西南交现代信号处理部分答案
题1：(1) 变化机信号
谐波信号均值
谐波信号均值等零方差等二阶矩
x(t)方差
谐波信号相关函数
x(t)均值0
(2) y(t)B变化机信号
B标准高斯机变量
统计独立
x(t)y(t)均值均0
题2：令零均值方差高斯机程确定程x(n)高斯机程均值时间函数x(n)概率密度函数
未知参数情况CramerRao等式变矩阵等式
中偏估计子协方差矩阵Fisher信息矩阵J逆矩阵信息矩阵J构成元素
题中计算
求逆矩阵
估计子估计方差CramerRao界分
题3信号函数表达式：
中A(t)时间变化机程390410Hz带通滤波器高斯白噪声高斯白噪声采样频率1kHz采样时间2048s分利Wiener滤波Kalman滤波进行噪
解：维纳滤波原理：
维纳(Wiener)解决噪声中提取信号种滤（滤波）方法种线性滤波问题做种估计问题种线性估计问题线性系统果单位样响应输入机信号：
中：表示信号表示噪声输出：
希通线性系统量接称估计值表示：
维纳滤波器输入—输出关系面图1表示
图31 维纳滤波器输入—输出关系
实际式示卷积形式理解前观察值估计信号前值进行滤问题实际种统计估计问题
般前观察值估计前信号值成滤滤波观察值估计前者信号值称外推预测观察值估计信号值称滑插维纳滤波器常常称佳线性滤预测线性优估计里谓佳优均方误差准
果分表示信号真实值估计值表示间误差：
显然正值负值机变量均方误差表达误差合理谓均方误差方统计期
卡尔曼滤波算法原理：
卡尔曼滤波基状态空间方法套递推滤波算法状态空间方法中引入状态变量概念卡尔曼滤波模型包括状态空间模型观测模型状态模型反映状态变化规律模型通状态方程描写相邻时刻状态转移变化规律观测模型反映实际观测量状态变量间关系Kalman滤波问题联合观测信息状态转移规律系统状态优估计
假设动态系统状态空间模型
中X(t)系统时刻t状态Y(t)状态观测值W(t)系统噪声方差阵QV(t)观测噪声方差阵R状态转移矩阵H观测矩阵系统噪声驱动矩阵
卡尔曼滤波计算流程：
计算状态估计值：
计算状态步预测：
计算新息：
计算卡尔曼滤波增益：
计算步预测均方误差：
计算步预测估计均方误差：
面出卡尔曼滤波系统模型框图：
根述求编写程序：
fs 1000 采样频率
t 01fs2047
N length(t) 采样点数
randn(＇state＇0)
W1randn(1length(t)) 高斯白噪声
维数字滤波
f2390f3410 带通滤波带宽设置
wc12*f2fs
wc22*f3fs
f1[0 wc1005 wc1 wc2 wc2+005 1] 化频率f1
A[0 0 1 1 0 0] 设置带通1带阻0
weigh[1 1 1 ] 权重
bremez(50f1Aweigh) 传函分子
W2filter(b1W1) 维数字滤波
Bnormrnd(011N) 机程A（t）
x0 sin(2*pi*t*100) +15*sin(2*pi*t*300)+B*sin(2*pi*t*200)
x1 sin(2*pi*t*100) +15*sin(2*pi*t*300)+B*sin(2*pi*t*200)+W1+W2 原始信号
figure(1)
subplot(411)
plot(tx1)title(＇原始信号：x(t)＇)xlabel(＇ts＇) ylabel(＇幅值＇)axis([0 205 6 6])
subplot(412)
plot(tx0)title(＇期噪声信号：x(t)＇)xlabel(＇ts＇) ylabel(＇幅值＇)axis([0 205 6 6])
Wiener滤波
od12
计算互相关函数
phixsxcorr(x1x0)
for i1od
rxs(i)phixs(i+N)
end
计算相关函数
phixxxcorr(x1x1)
for i1od
for j1od
Rxx(ij)phixx(ij+N)
end
end
维纳霍夫方程滤波器优解
h1(inv(Rxx))*rxs＇
fxfilter(h11x1)
subplot(413)
plot(tfx＇r＇)
title(＇Wiener滤波信号＇)
xlabel(＇fHz＇)
ylabel(＇幅值＇)
axis([0 206 6 6])
Kalman滤波噪
a11352a21338a30662a40240
A[a1 a2 a3 a4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0]状态转移矩阵
H[1 0 0 0]观测矩阵
Q[1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ]状态噪声方差阵
R1观测噪声方差阵
X(1)[x1(4)x1(3)x1(2)x1(1)]
p(1)[10 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ]步预测误差阵
for k2N
p1(k)A*p(k1)*A＇+Q
K(k)p1(k)*H＇(H*p1(k)*H＇+R)
X(k)A*X(k1)+K(k)*[x1(k)H*A*X(k1)]
p(k) p1(k)K(k)*H*p1(k)
end
subplot(414)
plot(tX(1)＇r＇)
title(＇Kalman滤波信号＇)
xlabel(＇t s＇)ylabel(＇幅值＇)
axis([0 206 6 6])
滤波前信号图示：
题5：附件中表sheet1 某2008年4月28日凌晨12点2008年5月4日凌晨12点电力系统负荷数采样时间间隔1时利ARMA方法预测该5月5日电力系统负荷出预测误差（5月5日实际负荷数表sheet2）
解：ARMA模型算法：
ARMA模型时间序列分析法简称时序分析法种利参数模型序机振动响应数进行处理进行模态参数识方法参数模型包括AR回模型MA滑动均模型ARMA回滑动均模型
N度线性系统激励响应间关系高阶微分方程描述离散时间域该微分方程变成系列时刻时间序列表示差分方程ARMA时序模型方程：
（51）
式（51）表示响应数序列历史值关系中等式左边称回差分项式AR模型右边称滑动均差分项式MA模型N回模型滑动均值模型阶次分表示识回系数滑动均值系数表示白噪声激励k＝0时设
ARMA程{}具唯稳解
（52）
式中：脉响应函数
相关函数
（53）
白噪声
（54）
式中：白噪声方差
结果代式（53）
（55）
线性系统脉响应函数脉信号激励该系统时输出响应ARMA程定义表达式
（56）
利式（55）式（56）出：
（57）
ARMA程阶次2N时参数＝0l>2N时式（57）恒等零
（58）
写成
（59）
设相关函数长度L令M＝2N应l值代公式组方程：
（510）
缩写矩阵形式
（511）
式（11）推广Yulewalker方程般情况L2N采伪逆法求方程组二解
（512）
求回系数
滑动均模型系数通非线性方程组求解：
（513）
中
（514）
式中：响应序列协方差函数
求回系数滑动均值系数通ARMA模型传递函数表达式计算系统模态参数ARMA模型传递函数
（515）
分析利Matlab仿真ARMA模型图形：
图1 电力系统负荷数
图2 稳化处理电力系统负荷数
图3 电力系统负荷数相关偏相关函数曲线
图4 ARMA模型电力系统负荷进行预测曲线
图4 预测误差曲线
仿真结果分析ARMA模型电力系统负荷进行预测预测结果实际结果相较言预测误差较接受范围预测结果采
Matlab程序：
clc
clear
x1xlsread(＇C＼Users＼dell＼Desktop＼现代信号＼负荷数xls＇＇Sheet1＇)
x1x1(2)
x2xlsread(＇C＼Users＼dell＼Desktop＼现代信号＼负荷数xls＇＇Sheet2＇)
x2x2(2)
x[x1x2] 电力系统负荷数前168点历史数24点预测数
N1length(x1)
Nlength(x)
t1N
figure
plot(x)title(＇电力系统负荷数＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tight
原始数进行趋势处理零均值化稳化处理
z1diff(x) 差分
Yz1mean(z1) 零均值
[HPValueTestStatCriticalValue] adftest(Y) 检验否时间稳序列
figure
plot(Y＇r＇)
title(＇稳化处理电力系统负荷数＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇功率＇)
计算相关函数偏相关函数
figure
subplot(211)
autocorr(Y) 计算置信度95acf画出相关函数曲线
subplot(212)
parcorr(Y) 计算置信度95pacf画出偏相关函数曲线
相关系数偏相关系数均拖尾性选择arma模型电力系统负荷数进行预测
估计arma模型参数AIC标准定阶
ziddata(Y)
test []
for p 110 回应PACF定滞长度限pq
for q 110 移动均应ACF
m armax(z[p q])
AIC aic(m) armax(pq)选择应FPEAIC值模型
test [testp q AIC]
end
end
for k 1size(test1)
if test(k3) min(test(3)) 选择AIC值模型
p_test test(k1)
q_test test(k2)
break
end
end
建立arma模型检验
m armax(z(1168)[p_test q_test]) armax(pq)[p_test q_test]应AIC值
figure
e resid(mz(1168)) 拟合做残差分析
plot(e)
figure
subplot(211)
autocorr(eOutputData) 置信水095检验残差相关偏相关函数
subplot(212)
parcorr(eOutputData)
[PrDWr] dwtest(eOutputDatazOutputData) 检验线性回残差否相互独立
if Pr<005
disp(＇can not use this model＇)
else disp(＇can use this model＇)
end
预测5月5日电力系统负荷数
ppredict(mz1)
t[11191]
po pOutputData
figure
plot(tz＇r＇tpo＇b＇)
显示预测值（进行反差分加均值）
X(1)x(1)
for i2192
X(i)x(i1)+po(i1)
end
XX+mean(po)
t[11192]
figure
plot(tx＇r＇tX＇b＇)title(＇ARMA模型电力系统负荷数进行预测＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tightlegend(＇负荷真实值＇＇ARMA预测值＇)
figure
subplot(211)
t[1681192]
plot(tx(168192)＇r＇tX(168192)＇b＇)title(＇ARMA模型电力系统负荷数进行预测＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tightlegend(＇负荷真实值＇＇ARMA预测值＇)
subplot(212)
errorxX＇
plot(terror(168192))
title(＇预测值真实误差＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇5月5日预测值真实值误差＇)axis tight
题6
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题1：(1) 变化机信号
谐波信号均值
谐波信号均值等零方差等二阶矩
x(t)方差
谐波信号相关函数
x(t)均值0
(2) y(t)B变化机信号
B标准高斯机变量
统计独立
x(t)y(t)均值均0
题2：令零均值方差高斯机程确定程x(n)高斯机程均值时间函数x(n)概率密度函数
未知参数情况CramerRao等式变矩阵等式
中偏估计子协方差矩阵Fisher信息矩阵J逆矩阵信息矩阵J构成元素
题中计算
求逆矩阵
估计子估计方差CramerRao界分
题3信号函数表达式：
中A(t)时间变化机程390410Hz带通滤波器高斯白噪声高斯白噪声采样频率1kHz采样时间2048s分利Wiener滤波Kalman滤波进行噪
解：维纳滤波原理：
维纳(Wiener)解决噪声中提取信号种滤（滤波）方法种线性滤波问题做种估计问题种线性估计问题线性系统果单位样响应输入机信号：
中：表示信号表示噪声输出：
希通线性系统量接称估计值表示：
维纳滤波器输入—输出关系面图1表示
图31 维纳滤波器输入—输出关系
实际式示卷积形式理解前观察值估计信号前值进行滤问题实际种统计估计问题
般前观察值估计前信号值成滤滤波观察值估计前者信号值称外推预测观察值估计信号值称滑插维纳滤波器常常称佳线性滤预测线性优估计里谓佳优均方误差准
果分表示信号真实值估计值表示间误差：
显然正值负值机变量均方误差表达误差合理谓均方误差方统计期
卡尔曼滤波算法原理：
卡尔曼滤波基状态空间方法套递推滤波算法状态空间方法中引入状态变量概念卡尔曼滤波模型包括状态空间模型观测模型状态模型反映状态变化规律模型通状态方程描写相邻时刻状态转移变化规律观测模型反映实际观测量状态变量间关系Kalman滤波问题联合观测信息状态转移规律系统状态优估计
假设动态系统状态空间模型
中X(t)系统时刻t状态Y(t)状态观测值W(t)系统噪声方差阵QV(t)观测噪声方差阵R状态转移矩阵H观测矩阵系统噪声驱动矩阵
卡尔曼滤波计算流程：
计算状态估计值：
计算状态步预测：
计算新息：
计算卡尔曼滤波增益：
计算步预测均方误差：
计算步预测估计均方误差：
面出卡尔曼滤波系统模型框图：
根述求编写程序：
fs 1000 采样频率
t 01fs2047
N length(t) 采样点数
randn(＇state＇0)
W1randn(1length(t)) 高斯白噪声
维数字滤波
f2390f3410 带通滤波带宽设置
wc12*f2fs
wc22*f3fs
f1[0 wc1005 wc1 wc2 wc2+005 1] 化频率f1
A[0 0 1 1 0 0] 设置带通1带阻0
weigh[1 1 1 ] 权重
bremez(50f1Aweigh) 传函分子
W2filter(b1W1) 维数字滤波
Bnormrnd(011N) 机程A（t）
x0 sin(2*pi*t*100) +15*sin(2*pi*t*300)+B*sin(2*pi*t*200)
x1 sin(2*pi*t*100) +15*sin(2*pi*t*300)+B*sin(2*pi*t*200)+W1+W2 原始信号
figure(1)
subplot(411)
plot(tx1)title(＇原始信号：x(t)＇)xlabel(＇ts＇) ylabel(＇幅值＇)axis([0 205 6 6])
subplot(412)
plot(tx0)title(＇期噪声信号：x(t)＇)xlabel(＇ts＇) ylabel(＇幅值＇)axis([0 205 6 6])
Wiener滤波
od12
计算互相关函数
phixsxcorr(x1x0)
for i1od
rxs(i)phixs(i+N)
end
计算相关函数
phixxxcorr(x1x1)
for i1od
for j1od
Rxx(ij)phixx(ij+N)
end
end
维纳霍夫方程滤波器优解
h1(inv(Rxx))*rxs＇
fxfilter(h11x1)
subplot(413)
plot(tfx＇r＇)
title(＇Wiener滤波信号＇)
xlabel(＇fHz＇)
ylabel(＇幅值＇)
axis([0 206 6 6])
Kalman滤波噪
a11352a21338a30662a40240
A[a1 a2 a3 a4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0]状态转移矩阵
H[1 0 0 0]观测矩阵
Q[1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ]状态噪声方差阵
R1观测噪声方差阵
X(1)[x1(4)x1(3)x1(2)x1(1)]
p(1)[10 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ]步预测误差阵
for k2N
p1(k)A*p(k1)*A＇+Q
K(k)p1(k)*H＇(H*p1(k)*H＇+R)
X(k)A*X(k1)+K(k)*[x1(k)H*A*X(k1)]
p(k) p1(k)K(k)*H*p1(k)
end
subplot(414)
plot(tX(1)＇r＇)
title(＇Kalman滤波信号＇)
xlabel(＇t s＇)ylabel(＇幅值＇)
axis([0 206 6 6])
滤波前信号图示：
题5：附件中表sheet1 某2008年4月28日凌晨12点2008年5月4日凌晨12点电力系统负荷数采样时间间隔1时利ARMA方法预测该5月5日电力系统负荷出预测误差（5月5日实际负荷数表sheet2）
解：ARMA模型算法：
ARMA模型时间序列分析法简称时序分析法种利参数模型序机振动响应数进行处理进行模态参数识方法参数模型包括AR回模型MA滑动均模型ARMA回滑动均模型
N度线性系统激励响应间关系高阶微分方程描述离散时间域该微分方程变成系列时刻时间序列表示差分方程ARMA时序模型方程：
（51）
式（51）表示响应数序列历史值关系中等式左边称回差分项式AR模型右边称滑动均差分项式MA模型N回模型滑动均值模型阶次分表示识回系数滑动均值系数表示白噪声激励k＝0时设
ARMA程{}具唯稳解
（52）
式中：脉响应函数
相关函数
（53）
白噪声
（54）
式中：白噪声方差
结果代式（53）
（55）
线性系统脉响应函数脉信号激励该系统时输出响应ARMA程定义表达式
（56）
利式（55）式（56）出：
（57）
ARMA程阶次2N时参数＝0l>2N时式（57）恒等零
（58）
写成
（59）
设相关函数长度L令M＝2N应l值代公式组方程：
（510）
缩写矩阵形式
（511）
式（11）推广Yulewalker方程般情况L2N采伪逆法求方程组二解
（512）
求回系数
滑动均模型系数通非线性方程组求解：
（513）
中
（514）
式中：响应序列协方差函数
求回系数滑动均值系数通ARMA模型传递函数表达式计算系统模态参数ARMA模型传递函数
（515）
分析利Matlab仿真ARMA模型图形：
图1 电力系统负荷数
图2 稳化处理电力系统负荷数
图3 电力系统负荷数相关偏相关函数曲线
图4 ARMA模型电力系统负荷进行预测曲线
图4 预测误差曲线
仿真结果分析ARMA模型电力系统负荷进行预测预测结果实际结果相较言预测误差较接受范围预测结果采
Matlab程序：
clc
clear
x1xlsread(＇C＼Users＼dell＼Desktop＼现代信号＼负荷数xls＇＇Sheet1＇)
x1x1(2)
x2xlsread(＇C＼Users＼dell＼Desktop＼现代信号＼负荷数xls＇＇Sheet2＇)
x2x2(2)
x[x1x2] 电力系统负荷数前168点历史数24点预测数
N1length(x1)
Nlength(x)
t1N
figure
plot(x)title(＇电力系统负荷数＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tight
原始数进行趋势处理零均值化稳化处理
z1diff(x) 差分
Yz1mean(z1) 零均值
[HPValueTestStatCriticalValue] adftest(Y) 检验否时间稳序列
figure
plot(Y＇r＇)
title(＇稳化处理电力系统负荷数＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇功率＇)
计算相关函数偏相关函数
figure
subplot(211)
autocorr(Y) 计算置信度95acf画出相关函数曲线
subplot(212)
parcorr(Y) 计算置信度95pacf画出偏相关函数曲线
相关系数偏相关系数均拖尾性选择arma模型电力系统负荷数进行预测
估计arma模型参数AIC标准定阶
ziddata(Y)
test []
for p 110 回应PACF定滞长度限pq
for q 110 移动均应ACF
m armax(z[p q])
AIC aic(m) armax(pq)选择应FPEAIC值模型
test [testp q AIC]
end
end
for k 1size(test1)
if test(k3) min(test(3)) 选择AIC值模型
p_test test(k1)
q_test test(k2)
break
end
end
建立arma模型检验
m armax(z(1168)[p_test q_test]) armax(pq)[p_test q_test]应AIC值
figure
e resid(mz(1168)) 拟合做残差分析
plot(e)
figure
subplot(211)
autocorr(eOutputData) 置信水095检验残差相关偏相关函数
subplot(212)
parcorr(eOutputData)
[PrDWr] dwtest(eOutputDatazOutputData) 检验线性回残差否相互独立
if Pr<005
disp(＇can not use this model＇)
else disp(＇can use this model＇)
end
预测5月5日电力系统负荷数
ppredict(mz1)
t[11191]
po pOutputData
figure
plot(tz＇r＇tpo＇b＇)
显示预测值（进行反差分加均值）
X(1)x(1)
for i2192
X(i)x(i1)+po(i1)
end
XX+mean(po)
t[11192]
figure
plot(tx＇r＇tX＇b＇)title(＇ARMA模型电力系统负荷数进行预测＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tightlegend(＇负荷真实值＇＇ARMA预测值＇)
figure
subplot(211)
t[1681192]
plot(tx(168192)＇r＇tX(168192)＇b＇)title(＇ARMA模型电力系统负荷数进行预测＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇电力系统负荷＇)axis tightlegend(＇负荷真实值＇＇ARMA预测值＇)
subplot(212)
errorxX＇
plot(terror(168192))
title(＇预测值真实误差＇)xlabel(＇时间＇)ylabel(＇5月5日预测值真实值误差＇)axis tight
题6
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