高一数学培优宝典-高考知识练习：函数概念及其基本性质（必修1）








1．(2015·课标Ⅱ5易)设函数f(x)＝f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　C　∵log212＞1
∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6
∴原式＝1＋log24＋6＝9
2．(2015·湖北6中)已知符号函数sgn x＝f(x)R增函数g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)(　　)
A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
答案　B　①x<0时∵a＞1∴x>ax
∴f(x)－f(ax)>0
∴sgn[g(x)]＝1
②x＝0时x＝ax
f(x)－f(ax)＝0
∴sgn[g(x)]＝0
③x>0时∵a＞1∴ax>x
∴f(x)－f(ax)<0
∴sgn[g(x)]＝－1
∴sgn[g(x)]＝
∴sgn[g(x)]＝－sgn x
3．(2015·山东10中)设函数f(x)＝满足f(f(a))＝2f(a)a取值范围(　　)
A B．[01]
C D．[1＋∞)　
答案　C　令f(a)＝tf(f(a))＝2f(a)
f(t)＝2tf(x)＝知
t≥1
∴f(a)≥1⇒⇒≤a<1a≥1⇒a≥选C
4．(2015·浙江7难)存函数f(x)满足：意x∈R(　　)
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案　D　方法：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|
∴f(x2＋2x)＝＝
∴存函数f(x)＝意x∈Rf(x2＋2x)＝|x＋1|
方法二：ABC均举出反例符合函数概念D项f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝符合题意．
5．(2015·湖北10难)设x∈R[x]表示超x整数．存实数t[t]＝1[t2]＝2…[tn]＝n时成立正整数n值(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B　题知：
n＝1时1≤t<2
n＝2时2≤t2<3≤t<满足条件．
n＝3时3≤t3<4≤t<满足条件．
n＝4时4≤t4<5≤t<满足条件．
n＝5时5≤t5<6≤t<>正整数n值4
6．(2015·浙江10易)已知函数f(x)＝f(f(－3))＝________f(x)值________．
解析　∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1
∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0
x≥1时f(x)＝x＋－3≥2－3
x<1时x2＋1≥1
∴lg(x2＋1)≥0
综f(x)min＝2－3
答案　0　2－3
7．(2015·山东14中)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0a≠1)定义域值域[－10]a＋b＝________．
解析　0∴a＋b＝－
a>1时解b＝－1
∴＝0解．综a＋b＝－
答案　－

1．(2014·江西2易)函数f(x)＝ln(x2－x)定义域(　　)
A．(01) B．[01]
C．(－∞0)∪(1＋∞) D．(－∞0]∪[1＋∞)
答案　C　函数意义需满足x2－x>0解x<0x>1选C
2．(2013·陕西1易)设全集R函数f(x)＝定义域M∁RM(　　)
A．[－11] B．(－11)
C．(－∞－1]∪[1＋∞) D．(－∞－1)∪(1＋∞)
答案　D　1－x2≥0－1≤x≤1∁RM＝(－∞－1)∪(1＋∞)．
3．(2012·江西3易)函数f(x)＝f(f(10))＝(　　)
A．lg 101 B．2
C．1 D．0
答案　B　∵f(10)＝lg 10＝1∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2选B
4．(2014·江西3易)已知函数f(x)＝5|x|g(x)＝ax2－x(a∈R)．f(g(1))＝1a＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．－1
答案　A　已知条件知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1∴|a－1|＝0a＝1选A
5．(2012·安徽2易)列函数中满足f(2x)＝2f(x)(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
答案　C　选项Af(2x)＝|2x|＝2|x|2f(x)＝2|x|f(2x)＝2f(x)
选项Bf(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|2f(x)＝2x－2|x|f(2x)＝2f(x)
选项Cf(2x)＝2x＋12f(x)＝2x＋2f(2x)≠2f(x)
选项Df(2x)＝－2x2f(x)＝－2xf(2x)＝2f(x)．
6．(2014·福建7中)已知函数f(x)＝列结正确(　　)
A．f(x)偶函数 B．f(x)增函数
C．f(x)周期函数 D．f(x)值域[－1＋∞)
答案　D　方法：x>0x2＋1>1x≤0时cos x∈[－11]f(x)∈[－1＋∞)选D
方法二(数形结合法)：作出f(x)图象图示排ABCD正确．

7．(2014·海18中)设f(x)＝f(0)f(x)值a取值范围(　　)
A．[－12] B．[－10]
C．[12] D．[02]
答案　D　∵x≤0时f(x)＝(x－a)2f(0)f(x)值∴a≥0x>0时f(x)＝x＋＋a≥2＋a仅x＝1时取＝．满足f(0)f(x)值需2＋a≥f(0)＝a2a2－a－2≤0解－1≤a≤2∴a取值范围0≤a≤2选D
8．(2014·湖北14难)设f(x)定义(0＋∞)函数f(x)>0意a>0b>0点(af(a))(b－f(b))直线x轴交点(c0)称cab关函数f(x)均数记Mf(ab)．例f(x)＝1(x>0)时Mf(ab)＝c＝Mf(ab)ab算术均数．
(1)f(x)＝________(x>0)时Mf(ab)ab均数
(2)f(x)＝________(x>0)时Mf(ab)ab调均数
(两空需写出符合求函数)
解析　设P(af(a))Q(b－f(b))
直线PQ方程y－f(a)＝(x－a)．
令y＝0c＝
(1)令均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)取f(x)＝(x>0)
(2)令调均数＝⇒＝取f(x)＝x(x>0)．
答案　(1)　(2)x(填(1)k1　(2)k2x中k1k2正常数均)

考1　求函数定义域
常见基初等函数定义域基求
(1)分式函数中分母等零．
(2)偶次根式函数开方式等0
(3)次函数二次函数定义域均R
(4)y＝x0定义域{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a＞0a≠1)y＝sin xy＝cos x定义域均R
(6)y＝logax(a＞0a≠1)定义域(0＋∞)．
(7)y＝tan x定义域
(1)(2014·山东3)f(x)＝定义域(　　)
A B．(2＋∞)
C∪(2＋∞) D∪[2＋∞)
(2)(2015·河南郑州模13)函数y＝f(x)定义域[02]函数g(x)＝定义域________．
解析　(1)函数意义必须

①(log2x)2>1log2x>1log2x<－1解x>20(2)∵0≤2x≤2∴0≤x≤1x－1≠0x≠1
∴0≤x<1函数g(x)定义域[01)．
答案　(1)C　(2)[01)
点拨　解题(1)关键正确利数函数单调性求解等式log2x>1log2x<－1解题(2)时易误认0≤x≤20≤2x≤4出现0≤x<11 求函数定义域三种常考类型求解策略
(1)已知函数解析式：构建解析式意义等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①已知函数f(x)定义域[ab]复合函数f(g(x))定义域a≤g(x)≤b求出．
②已知函数f(g(x))定义域[ab]f(x)定义域g(x)x∈[ab]时值域．
(3)实际问题：构建函数解析式意义考虑实际问题求．

(1)求定义域时解析式先化简
(2)求出定义域定写成集合区间形式．
(1)(2012·江西2)列函数中函数y＝定义域相函数(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
(2)典型例题1(2)改函数f(x2－1)定义域[02]函数g(x)＝f(2x)定义域________．
(1)答案　D　函数y＝定义域{x|x≠0x∈R}函数y＝定义域相选D
(2)解析　∵0≤x≤2∴－1≤x2－1≤3
函数f(x)定义域[－13]．
－1≤2x≤3－≤x≤
函数f(2x)定义域
答案　
考2　求函数解析式
函数解析式
(1)函数表示方法：解析法列表法图象法．
(2)函数解析式表示函数种方法y＝f(x)形式根题目条件转化该形式．
(3)求函数解析式时定注意函数定义域变化特利换元法求出解析式注明定义域导致错误．
(1)(2014·浙江6)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c0A．c≤3 B．3C．69
(2)(2013·安徽14)定义R函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．0≤x≤1时f(x)＝x(1－x)－1≤x≤0时f(x)＝________
解析　(1)f(－1)＝f(－2)＝f(－3)解∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c0(2)∵－1≤x≤0∴0≤x＋1≤1
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]
＝－x(x＋1)．
答案　(1)C　(2)－x(x＋1)
点拨　解题(1)关键利f(－1)＝f(－2)＝f(－3)求出ab值结合等关系0 求函数解析式常见方法
(1)定系数法：已知函数类型(次函数二次函数)根函数类型设出函数解析式根题设条件列出方程组解出定系数．
(2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时设h(x)＝t中解出x代入g(x)进行换元求出f(t)解析式t换x．
(3)转化法：已知某区间解析式求区间解析式求变量转化已知区间利函数满足等量关系间接获解析式．
(4)解方程组法：已知关f(x)f(f(－x))表达式根已知条件构造出方程构成方程组求出f(x)．
(2015·四川成检测12)果f＝x≠0x≠1时f(x)＝________．
解析　方法：令＝t∴x＝
f(t)＝＝∴f(x)＝
方法二：f＝＝
x换∴f(x)＝
答案　
考3　分段函数应
1．分段函数概念
(1)函数定义域子集应法分式子表示种函数称分段函数．分段函数部分组成表示函数．
(2)分段函数定义域等段函数定义域集值域等段函数值域集．
2．解决分段函数问题注意事项
分段函数函数函数处理分段函数问题时首先确定变量取值属区间选取相应应法离开定义域讨分段函数毫意义．

分段函数研究问题需进行分类讨相求集方程组等式组求交集相混淆．
(1)(2014·四川12)设f(x)定义R周期2函数x∈[－11)时f(x)＝f＝________．
(2)(2014·浙江15)设函数f(x)＝f(f(a))≤2实数a取值范围________．
解析　(1)∵f(x)周期2函数
∴f＝f＝f＝－4×＋2＝1
(2)题意
解f(a)≥－2

解a≤
答案　(1)1　(2)(－∞]
点拨　解题(1)关键助周期函数求f转化求f值解题(2)关键分清变量取值范围应函数关系．
分段函数两种题型求解策略
(1)根分段函数解析式求函数值
首先确定变量值属区间次选定相应解析式代入求解．
(2)已知函数值(函数值范围)求变量值(范围)
应根段解析式分求解注意检验求变量值(范围)否符合相应段变量取值范围．

分段函数变量范围确定时应分类讨．
(2015·山东沂调研5)已知函数f(x)＝f(f(0))＝4a实数a等(　　)
A B C．2 D．9
答案　C　∵0<1∴f(0)＝20＋1＝2
∵f(0)＝2≥1∴f(f(0))＝22＋2a＝4a
∴a＝2选C

1．(2015·安徽宣城三模3)函数f(x)＝定义域(　　)
A．[3＋∞) B
C D．(－∞－3)
答案　A　

x≥3定义域[3＋∞)．
2．(2015·河南南阳质检3)已知函数f(x)＝f(a)＋f(1)＝0实数a值等(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案　A　f(1)＝21＝2f(a)＋f(2)＝0f(a)＝－2x>0时2x>1f(a)＝a＋1＝－2解a＝－3
3．(2015·河北唐山统考5)f(x)R奇函数x≥0时f(x)＝x3＋ln(1＋x)x<0时f(x)＝(　　)
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
答案　C　x<0时－x>0f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．
∵f(x)R奇函数∴x<0时f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]
∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
4．(2014·山东莱芜模8)已知函数f(x)定义域[36]函数y＝定义域(　　)
A B
C D
答案　B　函数y＝意义需满足⇒⇒≤x＜2选B
5．(2014·福建厦门模7)已知函数f(x)＝方程f(x)＝1解(　　)
A2 B3 C4 D．±4
答案　C　x∈[－12]时3－x2＝1⇒x＝－(舍)
x∈(25]时x－3＝1⇒x＝4
综述f(x)＝1解4
6．(2015·山东青岛质检9)设函数f(x)＝f(2 015)＝(　　)
A．27 B．0 C．3 D．1
答案　B　题意知x≥5f(x)＝f(x－5)．
令x－5＝t∴x＝5＋t∴f(5＋t)＝f(t)
∴f(x＋5)＝f(x)∴f(x)周期T＝5
∴f(2 015)＝f(403×5＋0)＝f(0)
0≤x＜5时f(x)＝x3
∴f(0)＝03＝0f(2 015)＝0选B
7．(2015·湖北武汉质检6)已知函数f(x)＝f(－a)＋f(a)≤0a取值范围(　　)
A．[－11] B．[－20]
C．[02] D．[－22]
答案　D　题意


解a∈[－22]选D
8．(2015·安徽合肥二模7)设集合A＝B＝函数f(x)＝x0∈Af(f(x0))∈Ax0取值范围(　　)
A B
C D
答案　C　x0∈A0≤x00≤1－2x0＜
解＜x0≤0≤x0＜
＜x0＜答案C
思路点拨：解答题关键分清x0∈A时f(x0)取值范围决定求f(f(x0))值．
9．(2015·四川德阳模拟12)已知函数f(x)定义域(0＋∞)f(x)＝2f·－1f(x)＝________
解析　f(x)＝2f·－1中代x
f＝2f(x)－1①
①式代入f(x)＝2f－1中
f(x)＝4f(x)－2－1
f(x)＝＋
答案　＋
10．(2015·陕西榆林二模12)已知f(x)＝f(x)≥－1成立x取值范围________．
解析　题意知

解－4≤x≤00答案　[－42]



1．(2015·天津7中)已知定义R函数f(x)＝2|x－m|－1(m实数)偶函数记a＝f(log053)b＝f(log25)c＝f(2m)abc关系(　　)
A．aC．c答案　C　∵f(x)偶函数∴f(－x)＝f(x)
∴m＝0∴f(x)＝2|x|－1
函数图象知函数f(x)(－∞0)减函数(0＋∞)增函数．
∵a＝f(log053)＝f(log23)b＝f(log25)
c＝f(0)log25＞log23＞0∴b＞a＞c选C
2．(2015·湖南5中)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)f(x)(　　)
A．奇函数(01)增函数
B．奇函数(01)减函数
C．偶函数(01)增函数
D．偶函数(01)减函数
答案　A　∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)∴f(x)奇函数．
∵f′(x)＝＋＝＝x∈(－11)
∴f′(x)定义域恒0∴f(x)(01)增函数．

1．(2014·陕西7易)列函数中满足f(x＋y)＝f(x)f(y)单调递增函数(　　)
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
答案　D　∵f(x＋y)＝f(x)f(y)∴f(x)指数函数模型排AB∵f(x)单调递增函数
∴排C选D
2．(2012·广东4易)列函数中区间(0＋∞)增函数(　　)
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝ D．y＝x＋
答案　A　(逐项验证法)函数y＝ln(x＋2)(－2＋∞)增函数函数y＝－[－1＋∞)减函数函数y＝(0＋∞)减函数函数y＝x＋(01)减函数(1＋∞)增函数．综(0＋∞)增函数y＝ln(x＋2)选A
3．(2012·陕西2易)列函数中奇函数增函数(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
答案　D　(逐项验证法)A注意函数y＝x＋1奇函数B注意函数y＝－x3R减函数C注意函数y＝定义域增函数D注意－x·|－x|＋x|x|＝0函数y＝x|x|奇函数x≥0时y＝x|x|＝x2增函数函数y＝x|x|奇函数R增函数选D
4．(2013·安徽4易)a≤0函数f(x)＝|(ax－1)x|区间(0＋∞)单调递增(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
答案　C　充分性：a<0时x>0f(x)＝|(ax－1)x|＝－ax2＋x开口二次函数称轴x＝<0区间(0＋∞)增函数a＝0时f(x)＝x区间(0＋∞)增函数．
必性：a≠0时f＝0f(0)＝0f(x)(0＋∞)增函数知<0a<0a＝0时f(x)＝x区间(0＋∞)增函数a≤0
综a≤0f(x)(0＋∞)增函数充分必条件．
5．(2011·江苏2易)函数f(x)＝log5(2x＋1)单调增区间________．
解析　y＝log5(2x＋1)意义2x＋1>0x>－y＝log5u(0＋∞)增函数x>－时u＝2x＋1增函数原函数单调增区间
答案　
6．(2011·海2014分中)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x中常数ab满足ab≠0
(1)ab>0判断函数f(x)单调性
(2)ab<0求f(x＋1)>f(x)时x取值范围．
解：(1)(定义法)a>0b>0时取x1x2∈R令x1∵2x1<2x2a>0⇒a(2x1－2x2)<0
3x1<3x2b>0⇒b(3x1－3x2)<0
∴f(x1)－f(x2)<0函数f(x)R增函数．
理a<0b<0时函数f(x)R减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0
a>－2b
a<0b>0时>－
x>log
a>0b<0时<－
x
考1　确定函数单调性(单调区间)
1．单调函数定义

增函数
减函数
定义
般设函数f(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量x1x2
x1x1f(x2)说函数f(x)区间D减函数
图象
描述

左右图象升

左右图象降

单调函数定义出函数增函数减函数定义域某区间言．函数定义域区间增函数区间增函数．例函数y＝x2x∈[0＋∞)时增函数x∈(－∞0]时减函数．
2．函数单调性常结
(1)f(x)g(x)均区间A增(减)函数f(x)＋g(x)区间A增(减)函数
(2)k>0kf(x)f(x)单调性相k<0kf(x)f(x)单调性相反
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)公定义域y＝－f(x)y＝单调性相反
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)公定义域y＝单调性相
(5)奇函数关原点称区间单调性相偶函数关原点称区间单调性相反．
(1)(2014·北京2)列函数中区间(0＋∞)增函数(　　)
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log05(x＋1)
(2)(2014·天津4)函数f(x)＝log(x2－4)单调递增区间(　　)
A．(0＋∞) B．(－∞0)
C．(2＋∞) D．(－∞－2)
解析　(1)A项函数y＝[－1＋∞)增函数函数(0＋∞)增函数符合B项函数y＝(x－1)2(－∞1)减函数[1＋∞)增函数符合C项函数y＝2－x＝R减函数符合D项函数y＝log05(x＋1)(－1＋∞)减函数符合．
(2)y＝logt定义域减函数求原函数单调增区间求函数y＝x2－4单调减区间结合函数定义域x2－4>0知求区间(－∞－2)．
答案　(1)A　(2)D
判断函数单调性(单调区间)常方法
(1)定义法：先求定义域根取值作差变形定号序结．
(2)图象法：函数图象形式出者函数图象作出图象升降写出单调性(区间)．
(3)复合函数法：适形y＝f(φ(x))复合函数具体规表：
函数
增减情况
函数t＝φ(x)
增
增
减
减
外函数y＝f(t)
增
减
增
减
y＝f(φ(x))
增
减
减
增
　　y＝f(φ(x))单调性利口诀——增异减判断外函数单调性相时增函数单调性时减函数．
(4)导数法：先求导确定导数值正负导数正负函数单调性(区间)．
(5)性质法：利函数单调性关结确定简单初等函数单调性．
(1)(2011·课标全国2)列函数中偶函数(0＋∞)单调递增函数(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
(2)(2015·河南洛阳二模6)函数y＝f(x)(x∈R)图象图示函数g(x)＝f(logax)(0
A B．[1]
C．(－∞0)∪ D．[]
(1)答案　B　y＝x3奇函数y＝－x2＋1y＝2－|x|(0＋∞)减函数选B
(2)答案　B　图象知函数y＝f(x)单调递减区间(－∞0)单调递增区间
∵0考2　函数单调性应
1．函数值概念
前提
设函数y＝f(x)定义域I果存实数M满足
条件
①意x∈If(x)≤M
①意x∈If(x)≥M
②存x0∈If(x0)＝M
②存x0∈If(x0)＝M
结
M值
M值

函数值函数定义域整体性质函数值域中值值．
2．函数单调性应
(1)较函数值
(2)解抽象函数等式
(3)求定参数值取值范围
(4)求函数值值域．
(1)(2015·云南昆明模拟6)已知函数f(x)图象左移1单位关y轴称x2>x1>1时[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立设a＝fb＝f(2)c＝f(3)abc关系(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)(2015·福建福州模6)果函数f(x)意实数xf(1＋x)＝f(－x)x≥时f(x)＝log2(3x－1)函数f(x)[－20]值值(　　)
A．2 B．3 C．4 D．－1
(3)(2012·海7)已知函数f(x)＝e|x－a|(a常数)．f(x)区间[1＋∞)增函数a取值范围________．
思路导引　(1)利图象称性问题转化单调区间较(2)f(1＋x)＝f(－x)函数f(x)关x＝称进求f(x)区间单调性函数f(x)值值(3)思路：先求出f(x)单调增区间根已知条件找出已知区间单调区间关系求字母范围思路二：求出f(x)导数利f′(x)≥0[1＋∞)恒成立求a范围．
解析　(1)根已知函数f(x)图象关直线x＝1称(1＋∞)减函数．a＝f＝f2<<3b>a>c
(2)根f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象关直线x＝称．函数f(x)单调递增f(x)单调递减函数f(x)[－20]值值f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4
(3)方法：∵f(x)＝e|x－a|＝
∴f(x)[a＋∞)增函数
[1＋∞)⊆[a＋∞)∴a≤1
方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝
x≥a时f(x)＝ex－af′(x)＝ex－a
题意知f′(x)＝ex－a≥0[1＋∞)恒成立结显然成立．
∴a≤xmin∴a≤1
x＜a时f′(x)＝－ex－a＜0恒成立符合题意．
综述a≤1
答案　(1)D　(2)C　(3)(－∞1]
1较函数值思路
较函数值时变量值单调区间利函数性质转化单调区间进行较选择题填空题数形结合量图象法求解．
2．含f号等式解法
首先根函数性质等式转化f(g(x))>f(h(x))形式然根函数单调性掉f号转化具体等式(组)时注意g(x)h(x)取值应外层函数定义域．
3．利函数单调性求参数取值范围
已知函数区间A增函数求相关参数取值范围函数复合函数形式类问题应理解区间A函数增区间子集根复合函数增异减单调性结解决．函数导数求函数导数恒等0解决．f(x)区间A增函数求参数a范围转化：f′(x)≥0A恒成立f′(x)＝0A意子区间恒成立求a≥2需检验a＝2时否符合题意．
(2014·课标Ⅱ15)已知偶函数f(x)[0＋∞)单调递减f(2)＝0f(x－1)>0x取值范围________．
解析　题知f(2)＝0f(x－1)>0f(x－1)>f(2)函数f(x)[0＋∞)单调递减偶函数满足|x－1|<2解－1答案　(－13)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2015·四川泸州三模3)列函数中(0＋∞)单调递减(　　)
A．f(x)＝ln x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝
答案　D　Ay＝ln x(0＋∞)增函数A满足
B函数(－∞1)减函数(1＋∞)增函数B满足
C函数R增函数C满足
D函数(－1＋∞)(－∞－1)均减函数(0＋∞)减函数D满足．
2．(2014·安徽合肥检测6)函数y＝|x|(1－x)区间A增函数区间A(　　)
A．(－∞0) B
C．[0＋∞) D
答案　B　(数形结合法)y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数图象图．

图易知原函数单调递增．选B
3．(2015·山西太原模拟5)已知f(x)＝x2－cos xf(06)f(0)f(－05)关系(　　)
A．f(0)B．f(0)C．f(06)D．f(－05)答案　B　∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)
∴f(x)偶函数．
∴f(－05)＝f(05)．
∵f′(x)＝2x＋sin xx∈(01)时f′(x)>0
∴f(x)(01)增函数
∴f(0)f(0)4．(2015·湖南株洲模7)定义新运算⊕：a≥b时a⊕b＝aaA．－1 B．1 C．6 D．12
答案　C　已知－2≤x≤1时f(x)＝x－2
1∵f(x)＝x－2f(x)＝x3－2定义域增函数．
∴f(x)值f(2)＝23－2＝6
5．(2014·辽宁五校第二次联考12)已知f(x)定义R偶函数区间[0＋∞)增函数f＝0等式f(logx)＞0解集(　　)
A B．(2＋∞)
C∪(2＋∞) D∪(2＋∞)
答案　C　已知f(x)R偶函数f＝0
∴f(logx)＞0等价f(|logx|)＞f
f(x)[0＋∞)增函数
∴|logx|＞logx＞logx＜－解0＜x＜x＞2选C
6．(2015·山东滨州质检13)意实数ab定义min{ab}＝设函数f(x)＝－x＋3g(x)＝log2x函数h(x)＝min{f(x)g(x)}值________．
解析　题意h(x)＝
02时h(x)＝3－x减函数h(x)x＝2时取值h(2)＝1
答案　1
7．(2015·河南濮阳模拟16)函数f(x)定义域Ax1x2∈Af(x1)＝f(x2)时总x1＝x2称f(x)单函数．例函数f(x)＝2x＋1(x∈R)单函数．
出列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)单函数
②指数函数f(x)＝2x(x∈R)单函数
③f(x)单函数x1x2∈Ax1≠x2f(x1)≠f(x2)
④定义域具单调性函数定单函数．
中真命题________(写出真命题序号)．
解析　①f(x)＝x2f(x1)＝f(x2)时x1＝x2x1＝－x2①错误
②f(x)＝2xR增函数f(x1)＝f(x2)时总x1＝x2②正确
③单函数定义知逆否命题：f(x)单函数x1x2∈Ax1≠x2f(x1)≠f(x2)真命题③正确
④假f(x1)＝f(x2)时x1≠x2单调函数矛盾④正确．
答案　②③④
8．(2014·河北石家庄质检1912分)已知f(x)定义[－11]奇函数f(1)＝1ab∈[－11]a＋b≠0时＞0成立．
(1)判断f(x)[－11]单调性证明
(2)解等式f＜f
(3)f(x)≤m2－2am＋1a∈[－11]恒成立求实数m取值范围．
解：(1)取x1x2∈[－11]x1＜x2
－x2∈[－11]．∵f(x)奇函数
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
已知＞0x1－x2＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0f(x1)＜f(x2)
∴f(x)[－11]单调递增．
(2)∵f(x)[－11]单调递增
∴解－≤x＜－1
(3)∵f(1)＝1f(x)[－11]单调递增
∴[－11]f(x)≤1
问题转化m2－2am＋1≥1
m2－2am≥0a∈[－11]成立．
面求m取值范围．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0
①m＝0g(a)＝0≥0a∈[－11]恒成立．
②m≠0g(a)a次函数g(a)≥0a∈[－11]恒成立必须g(－1)≥0g(1)≥0
∴m≤－2m≥2
∴m取值范围m＝0m≥2m≤－2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2015·安徽2易)列函数中偶函数存零点(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
答案　A　选项知AD偶函数D中函数零点．
2．(2015·广东3易)列函数中奇函数偶函数(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
答案　D　A中函数y＝偶函数B中f(－x)＝－x－＝－f(x)奇函数C中f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)偶函数D中f(－x)＝－x＋e－x非奇非偶函数选D
3．(2015·课标Ⅰ13易)函数f(x)＝xln(x＋)偶函数a＝________．
解析　f(x)偶函数f(－x)＝f(x)－xln(－x＋)＝xln(x＋)
xln(x＋)＋xln(－x＋)＝0
∴xln a＝0
∵x恒0∴ln a＝0a＝1
答案　1

1．(2014·课标Ⅰ3易)设函数f(x)g(x)定义域Rf(x)奇函数g(x)偶函数列结中正确(　　)
A．f(x)g(x)偶函数 B．|f(x)|g(x)奇函数
C．f(x)|g(x)|奇函数 D．|f(x)g(x)|奇函数
答案　C　f(x)奇函数|f(x)|偶函数g(x)偶函数|g(x)|偶函数两函数相奇偶性偶异奇选项知C正确．
2．(2013·山东3易)已知函数f(x)奇函数x>0时f(x)＝x2＋f(－1)＝(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案　A　函数f(x)奇函数f(－1)＝－f(1)＝－2选A
3．(2012·福建7中)设函数D(x)＝列结错误(　　)
A．D(x)值域{01} B．D(x)偶函数
C．D(x)周期函数 D．D(x)单调函数
答案　C　A显然正确．
D(x)＝x∈Q时－x∈QD(x)＝D(－x)＝1x理数时－x理数时D(x)＝D(－x)＝0∴意x∈RD(x)＝D(－x)
∴B正确．妨设a∈Qa≠0x理数时D(x＋a)＝D(x)＝1x理数时D(x＋a)＝D(x)＝0∴D(x)周期函数∴C正确．∵x1＝1D(1)＝1x2＝2D(2)＝1∴D(x1)＝D(x2)∴D(x)定义域单调D正确∴选C
4．(2014·湖北10难)已知函数f(x)定义R奇函数x≥0时f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．∀x∈Rf(x－1)≤f(x)实数a取值范围(　　)
A B
C D
答案　B　x≥0时f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)0≤x≤a2时f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x
a2x≥2a2时f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2
综函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)x≥0时解析式等价f(x)＝
根奇函数图象关原点称作出函数f(x)R致图象

观察图象知∀x∈Rf(x－1)≤f(x)需满足2a2－(－4a2)≤1解－≤a≤
5．(2012·海9易)已知y＝f(x)＋x2奇函数f(1)＝1g(x)＝f(x)＋2g(－1)＝________．
解析　已知y＝f(x)＋x2奇函数f(1)＝1f(1)＋12＋f(－1)＋(－1)2＝0f(－1)＝－3g(－1)＝f(－1)＋2＝－1
答案　－1
6．(2011·海13中)设g(x)定义R1周期函数函数f(x)＝x＋g(x)区间[34]值域[－25]f(x)区间[－1010]值域________．
解析　∵g(x)周期1函数f(x)＝x＋g(x)
∴f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋g(x)＋1
＝f(x)＋1
理f(x＋2)＝f(x＋1)＋1…f(x)图象言x增加1单位长度函数图象移1单位长度反x减少1单位长度函数图象移1单位长度x∈[34]时f(x)∈[－25]f(x)值值差7x∈[45]时f(x)∈[－16]x∈[56]时f(x)∈[07]…x∈[910]时f(x)∈[411]．
理x∈[－10－9]时f(x)∈[－15－8]．
综知x∈[－1010]时f(x)值域[－1511]．
答案　[－1511]

考1　函数奇偶性判断应
1．偶函数奇函数

偶函数
奇函数
定义
条件
果函数f(x)定义域意x
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结
函数f(x)作偶函数
函数f(x)作奇函数
图象特征
图象关y轴称
图象关原点称
2奇偶函数性质
(1)奇函数关原点称区间单调性相偶函数关原点称区间单调性相反．
(2)公定义域
①两奇函数函数奇函数两奇函数积函数偶函数．
②两偶函数函数积函数偶函数．
③奇函数偶函数积函数奇函数．
(3)f(x)奇函数x＝0处定义f(0)＝0
(1)(2013·广东2)定义域R四函数y＝x3y＝2xy＝x2＋1y＝2sin x中奇函数数(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)(2014·湖南3)已知f(x)g(x)分定义R偶函数奇函数f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(3)(2011·浙江11)函数f(x)＝x2－|x＋a|偶函数实数a＝________．
(4)(2013·江苏11)已知f(x)定义R奇函数x>0时f(x)＝x2－4x等式f(x)>x解集区间表示________．
解析　(1)(定义法)根奇偶函数定义知y＝2x非奇非偶函数y＝x2＋1偶函数y＝x3y＝2sin x奇函数．
(2)令x＝－1f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1
∵f(x)g(x)分偶函数奇函数
∴f(－1)＝f(1)g(－1)＝－g(1)
f(1)＋g(1)＝1
(3)∵f(x)偶函数∴f(－x)＝f(x)
|x－a|＝|x＋a|∵x∈R∴a＝0
(4)∵f(x)定义R奇函数
∴f(0)＝0
x＜0时－x＞0
∴f(－x)＝x2＋4x
f(x)奇函数∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)
∴f(x)＝
①x＞0时f(x)＞xx2－4x＞x解x＞5
②x＝0时f(x)＞x解
③x＜0时f(x)＞x－x2－4x＞x解－5＜x＜0
综等式f(x)＞x解集区间表示(－50)∪(5＋∞)．
答案　(1)C　(2)C　(3)0　(4)(－50)∪(5＋∞)
1判断函数奇偶性方法
(1)定义法


①较复杂解析式先进行化简利定义进行判断时应注意化简前等价性．
②函数定义域关原点称函数定具奇偶性．
(2)图象法

2．应函数奇偶性解决四类问题解题方法
(1)求函数值
求值利奇偶性转化已知区间函数值求解．
(2)求解析式
先求区间变量转化已知区间利奇偶性求出充分利奇偶性构造关f(x)方程(组)f(x)解析式．
(3)求函数解析式中参数值
利定系数法求解根f(x)±f(－x)＝0关求参数恒等式系数等性方程(组)进出参数值．
(1)(2011·湖北6)已知定义R奇函数f(x)偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0a≠1)．g(2)＝af(2)＝(　　)
A．2 B C D．a2
(2)(2013·四川14)已知f(x)定义域R偶函数x≥0时f(x)＝x2－4x等式f(x＋2)<5解集________．
(1)答案　B　∵g(x)偶函数f(x)奇函数
∴g(2)＝g(－2)＝af(－2)＝－f(2)
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2②
联立①②解g(2)＝2＝af(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝选B
(2)解析　x≥0时f(x)＝x2－4x<5解0≤x<5f(x)定义域R偶函数f(x)<5解集－5答案　(－73)
考2　函数周期性应
1．周期函数定义
函数y＝f(x)果存非零常数Tx取定义域值时f(x＋T)＝f(x)称函数y＝f(x)周期函数称T函数周期．
2．常见结
周期函数y＝f(x)满足：
(1)f(x＋a)＝f(x－a)函数周期2a
(2)f(x＋a)＝－f(x)函数周期2a
(3)f(x＋a)＝－函数周期2a
(4)函数f(x)关直线x＝ax＝b称函数f(x)周期2|b－a|
(5)函数f(x)关点(a0)称关点(b0)称函数f(x)周期2|b－a|
(6)函数f(x)关直线x＝a称关点(b0)称函数f(x)周期4|b－a|
(7)函数f(x)偶函数图象关直线x＝a称周期2a
(8)函数f(x)奇函数图象关直线x＝a称周期4a
(1)(2012·山东8)定义R函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)－3≤x＜－1时f(x)＝
－(x＋2)2－1≤x＜3时f(x)＝xf(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　)
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
(2)(2014·安徽6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．0≤x≤π时f(x)＝0f＝(　　)
A B C．0 D．－
解析　(1)f(x＋6)＝f(x)知函数f(x)周期6f(－3)＝f(3)＝－1f(－2)＝f(4)＝0f(－1)＝f(5)＝－1f(0)＝f(6)＝0f(1)＝1f(2)＝2周期f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338
(2)f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)f(x)周期T＝2π
0≤x<π时f(x)＝0f＝0
f＝f＋sin＝0
f＝
f＝f＝f＝
答案　(1)B　(2)A
点拨　解题(1)关键求出周期变量应函数函数值找出中规律解题(2)关键判断出f(x)2π周期周期函数．
函数周期性判定应
(1)判断函数周期需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便证明函数周期函数周期T函数周期性常函数性质综合命题．
(2)根函数周期性函数局部性质函数整体性质周期性奇偶性具未知区间问题转化已知区间功．解决具体问题时注意结：T函数周期kT(k∈Zk≠0)函数周期．
(2012·江苏10)设f(x)定义R周期2函数区间[－11]f(x)＝中ab∈Rf＝fa＋3b值________．
解析　f(x)定义R周期2函数f＝f
f(－1)＝f(1)f＝f
＝－a＋1
3a＋2b＝－2①
f(－1)＝f(1)
－a＋1＝b＝－2a②
②代入①a＝2b＝－4
a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10
答案　－10
考3　函数性质综合应
函数称性常见结
(1)函数y＝f(x)关x＝称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
特殊：函数y＝f(x)关x＝a称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)
函数y＝f(x)关x＝0称⇔f(x)＝f(－x)(偶函数)．
(2)函数y＝f(x)关点(ab)称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b
特殊：函数y＝f(x)关点(a0)称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0
函数y＝f(x)关(00)称⇔f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)．
(3)y＝f(x＋a)偶函数⇔函数y＝f(x)关直线x＝a称
y＝f(x＋a)奇函数⇔函数y＝f(x)关点(a0)称．
(1)(2012·课标全国16)设函数f(x)＝值M值mM＋m＝________
(2)(2015·山东济南模拟13)已知定义R函数f(x)意实数xf(x＋4)＝－f(x)＋2函数f(x－1)图象关直线x＝1称f(1)＝2f(2 015)＝________
解析　(1)显然定义域全体实数f(x)＝＝1＋
设g(x)＝∵g(－x)＝－g(x)
∴g(x)奇函数奇函数图象称性知g(x)max＋g(x)min＝0∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2
(2)函数y＝f(x－1)图象关直线x＝1称知函数f(x)图象关y轴称f(x)偶函数．
f(x＋4)＝－f(x)＋2f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)
∴f(x)周期T＝8偶函数
∴f(2 015)＝f(7＋251×8)＝f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝f(1)＝2
答案　(1)2　(2)2
点拨　解题(1)关键函数化简转化利函数奇偶性称性求解解题(2)时应注意通图象称性推导函数奇偶性通等量关系推导函数周期性．
函数性质综合应注意点
(1)函数奇偶性周期性单调性函数三性质高考中常常综合起命题中奇偶性单调性结合周期性抽象函数结合结合奇偶性求函数值．
(2)题目中函数周期性常常通函数奇偶性函数奇偶性体现种称关系函数单调性体现函数值变量变化变化规律．解题时需助函数奇偶性周期性确定区间单调性实现区间转换利单调性解决相关问题．
(2012·重庆7)已知f(x)定义R偶函数2周期f(x)[01]增函数f(x)[34]减函数(　　)
A．充分必条件
B．充分必条件
C．必充分条件
D．充条件
答案　D　①∵f(x)R偶函数∴f(x)图象关y轴称．∵f(x)[01]增函数∴f(x)[－10]减函数．
∵f(x)周期2
∴f(x)区间[34]减函数．
②∵f(x)[34]减函数f(x)周期2∴f(x)[－10]减函数．
∵f(x)R偶函数
∴f(x)[01]增函数．
①②知f(x)[01]增函数f(x)[34]减函数充条件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2015·山东烟台模拟3)列函数中奇函数偶函数(　　)
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
答案　D　D函数定义域(－1＋∞)关原点称y＝lg奇函数偶函数选项A偶函数选项B奇函数选项C偶函数．
2．(2015·浙江嘉兴模3)已知函数y＝f(x)＋x偶函数f(2)＝1f(－2)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－5 D．5
答案　D　∵y＝f(x)＋x偶函数∴f(－x)－x＝f(x)＋x
∴f(－2)＝f(2)＋2＋2＝1＋2＋2＝5
3．(2015·辽宁实验中学月考6)函数y＝f(x)[02]单调递增函数f(x＋2)偶函数列结成立(　　)
A．f(1)B．f C．f D．f 答案　B　∵f(x＋2)偶函数∴f(x)图象关直线x＝2称∴f(x)＝f(4－x)
∴f ＝f f ＝f
0<<1<<2f(x)[02]单调递增
∴f 4．(2014·湖南长沙模拟6)函数f(x)周期4偶函数x∈[02]时f(x)＝x－1等式xf(x)>0[－13]解集(　　)
A．(13) B．(－11)
C．(－10)∪(13) D．(－10)∪(01)
答案　C　(利数形结合分类讨思想求解)f(x)图象图．

图象知等式xf(x)>0[－13]解集x∈(－10)∪(13)．
5．(2015·河南郑州调研8)已知函数f(x)区间[－55]奇函数区间[05]单调函数f(3)＜f(1)(　　)
A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(－1)
C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5)
答案　A　函数f(x)区间[05]单调函数3＞1f(3)＜f(1)函数区间[05]单调减函数．
已知条件奇函数性质知函数f(x)区间[－55]减函数．
选项A中－3＜－1f(－3)＞f(－1)．
选项B中0＞－1f(0)＜f(－1)．
理选项C中f(－1)＞f(1)选项D中f(－3)＜f(－5)．
6．(2015·湖北名校联考7)设f(x)定义R偶函数意x∈Rf(x－2)＝f(x＋2)x∈[－20]时f(x)＝－1区间(－26]关x方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰3实数根a取值范围(　　)
A．(12) B．(2＋∞)
C．(1) D．(2)
答案　D　∵f(x)定义R偶函数
∴f(x)图象关y轴称．
∵∀x∈Rf(x－2)＝f(x＋2)
∴f(x)周期函数周期4
∵x∈[－20]时f(x)＝－1
∴f(x)区间(－26]图象图示

∴区间(－26]关x方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰3实数根转化函数f(x)图象y＝loga(x＋2)图象三交点

解a∈(2)．
思路点拨：解答题先根条件求f(x)周期4偶函数方程根数转化两函数图象交点数．
7．(2014·江苏徐州二模10)设a＞0f(x)＝＋R偶函数a＝________
解析　方法：∵f(x)R偶函数
∴f(－x)＝f(x)R恒成立
＋＝＋
(a2－1)e2x＋1－a2＝0意x恒成立
∴解a＝1
方法二：∵f(x)R偶函数
∴f(－1)＝f(1)
∴·＋ae＝＋
e＋＝0
∴(e2－1)＝0∴a－＝0
a＞0∴a＝1
验证a＝1时f(－x)＝f(x)
∴a＝1
答案　1
8．(2015·河北保定三模15)偶函数f(x)定义域意xf(x)＝f(2－x)x∈(01]时f(x)＝log2xf ＝________．
解析　∵f(x)偶函数
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)
∴函数f(x)周期2
∴f ＝f ＝f
＝f ＝log2＝－1
答案　－1
9．(2014·吉林长春第次调研16)定义[x]表示超x整数例[15]＝1[－15]＝
－2f(x)＝sin(x－[x])列结中：
①f(x)奇函数②f(x)周期函数周期2π③f(x)值0值④f(x)值值sin 1中说法正确序号________．
解析　f(15)＝sin(15－[15])
＝sin 05f(－15)
＝sin(－15－[－15])
＝sin 05
f(15)＝f(－15)①错f(x＋1)＝sin(x＋1－[x＋1])＝sin(x＋1－[x]－1)＝sin(x－[x])＝f(x)∴T＝1②错令g(x)＝x－[x]g(x)[kk＋1)(k∈Z)单调递增函数知g(x)∈[01)时f(x)∈[0sin 1)g(x)周期1③正确④错．综说法正确序号③
答案　③

(时间：90分钟__分数：120分)
选择题(10题题5分50分)
1．(2013·江西2)函数y＝ln(1－x)定义域(　　)
A．(01) B．[01) C．(01] D．[01]
答案　B　解0≤x<1选B
2．(2015·福建闽江学院附中模拟4)列函数中偶函数(0＋∞)单调递增函数(　　)
A．y＝|x|＋1 B．y＝3x
C．y＝－x2＋1 D．y＝
答案　A　定义域排选项Dy＝3x非奇非偶函数排选项B选项AC均偶函数选项C(0＋∞)减函数选A
3．(2015·江西南昌模3)已知f(x)＝f(f(1))值(　　)
A．0 B．－2 C．1 D．－1
答案　C　∵f(1)＝1＋1＝2∴f(f(1))＝f(2)＝－2＋3＝1
4．(2015·山东菏泽模拟5)f(x)R周期5奇函数满足f(1)＝1f(2)＝2f(8)－f(4)值(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案　A　f(x)周期5奇函数
∴f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1∴f(8)－f(4)＝－2－(－1)＝－1
5．(2011·浙江1)设函数f(x)＝f(α)＝4实数α＝(　　)
A．－4－2 B．－42
C．－24 D．－22
答案　B　α＝－4α＝2选B
6．(2015·辽宁沈阳质检9)已知偶函数f(x)区间[0＋∞)单调递增满足f(2x－1)A B
C D
答案　A　∵f(x)偶函数∴图象关y轴称f(x)[0＋∞)单调递增
∴f(2x－1)7．(2014·山东济南模拟9)已知函数f(x)＝f(2＋log23)值(　　)
A B C D
答案　A　∵2＋log23＜4∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．
∵3＋log23＞4∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝×＝×＝
8．(2014·山西太原质检8)设函数f(x)＝f(a)>f(－a)实数a取值范围(　　)
A．(－10)∪(01) B．(－∞－1)∪(1＋∞)
C．(－10)∪(1＋∞) D．(－∞－1)∪(01)
答案　C　①a＞0时∵f(a)＞f(－a)
∴log2a＞loga＝log2
∴a＞a＞1
②a＜0时∵f(a)＞f(－a)
∴log(－a)＞log2(－a)＝log
∴－a＜－1＜a＜0C项正确选项．
9．(2015·湖南长郡中学模拟6)设奇函数f(x)[－11]增函数f(－1)＝－1函数f(x)≤t2－2at＋1x∈[－11]成立a∈[－11]时t取值范围(　　)
A．－2≤t≤2 B．－≤t≤
C．t≤－2t＝0t≥2 D．t≤－t＝0t≥
答案　C　f(x)奇函数[－11]增函数f(－1)＝－1∴f(1)＝1∴f(x)[－11]值1∴1≤t2－2at＋1∀a∈[－11]恒成立2at≤t2a∈[－11]恒成立．t＝0时满足求t>0时1≤t≥2t<0时－1≥t≤－2综知t≤－2t＝0t≥2
10．(2015·陕西西安二模10)已知y＝f(x)偶函数y＝f(x＋1)奇函数意0≤x≤1f′(x)≥0a＝f b＝f c＝f 关系(　　)
A．cC．a答案　B　y＝f(x)偶函数
f(x)＝f(－x)①
y＝f(x＋1)奇函数
f(x)＝－f(2－x)②
f(－x)＝－f(2－x)
f(x)＝f(x＋4)．
函数f(x)周期4意0≤x≤1f′(x)≥0函数[01]单调递增函数y＝f(x＋1)奇函数函数[02]单调递增
a＝f ＝f
b＝f ＝f
c＝f ＝f ＝f
f c二填空题(4题题5分20分)
11．(2015·河南焦作模拟14)定义R奇函数f(x)满足f(－x)＝f f(2 015)＝2f(－2)＝________．
解析　∵f(x)奇函数
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(－x)＝－f(x)＝f
x＋代x
∴f(x＋3)＝f(x)∴函数f(x)周期3
∴f(2 015)＝f(2＋671×3)＝f(2)＝2
∴f(－2)＝－f(2)＝－2
答案　－2
12．(2014·湖北武汉模13)已知函数f(x)＝ln x＋2xf(x2－4)<2实数x取值范围________．
解析　∵f(1)＝ln 1＋2＝2
∴f(x2－4)<2化f(x2－4)f(x)(0＋∞)增函数∴
解－答案　(－－2)∪(2)
13．(2015·安徽池州模拟12)已知函数f(x)＝f(f(－2))>f(k)实数k取值范围________．
解析　∵f(f(－2))＝f(4)＝9
∴f(k)<9
k<0时<9解log9k≥0时(k－1)2<9解0≤k<4
综k∈(log94)．
答案　(log94)
14．(2014·浙江杭州模14)已知定义R函数y＝f(x)满足三条件：①意x∈Rf(x＋1)＝②函数y＝f(x＋1)图象关y轴称③意x1x2∈[01]x1f(x2)．f f(2)f(3)排列____________．
解析　①f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)函数f(x)周期2函数y＝f(x＋1)图象关y轴称函数y＝f(x＋1)图象右移单位y＝f(x)图象函数y＝f(x)图象关x＝1称．根③知函数f(x)[01]减函数结合②知函数f(x)[12]增函数．f(3)＝f(2＋1)＝f(1)区间[12]1<<2
f(1)f(3)答案　f(3)三解答题(4题50分)
15．(12分)(2014·山东烟台月考17)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0常数a∈R)．
(1)讨函数f(x)奇偶性说明理
(2)函数f(x)[2＋∞)增函数求实数a取值范围．
解：(1)函数f(x)定义域{x|x≠0}
a＝0时f(x)＝x2(x≠0)显然偶函数
a≠0时f(1)＝1＋af(－1)＝1－a
f(1)≠f(－1)f(－1)≠－f(1)
函数f(x)＝x2＋(x≠0)奇函数偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝a≤0时f′(x)>0f(x)[2＋∞)增函数a>0时令f′(x)＝>0解x>f(x)[2＋∞)增函数知≤2解0综实数a取值范围(－∞16]．
16(12分)(2015·河北十校联考18)已知定义域R函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x
(1)f(2)＝3求f(1)
(2)f(0)＝a求f(a)
(3)设仅实数x0f(x0)＝x0求函数f(x)解析式．
解：(1)意x∈R
f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x
f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2
f(2)＝3f(1)＝1
(2)f(0)＝af(a－02＋0)＝a－02＋0f(a)＝a
(3)意x∈Rf[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x仅实数x0f(x0)＝x0意x∈Rf(x)－x2＋x＝x0式中令x＝x0f(x0)－x＋x0＝x0
f(x0)＝x0x0－x＝0x0＝0x0＝1
x0＝0f(x)＝x2－x方程x2－x＝x两相实根题设条件矛盾x0≠0x0＝1f(x)＝x2－x＋1易验证该函数满足题设条件．
综求函数f(x)解析式f(x)＝x2－x＋1
(12分)(2015·辽宁连质检18)函数f(x)定义域D＝{x|x≠0}满足意x1x2∈Df(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)值
(2)判断f(x)奇偶性证明结
(3)果f(4)＝1f(x－1)<2f(x)(0＋∞)增函数求x取值范围．
解：(1)∵意x1x2∈Df(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
∴令x1＝x2＝1f(1)＝2f(1)
∴f(1)＝0
(2)令x1＝x2＝－1
f(1)＝f(－1)＋f(－1)
∴f(－1)＝f(1)＝0
令x1＝－1x2＝xf(－x)＝f(－1)＋f(x)
∴f(－x)＝f(x)∴f(x)偶函数．
(3)题设f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2
(2)知f(x)偶函数
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)f(x)(0＋∞)增函数．
∴0<|x－1|<16解－15∴x取值范围{x|－1518．(14分)(2015·安徽淮北质检19)定义(－11)函数f(x)意xy∈(－11)：f(x)＋f(y)＝fx∈(－10)时f(x)＞0回答列问题：
(1)判断f(x)(－11)奇偶性说明理
(2)判断函数f(x)(01)单调性说明理
(3)f ＝试求f －f －f 值．
解：(1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0
令y＝－xf(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)(－11)奇函数．
(2)设0＜x1＜x2＜1
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝f
x1－x2＜00＜x1x2＜1⇒＜0
－(－1)＝＞0
－1＜＜0f＞0
0＜x1＜x2＜1时f(x1)＞f(x2)
∴f(x)(01)单调递减．
(3)f －f
＝f ＋f
＝f ＝f
理f －f ＝f
f －f ＝f
∴f －f －f
＝2f ＝2×＝1
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