人教版数学六年级上册知识点考点导学案知识清单总结归纳


    人教版六年级上册知识清单 1 分 数 乘 法   一、分数乘法的意义 1.分数乘整数:分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数和的简便运算。 例如,23×3,表示3个23相加是多少,还表示23的3倍是多少。 2.一个数(小数、分数、整数)乘分数:一个数乘分数的意义与整数乘法的意义不相同,是表示这个数的几分之几是多少。 例如,6×512,表示6的512是多少。 27×78,表示27的78是多少。 二、分数乘法的计算法则 1.分数乘整数的运算法则:用分子乘整数的积作分子,分母不变。 (1)为了计算简便,能约分的可先约分,再计算。(分母和整数约分) (2)约分是把整数和分数的分母约掉最大公因数。(计算结果必须是最简分数) 2.分数乘分数的计算法则:用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。(分子乘分子,分母乘分母) (1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数,再计算。 (2)分数化简的方法:分子、分母同时除以它们的最大公因数。 (3)在乘的过程中约分,是先把分子、分母中两个可以约分的数画去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算出的结果才是最简分数) 3.分数乘小数 (1)分数能够化成有限小数的,可以先把这个分数化成有限小数,然后根据小数乘法的计算法则进行计算。 (2)分数不能化成有限小数的: a.先把小数化成分数,再根据分数乘分数的计算法则进行计算。 b.如果小数能与分数的分母进行约分,可以把这个小数看作整数与分数的分母进行约分,这样计算起来比较简便。 三、积与因数的关系 1.一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。a×b=c,a≠0,当b>1时,c>a。 2.一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。a×b=c,a≠0,当b<1时(b≠0),c<a。 3.一个数(0除外)乘1,积等于这个数。a×b=c(a≠0),当b=1时,c=a。 四、分数乘法混合运算 1.分数乘法混合运算的顺序与整数相同,先算乘、除后算加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。 2.整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使计算简便一些。 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:a×(b±c)=a×b±a×c 五、解决实际问题 1.分数应用题的一般解题步骤: (1)找出含有分率的关键句。 (2)找出单位“1”的量。 (3)根据线段图写出等量关系式: 单位“1”的量×对应分率=对应量 (4)根据已知条件和问题列式解答。 2.连续求一个数的几分之几是多少的问题,要一步一步地认真分析,在分析每一步时,关键是找准单位“1”。 3.找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意“的”前“比”后的规则。 4.已知一个数量比另一个数量多或少几分之几,求这个数量的解题方法。 把“比”后面的量看作单位“1”的量,单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多或少的几分之几=另一个数量。 “分数乘整数”指的是其中一个因数必须是整数,不能两个因数都是分数。 “一个数乘分数”指的是其中一个因数必须是分数,不能两个因数都是整数。 易错点:误用整数与分母相乘。 举例:计算3×25 错解:3×25=23×5=215 正确解答:3×25=3×25=65 易错点:忘记将结果化成最简分数。 举例:计算56×25 错解:56×25=5×26×5=1030 正确解答: 56×25 =51×2163×51 =13       1.在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。 2.如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等,那么与大分数相乘的因数反而小,与小分数相乘的因数反而大。 1.分数连乘的简便运算:先约分,再计算。 2.在运用运算定律进行简便运算时,要根据算式的特点选择合适的运算定律,不符合运算定律的,不能用运算定律进行简便运算,避免出现错误。 当关键句中的单位“1”不明显时,要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”,或“甲比乙多几分之几”或“甲比乙少几分之几”的形式。 先找出单位“1”,表示单位“1”的几分之几的分数为对应的“分率”,分率都不带单位名称哟! 巧记 分数实际应用题, 关键找准单位“1”。 正确计算是关键, 一次约分更简便。 2 位置与方向(二)   一、确定物体位置的方法 1.找观测点。 2.定方向(看方向夹角的度数)。 3.确定距离(看比例尺)。 二、在平面图上绘出物体的具体位置 1.绘出方向。 2.以选定的单位长度为标准绘出距离。 3.标出物体的名称。 三、描述路线 1.描述路线时要按照行驶的路线适当分为不同的路段描述。 2.每段都要有明确的观测点。 3.描述行走的方向和距离。 四、描绘路线图 描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和距离。 五、位置关系的相对性 1.在叙述具有相对性两地的位置关系时,观测点不同,叙述的方向正好相反,而距离相等。 2.相对位置 例如,东—西;南—北;南偏东—北偏西…… 确定物体位置的三要素:观测点、方向、距离。 易错点:弄错观测点。 举例:在图上画出活动中心和幼儿园的位置。 (1)活动中心在广场的西偏北30°方向100米处。 (2)幼儿园在活动中心的南偏东20°方向200米处。 错解: 正确答案: 在描述路线时,参照点是不断变动的。 3 分 数 除 法 一、倒数的意义 1.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。 2.求倒数的方法: (1)求分数的倒数:交换分子、分母的位置。 (2)求整数的倒数:把整数看作分母是1的分数,再交换分子、分母的位置。 (3)求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。 (4)求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。 整数小数化成分数分子分母倒数 3.真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。 二、分数除法的意义 1.乘法:因数×因数=积 除法:积÷一个因数=另一个因数 2.分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 例如,12÷35的意义是已知两个因数的积是12与其中一个因数35,求另一个因数的运算。 3.分数除法的计算法则: 除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。 4.分数除法算式中出现小数、带分数时,要分别化成分数、假分数,再计算。 三、分数除法混合运算 1.混合运算用递等式计算,等号写在第一个数字的左下角。 2.运算顺序: ①连除:属同级运算,可以按照从左往右的顺序进行计算;也可以依据“除以几个数,等于乘这几个数的倒数”的简便方法计算。加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。   ②混合运算:没有括号的,先算乘、除后算加、减,有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的。 四、用分数除法解决问题 1.解法。 (1)列方程:根据数量关系式设未知量为x,用方程解答。 解:设未知量为x(一定要解、设),再列方程,即用x×分率=具体量。 例如:公鸡有20只,是母鸡只数的13,母鸡有多少只?(单位“1”是母鸡的只数,单位“1”未知) 解:设母鸡有x只。 x×13=20 x=60 (2)算术法(用除法):单位“1”的量未知,用除法,即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。 分率对应量÷对应分率=单位“1”的量 例如:公鸡有20只,是母鸡只数的13,母鸡有多少只?(单位“1”是母鸡的只数,单位“1”未知,用除法) 列式为:20÷13 2.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题的解法。 单位“1”的量=已知量÷对应分率(已知量占单位“1”的几分之几) 3.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的问题的解法。 (1)根据“单位“1”的量×(1±分率)=已知量”,设单位“1”的量为x,列方程解答。 (2)确定单位“1”的量,先计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的意义列式解答。 已知量÷(1±分率)=单位“1”的量   错解: 解:设母鸡有x只。 x×13=20 x=60(只) 正确解答: 解:设母鸡有x只。 x×13=20 x=60   例如:桃树有50棵,比苹果树少16,苹果树有多少棵? 列式为:50÷(1-16) 一种商品现在是80元,比原价增加了16,原价是多少元? 列式为:80÷(1+16) 4.已知两个量的和(差),其中一个量是另一个量的几分之几,求这两个量的解法。 (1)用方程解:找到题中数量间的等量关系,设单位“1”的量为x,列出方程。 (2)用算术法解:找到题中的单位“1”,计算出已知量占单位“1”的几分之几。利用“已知量÷已知量占单位‘1’的几分之几=单位‘1’的量”列式解答。 5.工程问题。 把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工程,用1÷效率和,即1÷1甲完成的时间+1乙完成的时间。(工作效率=1完成工作的时间) 例如:一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,丙单独做要3天完成,三人合做几天可以完成? 列式为:1÷15+110+13   特别提醒:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数) 1的倒数是1,因为1×1=1; 0没有倒数,因为0乘任何数都得0。(分母不能为0) 特别提示: 0除以任何数(0除外)都得0。 分数除法比较大小时的规律: (1)当除数大于1时,商小于被除数; (2)当除数小于1(不等于0)时,商大于被除数; (3)当除数等于1时,商等于被除数。 注意: 把除法转化成乘法时,被除数一定不能变,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数。 温馨提示: (a±b)÷c=a÷c±b÷c。 “[ ]”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。 易错点:误把方程的解带上单位名称。 特别提示: 解决分数乘除问题时,判断用乘法计算还是用除法计算,关键是看单位“1”,单位“1”是已知的,用乘法;求单位“1”,用除法或列方程。 已知单位“1”的量用乘法。 举例:甲是乙的35,乙是25,求甲是多少。 25×35=15 求单位“1”的量用除法。 举例:甲是乙的35,甲是15,求乙是多少。 15÷35=25 (建议列方程解答) 特别提示:甲数比乙数多几分之几不等于乙数比甲数少几分之几,因为单位“1”不同。  注意:可以画线段图帮助分析题意。表示两个量的关系画两条线段图,表示部分和整体的关系画一条线段图。 解决含有两个未知量的分数问题时,先选择一个未知量设为x,再把另一个未知量用含有x的式子表示出来,最后根据等量关系列出方程。 温馨提示:同一个题中,有时单位“1”不止一个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中可能就不是单位“1”。解题时要认真比较,找准与单位“1”的对应关系。 工程问题中的数量关系: 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 工作效率×工作时间=工作总量 4 比   一、比的意义 1.比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。 2.在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。 3.比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 15∶10=15÷10=32 15↓前项∶↓比号10↓后项=32↓比值 4.比可以表示两个相同量之间的关系,即倍数关系。 如:长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。 如:路程÷速度=时间。 5.比和除法、分数的联系: 比 前项 比号“∶” 后项 比值 除法 被除数 除号“÷” 除数 商 分数 分子 分数线“  ” 分母 分数值 6.求比值:用前项除以后项,结果最好写成分数。(能约分的要约成最简分数) 如:15∶10=15÷10=1510=32 二、比的基本性质 1.根据比、除法、分数的关系,可以得出比的基本性质。 (1)商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。 (2)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数值不变。 (3)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 2.最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。   3.根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比。 (2)利用求比值的方法。 三、按比例分配问题 1.按比例分配,就是把一个数量按照一定的比进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 2.按比例分配问题的解法。 按比例分配问题一般有两种解题方法: (1)分数法(用分率解)。按比例分配通常把总量看作单位“1”,即转化成分率。要先求出总份数,再求出几份占总份数的几分之几,最后用总量分别乘几分之几。 例如:有糖水25克,糖和水的比为1∶4,糖和水分别有几克? 1+4=5,糖占15,用25×15得到糖的质量;水占45,用25×45得到水的质量。 (2)归一法(用份数解)。先求出总份数,再求出每份是多少,最后分别求出几份是多少。 例如:有糖水25克,糖和水的比为1∶4,糖和水分别有几克? 糖和水的份数一共有1+4=5(份),一份就是25÷5=5(克)。糖有1份,是5×1=5(克);水有4份,是5×4=20(克)。    特别提醒: 比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示。 比和比值的区别: 比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。 比值:相当于商,是一个数,可以是整数、分数,也可以是小数。 连比: 例如:3∶4∶5 读作:3比4比5。 特别提示: 根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。 比和除法、分数的区别: 除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。 举例: 体育比赛中出现两队的比分是2∶0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。 温馨提示: 根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。 易错易混: 比中有单位的,化简和求比值时,先要统一单位,再化简和求比值,结果没有单位。 举例: 15∶10=15÷10=1510=32=3∶2或15∶10=15÷10=32 最简整数比是3∶2。 特别提醒: 用求比值的方法。注意最后结果要写成比的形式。 易错易混: 搞错对应关系。 举例:用80 cm长的铁丝围成一个长方形框架,长与宽的比是3∶1,这个框架的长和宽各是多少? 错解: 长:80×33+1=60(cm) 宽:80×13+1=20(cm) 正确解答: 80÷2=40(cm) 长:40×33+1=30(cm) 宽:40×13+1=10(cm) 5 圆   一、圆的认识 1.圆心:用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,圆心一般用字母O表示。圆多次对折之后,折痕相交于圆的中心,即圆心。它到圆上任意一点的距离都相等。 2.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 一般用字母r表示。 3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 4.圆的画法。 (1)借助实物画圆。 把圆形物体平放在纸面上,用铅笔尖绕着圆形物体轮廓画一圈,便可以得到一个圆。 (2)用圆规画圆。 把圆规的两脚叉开,把有针尖的一只脚固定在一个点上,把另一只脚绕这个点旋转一周,就画出了一个圆。 5.等圆:半径相等的圆叫做等圆,等圆通过平移可以完全重合。 同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。 6.在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的12。用字母表示为d=2r或r=12d。 7.圆是轴对称图形。如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 8.画对称轴要用铅笔画,同时要用直尺(三角尺)画出虚线,这条虚线两端要超出图形一点。 9.用圆设计美丽的图案 设计图案时,经常利用圆形组合成美丽的图案。 二、圆的周长 1.圆的周长:围成圆的曲线的长是圆的周长。用字母C表示。 2.圆周率实验:(滚动法)在圆形纸片上做个记号,与直尺的0刻度线对齐,在直尺上滚动一周,得到圆的周长;(测绳法)用线围绕圆形纸片一周,量出线的长度,就是圆的周长。 发现:圆的周长与它直径的比值(圆的周长除以直径)是一个固定值,即3倍多一点,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。   3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pài)表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4.圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘直径,用字母表示为C=πd,或圆的周长等于2乘圆周率乘半径,用字母表示为 C=2πr。 (1)已知圆的周长求直径,用圆的周长除以圆周率,用字母表示为d=C÷π。 (2)已知圆的周长求半径,用圆的周长除以圆周率的2倍,用字母表示为r=C÷2π(或r=C2π)。 5.区分圆周长的一半和半圆的周长。 (1)圆周长的一半=圆的周长÷2 计算方法:2πr÷2,即C半=πr。 (2)半圆的周长=圆的周长的一半+直径。 计算方法:半圆的周长=(2+π)r。 推导过程:C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=(2+π)r 三、圆的面积 1.圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。 2.圆面积公式的推导: (1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图形越接近长方形。 长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。      圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 3.圆面积的计算方法:因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=圆周长的一半×圆的半径,即S圆=C÷2×r=πr×r=πr2。 圆的面积公式:S圆=πr2 4.环形的面积:一个环形,外圆的半径用字母R表示,内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度) S环=πR2-πr2或S环=π(R2-r2)(建议用这个公式)。   5.组合图形的面积。 (1)外方内圆(内切圆)阴影面积公式:S=r2×(4-π)。 推导过程:S=S正-S圆=d2-πr2=2r×2r-πr2=4r2-πr2=r2×(4-π)。   (2)外圆内方(外切圆)阴影面积公式:S=(π-2)r2。 推导过程:S=S圆-S正=πr2-dr2×2=πr2-2r×r2×2=πr2-2r2=r2×(π-2)(把正方形看成两个面积相等的三角形,三角形的底就是直径,高是半径)。 (3)任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值:4∶π。 (4)解决求组合图形的面积时,一般要将它们分割成几个简单的图形,分别求出简单图形的面积,再求出它们的和或差。 四、扇形 1.圆上两点之间的部分叫做弧。 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3.顶点在圆心的角叫做圆心角。 4.扇形的面积与圆心角的大小和半径的长短有关。 五、确定起跑线 每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为相邻两条跑道的两条直跑道长度相等,而两个半圆跑道合成的圆的周长不相等,所以要使终点相同,相邻两条跑道的起跑线就不同。 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。 在同圆或等圆中,有无数条半径,有无数条直径。 注意: 用圆规画圆时,带针尖的一端不能乱动,两脚之间的距离不能改变。 圆规两脚间的距离是圆的半径。 画圆步骤: 定半径、定圆心、旋转一周。 在同圆或等圆中,所有的直径长度都相等,所有的半径长度都相等。 有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。有两条对称轴的图形:长方形。有三条对称轴的图形:等边三角形。有四条对称轴的图形:正方形。有无数条对称轴的图形:圆、圆环。 易错举例: 错解:圆的直径是圆的对称轴。 正确解答:圆的直径所在的直线是圆的对称轴。 一个圆的周长总是它直径的3倍多一点,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈3.14。 温馨提示: 在判断时,圆周长是它直径的π倍,而不是3.14倍。 计算圆周长的关键是确定半径。 规律速记: 一个圆的半径增加a厘米,周长就增加2πa厘米。 一个圆的直径增加b厘米,周长就增加bπ厘米。 理解半圆的周长时,可以结合半圆的图形来理解。 转化思想: 把圆的面积转化为长方形的面积,体现了转化的数学思想。 温馨提示: 要牢记圆的面积计算公式:S=πr2。 圆面积的变化规律: 半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大倍数的平方倍。 如果:  r1∶r2∶r3 =d1∶d2∶d3 =C1∶C2∶C3 =2∶3∶4 那么:  S1∶S2∶S3=4∶9∶16 规律速记: 当长方形、正方形、圆的周长相等时,圆面积最大,正方形面积居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形的周长居中,圆的周长最短。 求圆环的面积,关键是确定内外圆的半径。 温馨提示:求复杂的组合图 形的面积时,要根据图形的特点,把它转化为几个规则图形的面积的和或差的形式来求面积。 扇形的面积: S扇=S圆×n360 扇形也是轴对称图形,有一条对称轴。 扇形是圆的一部分。 6 百 分 数 (一)  一、百分数的意义和写法 1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比,因此也叫百分率或百分比。 2.百分数和分数的主要联系与区别: (1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。 (2)区别:①意义不同。百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体的数时可以带单位。 ②分子不同。百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。 3.百分数的写法:通常不写成分数的形式,而是在原来分子后面加上“%”来表示,读作“百分之几”。 例如: 14%读作:百分之十四;百分之零点八写作:0.8%。 二、百分数与分数、小数的互化 1.百分数与小数的互化。 (1)小数化成百分数:把小数点向右移动两位(位数不够,用0补足),同时在后面添上百分号。 (2)百分数化成小数:把小数点向左移动两位(位数不够,用0补足),同时去掉百分号。 2.百分数与分数的互化。 (1)百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,能约分的要约成最简分数。 (2)分数化成百分数: ①用分数的基本性质,先把分数的分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。 ②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。(建议用这种方法) 三、用百分数解决问题 1.常见的百分率的计算方法: ①合格率=合格产品数产品总数×100%     ②发芽率=发芽种子数种子总数×100% ③出勤率=出勤人数总人数×100% ④达标率=达标人数总人数×100% ⑤成活率=成活的数量总数量×100% ⑥出粉率=粉的质量出粉物的质量×100% ⑦烘干率=烘干后的质量烘干前的质量×100% ⑧含水率=烘干前的质量-烘干后的质量烘干前的质量×100% 2.求一个数是另一个数的百分之几,用一个数除以另一个数,结果写成百分数形式。 例如:男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的百分之几? 列式为:15÷20=1520=75% 3.求一个数的百分之几是多少。 已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题,其数量关系式与用分数乘法解决问题的关系式相同。 (1)百分率前是“的”的数量关系: 单位“1”的量×百分率=百分率对应的量 (2)百分率前是“多或少”的数量关系: 单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应的量 4.已知一个数的百分之几是多少,求这个数。 未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”,其解答方法与解答分数应用题的方法相同。 (1)列方程:根据数量关系式设未知量为x,用方程解答。 (2)算术法(除法):百分率对应的量÷对应百分率=单位“1”的量 5.求一个数比另一个数多(或少)百分之几的方法。 用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几 (1)求一个数比另一个数多百分之几。      (大数-小数)÷另一个数(比哪个数就除以那个数),结果写成百分数形式。 甲比乙多百分之几的问题。 方法A:(甲-乙)÷乙(建议用此法) 方法B:甲÷乙-100% (2)求一个数比另一个数少百分之几。 (大数-小数)÷另一个数(比哪个数就除以那个数),结果写成百分数形式。 乙比甲少百分之几的问题。 方法A:(甲-乙)÷甲(建议用此法) 方法B:100%-乙÷甲 注意:多百分之几不等于少百分之几,因为单位“1”不同。 6.求原来价格先降a%又上升a%后的价格:1×(1-a%)×(1+a%)。(假设原来的价格为“1”) 求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几),用1-降价后又上升的百分率。 7.求比一个数多(或少)百分之几的数是多少的解题方法。 一般有两种解题方法:一种是先求出比单位“1”多(或少)的数量,再加单位“1”的数量,或用单位“1”的数量减去比单位“1”少的数量;另一种是先求出要求的这个数量是单位“1”的百分之几,再用单位“1”的量乘百分之几。    特别说明: 百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。 易错点:误把百分数带上单位名称。 错例: 判断:因为15=20100,所以15吨可以写成20%吨。(􀳫) 正确解答:✕ 易错易混: 对整数化成百分数的方法掌握不正确。 错例:6=6% 分析:本题错在对整数化成百分数的方法掌握不正确。整数可以看作小数部分是0的小数,整数化成百分数的方法与小数化成百分数的方法相同。 正确解答: 6=600% 易错点:混淆“≈”和“=”。 错例: 13=33.3% 分析:本题错在混淆了近似值和准确值。将13的分子除以分母的结果化成百分数,是近似值,应该用“≈”连接。 正确解答: 13≈33.3% 特别提示: 一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长率等可以超过100%。 解答分数应用题时,首先要确定单位“1”,在确定单位“1”以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。 温馨提示: 有百分数参与的四则运算,通常把百分数化成分数或小数,再进行计算。 注意: 解决百分数乘除法问题时,可以类比分数乘除法问题,已知单位“1”的量用乘法,未知单位“1”的量用除法或列方程求解。   在实际生活中,人们常用“增加百分之几”“减少百分之几”“节约百分之几”……来表示增加、减少的幅度。 易混易错: 弄错单位“1”。 举例:原计划造林12公顷,实际造林16公顷,实际造林比原计划增加了百分之几? 错解:(16-12)÷16=25% 正确解答: (16-12)÷12≈33.3% 巧记: 如果甲比乙多或少a%,求乙比甲少或多百分之几,用a%÷(1±a%) 求比一个数多(或少)百分之几的数是多少,可以类比求比一个数多(或少)几分之几的数是多少来解答。 7 扇形统计图  一、扇形统计图的意义 用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形的面积表示各部分数量与总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(也叫百分比图)。 二、常用统计图的特点 1.条形统计图:可以清楚地看出各种数量的多少。 2.折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰地看出数量的增减变化情况。 3.扇形统计图:能够清楚地反映出各部分数量与总数之间的关系。(要在统计图上写出百分率) 三、扇形的面积大小 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。因此,扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。 四、应用 1.会观察统计图。 2.常见问题: (1)你得到什么数学信息? 回答: ①A占总体的百分之几。 ②A占的百分比最多,B占的百分比最少。 (2)你还能提出什么数学问题? 例如:A和B一共占百分之几? ……   五、统计图的选择 选择合适的统计图描述和分析数据的方法: ①要清楚地表示出每个项目的具体数量,一般选择条形统计图。 ②要清楚地反映事物的变化规律情况,一般选用折线统计图。 ③要清楚地反映各部分在总数中所占的百分比,一般选用扇形统计图。 例如:表示笑笑从6岁到12岁的身高情况,应绘制折线统计图;描述某企业副产品收入与总收入之间的关系,应绘制扇形统计图;表示某林场杨树、柳树、法国梧桐的棵数,应绘制条形统计图。 特别提醒: 根据各部分占整体的百分比来确定扇形的大小。 易错举例: 错例: 判断:下图是某超市上个月水果销售情况统计图。从图中可以看出上月销售的水果中,苹果的销售量最大。(􀳫) 错因分析:图中“其他”部分的销售量占总销售量的32%,它所包含的水果的种类里可能有销售量大于苹果的销售量的某种水果,因此不能根据上面的统计图判断出哪种水果的销售量最大。 正确解答:✕  易错易混: 绘制条形统计图和折线统计图时,不要忘了在长方形的上方或点的旁边写上数据。 心得 每种统计图都有各自的特点,要充分利用它们的特点,达到合理选择和运用它们来描述和分析数据的目的。 不同的统计图有不同的作用,也有不同的适用条件。 8 数学广角——数与形  一、小正方形的个数 1. 1=(  )2 1+3=(  )2 1+3+5=(  )2 每幅图中小正方形的总数都可以看作两个相同的数相乘的积,这些算式还可以用数的平方形式来表示。 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 结论:从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。 2. 从2起连续偶数的和等于偶数个数乘比偶数个数大1的数,即n×(n+1)。可以借助上图来推导出结论。 二、分数的有关计算 计算12+14+18+116+132+164+…。 (1)从第二个分数开始,每个分数都是前一个分数的12。 (2)计算结果越来越接近1,如果这些分数不断加下去,总和就是1。 温馨提示: 数形结合是解决数学问题的重要方法,也是一种重要的数学思想,有助于发展空间概念。 在解决很多计算问题时,画出示意图可以帮助我们思考。 有时图形问题中,隐藏着许多数的规律。 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    贡献于2021-10-25

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