正弦定理的证明微课教学设计


    《正弦定理的证明》微课教学设计 一、教学内容分析 “正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教B版)第一章第一节的主要内容,它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有别的证法吗?这些都是教材没有回答,而确实又是学生所关心的问题。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时,其主要任务是引入并证明正弦定理,在课型上属于“定理教学课”。因此,做好“正弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且通过对定理的探究,能使学生体验到数学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 二、学生学习情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容,在必修4中,又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容,对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架,这不仅是学习正弦定理的认知基础,同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一,《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程,并能运用它解决一些实际问题,可以使学生进一步了解数学在实际中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣,也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。 三、设计思想 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵循这个原则而进行设计。 四、教学目标 1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。 2、过程与方法:让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明,由特殊到一般得到正弦定理等方法,体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境。     五、教学重点与难点 重点:正弦定理的发现和推导 难点:正弦定理的推导 教学准备:制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。     六、教学过程设计 (一)设置情境     教师:展示情景图如图1,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为,船在港口C卸货后继续向港口A航行,由于船员的疏忽没有测得CA距离,如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离?   学生:思考提出测量角A,C。 教师:若已知测得, ,如何计算A、B两地距离?                                                   师生共同回忆解直角三角形,①直角三角形中,已知两边,可以求第三边及两个角。②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。     教师引导:是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算AB呢?     学生:(思考交流)得出过作于(如图2),把分为两个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。 解:过作于 在中, , 在中, 教师继续引导:在上述问题中,若,,能否用、、表示呢? 学生:发现,                 教师:引导 ,在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什么? 学生:发现即然有,那么也有,。 教师:引导  ,,,我们习惯写成对称形式,,,因此我们可以发现,是否任意三角形都有这种边角关系呢? 设计意图:兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一半。因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养学生创造性思维能力。     (二)数学实验,验证猜想 教师:给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验是否成立,举出特例。 (1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为,,,对应的边长a:b:c为1:1:1,对应角的正弦值分别为,,,引导学生考察,,的关系。(学生回答它们相等) (2)、在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为,,,对应的边长a:b:c为1:1:,对应角的正弦值分别为,,1;(学生回答它们相等)       (3)、在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为,,,对应的边长a:b:c为1::2,对应角的正弦值分别为,,1。(学生回答它们相等)(图3) 教师:对于呢?  学生:思考交流得出,如图4,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,                                           则有,,又, 则 从而在直角三角形ABC中,       教师:那么任意三角形是否有呢? 借助于电脑与多媒体,利用《几何画板》软件,演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。 结论:对于任意三角形都成立。 设计意图:通过《几何画板》软件的演示,使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。      (三)证明猜想,得出定理 师生活动: 教师:我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何用数学的思想方法证明呢?前面探索过程对我们有没有启发?学生分组讨论,每组派一个代表总结。(以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述)     学生:思考得出 (1)在中,成立,如前面检验。 (2)在锐角三角形中,如图5设,,                                 作:,垂足为 在中, 在中, 同理,在中,             (3)在钝角三角形中,如图6设为钝角,,,,作交的延长线于                                在中,         在中,             同锐角三角形证明可知                             教师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即  教师:还有其它证明方法吗?  学生:思考得出,分析图形(图7),对于任意△ABC,由初中所学过的面积公式可以得出:, 而由图中可以看出:,, = = 等式中均除以后可得, 即。 教师边分析边引导学生,同时板书证明过程。               在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高,三角形的面积:,能否得到新面积公式 学生: 得到三角形面积公式 设计意图:经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想,力图让学生体验数学的学习过程。 (四)利用定理,解决引例 师生活动: 教师:现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生:马上得出     在中,     (五)了解解三角形概念 设计意图:让学生了解解三角形概念,形成知识的完整性。 教师:一般地,把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素,已知,三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图:利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知识,新的定理,解决问题更方便,更简单,激发学生不断探索新知识的欲望。 (六)运用定理,解决例题 师生活动: 教师:引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。     学生:讨论正弦定理可以解决的问题类型: (1)如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和另两边,如;   (2)如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另两角,如。   师生:例1的处理,先让学生思考回答解题思路,教师板书,让学生思考主要是突出主体,教师板书的目的是规范解题步骤。 例1:在中,已知,,,解三角形。 分析“已知三角形中两角及一边,求其他元素”,第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C,再由正弦定理求其他两边。 例2:在中,已知,,,解三角形。 例2的处理,目的是让学生掌握分类讨论的数学思想,可先让中等学生讲解解题思路,其他同学补充交流。 学生:反馈练习(教科书第5页的练习) 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。 设计意图:自己解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生体验到成功的愉悦感,变“要我学”为“我要学”,“我要研究”的主动学习。 (七)尝试小结: 教师:提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生:思考交流,归纳总结。 师生:让学生尝试小结,教师及时补充,要体现: (1)正弦定理的内容()及其证明思想方法。 (2)正弦定理的应用范围:①已知三角形中两角及一边,求其他元素;②已知三角形中两边和其中一边所对的角,求其他元素。 (3)分类讨论的数学思想。 设计意图:通过学生的总结,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 (八)作业设计 作业:第10页[习题1.1]A组第1、2题。 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    贡献于2021-05-03

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