高中数学等式恒成立问题
元二次方程根判式
关含参数元二次等式问题等式转化成二次函数二次方程通根判式数形结合思想问题利解决
基结总结
例1 x∈R等式恒成立求实数m取值范围
例2：已知等式Ｒ恒成立求参数取值范围．
解：Ｒ恒成立须满足：
（1） （2）
解（1） 解（2）＝２
∴参数取值范围－２＜２．
练1 已知函数定义域R求实数取值范围
2x∈R等式恒成立求实数m取值范围
3等式解集R求m范围
4取切实数时恒意义求实数取值范围．
例3．设时恒成立求实数取值范围
O
x
yx
1
关键点拨：恒成立构造新函数解题关键利二次函数图象性质进行分类讨问题圆满解决二次等式中取值范围限制利根分布解决问题
解：时恒成立
时显然成立
时图恒成立充条件：
解综实数取值范围
例4 已知求等式意恒成立a取值范围
解法1：数形结合
结合函数草图知时恒成立
a取值范围
解法2：转化值研究
1 值
2
综：a取值范围
注：1 处参a进行分类讨类中求a范围均合题意类中求a范围求集
2 恒成立
解法3：分离参数
设
注：1 运法终结求函数值参数a变量x分离求值时避免分类讨问题相简化
2 题改类似述三种方法完成
仿解法1：
读者仿解法2解法3类似完成应注意等号问题处合题
例5 已知：求恒成立a取值范围
解法1：数形结合结合草图：
：
解法2：转化值研究
1
2 矛盾
3 矛盾综：a取值范围
解法3：分离参数
1 时等式显然成立时a意实数
2 时单调递减
3 时（01）单调递减
综：a范围：
注：题中x取值正负便参数a直接分离采取先x分类分离参数a类中求a范围求交集例1方法三中类中求a范围求集应引起注意
例6 已知：求意恒成立x取值范围
解：惯视x元a辅元题中a意变化时等式恒成立a视元
变更元法：设图直线时恒成立
x范围：
总处理等式恒成立问题首先应分清谁元（变量定区间意变化该变量元相函数变量）然数形结合转化值研究易参变量分离先分离参变量求值需分类讨应注意分类标准结（分清求交集求集）
二 利函数值（值域）
（1）意x成立
（2）意x成立简单计作：出类问题实质类求函数值问题
例1．已知函数意恒成立求实数取值范围
解：意恒成立恒成立
考虑等式分母需时恒成立
抛物线值
例2 已知恒成立求a取值范围
解析 题化求函数f(x)闭区间值问题意恒成立
a取值范围
点评 含参数函数闭区间函数值恒等等常数问题求函数值方法利恒成立恒成立题零点分布策略求解
设函数定义增函数果等式意恒成立求实数取值范围
分析：题利函数单调性原等式问题转化意恒成立转化二次函数区间值求解
解：增函数意恒成立
意恒成立
意恒成立令原问题 易求
三变更元法
解含参等式时时换角度变参数元意想效果问题更迅速解决般说已知存范围量视变量求范围量视参数
次函数性质 次函数：
例题1：已知等式意成立求取值范围
解：改变元办法m视变元原等式化
令关m次函数
题意知解∴x取值范围
关键点拨：利函数思想变换元通直线方程性质求解评注：类问题常思维定势学生易成关等式讨计算繁琐出错者中途夭折转换思路求x参数变量令问题转化求次函数（常数函数）值恒负问题求解参数应满足条件样问题轻易举解决
例2．意等式恒成立求取值范围
分析：题中等式关元二次等式成元问题转化次等式恒成立问题
解：令原问题转化恒成立（）
时合题意时应解
取值范围
例3 已知意a∈[11]函数f(x)ax2+(2a4)x+3a>0 恒成立求x取值范围
解析 题常规思路分a0时f(x)次函数a≠0时二次函数两种情况讨容易求x取值范围总x成变量a成常参数通变量转换a成变量x成常参数转化次函数问题问题变容易求解令g(a)(x2+2x1)a4x+3a∈[11]时g(a)>0恒成立
点评 含两参数已知参数取值范围通变量转换构造该参数变量函数利函数图象求参数取值范围
例4 满足|p|2实数p求等式x2+px+1>2p+x恒成立x取值范围
分析：等式中出现两变量：xP出p范围求x相应范围直接x等式正面出发直接求解较难逆思维 p作变量x成参变量述问题转化[22]关p次函数函数值0恒成立求参变量x范围问题
解：原等式化 (x1)p+x22x+1>0令 f(p) (x1)p+x22x+1原问题等价f(p)>0p∈[22]恒成立：o
y
2
2
x
y
2
2 x
方法：∴x<1x>3
方法二：解：∴x<1x>3
例5 已知恒成立求a取值范围
解析 题考虑f(x)零点分布情况进行分类讨分零点零点区间左侧零点区间右侧三种情况Δ≤0a取值范围[72]
点评 含参数函数闭区间函数值恒等零问题考虑函数零点分布情况求应闭区间函数图象x轴方x轴行
设
（1）时恒成立
恒成立
（2）时恒成立
恒成立
例6 时等式恒成立求取值范围
解：设问题转化时值非负
（1） ：时 存
（2） ：时
（3） ：时
综：
四分离参数法
类问题求参变量分离出单独放等式侧侧成新函数问题转化成新函数值问题：
取值范围数恒成立
取值范围数恒成立
例1．已知函数意恒成立求实数取值范围
时恒成立时恒成立易求二次函数值
例2．已知函数时恒成立求实数取值范围
解： 问题转化恒成立令
知减函数
∴取值范围
注：分离参数方明确思路清晰问题利解决
例3 已知函数区间图象位函数f(x)方求k取值范围
解析 题等价等式恒成立问题恒成立式子中两变量通变量分离化求函数值问题 恒成立恒成立令设x1时 k取值范围k>2
变式 题中改余条件变变量分离法解
题意恒成立恒成立令设
k取值范围k>
点评 题通变量分离等式恒成立问题转化求函数值问题题构造函数求值学生说难度通换元巧妙转化勾函数求值 变式题中构造函数通换元转化二次函数型求值题零点分布策略函数值策略求解
五数形结合法
果等式中涉函数代数式应图象图形较易画出时通图象图形位置关系建立等式求参数范围
例1 已知函数等式恒成立实数取值范围
解：面直角坐标系中分作出函数图象等式恒成立函数图象应总函数图象方时取值范围
x
y
o
1
2
y1(x1)2
y2logax
例2 x(12)时等式(x1)2分析：等号两边分设成两函数左边二次函数右边数函数采数形结合助图象位置关系通特指求解a取值范围
解：设T1T2T1图象右图示抛物线切x(12) <恒成立T1图象定T2图象方显然a>1必须需
loga2>1a>11例3 等式恒成立求实数取值范围
解：题意知：恒成立
坐标系分作出函数
观察两函数图象时函数图象显然函数图象方成立
时图知图象必须点点方 综：
注：解决等式问题常结合函数图象根等式中量特点选择适两函数利函数图位置关系确定参数范围利数形结合解决等式问题关键构造函数准确做出函数图象：等式时恒成立求取值范围等式超越等式求解时般数形结合法设然坐标系准确做出两函数图象助图象观察便求解
练1：已知等式恒成立求实数取值范围
变式：已知等式恒成立求实数取值范围
练2：已知等式恒成立求实数取值范围
变式1：已知等式恒成立求实数取值范围
变式2：已知等式恒成立求实数取值范围
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元二次方程根判式
关含参数元二次等式问题等式转化成二次函数二次方程通根判式数形结合思想问题利解决
基结总结
例1 x∈R等式恒成立求实数m取值范围
例2：已知等式Ｒ恒成立求参数取值范围．
解：Ｒ恒成立须满足：
（1） （2）
解（1） 解（2）＝２
∴参数取值范围－２＜２．
练1 已知函数定义域R求实数取值范围
2x∈R等式恒成立求实数m取值范围
3等式解集R求m范围
4取切实数时恒意义求实数取值范围．
例3．设时恒成立求实数取值范围
O
x
yx
1
关键点拨：恒成立构造新函数解题关键利二次函数图象性质进行分类讨问题圆满解决二次等式中取值范围限制利根分布解决问题
解：时恒成立
时显然成立
时图恒成立充条件：
解综实数取值范围
例4 已知求等式意恒成立a取值范围
解法1：数形结合
结合函数草图知时恒成立
a取值范围
解法2：转化值研究
1 值
2
综：a取值范围
注：1 处参a进行分类讨类中求a范围均合题意类中求a范围求集
2 恒成立
解法3：分离参数
设
注：1 运法终结求函数值参数a变量x分离求值时避免分类讨问题相简化
2 题改类似述三种方法完成
仿解法1：
读者仿解法2解法3类似完成应注意等号问题处合题
例5 已知：求恒成立a取值范围
解法1：数形结合结合草图：
：
解法2：转化值研究
1
2 矛盾
3 矛盾综：a取值范围
解法3：分离参数
1 时等式显然成立时a意实数
2 时单调递减
3 时（01）单调递减
综：a范围：
注：题中x取值正负便参数a直接分离采取先x分类分离参数a类中求a范围求交集例1方法三中类中求a范围求集应引起注意
例6 已知：求意恒成立x取值范围
解：惯视x元a辅元题中a意变化时等式恒成立a视元
变更元法：设图直线时恒成立
x范围：
总处理等式恒成立问题首先应分清谁元（变量定区间意变化该变量元相函数变量）然数形结合转化值研究易参变量分离先分离参变量求值需分类讨应注意分类标准结（分清求交集求集）
二 利函数值（值域）
（1）意x成立
（2）意x成立简单计作：出类问题实质类求函数值问题
例1．已知函数意恒成立求实数取值范围
解：意恒成立恒成立
考虑等式分母需时恒成立
抛物线值
例2 已知恒成立求a取值范围
解析 题化求函数f(x)闭区间值问题意恒成立
a取值范围
点评 含参数函数闭区间函数值恒等等常数问题求函数值方法利恒成立恒成立题零点分布策略求解
设函数定义增函数果等式意恒成立求实数取值范围
分析：题利函数单调性原等式问题转化意恒成立转化二次函数区间值求解
解：增函数意恒成立
意恒成立
意恒成立令原问题 易求
三变更元法
解含参等式时时换角度变参数元意想效果问题更迅速解决般说已知存范围量视变量求范围量视参数
次函数性质 次函数：
例题1：已知等式意成立求取值范围
解：改变元办法m视变元原等式化
令关m次函数
题意知解∴x取值范围
关键点拨：利函数思想变换元通直线方程性质求解评注：类问题常思维定势学生易成关等式讨计算繁琐出错者中途夭折转换思路求x参数变量令问题转化求次函数（常数函数）值恒负问题求解参数应满足条件样问题轻易举解决
例2．意等式恒成立求取值范围
分析：题中等式关元二次等式成元问题转化次等式恒成立问题
解：令原问题转化恒成立（）
时合题意时应解
取值范围
例3 已知意a∈[11]函数f(x)ax2+(2a4)x+3a>0 恒成立求x取值范围
解析 题常规思路分a0时f(x)次函数a≠0时二次函数两种情况讨容易求x取值范围总x成变量a成常参数通变量转换a成变量x成常参数转化次函数问题问题变容易求解令g(a)(x2+2x1)a4x+3a∈[11]时g(a)>0恒成立
点评 含两参数已知参数取值范围通变量转换构造该参数变量函数利函数图象求参数取值范围
例4 满足|p|2实数p求等式x2+px+1>2p+x恒成立x取值范围
分析：等式中出现两变量：xP出p范围求x相应范围直接x等式正面出发直接求解较难逆思维 p作变量x成参变量述问题转化[22]关p次函数函数值0恒成立求参变量x范围问题
解：原等式化 (x1)p+x22x+1>0令 f(p) (x1)p+x22x+1原问题等价f(p)>0p∈[22]恒成立：o
y
2
2
x
y
2
2 x
方法：∴x<1x>3
方法二：解：∴x<1x>3
例5 已知恒成立求a取值范围
解析 题考虑f(x)零点分布情况进行分类讨分零点零点区间左侧零点区间右侧三种情况Δ≤0a取值范围[72]
点评 含参数函数闭区间函数值恒等零问题考虑函数零点分布情况求应闭区间函数图象x轴方x轴行
设
（1）时恒成立
恒成立
（2）时恒成立
恒成立
例6 时等式恒成立求取值范围
解：设问题转化时值非负
（1） ：时 存
（2） ：时
（3） ：时
综：
四分离参数法
类问题求参变量分离出单独放等式侧侧成新函数问题转化成新函数值问题：
取值范围数恒成立
取值范围数恒成立
例1．已知函数意恒成立求实数取值范围
时恒成立时恒成立易求二次函数值
例2．已知函数时恒成立求实数取值范围
解： 问题转化恒成立令
知减函数
∴取值范围
注：分离参数方明确思路清晰问题利解决
例3 已知函数区间图象位函数f(x)方求k取值范围
解析 题等价等式恒成立问题恒成立式子中两变量通变量分离化求函数值问题 恒成立恒成立令设x1时 k取值范围k>2
变式 题中改余条件变变量分离法解
题意恒成立恒成立令设
k取值范围k>
点评 题通变量分离等式恒成立问题转化求函数值问题题构造函数求值学生说难度通换元巧妙转化勾函数求值 变式题中构造函数通换元转化二次函数型求值题零点分布策略函数值策略求解
五数形结合法
果等式中涉函数代数式应图象图形较易画出时通图象图形位置关系建立等式求参数范围
例1 已知函数等式恒成立实数取值范围
解：面直角坐标系中分作出函数图象等式恒成立函数图象应总函数图象方时取值范围
x
y
o
1
2
y1(x1)2
y2logax
例2 x(12)时等式(x1)2
解：设T1T2T1图象右图示抛物线切x(12) <恒成立T1图象定T2图象方显然a>1必须需
loga2>1a>11
解：题意知：恒成立
坐标系分作出函数
观察两函数图象时函数图象显然函数图象方成立
时图知图象必须点点方 综：
注：解决等式问题常结合函数图象根等式中量特点选择适两函数利函数图位置关系确定参数范围利数形结合解决等式问题关键构造函数准确做出函数图象：等式时恒成立求取值范围等式超越等式求解时般数形结合法设然坐标系准确做出两函数图象助图象观察便求解
练1：已知等式恒成立求实数取值范围
变式：已知等式恒成立求实数取值范围
练2：已知等式恒成立求实数取值范围
变式1：已知等式恒成立求实数取值范围
变式2：已知等式恒成立求实数取值范围
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