1．(2015·课标Ⅰ7易)设D△ABC面点＝3( )
A＝－＋
B＝－
C＝＋
D＝－
答案 A 图示
△ABC中＝－
∵＝3
∴＝＝－
∴＝＋＝－＋
2．(2015·安徽8中)△ABC边长2等边三角形已知量ab满足＝2a＝2a＋b列结正确( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
答案 D 图等边△ABC中＝2a＝2a＋b
∵＋＝
∴＝b∵||＝2||＝2
∴|b|＝2|a|＝1ab夹角120°
∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－1
∴ABC正确．
4a＋b＝＋＝2⊥D正确．
3．(2015·课标Ⅱ13易)设量ab行量λa＋ba＋2b行实数λ＝________．
解析 λa＋ba＋2b行存实数μλa＋b＝μ(a＋2b)(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0ab行解λ＝
答案
4．(2015·江苏6易)已知量a＝(21)b＝(1－2)ma＋nb＝(9－8)(mn∈R)m－n值________．
解析 ma＋nb＝(9－8)
m(21)＋n(1－2)＝(9－8)
(2m＋nm－2n)＝(9－8)
∴解∴m－n＝－3
答案 －3
5．(2015·北京13易)△ABC中点MN满足＝2＝＝x＋yx＝________y＝________
解析 图△ABC中
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－)
＝－
∴x＝y＝－
答案 －
1．(2013·辽宁3易)已知点A(13)B(4－1)量方单位量( )
A B
C D
答案 A ＝(3－4)||＝5方单位量＝选A
2．(2012·广东3易)量＝(23)＝(47)＝( )
A．(－2－4) B．(24)
C．(610) D．(－6－10)
答案 A ＝＋＝－＝(－2－4)选A
3．(2014·浙江8中)记max{xy}＝min{xy}＝设ab面量( )
A．min{|a＋b||a－b|}≤min{|a||b|}
B．min{|a＋b||a－b|}≥min{|a||b|}
C．max{|a＋b|2|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
答案 D 根量运算意义三角形法知min{|a＋b||a－b|}min{|a||b|}确定|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·ba·b≥0时max{|a＋b|2|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2
a·b<0时max{|a＋b|2|a－b|2}
＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2
总max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2选D
4．(2012·安徽8中)面直角坐标系中点O(00)P(68)量绕点O逆时针方旋转量点Q坐标( )
A．(－7－) B．(－7)
C．(－4－2) D．(－42)
答案 A 题意||＝10三角函数定义设P点坐标(10cos θ10sin θ)
cos θ＝sin θ＝Q点坐标应
三角函数知识10 cos ＝－710sin＝－
Q(－7－)．选A
5．(2014·北京10易)已知量ab满足|a|＝1b＝(21)λa＋b＝0(λ∈R)|λ|＝________
解析 ∵λa＋b＝0∴λa＝－b
∴|λa|＝|b|∴|λ|·|a|＝|b|
∴|λ|·1＝∴|λ|＝
答案
6．(2014·课标Ⅰ15中)已知ABC圆O三点＝(＋)夹角________．
解析 ＝(＋)知OBC中点BC圆O直径直径圆周角直角∠BAC＝90°夹角90°
答案 90°
7．(2014·陕西1812分中)直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy)△ABC三边围成区域(含边界)．
(1)＋＋＝0求||
(2)设＝m＋n(mn∈R)xy表示m－n求m－n值．
解：(1)方法：∵＋＋＝0
＋＋＝(1－x1－y)＋(2－x3－y)＋(3－x2－y)＝(6－3x6－3y)
∴解x＝2y＝2
＝(22)||＝2
方法二：∵＋＋＝0
(－)＋(－)＋(－)＝0
∴＝(＋＋)＝(22)
∴||＝2
(2)＝(xy)＝(12)＝(21)．
∵＝m＋n
∴(xy)＝(m＋2n2m＋n)
∴
②－①m－n＝y－x
令m－n＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值m－n值1
思路点拨：(1)根量相等求出P点坐标求||
(2)根量相等m－n转化xy关系变换线性规划问题．
考1 面量线性运算
量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求ab相反量－b运算作ab差
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)λ>0时λaa方相
λ<0时λaa方相反
λ＝0时λa＝0
(1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)
(2)第分配律：
(λ＋μ)a＝λa＋μ a
(3)第二分配律：
λ(a＋b)＝λa＋λb
(1)(2014·课标Ⅰ6)设DEF分△ABC三边BCCAAB中点＋＝( )
A B
C D
(2)(2013·四川12)行四边形ABCD中角线ACBD交点O＋＝λλ＝________．
解析 (1)图＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝
(2)图ABCD行四边形
＋＝＝2
已知＋＝λλ＝2
答案 (1)A (2)2
点拨 解题(1)时注意量加法行四边形法运解题(2)思路行四边形中＋表示结合已知条件求出λ值．
量线性运算解题策略
(1)进行量运算时转化行四边形三角形中选顶点出发基量首尾相接量运量加减法运算数运算求解．
(2)充分利相等量相反量线段例关系外时需利三角形中位线相似三角形应边成例等面性质未知量转化已知量直接关系量求解．
(2014·福建10)设M行四边形ABCD角线交点O行四边形ABCD面意点＋＋＋等( )
A B．2
C．3 D．4
答案 D 题意知点M线段AC中点线段BD中点＋＝2＋＝2＋＋＋＝4选D
考2 线量定理面量基定理应
1．量线判定定理性质定理
(1)判定定理：a非零量存实数λb＝λa量ba线．
(2)性质定理：量b非零量a线存唯实数λb＝λa
(3)ABC面三点AB重合P面意点点C直线AB存实数λ＝＋λ(图示)．
2．量线定理应
(1)证明点线
(2)证明两直线行
(3)已知量线求字母值(范围)．
3．面量基定理
(1)面量基定理
果e1e2面两线量面意量a实数λ1λ2a＝λ1e1＋λ2e2中e1e2组基底．
(2)面量基定理实质
面量基定理反映利已知量表示未知量实质利行四边形法三角形法进行量加减运算数运算．
4．面量基定理应
(1)证明量面果实数λ1λ2a＝λ1e1＋λ2e2ae1e2面．
(2)根量基定理求字母值(范围)．
(1)(2014·福建8)列量组中量a＝(32)表示出( )
A．e1＝(00)e2＝(12)
B．e1＝(－12)e2＝(5－2)
C．e1＝(35)e2＝(610)
D．e1＝(2－3)e2＝(－23)
(2)(2013·江苏10)设DE分△ABC边ABBC点AD＝ABBE＝BC＝λ1＋λ2(λ1λ2实数)λ1＋λ2值________．
(3)(2015·安徽阜阳模14)梯形ABCD中已知AB∥CDAB＝2CDMN分CDBC中点．＝λ＋μλ＋μ＝________．
解析 (1)方法：e1＝(00)e2＝(12)e1∥e2ae1e2表示排Ae1＝(－12)e2＝(5－2)≠e1e2线根面量基定理量a＝(32)表示出选B
方法二：a＝(32)e1＝(00)e2＝(12)存实数λμa＝λe1＋μ e2排Ae1＝(－12)e2＝(5－2)设存实数λμa＝λe1＋μ e2(32)＝(－λ＋5μ2λ－2μ)解a＝2e1＋e2选B
(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝λ1＋λ2
∴λ1＝－λ2＝∴λ1＋λ2＝
(3)方法：＝λ＋μ＝λ·(＋)＋μ·(＋)＋＋＝0＋＋＝0＋＝0
线面量基定理
解
λ＋μ＝
方法二：连接MN延长交AB延长线T
已知易AB＝AT
∴＝＝λ＋μ
∵TMN三点线∴λ＋μ＝
答案 (1)B (2) (3)
点拨 题(1)利面量基定理求解解题(2)思路先△ABC中表示然根已知条件应求出λ1λ2解题(3)时注意基底选取．
1求解量线问题注意事项
(1)量线充条件中两量线时通常非零量表示线量注意定系数法方程思想运．
(2)证明三点线问题量线解决应注意量线三点线区联系两量线公点时三点线．
(3)ab线λa＝μbλ＝μ＝0
(4)直线量式参数方程APB三点线⇔＝(1－t)·＋t(O面点t∈R)．
(5)＝λ＋μ(λμ实数)ABC三点线λ＋μ＝1
2．面量基定理解决问题般思路
(1)先选择组基底运面量基定理条件结表示成该基底线性组合进行量运算．
(2)基底未出情况合理选取基底会解题带方便外熟练运线段中点量表达式．
零量线量作基底基量通常选取确定整图形结点出发两边应量．
(2012·纲全国9)△ABC中AB边高CD＝a＝ba·b＝0|a|＝1|b|＝2＝( )
Aa－b Ba－b
Ca－b Da－b
答案 D ∵a·b＝0∴∠ACB＝90°∴AB＝CD＝
∴BD＝AD＝
∴AD∶BD＝4∶1
∴＝＝(－)
＝a－b
考3 面量坐标运算应
1．面量坐标运算
(1)a＝(x1y1)b＝(x2y2)(b≠0)a±b＝(x1±x2y1±y2)．
(2)A(x1y1)B(x2y2)＝(x2－x1y2－y1)．
(3)a＝(xy)λ∈Rλa＝(λxλy)．
2．量行坐标表示
(1)果a＝(x1y1)b＝(x2y2)a∥b充条件x1y2－x2y1＝0
(2)A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)三点线充条件(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0
a∥b充条件表示成＝x2y2等0判断三点否线先求两点应量然两量线进行判定．
3．面量中重结
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
(3)G△ABC重心⇔＋＋＝0
⇔G中A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)．
(1)(2012·重庆6)设xy∈R量a＝(x1)b＝(1y)c＝(2－4)a⊥cb∥c|a＋b|＝( )
A B C．2 D．10
(2)(2013·北京13)量abc正方形网格中位置图示c＝λa＋μb(λμ∈R)＝________．
解析 (1)⇒⇒
∴a＝(21)b＝(1－2)a＋b＝(3－1)
∴|a＋b|＝
(2)量ab交点原点建立图示面直角坐标系(设正方形边长1)
A(1－1)B(62)C(5－1)∴a＝＝(－11)b＝＝(62)c＝＝(－1－3)．∵c＝λa＋μb∴(－1－3)＝λ(－11)＋μ(62)
解λ＝－2μ＝－∴＝4
答案 (1)B (2)4
点拨 解题(1)时注意应量行垂直坐标表示解题(2)关键建立面直角坐标系正确写出abc坐标利abc间关系列出方程组求解．
量坐标运算问题般思路
量坐标运算利加减数运算法进行已知线段两端点坐标应先求出量坐标解题程中注意方程思想运正确运算法．量载体解决三角函数解析中关问题．
(2014·陕西13)设0<θ<量a＝(sin 2θcos θ)b＝(cos θ1)a∥btan θ＝________．
解析 a∥bsin 2θ＝cos2θ2sin θcos θ＝cos2θ
0<θ02sin θ＝cos θ∴tan θ＝
答案
1．(2015·河北邯郸模5)已知量a＝(23)b＝(－12)(ma＋nb)∥(a－2b)等( )
A．－2 B．2 C．－ D
答案 C 题意ma＋nb＝(2m－n3m＋2n)a－2b＝(4－1)∵(ma＋nb)∥(a－2b)∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0
∴＝－选C
2．(2015·青海西宁质检6)已知△ABC三顶点ABC面点P满足＋＋＝点P△ABC关系( )
A．P△ABC部
B．P△ABC外部
C．PAB边直线
D．PAC边三等分点
答案 D ∵＋＋＝
∴＋＋＝－
∴＝－2＝2
∴PAC边三等分点．
3．(2015·山东日模5)行四边形ABCD中ACBD相交点OE线段OD中点AE延长线CD交点F＝a＝b等( )
Aa＋b Ba＋b
Ca＋b Da＋b
答案 B 图
∵△DEF∽△BEA∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3点F作FG∥BD交AC点G∴FG∶DO＝2∶3CG∶CO＝2∶3∴＝b∵＝＋＝＝a
∴＝＋＝a＋b选B
4．(2015·吉林长春调研7)已知△ABC重心G角ABC边分abca＋b＋c＝0角A( )
A B
C D
答案 A ∵G△ABC重心∴＋＋＝0
∵a＋b＋c＝0
∴＋＝0
∴a－c＝0b－c＝0
∴a＝cb＝c
∴cos A＝
＝＝
∴A＝
5．(2014·广东佛山二模6)设＝(1－2)＝(a－1)＝(－b0)a>0b>0O坐标原点ABC三点线＋值( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D 方法：题意＝(1－2)＝(a－1)＝(－b0)
＝－＝(a－11)＝－＝(－b－12)．
∵ABC三点线
∴∥
(a－1)×2－1×(－b－1)＝0
∴2a＋b＝1
∵a>0b>0
∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8仅＝时取＝．选D
方法二：kAB＝kAC＝
∵ABC三点线kAB＝kAC＝∴2a＋b＝1＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8∴＋值8
思路点拨：先ABC三点线找出ab关系然1代换利基等式求解．
6．(2015·河南开封月考13)面直角坐标系xOy中已知A(10)B(01)C(－1c)(c>0)|OC|＝2＝λ＋μ实数λμ值分________．
解析 ∵||＝2∴||2＝1＋c2＝4c>0∴c＝
∵＝λ＋μ
∴(－1)＝λ(10)＋μ(01)
∴λ＝－1μ＝
答案 －1
7．(2015·山西汾模拟15)图△ABC中＋＋＝0＝a＝b＝ma＝nbCG∩PQ＝H＝2＋＝________．
解析 ＋＋＝0知G△ABC重心取AB中点D＝＝＝(＋)＝＋PHQ三点线＋＝1＋＝6
答案 6
8．(2014·山西阳泉三模14)设O△ABC部＋2＋3＝0△ABC面积△AOC面积________．
解析 设ACBC中点分MN已知条件化(＋)＋2(＋)＝02＋4＝0＝－2说明MON三点线O中位线MN三等分点S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC＝3
答案 3
1．(2015·山东4易)已知菱形ABCD边长a∠ABC＝60°·＝( )
A．－a2 B．－a2
Ca2 Da2
答案 D ∵＝＋＝
∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos 60°＋||2＝a2＋a2＝a2选D
2．(2015·重庆6易)非零量ab满足|a|＝|b|(a－b)⊥(3a＋2b)ab夹角( )
A B
C D．π
答案 A 设|b|＝x〈ab〉＝θ
|a|＝xa·b＝x2cos θ
∵(a－b)⊥(3a＋2b)
∴(a－b)·(3a＋2b)＝0
∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0
3×x2－x2cos θ－2x2＝0
∴cos θ＝∴cos θ＝
∵θ∈[0π]∴θ＝选A
3．(2015·湖北11易)已知量⊥||＝3·＝________．
解析 ·＝·(＋)
＝2＋·＝9
答案 9
1．(2014·重庆4易)已知量a＝(k3)b＝(14)c＝(21)(2a－3b)⊥c实数k＝( )
A．－ B．0 C．3 D
答案 C 2a－3b＝(2k－3－6)(2a－3b)⊥c4k－6－6＝0解k＝3选C
2．(2013·湖北6易)已知点A(－11)B(12)C(－2－1)D(34)量方投影( )
A B
C．－ D．－
答案 A ＝(21)＝(55)
·＝15||＝5
∵·＝||||cos 〈〉
∴||cos 〈〉＝＝＝选A
3．(2013·湖南8中)已知ab单位量a·b＝0量c满足|c－a－b|＝1|c|值( )
A－1 B
C＋1 D＋2
答案 C 建立图示面直角坐标系题意知a⊥bab单位量
∴设＝a＝(10)＝b＝(01)＝c＝(xy)．
∴c－a－b＝(x－1y－1)∵|c－a－b|＝1
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1点C(xy)轨迹M(11)圆心1半径圆．|c|＝∴|c|值|OM|＋1|c|max＝＋1选C
4．(2012·广东8难)意两非零面量αβ定义α∘β＝面量ab满足|a|≥|b|>0ab夹角θ∈a∘bb∘a集合中a∘b＝( )
A B．1 C D
答案 C 根题中定两量新运算知a∘b＝＝＝b∘a＝θ∈00<≤10<<1b∘a∈(01)b∘a∈＝|a|＝2|b|cos θ①
理>①代入2cos2θ>a∘b∈a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)1<<2n＝3∴cos θ＝|a|＝|b|
∴a∘b＝×＝选C
5．(2014·江西14中)已知单位量e1e2夹角αcos α＝量a＝3e1－2e2b＝3e1－e2夹角βcos β＝________．
解析 a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8
∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9∴|a|＝3
∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8∴|b|＝2
∴cos β＝＝＝
答案
6．(2012·安徽14中)面量ab满足|2a－b|≤3a·b值________．
解析 量数量积知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(仅〈ab〉＝π时等号成立)．
|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(仅2|a|＝|b|〈ab〉＝π时取等号)∴a·b值－
答案 －
思路点拨：先|2a－b|≤3找出a·b|a|·|b|间关系利基等式数量积定义求值．
7．(2014·安徽15难)已知两相等非零量ab两组量x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5均2a3b排列成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5Smin表示S取值中值列命题正确________(写出正确命题编号)．
①S5值
②a⊥bSmin|a|关
③a∥bSmin|b|关
④|b|＞4|a|Smin＞0
⑤|b|＝2|a|Smin＝8|a|2ab夹角
解析 S3种结果：
S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2
S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2
S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2
①错误．
∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b
≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0
∴S中值S3
a⊥bSmin＝S3＝b2|a|关
②正确．
a∥bSmin＝S3＝4a·b＋b2|b|关③错误．
|b|>4|a|Smin＝S3＝4|a||b|cos θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0④正确．
|b|＝2|a|Smin＝S3＝8|a|2cos θ＋4|a|2＝8|a|2
∴2cos θ＝1∴θ＝⑤错误．
答案 ②④
考1 面量垂直夹角
1．面量数量积关概念
(1)量夹角：已知两非零量ab记＝a＝b∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)作量ab夹角．
(2)数量积定义：已知两非零量ab夹角θ数量|a||b|cos θ作ab数量积记作a·ba·b＝|a||b|cos θ规定：0·a＝0
(3)数量积意义：数量积a·b等a模|a|ba方投影|b|cos θ积．
两量数量积数量量值两量模两量夹角余弦值积符号夹角余弦值确定．
2．面量数量积性质
设ab非零量eb方相单位量θae夹角
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ
(2)a⊥b⇔a·b＝0
(3)ab时a·b＝|a||b|ab反时a·b＝－|a||b|
特a·a＝|a|2|a|＝
(4)cos θ＝
(5)|a·b|≤|a||b|
3．面量数量积坐标表示
设a＝(x1y1)b＝(x2y2)ab夹角θ
(1)a·b＝x1x2＋y1y2
(2)|a|＝A(x1y1)B(x2y2)||＝
(3)cos θ＝
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0前者两量a＝(x1y1)b＝(x2y2)线充条件者垂直充条件．
(1)(2014·四川7)面量a＝(12)b＝(42)c＝ma＋b(m∈R)ca夹角等cb夹角m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(2)(2014·天津8)已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF分边BCDCBE＝λBCDF＝μDC·＝1·＝－λ＋μ＝( )
A B C D
(3)(2013·山东15)已知量夹角120°||＝3||＝2＝λ＋⊥实数λ值________．
解析 (1)c＝ma＋b＝(m＋42m＋2)a·c＝5m＋8b·c＝8m＋20
两量夹角相等＝＝解m＝2
(2)基量·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①
·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－②
①②λ＋μ＝
(3)∵⊥∴·＝0
∴(λ＋)·＝0(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0
∵量夹角120°||＝3||＝2
∴(λ－1)||||·cos 120°－9λ＋4＝0解λ＝
答案 (1)D (2)C (3)
点拨 题(1)考查面量坐标运算量夹角公式求解时先进行运算代入坐标解题程简洁题(2)根条件分表示然根量数量积公式方程组求解解题(3)方法根·＝0列出等量关系求出λ
面量数量积应
(1)根面量数量积性质：ab非零量cos θ＝(夹角公式)a⊥b⇔a·b＝0等知面量数量积解决关角度垂直问题．
(2)数量积0说明线两量夹角锐角数量积等0说明线两量夹角直角数量积0两量线时两量夹角钝角．
(1)(2011·课标全国10)已知ab均单位量夹角θ列四命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈
p2：|a＋b|>1⇔θ∈
p3：|a－b|>1⇔θ∈
p4：|a－b|>1⇔θ∈
中真命题( )
A．p1p4 B．p1p3
C．p2p3 D．p2p4
(2)(2014·湖北11)设量a＝(33)b＝(1－1)(a＋λb)⊥(a－λb)实数λ＝________．
(1)答案 A ∵|a|＝|b|＝1θ∈[0π]
|a＋b|>1
(a＋b)2>1∴a2＋2a·b＋b2>1
a·b>－
∴cos θ＝＝a·b>－
∴θ∈
|a－b|>1理求a·b<
∴cos θ＝a·b<
∴θ∈
∴p1p4正确选A
(2)解析 ∵a＋λb＝(3＋λ3－λ)a－λb＝(3－λ3＋λ)
(a＋λb)⊥(a－λb)
∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0解λ＝±3
答案 ±3
考2 面量模应
求面量模公式
(1)a2＝a·a＝|a|2|a|＝＝
(2)|a±b|＝＝
(3)a＝(xy)|a|＝
(1)(2014·课标Ⅱ3)设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)(2014·湖南16)面直角坐标系中O原点A(－10)B(0)C(30)动点D满足||＝1|＋＋|值________．
解析 (1)|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝10①
|a－b|＝a2＋b2－2a·b＝6②
①－②4a·b＝4∴a·b＝1选A
(2)方法：设D(xy)＝(x－3y)||＝1知(x－3)2＋y2＝1动点D轨迹点C圆心单位圆．
＋＋＝(－10)＋(0)＋(xy)＝(x－1y＋)
∴|＋＋|＝问题转化圆(x－3)2＋y2＝1点点P(1－)间距离值．
∵圆心C(30)点P(1－)间距离＝
值＋1
方法二：设D(xy)||＝1(x－3)2＋y2＝1设x＝3＋cos αy＝sin αα∈R
＋＋＝(x－1y＋)
|＋＋|＝
＝
＝＝
中sin φ＝cos φ＝
显然sin(α＋φ)＝1时|＋＋|值＝＋1
方法三：＋＋＝＋＋＋
设a＝＋＋＝(2)
|a|＝＋＋＝a＋
|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1
a时|＋＋|值＋1
答案 (1)A (2)＋1
点拨 解题(1)时注意先求模方加减运算求解题(2)方法利意义问题转化问题方法二采换元法问题转化求三角函数值方法三利量运算性质求解．
1求量模方法
(1)公式法：利|a|＝(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2量模运算转化数量积运算．
(2)法：利量意义利量加减法行四边形法三角形法作出量利余弦定理等方法求解．
2．求量模值(范围)方法
(1)代数法：求模表示成某变量函数求值方法求解．
(2)法(数形结合法)：弄清求模表示意义结合动点表示图形求解．
(2015·河南开封模拟14)已知量ab垂直|a|＝2(a－c)·(b－c)＝0c模值|b|＝________．
解析 (a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0ab垂直c2＝(a＋b)·c|c|＝|a＋b|cos θ≤|a＋b|(θa＋bc夹角)题意知|a＋b|＝＝＝＝|b|＝1
答案 1
1．(2015·河北承德质检4)已知两非零量ab满足|a＋b|＝|a－b|列结正确( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
答案 B |a＋b|＝|a－b|(a＋b)2＝(a－b)2a·b＝0a⊥b选B
2．(2015·浙江温州二模5)已知|a|＝1a·b＝(a－b)2＝1ab夹角等( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 C 设ab夹角θa·b＝|a||b|·cos θ＝|a|＝1
|b|cos θ＝①
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝11＋|b|2－1＝1|b|＝1②
①②cos θ＝
θ∈[0°180°]θ＝60°选C
3．(2015·河南驻马店质检6)O△ABC面点满足(－)·(＋－2)＝0△ABC形状( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案 C (－)·(＋－2)＝0·(＋)＝0∵－＝
∴(－)·(＋)＝0||＝||△ABC等腰三角形选C
4．(2015·海嘉定模拟15)已知ijk表示面三单位量i⊥j(i＋k)·(j＋k)取值范围( )
A．[－33] B．[－22]
C．[－1＋1] D．[1－1＋]
答案 D i⊥ji·j＝0
ij单位量
∴|i＋j|＝＝
(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2
＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋jk＋1
＝cosi＋jk＋1
∵－1≤cosi＋jk≤1
∴(i＋k)·(j＋k)取值范围[1－1＋]．选D
5．(2015·福建莆田模6)已知abc均单位量|a＋b|＝1(a－b)·c取值范围( )
A．[01] B．[－11]
C．[－] D．[0]
答案 C ab单位量|a＋b|＝1意义知|a－b|＝设a－bc夹角θ(a－b)·c＝|a－b||c|·cos θ
∵cos θ∈[－11]∴(a－b)·c取值范围[－]．
6．(2014·湖南九校联考9)非零量mn定义运算*：m*n＝|m||n|sin θ中θmn夹角两两线三量abc列结正确( )
A．a*b＝a*cb＝c
B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b
D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
答案 C abc两两线量abc非零量A正确设ab夹角θbc夹角α(a*b)c＝|a||b|·sin θ·ca(b*c)＝|b||c|sin α·aB正确a*b＝|a||b|sin θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b选C
7．(2015·山东淄博模14)ab两非零量|a|＝|b|＝λ|a＋b|λ∈ba－b夹角取值范围________．
解析 设＝a＝bOAOB邻边作行四边形OACB|a|＝|b|四边形OACB菱形设∠BOC＝θ∠OBC＝π－2θ△OBC中正弦定理＝化简cos θ＝λ∈∈θ∈ba－b＝θ＋∈
答案
8．(2014·江西南昌二模12)关面量abc列三命题：
①a·b＝a·cb＝c
②a＝(1k)b＝(－26)a∥bk＝－3
③非零量ab满足|a|＝|b|＝|a－b|aa＋b夹角60°
中真命题序号________(写出真命题序号)．
解析 命题①明显错误．两量行充条件1×6＋2k＝0k＝－3命题②正确．|a|＝|b|＝|a－b|结合行四边形法aa＋b夹角30°命题③错误．
答案 ②
1．(2015·天津14中)等腰梯形ABCD中已知AB∥DCAB＝2BC＝1∠ABC＝60°动点EF分线段BCDC＝λ＝·值________．
解析 图分CD作CN⊥ABNDM⊥ABM
AM＝BN＝∴CD＝MN＝1
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋·
＝4－1－2－λ＋λ＋λ·
＝＋＋≥＋2＝
仅＝λ＝时等号成立时·值
答案
2．(2015·江苏14难)设量ak＝(k＝012…12) (ak·ak＋1)值________．
解析 ak·ak＋1
＝·
＝coscosπ＋·
＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ
＝cos＋sinπ＋coscosπ
(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ
＝6＋0＋4
＝9
答案 9
3．(2015·浙江15难)已知e1e2空间单位量e1·e2＝空间量b满足b·e1＝2b·e2＝意xy∈R|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0y0∈R)x0＝______y0＝________|b|＝________．
解析 ∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1e2〉＝cos〈e1e2〉＝
∴〈e1e2〉＝
妨设e1＝e2＝(100)
b＝(mnt)．
题意知b·e1＝m＋n＝2
b·e2＝m＝
解n＝m＝
∴b＝
∵b－(xe1＋ye2)
＝
∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2
题意x＝x0＝1y＝y0＝2时
|b－(xe1＋ye2)|2取值1
时t2＝1
|b|＝
＝＝2
答案 1 2 2
4．(2015·广东1612分易)面直角坐标系xOy中已知量m＝n＝(sin xcos x)x∈
(1)m⊥n求tan x值
(2)mn夹角求x值．
解：(1)∵m＝n＝(sin xcos x)m⊥n
∴m·n＝sin x－cos x＝0
sin x＝cos x
∴tan x＝＝1
(2)题意知
|m|＝＝1
|n|＝＝1
m·n＝sin x－cos x＝sin
m·n＝|m|·|n|·cos〈mn〉
＝cos＝
∴sin＝∵x∈x－∈
∴x－＝∴x＝
1．(2012·湖南7中)△ABC中AB＝2AC＝3·＝1BC＝( )
A B C．2 D
答案 A ∵·＝·(－)＝·－2＝1
∴·＝52×3cos A＝5∴cos A＝余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3
∴BC＝选A
思路点拨：先根数量积求出角A三角函数值余弦定理求BC
2．(2012·江西7中)直角三角形ABC中点D斜边AB中点点P线段CD中点＝( )
A．2 B．4 C．5 D．10
答案 D 方法：C原点CACB直线分xy轴建立直角坐标系．设A(a0)B(0b)DP|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2＝10
方法二：－＝＋＝2两式方相加22＋22＝2＋42＝42＋42＝202＝10
3．(2014·安徽10难)面直角坐标系xOy中已知量ab|a|＝|b|＝1a·b＝0点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ0≤θ＜2π}区域Ω＝{P|0＜r≤||≤Rr＜R}．C∩Ω两段分离曲线( )
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
答案 A 题意取a＝(10)b＝(01)
＝()＝(cos θsin θ)
＝(－cos θ－sin θ)
∴||2＝(－cos θ)2＋(－sin θ)2
＝5－2(cos θ＋sin θ)
＝5－4sin
∵0≤θ<2π∴≤θ＋<
∴1≤||2≤91≤||≤3
C∩Ω两段分离曲线结合图象(图)知1
4．(2012·天津7难)已知△ABC等边三角形AB＝2设点PQ满足＝λ＝(1－λ)λ∈R·＝－λ＝( )
A B
C D
答案 A 图＝－＝－
∵·＝－∴(－)·(－)＝－
·－·－·＋·＝－
＝λ＝(1－λ)代入式
(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－(*)
∵△ABC等边三角形||＝||＝||＝2
∴·＝||·||·cos 60°＝2×2×＝2
||2＝4||2＝4代入(*)式4λ2－4λ＋1＝0
(2λ－1)2＝0∴λ＝选A
5．(2014·江苏12易)图行四边形ABCD中已知AB＝8AD＝5＝3·＝2·值________．
解析 题意＝＋＝＋
＝＋＝＋＝－
·＝
·
＝2－·－2
代入数2＝25－·－×64
解·＝22
答案 22
6．(2012·北京13中)已知正方形ABCD边长1点EAB边动点·值________·值________．
解析 ①D点原点DCDA直线分x轴y轴建立图示直角坐标系D(00)A(01)B(11)C(10)．设E(x1)＝(x1)＝(01)
∴·＝1
②∵＝(10)
∴·＝x
∵正方形边长1∴x值1·值1
答案 1 1
7．(2012·海12中)行四边形ABCD中∠A＝边ABAD长分21MN分边BCCD点满足＝·取值范围________．
解析 方法：点MN分边BCCD
设＝＝k∈[01]
·＝(＋)·(＋＋)
＝(＋k)·(＋＋k)
＝ 2＋·＋k·＋k·＋k 2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[25]k∈[01]．
方法二：建立面直角坐标系图．
B(20)CD
令＝＝λMN
∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6
∵0≤λ≤1∴·∈[25]．
答案 [25]
8．(2013·江苏1514分易)已知a＝(cos αsin α)b＝(cos βsin β)0<β<α<π
(1)|a－b|＝求证：a⊥b
(2)设c＝(01)a＋b＝c求αβ值．
解：(1)证明：题意|a－b|2＝2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2
a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1
2－2a·b＝2a·b＝0
a⊥b
(2)a＋b＝(cos α＋cos βsin α＋sin β)＝(01)
cos α＝cos(π－β)．
0<β<π0<π－β<π
0<α<π
α＝π－β代入sin α＋sin β＝1
sin α＝sin β＝
α>βα＝β＝
考1 面量面中应
量中应
(1)证明线段行问题包括相似问题常量行(线)充条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0
(2)证明垂直问题常量垂直充条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
(3)求夹角问题常公式：
cos θ＝＝
(4)求线段长度量线性运算量模
|a|＝＝
|AB|＝||＝
(1)(2013·福建7)四边形ABCD中＝(12)＝(－42)该四边形面积( )
A B．2 C．5 D．10
(2)(2013·天津12)行四边形ABCD中AD＝1∠BAD＝60°ECD中点．·＝1AB长________．
解析 (1)·＝(12)·(－42)＝0⊥四边形ABCD角线互相垂直面积S＝·||·||＝××2＝5选C
(2)方法：题意知＝＋＝－＋·＝1
(＋)·＝1
2＋·－2＝1①
||＝1∠BAD＝60°
·＝||
①式化1＋||－||2＝1
解||＝0(舍)
AB长
方法二：A原点ABx轴建立图直角坐标系D作DM⊥AB点MAD＝1
∠BAD＝60°
知AM＝DM＝
设|AB|＝m(m＞0)B(m0)．
CD
ECD中点E
＝＝
·＝1
＋＝1
2m2－m＝0m＝0(舍)
AB长
答案 (1)C (2)
点拨 解题(1)关键利量证明AC⊥BD解题(2)方法利面量运算已知量表示然求解方法二建立合适面直角坐标系坐标法求解准确写出点坐标关键．
量解决面问题步骤
(1)建立面量联系量表示问题中涉元素面问题转化量问题
(2)通量运算研究元素间关系距离夹角等问题
(3)运算结果翻译成关系．
(2013·课标Ⅱ13)已知正方形ABCD边长2ECD中点·＝________．
解析 方法：·
＝·(－)
＝2－2＝22－×22＝2
方法二：A原点建立面直角坐标系(图)A(00)E(12)B(20)C(22)D(02)＝(12)＝(－22)·＝(12)·(－22)＝1×(－2)＋2×2＝2
答案 2
考2 面量三角函数中应
三角函数相结合考查量数量积坐标运算应高考热点问题．解类问题熟练掌握量数量积坐标运算公式量模夹角坐标运算公式外应掌握三角恒等变换相关知识．
(1)(2014·山东12)△ABC中已知·＝tan AA＝时△ABC面积________．
(2)(2013·辽宁1712分)设量a＝(sin xsin x)b＝(cos xsin x)x∈
①|a|＝|b|求x值
②设函数f(x)＝a·b求f(x)值．
解析 (1)△ABC中·＝||·|·cos A＝tan A∴||·||＝＝＝三角形面积公式S＝|AB|·|AC|sin A＝××＝
(2)①|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1|a|＝|b|4sin2x＝1
x∈∴sin x＝∴x＝
②f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋
x＝∈时sin取值1
∴f(x)值
点拨 解题(1)关键利量知识求出||·||值解题(2)时注意角x取值范围．
量三角函数综合问题特点解题思路
(1)量载体考查三角函数综合应题目通量坐标运算构建出三角函数然考查关三角函数值单调性周期性等三角函数性质问题时加入参数考查分类讨思想方法．
(2)三角函数求值问题两种形式：种化成y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)形式种化成y＝asin2x＋bsin x＋cy＝acos2x＋bcos x＋c形式．
(2015·安徽宣城模拟1712分)△ABC中角ABC边分abc·＝·＝1
(1)判断△ABC形状
(2)求边长c值
(3)|＋|＝2求△ABC面积．
解：(1)·＝·＝1
bc·cos A＝ac·cos B正弦定理
sin Bcos A＝sin Acos B
∴sin(A－B)＝0
∴A＝B△ABC等腰三角形．
(2)·＝1bc·cos A＝1
bc·＝1b2＋c2－a2＝2
a＝b∴c2＝2c＝
(3)|＋|＝22＋b2＋2＝8
∴b＝2c＝
∴cos A＝sin A＝
∴S△ABC＝bc·sin A＝×2××＝
1．(2015·安徽铜陵质检6)已知量＝(22)＝(41)x轴存点P·值点P坐标( )
A．(－30) B．(20) C．(30) D．(40)
答案 C 设点P坐标(x0)＝(x－2－2)＝(x－4－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1
x＝3时·值1
时点P坐标(30)．
2．(2015·湖北宜昌模6)已知△ABC外接圆圆心O半径13＋4＋5＝0△AOC面积( )
A B C D
答案 A 题设3＋5＝－4
9＋2×3×5·＋25＝16
∴cos∠AOC＝－
∴sin∠AOC＝
S△AOC＝×1×1×＝
3．(2015·辽宁连质检8)设F1F2椭圆＋y2＝1左右焦点椭圆中心作条直线椭圆交PQ两点四边形PF1QF2面积时·值等( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
答案 D 题意c＝＝
S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(hF1F2边高)h＝b＝1时S四边形PF1QF2取值时∠F1PF2＝120°||＝||＝2
·＝|| ||cos 120°＝2×2×＝－2
4．(2014·湖南长沙二模6)图△ABC中AD⊥AB＝||＝1·＝( )
A．2 B C．－ D
答案 D A原点ABAD分x轴y轴建立面直角坐标系图．
设B(xB0)D(01)C(xCyC)
＝(xC－xByC)＝(－xB1)
∵＝∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xByC＝＝((1－)xB)＝(01)·＝
5．(2014·河北石家庄模6)已知点G△ABC重心∠A＝120°·＝－2||值( )
A B C D
答案 C 设BC中点M＝
MBC中点∴＝(＋)
∴＝＝(＋)
∴||＝
∵·＝－2∠A＝120°
∴||||＝4
∴||＝
≥＝
仅||＝||时取＝
∴||值选C
6．(2015·河南周口模14)已知点O△ABC外心||＝4||＝2·＝________．
解析 点O△ABC外心||＝4||＝2
·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈〉－||||·cos〈〉
＝||||×－||||×＝6
答案 6
7．(2015·山东沂质检14)直角梯形ABCD中∠A＝90°∠B＝30°AB＝2BC＝2点E线段CD＝＋μμ取值范围________．
解析 余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B
＝(2)2＋22－2×2×2cos 30°＝4
∴AC＝2∴AC＝BC＝2
∴∠CAB＝30°∠DAC＝60°
AD＝1∴AE∈[12]
∵＝＋μ
∴||2＝(＋μ)2
＝||2＋|μ|2
＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2
∴μ2＝∵||∈[12]
∴μ2∈∴μ∈
答案
8．(2015·山西太原模14)设G△ABC重心sin A·＋3sin B·＋3sin C·＝0角B______________．
解析 ∵sin A·＋3sin B·＋3sin C·＝0
设三角形边长次abc正弦定理a·＋3b·＋3c·＝0
点G△ABC重心根中线性质量加法法：
3＝＋3＝＋3＝＋
代入式：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0
＝＋式化：
a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0
(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0
①－②3a＝9ca∶c＝3∶1
设a＝3kc＝k代入①b＝－k
∴cos B＝＝＝
∴B＝
答案
9．(2014·江西五校联考1712分)已知量m＝n＝
(1)m·n＝1求cos值
(2)记f(x)＝m·n△ABC中角ABC边分abc满足(2a－c)cos B＝bcos C求函数f(A)取值范围．
解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋×cos＋
＝sin＋
(1)∵m·n＝1∴sin＝
cos＝1－2sin2＝
cos＝－cos＝－
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C正弦定理(2sin A－sin C)·cos B＝sin Bcos C
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π∴sin(B＋C)＝sin Asin A≠0
∴cos B＝B＝
∴0∴<＋<
∵f(x)＝m·n＝sin＋
∴f(A)＝sin＋
1函数f(A)取值范围
(时间：90分钟__分数：120分)
选择题(10题题5分50分)
1．(2015·湖南株洲质检4)已知量a＝(34)b＝(sin αcos α)a∥btan α＝( )
A B．－ C D．－
答案 A 方法：∵a∥b⇒a＝λb(34)＝λ(sin αcos α)
∴tan α＝
方法二：∵a＝(34)b＝(sin αcos α)
a∥b∴3cos α－4sin α＝0
tan α＝＝
2．(2013·纲全国3)已知量m＝(λ＋11)n＝(λ＋22)(m＋n)⊥(m－n)λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
答案 B ∵m＋n＝(2λ＋33)m－n＝(－1－1)题意知(m＋n)·(m－n)＝0－(2λ＋3)－3＝0λ＝－3选B
3．(2015·浙江杭州二模6)设ABC直线l三点O直线l外点．p＋q＋r＝0(pqr∈R)p＋q＋r＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案 B 已知＝－－ABC三点线－＋＝1p＋q＋r＝0
4．(2015·福建福州模6)图设量＝(31)＝(13)＝λ＋μλ≥μ≥1阴影表示C点位置区域正确( )
答案 D 设C(xy)．∵＝λ＋μ＝λ(31)＋μ(13)＝(3λ＋μλ＋3μ)
∴解
∵λ≥μ≥1∴选D
5．(2015·黑龙江伊春质检6)已知面量ab满足|a|＝3|b|＝2ab夹角120°(a＋mb)⊥a实数m值( )
A．1 B C．2 D．3
答案 D ∵(a＋mb)⊥a∴(a＋mb)·a＝0
∴|a|2＋m·|a|·|b|cos 120°＝0
9＋m·3×2×＝0∴m＝3
选D
6．(2015·河南中原名校联考4)已知线量ab|a|＝2|b|＝3a·(b－a)＝1|a－b|＝( )
A B．2 C D
答案 A a·(b－a)＝1a·b－a2＝1
∴a·b＝5
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3∴|a－b|＝选A
7．(2013·广东10)设a已知面量a≠0关量a分解四命题：
①定量b总存量ca＝b＋c
②定量bc总存实数λμa＝λb＋μc
③定单位量b正数μ总存单位量c实数λa＝λb＋μc
④定正数λμ总存单位量b单位量ca＝λb＋μ c
述命题中量bca面两两线真命题数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B ①ab定a－b定存表示cc＝a－ba＝b＋c成立①正确②bc线面量基定理知②正确③a终点作长度μ圆圆必须量λb交点定满足③错误④利量加法三角形法结合三角形两边第三边必|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|④错正确2．选B
8．(2015·山西晋中十校联考6)已知O原点点AB坐标分(a0)(0a)中常数a>0点P线段AB＝t(0≤t≤1)·值( )
A．a B．2a C．3a D．a2
答案 D ∵＝t
∴＝＋＝＋t(－)
＝(1－t)＋t＝(a－atat)
∴·＝a2(1－t)
∵0≤t≤1∴0≤·≤a2
9．(2015·安徽安庆模6)已知点O△ABC面点2＋2＝2＋2＝2＋2O定△ABC( )
A．外心 B．心 C．垂心 D．重心
答案 C 2＋2＝2＋2
2＋(－)2＝2＋(－)2
∴·＝·∴·＝0
∴O边AB高线．
理O边ACBC高线
O△ABC垂心．选C
10．(2015·江西宜春模11)已知定义区间(03)函数f(x)图象图示a＝(f(x)0)b＝(cos x1)等式a·b<0解集( )
A．(01) B．(01]
C．(01)∪ D．(01]∪
答案 C ∵(03)函数f(x)图象图示
a＝(f(x)0)b＝(cos x1)
∴x∈(01)时f(x)<0cos x>0
x∈时cos x≥0f(x)≥0
x∈时f(x)>0cos x<0
∴a·b＝f(x)cos x<0解集(01)∪
二填空题(4题题5分20分)
11．(2011·江苏10)已知e1e2 夹角两单位量a＝e1－2e2b＝ke1＋e2 a·b＝0实数k值________．
解析 a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e
＝k＋(1－2k)cos－2＝0解k＝
答案
12．(2015·山东烟台质检14)△ABC三角ABC边分abc设量m＝(3c－ba－b)n＝(3a＋3bc)m∥ncos A＝________．
解析 ∵m∥n∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)
bc＝3(b2＋c2－a2)
∴＝
∴cos A＝＝
答案
13．(2015·江西南昌模12)已知量a＝(11)b＝(1－1)c＝(cos αsin α)(α∈R)实数mn满足ma＋nb＝c(m－3)2＋n2值________．
解析 方法：ma＋nb＝c
(m＋n)2＋(m－n)2＝2m2＋n2＝1点M(mn)原点圆心1半径圆点P(30)点M距离值|OP|＋1＝3＋1＝4(m－3)2＋n2值42＝16
方法二：∵ma＋nb＝c
∴(m＋nm－n)＝(cos αsin α)(α∈R)．
∴m＋n＝cos αm－n＝sin α
∴m＝sinn＝cos
∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9
＝10－6sin
∵sin∈[－11]
∴(m－3)2＋n2值16
答案 16
14．(2012·江苏9)图矩形ABCD中AB＝BC＝2点EBC中点点F边CD·＝·值________．
解析 方法：A原点ABx轴ADy轴建立面直角坐标系A(00)B(0)D(20)E(1)设F(x2)∴＝(x2)＝(0)∴·＝x＝∴x＝1
∴F(12)∴·＝(1)·(1－2)＝
方法二：·＝||||cos∠BAF＝
∴||cos∠BAF＝1||＝1
∴||＝－1·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝·＋·
＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝
答案
三解答题(4题50分)
15．(12分)(2015·山东德州模16)△ABC中角ABC边分abc量m＝(cos(A－B)sin(A－B))n＝(cos B－sin B)m·n＝－
(1)求sin A值
(2)a＝4b＝5求角B量方投影．
解：(1)m·n＝－cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－cos A＝－
0(2)正弦定理＝sin B＝＝＝
a>bA>BB＝余弦定理
(4)2＝52＋c2－2×5c×解c＝1
量方投影
||cos B＝ccos B＝1×＝
16．(12分)(2014·广东惠州三模18)△ABC中AB边中线CO＝2动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)求(＋)·值．
解：＝sin2θ·＋cos2θ·
sin2θ＋cos2θ＝1
CPO三点线sin2θcos2θ∈[01]
点P线段OC
(＋)·＝2·
设||＝tt∈[02]
(＋)·＝2t(2－t)×cos 180°
＝2t2－4t＝2(t－1)2－2
t＝1时取值－2
17．(12分)(2015·重庆育中学月考17)△ABC中abc分角ABC边m＝n＝(－2cos 2A＋1)m⊥n
(1)求角A
(2)a＝2△ABC面积S＝时求边c值△ABC面积．
解：(1)m⊥n
m·n＝－2sin2＋cos 2A＋1
＝1－2cos2＋2cos2A－1
＝2cos2A－cos A－1
＝(2cos A＋1)(cos A－1)
＝0
cos A＝－cos A＝1(舍)
A∈(0π)A＝
(2)S＝余弦定理
＝absin C整理
tan C＝C∈(0π)C＝
(1)知A＝B＝C＝
正弦定理＝c＝2
△ABC面积S＝acsin B＝
18．(14分)(2013·重庆二模20)图A单位圆x轴正半轴交点点P单位圆∠AOP＝θ(0<θ<π)＝＋四边形OAQP面积S
(1)求·＋S值时θ值θ0
(2)设点B坐标∠AOB＝α(1)条件求cos(α＋θ0)．
解：(1)题意知AP坐标分(10)(cos θsin θ)．
∵＝＋＝(10)＋(cos θsin θ)＝(1＋cos θsin θ)
∴·＝(10)·(1＋cos θsin θ)
＝1＋cos θ
题意知S＝sin θ
∴·＋S＝sin θ＋cos θ＋1
＝sin＋1(0<θ<π)．
∴·＋S值＋1
时θ0＝
(2)∵B∠AOB＝α
∴cos α＝－sin α＝
∴cos(α＋θ0)＝cos
＝cos αcos－sin αsin
＝－×－×＝－
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1．(2015·课标Ⅰ7易)设D△ABC面点＝3( )
A＝－＋
B＝－
C＝＋
D＝－
答案 A 图示
△ABC中＝－
∵＝3
∴＝＝－
∴＝＋＝－＋
2．(2015·安徽8中)△ABC边长2等边三角形已知量ab满足＝2a＝2a＋b列结正确( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
答案 D 图等边△ABC中＝2a＝2a＋b
∵＋＝
∴＝b∵||＝2||＝2
∴|b|＝2|a|＝1ab夹角120°
∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－1
∴ABC正确．
4a＋b＝＋＝2⊥D正确．
3．(2015·课标Ⅱ13易)设量ab行量λa＋ba＋2b行实数λ＝________．
解析 λa＋ba＋2b行存实数μλa＋b＝μ(a＋2b)(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0ab行解λ＝
答案
4．(2015·江苏6易)已知量a＝(21)b＝(1－2)ma＋nb＝(9－8)(mn∈R)m－n值________．
解析 ma＋nb＝(9－8)
m(21)＋n(1－2)＝(9－8)
(2m＋nm－2n)＝(9－8)
∴解∴m－n＝－3
答案 －3
5．(2015·北京13易)△ABC中点MN满足＝2＝＝x＋yx＝________y＝________
解析 图△ABC中
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－)
＝－
∴x＝y＝－
答案 －
1．(2013·辽宁3易)已知点A(13)B(4－1)量方单位量( )
A B
C D
答案 A ＝(3－4)||＝5方单位量＝选A
2．(2012·广东3易)量＝(23)＝(47)＝( )
A．(－2－4) B．(24)
C．(610) D．(－6－10)
答案 A ＝＋＝－＝(－2－4)选A
3．(2014·浙江8中)记max{xy}＝min{xy}＝设ab面量( )
A．min{|a＋b||a－b|}≤min{|a||b|}
B．min{|a＋b||a－b|}≥min{|a||b|}
C．max{|a＋b|2|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
答案 D 根量运算意义三角形法知min{|a＋b||a－b|}min{|a||b|}确定|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·ba·b≥0时max{|a＋b|2|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2
a·b<0时max{|a＋b|2|a－b|2}
＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2
总max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2选D
4．(2012·安徽8中)面直角坐标系中点O(00)P(68)量绕点O逆时针方旋转量点Q坐标( )
A．(－7－) B．(－7)
C．(－4－2) D．(－42)
答案 A 题意||＝10三角函数定义设P点坐标(10cos θ10sin θ)
cos θ＝sin θ＝Q点坐标应
三角函数知识10 cos ＝－710sin＝－
Q(－7－)．选A
5．(2014·北京10易)已知量ab满足|a|＝1b＝(21)λa＋b＝0(λ∈R)|λ|＝________
解析 ∵λa＋b＝0∴λa＝－b
∴|λa|＝|b|∴|λ|·|a|＝|b|
∴|λ|·1＝∴|λ|＝
答案
6．(2014·课标Ⅰ15中)已知ABC圆O三点＝(＋)夹角________．
解析 ＝(＋)知OBC中点BC圆O直径直径圆周角直角∠BAC＝90°夹角90°
答案 90°
7．(2014·陕西1812分中)直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy)△ABC三边围成区域(含边界)．
(1)＋＋＝0求||
(2)设＝m＋n(mn∈R)xy表示m－n求m－n值．
解：(1)方法：∵＋＋＝0
＋＋＝(1－x1－y)＋(2－x3－y)＋(3－x2－y)＝(6－3x6－3y)
∴解x＝2y＝2
＝(22)||＝2
方法二：∵＋＋＝0
(－)＋(－)＋(－)＝0
∴＝(＋＋)＝(22)
∴||＝2
(2)＝(xy)＝(12)＝(21)．
∵＝m＋n
∴(xy)＝(m＋2n2m＋n)
∴
②－①m－n＝y－x
令m－n＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值m－n值1
思路点拨：(1)根量相等求出P点坐标求||
(2)根量相等m－n转化xy关系变换线性规划问题．
考1 面量线性运算
量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求ab相反量－b运算作ab差
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)λ>0时λaa方相
λ<0时λaa方相反
λ＝0时λa＝0
(1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)
(2)第分配律：
(λ＋μ)a＝λa＋μ a
(3)第二分配律：
λ(a＋b)＝λa＋λb
(1)(2014·课标Ⅰ6)设DEF分△ABC三边BCCAAB中点＋＝( )
A B
C D
(2)(2013·四川12)行四边形ABCD中角线ACBD交点O＋＝λλ＝________．
解析 (1)图＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝
(2)图ABCD行四边形
＋＝＝2
已知＋＝λλ＝2
答案 (1)A (2)2
点拨 解题(1)时注意量加法行四边形法运解题(2)思路行四边形中＋表示结合已知条件求出λ值．
量线性运算解题策略
(1)进行量运算时转化行四边形三角形中选顶点出发基量首尾相接量运量加减法运算数运算求解．
(2)充分利相等量相反量线段例关系外时需利三角形中位线相似三角形应边成例等面性质未知量转化已知量直接关系量求解．
(2014·福建10)设M行四边形ABCD角线交点O行四边形ABCD面意点＋＋＋等( )
A B．2
C．3 D．4
答案 D 题意知点M线段AC中点线段BD中点＋＝2＋＝2＋＋＋＝4选D
考2 线量定理面量基定理应
1．量线判定定理性质定理
(1)判定定理：a非零量存实数λb＝λa量ba线．
(2)性质定理：量b非零量a线存唯实数λb＝λa
(3)ABC面三点AB重合P面意点点C直线AB存实数λ＝＋λ(图示)．
2．量线定理应
(1)证明点线
(2)证明两直线行
(3)已知量线求字母值(范围)．
3．面量基定理
(1)面量基定理
果e1e2面两线量面意量a实数λ1λ2a＝λ1e1＋λ2e2中e1e2组基底．
(2)面量基定理实质
面量基定理反映利已知量表示未知量实质利行四边形法三角形法进行量加减运算数运算．
4．面量基定理应
(1)证明量面果实数λ1λ2a＝λ1e1＋λ2e2ae1e2面．
(2)根量基定理求字母值(范围)．
(1)(2014·福建8)列量组中量a＝(32)表示出( )
A．e1＝(00)e2＝(12)
B．e1＝(－12)e2＝(5－2)
C．e1＝(35)e2＝(610)
D．e1＝(2－3)e2＝(－23)
(2)(2013·江苏10)设DE分△ABC边ABBC点AD＝ABBE＝BC＝λ1＋λ2(λ1λ2实数)λ1＋λ2值________．
(3)(2015·安徽阜阳模14)梯形ABCD中已知AB∥CDAB＝2CDMN分CDBC中点．＝λ＋μλ＋μ＝________．
解析 (1)方法：e1＝(00)e2＝(12)e1∥e2ae1e2表示排Ae1＝(－12)e2＝(5－2)≠e1e2线根面量基定理量a＝(32)表示出选B
方法二：a＝(32)e1＝(00)e2＝(12)存实数λμa＝λe1＋μ e2排Ae1＝(－12)e2＝(5－2)设存实数λμa＝λe1＋μ e2(32)＝(－λ＋5μ2λ－2μ)解a＝2e1＋e2选B
(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝λ1＋λ2
∴λ1＝－λ2＝∴λ1＋λ2＝
(3)方法：＝λ＋μ＝λ·(＋)＋μ·(＋)＋＋＝0＋＋＝0＋＝0
线面量基定理
解
λ＋μ＝
方法二：连接MN延长交AB延长线T
已知易AB＝AT
∴＝＝λ＋μ
∵TMN三点线∴λ＋μ＝
答案 (1)B (2) (3)
点拨 题(1)利面量基定理求解解题(2)思路先△ABC中表示然根已知条件应求出λ1λ2解题(3)时注意基底选取．
1求解量线问题注意事项
(1)量线充条件中两量线时通常非零量表示线量注意定系数法方程思想运．
(2)证明三点线问题量线解决应注意量线三点线区联系两量线公点时三点线．
(3)ab线λa＝μbλ＝μ＝0
(4)直线量式参数方程APB三点线⇔＝(1－t)·＋t(O面点t∈R)．
(5)＝λ＋μ(λμ实数)ABC三点线λ＋μ＝1
2．面量基定理解决问题般思路
(1)先选择组基底运面量基定理条件结表示成该基底线性组合进行量运算．
(2)基底未出情况合理选取基底会解题带方便外熟练运线段中点量表达式．
零量线量作基底基量通常选取确定整图形结点出发两边应量．
(2012·纲全国9)△ABC中AB边高CD＝a＝ba·b＝0|a|＝1|b|＝2＝( )
Aa－b Ba－b
Ca－b Da－b
答案 D ∵a·b＝0∴∠ACB＝90°∴AB＝CD＝
∴BD＝AD＝
∴AD∶BD＝4∶1
∴＝＝(－)
＝a－b
考3 面量坐标运算应
1．面量坐标运算
(1)a＝(x1y1)b＝(x2y2)(b≠0)a±b＝(x1±x2y1±y2)．
(2)A(x1y1)B(x2y2)＝(x2－x1y2－y1)．
(3)a＝(xy)λ∈Rλa＝(λxλy)．
2．量行坐标表示
(1)果a＝(x1y1)b＝(x2y2)a∥b充条件x1y2－x2y1＝0
(2)A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)三点线充条件(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0
a∥b充条件表示成＝x2y2等0判断三点否线先求两点应量然两量线进行判定．
3．面量中重结
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
(3)G△ABC重心⇔＋＋＝0
⇔G中A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)．
(1)(2012·重庆6)设xy∈R量a＝(x1)b＝(1y)c＝(2－4)a⊥cb∥c|a＋b|＝( )
A B C．2 D．10
(2)(2013·北京13)量abc正方形网格中位置图示c＝λa＋μb(λμ∈R)＝________．
解析 (1)⇒⇒
∴a＝(21)b＝(1－2)a＋b＝(3－1)
∴|a＋b|＝
(2)量ab交点原点建立图示面直角坐标系(设正方形边长1)
A(1－1)B(62)C(5－1)∴a＝＝(－11)b＝＝(62)c＝＝(－1－3)．∵c＝λa＋μb∴(－1－3)＝λ(－11)＋μ(62)
解λ＝－2μ＝－∴＝4
答案 (1)B (2)4
点拨 解题(1)时注意应量行垂直坐标表示解题(2)关键建立面直角坐标系正确写出abc坐标利abc间关系列出方程组求解．
量坐标运算问题般思路
量坐标运算利加减数运算法进行已知线段两端点坐标应先求出量坐标解题程中注意方程思想运正确运算法．量载体解决三角函数解析中关问题．
(2014·陕西13)设0<θ<量a＝(sin 2θcos θ)b＝(cos θ1)a∥btan θ＝________．
解析 a∥bsin 2θ＝cos2θ2sin θcos θ＝cos2θ
0<θ
答案
1．(2015·河北邯郸模5)已知量a＝(23)b＝(－12)(ma＋nb)∥(a－2b)等( )
A．－2 B．2 C．－ D
答案 C 题意ma＋nb＝(2m－n3m＋2n)a－2b＝(4－1)∵(ma＋nb)∥(a－2b)∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0
∴＝－选C
2．(2015·青海西宁质检6)已知△ABC三顶点ABC面点P满足＋＋＝点P△ABC关系( )
A．P△ABC部
B．P△ABC外部
C．PAB边直线
D．PAC边三等分点
答案 D ∵＋＋＝
∴＋＋＝－
∴＝－2＝2
∴PAC边三等分点．
3．(2015·山东日模5)行四边形ABCD中ACBD相交点OE线段OD中点AE延长线CD交点F＝a＝b等( )
Aa＋b Ba＋b
Ca＋b Da＋b
答案 B 图
∵△DEF∽△BEA∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3点F作FG∥BD交AC点G∴FG∶DO＝2∶3CG∶CO＝2∶3∴＝b∵＝＋＝＝a
∴＝＋＝a＋b选B
4．(2015·吉林长春调研7)已知△ABC重心G角ABC边分abca＋b＋c＝0角A( )
A B
C D
答案 A ∵G△ABC重心∴＋＋＝0
∵a＋b＋c＝0
∴＋＝0
∴a－c＝0b－c＝0
∴a＝cb＝c
∴cos A＝
＝＝
∴A＝
5．(2014·广东佛山二模6)设＝(1－2)＝(a－1)＝(－b0)a>0b>0O坐标原点ABC三点线＋值( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D 方法：题意＝(1－2)＝(a－1)＝(－b0)
＝－＝(a－11)＝－＝(－b－12)．
∵ABC三点线
∴∥
(a－1)×2－1×(－b－1)＝0
∴2a＋b＝1
∵a>0b>0
∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8仅＝时取＝．选D
方法二：kAB＝kAC＝
∵ABC三点线kAB＝kAC＝∴2a＋b＝1＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8∴＋值8
思路点拨：先ABC三点线找出ab关系然1代换利基等式求解．
6．(2015·河南开封月考13)面直角坐标系xOy中已知A(10)B(01)C(－1c)(c>0)|OC|＝2＝λ＋μ实数λμ值分________．
解析 ∵||＝2∴||2＝1＋c2＝4c>0∴c＝
∵＝λ＋μ
∴(－1)＝λ(10)＋μ(01)
∴λ＝－1μ＝
答案 －1
7．(2015·山西汾模拟15)图△ABC中＋＋＝0＝a＝b＝ma＝nbCG∩PQ＝H＝2＋＝________．
解析 ＋＋＝0知G△ABC重心取AB中点D＝＝＝(＋)＝＋PHQ三点线＋＝1＋＝6
答案 6
8．(2014·山西阳泉三模14)设O△ABC部＋2＋3＝0△ABC面积△AOC面积________．
解析 设ACBC中点分MN已知条件化(＋)＋2(＋)＝02＋4＝0＝－2说明MON三点线O中位线MN三等分点S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC＝3
答案 3
1．(2015·山东4易)已知菱形ABCD边长a∠ABC＝60°·＝( )
A．－a2 B．－a2
Ca2 Da2
答案 D ∵＝＋＝
∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos 60°＋||2＝a2＋a2＝a2选D
2．(2015·重庆6易)非零量ab满足|a|＝|b|(a－b)⊥(3a＋2b)ab夹角( )
A B
C D．π
答案 A 设|b|＝x〈ab〉＝θ
|a|＝xa·b＝x2cos θ
∵(a－b)⊥(3a＋2b)
∴(a－b)·(3a＋2b)＝0
∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0
3×x2－x2cos θ－2x2＝0
∴cos θ＝∴cos θ＝
∵θ∈[0π]∴θ＝选A
3．(2015·湖北11易)已知量⊥||＝3·＝________．
解析 ·＝·(＋)
＝2＋·＝9
答案 9
1．(2014·重庆4易)已知量a＝(k3)b＝(14)c＝(21)(2a－3b)⊥c实数k＝( )
A．－ B．0 C．3 D
答案 C 2a－3b＝(2k－3－6)(2a－3b)⊥c4k－6－6＝0解k＝3选C
2．(2013·湖北6易)已知点A(－11)B(12)C(－2－1)D(34)量方投影( )
A B
C．－ D．－
答案 A ＝(21)＝(55)
·＝15||＝5
∵·＝||||cos 〈〉
∴||cos 〈〉＝＝＝选A
3．(2013·湖南8中)已知ab单位量a·b＝0量c满足|c－a－b|＝1|c|值( )
A－1 B
C＋1 D＋2
答案 C 建立图示面直角坐标系题意知a⊥bab单位量
∴设＝a＝(10)＝b＝(01)＝c＝(xy)．
∴c－a－b＝(x－1y－1)∵|c－a－b|＝1
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1点C(xy)轨迹M(11)圆心1半径圆．|c|＝∴|c|值|OM|＋1|c|max＝＋1选C
4．(2012·广东8难)意两非零面量αβ定义α∘β＝面量ab满足|a|≥|b|>0ab夹角θ∈a∘bb∘a集合中a∘b＝( )
A B．1 C D
答案 C 根题中定两量新运算知a∘b＝＝＝b∘a＝θ∈
理>①代入2cos2θ>a∘b∈a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)1<<2n＝3∴cos θ＝|a|＝|b|
∴a∘b＝×＝选C
5．(2014·江西14中)已知单位量e1e2夹角αcos α＝量a＝3e1－2e2b＝3e1－e2夹角βcos β＝________．
解析 a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8
∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9∴|a|＝3
∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8∴|b|＝2
∴cos β＝＝＝
答案
6．(2012·安徽14中)面量ab满足|2a－b|≤3a·b值________．
解析 量数量积知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(仅〈ab〉＝π时等号成立)．
|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(仅2|a|＝|b|〈ab〉＝π时取等号)∴a·b值－
答案 －
思路点拨：先|2a－b|≤3找出a·b|a|·|b|间关系利基等式数量积定义求值．
7．(2014·安徽15难)已知两相等非零量ab两组量x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5均2a3b排列成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5Smin表示S取值中值列命题正确________(写出正确命题编号)．
①S5值
②a⊥bSmin|a|关
③a∥bSmin|b|关
④|b|＞4|a|Smin＞0
⑤|b|＝2|a|Smin＝8|a|2ab夹角
解析 S3种结果：
S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2
S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2
S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2
①错误．
∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b
≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0
∴S中值S3
a⊥bSmin＝S3＝b2|a|关
②正确．
a∥bSmin＝S3＝4a·b＋b2|b|关③错误．
|b|>4|a|Smin＝S3＝4|a||b|cos θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0④正确．
|b|＝2|a|Smin＝S3＝8|a|2cos θ＋4|a|2＝8|a|2
∴2cos θ＝1∴θ＝⑤错误．
答案 ②④
考1 面量垂直夹角
1．面量数量积关概念
(1)量夹角：已知两非零量ab记＝a＝b∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)作量ab夹角．
(2)数量积定义：已知两非零量ab夹角θ数量|a||b|cos θ作ab数量积记作a·ba·b＝|a||b|cos θ规定：0·a＝0
(3)数量积意义：数量积a·b等a模|a|ba方投影|b|cos θ积．
两量数量积数量量值两量模两量夹角余弦值积符号夹角余弦值确定．
2．面量数量积性质
设ab非零量eb方相单位量θae夹角
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ
(2)a⊥b⇔a·b＝0
(3)ab时a·b＝|a||b|ab反时a·b＝－|a||b|
特a·a＝|a|2|a|＝
(4)cos θ＝
(5)|a·b|≤|a||b|
3．面量数量积坐标表示
设a＝(x1y1)b＝(x2y2)ab夹角θ
(1)a·b＝x1x2＋y1y2
(2)|a|＝A(x1y1)B(x2y2)||＝
(3)cos θ＝
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0前者两量a＝(x1y1)b＝(x2y2)线充条件者垂直充条件．
(1)(2014·四川7)面量a＝(12)b＝(42)c＝ma＋b(m∈R)ca夹角等cb夹角m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(2)(2014·天津8)已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF分边BCDCBE＝λBCDF＝μDC·＝1·＝－λ＋μ＝( )
A B C D
(3)(2013·山东15)已知量夹角120°||＝3||＝2＝λ＋⊥实数λ值________．
解析 (1)c＝ma＋b＝(m＋42m＋2)a·c＝5m＋8b·c＝8m＋20
两量夹角相等＝＝解m＝2
(2)基量·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①
·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－②
①②λ＋μ＝
(3)∵⊥∴·＝0
∴(λ＋)·＝0(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0
∵量夹角120°||＝3||＝2
∴(λ－1)||||·cos 120°－9λ＋4＝0解λ＝
答案 (1)D (2)C (3)
点拨 题(1)考查面量坐标运算量夹角公式求解时先进行运算代入坐标解题程简洁题(2)根条件分表示然根量数量积公式方程组求解解题(3)方法根·＝0列出等量关系求出λ
面量数量积应
(1)根面量数量积性质：ab非零量cos θ＝(夹角公式)a⊥b⇔a·b＝0等知面量数量积解决关角度垂直问题．
(2)数量积0说明线两量夹角锐角数量积等0说明线两量夹角直角数量积0两量线时两量夹角钝角．
(1)(2011·课标全国10)已知ab均单位量夹角θ列四命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈
p2：|a＋b|>1⇔θ∈
p3：|a－b|>1⇔θ∈
p4：|a－b|>1⇔θ∈
中真命题( )
A．p1p4 B．p1p3
C．p2p3 D．p2p4
(2)(2014·湖北11)设量a＝(33)b＝(1－1)(a＋λb)⊥(a－λb)实数λ＝________．
(1)答案 A ∵|a|＝|b|＝1θ∈[0π]
|a＋b|>1
(a＋b)2>1∴a2＋2a·b＋b2>1
a·b>－
∴cos θ＝＝a·b>－
∴θ∈
|a－b|>1理求a·b<
∴cos θ＝a·b<
∴θ∈
∴p1p4正确选A
(2)解析 ∵a＋λb＝(3＋λ3－λ)a－λb＝(3－λ3＋λ)
(a＋λb)⊥(a－λb)
∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0解λ＝±3
答案 ±3
考2 面量模应
求面量模公式
(1)a2＝a·a＝|a|2|a|＝＝
(2)|a±b|＝＝
(3)a＝(xy)|a|＝
(1)(2014·课标Ⅱ3)设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)(2014·湖南16)面直角坐标系中O原点A(－10)B(0)C(30)动点D满足||＝1|＋＋|值________．
解析 (1)|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝10①
|a－b|＝a2＋b2－2a·b＝6②
①－②4a·b＝4∴a·b＝1选A
(2)方法：设D(xy)＝(x－3y)||＝1知(x－3)2＋y2＝1动点D轨迹点C圆心单位圆．
＋＋＝(－10)＋(0)＋(xy)＝(x－1y＋)
∴|＋＋|＝问题转化圆(x－3)2＋y2＝1点点P(1－)间距离值．
∵圆心C(30)点P(1－)间距离＝
值＋1
方法二：设D(xy)||＝1(x－3)2＋y2＝1设x＝3＋cos αy＝sin αα∈R
＋＋＝(x－1y＋)
|＋＋|＝
＝
＝＝
中sin φ＝cos φ＝
显然sin(α＋φ)＝1时|＋＋|值＝＋1
方法三：＋＋＝＋＋＋
设a＝＋＋＝(2)
|a|＝＋＋＝a＋
|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1
a时|＋＋|值＋1
答案 (1)A (2)＋1
点拨 解题(1)时注意先求模方加减运算求解题(2)方法利意义问题转化问题方法二采换元法问题转化求三角函数值方法三利量运算性质求解．
1求量模方法
(1)公式法：利|a|＝(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2量模运算转化数量积运算．
(2)法：利量意义利量加减法行四边形法三角形法作出量利余弦定理等方法求解．
2．求量模值(范围)方法
(1)代数法：求模表示成某变量函数求值方法求解．
(2)法(数形结合法)：弄清求模表示意义结合动点表示图形求解．
(2015·河南开封模拟14)已知量ab垂直|a|＝2(a－c)·(b－c)＝0c模值|b|＝________．
解析 (a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0ab垂直c2＝(a＋b)·c|c|＝|a＋b|cos θ≤|a＋b|(θa＋bc夹角)题意知|a＋b|＝＝＝＝|b|＝1
答案 1
1．(2015·河北承德质检4)已知两非零量ab满足|a＋b|＝|a－b|列结正确( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
答案 B |a＋b|＝|a－b|(a＋b)2＝(a－b)2a·b＝0a⊥b选B
2．(2015·浙江温州二模5)已知|a|＝1a·b＝(a－b)2＝1ab夹角等( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 C 设ab夹角θa·b＝|a||b|·cos θ＝|a|＝1
|b|cos θ＝①
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝11＋|b|2－1＝1|b|＝1②
①②cos θ＝
θ∈[0°180°]θ＝60°选C
3．(2015·河南驻马店质检6)O△ABC面点满足(－)·(＋－2)＝0△ABC形状( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案 C (－)·(＋－2)＝0·(＋)＝0∵－＝
∴(－)·(＋)＝0||＝||△ABC等腰三角形选C
4．(2015·海嘉定模拟15)已知ijk表示面三单位量i⊥j(i＋k)·(j＋k)取值范围( )
A．[－33] B．[－22]
C．[－1＋1] D．[1－1＋]
答案 D i⊥ji·j＝0
ij单位量
∴|i＋j|＝＝
(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2
＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋jk＋1
＝cosi＋jk＋1
∵－1≤cosi＋jk≤1
∴(i＋k)·(j＋k)取值范围[1－1＋]．选D
5．(2015·福建莆田模6)已知abc均单位量|a＋b|＝1(a－b)·c取值范围( )
A．[01] B．[－11]
C．[－] D．[0]
答案 C ab单位量|a＋b|＝1意义知|a－b|＝设a－bc夹角θ(a－b)·c＝|a－b||c|·cos θ
∵cos θ∈[－11]∴(a－b)·c取值范围[－]．
6．(2014·湖南九校联考9)非零量mn定义运算*：m*n＝|m||n|sin θ中θmn夹角两两线三量abc列结正确( )
A．a*b＝a*cb＝c
B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b
D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
答案 C abc两两线量abc非零量A正确设ab夹角θbc夹角α(a*b)c＝|a||b|·sin θ·ca(b*c)＝|b||c|sin α·aB正确a*b＝|a||b|sin θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b选C
7．(2015·山东淄博模14)ab两非零量|a|＝|b|＝λ|a＋b|λ∈ba－b夹角取值范围________．
解析 设＝a＝bOAOB邻边作行四边形OACB|a|＝|b|四边形OACB菱形设∠BOC＝θ∠OBC＝π－2θ△OBC中正弦定理＝化简cos θ＝λ∈∈θ∈ba－b＝θ＋∈
答案
8．(2014·江西南昌二模12)关面量abc列三命题：
①a·b＝a·cb＝c
②a＝(1k)b＝(－26)a∥bk＝－3
③非零量ab满足|a|＝|b|＝|a－b|aa＋b夹角60°
中真命题序号________(写出真命题序号)．
解析 命题①明显错误．两量行充条件1×6＋2k＝0k＝－3命题②正确．|a|＝|b|＝|a－b|结合行四边形法aa＋b夹角30°命题③错误．
答案 ②
1．(2015·天津14中)等腰梯形ABCD中已知AB∥DCAB＝2BC＝1∠ABC＝60°动点EF分线段BCDC＝λ＝·值________．
解析 图分CD作CN⊥ABNDM⊥ABM
AM＝BN＝∴CD＝MN＝1
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋·
＝4－1－2－λ＋λ＋λ·
＝＋＋≥＋2＝
仅＝λ＝时等号成立时·值
答案
2．(2015·江苏14难)设量ak＝(k＝012…12) (ak·ak＋1)值________．
解析 ak·ak＋1
＝·
＝coscosπ＋·
＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ
＝cos＋sinπ＋coscosπ
(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ
＝6＋0＋4
＝9
答案 9
3．(2015·浙江15难)已知e1e2空间单位量e1·e2＝空间量b满足b·e1＝2b·e2＝意xy∈R|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0y0∈R)x0＝______y0＝________|b|＝________．
解析 ∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1e2〉＝cos〈e1e2〉＝
∴〈e1e2〉＝
妨设e1＝e2＝(100)
b＝(mnt)．
题意知b·e1＝m＋n＝2
b·e2＝m＝
解n＝m＝
∴b＝
∵b－(xe1＋ye2)
＝
∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2
题意x＝x0＝1y＝y0＝2时
|b－(xe1＋ye2)|2取值1
时t2＝1
|b|＝
＝＝2
答案 1 2 2
4．(2015·广东1612分易)面直角坐标系xOy中已知量m＝n＝(sin xcos x)x∈
(1)m⊥n求tan x值
(2)mn夹角求x值．
解：(1)∵m＝n＝(sin xcos x)m⊥n
∴m·n＝sin x－cos x＝0
sin x＝cos x
∴tan x＝＝1
(2)题意知
|m|＝＝1
|n|＝＝1
m·n＝sin x－cos x＝sin
m·n＝|m|·|n|·cos〈mn〉
＝cos＝
∴sin＝∵x∈x－∈
∴x－＝∴x＝
1．(2012·湖南7中)△ABC中AB＝2AC＝3·＝1BC＝( )
A B C．2 D
答案 A ∵·＝·(－)＝·－2＝1
∴·＝52×3cos A＝5∴cos A＝余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3
∴BC＝选A
思路点拨：先根数量积求出角A三角函数值余弦定理求BC
2．(2012·江西7中)直角三角形ABC中点D斜边AB中点点P线段CD中点＝( )
A．2 B．4 C．5 D．10
答案 D 方法：C原点CACB直线分xy轴建立直角坐标系．设A(a0)B(0b)DP|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2＝10
方法二：－＝＋＝2两式方相加22＋22＝2＋42＝42＋42＝202＝10
3．(2014·安徽10难)面直角坐标系xOy中已知量ab|a|＝|b|＝1a·b＝0点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ0≤θ＜2π}区域Ω＝{P|0＜r≤||≤Rr＜R}．C∩Ω两段分离曲线( )
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
答案 A 题意取a＝(10)b＝(01)
＝()＝(cos θsin θ)
＝(－cos θ－sin θ)
∴||2＝(－cos θ)2＋(－sin θ)2
＝5－2(cos θ＋sin θ)
＝5－4sin
∵0≤θ<2π∴≤θ＋<
∴1≤||2≤91≤||≤3
C∩Ω两段分离曲线结合图象(图)知1
4．(2012·天津7难)已知△ABC等边三角形AB＝2设点PQ满足＝λ＝(1－λ)λ∈R·＝－λ＝( )
A B
C D
答案 A 图＝－＝－
∵·＝－∴(－)·(－)＝－
·－·－·＋·＝－
＝λ＝(1－λ)代入式
(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－(*)
∵△ABC等边三角形||＝||＝||＝2
∴·＝||·||·cos 60°＝2×2×＝2
||2＝4||2＝4代入(*)式4λ2－4λ＋1＝0
(2λ－1)2＝0∴λ＝选A
5．(2014·江苏12易)图行四边形ABCD中已知AB＝8AD＝5＝3·＝2·值________．
解析 题意＝＋＝＋
＝＋＝＋＝－
·＝
·
＝2－·－2
代入数2＝25－·－×64
解·＝22
答案 22
6．(2012·北京13中)已知正方形ABCD边长1点EAB边动点·值________·值________．
解析 ①D点原点DCDA直线分x轴y轴建立图示直角坐标系D(00)A(01)B(11)C(10)．设E(x1)＝(x1)＝(01)
∴·＝1
②∵＝(10)
∴·＝x
∵正方形边长1∴x值1·值1
答案 1 1
7．(2012·海12中)行四边形ABCD中∠A＝边ABAD长分21MN分边BCCD点满足＝·取值范围________．
解析 方法：点MN分边BCCD
设＝＝k∈[01]
·＝(＋)·(＋＋)
＝(＋k)·(＋＋k)
＝ 2＋·＋k·＋k·＋k 2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[25]k∈[01]．
方法二：建立面直角坐标系图．
B(20)CD
令＝＝λMN
∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6
∵0≤λ≤1∴·∈[25]．
答案 [25]
8．(2013·江苏1514分易)已知a＝(cos αsin α)b＝(cos βsin β)0<β<α<π
(1)|a－b|＝求证：a⊥b
(2)设c＝(01)a＋b＝c求αβ值．
解：(1)证明：题意|a－b|2＝2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2
a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1
2－2a·b＝2a·b＝0
a⊥b
(2)a＋b＝(cos α＋cos βsin α＋sin β)＝(01)
cos α＝cos(π－β)．
0<β<π0<π－β<π
0<α<π
α＝π－β代入sin α＋sin β＝1
sin α＝sin β＝
α>βα＝β＝
考1 面量面中应
量中应
(1)证明线段行问题包括相似问题常量行(线)充条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0
(2)证明垂直问题常量垂直充条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
(3)求夹角问题常公式：
cos θ＝＝
(4)求线段长度量线性运算量模
|a|＝＝
|AB|＝||＝
(1)(2013·福建7)四边形ABCD中＝(12)＝(－42)该四边形面积( )
A B．2 C．5 D．10
(2)(2013·天津12)行四边形ABCD中AD＝1∠BAD＝60°ECD中点．·＝1AB长________．
解析 (1)·＝(12)·(－42)＝0⊥四边形ABCD角线互相垂直面积S＝·||·||＝××2＝5选C
(2)方法：题意知＝＋＝－＋·＝1
(＋)·＝1
2＋·－2＝1①
||＝1∠BAD＝60°
·＝||
①式化1＋||－||2＝1
解||＝0(舍)
AB长
方法二：A原点ABx轴建立图直角坐标系D作DM⊥AB点MAD＝1
∠BAD＝60°
知AM＝DM＝
设|AB|＝m(m＞0)B(m0)．
CD
ECD中点E
＝＝
·＝1
＋＝1
2m2－m＝0m＝0(舍)
AB长
答案 (1)C (2)
点拨 解题(1)关键利量证明AC⊥BD解题(2)方法利面量运算已知量表示然求解方法二建立合适面直角坐标系坐标法求解准确写出点坐标关键．
量解决面问题步骤
(1)建立面量联系量表示问题中涉元素面问题转化量问题
(2)通量运算研究元素间关系距离夹角等问题
(3)运算结果翻译成关系．
(2013·课标Ⅱ13)已知正方形ABCD边长2ECD中点·＝________．
解析 方法：·
＝·(－)
＝2－2＝22－×22＝2
方法二：A原点建立面直角坐标系(图)A(00)E(12)B(20)C(22)D(02)＝(12)＝(－22)·＝(12)·(－22)＝1×(－2)＋2×2＝2
答案 2
考2 面量三角函数中应
三角函数相结合考查量数量积坐标运算应高考热点问题．解类问题熟练掌握量数量积坐标运算公式量模夹角坐标运算公式外应掌握三角恒等变换相关知识．
(1)(2014·山东12)△ABC中已知·＝tan AA＝时△ABC面积________．
(2)(2013·辽宁1712分)设量a＝(sin xsin x)b＝(cos xsin x)x∈
①|a|＝|b|求x值
②设函数f(x)＝a·b求f(x)值．
解析 (1)△ABC中·＝||·|·cos A＝tan A∴||·||＝＝＝三角形面积公式S＝|AB|·|AC|sin A＝××＝
(2)①|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1|a|＝|b|4sin2x＝1
x∈∴sin x＝∴x＝
②f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋
x＝∈时sin取值1
∴f(x)值
点拨 解题(1)关键利量知识求出||·||值解题(2)时注意角x取值范围．
量三角函数综合问题特点解题思路
(1)量载体考查三角函数综合应题目通量坐标运算构建出三角函数然考查关三角函数值单调性周期性等三角函数性质问题时加入参数考查分类讨思想方法．
(2)三角函数求值问题两种形式：种化成y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)形式种化成y＝asin2x＋bsin x＋cy＝acos2x＋bcos x＋c形式．
(2015·安徽宣城模拟1712分)△ABC中角ABC边分abc·＝·＝1
(1)判断△ABC形状
(2)求边长c值
(3)|＋|＝2求△ABC面积．
解：(1)·＝·＝1
bc·cos A＝ac·cos B正弦定理
sin Bcos A＝sin Acos B
∴sin(A－B)＝0
∴A＝B△ABC等腰三角形．
(2)·＝1bc·cos A＝1
bc·＝1b2＋c2－a2＝2
a＝b∴c2＝2c＝
(3)|＋|＝22＋b2＋2＝8
∴b＝2c＝
∴cos A＝sin A＝
∴S△ABC＝bc·sin A＝×2××＝
1．(2015·安徽铜陵质检6)已知量＝(22)＝(41)x轴存点P·值点P坐标( )
A．(－30) B．(20) C．(30) D．(40)
答案 C 设点P坐标(x0)＝(x－2－2)＝(x－4－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1
x＝3时·值1
时点P坐标(30)．
2．(2015·湖北宜昌模6)已知△ABC外接圆圆心O半径13＋4＋5＝0△AOC面积( )
A B C D
答案 A 题设3＋5＝－4
9＋2×3×5·＋25＝16
∴cos∠AOC＝－
∴sin∠AOC＝
S△AOC＝×1×1×＝
3．(2015·辽宁连质检8)设F1F2椭圆＋y2＝1左右焦点椭圆中心作条直线椭圆交PQ两点四边形PF1QF2面积时·值等( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
答案 D 题意c＝＝
S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(hF1F2边高)h＝b＝1时S四边形PF1QF2取值时∠F1PF2＝120°||＝||＝2
·＝|| ||cos 120°＝2×2×＝－2
4．(2014·湖南长沙二模6)图△ABC中AD⊥AB＝||＝1·＝( )
A．2 B C．－ D
答案 D A原点ABAD分x轴y轴建立面直角坐标系图．
设B(xB0)D(01)C(xCyC)
＝(xC－xByC)＝(－xB1)
∵＝∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xByC＝＝((1－)xB)＝(01)·＝
5．(2014·河北石家庄模6)已知点G△ABC重心∠A＝120°·＝－2||值( )
A B C D
答案 C 设BC中点M＝
MBC中点∴＝(＋)
∴＝＝(＋)
∴||＝
∵·＝－2∠A＝120°
∴||||＝4
∴||＝
≥＝
仅||＝||时取＝
∴||值选C
6．(2015·河南周口模14)已知点O△ABC外心||＝4||＝2·＝________．
解析 点O△ABC外心||＝4||＝2
·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈〉－||||·cos〈〉
＝||||×－||||×＝6
答案 6
7．(2015·山东沂质检14)直角梯形ABCD中∠A＝90°∠B＝30°AB＝2BC＝2点E线段CD＝＋μμ取值范围________．
解析 余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B
＝(2)2＋22－2×2×2cos 30°＝4
∴AC＝2∴AC＝BC＝2
∴∠CAB＝30°∠DAC＝60°
AD＝1∴AE∈[12]
∵＝＋μ
∴||2＝(＋μ)2
＝||2＋|μ|2
＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2
∴μ2＝∵||∈[12]
∴μ2∈∴μ∈
答案
8．(2015·山西太原模14)设G△ABC重心sin A·＋3sin B·＋3sin C·＝0角B______________．
解析 ∵sin A·＋3sin B·＋3sin C·＝0
设三角形边长次abc正弦定理a·＋3b·＋3c·＝0
点G△ABC重心根中线性质量加法法：
3＝＋3＝＋3＝＋
代入式：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0
＝＋式化：
a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0
(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0
①－②3a＝9ca∶c＝3∶1
设a＝3kc＝k代入①b＝－k
∴cos B＝＝＝
∴B＝
答案
9．(2014·江西五校联考1712分)已知量m＝n＝
(1)m·n＝1求cos值
(2)记f(x)＝m·n△ABC中角ABC边分abc满足(2a－c)cos B＝bcos C求函数f(A)取值范围．
解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋×cos＋
＝sin＋
(1)∵m·n＝1∴sin＝
cos＝1－2sin2＝
cos＝－cos＝－
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C正弦定理(2sin A－sin C)·cos B＝sin Bcos C
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π∴sin(B＋C)＝sin Asin A≠0
∴cos B＝B＝
∴0
∴f(A)＝sin＋
1
(时间：90分钟__分数：120分)
选择题(10题题5分50分)
1．(2015·湖南株洲质检4)已知量a＝(34)b＝(sin αcos α)a∥btan α＝( )
A B．－ C D．－
答案 A 方法：∵a∥b⇒a＝λb(34)＝λ(sin αcos α)
∴tan α＝
方法二：∵a＝(34)b＝(sin αcos α)
a∥b∴3cos α－4sin α＝0
tan α＝＝
2．(2013·纲全国3)已知量m＝(λ＋11)n＝(λ＋22)(m＋n)⊥(m－n)λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
答案 B ∵m＋n＝(2λ＋33)m－n＝(－1－1)题意知(m＋n)·(m－n)＝0－(2λ＋3)－3＝0λ＝－3选B
3．(2015·浙江杭州二模6)设ABC直线l三点O直线l外点．p＋q＋r＝0(pqr∈R)p＋q＋r＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案 B 已知＝－－ABC三点线－＋＝1p＋q＋r＝0
4．(2015·福建福州模6)图设量＝(31)＝(13)＝λ＋μλ≥μ≥1阴影表示C点位置区域正确( )
答案 D 设C(xy)．∵＝λ＋μ＝λ(31)＋μ(13)＝(3λ＋μλ＋3μ)
∴解
∵λ≥μ≥1∴选D
5．(2015·黑龙江伊春质检6)已知面量ab满足|a|＝3|b|＝2ab夹角120°(a＋mb)⊥a实数m值( )
A．1 B C．2 D．3
答案 D ∵(a＋mb)⊥a∴(a＋mb)·a＝0
∴|a|2＋m·|a|·|b|cos 120°＝0
9＋m·3×2×＝0∴m＝3
选D
6．(2015·河南中原名校联考4)已知线量ab|a|＝2|b|＝3a·(b－a)＝1|a－b|＝( )
A B．2 C D
答案 A a·(b－a)＝1a·b－a2＝1
∴a·b＝5
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3∴|a－b|＝选A
7．(2013·广东10)设a已知面量a≠0关量a分解四命题：
①定量b总存量ca＝b＋c
②定量bc总存实数λμa＝λb＋μc
③定单位量b正数μ总存单位量c实数λa＝λb＋μc
④定正数λμ总存单位量b单位量ca＝λb＋μ c
述命题中量bca面两两线真命题数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B ①ab定a－b定存表示cc＝a－ba＝b＋c成立①正确②bc线面量基定理知②正确③a终点作长度μ圆圆必须量λb交点定满足③错误④利量加法三角形法结合三角形两边第三边必|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|④错正确2．选B
8．(2015·山西晋中十校联考6)已知O原点点AB坐标分(a0)(0a)中常数a>0点P线段AB＝t(0≤t≤1)·值( )
A．a B．2a C．3a D．a2
答案 D ∵＝t
∴＝＋＝＋t(－)
＝(1－t)＋t＝(a－atat)
∴·＝a2(1－t)
∵0≤t≤1∴0≤·≤a2
9．(2015·安徽安庆模6)已知点O△ABC面点2＋2＝2＋2＝2＋2O定△ABC( )
A．外心 B．心 C．垂心 D．重心
答案 C 2＋2＝2＋2
2＋(－)2＝2＋(－)2
∴·＝·∴·＝0
∴O边AB高线．
理O边ACBC高线
O△ABC垂心．选C
10．(2015·江西宜春模11)已知定义区间(03)函数f(x)图象图示a＝(f(x)0)b＝(cos x1)等式a·b<0解集( )
A．(01) B．(01]
C．(01)∪ D．(01]∪
答案 C ∵(03)函数f(x)图象图示
a＝(f(x)0)b＝(cos x1)
∴x∈(01)时f(x)<0cos x>0
x∈时cos x≥0f(x)≥0
x∈时f(x)>0cos x<0
∴a·b＝f(x)cos x<0解集(01)∪
二填空题(4题题5分20分)
11．(2011·江苏10)已知e1e2 夹角两单位量a＝e1－2e2b＝ke1＋e2 a·b＝0实数k值________．
解析 a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e
＝k＋(1－2k)cos－2＝0解k＝
答案
12．(2015·山东烟台质检14)△ABC三角ABC边分abc设量m＝(3c－ba－b)n＝(3a＋3bc)m∥ncos A＝________．
解析 ∵m∥n∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)
bc＝3(b2＋c2－a2)
∴＝
∴cos A＝＝
答案
13．(2015·江西南昌模12)已知量a＝(11)b＝(1－1)c＝(cos αsin α)(α∈R)实数mn满足ma＋nb＝c(m－3)2＋n2值________．
解析 方法：ma＋nb＝c
(m＋n)2＋(m－n)2＝2m2＋n2＝1点M(mn)原点圆心1半径圆点P(30)点M距离值|OP|＋1＝3＋1＝4(m－3)2＋n2值42＝16
方法二：∵ma＋nb＝c
∴(m＋nm－n)＝(cos αsin α)(α∈R)．
∴m＋n＝cos αm－n＝sin α
∴m＝sinn＝cos
∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9
＝10－6sin
∵sin∈[－11]
∴(m－3)2＋n2值16
答案 16
14．(2012·江苏9)图矩形ABCD中AB＝BC＝2点EBC中点点F边CD·＝·值________．
解析 方法：A原点ABx轴ADy轴建立面直角坐标系A(00)B(0)D(20)E(1)设F(x2)∴＝(x2)＝(0)∴·＝x＝∴x＝1
∴F(12)∴·＝(1)·(1－2)＝
方法二：·＝||||cos∠BAF＝
∴||cos∠BAF＝1||＝1
∴||＝－1·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝·＋·
＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝
答案
三解答题(4题50分)
15．(12分)(2015·山东德州模16)△ABC中角ABC边分abc量m＝(cos(A－B)sin(A－B))n＝(cos B－sin B)m·n＝－
(1)求sin A值
(2)a＝4b＝5求角B量方投影．
解：(1)m·n＝－cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－cos A＝－
0
a>bA>BB＝余弦定理
(4)2＝52＋c2－2×5c×解c＝1
量方投影
||cos B＝ccos B＝1×＝
16．(12分)(2014·广东惠州三模18)△ABC中AB边中线CO＝2动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)求(＋)·值．
解：＝sin2θ·＋cos2θ·
sin2θ＋cos2θ＝1
CPO三点线sin2θcos2θ∈[01]
点P线段OC
(＋)·＝2·
设||＝tt∈[02]
(＋)·＝2t(2－t)×cos 180°
＝2t2－4t＝2(t－1)2－2
t＝1时取值－2
17．(12分)(2015·重庆育中学月考17)△ABC中abc分角ABC边m＝n＝(－2cos 2A＋1)m⊥n
(1)求角A
(2)a＝2△ABC面积S＝时求边c值△ABC面积．
解：(1)m⊥n
m·n＝－2sin2＋cos 2A＋1
＝1－2cos2＋2cos2A－1
＝2cos2A－cos A－1
＝(2cos A＋1)(cos A－1)
＝0
cos A＝－cos A＝1(舍)
A∈(0π)A＝
(2)S＝余弦定理
＝absin C整理
tan C＝C∈(0π)C＝
(1)知A＝B＝C＝
正弦定理＝c＝2
△ABC面积S＝acsin B＝
18．(14分)(2013·重庆二模20)图A单位圆x轴正半轴交点点P单位圆∠AOP＝θ(0<θ<π)＝＋四边形OAQP面积S
(1)求·＋S值时θ值θ0
(2)设点B坐标∠AOB＝α(1)条件求cos(α＋θ0)．
解：(1)题意知AP坐标分(10)(cos θsin θ)．
∵＝＋＝(10)＋(cos θsin θ)＝(1＋cos θsin θ)
∴·＝(10)·(1＋cos θsin θ)
＝1＋cos θ
题意知S＝sin θ
∴·＋S＝sin θ＋cos θ＋1
＝sin＋1(0<θ<π)．
∴·＋S值＋1
时θ0＝
(2)∵B∠AOB＝α
∴cos α＝－sin α＝
∴cos(α＋θ0)＝cos
＝cos αcos－sin αsin
＝－×－×＝－
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