留数实积分中应
摘 文利留数方法研究实积分计算问题然解决积分计算问题许方法积分计算程中积分实数范围计算出需种新颖独特计算方法留数方法复分析中留数定理计算积分力工具解析方法难求实积分相较言留数方法计算效果更尤原函数易直接求定积分反常积分非常效方法原积分转化闭曲线路径积分计算出孤立奇点处留数积分计算转化留数计算积分解达简化积分计算目程体现留数方法实积分计算中重位积分理发展奠定定基础
关键词 留数实积分留数定理解析函数
The application of residues in real integrals
Abstract This paper mainly studies the calculation of real integrals by using the residue method Although there are many methods to solve the problem of integral calculation in the process of integral calculation some integrals cannot be calculated in the real number range which requires a new and unique calculation method that is residue method In complex analysis the residue theorem is used to calculate the integral of a powerful tool some with analytical methods are difficult to obtain real points compared with residue method to calculate the effect is better especially for the function is not easy to directly obtain the definite integral and improper integral is a very effective method mainly to the original integral into path integral along a closed curve then calculate the residue each isolated singularity integral calculation can be converted to the calculation of residue obtain the integral solution to achieve the purpose of simplified integral calculation the process reflects the residue method in the important position of real integral calculation It has laid a certain foundation for the development of integral theory
Key words residue real integralresidue theoremanalytic function
目录
引言 1
第1章 历史背景概述 1
11国研究现状 1
12国外研究现状 1
121数学家相关工作 1
122柯西留数定理形成 2
第2章 留数 5
21留数定义定理 5
22留数求法 5
23函数穷远点留数 6
第3章 留数实积分中应 7
31单值解析函数应 7
32值解析函数应 12
结 13
参考文献： 14
致谢 15
引言
数学类智慧产物数学够更适应然规律数学直类文明发展文化力量量化生活中种现象够事物进行研究做出选择悠久历史中微积分出现数学角度解决曲线切线问题物理学角度解决速度加速度问题积分计算问题变非常重然许方法解决积分计算问题积分计算程中积分实数范围计算出需种独特新颖计算方法留数方法计算积分作重计算积分方法许交叉学科领域着广泛应
复分析中留数定理计算积分力工具解析方法难求实积分相较言留数方法计算效果更利留数定理实分析方法法求出积分转化复积分进行求解简化计算原积分转化闭曲线路径积分计算出孤立奇点处留数积分解
第1章 历史背景概述
11国研究现状
留数称残数身实际应复分析中非常重解决某积分计算问题离开留数留数方法计算积分值效率更高着数学发展断更新积分原函数难求出时积分计算转化留数计算积分计算更加简便更易求出积分值积分理发展奠定定基础
根够查阅资料分析目前国研究留数实积分中应分两类：第类利留数理建立某类积分般计算公式第二类利留数定理应实积分中积分计算转化留数计算举出具体实例例：2008年3月欧阳露莎刘敏思刘寅出版南民族学学报第27卷第1期109页111页文[[] 欧阳露莎刘敏思刘寅留数理积分计算中应[J]南民族学学报2008
]p109111等
12国外研究现状
121数学家相关工作
19世纪初复分析飞跃发展离开高斯泊松欧拉等伟数学家苦心孤诣工作柯西提出留数理奠定基础柯西前研究成果基础进行完善发展出留数定理扩展柯西定理提出柯西积分公式显易见留数定理形成成熟概历阶段：
高斯(Gauss)复积分
1811年高斯写贝塞尔(Bessel)信中提虚积分想法[[] 王昌留数概念起源[J]广西民族学学报(然科学版)2008
]p1415提出限时意义假定取增量然加起弄清楚积分概念复面条曲线值值连续程会通路径出果通路径围空间单值变穷值果变穷取闭路径围绕变穷点次二次者更高次许值举特殊例子说明：积分出发果路径包围积分值果积分路径包含样必须包围路径值加者减样定许数直时然高斯时未公开发布成果高斯复变函数积分已较明确概念
泊松(Poisson)复积分路径问题
泊松实现复面路径进行积分1820年文中认积分着实路径着虚路径积分值会相等说明着复面路径进行积分途时出例子中正常数令中非负常数时积分值表示积分路径结果[[] M KlineMathematical thought from ancient to modern times[ M] New York Oxford University Press 1972(中译M 克莱著古数学思想(第三册)[ M] 海海科学技术出版社2002
]p816
欧拉(Euler)方程
1770年欧拉认：积分号限彼间关时交换积分次序相关系式
(1)
中皆常数阿普拉斯（Laplace）赞泊松出结某方面次应结
欧拉1777年方程
（2）
指出函数没理解两方程质[[] 李文林数学史教程[ M] 北京高等教育出版社 2000
]p258262
122柯西留数定理形成
1实函数复函数
1814年关定积分理报告中柯西讨二重积分次序交换问题[[] 金青王淑红邓明立柯西早期复分析发展[J]数学实践认识2012
]p277区域部边界连续时关系式（1）什条件成立中常数连续原函数作某函数偏导数引入两时函数满足方程（2）引入方程（2）原柯西讨二维位势方程解
柯西认：时（1）式左边右边分换
（3）
样利（2）式中第二方程
（4）
柯西1814年文中提出包括复变函数认两方程中蕴含着实虚渡全部理实际未实现实虚渡[[] 毕庶路柯西定理发现始末思想方法[J]曲阜师范学学报1993
]p75
1822年柯西关穷课程总结中述初步设想式（3）（4）中
（5）
（6）
两方程结合起假设：
（5）式加（6）式
（7）
移项整理
（8）
结果表明复函数长方形边界点出发着两边界顶点积分相等积分路径关简记
柯西定理特例充分理解二重积分意义实现二重积分复积分渡够理解复函数矩形两条边界进行积分二重积分次序交换二者意义巧妙运实部虚部微满足方程条件（解析函数特征）处见实函数复函数程
2连续函数复积分
1823年柯西概中提出连续函数定积分作式极限定义
柯西定理正式诞生标志1825年发表文关积分限虚数定积分报告文重文时提出留数概念非常重作
文中柯西研究复面复函数复路径积分时考虑复积分积分定义数极限中着路径划分点提出：果穷连续复积分值函数（中t实数）选择关换言两条路径间没间断点条件积分值路径关
运柯西定理计算出某实分析方法法求出定积分例柯西1827年文中利方法求
（9）
外某函数傅里叶变换计算柯西定理求质求解微分方程范围增加
2 留数概念诞生
1825年柯西研究推动复积分理进步发展文中提出：矩形连续积分值会相等处穷极限存换言处单极点着两条路径积分差中柯西量称作积分留数[[]F SmithiesCauchy two memoirs on complex variable function theory (1825 1827)[ J] Landmark writing in westernMathematics164019402005
]p377390
1841年促进复积分进步完善发展柯西提出极点处留数新定义：
函数全纯中孤立奇点留数定义
（10）
面定义旧成非常重概念推广学科微分方程级数理等中发挥重作
总1814年柯西提出实虚渡1822年柯西研究进步发展方程复分析中着重位柯西积分定理更加完善复积分1825年柯西首次提出连续函数复积分更加完善积分理开始钻研连续函数复积分终提出留数概念
第2章 留数
21留数定义定理
定义1 设限点孤立奇点 点某心邻域解析称积分
点留(残)数(residue)记：
点心邻域展开成洛朗级数：
： （11）
定理1 (柯西留数定理)[[] 钟玉泉复变函数[M]北京高等出版社2004
]p220 围线复围线围区域外解析闭域外连续
（12）
证明：做圆周全含两两相交取逆时针方柯西积分定理
22留数求法
（1）常规方法点某心邻域展开成洛朗级数运留数定义洛朗系数公式计算留数公式负幂项系数
洛朗级数计算程太复杂容易求出时考虑奇点类型求相应留数
（2）限奇点时
（3） 性奇点时点某心邻域展成洛朗级数求
（4）极点时结
定理2 设级极点中点解析：
（13）
推1 设级极点
（14）
推2 设二级极点
（15）
定理3 设级极点满足
（1）
（2）
（3）
：
（16）
23函数穷远点留数
定义2 设孤立奇点心邻域解析称
点留数记中时针方
设罗朗展式
逐项积分定理知
（17）
说等点洛朗展式中项系数相反数
定理6 果扩充复面限孤立奇点（包括穷远点） 点留数总零
（18）
函数穷远点留数计算公式
写成形式
（19）
中绕正（时针方）周围道外奇点外奇点相应面正（逆时针方）绕周围道奇点外奇点
第3章 留数实积分中应
31单值解析函数应
（1） 形积分
中理函数连续[[] 王瑞苹留数定积分关系[J]菏泽学院学报2005
]p7072
令欧拉公式
（20）
（21）
注：关键步引入变量代换积函数否连续必先检验需变换积函数否奇点
例1计算积分
解：设
令绕圆周周时绕两周
积函数仅阶极点
留数定理知
例2计算积分
设留数定理知：
积函数级极点
留数定理知：
例3计算积分 [[] 钟玉泉复变函数学指导书[M]北京：高等教育出版社1996
]
解：设留数定理知
时积函数级极点
时积函数级极点
（2）形积分
中 理函数
类广义积分存假定：
（1） 数轴零点
（2） 项式少项式高两次
时设辅助函数限极点中心半面作充分半径半圆盘包含极点（果半面极点数半面半闭圆盘作围道更加适合）推广留数定理
（22）
中半圆周半圆盘点处取1实轴取定理知 （23）
例1计算积分
解：令孤立奇点
中落半面
例2计算积分
解：积函数偶函数取分母
半面奇点
（3） 形
中处处解析条件限孤立奇点外时类积分计算规格化
（24）
计算出积分然分取积分结果实部虚部计算设辅助函数
（25）
作（2）中围道半闭圆盘含孤立奇点（实轴极点）推广留数定理
（26）
时约引理较式左右两边实虚部求积分
例1计算积分
解：积函数偶函数
令积函数阶极点
知
令
例2计算积分
解：函数满足约引理条件
时积函数两阶极点
较等式两端
32值解析函数应
面情形中利单值解析函数作辅助函数计算积分时求解特定积分时需选择值函数作辅助函数计算需合理割破面分离出单值解析分支然计算该积分值
（1） 形积分
中
时求设辅助函数做剖线取分支作围道求分母分子少高两次做样讨化单值函数
例：计算积分
解：做辅助函数知处四阶极点
留数
（2）形 （m然数）积分
中求分母分子少高二次应设辅助函数取定分支积分围道（1）
（3）形
中时（2）中积分
分母次数分子次数高
分母次数少分子次数高二次
辅助函数设
结
留数概念涉复积分理复积分理中着举足轻重位文应留数方法研究实积分计算问题面讨出实积分计算中存问题复分析思想方法进行思考渗透融合学科理方法达简化部分实积分计算目反映出思维深刻性灵活性发散性工作仅仅学研究做铺垫更结等着发现
留数计算实积分着深远意义某积分计算中利留数定理种常见效方法留数概念非常趣某实积分计算方面着作研究留数学者通留数定理加改进更加方便效应积分计算应留数计算实积分效作毋庸置疑学者利留数方法巧妙计算实积分时类实积分留数方法计算步考虑否留数方法方法相结合起够通方法新简单计算实积分方法？
参考文献：
[1]欧阳露莎刘敏思刘寅留数理积分计算中应[J]南民族学学报2008
[2]王昌留数概念起源[J]广西民族学学报(然科学版)2008
[3]M KlineMathematical thought from ancient to modern times[ M] New York Oxford University Press 1972(中译M 克莱著古数学思想(第三册)[ M] 海海科学技术出版社2002
[4]李文林数学史教程[ M] 北京高等教育出版社 2000
[5]金青王淑红邓明立柯西早期复分析发展[J]数学实践认识2012
[6]毕庶路柯西定理发现始末思想方法[J]曲阜师范学学报1993
[7]F SmithiesCauchy two memoirs on complex variable function theory (1825 1827)[ J] Landmark writing in westernMathematics164019402005
[8]钟玉泉复变函数[M]北京高等出版社2004．
[9]王瑞苹留数定积分关系[J]菏泽学院学报2005
[10]钟玉泉复变函数学指导书[M]北京：高等教育出版社1996
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摘 文利留数方法研究实积分计算问题然解决积分计算问题许方法积分计算程中积分实数范围计算出需种新颖独特计算方法留数方法复分析中留数定理计算积分力工具解析方法难求实积分相较言留数方法计算效果更尤原函数易直接求定积分反常积分非常效方法原积分转化闭曲线路径积分计算出孤立奇点处留数积分计算转化留数计算积分解达简化积分计算目程体现留数方法实积分计算中重位积分理发展奠定定基础
关键词 留数实积分留数定理解析函数
The application of residues in real integrals
Abstract This paper mainly studies the calculation of real integrals by using the residue method Although there are many methods to solve the problem of integral calculation in the process of integral calculation some integrals cannot be calculated in the real number range which requires a new and unique calculation method that is residue method In complex analysis the residue theorem is used to calculate the integral of a powerful tool some with analytical methods are difficult to obtain real points compared with residue method to calculate the effect is better especially for the function is not easy to directly obtain the definite integral and improper integral is a very effective method mainly to the original integral into path integral along a closed curve then calculate the residue each isolated singularity integral calculation can be converted to the calculation of residue obtain the integral solution to achieve the purpose of simplified integral calculation the process reflects the residue method in the important position of real integral calculation It has laid a certain foundation for the development of integral theory
Key words residue real integralresidue theoremanalytic function
目录
引言 1
第1章 历史背景概述 1
11国研究现状 1
12国外研究现状 1
121数学家相关工作 1
122柯西留数定理形成 2
第2章 留数 5
21留数定义定理 5
22留数求法 5
23函数穷远点留数 6
第3章 留数实积分中应 7
31单值解析函数应 7
32值解析函数应 12
结 13
参考文献： 14
致谢 15
引言
数学类智慧产物数学够更适应然规律数学直类文明发展文化力量量化生活中种现象够事物进行研究做出选择悠久历史中微积分出现数学角度解决曲线切线问题物理学角度解决速度加速度问题积分计算问题变非常重然许方法解决积分计算问题积分计算程中积分实数范围计算出需种独特新颖计算方法留数方法计算积分作重计算积分方法许交叉学科领域着广泛应
复分析中留数定理计算积分力工具解析方法难求实积分相较言留数方法计算效果更利留数定理实分析方法法求出积分转化复积分进行求解简化计算原积分转化闭曲线路径积分计算出孤立奇点处留数积分解
第1章 历史背景概述
11国研究现状
留数称残数身实际应复分析中非常重解决某积分计算问题离开留数留数方法计算积分值效率更高着数学发展断更新积分原函数难求出时积分计算转化留数计算积分计算更加简便更易求出积分值积分理发展奠定定基础
根够查阅资料分析目前国研究留数实积分中应分两类：第类利留数理建立某类积分般计算公式第二类利留数定理应实积分中积分计算转化留数计算举出具体实例例：2008年3月欧阳露莎刘敏思刘寅出版南民族学学报第27卷第1期109页111页文[[] 欧阳露莎刘敏思刘寅留数理积分计算中应[J]南民族学学报2008
]p109111等
12国外研究现状
121数学家相关工作
19世纪初复分析飞跃发展离开高斯泊松欧拉等伟数学家苦心孤诣工作柯西提出留数理奠定基础柯西前研究成果基础进行完善发展出留数定理扩展柯西定理提出柯西积分公式显易见留数定理形成成熟概历阶段：
高斯(Gauss)复积分
1811年高斯写贝塞尔(Bessel)信中提虚积分想法[[] 王昌留数概念起源[J]广西民族学学报(然科学版)2008
]p1415提出限时意义假定取增量然加起弄清楚积分概念复面条曲线值值连续程会通路径出果通路径围空间单值变穷值果变穷取闭路径围绕变穷点次二次者更高次许值举特殊例子说明：积分出发果路径包围积分值果积分路径包含样必须包围路径值加者减样定许数直时然高斯时未公开发布成果高斯复变函数积分已较明确概念
泊松(Poisson)复积分路径问题
泊松实现复面路径进行积分1820年文中认积分着实路径着虚路径积分值会相等说明着复面路径进行积分途时出例子中正常数令中非负常数时积分值表示积分路径结果[[] M KlineMathematical thought from ancient to modern times[ M] New York Oxford University Press 1972(中译M 克莱著古数学思想(第三册)[ M] 海海科学技术出版社2002
]p816
欧拉(Euler)方程
1770年欧拉认：积分号限彼间关时交换积分次序相关系式
(1)
中皆常数阿普拉斯（Laplace）赞泊松出结某方面次应结
欧拉1777年方程
（2）
指出函数没理解两方程质[[] 李文林数学史教程[ M] 北京高等教育出版社 2000
]p258262
122柯西留数定理形成
1实函数复函数
1814年关定积分理报告中柯西讨二重积分次序交换问题[[] 金青王淑红邓明立柯西早期复分析发展[J]数学实践认识2012
]p277区域部边界连续时关系式（1）什条件成立中常数连续原函数作某函数偏导数引入两时函数满足方程（2）引入方程（2）原柯西讨二维位势方程解
柯西认：时（1）式左边右边分换
（3）
样利（2）式中第二方程
（4）
柯西1814年文中提出包括复变函数认两方程中蕴含着实虚渡全部理实际未实现实虚渡[[] 毕庶路柯西定理发现始末思想方法[J]曲阜师范学学报1993
]p75
1822年柯西关穷课程总结中述初步设想式（3）（4）中
（5）
（6）
两方程结合起假设：
（5）式加（6）式
（7）
移项整理
（8）
结果表明复函数长方形边界点出发着两边界顶点积分相等积分路径关简记
柯西定理特例充分理解二重积分意义实现二重积分复积分渡够理解复函数矩形两条边界进行积分二重积分次序交换二者意义巧妙运实部虚部微满足方程条件（解析函数特征）处见实函数复函数程
2连续函数复积分
1823年柯西概中提出连续函数定积分作式极限定义
柯西定理正式诞生标志1825年发表文关积分限虚数定积分报告文重文时提出留数概念非常重作
文中柯西研究复面复函数复路径积分时考虑复积分积分定义数极限中着路径划分点提出：果穷连续复积分值函数（中t实数）选择关换言两条路径间没间断点条件积分值路径关
运柯西定理计算出某实分析方法法求出定积分例柯西1827年文中利方法求
（9）
外某函数傅里叶变换计算柯西定理求质求解微分方程范围增加
2 留数概念诞生
1825年柯西研究推动复积分理进步发展文中提出：矩形连续积分值会相等处穷极限存换言处单极点着两条路径积分差中柯西量称作积分留数[[]F SmithiesCauchy two memoirs on complex variable function theory (1825 1827)[ J] Landmark writing in westernMathematics164019402005
]p377390
1841年促进复积分进步完善发展柯西提出极点处留数新定义：
函数全纯中孤立奇点留数定义
（10）
面定义旧成非常重概念推广学科微分方程级数理等中发挥重作
总1814年柯西提出实虚渡1822年柯西研究进步发展方程复分析中着重位柯西积分定理更加完善复积分1825年柯西首次提出连续函数复积分更加完善积分理开始钻研连续函数复积分终提出留数概念
第2章 留数
21留数定义定理
定义1 设限点孤立奇点 点某心邻域解析称积分
点留(残)数(residue)记：
点心邻域展开成洛朗级数：
： （11）
定理1 (柯西留数定理)[[] 钟玉泉复变函数[M]北京高等出版社2004
]p220 围线复围线围区域外解析闭域外连续
（12）
证明：做圆周全含两两相交取逆时针方柯西积分定理
22留数求法
（1）常规方法点某心邻域展开成洛朗级数运留数定义洛朗系数公式计算留数公式负幂项系数
洛朗级数计算程太复杂容易求出时考虑奇点类型求相应留数
（2）限奇点时
（3） 性奇点时点某心邻域展成洛朗级数求
（4）极点时结
定理2 设级极点中点解析：
（13）
推1 设级极点
（14）
推2 设二级极点
（15）
定理3 设级极点满足
（1）
（2）
（3）
：
（16）
23函数穷远点留数
定义2 设孤立奇点心邻域解析称
点留数记中时针方
设罗朗展式
逐项积分定理知
（17）
说等点洛朗展式中项系数相反数
定理6 果扩充复面限孤立奇点（包括穷远点） 点留数总零
（18）
函数穷远点留数计算公式
写成形式
（19）
中绕正（时针方）周围道外奇点外奇点相应面正（逆时针方）绕周围道奇点外奇点
第3章 留数实积分中应
31单值解析函数应
（1） 形积分
中理函数连续[[] 王瑞苹留数定积分关系[J]菏泽学院学报2005
]p7072
令欧拉公式
（20）
（21）
注：关键步引入变量代换积函数否连续必先检验需变换积函数否奇点
例1计算积分
解：设
令绕圆周周时绕两周
积函数仅阶极点
留数定理知
例2计算积分
设留数定理知：
积函数级极点
留数定理知：
例3计算积分 [[] 钟玉泉复变函数学指导书[M]北京：高等教育出版社1996
]
解：设留数定理知
时积函数级极点
时积函数级极点
（2）形积分
中 理函数
类广义积分存假定：
（1） 数轴零点
（2） 项式少项式高两次
时设辅助函数限极点中心半面作充分半径半圆盘包含极点（果半面极点数半面半闭圆盘作围道更加适合）推广留数定理
（22）
中半圆周半圆盘点处取1实轴取定理知 （23）
例1计算积分
解：令孤立奇点
中落半面
例2计算积分
解：积函数偶函数取分母
半面奇点
（3） 形
中处处解析条件限孤立奇点外时类积分计算规格化
（24）
计算出积分然分取积分结果实部虚部计算设辅助函数
（25）
作（2）中围道半闭圆盘含孤立奇点（实轴极点）推广留数定理
（26）
时约引理较式左右两边实虚部求积分
例1计算积分
解：积函数偶函数
令积函数阶极点
知
令
例2计算积分
解：函数满足约引理条件
时积函数两阶极点
较等式两端
32值解析函数应
面情形中利单值解析函数作辅助函数计算积分时求解特定积分时需选择值函数作辅助函数计算需合理割破面分离出单值解析分支然计算该积分值
（1） 形积分
中
时求设辅助函数做剖线取分支作围道求分母分子少高两次做样讨化单值函数
例：计算积分
解：做辅助函数知处四阶极点
留数
（2）形 （m然数）积分
中求分母分子少高二次应设辅助函数取定分支积分围道（1）
（3）形
中时（2）中积分
分母次数分子次数高
分母次数少分子次数高二次
辅助函数设
结
留数概念涉复积分理复积分理中着举足轻重位文应留数方法研究实积分计算问题面讨出实积分计算中存问题复分析思想方法进行思考渗透融合学科理方法达简化部分实积分计算目反映出思维深刻性灵活性发散性工作仅仅学研究做铺垫更结等着发现
留数计算实积分着深远意义某积分计算中利留数定理种常见效方法留数概念非常趣某实积分计算方面着作研究留数学者通留数定理加改进更加方便效应积分计算应留数计算实积分效作毋庸置疑学者利留数方法巧妙计算实积分时类实积分留数方法计算步考虑否留数方法方法相结合起够通方法新简单计算实积分方法？
参考文献：
[1]欧阳露莎刘敏思刘寅留数理积分计算中应[J]南民族学学报2008
[2]王昌留数概念起源[J]广西民族学学报(然科学版)2008
[3]M KlineMathematical thought from ancient to modern times[ M] New York Oxford University Press 1972(中译M 克莱著古数学思想(第三册)[ M] 海海科学技术出版社2002
[4]李文林数学史教程[ M] 北京高等教育出版社 2000
[5]金青王淑红邓明立柯西早期复分析发展[J]数学实践认识2012
[6]毕庶路柯西定理发现始末思想方法[J]曲阜师范学学报1993
[7]F SmithiesCauchy two memoirs on complex variable function theory (1825 1827)[ J] Landmark writing in westernMathematics164019402005
[8]钟玉泉复变函数[M]北京高等出版社2004．
[9]王瑞苹留数定积分关系[J]菏泽学院学报2005
[10]钟玉泉复变函数学指导书[M]北京：高等教育出版社1996
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