专题13 反例函数中直角三角形问题
1图正例函数图象反例函数图象交AB两点点A作AC垂直x轴点C连结BC．△ABC面积2．
（1）求k值
（2）x轴否存点D△ABD直角三角形？存求出点D坐标存请说明理．
2图面直角坐标系中次函数ykx+b（k≠0）图象反例函数y（m≠0）图象交AB两点x轴交C点点A坐标（n6）点C坐标（20）tan∠ACO2．
（1）求该反例函数次函数解析式
（2）求点B坐标
（3）x轴求点E△ACE直角三角形．（直接写出点E坐标）
答案（1）yy2x+4（2）B（32）（3）E1（10）E2（130）
3图次函数y＝kx+b（k≠0）反例函数y＝（a≠0）图象第象限交AB两点A点坐标（m6）B点坐标（23）连接OAB作BC⊥y轴垂足C．
（1）求次函数反例函数表达式
（2）射线CB否存点D△AOD直角三角形求出D点坐标．
解：（1）∵点B（23）反例函数y＝图象
∴a＝3×2＝6
∴反例函数表达式y＝
∵点A坐标6
∵点A反例函数y＝图象
∴A（16）
∴
∴
∴次函数表达式y＝﹣3x+9
（2）图①∠OD1A＝90°时
设BCAO交EE（3）
∴AE＝OE＝D1E＝
∵E（3）
∴D1坐标（3）
②∠OAD2＝90°时
直线AD2解析式：y＝﹣x+
y＝3时x＝19
∴D2坐标（193）
综述△AOD直角三角形D点坐标（3）（193）
4图1面直角坐标系xOy中函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象点P（m1）Q（1m）直线PQx轴y轴分交CD两点．
（1）求∠OCD度数
（2）图2连接OQOP∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时求时m值
（3）图3点A点B分x轴y轴正半轴动点．OAOB邻边作矩形OAMB．点M恰函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象四边形BAPQ行四边形求时OAOB长度．
解：（1）设直线PQ解析式y＝kx+b
解
∴y＝﹣x+m+1
令x＝0y＝m+1
∴D（0m+1）
令y＝0x＝m+1
∴C（m+10）
∴OC＝OD
∵∠COD＝90°
∴∠OCD＝45°．
（2）图2Q作QM⊥y轴MP作PN⊥OCNO作OH⊥CDH
∵P（m1）Q（1m）
∴MQ＝PN＝1OM＝ON＝m
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°
∴△OMQ≌△ONP（SAS）
∴OQ＝OP∠DOQ＝∠POC
∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC∠OCD＝45°
∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝225°
∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1
∵∠OCD＝∠ODC＝45°
∴△DMQ△CNP等腰直角三角形
∴DQ＝PC＝
∵OC＝OD＝m+1
∴CD＝OC＝
∵CD＝DQ+PQ+PC
∴＝2+2
∴m＝+1
（3）图3
∵四边形BAPQ行四边形
∴AB∥PQAB＝PQ
∴∠OAB＝45°
∵∠AOB＝90°
∴OA＝OB
∴矩形OAMB正方形
∵点M恰函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象
∴M（）OA＝OB＝
∵AB＝PQ
∴
解：m＝（舍）
∴OA＝OB＝＝＝＝．
5图反例函数y＝图象点射线AB反例函数图象交点B（﹣1a）射线ACx轴交点Ey轴交点C∠BAC＝75°AD⊥y轴垂足D．
（1）求反例函数解析式
（2）求DC长
（3）x轴否存点P△APE△ACD相似存请求出满足条件点P坐标存请说明理．
解：（1）∵反例函数y＝图象点
∴k＝﹣2
∴反例函数解析式：
（2）点B作BM⊥ADMB（﹣1a）代入
∴B（﹣12）
∴AM＝BM＝2﹣1
∴∠BAM＝45°
∵∠BAC＝75°
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2
（3）存
图∵OC＝CD﹣OD＝1
∴OE＝OC＝
①AP⊥x轴时△APE～△CDA：OP1＝AD＝2
∴P1（﹣20）
②AP⊥AE时△APE～△DCA∵AP1＝1∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
综述满足条件点P坐标（﹣20）（﹣0）．
6图①直线y＝﹣x+b反例函数y＝（x＞0）图象交A（26）B（a3）两点BC∥x轴（点C点B右侧）BC＝m连接OC点C作CD⊥x轴点D交反例函数图象点E．
（1）求b值反例函数解析式
（2）填空：等式﹣x+b＞解
（3）OC分∠BOD时求值
（4）图②取BC中点F连接DFAFBD四边形ABDF行四边形时求点F坐标．
（1）A（26）代入y＝﹣x+b﹣3+b＝6
解：b＝9
A（26）代入y＝k＝12
∴反例函数解析式：y＝
（2）y＝3时3＝
解：x＝4
∴B（43）
图象知等式﹣x+b＞解：2＜x＜4
答案：2＜x＜4
（3）B（a3）代入y＝＝3
解：a＝4
∵OC分∠BOD
∴∠BOC＝∠COD
∵BC∥x轴
∴∠BCO＝∠COD
∴∠BOC＝∠BCO
∴OB＝BC
∵B（43）
∴OB＝BC＝5
∴C（93）
∴E（9）D（90）
∴DE＝CE＝3﹣＝
∴＝＝
（4）作AH⊥BCHH（23）
∴AH＝3BH＝2
∵四边形ABDF行四边形
∴AB∥DFAB＝DF
∴∠CFD＝∠CBQ
∵∠AHB＝∠DCF＝90°∠ABH＝∠CBQ
∴∠CFD＝∠ABH
∴△ABH≌△DFC（AAS）
∴CF＝BH＝2
∵FBC中点
∴BF＝CF＝BC＝2
∵B（43）
∴F（63）．
7定义：面直角坐标系中点先右移1单位移2单位移称次斜移．已知点A（10）点An次斜移点B点M线段AB中点．
（1）n＝3时点B坐标 点M坐标
（2）图1点M落y＝图象求n值
（3）图2点M落直线l点C点B关直线l称点BC直线l相交点N．
①求证：△ABC直角三角形
②点C坐标（53）时求MN长．
解：（1）根移性质点A（10）n次斜移点B坐标（1+n2n）
∴n＝3时点B坐标（46）
∵点M线段AB中点
∴点M坐标（253）
答案：（46）（253）
（2）题意A（10）B（1+n2n）
∴线段AB中点M（n）
∵点M落y＝图象
∴×n＝4
解n＝2n＝﹣4（舍）
∴n＝2
（3）①连接CM图1
∵MAB中点
∴AM＝BM
轴称知：BM＝CM
∴AM＝CM＝BM
∴∠MAC＝∠ACM∠MBC＝∠MCB
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°
∴∠ACM+∠MCB＝90°∠ACB＝90°
∴△ABC直角三角形
②∵点C坐标（53）点A（10）
∴AC＝＝5
∵点C点B关直线l称点
∴BN＝CN
∵点M线段AB中点．
∴AM＝BM
∴MN＝AC＝．
8图（1）正方形ABCD顶点AB函数y＝（k＞0）图象点CD分x轴y轴正半轴k值改变时正方形ABCD改变．
（1）点A横坐标5求点D坐标
（2）图（2）k＝8时分求出正方形A′B′C′D′顶点A′B′两点坐标
（3）变化正方形ABCD（2）中正方形A′B′C′D′重叠部分时求k取值范围．
解：（1）图点A作AE⊥y轴点E∠AED＝90°．
∵四边形ABCD正方形
∴AD＝DC∠ADC＝90°
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°
∴∠EDA＝∠OCD
△AED△DOC中
∴△AED≌△DOC（AAS）
∴OD＝EA＝5
∴点D坐标5
（2）作A′M⊥y轴MB′N⊥x轴点N
设OD′＝aOC′＝b
理△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E
∴C′N＝OD′＝A′M＝aB′N＝C′O＝D′M＝b
∴A′（aa+b）B′（a+bb）
∵点A′B′反例函数y＝图象
∴a（a+b）＝8b（a+b）＝8
∴解a＝b＝2a＝b＝﹣2（舍）
∴A′B′两点坐标分（24）（42）
（3）设直线A′B′解析式y＝mx+n
A′（24）B′（42）代入
解
∴直线A′B′解析式y＝﹣x+6
样求直线C′D′解析式y＝﹣x+2
（2）知△OCD等腰直角三角形
设点A坐标（m2m）点D坐标（0m）
A点直线C′D′时2m＝﹣m+2解m＝
时点A坐标（）
∴k＝×＝
点D直线A′B′时m＝6时点A坐标（612）
∴k＝6×12＝72
综知：变化正方形ABCD（2）中正方形A′B′C′D′重叠部分时k取值范围≤x≤72．
9图图次函数y＝﹣x+b反例函数图象交点A（m1）B （1﹣3）．
（1）填空：次函数解析式 反例函数解析式
（2）点Px轴正半轴点连接APBP．△ABP直角三角形时求出点P坐标．
解：（1）∵点A（m1）B （1﹣3）反例函数图象
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3k＝m×1
∴m＝﹣3
∴点A（﹣31）
∴反例函数解析式：y＝
∵次函数y＝﹣x+b点B（1﹣3）
∴﹣3＝﹣1+b
∴b＝﹣2
∴次函数解析式：y＝﹣x﹣2
答案：y＝﹣x﹣2
（2）图1∠ABP＝90°时点P作CD⊥x轴点A作AC⊥DCC点B作BD⊥CDD
设点P坐标（x0）
∴AC＝x+3CP＝1PD＝3BD＝x﹣1
∵∠APB＝90°
∴∠APC+∠BPD＝90°
∵∠APC+∠CAP＝90°
∴∠CAP＝∠BPD
∵∠C＝∠BDP＝90°
∴△ACP∽△PBD
∴
∴
∴x1＝﹣1x2＝﹣1﹣（舍）
∴点P（﹣1+0）
∠ABP＝90°时
∵直线y＝﹣x﹣2x轴交点Cy轴交点D
∴点C（﹣20）点D（0﹣2）
∴OC＝2OD＝2CD＝2BC＝3
∵tan∠OCD＝
∴
∴CP＝6
∵点C（﹣20）
∴点P（40）
综述：点P坐标（0）（40）．
10图次函数y＝﹣x+3图象反例函数y＝（k≠0）第象限图象交A（1a）B两点x轴交点C．
（1）求反例函数解析式
（2）点Px轴△APC面积5求点P坐标
（3）点Py轴否存点P△ABPAB直角边直角三角形？存求出符合条件P点坐标存请说明理．
解：（1）点A（1a）代入y＝﹣x+3a＝2
∴A（12）
A（12）代入反例函数
∴k＝1×2＝2
∴反例函数表达式
（2）∵次函数y＝﹣x+3图象x轴交点C
∴C（30）
设P（x0）
∴PC＝|3﹣x|
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5
∴x＝﹣2x＝8
∴P坐标（﹣20）（80）
（3）存
理：联立
解：
∴B点坐标（21）
∵点Py轴
∴设P（0m）
∴AB＝＝AP＝PB＝
BP斜边
∴BP2＝AB2+AP2
＝2+
解：m＝1
∴P（01）
AP斜边
∴AP2＝PB2+AB2
＝+2
解：m＝﹣1
∴P（0﹣1）
综述：P（01） P（0﹣1）．
11图直线y＝﹣x+6反例函数y＝（x＞0）分交点DA（AB＜AC）探索研究发现：结AB＝CD始终成立．直线y＝mx（m＞0）交线段BC点E交反例函数y＝（x＞0））图象点F．
（1）BC＝5时：
①求反例函数解析式．
②BE＝3CE求点F坐标．
（2）BE：CD＝1：2时请直接写出km数量关系．
解：（1）①针直线y＝﹣x+6令x＝0y＝6
∴A（06）
∴OA＝6
令y＝00＝﹣x+6
∴x＝8
∴D（80）
∴OD＝8
∴AD＝10
∵BC＝5
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5
∵AB＝CD
∴AB＝
点B作BG⊥y轴G
∴∠AGB＝90°＝∠AOB
∵∠BAG＝∠DAO
∴△ABG∽ADO
∴
∴
∴AG＝BG＝2
∴OG＝OA﹣AG＝
∴B（2）
∵点B反例函数y＝（x＞0））图象
∴k＝2×＝9
∴反例函数解析式y＝
②∵BC＝5
∴BE+CE＝5
∵BE＝3CE
∴BE＝
∴AE＝AB+BE＝
点E作EH⊥y轴H
∴∠AHE＝90°＝∠AOB
∵∠HAE＝∠OAD
∴△HAE∽△OAD
∴
∴
∴AH＝BG＝5
∴OH＝OA﹣AH＝
∴E（5）
∴直线OE解析式y＝x
联立解（舍）
∴F（2）
（2）∵BE：CD＝1：2
∴BE＝aCD＝2a
∴AB＝CD＝2a
∴AE＝AB+BE＝3a
点E作EH⊥y轴H
（1）方法△HAE∽△OAD
∴
∴
∴AH＝aEH＝a
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a
∴E（a6﹣a）
点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中解am＝6﹣a
∴a＝
点E坐标代入反例函数y＝（x＞0）中
解k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．
13图已知直线y＝2x+2x轴交点Ay轴交点C矩形ACBE顶点B第象限反例函数y＝图象点B作BF⊥OC垂足F设OF＝t．
（1）求∠ACO正切值
（2）求点B坐标（含t式子表示）
（3）已知直线y＝2x+2反例函数y＝图象第象限点D联结DE果DE⊥x轴求m值．
解：（1）∵直线y＝2x+2x轴交点Ay轴交点C
∴点A（﹣10）点C（02）
∴OA＝1OC＝2
∴tan∠ACO＝＝
（2）∵四边形ACBE矩形
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠BCF＝90°∠BCF+∠CBF＝90°
∴∠ACO＝∠CBF
∵OF＝t
∴CF＝2﹣t
∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝
∴BF＝4﹣2t
∴点B（4﹣2tt）
（3）图连接DE交x轴H点
∵DE⊥x轴
∴∠AHE＝90°
∴∠HAE+∠AEH＝90°∠CAO+∠HAE＝90°∠CAO+∠ACO＝90°∠ACO+∠BCF＝90°
∴∠AEH＝∠BCF∠CFB＝∠AHEAE＝BC
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2tCF＝HE
∵点A（﹣10）
∴点H（3﹣2t0）
∴x＝3﹣2t时y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t
∴点D坐标（3﹣2t8﹣4t）
∵点D点B反例函数y＝
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（合题意舍）t2＝
∴点B（）
∴m＝×＝．
14图原点直线y1＝mx（m≠0）反例函数y2＝（k＜0）图象交AB两点点A第二象限点A横坐标﹣1点Dx轴负半轴连接AD交反例函数图象点EAC∠BAD分线点B作AC垂线垂足C连接CEAD＝2DE△AEC面积．
（1）根图象回答：x取值时y1＜y2
（2）求△AOD面积
（3）点P坐标（mk）y轴轴否存点M△OMP直角三角形存请直接写出点M坐标存请说明理．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）反例函数y2＝（k＜0）图象交AB两点点A横坐标﹣1
∴点A点B关原点称
∴点B横坐标1
∴x取﹣1＜x＜0x＞1时y1＜y2
（2）连接OCOE
图象知点A点B关原点称
∴OA＝OB
∵AC⊥CB
∴∠ACB＝90°
∴OC＝AB＝AO
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC∠BAD分线
∴∠OAC＝∠DAC
∴∠OCA＝∠DAC
∴AD∥OC
∴S△AEO＝S△ACE＝
∵AD＝2DE
∴AE＝DE
∴S△AOD＝2S△AOE＝3
（3）作EF⊥x轴F作AH⊥x轴H
EF∥AH
∵AD＝2DE
∴DE＝EA
∵EF∥AH
∴＝＝1
∴DF＝FH
∴EF△DHA中位线
∴EF＝AH
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣
∴OF•EF＝OH•HA
∴OH＝OF
∴OH＝HF
∴DF＝FH＝HO＝DO
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1
∴﹣＝1
∴k＝﹣2
∴y＝﹣
∵点Ay＝﹣图象
∴x＝﹣1代入y＝2
∴A（﹣12）
∵点A直线y＝mx
∴m＝﹣2
∴P（﹣2﹣2）
y轴找点M△OMP直角三角形
∠OMP＝90°时PM⊥y轴
OM＝2
∴点M坐标（0．﹣2）
∠OPM＝90°时P作PG⊥y轴G△OPM等腰直角三角形
∴OM＝2PG＝4
∴点M坐标（0．﹣4）
综述点M坐标（0．﹣2）（0﹣4）．
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1图正例函数图象反例函数图象交AB两点点A作AC垂直x轴点C连结BC．△ABC面积2．
（1）求k值
（2）x轴否存点D△ABD直角三角形？存求出点D坐标存请说明理．
2图面直角坐标系中次函数ykx+b（k≠0）图象反例函数y（m≠0）图象交AB两点x轴交C点点A坐标（n6）点C坐标（20）tan∠ACO2．
（1）求该反例函数次函数解析式
（2）求点B坐标
（3）x轴求点E△ACE直角三角形．（直接写出点E坐标）
答案（1）yy2x+4（2）B（32）（3）E1（10）E2（130）
3图次函数y＝kx+b（k≠0）反例函数y＝（a≠0）图象第象限交AB两点A点坐标（m6）B点坐标（23）连接OAB作BC⊥y轴垂足C．
（1）求次函数反例函数表达式
（2）射线CB否存点D△AOD直角三角形求出D点坐标．
解：（1）∵点B（23）反例函数y＝图象
∴a＝3×2＝6
∴反例函数表达式y＝
∵点A坐标6
∵点A反例函数y＝图象
∴A（16）
∴
∴
∴次函数表达式y＝﹣3x+9
（2）图①∠OD1A＝90°时
设BCAO交EE（3）
∴AE＝OE＝D1E＝
∵E（3）
∴D1坐标（3）
②∠OAD2＝90°时
直线AD2解析式：y＝﹣x+
y＝3时x＝19
∴D2坐标（193）
综述△AOD直角三角形D点坐标（3）（193）
4图1面直角坐标系xOy中函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象点P（m1）Q（1m）直线PQx轴y轴分交CD两点．
（1）求∠OCD度数
（2）图2连接OQOP∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时求时m值
（3）图3点A点B分x轴y轴正半轴动点．OAOB邻边作矩形OAMB．点M恰函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象四边形BAPQ行四边形求时OAOB长度．
解：（1）设直线PQ解析式y＝kx+b
解
∴y＝﹣x+m+1
令x＝0y＝m+1
∴D（0m+1）
令y＝0x＝m+1
∴C（m+10）
∴OC＝OD
∵∠COD＝90°
∴∠OCD＝45°．
（2）图2Q作QM⊥y轴MP作PN⊥OCNO作OH⊥CDH
∵P（m1）Q（1m）
∴MQ＝PN＝1OM＝ON＝m
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°
∴△OMQ≌△ONP（SAS）
∴OQ＝OP∠DOQ＝∠POC
∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC∠OCD＝45°
∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝225°
∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1
∵∠OCD＝∠ODC＝45°
∴△DMQ△CNP等腰直角三角形
∴DQ＝PC＝
∵OC＝OD＝m+1
∴CD＝OC＝
∵CD＝DQ+PQ+PC
∴＝2+2
∴m＝+1
（3）图3
∵四边形BAPQ行四边形
∴AB∥PQAB＝PQ
∴∠OAB＝45°
∵∠AOB＝90°
∴OA＝OB
∴矩形OAMB正方形
∵点M恰函数y＝（m常数m＞1x＞0）图象
∴M（）OA＝OB＝
∵AB＝PQ
∴
解：m＝（舍）
∴OA＝OB＝＝＝＝．
5图反例函数y＝图象点射线AB反例函数图象交点B（﹣1a）射线ACx轴交点Ey轴交点C∠BAC＝75°AD⊥y轴垂足D．
（1）求反例函数解析式
（2）求DC长
（3）x轴否存点P△APE△ACD相似存请求出满足条件点P坐标存请说明理．
解：（1）∵反例函数y＝图象点
∴k＝﹣2
∴反例函数解析式：
（2）点B作BM⊥ADMB（﹣1a）代入
∴B（﹣12）
∴AM＝BM＝2﹣1
∴∠BAM＝45°
∵∠BAC＝75°
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2
（3）存
图∵OC＝CD﹣OD＝1
∴OE＝OC＝
①AP⊥x轴时△APE～△CDA：OP1＝AD＝2
∴P1（﹣20）
②AP⊥AE时△APE～△DCA∵AP1＝1∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
综述满足条件点P坐标（﹣20）（﹣0）．
6图①直线y＝﹣x+b反例函数y＝（x＞0）图象交A（26）B（a3）两点BC∥x轴（点C点B右侧）BC＝m连接OC点C作CD⊥x轴点D交反例函数图象点E．
（1）求b值反例函数解析式
（2）填空：等式﹣x+b＞解
（3）OC分∠BOD时求值
（4）图②取BC中点F连接DFAFBD四边形ABDF行四边形时求点F坐标．
（1）A（26）代入y＝﹣x+b﹣3+b＝6
解：b＝9
A（26）代入y＝k＝12
∴反例函数解析式：y＝
（2）y＝3时3＝
解：x＝4
∴B（43）
图象知等式﹣x+b＞解：2＜x＜4
答案：2＜x＜4
（3）B（a3）代入y＝＝3
解：a＝4
∵OC分∠BOD
∴∠BOC＝∠COD
∵BC∥x轴
∴∠BCO＝∠COD
∴∠BOC＝∠BCO
∴OB＝BC
∵B（43）
∴OB＝BC＝5
∴C（93）
∴E（9）D（90）
∴DE＝CE＝3﹣＝
∴＝＝
（4）作AH⊥BCHH（23）
∴AH＝3BH＝2
∵四边形ABDF行四边形
∴AB∥DFAB＝DF
∴∠CFD＝∠CBQ
∵∠AHB＝∠DCF＝90°∠ABH＝∠CBQ
∴∠CFD＝∠ABH
∴△ABH≌△DFC（AAS）
∴CF＝BH＝2
∵FBC中点
∴BF＝CF＝BC＝2
∵B（43）
∴F（63）．
7定义：面直角坐标系中点先右移1单位移2单位移称次斜移．已知点A（10）点An次斜移点B点M线段AB中点．
（1）n＝3时点B坐标 点M坐标
（2）图1点M落y＝图象求n值
（3）图2点M落直线l点C点B关直线l称点BC直线l相交点N．
①求证：△ABC直角三角形
②点C坐标（53）时求MN长．
解：（1）根移性质点A（10）n次斜移点B坐标（1+n2n）
∴n＝3时点B坐标（46）
∵点M线段AB中点
∴点M坐标（253）
答案：（46）（253）
（2）题意A（10）B（1+n2n）
∴线段AB中点M（n）
∵点M落y＝图象
∴×n＝4
解n＝2n＝﹣4（舍）
∴n＝2
（3）①连接CM图1
∵MAB中点
∴AM＝BM
轴称知：BM＝CM
∴AM＝CM＝BM
∴∠MAC＝∠ACM∠MBC＝∠MCB
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°
∴∠ACM+∠MCB＝90°∠ACB＝90°
∴△ABC直角三角形
②∵点C坐标（53）点A（10）
∴AC＝＝5
∵点C点B关直线l称点
∴BN＝CN
∵点M线段AB中点．
∴AM＝BM
∴MN＝AC＝．
8图（1）正方形ABCD顶点AB函数y＝（k＞0）图象点CD分x轴y轴正半轴k值改变时正方形ABCD改变．
（1）点A横坐标5求点D坐标
（2）图（2）k＝8时分求出正方形A′B′C′D′顶点A′B′两点坐标
（3）变化正方形ABCD（2）中正方形A′B′C′D′重叠部分时求k取值范围．
解：（1）图点A作AE⊥y轴点E∠AED＝90°．
∵四边形ABCD正方形
∴AD＝DC∠ADC＝90°
∴∠ODC+∠EDA＝90°．
∵∠ODC+∠OCD＝90°
∴∠EDA＝∠OCD
△AED△DOC中
∴△AED≌△DOC（AAS）
∴OD＝EA＝5
∴点D坐标5
（2）作A′M⊥y轴MB′N⊥x轴点N
设OD′＝aOC′＝b
理△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E
∴C′N＝OD′＝A′M＝aB′N＝C′O＝D′M＝b
∴A′（aa+b）B′（a+bb）
∵点A′B′反例函数y＝图象
∴a（a+b）＝8b（a+b）＝8
∴解a＝b＝2a＝b＝﹣2（舍）
∴A′B′两点坐标分（24）（42）
（3）设直线A′B′解析式y＝mx+n
A′（24）B′（42）代入
解
∴直线A′B′解析式y＝﹣x+6
样求直线C′D′解析式y＝﹣x+2
（2）知△OCD等腰直角三角形
设点A坐标（m2m）点D坐标（0m）
A点直线C′D′时2m＝﹣m+2解m＝
时点A坐标（）
∴k＝×＝
点D直线A′B′时m＝6时点A坐标（612）
∴k＝6×12＝72
综知：变化正方形ABCD（2）中正方形A′B′C′D′重叠部分时k取值范围≤x≤72．
9图图次函数y＝﹣x+b反例函数图象交点A（m1）B （1﹣3）．
（1）填空：次函数解析式 反例函数解析式
（2）点Px轴正半轴点连接APBP．△ABP直角三角形时求出点P坐标．
解：（1）∵点A（m1）B （1﹣3）反例函数图象
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3k＝m×1
∴m＝﹣3
∴点A（﹣31）
∴反例函数解析式：y＝
∵次函数y＝﹣x+b点B（1﹣3）
∴﹣3＝﹣1+b
∴b＝﹣2
∴次函数解析式：y＝﹣x﹣2
答案：y＝﹣x﹣2
（2）图1∠ABP＝90°时点P作CD⊥x轴点A作AC⊥DCC点B作BD⊥CDD
设点P坐标（x0）
∴AC＝x+3CP＝1PD＝3BD＝x﹣1
∵∠APB＝90°
∴∠APC+∠BPD＝90°
∵∠APC+∠CAP＝90°
∴∠CAP＝∠BPD
∵∠C＝∠BDP＝90°
∴△ACP∽△PBD
∴
∴
∴x1＝﹣1x2＝﹣1﹣（舍）
∴点P（﹣1+0）
∠ABP＝90°时
∵直线y＝﹣x﹣2x轴交点Cy轴交点D
∴点C（﹣20）点D（0﹣2）
∴OC＝2OD＝2CD＝2BC＝3
∵tan∠OCD＝
∴
∴CP＝6
∵点C（﹣20）
∴点P（40）
综述：点P坐标（0）（40）．
10图次函数y＝﹣x+3图象反例函数y＝（k≠0）第象限图象交A（1a）B两点x轴交点C．
（1）求反例函数解析式
（2）点Px轴△APC面积5求点P坐标
（3）点Py轴否存点P△ABPAB直角边直角三角形？存求出符合条件P点坐标存请说明理．
解：（1）点A（1a）代入y＝﹣x+3a＝2
∴A（12）
A（12）代入反例函数
∴k＝1×2＝2
∴反例函数表达式
（2）∵次函数y＝﹣x+3图象x轴交点C
∴C（30）
设P（x0）
∴PC＝|3﹣x|
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5
∴x＝﹣2x＝8
∴P坐标（﹣20）（80）
（3）存
理：联立
解：
∴B点坐标（21）
∵点Py轴
∴设P（0m）
∴AB＝＝AP＝PB＝
BP斜边
∴BP2＝AB2+AP2
＝2+
解：m＝1
∴P（01）
AP斜边
∴AP2＝PB2+AB2
＝+2
解：m＝﹣1
∴P（0﹣1）
综述：P（01） P（0﹣1）．
11图直线y＝﹣x+6反例函数y＝（x＞0）分交点DA（AB＜AC）探索研究发现：结AB＝CD始终成立．直线y＝mx（m＞0）交线段BC点E交反例函数y＝（x＞0））图象点F．
（1）BC＝5时：
①求反例函数解析式．
②BE＝3CE求点F坐标．
（2）BE：CD＝1：2时请直接写出km数量关系．
解：（1）①针直线y＝﹣x+6令x＝0y＝6
∴A（06）
∴OA＝6
令y＝00＝﹣x+6
∴x＝8
∴D（80）
∴OD＝8
∴AD＝10
∵BC＝5
∴AB+CD＝AD﹣BC＝5
∵AB＝CD
∴AB＝
点B作BG⊥y轴G
∴∠AGB＝90°＝∠AOB
∵∠BAG＝∠DAO
∴△ABG∽ADO
∴
∴
∴AG＝BG＝2
∴OG＝OA﹣AG＝
∴B（2）
∵点B反例函数y＝（x＞0））图象
∴k＝2×＝9
∴反例函数解析式y＝
②∵BC＝5
∴BE+CE＝5
∵BE＝3CE
∴BE＝
∴AE＝AB+BE＝
点E作EH⊥y轴H
∴∠AHE＝90°＝∠AOB
∵∠HAE＝∠OAD
∴△HAE∽△OAD
∴
∴
∴AH＝BG＝5
∴OH＝OA﹣AH＝
∴E（5）
∴直线OE解析式y＝x
联立解（舍）
∴F（2）
（2）∵BE：CD＝1：2
∴BE＝aCD＝2a
∴AB＝CD＝2a
∴AE＝AB+BE＝3a
点E作EH⊥y轴H
（1）方法△HAE∽△OAD
∴
∴
∴AH＝aEH＝a
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a
∴E（a6﹣a）
点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中解am＝6﹣a
∴a＝
点E坐标代入反例函数y＝（x＞0）中
解k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．
13图已知直线y＝2x+2x轴交点Ay轴交点C矩形ACBE顶点B第象限反例函数y＝图象点B作BF⊥OC垂足F设OF＝t．
（1）求∠ACO正切值
（2）求点B坐标（含t式子表示）
（3）已知直线y＝2x+2反例函数y＝图象第象限点D联结DE果DE⊥x轴求m值．
解：（1）∵直线y＝2x+2x轴交点Ay轴交点C
∴点A（﹣10）点C（02）
∴OA＝1OC＝2
∴tan∠ACO＝＝
（2）∵四边形ACBE矩形
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠BCF＝90°∠BCF+∠CBF＝90°
∴∠ACO＝∠CBF
∵OF＝t
∴CF＝2﹣t
∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝
∴BF＝4﹣2t
∴点B（4﹣2tt）
（3）图连接DE交x轴H点
∵DE⊥x轴
∴∠AHE＝90°
∴∠HAE+∠AEH＝90°∠CAO+∠HAE＝90°∠CAO+∠ACO＝90°∠ACO+∠BCF＝90°
∴∠AEH＝∠BCF∠CFB＝∠AHEAE＝BC
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2tCF＝HE
∵点A（﹣10）
∴点H（3﹣2t0）
∴x＝3﹣2t时y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t
∴点D坐标（3﹣2t8﹣4t）
∵点D点B反例函数y＝
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（合题意舍）t2＝
∴点B（）
∴m＝×＝．
14图原点直线y1＝mx（m≠0）反例函数y2＝（k＜0）图象交AB两点点A第二象限点A横坐标﹣1点Dx轴负半轴连接AD交反例函数图象点EAC∠BAD分线点B作AC垂线垂足C连接CEAD＝2DE△AEC面积．
（1）根图象回答：x取值时y1＜y2
（2）求△AOD面积
（3）点P坐标（mk）y轴轴否存点M△OMP直角三角形存请直接写出点M坐标存请说明理．
解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）反例函数y2＝（k＜0）图象交AB两点点A横坐标﹣1
∴点A点B关原点称
∴点B横坐标1
∴x取﹣1＜x＜0x＞1时y1＜y2
（2）连接OCOE
图象知点A点B关原点称
∴OA＝OB
∵AC⊥CB
∴∠ACB＝90°
∴OC＝AB＝AO
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC∠BAD分线
∴∠OAC＝∠DAC
∴∠OCA＝∠DAC
∴AD∥OC
∴S△AEO＝S△ACE＝
∵AD＝2DE
∴AE＝DE
∴S△AOD＝2S△AOE＝3
（3）作EF⊥x轴F作AH⊥x轴H
EF∥AH
∵AD＝2DE
∴DE＝EA
∵EF∥AH
∴＝＝1
∴DF＝FH
∴EF△DHA中位线
∴EF＝AH
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣
∴OF•EF＝OH•HA
∴OH＝OF
∴OH＝HF
∴DF＝FH＝HO＝DO
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1
∴﹣＝1
∴k＝﹣2
∴y＝﹣
∵点Ay＝﹣图象
∴x＝﹣1代入y＝2
∴A（﹣12）
∵点A直线y＝mx
∴m＝﹣2
∴P（﹣2﹣2）
y轴找点M△OMP直角三角形
∠OMP＝90°时PM⊥y轴
OM＝2
∴点M坐标（0．﹣2）
∠OPM＝90°时P作PG⊥y轴G△OPM等腰直角三角形
∴OM＝2PG＝4
∴点M坐标（0．﹣4）
综述点M坐标（0．﹣2）（0﹣4）．
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