例谈数学纳法
摘 作高中数学重容数学纳法锻炼学生逻辑思维力综合分析力方面发挥着重作时考试高考中占着重位实际教学程中教师表达方式学生接受力题目训练程度均影响着学生数学纳法掌握程度必数学纳法教学做出分析总结便学生够更理解掌握数学纳法形成良逻辑思维数学纳法思维应生活中培养学生创新力独立思考力等等文首先确定选题目意义总结相关参考文献确定研究容研究方法回数学纳法理基础通问卷调查形式调查新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面学情况分析出学生学数学纳法时数学兴趣基础知识理理解教学反馈等方面存问题发现问题提出合理化建议
关键词 数学纳法 递推 米诺骨牌 纳假设
Examples of mathematical induction
Abstract As one of the important contents of high school mathematics mathematical induction plays an important role in training students＇ logical thinking ability and comprehensive analysis ability and occupies an important position in ordinary examinations and college entrance examinations In the actual teaching process the teacher＇s expression students＇ acceptability and the training degree of the subject all affect the students＇ mastery of mathematical induction Therefore it is necessary to analyze and summarize the teaching of mathematical induction so that students can better understand and master mathematical induction form good logical thinking and apply mathematical induction thinking well in life Cultivate students＇ innovative ability independent thinking ability etc This article first determines the purpose and significance of the topic summarizes the relevant references determines the research content and research methods returns to the theoretical basis of mathematical induction and mainly through the form of questionnaire survey to investigate the students in Xinyi Wayao middle school in the study of mathematical inductionThe analysis of the learning situation of the students shows that the students have problems in mathematics interest basic knowledge theoretical understanding teaching feedback and other aspects when studying mathematical induction and puts forward reasonable suggestions for the problems found
Key words mathematical induction recursion domino induction hypothesis
目 录
1 引言 1
11 选题目意义 1
111 选题目 1
112 选题意义 1
12 已研究综述 1
121 国研究概况 1
122 国外研究概况 2
13 研究容方法 2
131 研究容 2
132 研究方法 3
2 数学纳法理基础 3
21数学纳法发展历史 3
22 数学纳法逻辑原理 3
23 数学纳法数学中应 4
3 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查 4
31 问卷调查 4
32 访谈 5
33 课堂观察 5
34 试题测试 6
4 数学纳法学调查数分析 6
41 问卷调查数分析 6
42 访谈数分析 7
43 课堂观察数分析 7
44 试题测试结果分析 8
5 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面教学优化建议 8
51 培养数学兴趣重视基础 8
52 活跃课堂采元化教学手段 8
53 强化翁意识学生成出题教师 9
54 科学练引导学生注重反思总结 9
结 10
参考文献 11
致谢 12
附录 13
1 引 言
11 选题目意义
111 选题目
文通问卷调查访谈课堂观察试题测试四种方法（问卷调查余三种辅）新沂市瓦窑中学学生数学纳法方面学情况进行调查旨学生角度挖掘数学纳法教学方面存问题探讨优化数学纳法教学问题更学生数学纳法更加具体认识培养利数学纳法解决高中数学问题力
112 选题意义
首先高中数学学容方面讲数学纳法帮助学生限步骤证明限步骤问题强力工具某扩展性较强证明问题数学纳法便捷非常具优势种方法助锻炼学生综合分析力次学生长远发展说数学纳法数学学起着重铺垫作果高中阶段没利数学纳法学锻炼学生抽象思维学生期学学数学时会遇定困难时回头重新学数学纳法显事倍功半高中数学新课标中明确提出培养学生综合分析力求数学纳学相关教学研究充满意义
12 已研究综述
121 国研究概况
国数学纳法教学研究较丰富少学者分教学情感态度深化教学程教育心理学灵活安排教学计划协配合等方面数学纳法教学优化做研究分析教学情感态度方面汪晓勤通基HPM视角DNR系统数学纳法教学设计文数学史角度试图增强教师教学情感态度希增强学生数学纳法学热情进学生数学纳法感性认识提高教学效果[1]深化教学程方面裴光亚著课堂创新数学核心素养纲文中强调程式探究学生纳递推思维形成重性提倡透探究程形成属学生知识体系批判机械套数学纳法步骤解决数学证明问题现象[2]教育心理学方面鲍建生著作数学学心理基础程中肯定概念化数学纳法教学程中积极作提倡教师合理利概念化作提高数学纳法教学效果[3]p2灵活安排教学计划方面朱绮鸿提倡教师必墨守成规教材中教学序鼓励教师根学生知识储备知识体系灵活安排数学纳法教学时机抓住教学重点高中年级学期重点聚焦第类型数学纳法学[4]p2协配合方面夏兴国学者思维协配合方面述纳奠基纳递推间协配合关系强调纳奠基重作提倡学生建立完整递推思维结构相关述收录数学纳法横谈中[5]p2
122 国外研究概况
国外学者数学纳法方面研究非常丰富国外学者数学纳法常见学误区数学纳法质数学纳法数学纳法步骤间区错误示范学生学影响等方面均研究数学纳法常见学误区美国数学家Harel通调查研究发现相部分学生然利数学纳法做相关题没真正理解数学纳法真正原理换句话说学生仅仅学会数学纳法套路没明白套路含义[6]数学纳法质美国学者DubinskyAPOS理进行概括谓活动程象图式[7]数学纳法数学纳法步骤间关系色列学者菲施拜认二者间存区非等理解数学纳法回事记住数学纳法步骤外回事者前者层次低[8]错误示范学生学影响方面法国数学家Avital认数学纳法学程中错误示范学生学具积极影响够深刻记住错误原避免次犯错[9]
13 研究容方法
131 研究容
文研究容分四点：第点通查阅知网万方等网络数库获参考文献加阅读分析第二点回数学纳法理基础(皮阿诺公理系统第五公理)第三点通问卷调查访谈课堂观察试题测试等种途径获学生数学纳法学情况教师方面教学反馈第四点第三点中发现问题进行分析提出应策加总结
132 研究方法
文研究方法问卷调查访谈课堂观察试题测试四种调查问卷够快捷全面收集相关数具体操作中调查问卷余三种方式辅
2 数学纳法理基础
21数学纳法发展历史
数学纳法发展历史非常悠久数学纳法数学思想方面进行追溯追溯原中欧里素数穷证明[10]素数穷告诉然数素数数目等说果n素数n+1素数定存里递推关系数学纳法中递推关系谋合时时代局限性欧里没现代数学纳法相关术语萌发数学纳法数学思想着时代发展现代形式数学纳法法国数学家帕斯卡发现
22 数学纳法逻辑原理
作皮阿诺公理系统第五公理（称纳公理）直接推简单说数学纳法种方式说明意定情况逻辑情形正确高中阶段学数学纳法简单种形式n等意整数时某命题（者说表达式）成立教材中推荐证明示范中种数学纳法证明分两步：第步变量n等1时某命题成立第二步设定m意整数果nm时命题成立nm+1时命题成立第步递推基础第二步递推n想象成带数值点首先选取起点证明起点命题成立然证明假设值意点时命题成立时点命题成立样递推出意点命题均成立
样解释旧够通俗外解释方式数学纳法作米诺骨牌样话需保证两点：第点保证第张牌会倒第二点意张牌倒时保证张牌会倒两点果够保证（证明）证明米诺骨牌会倒样容易理解里两点分应述数学纳法步骤中两点
图21 米诺骨牌
23 数学纳法数学中应
数学纳法数学中具广泛应初等代数领域高等代数领域概率领域初等代数领域证明整问题证明恒等式问题证明等式问题高等代数领域证明矩阵阶数量空间维数等问题概率方面证明排列组合相关公式高中阶段数学纳法解决涉函数数列等式恒等式整性等方面问题通观察猜想纳程培养学生合情推理方面力然利数学纳法进行相关问题解决时仅仅数学纳法身力量够需学生结合数学技巧倒序相加错位相减二项式定理凑假设凑结等等仅需学生具扎实数学基础求学生够结合数学纳法思想灵活运述数学技巧方解决关问题时游刃余
3 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查
31 问卷调查
作课题调查方式问卷调查设计9问题分兴趣调查类基础知识类反思类教学意见征集类四种类型问题中13题属兴趣调查类问题调查喜欢喜欢数学纳法学例喜欢喜欢数学纳法原45题属基础知识类收集学生数学纳法基础知识掌握情况679题属反思类收集学生数学纳法学方面反思情况第8题属教学意见征集类学生征集教师数学纳法方面教学意见便促进教师针性改善优化教学方式教学容问卷通问卷星网站制作通网络发放新沂市瓦窑中学高二（3）班问卷投放目标群体58详细问卷容参见附录
图31 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查问卷
32 访谈
调查问卷基础针调查问卷中反馈数机抽查25名学生通微信电话渠道进行访谈访谈目详细解学生喜欢数学纳法解决问题原学生角度解心想法发现问题解决问题
33 课堂观察
课堂观察源该班课教师日常教学程中学生课堂观察目教师角度解学生日常学程容易犯错误问卷调查中学生中样问题答案进行进便问题暴露
34 试题测试
通部分学发放试题进行测试便解学生第类数学纳法掌握情况题目设置：
第题：数学纳法证明：n正奇数时7n+1够8整
第二题：数学纳法证明：1×4+2×7+3×10+···+n(3n+1)n(n+1)2(中n∈N+)
4 数学纳法学调查数分析
41 问卷调查数分析
通问卷星网站收集数显示次调查问卷51名学参填写参率87兴趣调查类型问题参问卷调查51名学中解决证明题喜欢数学纳法学占7255喜欢学占约2745喜欢数学纳法解决相关数学问题学中选择B选项（占7568）：数学纳法理解简单便捷喜欢数学纳法学言困扰数学纳法产生兴趣原解数学纳法意义者参考答案长长证明程头疼通兴趣调查类型问题出旧部分学数学纳法缺乏兴趣
图41 受访者数学纳法偏程度
基础知识类问题6078学够认识数学纳法纳基础纳假设纳证明三步组成部分学两步视作整体（文纳假设纳证明视作整体定义第二步）算正确部分学约占196152794学理解套数学纳法步骤进行解题数学纳法表示理解学仅占2941说明数学纳法理解方面加强
反思类问题6667学表示未数学纳法学中需克服计算粗心缺点方面继续努力6863学希未通做适量题目练形式巩固数学纳法学5098学认时数学纳法时常犯错误粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错说明学生计算力计算技巧等方面需继续加强
教学意见征集类问题451学认教师教学程中侧重题海战术4118学认教师时数学纳法讲课程中理化较枯燥3725学认教师讲课程中没顾式分解者添项减项等变形技巧等方面存短板学3529学认教师讲解数学纳法时点宣科通方面问题反映教师顾学生基础讲课趣味性数学技巧传授等方面具较提升空间
图42 教学意见征集反馈结果
42 访谈数分析
通访谈发现约七成受访者表示喜欢数学纳法部分学仅仅会讨数学纳法证明套路数学纳法真正理意义够理解约三成受访者参考答案长长证明程头疼喜欢数学纳法述数调查问卷中数具定致性通分析说明学生数学纳法理解方面需教师继续加耐心指导
43 课堂观察数分析
通课堂观察发现约四成学生某式分解者添项减项等变形技巧会导致法证明第二步骤约半学生粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错说明学生需继续培养计算力细心度教师需数学技巧方面继续加指导
44 试题测试结果分析
第题n1时100学够证明7n+1够8整接第二证明步骤中50学够正确做出证明40学惯性先假设nk时命题成立然计算nk+1时情况忽略正奇数重条件导致必错误外10学计算nk+2时计算错误导致证明出错
第二题n1时100学够证明等式左右两边相等接步骤中假设nk时成立代入计算时90学够计算化简正确计算nk+1时情况时30学出现计算错误进证明错误外5学第二步证明空白
试题测试结果表明审题计算认真程度方面学生尚存较提升空间外部分学数学纳法尤第二步骤理解够深刻出现手情况导致留空白
5 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面教学优化建议
51 培养数学兴趣重视基础
解决部分学生数学纳法缺乏兴趣问题教师应该想方设法培养学生数学尤数学纳法兴趣讲课程中数学史角度学生解数学纳法源发展通鼓励方式肯定学生学成果增强成感学生数学纳法学兴趣需坚实基础支撑部分学生基础薄弱问题教师选择开展专题讲解针性系统性帮助学生回顾总结相关基础知识倒序相加错位相减二项式定理等等
52 活跃课堂采元化教学手段
通问卷调查发现4118学认教师讲课较枯燥部分学认教师讲课点宣科教师应该避免填鸭式教学模式善形象喻米诺骨牌原理帮助学生理解数学纳法原理制作米诺骨牌相关视频通视频形式学生空间角度理解数学纳法纳基础纳假设纳证明三步条件方采计算机技术数学纳法数学思想进行仿真模拟者利数学纳法数学思想进行计算机程序编写（python）仅拓宽学生知识面帮助学生更理解数学纳法
53 强化翁意识学生成出题教师
促进学生数学纳法理解锻炼学生相关数学技巧熟练度灵活度提高学生学积极性需强化学生翁意识鼓励学生利数学纳法思想结合倒序相加错位相减二项式定理等数学技巧制作相关题目鼓励学生家介绍出题思路解题思路增强学生数学纳法相关数学技巧印象样做处三点：第点真正学生成课堂发挥素质教育优越性第二点培养学生成感增强学数学纳法信心第三点通样程教师够更全面解学生学特点方便教师制定针性教学指导计划
54 科学练引导学生注重反思总结
提高学生计算力时避免盲目题海战术需进行科学练基础阶段引导学生适做简单锻炼数学纳法数学思想题目宜做难度题目否仅容易挫伤学生学数学纳法信心利学生数学纳法理解提高阶段专题形式做中等难度题目里专题指数学纳法题目中常常涉数学技巧时鼓励学生建立属错题定期错题进行回顾浩烟海题目永远做完关键授渔授鱼
结
文通调查问卷形式新沂市瓦窑中学高二（3）班58名学数学纳法方面学情况进行调查外采取访谈课堂观察试题测试形式辅助调查解学生学数学纳法方面遇困难通学生视角解教师课堂趣味性教学策略等方面足终出结：第部分学生缺乏数学兴趣数学基础较薄弱解决策教师课堂中引入数学史时予学生肯定等措施增强学生数学兴趣针部分学生基础薄弱问题开展专题讲解夯实数学基础学路争取位学生掉队第二教师课堂教学手段方面较单化解决策积极现代化教学手段者立体化数学模型丰富教学手段进削弱理讲解枯燥性增加课堂趣味性第三部分学生学动性加强解决策予学生出题讲解题目机会通学生表现时予肯定加强学动性第四练总结工作够科学解决策学阶段配置相适应难度题目时避免题海战术引导学生时系统化进行学总结述结改善数学纳法教学效果提高学生学效率具良效果供相关教师学生教育研究者参考
参考文献
[1] 汪晓勤基HPM视角DNR系统数学纳法教学设计[J]数学通报2013 52(7)8～11
[2] 裴光亚课堂创新数学核心素养纲[J]中学数学教学参考2018(Z2)10～18
[3] 鲍建生周超数学学心理基础程[M]海海教育出版社2009109～148
[4] 朱绮鸿高中生数学纳法解情况教学素研究[D]台湾师范学博士学位文2010：8～11
[5] 夏兴国数学纳法横谈[M]郑州河南科学技术出版社1993：1～3
[6] Harel G Sowder L Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof In F K Lester(Ed)[J]The second handbook of research on mathematics teaching and learning20075805～842
[7] Dubinsky ETeaching Mathematical Induction II [J]Journal of Mathematical behavior19898284～305
[8] 汪晓勤国外数学纳法教学研究综述[J]数学通报201453（1）3～7
[9] Avital S Libeskind SMathematical induction in the classroom Didactical and mathematical issues[J]Educational Studies in Mathematicals19789429～438
[10] 王永琦浅谈数学纳法逻辑基础[J]学周刊河北师范学出版社20182（6）23～24
致 谢
走快总时间感叹学生活已尾声四年努力付出着次文完成划完美句号毕业文指导老师悉心指导严格求已完成课题选取具体写作程文初稿定稿凝聚着心血汗水次文写作中指导老师带种专业知识指导宝贵修改意见丝苟作风严谨求实态度深受感动没样帮忙关怀熏陶会利完成毕业文指导老师表示深深感谢崇高敬意毕业际机会四年中予诸教诲帮忙位老师表示衷谢意感谢四年辛勤栽培积跬步千里位课老师认真负责悉心帮忙支持够掌握运专业知识文中体现利完成毕业文时文写作程中参考相关书籍报刊文里关作者表示谢意
学四年期间位课老师家朋友帮助关爱私帮忙克服重重困难利完成学务回首前事犹昨日关心帮忙忘美回忆毕业文段时间里启发提出宝贵意见帮忙表示衷心感谢路漫漫修远吾求索愿未学研究程中更加丰厚成果答谢前关心帮忙支持老师学
附 录
关新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查问卷
1解决证明题时否喜欢数学纳法？单选
A喜欢（跳第二题）B喜欢（跳第三题）
2喜欢数学纳法解决问题原？选
A数学纳法限步骤证明限步骤问题
B数学纳法理解简单便捷
C数学纳法蕴含数学思想感兴趣
D数学纳法解决问题成感
3喜欢数学纳法解决问题原？选
A参考答案长长证明程头疼
B理解数学纳法第二步骤
C理解数学纳法第二步骤时会式分解者添项减项等变形技巧
D知道数学纳法意义
4数学纳法步骤分步？单选
A步 B两步 C三步 D 四步
5否理解数学纳法第二步骤？单选
A理解
B理解套数学纳法步骤进行解题
C理解
6数学纳法时常犯错误什？选
A粗心导致证明第步骤时出错
B理解第二步骤导致知证明
C某式分解者添项减项等变形技巧会导致法证明第二步骤
D粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错
E_____________________
7认未数学纳法学方面需方面继续努力？选
A需头开始学数学纳法
B需理层面继续理解数学纳法第二步骤
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摘 作高中数学重容数学纳法锻炼学生逻辑思维力综合分析力方面发挥着重作时考试高考中占着重位实际教学程中教师表达方式学生接受力题目训练程度均影响着学生数学纳法掌握程度必数学纳法教学做出分析总结便学生够更理解掌握数学纳法形成良逻辑思维数学纳法思维应生活中培养学生创新力独立思考力等等文首先确定选题目意义总结相关参考文献确定研究容研究方法回数学纳法理基础通问卷调查形式调查新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面学情况分析出学生学数学纳法时数学兴趣基础知识理理解教学反馈等方面存问题发现问题提出合理化建议
关键词 数学纳法 递推 米诺骨牌 纳假设
Examples of mathematical induction
Abstract As one of the important contents of high school mathematics mathematical induction plays an important role in training students＇ logical thinking ability and comprehensive analysis ability and occupies an important position in ordinary examinations and college entrance examinations In the actual teaching process the teacher＇s expression students＇ acceptability and the training degree of the subject all affect the students＇ mastery of mathematical induction Therefore it is necessary to analyze and summarize the teaching of mathematical induction so that students can better understand and master mathematical induction form good logical thinking and apply mathematical induction thinking well in life Cultivate students＇ innovative ability independent thinking ability etc This article first determines the purpose and significance of the topic summarizes the relevant references determines the research content and research methods returns to the theoretical basis of mathematical induction and mainly through the form of questionnaire survey to investigate the students in Xinyi Wayao middle school in the study of mathematical inductionThe analysis of the learning situation of the students shows that the students have problems in mathematics interest basic knowledge theoretical understanding teaching feedback and other aspects when studying mathematical induction and puts forward reasonable suggestions for the problems found
Key words mathematical induction recursion domino induction hypothesis
目 录
1 引言 1
11 选题目意义 1
111 选题目 1
112 选题意义 1
12 已研究综述 1
121 国研究概况 1
122 国外研究概况 2
13 研究容方法 2
131 研究容 2
132 研究方法 3
2 数学纳法理基础 3
21数学纳法发展历史 3
22 数学纳法逻辑原理 3
23 数学纳法数学中应 4
3 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查 4
31 问卷调查 4
32 访谈 5
33 课堂观察 5
34 试题测试 6
4 数学纳法学调查数分析 6
41 问卷调查数分析 6
42 访谈数分析 7
43 课堂观察数分析 7
44 试题测试结果分析 8
5 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面教学优化建议 8
51 培养数学兴趣重视基础 8
52 活跃课堂采元化教学手段 8
53 强化翁意识学生成出题教师 9
54 科学练引导学生注重反思总结 9
结 10
参考文献 11
致谢 12
附录 13
1 引 言
11 选题目意义
111 选题目
文通问卷调查访谈课堂观察试题测试四种方法（问卷调查余三种辅）新沂市瓦窑中学学生数学纳法方面学情况进行调查旨学生角度挖掘数学纳法教学方面存问题探讨优化数学纳法教学问题更学生数学纳法更加具体认识培养利数学纳法解决高中数学问题力
112 选题意义
首先高中数学学容方面讲数学纳法帮助学生限步骤证明限步骤问题强力工具某扩展性较强证明问题数学纳法便捷非常具优势种方法助锻炼学生综合分析力次学生长远发展说数学纳法数学学起着重铺垫作果高中阶段没利数学纳法学锻炼学生抽象思维学生期学学数学时会遇定困难时回头重新学数学纳法显事倍功半高中数学新课标中明确提出培养学生综合分析力求数学纳学相关教学研究充满意义
12 已研究综述
121 国研究概况
国数学纳法教学研究较丰富少学者分教学情感态度深化教学程教育心理学灵活安排教学计划协配合等方面数学纳法教学优化做研究分析教学情感态度方面汪晓勤通基HPM视角DNR系统数学纳法教学设计文数学史角度试图增强教师教学情感态度希增强学生数学纳法学热情进学生数学纳法感性认识提高教学效果[1]深化教学程方面裴光亚著课堂创新数学核心素养纲文中强调程式探究学生纳递推思维形成重性提倡透探究程形成属学生知识体系批判机械套数学纳法步骤解决数学证明问题现象[2]教育心理学方面鲍建生著作数学学心理基础程中肯定概念化数学纳法教学程中积极作提倡教师合理利概念化作提高数学纳法教学效果[3]p2灵活安排教学计划方面朱绮鸿提倡教师必墨守成规教材中教学序鼓励教师根学生知识储备知识体系灵活安排数学纳法教学时机抓住教学重点高中年级学期重点聚焦第类型数学纳法学[4]p2协配合方面夏兴国学者思维协配合方面述纳奠基纳递推间协配合关系强调纳奠基重作提倡学生建立完整递推思维结构相关述收录数学纳法横谈中[5]p2
122 国外研究概况
国外学者数学纳法方面研究非常丰富国外学者数学纳法常见学误区数学纳法质数学纳法数学纳法步骤间区错误示范学生学影响等方面均研究数学纳法常见学误区美国数学家Harel通调查研究发现相部分学生然利数学纳法做相关题没真正理解数学纳法真正原理换句话说学生仅仅学会数学纳法套路没明白套路含义[6]数学纳法质美国学者DubinskyAPOS理进行概括谓活动程象图式[7]数学纳法数学纳法步骤间关系色列学者菲施拜认二者间存区非等理解数学纳法回事记住数学纳法步骤外回事者前者层次低[8]错误示范学生学影响方面法国数学家Avital认数学纳法学程中错误示范学生学具积极影响够深刻记住错误原避免次犯错[9]
13 研究容方法
131 研究容
文研究容分四点：第点通查阅知网万方等网络数库获参考文献加阅读分析第二点回数学纳法理基础(皮阿诺公理系统第五公理)第三点通问卷调查访谈课堂观察试题测试等种途径获学生数学纳法学情况教师方面教学反馈第四点第三点中发现问题进行分析提出应策加总结
132 研究方法
文研究方法问卷调查访谈课堂观察试题测试四种调查问卷够快捷全面收集相关数具体操作中调查问卷余三种方式辅
2 数学纳法理基础
21数学纳法发展历史
数学纳法发展历史非常悠久数学纳法数学思想方面进行追溯追溯原中欧里素数穷证明[10]素数穷告诉然数素数数目等说果n素数n+1素数定存里递推关系数学纳法中递推关系谋合时时代局限性欧里没现代数学纳法相关术语萌发数学纳法数学思想着时代发展现代形式数学纳法法国数学家帕斯卡发现
22 数学纳法逻辑原理
作皮阿诺公理系统第五公理（称纳公理）直接推简单说数学纳法种方式说明意定情况逻辑情形正确高中阶段学数学纳法简单种形式n等意整数时某命题（者说表达式）成立教材中推荐证明示范中种数学纳法证明分两步：第步变量n等1时某命题成立第二步设定m意整数果nm时命题成立nm+1时命题成立第步递推基础第二步递推n想象成带数值点首先选取起点证明起点命题成立然证明假设值意点时命题成立时点命题成立样递推出意点命题均成立
样解释旧够通俗外解释方式数学纳法作米诺骨牌样话需保证两点：第点保证第张牌会倒第二点意张牌倒时保证张牌会倒两点果够保证（证明）证明米诺骨牌会倒样容易理解里两点分应述数学纳法步骤中两点
图21 米诺骨牌
23 数学纳法数学中应
数学纳法数学中具广泛应初等代数领域高等代数领域概率领域初等代数领域证明整问题证明恒等式问题证明等式问题高等代数领域证明矩阵阶数量空间维数等问题概率方面证明排列组合相关公式高中阶段数学纳法解决涉函数数列等式恒等式整性等方面问题通观察猜想纳程培养学生合情推理方面力然利数学纳法进行相关问题解决时仅仅数学纳法身力量够需学生结合数学技巧倒序相加错位相减二项式定理凑假设凑结等等仅需学生具扎实数学基础求学生够结合数学纳法思想灵活运述数学技巧方解决关问题时游刃余
3 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查
31 问卷调查
作课题调查方式问卷调查设计9问题分兴趣调查类基础知识类反思类教学意见征集类四种类型问题中13题属兴趣调查类问题调查喜欢喜欢数学纳法学例喜欢喜欢数学纳法原45题属基础知识类收集学生数学纳法基础知识掌握情况679题属反思类收集学生数学纳法学方面反思情况第8题属教学意见征集类学生征集教师数学纳法方面教学意见便促进教师针性改善优化教学方式教学容问卷通问卷星网站制作通网络发放新沂市瓦窑中学高二（3）班问卷投放目标群体58详细问卷容参见附录
图31 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查问卷
32 访谈
调查问卷基础针调查问卷中反馈数机抽查25名学生通微信电话渠道进行访谈访谈目详细解学生喜欢数学纳法解决问题原学生角度解心想法发现问题解决问题
33 课堂观察
课堂观察源该班课教师日常教学程中学生课堂观察目教师角度解学生日常学程容易犯错误问卷调查中学生中样问题答案进行进便问题暴露
34 试题测试
通部分学发放试题进行测试便解学生第类数学纳法掌握情况题目设置：
第题：数学纳法证明：n正奇数时7n+1够8整
第二题：数学纳法证明：1×4+2×7+3×10+···+n(3n+1)n(n+1)2(中n∈N+)
4 数学纳法学调查数分析
41 问卷调查数分析
通问卷星网站收集数显示次调查问卷51名学参填写参率87兴趣调查类型问题参问卷调查51名学中解决证明题喜欢数学纳法学占7255喜欢学占约2745喜欢数学纳法解决相关数学问题学中选择B选项（占7568）：数学纳法理解简单便捷喜欢数学纳法学言困扰数学纳法产生兴趣原解数学纳法意义者参考答案长长证明程头疼通兴趣调查类型问题出旧部分学数学纳法缺乏兴趣
图41 受访者数学纳法偏程度
基础知识类问题6078学够认识数学纳法纳基础纳假设纳证明三步组成部分学两步视作整体（文纳假设纳证明视作整体定义第二步）算正确部分学约占196152794学理解套数学纳法步骤进行解题数学纳法表示理解学仅占2941说明数学纳法理解方面加强
反思类问题6667学表示未数学纳法学中需克服计算粗心缺点方面继续努力6863学希未通做适量题目练形式巩固数学纳法学5098学认时数学纳法时常犯错误粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错说明学生计算力计算技巧等方面需继续加强
教学意见征集类问题451学认教师教学程中侧重题海战术4118学认教师时数学纳法讲课程中理化较枯燥3725学认教师讲课程中没顾式分解者添项减项等变形技巧等方面存短板学3529学认教师讲解数学纳法时点宣科通方面问题反映教师顾学生基础讲课趣味性数学技巧传授等方面具较提升空间
图42 教学意见征集反馈结果
42 访谈数分析
通访谈发现约七成受访者表示喜欢数学纳法部分学仅仅会讨数学纳法证明套路数学纳法真正理意义够理解约三成受访者参考答案长长证明程头疼喜欢数学纳法述数调查问卷中数具定致性通分析说明学生数学纳法理解方面需教师继续加耐心指导
43 课堂观察数分析
通课堂观察发现约四成学生某式分解者添项减项等变形技巧会导致法证明第二步骤约半学生粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错说明学生需继续培养计算力细心度教师需数学技巧方面继续加指导
44 试题测试结果分析
第题n1时100学够证明7n+1够8整接第二证明步骤中50学够正确做出证明40学惯性先假设nk时命题成立然计算nk+1时情况忽略正奇数重条件导致必错误外10学计算nk+2时计算错误导致证明出错
第二题n1时100学够证明等式左右两边相等接步骤中假设nk时成立代入计算时90学够计算化简正确计算nk+1时情况时30学出现计算错误进证明错误外5学第二步证明空白
试题测试结果表明审题计算认真程度方面学生尚存较提升空间外部分学数学纳法尤第二步骤理解够深刻出现手情况导致留空白
5 新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面教学优化建议
51 培养数学兴趣重视基础
解决部分学生数学纳法缺乏兴趣问题教师应该想方设法培养学生数学尤数学纳法兴趣讲课程中数学史角度学生解数学纳法源发展通鼓励方式肯定学生学成果增强成感学生数学纳法学兴趣需坚实基础支撑部分学生基础薄弱问题教师选择开展专题讲解针性系统性帮助学生回顾总结相关基础知识倒序相加错位相减二项式定理等等
52 活跃课堂采元化教学手段
通问卷调查发现4118学认教师讲课较枯燥部分学认教师讲课点宣科教师应该避免填鸭式教学模式善形象喻米诺骨牌原理帮助学生理解数学纳法原理制作米诺骨牌相关视频通视频形式学生空间角度理解数学纳法纳基础纳假设纳证明三步条件方采计算机技术数学纳法数学思想进行仿真模拟者利数学纳法数学思想进行计算机程序编写（python）仅拓宽学生知识面帮助学生更理解数学纳法
53 强化翁意识学生成出题教师
促进学生数学纳法理解锻炼学生相关数学技巧熟练度灵活度提高学生学积极性需强化学生翁意识鼓励学生利数学纳法思想结合倒序相加错位相减二项式定理等数学技巧制作相关题目鼓励学生家介绍出题思路解题思路增强学生数学纳法相关数学技巧印象样做处三点：第点真正学生成课堂发挥素质教育优越性第二点培养学生成感增强学数学纳法信心第三点通样程教师够更全面解学生学特点方便教师制定针性教学指导计划
54 科学练引导学生注重反思总结
提高学生计算力时避免盲目题海战术需进行科学练基础阶段引导学生适做简单锻炼数学纳法数学思想题目宜做难度题目否仅容易挫伤学生学数学纳法信心利学生数学纳法理解提高阶段专题形式做中等难度题目里专题指数学纳法题目中常常涉数学技巧时鼓励学生建立属错题定期错题进行回顾浩烟海题目永远做完关键授渔授鱼
结
文通调查问卷形式新沂市瓦窑中学高二（3）班58名学数学纳法方面学情况进行调查外采取访谈课堂观察试题测试形式辅助调查解学生学数学纳法方面遇困难通学生视角解教师课堂趣味性教学策略等方面足终出结：第部分学生缺乏数学兴趣数学基础较薄弱解决策教师课堂中引入数学史时予学生肯定等措施增强学生数学兴趣针部分学生基础薄弱问题开展专题讲解夯实数学基础学路争取位学生掉队第二教师课堂教学手段方面较单化解决策积极现代化教学手段者立体化数学模型丰富教学手段进削弱理讲解枯燥性增加课堂趣味性第三部分学生学动性加强解决策予学生出题讲解题目机会通学生表现时予肯定加强学动性第四练总结工作够科学解决策学阶段配置相适应难度题目时避免题海战术引导学生时系统化进行学总结述结改善数学纳法教学效果提高学生学效率具良效果供相关教师学生教育研究者参考
参考文献
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[2] 裴光亚课堂创新数学核心素养纲[J]中学数学教学参考2018(Z2)10～18
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[4] 朱绮鸿高中生数学纳法解情况教学素研究[D]台湾师范学博士学位文2010：8～11
[5] 夏兴国数学纳法横谈[M]郑州河南科学技术出版社1993：1～3
[6] Harel G Sowder L Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof In F K Lester(Ed)[J]The second handbook of research on mathematics teaching and learning20075805～842
[7] Dubinsky ETeaching Mathematical Induction II [J]Journal of Mathematical behavior19898284～305
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[10] 王永琦浅谈数学纳法逻辑基础[J]学周刊河北师范学出版社20182（6）23～24
致 谢
走快总时间感叹学生活已尾声四年努力付出着次文完成划完美句号毕业文指导老师悉心指导严格求已完成课题选取具体写作程文初稿定稿凝聚着心血汗水次文写作中指导老师带种专业知识指导宝贵修改意见丝苟作风严谨求实态度深受感动没样帮忙关怀熏陶会利完成毕业文指导老师表示深深感谢崇高敬意毕业际机会四年中予诸教诲帮忙位老师表示衷谢意感谢四年辛勤栽培积跬步千里位课老师认真负责悉心帮忙支持够掌握运专业知识文中体现利完成毕业文时文写作程中参考相关书籍报刊文里关作者表示谢意
学四年期间位课老师家朋友帮助关爱私帮忙克服重重困难利完成学务回首前事犹昨日关心帮忙忘美回忆毕业文段时间里启发提出宝贵意见帮忙表示衷心感谢路漫漫修远吾求索愿未学研究程中更加丰厚成果答谢前关心帮忙支持老师学
附 录
关新沂市瓦窑中学学生数学纳法学方面调查问卷
1解决证明题时否喜欢数学纳法？单选
A喜欢（跳第二题）B喜欢（跳第三题）
2喜欢数学纳法解决问题原？选
A数学纳法限步骤证明限步骤问题
B数学纳法理解简单便捷
C数学纳法蕴含数学思想感兴趣
D数学纳法解决问题成感
3喜欢数学纳法解决问题原？选
A参考答案长长证明程头疼
B理解数学纳法第二步骤
C理解数学纳法第二步骤时会式分解者添项减项等变形技巧
D知道数学纳法意义
4数学纳法步骤分步？单选
A步 B两步 C三步 D 四步
5否理解数学纳法第二步骤？单选
A理解
B理解套数学纳法步骤进行解题
C理解
6数学纳法时常犯错误什？选
A粗心导致证明第步骤时出错
B理解第二步骤导致知证明
C某式分解者添项减项等变形技巧会导致法证明第二步骤
D粗心导致式分解者添项减项等变形技巧出错导致第二步骤证明出错
E_____________________
7认未数学纳法学方面需方面继续努力？选
A需头开始学数学纳法
B需理层面继续理解数学纳法第二步骤
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