理（常） n阶行列式D 中第i行元素外零该行列式等代数余子式积

定理1 行列式等行(列)元素应代数余子式积


推 行列式某行(列)元素行(列)应元素代数余子式积等零


2降价法计算行列式（常）
直接应行(列)展开法计算行列式 运算量较 尤高阶行列式 计算行列式时般先行列式性质行列式中某行(列)化仅含非零元素 行(列)展开化低阶行列式 继续直化三阶二阶行列式
3拉普拉斯定理（般少）
定义2 阶行列式中意选定行列 位行列交叉处元素原序构成阶行列式 称阶子式划行列 余元素原序构成阶行列式前面冠符号称代数余子式中阶子式中行标中列标
注：行列式阶子式代数余子式间类似行列式行（列）展开性质
定理2 (拉普拉斯定理) 阶行列式中 意取定行(列)行(列)组成阶子式代数余子式积等行列式

例15求列行列式值
（1） （2）
解 (1)

(2)

例16计算行列式
解


例17计算行列式
解



例18求证

证



例19设 D中元素余子式代数余子式次记作求
解 注意等代第1行行列式


定义知


例20 拉普拉斯定理求行列式 值
解 第行第二行展开





















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