第二章 连续时间傅里叶变换
1 周期信号频谱分析——傅里叶级数FS
(1) 狄义赫利条件：周期间断点数限极值极值数目限信号绝积
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合
正交函数集三角函数集复指数函数集函数周期T1角频率
(3) 满足狄义赫利条件周期函数展成傅里叶级数
(4) 三角形式FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算公式：
(a) 直流分量：
(b) n次谐波余弦分量：
(c) n次谐波正弦分量：
(iii) 系数统称三角形式傅里叶级数系数简称傅里叶系数
(iv) 称信号基波基频信号n次谐波
(v) 合频率正余弦项：
(a)
(b)
分应合n次谐波余弦项正弦项初相位
(vi) 傅里叶系数间关系：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(5) 复指数形式FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算：
(iii) 系数间关系：
(iv) 关n扼称关原点互轭
(v) 正负n (n非零)处幅度等幅度
(6) 奇偶信号FS：
(i) 偶信号FS：
(实偶称)
(ii) 偶周期信号FS系数直流项余弦项
(iii)奇信号FS：
(纯虚奇称)
(iv) 奇周期信号FS系数正弦项
(7) 周期信号傅里叶频谱：
(i) 称信号傅里叶复数频谱简称傅里叶级数谱FS谱
(ii)称信号傅里叶复数幅度频谱简称FS幅度谱
(iii)称傅里叶复数相位频谱简称FS相位谱
(iv)周期信号FS频谱仅离散点角频率(频率)值
(v)FS称傅里叶离散谱离散间隔
(vi)FS谱FS幅度谱相位谱图中表示相应频谱频谱幅度频谱相位离散线段称谱线幅度谱线相位谱线分表示FS频谱值幅度相位
(vii)连接谱线顶点虚曲线称包络线反映谐波处FS频谱幅度谱相位谱分量变化情况
(viii)称单边谱表示信号谐波处实际分量
(ix)称双边谱负频率项实际中存正负频率频谱幅度相加实际幅度
(8) 周期矩形脉序列FS谱特点：
(i) 谱线包络线Sa函数
(ii) 谱线包络线零点：(中谱线间隔)：
时
(iii) 频域量集中第零点
(iv) 带宽矩形脉脉宽关脉高周期均关(定义周期矩形脉信号频带宽度简称带宽)
(9) 周期信号功率：
(10) 帕斯瓦尔方程：
2 非周期信号频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1) 信号f (t)傅里叶变换：
信号频谱密度函数FT频谱简称频谱(函数)
(2) 频谱密度函数逆傅里叶变换：
(3) 称FT变换核函数IFT变换核函数
(4) FTIFT具唯性果两函数FTIFT相等两函数必然相等
(5) FT具逆性果必反然
(6) 信号傅里叶变换般复值函数写成
(i) 称幅度频谱密度函数简称幅度谱表示信号幅度密度频率变化幅频特性
(ii) 称相位频谱密度函数简称相位谱函数表示信号相位频率变化相频特性
(7) FT频谱分解实部虚部：
(8) FT存充分条件：时域信号绝积
注意：必条件非绝积信号FT
(9) FTIFT赫兹域定义：
(10) 较FSFT：
FS
FT
分析象
周期信号
非周期信号
频率定义域
离散频率谐波频率处
连续频率整频率轴
函数值意义
频率分量数值
频率分量密度值
3 典型非周期信号FT频谱
(1) 单边指数信号：
幅度谱：
相位谱：
单边指数信号幅度谱相位谱图1示
图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱
(2) 偶双边指数信号：
实偶函数
幅度谱：
相位谱：
偶双边指数信号频谱图2示
图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱
(3) 矩形脉信号： (脉宽t脉高E)
实函数
幅度谱：
相位谱：
矩形脉信号频谱图3示
图3 (a)矩形脉信号 (b)频谱
矩形脉FT特点：
(i) FTSa函数原点处函数值等矩形脉面积
(ii) FT零点位置
(iii)频域量集中第零点区间
(iv) 带宽脉宽关脉高E关
信号等效脉宽：
信号等效带宽：
图4 (a)信号等效脉宽 (b)等效带宽
(4) 符号函数：满足绝积条件存FT
幅度谱：
相位谱：
符号函数频谱图5示
图5 (a)符号函数 (b)频谱
(5) 激信号：
均匀谱白色谱：频谱频率处密度均匀
强度E激函数频谱均匀谱密度激强度
单位激信号直流信号频谱函数总结：
FT定义è
FT逆性è
çFT逆性
çIFT定义
(6) 阶跃信号：满足绝积条件存FT
处激该激中直流分量
单位阶跃信号幅度谱图6示
图6 单位阶跃函数幅度谱
4 FT性质
(1) 线性性：
线性性包括：齐次性叠加性
(2) 奇偶虚实性：
偶偶
奇奇
实偶实偶 (FT变余弦变换)
实奇虚奇 (FT变正弦变换)
实信号FT：(实信号分解：实偶+实奇)
实部偶函数虚部奇函数：实实偶+j实奇
偶扼称：
幅度谱偶函数相位谱奇函数：实实偶EXP(实奇)
虚信号FT具奇扼称性：
偶轭称奇轭称函数满足幅度称：
实信号虚信号FT幅度谱偶称幅度谱函数偶函数
(3) 反褶轭性：
时域
频域
原信号
f(t)
F(w)
反褶
f(t)
F(w)
扼
f *(t)
F *(w)
反褶+扼
f *(t)
F *(w)
(4) 偶性：
傅里叶正逆变换变换核函数轭称：
表示变量w进行傅里叶变换结果t函数
IFT通FT实现
FT偶特性：
偶函数
奇函数
(5) 尺度变换特性：
性质表明：时域压缩应频域扩展时域扩展应频域压缩
(6) 时移特性：
时移影响幅度谱相位谱叠加线性相位
尺度变换特性综合：
(7) 频移特性：
尺度变换特性综合：
频谱搬移：时域信号复指数信号频谱搬移复指数信号频率位置处利欧拉公式通正弦余弦信号达频谱搬移目
(8) 微分特性：
时域微分：
频域微分：
果连续运微分特性
(9) 积分特性：
时域积分：
果处界()
频域积分：
(10) 卷积定理：
时域卷积定理：
频域卷积定理：
(11) 时域相关性定理：
实偶函数时相关性定理卷积定理致
相关傅里叶变换：函数相关函数幅度谱方傅里叶变换）
(12) 帕斯瓦尔定理：
5 周期信号FT
(1) 正余弦信号FT：
余弦信号正弦信号频谱图7示：
图7 余弦信号正弦信号FT
(2) 般周期信号FT：
(i)设周期周期信号第周期函数
(ii) 周期单位激序列FT：
(a) FT偶性()
(b) 激串FS：
(c)
(d) FT线性性
(iii) 般周期信号FT：
(iv)
(v) 关系图：
图8 非周期信号FT周期信号FSFT较
6 抽样信号FT
(1) 抽样信号FT：
(2) 理想抽样前信号频谱变化图9示：
(3) 结1：间隔进行激串抽样信号傅里叶变换周期函数原函数傅里叶变换分周期进行周期延拓
(4) 结2：时域离散ó频域周期
图9 理想抽样信号FT
7 抽样定理
(1) 抽样定理：保证信号抽样离散时间信号失真恢复原始时间连续信号（抽样会导致信息丢失）必须满足：信号频带受限(信号频率区间限)采样率少信号高频率两倍
(2) 概念(名词)：
抽样周期：进行理想采样激串周期
抽样频率：
抽样角频率：
奈奎斯特率：失真恢复原信号条件允许抽样率
奈奎斯特间隔：允许抽样周期
奈奎斯特频率(折叠频率)：信号采样采样率半)
奈奎斯特区间：
(3) 性质：连续信号抽样满足抽样定理时奈奎斯特频率信号频率限
(4) 抽样信号恢复原始信号方法：
(i) 理：
(ii)工程：通截止频率放倍数低通滤波器
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1 周期信号频谱分析——傅里叶级数FS
(1) 狄义赫利条件：周期间断点数限极值极值数目限信号绝积
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合
正交函数集三角函数集复指数函数集函数周期T1角频率
(3) 满足狄义赫利条件周期函数展成傅里叶级数
(4) 三角形式FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算公式：
(a) 直流分量：
(b) n次谐波余弦分量：
(c) n次谐波正弦分量：
(iii) 系数统称三角形式傅里叶级数系数简称傅里叶系数
(iv) 称信号基波基频信号n次谐波
(v) 合频率正余弦项：
(a)
(b)
分应合n次谐波余弦项正弦项初相位
(vi) 傅里叶系数间关系：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(5) 复指数形式FS：
(i) 展开式：
(ii) 系数计算：
(iii) 系数间关系：
(iv) 关n扼称关原点互轭
(v) 正负n (n非零)处幅度等幅度
(6) 奇偶信号FS：
(i) 偶信号FS：
(实偶称)
(ii) 偶周期信号FS系数直流项余弦项
(iii)奇信号FS：
(纯虚奇称)
(iv) 奇周期信号FS系数正弦项
(7) 周期信号傅里叶频谱：
(i) 称信号傅里叶复数频谱简称傅里叶级数谱FS谱
(ii)称信号傅里叶复数幅度频谱简称FS幅度谱
(iii)称傅里叶复数相位频谱简称FS相位谱
(iv)周期信号FS频谱仅离散点角频率(频率)值
(v)FS称傅里叶离散谱离散间隔
(vi)FS谱FS幅度谱相位谱图中表示相应频谱频谱幅度频谱相位离散线段称谱线幅度谱线相位谱线分表示FS频谱值幅度相位
(vii)连接谱线顶点虚曲线称包络线反映谐波处FS频谱幅度谱相位谱分量变化情况
(viii)称单边谱表示信号谐波处实际分量
(ix)称双边谱负频率项实际中存正负频率频谱幅度相加实际幅度
(8) 周期矩形脉序列FS谱特点：
(i) 谱线包络线Sa函数
(ii) 谱线包络线零点：(中谱线间隔)：
时
(iii) 频域量集中第零点
(iv) 带宽矩形脉脉宽关脉高周期均关(定义周期矩形脉信号频带宽度简称带宽)
(9) 周期信号功率：
(10) 帕斯瓦尔方程：
2 非周期信号频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1) 信号f (t)傅里叶变换：
信号频谱密度函数FT频谱简称频谱(函数)
(2) 频谱密度函数逆傅里叶变换：
(3) 称FT变换核函数IFT变换核函数
(4) FTIFT具唯性果两函数FTIFT相等两函数必然相等
(5) FT具逆性果必反然
(6) 信号傅里叶变换般复值函数写成
(i) 称幅度频谱密度函数简称幅度谱表示信号幅度密度频率变化幅频特性
(ii) 称相位频谱密度函数简称相位谱函数表示信号相位频率变化相频特性
(7) FT频谱分解实部虚部：
(8) FT存充分条件：时域信号绝积
注意：必条件非绝积信号FT
(9) FTIFT赫兹域定义：
(10) 较FSFT：
FS
FT
分析象
周期信号
非周期信号
频率定义域
离散频率谐波频率处
连续频率整频率轴
函数值意义
频率分量数值
频率分量密度值
3 典型非周期信号FT频谱
(1) 单边指数信号：
幅度谱：
相位谱：
单边指数信号幅度谱相位谱图1示
图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱
(2) 偶双边指数信号：
实偶函数
幅度谱：
相位谱：
偶双边指数信号频谱图2示
图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱
(3) 矩形脉信号： (脉宽t脉高E)
实函数
幅度谱：
相位谱：
矩形脉信号频谱图3示
图3 (a)矩形脉信号 (b)频谱
矩形脉FT特点：
(i) FTSa函数原点处函数值等矩形脉面积
(ii) FT零点位置
(iii)频域量集中第零点区间
(iv) 带宽脉宽关脉高E关
信号等效脉宽：
信号等效带宽：
图4 (a)信号等效脉宽 (b)等效带宽
(4) 符号函数：满足绝积条件存FT
幅度谱：
相位谱：
符号函数频谱图5示
图5 (a)符号函数 (b)频谱
(5) 激信号：
均匀谱白色谱：频谱频率处密度均匀
强度E激函数频谱均匀谱密度激强度
单位激信号直流信号频谱函数总结：
FT定义è
FT逆性è
çFT逆性
çIFT定义
(6) 阶跃信号：满足绝积条件存FT
处激该激中直流分量
单位阶跃信号幅度谱图6示
图6 单位阶跃函数幅度谱
4 FT性质
(1) 线性性：
线性性包括：齐次性叠加性
(2) 奇偶虚实性：
偶偶
奇奇
实偶实偶 (FT变余弦变换)
实奇虚奇 (FT变正弦变换)
实信号FT：(实信号分解：实偶+实奇)
实部偶函数虚部奇函数：实实偶+j实奇
偶扼称：
幅度谱偶函数相位谱奇函数：实实偶EXP(实奇)
虚信号FT具奇扼称性：
偶轭称奇轭称函数满足幅度称：
实信号虚信号FT幅度谱偶称幅度谱函数偶函数
(3) 反褶轭性：
时域
频域
原信号
f(t)
F(w)
反褶
f(t)
F(w)
扼
f *(t)
F *(w)
反褶+扼
f *(t)
F *(w)
(4) 偶性：
傅里叶正逆变换变换核函数轭称：
表示变量w进行傅里叶变换结果t函数
IFT通FT实现
FT偶特性：
偶函数
奇函数
(5) 尺度变换特性：
性质表明：时域压缩应频域扩展时域扩展应频域压缩
(6) 时移特性：
时移影响幅度谱相位谱叠加线性相位
尺度变换特性综合：
(7) 频移特性：
尺度变换特性综合：
频谱搬移：时域信号复指数信号频谱搬移复指数信号频率位置处利欧拉公式通正弦余弦信号达频谱搬移目
(8) 微分特性：
时域微分：
频域微分：
果连续运微分特性
(9) 积分特性：
时域积分：
果处界()
频域积分：
(10) 卷积定理：
时域卷积定理：
频域卷积定理：
(11) 时域相关性定理：
实偶函数时相关性定理卷积定理致
相关傅里叶变换：函数相关函数幅度谱方傅里叶变换）
(12) 帕斯瓦尔定理：
5 周期信号FT
(1) 正余弦信号FT：
余弦信号正弦信号频谱图7示：
图7 余弦信号正弦信号FT
(2) 般周期信号FT：
(i)设周期周期信号第周期函数
(ii) 周期单位激序列FT：
(a) FT偶性()
(b) 激串FS：
(c)
(d) FT线性性
(iii) 般周期信号FT：
(iv)
(v) 关系图：
图8 非周期信号FT周期信号FSFT较
6 抽样信号FT
(1) 抽样信号FT：
(2) 理想抽样前信号频谱变化图9示：
(3) 结1：间隔进行激串抽样信号傅里叶变换周期函数原函数傅里叶变换分周期进行周期延拓
(4) 结2：时域离散ó频域周期
图9 理想抽样信号FT
7 抽样定理
(1) 抽样定理：保证信号抽样离散时间信号失真恢复原始时间连续信号（抽样会导致信息丢失）必须满足：信号频带受限(信号频率区间限)采样率少信号高频率两倍
(2) 概念(名词)：
抽样周期：进行理想采样激串周期
抽样频率：
抽样角频率：
奈奎斯特率：失真恢复原信号条件允许抽样率
奈奎斯特间隔：允许抽样周期
奈奎斯特频率(折叠频率)：信号采样采样率半)
奈奎斯特区间：
(3) 性质：连续信号抽样满足抽样定理时奈奎斯特频率信号频率限
(4) 抽样信号恢复原始信号方法：
(i) 理：
(ii)工程：通截止频率放倍数低通滤波器
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