高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章4.4数学归纳法同步练习(含答案)


    2021年高中数学教A版(新教材)选择性必修第二册§44 数学纳法
    选择题
    1.数学纳法证明1+++…+1)时第步应验证等式(  )
    A.1+<2      B.1++<2
    C.1++<3 D.1+++<3
    2.数学纳法证明1-+-+…+-=++…+n=k+1时左端应n=k基础加(  )
    A. B.-
    C.- D.+
    3.正整数n关命题n=2时命题成立n=k时命题成立推n=k+2时命题成立(  )
    A.该命题n>2然数n成立
    B.该命题正偶数成立
    C.该命题时成立k取值关
    D.答案
    4.利数学纳法证明1++++…+A.1项  B.k项   C.2k-1项   D.2k项
    5.等式(1)n=1时<1+1等式成立.
    (2)假设n=k(k∈N*)时等式<==(k+1)+1
    ∴n=k+1时等式成立述证法(  )
    A.程全部正确
    B.n=1验正确
    C.纳假设正确
    D.n=kn=k+1推理正确
    6.某命题然数关果n=k(k∈N*)时该命题成立推n=k+1时该命题成立现已知n=5时该命题成立推(  )
    A.n=6时该命题成立
    B.n=6时该命题成立
    C.n=4时该命题成立
    D.n=4时该命题成立
    7.(选题)数学纳法证明等式+++…+>程中列说法正确(  )
    A.等式成立第然数n0=1
    B.等式成立第然数n0=2
    C.n=k推导n=k+1时等式左边增加式子
    D.n=k推导n=k+1时等式左边增加式子
    二填空题
    8.已知n正偶数数学纳法证明1-+-+…+=2时已知假设n=k(k≥2)偶数时命题成立需纳假设证________.
    9.数学纳法证明n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)9整利纳假设证n=k+1时情况需展开________.
    10.已知f (n)=1+++…+(n∈N*)数学纳法证明f (2n)>时f (2k+1)-f (2k)=________
    11.已知n正偶数数学纳法证明1-+-+…+-=
    2时第步验证________已假设n=k(k≥2k偶数)时等式成立需纳假设证n=________时等式成立.
    12.记凸k边形角f (k)凸k+1边形角f (k+1)=f (k)+________
    三解答题
    13.(1)数学纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)
    (2)数学纳法证明:1+++…+<2(n∈N*).
    14.已知正项数列{an}中a1=1an+1=1+(n∈N*).数学纳法证明:an15.否存abc等式+++…+=切n∈N*成立?存说明理存数学纳法证明结.

    参考答案
    选择题
    1.答案:B 
    解析:n∈N*n>1第步应验证n=2情况1++<2选B]
    2. 答案:C 
    解析:n=k时左端=1-+-+…+-
    n=k+1时左端=1-+-+…+-+-
    左端应n=k基础加-]
    3. 答案:B 
    解析:n=k时命题成立推出n=k+2时命题成立n=2时命题成立正偶数成立.]
    4. 答案:D 
    解析:数学纳法证明等式1++++…+假设n=k时等式成立左边=1+++…+
    n=k+1时左边=1+++…++++…+
    ∴n=k递推n=k+1时等式左边增加:++…+
    (2k+1-1)-2k+1=2k项选D]
    5. 答案:D
    解析:n=k+1时没应n=k时假设n=kn=k+1推理正确.
    选D
    6. 答案:C 
    解析:n=4时该命题成立条件推n=5命题成立.
    逆否命题:n=5成立n=4时该命题成立.
    7. 答案:BC 
    解析:n=1时>成立n=2时+>成立A错误B正确
    n=k时左边代数式++…+
    n=k+1时左边代数式++…+
    n=k+1时左边代数式减n=k时左边代数式结果
    -=等式左边增加项C正确D错误选BC
    二填空题
    8.答案:n=k+2时等式成立 
    解析:n正偶数已知假设n=k(k≥2)偶数偶数n=k+2答案:n=k+2时等式成立.
    9答案:(k+3)3 
    解析:假设n=k时原式9整k3+(k+1)3+(k+2)39整
    n=k+1时(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3
    面纳假设需(k+3)3展开出现k3.答案(k+3)3
    10 ++…+ 
    解析:假设n=k时f (2k)=1+++…+
    n=k+1时f (2k+1)=1+++…+++…+
    f (2k+1)-f (2k)=1+++…+++…+-(1+++…+)
    =++…+
    11 n=2时左边=1-=右边=2×=等式成立 k+2 
    解析:1-+-+…+-=2n正偶数数学纳法证明.
    纳基础n正偶数基础n=2n=2时左边=1-=右边=2×=等式成立
    纳假设n=k(k≥2k偶数)时1-+-+…+-=2成立正偶数纳推广应数n=k+2时等式成立.
    12 答案:π 
    解析:凸k边形变凸k+1边形时增加三角形图形f (k+1)=f (k)+π
    三解答题
    13.证明:(1)①n=1时左边=1+2+3+4=10
    右边==10左边=右边.
    ②假设n=k(k∈N*)时等式成立1+2+3+…+(k+3)=
    n=k+1时1+2+3+…+(k+3)+(k+4)
    =+(k+4)=n=k+1时等式成立.
    综1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).
    (2)①n=1时左边=1右边=2左边<右边n=1时等式成立.
    ②假设n=k(k∈N*)时等式成立1+++…+<2
    n=k+1时左边=1+++…++<2+
    4k2+4k<4k2+4k+12 <2k+1
    2+==<=2
    n=k+1时等式成立.
    综①②知1+++…+<2
    14.证明:①n=1时a2=1+=a1②假设n=k(k∈N*)时akak+2-ak+1=1+-ak+1=1+-
    =-=>0
    n=k+1时等式成立.
    综述等式an15.解:取n=123解:a=b=c=
    面数学纳法证明+++…+==
    证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1).
    ①n=1时左边=1右边=1∴等式成立
    ②假设n=k时等式成立12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立
    n=k+1时等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
    =[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)·(2k+3)
    ∴n=k+1时等式成立.
    数学纳法综合①②知n∈N*时等式成立
    存a=b=c=已知等式成立

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