微积分济学中应分析
李博
西南学数学统计学院重庆 400715
摘：文济学数学紧密联系出发分析数学尤微积分济学研究中位作
关键词微积分济学边际分析
Calculus’s Applied Analysis in Economics
Li bo
School of Mathematics and Statistics Southwest University Chongqing 400715 China
Abstract Based on the close relationship between economics and mathsthis paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics
Key words calculus Economics marginal analysis
1 数学济学紧密联系
济学数学间天然联系 济学诞生日起便数学结解缘
济学应数学客观根底济学研究象间物交换〞量化规济学根范畴需求供应价格等量化概念济学揭示规律性需数量说明特济学出发点理性纪〞纪行理性纪够根市场处境判断身利益假设干选择场合时总倾选择带利益种数学中关求极值优化理适分析种样优济效果问题求极值数学理概念优济效果中找原型
数学方法身提供性变量微积分理特适研究复杂事物象济学偏导数全导数全微分公式数理济学中根手段表达旦赋予济学含义时复杂事物变清晰辩着余文字说明数学方法正确济学理科学研究成果表达更准确精确更检验结前提否致矛盾更力增强研究成果中结正确性尤数学中线性规划理说济学创立研究满足系列约束条件够获极值条件济学务遵守资源约束生产技术约束求消费者效化
济学数学化促进济学科学化济学想成科学理必须具备三条件检验性逻辑致性积累性数学济学达条件济计量学够根济理建立模型模型结现实世界相拟决定理成立予修改者应抛弃数学具逻辑质够逻辑中介证济学数学化行说数学够显示逻辑致性数学公理化方法够提供样知识效积累方式
数学方法济学研究中重作济学高奖项——诺贝尔济学奖获奖名单中证实考察1969年2000年三十年间获该项奖四十位济学家获奖成果中四分三正确运数学方法研究济理济根底问题取重成果特值提弗里希教授丁伯根教授作济学开展数学定量科学先行者〞获1969年第届诺贝尔济学奖殊荣典范事隔二十年1994年诺贝尔济学奖授予纳什泽尔腾海萨尼作现代数学分支博弈（非合作博弈）模型方法研究具突合作性质济问题取突破性成果2000年瑞典皇家科学院诺贝尔济学奖授予微观计量济学领域做出杰出奉献美国济学家詹姆斯•赫克曼丹尼尔·麦克法登
（获1974年诺贝尔奖哈耶克）获奖成果数学工具半获奖者深厚数学功底济学家少数获奖者身著名数学家特获1975年诺贝尔奖苏联数学家康托洛维奇获1983年诺贝尔奖法籍美国数学家德布洛获1994年诺贝尔奖美国数学家纳什足见数学方法济学研究中重作
2 微积分引入确立边际分析济学中位
19世纪中期边际革命疑现代济学建立次变革边际革命实际西方济学价值理种新开展边际效学说重新认识分析价值问题产品价值取决边际效边际分析早边沁时代出现引入数学微积分带争取极化济均衡点处理边际分析成阻挡势出现济学分支边际分析实质济学家利心理学数学——微积分方法济学整合
边际分析数学含义指变量发生微变化时引起变量变化种分析正微积分完成说没微积分法进行济活动动态分析边际分析
21 般均衡理中微积分方法
济均衡理瓦尔拉斯创立谓瓦尔拉斯均衡商品市场供应需求相等均衡条件进行描述寻求济生活中消费者追求效化生产者追求利润化程中均衡价格体系存条件般均衡分析构建变量方程组前提运微积分理商品市场供求进行边际分析寻求均衡价格体系济达般均衡思路家户商品需求素供应厂商商品供应素需求分析整商品市场素市场般均衡
家户行先考虑某家户h产品需求素供应然H家户商品需求素供应分相加求种商品市场需求种素市场供应家户h效取决消费种商品数量（…）提供种素数量（…） 家户h效函数写成
（… …）
家户h全部收入均素供应产品素价格单家户说定变常量（产品素市场均完全竞争）存储蓄负储蓄家户h 全部收入等 + … +式中 … 分种素价格家户h种商品支出+ … +式中 …分种产品价格家户h预算约束预算线〞：
家户h预算约束条件选择优商品消费量商品需求量优素销售量素供应量效函数达根约束条件极值原理知家户h种商品需求量取决商品价格素价格取决整济价格体系假定某家户效函数预算约束式中I家户定收入建立拉格朗日函数 拉格朗日数预算约束条件效化条件
效化条件求优消费量显易见果改变约束条件中价格P1P2优消费量Q1Q2变化说优消费量Q1Q2均价格P1P2函数述单家户h讨适家户H家户种产品需求加总起种产品市场需求单家户需求情况样种商品市场需求显然整济价格体系函数
……
式中〔〕第i种产品市场需求H家户种素供应加总起种素市场供应单家户供应情况样种素市场供应显然整价格体系函数结存组价格市场供应需求恰相等存着整济体系般均衡
22 宏观济中微积分思想
凯恩斯1936年出版业利息货币通中揭示济危机失业原效需求缺乏——带失业需求缺乏原边际消费倾递减——消费需求缺乏资边际效率递减活动偏带投资需求缺乏解决问题必须国家力量进行干预增加投资需求带动消费需求凯恩斯边际消费倾根底提出数原理设投资增量△I △I导致收入增量△Y△Y K·△I K数投资增量引起收入增量间定率 △C消费增量边际消费倾数减边际消费倾倒数数边际消费倾成正例边际消费倾越数越边际消费倾越数越消灭萧条失业国家应鼓励支持全社会成员消费应增加货币数量降低利率企业家预期纯利润相提高提高资边际效率增加投资物需求通数作增加消费品需求第二次世界战着西方实行国家干预程度提高必弄清决定济增长素条件时边际分析引入宏观济增长分析新古典济学家认总产量生产素投入存着定函数关系种函数关系素生产力边际量密切相关固然济增长考虑总量变动产品总量变动赖生产素边际增量变动新古典济学家接受希克斯提出技术进步中性〞思想认中性〞技术进步会劳动资边际生产力相例增长定资劳动数量例资边际生产力技术进步产出量样率增长时资均生产力相率增长 中性〞技术进步会影响资边际产品资K劳动L 总收入恰吸收着规模变动时报酬变现生产函数条件总产量生产素边际代率等1 说劳动资产量增长做出奉献份额定相始终1中性〞技术进步实际指技术进步相变暂时略技术进步素索洛出样结
表示产品增量等生产素边际物质产品生产素增量时期产品增量汇总出产品总量说产品总价值素创造产品价值构成公式稍变形
显然产量增长率仅赖资劳动两者增长率赖资劳动产量中相奉献式中：资边际生产率 资均生产率变形资生产弹性样劳动力生产弹性果考虑技术进步素索洛出
新古典济学家国民济增长素分析出发点边际增量分析正素边际生产力递减素边际产品断变动边际产品变动取决素构成变动素增长例时完全竞争假设生产素价格取决边际生产力生产素增量考虑国民济总量运动边际分析方法进微积分分析工具宏观济理视分析工具
3 微积分优化理奠定根底
边际分析研究函数边际点极值研究变量某点（边际点） 递增变递减递减变递增规律种边际点函数值极值极值边际点变量作判断加取舍正确点寻找做出优决策合理边际点正济研究焦点微积分法研究优化规律缺少方法
实种济学说中优化理明里暗里起着重作济学研究社会应该组织起进行活动济效益达正确门学问里先说济效益正确〞确实切定义什许全社会物质财富许逐年消费增长速度等等总求极值问题西方济学理推出谓正确资源配置优收入分配济效率整社会达优系列条件标准优化理成济分析真正基石济决策重实现优化相求切济活动处顶峰〞位置点偏离顶峰倾斜必然微分方法中令导数等零数学原理
31 消费者均衡理
消费者均衡理核心消费者获效化基数效入手序数效理入手出相消费者均衡条件结
（ MU 边际效 P 价格）
分析工具微积分
基数效边际效分析法设TU表示总效U表示边际效Q表示消费者总效边际效边际效指消费者定时间增加单位商品消费效增量
总效函数
边际效：
消费者实现效化均衡条件假设消费者货币收入固定市场种商品价格消费者应该购置种商品边际效价格相等（者说消费者应花费种商品购置元钱带
边际效相等）
〔1〕
中I 消费者高收入分 n 种商品价格变货币边际效 分n 种商品数量进求出需求曲线序数效者运差异曲线预算线消费者效化均衡条件
定约束条件实现效 消费者应该选择优商品组合两商品边际代率等两商品价格（消费者均衡点消费者愿意单位某种商品交换种商品数量应该高该消费者够市场单位种商品交换种商品数量）种分析方法 出消费者均衡相条件原保持效水变前提 消费者增加种商品数量带效增加量相应减少种商品数量带效减少量必定相等
式写
根两式子 序数效者关消费者均衡条件式改写 〔2〕
中λ货币边际效式（1）（2）消费者实现效化均衡条件序数效者关消费者均衡条件相
32 生产素组合
生产理中简化分析通常两种变生产素生产函数考察长期生产问题假定生产者劳动资两种变生产求生产种产品两种变生产求生产函数
L 变求劳动投入量 K 变求资投入量 Q 产量厂商通两投入素断调整实现定钱条件产量素组合假定素市场定劳动价格工资率ω定资价格利息率r 厂商定钱支出C 钱方程 C 定条件限制
建立拉格朗日方程：
产量化阶条件 〔3〕
〔4〕
〔3〕〔4〕式
定条件实现产量素组合原厂商通两素投入量断调整单位钱支出购置种生产素获边际产量极高 实现定钱条件产量
4 济学中数学方法问题应持态度
中国现阶段产生济学否数学化——争质济学研究方法中种——数学方法身数学方法功利性作怪批判种工具理性〞科学义〞倾性国济学代宗师陈岱孙先生说定量分析视数学严密分析工具没理研究济效劳决否认定性研究更反滥数学济探讨变成数学游戏〞然数学方法身存局限会着济理开展方法创新完善需发挥观动性建设破坏数学方法身现讨问题更数学方法身研究者采种方法动进行深入分析济学中数学方法问题反违背济理济现实味观出发先验假设建立起种济模型种良研究风气反问青红皂白带着色眼镜数学方法济学中广泛应偏激思想应持态度般技术性较强济学运数学方法确定济政策力度边界预测济政策直接间接效果方产业结构济增长率货币增长率物价涨率失业率工资率基尼系数税率利率汇率开放度外债率等国民济参数界值时注意社会济毕竟造社会系统应数学方法应该定限制
参考文献
[1] 鲁迪格·恩布什斯坦利·费希尔理查德·斯塔兹等宏观济学[M]中国财政济出版社20034480
[2] 狄克鲁宾费尔德等微观济学[M]中国民学出版社2000123149
[3] 朱柏铭曹前进 试济学研究中数学方法运[J]嘉兴学院学报 2002（01）
[4] 罗 谈数学济学中运[J] 统计预测 2002（06）
[5] 程冬时 试数学济学意义[J] 企业济 2003（11）
[6] 史树中 诺贝尔济学奖数学[J] 高等数学研究 1998（02）
致谢：
三月忙碌工作次毕业文已接尾声作科生毕业设计验匮乏难免许考虑周全方果没导师李忠老师催促指导起工作学支持想完成设计难想象．
里首先感谢导师李忠老师．李老师日里工作繁做毕业设计阶段查阅资料设计草案确实定修改中期检查期详细设计等整程中予悉心指导．敬佩李老师专业水外治学严谨科学研究精神永远学典范积极影响学工作．
然感谢学四年老师数学专业知识根底时感谢学正支持鼓励．次毕业设计会利完成．
感谢母校西南学四年力栽培．
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李博
西南学数学统计学院重庆 400715
摘：文济学数学紧密联系出发分析数学尤微积分济学研究中位作
关键词微积分济学边际分析
Calculus’s Applied Analysis in Economics
Li bo
School of Mathematics and Statistics Southwest University Chongqing 400715 China
Abstract Based on the close relationship between economics and mathsthis paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics
Key words calculus Economics marginal analysis
1 数学济学紧密联系
济学数学间天然联系 济学诞生日起便数学结解缘
济学应数学客观根底济学研究象间物交换〞量化规济学根范畴需求供应价格等量化概念济学揭示规律性需数量说明特济学出发点理性纪〞纪行理性纪够根市场处境判断身利益假设干选择场合时总倾选择带利益种数学中关求极值优化理适分析种样优济效果问题求极值数学理概念优济效果中找原型
数学方法身提供性变量微积分理特适研究复杂事物象济学偏导数全导数全微分公式数理济学中根手段表达旦赋予济学含义时复杂事物变清晰辩着余文字说明数学方法正确济学理科学研究成果表达更准确精确更检验结前提否致矛盾更力增强研究成果中结正确性尤数学中线性规划理说济学创立研究满足系列约束条件够获极值条件济学务遵守资源约束生产技术约束求消费者效化
济学数学化促进济学科学化济学想成科学理必须具备三条件检验性逻辑致性积累性数学济学达条件济计量学够根济理建立模型模型结现实世界相拟决定理成立予修改者应抛弃数学具逻辑质够逻辑中介证济学数学化行说数学够显示逻辑致性数学公理化方法够提供样知识效积累方式
数学方法济学研究中重作济学高奖项——诺贝尔济学奖获奖名单中证实考察1969年2000年三十年间获该项奖四十位济学家获奖成果中四分三正确运数学方法研究济理济根底问题取重成果特值提弗里希教授丁伯根教授作济学开展数学定量科学先行者〞获1969年第届诺贝尔济学奖殊荣典范事隔二十年1994年诺贝尔济学奖授予纳什泽尔腾海萨尼作现代数学分支博弈（非合作博弈）模型方法研究具突合作性质济问题取突破性成果2000年瑞典皇家科学院诺贝尔济学奖授予微观计量济学领域做出杰出奉献美国济学家詹姆斯•赫克曼丹尼尔·麦克法登
（获1974年诺贝尔奖哈耶克）获奖成果数学工具半获奖者深厚数学功底济学家少数获奖者身著名数学家特获1975年诺贝尔奖苏联数学家康托洛维奇获1983年诺贝尔奖法籍美国数学家德布洛获1994年诺贝尔奖美国数学家纳什足见数学方法济学研究中重作
2 微积分引入确立边际分析济学中位
19世纪中期边际革命疑现代济学建立次变革边际革命实际西方济学价值理种新开展边际效学说重新认识分析价值问题产品价值取决边际效边际分析早边沁时代出现引入数学微积分带争取极化济均衡点处理边际分析成阻挡势出现济学分支边际分析实质济学家利心理学数学——微积分方法济学整合
边际分析数学含义指变量发生微变化时引起变量变化种分析正微积分完成说没微积分法进行济活动动态分析边际分析
21 般均衡理中微积分方法
济均衡理瓦尔拉斯创立谓瓦尔拉斯均衡商品市场供应需求相等均衡条件进行描述寻求济生活中消费者追求效化生产者追求利润化程中均衡价格体系存条件般均衡分析构建变量方程组前提运微积分理商品市场供求进行边际分析寻求均衡价格体系济达般均衡思路家户商品需求素供应厂商商品供应素需求分析整商品市场素市场般均衡
家户行先考虑某家户h产品需求素供应然H家户商品需求素供应分相加求种商品市场需求种素市场供应家户h效取决消费种商品数量（…）提供种素数量（…） 家户h效函数写成
（… …）
家户h全部收入均素供应产品素价格单家户说定变常量（产品素市场均完全竞争）存储蓄负储蓄家户h 全部收入等 + … +式中 … 分种素价格家户h种商品支出+ … +式中 …分种产品价格家户h预算约束预算线〞：
家户h预算约束条件选择优商品消费量商品需求量优素销售量素供应量效函数达根约束条件极值原理知家户h种商品需求量取决商品价格素价格取决整济价格体系假定某家户效函数预算约束式中I家户定收入建立拉格朗日函数 拉格朗日数预算约束条件效化条件
效化条件求优消费量显易见果改变约束条件中价格P1P2优消费量Q1Q2变化说优消费量Q1Q2均价格P1P2函数述单家户h讨适家户H家户种产品需求加总起种产品市场需求单家户需求情况样种商品市场需求显然整济价格体系函数
……
式中〔〕第i种产品市场需求H家户种素供应加总起种素市场供应单家户供应情况样种素市场供应显然整价格体系函数结存组价格市场供应需求恰相等存着整济体系般均衡
22 宏观济中微积分思想
凯恩斯1936年出版业利息货币通中揭示济危机失业原效需求缺乏——带失业需求缺乏原边际消费倾递减——消费需求缺乏资边际效率递减活动偏带投资需求缺乏解决问题必须国家力量进行干预增加投资需求带动消费需求凯恩斯边际消费倾根底提出数原理设投资增量△I △I导致收入增量△Y△Y K·△I K数投资增量引起收入增量间定率 △C消费增量边际消费倾数减边际消费倾倒数数边际消费倾成正例边际消费倾越数越边际消费倾越数越消灭萧条失业国家应鼓励支持全社会成员消费应增加货币数量降低利率企业家预期纯利润相提高提高资边际效率增加投资物需求通数作增加消费品需求第二次世界战着西方实行国家干预程度提高必弄清决定济增长素条件时边际分析引入宏观济增长分析新古典济学家认总产量生产素投入存着定函数关系种函数关系素生产力边际量密切相关固然济增长考虑总量变动产品总量变动赖生产素边际增量变动新古典济学家接受希克斯提出技术进步中性〞思想认中性〞技术进步会劳动资边际生产力相例增长定资劳动数量例资边际生产力技术进步产出量样率增长时资均生产力相率增长 中性〞技术进步会影响资边际产品资K劳动L 总收入恰吸收着规模变动时报酬变现生产函数条件总产量生产素边际代率等1 说劳动资产量增长做出奉献份额定相始终1中性〞技术进步实际指技术进步相变暂时略技术进步素索洛出样结
表示产品增量等生产素边际物质产品生产素增量时期产品增量汇总出产品总量说产品总价值素创造产品价值构成公式稍变形
显然产量增长率仅赖资劳动两者增长率赖资劳动产量中相奉献式中：资边际生产率 资均生产率变形资生产弹性样劳动力生产弹性果考虑技术进步素索洛出
新古典济学家国民济增长素分析出发点边际增量分析正素边际生产力递减素边际产品断变动边际产品变动取决素构成变动素增长例时完全竞争假设生产素价格取决边际生产力生产素增量考虑国民济总量运动边际分析方法进微积分分析工具宏观济理视分析工具
3 微积分优化理奠定根底
边际分析研究函数边际点极值研究变量某点（边际点） 递增变递减递减变递增规律种边际点函数值极值极值边际点变量作判断加取舍正确点寻找做出优决策合理边际点正济研究焦点微积分法研究优化规律缺少方法
实种济学说中优化理明里暗里起着重作济学研究社会应该组织起进行活动济效益达正确门学问里先说济效益正确〞确实切定义什许全社会物质财富许逐年消费增长速度等等总求极值问题西方济学理推出谓正确资源配置优收入分配济效率整社会达优系列条件标准优化理成济分析真正基石济决策重实现优化相求切济活动处顶峰〞位置点偏离顶峰倾斜必然微分方法中令导数等零数学原理
31 消费者均衡理
消费者均衡理核心消费者获效化基数效入手序数效理入手出相消费者均衡条件结
（ MU 边际效 P 价格）
分析工具微积分
基数效边际效分析法设TU表示总效U表示边际效Q表示消费者总效边际效边际效指消费者定时间增加单位商品消费效增量
总效函数
边际效：
消费者实现效化均衡条件假设消费者货币收入固定市场种商品价格消费者应该购置种商品边际效价格相等（者说消费者应花费种商品购置元钱带
边际效相等）
〔1〕
中I 消费者高收入分 n 种商品价格变货币边际效 分n 种商品数量进求出需求曲线序数效者运差异曲线预算线消费者效化均衡条件
定约束条件实现效 消费者应该选择优商品组合两商品边际代率等两商品价格（消费者均衡点消费者愿意单位某种商品交换种商品数量应该高该消费者够市场单位种商品交换种商品数量）种分析方法 出消费者均衡相条件原保持效水变前提 消费者增加种商品数量带效增加量相应减少种商品数量带效减少量必定相等
式写
根两式子 序数效者关消费者均衡条件式改写 〔2〕
中λ货币边际效式（1）（2）消费者实现效化均衡条件序数效者关消费者均衡条件相
32 生产素组合
生产理中简化分析通常两种变生产素生产函数考察长期生产问题假定生产者劳动资两种变生产求生产种产品两种变生产求生产函数
L 变求劳动投入量 K 变求资投入量 Q 产量厂商通两投入素断调整实现定钱条件产量素组合假定素市场定劳动价格工资率ω定资价格利息率r 厂商定钱支出C 钱方程 C 定条件限制
建立拉格朗日方程：
产量化阶条件 〔3〕
〔4〕
〔3〕〔4〕式
定条件实现产量素组合原厂商通两素投入量断调整单位钱支出购置种生产素获边际产量极高 实现定钱条件产量
4 济学中数学方法问题应持态度
中国现阶段产生济学否数学化——争质济学研究方法中种——数学方法身数学方法功利性作怪批判种工具理性〞科学义〞倾性国济学代宗师陈岱孙先生说定量分析视数学严密分析工具没理研究济效劳决否认定性研究更反滥数学济探讨变成数学游戏〞然数学方法身存局限会着济理开展方法创新完善需发挥观动性建设破坏数学方法身现讨问题更数学方法身研究者采种方法动进行深入分析济学中数学方法问题反违背济理济现实味观出发先验假设建立起种济模型种良研究风气反问青红皂白带着色眼镜数学方法济学中广泛应偏激思想应持态度般技术性较强济学运数学方法确定济政策力度边界预测济政策直接间接效果方产业结构济增长率货币增长率物价涨率失业率工资率基尼系数税率利率汇率开放度外债率等国民济参数界值时注意社会济毕竟造社会系统应数学方法应该定限制
参考文献
[1] 鲁迪格·恩布什斯坦利·费希尔理查德·斯塔兹等宏观济学[M]中国财政济出版社20034480
[2] 狄克鲁宾费尔德等微观济学[M]中国民学出版社2000123149
[3] 朱柏铭曹前进 试济学研究中数学方法运[J]嘉兴学院学报 2002（01）
[4] 罗 谈数学济学中运[J] 统计预测 2002（06）
[5] 程冬时 试数学济学意义[J] 企业济 2003（11）
[6] 史树中 诺贝尔济学奖数学[J] 高等数学研究 1998（02）
致谢：
三月忙碌工作次毕业文已接尾声作科生毕业设计验匮乏难免许考虑周全方果没导师李忠老师催促指导起工作学支持想完成设计难想象．
里首先感谢导师李忠老师．李老师日里工作繁做毕业设计阶段查阅资料设计草案确实定修改中期检查期详细设计等整程中予悉心指导．敬佩李老师专业水外治学严谨科学研究精神永远学典范积极影响学工作．
然感谢学四年老师数学专业知识根底时感谢学正支持鼓励．次毕业设计会利完成．
感谢母校西南学四年力栽培．
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