成高考专升高等数学二概念笔记公式
第章节公式
（1）数性质：
①负数零没数②1数零③底数数等1
（2）数运算法：
①
②
③
④
3数换底公式：
换底公式推出常结：
（1）
（2）
（3）
（4）
三角函数单调区间：
递增区间
递减区间
递增区间
递减区间
递增区间
数列极限四运算法
果
推广：面法推广限数列情况例极限：
特果C常数
函数极限四算运
果
推设存常数正整数：
穷量较：
xn时趋+¥
夹挤准
第二章节公式
1导数定义：
函数y＝f(x)x＝x0处瞬时变化率
＝ 称函数y＝f(x)x＝x0处导数记作f′(x0)y′|x＝x0f′(x0)＝
2．导数意义
函数f(x)x＝x0处导数切线斜率kk＝ ＝f′(x0)．
3．导函数(导数)
x变化时f′(x)便x函数称f(x)导函数(简称导数)y＝f(x)导函数时记作y′f′(x)＝y′＝
4．种常见函数导数
(1)c′＝0(c常数)(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)(3)(ax)′＝axlna(a＞0a1) (ex)′＝ex
(4)(lnx)′＝(logax)′＝logae(a＞0a1)
(5)(sinx)′＝cosx(6)(cosx)′＝－sinx
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
5．函数差积商导数
(u±v)′＝u′±v′(uv)′＝u′v＋uv′
′＝(ku)′＝cu′(k常数)．
(uvw)′＝u′vw＋uv′w+ uvw′
微分公式：
（1）
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
6．微分四算运
d(u±v)＝du±dv d(uv)＝v du＋udv
d(ku)＝kdu(k常数)．
洛必达法：定条件通分子分母分求导求极限确定未定式值方法
7导数应：
0 点函数驻点求极值
(1)时
(2)时
(3)
0 点函数拐点求凹凸区间
第三章知识点概况
定积分定义：函数f(x)全体原函数称函数f(x)定积分记作称积分符号函数积函数积表达式x积分变量
定积分性质：
基积分公式：
换元积分（凑微分）法：
1 凑微分定积分积表达式g(x)dx凑成
2 作变量代换令3公式积分换式中u
常凑微分公式：
分部积分法：适分部积分法求定积分常见题型udv选取法
述式中P（x)x项式ab常数
简单理函数积分直接写成两分式通分子加减项容易写成整式分式两分式求出定积分
定积分
(1)定积分值常数积函数f(x)积分区间[ab]关积分变量字母关应
（2）定积分定义中假定a果ab规定：
（3）定义连续奇（偶）函数
奇函数 偶函数
定积分性质：
定积分计算：
变限函数
设函数区间连续设x点区间定积分
里x积分限积分变量定积分积分变量关改
果限x区间意变动取定x值定积分确定值应定积分定义x变量函数称函数区间变限函数
记
推理：
定积分计算公式
利定义计算定积分值十分麻烦时甚法计算必须寻求计算定积分简便方法
知道：果物体速度作直线运动时间区间路程s
图 511
方面果物体路程s时间t函数物体tatb路程应该（见图511）
导数物理意义知：原函数求出定积分应先求出积函数原函数求区间增量
果抛开面物理意义便出计算定积分般方法：
设函数闭区间连续原函数
公式做牛顿莱布尼兹公式
方便公式写成
牛顿莱布尼兹公式通常做微积分基公式表示函数定积分等函数原函数积分限处函数值差揭示定积分定积分联系提供计算定积分效简便方法定积分广泛应
定积分换元公式：
计算领：定积分分部积分法：
y
a o b x
图58
542定积分求面图形面积
1直角坐标系面积计算
(1)曲线直线围成曲边梯形面积求法前面已介绍处叙述
(2)求两条曲线直线围成面面积（图58示）
面微元法求面积
①取积分变量
②区间取区间该区间曲边梯形面积高底边矩形面积似代面积元素
③写出积分表达式
⑶求两条曲线直线围成
o x
y
d
y+dy
y
c
面图形（图59）面积
里取积分变量
类似 (2)方法推出：
例541 求曲线
图59
围图形面积
解 先画出围图形（图510）
方程组两条曲线交点
取积分变量公式
o 2 8 x
A(22)
y
4
2
B(84)
图511
o 1 2 x
y
A (11)
图510
例542 求曲线围图形面积
解 画出围图形（图511）
方程组两条曲线交点坐标取积分变量两曲线方程分改写求面积
注 题积分变量图形两区间构成情况需分成两部分计算结果应：
显然例542选取作积分变量选取作积分变量计算简便见适选取积分变量计算简化
3．定积分求体积
(1)旋转体体积
旋转体面图形绕面条直线旋转成立体条直线做旋转轴
设旋转体连续曲线直线轴围成曲边梯形绕轴旋转周成（图515）
取积分变量变化区间取区间相应薄片体积似底面圆半径高圆柱体体积体积元素
求旋转体体积
o a x x+dx b x
y
图515
o x
y
d
y+dy
y
y
图516
c
类似曲线直线轴围成曲边梯形绕轴旋转周成（图516）旋转体体积
例545 求椭圆绕轴轴旋转成椭球体体积
解 (1)绕轴旋转椭球体图517示作半椭圆轴围成面图形绕轴旋转成取积分变量公式求椭球体体积
(2)绕轴旋转椭球体作右半椭圆轴围成面图形绕轴旋转成（图518示）取积分变量 公式求椭球体体积
b
o x
y
图518
时述结果家熟悉球体体积公式
(2)行截面面积已知立体体积
设物体垂直某直线面截面积求该物体定积分求体积
妨设直线轴处截面面积已知连续函数求该物体介间体积（图519）
o a x x+dx b x
图519
取积分变量变化区间微区间似变立体薄片似作
底高柱片
体积元素
该物体体积
第四章知识点元函数微分学
§41 偏导数全微分
容：
㈠ 元函数概念
1 二元函数定义：
2 二元函数意义：
二元函数空间曲面（元函数面曲线）
Zax+by+c表示面
表示球心原点半径R半球面
表示开口圆锥面
表示开口旋转剖物面
㈡ 二元函数极限连续：
1 极限定义：设zf(xy)满足条件：
2 连续定义：设zf(xy)满足条件：
㈢偏导数：
㈣全微分：
1定义：zf(xy)
称
点(xy)处全微分
3 全微分偏导数关系
㈤复全函数偏导数：
1
2
㈥隐含数偏导数：
1
2
㈦二阶偏导数：
（八）隐函数导数偏导数
(九)二元函数条件极值
1 二元函数极值定义：
☆ 极值极值统称极值
极值点极值点统称极值点
2极值必条件：
两阶偏导数存：
非充分条件
例：
∴驻点定极值点
3 极值充分条件：
求二元极值方法：
二倍角公式：(含万公式)
①
②
③ ④ ⑤
第五章排列组合
（1）加法原理：完成件事情分类关类独立完成事完成
（2）法原理：完成件事情步骤关次完成步骤事完成
排列：n元素里取元素定序排列成列称n元素里取出m元素排列计算公式：
组合：n元素里取元素组成组做n元素里取出m元素组合组合总数记计算公式：
第六章概率
符号
概率
集合
样空间
全集
事件
空集
基事件
集合元素
A
事件
子集
A立事件
A余集
事件A发生导致
事件B发生
AB子集
AB
AB两事件相等
集合AB相等
事件A事件B
少发生
AB集
事件A事件B时发生
AB交集
AB
事件A发生事件B发生
AB差集
事件A事件B互相容
AB没相元素
机事件样空间中某集合表示事件间关系运算集合知识讨表示直观集合韦恩图表示事件种关系运算法般某矩形区域表示样空间该区域子区域表示某事件事件关系运算图中图示示
事件关系运算图示：
9完备事件组
n事件果满足列条件：
（1）
（2）
称完备事件组
显然事件A立事件构成完备事件组
10事件运算运算规：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）偶律
率古典定义
定义：古典概型中样空间包含基事件总数n事件A包含基事件数m事件A发生概率
概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1
特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
条件概率法公式事件独立性
条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
类似果P(A)>0事件B事件A条件概率
概率法公式
法公式推广限事件情况例事件ABC
事件独立性
般说 P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生影响事件A发生概率P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生概率意义事件A发生关时称事件AB相互独立
定义：事件ABP(AB)P(A)P(B) 称事件A事件B相互独立独立试验序列概型
相条件独立重复进行n次试验次试验中事件A发生发生事件A发生概率pn次试验中事件A恰发生k次概率
维机变量概率分布
（）机变量
1机变量
定义：设Ω样空间果结果变量X确定实数值应称X定义Ω机变量简记作
2离散型机变量
定义：果机变量X取限限列数值称X离散型机变量
（二）分布函数概率分布
1分布函数
定义：设X机变量x意实数函数称机变量X分布函数
分布函数F(x)性质：
（2）F(x)x减函数意
（4）F(x)右连续
（5）意实数a＜bP{a＜X≤b}F(b)F(a)
2离散型机变量概率分布
称式离散型机变量X概率分布（概率函数分布列）
离散型机变量X概率分布列列表形式表示：
3分布函数概率分布间关系
X离散型机变量
机变量数字特征
1数学期
（1）数学期概念
定义：设X离散型机变量概率函数
级数绝收敛称X数学期简称期均值记作EX
（2）数学期性质
①C常数E(C)C
②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b
④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
2方差
（1）方差概念
定义：设X机变量果存称X方差记作DX
方差算术方根称均方差标准差
离散型机变量X果X概率函数
X方差
（2）方差性质
①C常数D(C)0
②a常数
③b常数D(X+b)D(X)
④
1数列极限存准
定理13（两面夹准）数列{xn}{yn}{zn}满足条件：
（1） （2）
定理14 数列{xn}单调界必极限
2数列极限四运算定理
（1）
（2） （3）时
3x→x0时函数f（x）极限等A必充分条件
说：果x→x0时函数f（x）极限等A必定左右极限等A
反果左右极限等A必
4函数极限定理
定理17 （惟性定理）果存极限值必定惟
定理18 （两面夹定理）设函数点某邻域（外）满足条件：
（1）（2）
推 ：（1）
（2） （3）
5穷量基性质
性质1 限穷量代数穷量
性质2 界函数（变量）穷量积穷量特常量穷量积穷量
性质3 限穷量积穷量
性质4 穷量极限零变量商穷量
6等价穷量代换定理：
果时均穷量存
7重极限Ⅰ
8 重极限Ⅱ指面公式：
9 （2） （3）
（4）
10函数点处连续性质
函数连续性通极限定义极限运算法列连续函数性质
定理112 （四运算）设函数f（x）g（x）x0处均连续
（1）f（x）±g（x） x0处连续 （2）f（x）·g（x）x0处连续
（3）g（x0）≠0x0处连续
定理113 （复合函数连续性）设函数ug（x）x x0处连续yf（u）u0g（x0）处连续复合函数yf[g（x）]x x0处连续
定理114 （反函数连续性）设函数yf（x）某区间连续严格单调增加（严格单调减少）反函数xf1（y）应区间连续严格单调增加（严格单调减少）
闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
11闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
12推（零点定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（a）f（b）异号[ab]少存点ξ
f（ξ）0
13初等函数连续性
定理118 初等函数定义区间连续
利初等函数连续性结知：果f（x）初等函数x0定义区间点
f（x）x0处连续
说求初等函数定义区间某点处极限值算出函数该点函数值
14导连续关系
定理21 果函数yf（x）点x0处导x0处必定连续
15定理知：函数f（x）x0连续f（x）x0处必定导
16导数计算
1基初等函数导数公式
（1）（C）＇0 （2）（xμ）＇μxμ1 （3）（4）
（5）（ax）＇axlna（a＞0a≠1） （6）（ex）＇ex
（7）（8）
（9）（sinx）＇cosx （10）（cosx）＇ sinx
（11）（12）
（13）（secx）＇secx·tanx （14）（cscx）＇ cscx·cotx
（15）（16）
（17）（18）
2导数四运算法
设uu（x）vv（x）均x导函数
（1）（u±v）＇u＇±v＇
（2）（u·v）＇u＇·v+u·v＇
（3）（cu）＇c·u＇
（4）
（5）
（6）（u·v·w）＇u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇
3 复合函数求导法
果uφ（x）点x处导yf（u）相应点uφ（x）处导复合函数yf[φ（x）]点x处导导数
理果yf（u）uφ（v）vψ（x）复合函数yf[φ（ψ（x））]导数
4反函数求导法
果xφ（y）单调导函数反函数yf（x）导数
17微分计算
dyf′(x)dx
求微分dy求出导数f′(x)dx前面学求导基公式求导法完全适微分计算列微分公式微分法：
（1）d（c）0（c常数）
（2）（意实数）
（6）d（ex）exdx
（7）d（sin x）cos xdx
（8）d（cos x）sin xdx
（17）d（c·u）cdu
18微分形式变性
设函数yf(u)u变量中间变量函数微分dy总表示
dyf′(u)du
19常凑微分公式：
1）
② ③
④⑤ ⑥
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦
20常换元类型：
积函数类型
代换
代换名称
正弦代换
正切代换
根式代换
21定积分基性质
（1）（k常数）
（2）
（3）
（4）果f（x）区间[a b]总f（x）≤g（x）
（5）
（6）设Mm分f（x）区间[a b]值值
（7）积分中值定理 果f（x）区间[a b]连续区间[a b]少存点
22变限定积分求导定理
1变限定积分定义 定义 积分限x变量时定积分称变限定积分变限定积分积分限x函数记作般
2变限定积分求导定理
定理 果函数f（x）区间[a b]连续
推 ① ②
③
23计算定积分
1牛顿——莱布尼茨公式
果f(x)区间[ab]连续
推： (1)f(x)奇函数
(2)f(x)偶函数
2定积分分部积分法
24定积分应
1计算面图形面积
(1)X型：曲线yf(x)yg(x)(f(x)≥g(x))直线xaxb(a≤b)围成面图形面积A
(2)Y型：曲线直线ycyd(c≤d)围成面图形面积A
2旋转体体积
(1)X型 连续曲线yf(x)(f(x)≥0)直线xaxb(a (2)Y型 连续曲线直线ycyd(c25全微分
26二元隐函数
设三元方程F(xyz)0确定隐函数zz(xy)果F(xyz)xyz存连续偏导数zxy偏导数
27概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
28 条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
29概率法公式
30（1）数学期性质
①C常数E(C)C ②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b ④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
（2）方差性质
①C常数D(C)0②a常数
③b常数D(X+b)D(X) ④
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第章节公式
（1）数性质：
①负数零没数②1数零③底数数等1
（2）数运算法：
①
②
③
④
3数换底公式：
换底公式推出常结：
（1）
（2）
（3）
（4）
三角函数单调区间：
递增区间
递减区间
递增区间
递减区间
递增区间
数列极限四运算法
果
推广：面法推广限数列情况例极限：
特果C常数
函数极限四算运
果
推设存常数正整数：
穷量较：
xn时趋+¥
夹挤准
第二章节公式
1导数定义：
函数y＝f(x)x＝x0处瞬时变化率
＝ 称函数y＝f(x)x＝x0处导数记作f′(x0)y′|x＝x0f′(x0)＝
2．导数意义
函数f(x)x＝x0处导数切线斜率kk＝ ＝f′(x0)．
3．导函数(导数)
x变化时f′(x)便x函数称f(x)导函数(简称导数)y＝f(x)导函数时记作y′f′(x)＝y′＝
4．种常见函数导数
(1)c′＝0(c常数)(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)(3)(ax)′＝axlna(a＞0a1) (ex)′＝ex
(4)(lnx)′＝(logax)′＝logae(a＞0a1)
(5)(sinx)′＝cosx(6)(cosx)′＝－sinx
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
5．函数差积商导数
(u±v)′＝u′±v′(uv)′＝u′v＋uv′
′＝(ku)′＝cu′(k常数)．
(uvw)′＝u′vw＋uv′w+ uvw′
微分公式：
（1）
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
6．微分四算运
d(u±v)＝du±dv d(uv)＝v du＋udv
d(ku)＝kdu(k常数)．
洛必达法：定条件通分子分母分求导求极限确定未定式值方法
7导数应：
0 点函数驻点求极值
(1)时
(2)时
(3)
0 点函数拐点求凹凸区间
第三章知识点概况
定积分定义：函数f(x)全体原函数称函数f(x)定积分记作称积分符号函数积函数积表达式x积分变量
定积分性质：
基积分公式：
换元积分（凑微分）法：
1 凑微分定积分积表达式g(x)dx凑成
2 作变量代换令3公式积分换式中u
常凑微分公式：
分部积分法：适分部积分法求定积分常见题型udv选取法
述式中P（x)x项式ab常数
简单理函数积分直接写成两分式通分子加减项容易写成整式分式两分式求出定积分
定积分
(1)定积分值常数积函数f(x)积分区间[ab]关积分变量字母关应
（2）定积分定义中假定a
（3）定义连续奇（偶）函数
奇函数 偶函数
定积分性质：
定积分计算：
变限函数
设函数区间连续设x点区间定积分
里x积分限积分变量定积分积分变量关改
果限x区间意变动取定x值定积分确定值应定积分定义x变量函数称函数区间变限函数
记
推理：
定积分计算公式
利定义计算定积分值十分麻烦时甚法计算必须寻求计算定积分简便方法
知道：果物体速度作直线运动时间区间路程s
图 511
方面果物体路程s时间t函数物体tatb路程应该（见图511）
导数物理意义知：原函数求出定积分应先求出积函数原函数求区间增量
果抛开面物理意义便出计算定积分般方法：
设函数闭区间连续原函数
公式做牛顿莱布尼兹公式
方便公式写成
牛顿莱布尼兹公式通常做微积分基公式表示函数定积分等函数原函数积分限处函数值差揭示定积分定积分联系提供计算定积分效简便方法定积分广泛应
定积分换元公式：
计算领：定积分分部积分法：
y
a o b x
图58
542定积分求面图形面积
1直角坐标系面积计算
(1)曲线直线围成曲边梯形面积求法前面已介绍处叙述
(2)求两条曲线直线围成面面积（图58示）
面微元法求面积
①取积分变量
②区间取区间该区间曲边梯形面积高底边矩形面积似代面积元素
③写出积分表达式
⑶求两条曲线直线围成
o x
y
d
y+dy
y
c
面图形（图59）面积
里取积分变量
类似 (2)方法推出：
例541 求曲线
图59
围图形面积
解 先画出围图形（图510）
方程组两条曲线交点
取积分变量公式
o 2 8 x
A(22)
y
4
2
B(84)
图511
o 1 2 x
y
A (11)
图510
例542 求曲线围图形面积
解 画出围图形（图511）
方程组两条曲线交点坐标取积分变量两曲线方程分改写求面积
注 题积分变量图形两区间构成情况需分成两部分计算结果应：
显然例542选取作积分变量选取作积分变量计算简便见适选取积分变量计算简化
3．定积分求体积
(1)旋转体体积
旋转体面图形绕面条直线旋转成立体条直线做旋转轴
设旋转体连续曲线直线轴围成曲边梯形绕轴旋转周成（图515）
取积分变量变化区间取区间相应薄片体积似底面圆半径高圆柱体体积体积元素
求旋转体体积
o a x x+dx b x
y
图515
o x
y
d
y+dy
y
y
图516
c
类似曲线直线轴围成曲边梯形绕轴旋转周成（图516）旋转体体积
例545 求椭圆绕轴轴旋转成椭球体体积
解 (1)绕轴旋转椭球体图517示作半椭圆轴围成面图形绕轴旋转成取积分变量公式求椭球体体积
(2)绕轴旋转椭球体作右半椭圆轴围成面图形绕轴旋转成（图518示）取积分变量 公式求椭球体体积
b
o x
y
图518
时述结果家熟悉球体体积公式
(2)行截面面积已知立体体积
设物体垂直某直线面截面积求该物体定积分求体积
妨设直线轴处截面面积已知连续函数求该物体介间体积（图519）
o a x x+dx b x
图519
取积分变量变化区间微区间似变立体薄片似作
底高柱片
体积元素
该物体体积
第四章知识点元函数微分学
§41 偏导数全微分
容：
㈠ 元函数概念
1 二元函数定义：
2 二元函数意义：
二元函数空间曲面（元函数面曲线）
Zax+by+c表示面
表示球心原点半径R半球面
表示开口圆锥面
表示开口旋转剖物面
㈡ 二元函数极限连续：
1 极限定义：设zf(xy)满足条件：
2 连续定义：设zf(xy)满足条件：
㈢偏导数：
㈣全微分：
1定义：zf(xy)
称
点(xy)处全微分
3 全微分偏导数关系
㈤复全函数偏导数：
1
2
㈥隐含数偏导数：
1
2
㈦二阶偏导数：
（八）隐函数导数偏导数
(九)二元函数条件极值
1 二元函数极值定义：
☆ 极值极值统称极值
极值点极值点统称极值点
2极值必条件：
两阶偏导数存：
非充分条件
例：
∴驻点定极值点
3 极值充分条件：
求二元极值方法：
二倍角公式：(含万公式)
①
②
③ ④ ⑤
第五章排列组合
（1）加法原理：完成件事情分类关类独立完成事完成
（2）法原理：完成件事情步骤关次完成步骤事完成
排列：n元素里取元素定序排列成列称n元素里取出m元素排列计算公式：
组合：n元素里取元素组成组做n元素里取出m元素组合组合总数记计算公式：
第六章概率
符号
概率
集合
样空间
全集
事件
空集
基事件
集合元素
A
事件
子集
A立事件
A余集
事件A发生导致
事件B发生
AB子集
AB
AB两事件相等
集合AB相等
事件A事件B
少发生
AB集
事件A事件B时发生
AB交集
AB
事件A发生事件B发生
AB差集
事件A事件B互相容
AB没相元素
机事件样空间中某集合表示事件间关系运算集合知识讨表示直观集合韦恩图表示事件种关系运算法般某矩形区域表示样空间该区域子区域表示某事件事件关系运算图中图示示
事件关系运算图示：
9完备事件组
n事件果满足列条件：
（1）
（2）
称完备事件组
显然事件A立事件构成完备事件组
10事件运算运算规：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）偶律
率古典定义
定义：古典概型中样空间包含基事件总数n事件A包含基事件数m事件A发生概率
概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1
特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
条件概率法公式事件独立性
条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
类似果P(A)>0事件B事件A条件概率
概率法公式
法公式推广限事件情况例事件ABC
事件独立性
般说 P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生影响事件A发生概率P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生概率意义事件A发生关时称事件AB相互独立
定义：事件ABP(AB)P(A)P(B) 称事件A事件B相互独立独立试验序列概型
相条件独立重复进行n次试验次试验中事件A发生发生事件A发生概率pn次试验中事件A恰发生k次概率
维机变量概率分布
（）机变量
1机变量
定义：设Ω样空间果结果变量X确定实数值应称X定义Ω机变量简记作
2离散型机变量
定义：果机变量X取限限列数值称X离散型机变量
（二）分布函数概率分布
1分布函数
定义：设X机变量x意实数函数称机变量X分布函数
分布函数F(x)性质：
（2）F(x)x减函数意
（4）F(x)右连续
（5）意实数a＜bP{a＜X≤b}F(b)F(a)
2离散型机变量概率分布
称式离散型机变量X概率分布（概率函数分布列）
离散型机变量X概率分布列列表形式表示：
3分布函数概率分布间关系
X离散型机变量
机变量数字特征
1数学期
（1）数学期概念
定义：设X离散型机变量概率函数
级数绝收敛称X数学期简称期均值记作EX
（2）数学期性质
①C常数E(C)C
②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b
④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
2方差
（1）方差概念
定义：设X机变量果存称X方差记作DX
方差算术方根称均方差标准差
离散型机变量X果X概率函数
X方差
（2）方差性质
①C常数D(C)0
②a常数
③b常数D(X+b)D(X)
④
1数列极限存准
定理13（两面夹准）数列{xn}{yn}{zn}满足条件：
（1） （2）
定理14 数列{xn}单调界必极限
2数列极限四运算定理
（1）
（2） （3）时
3x→x0时函数f（x）极限等A必充分条件
说：果x→x0时函数f（x）极限等A必定左右极限等A
反果左右极限等A必
4函数极限定理
定理17 （惟性定理）果存极限值必定惟
定理18 （两面夹定理）设函数点某邻域（外）满足条件：
（1）（2）
推 ：（1）
（2） （3）
5穷量基性质
性质1 限穷量代数穷量
性质2 界函数（变量）穷量积穷量特常量穷量积穷量
性质3 限穷量积穷量
性质4 穷量极限零变量商穷量
6等价穷量代换定理：
果时均穷量存
7重极限Ⅰ
8 重极限Ⅱ指面公式：
9 （2） （3）
（4）
10函数点处连续性质
函数连续性通极限定义极限运算法列连续函数性质
定理112 （四运算）设函数f（x）g（x）x0处均连续
（1）f（x）±g（x） x0处连续 （2）f（x）·g（x）x0处连续
（3）g（x0）≠0x0处连续
定理113 （复合函数连续性）设函数ug（x）x x0处连续yf（u）u0g（x0）处连续复合函数yf[g（x）]x x0处连续
定理114 （反函数连续性）设函数yf（x）某区间连续严格单调增加（严格单调减少）反函数xf1（y）应区间连续严格单调增加（严格单调减少）
闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
11闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
12推（零点定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（a）f（b）异号[ab]少存点ξ
f（ξ）0
13初等函数连续性
定理118 初等函数定义区间连续
利初等函数连续性结知：果f（x）初等函数x0定义区间点
f（x）x0处连续
说求初等函数定义区间某点处极限值算出函数该点函数值
14导连续关系
定理21 果函数yf（x）点x0处导x0处必定连续
15定理知：函数f（x）x0连续f（x）x0处必定导
16导数计算
1基初等函数导数公式
（1）（C）＇0 （2）（xμ）＇μxμ1 （3）（4）
（5）（ax）＇axlna（a＞0a≠1） （6）（ex）＇ex
（7）（8）
（9）（sinx）＇cosx （10）（cosx）＇ sinx
（11）（12）
（13）（secx）＇secx·tanx （14）（cscx）＇ cscx·cotx
（15）（16）
（17）（18）
2导数四运算法
设uu（x）vv（x）均x导函数
（1）（u±v）＇u＇±v＇
（2）（u·v）＇u＇·v+u·v＇
（3）（cu）＇c·u＇
（4）
（5）
（6）（u·v·w）＇u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇
3 复合函数求导法
果uφ（x）点x处导yf（u）相应点uφ（x）处导复合函数yf[φ（x）]点x处导导数
理果yf（u）uφ（v）vψ（x）复合函数yf[φ（ψ（x））]导数
4反函数求导法
果xφ（y）单调导函数反函数yf（x）导数
17微分计算
dyf′(x)dx
求微分dy求出导数f′(x)dx前面学求导基公式求导法完全适微分计算列微分公式微分法：
（1）d（c）0（c常数）
（2）（意实数）
（6）d（ex）exdx
（7）d（sin x）cos xdx
（8）d（cos x）sin xdx
（17）d（c·u）cdu
18微分形式变性
设函数yf(u)u变量中间变量函数微分dy总表示
dyf′(u)du
19常凑微分公式：
1）
② ③
④⑤ ⑥
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦
20常换元类型：
积函数类型
代换
代换名称
正弦代换
正切代换
根式代换
21定积分基性质
（1）（k常数）
（2）
（3）
（4）果f（x）区间[a b]总f（x）≤g（x）
（5）
（6）设Mm分f（x）区间[a b]值值
（7）积分中值定理 果f（x）区间[a b]连续区间[a b]少存点
22变限定积分求导定理
1变限定积分定义 定义 积分限x变量时定积分称变限定积分变限定积分积分限x函数记作般
2变限定积分求导定理
定理 果函数f（x）区间[a b]连续
推 ① ②
③
23计算定积分
1牛顿——莱布尼茨公式
果f(x)区间[ab]连续
推： (1)f(x)奇函数
(2)f(x)偶函数
2定积分分部积分法
24定积分应
1计算面图形面积
(1)X型：曲线yf(x)yg(x)(f(x)≥g(x))直线xaxb(a≤b)围成面图形面积A
(2)Y型：曲线直线ycyd(c≤d)围成面图形面积A
2旋转体体积
(1)X型 连续曲线yf(x)(f(x)≥0)直线xaxb(a
26二元隐函数
设三元方程F(xyz)0确定隐函数zz(xy)果F(xyz)xyz存连续偏导数zxy偏导数
27概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
28 条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
29概率法公式
30（1）数学期性质
①C常数E(C)C ②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b ④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
（2）方差性质
①C常数D(C)0②a常数
③b常数D(X+b)D(X) ④
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