北师大版九年级上册数学全册教案（2021年11月修订）

第章 特殊行四边形
11 菱形性质判定
111 菱形性质

1历探索猜想证明程进步发展推理证力
2运综合法证明菱形性质定理判定定理
3体会证明程中运纳概括转化等数学思想方法
掌握菱形性质

运菱形性质解决菱形关问题

1提问什行四边形行四边形中相邻两边关系学生回顾交流
2教师出示生活中菱形例子引出类特殊行四边形——菱形

学生活动观察衣服衣帽架窗户等实物图片
教师学观察图片中发现熟悉图形认什样特征呢

学生1图片中八年级学行四边形
教师请学观察图片中行四边形图111中ABCD相较点
学生2图片中行四边形边相等意两条邻边相等
教师学观察仔细天研究类特殊行四边形——菱形

菱形概念组邻边相等行四边形作菱形
·想想
教师菱形特殊行四边形具般行四边形性质列举样性质
学生菱形边行相等角相等角线互相分
教师认菱形具特殊性质学互相交流讨
学生活动分组讨菱形性质组长组织组员讨组员发言汇总结果
教师活动教师巡视参学生讨中启发学类行四边形图形边角角线三方面探讨菱形性质学生结教师时评价积极引导激励学生
·做做
教师组织学生活动菱形纸折折
教师请学菱形纸片折折回答列问题
(1)菱形轴称图形果条称轴称轴间什位置关系
(2)菱形中相等线段
学生活动分组折纸探索教师问题答案组长组织汇总结果
教师活动教师巡视参学生活动引导学生分析样折纸正确结学生研讨完毕教师展示汇总学生折纸方法相应结便面教学
通折菱形纸片出结
(1)菱形轴称图形两条称轴两条称轴互相垂直
(2)菱形四条边相等
(3)菱形角线互相垂直
教师通折纸活动学已菱形性质初步解面菱形第(2)(3)条性质进行严格逻辑证明
教师出示幻灯片引导学生证明
已知图112菱形ABCD中ABAD角线ACBD相交点O图112
求证(1)ABBCCDAD
(2)AC⊥BD
师生析①菱形边相等邻边相等样证明菱形四条边相等②菱形行四边形点O角线ACBD中点菱形中等腰三角形样利三线合证明结
学生活动写出证明程进行组交流优化证明方法掌握相关定理
教师活动书写板书
证明(1)∵四边形ABCD菱形
∴ABCDADBC(菱形边相等)
∵ABAD∴ABBCCDAD
(2)∵ABAD∴△ABD等腰三角形
∵四边形ABCD菱形
∴OBOD(菱形角线互相分)
等腰三角形ABD中
∵OBOD∴AO⊥BDAC⊥BD
边证明出定理
定理菱形四条边相等
定理菱形角线互相垂直

例题讲解
图113例1图113菱形ABCD中角线ACBD相交点O∠BAD60°BD6求菱形边长AB角线AC长
师生析①菱形邻边相等角60°样等边三角形ABDBD6菱形边长6②菱形角线互相垂直直角三角形AOB根菱形角线互相分OB3根勾股定理求出OA长度次根菱形角线互相分AC2OA求出AC
教师活动引导学生思考书写解答步骤
解∵四边形ABCD菱形
∴ABAD(菱形四条边相等)
AC⊥BD(菱形角线互相垂直)
OBOD12BD12×63(菱形角线互相分)
等腰三角形ABD中
∵∠BAD60°∴△ABD等边三角形
∴ABBD6
Rt△AOB中勾股定理OA2+OB2AB2
∴OAAB2OB2623233
∴AC2OA63(菱形角线互相分)
巩固练
教材堂练
补充练
图114菱形ABCD中角线ACBD相交点OBD12 cmAC6 cm求菱形周长

节课应掌握：
1 菱形定义组邻边相等行四边形作菱形


2菱形性质菱形具行四边形性质外特殊性质①菱形轴称图形称轴两条角线直线②菱形四条边相等③菱形角线互相垂直分


课题11

第章 特殊行四边形
11 菱形性质判定
111 菱形判定

1探索掌握菱形判定方法积累验综合运形成解决问题力
2历菱形判定方法探索程活动中发展合情推理意识动探究惯初步掌握说理基方法发展条理表达力
3通设置问题情境丰富学生生活验激发学生学数学应数学兴趣意识

菱形判定方法

菱形判定方法综合运

复引入
1菱形定义组邻边相等行四边形作菱形
2菱形特殊性质(1)菱形轴称图形(2)菱形四条边相等(3)菱形角线互相垂直
天研究判定四边形菱形

思考(1)运菱形定义找出判断行四边形菱形方法
猜想1果行四边形两条角线互相垂直行四边形菱形

已知图115行四边形ABCD中角线ACBD互相垂直交点O
求证四边形ABCD菱形
证明∵四边形ABCD行四边形
∴OAOC(行四边形角线相互分)
∵AC⊥BD
∴BD直线线段AC垂直分线
∴ABBC
∴四边形ABCD菱形(组邻边相等行四边形菱形)
出结
判定定理1角线互相垂直行四边形菱形
·议议
已知线段AC尺规作图方法作菱形ABCDAC菱形条角线

刚做法图117分AC圆心12AC长半径作弧两条弧分相交点BD次连接ABCD四边形ABCD菱形
认刚做法正确样做
图118学生刚做法正确作AC垂直分线MN交AC点OMN取OBOD次连接ABCD四边形ABCD菱形

思考(2)运角线判定菱形方法
猜想2四边相等四边形菱形

已知图119四边形ABCD中ABBCCDDA
求证四边形ABCD菱形
证明∵ABCDBCAD
∴四边形ABCD行四边形(两组边分相等四边形行四边形)
∵ABBC
∴四边形ABCD菱形(组邻边相等行四边形菱形)
出结
判定定理2四边相等四边形菱形
思考里条件否减少呢否三条边相等四边形菱形呢猜猜试着画画
学生动手操作三条边相等四边形定菱形
·做做
折纸等办法菱形动手试试

说说颖样做道理
学生颖样做道理四边相等四边形菱形


例题讲解
图116例2图116已知行四边形ABCD角线AC垂直分线边ADBC分交点EF求证四边形AFCE菱形
证明∵四边形ABCD行四边形
∴AE∥FC(行四边形边行)
∴∠1∠2
∵EF垂直分AC∴AOOC∠AOE∠COF90°
∴△AOE≌△COF(ASA)∴EOFO
∴四边形AFCE行四边形(角线互相分四边形行四边形)
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE菱形(角线互相垂直行四边形菱形)
·例题讲解
图1110例3已知图1110ABCD中角线ACBD相交点OAB5OA2OB1
求证ABCD菱形
证明△AOB中
∵AB5OA2OB1
∴AB2AO2+OB2
∴△AOB直角三角形∠AOB直角
∴AC⊥BD
∴ABCD菱形(角线互相垂直行四边形菱形)
图1111例4图1111四边形ABCD边长13 cm菱形中角线BD10 cm
求(1)角线AC长度
(2)菱形ABCD面积
解(1)∵四边形ABCD菱形ACBD相交点E
∴∠AED90°(菱形角线互相垂直)
DE12BD12×105(cm)(菱形角线互相分)
∴AEAD2DE21325212(cm)
∴AC2AE2×1224(cm)(菱形角线互相分)
(2)S菱形ABCDS△ABD+S△CBD
2S△ABD2×12×BD×AE
2×12×10×12120(cm2)·做做
图1112图1112两张等宽纸条交叉重叠起重叠部分ABCD菱形什
解重叠部分ABCD菱形理
点A作AH⊥BC交BC点H点C作CQ⊥AB交AB点Q
∵AD∥BCAB∥CD
∴四边形ABCD行四边形
∵SABCDBC·AHAB·CQ两张纸条等宽
∴AHCQ∴ABBC
∴四边形ABCD菱形
巩固练
1两边长a等边三角形纸片拼成四边形 ( )
A等腰梯形 B正方形
C矩形 D菱形
2列说法中正确( )
A两边相等行四边形菱形
B两条角线互相垂直分四边形菱形
C两条角线相等互相分四边形菱形
D四角相等四边形菱形

节课应掌握：
菱形判定方法(1)角线互相垂直行四边形菱形(2)四边相等四边形菱形


课题1213

第章 特殊行四边形
12 矩形性质判定
121 矩形性质

1解矩形关概念理解掌握矩形关性质
2历探索矩形概念性质程发展学生合情推理意识掌握思维方法
3培养严谨推理力合作精神体会逻辑推理思维价值


掌握矩形性质会运

理解矩形特殊性

利活动行四边形教具做演示行四边形角变化学生注意观察演示程中学生思考
(1)运动程中四边形行四边形
学生行四边形
(2)运动程中四边形变什
学生边保持相等边分行
(3)运动程中四边形改变什
学生角
(4) 角改变程中特殊值


学生特殊值——90°
时行四边形什图形呢天研究类特殊行四边形——矩形

矩形概念角直角行四边形作矩形
·想想
教师矩形特殊行四边形具般行四边形性质列举样性质
学生边行相等角相等角线互相分邻角互补
教师矩形轴称图形果条称轴
学生矩形轴称图形两条称轴
教师认矩形具特殊性质伴交流
学生行四边形边行角变90°该角补角90°矩形四角直角
评析实际学学生已学长方形四角90°里学生难理解
教师活动橡皮筋做出两条角线学生观察两条角线关系求学生证明(口述)
学生活动观察发现矩形两条角线相等口述证明程中充分利三角形全等(SAS)证明结

口述图121∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC∠DCB90°ABDC
∵BC公边
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴ACBD
定理
定理矩形四角直角
定理矩形角线相等
·议议

图122矩形ABCD角线ACBD交点EBERt△ABC中条样特殊线段AC什关系样结
学生活动观察思考发现BERt△ABC中斜边AC中线BE12AC纳直角三角形性质定理
定理直角三角形斜边中线等斜边半
教师面起证明定理
已知图123Rt△ABC中BE斜边AC中线求证BE12AC


证明图123分点AC作BCAB行线两行线交点D
∴四边形ABCD行四边形
∵∠ABC90°
∴行四边形ABCD矩形连接ED
∴ACBD
∵BERt△ABC斜边AC中线
∴点EAC中点两条角线交点
∴线段BE线段BD
∴BEDE12BD12AC
师生回忆直角三角形中30°角边等斜边半(避免混淆)

例题讲解

例1图124矩形ABCD中两条角线相交点O∠AOD120°AB25求矩形角线长(投影显示)
师生析利矩形角线相等分OAOD∠AOD120°发现∠ODA30°∠DAB90°直角三角形中30°角边等斜边半BD2AB5
解∵四边形ABCD矩形
∴∠DAB90°(矩形四角直角)
ACBD(矩形角线相等)
OAOC12ACOBOD12BD(矩形角线互相分)
∴OAOD
∵∠AOD120°
∴∠ODA∠OAD12×(180°120°)30°
∴BD2AB2×255

巩固练
补充练
1已知图125矩形ABCD顶点C作角线BD垂线延长线∠BAD分线相交点E求证ACCE

思路点拨证明ACCE考虑证明∠E∠CAEAE分∠BAD∠DAE∠BAE图中发现∠CAE∠DAE∠DAC外条件CE⊥BD样点A作AF⊥BD点FAF∥CE∠E转化∠FAE∠FAE∠BAE∠BAF现证明∠BAF∠DAC实际∠BAF∠BDA∠DAC问题迎刃解

图126△ABC中∠A2∠BCD△ABC高EAB中点求证DE12AC
思路点拨题EAB中点切入考虑应三角形中位线定理应三角形中位线定理必须找中点分析知取BC中点F取AC中点G进行尝试证法取BC中点F连接EFDF图127(1)
∵EAB中点∴EF12AC∴∠FEB∠A
∵∠A2∠B∴∠FEB2∠B
∵CD△ABC高
∴Rt△CDB中DF12BCBF∴∠1∠B
∴∠FEB2∠B2∠1∠1+∠2
∴∠1∠2∴DEEF12AC

证法二取AC中点G连接DGEG图127(2)
∵CD△ABC高
∴Rt△ADC中DG12ACAG
∵EAB中点∴GE∥BC∴∠1∠B
∴∠GDA∠A2∠B2∠1
∵∠GDA∠1+∠2∴∠1+∠22∠1
∴∠2∠1∴DEDG12AC

节课应掌握：
1矩形定义角直角行四边形作矩形矩形行四边形特例具行四边形性质
2矩形性质
(1)边性质边行相等
(2)角性质四角直角
(3)角线性质角线互相分相等
(4)称性矩形轴称图形

课题14

第章 特殊行四边形
13正方形性质判定
131 正方形性质

1行四边形矩形菱形认识基础探索正方形性质体验数学发现程出正确结．
2进步解行四边形矩形菱形正方形梯形间相互关系形成文信息图形信息相互转化力．


掌握正方形概念性质

运正方形性质进行关证计算

复引入
1什作行四边形什作矩形
2矩形性质
3矩形行四边形什处什处
知道判定四边形矩形
事例引入
华想做矩形相框送妈妈做生日礼物找两根长度相等短木条两根长度相等长木条制作什办法检测做矩形相框
天研究矩形判定方法

·做做
图128行四边形活动框架拉动相邻顶点时行四边形形状会发生变化

教师着∠α变化两条角线发生样变化
学生条角线长变短条角线短变长
教师两条角线相等时行四边形什特征样猜想
学生行四边形四角均直角猜想角线相等行四边形矩形
矩形判定定理
定理角线相等行四边形矩形
教师面证明定理

已知图129ABCD中ACDB两条角线ACDB
求证ABCD矩形
证明∵四边形ABCD行四边形
∴ABDCAB∥DC
∵BCCBACDB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC∠DCB
∵AB∥DC
∴∠ABC+∠DCB180°
∴∠ABC∠DCB12×180°90°
∴ABCD矩形(矩形定义)
·想想
教师知道矩形四角直角反四边形少角直角时四边形矩形呢请证明结伴交流
学生四边形少三角直角时四边形矩形
证明略(提示四边形角360°已知三角均90°求出角90°)
矩形判定定理
定理三角直角四边形矩形
·议议
什方法检查家(教室)刚安装门框矩形果仅根较长绳子样检查请说明检查方法合理性伴交流
学生先绳子测量门框两组边两组边分相等门框行四边形绳子测量门框角线两条角线相等门框矩形

例题讲解

例2图1210ABCD中角线ACBD相交点O△ABO等边三角形AB4求ABCD面积
解∵四边形ABCD行四边形
∴OAOCOBOD
∵△ABO等边三角形
∴OAOBAB4
∴OAOBOCOD4
∴ACBD2OA2×48
∴ABCD矩形(角线相等行四边形矩形)
∴∠ABC90°(矩形四角直角)
Rt△ABC中勾股定理AB2+BC2AC2
∴BCAC2AB2824243
∴SABCDAB·BC4×43163

例3图1211矩形ABCD中AD6角线ACBD交点OAE⊥BD垂足点EED3BE求AE长
解∵四边形ABCD矩形
∴∠BAD90°(矩形四角直角)
ACBD(矩形角线相等)
AOCO12ACBODO12BD(矩形角线互相分)
∴AOBODO12BD
∵ED3BE∴BEOE
∵AE⊥BD∴ABAO∴ABAOBO
△ABO等边三角形∴∠ABO60°
∴∠ADB90°∠ABO90°60°30°
∴AE12AD12×63

例4图1212△ABC中ABACAD△ABC条角分线AN△ABC外角∠CAM分线CE⊥AN垂足点E求证四边形ADCE矩形
证明∵AD分∠BACAN分∠CAM
∴∠CAD12∠BAC∠CAN12∠CAM
∴∠DAE∠CAD+∠CAN12(∠BAC+∠CAM)12×180°90°
△ABC中
∵ABACAD∠BAC分线
∴AD⊥BC∴∠ADC90°
∵CE⊥AN∴∠CEA90°
∴四边形ADCE矩形(三角直角四边形矩形)
想想
例4中连接DE交AC点F(图1213)

(1)试判断四边形ABDE形状证明结
(2)线段DFAB样关系请证明结解(1)四边形ABDE行四边形证明
例4知四边形ADCE矩形
∴AN∥BCAEDC
∵ABACAD分∠BAC∴BDCD
∴AE∥BD
∴四边形ABDE行四边形
(2)DF12AB证明
例4知四边形ADCE矩形
∴AFFCFEDF∴DF12AC
∵ABAC∴DF12AB
巩固练
教材堂练
补充练
1已知图1214菱形ABCD中角线ACBD相交点OCM∥BDDM∥AC求证四边形OCMD矩形

2已知图1215ABCD四角分线分相交点EFGH求证四边形EFGH矩形




节课应掌握：
矩形判定定理(1)角线相等行四边形矩形(2)三角直角四边形矩形


课题1516

第二十章 元二次方程
211 元二次方程

知识技
学生掌握正方形概念知道正方形具矩形菱形切性质会进行关证计算
程方法
学会正方形性质解决问题进步发展学生推理力促进逐步掌握说理基方法
情感态度价值观
通分析正方形概念性质矩形菱形概念性质联系区学生进行辩证唯物义教育

正方形性质

正方形性质

媒体课件

（课件展示问题）1生活中行四边形矩形菱形外什特殊行四边形呢？
2展示正方形图片学生观察什特征？
教学说明学生回答展示图片学生感受生活中处存数学激发学热情


思考探究获取新知
1做做：张长方形纸片折出正方形

2观察：正方形具性质？
教学说明学生动手操作中正方形产生感性认识
纳结正方形四角直角四条边相等正方形角线相等互相垂直分
3议议：行四边形菱形矩形正方形间什关系？图直观说明？
教学说明组交流引导学生角角线角度纳总结学生感受变化程更清晰解四边形间联系区
1见教材P21例1
2图△ABC等腰直角三角形DEFG接正方形H正方形角线交点图中线段构成三角形中互相全等三角形数（ ）

A12 B13 C26 D30
解析：根全等三角形判定确定全等三角形数图中全等三角形数较根斜边长确定数做重漏设AB3图中三角形均等腰直角三角形中斜边长15组成10全等三角形斜边长6组成15全等三角形斜边长22组成1全等三角形计26选C
3已知正方形ABCD直角坐标系点A（01）点B（00）点CD坐标分 （10） （11） （写组）
解析：首先根正方形ABCD点A（01）点B（00）坐标系找出两点根正方形边相等确定CD坐标∵正方形ABCD点A（01）点B（00）∴AD∥x轴CD∥y轴样画出正方形出CD坐标分：C（10）D（11）
4图点EF分正方形ABCD边DCBCAG⊥EF垂足GAGAB求∠EAF度数

分析：根角分线判定出△ABF≌△AGF∠BAF∠GAF证明△AGE≌△ADE∠GAE∠DAE∠EAF45°
解：Rt△ABFRt△AGF中
∵ABAGAFAF∠B∠G90°
∴△ABF≌△AGF（HL）
∴∠BAF∠GAF
理易：△AGE≌△ADE
∠GAE∠DAE
∠EAF∠EAG+∠FAG
（∠DAG+ ∠BAG）
∠DAB45°
∠EAF45°
教学说明考查正方形性质全等三角形判定
5图正方形ABCD中AB3点EF分BCCD∠BAE30°∠DAF15°
（1）求证：DF+BEEF
（2）求∠EFC度数

分析：（1）延长EBGBGDF连接AG利正方形性质证明△AGE≌△AFE△FAE≌△GAE出DF+BEEF
（2）根△AGE≌△AFE角间关系求∠EFC度数
解：（1）延长EBGBGDF连接AG

∵四边形ABCD正方形
∴ABAD∠ABG∠ADF∠BAD90°
∵BGDF
∴△ABG≌△ADF
∴AGAF
∵∠BAE30°∠DAF15°
∴∠FAE∠GAE45°
∵AEAE
∴△FAE≌△GAE
∴EFEGGB+BEDF+BE
（2）∵△AGE≌△AFE
∴∠AFE∠AGE∠DFA90°∠DAF75°
∴∠EFC180°∠DFA∠AFE180°75°75°30°
∴∠EFC30°
教学说明学生独立完成培养学生独立意识

1师生回顾正方形性质？
2通节课学疑惑？请伴交流
教学说明教师应学生起进行交流回顾节知识理清解题思路方法普遍存疑虑探讨解决少数学面问题学生伴交流获结果课辅导帮助分析找出问题原时查漏补缺



1布置作业教材题17中第2 3题
2完成练册中相应练

课然学正方形性质实际应起行四边形矩形菱形性质复纳总结作培养学生发散思维力

第章 特殊行四边形
13 正方形性质判定
132正方形判定

知识技
1掌握正方形概念性质判定会进行关证计算
2理解正方形行四边形矩形菱形联系区
程方法
历探索正方形关性质判定重条件程观察中寻求新知探索中发展推理力逐步掌握说理基方法
情感态度价值观
通正方形行四边形矩形菱形联系教学学生进行辩证唯物义教育提高学生逻辑思维力

正方形判定方法

正方形判定方法

媒体课件

（课件展示问题）宁宁商场中块方形纱巾知否正方形见销售员阿姨拉起纱巾组角完全重合宁宁犹豫拉起纱巾组角见组角完全重合认正方形纱巾宁宁认手纱巾定正方形？
教学说明采情境引入学生动联想想象积极发散思维体现数学建模思想


思考探究获取新知
1引导学生实际问题转化数学问题折两次够完全重合实际告诉什？组讨说说
2汇报讨结果统结果折两次出四边相等出角线垂直分纱巾两条角线称轴保证纱巾菱形
教学说明学生动手纸代纱巾折折鼓励学生说出结想法
思考：矩形变正方形需条件？ 菱形变正方形需条件？
教学说明引导学生独立思考正方形需条件
纳结角线相等菱形正方形角线垂直矩形正方形角直角菱形做正方形
二典例精析掌握新知
1见教材P23例2
2图已知四边形ABCD行四边形列结中正确（D）

AABBC时菱形
BAC⊥BD时菱形
C∠ABC90°时矩形
DACBD时正方形
解析：A正确组邻边相等行四边形菱形B正确角线互相垂直行四边形菱形C正确角90°行四边形矩形D正确角线相等行四边形矩形正方形选D
3两全等直角三角形拼列图形：（1）行四边形（包含菱形矩形正方形）（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形定拼成图形（A）
A（1）（2）（5） B（2）（3）（5）
C（1）（4）（5） D（1）（2）（3）
解析：两全等直角三角形直角边重合拼成四边形定行四边形直角边重合拼成三角形定等腰三角形斜边重合拼成四边形定矩形
教学说明题考查学生动手力题学生动手快解决注意题目求定二字
4已知：图D△ABCBC边中点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFBFCE

（1）求证：△ABC等腰三角形
（2）∠A90°时试判断四边形AFDE样四边形证明结
分析：先利HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE∠B∠C△ABC等腰三角形
已知证明矩形组邻边相等四边形AFDE正方形
（1）证明：∵DE⊥ACDF⊥AB
∴∠BFD∠CED90°
∵BDCDBFCE
∴Rt△BDF≌Rt△CDE
∴∠B∠C
△ABC等腰三角形
（2）解：四边形AFDE正方形
证明：∵∠A90°DE⊥ACDF⊥AB
∴四边形AFDE矩形
∵Rt△BDF≌Rt△CDE
∴DFDE
∴矩形AFDE正方形
5图已知行四边形ABCD中角线ACBD交点OEBD延长线点△ACE等边三角形
（1）求证：四边形ABCD菱形
（2）∠AED2∠EAD求证：四边形ABCD正方形

分析：（1）根角线互相垂直行四边形菱形题意易△AOE≌△COE∴∠AOE∠COE90°∴BE⊥AC∴四边形ABCD菱形
（2）根角90°菱形正方形题意易∠ADO∠DAE+∠DEA15°+30°45°∵四边形ABCD菱形∴∠BAD2∠DAO90°∴四边形ABCD正方形
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AOCO
∵△ACE等边三角形
∴EO⊥AC（三线合）
∴四边形ABCD菱形
（2）易：△AOE直角三角形
∴∠AED+∠EAO90°
∵△ACE等边三角形
∴∠EAO60°
∴∠AED30°
∵∠AED2∠EAD
∴∠EAD15°
∴∠DAO∠EAO∠EAD45°
∵四边形ABCD菱形
∴∠BAD2∠DAO90°
∴行四边形ABCD正方形
教学说明学生先独立完成然会问题组交流讨出结果达巩固新知识目学生意识数学知识应非常容易养成学致惯

1师生回顾正方形判定定理？
2通节课学疑惑？请伴交流



1布置作业：教材题18中第3 4题
2完成练册中相应练

前边已学行四边形矩形菱形判定方法正方形判定行四边形矩形菱形判定综合通节学总结纳前面学容理清学中存模糊概念助发展演绎推理力
第二章 元二次方程
21 认识元二次方程
211元二次方程

1求学生会根具体问题列出元二次方程通未铺毯区域宽梯子底端滑动少米等问题提出学生列出方程体会方程模型思想培养学生文字叙述问题转换成数学语言力
2通教师讲解引导学生抽象出元二次方程概念培养学生纳分析力

元二次方程概念

实际问题转化数学方程

导语学五年级学简易方程初中学元次方程二元次方程组化元次方程分式方程运方程方法解决众代数问题求值问题种常见数学方法节课开始学元二次方程知识先学元二次方程关概念

播放未铺毯区域宽课件

幼园活动教室矩形面长8 m宽5 m现准备面正中间铺设块面积18 m2毯(图211)四周未铺毯条形区域宽度相求出宽度
教师根情境结合已知量想求量
学生想求出毯长宽
教师根条件列出关量什关系式
学生毯长×毯宽18
教师果设求宽度x m列出样方程
学生毯长(82x)m毯宽(52x)m根题意列方程(82x)(52x)18板书等式102+112+122132+142提出问题
观察面等式102+112+122132+142找五连续整数前三数方等两数方
教师果五连续整数中第数设x样含x代数式表示余四数
学生第二数x+1第三数x+2第四数x+3第五数x+4
教师根题意列出样方程
学生x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3)2+(x+4)2
播放梯子底端滑动少米课件
图212长10 m梯子斜墙梯子顶端距面垂直距离8 m果梯子顶端滑1 m梯子底端滑动少米

教师计算出滑动前梯子底端距墙距离
学生根勾股定理知道滑动前梯子底端距墙距离6 m
教师果设梯子底端滑动x m列出样方程
学生(x+6)2+72102
·议议
面三问题三方程
(82x)(52x)18
x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3)2+(x+4)2
(x+6)2+72102
教师三方程什特点
学生三方程含未知数未知数高次数2
教师没性整式分式角度展开整理形式角度
学生整式
元二次方程概念含未知数x整式方程化成ax2+bx+c0(abc常数a≠0)形式样方程作元二次方程
元二次方程般形式ax2+bx+c0(abc常数a≠0)称元二次方程般形式中ax2bxc分称二次项次项常数项ab分称二次项系数次项系数

例1 方程3x（x1）5（x+2）化成元二次方程般形式写出中二次项系数次项系数常数项．
分析：元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）方程3x（x1）5（x+2）必须运整式运算进行整理包括括号移项等．
解：括号3x23x5x+10
移项合类项元二次方程般形式3x28x100
中二次项系数3次项系数8常数项10
注意：二次项二次项系数次项次项系数常数项包括前面符号
例2 （学生活动：请二三位学台演练）方程（x+1）2+（x2）（x+2）1化成元二次方程般形式写出中二次项二次项系数次项次项系数常数项．
分析：通完全方公式方差公式（x+1）2+（x2）（x+2）1化成ax2+bx+c0（a≠0）形式．
解：括号x2+2x+1+x241
移项合类项元二次方程般形式x2+x20
中二次项x2二次项系数1次项x次项系数1常数项2
元二次方程根概念：
（1）类元次方程根概念获元二次方程根概念
（2）面数方程x2+5x+60根？
432101234．
巩固练
教材第4页练第12题
补充练：
1判断列方程否元二次方程
（1）3x+25y3（2）x24
（3）3x20（4）x24（x+2）2
（5）ax2+bx+c0
解：（1）（3）（4）（5）元二次方程
（2）元二次方程
2．2根元二次方程（ D ）
A．x2+2x10 Bx2x20 Cx2+x+20 Dx2+x20
3．已知方程5x2+mx60根x3m值 13
例3 求证：关x方程（m28m+17）x2+2mx+10m取值该方程元二次方程．
分析：证明m取值该方程元二次方程证明m28m+17≠0．
证明：m28m+17（m4）2+1
∵（m4）2≥0∴（m4）2+1>0
∴（m4）2+1≠0m28m+17≠0
∴m取值该方程元二次方程．
巩固练
补充练
1列方程元二次方程
(1)7x26x0(2)2x25xy+6y0
(3)2x213x10(4)y220
(5)x2+2x31+x2
2关x方程(k－3)x2＋2x－10k时该方程元二次方程
3关x方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋20k时该方程元二次方程k时该方程元次方程

节课掌握
1元二次方程概念含未知数x整式方程化成ax2+bx+c0(abc常数a≠0)形式样方程作元二次方程
2元二次方程般形式ax2+bx+c0(abc常数a≠0)称元二次方程般形式中ax2bxc分称二次项次项常数项ab分称二次项系数次项系数


课题21

第二章 元二次方程
21 认识元二次方程
211元二次方程解似解估算

1探索元二次方程解似解
2培养学生估算意识力
3历方程解探索程增进方程解认识

探索元二次方程解似解

培养学生估算意识力

节课中两元二次方程
(82x)(52x)182x213x+110
(x+6)2+72102x2+12x150
发现元二次方程现实生活中具样广泛应节课两问题否已完全解决求出方程中x值

估算教室未铺毯区域宽
教室未铺毯区域宽x(m)满足方程(82x)(52x)18求出x
教师x0说说理
学生x0x表示区域宽度
教师x425什
学生x425x4x25时分原矩形面长宽0符合实际情况
教师完成表

学生表格左右次填入2818104
教师知道教室未铺毯区域宽x(m)少求解方法伴交流
学生区域宽度1米
解82x52x318分解6×3令82x6解x1
·做做
梯子底端滑动距离x(m)满足方程(x+6)2+72102x2+12x150
(1)明认底端滑动1 m说法正确什
(2)底端滑动距离2 m3 m什
(3)猜出滑动距离x(m)致范围
(4)x整数部分十分位
附学生第(3)问说理程


题中认x取值范围0＜x＜4首先梯子滑动距离x＞0显易见图213中求BC6 mBD＜10 mCD＜4 mx取值范围0＜x＜4
学生完成面表格

然没整数取值中找方程解通表格分析发现x取值12时应代数式值213着x取值越相应代数式值越想代数式值0x取值应12间确定x整数部分1
教师启发引导学生12间继续找方程解分两种做法
甲学做法

1＜x＜15
进步计算

11＜x＜12
x整数部分1十分位1
乙学做法

11＜x＜12
x整数部分1十分位1两种做法教师时予肯定鼓励二者加较
注意(1)估算精度高(2)计算时提倡计算器

例1 方程3x（x1）5（x+2）化成元二次方程般形式写出中二次项系数次项系数常数项．
分析：元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）方程3x（x1）5（x+2）必须运整式运算进行整理包括括号移项等．
解：括号3x23x5x+10
移项合类项元二次方程般形式3x28x100
中二次项系数3次项系数8常数项10
注意：二次项二次项系数次项次项系数常数项包括前面符号
例2 （学生活动：请二三位学台演练）方程（x+1）2+（x2）（x+2）1化成元二次方程般形式写出中二次项二次项系数次项次项系数常数项．
分析：通完全方公式方差公式（x+1）2+（x2）（x+2）1化成ax2+bx+c0（a≠0）形式．
解：括号x2+2x+1+x241
移项合类项元二次方程般形式x2+x20
中二次项x2二次项系数1次项x次项系数1常数项2
元二次方程根概念：
（1）类元次方程根概念获元二次方程根概念
（2）面数方程x2+5x+60根？
432101234．
巩固练
教材第4页练第12题
补充练
图214根长72 m木料做成图214窗框窗框宽少时窗户面积2 m2(考虑木料加工时损耗中间木框占面积)

(学生总结老师点评)
节课通解决实际问题探索元二次方程解似解解似计算重思想——夹逼思想


课题22

第二章 元二次方程
22配方法求解元二次方程
221直接开方法

1会直接开方法解形(x+m)2n(n≥0)方程
2理解元二次方程解法配方法

配方法解二次项系数1元二次方程

元二次方程通配方转化(x+m)2n(n≥0)形式

教师前面学方根意义性质现回忆什作方根方根性质
学生甲果数方等a数作a方根
式子表示x2ax作a方根
学生乙方根列性质
(1)正数两方根两方根互相反数
(2)零方根零
(3)负数没方根
教师求出适合等式x24x值
学生x24知x4方根x值22
教师面两节课研究问题
出示投影片§221A
图221长10 m梯子斜墙梯子顶端距面垂直距离8 m果梯子顶端滑1 m梯子底端滑动少米


教师节课分析知梯子底端滑动距离x(m)满足x2+12x150节课已求出x似值设法求出精确值
……
节课研究元二次方程解法

教师已学元二次方程定义关概念现学讨解元二次方程
学生甲等式x24元二次方程样类型方程解
学生乙方程(x+3)29解求x+3方等99方根33x+33x+33x0x6
教师乙学分析家听清楚没……面家屏幕
出示投影片§221B
会解列元二次方程做
(1)x25(2)3x20(3)x240
(4)2x2500(5)(x+2)25
(6)(x3)26(7)2x2+500

学生甲方程(1)根55x5方根
方程(2)根0方程3x20化x20x0方根
学生乙方程(3)通移项化方程(1)形式x24方程(3)根22
方程(4)通移项化方程(2)形式2x250然化x225方程(4)根55
学生丙解方程(5)(6)时x+2x3作整体形式方程(1)样方程(5)(6)求解
方程(5)求x+2方5x+255x等2+525
方程(6)求x3方6x366x等3+636
学生丁方程(7)通移项2x250方根性质知负数没方根没实数适合方程
教师学分析真棒家利方根定义求解类元二次方程种解元二次方程方法作直接开方法中适合方程(7)实数x存原方程实数根
刚解题程中知道元二次方程果根两根两根相等方程(2)相等方程(1)(3)(4)(5)(6)书写时通常x1x2表示关未知数x元二次方程两根
注意
(1)方程3x20两相等实数根x10x20元次方程3x0根x0区
(2)刚解元二次方程ax2+c0(a≠0)形式表示ac异号时方程ax2+c0两相等实数根ac号时ax2+c0没实数根
接学屏幕
出示投影片§221C
判断列方程否直接开方法求解解
(1)x24x+42(2)x2+12x+365(分组讨)

学生甲方程(1)直接开方法求解方程(1)左边正完全方式右边正数化(x2)22样利直接开方法求x2±2x12+2x222
学生乙方程(2)直接开方法求解方法解方程(1)原方程化(x+6)25两边开方x+6±5x16+5x265
教师学基解解元二次方程基思路谁家叙述呢
学生丙解元二次方程基思路原方程化(x+m)2n(n≥0)然两边开方样原方程转化两元次方程
教师真棒实际解元二次方程关键设法转化元次方程原方程降次降次种数学思想
面否求出方程x2+12x150精确值学先想想
出示投影片§221D
解方程x2+12x150困难里方程x2+12x150转化成(x+m)2n形式

学生解方程x2+12x150困难样x2+12x150左边变成完全方式右边变成常数
教师噢学想想完全方式特征什
学生完全方公式a2±2ab+b2(a±b)2
教师面家做做
出示投影片§221E
填适数列等式成立
(1)x2+10x+(x+5)2
(2)x28x+(x)2
(3)x2+8x+(x+)2

学生甲(1)左边应填25
(2)左边应填16右边应填4
(3)左边应填16右边应填4
学生乙老师出三等式左边填常数次项系数半方右边填次项系数半
教师家说呢
学生
教师理解完全方式特征方程x2+12x150转化(x+m)2n形式
师生析x2+12x150
先常数项移方程右边x2+12x15
两边加62(次项系数12半方)x2+12x+6215+62
(x+6)251
教师接否求出方程x2+12x150精确值梯子底端滑动距离呢
学生方程两边开方x+6±51
x+651x+651
x16+51x2651
教师噢梯子底端滑动(6+51)m(651)m
学生老师梯子底端滑动距离正数负数x1原问题解x2
教师家说
学生
教师x1x2方程x2+12x150根x2原问题解应舍
通配成完全方式方法元二次方程x2+12x150根种解元二次方程方法称配方法

出示投影片§221F
例1解方程x2+8x90
教师家独立解方程
学生
解常数项移方程右边x2+8x9
两边加42(次项系数8半方)x2+8x+429+42(x+4)225
两边开方x+4±5x+45x+45
x11x29
教师知道配方法解元二次方程基思路原方程转化(x+m)2n形式边完全方式边常数n≥0时两边开方便求出根
注意实数范围非负数方根n≥0时方程解n<0时方程左边完全方式右边负数方程实数范围解

巩固练
教材堂练
补充练
解列方程
(1)x220(2)(x+1)240
(3)x21440(4)y270
(5)x2+50(6)(x+3)22
(7)(x+3)26(8)(2x+3)25
(9)(x+1)2120(10)x210x+250

(学生总结老师点评)
节课研究元二次方程解法
(1)直接开方法
(2)配方法

课题23

第二章 元二次方程
22配方法求解元二次方程
221直接开方法

1会配方法求解二次项系数1元二次方程
2解配方法解元二次方程基步骤

配方法求解元二次方程

理解配方法

1什配方法
2样配方方程两边加次项系数半方
3解方程
(1)x2+4x+30(2)x24x+20

教师已学元二次方程定义关概念现学讨解元二次方程
学生甲等式x24元二次方程样类型方程解
学生乙方程(x+3)29解求x+3方等99方根33x+33x+33x0x6
教师乙学分析家听清楚没……面家屏幕
出示投影片§221B
会解列元二次方程做
(1)x25(2)3x20(3)x240
(4)2x2500(5)(x+2)25
(6)(x3)26(7)2x2+500

学生甲方程(1)根55x5方根
方程(2)根0方程3x20化x20x0方根
学生乙方程(3)通移项化方程(1)形式x24方程(3)根22
方程(4)通移项化方程(2)形式2x250然化x225方程(4)根55
学生丙解方程(5)(6)时x+2x3作整体形式方程(1)样方程(5)(6)求解
方程(5)求x+2方5x+255x等2+525
方程(6)求x3方6x366x等3+636
学生丁方程(7)通移项2x250方根性质知负数没方根没实数适合方程
教师学分析真棒家利方根定义求解类元二次方程种解元二次方程方法作直接开方法中适合方程(7)实数x存原方程实数根
刚解题程中知道元二次方程果根两根两根相等方程(2)相等方程(1)(3)(4)(5)(6)书写时通常x1x2表示关未知数x元二次方程两根
注意
(1)方程3x20两相等实数根x10x20元次方程3x0根x0区
(2)刚解元二次方程ax2+c0(a≠0)形式表示ac异号时方程ax2+c0两相等实数根ac号时ax2+c0没实数根
接学屏幕
出示投影片§221C
判断列方程否直接开方法求解解
(1)x24x+42(2)x2+12x+365(分组讨)

学生甲方程(1)直接开方法求解方程(1)左边正完全方式右边正数化(x2)22样利直接开方法求x2±2x12+2x222
学生乙方程(2)直接开方法求解方法解方程(1)原方程化(x+6)25两边开方x+6±5x16+5x265
教师学基解解元二次方程基思路谁家叙述呢
学生丙解元二次方程基思路原方程化(x+m)2n(n≥0)然两边开方样原方程转化两元次方程
教师真棒实际解元二次方程关键设法转化元次方程原方程降次降次种数学思想
面否求出方程x2+12x150精确值学先想想
出示投影片§221D
解方程x2+12x150困难里方程x2+12x150转化成(x+m)2n形式

学生解方程x2+12x150困难样x2+12x150左边变成完全方式右边变成常数
教师噢学想想完全方式特征什
学生完全方公式a2±2ab+b2(a±b)2
教师面家做做
出示投影片§221E
填适数列等式成立
(1)x2+10x+(x+5)2
(2)x28x+(x)2
(3)x2+8x+(x+)2

学生甲(1)左边应填25
(2)左边应填16右边应填4
(3)左边应填16右边应填4
学生乙老师出三等式左边填常数次项系数半方右边填次项系数半
教师家说呢
学生
教师理解完全方式特征方程x2+12x150转化(x+m)2n形式
师生析x2+12x150
先常数项移方程右边x2+12x15
两边加62(次项系数12半方)x2+12x+6215+62
(x+6)251
教师接否求出方程x2+12x150精确值梯子底端滑动距离呢
学生方程两边开方x+6±51
x+651x+651
x16+51x2651
教师噢梯子底端滑动(6+51)m(651)m
学生老师梯子底端滑动距离正数负数x1原问题解x2
教师家说
学生
教师x1x2方程x2+12x150根x2原问题解应舍
通配成完全方式方法元二次方程x2+12x150根种解元二次方程方法称配方法

例2解方程3x2+8x30
师生析二次项系数化1配方法解方程
解两边3x2+83x10
配方x2+83x+43243210
x+4322590
移项x+432259
两边开方x+43±53
x+4353x+4353
x113x23
面例题纳总结出配方法解元二次方程步骤
(1)二次项系数化1
(2)配方方程两边加次项系数半方
(3)移项方程边完全方式边常数
(4)求根直接开方法求出方程根
·做做
球面15 ms初速度竖直弹出空中高度h(m)时间t(s)满足关系h15t5t2球时达10 m高
学生根题意15t5t210
二次项系数化1t23t2
配方t23t+3222+32214
t32214t32±12
t11t22
1 s时球升10 m处高点落2 s时球高度10 m

巩固练
教材堂练
补充练
配方法解列方程
(1)4x212x10(2)3x2+2x30
(3)2x2+x60(4)4x2+4x+1018x
(5)3x29x+20(6)2x2+67x
(7)3x2+22x240

(学生总结老师点评)
节课掌握
配方法解元二次方程步骤(1)二次项系数化1(2)配方(3)移项(4)求根

课题24

第二章 元二次方程
23 公式法求解元二次方程
231 元二次方程根判式

知识技
　 1感悟元二次方程根判式产生程
　2运根判式判方程根情况进行关推理证
　3会运根判式求元二次方程中字母系数取值范围
程方法
　 1培养学生探索创新精神
2培养学生逻辑思维力推理证力
情感态度价值观
1学生渗透分类数学思想数学简洁美
2加深师生间交流增进师生情感
3培养学生协作精神

根判式定理逆定理正确理解运

根判式定理逆定理运

媒体课件

（课件展示问题）学已学会解元二次方程？现老师手绝活：便元二次方程题目具体解快知道根致情况信呀学便出两题考考
教学说明样设计马激发学生学兴趣求知欲面发现结创造佳心理状态



思考探究获取新知
定想知道绝活回事吧？现请学公式法解三元二次方程会快发现奥秘
公式法解元二次方程（投影仪出）

(注：找三名学生板演余学生位做)
教学说明样设计学生亲身感知元二次方程根情况培养学生探索精神变老师教钻发挥学生观动性
二典例精析掌握新知
请学观察三方程解题程发现：系数代入求根公式前题先确定abc值然求出值——什样做呢？
学生会初步说出 作：决定方程否解
教师（1）见：解
起着重作显然根值符号判断 根情况 做元二次方程根判式通常符号△（读作delta希腊字母）表示△说数学学中会遇：简单符号表示数学式子情况学逐渐适应点体现数学简洁美

（3）通解三方程学发现元二次方程根情
况种谁总结出？
学生前面作铺垫学生快答出结
（1）出关

△＞0 方程两相等实数根
△ 0 方程两相等实数根
△＜0方程没实数根
（2）说：定理逆命题成立逆定理：

方程两相等实数根△＞0
方程两相等实数根 △0
方程没实数根 △＜0
（3）定理逆定理途
定理途：解方程情况根△值符号定理判断方程根情况
逆定理途：已知方程根情况逆定理确定△值符号进求出系数中某字母取值范围
（4）注意运定理逆定理时必须方程化成般形式方

（1）天元二次方程解法基础学根判式应整中学数学中占重位中考命题重知识点必须牢固掌握
（2）注意根判式定理逆定理区：般已知△值符号时定理已知方程根情况时逆定理

判式情况
根 情 况
定 理 逆 定 理

△＞0


△＝0


△＜0





1布置作业：课题25

例题设计学生创造知识运迁移巩固机会时吸引调动全班学参积极动脑抒见活跃气氛中培养学生分析问题解决问题力


第二章 元二次方程
23 公式法求解元二次方程
232 公式法

知识技
　理解元二次方程求根公式推导程解公式法概念会熟练应公式法解元二次方程．
程方法
复具体数字元二次方程配方法解题程引入ax2+bx+c0（a≠0）求根公式推导公式应公式法解元二次方程．
情感态度价值观
1学生渗透分类数学思想数学简洁美
2加深师生间交流增进师生情感
3培养学生协作精神

求根公式推导公式法应．

元二次方程求根公式法推导．

媒体课件

（学生活动）配方法解列方程
（1）6x27x+10 （2）4x23x52
（老师点评）（1）移项：6x27x1
二次项系数化1：x2x
配方：x2x+（）2+（）2
（x）2
x±
x1+1
x2+
（2）略
总结配方法解元二次方程步骤（学生总结老师点评）．
（1）移项
（2）化二次项系数1
（3）方程两边加次项系数半方
（4）原方程变形（x+m）2n形式
（5）果右边非负数直接开方求出方程解果右边负数元二次方程解．

思考探究获取新知
果元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）否面配方法步骤求出两根请学独立完成面问题．
问题：已知ax2+bx+c0（a≠0）b24ac≥0试推导两根x1x2
分析：前面具体数字已做现妨abc成具体数字根面解题步骤直推．
解：移项：ax2+bxc
二次项系数化1x2+x
配方：x2+x+（）2+（）2
（x+）2
∵b24ac≥04a2>0
∴≥0
直接开方：x+±
x
∴x1x2
知元二次方程ax2+bx+c0（a≠0）根方程系数abc定：
（1）解元二次方程时先方程化般形式ax2+bx+c0b4ac≥0时abc代入式子x方程根．
（2）式子做元二次方程求根公式．
（3）利求根公式解元二次方程方法公式法．
（4）求根公式知元二次方程两实数根．
例1．公式法解列方程．
（1）2x24x10 （2）5x+23x2
（3）（x2）（3x5）0 （4）4x23x+10
分析：公式法解元二次方程首先应化般形式然代入公式．
解：（1）a2b4c1
b24ac（4）24×2×（1）24>0
x
∴x1x2
（2）方程化般形式
3x25x20
a3b5c2
b24ac（5）24×3×（2）49>0
x
x12x2
（3）方程化般形式
3x211x+90
a3b11c9
b24ac（11）24×3×913>0
∴x
∴x1x2
（3）a4b3c1
b24ac（3）24×4×17<0
实数范围负数开方方程实数根．
二典例精析掌握新知
例2．某数学兴趣组关x方程（m+1）+（m2）x10提出列问题．
（1）方程元二次方程m否存？存求出m解方程．
（2）方程元二次方程m否存？存请求出．
解决问题？
分析：．（1）元二次方程必须满足m2+12时满足（m+1）≠0．
（2）元次方程必须满足
①②③
解：（1）存．根题意：m2+12
m21 m±1
m1时m+11+12≠0
m1时m+11+10（合题意舍）
∴m1时方程2x21x0
a2b1c1
b24ac（1）24×2×（1）1+89
x
x1x2
该方程元二次方程时m1两根x11x2．
（2）存．根题意：①m2+11m20m0
m0时（m+1）+（m2）2m11≠0
m0满足题意．
②m2+10m存．
③m+10m1时m23≠0
m1满足题意．
m0时元次方程x2x10
解：x1
m1时元次方程3x10
解x
m01时该方程元次方程m0时根x1m1时元次方程根x．

节课应掌握：
（1）求根公式概念推导程
（2）公式法概念
（3）应公式法解元二次方程
（4）初步解元二次方程根情况．



1 布置作业：课题25

例题设计学生创造知识运迁移巩固机会时吸引调动全班学参积极动脑抒见活跃气氛中培养学生分析问题解决问题力


第二章 元二次方程
24式分解法求解元二次方程

1根具体元二次方程特征灵活选择方程解法体会解决问题方法样性
2会式分解法解某简单数字系数元二次方程

掌握式分解法解元二次方程

灵活运式分解法解元二次方程

教师现止学解元二次方程三种方法直接开方法配方法公式法面学做做练
出示投影片§24A
解列方程
(1)x240(2)x23x+10
(3)(x+1)2250(4)20x2+23x70

学生老师解方程方法
教师呀
学生甲解方程(1)时直接开方法公式法方程特点采直接开方法
解x240移项x24
两边时开方x±2∴x12x22
学生乙解方程(2)时配方法公式法采公式法
解里a1b3c1
∵b24ac(3)24×1×15>0
∴x(3)±52×1∴x13+52x2352
教师乙学解方程(2)时什选公式法选配方法呢
学生乙觉配方法公式法简便
教师学意见呢
学生意乙学意见
教师继续
学生丙解方程(3)时(x+1)作整体时直接开方法简便
解移项(x+1)225
两边开方x+1±5
x+15x+15∴x14x26
学生丁解方程(4)时公式法
解里a20b23c7
∵b24ac2324×20×(7)1 089＞0
∴x23±1 0892×2023±3340∴x114x275
教师知道已学解元二次方程三种方法——直接开方法配方法公式法中直接开方法解某特殊形式方程配方法公式法简便家选方法直接开方法公式法
公式法解元二次方程通法解意元二次方程
公式法解元二次方程时首先方程化般形式正确确定abc值次通常应先计算b24ac值然求解
元二次方程三种解法呢没方法天进步探讨元二次方程解法

教师面题
出示投影片§24B
数方数3倍相等果相等数样求出

教师家先独求解然分组进行讨交流
学生甲解题时先设数x根题意方程x23x然公式法求解
解方程x23xx23x0
里a1b3c0
b24ac(3)24×1×09>0
x(3)±92×1x13x20
数03
学生乙设数x样列出方程x23x
解方程两边时约xx3数应该3
学生丙乙学做错0方003倍0根题意知数0
教师说明乙学进行解变形时进行非解变形丢掉根家解方程时候需注意利解原理变形方程时方程两边时数必须保证等0否变形会错误
方程没解法呢
学生丁方程化般形式发现等式左边公式x时x提出左边两项积前面知道两式积等0两式零样元二次方程降元次方程时方程解
解x23x0式分解x(x3)0
x0x30∴x10x23
数03
教师噢样解元二次方程学想想行
学生行
教师丁学应果a×b0a0b0家想想议议
出示投影片§24C
果a×b0时a0b0时成立x(x3)0时x0x30时成立

学生行
……
教师该表示呢
教师时样表示
果a×b0a0b0
说元二次方程降两元次方程时两元次方程中间
x(x3)0x0x30时中间应写字
丁学解方程x23x方法方程边变0边分解成两式积然利a×b0a0b0元二次方程变元次方程求出方程解种解元二次方程方法称式分解法元二次方程边0边易分解成两次式积时采式分解法解元二次方程
式分解法理根果两式积等零两式少等零(x+2)(x3)0x+20x30反x+20x30定(x+2)(x3)0说解方程(x+2)(x3)0相解方程x+20x30

出示投影片§24D
例：解列方程
(1)5x24x(2)x(x2)x2
教师学独做出
学生
教师开始
学生甲解方程(1)时先化般形式然分解式求解
解原方程变形5x24x0
式分解x(5x4)0x05x40
∴x10x245
学生乙解方程(2)时方程左右两边(x2)(x2)作整体然移项分解式求解
解原方程变形x(x2)(x2)0
式分解(x2)(x1)0x20x10
∴x12x21
学生丙老师解方程(2)时否原方程展开求解呢
教师呀样话会复杂(x2)作整体简便
面学想想做做
出示投影片§24E
式分解法解方程x240(x+1)2250

学生丁方程x240右边0左边x24分解式x24(x2)(x+2)样方程x240分解式法解
解x240式分解(x+2)(x2)0
∴x+20x20∴x12x22
学生戊方程(x+1)2250右边0左边(x+1)225x+1作整体样左边方差利方差公式分解式求出方程解
解(x+1)2250
式分解［(x+1)+5］［(x+1)5］0
∴(x+1)+50(x+1)50
∴x16x24
教师两题实际刚课时解时直接开方法现式分解法知元二次方程解法种选时简便
面通练巩固元二次方程解法
巩固练
教材堂练
补充练
式分解法解列方程
(1)3x22x(2)2x(x+1)3(x+1)
(3)(3x4)2(4x3)2

(学生总结老师点评)
节课掌握
利式分解法解元二次方程时否分解式关键熟练掌握式分解知识通提高式分解力提高式分解法解元二次方程力式分解法时先考虑公式果分解式

课题27
第二章 元二次方程
25 元二次方程根系数关系

1说出根系数关系会利根系数关系解关问题
2历观察纳猜想验证探索发现程通尝试交流开拓思路体会应知识探索成果喜悦
3通观察实践讨等活动历发现问题发现关系程养成独立思考惯通交流互动逐步养成合作意识严谨治学精神

元二次方程两根两根积原方程系数间关系

根系数关系进行应

复引入
1请说出解元二次方程四种解法
2解列方程解填入面表格中发现表格中两解积原方程什联系
(1)x2－2x+10(2)x223x－10(3)2x2－3x＋10

天研究根系数关系

教师学先完成面表格观察两解积原方程中系数关系加证明
学生填表

x1＋x2bax1x2ca
证明
元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)b24ac>0时两根x1b+b24ac2ax2bb24ac2a两根x1+x2b+b24ac2a+bb24ac2a2b2aba两根积x1x2b+b24ac2a·bb24ac2a(b)2(b24ac)24a2b2b2+4ac4a2ca
通边猜测证明
元二次方程根系数关系果方程ax2+bx+c0(a≠0)两实数根x1x2x1＋x2bax1x2ca

例利根系数关系求列方程两根两根积
(1)x2+7x+60(2)2x23x20
解(1)里a1b7c6
Δb24ac724×1×6492425>0
∴方程两实数根
设方程两实数根分x1x2
x1+x27x1x26
(2)里a2b3c2
Δb24ac(3)24×2×(2)9+1625>0
∴方程两实数根
设方程两实数根分x1x2
x1+x232x1x21
巩固练
教材堂练
补充练
1写出列方程两根两根积
(1)x25x+20(2)x2+11x440
(3)2x2+3x50(4)x2mx+m30
2已知关x方程x2－6x＋p2－2p＋50根2求方程根p值

(学生总结老师点评)
节课掌握
元二次方程根系数关系果方程ax2+bx+c0(a≠0)两实数根x1x2x1＋x2bax1x2ca

课题28
第二章 元二次方程
26应元二次方程
261图形数字问题

知识技
　学生会元二次方程解应题
程方法
进步培养学生实际问题转化数学问题力分析问题解决问题力培养学生运数学意识
情感态度价值观
通列方程解应题进步体会运代数中方程思想方法解应题优越性

实际问题中等量关系找

根等量关系设未知数列方程

媒体课件

列方程解应题步骤什？
①审题②设未知数③列方程④解方程⑤答
教学说明 初学元次方程应实际实际题意设未知数列出元次方程求解问题解决实际问题列出方程元次方程元二次方程节课研究问题元二次方程应

思考探究获取新知
问题：张长6尺宽3尺长方形桌子现块长方形台布铺桌面果台布面积桌面面积2倍四周垂长度相试求块台布长宽少？（精确01尺）
分析：设四周垂宽度x尺时知台布长(2x+6)尺宽（2x+3）尺利台布面积桌面面积2倍构建方程获结
解：设四周垂宽度x尺时题意列方程（6+2x）(3+2x)2×6×3整理方程2x2+9x90解x1≈084x2≈53(合题意舍)块台布长约77尺宽约47尺
教学说明 注意引导学生分析理清题目中数量关系挖掘已知条件解决问题激发学生解决问题欲体会数形结合思想应
二典例精析掌握新知
1见教材P52例1
2直角三角形两条直角边7面积6斜边长（ B ）
A B5 C D7
3正方形铁皮边切2cm宽长方形余长方形面积48cm2原正方形铁皮面积64cm2
4图幅矩形毯四周镶宽度相花边毯中间矩形图案长6m宽3m整毯面积40m2求花边宽
解：设花边宽x m题意（6+2x）（3+2x）40
解x11x2（合题意应舍）
花边宽度1m
5右图长方形鸡场面示意图边墙外三边竹篱笆围成竹篱笆总长35m
（1）围面积150m2试求长方形鸡场长宽
（2）果墙长18m（1）中长方形鸡场长宽分少？
（3）围成面积160m2长方形鸡场？说说理
分析图设BC x mAB长 m设AB x mBC(352x)m利题设中等量关系求出（1）解（2）中墙长a 18m意味着BC边长应等18m（1）结进行甄（3）中助（1）解题思路构建方程方程根情况结
解（1）设BCxmABCDm题意列方程x·150解方程x120x215
BCx20m时ABCD75mBC15m时ABCD10m长方形鸡场长宽分20m75m15m10m
（2）墙长18m时显然BC20m时围成鸡场会墙处留缺口合题意应舍时围成长方形鸡场长宽15m10m
（3）围成面积160m2长方形鸡场理：设BC x m（1）知ABmx·160方程整理x235x+3200时Δ3524×1×32012251280＜0原方程没实数根知35m篱笆图示方式围成面积160m2鸡场
6图示△ABC中∠C90°AC6cmBC8cm点P点A出发边AC点C1cms速度移动点Q点C出发CB边点B2cms速度移动中点达终点时点停止运动
（1）果PQ时出发秒钟△PCQ面积8cm2？
（2）点PQ移动程中否存某时刻△PCQ面积等△ABC面积半？
分析：（1）果PQ时出发x sAPxcmPC（6x）cmCQ2xcm时△PCQ面积×2x（6x）令该式8等量关系列出方程求出符合题意值
（2）△ABC面积半等×AC·BC12（cm2）令×2x（6x）12判断该方程否解解存否存
解：（1）设xs△PCQ面积8cm2题意APxcmPC（6x）cmCQ2xcm·（6x）·2x8整理x26x+80解x12x24PQ时出发2s4s△PCQ面积8cm2
（2）题意S△ABCAC·BC×6×824（cm2）令×2x×（6x）×24x26x+120b24ac624×1212<0该方程实数解存△PCQ面积等△ABC面积半时刻

1回顾整理总结学生活动中积累实践验理解建立数学模型重性
2独立完成例题



1布置作业：课题29

课时例题分析练分析鼓励学生动脑动手动口学生提供展示机会程中发现总结学生存思维误区便教学课堂注意激发学生学热情帮助学生形成积极动求知态度
第二章 元二次方程
26应元二次方程
262变化率问题销售问题

知识技
理解元二次方程销售利润增长率等问题实际应
程方法
历分析具体问题数量关系建立方程解决问题程进步体会方程刻画现实世界中数量关系效性
情感态度价值观
根问题实际意义检验结果否合理增强数学实际应意识体会数学现实生活紧密联系

利元二次方程解决相关济问题根实际意义检验结果合理性

根具体问题数量关系建立方程模型

媒体课件

常电视新闻中听关增长率问题例年市均收入Q元年期增长x环境污染年降低y某厂预计两年生产总值翻番……出增长率问题处时节课起探索增长率问题
教学说明说明：举出实际问题背景题目够培养学生利数学知识解决实际问题力突出体现数学现实生活中应价值
建议：创设问题情境激发学生学兴趣欲体现数学应实际思想

思考探究获取新知
两年前生产1t甲种药品成5000元生产1t乙种药品成6000元着生产技术进步现生产1t甲种药品成3000元生产1t乙种药品成3600元种药品成年均降率较？
思考（1）甲种药品成年均降额乙种药品年均降额分少？年均降率否回事？
（2）设甲种药品年均降率x第年成 5000（1x）元第二年成 5000（1x）2元列出相应方程求出问题解？乙种药品呢？
教学说明思考（1）旨学生感受成降问题中成降额成降率两接概念前者表示绝变化量单位元者表示相变化量表示率数字全面较象变化状况思考（2）进步学生感受两时间段均变化率济增长率口增长率等设均变化率x变化前数量×(1+x)2两年数量元二次方程数学模型确定方程问题解教学程中教师应引导学生积极思考寻求出实际问题中蕴含等量关系学生体会寻找等量关系解决问题关键师生完成解答程
二典例精析掌握新知
1见教材P54例2
2落实两免补政策某市2013年投入教育费2500万元预计2015年投入教育费3600万元已知2013年2015年教育费投入相百分率逐年增长2014年该市投入教育费 3000 万元
分析：设增长率x根题意2014年2500（1+x）万元2015年2500（1+x）（1+x）万元2500（1+x）（1+x）3600解x02x22（合题意舍）两年投入教育费均增长率202014年该市投入教育费2500（1+20）3000（万元）
3某区2012年屋顶绿化面积2000方米计划2014年屋顶绿化面积达2880方米果年屋顶绿化面积增长率相增长率少？
分析：题需先设出增长率x根已知条件找出等量关系列出方程求出x值出答案
解：设增长率x根题意：
2000×（1+x）22880
解：x120x2220（舍）
答：增长率20

4某种服装进价件60元市场调查种服装80元销售时月卖出400件销售价涨价1元少卖出5件果服装店预计销售种服装时月获利12000元种服装销售价定少时顾客更实惠？
解：设销售价提高x1元月应少卖出5x件题意列方程
（80+x60）×(4005x)12000
解方程x120x240
显然x40时销售价120元x20时销售价100元顾客实惠销售价越低越种服装销售价应定100元合适
教学说明学生学致巩固新知
5某校坚持学生进行视眼防治视眼数逐年减少统计2013年2012年视眼数占2011年数75两年均年视眼数降百分率少？
解：设均年视眼数降百分率x2011年视眼数a
题意（1x）a+(1x)2·a75a
解x105x225
显然x25合题意应舍均年视眼数降百分率50
6某商店准备进批季节性家电单价40元市场预测销售定价52元时售出180定价增加1元销售量净减少10定价减少1元销售量净增加10受库存影响批次进货数超180商店准备获利2000元应进货少？定价少元？
分析：利销售利润售价进价根题中条件列出利润定价关系式求解
解：设商品定价x元题意
（x40）［18010（x52）］2000
整理x2110x+30000
解x150x260
x50时进货18010×（5052）200（）＞180符合题意舍
x60时进货18010×（6052）100（）＜180符合题意
答：该商品定价60元进货100时商店获利2000元
教学说明题考查元二次方程应找关键描述语建立等量关系准确列出方程解决问题关键

列元二次方程解应题步骤前列方程解应题样中审题解决问题基础找等量关系列方程关键恰灵活设元直接影响着列方程解法难易正确合理答案提供利条件方程解必须进行实际意义检验



1布置作业：课题210

节课列元二次方程解应题类注重联系实际考查学生数学应力问题体现时代性结合社会热点焦点问题引导学生关注国家类世界命运强烈德育功学生数学角度分析社会现象体会数学现实生活中作课堂中始终贯彻数学源生活生活数学观念时方程解决问题学生树立种数学建模思想


第二章 元二次方程
26应元二次方程
263 问题

知识技
学生会元二次方程解应题
程方法
进步培养学生实际问题转化数学问题力分析问题解决问题力培养学生运数学意识
情感态度价值观
通列方程解应题进步体会运代数中方程思想方法解应题优越性

实际问题中等量关系找

根等量关系设未知数列方程

媒体课件

列方程解应题步骤什？
①审题②设未知数③列方程④解方程⑤答
教学说明初学元次方程应实际实际题意设未知数列出元次方程求解问题解决实际问题列出方程元次方程元二次方程节课研究问题元二次方程应

思考探究获取新知
问题：患流感两轮传染121患流感轮传染中均传染？
分析：设轮传染中均传染x
（1）开始患流感第轮传染源传染x代数式表示第轮（1+x）患流感第二轮传染中中传染x代数式表示x（1+x）第二轮［1+x+（1+x）·x］患流感
（2）根等量关系列方程：1+x+（1+x）·x121
（3）解方程：x110x212（舍）
（4）均传染10
（5）果样传播速度三轮传染1331患流感
教学说明学生解利元二次方程解决实际问题方法程解元二次方程应题步骤解元次方程应题步骤样
二典例精析掌握新知
1某区2012年屋顶绿化面积2000方米计划2014年屋顶绿化面积达2880方米果年屋顶绿化面积增长率相增长率少？
分析：题需先设出增长率x根已知条件找出等量关系列出方程求出x值出答案
解：设增长率x根题意：
2000×（1+x）22880
解：x120x2220（舍）
答：增长率20
2两连续奇数积323求两数
分析：（1）两连续奇数中较奇数较奇数差2（2）设元（种设法）设较奇数x奇数x+2 设较奇数x1奇数x+1 设较奇数2x1奇数2x+1
教学说明分析教师引导学生回答三种设法三种列法找三位学生三种方法然进行较选出简单解法
解：解法（）
设较奇数xx+2
题意x（x+2）323
整理x2+2x3230
解方程x117x219
x17x+219x19x+217
答：两奇数1719者1917
解法（二）
设较奇数x1较奇数x+1
题意（x1）（x+1）323
整理x2324
解方程x118x218
x18时1811718+119
x18时1811918+117
答：两奇数分1719者1917
解法（三）
设较奇数2x1奇数2x+1
题意（2x1）（2x+1）323
整理4x2324
解2x182x18
2x18时2x1181172x+118+119
2x18时2x1181192x+118+117
答：两奇数分1719者1917
教学说明引导学生观察较分析解决面三问题：
1三种设元列出三种方程出x值影响结果？
2解题中x出现负值什舍？
3已知：□ABCD两边ABAD长关x方程x2mx+m2140两实数根
（1）m值时四边形ABCD菱形？求出时菱形边长
（2）AB长2□ABCD周长少？
分析：（1）令根判式0求m进求方程根菱形边长
（2）求m值进代入原方程求根易求行四边形周长
解：（1）∵四边形ABCD菱形
∴ABAD∴Δ0
（m）24（m214）0（m1）20解m1
m1时原方程x2x+140
解x1x205
∴菱形边长05cm
（2）AB2代入原方程m25
m25代入原方程x225x+10
解x12x205
∴□ABCD周长2×（2+05）5cm
教学说明综合考查行四边形菱形关性质利解元二次方程两种图形边长解决题关键
进步提高分析问题解决问题力深刻体会方程思想方法解决应问题中途

列元二次方程解应题步骤前列方程解应题样中审题解决问题基础找等量关系列方程关键恰灵活设元直接影响着列方程解法难易正确合理答案提供利条件方程解必须进行实际意义检验



1布置作业：课题210

节课列元二次方程解应题类注重联系实际考查学生数学应力问题体现时代性结合社会热点焦点问题引导学生关注国家类世界命运强烈德育功学生数学角度分析社会现象体会数学现实生活中作课堂中始终贯彻数学源生活生活数学观念时方程解决问题学生树立种数学建模思想


第三章 概率进步认识
31 树状图表格求概率
311树状图表格求概率

1学树状图列表法计算涉两步试验机事件发生概率
2培养学生合作交流意识力提高学生研究问题反思拓广力逐步形成良反思意识

树状图列表法计算涉两步试验机事件发生概率

正确列表法计算涉两步试验机事件发生概率

明颖想周末电影张电影票三决定起做游戏谁获胜谁电影游戏规
连续掷两枚质均匀硬币两枚正面明获胜两枚反面颖获胜枚正面枚反面获胜
认游戏公
天研究问题

·做做
连续掷两枚质均匀硬币两枚正面两枚反面枚正面枚反面三事件发生概率相
(教师指导学生先试验然累计组试验数)
(1) 掷硬币20次记录次试验结果

掷硬币时注意定高度意抛出保证机性
次试验中第1枚硬币正面第2枚硬币正面结果记(正正)第1枚硬币正面第2枚硬币反面结果记(正反)第1枚硬币反面第2枚硬币正面结果记(反正)第1枚硬币反面第2枚硬币反面结果记(反反)
整理20次试验记录试验(20次)结果

数面讨中会
着试验次数增加三事件发生概率两枚正面两枚反面概率均14枚正面枚反面概率12两事件概率

面掷硬币试验中
(1)抛掷第枚硬币出现结果发生性否样
(2)抛掷第二枚硬币出现结果发生性否样
(3)第枚硬币正面情况第二枚硬币出现结果发生性否样果第枚硬币反面呢
请试验数汇总填写面表格

表格中数支持猜测
边探索发现抛掷枚硬币出现正面反面概率相抛掷第枚硬币出现样结果抛掷第二枚硬币时出现正面反面概率相抛掷两枚均匀硬币出现(正正)(正反)(反正)(反反)四种情况等
面树状图(图311)表格表示出现结果

总4种结果种结果出现性相
中明获胜结果1种(正正)明获胜概率14
颖获胜结果1种(反反)颖获胜概率14
获胜结果2种(正反)(反正)获胜概率24
游戏三公

巩固练
教材堂练
补充练
袋中2红球2黄球球颜色外相中次摸出2球2球红球性()
A13 B12 C16 D14

(学生总结老师点评)
节课掌握树状图列表法求理概率进步发展学合作交流意识良反思惯

课题31

第三章 概率进步认识
31 树状图表格求概率
312概率判断游戏公性

1进步历树状图列表法计算两步机试验概率
2历计算理概率程活动中进步发展学生合作交流意识反思惯

进步历树状图列表法计算机事件发生概率

正确利树状图列表法计算机事件发生概率

节课利树状图者表格计算概率知道概率生活中应节课应概率解决实际问题

例1明颖做石头剪刀布游戏游戏规
明颖做石头剪刀布游戏果两手势相获胜果两手势石头胜剪刀剪刀胜布布胜石头规决定明颖中获胜者


假设明颖次出三种手势性相认游戏三公
解明颖次出三种手势性相利树状图(图312)列出出现结果

总9种结果种结果出现性相中
两手势相结果3种(石头石头)(剪刀剪刀)(布布)获胜概率3913
明胜颖结果3种(石头剪刀)(剪刀布)(布石头)明获胜概率3913
颖胜明结果3种(剪刀石头)(布剪刀)(石头布)颖获胜概率3913
游戏三公
教师面问题学列表法进行解答
学生列表

9种结果种结果出现性相中
两手势相结果3种(石头石头)(剪刀剪刀)(布布)获胜概率3913
明胜颖结果3种(石头剪刀)(剪刀布)(布石头)明获胜概率3913
颖胜明结果3种(剪刀石头)(布剪刀)(石头布)颖获胜概率3913
游戏三公
·做做
明军两起做游戏游戏规12…12中意选择数然两掷次质均匀骰子谁事先选择数等两掷点数谁获胜果两选择数等掷点数做次述游戏直决出胜负果游戏者会选择数
解根题意列表
求明

军1234561234567234567834567894567891789101112表掷点数7概率
选7数获胜概率

例2盒子中装两红球两白球蓝球球颜色外相中机摸出球记颜色放回中机摸出球求两次摸球颜色配成紫色概率
解先两红球分记作红1红2两白球分记作白1白2然列表

总25种结果种结果出现性相两次摸球颜色配成紫色结果4种(红1蓝)(红2蓝)(蓝红1)(蓝红2)P(配成紫色)425

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课继续复巩固树状图列表法求机事件概率进步加深树状图列表法求概率时应注意种结果出现性务必相认识

课题32

第三章 概率进步认识
31 树状图表格求概率
313概率玩配紫色游戏

1进步历树状图列表法计算两步机试验概率
2历计算理概率程活动中进步发展学生合作交流意识反思惯

进步历树状图列表法计算机事件发生概率

正确利树状图列表法计算机事件发生概率

节课利树状图者表格计算概率知道概率生活中应节课应概率解决实际问题

配紫色游戏颖学校联欢会设计配紫色游戏图313两转动转盘转盘分成面积相等扇形游戏者时转动两转盘果转盘A转出红色转盘B转出蓝色赢红色蓝色起配成紫色

(1)利画树状图列表方法表示游戏者出现结果
(2)游戏者获胜概率少
解(1)出现结果6种画树状图图314

列表

游戏者获胜概率16
·想想
果转盘变成图315转盘进行配紫色游戏

(1)利画树状图列表方法表示游戏者出现结果
(2)游戏者获胜概率少
颖制作图316求出游戏者获胜概率12

亮先转盘A红色区域等分成2份分记作红1红2然制作表求出游戏者获胜概率12

认谁做说说理
学生亮做左边转盘中红蓝区域面积相等红色区域面积蓝色区域面积2倍红色区域分成2等份样出现性相
·议议
利画树状图列表方法求概率时应该注意什
学生应注意种结果出现性务必相

例2盒子中装两红球两白球蓝球球颜色外相中机摸出球记颜色放回中机摸出球求两次摸球颜色配成紫色概率
解先两红球分记作红1红2两白球分记作白1白2然列表

总25种结果种结果出现性相两次摸球颜色配成紫色结果4种(红1蓝)(红2蓝)(蓝红1)(蓝红2)P(配成紫色)425

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课继续复巩固树状图列表法求机事件概率进步加深树状图列表法求概率时应注意种结果出现性务必相认识

课题3233

第三章 概率进步认识
32 频率估计概率

1助试验体会机事件次试验中发生否具确定性
2通操作体验重复试验次数事件发生频率间关系
3频率值角度估计事件发生概率

通试验体会频率估计概率合理性

试验方案设计

红楼梦第62回中样情节
值宝玉生日已原宝琴日二相……
袭笑道拜寿生日该拜寿宝玉听喜忙作揖说原姐姐芳诞福迭……
探春忙问原邢妹妹忘
……
探春笑道倒意思年十二月月月生日便等巧三日两日……
述日两者生日现象生活中概率知识解释原
天学频率估计概率

教师提出问题串
(1)400学中定2学生日相(年)什呢
(2)300学中定2学生日相(年)
学生(1)定(2)定
教师认班50学中2学生日相相信
学生表示怀疑太相信
·做做
(1)学课外调查10生日
(2)全班调查结果中机选取50调查生日记录中2生日相选取50调查生日次试验重复次试验数记录表中
试验总次数550…2生日相次数2生日相频率(3)根表中数估计50中2生日相概率
设计方案学生设计
附学生设计方案
方案学调查生日机排列成方阵然某规中选取50数进行试验(某行某列开始左右选出50数)
方案二全班学调查数写纸条放箱子里机抽取
方案三50学手里机抽取调查数组成50数
方案四全班分成10组组调查数放起乱次序机抽取5然10组结果放起成50数
进行量重复试验时着试验次数增加确定事件发生频率会逐渐稳定某数值稳时频率估计事件发生概率
·想想
(1)口袋中3红球7白球球颜色外相口袋中机摸出1球球红球概率少
(2)口袋中红球白球10球颜色外相果球倒出数设计试验方案估计中红球白球例
(3)提出解决问题(2)类似问题伴交流
学探讨交流
学生(1)310
(2)口袋中机摸出球记颜色放回口袋中断重复述程摸100次中摸红球n次中红球白球例n∶(100n)
(3)答案唯池塘里品种鱼例区鸟类例等

例1样条件某种麦种子进行发芽实验统计发芽种子数获频数分布表
实验种子
n(粒)
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数m(粒)
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
发芽频数mn
0








(1)计算表中频数
(2)估计该麦种发芽概率
(3)果播种该种麦公顷需麦苗数4181818棵种子发芽成秧率87％该麦种千粒质量35g播种3公顷该种麦估计约需麦种少kg？
分析：（1）学生根数行计算
（2）估计概率便取中频率区估计概率频率概率频率实验次数增加否趋稳定
（3）设需麦种x(kg)
题意



解 x≈531(kg)
答播种3公顷该种麦估计约需531kg麦种

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握机事件次试验中发生否具确定性保持试验条件变事件出现频率会着试验次数增趋稳定稳定值作该事件发生概率估计值

课题34

第四章 图形相似
41成例线段
411线段成例线段

1知道两条线段概念会计算两条线段
2知道成例线段定义

会求两条线段知道成例线段定义

会求两条线段注意线段长度单位统

教师学家见形状相图形请举出例子说明
学生底片洗印出片两正方形等等
教师家举出例子形状相图形相似图形章研究相似图形关问题两正方形边长长度相似图形应线段长度关首先线段开始学

1两条线段概念
教师家先回忆什两数样量度线段长度样较两条线段
学生两数相两数a÷b记作ab量度线段时选长度单位较线段较两条线段长度
教师较线段较两条线段长度家猜想线段
学生两条线段两条线段长度
教师线段a长度3厘米线段b长度6米线段ab3∶61∶2
学生甲
教师家意观点
学生乙意ab长度单位致
教师应样定义两条线段求时应注意什问题呢请学讨
线段概念果选长度单位量两条线段ABCD长度分mn两条线段长度AB∶CDm∶n写成ABCDmn中线段ABCD分作线段前项项果mn表示成值kABCDkABk·CD两条线段实际两数
注意量线段时选长度单位
2例线段概念
·做做
图411设方格边长1四边形ABCD四边形EFGH顶点格点ABADEFEH长度分少
分计算ABEFADEHABADEFEH值发现什

解AB8AD22+62210
EF4EH12+3210
ABEF842ADEH210102
ABAD8210410410102105
EFEH410410102105
发现ABEFADEHABADEFEH

成例线段概念四条线段abcd中果ab等cdabcd四条线段abcd作成例线段简称例线段

例题

（1）图已知3求
（2）果k（k常数）成立？什？
解：（1）3a3bc3d
4
4
（2）成立
k
abkcdk
k+1
k+1
：

巩固练
教材堂练 12

(学生总结老师点评)
节课掌握
1线段概念果选长度单位量两条线段ABCD长度分mn两条线段长度AB∶CDm∶n写成ABCDmn
2成例线段概念四条线段abcd中果ab等cdabcd四条线段abcd作成例线段简称例线段

课题41

第四章 图形相似
41成例线段
412 例性质

熟记例性质会应

例性质

例性质

教师四条线段abcd成例果已知三条线段长度求出第四条线段长度
学生应该吧(确定)
教师天研究容——例性质知道例性质面问题求解

·议议
果abcd四数成例abcdadbc反果adbcabcd四数成例伴交流
例性质
果abcdadbc
果adbc(abcd等0)abcd

·例题讲解
图412例1图412块矩形绸布长ABa m宽AD1 m图中示方式裁成相三面矩形彩旗裁出面彩旗宽长原绸布宽长相AEADADABa值应少
解根题意知ABa mAE13a mAD1 m
AEADADAB13a11a
13a21∴a23
两边开方a3(a3舍)
·议议
已知abcdef六数果abcdef(b+d+f≠0)a+c+eb+d+fab成立什
解a+c+eb+d+fab成立理
设abcdefk(k≠0)abkcdkefk
a+c+eb+d+fbk+dk+fkb+d+fkab
例性质
果abcd…mn(b+d+…+n≠0)a+c+…+mb+d+…+nab
·例题讲解
例2△ABC△DEF中已知ABDEBCEFCAFD34△ABC周长18 cm求△DEF周长
解∵ABDEBCEFCAFD34∴AB+BC+CADE+EF+FDABDE34
∴4(AB+BC+CA)3(DE+EF+FD)
DE+EF+FD43(AB+BC+CA)
∵△ABC周长18 cmAB+BC+CA18 cm
∴DE+EF+FD43(AB+BC+CA)43×1824(cm)
△DEF周长24 cm

巩固练
教材堂练 3



(学生总结老师点评)
节课掌握



课题4142

第四章 图形相似
42 行线分线段成例

1解行线分线段成例基事实会行线分线段成例定理解决实际问题
2掌握推理证明方法发展演绎推理力

掌握行线分线段成例基事实推

行线分线段成例基事实灵活运

回答列问题
问题1线段计算
问题2线段ABCDEFGH成例什意思
问题3教师展示绳子
(1)快速根绳子分成相等两根
(2)快速分成长度1∶3两根
(3)快速分成长度2∶3两根
节课学绳子分成规定

·做做
图421中方格边长均1直线l1∥l2∥l3分交直线mn格点A1A2A3B1B2B3

(1)计算A1A2A2A3B1B2B2B3A1A2A1A3B1B2B1B3A2A3A1A3B2B3B1B3值什发现
(2)l2移图422位置直线mnl2交点分A2B2问题(1)中发现结成立果l2移位置呢

(3) 面意作三条行线截两条直线截线段成例

(2)成立l2移什位置述结成立
(3)成例
行线分线段成例基事实两条直线组行线截应线段成例
·做做
图423直线a∥b∥c分交直线mn点A1A2A3B1B2B3点A1作直线n行线分交直线bc点C2C3(图424)图424中成例线段

行线分线段成例推行三角形边直线两边相交截应线段成例

·例题讲解

例1图425△ABC中EF分ABAC点EF∥BC
(1)果AE7EB5FC4AF长少
(2)果AB10AE6AF5FC长少
解(1)∵EF∥BC∴AEEBAFFC
∵AE7EB5FC4
∴AFAE·FCEB7×45285
(2)∵EF∥BC∴AEABAFAC
∵AB10AE6AF5
∴ACAB·AFAE10×56253
∴FCACAF2535103
巩固练
教材堂练
图426果DEF分OAOBOCDF∥ACEF∥BC求证OD∶OAOE∶OB



(学生总结老师点评)
节课掌握
1行线分线段成例基事实两条直线组行线截应线段成例(关键熟练找出应线段)
2行线分线段成例推行三角形边直线两边相交截应线段成例


课题43

第四章 图形相似
43 相似边形

1学生理解相似边形定义掌握定义中两条件理解相似意义
2历相似边形概念形成程进步发展学生纳类交流等方面力
3历探究合作交流等方式学激励评价学生学中锻炼力

理解相似边形定义掌握定义中两条件

利定义判断两边形否相似

请学观察面两边形(图431)

教师计算机显示屏边形ABCDEF投射银幕边形A1B1C1D1E1F1形状相
样两边形作什边形呢
节课研究相似边形

探究(1)两边形中否应相等角设法验证猜测(2)两边形中夹相等角两边否成例学思考
(桌测角测边出结种形状相边形应角相等应边成例然尝试相似边形定义)
图431中六边形ABCDEF六边形A1B1C1D1E1F1形状相边形中∠A∠A1∠B∠B1∠C∠C1∠D∠D1∠E∠E1∠F∠F1分相等称应角ABA1B1BCB1C1CDC1D1DED1E1EFE1F1FAF1A1相等称应边
思考(1)边形相似需满足条件(2)相似边形记法什求(3)什相似求相似注意什学分组讨
相似边形概念角分相等边成例两边形作相似边形相似符号∽表示读作相似
相似相似边形应边作相似
·想想
(1)意两等边三角形相似意两正方形呢意两正n边形呢
(2)意两菱形相似
学生(1)意两等边三角形相似意两正方形相似意两正n边形相似
(2)意两菱形定相似应角定相等
·做做

块长3 m宽15 m矩形黑板图432镶外围木质边框宽75 cm边框外边缘成矩形相似什
(学生独立完成说明理通易出错例子学生认识直观时需通定义两条件进行判断)
学生相似应边成例

例 列组图形相似边形？试说明理
（1）正三角形ABC正三角形DEF
（2）正方形ABCD正方形EFGH







巩固练
教材堂练
补充练
1图433中两矩形相似应边

2图434两正八边形边长分ab相似什

3 图435矩形草坪长20 m宽10 m草坪四周外围1 m宽环形路路外边缘矩形相似


(学生总结老师点评)
节课掌握
1相似边形概念角分相等边成例两边形作相似边形相似符号∽表示读作相似
2相似相似边形应边作相似
3相似边形概念相似边形判定方法两边形相似角分相等边成例


课题44

第四章 图形相似
44 探索三角形相似条件
441角关系判定三角形相似

1学生理解相似三角形定义掌握定义中两条件
2学生掌握相似三角形判定定理1
3学生初步掌握相似三角形判定定理1应

准确找出相似三角形应边应角

掌握相似三角形判定定理1应

相似边形中简单相似三角形什样两三角形相似呢天研究两三角形相似条件

请学出文具盒中三角板观察间关系教师手中木制三角板较观察三角形关系里全等关系相似关系全等相似类中难相似三角形定义
相似三角形定义三角分相等三边成例两三角形相似
探究(1)两三角形少满足条件相似呢(2)否类两三角形全等条件寻找判定两三角形相似条件呢
·想想
果两三角形角相等定相似果两角分相等呢
学生两三角形角相等定相似两三角形两角分相等定相似
·做做
伴合作两分画△ABC△A′B′C′∠A∠A′等∠α∠B∠B′等∠β时∠C∠C′相等三边相等样两三角形相似改变∠α∠β试试
学生∵∠C180°∠α∠β∠C′180°∠α∠β∴∠C∠C′
测量∴样两三角形相似
改变∠α∠β结果相
判定两三角形相似定理1
定理两角分相等两三角形相似

例题讲解

例1图441DE分△ABC边ABAC点DE∥BCAB7AD5DE10求BC长
解∵DE∥BC
∴∠ADE∠B∠AED∠C
∴△ADE∽△ABC(两角分相等两三角形相似)
∴ADABDEBC∴BCAB·DEAD7×10514
巩固练
教材堂练
补充练
判断图442中组两三角形否相似



(学生总结老师点评)
节课掌握
1相似三角形概念三角分相等三边成例两三角形相似
2相似三角形判定定理1两角分相等两三角形相似

课题45

第四章 图形相似
44 探索三角形相似条件
442边角关系判定两三角形相似

1学生掌握三角形相似判定定理23
2灵活运相似三角形判定解决问题

边角度判定两三角形相似

应相似三角形判定解决问题

复引入
1判定三角形相似目前方法
2回忆三角形相似判定定理1证明方法
方法判定两三角形相似
天研究通边判定两三角形相似

·做做
(1)画△ABC△A′B′C′∠A∠A′ABA′B′ACA′C′等定值k设法较∠B∠B′(∠C∠C′)△ABC△A′B′C′相似
(2)改变k值试试
学生(1)∠B∠B′(∠C∠C′)△ABC∽△A′B′C′
(2)改变k值结果相
纳两三角形相似判定定理2
定理两边成例夹角相等两三角形相似
·想想
果△ABC△A′B′C′两边成例中边角相等两三角形定相似
明颖分画出图444三角形什结
图444

学生定相似
结两三角形两边应成例中边角相等两三角形定相似
·做做
画△ABC△A′B′C′ABA′B′BCB′C′ACA′C′等定值k设法较∠A∠A′△ABC△A′B′C′相似说说理
改变k值试试
学生量角器测量∠A∠A′
△ABC∽△A′B′C′理
∵∠A∠A′ABA′B′ACA′C′k∴△ABC∽△A′B′C′
改变k值结果相
纳两三角形相似判定定理3
定理三边成例两三角形相似

·例题讲解
图443例2图443DE分△ABC边ACAB点AE15AC2BC3ADAB34求DE长
解∵AE15AC2
∴AEAC34
∵ADAB34∴ADABAEAC
∵∠EAD∠CAB
∴△ADE∽△ABC(两边成例夹角相等两三角形相似)
∴DEBCADAB34
∵BC3∴DE34BC34×394
·例题讲解
图445例3图445△ABC△ADE中ABADBCDEACAE∠BAD20°求∠CAE度数
解∵ABADBCDEACAE∴△ABC∽△ADE(三边成例两三角形相似)
∴∠BAC∠DAE
∴∠BAC－∠DAC∠DAE－∠DAC
∠BAD∠CAE
∵∠BAD20°∴∠CAE20°
·议议
图446△ABC△A′B′C′相似判断方法
图446

学生甲设方格边长1
∵AB2AC4A′B′22A′C′8
∴ABA′B′22212ACA′C′4812∴ABA′B′ACA′C′
∵∠A∠A′45°∴△ABC∽△A′B′C′
学生乙设方格边长1
∵AB2AC4BC10A′B′22A′C′8B′C′210
∴ABA′B′22212ACA′C′4812BCB′C′1021012
∴ABA′B′BCB′C′ACA′C′∴△ABC∽△A′B′C′

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
两三角形相似判定定理(1)两角分相等两三角形相似(2)两边成例夹角相等两三角形相似(3)三边成例两三角形相似


课题46 47

第四章 图形相似
44 探索三角形相似条件
443 三边关系判定两三角形相似

知识技
理解掌握相似三角形判定表述运
程方法
历相似三角形判定定理推导程掌握相似三角形判定方法
情感态度价值观
探索相似三角形判定方法活动中提出问题思考问题体会化思想

导出相似三角形判定定理会运

相似三角形判定定理运

媒体课件

回想已学判定两三角形相似方法？
否全等种方法（SSS）想判定相似新方法？
教学说明学生猜测写出已知求证
纳结三边应成例两三角形相似

思考探究获取新知
证明：三边应成例两三角形相似
教学说明教师指导学生口述教师板书提示三步骤：运动预备定理相似传递性
二典例精析掌握新知
1甲乙两三角形木框甲三角形木框三边长分1乙三角形木框三边长分5甲乙两三角形木框（A）
A定相似 B定相似
C定相似 D法判断
2图ABCPQ甲乙丙丁方格纸格点△ABC∽△PQR点R应甲乙丙丁4点中（C）

A甲点 B乙点 C丙点 D丁点
3图点ABCD坐标分（17）（11）（41）（61）CDE顶点三角形△ABC相似点E坐标（B）

A（60） B（63）
C（65） D（42）
4△ABC△A1B1C1中已知：AB6cmBC8cmAC11cmA1B118cmB1C124cmA1C133cm求证：△ABC∽△A1B1C1
分析：正确求三条应边根三条应边相等证明两三角形相似
证明：∵AB6cmBC8cmAC11cmA1B118cmB1C124cmA1C133cm∴
∴△ABC∽△A1B1C1
教学说明判断两三角形三边否成例方法：
（1）排：三角形边长短序排列
（2）算：分计算应边
（3）判：三值否相等判定两三角形三边否成例
5图已知∠BAD20°求∠CAE
分析：根三边应成例△ABC△ADE相似利相似三角形性质解答
解：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC∠DAE
∠DAC公角
∴∠CAE∠BAD20°
6图示4×4正方形方格中△ABC△DEF顶点边长1正方形顶点判断△ABC△DEF否相似证明结
解：相似
证明：∵AB2BCACEF2DFDE
∴
∴△ABC∽△DEF
7图三列边长相正方形试说明：∠1+∠2+∠390°

分析：图运勾股定理分求出BECEDE长度（λ表示）求出△BEC△BDE三边证明△BEC∽△BDE助三角形外角性质解决问题
解：设正方形边长λ勾股定理：BE2λ2+λ2CE2（2λ）2+λ2DE2（3λ）2+λ2
∴BEλCEλDEλ
∴
理求：
∴
∴△BEC∽△BDE
∴∠2∠BED
∵∠1∠BED+∠3∠145°
∴∠1+∠2+∠390°

引导学生完成例题



1布置作业：课题47

课堂教学中通引导学生分析问题解决问题学生体验学教师等合作者例题练强调学生先独立思考需合作探索容学生胆动手操作学生结活跃课堂气氛做全员参理清知识脉络强化重点培养学生口头表达力


第四章 图形相似
44 探索三角形相似条件
444 黄金分割

1知道黄金分割定义
2会找条线段黄金分割点通找条线段黄金分割点培养学生理解动手力
3理解黄金分割意义会判断某点否条线段黄金分割点动手制作黄金分割图形学生认识数学类生活密切联系类历史发展作

理解黄金分割意义运

找黄金分割点画黄金矩形


教师生活中见许许图形形态异美观方画出漂亮图形图447五角星图案找点CAB分成ACBC两段画出图形匀称美观呢节课研究问题


1黄金分割概念
教师五角星图案中家刻度尺分量度线段ACBC长度然计算ACABBCAC值相等
学生相等
教师ACABBCAC
黄金分割概念般点C线段AB分成两条线段ACBC果ACABBCAC称线段AB点C黄金分割点C作线段AB黄金分割点ACAB作黄金
·想想

图449古希腊时期巴台农神庙果图中虚线表示矩形画成图4410中ABCD矩形ABCD宽AD边部作正方形AEFD惊奇发现BEBCBCAB点EAB黄金分割点矩形ABCD宽长黄金

教师请家互相交流
学生四边形AEFD正方形ADBCAEBEBCBCABBEAEAEAB点EAB黄金分割点矩形ABCD宽长黄金
教师面矩形中宽长黄金矩形作黄金矩形学会作


·例题讲解
例4计算黄金
解ACABBCACAC2AB·BC
设AB1ACxBC1x
x21×(1－x)x2+x－10
解方程x11+52x2152(合题意舍)
黄金ACAB512≈0618
2 作条线段黄金分割点

8图448已知线段AB方法作图
(1)点B作BD⊥ABBD12AB
(2)连接DADA截取DEDB
(3)AB截取ACAE点C线段AB黄金分割点
教师知道什
点C线段AB黄金分割点点C分线段AB成两条线段ACBC间须满足ACABBCAC面请家进行验证困难时互相交流计算方便设AB1
证明设AB1ACx∴BC1x
∵BD12AB12∴DE12
∵AEACx∴ADx+12
Rt△ABD中勾股定理x+12212+122
∴x2+x+141+14∴x21－x∴x21·(1－x)
∴AC2AB·BCACABBCAC点C线段AB黄金分割点

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
1黄金分割点定义黄金
2找条线段黄金分割点会画黄金矩形
3根定义判断某点否条线段黄金分割点

课题48

第四章 图形相似
45相似三角形判定定理证明

1解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理
2掌握推理证明方法发展演绎推理力

相似三角形三条判定定理证明

灵活运三角形相似判定方法运三角形相似解决简单问题

节课中通类两三角形全等条件寻找探究判定两三角形相似条件出结样证明定成立

探究1两角分相等两三角形相似
已知图451△ABC△A′B′C′中∠A∠A′∠B∠B′
求证△ABC∽△A′B′C′

证明呢
提示△A′B′C′叠合△ABC呢
证明△ABC边AB(延长线)截取ADA′B′点D作BC行线交AC点E∠ADE∠B∠AED∠CADABAEAC(行三角形边直线两边相交截应线段成例)
点D作AC行线交BC点F
ADABCFCB(行三角形边直线两边相交截应线段成例)
∴AEACCFCB
∵DE∥BCDF∥AC
∴四边形DFCE行四边形
∴DECF∴AEACDEBC∴ADABAEACDEBC
∠ADE∠B∠DAE∠BAC∠AED∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A∠A′∠ADE∠B∠B′ADA′B′
∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′
探究2两边成例夹角相等两三角形相似
已知图452△ABC△A′B′C′中∠A∠A′ABA′B′ACA′C′
求证△ABC∽△A′B′C′

证明△ABC边AB(延长线)截取ADA′B′点D作BC行线交AC点E∠B∠ADE∠C∠AED
∴△ABC∽△ADE(两角分相等两三角形相似)
∴ABADACAE
∵ABA′B′ACA′C′ADA′B′∴ABADACA′C′
∴ACAEACA′C′∴AEA′C′
∠A∠A′∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
探究3三边成例两三角形相似
已知图453△ABC△A′B′C′中ABA′B′BCB′C′ACA′C′
求证△ABC∽△A′B′C′

证明△ABC边ABAC(延长线)分截取ADA′B′AEA′C′连接DE
∵ABA′B′ACA′C′ADA′B′AEA′C′∴ABADACAE
∠BAC∠DAE∴△ABC∽△ADE(两边成例夹角相等两三角形相似)
∴ABADBCDEABA′B′BCB′C′ADA′B′
∴ABADBCB′C′∴BCDEBCB′C′
∴DEB′C′∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′


·例题讲解
5已知图D△ABC点连接BDADBC边△ABC外作∠CBE∠ABD∠BCE∠BAD连接ED求证：△DBE∽△ABC
分析： 已知条件∠ABD∠CBE∠DBC公∠DBE∠ABC证△DBE△ABC角相等证两三角形相似找角相等者找夹角两边应成例已知条件中△CBE∽△ABD样相等角成例线段问题解决
证明：△CBE△ABD中∠CBE∠ABD
∠BCE∠BAD∴△CBE∽△ABD
∴：
△DBE△ABC中∠CBE∠ABD
∴∠CBE+∠DBC∠ABD+∠DBC
∴∠DBE∠ABC
∴△DBE∽△ABC
教学说明培养提高学生利已学知识解决实际问题力
巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
1相似三角形判定定理证明
2相似三角形判定定理应

课题49

第四章 图形相似
46 利相似三角形测高

1通测量旗杆高度活动巩固相似三角形关知识积累数学活动验
2熟悉测量工具技解镜子物理原理

测量旗杆高度数学序安排测量活动指导学生利进行测量

(1)方法2中调节标杆眼睛标杆顶端旗杆顶端三点成线(2)方法3中镜子适调节

教师天做节活动课务利三角形相似关知识测量校操场旗杆高度请学回忆判定两三角形相似关条件
学生两角分相等两三角形相似两边成例夹角相等两三角形相似三边成例两三角形相似

教师外边阳光明媚天公作美助利完成天活动课目——测量旗杆高度首先应该清楚测量原理请学根预讨情况分组说明三种测量方法数学原理
甲组利阳光影子
出示投影片§46A

图461中出阳光影子旗杆阳光影子构成两相似三角形△EAD∽△ABC直立旗杆影子顶端处学身高影长旗杆影长均测量出根EAABADBCBCAB·ADEA代入测量数求出旗杆BC高度
教师理讨成功请乙组出代表说明方法2
乙组利标杆
出示投影片§46B

图462旗杆顶端标杆顶端眼睛恰条直线时直线AD标杆旗杆行眼睛点D作旗杆BC垂线交旗杆BC点G交标杆EF点H△DHF∽△DGC
测量AEAB长度观测者身高AD标杆长EFDHAEDGAB
FHGCDHDGGCFH·DGDH
旗杆高度BCGC+GBGC+AD
学生甲认样做
点DF分作EFBC垂线交EF点H交BC点M标杆旗杆行容易证明△DHF∽△DMCMCHFDMDH求MC长旗杆长BCMC+MBMC+AD
乙组代表果样话认测量观测者脚标杆底部距离标杆底部旗杆底部距离适合学甲做法样减少运算量
教师想周家出色表现老师感骄傲请丙组学出代表讲解
丙组利镜子反射
出示投影片§46C

里涉物理反射镜原理观测者旗杆顶端镜子中虚倒立旗杆顶端C′(图463)∵△EAD∽△EBC′△EBC′≌△EBC∴△EAD∽△EBC测出AEEB观测者身高AD根AEEBADBC求BCEB·ADAE
教师学清楚原理请事先分三组进行活动节省时间组分出三组分实施三种方法求组中观测员测量员记录员运算员复查员活动容测量校操场旗杆高度［学紧张序进行测量］
教师通家精诚合作努力现组求数结果请组出示结果讨列问题
1测量旗杆高度方法
2天三种测量方法优缺点
通表说明测量数误差情况测量方法优劣性
出示投影片§46D

表结合组实际操作中遇问题综合家讨情况做出结
1测量中允许正常误差校旗杆高度20 m学次测量获成功
2方法方法三误差范围较方法二误差范围较肉眼观测带技术性直接测量仪器操作数准确
3家致认方法简单易行办法
4方法三物理知识考查综合运知识解决问题力
5学提出通测量角度否求旗杆高度呢胆设想老师佩服家学三角函数相信会更测量方法呢


·例题讲解
1图着支刻厘米分画尺站距电线杆约30米方手臂前伸直尺竖直尺约12分画恰遮住电线杆已知手臂长约60厘米求电线杆高

分析：题叙述容画出图样图形DF60厘米06米GF12厘米012米CE30米求BC△ADF∽△AEC△AGF∽△ABC∴∴求出BC长
解：∵AE⊥ECDF∥EC∴∠ADF∠AEC∠DAF∠EAC∴△ADF∽△AEC∴GF⊥ECBC⊥EC∴GF∥BC∠AFG∠ACB∠AGF∠ABC∴△AGF∽△ABC∴∴DF60厘米06米GF12厘米012米EC30米∴BC6米电线杆高6米
巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
测量旗杆高度种常方法明白数学原理——相似三角形关知识初步积累数学建模验

课题410第234题

第四章 图形相似
47 相似三角形性质

1掌握相似三角形性质应高应角分线应中线等相似
2利相似三角形性质进行计算者证明
3掌握相似三角形性质周长等相似面积等相似方
4利相似三角形性质进行计算证明

相似三角形中应线段值推导运相似三角形性质解决实际问题
相似三角形周长面积相似关系推导运相似三角形例关系解决实际问题

相似三角形性质运
相似三角形周长面积相似关系推导运

前面学相似边形性质知道相似边形应角相等应边成例相似三角形相似边形中种三应角相等三应边成例两相似三角形中否应角相等应边成例性质呢节课继续研究相似三角形性质

投影片(§471A)
图471王图纸△ABC1∶2例建造模型房房梁△A′B′C′CDC′D′分立柱

(1)△ACD△A′C′D′相似什果相似指出相似
(2)果CD15 cm模型房房梁立柱高
学生(1)△ACD∽△A′C′D′
∵△ACB∽△A′C′B′∴∠A∠A′
∵CDC′D′分立柱
∴∠ADC∠A′D′C′90°∴△ACD∽△A′C′D′
∵△ACB∽△A′C′B′∴AC∶A′C′1∶2
∵△ACD∽△A′C′D′∴CDC′D′ACA′C′12
∴相似1∶2
(2)(1)CDC′D′12
∵CD15 cm∴C′D′2CD2×153(cm)
·想想
已知△ABC∽△A′B′C′△ABC△A′B′C′相似k∶1
(1)果CDC′D′应高CDC′D′等少
(2)果CDC′D′应角分线CDC′D′等少果CDC′D′应中线呢
老师请家互相交流写出程
学生甲前边投影知△ABC∽△A′B′C′CDC′D′应高CDC′D′ACA′C′k
学生乙图472△ABC∽△A′B′C′CDC′D′分应角分线CDC′D′ACA′C′k

证明∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A∠A′∠ACB∠A′C′B′
∵CDC′D′分∠ACB∠A′C′B′角分线
∴∠ACD∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′∴CDC′D′ACA′C′k
学生丙图473△ABC∽△A′B′C′CDC′D′分应中线CDC′D′ACA′C′k

证明∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A∠A′
ACA′C′ABA′B′k
∵CDC′D′分中线∴ADA′D′12AB12A′B′ABA′B′k
∴△ACD∽△A′C′D′∴CDC′D′ACA′C′k
知相似三角形性质
性质定理相似三角形应高应角分线应中线等相似
·议议
投影片(§471B)
图474已知△ABC∽△A′B′C′△ABC△A′B′C′相似k点DEBC边点D′E′B′C′边

(1)∠BAD13∠BAC∠B′A′D′13∠B′A′C′ADA′D′等少
(2)BE13BCB′E′13B′C′AEA′E′等少
(3)提出问题伴交流

学生(1)∵△ABC∽△A′B′C′相似k
∴∠B∠B′∠BAC∠B′A′C′∠C∠C′ABA′B′ACA′C′BCB′C′k
∵∠BAD13∠BAC∠B′A′D′13∠B′A′C′
∴∠BAD∠B′A′D′∴△ABD∽△A′B′D′
∴ADA′D′ABA′B′k
(2)∵BE13BCB′E′13B′C′∴BEB′E′13BC13B′C′BCB′C′k∵ABA′B′k∠B∠B′∴△ABE∽△A′B′E′
∴AEA′E′ABA′B′k





·例题讲解
投影片(§471C)
图475例1图475AD△ABC高ADh点RAC边点SAB边SR⊥AD垂足点ESR12BC时求DE长果SR13BC呢

解∵SR⊥ADBC⊥AD∴SR∥BC
∵∠ASR∠B∠ARS∠C
∴△ASR∽△ABC(两角分相等两三角形相似)
∴AEADSRBC(相似三角形应高等相似)
ADDEADSRBC
SR12BC时hDEh12解DE12h
SR13BC时hDEh13解DE23h

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
相似三角形应高应角分线应中线等相似相似三角形相似边形周长等相似面积等相似方


课题411 412

第四章 图形相似
48 图形位似
481 位似图形性质

1解位似边形关概念解位似相似联系区掌握位似边形性质
2掌握位似图形画法够利作位似图形方法图形放缩

位似边形关概念性质作图

利位似图形放缩

生活中常片放缩(图481)没改变图形形状片真实


图482两相似五边形设直线AA′BB′相交点O直线CC′DD′EE′否点OOA′OAOB′OBOC′OCOD′ODOE′OE什关系

学生通观察解类相似图形具备相似性质外特性学生纳出位似图形概念
位似图形概念般果两相似边形意组应顶点PP′直线点OOP′kOP(k≠0)样两边形作位似边形点O作位似中心
·做做

利面方法似图形放(图485)
1两根长短相橡皮筋系起联结处形成结点
2选取图形图形外取定点
3系起橡皮筋端固定定点支铅笔固定橡皮筋端
4拉动铅笔两根橡皮筋结点选图形边缘运动结点已知图形运动圈时铅笔画出新图形
新图形已知图形形状相
边程纳出画位似图形步骤——放(缩)图形步骤
(1)确定位似中心O(位似中心图形外部图形部图形)
(2)作图形顶点位似中心O连线(延长线)相似取点
(3)次连接点图形求图形

教师图486中四边形ABCD缩原12
分析原图形缩原12新图形顶点位似中心距离原图形应顶点位似中心距离1∶2
作法(1)四边形ABCD外取点O
(2)点O分作射线OAOBOCOD
(3)分射线OAOBOCOD取点A′B′C′D′OA′OAOB′OBOC′OCOD′OD12
(4)次连接A′B′B′C′C′D′D′A′画四边形A′B′C′D′图487

教师题目画出图形
作法二(1)四边形ABCD外取点O
(2)点O分作射线OAOBOCOD
(3)分射线OAOBOCOD反延长线取点A′B′C′D′OA′OAOB′OBOC′OCOD′OD12
(4)次连接A′B′B′C′C′D′D′A′画四边形A′B′C′D′图488


作法三(1)四边形ABCD取点O
(2)点O分作射线OAOBOCOD
(3)分射线OAOBOCOD取点A′B′C′D′OA′OAOB′OBOC′OCOD′OD12(4)次连接A′B′B′C′C′D′D′A′画四边形A′B′C′D′图489
(点O四边形ABCD条边四边形ABCD顶点时作法略——学生完成)


例1图483已知△ABC点O位似中心画△DEF△ABC位似相似2∶1

解图484画射线OAOBOC
射线OAOBOC分取点DEFOD2OAOE2OBOF2OC
次连接点DEF△DEF△ABC位似相似2∶1
注意满足条件△DEF点O侧

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
1位似图形概念般果两相似边形意组应顶点PP′直线点OOP′kOP(k≠0)样两边形作位似边形点O作位似中心
2画位似图形步骤
(1)确定位似中心O(位似中心图形外部图形部图形)
(2)作图形顶点位似中心O连线(延长线)相似取点
(3)次连接点图形求图形

课题413

第四章 图形相似
48 图形位似
482面直角坐标系中位似变换

1解位似图形
2解位似图形性质坐标原点位似中心位似变换性质
3利位似图形放缩

位似图形性质应

面直角坐标系中原点位似中心位似变换性质

节课学位似图形概念画位似图形方法学知道面直角坐标系中画图形位似图形

图4810面直角坐标系中△OAB三顶点坐标分O(00)A(30)B(23)

(1)点OAB横坐标坐标2三点三点顶点三角形△OAB位似果位似指出位似中心相似
(2)果点OAB横坐标坐标2呢
教师学求作图根图形回答问题
学生甲(1)图4811两三角形位似位似中心坐标原点O相似2∶1

学生乙(2)图4812两三角形位似位似中心坐标原点O相似2∶1

·做做
图4813面直角坐标系中四边形ABCD顶点坐标分A(42)B(86)C(610)D(26)

(1)点ABCD横坐标坐标12四点四点顶点四边形四边形ABCD位似果位似指出位似中心相似
(2)果点ABCD横坐标坐标12呢
学生(1)图4814两四边形位似位似中心坐标原点O相似1∶2

(2)图4815两四边形位似位似中心坐标原点O相似1∶2

面两问题总结出位似图形面直角坐标系中坐标变化
面直角坐标系中边形顶点横坐标坐标数k(k≠0)应图形原图形位似位似中心坐标原点相似|k|


例2面直角坐标系中四边形OABC顶点坐标分O(00)A(60)B(36)C(33)原点O位似中心画出四边形OABC位似图形四边形OABC相似2∶3
分析画出四边形原四边形相似2∶3原四边形顶点横坐标坐标2323
解图4816两种画法

画法四边形OABC顶点坐标23O(00)A′(40)B′(24)C′(22)面直角坐标系中描出点A′B′C′线段次连接点OA′B′C′O四边形OA′B′C′符合求四边形
画法二四边形OABC顶点坐标23O(00)A″(40)B″(24)C″(22)面直角坐标系中描出点A″B″C″线段次连接点OA″B″C″O四边形OA″B″C″符合求四边形

巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
位似图形面直角坐标系中坐标变化面直角坐标系中边形顶点横坐标坐标数k(k≠0)应图形原图形位似位似中心坐标原点相似|k|

课题414

第五章 投影视图
51 投影
511投影中心投影

1历实践探索程解中心投影含义体会灯光物体影子生活中应
2通观察想象根灯光辨物体影子初步进行中心投影条件物体投影间相互转化
3体会灯光投影生活中实际价值

解中心投影概念

初步进行中心投影条件物体投影间相互转化

皮影戏皮影戏名灯影子国民间种古老奇特戏曲艺术皮影戏兽皮纸板做成物剪影表演事戏曲表演时灯光剪影射银幕艺幕边操剪影边演唱配音乐面进入节课学——中心投影

学生灯光做手势观察映射屏幕表象分组讨实验感悟
投影概念物体光线射会面面留影子投影现象影子面称投影面
·做做
取长短等棒三角形矩形纸片手电筒(台灯)等射棒纸片观察影子
提问(1)固定手电筒(台灯)改变棒纸片摆放位置方影子分发生什变化
(2)固定棒纸片改变手电筒(台灯)摆放位置方影子发生什变化
学生分组讨实验感悟
目通具体操作学生体会电光源物体影子变化情况
感悟(1)固定手电筒(台灯)改变棒纸片摆放位置方影子形状发生变化
(2)固定棒纸片改变手电筒(台灯)摆放位置方影子形状发生变化
中心投影概念手电筒路灯台灯光线成点发出样光线形成投影称中心投影中心投影投射线相交点点称投影中心


例1确定图511中路灯灯泡位置

老师结合刚中心投影理解请铅笔图中尝试找灯泡位置
学生动手探究
老师走入学生巡视捕捉教学资源进行教学指导
根学生反映情况教师选择列方式进行程性点拨
1灯光物体影子物体应点连线灯泡位置
2找物体影子应点
3找应点完成灯泡位置确定
4够找灯泡位置学请思考确定灯泡位置原理刚具体操作步骤尝试图旁边写
根学生反映情况教师实物投影展示选择列方式进行程性断纠错
1找错应点
2画光线进行适延长没相交
3画光线考虑实际背景画入线
4找灯泡位置未字母表示
目通独立探究合作交流学生中心投影成影光线成点发出更加深入认识够应原理解决实际问题处教师务必注意欲速达放手学生探究出现较严重知识性问题较学生出现错误时适时进行程性纠错点拨留更知识点力点学生探究合作交流中化生成
解根木杆顶端影子顶端作条直线根木杆顶端影子顶端作条直线两直线相交点O点O路灯灯泡位置图512

点光源确定方法物体顶端影子顶端作条直线光线两条光线交点点光源
·议议
图513广场中央盏路灯

(1)高矮相两盏路灯影子定样长果定什情况影子样长
继续探索
(2)高矮两盏路灯影子样长
请实际试试伴交流
目学生解点光源影响物体影子长度素路灯影子身高关路灯距离关
感悟(1)高矮相两盏路灯影子定样长两离路灯距离样时影子样长
(2)高矮两盏路灯影子样长选择离路灯距离调整影子长短(试试)

巩固练
教材堂练
补充练
1天晚饭姐姐丽带着弟弟刚出散步盏路灯时刚突然高兴姐姐说踩脑袋’确定刚时站位置果时刚影子姐姐丽影子样长图514中画出表示刚身高线段

2两棵树盏路灯影子图515
(1)确定该路灯灯泡位置
(2)画出图515中表示婷婷影长线段

3(选作题)访问手影戏皮影戏等相关网站解更手影戏皮影戏知识欣赏更精彩手影戏皮影戏


(学生总结老师点评)
节课掌握
1中心投影含义点发出光线形成投影
2中心投影条件物体投影间相互转化中心投影光线交点点点光源
3感悟灯光影子现实生活中应价值

课题51

第五章 投影视图
51 投影
512行投影正投影

1解行投影正投影含义
2理解行投影性质正确作图

利行投影概念进行计算

利行投影概念进行计算

太阳光影子司空见惯物体太阳光形成影子灯光形成影子什呢
天研究太阳光影子——行投影

·做做
实践取干长短等棒三角形矩形纸片观察太阳光影子
提问(1)固定投影面改变棒纸片摆放位置方影子分发生什变化
(2)固定棒纸片改变投影面摆放位置方影子分发生什变化
学生操作观察探索
学生通实验发现棒纸片影子着投影面(面)位置关系改变改变特殊位置棒纸片投影面行时形成影子形状原物体完全相物体影子全等
行投影概念太阳光线成行光线行光线形成投影称行投影
正投影概念行光线投影面垂直种投影称正投影
·议议
图516三幅图国北方某某天午时刻位置拍摄

提出问题(1)三时刻棵树影子长度请拍摄先序进行排列说明理
(2)时刻树树影子长度高度间什关系伴进行交流
学生观察交流
学生(1)序丙乙甲理太阳东升西落早晨太阳位正东方时树影子较长影子位树正西方着太阳位置变化树影正西方正北方移动
(2)树高度影长等树高度影长
结时刻树树影子高度成例
·做做
(1)图5110两棵树时刻影子请图中画出形成树影光线太阳光线灯光光线伴交流

(2)图5111影子太阳光形成灯光形成画出时刻旗杆影子(线段表示)伴交流样做理

学生(1)灯光光线树顶端影子顶端作条直线树顶端影子顶端作条直线两条直线相交灯光影子图5112


(2)太阳光光线树顶端影子顶端作条直线树顶端影子顶端作条直线两条直线行太阳光影子旗杆顶端作前面作两条直线中意条直线行直线面相交该交点旗杆底端两端点线段旗杆影子图5113

·例题讲解

例2某校墙边甲乙两根木杆已知乙木杆高度15 m
(1)某时刻甲木杆阳光影子图517画出时乙木杆影子(线段表示影子)
(2)图517中乙木杆移动什位置时影子刚落墙
(3)(2)情况果测甲乙木杆影子长分124 m1 m求出甲木杆高度
学生画图实验观察探索
解(1)图518连接DD′点E作DD′行线交AD′直线点E′BE′乙木杆影子

(2)图519移乙木杆乙木杆影子太阳光线构成图形(△BEE′)直乙木杆影子顶端E′抵达墙根止
(3)△ADD′∽△BEE′
ADBEAD′BE′AD151241
甲木杆高度AD15×1241186(m)
巩固练
教材堂练
学生观察画图合作交流

(学生总结老师点评)
节课掌握
物体太阳光形成影子操作中观察时刻影子方变化特征时刻物体影子高度成例

课题52

第五章 投影视图
52 视图
521 体三视图

知识技
理解掌握三视图投影规律——长正高齐宽相等
程方法
绘制简单三视图
情感态度价值观
通观察探究等活动学生知道物体三视图正投影相互关系三视图位置关系关系

投影角度加深三视图理解会画简单三视图

简单三视图绘制

媒体课件

图直三棱柱侧棱水投影面垂直请伴起探讨面问题：
（1）水投影面投影面正投影直三棱柱三条侧棱投影什图形？
（2）画出直三棱柱水投影面正投影投影什图形？直三棱柱底面什关系？

教学说明先学生独立尝试画图时组两名学生黑板画图 教师点评引出三视图概念

思考探究获取新知
面水投影完全反映物体形状？需投影面？
物体正投影方反映物体形状全面反映物体形状常常选择正面侧面两投影面画出物体正投影
纳结正面视图做视图面视图做俯视图左面视图做左视图视图俯视图左视图三者合起做三视图
教学说明通活动学生成课堂学通活动学生学合作交流合理清晰表达思维程教师成真正组织者引导者合作者
二典例精析掌握新知
1画出图示基体三视图

分析：画基体三视图时注意三方面观察具体画法：
①确定视图位置画出视图
②视图正方画出俯视图注意视图长正
③视图正右方画出左视图注意视图高齐俯视图宽相等
解：








2图方面左图中物体右图中三面图形分方？

解答：分面正面侧面
3图示右面水杯俯视图(D)

4图中①表示组合起模块②③④⑤四图形中模块俯视图(A)
A② B③ C④ D⑤

教学说明学生感受空间物体面图形转换程学学会识三视图培养学生画图力巡视程中遇见问题场解决

画三视图时三视图意乱放应做俯视图视图方左视图视图右边三视图间保持：长正高齐宽相等



1布置作业：课题53

节课学生体参探索新知充分体现学生体新理念学生感受数学生活联系感受数学确实身边


第五章 投影视图
52 视图
522 三视图体

知识技
够识描述三视图表示立体模型
程方法
历探索三视图原实物图程掌握面空间转换方法进步发展空间想象力综合分析力
情感态度价值观
培养学生学立体兴趣勇探索实践精神体会节知识续知识学未工作生活重作

三视图想象实物模型画出模型草图

三视图原出实物图

媒体课件

空间体结构形状通画三视图准确完整表示出实际工作中常需根三视图原实物图工根三视图加工零件三视图原出实物图节课研究三视图原出实物图
教学说明引入生活情境激发学生学欲然引入新课

思考探究获取新知
1已知某体三视图图（1）示体什？图（1）中俯视图改图（2）体什？

分析：图（1）中视图左视图出体四棱锥圆锥俯视图判断体应四棱锥图（1）中俯视图改图（2）体圆锥
教学说明题出确定立体图形必须具备视图左视图俯视图三视图反出三视图唯确定空间图形
2根三视图描述立体图形形状画出体草图

提示：图圆台三视图草图略
教学说明根三视图原实物原型时必须视图综合起弄清三视图间应关系
三运新知深化理解
1面立体图形三视图请括号填立体图形名称

答案：圆柱 正三棱锥
2列图形体面展开图说出体名称？

答案：圆锥 圆柱 正方体 三棱柱
3干桶方便面摆放桌子图三视图堆方便面(B)
A5桶 B6桶 C9桶 D12桶

4面体三视图体形状（B）

A圆柱
B圆锥
C圆台
D三棱柱
5已知体视图俯视图图示

（1）画出该体左视图
（2）该体面体？少条棱？少顶点？
（3）该体表面熟悉面图形？
答案：（1）略（2）六面体12条8（3）正方形等腰梯形
6相立方体搭成体俯视图图示方格里数字表示该位置立方体数请画出体视图左视图

提示：摆实物进行分析
答案：略
7干相立方体搭成体视图俯视图图示俯视图方格中字母数字表示该位置立方体数求xy值

答案：x1x2y3
8立方体叠成体视图左视图图求组成体立方体数值值

提示：摆实物进行分析
答案：127
教学说明巩固提高题目摆实物进行分析

1通节课学疑惑？请伴交流
2总结点：
（1）确定物体空间形状三视图缺
（2）根三视图原实物原型时必须视图综合起弄清三视图间应关系
（3）学会三视图原成实物图必须熟悉基体三视图基础具体问题思考想象探索
（4）画实物模型时需画出草图练中注意体会总结画法便更表现出立体图结构形状



1布置作业：课题54 55

通节学仅续学直观图奠定基础时利培养学生空间想象力直观力利培养学生学立体兴趣


第六章 反例函数
61 反例函数

1现实情境学生已知识验出发讨两变量间相互关系加深函数概念理解
2历抽象反例函数概念进程领会反例函数意义理解反例函数概念
3体会数学实践中实际中研究应程培养学生观察力时发现问题解决问题力

理解领会反例函数概念

领悟反例函数概念

问题引入张100元民币换成50元民币换张换成10元民币换张次换成5元2元1元民币换张换张数y面值x间样关系呢请学填表

提问会含x代数式表示y换成元数x变化时换成张数y会样变化呢变量yx函数什天学反例函数

问题1知道电流I电阻R电压U间满足关系式UIRU220 V时
(1)含R代数式表示I
(2)利写出关系式完成表

学生填表完成时提问R越越时I样变化R越越呢
(3)变量IR函数什请家交流回答
学生(1)含R代数式表示I
IR220I220R
(2)利面关系式知左右次填115536727522
表格中数知电阻R越越时电流I越越电阻R越越时电流I越越
(3)变量IR函数
IR220I220R定R值时相应确定I值IR函数
教师位学回答非常精彩面家问题
问题2亮度调节台灯灯光亮度改变通调节总电阻控制电流变化实现电流I较时灯光较暗反电流I较时灯光较亮
教师家找机会实践
问题3引导学生课例子京沪高速铁路全长约1 318 km列车京沪高速铁路海驶北京列车行完全程需时间t(h)行驶均速度v(kmh)间样关系变量tv函数什
学生路程等速度时间知1 318vtt1 318v定v值时相应确定t值根函数定义知tv函数
教师面两例题出关系式I220Rt1 318v
函数正例函数次函数
学生定R值相应确定I值IR函数理知tv函数表达式正例函数次函数
教师知道正例函数表达式ykx(k常数k≠0)次函数表达式ykx+b(kb常数k≠0)家否根两例题纳出类函数表达式呢
学生I220Rt1 318v知表达式ykx(k常数k≠0)
教师
反例函数概念般果两变量xy间应关系表示成ykx(k常数k≠0)形式称yx反例函数
ykx(k常数k≠0)中知x作分母x零反例函数变量x零

·例题讲解
1矩形面积20 cm2相邻两条边长分x cmy cm变量y变量x函数反例函数什
2某村耕3462公顷口数量n逐年发生变化该村均占耕面积m(公顷／)全村口数n函数反例函数什
3yx反例函数表出xy值

(1)写出反例函数表达式
(2)根函数表达式完成表
学生甲1面积等长宽xy20y20x变量y变量x函数定x值相应确定y值根函数定义知变量y变量x函数根反例函数概念知yx反例函数
学生乙2根均占耕面积等总耕面积总数m3462n定n值相应确定m值mn函数m3462n符合反例函数形式mn反例函数
教师做第3题前先回忆求正例函数次函数表达式正例函数ykx(k常数k≠0)中确定表达式关键求非零常数k值需条件次函数ykx+b(kb常数k≠0)中确定表达式实际求bk值两定系数需两条件理求反例函数表达式时实际确定k值需—条件组xy值确定k值表格中进行观察x1y2确定k值然根求出表达式分计算xy值
学生设反例函数表达式ykx(k≠0)
(1)x1时y2
∴k2∴反例函数表达式y2x
(2)x2时y1x12时y4x12时y4x1时y2x3时y23y23时x3y1时x2
表格中左右次填31442223
巩固练
教材堂练
补充练：k值时y(k+2)xk25反例函数

(学生总结老师点评)
节课掌握
反例函数定义反例函数表达式ykx(k常数k≠0)变量x零根定义表达式判断某两变量间关系否函数什函数

课题61

第六章 反例函数
62 反例函数图性质
621反例函数图

1进步熟悉作函数图步骤会作反例函数图
2体会函数三种表示方法互相转换函数进行认识整合
3逐步提高函数图获取信息力探索反例函数性质

画反例函数图函数图中获取信息探索研究反例函数性质

反例函数图特点性质探究

教师前面学正例函数ykx次函数ykx+b图知道图条直线正例函数图原点条直线画图时需找(1k)点次函数图条直线原点条直线画图时需找(0b)bk0两点作直线反例函数ykx(k≠0)图直线呢曲线呢需动手做做出结节课起实践吧

教师家记画图步骤
学生记列表描点连线
教师面家试着作反例函数y4x图列表时x取值仿前取点
学生甲列表

描点表中组应值作点坐标面直角坐标系描出相应点
连线光滑曲线次连接点函数y4x图(图621)

学生乙作出图样样(图622)

学生丙作出图样(图623)

教师现出现三种类型图请家认真思考选出正确图
学生第种正确第二种正确取点较少没称取数画出图正确第三种错误应该光滑曲线连接折线连接
教师见家动脑子思考种钻研精神值表扬
·议议
认作反例函数图时应注意问题伴进行交流
学生实刚两位学画图已出答案列表时变量值意选果选取绝值相等符号相反数值样简化计算便描点列表描点时量取数值描点样方便连线连线时光滑曲线折线
·做做
请直角坐标系中画出反例函数y4x图
(学生作图然出示正确图学生参考)
学生列表

描点表中组应值作点坐标面直角坐标系描出相应点
连线光滑曲线次连接点函数y4x图图624

教师家基已掌握画反例函数图步骤反例函数图致形状
·议议
观察y4xy4x图什相点点


教师图625函数y4xy4x图请家着探究异点
学生相点(1)图两支曲线组成(2)坐标轴相交(3)原点
点象限y4x两支曲线第第三象限y4x两支曲线第二第四象限
教师完全正确
教师反例函数图两支双曲线第三象限第二四象限究竟什时候第三象限什时候第二四象限家肯定
学生k>0时图两支曲线分位第三象限k<0时图两支曲线分位第二四象限
总结反例函数ykx图两支曲线组成k>0时两支曲线分位第三象限k<0时两支曲线分位第二四象限
·想想
反例函数图中心称图形果请找出称中心反例函数图轴称图形果请指出称轴
学生中心称图形称中心原点轴称图形两条称轴yxyx


·例题讲解
作出反例函数y－图象结合图象回答：（1)x＝2时y值
(2)1＜x≤4时y取值范围
(3)1≤y＜4时x取值范围．
解：列表：


图知：(1)y＝－2(2)－4＜y≤－1
(3)－4≤x＜－1
教学说明学生灵活运反例函数性质解决问题研究题目时紧扣性质进行分析达理解性质目
巩固练
教材堂练
补充练：
1面积常数S时三角形底y高x什函数请画出图
2画出反例函数y5xy5x图

(学生总结老师点评)
节课掌握
1画反例函数步骤列表描点连线节课进步巩固画函数图步骤时画反例函数图时注意点
(1)列表时变量取值应取绝值相等符号相反数值样简化计算便描点
(2)列表描点时量取数值描点样方便连线
(3)连线时光滑曲线折线
2画出函数y4xy4x图较异点
相点(1)图两支曲线组成(2)坐标轴相交(3)原点(4)轴称图形中心称图形
点象限函数y4x图两支曲线分位第三象限函数y4x图两支曲线分位第二四象限

课题62

第六章 反例函数
62 反例函数图性质
622反例函数性质

1进步巩固作反例函数图步骤
2逐步提高函数图中获取信息力探索掌握反例函数性质

通观察图概括反例函数图特征探索反例函数性质

反例函数图中纳总结反例函数性质

教师节课学样画反例函数图通图总结出k＞0时函数图两分支分位第三象限k＜0时函数图两分支分位第二四象限讨反例函数y4xy4x图异点函数图位象限研究反例函数
知道学正例函数次函数图时研究k＞0时y值x值增增k＜0时y值x值增减函数值变量变化变化情况函数图x轴y轴交点坐标节课研究反例函数关性质

教师观察反例函数y2xy4xy6x形式什点
学生表达式中k零
教师家观察力非般呐面慧眼观察图(图626)总结特征



(1)函数图分位象限
(2)象限着x值增y值样变化说明什
(3)反例函数图x轴相交y轴相交什
教师请家先独立思考互相交流出结
学生(1)函数图分位第三象限
(2)图变化趋势变量x逐渐增时函数值y逐渐减
(3)图逐渐接x轴y轴变量取数时图x轴y轴相交
教师家意观点
学生意(3)中观点
教师解释观点
学生表达式y2x中x≠0图y轴交点x取实数2常数y2x永远零图x轴交点
教师(1)(3)需说什家回答非常棒面补充—(2)观察函数y2x图第象限取两点A(x1y1)B(x2y2)分x轴y轴作垂线找应x1x2y1y2坐标轴较出x1x2y1y2判断函数值变量变化变化图知x1＜x2y2＜y1第象限yx增减
理知象限yx增变化家分组验证图中五种情况
学生情况样
教师总结
学生k>0时函数图分位第三象限象限yx增减
·议议
教师刚研究反例函数y2xy4xy6x图性质面类推方法研究反例函数y2xy4xy6x图(图627)特征

学生(1)反例函数y2xy4xy6x中k0图位第二四象限k<0时反例函数图位第二四象限
(2)图y2x第二象限取两点A(x1y1)B(x2y2)知x1>x2y1>y2出变量逐渐减时函数值逐渐减函数值y变量x增增
(3)反例函数图x轴相交y轴相交
教师通刚讨出结
反例函数ykx图k>0时象限y值x值增减k<0时象限y值x值增增


·例题讲解
反例函数图取两点PQ点P分作x轴y轴行线坐标轴围成矩形面积S1点Q分作x轴y轴行线坐标轴围成矩形面积S2S1S2什关系什
教师图628图进行探讨

学生设P(x1y1)P点分作x轴y轴行线两坐标轴围成矩形面积S1S1|x1|·|y1||x1y1|
∵(x1y1)反例函数ykx图∴y1kx1x1y1k∴S1|k|
理知S2|k|∴S1S2
教师面图中出PQ两点支曲线果PQ两点分曲线(图629)情况会样呢

学生S1|x1y1||k|S2|x2y2||k|
教师反例函数图取两点PQPQ支曲线曲线点PQ分作x轴y轴行线设坐标轴围成矩形面积分S1S2S1S2
巩固练
教材堂练

(学生总结老师点评)
节课掌握
1反例函数ykx图k>0时图第三象限象限y值x值增减k<0时图第二四象限象限y值x值增增
2反例函数图取两点PQ分点PQ作x轴y轴行线设坐标轴围成矩形面积分S1S2S1S2
3反例函数图绕原点旋转180°原图形重合反例函数图中心称图形
4反例函数图x轴相交y轴相交x值越越接0时y绝值逐渐变反y值逐渐接0反例函数图两分支限接x轴y轴


课题63

第六章 反例函数
63 反例函数应

1根实际问题中条件确定反例函数表达式会画出图根图指出函数值变量变化变化情况
2通探索实际问题列出函数表达式利反例函数性质解释实际问题细心体会图解决问题时作

反例函数应数形结合思想函数中应

反例函数知识点综合题

教师关反例函数表达式图特征研究学目什呢
学生应
教师学目学知识解决实际问题究竟反例函数解决什问题呢节课学学

科技组进行野外考察问题

某校科技组进行野外考察利铺垫木板方式通片烂泥湿解释样做道理木板湿压力定时着木板面积S(m2)变化木板面压强p(Pa)变化果木板湿面压力合计600 N
(1)含S代数式表示ppS反例函数什
(2)木板面积02 m2时压强少
(3)果求压强超6 000 Pa木板面积少

(4)图631面直角坐标系中画出相应函数图
(5)请利图(2)(3)作出直观解释伴交流
教师首先根题意分析实际问题中两变量然两变量间存关系分析间关系否反例函数关系反例函数关知识解决问题请家互相交流回答
学生(1)pFSp600S
pS反例函数定S值唯p值应根函数定义pS反例函数
(2)S02 m2时p600023 000(Pa)
木板面积02 m2时压强3 000 Pa
(3)p6 000 Pa时S6006 00001(m2)
果求压强超6 000 Pa木板面积少01 m2
(4)图图632

(5)(2)已知图某点横坐标02求该点坐标(3)已知图点坐标6 000求点处位置横坐标取值范围
教师位学回答面提问题家知道反例函数图两支曲线位第三象限位第二四象限(1)中已知p600S>0图应位第三象限什位学画出支曲线支曲线丢掉呢题中出第象限呢
学生第三象限曲线存实际问题中S取负数第三象限曲线存
教师(1)中应该条件限制呢
学生应p600S(S>0)


·例题讲解
1蓄电池电压定值电源时电器电流I(A)电阻R(Ω)间函数关系图633

(1)蓄电池电压少写出函数表达式
(2)完成表回答问题果蓄电池电源电器限制电流超10 A电器变电阻应控制什范围

教师图形IR间反例函数关系电压U相反例函数中k写出函数表达式实际确定k(U)需条件图中已出点坐标问题解决填表实际已知变量求函数值
学生(1)题意设函数表达式IUR(R≠0)
∵点A(94)图∴UIR36
∴蓄电池电压36 V函数表达式I36R
(2)表格中左右次填1297263674536
电源超10 AI10 A代入表达式中R36电阻电器变电阻应控制R≥36范围

2图634正例函数yk1x图反例函数yk2x图相交AB两点中点A坐标(323)
(1)分写出两函数表达式
(2)求出点B坐标样求伴交流
教师确定两函数表达式点A坐标代入函数表达式求出k1k2求点B坐标求yk1xyk2x交点
学生(1)∵点A(323)yk1x图yk2x图
∴3k12323k23∴k12k26
∴正例函数反例函数表达式分y2xy6x
(2)y2xy6x2x6x
∴x23∴x±3
x3时y23
∴点B坐标(323)
巩固练
教材堂练

预防非典某学校教室采药熏消毒已知药物燃烧时室立方米空气中含药量y(毫克)时间x(分)成正例药物燃烧yx成反例(图635)现测药物8分钟燃毕时室空气中立方米含药量6毫克请根题中提供信息解答列问题
(1)药物燃烧时y关x函数表达式变量x取值范围药物燃烧y关x函数表达式
(2)研究表明空气中立方米含药量低16毫克时学生方进教室消毒开始少需分钟学生回教室
(3)研究表明空气中立方米含药量低3毫克持续时间低10分钟时效杀灭空气中病菌次消毒否效什


(学生总结老师点评)
节课掌握
应反例函数解决实际问题具体步骤认真分析实际问题中变量间关系建立反例函数模型进反例函数关知识解决实际问题

课题64


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