第十二章 富里埃级数
§1 富里埃级数
富里埃（Fourier）级数引进
1 定义：设周期函数绝积称形
函数项级数 Fourier级数( Fourier展开式)中
称 Fourier系数记
2 说明 1）未讨收敛性证明致收敛前~改处~包含等价意仅仅表示 Fourier级数者说 Fourier级数
2) 求 Fourier级数须求出Fourier系数
二 富里埃级数收敛性判
1 Riemann（黎曼）引理 设（界界）区间绝积
推 绝积函数Fourier系数
2 Fourier级数收敛充条件
定理1 时成立
中
3 Fourier级数收敛Dini判法
推 设限点外存界导数Fourier级数点点收敛
特 连续点时
例 设周期函数表示判定Fourier级数收敛性
例：设周期函数等判定 Fourier级数收敛性
例：
4 Jordan判法
设单调(界变差)
例：设周期函数表示 求 Fourier展开式
计算 Fourier系数积分长度区间积
例： 设周期函数等求 Fourier级数
果仅定义长区间例定义 时周期函数 述方法展开Fourier级数外补充定义周期 定义
述性质 a) 时 b) 周期
例
三 正弦级数余弦级数
1 定义 形三角级数(函数项级数)称正弦级数形三角级数（函数项级数）称余弦级数
2 果周期函数绝积 奇函数偶函数
3设仅定义 果奇函数求补充定义然作周期延拓必奇函数 Fourier级数必正弦级数 应 补充定义作周期延拓必偶函数 Fourier级数必余弦级数
例 )展开成余弦函数
例：展开余弦级数
四 般周期函数Fourier级数
设周期函数绝积
中
例 求Fourier展开式
五 Fourier级数复数表示形式 设 复数表示形式 中 复Fourier系数
§2 富里埃变换
富里埃变换概念
设绝积
定义1 称富里埃变换记
富里埃变换性质 （i）连续函数
（ii）
定义2 称富里埃逆变换称
富里埃变换积分公式
例： 求衰减函数富里埃变换
例： 求函数富里埃变换富里埃变换积分公式
二 富里埃变换性质
富里埃变换简单性质性质偏微分方程概率等课程中着重应
性质1（线性）中两意定常数
性质2（移）设
性质3（导数）设
性质4
第十三章 元函数极限连续性
§1面点集
邻域点列极限
定义1 面固定点距离点组成面点集做邻域记
定义2 设果邻域总存正整数时称点列收敛收敛记
性质：（1）
（2）收敛极限极限唯
二 开集闭集区域 设面点集
1． 点：设果存邻域称点
2． 外点：设存邻域称外点
3． 边界点：设面点属属果邻域 中点非中点称边界点边界点全体做边界
4． 开集：果点点称开集
5． 聚点：设面点属属果邻域 少含中（等）点称聚点
性质：设聚点中存点列极限
6． 闭集：设聚点称闭集
7． 区域：设开集中两点间限条直线段组成折线连接起 条折线全部含中称区域区域加边界闭区域
三 面点集基定理
1．矩形套定理：设矩形序列中矩形含前矩形中存唯点属矩形
2致密性定理：果序列界中必选取收敛子列
3限覆盖定理：开矩形集合覆盖界闭区域 里必选出限开矩形覆盖区域
4．收敛原理：面点列极限充分必条件：定总存正整数时
§2 元函数极限连续
元函数概念
数学理问题中实际问题中许量变化素决定素决定例行四边行面积相邻两边长宽夹角确定圆柱体体积底半径高决定元函数例子
般面定义：
定义1 设子集实数集规律果中点通规律中唯应称定义二元函数点函数值记值
时二元函数空间块曲面表示出研究问题提供直观想象例二元函数半球面球心原点半径函数定义域满足关系式全体马鞍面
二 元函数极限 定义2 设开集常数二元函数点附定义．果时称二元函数点极限记
定义等价叙述1 设开集常数二元函数点 附定义．果时称二元函数点极限记
定义等价叙述2 设开集常数二元函数点 附定义．果时称二元函数点极限记
注：（1）元函数情形样果点列方式趋时极限反方式点列趋时极限某点列某曲线时极限肯定极限说里元函数情形复杂面举例说明
例：设二元函数讨点二重极限
例：设二元函数讨点二重极限否存
例：讨该函数二重极限否存
二元函数极限较元函数极限言复杂特变量变化趋势较元函数复杂
例：
例：① ② ③
例：求（００）点极限极坐标换 （注意：时０时界）
例：（极坐标法举例）：设二元函数讨点二重极限．
证明二元极限存方法．
基思想：根重极限定义重极限存路径极限应存相等１）某特殊路径极限存２）某两特殊路径极限等３）极坐标法说明极限辐角关．
例：二重极限存．
三 二元函数连续性
定义3 设点定义果称点连续．
语言描述：
果开集点连续称连续称连续函数
例：求函数连续点
四 界闭区域连续函数性质
界性定理 界闭区域连续界
致连续性定理 界闭区域连续致连续
值值定理 界闭区域连续必值值
零点存定理 设中区域意两点连续函数果条连结折线少存点
五 二重极限二次极限
极限中两变量时方式趋种极限做重极限（二重极限）．外讨先相继趋时极限．种极限称累次极限（二次极限）定义：
固定时极限存：时极限存等称先二次极限记 ． 样定义先二次极限：．
述两类极限统称累次极限
注意：二次极限（累次极限）二重极限（重极限）没什必然联系
例：（二重极限存两二次极限存）．设
（两边夹）存知累次极限存
例：（两二次极限存相等二重极限存）设
知两二次极限存相等前面知 存
例：（两二次极限存相等）设
（交换）
面诸例说明：二次极限存否二重极限存否二者间没定关系某条件间会联系
定理1 设（1）二重极限（2）
（定理1说明：重极限累次极限存时必相等意味着累次极限存）
推1 设（1） （2）存（3） 存存等二重极限
推2 累次极限存相等重极限必存（否定重极限存性）
例：求函数二次极限二重极限
第十四章 元函数微分学
§1 偏导数全微分概念
偏导数定义
1． 偏导数定义
定义1 设二元函数定义某开集点（） D 中固定变元函数果点导果
(1)
存称极限值二元函数点（）关偏导数
记 类似定义
2． 偏导数计算
例 设求偏导数
例：求
例：U++yz 求
3 偏导数连续 点关（）导关（）连续推出关两变量连续见面例子
例：
4 偏导数意义
曲线切量
曲线切量
二 全微分定义 二元函数微分定义
定义2 函数全改变量表示
(++)++()
中关仅关称函数点微称点全微分记
性质1 果点（ ）微
注：点微
性质2 点（）微f点（）连续
例：设 证明点微
定理1 设函数两偏导数点（）存连续点（）微
例：设求
三 高阶偏导数高阶全微分 类似元函数高阶导数定义高阶偏导数
例：设 求
注：般情况未必
例： 设 求
定理2 设二元函数两混合偏导数()连续()()
§2 求复合函数求导链式法
复合函数求导链式法
定理1（链式法）设时点微点 关偏导数存
说明：(1) 种特殊情形：定理1显然讲2中间变量2变量情形思想方法完全适情形：
1）
2）设
例：设求
（2） 计算复合函数两阶两阶偏导数重复运链式法
(3)时记
例：
例：
（4）链式法链式法中条件充分非必链式法时注意微性条件
果满足条件链式法定成立
二 阶微分形式变性 阶微分重性质——形式变性二元函数中类似性质
设二元微函数果变量： （独立变量）（1）
果变量中间变量 设微构成复合函数：
（2）
（1）（2）知阶微分形式变性
注意（1）两阶微分没性质例
例：设
果二阶微分形式变性：
（2）利阶微分形式变性求偏导数
例：设利微分形式变性求 求出
（3）高阶微分具形式变性
§3 方程（组）确定函数求导法
前接触函数表达式变量某算式
种形式函数称显函数少场合常会遇种形式函数变量变量间应法方程式决定种形式函数称隐函数
节介绍方程确定隐函数求导法方程组确定隐函数求导法
． 方程情形
说明：（1） 求需假定假设重（2） 里链式法（3） 求导假定函数情况求导数确定
例： 设 例： 设二阶微求
二 方程组情形
设方程组 确定：具变元连续偏导数求偏导数？
解决方案：
求完全相
例：设
例：设
例：设变换方程
§4 空间曲线切线法面
节讨参数方程表示空间曲线方程组表示空间曲线切线法面计算问题
参数方程情形 设空间曲线参数方程
中参数设连续全0样曲线称光滑曲线通曲线点切线定义割线极限位置写出曲线点切线方程：
法面：点作穷条切线切线垂直直线面称面曲线点处法面方程：
例：求螺旋线：（中常数）点（00）切线方程法面方程
果曲线方程式表示： 点切线方程
点法面方程
空间曲线两曲面交线表示： 设关连续偏导数
例：求两柱面交线点切线方程法面方程
§5 曲面切面法线
1设光滑曲面方程曲面点点切面方程：
点切线面垂直直线称曲线点法线方程：
2曲面方程曲面切面方称
法线方程：
3曲面方程方程组出： 出中参数曲面切面方称
法线方程：
例：求曲面点（214）法量方余弦求法线方程切面方程
例：证明常数球面锥面正交
§6 方导数梯度
方导数 许实际问题中常常需知道函数点方某方变化率
定义1 设中区域D函数方量令果
存称极限点方方导数记表示点方变化率
定理1 设函数点微点方方导数存
中方方余弦
例：设求点（102）方（211）方导数
设中区域二元微函数点单位量方导数 中轴正（轴单位量）量间夹角
二 梯度 1引言
数量场中定点方方导数般相现关心：方方导数？值少？引进重概念——梯度
2梯度定义
定义2 设定义某三维区域设函数具关元连续偏导数称量
点梯度记
长度
注：量数量场产生量
3性质： 设微
（1）（常数）
（2） （3） （）
（4） （微）
例：设空间原点处点电荷真空中产生静电场空间点处电位：
4意义：方表示数量场方方导数达
根长方导数
例：求数量函数梯度
§7 泰勒公式
定理1 设函数点具直阶连续偏导数D意点
设
里
二元函数中值公式
中
例：写出点附函数泰勒公式
例：幂展开函数三项止
第十五章 极值条件极值
§1 极值二法
极值
定义1 设邻域成立等式 称函数点取极值点称函数极点邻域成立等式
称函数点取极值点称函数极点极值极值统称极值极点极点统称极值点
定义2 设区域点果称驻点 根费玛定理知
定理1 二元函数极值点必点少偏导数存点
注：定理1条件必条件充分条件
例：点 例：点
样进步判断否极值？
定理2 设点某邻域二阶连续偏导数点驻点：（1）点极值（2）点极值（3）点没极值（4）须进步判断
例：求 极值 例：求极值
元函数（）值问题
设函数某界闭区域中连续导必达（）值样点位区域部点显然函数极（）值种情形函数取（）值点必极值点然函数（）值区域边界达找出函数区域（）值必须找出切极值点算出点函数值区域边界函数值相较数值中数（数）函数闭区域（）值通常根问题实际意义判断
例：块宽24cm矩形薄铁皮两边折起做成梯形水槽问值时水槽流量？
例：试轴轴直线围成三角形区域求函数值
二 二法 例：已知…服线性关系：
问：根组数合理确定系数？
解：总偏差 确定系数总偏差种确定系数方法做二法令 解
疑问：1）果办？2）样求出 达极值点？
3）选取 时什取偏差代数作总偏差？
例：已知现测组数利二法求系数满足三元次方程组
§2 条件极值
谓条件极值
讨极值问题时会遇样种情形函数变量受某条件限制决定定点曲面短距离问题种情形知道点点距离现问题求出曲面点F问题化求函数条件值问题
总C正数数组中求数组函数值条件 限制求函数极值问题类问题做条件极值问题
二 条件极值必条件
方便起见时失般性仅讨情形
前提：设函数具变元连续偏导数变元间受条件限制：
中具变元连续偏导数行列式
目标：求函数限制条件极值必条件
定理1（限制极值必条件）限制条件点取极值必存常数该点：
称数（定数）
结果推广元函数
三 条件极值求法
具体解题时例限制条件求极值进行：
1． 引入函数（函数）：
2． 求极值（视独立变量）：
解极值点
3 求二阶全微分取极值取极值
例：求空间点面距离
例：制造容积16盖长方形水箱问水箱长宽高少时材料省？
第十六章 隐函数存定理函数相关
§1 隐函数存定理
方程情形
前面假定方程中确定前提出求导数方法然需指出：方程确定出隐函数必须知道方程什情况确定隐函数？
例：设方程问点附否确定函数？
定理1 （隐函数存定理） 设二元函数满足列条件：
注： (1)定理意义：条件(1)表明曲面光滑条件（2）表明曲面坐标面交点条件（3）（妨设）表明附固定设正曲面单调增加定理结：点附曲面条唯光滑交线（2）定理结局部性点某邻域方程唯确定微隐函数例：
点(01)某邻域方程确定唯点(01)某邻域方程确定唯 （3） 定理条件充分非必例中函数：（10）（10）两点破坏定理中条件（3）定理失效图中出右邻域左邻域值获两值：
唯性条件破坏
定理1中方程含两变量3变量甚变量类似结果
二 变量方程组情形
定理2 满足：
邻域变元连续偏导数
（2）
（3） FG关Jacobi矩阵
：（1）存点邻域邻域方程组
确定唯函数：满足：
（2）连续
（3）关连续偏导数
例：问：（1）方程确定关微函数？
（2）方程确定关微函数？
例：函数点旁唯确定胆汁连续连续导数函数？
§2 函数行列式性质函数相关
函数行列式性质 函数行列式仅隐含数存定理中起着重作分析问题应中常出现性质：
性质1 设函数
定义某维区域中关切变元连续偏导数设
定义某维区域中关切变元连续偏导数设值域包含中
注：性质成复合函数求导公式拓广
性质2 设函数
定义某维区域中关切变元连续偏导数反函数
存关切变元连续偏导数
第十七章 含参变量积分
设函数矩形连续定义含参积分
含参积分提供表达函数手段称含参积分表达函数含参积分种形式函数理应重作特殊函数种形式函数
面讨种积分确定函数连续性微性积性
定理1 函数矩形连续 函数连续
注：定理条件 极限运算通积分号
例：求
定理2 函数偏导数矩形连续
微分运算通积分号
例：时否利定理2计算导数？
定理3 函数偏导数矩形域连续 函数连续
函数连续
例：求
定理4 设函数函数偏导数矩形域连续函数存
例：设求
定理5函数矩形连续
注：定理条件累次积分交换求积分次序
例：求
例： 研究函数 连续性中连续正函数
解： 令连续中连续
时
时记
存 连续
定积分中值定理时
存 连续
问题1 面式子否写
事实赖极限存性难确定
例：设连续求证 （中 ）
满足微分方程
证：令
连续
例：设连续函数求
解：令
第项中令第二项中令
第十八章 含参变量广义积分
致收敛定义
定义1 设函数定义称含参变量穷积分
定义2设函数定义 时切成立
称含参穷积分关致收敛
定义3设值奇点积分存 时切成立
称含参穷积分关致收敛
二致收敛积分判法 假定积分收敛
定理1（魏尔斯特拉斯判法）设函数
果积分收敛关致收敛
例：证明含参穷积分致收敛
三致收敛积分性质
1 连续性定理
定理2 设函数连续关致收敛连续函数
注：定理条件 极限运算通积分号
2积分序交换定理
定理3设函数连续关致收敛
注：定理条件累次积分交换求积分次序
例：计算积分
3 积分号求导定理
定理4 设函数连续存关致收敛微分运算通积分号
例：计算积分
例：证明含参量非正常积分致收敛中区间非致收敛
4 含参穷积分函数项级数关系
定理5 积分致收敛数列 ↗
函数项级数致收敛
四欧拉（Euler）积分
介绍含参广义积分表达两特殊函数 统称Euler积分积分计算等方面 两特殊函数
1 Beta函数
（1） Beta函数连续性：
称(含两参数)含参积分Beta函数中少1 时 该积分瑕积分证 该积分收敛时点均瑕点积分分成考虑
时正常积分 时 点瑕点积函数非负
( Cauchy判法) 积分收敛 ( 易见时积分发散 )
时正常积分 时 点瑕点积函数非负
( Cauchy判法) 积分收敛 ( 易见时积分发散 )
综 时积分收敛 设D
积分定义D二元函数称该函数Beta函数 记
难验证 函数D闭致收敛 积函数D连续 函数D二元连续函数
（2）函数称性
函数两变元称 中变元具性质变元然具
2．Gamma函数
（1）Gamma函数 考虑穷限含参积分
时 点该积分瑕点 该积分分 讨敛散性
时正常积分时 利非负函数积Cauchy判法
注意时积分收敛 (易见时
Cauchy判法判积分发散) 时积分收敛
R成立积分R收敛
综 时积分收敛 称该积分Euler第二型积分 Euler第二型积分定义函数 称该函数Gamma函数 记
函数特殊函数
（2）函数连续性导性
区间非致收敛时积分发散 里利面结果 含参广义积分收敛 点发散 积分非致收敛区间闭致收敛致收敛 时 积分 积分收敛积分 积分收敛M—判法致收敛 积分区间致收敛
作类似讨积分区间闭致收敛结
连续性 区间连续 导性 区间导
理 区间意阶导
（3）递推公式函数表 递推公式
证
利递推公式
…………
般
见 正正整数阶表达式 定义 易见该定义意义视实数阶样 然正整数阶延拓实数 然 见初等数学中规定 合理
例：计算积分
第十九章 积分（二重三重积分第类曲线曲面积分）定义性质
§1 二重积分三重积分第类曲线积分第类曲面积分概念
1 二重积分三重积分第类曲线积分第类曲面积分成已知物体密度求物体质量
物体形状
2 体黎曼积分定义
定义1 设块形体形体度量形体定义函数形体分干度量块…然块度量皆度量言度量记令块中取点做列式：
果式样分划取法时恒极限称极限形体黎曼积分记：
极限分法取法关
叙述：果意定数总存数意分法时点选取恒称黎曼积分记：
时称积
根形体形态进步出积分具体表示式名称
（1）果体块求面积面图形积分称二重积分直角坐标记
（2）果体块求体积空间体积分称三重积分直角坐标记
（3）果体块求长空间曲线段积分称第类曲线积分直角坐标记
（4）果体块求面积曲面片积分称第类曲面积分直角坐标记
3．性质 （1） （2）积界
§2 积分性质
性质1 函数积常数积
常数子积分号里提出（注意定积分）
性质2 函数积积
性质3 函数积积
反积积述等式成立
性质4 函数积成立
性质5 函数积积
注：积推出积
例： 积积
性质6（积分第中值定理）函数积存常数
推 函数连续少存点
例：函数连续恒等0
第二十章 重积分
§1二重积分计算
化二重积分二次计分
1 关体积计算
2 矩形二重积分化二次积分进行计算
简单说形积分称先二次积分确切说设函数定义果意确定变量元函数设
意义值函数记体积
样先二次积分：
例中先二次积分等先二次积分两二次积分相等现象包含面定理中
3．般性化二重积分二次积分
面区域中两类特殊区域具代表性示区域集合表示：
型区域
特点直线区域边界交两点示区域集合表示：
型区域
特点直线区域边界交两点
什说两类区域常（具代表性）许常见区域分割限分类点型区域型区域解决型区域型区域二重积分计算方法般区域二重积分计算问题解决
计算型区域型区域二重积分呢？ 基想法化二重积分二次积分（累次积分）问题化什样二次积分呢？面结果：
定理1 设
例：化二重积分二次积分中直线抛物线围面区域
例：求围空间区域体积V
例：求二次积分
注意：外层积分积分限定常数
二 极坐标计算二重积分
种情形函数f积采种积分次序算出
例：
定积分中换元积分法简化定积分计算起着重作二重积分相应换元公式简化积分区域积函数
作极坐标变换：
变换函数区域二重积分化
说明：①注意极坐标交换变成极坐标系二重积分计算极坐标系二重积分极坐标二重积分样化二次积分计算面分情况讨：
情形1 []连续函数称型区域时化面形式：
情形2 中C[]（型区域）时
情形3 极点O积分区域点交换区域：
处边界曲线
情形4 积分区域边界曲线通极点O时应先求出极径继0两角度时：
②时极坐标变换？积分区域圆域圆域部分积函数形式时采极坐标交换计算简便
例： 例：求
三 二重积分般变量换
计算二重积分引面讲极坐标特殊交换外时取般变量换
定理2 设面闭区域连续函数设 （*）
关连续偏导数通（*）变变换（*）
设
注：（1）定理中假设时会遇种情形变换行列式区域点等0
区域等0点非0时述结成立
（2）特例：时根①
（3）具体问题中选择变换公式两条：（i）交换函数容易积分（ii）积分限容易安排
例：求椭球体体积
例 求出抛物线双曲线围区域面积
§2 三重积分计算
化三重积分三次积分
设中（闭）长方体定义界函数三重积分化先积分： 积分
等等（6种）
时（连续时）三次积分值积分次序关相等
1 计算（化逐次积分）
●设
果
●设
2 三重积分直接计算方法（举例）
例：：面围成区域
例：：锥面面围（）成区域
例：： 部区域
二 三重积分变量换 设作变量换： 满足列条件：
（1） 建立间应
（2）关连续偏导数变换：关连续偏导数
（3） Jacohi行列式 零点
注：二重积分类似J点点零时述公式成立
常坐标变换
1 柱坐标代换
令三重积分柱坐标换元公式
注：柱坐标变换适型积函数积分区域
注：柱坐标计算三重积分通常找出面投影区域
时
先积分计算三重积分中二重积分极坐标计算（极坐标系二重积分）
例：D半球面抛物面围区域
2．球面坐标变换
球面坐标：设空间点面投影线段轴正间交角（）两面交角（）做点M球面坐标
球面坐标中三族坐标面：常数原点中心球面常数原点顶点轴轴圆锥面常数轴柱面（两两正交正交坐标系）时取作时点直角坐标球面坐标点系：
令
例：求球面锥面围区域体积中锥面轴轴顶角锥面
§3 积分物理应
质心
设块度量体密度函数假设连续函数体质心坐标：
具体说果体块空间体积块体积质心坐标应：
例：求密度均匀半椭球体质心
二 矩
设块度量形体密度函数设连续分称
物体关坐标面坐标面坐标面阶矩时称零阶矩表示物体质量时称静矩时称转动惯量
例：计算面围成均匀物体（设）坐标面转动惯量
例：求密度均匀圆环圆环面中心轴转动惯量
例：求密度均匀圆盘直径转动惯量
例：设某球体密度球心距离成正求切面转动惯量
三 引力
设块度量体密度函数连续函数外点质点具单位质量体质点引力三坐标轴分量分
中引力常数
例：设球体具均匀密度求球外点(质量1)引力
§4 广义重积分
重积分作两方面拓广：界区域积分界函数积分
定义1 设面界区域函数点定义意光滑曲线中划出限区域设二重积分存曲线连续变动时划出区域限扩展趋区域时果形状 扩展程样 常极限值称函数界区域二重积分记 时称函数积分收敛否称积分发散
柯西判法 设界区域意界区域二重积分存果相远处满足
中正常数原点距离积分收敛
例：计算广义重积分
例：讨广义重积分收敛性
定义2 设界区域奇点奇线（函数点线附界）中光滑曲线隔开奇点奇线围成区域记果区域收缩奇点奇线时积分极限值存取法收缩方式关称极限值界函数广义二重积分记称函数积分收敛否称积分发散
柯西判法 设奇点果充分邻点
中正常数点距离积分收敛
例：计算广义重积分 例：讨广义重积分收敛性
第21章 曲线积分曲面积分计算
§1 第类曲线积分计算
设函数光滑曲线定义连续方程
特果曲线条光滑面曲线方程
例：设半圆周 求
例：设曲线点点段计算第类曲线积分
例：计算积分中球面面截圆周
例：求处连接三点直线段
§2 第类曲面积分计算
曲面面积
（1）设曲面块方程 具连续偏导数曲面光滑面投影求面积该曲面块面积
（2）曲面方程 令
该曲面块面积
例：求球面含柱面部面积
例：求球面含柱面部面积
二 化第类曲面积分二重积分
（1）设函数定义曲面连续函数曲面方程具连续偏导数曲面光滑面投影求面积
（2）设函数定义曲面连续函数曲面方程
令
例：计算球面
例：计算中螺旋面部分：
注：第类曲面积分通二重积分定义什第类曲面积分中二重积分符原
例：I球面球心原点半径
§3 第二类曲线积分
变力做功第二类曲线积分定义
1力场面曲线点A点B作功先微元法定义积分方法讨问题
2 第二型曲线积分定义
定义1 设条光滑逐段光滑曲线设定义界函数确定方起点开始分点分成弧段直终点设弧段 取点作式：
中起点终点设里表示线段长度时极限分法关点选择关称曲线述方第二类曲线积分记作
注：果量量曲线定方第二类曲线积分
注：第二类曲线积分曲线方关第二类曲线积分重性质区第类曲线积分特征
注：面情况立面闭路循方作环行时闭路围成区域部分总左方方算作正否算作负时方变曲线积分值起点位置关
二 第二类曲线积分计算
设曲线身相交参数方程： 设光滑设参数调增加时曲线点定方连续变点设函数定义曲线设连续 （*）
注：（*）积分限必须应积分曲线起点限必须应终点
注：果量量曲线定方第二类曲线积分
例：计算积分 L两端点A( 1 1 ) B( 2 3 ) 积分点A点B闭合 路径
（1）直线段AB （2）抛物线
（3）折线闭合路径A( 1 1 )D( 2 1 ) B( 2 3 ) A( 1 1 )
例：计算积分 里L
（1）抛物线点O( 0 0 )点B( 1 2 )
（2）直线点O( 0 0 )点B( 1 2 )
（3）折线封闭路径O(00) A(10 ) B(12 ) O(00)
例：计算第二型曲线积分I 中L螺旋线段
三 两类曲线积分联系
第类曲线积分第二类曲线积分定义曲线积分两者间密切联系两者间联系式
例：证明：曲线积分估计式
利等式估计：证明
例：设面区域连续闭曲线围成区域面积设推导曲线积分计算面积公式：
§4 第二类曲面积分
曲面侧概念
1．单侧曲面双侧曲面
实际生活中碰双侧曲面单侧曲面存牟彼乌斯带类曲面典型例子
2．曲面侧侧外侧侧
双侧曲面定 曲面侧左右侧前侧 设法量
侧法线方应第三分量 选+号时应法线方轴正成锐角 类似确定余侧法线方 封闭曲面分侧外侧
二 第二类曲面积分定义
先讨显式方程 表示重点光滑曲面设面投影边界逐段光滑曲线围成区域设选定曲面侧确定定
现曲面方法分割块设面投影区域相应分割果取侧时算作正取侧时算作负设界函数定义块取点作式
中表示面积述见带符号符号选侧决定设致敬记时确定极限曲面分割方法关点选择关称曲面选定侧第二类曲面积分记
注：时会碰积分连起情形例：
注：果曲面侧积分值应变号
三 两类曲面积分联系第二类曲面积分计算
第二型曲面积分第型曲面积分关系
设曲面指定法
定理1 设定义光滑曲面D连续函数 侧正侧()
类似 光滑曲面D 前侧积分
光滑曲面 D 右侧积分
计算积分时 通常分开计算三积分
分曲面投影YZ面 ZX面XY面化二重积分进行计算投影域侧曲面定决定
推 设定义光滑曲面D连续函数
曲面方侧 等式前取＋号 曲面方侧 等式前取－号
例：计算积分中球面 部分取外侧
例：计算积分球面取外侧
解： 积分 分记前半球面半球面外侧
+
积分 分记右半球面左半球面外侧
+
积分 分记半球面半球面外侧
+
综
第二十二章 种积分间联系场初步
§1 种积分间联系
Green公式
定义1 面区域果全落区域条封闭曲线外点连续收缩点称区域单连通否称复连通
定理1 设光滑曲线边界面单连通区域设函数连续具关变量连续偏导数：
里右端积分路径方区域正相联系着曲线行走时区域恒左边
注：Green公式时揭示面某区域二维积分该边界特定第二类曲线积分间关系
注：常第二类曲线积分时计算二重积分Green公式中
例：求第二类曲线积分I 半圆周： 方
例：设函数二阶连续偏导数记证明
(i)
(ii) (3)
例：（Green公式求曲面面积）求曲线围图形面积
注：Green公式时应注意助线法
二 Gauss公式
定理2 设空间二维单连通界闭区域边界曲面光滑设函数具关连续偏导数：
曲面外法线方第二积分曲面外侧
注：①Gauss公式揭示中某区域三重积分区域边界特定曲面积分间关系
② Green公式样Gauss公式计算某空间立体积分：
例：求积分 I 外侧
例：求积分 中锥面
注：Gauss公式时应注意助面法
三 Stokes公式
定理3（Stokes）设光滑曲面边界光滑曲线设函数曲面 曲线具关连续偏导数：
曲线积分方曲面侧右手法联系
注：右端积分第二类曲面积分左端积分第二类曲线积分Stokes公式第二类曲面积分第二类曲线积分纽带
例：求曲线积分中柱面x面交线方轴正已知方逆时针
§2 曲线积分路径关性
引言
第二类曲线积分仅曲线起点终点关积分路径关起点重点路径第二类曲线积分般相什样条件第二类曲线积分积分路径关仅曲线起点重点关呢？面面中情形讨问题
定理1 函数区域连续偏导数单连通区域列命题等价：
⑴ D意条闭曲线
⑵ 意条闭曲线曲线积分 路径关（赖曲线端点）
⑶存微函数成立 ⑷D处处成立
定义1 曲线积分路径关时满足面诸条件时令点固定点区域意点连续单值函数称原函数
原函数求法： （1）
（2）
例：求原函数 （1）
（2）
定义2 绕奇点周闭路积分值做区域循环常数记闭路
里逆时针方绕圈数
例：证明关奇点循环常数积分路径关
§3 场初步
场概念
物理量空间部分空间分布称场场分定常场定常场
二 量场散度旋度
设量场闭曲面包围空间区域曲面外法线高斯公式
定义1 量称量散度形成数量场记
利散度定义高斯公式写 高斯公式量形式说明：量通闭曲面流量等量散度包围区域三重积分
定义2 称量量旋度记：
利定义Stokes公式改写量形式：
说明：量闭曲线环流量等旋度通边界张意曲面流量
散度旋度定义
例：求点散度旋度
例：证明
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§1 富里埃级数
富里埃（Fourier）级数引进
1 定义：设周期函数绝积称形
函数项级数 Fourier级数( Fourier展开式)中
称 Fourier系数记
2 说明 1）未讨收敛性证明致收敛前~改处~包含等价意仅仅表示 Fourier级数者说 Fourier级数
2) 求 Fourier级数须求出Fourier系数
二 富里埃级数收敛性判
1 Riemann（黎曼）引理 设（界界）区间绝积
推 绝积函数Fourier系数
2 Fourier级数收敛充条件
定理1 时成立
中
3 Fourier级数收敛Dini判法
推 设限点外存界导数Fourier级数点点收敛
特 连续点时
例 设周期函数表示判定Fourier级数收敛性
例：设周期函数等判定 Fourier级数收敛性
例：
4 Jordan判法
设单调(界变差)
例：设周期函数表示 求 Fourier展开式
计算 Fourier系数积分长度区间积
例： 设周期函数等求 Fourier级数
果仅定义长区间例定义 时周期函数 述方法展开Fourier级数外补充定义周期 定义
述性质 a) 时 b) 周期
例
三 正弦级数余弦级数
1 定义 形三角级数(函数项级数)称正弦级数形三角级数（函数项级数）称余弦级数
2 果周期函数绝积 奇函数偶函数
3设仅定义 果奇函数求补充定义然作周期延拓必奇函数 Fourier级数必正弦级数 应 补充定义作周期延拓必偶函数 Fourier级数必余弦级数
例 )展开成余弦函数
例：展开余弦级数
四 般周期函数Fourier级数
设周期函数绝积
中
例 求Fourier展开式
五 Fourier级数复数表示形式 设 复数表示形式 中 复Fourier系数
§2 富里埃变换
富里埃变换概念
设绝积
定义1 称富里埃变换记
富里埃变换性质 （i）连续函数
（ii）
定义2 称富里埃逆变换称
富里埃变换积分公式
例： 求衰减函数富里埃变换
例： 求函数富里埃变换富里埃变换积分公式
二 富里埃变换性质
富里埃变换简单性质性质偏微分方程概率等课程中着重应
性质1（线性）中两意定常数
性质2（移）设
性质3（导数）设
性质4
第十三章 元函数极限连续性
§1面点集
邻域点列极限
定义1 面固定点距离点组成面点集做邻域记
定义2 设果邻域总存正整数时称点列收敛收敛记
性质：（1）
（2）收敛极限极限唯
二 开集闭集区域 设面点集
1． 点：设果存邻域称点
2． 外点：设存邻域称外点
3． 边界点：设面点属属果邻域 中点非中点称边界点边界点全体做边界
4． 开集：果点点称开集
5． 聚点：设面点属属果邻域 少含中（等）点称聚点
性质：设聚点中存点列极限
6． 闭集：设聚点称闭集
7． 区域：设开集中两点间限条直线段组成折线连接起 条折线全部含中称区域区域加边界闭区域
三 面点集基定理
1．矩形套定理：设矩形序列中矩形含前矩形中存唯点属矩形
2致密性定理：果序列界中必选取收敛子列
3限覆盖定理：开矩形集合覆盖界闭区域 里必选出限开矩形覆盖区域
4．收敛原理：面点列极限充分必条件：定总存正整数时
§2 元函数极限连续
元函数概念
数学理问题中实际问题中许量变化素决定素决定例行四边行面积相邻两边长宽夹角确定圆柱体体积底半径高决定元函数例子
般面定义：
定义1 设子集实数集规律果中点通规律中唯应称定义二元函数点函数值记值
时二元函数空间块曲面表示出研究问题提供直观想象例二元函数半球面球心原点半径函数定义域满足关系式全体马鞍面
二 元函数极限 定义2 设开集常数二元函数点附定义．果时称二元函数点极限记
定义等价叙述1 设开集常数二元函数点 附定义．果时称二元函数点极限记
定义等价叙述2 设开集常数二元函数点 附定义．果时称二元函数点极限记
注：（1）元函数情形样果点列方式趋时极限反方式点列趋时极限某点列某曲线时极限肯定极限说里元函数情形复杂面举例说明
例：设二元函数讨点二重极限
例：设二元函数讨点二重极限否存
例：讨该函数二重极限否存
二元函数极限较元函数极限言复杂特变量变化趋势较元函数复杂
例：
例：① ② ③
例：求（００）点极限极坐标换 （注意：时０时界）
例：（极坐标法举例）：设二元函数讨点二重极限．
证明二元极限存方法．
基思想：根重极限定义重极限存路径极限应存相等１）某特殊路径极限存２）某两特殊路径极限等３）极坐标法说明极限辐角关．
例：二重极限存．
三 二元函数连续性
定义3 设点定义果称点连续．
语言描述：
果开集点连续称连续称连续函数
例：求函数连续点
四 界闭区域连续函数性质
界性定理 界闭区域连续界
致连续性定理 界闭区域连续致连续
值值定理 界闭区域连续必值值
零点存定理 设中区域意两点连续函数果条连结折线少存点
五 二重极限二次极限
极限中两变量时方式趋种极限做重极限（二重极限）．外讨先相继趋时极限．种极限称累次极限（二次极限）定义：
固定时极限存：时极限存等称先二次极限记 ． 样定义先二次极限：．
述两类极限统称累次极限
注意：二次极限（累次极限）二重极限（重极限）没什必然联系
例：（二重极限存两二次极限存）．设
（两边夹）存知累次极限存
例：（两二次极限存相等二重极限存）设
知两二次极限存相等前面知 存
例：（两二次极限存相等）设
（交换）
面诸例说明：二次极限存否二重极限存否二者间没定关系某条件间会联系
定理1 设（1）二重极限（2）
（定理1说明：重极限累次极限存时必相等意味着累次极限存）
推1 设（1） （2）存（3） 存存等二重极限
推2 累次极限存相等重极限必存（否定重极限存性）
例：求函数二次极限二重极限
第十四章 元函数微分学
§1 偏导数全微分概念
偏导数定义
1． 偏导数定义
定义1 设二元函数定义某开集点（） D 中固定变元函数果点导果
(1)
存称极限值二元函数点（）关偏导数
记 类似定义
2． 偏导数计算
例 设求偏导数
例：求
例：U++yz 求
3 偏导数连续 点关（）导关（）连续推出关两变量连续见面例子
例：
4 偏导数意义
曲线切量
曲线切量
二 全微分定义 二元函数微分定义
定义2 函数全改变量表示
(++)++()
中关仅关称函数点微称点全微分记
性质1 果点（ ）微
注：点微
性质2 点（）微f点（）连续
例：设 证明点微
定理1 设函数两偏导数点（）存连续点（）微
例：设求
三 高阶偏导数高阶全微分 类似元函数高阶导数定义高阶偏导数
例：设 求
注：般情况未必
例： 设 求
定理2 设二元函数两混合偏导数()连续()()
§2 求复合函数求导链式法
复合函数求导链式法
定理1（链式法）设时点微点 关偏导数存
说明：(1) 种特殊情形：定理1显然讲2中间变量2变量情形思想方法完全适情形：
1）
2）设
例：设求
（2） 计算复合函数两阶两阶偏导数重复运链式法
(3)时记
例：
例：
（4）链式法链式法中条件充分非必链式法时注意微性条件
果满足条件链式法定成立
二 阶微分形式变性 阶微分重性质——形式变性二元函数中类似性质
设二元微函数果变量： （独立变量）（1）
果变量中间变量 设微构成复合函数：
（2）
（1）（2）知阶微分形式变性
注意（1）两阶微分没性质例
例：设
果二阶微分形式变性：
（2）利阶微分形式变性求偏导数
例：设利微分形式变性求 求出
（3）高阶微分具形式变性
§3 方程（组）确定函数求导法
前接触函数表达式变量某算式
种形式函数称显函数少场合常会遇种形式函数变量变量间应法方程式决定种形式函数称隐函数
节介绍方程确定隐函数求导法方程组确定隐函数求导法
． 方程情形
说明：（1） 求需假定假设重（2） 里链式法（3） 求导假定函数情况求导数确定
例： 设 例： 设二阶微求
二 方程组情形
设方程组 确定：具变元连续偏导数求偏导数？
解决方案：
求完全相
例：设
例：设
例：设变换方程
§4 空间曲线切线法面
节讨参数方程表示空间曲线方程组表示空间曲线切线法面计算问题
参数方程情形 设空间曲线参数方程
中参数设连续全0样曲线称光滑曲线通曲线点切线定义割线极限位置写出曲线点切线方程：
法面：点作穷条切线切线垂直直线面称面曲线点处法面方程：
例：求螺旋线：（中常数）点（00）切线方程法面方程
果曲线方程式表示： 点切线方程
点法面方程
空间曲线两曲面交线表示： 设关连续偏导数
例：求两柱面交线点切线方程法面方程
§5 曲面切面法线
1设光滑曲面方程曲面点点切面方程：
点切线面垂直直线称曲线点法线方程：
2曲面方程曲面切面方称
法线方程：
3曲面方程方程组出： 出中参数曲面切面方称
法线方程：
例：求曲面点（214）法量方余弦求法线方程切面方程
例：证明常数球面锥面正交
§6 方导数梯度
方导数 许实际问题中常常需知道函数点方某方变化率
定义1 设中区域D函数方量令果
存称极限点方方导数记表示点方变化率
定理1 设函数点微点方方导数存
中方方余弦
例：设求点（102）方（211）方导数
设中区域二元微函数点单位量方导数 中轴正（轴单位量）量间夹角
二 梯度 1引言
数量场中定点方方导数般相现关心：方方导数？值少？引进重概念——梯度
2梯度定义
定义2 设定义某三维区域设函数具关元连续偏导数称量
点梯度记
长度
注：量数量场产生量
3性质： 设微
（1）（常数）
（2） （3） （）
（4） （微）
例：设空间原点处点电荷真空中产生静电场空间点处电位：
4意义：方表示数量场方方导数达
根长方导数
例：求数量函数梯度
§7 泰勒公式
定理1 设函数点具直阶连续偏导数D意点
设
里
二元函数中值公式
中
例：写出点附函数泰勒公式
例：幂展开函数三项止
第十五章 极值条件极值
§1 极值二法
极值
定义1 设邻域成立等式 称函数点取极值点称函数极点邻域成立等式
称函数点取极值点称函数极点极值极值统称极值极点极点统称极值点
定义2 设区域点果称驻点 根费玛定理知
定理1 二元函数极值点必点少偏导数存点
注：定理1条件必条件充分条件
例：点 例：点
样进步判断否极值？
定理2 设点某邻域二阶连续偏导数点驻点：（1）点极值（2）点极值（3）点没极值（4）须进步判断
例：求 极值 例：求极值
元函数（）值问题
设函数某界闭区域中连续导必达（）值样点位区域部点显然函数极（）值种情形函数取（）值点必极值点然函数（）值区域边界达找出函数区域（）值必须找出切极值点算出点函数值区域边界函数值相较数值中数（数）函数闭区域（）值通常根问题实际意义判断
例：块宽24cm矩形薄铁皮两边折起做成梯形水槽问值时水槽流量？
例：试轴轴直线围成三角形区域求函数值
二 二法 例：已知…服线性关系：
问：根组数合理确定系数？
解：总偏差 确定系数总偏差种确定系数方法做二法令 解
疑问：1）果办？2）样求出 达极值点？
3）选取 时什取偏差代数作总偏差？
例：已知现测组数利二法求系数满足三元次方程组
§2 条件极值
谓条件极值
讨极值问题时会遇样种情形函数变量受某条件限制决定定点曲面短距离问题种情形知道点点距离现问题求出曲面点F问题化求函数条件值问题
总C正数数组中求数组函数值条件 限制求函数极值问题类问题做条件极值问题
二 条件极值必条件
方便起见时失般性仅讨情形
前提：设函数具变元连续偏导数变元间受条件限制：
中具变元连续偏导数行列式
目标：求函数限制条件极值必条件
定理1（限制极值必条件）限制条件点取极值必存常数该点：
称数（定数）
结果推广元函数
三 条件极值求法
具体解题时例限制条件求极值进行：
1． 引入函数（函数）：
2． 求极值（视独立变量）：
解极值点
3 求二阶全微分取极值取极值
例：求空间点面距离
例：制造容积16盖长方形水箱问水箱长宽高少时材料省？
第十六章 隐函数存定理函数相关
§1 隐函数存定理
方程情形
前面假定方程中确定前提出求导数方法然需指出：方程确定出隐函数必须知道方程什情况确定隐函数？
例：设方程问点附否确定函数？
定理1 （隐函数存定理） 设二元函数满足列条件：
注： (1)定理意义：条件(1)表明曲面光滑条件（2）表明曲面坐标面交点条件（3）（妨设）表明附固定设正曲面单调增加定理结：点附曲面条唯光滑交线（2）定理结局部性点某邻域方程唯确定微隐函数例：
点(01)某邻域方程确定唯点(01)某邻域方程确定唯 （3） 定理条件充分非必例中函数：（10）（10）两点破坏定理中条件（3）定理失效图中出右邻域左邻域值获两值：
唯性条件破坏
定理1中方程含两变量3变量甚变量类似结果
二 变量方程组情形
定理2 满足：
邻域变元连续偏导数
（2）
（3） FG关Jacobi矩阵
：（1）存点邻域邻域方程组
确定唯函数：满足：
（2）连续
（3）关连续偏导数
例：问：（1）方程确定关微函数？
（2）方程确定关微函数？
例：函数点旁唯确定胆汁连续连续导数函数？
§2 函数行列式性质函数相关
函数行列式性质 函数行列式仅隐含数存定理中起着重作分析问题应中常出现性质：
性质1 设函数
定义某维区域中关切变元连续偏导数设
定义某维区域中关切变元连续偏导数设值域包含中
注：性质成复合函数求导公式拓广
性质2 设函数
定义某维区域中关切变元连续偏导数反函数
存关切变元连续偏导数
第十七章 含参变量积分
设函数矩形连续定义含参积分
含参积分提供表达函数手段称含参积分表达函数含参积分种形式函数理应重作特殊函数种形式函数
面讨种积分确定函数连续性微性积性
定理1 函数矩形连续 函数连续
注：定理条件 极限运算通积分号
例：求
定理2 函数偏导数矩形连续
微分运算通积分号
例：时否利定理2计算导数？
定理3 函数偏导数矩形域连续 函数连续
函数连续
例：求
定理4 设函数函数偏导数矩形域连续函数存
例：设求
定理5函数矩形连续
注：定理条件累次积分交换求积分次序
例：求
例： 研究函数 连续性中连续正函数
解： 令连续中连续
时
时记
存 连续
定积分中值定理时
存 连续
问题1 面式子否写
事实赖极限存性难确定
例：设连续求证 （中 ）
满足微分方程
证：令
连续
例：设连续函数求
解：令
第项中令第二项中令
第十八章 含参变量广义积分
致收敛定义
定义1 设函数定义称含参变量穷积分
定义2设函数定义 时切成立
称含参穷积分关致收敛
定义3设值奇点积分存 时切成立
称含参穷积分关致收敛
二致收敛积分判法 假定积分收敛
定理1（魏尔斯特拉斯判法）设函数
果积分收敛关致收敛
例：证明含参穷积分致收敛
三致收敛积分性质
1 连续性定理
定理2 设函数连续关致收敛连续函数
注：定理条件 极限运算通积分号
2积分序交换定理
定理3设函数连续关致收敛
注：定理条件累次积分交换求积分次序
例：计算积分
3 积分号求导定理
定理4 设函数连续存关致收敛微分运算通积分号
例：计算积分
例：证明含参量非正常积分致收敛中区间非致收敛
4 含参穷积分函数项级数关系
定理5 积分致收敛数列 ↗
函数项级数致收敛
四欧拉（Euler）积分
介绍含参广义积分表达两特殊函数 统称Euler积分积分计算等方面 两特殊函数
1 Beta函数
（1） Beta函数连续性：
称(含两参数)含参积分Beta函数中少1 时 该积分瑕积分证 该积分收敛时点均瑕点积分分成考虑
时正常积分 时 点瑕点积函数非负
( Cauchy判法) 积分收敛 ( 易见时积分发散 )
时正常积分 时 点瑕点积函数非负
( Cauchy判法) 积分收敛 ( 易见时积分发散 )
综 时积分收敛 设D
积分定义D二元函数称该函数Beta函数 记
难验证 函数D闭致收敛 积函数D连续 函数D二元连续函数
（2）函数称性
函数两变元称 中变元具性质变元然具
2．Gamma函数
（1）Gamma函数 考虑穷限含参积分
时 点该积分瑕点 该积分分 讨敛散性
时正常积分时 利非负函数积Cauchy判法
注意时积分收敛 (易见时
Cauchy判法判积分发散) 时积分收敛
R成立积分R收敛
综 时积分收敛 称该积分Euler第二型积分 Euler第二型积分定义函数 称该函数Gamma函数 记
函数特殊函数
（2）函数连续性导性
区间非致收敛时积分发散 里利面结果 含参广义积分收敛 点发散 积分非致收敛区间闭致收敛致收敛 时 积分 积分收敛积分 积分收敛M—判法致收敛 积分区间致收敛
作类似讨积分区间闭致收敛结
连续性 区间连续 导性 区间导
理 区间意阶导
（3）递推公式函数表 递推公式
证
利递推公式
…………
般
见 正正整数阶表达式 定义 易见该定义意义视实数阶样 然正整数阶延拓实数 然 见初等数学中规定 合理
例：计算积分
第十九章 积分（二重三重积分第类曲线曲面积分）定义性质
§1 二重积分三重积分第类曲线积分第类曲面积分概念
1 二重积分三重积分第类曲线积分第类曲面积分成已知物体密度求物体质量
物体形状
2 体黎曼积分定义
定义1 设块形体形体度量形体定义函数形体分干度量块…然块度量皆度量言度量记令块中取点做列式：
果式样分划取法时恒极限称极限形体黎曼积分记：
极限分法取法关
叙述：果意定数总存数意分法时点选取恒称黎曼积分记：
时称积
根形体形态进步出积分具体表示式名称
（1）果体块求面积面图形积分称二重积分直角坐标记
（2）果体块求体积空间体积分称三重积分直角坐标记
（3）果体块求长空间曲线段积分称第类曲线积分直角坐标记
（4）果体块求面积曲面片积分称第类曲面积分直角坐标记
3．性质 （1） （2）积界
§2 积分性质
性质1 函数积常数积
常数子积分号里提出（注意定积分）
性质2 函数积积
性质3 函数积积
反积积述等式成立
性质4 函数积成立
性质5 函数积积
注：积推出积
例： 积积
性质6（积分第中值定理）函数积存常数
推 函数连续少存点
例：函数连续恒等0
第二十章 重积分
§1二重积分计算
化二重积分二次计分
1 关体积计算
2 矩形二重积分化二次积分进行计算
简单说形积分称先二次积分确切说设函数定义果意确定变量元函数设
意义值函数记体积
样先二次积分：
例中先二次积分等先二次积分两二次积分相等现象包含面定理中
3．般性化二重积分二次积分
面区域中两类特殊区域具代表性示区域集合表示：
型区域
特点直线区域边界交两点示区域集合表示：
型区域
特点直线区域边界交两点
什说两类区域常（具代表性）许常见区域分割限分类点型区域型区域解决型区域型区域二重积分计算方法般区域二重积分计算问题解决
计算型区域型区域二重积分呢？ 基想法化二重积分二次积分（累次积分）问题化什样二次积分呢？面结果：
定理1 设
例：化二重积分二次积分中直线抛物线围面区域
例：求围空间区域体积V
例：求二次积分
注意：外层积分积分限定常数
二 极坐标计算二重积分
种情形函数f积采种积分次序算出
例：
定积分中换元积分法简化定积分计算起着重作二重积分相应换元公式简化积分区域积函数
作极坐标变换：
变换函数区域二重积分化
说明：①注意极坐标交换变成极坐标系二重积分计算极坐标系二重积分极坐标二重积分样化二次积分计算面分情况讨：
情形1 []连续函数称型区域时化面形式：
情形2 中C[]（型区域）时
情形3 极点O积分区域点交换区域：
处边界曲线
情形4 积分区域边界曲线通极点O时应先求出极径继0两角度时：
②时极坐标变换？积分区域圆域圆域部分积函数形式时采极坐标交换计算简便
例： 例：求
三 二重积分般变量换
计算二重积分引面讲极坐标特殊交换外时取般变量换
定理2 设面闭区域连续函数设 （*）
关连续偏导数通（*）变变换（*）
设
注：（1）定理中假设时会遇种情形变换行列式区域点等0
区域等0点非0时述结成立
（2）特例：时根①
（3）具体问题中选择变换公式两条：（i）交换函数容易积分（ii）积分限容易安排
例：求椭球体体积
例 求出抛物线双曲线围区域面积
§2 三重积分计算
化三重积分三次积分
设中（闭）长方体定义界函数三重积分化先积分： 积分
等等（6种）
时（连续时）三次积分值积分次序关相等
1 计算（化逐次积分）
●设
果
●设
2 三重积分直接计算方法（举例）
例：：面围成区域
例：：锥面面围（）成区域
例：： 部区域
二 三重积分变量换 设作变量换： 满足列条件：
（1） 建立间应
（2）关连续偏导数变换：关连续偏导数
（3） Jacohi行列式 零点
注：二重积分类似J点点零时述公式成立
常坐标变换
1 柱坐标代换
令三重积分柱坐标换元公式
注：柱坐标变换适型积函数积分区域
注：柱坐标计算三重积分通常找出面投影区域
时
先积分计算三重积分中二重积分极坐标计算（极坐标系二重积分）
例：D半球面抛物面围区域
2．球面坐标变换
球面坐标：设空间点面投影线段轴正间交角（）两面交角（）做点M球面坐标
球面坐标中三族坐标面：常数原点中心球面常数原点顶点轴轴圆锥面常数轴柱面（两两正交正交坐标系）时取作时点直角坐标球面坐标点系：
令
例：求球面锥面围区域体积中锥面轴轴顶角锥面
§3 积分物理应
质心
设块度量体密度函数假设连续函数体质心坐标：
具体说果体块空间体积块体积质心坐标应：
例：求密度均匀半椭球体质心
二 矩
设块度量形体密度函数设连续分称
物体关坐标面坐标面坐标面阶矩时称零阶矩表示物体质量时称静矩时称转动惯量
例：计算面围成均匀物体（设）坐标面转动惯量
例：求密度均匀圆环圆环面中心轴转动惯量
例：求密度均匀圆盘直径转动惯量
例：设某球体密度球心距离成正求切面转动惯量
三 引力
设块度量体密度函数连续函数外点质点具单位质量体质点引力三坐标轴分量分
中引力常数
例：设球体具均匀密度求球外点(质量1)引力
§4 广义重积分
重积分作两方面拓广：界区域积分界函数积分
定义1 设面界区域函数点定义意光滑曲线中划出限区域设二重积分存曲线连续变动时划出区域限扩展趋区域时果形状 扩展程样 常极限值称函数界区域二重积分记 时称函数积分收敛否称积分发散
柯西判法 设界区域意界区域二重积分存果相远处满足
中正常数原点距离积分收敛
例：计算广义重积分
例：讨广义重积分收敛性
定义2 设界区域奇点奇线（函数点线附界）中光滑曲线隔开奇点奇线围成区域记果区域收缩奇点奇线时积分极限值存取法收缩方式关称极限值界函数广义二重积分记称函数积分收敛否称积分发散
柯西判法 设奇点果充分邻点
中正常数点距离积分收敛
例：计算广义重积分 例：讨广义重积分收敛性
第21章 曲线积分曲面积分计算
§1 第类曲线积分计算
设函数光滑曲线定义连续方程
特果曲线条光滑面曲线方程
例：设半圆周 求
例：设曲线点点段计算第类曲线积分
例：计算积分中球面面截圆周
例：求处连接三点直线段
§2 第类曲面积分计算
曲面面积
（1）设曲面块方程 具连续偏导数曲面光滑面投影求面积该曲面块面积
（2）曲面方程 令
该曲面块面积
例：求球面含柱面部面积
例：求球面含柱面部面积
二 化第类曲面积分二重积分
（1）设函数定义曲面连续函数曲面方程具连续偏导数曲面光滑面投影求面积
（2）设函数定义曲面连续函数曲面方程
令
例：计算球面
例：计算中螺旋面部分：
注：第类曲面积分通二重积分定义什第类曲面积分中二重积分符原
例：I球面球心原点半径
§3 第二类曲线积分
变力做功第二类曲线积分定义
1力场面曲线点A点B作功先微元法定义积分方法讨问题
2 第二型曲线积分定义
定义1 设条光滑逐段光滑曲线设定义界函数确定方起点开始分点分成弧段直终点设弧段 取点作式：
中起点终点设里表示线段长度时极限分法关点选择关称曲线述方第二类曲线积分记作
注：果量量曲线定方第二类曲线积分
注：第二类曲线积分曲线方关第二类曲线积分重性质区第类曲线积分特征
注：面情况立面闭路循方作环行时闭路围成区域部分总左方方算作正否算作负时方变曲线积分值起点位置关
二 第二类曲线积分计算
设曲线身相交参数方程： 设光滑设参数调增加时曲线点定方连续变点设函数定义曲线设连续 （*）
注：（*）积分限必须应积分曲线起点限必须应终点
注：果量量曲线定方第二类曲线积分
例：计算积分 L两端点A( 1 1 ) B( 2 3 ) 积分点A点B闭合 路径
（1）直线段AB （2）抛物线
（3）折线闭合路径A( 1 1 )D( 2 1 ) B( 2 3 ) A( 1 1 )
例：计算积分 里L
（1）抛物线点O( 0 0 )点B( 1 2 )
（2）直线点O( 0 0 )点B( 1 2 )
（3）折线封闭路径O(00) A(10 ) B(12 ) O(00)
例：计算第二型曲线积分I 中L螺旋线段
三 两类曲线积分联系
第类曲线积分第二类曲线积分定义曲线积分两者间密切联系两者间联系式
例：证明：曲线积分估计式
利等式估计：证明
例：设面区域连续闭曲线围成区域面积设推导曲线积分计算面积公式：
§4 第二类曲面积分
曲面侧概念
1．单侧曲面双侧曲面
实际生活中碰双侧曲面单侧曲面存牟彼乌斯带类曲面典型例子
2．曲面侧侧外侧侧
双侧曲面定 曲面侧左右侧前侧 设法量
侧法线方应第三分量 选+号时应法线方轴正成锐角 类似确定余侧法线方 封闭曲面分侧外侧
二 第二类曲面积分定义
先讨显式方程 表示重点光滑曲面设面投影边界逐段光滑曲线围成区域设选定曲面侧确定定
现曲面方法分割块设面投影区域相应分割果取侧时算作正取侧时算作负设界函数定义块取点作式
中表示面积述见带符号符号选侧决定设致敬记时确定极限曲面分割方法关点选择关称曲面选定侧第二类曲面积分记
注：时会碰积分连起情形例：
注：果曲面侧积分值应变号
三 两类曲面积分联系第二类曲面积分计算
第二型曲面积分第型曲面积分关系
设曲面指定法
定理1 设定义光滑曲面D连续函数 侧正侧()
类似 光滑曲面D 前侧积分
光滑曲面 D 右侧积分
计算积分时 通常分开计算三积分
分曲面投影YZ面 ZX面XY面化二重积分进行计算投影域侧曲面定决定
推 设定义光滑曲面D连续函数
曲面方侧 等式前取＋号 曲面方侧 等式前取－号
例：计算积分中球面 部分取外侧
例：计算积分球面取外侧
解： 积分 分记前半球面半球面外侧
+
积分 分记右半球面左半球面外侧
+
积分 分记半球面半球面外侧
+
综
第二十二章 种积分间联系场初步
§1 种积分间联系
Green公式
定义1 面区域果全落区域条封闭曲线外点连续收缩点称区域单连通否称复连通
定理1 设光滑曲线边界面单连通区域设函数连续具关变量连续偏导数：
里右端积分路径方区域正相联系着曲线行走时区域恒左边
注：Green公式时揭示面某区域二维积分该边界特定第二类曲线积分间关系
注：常第二类曲线积分时计算二重积分Green公式中
例：求第二类曲线积分I 半圆周： 方
例：设函数二阶连续偏导数记证明
(i)
(ii) (3)
例：（Green公式求曲面面积）求曲线围图形面积
注：Green公式时应注意助线法
二 Gauss公式
定理2 设空间二维单连通界闭区域边界曲面光滑设函数具关连续偏导数：
曲面外法线方第二积分曲面外侧
注：①Gauss公式揭示中某区域三重积分区域边界特定曲面积分间关系
② Green公式样Gauss公式计算某空间立体积分：
例：求积分 I 外侧
例：求积分 中锥面
注：Gauss公式时应注意助面法
三 Stokes公式
定理3（Stokes）设光滑曲面边界光滑曲线设函数曲面 曲线具关连续偏导数：
曲线积分方曲面侧右手法联系
注：右端积分第二类曲面积分左端积分第二类曲线积分Stokes公式第二类曲面积分第二类曲线积分纽带
例：求曲线积分中柱面x面交线方轴正已知方逆时针
§2 曲线积分路径关性
引言
第二类曲线积分仅曲线起点终点关积分路径关起点重点路径第二类曲线积分般相什样条件第二类曲线积分积分路径关仅曲线起点重点关呢？面面中情形讨问题
定理1 函数区域连续偏导数单连通区域列命题等价：
⑴ D意条闭曲线
⑵ 意条闭曲线曲线积分 路径关（赖曲线端点）
⑶存微函数成立 ⑷D处处成立
定义1 曲线积分路径关时满足面诸条件时令点固定点区域意点连续单值函数称原函数
原函数求法： （1）
（2）
例：求原函数 （1）
（2）
定义2 绕奇点周闭路积分值做区域循环常数记闭路
里逆时针方绕圈数
例：证明关奇点循环常数积分路径关
§3 场初步
场概念
物理量空间部分空间分布称场场分定常场定常场
二 量场散度旋度
设量场闭曲面包围空间区域曲面外法线高斯公式
定义1 量称量散度形成数量场记
利散度定义高斯公式写 高斯公式量形式说明：量通闭曲面流量等量散度包围区域三重积分
定义2 称量量旋度记：
利定义Stokes公式改写量形式：
说明：量闭曲线环流量等旋度通边界张意曲面流量
散度旋度定义
例：求点散度旋度
例：证明
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