科目：数学
期末复礼包
模块：圆
．垂径定理
1垂直弦直径分条弦分条弦弧
注意：①条件中弦直径
②结中分弧指分弦劣弧优弧
2分弦（直径）直径垂直条弦分弦弧．
垂径定理实质理解：
（1）直径
（2）垂直弦
（3）分弦 知二三
（4）分弦劣弧
（5）分弦优弧．
二． 圆周角定理
1圆等圆中弧等弧圆周角相等圆周角等该弧圆心角半
2直径圆周角直角圆周角弦直径
三．圆接四边形性质
1圆四边形四顶点均圆四边形做圆接四边形
2圆接四边形角互补
3圆接四边形意外角等角（相邻角角）
4三角形外接圆圆心三条边垂直分线交点直角三角形外接圆圆心斜边中点
5三角形切圆圆心三条角分线交点
四．圆位置关系
1点圆位置关系
半径点圆心距离：
（1）点圆：
（2）点圆：
（3）点圆外：
判断点圆位置关系通点圆心距离半径进行较
2直线圆位置关系判定
果半径圆心直线距离
直线相交
直线相切
直线相离
判断直线圆位置关系通圆心直线距离半径进行较
3 切线性质
(1) 切线圆惟公点
(2)圆心切线距离等半径
(3)切线垂直切点半径
4 切线长定理
1 圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
五．圆相关计算
1 弧长计算公式：
2．扇形面积计算公式：
3 圆锥侧面展开扇形关系：扇形半径圆锥侧面母线弧长圆锥底面圆周长圆锥体侧面积公式：．
实战演：
1 图⊙凸边形外侧（圆边相切）作滑动滚动．假设⊙周长凸边形周长半⊙回出发点时身滚动圈数（ ）
A． B． C． D．
2 图面直角坐标系中点圆心半径⊙动点连接点中点连接值_________
3图点⊙半径点图中阴影部分面积等 ．（结果保留）
4 图半圆直径交圆延长线动点中点交半径连．列结：（1）（2）（3）（4）定值．中正确结 ．
5图⊙直径点⊙现翻折交⊙点连接交点．
（1）求证：⊙相切
（2）连接求长．
6图正方形中边中点点正方形动点连接线段绕点逆时针旋转连接．
（1）求证：
（2）三点线连接求线段长．
（3）求线段长值．
模块二：相似
1斜A型斜X型
1）常见斜型三种情形图已知公角∽
斜型 斜型 公边斜型
斜型直线边满足公式：（直线线段积相等）
公边斜A型：△ACD∽△ABC
结：公边方等公角邻边积
2）常见斜型：已知顶角∽．
2射影定理：
公边斜A型中CD⊥AB时：△ACD∽△ABC∽△CBD
：．
口诀： 柱子方等影子积
3线三等角相似模型：
∽ ∽ ∽
（等角锐角） （等角直角） （等角钝角）
条直线3相等角中两角公边角顶点落公边．
实战演：
1图中连接长（ ）
A． B． C． D．
2图正方形中角线交点边动点（点重合）交点连接．列五结：①②③④⑤值中正确结数（ ）
A． B． C． D．
3图中正方形四顶点三角形边已知正方形边长等 ．
4图矩形中边中点绕点时针旋转点应点点应点点作交点连接交点现列结：
① ② ③ ④点外心．
中正确____________
5图正方形边长角线相交点中点连接点作点交点长 ．
6 图点正方形点（）____________
7图矩形中动点满足点两点距离值_____________
8图中边点边交___________
9图中点分．
（1）求证：∽
（2）求长．
10图形定义
条直线截边形果截图形原边形相似称条直线边形特征线．
概念理解
图1中点作条直线交点直线特征线求度数
问题探究
图2矩形中角线作垂足延长线交点点作直线垂足直线矩形特征线？请说明理．
11图中斜边高边点（重合）点作交连接交点．
（1）求证：∽
（2）试含式子表示
（3）（2）条件等腰三角形请直接写出长．
12已知图⊙直径弦弧中点连接延长延长线相交点垂足交点垂足．
求（1）长（2）值．
13图等腰接⊙弦分交点点作行线分交点．
（1）求证：
（2）求值．
14图已知⊙直径⊙点分线交⊙点交⊙切线点点作交延长线点．
（1）求证：⊙切线
（2）求值．
15图⊙直径分交⊙点点直线垂足半径点点分矩形边．
（1）求证：直线⊙切线
（2）求值．
16图中直径⊙交点中点交点．
（1）求弧长
（2）判断直线⊙位置关系说明理
（3）求证：．
17图1点圆心半径圆交轴两点交轴两点点弧动点延长交轴点连接交点．
（1）点中点求长
（2）求值
（3）图2点作交点点弧运动时试问值否保持变变试证明求出值发生变化请说明理．
18图四边形接⊙⊙直径相交点．
（1）求证：
（2）分延长交点点作交延长线点求长．
模块三：反例函数
1．反例函数定义：般形（k常数）函数做反例函数．
2．解析式：变形：
3．图象：图象第第三象限图象第二第四象限
4．增减性：象限yx增减
象限yx增增
5．称性：函数图象关原点中心称．
1图点双曲线点双曲线轴轴四边形行四边形面积（ ）
A． B． C． D．
2图已知点点点反例函数图象作射线射线绕点逆时针方旋转交反例函数图象点点坐标 ．
3已知直线轴轴分交两点反例函数（）图象交两点值（ ）
A． B． C． D．
4图等腰三角形底边轴正半轴点第象限延长交轴负半轴点延长点双曲线（）图象点．面积值_________
5正方形顶点反例函数图象顶点分轴轴正半轴右侧作正方形 顶点反函数图象顶点轴正半轴点坐标_________
模块四：锐角三角函数
1．直角三角形中：
角关系：两锐角互余
边关系：
角边关系：三角函数
2三角函数定义：
边
邻边
正弦(斜)
余弦(邻斜)
正切(邻)
注：
①缩写缩写缩写
②角三角函数值没单位
③三角函数值角属性角什方关直角三角形中角三角函数值外显
④完整符号单独没意义．中前面般省略写．
1图某数学活动组测量学校旗杆高度旗杆正前方米处点出发斜面坡度斜坡前进米达点点处安置测角仪测旗杆顶部仰角量仪器高米．已知面．求旗杆高度．（参考数：．计算结果保留根号）
2台风形成热带海洋强深厚热带气旋发生月市遭受台风然灾害较频繁区．山坡棵水面垂直树场台风树刮倾斜折断倒山坡树顶部恰接触坡面（图示）．已知山坡坡角量树干倾斜角树折断部分坡面成角．
（1）求度数
（2）求棵树折点坡面距离．（结果精确位参考数：）
模块五：二次函数
1抛物线系数abc影响
(1)称轴：左右异ab号称轴y轴左侧ab异号称轴y轴右侧
(2) 抛物线x轴交点数：
图象x轴2交点
图象x轴1交点
图象x轴没交点
ac异号抛物线x轴定两交点分y轴两侧
2．移规律：+左+右．
3二次函数图象称变换
二次函数图象称般三种情况般式顶点式表达
1．关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2．关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3．关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式．
4二次函数方程等式关系
1．二次函数轴交点横坐标元二次方程根．
①时图象x轴交两点中元二次方程两根
②时图象轴交点
③时图象轴没交点
2．直线抛物线交点横坐标方程解
①利数形结合判断方程解数
②利联立方程求解交点坐标
3．直线抛物线交点横坐标方程解．
5二次函数综合
1．三角形面积： 图中PE铅垂高OB水宽
2．求面积相等成倍分关系：
相等：做双轨行线注意两条行线
倍分关系：根截距找应行线交点般中点三等分点
实战演：
1 已知抛物线具性质：该抛物线意点定点距离轴距离始终相等图点坐标抛物线动点周长值（ ）
A． B． C． D．
2 抛物线直线两交点横坐标分代数式值
3面直角坐标系中已知抛物线常数．
（1）抛物线点求值
（2）抛物线点点求取值范围
（3）抛物线右移单位长度新抛物线时新抛物线应函数值求值．
4已知抛物线轴交两点轴交点抛物线称轴直线抛物线顶点点轴点方．
（1）求抛物线解析式顶点坐标
（2）求证：直线外接圆切线
（3）直线方抛物线找点求点坐标
（4）坐标轴找点点顶点三角形相似直接写出点坐标．
5图二次函数图象轴交两点轴交点．点函数图象 轴直线抛物线称轴抛物线顶点．
（1）求值
（2）图①连接线段点关直线称点恰线段求点坐标
（3）图②动点线段点作轴垂线分交点抛物线交点．试问：抛物线否存点面积相等线段长度？果存求出点坐标果存说明理．
6图面直角坐标系中抛物线交轴两点（点点左侧）该抛物线位轴方曲线记作该抛物线位轴方部分轴翻折翻折曲线记作曲线交轴点C连接．
（1）求曲线抛物线相应函数表达式
（2）求外接圆半径
（3）点曲线曲线动点点轴动点点顶点四边形行四边形求点坐标．
7图已知二次函数图象轴交点点轴交点．
（1）求二次函数表达式
（2）连接点线段运动（点重合）点作交点面积时求点坐标
（3）连接（2）结求数量关系．
8 图1四边形矩形点坐标点坐标点点出发秒单位长度速度点出发时点点出发秒单位长度速度点运动点点重合时运动停止．设运动时间秒．
（1）时线段中点坐标
（2）相似时求值
（3）时抛物线两点轴交点抛物线顶点图2示问该抛物线否存点？存求出满足条件坐标存说明理．
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科目：数学
期末复礼包
模块：圆
．垂径定理
1垂直弦直径分条弦分条弦弧
注意：①条件中弦直径
②结中分弧指分弦劣弧优弧
2分弦（直径）直径垂直条弦分弦弧．
垂径定理实质理解：
（1）直径
（2）垂直弦
（3）分弦 知二三
（4）分弦劣弧
（5）分弦优弧．
二． 圆周角定理
1圆等圆中弧等弧圆周角相等圆周角等该弧圆心角半
2直径圆周角直角圆周角弦直径
三．圆接四边形性质
1圆四边形四顶点均圆四边形做圆接四边形
2圆接四边形角互补
3圆接四边形意外角等角（相邻角角）
4三角形外接圆圆心三条边垂直分线交点直角三角形外接圆圆心斜边中点
5三角形切圆圆心三条角分线交点
四．圆位置关系
1点圆位置关系
半径点圆心距离：
（1）点圆：
（2）点圆：
（3）点圆外：
判断点圆位置关系通点圆心距离半径进行较
2直线圆位置关系判定
果半径圆心直线距离
直线相交
直线相切
直线相离
判断直线圆位置关系通圆心直线距离半径进行较
3 切线性质
(1) 切线圆惟公点
(2)圆心切线距离等半径
(3)切线垂直切点半径
4 切线长定理
1 圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
五．圆相关计算
1 弧长计算公式：
2．扇形面积计算公式：
3 圆锥侧面展开扇形关系：扇形半径圆锥侧面母线弧长圆锥底面圆周长圆锥体侧面积公式：．
实战演：
1 图⊙凸边形外侧（圆边相切）作滑动滚动．假设⊙周长凸边形周长半⊙回出发点时身滚动圈数（ ）
A． B． C． D．
2 图面直角坐标系中点圆心半径⊙动点连接点中点连接值_________
3图点⊙半径点图中阴影部分面积等 ．（结果保留）
4 图半圆直径交圆延长线动点中点交半径连．列结：（1）（2）（3）（4）定值．中正确结 ．
5图⊙直径点⊙现翻折交⊙点连接交点．
（1）求证：⊙相切
（2）连接求长．
6图正方形中边中点点正方形动点连接线段绕点逆时针旋转连接．
（1）求证：
（2）三点线连接求线段长．
（3）求线段长值．
模块二：相似
1斜A型斜X型
1）常见斜型三种情形图已知公角∽
斜型 斜型 公边斜型
斜型直线边满足公式：（直线线段积相等）
公边斜A型：△ACD∽△ABC
结：公边方等公角邻边积
2）常见斜型：已知顶角∽．
2射影定理：
公边斜A型中CD⊥AB时：△ACD∽△ABC∽△CBD
：．
口诀： 柱子方等影子积
3线三等角相似模型：
∽ ∽ ∽
（等角锐角） （等角直角） （等角钝角）
条直线3相等角中两角公边角顶点落公边．
实战演：
1图中连接长（ ）
A． B． C． D．
2图正方形中角线交点边动点（点重合）交点连接．列五结：①②③④⑤值中正确结数（ ）
A． B． C． D．
3图中正方形四顶点三角形边已知正方形边长等 ．
4图矩形中边中点绕点时针旋转点应点点应点点作交点连接交点现列结：
① ② ③ ④点外心．
中正确____________
5图正方形边长角线相交点中点连接点作点交点长 ．
6 图点正方形点（）____________
7图矩形中动点满足点两点距离值_____________
8图中边点边交___________
9图中点分．
（1）求证：∽
（2）求长．
10图形定义
条直线截边形果截图形原边形相似称条直线边形特征线．
概念理解
图1中点作条直线交点直线特征线求度数
问题探究
图2矩形中角线作垂足延长线交点点作直线垂足直线矩形特征线？请说明理．
11图中斜边高边点（重合）点作交连接交点．
（1）求证：∽
（2）试含式子表示
（3）（2）条件等腰三角形请直接写出长．
12已知图⊙直径弦弧中点连接延长延长线相交点垂足交点垂足．
求（1）长（2）值．
13图等腰接⊙弦分交点点作行线分交点．
（1）求证：
（2）求值．
14图已知⊙直径⊙点分线交⊙点交⊙切线点点作交延长线点．
（1）求证：⊙切线
（2）求值．
15图⊙直径分交⊙点点直线垂足半径点点分矩形边．
（1）求证：直线⊙切线
（2）求值．
16图中直径⊙交点中点交点．
（1）求弧长
（2）判断直线⊙位置关系说明理
（3）求证：．
17图1点圆心半径圆交轴两点交轴两点点弧动点延长交轴点连接交点．
（1）点中点求长
（2）求值
（3）图2点作交点点弧运动时试问值否保持变变试证明求出值发生变化请说明理．
18图四边形接⊙⊙直径相交点．
（1）求证：
（2）分延长交点点作交延长线点求长．
模块三：反例函数
1．反例函数定义：般形（k常数）函数做反例函数．
2．解析式：变形：
3．图象：图象第第三象限图象第二第四象限
4．增减性：象限yx增减
象限yx增增
5．称性：函数图象关原点中心称．
1图点双曲线点双曲线轴轴四边形行四边形面积（ ）
A． B． C． D．
2图已知点点点反例函数图象作射线射线绕点逆时针方旋转交反例函数图象点点坐标 ．
3已知直线轴轴分交两点反例函数（）图象交两点值（ ）
A． B． C． D．
4图等腰三角形底边轴正半轴点第象限延长交轴负半轴点延长点双曲线（）图象点．面积值_________
5正方形顶点反例函数图象顶点分轴轴正半轴右侧作正方形 顶点反函数图象顶点轴正半轴点坐标_________
模块四：锐角三角函数
1．直角三角形中：
角关系：两锐角互余
边关系：
角边关系：三角函数
2三角函数定义：
边
邻边
正弦(斜)
余弦(邻斜)
正切(邻)
注：
①缩写缩写缩写
②角三角函数值没单位
③三角函数值角属性角什方关直角三角形中角三角函数值外显
④完整符号单独没意义．中前面般省略写．
1图某数学活动组测量学校旗杆高度旗杆正前方米处点出发斜面坡度斜坡前进米达点点处安置测角仪测旗杆顶部仰角量仪器高米．已知面．求旗杆高度．（参考数：．计算结果保留根号）
2台风形成热带海洋强深厚热带气旋发生月市遭受台风然灾害较频繁区．山坡棵水面垂直树场台风树刮倾斜折断倒山坡树顶部恰接触坡面（图示）．已知山坡坡角量树干倾斜角树折断部分坡面成角．
（1）求度数
（2）求棵树折点坡面距离．（结果精确位参考数：）
模块五：二次函数
1抛物线系数abc影响
(1)称轴：左右异ab号称轴y轴左侧ab异号称轴y轴右侧
(2) 抛物线x轴交点数：
图象x轴2交点
图象x轴1交点
图象x轴没交点
ac异号抛物线x轴定两交点分y轴两侧
2．移规律：+左+右．
3二次函数图象称变换
二次函数图象称般三种情况般式顶点式表达
1．关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2．关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3．关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式．
4二次函数方程等式关系
1．二次函数轴交点横坐标元二次方程根．
①时图象x轴交两点中元二次方程两根
②时图象轴交点
③时图象轴没交点
2．直线抛物线交点横坐标方程解
①利数形结合判断方程解数
②利联立方程求解交点坐标
3．直线抛物线交点横坐标方程解．
5二次函数综合
1．三角形面积： 图中PE铅垂高OB水宽
2．求面积相等成倍分关系：
相等：做双轨行线注意两条行线
倍分关系：根截距找应行线交点般中点三等分点
实战演：
1 已知抛物线具性质：该抛物线意点定点距离轴距离始终相等图点坐标抛物线动点周长值（ ）
A． B． C． D．
2 抛物线直线两交点横坐标分代数式值
3面直角坐标系中已知抛物线常数．
（1）抛物线点求值
（2）抛物线点点求取值范围
（3）抛物线右移单位长度新抛物线时新抛物线应函数值求值．
4已知抛物线轴交两点轴交点抛物线称轴直线抛物线顶点点轴点方．
（1）求抛物线解析式顶点坐标
（2）求证：直线外接圆切线
（3）直线方抛物线找点求点坐标
（4）坐标轴找点点顶点三角形相似直接写出点坐标．
5图二次函数图象轴交两点轴交点．点函数图象 轴直线抛物线称轴抛物线顶点．
（1）求值
（2）图①连接线段点关直线称点恰线段求点坐标
（3）图②动点线段点作轴垂线分交点抛物线交点．试问：抛物线否存点面积相等线段长度？果存求出点坐标果存说明理．
6图面直角坐标系中抛物线交轴两点（点点左侧）该抛物线位轴方曲线记作该抛物线位轴方部分轴翻折翻折曲线记作曲线交轴点C连接．
（1）求曲线抛物线相应函数表达式
（2）求外接圆半径
（3）点曲线曲线动点点轴动点点顶点四边形行四边形求点坐标．
7图已知二次函数图象轴交点点轴交点．
（1）求二次函数表达式
（2）连接点线段运动（点重合）点作交点面积时求点坐标
（3）连接（2）结求数量关系．
8 图1四边形矩形点坐标点坐标点点出发秒单位长度速度点出发时点点出发秒单位长度速度点运动点点重合时运动停止．设运动时间秒．
（1）时线段中点坐标
（2）相似时求值
（3）时抛物线两点轴交点抛物线顶点图2示问该抛物线否存点？存求出满足条件坐标存说明理．
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