第五部分 特征值特征量
章讨方阵特征值特征量进讨方阵角阵相似充分必条件实称阵角阵相似问题
51 特征值特征量
511 特征值特征量定义
定义511 设An阶方阵λ数果存非零n维列量pApλp
称λ方阵A特征值称pA属特征值λ特征量
定义容易出pA属特征值λ特征量p齐次方程组（λEA）0非零解
见λ方阵A特征值
定义512 称带参数λ方阵λEA方阵A特征方阵称A特征项式称A特征方程
什称A特征项式？
二次项式n阶方阵
n次项式
n阶方阵A特征方程元n次方程容易知道n阶方阵A复数范围n根（重根重数进行计算）
n阶方阵A复数范围必n特征值（重根重数计算）
λA特征值时齐次方程组（λEA）X 0
非零解A属特征值λ特征量
例1 求n阶特征值特征量
答疑编号12050101
解
说明n阶O矩阵n特征值0
n维非零量pAp00ppO矩阵属特征值0特征量
例2 时2A特征值时λ A特征值
答疑编号12050102
例3 设An阶方阵满足证明：1矩阵A特征值
答疑编号12050103
例4 设An阶方阵A≠E果证明：1矩阵A特征值
答疑编号12050104
512 关特征值特征量干结
命题1 方阵特征值未必实数
例5 设
显然特征值复数
命题2 三角形矩阵特征值角线元素
命题3 设矩阵A特征值矩阵A属特征值特征量两意数时矩阵A属特征值特征量
定理511 n阶方阵A转置相特征值
值注意A未必相特征量
例6
解 显然λ1A特征值
属特征值λ1特征量
特征量（题出判断量否A特征量方法）
答疑编号12050105
定理512 设n阶方阵全体特征值
定理513 设An阶方阵
应方阵项式果非零量p满足Apλpf(A)pf(λ)p
表明果λA特征值f(λ)方阵f(A)特征值果p方阵A属特征值λ特征量p方阵f(A)属特征值f(λ)特征量
例7 设特征值
答疑编号12050201
例8 已知n阶方阵求A特征值
答疑编号12050202
定理514 设A逆方阵λA特征值p方阵A属特征值λ特征量λ≠0p方阵属特征值特征量
定理515 设矩阵Ak两两相特征值分关特征量线性关
513 关求特征值特征量般方法
例9 求出特征值线性关特征量
答疑编号12050203
解 （1）写出特征项式
全部特征值
面求A特征量
时A属该特征值线性关特征量齐次方程组基础解系
取未知数A属特征值2线性关特征量
时A属特征值 线性关特征量齐次方程组基础解系
取未知数 属特征值 线性关特征量
矩阵A三线性关特征量
例10 求矩阵特征值特征量
答疑编号12050204
结：
（1）求特征值特征量方法步骤
（2）A二重特征值两线性关特征量线性关特征量般λaAk重特征值 Ak属λa线性关特征量(少k)
例11 设n阶方阵行中元素a证明：a矩阵特征值求出属该特征值特征量
答疑编号12050205
例12 求出k值逆矩阵特征量
答疑编号12050206
结
1特征值特征量定义
2λn阶矩阵A特征值充分必条件齐次方程组非零解A属特征值λ特征量
3关特征值特征量干重结
A属特征值特征量线性关等
4求矩阵特征值特征量方法
作业p135 题51 234567891011
52 方阵相似变换
方阵A求般说十分困难问题
两种情况会处理
般方阵A求十分困难思考否求问题转化求角阵k次幂问题呢？首先希找A角阵联系
节讨问题
521 相似矩阵概念
定义
定义521 设ABn阶方阵果存逆矩阵P
称AB相似记A～B
例1 取
AB相似
答疑编号12050301
例2 设ABn阶方阵 A逆ABBA相似
答疑编号12050302
证 ABBA相似
例3 设Bn阶方阵n阶单位阵B相似
答疑编号12050303
二相似矩阵性质：
（1）反身性（2）称性（3）传递性
定理521 设n阶方阵AB相似AB特征项式相特征值完全相
需注意AB定相特征量
例1中
取
属特征值0特征量
矩阵属特征值0特征量
推 n阶方阵A三角阵相似该三角阵角元素A特征值
例4 设AB相似求参数xy
答疑编号12050304
例5 设n阶方阵AB相似证明：方阵项式f（A）f（B）相似中
答疑编号12050305
522 方阵角阵相似
设三阶方阵A角阵相似存逆阵
矩阵A三特征值次矩阵A属特征值特征量
注意逆充分必条件线性关面讨n阶方阵类似进行面重定理
定理522n阶方阵A角阵相似充分必条件An线性关特征量设 An特征值次A属特征值线性关特征量令
推 设n阶方阵An特征值（特征方程重根）A必角阵相似（充分条件必条件）
分析矩阵角阵相似原
例6 角阵相似
答疑编号12050401
例7 判断否角阵相似？求出变换矩阵P
答疑编号12050402
节例9已求出A全部特征值
时A两线性关特征量A线性关特征量
矩阵A三线性关特征量
A角阵相似取变换矩阵
必
例8 判断矩阵
否角阵相似相似求出变换矩阵
答疑编号12050403
解 节例10 已求出A全部特征值
A全部特征值
A属特征值线性关特征量
A没三线性关特征量A角阵相似
例9 设
问A否相似角阵？求出相似标准形
答疑编号12050404
例10 已知三阶方阵A三特征值 应特征量分：
求矩阵A
答疑编号12050405
例11 设求
答疑编号12050406
结
概念
1相似定义性质
2n阶方阵角阵相似充分必条件充分条件（特征方程重根）
题类型
1判断n阶方阵否角阵相似相似时求出变换矩阵
2已知方阵全部特征值n线性关特征量求矩阵A
3利相似矩阵性质求矩阵中未知参数
作业 p144 题52 1（1）（2）（5）234（2）5
53 量积正交矩阵
531 量积
定义
定义531设n维实量
定义αβ积
显然αβ积积实数积称数量积
例1 设求积
答疑编号12050501
解
二性质
（1）交换律（αβ）（βα）
（1）线性性质
正定性 意α总（αα）≥0（αα）0充分必条件α0
（4）许瓦兹等式（*）
式 （*）中等式成立充分必条件αβ线性相关（证明略）
三量长度
定义532 设量α长度
时称量α单位量
显然α单位量
量长度性质：
（1）非负性：
（2）齐次性：
（3）三角形等式
见n维量长度性质三维量长度性质相
显然基单位量单位量
意非零量单位量称α单位化量
容易出k≠0时kα单位化量α单位化量相
例2 α（123）求单位化量
答疑编号12050502
解 单位化量
请已读例3（p147）目搞清楚式子否意义
四量正交正交量组
定义533 （αβ）0称量αβ正交显然零量量正交
定义534 果维量组含零量中意两量正交（两两正交）称该量组正交量组
例3 中正交量组标准正交量组（标准正交基）
答疑编号12050503
例4 求单位量x 垂直α（111）垂直β（121）
答疑编号12050504
定理531 正交量组必线性关
532 施密特正交化手续
否根定线性关量组构造出等价正交量组
例5 标准正交化
答疑编号12050505
533 正交矩阵
定义
定义535 果n阶实方阵A满足称A正交矩阵
例6 证明列矩阵正交矩阵
（1） 正交阵
答疑编号12050601
（2）
答疑编号12050602
（3）
答疑编号12050603
二正交矩阵性质
1果A正交阵
2果A正交阵A必逆
3正交阵逆转置伴阵正交阵
4设AB正交阵积正交阵
5设An阶正交阵αβn维量
特时
定理532 n阶方阵正交阵充分必条件行（列）量组标准正交量组
例7 判断列矩阵否正交阵
（1）
答疑编号12050604
（2）
答疑编号12050605
例8 设xn维单位列量证明称正交阵Hxx
答疑编号12050606
例9 设An阶正交阵λA特征值证明λ≠0A特征值
答疑编号12050607
结
1量αβ积定义性质
2量长度定义量单位化
3两量正交正交量组定义正交量组必线性关
4施密特正交化手续
5正交矩阵定义性质
作业 p153 题53 15（1）678
54 实称矩阵相似标准形
541 实称矩阵性质
定理541 实称矩阵特征值必实数
定理542 实称矩阵属特征值特征量相互正交
定义541 设ABn阶方阵存正交阵P称AB正交相似
定理543 (实称矩阵基定理)设An阶实称阵A必角阵正交相似存正交阵P
中方阵An特征值反正交相似角阵实方阵定实称阵
证明定理半部分
设An阶方阵存正交阵P
A称阵
542 求正交阵实称阵正交相似角形
设A实称阵求正交阵P角形
面例题
例1 设求正交阵 角阵
答疑编号12050701
解 (1)求A特征值
（2）求特征量
时
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
(3)特征量单位化
三特征值单根应特征量两两正交需单位化
正交阵
例2 设求正交阵P角阵
答疑编号12050702
解 （1）求A特征值
特征值
（2）求特征量
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
（3）正交化
注意相互正交需正交化
取
（4）特征量单位化
正交阵
例3 设三阶实称矩阵A特征值已知A属特征量求出矩阵A属特征值特征量求出矩阵A
答疑编号12050703
结
1实称阵性质
2正交相似定义
3正交变换实称矩阵化角阵方法
作业 p160 题54 124(2)67
第五章总结
1方阵特征值特征量定义求法
2关特征值特征量干重结
3矩阵相似定义性质
4n阶方阵角阵相似充分必条件
5量积定义性质
6量长度定义单位量量单位化
7正交正交量组概念性质施密特正交化手续
8实称矩阵性质正交变换实称阵化成角形
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章讨方阵特征值特征量进讨方阵角阵相似充分必条件实称阵角阵相似问题
51 特征值特征量
511 特征值特征量定义
定义511 设An阶方阵λ数果存非零n维列量pApλp
称λ方阵A特征值称pA属特征值λ特征量
定义容易出pA属特征值λ特征量p齐次方程组（λEA）0非零解
见λ方阵A特征值
定义512 称带参数λ方阵λEA方阵A特征方阵称A特征项式称A特征方程
什称A特征项式？
二次项式n阶方阵
n次项式
n阶方阵A特征方程元n次方程容易知道n阶方阵A复数范围n根（重根重数进行计算）
n阶方阵A复数范围必n特征值（重根重数计算）
λA特征值时齐次方程组（λEA）X 0
非零解A属特征值λ特征量
例1 求n阶特征值特征量
答疑编号12050101
解
说明n阶O矩阵n特征值0
n维非零量pAp00ppO矩阵属特征值0特征量
例2 时2A特征值时λ A特征值
答疑编号12050102
例3 设An阶方阵满足证明：1矩阵A特征值
答疑编号12050103
例4 设An阶方阵A≠E果证明：1矩阵A特征值
答疑编号12050104
512 关特征值特征量干结
命题1 方阵特征值未必实数
例5 设
显然特征值复数
命题2 三角形矩阵特征值角线元素
命题3 设矩阵A特征值矩阵A属特征值特征量两意数时矩阵A属特征值特征量
定理511 n阶方阵A转置相特征值
值注意A未必相特征量
例6
解 显然λ1A特征值
属特征值λ1特征量
特征量（题出判断量否A特征量方法）
答疑编号12050105
定理512 设n阶方阵全体特征值
定理513 设An阶方阵
应方阵项式果非零量p满足Apλpf(A)pf(λ)p
表明果λA特征值f(λ)方阵f(A)特征值果p方阵A属特征值λ特征量p方阵f(A)属特征值f(λ)特征量
例7 设特征值
答疑编号12050201
例8 已知n阶方阵求A特征值
答疑编号12050202
定理514 设A逆方阵λA特征值p方阵A属特征值λ特征量λ≠0p方阵属特征值特征量
定理515 设矩阵Ak两两相特征值分关特征量线性关
513 关求特征值特征量般方法
例9 求出特征值线性关特征量
答疑编号12050203
解 （1）写出特征项式
全部特征值
面求A特征量
时A属该特征值线性关特征量齐次方程组基础解系
取未知数A属特征值2线性关特征量
时A属特征值 线性关特征量齐次方程组基础解系
取未知数 属特征值 线性关特征量
矩阵A三线性关特征量
例10 求矩阵特征值特征量
答疑编号12050204
结：
（1）求特征值特征量方法步骤
（2）A二重特征值两线性关特征量线性关特征量般λaAk重特征值 Ak属λa线性关特征量(少k)
例11 设n阶方阵行中元素a证明：a矩阵特征值求出属该特征值特征量
答疑编号12050205
例12 求出k值逆矩阵特征量
答疑编号12050206
结
1特征值特征量定义
2λn阶矩阵A特征值充分必条件齐次方程组非零解A属特征值λ特征量
3关特征值特征量干重结
A属特征值特征量线性关等
4求矩阵特征值特征量方法
作业p135 题51 234567891011
52 方阵相似变换
方阵A求般说十分困难问题
两种情况会处理
般方阵A求十分困难思考否求问题转化求角阵k次幂问题呢？首先希找A角阵联系
节讨问题
521 相似矩阵概念
定义
定义521 设ABn阶方阵果存逆矩阵P
称AB相似记A～B
例1 取
AB相似
答疑编号12050301
例2 设ABn阶方阵 A逆ABBA相似
答疑编号12050302
证 ABBA相似
例3 设Bn阶方阵n阶单位阵B相似
答疑编号12050303
二相似矩阵性质：
（1）反身性（2）称性（3）传递性
定理521 设n阶方阵AB相似AB特征项式相特征值完全相
需注意AB定相特征量
例1中
取
属特征值0特征量
矩阵属特征值0特征量
推 n阶方阵A三角阵相似该三角阵角元素A特征值
例4 设AB相似求参数xy
答疑编号12050304
例5 设n阶方阵AB相似证明：方阵项式f（A）f（B）相似中
答疑编号12050305
522 方阵角阵相似
设三阶方阵A角阵相似存逆阵
矩阵A三特征值次矩阵A属特征值特征量
注意逆充分必条件线性关面讨n阶方阵类似进行面重定理
定理522n阶方阵A角阵相似充分必条件An线性关特征量设 An特征值次A属特征值线性关特征量令
推 设n阶方阵An特征值（特征方程重根）A必角阵相似（充分条件必条件）
分析矩阵角阵相似原
例6 角阵相似
答疑编号12050401
例7 判断否角阵相似？求出变换矩阵P
答疑编号12050402
节例9已求出A全部特征值
时A两线性关特征量A线性关特征量
矩阵A三线性关特征量
A角阵相似取变换矩阵
必
例8 判断矩阵
否角阵相似相似求出变换矩阵
答疑编号12050403
解 节例10 已求出A全部特征值
A全部特征值
A属特征值线性关特征量
A没三线性关特征量A角阵相似
例9 设
问A否相似角阵？求出相似标准形
答疑编号12050404
例10 已知三阶方阵A三特征值 应特征量分：
求矩阵A
答疑编号12050405
例11 设求
答疑编号12050406
结
概念
1相似定义性质
2n阶方阵角阵相似充分必条件充分条件（特征方程重根）
题类型
1判断n阶方阵否角阵相似相似时求出变换矩阵
2已知方阵全部特征值n线性关特征量求矩阵A
3利相似矩阵性质求矩阵中未知参数
作业 p144 题52 1（1）（2）（5）234（2）5
53 量积正交矩阵
531 量积
定义
定义531设n维实量
定义αβ积
显然αβ积积实数积称数量积
例1 设求积
答疑编号12050501
解
二性质
（1）交换律（αβ）（βα）
（1）线性性质
正定性 意α总（αα）≥0（αα）0充分必条件α0
（4）许瓦兹等式（*）
式 （*）中等式成立充分必条件αβ线性相关（证明略）
三量长度
定义532 设量α长度
时称量α单位量
显然α单位量
量长度性质：
（1）非负性：
（2）齐次性：
（3）三角形等式
见n维量长度性质三维量长度性质相
显然基单位量单位量
意非零量单位量称α单位化量
容易出k≠0时kα单位化量α单位化量相
例2 α（123）求单位化量
答疑编号12050502
解 单位化量
请已读例3（p147）目搞清楚式子否意义
四量正交正交量组
定义533 （αβ）0称量αβ正交显然零量量正交
定义534 果维量组含零量中意两量正交（两两正交）称该量组正交量组
例3 中正交量组标准正交量组（标准正交基）
答疑编号12050503
例4 求单位量x 垂直α（111）垂直β（121）
答疑编号12050504
定理531 正交量组必线性关
532 施密特正交化手续
否根定线性关量组构造出等价正交量组
例5 标准正交化
答疑编号12050505
533 正交矩阵
定义
定义535 果n阶实方阵A满足称A正交矩阵
例6 证明列矩阵正交矩阵
（1） 正交阵
答疑编号12050601
（2）
答疑编号12050602
（3）
答疑编号12050603
二正交矩阵性质
1果A正交阵
2果A正交阵A必逆
3正交阵逆转置伴阵正交阵
4设AB正交阵积正交阵
5设An阶正交阵αβn维量
特时
定理532 n阶方阵正交阵充分必条件行（列）量组标准正交量组
例7 判断列矩阵否正交阵
（1）
答疑编号12050604
（2）
答疑编号12050605
例8 设xn维单位列量证明称正交阵Hxx
答疑编号12050606
例9 设An阶正交阵λA特征值证明λ≠0A特征值
答疑编号12050607
结
1量αβ积定义性质
2量长度定义量单位化
3两量正交正交量组定义正交量组必线性关
4施密特正交化手续
5正交矩阵定义性质
作业 p153 题53 15（1）678
54 实称矩阵相似标准形
541 实称矩阵性质
定理541 实称矩阵特征值必实数
定理542 实称矩阵属特征值特征量相互正交
定义541 设ABn阶方阵存正交阵P称AB正交相似
定理543 (实称矩阵基定理)设An阶实称阵A必角阵正交相似存正交阵P
中方阵An特征值反正交相似角阵实方阵定实称阵
证明定理半部分
设An阶方阵存正交阵P
A称阵
542 求正交阵实称阵正交相似角形
设A实称阵求正交阵P角形
面例题
例1 设求正交阵 角阵
答疑编号12050701
解 (1)求A特征值
（2）求特征量
时
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
(3)特征量单位化
三特征值单根应特征量两两正交需单位化
正交阵
例2 设求正交阵P角阵
答疑编号12050702
解 （1）求A特征值
特征值
（2）求特征量
矩阵A属特征值特征量
时
矩阵A属特征值特征量
（3）正交化
注意相互正交需正交化
取
（4）特征量单位化
正交阵
例3 设三阶实称矩阵A特征值已知A属特征量求出矩阵A属特征值特征量求出矩阵A
答疑编号12050703
结
1实称阵性质
2正交相似定义
3正交变换实称矩阵化角阵方法
作业 p160 题54 124(2)67
第五章总结
1方阵特征值特征量定义求法
2关特征值特征量干重结
3矩阵相似定义性质
4n阶方阵角阵相似充分必条件
5量积定义性质
6量长度定义单位量量单位化
7正交正交量组概念性质施密特正交化手续
8实称矩阵性质正交变换实称阵化成角形
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