题 目 中学数学中数形结合思想
目录
1 引言 5
2 数形结合思想 5
3 数形结合思想中学数学中运 6
31解决集合问题 6
311利韦恩图法解决集合间问题 6
312利数轴解决集合关问题 7
32解决问题 8
33解决等式问题 9
34解决函数值值域问题 11
35解决解方程问题 13
4 总结 15
致谢 16
参考文献 16
中学数学中数形结合思想
段永健
指导教师 李素云
（玉溪师范学院数学信息技术学院云南 玉溪 653100）
摘：贯穿中学数学中数学思想中种数形结合中学数学中重效数学思想方法数形相结合通数形间互相转化根数学问题已知条件结间联系分析代数意义时揭示图形直观化繁简化难易达简化解题方法终解题时达事半功倍效果篇文述数形结合思想概念中学数学生活中种体现应
关键词：中学数学 数形结合思想 应
1 引言
贯穿数学知识学基数学思想体现基础数学中具奠基性总结性思维成果类思想中学阶段认识基数学思想包括：数形结合思想函数方程思想分类讨思想变换转化思想抽样统计思想整体思想极限思想等数形结合种重效数学思想数学方法中学数学中占非常重位
著名数学家华罗庚深深意识数形结合重性提样诗数形相倚焉分作两边飞？数缺形时少直觉形少数时难入微数形结合百般隔离分家万事休代数统体永远联系莫分离[1]数形结合彼联系分割
中学阶段灵活运数形结合思想助学者中学阶段更理解掌握知识提升逻辑思维力空间想象力运算力解题力特选择题填空题果熟练掌握巧妙运数形结合思想解题时题目中赢时间效率优势终取优异成绩究竟解决什样类型问题时需数形结合思想呢？该样时练中灵活运呢？
2 数形结合思想
谓数形结合思想数形数学两基研究象具体包括两方面：
第形觅数：数学问题根已知条件作出图形解决类问题关键寻找准确表达问题数量关系式问题代数化解决问题
第二数构形：数学问题代数运算代数问题通仔细观察代数式会发现具某种特征根 数形间关系代数问题化解决问题
样数形结合起认识问题理解问题方法称数形结合思想数形结合思想实质抽象数学语言直观图形巧妙结合起抽象思维直观思维结合勾画出应图形发挥直观现象抽象概念支柱作实现抽象概念具体现象联系转换化抽象直观化难易
数形结合建立数形间联系研究数学问题实现问题模型转化种基思想基方法研究问题程中注意数形结合起观察思考反复斟酌分析代数意义揭示直观数量关系精确刻画空间形式直观形象巧妙谐结合起充分利种结合[2]寻求正确解题思路难解决问题容易化繁琐问题简单化解决问题数形结合种重效数学思想数学方法
数形结合思想中学阶段仅新课程标准重点难点数学课求掌握思想方法解决抽象数学问题时关键学会灵活运数形结合思想方法解决问题样起事倍功半效果面进行探究：
3 数形结合思想中学数学中运
31 解决集合问题
311 利韦恩图法解决集合间问题
利韦恩图法想象丰富逻辑清晰直观解决关集合间复杂问题图形存公部分两集合公元素图形存公部分两集合没公元素
例1 50名公司职员调查AB两事件态度调查结果 意A数全体余意意B职员意A职员3余意外AB意数AB意数1问AB意者意者少？
解：意职员数意职员数图记50名职员组成集合意事件职员全体集合意B事件职员全体集合B
设该事件AB意职员数xAB意职员数意A意B数意B意A数33－x根题意解AB意职员21意8
题难点题目中信息量法快速理清头绪容易建立数量关系利维恩图形象表达出数量间关系
312助数轴解决集合关问题
通数轴集合解集等式形式分表示出肉眼观察直观出相交部分合起部分相交部分确定交集集
例2： 已知集合求
（1） 求a范围
（2） 求a范围
解：集合A取值范围利数轴表示
(1)（图2）包含关系知集合A元素集合B中存种情况a值存
(2)（图2）时集合B元素集合A中存
时成立时取值范围：（图2）
32解决问题
解决问题时观察图形代数意义运形数结合观点思考通形觅数转化进行数运算变式求出相应结果较容易找寻解题方法
例3[3] 圆O条弦中点作两条弦连接分交MN（图3）求证
β
δ
γ
α
解：设角假设图3示
△CGM中正弦定理
△CDM中
相交弦理①式
理②式
① ÷②
xyCMCN
题证明中没添加辅助线程简明均匀种灵巧感觉
33解决等式问题
解等式问题未知元允许值取值范围中求出适合等式未知元值值做等式解集简称等式解解等式中学数学中重点难点等式仅具灵活变换运广泛性质培养学生思维力考察结合图形研究丰富想象理清思路避免复杂讨计算达化繁简目
例4 解等式
解：原等式解
等式解
1
0
1
2
3
x
穿根法知原等式解：
题运穿根法通序轴标根穿根线区间正负形象表示值符号变换规律根等式中问题结合图形形象表示出图形中蕴含数量关系运学知识加解决问题较体现数形结合思想具备直观清晰易领会优点
例5 已知函数 时求等式解集
解：等式化
设函数
图图示．图知仅时
原等式解集
通两具体例子基体现数形结合思想解等式中运广泛性数学教学中 学生学会抓住数形结合解题契机作突破点做两点：
(1)审题时解题前注意运数形结合解析题目意理清思路寻找确定解题思路
(2)解题程中寻找合适表达问题数量关系式转换变形运数形结合实现问题模型转化简捷流畅解题结果
数形结合渗透中学数学中教学中求做数形关系揭示转化切实掌握形数相结合思想方法形数相结合观点研读教材掌握理解数学中相关概念公式法掌握形数相结合进行分析问题解决问题方法[4] 提升逻辑思维力空间想象力运算力解题力
34解决函数值值域问题
解决复杂函数值值域问题线性规划问题考试考察重点难点根题目巧妙运数形结合思想勾画出函数致图构建准确数量关系便解题者简捷流畅解题结果
例6 已知函数
（1） 求单调区间
（2） 处取极值直线图三交点求m取值范围
解：（1）
时
时单调递增区间
时解
解
时单调递增区间
单调递减区间
（2）处取极值
解
（1）中单调性知处取极值
处取极值
直线函数图三交点图知：取值范围（31）
题运数形结合思想典例根函数性质勾画函数致图解答中结合题目中数量关系图通观察函数图特点 抓住解题契机寻找解题思路
例7 设满足值________
解：作出等式组表示面区域图阴影部分示
作点点距离方根图知行域点点距离
解方程组点坐标代入值80
35解决解方程问题
解较复杂方程时求解程繁琐法计算利函数方程根思想利数形结合思想方程根函数解解含参数方程时需参数容许值考虑值存情况确定方程解集合
例8根参数求方程解数
解：设作出应函数图两函数图交点数方程解数
图示图行横坐标直线位置参数取值变化变化
y
——
3
2
——
1
——
0
x
1
1
观察图出方程解数存四种情况：
（1） 方程四解时
（2） 方程三解时
（3） 方程两解时
（4） 方程没解时
该类型题目方程意义前提研究带未知元非常棘手先复杂代数转化成熟悉函数问题然作出图结合图特点运图性质研究问题迎刃解提高做题效率解决类似题目运数形结合思想典例
例9 方程解数________
解：面直角坐标系中作出图（图9）
图函数图第四象限3交点正弦函数图关原点称第二三象限3交点加原点7交点方程7解
该题样运数形结合思想函数方程思想方程求解程繁琐计算量利计算熟练掌握基函数图准确作图运数形结合思想解决问题前提运数形结合思想问题转化求两熟悉函数图交点问题助图观察两函数交点数方程根两函数图交点数
4 总结
数形结合思想应解决集合函数等式解方程线性方程等方面般解决问题基思路结合图形数构形形助数化抽象具体化繁简数形结合重点研究形助数解决选择题填空题中更体现优越性种思想意识融入学者潜意识中样胸中图图中数断开拓思维实现数形结合
题目中出定信息中注意点：①实数数轴点应关系②序数组坐标面(空间)点应关系③函数图应关系④曲线方程应关系⑤元素条件背景建立概念⑥已知代数式等式特征具明显意义[5]
数形结合思想种古数学方法先辈留宝贵数学知识着时代进步更加完善利数形间转化抽象问题具体化化繁简外进行数学解题数学研究十分重教学中应注重培养学生理解教材挖掘教材数形结合思想渗透生活中具体问题解决问题中学生正确理解 数形相性学生真正数形结合思想应解题中真正做学致
参考文献
[1] 肖学中学传统数学教学概J 科学出版社200892～93
[2] 黄数形结合思想中学中应C 辽宁师范学2011
[3] 汤服成中学数学解题思想方法M 广西师范学出版社2005208
[4] 朱成杰数学思想方法教学研究导[M] 高等教育出饭社：2007
[5] 陈天明基考试数形结合思想研究J 福建中学数学2017
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题 目 中学数学中数形结合思想
目录
1 引言 5
2 数形结合思想 5
3 数形结合思想中学数学中运 6
31解决集合问题 6
311利韦恩图法解决集合间问题 6
312利数轴解决集合关问题 7
32解决问题 8
33解决等式问题 9
34解决函数值值域问题 11
35解决解方程问题 13
4 总结 15
致谢 16
参考文献 16
中学数学中数形结合思想
段永健
指导教师 李素云
（玉溪师范学院数学信息技术学院云南 玉溪 653100）
摘：贯穿中学数学中数学思想中种数形结合中学数学中重效数学思想方法数形相结合通数形间互相转化根数学问题已知条件结间联系分析代数意义时揭示图形直观化繁简化难易达简化解题方法终解题时达事半功倍效果篇文述数形结合思想概念中学数学生活中种体现应
关键词：中学数学 数形结合思想 应
1 引言
贯穿数学知识学基数学思想体现基础数学中具奠基性总结性思维成果类思想中学阶段认识基数学思想包括：数形结合思想函数方程思想分类讨思想变换转化思想抽样统计思想整体思想极限思想等数形结合种重效数学思想数学方法中学数学中占非常重位
著名数学家华罗庚深深意识数形结合重性提样诗数形相倚焉分作两边飞？数缺形时少直觉形少数时难入微数形结合百般隔离分家万事休代数统体永远联系莫分离[1]数形结合彼联系分割
中学阶段灵活运数形结合思想助学者中学阶段更理解掌握知识提升逻辑思维力空间想象力运算力解题力特选择题填空题果熟练掌握巧妙运数形结合思想解题时题目中赢时间效率优势终取优异成绩究竟解决什样类型问题时需数形结合思想呢？该样时练中灵活运呢？
2 数形结合思想
谓数形结合思想数形数学两基研究象具体包括两方面：
第形觅数：数学问题根已知条件作出图形解决类问题关键寻找准确表达问题数量关系式问题代数化解决问题
第二数构形：数学问题代数运算代数问题通仔细观察代数式会发现具某种特征根 数形间关系代数问题化解决问题
样数形结合起认识问题理解问题方法称数形结合思想数形结合思想实质抽象数学语言直观图形巧妙结合起抽象思维直观思维结合勾画出应图形发挥直观现象抽象概念支柱作实现抽象概念具体现象联系转换化抽象直观化难易
数形结合建立数形间联系研究数学问题实现问题模型转化种基思想基方法研究问题程中注意数形结合起观察思考反复斟酌分析代数意义揭示直观数量关系精确刻画空间形式直观形象巧妙谐结合起充分利种结合[2]寻求正确解题思路难解决问题容易化繁琐问题简单化解决问题数形结合种重效数学思想数学方法
数形结合思想中学阶段仅新课程标准重点难点数学课求掌握思想方法解决抽象数学问题时关键学会灵活运数形结合思想方法解决问题样起事倍功半效果面进行探究：
3 数形结合思想中学数学中运
31 解决集合问题
311 利韦恩图法解决集合间问题
利韦恩图法想象丰富逻辑清晰直观解决关集合间复杂问题图形存公部分两集合公元素图形存公部分两集合没公元素
例1 50名公司职员调查AB两事件态度调查结果 意A数全体余意意B职员意A职员3余意外AB意数AB意数1问AB意者意者少？
解：意职员数意职员数图记50名职员组成集合意事件职员全体集合意B事件职员全体集合B
设该事件AB意职员数xAB意职员数意A意B数意B意A数33－x根题意解AB意职员21意8
题难点题目中信息量法快速理清头绪容易建立数量关系利维恩图形象表达出数量间关系
312助数轴解决集合关问题
通数轴集合解集等式形式分表示出肉眼观察直观出相交部分合起部分相交部分确定交集集
例2： 已知集合求
（1） 求a范围
（2） 求a范围
解：集合A取值范围利数轴表示
(1)（图2）包含关系知集合A元素集合B中存种情况a值存
(2)（图2）时集合B元素集合A中存
时成立时取值范围：（图2）
32解决问题
解决问题时观察图形代数意义运形数结合观点思考通形觅数转化进行数运算变式求出相应结果较容易找寻解题方法
例3[3] 圆O条弦中点作两条弦连接分交MN（图3）求证
β
δ
γ
α
解：设角假设图3示
△CGM中正弦定理
△CDM中
相交弦理①式
理②式
① ÷②
xyCMCN
题证明中没添加辅助线程简明均匀种灵巧感觉
33解决等式问题
解等式问题未知元允许值取值范围中求出适合等式未知元值值做等式解集简称等式解解等式中学数学中重点难点等式仅具灵活变换运广泛性质培养学生思维力考察结合图形研究丰富想象理清思路避免复杂讨计算达化繁简目
例4 解等式
解：原等式解
等式解
1
0
1
2
3
x
穿根法知原等式解：
题运穿根法通序轴标根穿根线区间正负形象表示值符号变换规律根等式中问题结合图形形象表示出图形中蕴含数量关系运学知识加解决问题较体现数形结合思想具备直观清晰易领会优点
例5 已知函数 时求等式解集
解：等式化
设函数
图图示．图知仅时
原等式解集
通两具体例子基体现数形结合思想解等式中运广泛性数学教学中 学生学会抓住数形结合解题契机作突破点做两点：
(1)审题时解题前注意运数形结合解析题目意理清思路寻找确定解题思路
(2)解题程中寻找合适表达问题数量关系式转换变形运数形结合实现问题模型转化简捷流畅解题结果
数形结合渗透中学数学中教学中求做数形关系揭示转化切实掌握形数相结合思想方法形数相结合观点研读教材掌握理解数学中相关概念公式法掌握形数相结合进行分析问题解决问题方法[4] 提升逻辑思维力空间想象力运算力解题力
34解决函数值值域问题
解决复杂函数值值域问题线性规划问题考试考察重点难点根题目巧妙运数形结合思想勾画出函数致图构建准确数量关系便解题者简捷流畅解题结果
例6 已知函数
（1） 求单调区间
（2） 处取极值直线图三交点求m取值范围
解：（1）
时
时单调递增区间
时解
解
时单调递增区间
单调递减区间
（2）处取极值
解
（1）中单调性知处取极值
处取极值
直线函数图三交点图知：取值范围（31）
题运数形结合思想典例根函数性质勾画函数致图解答中结合题目中数量关系图通观察函数图特点 抓住解题契机寻找解题思路
例7 设满足值________
解：作出等式组表示面区域图阴影部分示
作点点距离方根图知行域点点距离
解方程组点坐标代入值80
35解决解方程问题
解较复杂方程时求解程繁琐法计算利函数方程根思想利数形结合思想方程根函数解解含参数方程时需参数容许值考虑值存情况确定方程解集合
例8根参数求方程解数
解：设作出应函数图两函数图交点数方程解数
图示图行横坐标直线位置参数取值变化变化
y
——
3
2
——
1
——
0
x
1
1
观察图出方程解数存四种情况：
（1） 方程四解时
（2） 方程三解时
（3） 方程两解时
（4） 方程没解时
该类型题目方程意义前提研究带未知元非常棘手先复杂代数转化成熟悉函数问题然作出图结合图特点运图性质研究问题迎刃解提高做题效率解决类似题目运数形结合思想典例
例9 方程解数________
解：面直角坐标系中作出图（图9）
图函数图第四象限3交点正弦函数图关原点称第二三象限3交点加原点7交点方程7解
该题样运数形结合思想函数方程思想方程求解程繁琐计算量利计算熟练掌握基函数图准确作图运数形结合思想解决问题前提运数形结合思想问题转化求两熟悉函数图交点问题助图观察两函数交点数方程根两函数图交点数
4 总结
数形结合思想应解决集合函数等式解方程线性方程等方面般解决问题基思路结合图形数构形形助数化抽象具体化繁简数形结合重点研究形助数解决选择题填空题中更体现优越性种思想意识融入学者潜意识中样胸中图图中数断开拓思维实现数形结合
题目中出定信息中注意点：①实数数轴点应关系②序数组坐标面(空间)点应关系③函数图应关系④曲线方程应关系⑤元素条件背景建立概念⑥已知代数式等式特征具明显意义[5]
数形结合思想种古数学方法先辈留宝贵数学知识着时代进步更加完善利数形间转化抽象问题具体化化繁简外进行数学解题数学研究十分重教学中应注重培养学生理解教材挖掘教材数形结合思想渗透生活中具体问题解决问题中学生正确理解 数形相性学生真正数形结合思想应解题中真正做学致
参考文献
[1] 肖学中学传统数学教学概J 科学出版社200892～93
[2] 黄数形结合思想中学中应C 辽宁师范学2011
[3] 汤服成中学数学解题思想方法M 广西师范学出版社2005208
[4] 朱成杰数学思想方法教学研究导[M] 高等教育出饭社：2007
[5] 陈天明基考试数形结合思想研究J 福建中学数学2017
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