学六年级奥数讲义40讲（含答案解析）
第讲 循环数分数
第二讲 差倍分问题
第三讲 行程问题
第五讲 质数合数
第六讲 工程问题
第七讲 牛吃草问题
第八讲 包含排
第九讲 整数拆分
第十讲 逻辑推理
第十讲 通分裂项
第十二讲 综合
第十三讲 植树问题
第十五讲 余数问题
第十六讲 直线面积
第十七讲 圆扇形
第十八讲 数列数表综合
第十九讲 数字迷综合
第二十讲 计数综合
第二十讲 行程工程
第二十二讲 复杂工程问题
第二十三讲 运例求解行程问题
第二十四讲 应题综合
第二十五讲 数综合2
第二十六讲 进位制问题
第二十七讲 取整问题
第二十八讲 数综合3
第二十九讲 数综合4
第三十讲 综合2
第三十讲 图形变换
第三十二讲 勾股定理
第三十三讲 计数综合
第三十四讲 值问题
第三十五讲 构造证1
第三十六讲 构造证2
第三十七讲 分数巧算
第三十八讲 钟面问题
第三十九讲 方程组
第四十讲 定方程
第讲 循环数分数
循环数分数互化循环数间简单加减运算涉循环数分数利运算定律进行简算问题．
1．真分数化数果数点第位数字开始连续干数字1992少
分析解 0 0000 0 ．
真分数化数数点第位开始连续六数字1+4+2+8+5+727
1992÷2773……212721662+406．
评注：特殊性循环节中数字变序变开始循环数变化．
2．某学生数时误成123积正确结果减少03．正确结果该少
分析解 题意： 12303：03：．解 90× 901×90× 90111．
3．计算：结果保留三位数．
分析解 方法：
≈01111+01250+03333+01666
07359
≈0736
方法二：
≈0736
4．计算：
分析解 方法：
24
方法二：
()
21+×(1+2+3+4+8+9)
21+×27
21+03
24
方法三：式
0011111…
0122222．．．
0233333．．．
0344444．．．(1+2+3+4+8+927)
0788888．．．
+ 0899999．．．
2399997．．．
注意百万分位7没进位造成实际情况应该2399999…24．
评注：1 ．
5．循环数相取似值求保留百位数该似值位数少
分析解 ×
循环节6位100÷616……4第100位数循环节中第4位8第10l位5．样四舍五入第100位9．
6 列分数约成简分数：
分析解 找规律： …
评注：类似问题．
7 列算式计算结果写成带分数：
分析解×595958
8．计算7÷÷1
分析解 7÷÷1
5
9．计算：
分析解原式
10．计算：
分析解 原式
9+5545
10
11．计算 412×81+11×+537×019
分析解 原式412×081+11×925+019×(412+125)
412×(081+019)+11×925+019×125
412+11×8+11×125+19×125
412+88+125×30
500+375
5375
12．计算：
分析解原式
13．计算
分析解 原式
14 (1)已知等式0126×79+12×□6÷251008口代表数少
(2)设题答案．算式（199381+)×○○填入适位然数积位数字达值．问○填数字少
分析解 (1)设口代表数0126×79+126÷251008解：003口代表数003．
(2)设○填数字(199381+O03)×199384×8时199384×199384
×81505094○填数字8．
15．求述算式计算结果整数部分：
分析解原式
≈1925+1283+77+55+35+296
5174
原式整数部分517．
第二讲 差倍分问题
种具差倍分关系综合应题重点包含分数问题．基解题方法已知条件恰形式写出变形结合起进行较求出相关量中注意单位1恰选取．
1．甲乙两数果甲数数点左移两位乙数甲数乙数少倍
分析解 甲数数点左移动两位甲数缩原设时甲数1乙数1×88原甲数l×100100甲数乙数100÷8125倍．
2 三堆棋子堆棋子数样黑白两色棋子．已知第堆里黑子第二堆里白子样第三堆里黑子占全部黑子．果三堆棋子集中起白子占全部棋子分
分析解 表示：
设全部黑子5份第三堆里黑子2份剩黑子占523份第堆里黑子第二堆里白子样第堆黑子第二堆白子调换第二堆全部黑子．
第二堆棋子总数3份三堆棋子总数3×39份中黑子占5份白子占剩954份白子占全部棋子4÷9．
3．甲乙两厂完成批机床生产务已知甲厂乙厂少生产8台机床甲厂生产量乙厂甲乙两厂生产机床少台
分析解 甲厂生产乙厂甲厂12份乙厂13份甲厂乙厂少1份8台．总8×(12+13)200台．
4．足球赛门票15元张降价观众增加半收入增加五分张门票降价少元
分析解设原数1现1+0515．
原收入l×1515降价收15×(1+)18元降价门票18÷1512元张门票降价15123元．
5．李刚军属王奶奶运蜂窝煤第次运全部第二次运50块．时已运恰没运．问少块蜂窝煤没运
分析解 已运没运运5份没运7份运占总数．50÷()1200块剩1200×700块．
6．两条纸带条长21厘米条长13厘米两条纸带剪样长段发现短纸带剩长度长纸带剩长度．问剪段长少厘米
分析解方法：开始时两条纸带长度差21－138厘米．
两条纸带剪样长度两条纸带前长度差变．
设剪短纸带长度8份长纸带13份差1385份份8÷51．6(厘米)．
剪短纸带长16×8128(厘米)剪13128O2(厘米)．
方法二：设剪厘米
交叉相：13×(13)8×(21)解02
剪段长02厘米．
7．挖通300米长隧道甲乙两施工队分隧道两端时相施工．第天甲乙两队掘进10米第二天起甲队天工作效率总前天2倍乙队天工作效率总前天l倍．两队挖通条隧道需少天
分析解 表示：
天数
工作量
1
2
3
4
5
甲
10
20
40
80
160
乙
10
15
225
3375
50625
天工作量
20
35
625
11375
210625
已完成工作量
20
55
1175
23125
441375
说明第五天没全天干活第四天干完剩：300231256875米
时间4+6875÷2106254天．
8．块菜块麦．菜半麦三分放起13公顷．麦半菜三分放起12公顷．菜少公顷
分析解表示：
菜
麦
13公顷
菜3
麦2
78公顷
菜2
麦3
72公顷
菜
麦
12公顷
5倍菜公顷数+5倍麦公顷数78+72150菜麦150÷530(公顷)．
菜减麦78726(公顷)菜(30+6)÷218(公顷)．
9．春风学原计划栽种杨树柳树槐树1500棵．植树开始栽种杨树总数30棵柳树时运15棵槐树时剩3种树棵数恰相等．问原计划栽植三种树少棵
分析解杨树分5份样份单位：
杨树5份柳树2份+30棵槐树2份15棵
份(150030+15)÷(2+2+5)165棵
：杨树5×165825棵柳树165×2+30360棵槐树165×215315棵．
10 师徒二加工170零件师傅加工零件数徒弟加工零件数10．徒弟加工少零件
分析解 师表示师傅加工零件数徒表示徒弟加工零件数：
师 徒＝104师 3徒1204师+4徒170×4680．
7徒680120560徒80徒弟加工80零件．
11 批工甲乙两工进行清理工作甲工工作量乙工工作量1倍．午甲工数乙工数3倍午批工中甲工乙工．傍晚时甲工工作已做完乙工工作需4名工做1天．批工少名
分析解设甲工工作量15乙工工作量1．
甲
乙
午
午
1
甲工整天均批工乙工整天均批工1．
批工完成15工作量批工完成15÷2075工作量乙工剩1075025工作量025工作量需4工作1天．
甲乙工工作量15+125需25÷025× 440工作1天．
原批工40436．
12．分数果分子加1分数等果分母加1分数等．问原分数少
分析解 果分子加1分数设时分数：原分数分母加1：交叉相：3(1)2+1解4原分数．
13．图21某市园林规划图中草占正方形竹林占圆形正方形圆形公部分水池．已知竹林面积草面积450方米．问水池面积少方米
分析解 水池正方形圆正方形水池4倍圆水池7倍相差743倍差450方米水池450÷3150方米．
14．唐僧师徒四吃许馒头唐僧猪八戒吃总数唐僧沙僧吃总数唐僧孙悟空吃总数．唐僧吃总数分
分析解 唐+猪唐+沙唐+孙．(两边时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙2唐+(唐+猪+沙+孙)2唐+1++1．：2唐唐．
唐僧吃总数．
15．李张时开始制作种零件分钟制作1零件李制作3零件休息1分钟张制作4零件休息15分钟．现完成制作300零件务需少分钟
分析解方法：先估算出致需时间然进行调整．
李张工作效率致相等完成时李完成300÷2150零件左右
李完成150零件需150÷3×4200分钟
200分钟左右198分钟55整数倍时乙生产198÷55×4144零件刚休息完2分钟200分钟时完成144+2146零件
200分钟时李张生产150+146296零件剩4零件未完成需2分钟李生产2零件张生产2零件正完成．
需202分钟完成．
方法二：休息时间包括进李4分钟做3张55分钟做4．
44分钟李做：44÷4×333张做：44÷55×432做：33+3265．
300÷654……40做444分钟：44×4176分钟剩40零件没做完．
224+4+4+4+4+255×422分钟李做：3+3+3+3+3+217张做：4×216剩：40171674分钟李做3张做4做4+3740零件需26分钟．
时间：44×4+26202分钟．
第三讲 行程问题（1）
涉分数行程问题水速度逆水速度流速关系相关问题环形道路行程问题解题时注意发挥图示辅助作时宜恰选择运动程中关键点分段加考虑．
1王师傅驾车甲开乙交货果返时60千米速度行驶正时返回甲达乙时发现甲乙速度时55千米果想时返回甲应速度回开
分析解 设甲乙路程单位1时返次需时间现甲乙花费时间1÷55＝千米乙返回甲时需时间
果想时返回甲应时66千米速度回开．
2 甲乙两相距100千米张先骑摩托车甲出发1时李驾驶汽车甲出发两时达乙摩托车开始速度时50千米中途减速时40千米汽车速度时80千米汽车途中停驶1O分钟张驾驶摩托车减速出发少时
分析解 汽车甲乙行驶时问100÷80125时1时15分钟加中途停驶10分钟时1时25分钟．
张先李1时出发时达张甲乙2时25分钟2时．
出两种解法：
方法设张驾驶摩托车减速出发时50×+40×解
张驾驶摩托车减速出发时
方法二果全程时50千米速度行驶需100÷502时时间全程时40千米速度行驶需100÷4025时
鸡兔笼思想知张时50千米速度行驶路程行驶100千米路程距出发时
3 位少年短跑选手风跑90米10秒钟样风速逆风跑70米10秒钟问风时候跑100米少秒
分析解 知道风速度风速度+风速逆风速度风速度风速
风时速度90÷109米秒逆风速度70÷107米秒．
风速度米秒
风时候跑100米需100÷8125秒
4 条河流AB C三镇AB两镇间汽船汽船静水中速度时11千米BC两镇间木船摆渡木船静水中速度时35千米已知AC两镇水路相距50千米水流速度时15千米某A镇船流B镇吃午饭1时接着木船流C镇8时AB两镇间距离少千米
分析解 画出示意图
AB段水速度11+15125千米时
BC段水速度35+155千米时．
AC全程行驶时间817时．
设AB长千米解25．
AB两镇间距离25千米
5条河AB两港口水A流B水流速度时4千米甲乙两船时AB行驶停AB间返航行甲船静水中速度时28千米乙船静水中速度时20千米已知两船第二次迎面相遇点甲船第二次追乙船(算甲乙A处时开始出发次)点相距40千米求AB两港口间距离
分析解 设AB两路程单位1：
甲乙两AB返航行均A点时出发第次相遇时甲乙两路程差2
甲乙两AB返航行均A点时出发第次相相遇时甲乙两路程2
甲乙两AB返航行分AB两点相出发第次相遇时甲乙两路程差(21)
甲乙两AB返航行分AB两点相出发第次相相遇时甲乙两路程(21)．
甲船水速度32千米时逆水速度24千米时
乙船水速度24千米时逆水速度16千米时
两船第二次迎面相遇时路程4甲船第二次追乙船时路程差4
()第二次迎面相遇时定甲走2～3AB长度乙走2～1AB长度设甲走2＋AB长度乙走2AB长度
＝解第二次迎面相遇点距A点AB距离
(二)①第二次甲追乙时甲行走(整数≤1)AB长度乙行走AB长度
＝化简显然法满足整数≤1
②第二次甲追乙时甲行走(y整数≤1)AB长度乙行走AB长度
＝化简
第二次甲追乙时点距B点AB距离距AAB距离．
题中两次相遇点距离(AB40千米AB全长240千米
6甲乙两船分条河AB两时相行甲流乙逆流相遇时甲乙两船行相等航程相遇继续前进甲达B乙达A立原路线返航两船第二次相遇时甲船乙船少行1000米果第次相遇第二次相遇时间相隔1时20分河水流速时少千米
分析解 甲乙第次相遇时行驶路程相等甲乙时刻达BA两接着两船分BA两AB中间行驶第二次相遇前始终船逆流船流速度始终等静水中速度
甲静水速度+水速乙静水速度－水速
开始甲第次达B乙第次达A前两船河流中速度相等甲船乙船少行驶1000米甲乙返航时产生．
甲乙返航时甲河流中行驶速度甲静水速度水速乙河流中速度乙静水速度+水速速度差4倍水速．
第次相遇第二次相遇两船行驶2AB路程返航第二次相遇两船行驶AB路程需时间80÷240分钟．
4倍水速水速375米时0375千米时．
河水流速时0375千米．
7甲乙二骑行车环形公路点时出发背行现已知甲走圈时间70分钟果出发45分钟甲乙二相遇乙走圈时间少分钟
分析解 甲行走45分钟行走70－4525分钟走完圈甲行走45分钟乙行走45分钟走完圈甲行走25分钟路程相乙行走45分钟路程．
甲行走圈需70分钟乙需70÷25×45126分钟．
乙走圈时间126分钟．
8图31甲乙两分圆形场直径两端点时开始匀速相反方绕圆形路线运动乙走100米第次相遇甲走完周前60米处第二次相遇求圆形场周长．
分析解 注意观察图形甲乙第次相遇时甲乙走完圈路程甲乙第二次相遇时甲乙走完1+＝圈路程．
开始第二次相遇需时间1：3第二次相遇时乙行走总路程第次相遇时行走总路程3倍100×3300米．
甲乙第二次相遇时行走(1圈－60)+300圈圆形场周长480米．
9甲乙二条椭圆形跑道作特殊训练：时点出发相反方跑跑完第圈达出发点立回头加速跑第二圈跑第圈时乙速度甲速度甲跑第二圈时速度第圈提高乙跑第二圈时速度提高．已知跑道甲乙两第二次相遇点第次相遇点短路程190米条椭圆形跑道长少米
分析解设甲跑第圈速度3乙跑第圈速度2甲跑第二圈速度4乙跑第二圈速度
图第次相遇点逆时针方距出发点跑道长度．
甲回出发点时乙跑跑道长度乙接跑跑道距离时甲4速度跑圈．
剩跑道长度甲4速度乙速度相跑乙跑圈第二次相遇点逆时针方距出发点圈．
第次相遇点第二次相遇点相差圈
条椭圆形跑道长度米．
10图32400米环形跑道AB两点相距100米甲乙两分AB两点时出发逆时针方跑步甲秒跑5米乙秒跑4米跑100米停10秒钟甲追乙需时间少秒
分析解 果甲乙均休息甲追乙时间100÷(54)100秒．
时甲跑100×5500米乙跑100×4400米．
实际甲跑500米需时间100+4×10140秒140～150秒时甲逆时针距A点500处．
乙跑400米需时间100+3×10130秒130～140秒时乙走逆时针距B点400处．
显然开始计算140秒时甲乙点甲追乙需时间140秒．
11周长400米圆形跑道相距100米AB两点．甲乙两分AB两点时相背跑两相遇乙转身甲跑甲跑A时乙恰跑B．果甲乙跑速度方变甲追乙时甲出发开始跑少米
分析解 图记甲乙相遇点C
甲跑AC路程时乙跑BC路程甲跑400米时乙跑2BC路程．
乙速度保持变甲乙第次相相遇需时间甲次达A点需时间
AC×400200(米)甲跑200米时乙跑100米甲速度乙速度2倍．
甲达A乙达B时甲追乙时需乙跑400100300米路程甲需跑300÷(21)×2600米加开始跑l圈400米．
甲出发甲追乙时跑600+4001000米．
12图33长方形房屋长13米宽8米．甲乙两分房屋两墙角出发甲秒钟行3米乙秒钟行2米问长时间甲第次见乙
分析解 开始时甲时针方距乙8+13+829米．边长 13少追相差13少追291316米．
甲追乙16米需时间16÷(32)16秒时甲行3×1648米乙行2×1632米．
甲乙位置右图示：
显然甲见乙甲速度乙快甲乙离开面
条边前达面边见乙．
甲达面边需跑2米需时间2÷3秒．
16+16秒甲第次见乙
13图34学校操场400米跑道中套着300米跑道跑道跑道200米路程相重．甲秒6米速度跑道逆时针方跑乙秒4米速度跑道时针方跑两时两跑道交点A处出发第二次跑道相遇时甲跑少米
分析解 图甲乙跑道相遇．AB时针半跑道．
易知跑道AB逆时针路程100时针路程200跑道AB逆时针路程均200米．甲乙行程状况分析清楚．
甲第次达B时乙没达B点第次相遇定逆时针BA某处．
乙第次达B点时需时间200÷450秒时甲跑50×6300米B点300200100米处．
乙跑出跑道达A需100÷425秒甲跑25×6150米A点左边(100+150)20050米处．
甲达B处时乙未B处甲必定B点右边某处乙第二次相遇．
乙次达A处开始计算需(40050)÷(6+4)35秒甲乙第二次相遇时甲跑50+25+35110秒．
开始甲乙第二次相遇甲跑110×6660米．
14．图35正方形ABCD条环形公路．已知汽车AB时速90千米BC时速120千米CD时速60千米DA时速80千米．CD点P时反发出辆汽车AB中点相遇．果PC中点M时反发出辆汽车AB点N相遇．问AN距离NB距离商少
分析解 图设甲始终时针运动乙始终逆时针运动设正方形ABCD边长单位1
甲P达AB中点O需时间
乙P达AB中点O需时间
甲乙时P点出发AB中点O相遇：
PDDCPC1PC代入解PC
PMMCDP
现甲乙时PC中点出发相遇N点设AN距离
甲M达N点需时间
乙M达N点需时间
解AN
AN÷BN
15图368时10分甲乙两相速度分相距60米AB两时针方长方形ABCD边走D点甲8时20分D点丙丁两立相速度D点出发丙DA走8时24分乙E点相遇丁DC走8时30分F点乙追问三角形BEF面积少方米
分析解 图标出部分时刻甲乙丙丁位置．
先分析甲情况甲10分钟行走AD路程乙情况乙速度等甲速度乙14分钟行走60+AE路程乙20分钟走60+AD+DF路程．乙10分钟走(60+AD+DF)(AD)60+DF路程．
然分析丙情况丙4分钟行走ED路程丁情况丁速度等丙速度丁10分钟行走DF距离．
5ED＝2DF．
联立解
位置关系：
×60×87－(方米)
第五讲 质数数
质数关构造问题通分解质数求解整数问题．
1说：7连续整数中定质数．请举例子说明句话错．
分析解 例连续7整数：842843844845846847848分2345678整电说质数．
评注：学会说找出翻质数表……注意(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+4…(n+1)+(n+1)n数分234…(n+1)整连续n合数．
中n表示1直n积1×2×3×…×n．
2写出5质数面数前面数12．
分析解 知道1223倍数果开始质数2312定23倍数合数5开始尝试．
517294153满足条件5质数．
3．9连续然数80中质数少
分析解 80然数中偶数定质数奇数越越9连续然数中5奇数位应该13579．80位5数定质数4数．
验证1011021031041051061071081099连续然数中1011031071094数均质数．
809连续然数中质数4．
4 1234567899数字组成质数果数字次9数字组成少质数
分析解质数数量组成位质数2357均位质数样剩146895质数数字未．
1489组成质数418967组合成质数67．
9数字组成2354167896质数．
5．3质数倒数3质数少
分析解设3质数abc倒数分计算时需通分通分分母a×b×c求分数果分数够约分分数分母abc间积．
现分母19862×3×331定a2b3c331检验满足．
3质数2+3+331336．
6．已知两位数1477余数49．求满足样条件两位数．
分析解 1477÷数商……49147749：数×商数×商14282×2×3×7×17．
般情况数余数．数49整1428845168满足．
满足题意两位数516884．
7．种简真分数分子分母积140．果样分数排列第三分数少
分析解 1402×2×5×7分数分子分母积均140分母越时分子越应分数越．
分母次14070352820141075421
应分子次12457101420283570140
应分数次…
中第三简真分数．
8．某校师生贫困区捐款1995元．学校35名教师14教学班．班学生数相30超45．果均捐款钱数整数均捐款少元
分析解 学校少35+14×30455名师生35+14×45665名师生师生总数整1995．
19953×5×133455～665间约数5×133665师生总数665均捐款1995÷6653元．
9．做道两位数两位数法题时马虎数中数字5成8积1872．原积少
分析解 18722×2×2×2×3×3×13口口×口口中某口8
验证：187248×39187278×24满足．
187248×39时马虎错5成8错45成48正确积应该45×391755．
187278×24时马虎错5成8错75成78正确积应该75×241800．
原积17551800．
10已知两数5余1积2924差等少
分析解 29242×2×17×43A×BA+B5余l位16．
4×17+4368+4311l说6843满足题意两数．
差684325．
11．射箭运动中射箭环数者0(脱靶)者超10然数．甲乙两名运动员射5箭5箭环数积1764甲总环数乙少4环．求甲乙总环数少
分析解 17642×2×3×3×7×71764应510然数积．
17644×3×3×7×7
2×6×3×7×7
2×2×9×7×7
1×6×6×7×7
1×4×9×7×7
应次4+3+3+7+7242+6+3+7+7252+2+9+7+7271+6+6+7+727l+4+9+7+728．
应中2428相差4甲5箭环数43377乙5箭环数14977．
甲总环数24乙总环数28．
12．面前长方体正面面面积209果长宽高质数长方体体积少
分析解 图设长宽高次abc正面面ac+ab209．
ac+aba×(c+b)20920911×19．
a11时c+b19两质数奇数中必定数偶质数2c+b2+17
a19时c+b11c+b2+9b9质数满足题意．
积11×2×17374．
13长方体长宽高连续3然数体积39270立方厘米长方体表面积少方厘米
分析解方法：392702×3×5×7×11×17三连续然数积34×34×34接3927039270约数中接等3435343333×34×3539270．
333435满足题意长宽高．
长方体表面积：2×(长×宽+宽×高+高×长)2×(33×34+34×35+35×33)6934(方厘米)．
方法二：392702×3×5×7×11×17三连续然数积考虑质数17果17作长宽高显然满足．
172结合34作长方体条边长度时成立考虑质数734接数32～36中35含775积作长方体条边长度．
39270质数中剩31l长方体33×34×35．
长方体表面积2×(++)2×(1190+1155+1122)2×34676934(方厘米)．
14．长方体长宽高整数厘米体积1998立方厘米长宽高值少厘米
分析解 知道意已确定数数积定时相互越接越．3数积18三数233时8．
19982×3×3×3×3737质数分解2×3×3×3应两数应越接越．2×3×3×36×9时19986×9×37时三然数接．
6+9+3752(厘米)．
15．果两数64两数积整4875两数差等少
分析解48753×5×5×5×13
a×b4875约数两数64．发现393×13255×5两数643925满足题意两数．
差392514．
评注：题推知两数定时两数越接积越两64数积32×321024积1×6363．
487564～1024间约数65195325375975等．
65195325375975等验证．
严格逐步计算会漏掉满足题意解．题中满足题意3925组数．
第六讲 工程问题
完成工作水进水排水等类型应题．解题时常进行工作时间工作效率间转化．
1．甲乙两加工批零件8时司完成务．果甲单独加工便需12时完成．现甲乙两生产2时甲调出做工作乙继续生产420零件完成务．问乙加工零件少
分析解乙单独加工时加工－
甲调出剩工作乙需做(8—2)×(÷)(时)乙时加工零件420÷252时加工2×2560()乙加工零件60+420＝480()．
2．某工程先甲单独做63天乙单独做28天完成．果甲乙两合作需48天完成．现甲先单独做42天然乙单独完成需做少天
分析解 右表知甲单独工作15天相乙单独工作20
天甲单独工作3天相乙单独工作4天．
甲单独工作63天相乙单独工作63÷3×484天
乙单独工作84+28112天完成项工程．
现甲先单独做42天相乙单独工作42÷3×456天乙需单独工作112—5656天完成项工程．
3．条公路甲队独修需10天乙队独修需12天丙队独修需15天．现3队合修中间甲队撤出外工结果6天条公路修完．甲队撤出乙丙两队合修少天完成
分析解 甲乙丙三队合修工作效率++6天完成工程量×6实际中途撤出甲队6天完成工程量1．
－1甲队中途撤出造成甲队需÷5(天)完成工程量甲队6天撤出5天．
甲队撤出乙丙两队合修5天完成．
4．件工程甲队独做12天完成甲队做3天乙队做2天恰完成半．现甲乙两队合做干天乙队单独完成做完发现两段时间相等少天
分析解 甲队做6天完成半甲队做3天乙队做2天完成半甲队做3天相乙队做2天．
甲工作效率乙乙单独做12×8(天)完成两段时间相等段时间应：
8÷(1+l+)＝3(天)3×2＝6(天)．
5．抄份书稿甲天工作效率等乙丙二天工作效率丙工作效率相甲乙天工作效率．果3合抄需8天完成乙单独抄需少天完成？
分析解已知甲乙丙合抄天完成书稿已知甲天抄写量等乙丙两天抄写量甲两天抄写书稿甲天抄写书稿
丙抄写5天相甲乙合抄天丙6天抄写书稿丙天抄写书稿知乙天抄写书稿－－＝
乙单独抄写需1÷24天完成．
6．游泳池甲乙丙三注水．果单开甲需20时注满水池甲乙两合开需8时注满水池乙丙两合开需6时注满水池．单开丙需少时注满水池
分析解 乙时注满水池
丙时注满水池
单开丙需1÷10(时)．
7．件工程甲乙两合作8天完成乙丙两合作6天完成丙丁两合作12天完成．甲丁两合作少天完成
分析解 甲乙乙丙丙丁合作工作效率次
工作效率(甲乙)+(丙丁)－(乙丙)(甲丁)．
+－甲丁合作工作效率．
甲丁两合作24天完成件工程．
8．项工作甲乙两合做8天完成乙丙两合做9天完成丙甲两合做18天完成．丙做完成项工作需少天
分析解 方法：工作效率：
(甲乙)+(乙丙)－(丙甲)2乙+－两倍乙工作效率乙工作效率．
工作效率(乙丙)－乙丙丙工作效率－＝
丙做完成项工作需1÷48天．
方法二：2(甲乙丙)(甲+乙)+(乙丙)+(甲丙)＝＋＋＝(甲乙丙)÷2＝甲乙丙3合作工作效率．
丙单独工作工作效率－＝丙做完成项工作需48天．
9．某工程果第123队合干需12天完成果第135队合干需7天完成果第245队合干需8天完成果第134队合干需42天完成．5队起合干需少天完成项工程
分析解 已知条件
工作效率：
(123)+(135)+2(245)+(134)3(12345)．
5队起合作时工作效率：
（＋＋2×＋）÷3＝
5队合作需6天完成项工程
评注：类需综合差倍等知识问题工程问题中常见
10．水箱甲乙丙三水里注水．开甲丙两甲注入18吨水时水箱已满开乙丙两乙注入27吨水时水箱满．知乙分钟注水量甲分钟注水量2倍．该水箱容纳少吨水
分析解 设甲注入18吨水需时间1乙分钟注水量甲分钟注水量2倍乙注入18吨水需时间O5乙注入27吨水需时间27÷18×05075
采两种方法：
方法：设丙单位时间注入水1：
18+127+O750259吨1
36吨丙单位时间灌入36吨水．
水箱容纳18+3654吨水．
方法二：说甲丙合工作效率乙丙合工作效率．
设甲单独灌水工作效率1乙单独灌水工作效率21+丙(2+丙)丙工作效率2丙工作效率等乙工作效率乙丙合灌时丙灌27吨水箱容纳27+2754吨水．
11某水池容积100立方米甲乙两进水排水．甲乙两单独灌满水池分需10时15时．水池中原水果甲乙两时进水排水放水需6时水池中水放完果甲进水排水放水需2时水池中水放完．问水池中原水少立方米
分析解 甲时注水100÷1010(立方米)
乙时注水100÷15(立方米)
设排水时排水量排
(排－10－)×3(排－10)整理3排－3×排－102排40排20．
水池中原水(20—10)×220(立方米)．
12．水池底部安常开排水部安干样粗细进水．开4进水时需5时注满水池开2进水时需15时注满水池．现需2时水池注满少开少进水
分析解 记水池容积1设进水工作效率进排水工作效率排：
4进－排 2进－排
2进(－)进排
题中需时开x进水2时注满：
x进－排x－解x85
少需开9进水2时水池注满．
13．蓄水池甲丙两条进水乙丁两条排水．灌满池水单开甲需3时单开丙需5时．排光池水单开乙需4时单开丁需6时．现池池水．果甲乙丙丁序循环开水次开1时问少时间水开始溢出水池
分析解 方法：甲乙丙丁四水序开l时开4时池灌进水全池－＋－
优情况：完整周期1时灌满池水．时甲进水时间甲效率四条子中．
优情况：完整周期需注入1－－＝池水．
需周期数÷＝＝4
少需5完整周期5完整周期水池水＋×5＋＝
剩l－＝池水未灌满完整周期l时甲注水时间÷＝ (时)
需5完整周期20时加时20时水开始溢出．
方法二：甲乙丙丁四水序开1时开4时池灌进水全池－＋－
加池原水池水：＋
四4时20时池水：＋×420时需灌水1－＝水开始溢出．
÷ (时)开甲时水开始溢出20+20(时)水开始溢出水池．
方法三：甲乙丙丁四水序开1时开4时池灌进水全池－＋－＝
周期池水：＋注入
二周期池水：＋先注入
三周期池水：＋＝注入
四周期池水：＋＝注入
五周期池水：＋＝注入．
时需注入水甲1时注入水量÷ (时)开甲时水开始溢出20+＝20 (时)水开始溢出水池．
评注：道题中求第次溢出周期均匀增加减少时增加时减少简单运周期性求解样会导致错误解答什出简单问题家解完道题会知晓．
口井深20米井底蜗牛蜗牛白天爬6米晚掉4米问蜗牛爬出井需少时间
14水池水四壁渗入时渗入该水池水固定．水池水满时开A8时水池排空开B10时水池排空开C12时水池排空．果开AB两4时水池排空开BC两水池排空需少时间
分析解 设水池容量1
A时排水量：+时渗入水量
B时排水量： +时渗入水量
C时排水量： +时渗入水量
AB两时排水量：+时渗入水量．
+时渗入水量++时渗入水量+时渗入水量 时渗入水量：－（＋）＝
ABC时排水量表示：
开BC两水池排空需
1÷（＋）1÷48（时）
第七讲 牛吃草问题
牛吃草问题普通工程问题基础工作总量工作时间均匀变化样增加难度．
牛吃草问题关键求出工作总量变化率
面出例牛吃草相关问题．
1 草场片均匀生长草供27头牛吃6周供23头牛吃9周供21头牛吃周(类问题牛顿先提出牛顿问题．)
分析解 27头牛吃6周相27×6162头牛吃1周时间吃原草加6周新长草
23头牛吃9周相23×9207头牛吃1周时间吃原草加9周新长草出20716245头牛吃963周新长草．45÷315头牛1周吃1周新长出草．相出15头牛专门吃新长出草．271512头牛6周吃完原草现21头牛减15头吃长出草21156头牛吃原草
需12×6÷612(周)2l头牛需吃12周．
评注：求出单位1面积草需少头年吃样问题化般工程问题．
般方法：
先求出变化草相少头牛吃：(甲牛头数×时间甲乙牛头数×时间乙)÷(时间甲时间乙)
进行运算：(甲牛头数变化草相头数)×时问甲÷(丙牛头数变化草相头数)时间丙．
者：(甲牛头数变化草相头数)×时间甲÷时间丙+变化草相头数丙需头数．
2．三块草面积分4公顷8公顷10公顷．草草样厚长样快．第块草供24头牛吃6周第二块草供36头牛吃12周．问：第三块草供50头牛吃周
分析解 知道24×6144头牛吃周吃2(2公顷+2公顷周长草)36×12432头牛吃周吃4(2公顷+2公顷12周长草)．144÷272头牛吃周吃2公顷+2公顷6周长草．432÷4108头牛吃周吃2公顷+2公顷12周长草．1087236头牛周吃2公顷12—66周长草．36÷6d头牛1周吃2公顷1周长草．
2公顷配6头牛专吃新长草正．4公顷配4÷2×612头牛专吃新长草241212头牛吃6周吃完4公顷1头牛吃6×1÷(4÷2)36周吃完2公顷．
10公顷需10÷2×630头牛专吃新长草剩503020头牛吃10公顷草36 ×(10÷2)÷209周．
50头牛需9周吃10公顷草．
3．图块正方形草分成完全相等四块中间阴影部分已知草处样速度均匀生长．牧民带着群牛先①号草吃草两天①号草草吃光．(2天草草正常生长)半牛②号草吃草半牛③号草吃草6天两草草吃光．然牧民牛放阴影部分草中吃草外号牛放④号草吃草结果发现时草场草吃完．果开始群牛整块草吃草吃完草需少时间？
分析解 群牛2天吃1块+1块2天新长群牛6天吃2块+2块2+68天新长3天吃1块+1块8天新长群牛1天吃1块1天新长
牛放阴影部分草中吃草外牛放④号草吃草时吃完
③2阴影部分面积整块需群牛吃新长草现需吃：天
开始群牛放整草需吃30天
4．现牛羊马吃块草草牛马吃需45天吃完马羊吃需60天吃完牛羊吃需90天吃完牛羊起吃草速度马吃草速度求马牛羊起吃需少时间
分析解 注意：
牛马45天吃 原+45天新长草① 牛马90天吃
2原+90天新长草⑤
马羊60天吃 原+60天新长草②
牛羊90天吃 原+90天新长草③
马 90天吃 原+90天新长草④
④⑤知牛吃90天吃原草结合③知羊吃90天吃90天新长草羊视专门吃新长草．
②知马60天吃完原草③知牛90天吃完原草．
现牛马羊放起吃羊吃新长草牛马起吃原草
需时间l÷36天
牛羊马起吃需36天．
5 三片牧场场草长样密长样快．面积分公顷10公顷24公顷．已知12头牛4星期吃完第片牧场草21头牛9星期吃完第二片牧场草少头牛18星期吃完第三片牧场草
分析解 三片牧场公顷数致计算带困难果均转化1公顷时情形．
表1中360927头牛吃4星期吃完l公顷原草18星期吃完1公顷原草需27÷(18÷4)06头牛加专门吃新长草O．9头牛需06+0915头牛18星期吃完1公顷牧场草．
需15×2436头牛18星期吃完第三片牧场草．
第三十七讲 分数巧算
1．1 分数数四混合运算
[步巩固演练]
163×（）___________
2 （
3 （全国学数学奥林匹克竞赛试题）001992÷0004×
4
5
6 （ ）中填适数等式成立：1－23×（+++）
7412×81+11×9
[力拓展台]
1 计算：341×99×038÷(019×311)
2 计算：
3 计算：1－
4 计算：（1+
5 计算：
6 计算：
7 果12+22+32+…+n2152+162+…+212少？
1．2 分数数列计算
[步巩固演练]
1
2
3
4
51
6
7（第三届华杯赛试题）
8（第二届希杯试题）
[力拓展台]
1 计算：
2 计算：1
3（全国学数学奥林匹克竞赛题）
4（第三届祖杯数学邀请赛试题）
1+
5（第八届希杯全数学邀请赛试题）
计算：（
6（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
式+…
+计算化简简分数求分母分子差
[全讲综合训练]
填空题
185×
2
3
4132
5（111+
6（26
7
8
二选择题
1果12+[□方框代表数（ ）
A9 B8 C10
2满足式n等（ ）
＞
A1949 B1998 C40
3 1－a等（ ）
A B7 C357
三解答题
1计算：
2 计算：1000×（1－
3 计算：（1+
4 化简：
5 计算：
6
7 计算：
89分数 1分子1中5余4数分母位数5请写出4分数
分数巧算参考答案
1．1 分数数四混合运算[步巩固演练]
1100 原式63×（） 99+49－48 100 2原式
3原式498× 42004原式2004
51原式1
6120126130132238+159+1410+1311+121－
++（ ）分填120126130132
75375原式 412×81+11×9+412×19+125×19 412×81+412×19+125×19+11×9
412×(81+19)+125×19+11×125+11×8412+125×(19+11)+88500+3755375
[力拓展台]
1186 原式 31×3×2186
2原式 3
41原式(1×1×1×1×1
518原式 22 6
72296原式 （12+22+…+212）－（12+22+…+142） 2296
12分数数列计算 [步巩固演练]
1 2原式 1－ 1－
3原式 （ 45210
6 原式
7 原式 8
[力拓展台]
11原式 （1－1 24851
3设a1+a－b1原式
41原式 1+ 2×（1－1
5 设 原式 （
6 1 原式 1－
1－ 1－分子分母差 1
[全讲综合训练]填空题
116原式 （86－1）×17－ 16 2 9原式 9
3 58原式 （119－1）× 58
4 1原式 （132+ (131+1+1
5 181设（111+a）÷a181
6 37原式[（ 37
7 1 8 原式 1－
二选择题1 B 2C 3A
三解答题
1 原式 1－
2 1原式 1000×1
3 50原式 50
4原式
5 原式 （ （
6原式
7 6原式 1 （1×6）+（1－ 6
8 1－（
求4分数分母位数5分母定含数5
6933×3×7×112317793数693约数317231+77+9
求4分数
第三十八讲 钟面问题
[类问题拷贝]
1（全国奥赛试题）
果时钟现表示时间18点整分针旋转1990圈____________点钟
2钟时标准时间慢1分中午12点调准午慢钟指6点时标准时间午__________时_____________分
3（成外国语学校招生试题）
钟面6时45分时针分针成角度______________度
4现11点整_________________分钟时针分针第次垂直
5（北京市第届学生迎新春数学竞赛初赛试题）
挂钟时敲次钟点钟敲钟敲65秒钟敲完钟敲12______________秒钟敲完
1 0时12时间钟面时针分针成600角______________次
7（全国奥赛试题）
钟表时慢2分钟早晨8点时钟表准标准时间中午钟表走12点整时候标准时间_________________
8特殊时钟钟昼夜10时时100分钟时钟显示5点钟时实际标准时间中午12点钟显示6点75分时实际午_____________点______________分
[力拓展台]
1（第届希杯全国数学邀请赛试题）
现4点5分少分钟分针时针次重合？
2观察镜面反射钟面指针位置说出：
（1） 两钟面表示实际时刻
（2） 两钟面时间差
3（海市第五届学数学六年级初赛试题）
7点少分时候分针落时针1000？
4钟楼钟秒针长1米根秒针尖端昼夜走少米？（π314）
5（第届华杯赛初赛试题）
科学家进行项实验隔五时做次记录做第十二次记录时挂钟时针恰指9做第次记录时时针指？
[全讲综合训练]
1 现中午12时（ ）分分针时针第次重合
2 李星期天午9点10点间开始做作业时钟面时针分针恰成直线作业做完时发现时针分针刚重合李做作业_______________分钟
3 杨静新买手表家里挂钟时快30秒家里挂钟时标准时间慢30秒杨静手表快慢？昼夜差少秒？
4 明晚9时整手表准早晨8时校时迟10分钟明手表时慢分钟？
5 天快5分钟钟现时间准钟次显示准确时间需少天？
6（第四届华杯赛初赛试题）
时钟时慢25秒年3月21日中午12点指示正确请问：时钟次指示正确时间月日点钟？
7（江西省第二届八杯学数学竞赛决赛试题）
甲乙两时钟准确甲钟走24时恰快1分钟乙钟走24时恰慢1分钟假定天午三点钟时候甲乙两钟调指准确时间停走问次两钟样指三点时隔少天？
8（北京市第14届学生迎春杯训练题）
图钟表表示现时刻继续前走10时25分时候（ ）时（ ）分
9（学生数学报第九届数学竞赛试题）
张奶奶家闹钟时快2分钟昨晚9时闹钟北京时间准时钟拨天早晨6时闹铃张奶奶听闹铃声响时北京时间天早晨6时提前少时？
10 老王家挂墙挂钟天挂钟忘发条停集市购买日品出门前先紧挂钟发条时时间午635（时间准）途中电信局电信局时钟午900（标准时间）集市采购完原路电信局电信局时钟指午1000回家里墙挂钟指午1035果集市回路时间相时标准时间少？
11（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
明爸爸高山工作里气温白天夜晚相差手表受气温影响走正常白天快分钟夜里慢分钟10月1日准时间问：天手表正快5分钟？
12快钟时标准时间快10秒慢钟时标准时间慢20秒两钟时调标准时间结果24时快钟显示7点整时慢钟恰显示6点50分时标准时间少？
13（北京市第二届迎春杯数学竞赛决赛初试题）
天课间休息时明墙挂钟时间9点发现时针分针正处关铅垂线称位置请问：时点分？（精确值）
14实验室里特钟圈20格7分钟指针跳次跳次跳9格天早晨8点整指针恰0跳9昨天晚8点整时候指针指着？
15（北京市第七届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
8时9时间钟表长针短针直线时8时少分？
16早晨晓龙镜中表指针6点20分赶快起床出跑步跑步回妈妈告诉刚6点20分问晓龙起床时实际什时刻？
17（第九届华杯赛试题）
9点10点间某时刻5分钟前分针位置5分钟时针位置相问：时刻9点分？
钟面问题参考答案
[类问题拷贝]
1 午4点
分钟转圈时针走1字（1时）分钟走12圈时针走回原位置
1990÷12165……10圈
说明时针分针回原位置分针走10圈（10时）18+10－244（时）午4时
2 6时分
慢钟时标准时间慢1分说标准钟走60分慢钟走59分
慢钟速度：标准钟速度5960
慢钟走时间：标准钟走时间59：60
设标准时间x时
x
x
36750
410分钟
11点整时针分针夹角300时针分针第次垂直需（90－30）÷（6－05）60÷5510(分钟)
511秒
6 22次
012时时针转1圈分针转12圈分针追时针11圈追1次时针分针2次成60度角11×222（次）
7 12时8分
标准时间1时钟表走58分钟早晨8点中午12点钟表4时240分钟时标准时间：
240÷58×60248分钟4时8分钟时12时8分
8 4点12分
特殊钟10时相标准钟24时特殊钟1时标准钟24时特殊钟5点6点75分175时相标准钟175×2442(时)4时12分钟标准时间午4点12分
[力拓展台]
1 16分钟
先4点开始少分钟分针时针第次重合
20÷（1－）
20÷
21
说4点开始21分钟时针分针第次重合
21（分钟 ）
2（1）7时55分5时40分
（2）2时15分
3 7点20分
445216米
昼夜24时24×60（分钟）1440（分钟）秒针昼夜旋转1440圈秒针昼夜走1×314×144045216(米)
52时
第次记录第十二次记录相隔11次
5×1155（时）
时针转圈12时
55÷124……7
9－72（时）
[全讲综合训练]
1 65分
2 32分
3 慢6秒
4分
5144天
钟快12时时次显示准确时间
66月1日中午12点钟
2 720天
先求出甲钟标准钟转圈需天数标准时钟乙钟走圈需天数然求二者公倍数
60×12÷（61－60）720（天） 60×12÷（61－59）720（天）
次甲乙两钟样指三点时隔720天
3 7时50分
9时
1011时30分
老王家电信局时间：
[（10：35－6：35）－（10：00－9：00）]÷215（时）
回家里标准时间10点加1时30分时11点30分
11 10月28日
手表整天快
加白天正快5分钟10月28日手表正快5分钟
12 6点56分40秒
快钟慢钟标准时间1时相差10+2030（秒）快钟慢钟相差10分钟合600秒时快钟600÷3020（时）快钟20时标准时间快10×20200（秒）合3分钟20秒时标准时间6点56分40秒
13 9点13分
∠AOB∠COD9点开始时针分针转距离15格
设分针走速1时针走速9点开始时针分针走图示位置时需
15÷（1+）
15×
13（分）
14 2
昨天晚8点天早晨8点60×12720（分钟）钟跳720÷7102（次）……6（分）跳9×102918（格）918÷2045（周）……18（格）20－182（格）昨天晚8点整指着2
15 10
直线表示两种情况：长针短针指方相相反两种情况长针分短针走40格10格
设长针速度1短针速度
40÷（1－）
43
10÷（1－）10（分）
16 5点40分
造成晓龙妈妈钟面时刻原：晓龙反射镜面钟面时钟分针镜面反射位置改变反射前钟面左右位置互换说表盘右边刻度指针反射变左边相反表盘左边刻度指针镜面反射变右边图分镜面反射未镜面反射两钟面晓龙起床镜面反射钟面长针指4位置短针指6左侧图（甲）实际长针指8位置短针应指6右侧（图（乙））晓龙起床时实际时间5点40分
（甲） （乙）
179点55分
第三十九讲 方程组
[步巩固演练]
1解列方程组
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2甲乙两存款2000元甲存入100元乙取出款数时甲存款数乙2倍现两存款___________元
3（爱数学少年夏令营竞赛试题）
甲乙两班图书室303书乙知甲班图书乙班图书合起95甲班图书_____________
4（安徽省学竞赛试题）
商店里两种书包买书包4书包6需392元买书包7书包3需416元买书包9书包1需少元？
5图示3×3方格已填两数1999余空格中填适数行列两条角线三数相等x__________
x
19
99
[力拓展台]
1松鼠妈妈采松籽晴天天采20雨天天采12连天采112松籽均天采14问天中雨天晴天天？
2两爬虫甲乙A点时出发长方形ABCD边箭头方爬行商C点32厘米E点第次相遇离D点16厘米F点第二次相遇离A点16厘米G点第三次相遇长方形边AB长少厘米？
3甲乙两位学开学时学校储蓄存款50元甲学月存2元乙学月存35元半年甲学存款乙学存款9元问开学时两存款少元？
4（全国奥赛总决赛试题）
三角形ABC中DBC中点EAB点BEAB已知：四边形BDME面积35三角形ABC面积少：
5（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初寒试题）
学生问老师少岁老师说：时候刚3岁时候已39岁位老师年少岁？
[全讲综合训练]
1解列方程组
（1） （2）
（3） （4）
2甲乙两南北两镇出发相走3时走胜利桥相遇果南北两镇出发甲加快速度时走2千米乙提前05时出发结果胜利桥相遇果甲延迟05时出发乙减慢速度时少走2千米胜利桥相遇问：南北两镇相距少米？
3（四川德阳市第十届学数学邀请赛）
某承包项工程工天工资数（元单位）正工数相果减少3名工天付出工资总数变样工天工资增加39元求原工工资少？
4购买笔记3铅笔5支格尺1需610元购买笔记4铅笔7支格尺1需792元购买笔记铅笔格尺件需少元？
5甲乙二时A出发B达C甲先骑行车达B然步行乙先步行B然骑行车结果二时达C已知甲乙二步行速度分4千米时3千米时骑行车速度15千米时甲AC均速度少千米时？
6某车间三组甲组乙组3乙组丙组4甲组天乙组天少生产2工件乙组天丙组天少生产5工件知甲组天乙组生产9工件乙组丙组生产5工件问组少天生产少工件？
7（全国奥赛试题）
图正方形ABCD面积120方厘米EAB中点FBC中点四边形BGHF面积少方厘米？
8 甲乙公路坡路坡路没路辆汽车坡时时行驶20千米坡时时行驶35千米车甲开乙需9时乙甲需7时问甲乙两间公路少千米？甲乙须行驶少千米坡路？
9（全国奥赛试题）
正方形ABCD条环形公路已知汽车AB时速50千米BC时速60千米CD时速80千米DA时速40千米CD点P时反发出辆汽车AB中点相遇果PC中点M时反发出辆汽车AB点N相遇________
10右图ADBECF △ABC分成六三角形中四三角形面积已图标明试求△ABC面积（单位：方厘米）
11（2000年吉林省第六届学数学夏令营竞赛试题）
某中学30班级班数444546已知全校学生总数135244班级45班级2中学里44班级？45班级？46班级？
12 某校初甲乙丙三班甲班乙班4女学乙班丙班1女学果甲班第组调乙班乙班第组调丙班丙班第组调甲班三班女生数相等已知丙班第组2女学问甲乙两班第组女学少？
13(江苏省第二届学生探索应力竞赛试题)
冯老师天早做户外运动第天跑步2000米散步1000米24分钟第二天跑步3000米散步500米22分钟冯老师跑步时速度总样散步时速度总样求冯老师跑步速度
14图矩形ABCD中放入六形状相长方形标尺寸图示试求图中阴影部分总面积
15 水池AB两进水龙头出水龙头C果水池空时时AC开2时注满水池时开BC两龙头3时注满水池水满时先开C7时AB时开（C开着）1时水池注满单独开A时注满水池？
16明亮幢楼时出发骑车郊外王老师时达王老师家途中明休息时间亮骑车时间亮休息时间明骑车时间明亮骑车速度___________
方程组参考答案
[步巩固演练]
1 （1） （2） （3）
（4） （5） （6）
21800
设甲乙原分存款x元y元题意解
现两存款（900×）×（1+2）1800（元）
3143
设甲班x乙班y题意 解
4368
设书包x元书包y元
x+9y44+36×9368（元）
a
x
B
C
d
19
99
5图题意
①+②整理x179
[力拓展台]
1晴天2天雨天6天
设雨天x天晴天y天
解
264厘米
分析：假设长方形长x厘米宽y厘米甲乙第次相遇合行全程甲走路程x+y－32甲乙第二次相遇合行二全程甲走路程x+y+x16甲乙第三次相遇合行三全程甲走路程x+y+x+y+16根关系列出方程求出AB长
解：设长方形长x厘米宽y厘米根题意：
① ②
①式
y48 ③
②式
x+y112 ④
③代入④
x64
AB长64厘米
3甲：34元乙：16元
设甲存x元乙存元y
解
4150
连结BM设S△ABCxS△BEMaS△BDM35－a题意
解
527岁
分析 老师讲句话列成表：
生
师
年龄差常数
现年龄
Y
X
x－ya
a年前
y－a3
Y
a年
y+ax
x+a39
关键求出a问题解决
解 位老师年x岁老师学生年龄差a：学生年年龄x－aa年前学生年龄（x－a）－a3x－2a3①
a年老师年龄x+a39②
①②3a36a12
x39－1227（岁）
位老师年27岁
说明 题年龄问题两年龄常数老师说时候老师年龄减少二年龄差学生年龄变x－2a3点解决问题关键里设年龄差a帮助列出方程间接发设未知数种方法
[全讲综合训练]
1 （1） （2）
（3） （4）
272千米
题意中知：甲原速走3时达胜利桥甲时走2千米25时达胜利桥乙原速3时北镇达胜利桥时少走2千米需35时达求出甲乙两原速度
设甲原速度时走x千米
3x25(x+2)
x10
设乙原时走y千米
3y35(y－2)
y14
(10+14)×372(千米)
南北两镇相距72千米
313元
设原工天工资x元题意方程
x2（x－3）×（x+39）
x2x2+39x－3x－117
09x117
x13
4 246
① ②
解
3×①－2×②+笔+尺246(元)
5
设ABaBCb题意知甲乙二AC时间相等
甲AC均速度 (千米时)
6 181511131520工件
设丙组x甲组天生产y工件乙组x+4甲组（x+4）+3x+7乙组天生产y+2工件丙组天生产（y+2）+5y+7工件题意
组分181511天生产131520工件
7 14方厘米
连结BHBECDBGGD12S△BGH：S△DGH1：2FBC中点知S△BFHS△FHC设S△BGHxS△BHFy
解 x+y14
8 210 140
设甲乙坡路x千米坡路y千米题意：
① ②
（x+y）（）165解x+y210（千米）
y210－x代入①式（千米）
9
正方形边长作2设DPxPC长2－x利相遇问题时间相等列方程：
解x
PC长2－x
设ANy次利时间相等列方程：
解
AN：BNy：（2－y）：：73
10 315
设S△BOF xS△AOE y
S△BDO：S△CDO S△BDA：S△CDA40：30（40+84+x）：（30+35+y）整理4y－3x112 ①
S△CEO：S△AEOS△CEB：S△AEB 35：y（35+30+40）：（84+x+y）整理70y－35x2940 ②
①②解x56y70
S△ABC S△AFO+ S△AEO+ S△BFO+ S△BDO+ S△CEO+ SAEO
S△ABC84+70+56+40+30+35315（方厘米）
11 10128
设44班级x45班级（x－2）46班级y
x10y12x－28
12 甲组：5乙组：4
甲班5乙班4
设丙班n女学甲班第组x女学乙班第组y女学乙班原n+1女学甲班原n+5女学题意列出方程
（n+5）－x+2（n+1）－y+xn－2+y
7－x1－y+xy－2
甲班第组5女学乙班第组4女学
13200米 设冯老师跑步散步分钟分行x米y米列方程组
解 x200
冯老师跑步分钟行200米
14 44方厘米
设长方形长x宽y
题意
解 x8 Y2
AD6+2y6+2×210矩形 ABCD面积14×10140（厘米）
阴影部分总面积140－6×2×844（方厘米）
15设单独开AB龙头（C龙头）分xy（z）时注满水池（放池水）题意
① ② ③
④
联立①②③解联立①②④
单独开C龙头放完池水需时间少7时（事实）时单独开A龙头时注满水池单独开C龙头放完池水需时间少7时（事实6时）单独开A龙头时注满池
16
设明休息时间x时亮休息时间y时明亮骑车速度分乙1千米时r2千米时题意 ① ②
① 2x3y y代入② 4×
第四十讲 定方程
[步巩固演练]
1118分成两然数ABA11倍数B17倍数
A__________________ B__________________
2求列定方程然数解
（1）3x－2y20 （2）4x+5y98
3甲乙两种卡车甲车次装煤6吨乙车次装煤8吨现煤130吨求次运完辆卡车满载问需甲乙两种卡车少辆？
4（北京市第三届学生迎春杯数学竞赛决赛试题）
甲级铅笔7分钱支乙级铅笔3分钱支问张明6角钱恰买两种铅笔少支？
5（全国奥赛决赛试题）
干学生搬堆砖搬K块剩20块未搬完搬9块名学生搬6块学生少？
6（第九届学生数学报数学竞赛初赛试题）
马富甲公司工月乙公司兼职甲公司月付薪金470元乙公司月付薪金350元年终马富两家公司获薪金7620元问甲公司找工少月？乙公司兼职少月？
[力拓展台]
1定方程2x+3y+7z23然数________
2（第五届学生数学报数学竞赛决赛试题）
1米长优质铜锯成长38毫米长90毫米两种规格铜锯次损耗1毫米铜锯38毫米铜90毫米铜少段时损耗铜少？
3明5天时间完200页事书已知第二天页数第天第三天页数第二两天页数第四天页数第二三两天页数第五天页数第三四两天页数明第五天少______页
4两然数111991商正等1问少种？
5三部动换币机中第部总枚硬币换成2枚硬币第二部总枚硬币换成4枚硬币第三部总枚硬币换成10枚硬币某进行12次换币便枚硬币换成81枚试问第部换币机换次第三部换币机换次？
6（2004年全国奥赛 决赛试题）
某商店甲乙丙三种商品单价分2元3元5元某买走三种商品种干件付20元发现中件商品买退两件种商品营业员10元张民币没零钱退两种商品购买数量予调整总价保持变时购三种物品中乙 种商品件数少？
[全讲综合训练]
1MN表示两然数：11M+17N146M_________N____________
2客车42座位客车25座位现310位客位客座位没空座位需客车少辆？
3甲乙两搬砖甲搬砖数16倍数乙搬砖数21倍数两搬砖270块甲乙两搬砖相差少块？
4现3米长5米长钢6根安装31米长道问：样接料省？
5全家喝满杯咖啡加牛奶李明喝全部牛奶（干杯）全部咖啡（全部咖啡）全家口？
6已知1999×△+4×□9991中△□然数□代表数少？
7箱子里乒乓球干中25级品五分二级品余91三级品箱子里乒乓球少？
8某班学分成干组植树组植树n棵n质数剩树苗20棵组植树9棵缺少2棵树苗班学分成组？
9学生1991年年龄正等出生年年份位数字问学生2005年少岁？
10三位数19商等三位数位数码种三位数少？
11三位数17商等三位数字求三位数
12盒中蟋蟀蜘蛛干46脚求蜘蛛蟋蟀？
13已知四位数完全方数前两位数字相两位数字相求四位数
14（江苏吴江市学数学竞赛试题）
三车苹果甲车乙车4箱乙车丙车4箱甲车乙车箱少3苹果乙车丙车箱少5苹果甲车乙车总3苹果乙车丙车5苹果三车苹果少？
15（北京市第十二届迎春杯学数学竞赛决赛试题）
明70元钱买甲乙丙丁四种书10册已知甲乙丙丁四种书价格分3元5元7元11元种书少买种购买方法？
16年祖父年龄明6倍年祖父年龄明5倍年祖父年龄明4倍求：祖父年少岁？
17甲乙丙种货物购甲3件乙7件丙1件需315元购甲4件乙10件丙1件需420元现购甲乙丙件需少元？
18圆圈十孔（100）图明玩跳棋样A出发着逆时针方隔孔跳步希圈跳回A孔先试着隔2孔跳步结果跳B孔试着隔4孔跳步跳B孔隔6孔跳步正跳回A孔问：圆圈少孔？
19（希杯全国数学邀请赛试题）
布袋中装红黄蓝三种颜色相木球红球标数字1黄球标数字2蓝球标数字3明布袋中摸出10球面标数字等21问明摸出球中红球超少？
20（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）
某乡水电站发电电费规定：果月电超24度度9分钱收费果超24度超出部分度2角收费已知某月中甲家乙家交电费9角6分钱（电整度计算）问甲乙两家交少电费？
21（韩国汉城国际学数学奥林匹克竞赛试题）
哲洙爸爸买50张圣诞节卡片先甲文具店买张500元钱卡片剩卡片乙文具店买乙文具店张卡片价格百元单位2000元哲洙买50张卡片花30400元请写出乙文具店买卡片数量情况
22（全国奥赛总决赛试题）
新世纪学校学生总数三位数均班36统计员提供学生总数实际总数少180原纪录时粗心三位数百位十位数字调学校学生总数少？
23（2000年福建福州市迎春杯学数学竞赛试题）
面18堆石子堆100石子意挑选 17堆堆中取石子放剩堆里称次操作次操作时意挑选17堆堆取石子放剩堆里40次操作发现堆石子数70堆石子数170190间堆石子数确切数字少？请简说出理
24（第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题）
甲乙丙三班希工程捐赠图书已知甲班1捐6册2捐7册余捐11册乙班1捐6册3捐8册余捐10册丙班2捐4册6捐7册余捐9册已知甲班捐书总数乙班28册乙班丙班捐9册班捐书总数400册550册间问甲乙丙三班少？
25（2000年全国学数学奥林匹克竞赛预赛试题）
某区电收费标准规定：月户电超10度部分度045元收费超10度超20度部分度080元收费超20度部分度150元收费某月甲户乙户交电费710元乙户丙户交375元甲乙丙三户交电费少元（电度数收费）？
定方程参考答案
[步巩固演练]
1 3385
题意设A11a B17b：11a+17b118
a
试验a3b5A11a33B17b85
2答案：
（1） 等
（2）5组
3种情况：
设甲乙两种车分需x辆y辆
6x+8y130
符合题意解：
416支12支
设张明买甲级铅笔x支乙级铅笔y支根题意列方程
7x+3y60
360均3整7x定3整
x3时y13时3+1316
x6时y6时6+612
x等9时满足方程
张明6角钱恰买两种铅笔16支12支
523
设学生x题意列方程：
kx+209×（x－1）+6
kx+209x－3
x×（9－k）23
23质数9－k≤9x必然等2323搬砖
611月7月
设马富甲公司工x月乙公司兼职y月里x＞yxy12然数根题意列方程：
470x+350y7620
47x+35y762
35y末位数字定5047x末位数字72x1116
x16时y没然数解符合题意
x11时y7
马富甲公司工11月乙公司兼职7月
[力拓展台]
1答案
解：显然z取123
z1时2x+3y16然数解x2y4x5y2
z2时2x+3y9然数解x3y1
z3时2x+3y2显然然数解
原方程然数解
27段8段．
损耗少应锯90毫米长铜必须符合：（1）两种铜（2）两种铜长度加损耗部分长度应等1米
设38毫米90毫米铜分锯x段y段根题意列方程：
38x+90y+（x+y－1）1000
39x+91y1001
39911001公数13方程两边13
3x+7y77
y
y11－
损耗少应锯90毫米长铜说xxy均然数
x7y8
锯38毫米铜7段90毫米铜8段时损耗铜少
注：列出方程选简便算法题先10013991分解质数约分然yx表示利y然数x必须7整求解
3 84页
设明第天a页第二天b页前五天页数次：
aba+ba+2b2a+3d
面数200
5a+7b200
5a2005倍数b5倍数b＞a式两组解：
b20a12b25a5
两组解分代入2a+3b第五天少84页
410种
设两正整数ab题意：化简 181a+b1991b应181倍数设b181b1181a+181b11991a+b111ab1正整数10组解均满足题意10种
58次
设第部第二部第三部换币机分换xyZ次硬币x+y+Z12方面第部机器换次硬币增加枚相应外两部机器换次硬币分增加3枚9枚：x+3y+9Z80解：xy2Z8
6 1件
设购买甲乙丙三种商品件数分a件b件c件题意：
2a+3b+5c20
退两件商品价钱10元退回商品单价5退回甲种乙种商品C＜3（c3ab1退回必须丙种商品）
试验满足 2a+3b+5c20正整数解三组：
结合题意知原三种商品分买3件3件1件现购买三种商品件数分：
6件1件1件
[全讲综合训练]
144102
设数11x数17y题意：
11x+17y146x xy必须然数解x4y6符合题意两整数44102
25辆4辆
设需客车x辆客车y辆
：42x+25y310整理：y 解x5y4
318块
设甲搬砖16x块乙搬砖21y块：16x+21y270解然数解：x9y6甲搬砖16×9144（块）乙搬砖21×6126（块）甲乙搬144－12618（块）
42米5米
设3米长x根5米长y根根题意：3x+5y31xy2时x7＞6符合题意舍y5时x2符合题意
5 5
设全家喝x杯牛奶y杯咖啡喝2+35（杯）全家5口
61998
△4奇数需检验△13两种情况
7260
设 箱子里n乒乓球二级品占题意
n×25+n+91n
整理 n（15－4a）20×91 ①
易知 15－4a＞0a≤3
a123代入①知a2符合求时 n260（）
811
933岁
设出生年：1991－9+x+y91－（10x+y）10+x+y11x+2y81
解：x7y2学出生1972年2005年年龄2005－197233（岁）
1011
设三位数abc均0~9整数a≠0：19（a+b+c）100a+10b+c：81a9b+18c9ab+2cb0123……9分10种情况讨方程11解11解组成11三位数：114133152171190209228247266285399
11153
设三位数abc均0~9整数a≠017（a+b+c）100a+10b+c化简：83a7b+16ca1b5c3题唯解求三位数153
12：
设蟋蟀x蜘蛛y：6x+8y46 3x+4y23解：
137744
设四位数前两相数字x两相数字y四位数然数n方1000x+100x+10y+y n2 11×（100x+y） n2知n中11数四位数应两数11100x+y中应数11100x+y99x+（x+y）知x+y应11倍数（x+y11）求数：11×（99x+11）121×（9x+1）完全方数（9x+1）应完全方数x7时9x+164完全方数x7x+y11y4求数7744
14：
设乙车x箱苹果甲车（x+4）箱丙车（x－4）箱苹果乙车箱y苹果甲车箱（y－3）丙车箱（y+5）苹果
化简
①+②2x30x15
x15代入①y15
x+419y－312
x－411y+520
答：甲车运19箱箱12乙车运15箱箱15丙车运11箱箱20
15：
设买甲种书a乙种书b丙种书c丁种书d
① ②
① －②×3
2b+4c+8d40
b+2c+4d20 ③
③出d＜
d4时c1b2a3
d3时c2b4a1c3b2a2
d2时c5b2a1
d1时解
四种购买方法：
甲
乙
丙
丁
3
2
1
4
1
4
2
3
2
2
3
3
1
2
5
2
4种购买方法
1672岁
设年明x岁年祖父6x岁y年祖父年龄明5倍：
5（x+y）6x+y
设z年祖父年龄明4倍：
4（x+y+z）6x+y+z
方程组：
① ②
③ ④
化简：
（3）y代入（4）
2x3×+3z
z
年数取然数x取122436……
年祖父年龄6x岁x12时6x72x24时6x144更更x12时6x72
17105元
设购甲乙丙件需x 元y元z元根题意列方程组
① ②
（1）×3－（2）×2
x+y+z315×3－420×2105
现购甲乙丙件需105元
1891
隔246孔跳步实际分跳357孔步跳35孔跳B孔总孔数35分余135公倍数15 总孔 数15余1步跳7孔正回A孔总孔数7整
设求总孔数15x+1总孔数7商y方程
15x+17y
y
步数然数 y＜100x6时y2×6总孔数15×6+191（7×1391）满足题意
圆圈91孔
194
设蓝球x黄球y红球（10－x－y）根题意列方程：
3x+2y+（10－x－y）21
2x+y11
x取12345y分取97531应（10－x－y）值01234
红球数超4
20276元18元
两家没超24度超24度甲家交电费应该分920倍数96920倍数设甲家电x度乙家电y度里x24y240根题意列方程：
24×9+20（x－24）9y+96
20x360+9y
20x36020整y20倍数y取200求x2718
18＜24符合题意舍
乙家交电费：20×9180（分）18(元)
甲家交电费：180+96276（分）276(元)
21设哲洙乙文具店买x张卡片张价格y×100元花钱总数列方程
500×（50－x）+100y×x30400
25000－500x+100xy30400
100xy－500x5400
x（y－5）54
式出x（y－5）54约数x＜50xy关系表：
X
1
2
3
6
9
18
27
y－5
54
27
18
9
6
3
2
乙文具店张卡片价格2000元推知y2000÷10020y－5＜15时x取值691827
哲洙乙文具店买卡片数量买691827张
22972
设学校学生总数100a+10b+c－（100b+10a+c）180a－b2学校数总数20□31□42□53□64□75□86□97□知学生总数36倍数直接36想数49倍数出648756864972
972
23178
堆石子数70减少100－7030石子果17堆石子放入堆操作少操作100+17－7047次40次矛盾堆石子次出1石子操作30次
堆石子数170~190间设30次操作中n 次17堆石子放入堆中（30－n）次堆出石子出（30－n）石子堆石子数100－（30－n）+17n70+18n170≤70+18n≤190n6时70+18n178堆石子178
24515349
设甲班a乙班b丙班c甲班捐书6+7×2+11（a－3）11a－13
乙班捐书6+8×3+10（b－4）10b－10
丙班捐书4×2+7×6+9（c－8）9c－22
甲班乙班28乙班丙班101
10b－10101+9c－22代入（1）11a－13－（101+9c－22）28
化简10b－9c120400＜11a－13＜550
400＜10b－10＜550400＜9c－22＜550
解 a51b53c49
252405元
设乙电x度丙电y度中x＞10y＜10
045×(10－y)+08×(x－10)375
45－045y+08x－8375
08x－045y725
80x－45y725
16x－9y145
解 x13y7
乙户电13度丙户电7度
丙交电费：045×7315(元)
乙交电费：315+375690(元)
甲交电费：690+7101400(元)
三户交电费：
315+690+14002405(元)
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第讲 循环数分数
第二讲 差倍分问题
第三讲 行程问题
第五讲 质数合数
第六讲 工程问题
第七讲 牛吃草问题
第八讲 包含排
第九讲 整数拆分
第十讲 逻辑推理
第十讲 通分裂项
第十二讲 综合
第十三讲 植树问题
第十五讲 余数问题
第十六讲 直线面积
第十七讲 圆扇形
第十八讲 数列数表综合
第十九讲 数字迷综合
第二十讲 计数综合
第二十讲 行程工程
第二十二讲 复杂工程问题
第二十三讲 运例求解行程问题
第二十四讲 应题综合
第二十五讲 数综合2
第二十六讲 进位制问题
第二十七讲 取整问题
第二十八讲 数综合3
第二十九讲 数综合4
第三十讲 综合2
第三十讲 图形变换
第三十二讲 勾股定理
第三十三讲 计数综合
第三十四讲 值问题
第三十五讲 构造证1
第三十六讲 构造证2
第三十七讲 分数巧算
第三十八讲 钟面问题
第三十九讲 方程组
第四十讲 定方程
第讲 循环数分数
循环数分数互化循环数间简单加减运算涉循环数分数利运算定律进行简算问题．
1．真分数化数果数点第位数字开始连续干数字1992少
分析解 0 0000 0 ．
真分数化数数点第位开始连续六数字1+4+2+8+5+727
1992÷2773……212721662+406．
评注：特殊性循环节中数字变序变开始循环数变化．
2．某学生数时误成123积正确结果减少03．正确结果该少
分析解 题意： 12303：03：．解 90× 901×90× 90111．
3．计算：结果保留三位数．
分析解 方法：
≈01111+01250+03333+01666
07359
≈0736
方法二：
≈0736
4．计算：
分析解 方法：
24
方法二：
()
21+×(1+2+3+4+8+9)
21+×27
21+03
24
方法三：式
0011111…
0122222．．．
0233333．．．
0344444．．．(1+2+3+4+8+927)
0788888．．．
+ 0899999．．．
2399997．．．
注意百万分位7没进位造成实际情况应该2399999…24．
评注：1 ．
5．循环数相取似值求保留百位数该似值位数少
分析解 ×
循环节6位100÷616……4第100位数循环节中第4位8第10l位5．样四舍五入第100位9．
6 列分数约成简分数：
分析解 找规律： …
评注：类似问题．
7 列算式计算结果写成带分数：
分析解×595958
8．计算7÷÷1
分析解 7÷÷1
5
9．计算：
分析解原式
10．计算：
分析解 原式
9+5545
10
11．计算 412×81+11×+537×019
分析解 原式412×081+11×925+019×(412+125)
412×(081+019)+11×925+019×125
412+11×8+11×125+19×125
412+88+125×30
500+375
5375
12．计算：
分析解原式
13．计算
分析解 原式
14 (1)已知等式0126×79+12×□6÷251008口代表数少
(2)设题答案．算式（199381+)×○○填入适位然数积位数字达值．问○填数字少
分析解 (1)设口代表数0126×79+126÷251008解：003口代表数003．
(2)设○填数字(199381+O03)×199384×8时199384×199384
×81505094○填数字8．
15．求述算式计算结果整数部分：
分析解原式
≈1925+1283+77+55+35+296
5174
原式整数部分517．
第二讲 差倍分问题
种具差倍分关系综合应题重点包含分数问题．基解题方法已知条件恰形式写出变形结合起进行较求出相关量中注意单位1恰选取．
1．甲乙两数果甲数数点左移两位乙数甲数乙数少倍
分析解 甲数数点左移动两位甲数缩原设时甲数1乙数1×88原甲数l×100100甲数乙数100÷8125倍．
2 三堆棋子堆棋子数样黑白两色棋子．已知第堆里黑子第二堆里白子样第三堆里黑子占全部黑子．果三堆棋子集中起白子占全部棋子分
分析解 表示：
设全部黑子5份第三堆里黑子2份剩黑子占523份第堆里黑子第二堆里白子样第堆黑子第二堆白子调换第二堆全部黑子．
第二堆棋子总数3份三堆棋子总数3×39份中黑子占5份白子占剩954份白子占全部棋子4÷9．
3．甲乙两厂完成批机床生产务已知甲厂乙厂少生产8台机床甲厂生产量乙厂甲乙两厂生产机床少台
分析解 甲厂生产乙厂甲厂12份乙厂13份甲厂乙厂少1份8台．总8×(12+13)200台．
4．足球赛门票15元张降价观众增加半收入增加五分张门票降价少元
分析解设原数1现1+0515．
原收入l×1515降价收15×(1+)18元降价门票18÷1512元张门票降价15123元．
5．李刚军属王奶奶运蜂窝煤第次运全部第二次运50块．时已运恰没运．问少块蜂窝煤没运
分析解 已运没运运5份没运7份运占总数．50÷()1200块剩1200×700块．
6．两条纸带条长21厘米条长13厘米两条纸带剪样长段发现短纸带剩长度长纸带剩长度．问剪段长少厘米
分析解方法：开始时两条纸带长度差21－138厘米．
两条纸带剪样长度两条纸带前长度差变．
设剪短纸带长度8份长纸带13份差1385份份8÷51．6(厘米)．
剪短纸带长16×8128(厘米)剪13128O2(厘米)．
方法二：设剪厘米
交叉相：13×(13)8×(21)解02
剪段长02厘米．
7．挖通300米长隧道甲乙两施工队分隧道两端时相施工．第天甲乙两队掘进10米第二天起甲队天工作效率总前天2倍乙队天工作效率总前天l倍．两队挖通条隧道需少天
分析解 表示：
天数
工作量
1
2
3
4
5
甲
10
20
40
80
160
乙
10
15
225
3375
50625
天工作量
20
35
625
11375
210625
已完成工作量
20
55
1175
23125
441375
说明第五天没全天干活第四天干完剩：300231256875米
时间4+6875÷2106254天．
8．块菜块麦．菜半麦三分放起13公顷．麦半菜三分放起12公顷．菜少公顷
分析解表示：
菜
麦
13公顷
菜3
麦2
78公顷
菜2
麦3
72公顷
菜
麦
12公顷
5倍菜公顷数+5倍麦公顷数78+72150菜麦150÷530(公顷)．
菜减麦78726(公顷)菜(30+6)÷218(公顷)．
9．春风学原计划栽种杨树柳树槐树1500棵．植树开始栽种杨树总数30棵柳树时运15棵槐树时剩3种树棵数恰相等．问原计划栽植三种树少棵
分析解杨树分5份样份单位：
杨树5份柳树2份+30棵槐树2份15棵
份(150030+15)÷(2+2+5)165棵
：杨树5×165825棵柳树165×2+30360棵槐树165×215315棵．
10 师徒二加工170零件师傅加工零件数徒弟加工零件数10．徒弟加工少零件
分析解 师表示师傅加工零件数徒表示徒弟加工零件数：
师 徒＝104师 3徒1204师+4徒170×4680．
7徒680120560徒80徒弟加工80零件．
11 批工甲乙两工进行清理工作甲工工作量乙工工作量1倍．午甲工数乙工数3倍午批工中甲工乙工．傍晚时甲工工作已做完乙工工作需4名工做1天．批工少名
分析解设甲工工作量15乙工工作量1．
甲
乙
午
午
1
甲工整天均批工乙工整天均批工1．
批工完成15工作量批工完成15÷2075工作量乙工剩1075025工作量025工作量需4工作1天．
甲乙工工作量15+125需25÷025× 440工作1天．
原批工40436．
12．分数果分子加1分数等果分母加1分数等．问原分数少
分析解 果分子加1分数设时分数：原分数分母加1：交叉相：3(1)2+1解4原分数．
13．图21某市园林规划图中草占正方形竹林占圆形正方形圆形公部分水池．已知竹林面积草面积450方米．问水池面积少方米
分析解 水池正方形圆正方形水池4倍圆水池7倍相差743倍差450方米水池450÷3150方米．
14．唐僧师徒四吃许馒头唐僧猪八戒吃总数唐僧沙僧吃总数唐僧孙悟空吃总数．唐僧吃总数分
分析解 唐+猪唐+沙唐+孙．(两边时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙2唐+(唐+猪+沙+孙)2唐+1++1．：2唐唐．
唐僧吃总数．
15．李张时开始制作种零件分钟制作1零件李制作3零件休息1分钟张制作4零件休息15分钟．现完成制作300零件务需少分钟
分析解方法：先估算出致需时间然进行调整．
李张工作效率致相等完成时李完成300÷2150零件左右
李完成150零件需150÷3×4200分钟
200分钟左右198分钟55整数倍时乙生产198÷55×4144零件刚休息完2分钟200分钟时完成144+2146零件
200分钟时李张生产150+146296零件剩4零件未完成需2分钟李生产2零件张生产2零件正完成．
需202分钟完成．
方法二：休息时间包括进李4分钟做3张55分钟做4．
44分钟李做：44÷4×333张做：44÷55×432做：33+3265．
300÷654……40做444分钟：44×4176分钟剩40零件没做完．
224+4+4+4+4+255×422分钟李做：3+3+3+3+3+217张做：4×216剩：40171674分钟李做3张做4做4+3740零件需26分钟．
时间：44×4+26202分钟．
第三讲 行程问题（1）
涉分数行程问题水速度逆水速度流速关系相关问题环形道路行程问题解题时注意发挥图示辅助作时宜恰选择运动程中关键点分段加考虑．
1王师傅驾车甲开乙交货果返时60千米速度行驶正时返回甲达乙时发现甲乙速度时55千米果想时返回甲应速度回开
分析解 设甲乙路程单位1时返次需时间现甲乙花费时间1÷55＝千米乙返回甲时需时间
果想时返回甲应时66千米速度回开．
2 甲乙两相距100千米张先骑摩托车甲出发1时李驾驶汽车甲出发两时达乙摩托车开始速度时50千米中途减速时40千米汽车速度时80千米汽车途中停驶1O分钟张驾驶摩托车减速出发少时
分析解 汽车甲乙行驶时问100÷80125时1时15分钟加中途停驶10分钟时1时25分钟．
张先李1时出发时达张甲乙2时25分钟2时．
出两种解法：
方法设张驾驶摩托车减速出发时50×+40×解
张驾驶摩托车减速出发时
方法二果全程时50千米速度行驶需100÷502时时间全程时40千米速度行驶需100÷4025时
鸡兔笼思想知张时50千米速度行驶路程行驶100千米路程距出发时
3 位少年短跑选手风跑90米10秒钟样风速逆风跑70米10秒钟问风时候跑100米少秒
分析解 知道风速度风速度+风速逆风速度风速度风速
风时速度90÷109米秒逆风速度70÷107米秒．
风速度米秒
风时候跑100米需100÷8125秒
4 条河流AB C三镇AB两镇间汽船汽船静水中速度时11千米BC两镇间木船摆渡木船静水中速度时35千米已知AC两镇水路相距50千米水流速度时15千米某A镇船流B镇吃午饭1时接着木船流C镇8时AB两镇间距离少千米
分析解 画出示意图
AB段水速度11+15125千米时
BC段水速度35+155千米时．
AC全程行驶时间817时．
设AB长千米解25．
AB两镇间距离25千米
5条河AB两港口水A流B水流速度时4千米甲乙两船时AB行驶停AB间返航行甲船静水中速度时28千米乙船静水中速度时20千米已知两船第二次迎面相遇点甲船第二次追乙船(算甲乙A处时开始出发次)点相距40千米求AB两港口间距离
分析解 设AB两路程单位1：
甲乙两AB返航行均A点时出发第次相遇时甲乙两路程差2
甲乙两AB返航行均A点时出发第次相相遇时甲乙两路程2
甲乙两AB返航行分AB两点相出发第次相遇时甲乙两路程差(21)
甲乙两AB返航行分AB两点相出发第次相相遇时甲乙两路程(21)．
甲船水速度32千米时逆水速度24千米时
乙船水速度24千米时逆水速度16千米时
两船第二次迎面相遇时路程4甲船第二次追乙船时路程差4
()第二次迎面相遇时定甲走2～3AB长度乙走2～1AB长度设甲走2＋AB长度乙走2AB长度
＝解第二次迎面相遇点距A点AB距离
(二)①第二次甲追乙时甲行走(整数≤1)AB长度乙行走AB长度
＝化简显然法满足整数≤1
②第二次甲追乙时甲行走(y整数≤1)AB长度乙行走AB长度
＝化简
第二次甲追乙时点距B点AB距离距AAB距离．
题中两次相遇点距离(AB40千米AB全长240千米
6甲乙两船分条河AB两时相行甲流乙逆流相遇时甲乙两船行相等航程相遇继续前进甲达B乙达A立原路线返航两船第二次相遇时甲船乙船少行1000米果第次相遇第二次相遇时间相隔1时20分河水流速时少千米
分析解 甲乙第次相遇时行驶路程相等甲乙时刻达BA两接着两船分BA两AB中间行驶第二次相遇前始终船逆流船流速度始终等静水中速度
甲静水速度+水速乙静水速度－水速
开始甲第次达B乙第次达A前两船河流中速度相等甲船乙船少行驶1000米甲乙返航时产生．
甲乙返航时甲河流中行驶速度甲静水速度水速乙河流中速度乙静水速度+水速速度差4倍水速．
第次相遇第二次相遇两船行驶2AB路程返航第二次相遇两船行驶AB路程需时间80÷240分钟．
4倍水速水速375米时0375千米时．
河水流速时0375千米．
7甲乙二骑行车环形公路点时出发背行现已知甲走圈时间70分钟果出发45分钟甲乙二相遇乙走圈时间少分钟
分析解 甲行走45分钟行走70－4525分钟走完圈甲行走45分钟乙行走45分钟走完圈甲行走25分钟路程相乙行走45分钟路程．
甲行走圈需70分钟乙需70÷25×45126分钟．
乙走圈时间126分钟．
8图31甲乙两分圆形场直径两端点时开始匀速相反方绕圆形路线运动乙走100米第次相遇甲走完周前60米处第二次相遇求圆形场周长．
分析解 注意观察图形甲乙第次相遇时甲乙走完圈路程甲乙第二次相遇时甲乙走完1+＝圈路程．
开始第二次相遇需时间1：3第二次相遇时乙行走总路程第次相遇时行走总路程3倍100×3300米．
甲乙第二次相遇时行走(1圈－60)+300圈圆形场周长480米．
9甲乙二条椭圆形跑道作特殊训练：时点出发相反方跑跑完第圈达出发点立回头加速跑第二圈跑第圈时乙速度甲速度甲跑第二圈时速度第圈提高乙跑第二圈时速度提高．已知跑道甲乙两第二次相遇点第次相遇点短路程190米条椭圆形跑道长少米
分析解设甲跑第圈速度3乙跑第圈速度2甲跑第二圈速度4乙跑第二圈速度
图第次相遇点逆时针方距出发点跑道长度．
甲回出发点时乙跑跑道长度乙接跑跑道距离时甲4速度跑圈．
剩跑道长度甲4速度乙速度相跑乙跑圈第二次相遇点逆时针方距出发点圈．
第次相遇点第二次相遇点相差圈
条椭圆形跑道长度米．
10图32400米环形跑道AB两点相距100米甲乙两分AB两点时出发逆时针方跑步甲秒跑5米乙秒跑4米跑100米停10秒钟甲追乙需时间少秒
分析解 果甲乙均休息甲追乙时间100÷(54)100秒．
时甲跑100×5500米乙跑100×4400米．
实际甲跑500米需时间100+4×10140秒140～150秒时甲逆时针距A点500处．
乙跑400米需时间100+3×10130秒130～140秒时乙走逆时针距B点400处．
显然开始计算140秒时甲乙点甲追乙需时间140秒．
11周长400米圆形跑道相距100米AB两点．甲乙两分AB两点时相背跑两相遇乙转身甲跑甲跑A时乙恰跑B．果甲乙跑速度方变甲追乙时甲出发开始跑少米
分析解 图记甲乙相遇点C
甲跑AC路程时乙跑BC路程甲跑400米时乙跑2BC路程．
乙速度保持变甲乙第次相相遇需时间甲次达A点需时间
AC×400200(米)甲跑200米时乙跑100米甲速度乙速度2倍．
甲达A乙达B时甲追乙时需乙跑400100300米路程甲需跑300÷(21)×2600米加开始跑l圈400米．
甲出发甲追乙时跑600+4001000米．
12图33长方形房屋长13米宽8米．甲乙两分房屋两墙角出发甲秒钟行3米乙秒钟行2米问长时间甲第次见乙
分析解 开始时甲时针方距乙8+13+829米．边长 13少追相差13少追291316米．
甲追乙16米需时间16÷(32)16秒时甲行3×1648米乙行2×1632米．
甲乙位置右图示：
显然甲见乙甲速度乙快甲乙离开面
条边前达面边见乙．
甲达面边需跑2米需时间2÷3秒．
16+16秒甲第次见乙
13图34学校操场400米跑道中套着300米跑道跑道跑道200米路程相重．甲秒6米速度跑道逆时针方跑乙秒4米速度跑道时针方跑两时两跑道交点A处出发第二次跑道相遇时甲跑少米
分析解 图甲乙跑道相遇．AB时针半跑道．
易知跑道AB逆时针路程100时针路程200跑道AB逆时针路程均200米．甲乙行程状况分析清楚．
甲第次达B时乙没达B点第次相遇定逆时针BA某处．
乙第次达B点时需时间200÷450秒时甲跑50×6300米B点300200100米处．
乙跑出跑道达A需100÷425秒甲跑25×6150米A点左边(100+150)20050米处．
甲达B处时乙未B处甲必定B点右边某处乙第二次相遇．
乙次达A处开始计算需(40050)÷(6+4)35秒甲乙第二次相遇时甲跑50+25+35110秒．
开始甲乙第二次相遇甲跑110×6660米．
14．图35正方形ABCD条环形公路．已知汽车AB时速90千米BC时速120千米CD时速60千米DA时速80千米．CD点P时反发出辆汽车AB中点相遇．果PC中点M时反发出辆汽车AB点N相遇．问AN距离NB距离商少
分析解 图设甲始终时针运动乙始终逆时针运动设正方形ABCD边长单位1
甲P达AB中点O需时间
乙P达AB中点O需时间
甲乙时P点出发AB中点O相遇：
PDDCPC1PC代入解PC
PMMCDP
现甲乙时PC中点出发相遇N点设AN距离
甲M达N点需时间
乙M达N点需时间
解AN
AN÷BN
15图368时10分甲乙两相速度分相距60米AB两时针方长方形ABCD边走D点甲8时20分D点丙丁两立相速度D点出发丙DA走8时24分乙E点相遇丁DC走8时30分F点乙追问三角形BEF面积少方米
分析解 图标出部分时刻甲乙丙丁位置．
先分析甲情况甲10分钟行走AD路程乙情况乙速度等甲速度乙14分钟行走60+AE路程乙20分钟走60+AD+DF路程．乙10分钟走(60+AD+DF)(AD)60+DF路程．
然分析丙情况丙4分钟行走ED路程丁情况丁速度等丙速度丁10分钟行走DF距离．
5ED＝2DF．
联立解
位置关系：
×60×87－(方米)
第五讲 质数数
质数关构造问题通分解质数求解整数问题．
1说：7连续整数中定质数．请举例子说明句话错．
分析解 例连续7整数：842843844845846847848分2345678整电说质数．
评注：学会说找出翻质数表……注意(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+4…(n+1)+(n+1)n数分234…(n+1)整连续n合数．
中n表示1直n积1×2×3×…×n．
2写出5质数面数前面数12．
分析解 知道1223倍数果开始质数2312定23倍数合数5开始尝试．
517294153满足条件5质数．
3．9连续然数80中质数少
分析解 80然数中偶数定质数奇数越越9连续然数中5奇数位应该13579．80位5数定质数4数．
验证1011021031041051061071081099连续然数中1011031071094数均质数．
809连续然数中质数4．
4 1234567899数字组成质数果数字次9数字组成少质数
分析解质数数量组成位质数2357均位质数样剩146895质数数字未．
1489组成质数418967组合成质数67．
9数字组成2354167896质数．
5．3质数倒数3质数少
分析解设3质数abc倒数分计算时需通分通分分母a×b×c求分数果分数够约分分数分母abc间积．
现分母19862×3×331定a2b3c331检验满足．
3质数2+3+331336．
6．已知两位数1477余数49．求满足样条件两位数．
分析解 1477÷数商……49147749：数×商数×商14282×2×3×7×17．
般情况数余数．数49整1428845168满足．
满足题意两位数516884．
7．种简真分数分子分母积140．果样分数排列第三分数少
分析解 1402×2×5×7分数分子分母积均140分母越时分子越应分数越．
分母次14070352820141075421
应分子次12457101420283570140
应分数次…
中第三简真分数．
8．某校师生贫困区捐款1995元．学校35名教师14教学班．班学生数相30超45．果均捐款钱数整数均捐款少元
分析解 学校少35+14×30455名师生35+14×45665名师生师生总数整1995．
19953×5×133455～665间约数5×133665师生总数665均捐款1995÷6653元．
9．做道两位数两位数法题时马虎数中数字5成8积1872．原积少
分析解 18722×2×2×2×3×3×13口口×口口中某口8
验证：187248×39187278×24满足．
187248×39时马虎错5成8错45成48正确积应该45×391755．
187278×24时马虎错5成8错75成78正确积应该75×241800．
原积17551800．
10已知两数5余1积2924差等少
分析解 29242×2×17×43A×BA+B5余l位16．
4×17+4368+4311l说6843满足题意两数．
差684325．
11．射箭运动中射箭环数者0(脱靶)者超10然数．甲乙两名运动员射5箭5箭环数积1764甲总环数乙少4环．求甲乙总环数少
分析解 17642×2×3×3×7×71764应510然数积．
17644×3×3×7×7
2×6×3×7×7
2×2×9×7×7
1×6×6×7×7
1×4×9×7×7
应次4+3+3+7+7242+6+3+7+7252+2+9+7+7271+6+6+7+727l+4+9+7+728．
应中2428相差4甲5箭环数43377乙5箭环数14977．
甲总环数24乙总环数28．
12．面前长方体正面面面积209果长宽高质数长方体体积少
分析解 图设长宽高次abc正面面ac+ab209．
ac+aba×(c+b)20920911×19．
a11时c+b19两质数奇数中必定数偶质数2c+b2+17
a19时c+b11c+b2+9b9质数满足题意．
积11×2×17374．
13长方体长宽高连续3然数体积39270立方厘米长方体表面积少方厘米
分析解方法：392702×3×5×7×11×17三连续然数积34×34×34接3927039270约数中接等3435343333×34×3539270．
333435满足题意长宽高．
长方体表面积：2×(长×宽+宽×高+高×长)2×(33×34+34×35+35×33)6934(方厘米)．
方法二：392702×3×5×7×11×17三连续然数积考虑质数17果17作长宽高显然满足．
172结合34作长方体条边长度时成立考虑质数734接数32～36中35含775积作长方体条边长度．
39270质数中剩31l长方体33×34×35．
长方体表面积2×(++)2×(1190+1155+1122)2×34676934(方厘米)．
14．长方体长宽高整数厘米体积1998立方厘米长宽高值少厘米
分析解 知道意已确定数数积定时相互越接越．3数积18三数233时8．
19982×3×3×3×3737质数分解2×3×3×3应两数应越接越．2×3×3×36×9时19986×9×37时三然数接．
6+9+3752(厘米)．
15．果两数64两数积整4875两数差等少
分析解48753×5×5×5×13
a×b4875约数两数64．发现393×13255×5两数643925满足题意两数．
差392514．
评注：题推知两数定时两数越接积越两64数积32×321024积1×6363．
487564～1024间约数65195325375975等．
65195325375975等验证．
严格逐步计算会漏掉满足题意解．题中满足题意3925组数．
第六讲 工程问题
完成工作水进水排水等类型应题．解题时常进行工作时间工作效率间转化．
1．甲乙两加工批零件8时司完成务．果甲单独加工便需12时完成．现甲乙两生产2时甲调出做工作乙继续生产420零件完成务．问乙加工零件少
分析解乙单独加工时加工－
甲调出剩工作乙需做(8—2)×(÷)(时)乙时加工零件420÷252时加工2×2560()乙加工零件60+420＝480()．
2．某工程先甲单独做63天乙单独做28天完成．果甲乙两合作需48天完成．现甲先单独做42天然乙单独完成需做少天
分析解 右表知甲单独工作15天相乙单独工作20
天甲单独工作3天相乙单独工作4天．
甲单独工作63天相乙单独工作63÷3×484天
乙单独工作84+28112天完成项工程．
现甲先单独做42天相乙单独工作42÷3×456天乙需单独工作112—5656天完成项工程．
3．条公路甲队独修需10天乙队独修需12天丙队独修需15天．现3队合修中间甲队撤出外工结果6天条公路修完．甲队撤出乙丙两队合修少天完成
分析解 甲乙丙三队合修工作效率++6天完成工程量×6实际中途撤出甲队6天完成工程量1．
－1甲队中途撤出造成甲队需÷5(天)完成工程量甲队6天撤出5天．
甲队撤出乙丙两队合修5天完成．
4．件工程甲队独做12天完成甲队做3天乙队做2天恰完成半．现甲乙两队合做干天乙队单独完成做完发现两段时间相等少天
分析解 甲队做6天完成半甲队做3天乙队做2天完成半甲队做3天相乙队做2天．
甲工作效率乙乙单独做12×8(天)完成两段时间相等段时间应：
8÷(1+l+)＝3(天)3×2＝6(天)．
5．抄份书稿甲天工作效率等乙丙二天工作效率丙工作效率相甲乙天工作效率．果3合抄需8天完成乙单独抄需少天完成？
分析解已知甲乙丙合抄天完成书稿已知甲天抄写量等乙丙两天抄写量甲两天抄写书稿甲天抄写书稿
丙抄写5天相甲乙合抄天丙6天抄写书稿丙天抄写书稿知乙天抄写书稿－－＝
乙单独抄写需1÷24天完成．
6．游泳池甲乙丙三注水．果单开甲需20时注满水池甲乙两合开需8时注满水池乙丙两合开需6时注满水池．单开丙需少时注满水池
分析解 乙时注满水池
丙时注满水池
单开丙需1÷10(时)．
7．件工程甲乙两合作8天完成乙丙两合作6天完成丙丁两合作12天完成．甲丁两合作少天完成
分析解 甲乙乙丙丙丁合作工作效率次
工作效率(甲乙)+(丙丁)－(乙丙)(甲丁)．
+－甲丁合作工作效率．
甲丁两合作24天完成件工程．
8．项工作甲乙两合做8天完成乙丙两合做9天完成丙甲两合做18天完成．丙做完成项工作需少天
分析解 方法：工作效率：
(甲乙)+(乙丙)－(丙甲)2乙+－两倍乙工作效率乙工作效率．
工作效率(乙丙)－乙丙丙工作效率－＝
丙做完成项工作需1÷48天．
方法二：2(甲乙丙)(甲+乙)+(乙丙)+(甲丙)＝＋＋＝(甲乙丙)÷2＝甲乙丙3合作工作效率．
丙单独工作工作效率－＝丙做完成项工作需48天．
9．某工程果第123队合干需12天完成果第135队合干需7天完成果第245队合干需8天完成果第134队合干需42天完成．5队起合干需少天完成项工程
分析解 已知条件
工作效率：
(123)+(135)+2(245)+(134)3(12345)．
5队起合作时工作效率：
（＋＋2×＋）÷3＝
5队合作需6天完成项工程
评注：类需综合差倍等知识问题工程问题中常见
10．水箱甲乙丙三水里注水．开甲丙两甲注入18吨水时水箱已满开乙丙两乙注入27吨水时水箱满．知乙分钟注水量甲分钟注水量2倍．该水箱容纳少吨水
分析解 设甲注入18吨水需时间1乙分钟注水量甲分钟注水量2倍乙注入18吨水需时间O5乙注入27吨水需时间27÷18×05075
采两种方法：
方法：设丙单位时间注入水1：
18+127+O750259吨1
36吨丙单位时间灌入36吨水．
水箱容纳18+3654吨水．
方法二：说甲丙合工作效率乙丙合工作效率．
设甲单独灌水工作效率1乙单独灌水工作效率21+丙(2+丙)丙工作效率2丙工作效率等乙工作效率乙丙合灌时丙灌27吨水箱容纳27+2754吨水．
11某水池容积100立方米甲乙两进水排水．甲乙两单独灌满水池分需10时15时．水池中原水果甲乙两时进水排水放水需6时水池中水放完果甲进水排水放水需2时水池中水放完．问水池中原水少立方米
分析解 甲时注水100÷1010(立方米)
乙时注水100÷15(立方米)
设排水时排水量排
(排－10－)×3(排－10)整理3排－3×排－102排40排20．
水池中原水(20—10)×220(立方米)．
12．水池底部安常开排水部安干样粗细进水．开4进水时需5时注满水池开2进水时需15时注满水池．现需2时水池注满少开少进水
分析解 记水池容积1设进水工作效率进排水工作效率排：
4进－排 2进－排
2进(－)进排
题中需时开x进水2时注满：
x进－排x－解x85
少需开9进水2时水池注满．
13．蓄水池甲丙两条进水乙丁两条排水．灌满池水单开甲需3时单开丙需5时．排光池水单开乙需4时单开丁需6时．现池池水．果甲乙丙丁序循环开水次开1时问少时间水开始溢出水池
分析解 方法：甲乙丙丁四水序开l时开4时池灌进水全池－＋－
优情况：完整周期1时灌满池水．时甲进水时间甲效率四条子中．
优情况：完整周期需注入1－－＝池水．
需周期数÷＝＝4
少需5完整周期5完整周期水池水＋×5＋＝
剩l－＝池水未灌满完整周期l时甲注水时间÷＝ (时)
需5完整周期20时加时20时水开始溢出．
方法二：甲乙丙丁四水序开1时开4时池灌进水全池－＋－
加池原水池水：＋
四4时20时池水：＋×420时需灌水1－＝水开始溢出．
÷ (时)开甲时水开始溢出20+20(时)水开始溢出水池．
方法三：甲乙丙丁四水序开1时开4时池灌进水全池－＋－＝
周期池水：＋注入
二周期池水：＋先注入
三周期池水：＋＝注入
四周期池水：＋＝注入
五周期池水：＋＝注入．
时需注入水甲1时注入水量÷ (时)开甲时水开始溢出20+＝20 (时)水开始溢出水池．
评注：道题中求第次溢出周期均匀增加减少时增加时减少简单运周期性求解样会导致错误解答什出简单问题家解完道题会知晓．
口井深20米井底蜗牛蜗牛白天爬6米晚掉4米问蜗牛爬出井需少时间
14水池水四壁渗入时渗入该水池水固定．水池水满时开A8时水池排空开B10时水池排空开C12时水池排空．果开AB两4时水池排空开BC两水池排空需少时间
分析解 设水池容量1
A时排水量：+时渗入水量
B时排水量： +时渗入水量
C时排水量： +时渗入水量
AB两时排水量：+时渗入水量．
+时渗入水量++时渗入水量+时渗入水量 时渗入水量：－（＋）＝
ABC时排水量表示：
开BC两水池排空需
1÷（＋）1÷48（时）
第七讲 牛吃草问题
牛吃草问题普通工程问题基础工作总量工作时间均匀变化样增加难度．
牛吃草问题关键求出工作总量变化率
面出例牛吃草相关问题．
1 草场片均匀生长草供27头牛吃6周供23头牛吃9周供21头牛吃周(类问题牛顿先提出牛顿问题．)
分析解 27头牛吃6周相27×6162头牛吃1周时间吃原草加6周新长草
23头牛吃9周相23×9207头牛吃1周时间吃原草加9周新长草出20716245头牛吃963周新长草．45÷315头牛1周吃1周新长出草．相出15头牛专门吃新长出草．271512头牛6周吃完原草现21头牛减15头吃长出草21156头牛吃原草
需12×6÷612(周)2l头牛需吃12周．
评注：求出单位1面积草需少头年吃样问题化般工程问题．
般方法：
先求出变化草相少头牛吃：(甲牛头数×时间甲乙牛头数×时间乙)÷(时间甲时间乙)
进行运算：(甲牛头数变化草相头数)×时问甲÷(丙牛头数变化草相头数)时间丙．
者：(甲牛头数变化草相头数)×时间甲÷时间丙+变化草相头数丙需头数．
2．三块草面积分4公顷8公顷10公顷．草草样厚长样快．第块草供24头牛吃6周第二块草供36头牛吃12周．问：第三块草供50头牛吃周
分析解 知道24×6144头牛吃周吃2(2公顷+2公顷周长草)36×12432头牛吃周吃4(2公顷+2公顷12周长草)．144÷272头牛吃周吃2公顷+2公顷6周长草．432÷4108头牛吃周吃2公顷+2公顷12周长草．1087236头牛周吃2公顷12—66周长草．36÷6d头牛1周吃2公顷1周长草．
2公顷配6头牛专吃新长草正．4公顷配4÷2×612头牛专吃新长草241212头牛吃6周吃完4公顷1头牛吃6×1÷(4÷2)36周吃完2公顷．
10公顷需10÷2×630头牛专吃新长草剩503020头牛吃10公顷草36 ×(10÷2)÷209周．
50头牛需9周吃10公顷草．
3．图块正方形草分成完全相等四块中间阴影部分已知草处样速度均匀生长．牧民带着群牛先①号草吃草两天①号草草吃光．(2天草草正常生长)半牛②号草吃草半牛③号草吃草6天两草草吃光．然牧民牛放阴影部分草中吃草外号牛放④号草吃草结果发现时草场草吃完．果开始群牛整块草吃草吃完草需少时间？
分析解 群牛2天吃1块+1块2天新长群牛6天吃2块+2块2+68天新长3天吃1块+1块8天新长群牛1天吃1块1天新长
牛放阴影部分草中吃草外牛放④号草吃草时吃完
③2阴影部分面积整块需群牛吃新长草现需吃：天
开始群牛放整草需吃30天
4．现牛羊马吃块草草牛马吃需45天吃完马羊吃需60天吃完牛羊吃需90天吃完牛羊起吃草速度马吃草速度求马牛羊起吃需少时间
分析解 注意：
牛马45天吃 原+45天新长草① 牛马90天吃
2原+90天新长草⑤
马羊60天吃 原+60天新长草②
牛羊90天吃 原+90天新长草③
马 90天吃 原+90天新长草④
④⑤知牛吃90天吃原草结合③知羊吃90天吃90天新长草羊视专门吃新长草．
②知马60天吃完原草③知牛90天吃完原草．
现牛马羊放起吃羊吃新长草牛马起吃原草
需时间l÷36天
牛羊马起吃需36天．
5 三片牧场场草长样密长样快．面积分公顷10公顷24公顷．已知12头牛4星期吃完第片牧场草21头牛9星期吃完第二片牧场草少头牛18星期吃完第三片牧场草
分析解 三片牧场公顷数致计算带困难果均转化1公顷时情形．
表1中360927头牛吃4星期吃完l公顷原草18星期吃完1公顷原草需27÷(18÷4)06头牛加专门吃新长草O．9头牛需06+0915头牛18星期吃完1公顷牧场草．
需15×2436头牛18星期吃完第三片牧场草．
第三十七讲 分数巧算
1．1 分数数四混合运算
[步巩固演练]
163×（）___________
2 （
3 （全国学数学奥林匹克竞赛试题）001992÷0004×
4
5
6 （ ）中填适数等式成立：1－23×（+++）
7412×81+11×9
[力拓展台]
1 计算：341×99×038÷(019×311)
2 计算：
3 计算：1－
4 计算：（1+
5 计算：
6 计算：
7 果12+22+32+…+n2152+162+…+212少？
1．2 分数数列计算
[步巩固演练]
1
2
3
4
51
6
7（第三届华杯赛试题）
8（第二届希杯试题）
[力拓展台]
1 计算：
2 计算：1
3（全国学数学奥林匹克竞赛题）
4（第三届祖杯数学邀请赛试题）
1+
5（第八届希杯全数学邀请赛试题）
计算：（
6（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
式+…
+计算化简简分数求分母分子差
[全讲综合训练]
填空题
185×
2
3
4132
5（111+
6（26
7
8
二选择题
1果12+[□方框代表数（ ）
A9 B8 C10
2满足式n等（ ）
＞
A1949 B1998 C40
3 1－a等（ ）
A B7 C357
三解答题
1计算：
2 计算：1000×（1－
3 计算：（1+
4 化简：
5 计算：
6
7 计算：
89分数 1分子1中5余4数分母位数5请写出4分数
分数巧算参考答案
1．1 分数数四混合运算[步巩固演练]
1100 原式63×（） 99+49－48 100 2原式
3原式498× 42004原式2004
51原式1
6120126130132238+159+1410+1311+121－
++（ ）分填120126130132
75375原式 412×81+11×9+412×19+125×19 412×81+412×19+125×19+11×9
412×(81+19)+125×19+11×125+11×8412+125×(19+11)+88500+3755375
[力拓展台]
1186 原式 31×3×2186
2原式 3
41原式(1×1×1×1×1
518原式 22 6
72296原式 （12+22+…+212）－（12+22+…+142） 2296
12分数数列计算 [步巩固演练]
1 2原式 1－ 1－
3原式 （ 45210
6 原式
7 原式 8
[力拓展台]
11原式 （1－1 24851
3设a1+a－b1原式
41原式 1+ 2×（1－1
5 设 原式 （
6 1 原式 1－
1－ 1－分子分母差 1
[全讲综合训练]填空题
116原式 （86－1）×17－ 16 2 9原式 9
3 58原式 （119－1）× 58
4 1原式 （132+ (131+1+1
5 181设（111+a）÷a181
6 37原式[（ 37
7 1 8 原式 1－
二选择题1 B 2C 3A
三解答题
1 原式 1－
2 1原式 1000×1
3 50原式 50
4原式
5 原式 （ （
6原式
7 6原式 1 （1×6）+（1－ 6
8 1－（
求4分数分母位数5分母定含数5
6933×3×7×112317793数693约数317231+77+9
求4分数
第三十八讲 钟面问题
[类问题拷贝]
1（全国奥赛试题）
果时钟现表示时间18点整分针旋转1990圈____________点钟
2钟时标准时间慢1分中午12点调准午慢钟指6点时标准时间午__________时_____________分
3（成外国语学校招生试题）
钟面6时45分时针分针成角度______________度
4现11点整_________________分钟时针分针第次垂直
5（北京市第届学生迎新春数学竞赛初赛试题）
挂钟时敲次钟点钟敲钟敲65秒钟敲完钟敲12______________秒钟敲完
1 0时12时间钟面时针分针成600角______________次
7（全国奥赛试题）
钟表时慢2分钟早晨8点时钟表准标准时间中午钟表走12点整时候标准时间_________________
8特殊时钟钟昼夜10时时100分钟时钟显示5点钟时实际标准时间中午12点钟显示6点75分时实际午_____________点______________分
[力拓展台]
1（第届希杯全国数学邀请赛试题）
现4点5分少分钟分针时针次重合？
2观察镜面反射钟面指针位置说出：
（1） 两钟面表示实际时刻
（2） 两钟面时间差
3（海市第五届学数学六年级初赛试题）
7点少分时候分针落时针1000？
4钟楼钟秒针长1米根秒针尖端昼夜走少米？（π314）
5（第届华杯赛初赛试题）
科学家进行项实验隔五时做次记录做第十二次记录时挂钟时针恰指9做第次记录时时针指？
[全讲综合训练]
1 现中午12时（ ）分分针时针第次重合
2 李星期天午9点10点间开始做作业时钟面时针分针恰成直线作业做完时发现时针分针刚重合李做作业_______________分钟
3 杨静新买手表家里挂钟时快30秒家里挂钟时标准时间慢30秒杨静手表快慢？昼夜差少秒？
4 明晚9时整手表准早晨8时校时迟10分钟明手表时慢分钟？
5 天快5分钟钟现时间准钟次显示准确时间需少天？
6（第四届华杯赛初赛试题）
时钟时慢25秒年3月21日中午12点指示正确请问：时钟次指示正确时间月日点钟？
7（江西省第二届八杯学数学竞赛决赛试题）
甲乙两时钟准确甲钟走24时恰快1分钟乙钟走24时恰慢1分钟假定天午三点钟时候甲乙两钟调指准确时间停走问次两钟样指三点时隔少天？
8（北京市第14届学生迎春杯训练题）
图钟表表示现时刻继续前走10时25分时候（ ）时（ ）分
9（学生数学报第九届数学竞赛试题）
张奶奶家闹钟时快2分钟昨晚9时闹钟北京时间准时钟拨天早晨6时闹铃张奶奶听闹铃声响时北京时间天早晨6时提前少时？
10 老王家挂墙挂钟天挂钟忘发条停集市购买日品出门前先紧挂钟发条时时间午635（时间准）途中电信局电信局时钟午900（标准时间）集市采购完原路电信局电信局时钟指午1000回家里墙挂钟指午1035果集市回路时间相时标准时间少？
11（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
明爸爸高山工作里气温白天夜晚相差手表受气温影响走正常白天快分钟夜里慢分钟10月1日准时间问：天手表正快5分钟？
12快钟时标准时间快10秒慢钟时标准时间慢20秒两钟时调标准时间结果24时快钟显示7点整时慢钟恰显示6点50分时标准时间少？
13（北京市第二届迎春杯数学竞赛决赛初试题）
天课间休息时明墙挂钟时间9点发现时针分针正处关铅垂线称位置请问：时点分？（精确值）
14实验室里特钟圈20格7分钟指针跳次跳次跳9格天早晨8点整指针恰0跳9昨天晚8点整时候指针指着？
15（北京市第七届学生迎春杯数学竞赛初赛试题）
8时9时间钟表长针短针直线时8时少分？
16早晨晓龙镜中表指针6点20分赶快起床出跑步跑步回妈妈告诉刚6点20分问晓龙起床时实际什时刻？
17（第九届华杯赛试题）
9点10点间某时刻5分钟前分针位置5分钟时针位置相问：时刻9点分？
钟面问题参考答案
[类问题拷贝]
1 午4点
分钟转圈时针走1字（1时）分钟走12圈时针走回原位置
1990÷12165……10圈
说明时针分针回原位置分针走10圈（10时）18+10－244（时）午4时
2 6时分
慢钟时标准时间慢1分说标准钟走60分慢钟走59分
慢钟速度：标准钟速度5960
慢钟走时间：标准钟走时间59：60
设标准时间x时
x
x
36750
410分钟
11点整时针分针夹角300时针分针第次垂直需（90－30）÷（6－05）60÷5510(分钟)
511秒
6 22次
012时时针转1圈分针转12圈分针追时针11圈追1次时针分针2次成60度角11×222（次）
7 12时8分
标准时间1时钟表走58分钟早晨8点中午12点钟表4时240分钟时标准时间：
240÷58×60248分钟4时8分钟时12时8分
8 4点12分
特殊钟10时相标准钟24时特殊钟1时标准钟24时特殊钟5点6点75分175时相标准钟175×2442(时)4时12分钟标准时间午4点12分
[力拓展台]
1 16分钟
先4点开始少分钟分针时针第次重合
20÷（1－）
20÷
21
说4点开始21分钟时针分针第次重合
21（分钟 ）
2（1）7时55分5时40分
（2）2时15分
3 7点20分
445216米
昼夜24时24×60（分钟）1440（分钟）秒针昼夜旋转1440圈秒针昼夜走1×314×144045216(米)
52时
第次记录第十二次记录相隔11次
5×1155（时）
时针转圈12时
55÷124……7
9－72（时）
[全讲综合训练]
1 65分
2 32分
3 慢6秒
4分
5144天
钟快12时时次显示准确时间
66月1日中午12点钟
2 720天
先求出甲钟标准钟转圈需天数标准时钟乙钟走圈需天数然求二者公倍数
60×12÷（61－60）720（天） 60×12÷（61－59）720（天）
次甲乙两钟样指三点时隔720天
3 7时50分
9时
1011时30分
老王家电信局时间：
[（10：35－6：35）－（10：00－9：00）]÷215（时）
回家里标准时间10点加1时30分时11点30分
11 10月28日
手表整天快
加白天正快5分钟10月28日手表正快5分钟
12 6点56分40秒
快钟慢钟标准时间1时相差10+2030（秒）快钟慢钟相差10分钟合600秒时快钟600÷3020（时）快钟20时标准时间快10×20200（秒）合3分钟20秒时标准时间6点56分40秒
13 9点13分
∠AOB∠COD9点开始时针分针转距离15格
设分针走速1时针走速9点开始时针分针走图示位置时需
15÷（1+）
15×
13（分）
14 2
昨天晚8点天早晨8点60×12720（分钟）钟跳720÷7102（次）……6（分）跳9×102918（格）918÷2045（周）……18（格）20－182（格）昨天晚8点整指着2
15 10
直线表示两种情况：长针短针指方相相反两种情况长针分短针走40格10格
设长针速度1短针速度
40÷（1－）
43
10÷（1－）10（分）
16 5点40分
造成晓龙妈妈钟面时刻原：晓龙反射镜面钟面时钟分针镜面反射位置改变反射前钟面左右位置互换说表盘右边刻度指针反射变左边相反表盘左边刻度指针镜面反射变右边图分镜面反射未镜面反射两钟面晓龙起床镜面反射钟面长针指4位置短针指6左侧图（甲）实际长针指8位置短针应指6右侧（图（乙））晓龙起床时实际时间5点40分
（甲） （乙）
179点55分
第三十九讲 方程组
[步巩固演练]
1解列方程组
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2甲乙两存款2000元甲存入100元乙取出款数时甲存款数乙2倍现两存款___________元
3（爱数学少年夏令营竞赛试题）
甲乙两班图书室303书乙知甲班图书乙班图书合起95甲班图书_____________
4（安徽省学竞赛试题）
商店里两种书包买书包4书包6需392元买书包7书包3需416元买书包9书包1需少元？
5图示3×3方格已填两数1999余空格中填适数行列两条角线三数相等x__________
x
19
99
[力拓展台]
1松鼠妈妈采松籽晴天天采20雨天天采12连天采112松籽均天采14问天中雨天晴天天？
2两爬虫甲乙A点时出发长方形ABCD边箭头方爬行商C点32厘米E点第次相遇离D点16厘米F点第二次相遇离A点16厘米G点第三次相遇长方形边AB长少厘米？
3甲乙两位学开学时学校储蓄存款50元甲学月存2元乙学月存35元半年甲学存款乙学存款9元问开学时两存款少元？
4（全国奥赛总决赛试题）
三角形ABC中DBC中点EAB点BEAB已知：四边形BDME面积35三角形ABC面积少：
5（北京市第四届学生迎春杯数学竞赛初寒试题）
学生问老师少岁老师说：时候刚3岁时候已39岁位老师年少岁？
[全讲综合训练]
1解列方程组
（1） （2）
（3） （4）
2甲乙两南北两镇出发相走3时走胜利桥相遇果南北两镇出发甲加快速度时走2千米乙提前05时出发结果胜利桥相遇果甲延迟05时出发乙减慢速度时少走2千米胜利桥相遇问：南北两镇相距少米？
3（四川德阳市第十届学数学邀请赛）
某承包项工程工天工资数（元单位）正工数相果减少3名工天付出工资总数变样工天工资增加39元求原工工资少？
4购买笔记3铅笔5支格尺1需610元购买笔记4铅笔7支格尺1需792元购买笔记铅笔格尺件需少元？
5甲乙二时A出发B达C甲先骑行车达B然步行乙先步行B然骑行车结果二时达C已知甲乙二步行速度分4千米时3千米时骑行车速度15千米时甲AC均速度少千米时？
6某车间三组甲组乙组3乙组丙组4甲组天乙组天少生产2工件乙组天丙组天少生产5工件知甲组天乙组生产9工件乙组丙组生产5工件问组少天生产少工件？
7（全国奥赛试题）
图正方形ABCD面积120方厘米EAB中点FBC中点四边形BGHF面积少方厘米？
8 甲乙公路坡路坡路没路辆汽车坡时时行驶20千米坡时时行驶35千米车甲开乙需9时乙甲需7时问甲乙两间公路少千米？甲乙须行驶少千米坡路？
9（全国奥赛试题）
正方形ABCD条环形公路已知汽车AB时速50千米BC时速60千米CD时速80千米DA时速40千米CD点P时反发出辆汽车AB中点相遇果PC中点M时反发出辆汽车AB点N相遇________
10右图ADBECF △ABC分成六三角形中四三角形面积已图标明试求△ABC面积（单位：方厘米）
11（2000年吉林省第六届学数学夏令营竞赛试题）
某中学30班级班数444546已知全校学生总数135244班级45班级2中学里44班级？45班级？46班级？
12 某校初甲乙丙三班甲班乙班4女学乙班丙班1女学果甲班第组调乙班乙班第组调丙班丙班第组调甲班三班女生数相等已知丙班第组2女学问甲乙两班第组女学少？
13(江苏省第二届学生探索应力竞赛试题)
冯老师天早做户外运动第天跑步2000米散步1000米24分钟第二天跑步3000米散步500米22分钟冯老师跑步时速度总样散步时速度总样求冯老师跑步速度
14图矩形ABCD中放入六形状相长方形标尺寸图示试求图中阴影部分总面积
15 水池AB两进水龙头出水龙头C果水池空时时AC开2时注满水池时开BC两龙头3时注满水池水满时先开C7时AB时开（C开着）1时水池注满单独开A时注满水池？
16明亮幢楼时出发骑车郊外王老师时达王老师家途中明休息时间亮骑车时间亮休息时间明骑车时间明亮骑车速度___________
方程组参考答案
[步巩固演练]
1 （1） （2） （3）
（4） （5） （6）
21800
设甲乙原分存款x元y元题意解
现两存款（900×）×（1+2）1800（元）
3143
设甲班x乙班y题意 解
4368
设书包x元书包y元
x+9y44+36×9368（元）
a
x
B
C
d
19
99
5图题意
①+②整理x179
[力拓展台]
1晴天2天雨天6天
设雨天x天晴天y天
解
264厘米
分析：假设长方形长x厘米宽y厘米甲乙第次相遇合行全程甲走路程x+y－32甲乙第二次相遇合行二全程甲走路程x+y+x16甲乙第三次相遇合行三全程甲走路程x+y+x+y+16根关系列出方程求出AB长
解：设长方形长x厘米宽y厘米根题意：
① ②
①式
y48 ③
②式
x+y112 ④
③代入④
x64
AB长64厘米
3甲：34元乙：16元
设甲存x元乙存元y
解
4150
连结BM设S△ABCxS△BEMaS△BDM35－a题意
解
527岁
分析 老师讲句话列成表：
生
师
年龄差常数
现年龄
Y
X
x－ya
a年前
y－a3
Y
a年
y+ax
x+a39
关键求出a问题解决
解 位老师年x岁老师学生年龄差a：学生年年龄x－aa年前学生年龄（x－a）－a3x－2a3①
a年老师年龄x+a39②
①②3a36a12
x39－1227（岁）
位老师年27岁
说明 题年龄问题两年龄常数老师说时候老师年龄减少二年龄差学生年龄变x－2a3点解决问题关键里设年龄差a帮助列出方程间接发设未知数种方法
[全讲综合训练]
1 （1） （2）
（3） （4）
272千米
题意中知：甲原速走3时达胜利桥甲时走2千米25时达胜利桥乙原速3时北镇达胜利桥时少走2千米需35时达求出甲乙两原速度
设甲原速度时走x千米
3x25(x+2)
x10
设乙原时走y千米
3y35(y－2)
y14
(10+14)×372(千米)
南北两镇相距72千米
313元
设原工天工资x元题意方程
x2（x－3）×（x+39）
x2x2+39x－3x－117
09x117
x13
4 246
① ②
解
3×①－2×②+笔+尺246(元)
5
设ABaBCb题意知甲乙二AC时间相等
甲AC均速度 (千米时)
6 181511131520工件
设丙组x甲组天生产y工件乙组x+4甲组（x+4）+3x+7乙组天生产y+2工件丙组天生产（y+2）+5y+7工件题意
组分181511天生产131520工件
7 14方厘米
连结BHBECDBGGD12S△BGH：S△DGH1：2FBC中点知S△BFHS△FHC设S△BGHxS△BHFy
解 x+y14
8 210 140
设甲乙坡路x千米坡路y千米题意：
① ②
（x+y）（）165解x+y210（千米）
y210－x代入①式（千米）
9
正方形边长作2设DPxPC长2－x利相遇问题时间相等列方程：
解x
PC长2－x
设ANy次利时间相等列方程：
解
AN：BNy：（2－y）：：73
10 315
设S△BOF xS△AOE y
S△BDO：S△CDO S△BDA：S△CDA40：30（40+84+x）：（30+35+y）整理4y－3x112 ①
S△CEO：S△AEOS△CEB：S△AEB 35：y（35+30+40）：（84+x+y）整理70y－35x2940 ②
①②解x56y70
S△ABC S△AFO+ S△AEO+ S△BFO+ S△BDO+ S△CEO+ SAEO
S△ABC84+70+56+40+30+35315（方厘米）
11 10128
设44班级x45班级（x－2）46班级y
x10y12x－28
12 甲组：5乙组：4
甲班5乙班4
设丙班n女学甲班第组x女学乙班第组y女学乙班原n+1女学甲班原n+5女学题意列出方程
（n+5）－x+2（n+1）－y+xn－2+y
7－x1－y+xy－2
甲班第组5女学乙班第组4女学
13200米 设冯老师跑步散步分钟分行x米y米列方程组
解 x200
冯老师跑步分钟行200米
14 44方厘米
设长方形长x宽y
题意
解 x8 Y2
AD6+2y6+2×210矩形 ABCD面积14×10140（厘米）
阴影部分总面积140－6×2×844（方厘米）
15设单独开AB龙头（C龙头）分xy（z）时注满水池（放池水）题意
① ② ③
④
联立①②③解联立①②④
单独开C龙头放完池水需时间少7时（事实）时单独开A龙头时注满水池单独开C龙头放完池水需时间少7时（事实6时）单独开A龙头时注满池
16
设明休息时间x时亮休息时间y时明亮骑车速度分乙1千米时r2千米时题意 ① ②
① 2x3y y代入② 4×
第四十讲 定方程
[步巩固演练]
1118分成两然数ABA11倍数B17倍数
A__________________ B__________________
2求列定方程然数解
（1）3x－2y20 （2）4x+5y98
3甲乙两种卡车甲车次装煤6吨乙车次装煤8吨现煤130吨求次运完辆卡车满载问需甲乙两种卡车少辆？
4（北京市第三届学生迎春杯数学竞赛决赛试题）
甲级铅笔7分钱支乙级铅笔3分钱支问张明6角钱恰买两种铅笔少支？
5（全国奥赛决赛试题）
干学生搬堆砖搬K块剩20块未搬完搬9块名学生搬6块学生少？
6（第九届学生数学报数学竞赛初赛试题）
马富甲公司工月乙公司兼职甲公司月付薪金470元乙公司月付薪金350元年终马富两家公司获薪金7620元问甲公司找工少月？乙公司兼职少月？
[力拓展台]
1定方程2x+3y+7z23然数________
2（第五届学生数学报数学竞赛决赛试题）
1米长优质铜锯成长38毫米长90毫米两种规格铜锯次损耗1毫米铜锯38毫米铜90毫米铜少段时损耗铜少？
3明5天时间完200页事书已知第二天页数第天第三天页数第二两天页数第四天页数第二三两天页数第五天页数第三四两天页数明第五天少______页
4两然数111991商正等1问少种？
5三部动换币机中第部总枚硬币换成2枚硬币第二部总枚硬币换成4枚硬币第三部总枚硬币换成10枚硬币某进行12次换币便枚硬币换成81枚试问第部换币机换次第三部换币机换次？
6（2004年全国奥赛 决赛试题）
某商店甲乙丙三种商品单价分2元3元5元某买走三种商品种干件付20元发现中件商品买退两件种商品营业员10元张民币没零钱退两种商品购买数量予调整总价保持变时购三种物品中乙 种商品件数少？
[全讲综合训练]
1MN表示两然数：11M+17N146M_________N____________
2客车42座位客车25座位现310位客位客座位没空座位需客车少辆？
3甲乙两搬砖甲搬砖数16倍数乙搬砖数21倍数两搬砖270块甲乙两搬砖相差少块？
4现3米长5米长钢6根安装31米长道问：样接料省？
5全家喝满杯咖啡加牛奶李明喝全部牛奶（干杯）全部咖啡（全部咖啡）全家口？
6已知1999×△+4×□9991中△□然数□代表数少？
7箱子里乒乓球干中25级品五分二级品余91三级品箱子里乒乓球少？
8某班学分成干组植树组植树n棵n质数剩树苗20棵组植树9棵缺少2棵树苗班学分成组？
9学生1991年年龄正等出生年年份位数字问学生2005年少岁？
10三位数19商等三位数位数码种三位数少？
11三位数17商等三位数字求三位数
12盒中蟋蟀蜘蛛干46脚求蜘蛛蟋蟀？
13已知四位数完全方数前两位数字相两位数字相求四位数
14（江苏吴江市学数学竞赛试题）
三车苹果甲车乙车4箱乙车丙车4箱甲车乙车箱少3苹果乙车丙车箱少5苹果甲车乙车总3苹果乙车丙车5苹果三车苹果少？
15（北京市第十二届迎春杯学数学竞赛决赛试题）
明70元钱买甲乙丙丁四种书10册已知甲乙丙丁四种书价格分3元5元7元11元种书少买种购买方法？
16年祖父年龄明6倍年祖父年龄明5倍年祖父年龄明4倍求：祖父年少岁？
17甲乙丙种货物购甲3件乙7件丙1件需315元购甲4件乙10件丙1件需420元现购甲乙丙件需少元？
18圆圈十孔（100）图明玩跳棋样A出发着逆时针方隔孔跳步希圈跳回A孔先试着隔2孔跳步结果跳B孔试着隔4孔跳步跳B孔隔6孔跳步正跳回A孔问：圆圈少孔？
19（希杯全国数学邀请赛试题）
布袋中装红黄蓝三种颜色相木球红球标数字1黄球标数字2蓝球标数字3明布袋中摸出10球面标数字等21问明摸出球中红球超少？
20（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）
某乡水电站发电电费规定：果月电超24度度9分钱收费果超24度超出部分度2角收费已知某月中甲家乙家交电费9角6分钱（电整度计算）问甲乙两家交少电费？
21（韩国汉城国际学数学奥林匹克竞赛试题）
哲洙爸爸买50张圣诞节卡片先甲文具店买张500元钱卡片剩卡片乙文具店买乙文具店张卡片价格百元单位2000元哲洙买50张卡片花30400元请写出乙文具店买卡片数量情况
22（全国奥赛总决赛试题）
新世纪学校学生总数三位数均班36统计员提供学生总数实际总数少180原纪录时粗心三位数百位十位数字调学校学生总数少？
23（2000年福建福州市迎春杯学数学竞赛试题）
面18堆石子堆100石子意挑选 17堆堆中取石子放剩堆里称次操作次操作时意挑选17堆堆取石子放剩堆里40次操作发现堆石子数70堆石子数170190间堆石子数确切数字少？请简说出理
24（第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题）
甲乙丙三班希工程捐赠图书已知甲班1捐6册2捐7册余捐11册乙班1捐6册3捐8册余捐10册丙班2捐4册6捐7册余捐9册已知甲班捐书总数乙班28册乙班丙班捐9册班捐书总数400册550册间问甲乙丙三班少？
25（2000年全国学数学奥林匹克竞赛预赛试题）
某区电收费标准规定：月户电超10度部分度045元收费超10度超20度部分度080元收费超20度部分度150元收费某月甲户乙户交电费710元乙户丙户交375元甲乙丙三户交电费少元（电度数收费）？
定方程参考答案
[步巩固演练]
1 3385
题意设A11a B17b：11a+17b118
a
试验a3b5A11a33B17b85
2答案：
（1） 等
（2）5组
3种情况：
设甲乙两种车分需x辆y辆
6x+8y130
符合题意解：
416支12支
设张明买甲级铅笔x支乙级铅笔y支根题意列方程
7x+3y60
360均3整7x定3整
x3时y13时3+1316
x6时y6时6+612
x等9时满足方程
张明6角钱恰买两种铅笔16支12支
523
设学生x题意列方程：
kx+209×（x－1）+6
kx+209x－3
x×（9－k）23
23质数9－k≤9x必然等2323搬砖
611月7月
设马富甲公司工x月乙公司兼职y月里x＞yxy12然数根题意列方程：
470x+350y7620
47x+35y762
35y末位数字定5047x末位数字72x1116
x16时y没然数解符合题意
x11时y7
马富甲公司工11月乙公司兼职7月
[力拓展台]
1答案
解：显然z取123
z1时2x+3y16然数解x2y4x5y2
z2时2x+3y9然数解x3y1
z3时2x+3y2显然然数解
原方程然数解
27段8段．
损耗少应锯90毫米长铜必须符合：（1）两种铜（2）两种铜长度加损耗部分长度应等1米
设38毫米90毫米铜分锯x段y段根题意列方程：
38x+90y+（x+y－1）1000
39x+91y1001
39911001公数13方程两边13
3x+7y77
y
y11－
损耗少应锯90毫米长铜说xxy均然数
x7y8
锯38毫米铜7段90毫米铜8段时损耗铜少
注：列出方程选简便算法题先10013991分解质数约分然yx表示利y然数x必须7整求解
3 84页
设明第天a页第二天b页前五天页数次：
aba+ba+2b2a+3d
面数200
5a+7b200
5a2005倍数b5倍数b＞a式两组解：
b20a12b25a5
两组解分代入2a+3b第五天少84页
410种
设两正整数ab题意：化简 181a+b1991b应181倍数设b181b1181a+181b11991a+b111ab1正整数10组解均满足题意10种
58次
设第部第二部第三部换币机分换xyZ次硬币x+y+Z12方面第部机器换次硬币增加枚相应外两部机器换次硬币分增加3枚9枚：x+3y+9Z80解：xy2Z8
6 1件
设购买甲乙丙三种商品件数分a件b件c件题意：
2a+3b+5c20
退两件商品价钱10元退回商品单价5退回甲种乙种商品C＜3（c3ab1退回必须丙种商品）
试验满足 2a+3b+5c20正整数解三组：
结合题意知原三种商品分买3件3件1件现购买三种商品件数分：
6件1件1件
[全讲综合训练]
144102
设数11x数17y题意：
11x+17y146x xy必须然数解x4y6符合题意两整数44102
25辆4辆
设需客车x辆客车y辆
：42x+25y310整理：y 解x5y4
318块
设甲搬砖16x块乙搬砖21y块：16x+21y270解然数解：x9y6甲搬砖16×9144（块）乙搬砖21×6126（块）甲乙搬144－12618（块）
42米5米
设3米长x根5米长y根根题意：3x+5y31xy2时x7＞6符合题意舍y5时x2符合题意
5 5
设全家喝x杯牛奶y杯咖啡喝2+35（杯）全家5口
61998
△4奇数需检验△13两种情况
7260
设 箱子里n乒乓球二级品占题意
n×25+n+91n
整理 n（15－4a）20×91 ①
易知 15－4a＞0a≤3
a123代入①知a2符合求时 n260（）
811
933岁
设出生年：1991－9+x+y91－（10x+y）10+x+y11x+2y81
解：x7y2学出生1972年2005年年龄2005－197233（岁）
1011
设三位数abc均0~9整数a≠0：19（a+b+c）100a+10b+c：81a9b+18c9ab+2cb0123……9分10种情况讨方程11解11解组成11三位数：114133152171190209228247266285399
11153
设三位数abc均0~9整数a≠017（a+b+c）100a+10b+c化简：83a7b+16ca1b5c3题唯解求三位数153
12：
设蟋蟀x蜘蛛y：6x+8y46 3x+4y23解：
137744
设四位数前两相数字x两相数字y四位数然数n方1000x+100x+10y+y n2 11×（100x+y） n2知n中11数四位数应两数11100x+y中应数11100x+y99x+（x+y）知x+y应11倍数（x+y11）求数：11×（99x+11）121×（9x+1）完全方数（9x+1）应完全方数x7时9x+164完全方数x7x+y11y4求数7744
14：
设乙车x箱苹果甲车（x+4）箱丙车（x－4）箱苹果乙车箱y苹果甲车箱（y－3）丙车箱（y+5）苹果
化简
①+②2x30x15
x15代入①y15
x+419y－312
x－411y+520
答：甲车运19箱箱12乙车运15箱箱15丙车运11箱箱20
15：
设买甲种书a乙种书b丙种书c丁种书d
① ②
① －②×3
2b+4c+8d40
b+2c+4d20 ③
③出d＜
d4时c1b2a3
d3时c2b4a1c3b2a2
d2时c5b2a1
d1时解
四种购买方法：
甲
乙
丙
丁
3
2
1
4
1
4
2
3
2
2
3
3
1
2
5
2
4种购买方法
1672岁
设年明x岁年祖父6x岁y年祖父年龄明5倍：
5（x+y）6x+y
设z年祖父年龄明4倍：
4（x+y+z）6x+y+z
方程组：
① ②
③ ④
化简：
（3）y代入（4）
2x3×+3z
z
年数取然数x取122436……
年祖父年龄6x岁x12时6x72x24时6x144更更x12时6x72
17105元
设购甲乙丙件需x 元y元z元根题意列方程组
① ②
（1）×3－（2）×2
x+y+z315×3－420×2105
现购甲乙丙件需105元
1891
隔246孔跳步实际分跳357孔步跳35孔跳B孔总孔数35分余135公倍数15 总孔 数15余1步跳7孔正回A孔总孔数7整
设求总孔数15x+1总孔数7商y方程
15x+17y
y
步数然数 y＜100x6时y2×6总孔数15×6+191（7×1391）满足题意
圆圈91孔
194
设蓝球x黄球y红球（10－x－y）根题意列方程：
3x+2y+（10－x－y）21
2x+y11
x取12345y分取97531应（10－x－y）值01234
红球数超4
20276元18元
两家没超24度超24度甲家交电费应该分920倍数96920倍数设甲家电x度乙家电y度里x24y240根题意列方程：
24×9+20（x－24）9y+96
20x360+9y
20x36020整y20倍数y取200求x2718
18＜24符合题意舍
乙家交电费：20×9180（分）18(元)
甲家交电费：180+96276（分）276(元)
21设哲洙乙文具店买x张卡片张价格y×100元花钱总数列方程
500×（50－x）+100y×x30400
25000－500x+100xy30400
100xy－500x5400
x（y－5）54
式出x（y－5）54约数x＜50xy关系表：
X
1
2
3
6
9
18
27
y－5
54
27
18
9
6
3
2
乙文具店张卡片价格2000元推知y2000÷10020y－5＜15时x取值691827
哲洙乙文具店买卡片数量买691827张
22972
设学校学生总数100a+10b+c－（100b+10a+c）180a－b2学校数总数20□31□42□53□64□75□86□97□知学生总数36倍数直接36想数49倍数出648756864972
972
23178
堆石子数70减少100－7030石子果17堆石子放入堆操作少操作100+17－7047次40次矛盾堆石子次出1石子操作30次
堆石子数170~190间设30次操作中n 次17堆石子放入堆中（30－n）次堆出石子出（30－n）石子堆石子数100－（30－n）+17n70+18n170≤70+18n≤190n6时70+18n178堆石子178
24515349
设甲班a乙班b丙班c甲班捐书6+7×2+11（a－3）11a－13
乙班捐书6+8×3+10（b－4）10b－10
丙班捐书4×2+7×6+9（c－8）9c－22
甲班乙班28乙班丙班101
10b－10101+9c－22代入（1）11a－13－（101+9c－22）28
化简10b－9c120400＜11a－13＜550
400＜10b－10＜550400＜9c－22＜550
解 a51b53c49
252405元
设乙电x度丙电y度中x＞10y＜10
045×(10－y)+08×(x－10)375
45－045y+08x－8375
08x－045y725
80x－45y725
16x－9y145
解 x13y7
乙户电13度丙户电7度
丙交电费：045×7315(元)
乙交电费：315+375690(元)
甲交电费：690+7101400(元)
三户交电费：
315+690+14002405(元)
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