请双面
题综合训练 第章
21 单层房屋结构简化题21图示模型房顶质量m视刚性杆柱子高h视质量弹性杆抗弯刚度EJ求该房屋作水方振动时固频率
解：两根杆弹性作两根相弹簧联
等效弹簧系数k
中两根杆静形变量材料力学易知
设静衡位置水右正方
q
Fsina
a
F
h
mg
q
F
固频率
22 均质等直杆长 l重量W两根长h相铅垂线悬挂成水位置题22图示试写出杆绕通重心铅垂轴作微摆动振动微分方程求出振动固周期
解：杆微转角q
q＝ha
2F＝mg
动量矩定理：
中
23 求题23图中系统固频率悬臂梁端点刚度分悬臂梁质量忽略计
解：悬臂梁成刚度分k1k3弹簧k1k2串联设总刚度k1ˊk1ˊk3联设总刚度k2ˊk2ˊk4串联设总刚度k
24 求题24图示阶梯轴圆盘系统扭转振动固频率中三轴段截面极惯性矩I圆盘转动惯量轴段转动惯量计材料剪切弹性模量G
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
25 题25图示质量均质圆盘水面作滑动滚动鼓轮绕轴转动惯量I忽略绳子弹性质量轴承间摩擦力求系统固频率
解：系统保守系统量守恒
系统动：
系统势：
总量
量守恒
消系统运动方程：
系统固频率：
26 题26图示刚性曲臂绕支点转动惯量求系统固频率
解：设曲臂时针方转动角广义坐标系统作简谐运动运动方程系统动
取系统衡位置势零点设弹簧静衡位置伸长
（A）
题意知系统势
（B）
（A）式代入（B）式系统势
27 阻尼弹簧质量系统质量10 kg弹簧静伸长1cm振动20循环振幅064 cm减016cm求阻尼系数c
解：振动衰减曲线包络方程：
振动20循环振幅：
代入：
＝
c 69 N s m
O
mg
j
XO
YO
FK
FC
28 长度l质量m均质刚性杆铰接O点弹簧粘性阻尼器支承题28图示写出运动微分方程求界阻尼系数阻尼固频率表达式
解：图（1）系统静衡位置画受力图（2）动量矩定理列系统运动微分方程：
n＝pn时c＝cC
29 题29图示系统中刚杆质量计试写出运动微分方程求界阻尼系数固频率
解：
210 题210图示质量2000 kg重物3 cms速度匀速运动弹簧阻尼器相撞起作振动已知k 48020 Nmc 1960 Nsm问重物碰撞少时间达振幅振幅少
解：系统衡位置坐标原点建立系统运动微分方程
++x 0
特征方程：+r+0 r 0494875i
：x cos4875t+sin4875t
n < pn已知条件
ms通解
中
（代入初始条件t0时x0 0
t0时00006
x0006sin4875t
0006(049) sin4875t+00064875cos4875
0时振幅时t003s t003s时x0005m）
代入初始条件
物体达振幅时
t 030 s时物体振幅
cm
211 实验测系统阻尼固频率简谐激振力作出现位移值激振频率求系统阻尼固频率相阻尼系数数衰减率
解：
三方程联立解：
题综合训练 第二章
21已知系统弹簧刚度k 800 Nm作振动时阻尼振动周期18s相邻两振幅值质量块受激振力N作求系统稳态响应
解：题意求出系统运动微分方程
稳态解
中
x＝1103 cos(3t－51°27¢)
22阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作激振频率rads时系统发生振质量块增加1 kg质量重新试验测振频率rads试求系统原质量弹簧刚度
解：设原系统质量m弹簧常数k
振时
①
②
①②联立解出
m＝2069 kg
k＝74484 Nm
23总质量W电机装弹性梁梁产生静挠度转子重Q重心偏离轴线e梁重阻尼计求转速时电机垂直方稳态强迫振动振幅
解：列出衡方程：
：
求振幅
24题24图示作质量块激振力弹簧支承端运动写出系统运动微分方程求稳态振动
题24图
解：选时物块衡位置坐标原点O建立坐标系右图
（*）改成面样
利复数求解 代换sinwt 设方程（*）解里求特解稳态解
代入方程（*）
中B振幅响应激励间相位差
中
25题25图弹簧质量系统中两弹簧连接处激振力求质量块振幅
题25图
解：设弹簧12伸长分x1x2
（A）
图（1）图（2）受力分析
（B）
（C）
联立解
n 0
26题26图示系统中刚性杆AB质量忽略计B端作激振力写出系统运动微分方程求列情况中质量m作振动振幅值∶(1)系统发生振(2)等固频率半
mg
q
B
P0sinwt
A
XA
YA
FC
FK
题26图
解：图（1）系统静衡位置q系统广义坐标画受力图（2）
I＝ml2
1）系统振
2）
27写出题27图示系统运动微分方程求系统固频率阻尼稳态响应振幅
题27图
解：刚杆转角广义坐标系统动量矩定理
令
28机器质量450kg支承弹簧隔振器弹簧静变形05cm机器偏心重产生偏心激振力N中激励频率g重力加速度求(1)机器转速1200 rmin时传入基力(2)机器振幅
解：设系统衡位置位移
（1）
机器振幅（2）（3）
（4）
（1）（2）（4）代入（2）机器振幅0584 mm
传入基力
29粘性阻尼系统激振力作强迫振动力已知NB 5 cm rads求初1秒14秒激振力作功
210 证明粘性阻尼周期消耗量表示
证明
211证明简谐激振力作结构阻尼系统时振幅达值
证明：设结构阻尼应变幅度B应变改变周期消耗量
材料关常数频率关等效粘性阻尼系数
振幅
中
求导
时振幅B达值
212阻尼系统受题212图示外力作已知求系统响应
题212图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t1 < t < t2时
t < t2时
+ 0
213题213图系统基础阶跃加速度初始条件求质量m相位移
题213图
解：牛顿定律系统微分方程
令
系统激振力响应
中
214题系统中基础阶跃位移求零初始条件绝位移
解：系统振动微分方程
基础阶跃位移0
系统激振力响应
中
215 求零初始条件阻尼系统题215图示激振力响应
题215图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t < t1时
216 零初始条件阻尼系统受题216图外力作求系统响应
题216图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t1 < t < t2时
t < t2时
+ 0
解：
运动微分方程
时
时 算法
时
+0
系统响应
217 零初始条件阻尼系统受题217图半正弦脉作求系统响应
题217图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t > t1时
218求阻尼系统题218图抛物型外力响应已知
题218图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t < t2时
219阻尼系统支承运动加速度题219图示求零初始条件系统相位移
题219图
解：系统运动微分方程
令
图支承运动加速度方程
0 < t < t1时
t > t1时
220 求零初始条件阻尼系统题220图示支承运动响应
题220图
解：系统运动微分方程
图支承运动方程
0 < t < t1时
t < t1时
221 题221图车辆力学模型已知车质量m悬挂弹簧弹簧常数k车水行驶速度v道路前方隆起曲形面∶
(1) 求车通曲形面时振动
(2) 求车通曲形面振动
题221图
解：牛顿定律系统微分方程
曲形面∶
系统激振力
（1）车通曲形面时振动
（2）车通曲形面振动
车通曲形面初位移初速度作振动
公式车通曲形面振动响应
中
积分
题综合训练 第三章
题31图
31 复摆重P质心回转半径质心距转动轴距离a复摆水位置初速释放列写复摆运动微分方程
解系统具度选复摆转角广义坐标原点正方例图31（a）中示复摆意位置外力图题31(a)图
根刚体绕定轴转动微分方程
中
复摆运动微分方程
初始条件
式分离变量积分复摆意位置角速度
时瞬时复摆外力图图（b）质心运动定理
点讨
（1）刚体绕定轴转动微分方程质点运动基定律类运方程解决定轴转动刚体动力学问题通转动轴未知约束力外力矩中出现转动轴取矩直接建立刚体运动微分方程绕定轴转动微分方程般法某情况方程求解未知力图(c)示已知皮带轮角加速度定轴转动微分方程求皮带拉力间关系
（2）刚体运动确定欲求转动轴处未知约束力质心运动定理
式中a质心距转动轴距离
约束力质心切线法线方分解较方便
（3）刚体运动微分方程列出根出初始条件进行积分求刚体意瞬时角速度角位移题中直接定积分求出摆铅垂位置时角速度积分式
铅垂位置处直接应定轴转动微分方程求出位置角加速度时外力矩MO零
（4）题中选例图132(d)示角广义坐标时微分方程
读者试解释方程中号表示什？出应角初始条件然求解问题（2）
32均质半圆柱体质心圆心O1距离e柱体半径质量质心回转半径固定面作滑动滚动题32图示列写该系统运动微分方程
题32图
解：系统具度选广义坐标
半圆柱体意位置动：
瞬心法求：
系统具理想约束重力元功
应动定理微分形式
等式两边
等式两边
微分方程
①
摆动略二阶微量述非线性微分方程线性化系统微摆动微分方程
点讨
（1）题面运动微分方程求解系统受力图运动分析图图（b）示列写微分方程
述方程包含五未知量必须补充运动学关系求解建立质心坐标广义坐标间关系
运动学方程式⑤⑥方程②③④联立消未知约束力式①相系统运动微分方程
理想约束情况未知约束力动定理表达式中出现动定理解决已知力求运动问题更简便直接
（2）题机械守恒定律求解
系统动
选半圆柱体中心O1面零势面系统势
两边时间求导数式①相运动微分方程
33 均质杆AB长质量光滑墙面滑题33图示设水面光滑列写该系统运动微分方程
题33图
解：系统具度选广义坐标系统位置动
瞬心法求质心速度
系统动力图图（a）示重力元功
动定理
系统运动微分方程
点讨
（1）面运动刚体式计算刚体动式中刚体瞬心转动惯量质心瞬心间距离
题中质心速度式计算中
（2）谓广义坐标应包含坐标值（线位移角位移）坐标原点坐标正方广义坐标选择般唯例题中选杆水线夹角广义坐标正方图（b）示（时针）广义坐标选定运动量（位移位移阶二阶导数）根广义坐标确定（包括正方）质心C位移速度正方应图示分
系统动
动力元功
根动定理建立方程
—号说明取正值时负反时针方
（3）题面运动微分方程求解读者试列出方程
34 题34图示均质圆柱体质量半径倾斜角三角块作滑动滚动质量三角块置光滑水面列写该系统运动微分方程
题34图
解：系统具两度选广义坐标系统具理想约束水方外力零系统机械守恒：
水方动量守恒
整理分列写两方程
①
②
式中①②系统微分方程首次积分时间求导系统运动微分方程
点讨
（1）理想约束情况动定理建立系统动动力间关系直接出系统速度（角速度）位移（角位移）间关系时间求导次系统运动微分方程
（2）动定理建立系统运动微分方程步骤：
①分析系统受力理想约束情况动力作功般受力图画动力
②建立广义坐标确定原点正方分析系统运动重点分析速度（角速度）速度（角速度）广义速度表示
③计算系统意位置动动表示广义坐标广义速度函数
④计算力功积分形式动定理计算动力限路程功微分形式动定理计算力元功
⑤应动定理建立系统受力运动间关系
（3）理想约束动力势力情况机械守恒定律建立系统运动微分方程
（4）度系统两度系统动定理出方程必须定理动量定理动量矩定理联合应外方程
题35图
35题35(a)图示刚性建筑模型刚性基础质量m刚性建筑质量M质心C转动惯量IC两刚体O处铰接附刚度系数k1扭转弹簧参数图示设基水运动z(t)试建立系统微幅运动微分方程图中
解：应牛顿矢量力学建立刚体运动微分方程时首先画出刚体受力图题35图(b)(c)示
图(b)建立刚体水运动微分方程
(1)
图(c)：建立刚体铅垂面运动微分方程
(2)
(3)
(4)
中xCyCx均固定坐标系坐标时考虑微运动假说
(5)
(6)
方程(1)(2)消未知力FOx考虑式(5)
(7)
方程(2)(3)(4)消未知力FOyFOx考虑式(5)(6)
(8)
方程(7)(8)系统微幅运动微分方程令xq确定系统位置广义坐标写矩阵形式
方程(7)(8)改写矩阵形式：
(9)
例题出应牛顿矢量力学建立系统运动微分方程定画受力图必然涉未知约束力较繁琐特该例中组合刚体系统更然度系统应拉格朗日方程建立运动微分方程较简单
动静法整体研究象：
M研究象：
忽略高阶量两式化简：
化成矩阵形式：
36 题36图示两端简支均匀梁已知弯曲刚度EI单位长度质量m分布载荷F(y t)试哈密顿原理求运动方程
解：梁挠曲函数w(y t)动
(a)
应变（势）
题36图
(b)
外力功 (c)
式(a)式(b)式(c)代入变分式
(d)
(e)
式(e)进行分部积分运算
(f)
时哈密顿原理求dw 0式(f)变
(f)
t1t2区间虚位移dw零梁边界条件
(h)
运动方程
(i)
两端简支梁显然满足边界条件式(h)
37 应拉格朗日方程导出题37图示系统运动微分方程
题37图
解：取质量偏离衡位置x1x2x3x4广义坐标
(1)
系统动
(2)
系统势
(3)
计算拉格朗日方程中项导数：
项导数代入拉格朗日方程
(4)
写成矩阵形式
(5)
中
质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
38 震研究中建筑物简化支承两弹簧质量m刚体中直线弹簧弹性系数k扭转弹簧弹性系数kT题38图示设IG建筑物相质心G转动惯量试利坐标x（相衡位置直线运动）描述建筑物转动坐标q求出运动方程
（a） （b）
题38图
运动分离体图图（b）示
震中设q微角度
运动方程
果
频率方程
动静法刚体m研究象：
忽略高阶量两式化简：
图中：kxm应反方程应
39 结构隔离机器产生振动机器安装机座机座弹簧支承题39图示试求机座图示面运动方程
题39图
选择坐标q1q2q3坐标已完全描述该系统运动相互独立设机器机座总质量M总质量质心G点惯性矩IG
式中V贮存弹簧中势
：
拉格朗日方程
运动方程
系统具三坐标耦合运动方程假定频率方程求出系统阶固频率
题310图
310 题310图带附质量约束弹簧双摆采质量微水动坐标写出系统运动作力方程
解：利刚度影响系数法求刚度矩阵
设分画出受力图施加二物块力列衡方程
：
：
设分画出受力图施加二物块力列
衡方程
：
：
解
作力方程
311 题311图刚性杆竖直支承移动支座刚杆顶面底面受水弹簧约束质心C受水力扭矩作设刚杆长度横截面积质量密度分lA质心C微位移坐标列出系统运动作力方程
题311图
解：设质心水位移相质心转角广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力力偶列衡方程
设画出受力图施加物体力力偶列衡方程
作力方程
312 题312图两层楼建筑框架示意图假设梁刚性框架中根柱棱柱形层弯曲刚度层采微水运动坐标列出系统运动位移方程
题312图
解：材料力学知悬臂梁端转角时梁等效刚度题312图等效(a)图中
广义坐标图（a）示利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力列衡方程
理求求刚度矩阵
刚度矩阵求逆柔度矩阵
系统位移方程
柔度影响系数法求柔度矩阵图（a）中施加单位力受力时第弹簧变形第二弹簧变形零位移
理求出柔度矩阵
AB两点受力分：
系统运动位移方程：
313 质量m1m2长l1l2重刚杆构成复合摆题313 (a)(b) 图示假设摆铅垂衡位置附作微幅振动试分取j1j2x1x2广义坐标求刚度矩阵
题313图
解：首先求广义坐标j1j2刚度矩阵
令j1 1j2 0题313 (c) 图示时k11k21分代表施加两刚杆力矩静力衡条件
(1)
(2)
式(1)(2)
(3)
314 题314图示系统中刚杆AB计质量质量Mm位铅垂线时系统衡位置试xq广义坐标导出线性系统运动微分方程
解：令质量m坐标
题314图
质量m速度
(1)
系统动
(2)
式(1)代入式(2)整理
(3)
考虑微幅振动令cosq≈1动T写齐二次函数
题315图
题315图
315 质量长均质杆端铰接半径质量均质圆轮中心圆轮水面作纯滚动题315 (a) 图示试列写系统运动微分方程
解：系统具两度选图示铅垂线夹角圆轮中心位移广义坐标
分析圆轮受力图图（b）示列写圆轮运动微分方程：
①
②
③
运动学方程
④
分析杆列写运动微分方程图（c）
⑤
⑥
题315图
⑦
运动学方程
⑧
⑨
述9方程包含等9未知量述9方程消未知约束力系统运动微分方程
①③④⑤⑧
(a)
①③④⑥⑦⑨
(b)
(a)式代入(b)式化简
(c)
式(a)(c)系统运动微分方程
点讨
运面运动微分方程求解刚体动力学问题时需分分析刚体运动受力列写刚体运动微分方程补充运动学方程未知量数目应方程数目相等联立求解列写方程求结果
题中方法求解刚体系统动力学问题时系统拆开成单刚体方程中出现许未知约束力消未知力增加许繁冗演算种方法列写刚体系统微分方程唯方法果求刚体间相互约束力中某方程应
题 四
题41图
41 题41图示均匀刚性杆质量求系统频率方程
解：设杆转角物块位移x广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力偶力衡条件
设画出受力图施加物体力偶力衡条件
作力方程
频率方程
题42图
42 题42图示系统中两根长度l均匀刚性杆质量 求系统刚度矩阵柔度矩阵求出时系统固频率
解：图取广义坐标分画受力图动量矩定理
整理
刚度矩阵柔度矩阵分
系统质量矩阵
频率方程代入已知条件
整理求
解：
做增广矩阵
时
中
题43图
43 题43图示滑轮半径R绕中心转动惯量计轴承处摩擦忽略绕滑轮绳子弹性质量求系统固频率相应振型
解：图选x1x2x3广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
0
设画出受力图施加物体衡条件
刚度矩阵质量矩阵分
频率方程
展开解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
题44图
44 三单摆两弹簧联结题44图示令试微角坐标作力方程方法求系统固频率振型
解：图选广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
刚度矩阵质量矩阵分
频率方程
展开
解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
解：质量矩阵M
逆时针方旋转弧度1保持动 受力图：
Fkh
逆时针旋转弧度1保持动受力分析入图：
逆时针旋转弧度1保持动受力分析入图：
该系统刚度矩阵：
特征矩阵：
令0
频率次带入伴矩阵第列令阶振型
题45图
45 题45图示简支梁抗弯刚度EJ身质量计微动坐标位移方程方法求出系统固频率振型假设
解：图取广义坐标柔度影响系数法求柔度矩阵
处施加单位力余质量块处受力材料力学知识三集中质量块处静挠度
理柔度矩阵列柔度矩阵
系统位移方程
系统特征矩阵频率方程
中展开频率方程
解出
特征矩阵伴矩阵第列分代入特征值振型
46 题46图示三弹簧连接四质量块水方动假设试作力方程计算系统固频率振型
题46图
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
频率方程
频率方程
解出
解出频率
特征矩阵
特征矩阵伴矩阵第列
代入 化
代入 化
代入 化
代入 化
系统振型矩阵
阶振型图示：
题47图
47 题47图表示座带刚性梁弹性立柱三层楼建筑假设微水动坐标位移方程方法求出系统固频率正振型矩阵
解：材料力学知悬臂梁端转角时梁等效刚度题47图等效(a)图中
广义坐标图（a）示利柔度影响系数法求柔度矩阵图（a）中施加单位力余受力时第弹簧变形第二第三弹簧变形零坐标位移
理求出余列柔度矩阵
系统质量矩阵
系统位移方程
系统特征矩阵频率方程
中展开频率方程
解出
解出固频率
特征矩阵伴矩阵第列分代入特征值振型
质量振型
正振型第i列正振型振型
解：质量矩阵
时：
：
时：
设
0
题48图
48 题48图示系统中质量铅垂方运动假设试求系统固频率振型矩阵
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
频率方程
解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
代入系统第阶振型
满足关系：
展开二式取
满足关系：
展开二式联立取
振型矩阵
49 试计算题44系统初始条件响应
解：题44中已求系统振型矩阵质量矩阵分
质量振型
正振型第i列正振型振型
初始条件
0
正坐标响应
展开
中
410 试计算题46系统初始条件 响应
解：题46中已求系统振型矩阵质量矩阵分
质量振型
正振型第i列正振型振型
正坐标初始条件
0
正坐标响应中频率
终响应展开
解：6—6中频率振型矩阵
质量矩阵求出质量矩阵
正振刑矩阵
响应
中
411 试确定题47中三层楼建筑框架作第三层楼水方静载荷P忽然引起响应
解：题47中已求系统正振型振型质量矩阵分
作第三层楼水方静载荷P忽然时相受初始条件激励
正坐标初始条件
正坐标响应
展开
中
412假定水右作斜坡力施加题44中中间摆质量试确定系统响应
解：题313中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
方程（228）斜坡力卷积积分第i正坐标响应：
正坐标表示位移矢量
展开
中
413 试确定题46系统作质量质量阶跃力响应
解：题46中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
展开
中
414 题47三层楼建筑中假定面水运动加速度试求层楼板相面稳态水强迫振动
解：题47中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
展开
中（i 123）
题415图
415 质量滑块两刚度分弹簧连接基础滑块质量摆长l单摆假设基础作水方简谐振动中试求∶(1) 单摆摆角（2）系统振频率
解：图示选择广义坐标
利质量影响系数法求质量矩阵
设画惯性力衡条件
设画惯性力衡条件
利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物块力列衡方程
设画出受力图施加物块力列衡方程
作力方程
令稳态响应代入式
展开
代入稳态运动时
频率方程
展开解出频率
振频率
题416图
416 题416图示系统中质量铅垂方运动假设质量4m作铅垂力试求∶质量强迫振动振幅系统振频率
解：图选择广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
系统质量矩阵
频率方程
解
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
质量振型
正振型第i列正振型振型
正坐标表示微分方程
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
中（i 123）
展开
解：质量矩阵：
刚度矩阵：
频率方程：
解
列出运动方程
设稳态响应：
原方程化：
：
：
令
：
题417图
417 题417图阻尼系统中左端质量块受阶跃力P作初始条件零求系统响应
解：（1）写出阻尼受迫振动方程
（2）求固频率正振型
频率方程
解
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
质量振型
正振型第i列正振型振型
（3）正坐标表示微分方程
（4）引入振型阻尼
建立阻尼矩阵求阻尼矩阵
（5）引入振型阻尼正坐标表示微分方程
题意施加作力
作力变换正坐标：
（6）正坐标表示响应
中i 12
（7）物理坐标表示响应
展开
题
题45图
51 瑞利法求题45系统基频
解：材料力学公式知：
柔度矩阵：
质量矩阵：
设振型：
基频：
题47图
52 瑞利法求题47系统基频
解：系统质量矩阵柔度矩阵
设
设
53 里兹法求题45系统第二阶固频率
题45图
解已知条件系统质量矩阵柔度矩阵分：
设振型
（改成）
代入
>解：
解：已知条件求出系统质量矩阵柔度矩阵分
设振型
代入式
求：
54 邓克莱法求题45系统基频
题45图
解：材料力学挠度公式
邓克莱公式
题47图
55 邓克莱法求题47系统基频
解：材料力学知
理：
邓克莱法知：
解：
56 矩阵迭代法计算题45系统固频率振型
题45图
解：材料力学知识柔度矩阵
动力矩阵：
初始假设矩阵进行迭代
应第阶振型：
面求第二阶频率振型：
6次迭代
面求第二阶频率振型：
1次迭代
题47图
57 矩阵迭代法计算题47系统固频率振型
解：系统质量矩阵柔度矩阵
取假设振动
应第阶振型
面计算第二阶振型频率：
含清矩阵动力矩阵
假设初始振型8次迭代
面计算第3次振型频率：
样方法三次迭代
结果：
题48图
58 矩阵迭代法计算题48系统固频率振型
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
动力矩阵D
设初始假设振型
进行迭代 次迭代
应第阶振型
含清矩阵动力矩阵
选取初始假设振型
第二次迭代
应第二阶振型
6m
动力矩阵
假设
第二次迭代
第三阶振型
综写出振型
固频率
59 子空间迭代法计算题45系统第二阶固频率振型
题45图
解：系统质量矩阵刚度矩阵柔度矩阵
现取假设振型
动力矩阵迭代
分化
求
李兹法特征植问题
中述方程非零解条件频率方程解
重复述程进行第二次迭代
化
结束迭代求系统前二阶固频率相应振型
510 传递矩阵法求题510图示系统固频率振型
题510图
511 题511图示悬臂梁质量计抗弯刚度EJ传递矩阵法求梁横弯曲振动固频率振型
题511图
512 传递矩阵法求题45系统固频率振型
题45图
题 六
61 等直杆等速v右运动求列情况中杆振动∶
(1) 杆左端突然固定
(2) 杆右端突然固定
(3) 杆中点突然固定
解(1)杆左端突然固定
杆初始条件：
题知
：进：
全部改成：
62 求列情况中轴常力突然移时两端固定等直杆振动∶
(1) 常力F作杆中点题62(a) 图示
(2) 常力F作杆三分点处题62(b) 图示
(3) 两相等方相反常力F作杆四分点四分三点处题图62(c)示
题62图
解：
（1） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
（2） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
（3） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
题63图
63 题63图示端固定端等直杆受均匀分布力作求分布力突然移时杆响应
解：t0时应变
杆初始条件
端端固定知杆频率振型
振型代入式化
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
杆左端固定端右端端
边界条件
固频率振型
i12……
杆x处应变
初始条件
利三角函数正交性
64 假定轴常力F突然作题62等直杆中点处初始时刻杆处静止衡状态求杆响应
解：
题意知边界条件
解出固频率
振型代入化条件
正振型
集中力分布力
式稳态响应
（i123…）
65 假定题63等直杆作轴均匀分布干扰力求该杆稳态强迫振动
解：
杆端固定固频率振型
振型代入化条件
正振型
第i正方程
正坐标稳态响应
杆稳态响应振动
中
66 根两端等直杆中央作轴力中常数假设起初杆处静止求杆响应
解：
题意知边界条件
边界条件
集中力非分布力
中央作力
式求稳态响应
时
时
67 根等直圆轴两端连接着两相圆盘题67图示已知轴长l轴圆盘轴中心线转动惯量分求系统扭转振动频率方程
解：（）
设
代入运动微分方程
式解表示
边界条件
x0时
xl时
U（0）U( l )
题67图
中
68 题68图中等直圆轴端固定端扭转弹簧相连已知轴抗扭刚度质量密度长度l弹簧扭转刚度求系统扭转频率方程
题68图
（）
设
代入运动微分方程：
式解表示 （a）
边界条件 处 （b）
（b）中第式代入（a）： （c）
（b）中第二式代入（a）：
中
69 写出题69图示系统振动频率方程写出振型正交性表达式
题69图
解：边界条件：
条件（2）
求频率方程
振型关质量正交性
振型关刚度正交性
解：⑴ 该题中杆振动方程：
<1>
中
边界条件中U（0）0
代入U（x）中C0
U（x）代入<1>中 <1>知：
边界知：
EA
：
：
⑵ 已知方程
杆积分
：
解正交
610 试求具列边界条件等截面梁横弯曲振动频率方程振型∶
(1) 两端固定
(2) 端固定端简支
(3) 端简支端
611 求列情况中常力F突然移时等截面简支梁振动∶
(1) 常力F作x a处题图611(a)示
(2) 两相等方相反常力F作梁四分点四分三点处题图611(b)示
题611图
612 假定题简支梁承受强度均匀分布力求分布力突然移时梁响应
613 简支梁t 0时两端点外梁点横速度v求梁响应
614 常力F突然加简支梁中点求梁响应
615 简支梁距左端处作两横干扰力求梁稳态响应
616 简支梁左半跨作强度分布力求梁中央处振幅
617 试求简支梁正弦分布横干扰力作稳态响应
618 简支梁受分布干扰力作求梁稳态响应
619 简支梁受分布干扰力作求梁稳态响应
620 简支梁x l端支座横运动求梁稳态响应
621 题621图示等截面悬臂梁端弹性支撑弹簧刚度k求频率方程振型正交性条件
622 试求两端附集中质量m等截面梁频率方程振型正交性条件
题621图 题623图
623 题623图示简支梁附两相等集中质mm值等全梁质量半试瑞利法求系统基频里兹法求基频第二阶固频率
624 题624图示根矩形截面杆端固定端长度l厚度b横截面积A直线规律变化∶中端截面积试里兹法求振动第第二阶固频率假设基频函数
题625图
题624图
625 两端固定等截面梁中央集中质量m题625图示设振型函数瑞利法求梁横振动基频
题626图
626 题626图示等截面悬臂梁(1) 选基础函数里兹法求第第二阶固频率精确值较(2) 分取作振型函数瑞利法求梁基频(1)结果较
— END —
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题综合训练 第章
21 单层房屋结构简化题21图示模型房顶质量m视刚性杆柱子高h视质量弹性杆抗弯刚度EJ求该房屋作水方振动时固频率
解：两根杆弹性作两根相弹簧联
等效弹簧系数k
中两根杆静形变量材料力学易知
设静衡位置水右正方
q
Fsina
a
F
h
mg
q
F
固频率
22 均质等直杆长 l重量W两根长h相铅垂线悬挂成水位置题22图示试写出杆绕通重心铅垂轴作微摆动振动微分方程求出振动固周期
解：杆微转角q
q＝ha
2F＝mg
动量矩定理：
中
23 求题23图中系统固频率悬臂梁端点刚度分悬臂梁质量忽略计
解：悬臂梁成刚度分k1k3弹簧k1k2串联设总刚度k1ˊk1ˊk3联设总刚度k2ˊk2ˊk4串联设总刚度k
24 求题24图示阶梯轴圆盘系统扭转振动固频率中三轴段截面极惯性矩I圆盘转动惯量轴段转动惯量计材料剪切弹性模量G
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
25 题25图示质量均质圆盘水面作滑动滚动鼓轮绕轴转动惯量I忽略绳子弹性质量轴承间摩擦力求系统固频率
解：系统保守系统量守恒
系统动：
系统势：
总量
量守恒
消系统运动方程：
系统固频率：
26 题26图示刚性曲臂绕支点转动惯量求系统固频率
解：设曲臂时针方转动角广义坐标系统作简谐运动运动方程系统动
取系统衡位置势零点设弹簧静衡位置伸长
（A）
题意知系统势
（B）
（A）式代入（B）式系统势
27 阻尼弹簧质量系统质量10 kg弹簧静伸长1cm振动20循环振幅064 cm减016cm求阻尼系数c
解：振动衰减曲线包络方程：
振动20循环振幅：
代入：
＝
c 69 N s m
O
mg
j
XO
YO
FK
FC
28 长度l质量m均质刚性杆铰接O点弹簧粘性阻尼器支承题28图示写出运动微分方程求界阻尼系数阻尼固频率表达式
解：图（1）系统静衡位置画受力图（2）动量矩定理列系统运动微分方程：
n＝pn时c＝cC
29 题29图示系统中刚杆质量计试写出运动微分方程求界阻尼系数固频率
解：
210 题210图示质量2000 kg重物3 cms速度匀速运动弹簧阻尼器相撞起作振动已知k 48020 Nmc 1960 Nsm问重物碰撞少时间达振幅振幅少
解：系统衡位置坐标原点建立系统运动微分方程
++x 0
特征方程：+r+0 r 0494875i
：x cos4875t+sin4875t
n < pn已知条件
ms通解
中
（代入初始条件t0时x0 0
t0时00006
x0006sin4875t
0006(049) sin4875t+00064875cos4875
0时振幅时t003s t003s时x0005m）
代入初始条件
物体达振幅时
t 030 s时物体振幅
cm
211 实验测系统阻尼固频率简谐激振力作出现位移值激振频率求系统阻尼固频率相阻尼系数数衰减率
解：
三方程联立解：
题综合训练 第二章
21已知系统弹簧刚度k 800 Nm作振动时阻尼振动周期18s相邻两振幅值质量块受激振力N作求系统稳态响应
解：题意求出系统运动微分方程
稳态解
中
x＝1103 cos(3t－51°27¢)
22阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作激振频率rads时系统发生振质量块增加1 kg质量重新试验测振频率rads试求系统原质量弹簧刚度
解：设原系统质量m弹簧常数k
振时
①
②
①②联立解出
m＝2069 kg
k＝74484 Nm
23总质量W电机装弹性梁梁产生静挠度转子重Q重心偏离轴线e梁重阻尼计求转速时电机垂直方稳态强迫振动振幅
解：列出衡方程：
：
求振幅
24题24图示作质量块激振力弹簧支承端运动写出系统运动微分方程求稳态振动
题24图
解：选时物块衡位置坐标原点O建立坐标系右图
（*）改成面样
利复数求解 代换sinwt 设方程（*）解里求特解稳态解
代入方程（*）
中B振幅响应激励间相位差
中
25题25图弹簧质量系统中两弹簧连接处激振力求质量块振幅
题25图
解：设弹簧12伸长分x1x2
（A）
图（1）图（2）受力分析
（B）
（C）
联立解
n 0
26题26图示系统中刚性杆AB质量忽略计B端作激振力写出系统运动微分方程求列情况中质量m作振动振幅值∶(1)系统发生振(2)等固频率半
mg
q
B
P0sinwt
A
XA
YA
FC
FK
题26图
解：图（1）系统静衡位置q系统广义坐标画受力图（2）
I＝ml2
1）系统振
2）
27写出题27图示系统运动微分方程求系统固频率阻尼稳态响应振幅
题27图
解：刚杆转角广义坐标系统动量矩定理
令
28机器质量450kg支承弹簧隔振器弹簧静变形05cm机器偏心重产生偏心激振力N中激励频率g重力加速度求(1)机器转速1200 rmin时传入基力(2)机器振幅
解：设系统衡位置位移
（1）
机器振幅（2）（3）
（4）
（1）（2）（4）代入（2）机器振幅0584 mm
传入基力
29粘性阻尼系统激振力作强迫振动力已知NB 5 cm rads求初1秒14秒激振力作功
210 证明粘性阻尼周期消耗量表示
证明
211证明简谐激振力作结构阻尼系统时振幅达值
证明：设结构阻尼应变幅度B应变改变周期消耗量
材料关常数频率关等效粘性阻尼系数
振幅
中
求导
时振幅B达值
212阻尼系统受题212图示外力作已知求系统响应
题212图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t1 < t < t2时
t < t2时
+ 0
213题213图系统基础阶跃加速度初始条件求质量m相位移
题213图
解：牛顿定律系统微分方程
令
系统激振力响应
中
214题系统中基础阶跃位移求零初始条件绝位移
解：系统振动微分方程
基础阶跃位移0
系统激振力响应
中
215 求零初始条件阻尼系统题215图示激振力响应
题215图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t < t1时
216 零初始条件阻尼系统受题216图外力作求系统响应
题216图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t1 < t < t2时
t < t2时
+ 0
解：
运动微分方程
时
时 算法
时
+0
系统响应
217 零初始条件阻尼系统受题217图半正弦脉作求系统响应
题217图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t > t1时
218求阻尼系统题218图抛物型外力响应已知
题218图
解：图激振力方程
0 < t < t1时
t < t2时
219阻尼系统支承运动加速度题219图示求零初始条件系统相位移
题219图
解：系统运动微分方程
令
图支承运动加速度方程
0 < t < t1时
t > t1时
220 求零初始条件阻尼系统题220图示支承运动响应
题220图
解：系统运动微分方程
图支承运动方程
0 < t < t1时
t < t1时
221 题221图车辆力学模型已知车质量m悬挂弹簧弹簧常数k车水行驶速度v道路前方隆起曲形面∶
(1) 求车通曲形面时振动
(2) 求车通曲形面振动
题221图
解：牛顿定律系统微分方程
曲形面∶
系统激振力
（1）车通曲形面时振动
（2）车通曲形面振动
车通曲形面初位移初速度作振动
公式车通曲形面振动响应
中
积分
题综合训练 第三章
题31图
31 复摆重P质心回转半径质心距转动轴距离a复摆水位置初速释放列写复摆运动微分方程
解系统具度选复摆转角广义坐标原点正方例图31（a）中示复摆意位置外力图题31(a)图
根刚体绕定轴转动微分方程
中
复摆运动微分方程
初始条件
式分离变量积分复摆意位置角速度
时瞬时复摆外力图图（b）质心运动定理
点讨
（1）刚体绕定轴转动微分方程质点运动基定律类运方程解决定轴转动刚体动力学问题通转动轴未知约束力外力矩中出现转动轴取矩直接建立刚体运动微分方程绕定轴转动微分方程般法某情况方程求解未知力图(c)示已知皮带轮角加速度定轴转动微分方程求皮带拉力间关系
（2）刚体运动确定欲求转动轴处未知约束力质心运动定理
式中a质心距转动轴距离
约束力质心切线法线方分解较方便
（3）刚体运动微分方程列出根出初始条件进行积分求刚体意瞬时角速度角位移题中直接定积分求出摆铅垂位置时角速度积分式
铅垂位置处直接应定轴转动微分方程求出位置角加速度时外力矩MO零
（4）题中选例图132(d)示角广义坐标时微分方程
读者试解释方程中号表示什？出应角初始条件然求解问题（2）
32均质半圆柱体质心圆心O1距离e柱体半径质量质心回转半径固定面作滑动滚动题32图示列写该系统运动微分方程
题32图
解：系统具度选广义坐标
半圆柱体意位置动：
瞬心法求：
系统具理想约束重力元功
应动定理微分形式
等式两边
等式两边
微分方程
①
摆动略二阶微量述非线性微分方程线性化系统微摆动微分方程
点讨
（1）题面运动微分方程求解系统受力图运动分析图图（b）示列写微分方程
述方程包含五未知量必须补充运动学关系求解建立质心坐标广义坐标间关系
运动学方程式⑤⑥方程②③④联立消未知约束力式①相系统运动微分方程
理想约束情况未知约束力动定理表达式中出现动定理解决已知力求运动问题更简便直接
（2）题机械守恒定律求解
系统动
选半圆柱体中心O1面零势面系统势
两边时间求导数式①相运动微分方程
33 均质杆AB长质量光滑墙面滑题33图示设水面光滑列写该系统运动微分方程
题33图
解：系统具度选广义坐标系统位置动
瞬心法求质心速度
系统动力图图（a）示重力元功
动定理
系统运动微分方程
点讨
（1）面运动刚体式计算刚体动式中刚体瞬心转动惯量质心瞬心间距离
题中质心速度式计算中
（2）谓广义坐标应包含坐标值（线位移角位移）坐标原点坐标正方广义坐标选择般唯例题中选杆水线夹角广义坐标正方图（b）示（时针）广义坐标选定运动量（位移位移阶二阶导数）根广义坐标确定（包括正方）质心C位移速度正方应图示分
系统动
动力元功
根动定理建立方程
—号说明取正值时负反时针方
（3）题面运动微分方程求解读者试列出方程
34 题34图示均质圆柱体质量半径倾斜角三角块作滑动滚动质量三角块置光滑水面列写该系统运动微分方程
题34图
解：系统具两度选广义坐标系统具理想约束水方外力零系统机械守恒：
水方动量守恒
整理分列写两方程
①
②
式中①②系统微分方程首次积分时间求导系统运动微分方程
点讨
（1）理想约束情况动定理建立系统动动力间关系直接出系统速度（角速度）位移（角位移）间关系时间求导次系统运动微分方程
（2）动定理建立系统运动微分方程步骤：
①分析系统受力理想约束情况动力作功般受力图画动力
②建立广义坐标确定原点正方分析系统运动重点分析速度（角速度）速度（角速度）广义速度表示
③计算系统意位置动动表示广义坐标广义速度函数
④计算力功积分形式动定理计算动力限路程功微分形式动定理计算力元功
⑤应动定理建立系统受力运动间关系
（3）理想约束动力势力情况机械守恒定律建立系统运动微分方程
（4）度系统两度系统动定理出方程必须定理动量定理动量矩定理联合应外方程
题35图
35题35(a)图示刚性建筑模型刚性基础质量m刚性建筑质量M质心C转动惯量IC两刚体O处铰接附刚度系数k1扭转弹簧参数图示设基水运动z(t)试建立系统微幅运动微分方程图中
解：应牛顿矢量力学建立刚体运动微分方程时首先画出刚体受力图题35图(b)(c)示
图(b)建立刚体水运动微分方程
(1)
图(c)：建立刚体铅垂面运动微分方程
(2)
(3)
(4)
中xCyCx均固定坐标系坐标时考虑微运动假说
(5)
(6)
方程(1)(2)消未知力FOx考虑式(5)
(7)
方程(2)(3)(4)消未知力FOyFOx考虑式(5)(6)
(8)
方程(7)(8)系统微幅运动微分方程令xq确定系统位置广义坐标写矩阵形式
方程(7)(8)改写矩阵形式：
(9)
例题出应牛顿矢量力学建立系统运动微分方程定画受力图必然涉未知约束力较繁琐特该例中组合刚体系统更然度系统应拉格朗日方程建立运动微分方程较简单
动静法整体研究象：
M研究象：
忽略高阶量两式化简：
化成矩阵形式：
36 题36图示两端简支均匀梁已知弯曲刚度EI单位长度质量m分布载荷F(y t)试哈密顿原理求运动方程
解：梁挠曲函数w(y t)动
(a)
应变（势）
题36图
(b)
外力功 (c)
式(a)式(b)式(c)代入变分式
(d)
(e)
式(e)进行分部积分运算
(f)
时哈密顿原理求dw 0式(f)变
(f)
t1t2区间虚位移dw零梁边界条件
(h)
运动方程
(i)
两端简支梁显然满足边界条件式(h)
37 应拉格朗日方程导出题37图示系统运动微分方程
题37图
解：取质量偏离衡位置x1x2x3x4广义坐标
(1)
系统动
(2)
系统势
(3)
计算拉格朗日方程中项导数：
项导数代入拉格朗日方程
(4)
写成矩阵形式
(5)
中
质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
38 震研究中建筑物简化支承两弹簧质量m刚体中直线弹簧弹性系数k扭转弹簧弹性系数kT题38图示设IG建筑物相质心G转动惯量试利坐标x（相衡位置直线运动）描述建筑物转动坐标q求出运动方程
（a） （b）
题38图
运动分离体图图（b）示
震中设q微角度
运动方程
果
频率方程
动静法刚体m研究象：
忽略高阶量两式化简：
图中：kxm应反方程应
39 结构隔离机器产生振动机器安装机座机座弹簧支承题39图示试求机座图示面运动方程
题39图
选择坐标q1q2q3坐标已完全描述该系统运动相互独立设机器机座总质量M总质量质心G点惯性矩IG
式中V贮存弹簧中势
：
拉格朗日方程
运动方程
系统具三坐标耦合运动方程假定频率方程求出系统阶固频率
题310图
310 题310图带附质量约束弹簧双摆采质量微水动坐标写出系统运动作力方程
解：利刚度影响系数法求刚度矩阵
设分画出受力图施加二物块力列衡方程
：
：
设分画出受力图施加二物块力列
衡方程
：
：
解
作力方程
311 题311图刚性杆竖直支承移动支座刚杆顶面底面受水弹簧约束质心C受水力扭矩作设刚杆长度横截面积质量密度分lA质心C微位移坐标列出系统运动作力方程
题311图
解：设质心水位移相质心转角广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力力偶列衡方程
设画出受力图施加物体力力偶列衡方程
作力方程
312 题312图两层楼建筑框架示意图假设梁刚性框架中根柱棱柱形层弯曲刚度层采微水运动坐标列出系统运动位移方程
题312图
解：材料力学知悬臂梁端转角时梁等效刚度题312图等效(a)图中
广义坐标图（a）示利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力列衡方程
理求求刚度矩阵
刚度矩阵求逆柔度矩阵
系统位移方程
柔度影响系数法求柔度矩阵图（a）中施加单位力受力时第弹簧变形第二弹簧变形零位移
理求出柔度矩阵
AB两点受力分：
系统运动位移方程：
313 质量m1m2长l1l2重刚杆构成复合摆题313 (a)(b) 图示假设摆铅垂衡位置附作微幅振动试分取j1j2x1x2广义坐标求刚度矩阵
题313图
解：首先求广义坐标j1j2刚度矩阵
令j1 1j2 0题313 (c) 图示时k11k21分代表施加两刚杆力矩静力衡条件
(1)
(2)
式(1)(2)
(3)
314 题314图示系统中刚杆AB计质量质量Mm位铅垂线时系统衡位置试xq广义坐标导出线性系统运动微分方程
解：令质量m坐标
题314图
质量m速度
(1)
系统动
(2)
式(1)代入式(2)整理
(3)
考虑微幅振动令cosq≈1动T写齐二次函数
题315图
题315图
315 质量长均质杆端铰接半径质量均质圆轮中心圆轮水面作纯滚动题315 (a) 图示试列写系统运动微分方程
解：系统具两度选图示铅垂线夹角圆轮中心位移广义坐标
分析圆轮受力图图（b）示列写圆轮运动微分方程：
①
②
③
运动学方程
④
分析杆列写运动微分方程图（c）
⑤
⑥
题315图
⑦
运动学方程
⑧
⑨
述9方程包含等9未知量述9方程消未知约束力系统运动微分方程
①③④⑤⑧
(a)
①③④⑥⑦⑨
(b)
(a)式代入(b)式化简
(c)
式(a)(c)系统运动微分方程
点讨
运面运动微分方程求解刚体动力学问题时需分分析刚体运动受力列写刚体运动微分方程补充运动学方程未知量数目应方程数目相等联立求解列写方程求结果
题中方法求解刚体系统动力学问题时系统拆开成单刚体方程中出现许未知约束力消未知力增加许繁冗演算种方法列写刚体系统微分方程唯方法果求刚体间相互约束力中某方程应
题 四
题41图
41 题41图示均匀刚性杆质量求系统频率方程
解：设杆转角物块位移x广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体力偶力衡条件
设画出受力图施加物体力偶力衡条件
作力方程
频率方程
题42图
42 题42图示系统中两根长度l均匀刚性杆质量 求系统刚度矩阵柔度矩阵求出时系统固频率
解：图取广义坐标分画受力图动量矩定理
整理
刚度矩阵柔度矩阵分
系统质量矩阵
频率方程代入已知条件
整理求
解：
做增广矩阵
时
中
题43图
43 题43图示滑轮半径R绕中心转动惯量计轴承处摩擦忽略绕滑轮绳子弹性质量求系统固频率相应振型
解：图选x1x2x3广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
0
设画出受力图施加物体衡条件
刚度矩阵质量矩阵分
频率方程
展开解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
题44图
44 三单摆两弹簧联结题44图示令试微角坐标作力方程方法求系统固频率振型
解：图选广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
设画出受力图施加物体衡条件
刚度矩阵质量矩阵分
频率方程
展开
解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
解：质量矩阵M
逆时针方旋转弧度1保持动 受力图：
Fkh
逆时针旋转弧度1保持动受力分析入图：
逆时针旋转弧度1保持动受力分析入图：
该系统刚度矩阵：
特征矩阵：
令0
频率次带入伴矩阵第列令阶振型
题45图
45 题45图示简支梁抗弯刚度EJ身质量计微动坐标位移方程方法求出系统固频率振型假设
解：图取广义坐标柔度影响系数法求柔度矩阵
处施加单位力余质量块处受力材料力学知识三集中质量块处静挠度
理柔度矩阵列柔度矩阵
系统位移方程
系统特征矩阵频率方程
中展开频率方程
解出
特征矩阵伴矩阵第列分代入特征值振型
46 题46图示三弹簧连接四质量块水方动假设试作力方程计算系统固频率振型
题46图
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
频率方程
频率方程
解出
解出频率
特征矩阵
特征矩阵伴矩阵第列
代入 化
代入 化
代入 化
代入 化
系统振型矩阵
阶振型图示：
题47图
47 题47图表示座带刚性梁弹性立柱三层楼建筑假设微水动坐标位移方程方法求出系统固频率正振型矩阵
解：材料力学知悬臂梁端转角时梁等效刚度题47图等效(a)图中
广义坐标图（a）示利柔度影响系数法求柔度矩阵图（a）中施加单位力余受力时第弹簧变形第二第三弹簧变形零坐标位移
理求出余列柔度矩阵
系统质量矩阵
系统位移方程
系统特征矩阵频率方程
中展开频率方程
解出
解出固频率
特征矩阵伴矩阵第列分代入特征值振型
质量振型
正振型第i列正振型振型
解：质量矩阵
时：
：
时：
设
0
题48图
48 题48图示系统中质量铅垂方运动假设试求系统固频率振型矩阵
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
频率方程
解出频率
特征矩阵伴矩阵第列
代入系统第阶振型
满足关系：
展开二式取
满足关系：
展开二式联立取
振型矩阵
49 试计算题44系统初始条件响应
解：题44中已求系统振型矩阵质量矩阵分
质量振型
正振型第i列正振型振型
初始条件
0
正坐标响应
展开
中
410 试计算题46系统初始条件 响应
解：题46中已求系统振型矩阵质量矩阵分
质量振型
正振型第i列正振型振型
正坐标初始条件
0
正坐标响应中频率
终响应展开
解：6—6中频率振型矩阵
质量矩阵求出质量矩阵
正振刑矩阵
响应
中
411 试确定题47中三层楼建筑框架作第三层楼水方静载荷P忽然引起响应
解：题47中已求系统正振型振型质量矩阵分
作第三层楼水方静载荷P忽然时相受初始条件激励
正坐标初始条件
正坐标响应
展开
中
412假定水右作斜坡力施加题44中中间摆质量试确定系统响应
解：题313中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
方程（228）斜坡力卷积积分第i正坐标响应：
正坐标表示位移矢量
展开
中
413 试确定题46系统作质量质量阶跃力响应
解：题46中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
展开
中
414 题47三层楼建筑中假定面水运动加速度试求层楼板相面稳态水强迫振动
解：题47中已求系统正振型振型质量矩阵分
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
展开
中（i 123）
题415图
415 质量滑块两刚度分弹簧连接基础滑块质量摆长l单摆假设基础作水方简谐振动中试求∶(1) 单摆摆角（2）系统振频率
解：图示选择广义坐标
利质量影响系数法求质量矩阵
设画惯性力衡条件
设画惯性力衡条件
利刚度影响系数法求刚度矩阵
设画出受力图施加物块力列衡方程
设画出受力图施加物块力列衡方程
作力方程
令稳态响应代入式
展开
代入稳态运动时
频率方程
展开解出频率
振频率
题416图
416 题416图示系统中质量铅垂方运动假设质量4m作铅垂力试求∶质量强迫振动振幅系统振频率
解：图选择广义坐标利刚度影响系数法求刚度矩阵
系统质量矩阵
频率方程
解
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
质量振型
正振型第i列正振型振型
正坐标表示微分方程
题意施加作力
作力变换正坐标：
正坐标表示位移矢量
中（i 123）
展开
解：质量矩阵：
刚度矩阵：
频率方程：
解
列出运动方程
设稳态响应：
原方程化：
：
：
令
：
题417图
417 题417图阻尼系统中左端质量块受阶跃力P作初始条件零求系统响应
解：（1）写出阻尼受迫振动方程
（2）求固频率正振型
频率方程
解
特征矩阵伴矩阵第列
分代入频率值系统振型矩阵
质量振型
正振型第i列正振型振型
（3）正坐标表示微分方程
（4）引入振型阻尼
建立阻尼矩阵求阻尼矩阵
（5）引入振型阻尼正坐标表示微分方程
题意施加作力
作力变换正坐标：
（6）正坐标表示响应
中i 12
（7）物理坐标表示响应
展开
题
题45图
51 瑞利法求题45系统基频
解：材料力学公式知：
柔度矩阵：
质量矩阵：
设振型：
基频：
题47图
52 瑞利法求题47系统基频
解：系统质量矩阵柔度矩阵
设
设
53 里兹法求题45系统第二阶固频率
题45图
解已知条件系统质量矩阵柔度矩阵分：
设振型
（改成）
代入
>解：
解：已知条件求出系统质量矩阵柔度矩阵分
设振型
代入式
求：
54 邓克莱法求题45系统基频
题45图
解：材料力学挠度公式
邓克莱公式
题47图
55 邓克莱法求题47系统基频
解：材料力学知
理：
邓克莱法知：
解：
56 矩阵迭代法计算题45系统固频率振型
题45图
解：材料力学知识柔度矩阵
动力矩阵：
初始假设矩阵进行迭代
应第阶振型：
面求第二阶频率振型：
6次迭代
面求第二阶频率振型：
1次迭代
题47图
57 矩阵迭代法计算题47系统固频率振型
解：系统质量矩阵柔度矩阵
取假设振动
应第阶振型
面计算第二阶振型频率：
含清矩阵动力矩阵
假设初始振型8次迭代
面计算第3次振型频率：
样方法三次迭代
结果：
题48图
58 矩阵迭代法计算题48系统固频率振型
解：图选择广义坐标求质量矩阵利刚度影响系数法求刚度矩阵
动力矩阵D
设初始假设振型
进行迭代 次迭代
应第阶振型
含清矩阵动力矩阵
选取初始假设振型
第二次迭代
应第二阶振型
6m
动力矩阵
假设
第二次迭代
第三阶振型
综写出振型
固频率
59 子空间迭代法计算题45系统第二阶固频率振型
题45图
解：系统质量矩阵刚度矩阵柔度矩阵
现取假设振型
动力矩阵迭代
分化
求
李兹法特征植问题
中述方程非零解条件频率方程解
重复述程进行第二次迭代
化
结束迭代求系统前二阶固频率相应振型
510 传递矩阵法求题510图示系统固频率振型
题510图
511 题511图示悬臂梁质量计抗弯刚度EJ传递矩阵法求梁横弯曲振动固频率振型
题511图
512 传递矩阵法求题45系统固频率振型
题45图
题 六
61 等直杆等速v右运动求列情况中杆振动∶
(1) 杆左端突然固定
(2) 杆右端突然固定
(3) 杆中点突然固定
解(1)杆左端突然固定
杆初始条件：
题知
：进：
全部改成：
62 求列情况中轴常力突然移时两端固定等直杆振动∶
(1) 常力F作杆中点题62(a) 图示
(2) 常力F作杆三分点处题62(b) 图示
(3) 两相等方相反常力F作杆四分点四分三点处题图62(c)示
题62图
解：
（1） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
（2） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
（3） 根题意 时杆应变
杆初始条件
干两端固定解固频率振型
振型代入化条件
正振型
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
题63图
63 题63图示端固定端等直杆受均匀分布力作求分布力突然移时杆响应
解：t0时应变
杆初始条件
端端固定知杆频率振型
振型代入式化
正坐标表示初始条件
正坐标表示初始条件响应
杆振动
杆左端固定端右端端
边界条件
固频率振型
i12……
杆x处应变
初始条件
利三角函数正交性
64 假定轴常力F突然作题62等直杆中点处初始时刻杆处静止衡状态求杆响应
解：
题意知边界条件
解出固频率
振型代入化条件
正振型
集中力分布力
式稳态响应
（i123…）
65 假定题63等直杆作轴均匀分布干扰力求该杆稳态强迫振动
解：
杆端固定固频率振型
振型代入化条件
正振型
第i正方程
正坐标稳态响应
杆稳态响应振动
中
66 根两端等直杆中央作轴力中常数假设起初杆处静止求杆响应
解：
题意知边界条件
边界条件
集中力非分布力
中央作力
式求稳态响应
时
时
67 根等直圆轴两端连接着两相圆盘题67图示已知轴长l轴圆盘轴中心线转动惯量分求系统扭转振动频率方程
解：（）
设
代入运动微分方程
式解表示
边界条件
x0时
xl时
U（0）U( l )
题67图
中
68 题68图中等直圆轴端固定端扭转弹簧相连已知轴抗扭刚度质量密度长度l弹簧扭转刚度求系统扭转频率方程
题68图
（）
设
代入运动微分方程：
式解表示 （a）
边界条件 处 （b）
（b）中第式代入（a）： （c）
（b）中第二式代入（a）：
中
69 写出题69图示系统振动频率方程写出振型正交性表达式
题69图
解：边界条件：
条件（2）
求频率方程
振型关质量正交性
振型关刚度正交性
解：⑴ 该题中杆振动方程：
<1>
中
边界条件中U（0）0
代入U（x）中C0
U（x）代入<1>中 <1>知：
边界知：
EA
：
：
⑵ 已知方程
杆积分
：
解正交
610 试求具列边界条件等截面梁横弯曲振动频率方程振型∶
(1) 两端固定
(2) 端固定端简支
(3) 端简支端
611 求列情况中常力F突然移时等截面简支梁振动∶
(1) 常力F作x a处题图611(a)示
(2) 两相等方相反常力F作梁四分点四分三点处题图611(b)示
题611图
612 假定题简支梁承受强度均匀分布力求分布力突然移时梁响应
613 简支梁t 0时两端点外梁点横速度v求梁响应
614 常力F突然加简支梁中点求梁响应
615 简支梁距左端处作两横干扰力求梁稳态响应
616 简支梁左半跨作强度分布力求梁中央处振幅
617 试求简支梁正弦分布横干扰力作稳态响应
618 简支梁受分布干扰力作求梁稳态响应
619 简支梁受分布干扰力作求梁稳态响应
620 简支梁x l端支座横运动求梁稳态响应
621 题621图示等截面悬臂梁端弹性支撑弹簧刚度k求频率方程振型正交性条件
622 试求两端附集中质量m等截面梁频率方程振型正交性条件
题621图 题623图
623 题623图示简支梁附两相等集中质mm值等全梁质量半试瑞利法求系统基频里兹法求基频第二阶固频率
624 题624图示根矩形截面杆端固定端长度l厚度b横截面积A直线规律变化∶中端截面积试里兹法求振动第第二阶固频率假设基频函数
题625图
题624图
625 两端固定等截面梁中央集中质量m题625图示设振型函数瑞利法求梁横振动基频
题626图
626 题626图示等截面悬臂梁(1) 选基础函数里兹法求第第二阶固频率精确值较(2) 分取作振型函数瑞利法求梁基频(1)结果较
— END —
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