中考数学二轮专题汇编:二次函数的图象及其性质


    2021中考数学 二轮专题汇编:二次函数的图象及其性质 一、选择题 1. 抛物线y=-3x2+4的顶点坐标是(  ) A.(0,4) B.(0,-4) C.(-3,4) D.(3,4) 2. 在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2 的图象可能是(  ) 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是(  ) A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0 4. (2020·衢州)二次函数的图象平移后经过点(2,0),则下列平移方法正确的是(  ) A.向左平移2个单位,向下平移2个单位 B.向左平移1个单位,向上平移2个单位 C.向右平移1个单位,向下平移1个单位 D.向右平移2个单位,向上平移1个单位 5. (2019•雅安)在平面直角坐标系中,对于二次函数,下列说法中错误的是 A.的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线 C.当时,的值随值的增大而增大,当时,的值随值的增大而减小 D.它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到 6. (2020·镇江)点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图像上,则 的最大值等于( ) A. B.4 C. D. 7. 已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是(  ) 8. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=1,有下列结论:①abc<0;②b<c;③3a+c=0;④当y>0时,-1<x<3. 其中正确的结论有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9. 将抛物线y=3(x+1)2-2向上平移1个单位,再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是    .  10. 若方程(x-m)(x-n)=3(m,n为常数,且m<n)的两实数根分别为a、b(a<b),则m、n、a、b的大小关系为______________. 11. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是    .  12. 某学习小组为了探究函数y=x2-|x|的图象与性质,根据以往学习函数的经验,列表确定了该函数图象上一些点的坐标,表格中的m=________. x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … 2 0.75 0 -0.25 0 -0.25 0 m 2 … 13. 顶点坐标是(2,0),且与抛物线y=-3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________. 14. 已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,则c的值为________. 15. 已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为________. 16. 已知点(x1,-7)和点(x2,-7)(x1≠x2)均在抛物线y=ax2上,则当x=x1+x2时,y的值是________. 三、解答题 17. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式. (1)图象经过点A(1,0),B(0,-3),对称轴是直线x=2; (2)图象的顶点坐标是(-2,3),且过点(1,-3); (3)如图,图象经过A,B,C三点. 18. 画出函数y=-x2的图象,并回答问题. 解:(1)列表(请完成下面的填空): x … -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 … y … -0.25 0 -0.25 -1 -4 … (2)描点、连线; (3)由函数图象可以看出,当x<0时,y随着x的增大而________.(填“增大”或“减小”) 19. 已知抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3). (1)求抛物线对应的函数解析式; (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标; (3)当x取何值时,y随x的增大而增大? 20. 已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点. (1)求c的取值范围; (2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由. 21. 抛物线y=ax2+bx+c向右平移2个单位长度得到抛物线y=a(x-3)2-1,且平移后的抛物线经过点A(2,1). (1)求平移后的抛物线的解析式; (2)设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M,求△BPM的面积. 22. 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,-6),C(6,0). (1)求抛物线的解析式. (2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P,使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 23. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C. (1)求这条抛物线的解析式. (2)如图,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标. 24. 已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B. (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形. ①求点D的坐标; ②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若,求四边形BDEP的面积. 2021中考数学 二轮专题汇编:二次函数的图象及其性质-答案 一、选择题 1. 【答案】A 2. 【答案】D  3. 【答案】D 4. 【答案】C 【解析】由于 A选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2,当x=2时,y=14,所以它不经过(2,0);B选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2,当x=2时,y=7,所以它不经过(2,0);C选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1,当x=2时,y=0,所以它经过(2,0);D选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1,当x=2时,y=1,它不经过(2,0),因此本题选C. 5. 【答案】C 【解析】二次函数,, ∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线,顶点为,当时,有最小值1,当时,的值随值的增大而增大,当时,的值随值的增大而减小; 故选项A、B的说法正确,C的说法错误; 根据平移的规律,的图象向右平移2个单位长度得到,再向上平移1个单位长度得到, 故选项D的说法正确, 故选C. 6. 【答案】C 【解析】∵抛物线的对称轴为y轴,∴a=0,将P(m,n)代入y=x2+4中,则n=m2-4,m-n=-m2+m-4,==-. 7. 【答案】D [解析] 联立解得或 故二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标分别为(-,0),(1,a+b). 对于D选项,由直线过第一、二、四象限,可知a<0,b>0.∵|a|>|b|,∴a+b<0,从而(1,a+b)应在第四象限,∴D选项不正确. 8. 【答案】D [解析] ①对称轴位于x轴的右侧,则a,b异号,即ab<0.抛物线与y轴交于正半轴,则c>0,∴abc<0.故①正确. ②∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a.∵x=-1时,y=0,∴a-b+c=0.而b=-2a,∴c=-3a,∴b-c=-2a+3a=a<0,即b<c,故②正确. ③∵x=-1时,y=0,∴a-b+c=0.而b=-2a,∴3a+c=0.故③正确. ④由抛物线的对称性得到:抛物线与x轴的另一交点坐标是(3,0),∴当y>0时,-1<x<3,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个. 故选D. 二、填空题 9. 【答案】y=3(x+2)2-1 10. 【答案】a<m<n<b 【解析】如解图,解方程(x-m)(x-n)=3可以看作是求y=(x-m)(x-n)与y=3这两个函数图象的交点,由解图易得a<m<n<b. 11. 【答案】 [解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点, ∴=-=-2. ∵线段AB的长不大于4,∴4a+1≥3,∴a≥, ∴a2+a+1的最小值为:2++1=. 12. 【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于y轴对称,故当x=1.5和x=-1.5时,y的值相等.∴m=0.75. 13. 【答案】y=-3(x-2)2 14. 【答案】 【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数,求字母未知数的值.把y=3x2+c与y=4x联立方程组并消去y得3x2+c=4x,化简得3x2-4x+c=0,由于它们的图象只有一个交点,故此方程有两个相等的实数根,所以b2-4ac=(-4)2-4×3c=0,解得c=. 15. 【答案】4 [解析] x+y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴当x=-1时,x+y有最大值,最大值是4. 16. 【答案】0 [解析] 依题意可知已知两点关于y轴对称,∴x1与x2互为相反数,即x1+x2=0.当x=0时,y=a·02=0. 三、解答题 17. 【答案】 解:(1)设函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由题意得解得 ∴函数解析式为y=-x2+4x-3. (2)∵图象的顶点坐标为(-2,3), ∴设二次函数的解析式为y=a(x+2)2+3. 把(1,-3)代入, 可得a(1+2)2+3=-3, ∴a=-, ∴二次函数的解析式为y=-(x+2)2+3(或y=-x2-x+). (3)根据二次函数的图象可知: A(-1,0),B(0,-3),C(4,5). 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 把A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)代入y=ax2+bx+c可得 解得 即二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 18. 【答案】 解:(1)-4 -1 (2)如图: (3)增大 19. 【答案】 解:(1)∵抛物线经过点(1,-3), ∴-3=9a,a=-,∴抛物线对应的函数解析式为y=-(x+2)2. (2)抛物线的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0). (3)∵a=-<0, ∴当x<-2时,y随x的增大而增大. 20. 【答案】 解:(1)∵抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点, ∴Δ=b2-4ac=16-8c>0,∴c<2. (2)m<n.理由:∵抛物线y=2x2-4x+c的对称轴为直线x=1, ∴点A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧. 又∵当x≥1时,y随x的增大而增大, ∴m<n. 21. 【答案】 解:(1)把(2,1)代入y=a(x-3)2-1, 得1=a(2-3)2-1, 整理,得1=a-1,解得a=2. 故平移后的抛物线的解析式为y=2(x-3)2-1. (2)由(1)知,平移后的抛物线的解析式为y=2(x-3)2-1,则M(3,0). ∵抛物线y=ax2+bx+c向右平移2个单位长度得到抛物线y=2(x-3)2-1, ∴平移前的抛物线的解析式为y=2(x-1)2-1, ∴P(1,-1). 在y=2(x-1)2-1中,令x=0,得y=1, 故B(0,1), ∴BM=,BP=PM=. ∵BM2=BP2+PM2, ∴△BPM为直角三角形,且∠BPM=90°, ∴S△BPM=BP·PM=××=. 22. 【答案】 解:(1)设y=a(x+1)(x-6),把(5,-6)代入解析式,得a(5+1)(5-6)=-6, 解得a=1,∴y=(x+1)(x-6)=x2-5x-6. (2)存在. 如图,分别过点P,B向x轴作垂线,垂足为M,N. 设P(m,m2-5m-6),其中-1<m<5,设四边形PACB的面积为S,则PM=-m2+5m+6,AM=m+1,MN=5-m,CN=6-5=1,BN=6, ∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC=(-m2+5m+6)(m+1)+(6-m2+5m+6)(5-m)+×1×6=-3m2+12m+36=-3(m-2)2+48, 当m=2时,S有最大值为48,这时m2-5m-6=22-5×2-6=-12, ∴P(2,-12). 23. 【答案】 .[解析](1)直接把点A(2,0),B(-4,0)的坐标代入y=ax2+bx-4,可求得解析式;(2)连接OP,设点Px,x2+x-4,其中-4<x<0,四边形ABPC的面积为S,则S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16,再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0), ∴ 解得 ∴这条抛物线的解析式为y=x2+x-4. (2)如图,连接OP, 设点Px,x2+x-4,其中-4<x<0, 设四边形ABPC的面积为S, 由题意得C点坐标为(0,-4), ∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=×2×4+×4·(-x)+×4·-x2-x+4=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-(x+2)2+16. ∵-1<0,开口向下,∴S有最大值, ∴当x=-2时,四边形ABPC的面积最大, 此时,y=x2+x-4=-4,即P(-2,-4). ∴当四边形ABPC的面积最大时,点P的坐标为(-2,-4). 24. 【答案】 (1)直线y=3x-3与x轴的交点为A(1,0),与y轴的交点为B(0,-3). 将A(1,0)、B(0,-3)分别代入y=ax2+2x+c, 得 解得 所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3. 对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,-4). (2)①如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为(-2,-3). 因为CD//AB,设直线CD的解析式为y=3x+b, 代入点C(-2,-3),可得b=3. 所以点D的坐标为(0,3). ②过点P作PH⊥y轴,垂足为H,那么∠PDH=∠DPE. 由,得. 而DH=7,所以PH=3. 因此点E的坐标为(3,6). 所以. 图2 图3 考点伸展 第(2)①用几何法求点D的坐标更简便: 因为CD//AB,所以∠CDB=∠ABO. 因此.所以BD=3BC=6,OD=3.因此D(0,3). 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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