解析法核形层次性分析
摘 解析法问题中种十分重方法解析法形成根直角坐标系创建笛卡尔创建直角坐标系代数建立座桥梁创造代数方法研究图形方法解析形成解析法核心通直角坐标系转换成代数式方法解决问题形求解轨迹方程形式般方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程转换成动直线方法求直纹面方程层次表示解析法层次性通解析法五步骤进行分析学生学核心图形题目中层次性进行分析发现中学生题目中图形理解程度够图形坐标进行结合导致找应解析式难出问题解决解析法形五层次性步骤应体现解析法灵活性深刻性
关键词： 解析法 解析 数形结合 直角坐标系 代数
Hierarchical Analysis of Kernel and Shape in Analytical Method
Abstract Analytic method is a very important method in today＇s geometric problems The formation of analytic method depends on the creation of rectangular coordinate system Descartes created the Cartesian coordinate system built a bridge in algebra and geometry created the method of using algebra to study geometry and thus the analytic geometry was formed The core of the analytic method is to solve the geometric problem by converting the geometry into algebraic form in rectangular coordinate system By solving the general trajectory equation solving the parameter equation of the trajectory equation finding the trajectory equation with the vector formula parameter equation eliminating M1 finding the trajectory square Cheng using the method of moving point into moving straight line to find these levels of straight surface equation representing the analytic hierarchy process Through the analysis of the five steps of the analytic method the students learn its core and the level of graphics in the topic to analyze found that the students do not understand the degree of graphics in the topic graphics and coordinates can not be well combined resulting in the subsequent search for its corresponding analytic formula is difficult to come up with the problem can not be solved The application of analytic form and fivelevel steps reflects the flexibility and depth of analytic method
KEY WORDSanalytic method analytic geometry Number combinationRectangular coordinate system algebra
目 录
引 言……………………………………………………………………………………………………2
1 研究题概况………………………………………………………………………4
11 解析法概念法…………………………………………………4
12 解析法意义…………………………………………………4
2 学解析法程中存问题…………………………………………………5
3 问题成分析………………………………………………………5
31 学生存问题分析………………………………………………6
32 老师存问题分析………………………………………………………6
4 策建议……………………………………………………6
41 研究材料…………………………………………6
42建议…………………………………………7
43策…………………………………………7
5案例分析…………………………………9
51例题………………………………9
52分析………………………………17
结…………………………………………………………………………………18
参考文献……………………………………………………………………………………19
致谢………………………………………………………………………………20
引言
解析法通代数方法进行研究笛卡尔建立直角坐标系代数两方面紧紧联系起运代数计算通直角坐标系转化解决问题时引发巨轰动开辟问题解决先河引发时数学家探讨数学家找数学研究新陆数学家前赴继努力逐步完善建立解析课程通问题图形研究通直角坐标系问题转换成代数问题解决通解题发现外延方法样性通般方程参数方程量式参数方程求解消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程层次进行研究希通分析够找图形间关联达方便解题效果学生学解析法更鉴
1研究题概况
11解析法概念法
解析法概念：解析法通直角坐标系代数方法解决问题
解析法概念点通直角坐标系转换成坐标形式然问题准换成代数问题解决
解析法核容代数化通直角坐标系桥梁轨迹动点坐标表示方程解决问题
形应形式样外延应形态轨迹方程轨迹方程参数方程量式参数方程程
层次性表现般方程参数方程量式参数方程求解消M1求轨迹方程动直线求直纹面方程进行研究体现解析法灵活性深刻性
12解析法意义
解析历史意义：侯维民（1998）谈解析产生背景方法意义[1]p12李铁安宋庆（2007）高中解析教学策略——数学史视角[2]p9094王兴成（1997）直角坐标系创始──笛卡尔[3]p49笛卡尔病重起时候然忘数学研究生病时候想着数学问题否够图形代数方程联系起期间想方法然毫头绪没点思路没放弃研究数学家探索钻研精神轻易放弃学点数学问题探索研究中勇直前轻言放弃直探索钻研够成功然笛卡尔成功功蜘蛛 予笛卡尔灵感带着笛卡尔走出困境蜘蛛墙角通吐丝丝线爬爬引发笛卡尔进行思考想否够通三条轴确定点位置接进行研究终创立直角坐标系见笛卡尔伟数学家钻研时候认真微事物放抓住切抓住细细节研究出直角坐标系方法直角坐标系创立解析学派创立基础解析基础解析法解析法代数解决问题然中中间媒介直角坐标系解析法程中代数充分代数方法极应解析法时候会许方法解决题目方法样性解析应中解析法解题方法形式样性展现解析法灵活性深刻性特点
2学生学解析法程中存问题
通王晓荣（1998）培养学生空间想象力逻辑思维力黄燕玲[4]p4345（2000）试析解析数学方法特点[5]p5558朱丽丽（2002） 关立体课程设置较研究[6]p131张 （2016）解析学中存问题教学策研究[7]p158王建云（2019） 高中学生学解析易犯逻辑错误剖析[8]p154156文献分析出学生图形理解足解析式熟悉建立直角坐标系问题计算问题四方面存问题
学生应解析法时候部班进行设未知量标注容代数化时候手解析法核代数方法解决学生通题目分析已知条件快出方法结合中图形特征进行分析学生图形认知差没数感全死记硬背段时间基忘学生解决解析问题时候写出前面点点面步骤手计算力中学生扣分重点解析字母条件导致计算量偏学生容易丢三落四导致计算错误
学生探究力足学生学程中会知识应熟练图形感知力差造成解题困难等系列问题首先学生知识储备够探究力差知识掌握全题目开始束手策甚方法差题目稍微改点会次数学应该标注完条件题目什方法解题步极阻碍图形理解没探究图形奥秘知识理解程度够
问题学生直角坐标系图形结合解足导致题目中直角坐标系图形时思维混乱够第时间想出正确解题思路形外延认知足停留解般轨迹方程层次发展般轨迹方程参数方程甚轨迹量式参数方程应次题目中已知量未知量标注解题目概找出应方法进行步解题解题方法欠缺知识掌握够熟练快速找出应方法学生图形特征解充分图形特殊性考试重点通图形中性质解决问题般轨迹方程求解轨迹方程参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程层次进行研究出问题需空间思维力足图形性质理解深刻代数方法选迷茫手导致学生解析法应足解析法核形掌握足解题困难加
3问题成分析
31 学生存问题分析
解析法应解析中应广泛重 点理解解析法解决问题思想然列出求解方程式解析法代数方法解决问题中笛卡尔直角坐标系代数直角坐标系相结合直角坐标系中呈现出学生说难点题目中已知条件构建直角坐标系中找应代数关系解决问题代学生直角坐标系应完善常标错已常态空间思维力够问题字母容易代入时候出错代入式子长容易漏数字强坐标认知够强代数方法解决问题难点代数方法应学生够完善代数方法解决问题难点代数方法应学生够完善代数理解知半解良应中知识体系解决问题学生直角坐标系理解够透彻初步解直角坐标系身特征直角坐标系掌握差方面学生加强题目训练动手探究解中性质通实际题目训练解直角坐标系中关系中发现数学乐趣老师应该教学程中注意学生探究培养学生仅仅着老师思路走探究学生解题发现直角坐标系奥秘题目方法分析解析法重点找方法方法简便进行长时间做题目积累验加强知识储备方法应理解进行记忆强化题目想出应方法已达解析法应求坐标系图形结合处迷茫状态快速出中关系图形外延仅仅停留般轨迹方程应没参数方程量式参数方程发展解析法方法掌握足导致做题困难解析法核形解够深刻做题困难理应计算问题永远解析中导致计算错误
32教师存问题分析
学生课学程中注意知识探究实践训练力足做题理解着老师思路进行步操作没思考老师课时候注意发散学生思维力忽视学生探究学生训练足导致学生图形解保存图形身质特征阶段图形图形间关系知识存知识空白状态学生空间思维力足王晓荣（1998）培养学生空间想象力逻辑思维[4]面寻找方法解决问题学生综合力体现没通量题目训练题目中图形理解强化知识储备学生教学仅解决般轨迹方程参数方程联系轨迹量式参数方程研究更少致学生问题求解时方法掌握足解题困难进行解题时候学生估计没进行深入思考错题没继续进行探讨稍微订正甚抄录正确答案题目理解放没找相似题目训练时记忆勉强做天回原点学生错题复效率抓紧知识掌握牢知识衔接应力弱造成解析法应力弱学生做题困难
4 策建议
41研究材料
通王丽丽刘晓晖（2004）立体面化处理方法技巧[9]p4950李雪徐福（2007）辩证法逻辑解析法张岱年哲学方法两基法[10]p4243李铁安（2007） 基笛卡数学思想高中解析教学策略研究[11]p190万义（2013） 高中解析探究式教学实践[12]p146陆文凤（2013） 立体教学研究[13]p120张琳（2016） 立体教学解题方法研究[14]p155熊露赵思林（2019）解析法应[15]p59Seyed Hashem Alavi Hamidreza Eipakchi （2019）Geometry and load effects on transient response of a VFGM annular plate An analytical approach[16]p179197研究出建议策
42建议：
解析法核心务求轨迹方程形层次性体现求种方法种类面五步骤进行解析法应层次题目进行研究
通常解析法般解题方法：(1)建立适坐标系设动点坐标（2）找出动点应满足关系（3）坐标表示关系（4）整理化简（5）检验
第步根题目图形相结合建立合适坐标系坐标系进行标注标已知量设未知数标注量家会步第二步根直角坐标系已知条件进行坐标化基步骤
第三步坐标系进行推理演算首先做图形坐标系分析找出两者联系（公定点交点等）条件进行代数关系推算出应关系式子第四步中未知量进行求解然转化求结果
学生通图形认识解决题目通结合数学图形直角坐标系相应题目条件出应关系通代数式方法解决问题抓住中图形关系解图形间关系通数形结合顾亚萍（2004） 数形结合思想方法教学研究[17]p150杨渭清（2003）解析思想方法数形结合转化中作[18]p7173出应条件关系加强图形认识通形层次性研究般轨迹方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线求直纹面方程方法进行层次研究体现解析法灵活性变性
代数式形式表示图形解析法核找应关系式子进行求解学生代数式子足够知识基础进行求解通题目进行训练熟练掌握图形转换成代数式方法求解学程中图形充分解图形坐标系关系结合思考出代数式进行解答计算问题需老师予题目练强化训练解决
43策：
通轨迹方程普通方程求解参数方程求解量式参数方程求解消M1方法求柱面锥面旋转曲面方程动直线求直纹面方程进行分析探讨中区联系出解析法灵活性深刻性概念
五步骤策
第步基步骤关键建立合适坐标系量点坐标轴清晰标出应条件进行思考更清楚表达中应关系建立合适直角坐标系运算中起极作点存坐标轴方便代数式代入计算时减少学生计算中麻烦解题速度加快留更长时间进行检验建立合适直角坐标系解决问题良开头题目中条件清晰见做题效率提高题目更快更解决
第二步先形分析通图形坐标系联系出条件学生缺少种图形感觉图形什思路没教师着重培养学生空间思维力图形概念学生建议引导学生探索图形中奥秘延展图形中点线面问题图形关系进行层层递进般方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程方面进行研究加强学生数形结合力 空间思维力促进学生探究力进行思考推测纳验证总结等思维力图形分析进行延展图形理解简单复杂引入通题目强化训练进行图形直角坐标系间联系理解引发学生思考达学生理解图形目时加强学生动手力做题图形定记忆达解图形目学生探索做题进行训练错题加深记忆完完全全弄明白中原理样够快速找中隐藏条件进行分析动手做题探究数学问题通实际动手操作进行记忆数学学探究程死记硬背通做题理解进行记忆总言形方面学生解图形特殊方里需学生探究学中应关系题目考部分题目中图形特殊性考点特殊图形方法特殊较容易出相应条件解图形特殊性结合图形直角坐标系结合题目条件出应满足关系代数式解决应问题充分应外形样性进行研究展现灵活性解决问题
第三步接着坐标方式表示中关系直角坐标系中坐标表示点需第步建立合适直角坐标系绝部分点坐标轴更方便进行标注表示点坐标量等刘川锋（2015）量立体面解析中应[19]p15够清晰表示出计算太复杂已知条件坐标化接转换代数式形式基础更容易出中点间应关系进行题目分析代数式更容易表示出
第四步核分析题目进行分析应代数方法进行解题方法灵活应显极重根动点关系出相应代数关系然根坐标找出应代数关系式解决问题教师教学程中学生思考什办法解决道题学生着思路走方法解决问题体现方法样性学生局限种方法解题懂灵活变通类型题目进行训练学生思维活跃起吃透部分常见题型学生种题目应该思考独立完成题目做练错题解应代数方法思考没方法解决问题根前面图形根图形外延进行分析出种代数式进行求解代数方法应熟练掌握代数方法应根图形特殊性进行代数方法选择然进行整合计算
第五步计算问题解析中计算重点字母标注条件容易搞混导致代入错误结果错者代入式子长容易漏掉项普通计算错误式子长容易出错学生运算时候步步跳步骤算完检验检验动点满足方程点轨迹方程计算力提高学生觉
中直角坐标系理解第重点准确认识直角坐标系中关系出题关条件进行接解题体现直角坐标系理解程度然重点根已条件分析出合适解题方法解析法体现数形结合思想方法曲线曲面研究种基方法研究数形结合密分引导学生发散思维力数转化形形转化数两方面学生练数感抽象问题简单化学生中更容易理清题目条件思路等促进解答题目效率数形结合思想助造轻松学氛围激发学生学兴趣拓展学生思维空间培养学生空间想象力助提高学生学效率教学质量学生探究力学生做中学学中乐数形结合思想方法熟练运解析法基石完善掌握种方法形数完美应够解析法第步中进行良图形分析接方法应提供基础
次形基础核进行分析完善解析法进行良应形基础核进行分析完善解析法进行良应方法选择图形分析选择根基图形出合适推理演算进行做题快速出结教师教学程中明确方法应出类型题目学生动手分析解决问题方法然进行讲解找出合适方法通题目种方法种题目方法进行纳总结予课题目进行强化训练学生程中动手做熟悉方法方法进行纳总结错题整理极重错题强化训练老师培养学生方法应力学生快速找出应方法进行解题中学生知识储备力着重注意点通断题目训练充实学生知识储备加强解析法分析应
解析法应根五基步骤进行研究探讨般形态表现轨迹方程形态根五步骤进行分析外延成般轨迹方程参数方程量参数式解决问题研究图形象般轨迹方程求解轨迹方程参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程进行研究解析法应形态灵活变产生形层次性根五步骤解决问题缺乏学生研究探索做题目进行分析记忆加强解析法容应运解析法灵活性更方便解决问题
5案例分析
51例题
例1已知两点分A（22）B（22）求满足条件||||4动点M轨迹方程什
解动点M轨迹充条件||||4
点M坐标（xy）表达
4
化简
xy2（x+y≧2）
例2已知P焦点双曲线动点求△F1F2P重心G轨迹方程
解设重心
代入出求轨迹方程
两题两种轨迹方程普通应普通方程参数方程两种形式体现形两种轨迹方程形式外延
例3x²16+y²8 1AB椭圆右顶点顶点M第象限椭圆点原点坐标求OAMB面积值
解1：连OM四边形面积三角形OAB三角形MAB组成
AB
直线AB方程x+y4AB行线方程l：x+y代入
x²16+y²8 1
化简
²+2y²16
直线lAB方l方程：
d值两行线间距离dmax
Smax
解法2设M中
S
时
Smax8
两种解法相较言解法二解析法直接通参数方程更快捷解出题答案解法通出方程代入方程进行运算四边形割成两三角形进行计算中代入步骤计算繁琐容易出错解题慢体现解析法处
例4圆直线滑动滚动求圆周点轨迹方程
解：取直角坐标系设半径b圆x轴滚动开始时P点位O点段时间运动圆x轴切点A圆心变C时r++
设
cos
|a
中参数P点参数方程
例5求联结两点A(123)B(214)线段垂直分面方程
解法1 题意AB中点O（150535）
AB确定法量n（ABC）（211243）（131）
点法式方程
1（x15）+（3）（y05）+1（z35）0
2x6y+2z70
解法2垂直分面AB等距离动点M（xyz）轨迹垂直分面点M特征性质||||
|| （1）
|| （2）
（1）式（2）式
化简
2x6y+2z70
两种方法解决方法通题目特殊性求垂直分面通AB找中点MM垂直分面点通法量M直接点法式方程进行求解量参数方程种应通法量定点构成点法式方程求解方法二常规解法通量关系解决问题图形进行解特殊解析式解决问题
例6已知线三点求三点面方程
解根量式参数方程分消参数
改成
已知交点
截距式方程：
例7求xOy坐标 面半径等R圆心原点圆方程
解 O球心半径R球面坐标xOy交线圆方程
理参数方程表达设量函数rr（t）
r（t）x（t）e1+y（t）e2+z（t）e3
中t参数
题轨迹方程发展应量式参数方程应解析法直角坐标系进行解题中量应必少通量应引入量式参数方程进行解决体现解析法方法样性灵活应题目中条件方法进行解题
例8柱面准线方程母线方数101求柱面方程
解设准线点母线
设
(x+t)²+y²+(zt)²12(x+t)²+2y²+(zt)²2
化简
(zt)²0tz
求柱面方程
(x+z)²+y²1
x²+y²+z²+2xz10
例9已知圆柱面轴 点（121）圆柱求圆柱面方程
解轴方量轴定点圆柱面点轴距离
设圆柱面意点
例10求三条行线圆柱面方程
解准线点方直线方程
代入准线方程消t
例11已知空间两异面直线间距离夹角两条直线分作面两面相互垂直求样两面交线轨迹
解：建立直角坐标系：两异面直线公垂线z轴公垂线中点原点Ox轴二异面直线夹角相等：
两条直线面：
二面交线：
二异面直线相交时消
（单叶双曲面）求轨迹方程
二异面直线直交时
时轨迹面
时轨迹面
二异面直交时动直线轨迹面二面
例12求三坐标轴母线圆锥面方程
解锥面意点M顶点O母线
令准线交点存t
代入准线方程消t
圆锥面方程
例13求列三条直线面直线构成曲面
解：设第条直线相交第二条直线面：
p直线面
动直线方程
消参数
求轨迹方程
题面问题中通消动点（M）消动直线两种方法进行面方程求解曲面中动点动直线应消动点消动直线体现解析法层次性方法样性体现解析法灵活性深刻性
52分析：
例1例2轨迹方程普通方程求解核参数方程求解例3例7关量式参数方程求解例8消M1方法求解曲面方程动直线求曲面方程普通方程求解参数方程求解体现方法延伸通参数方程更容易解出题目接量式参数方程应通参数方程量（法量方量）结合更容易解决复杂问题体现解析法灵活性接着消M1方法求曲面方程通设点代入方程消点出方程通动直线方程结合消中参数出直纹面轨迹方程通轨迹方程运算体现解析法灵活性深刻形解析法应程中方法变灵活通种方法进行解决问题促进学生思维力发展发展学生探究意识
先普通求方程参数方程问题根题意容易解量相联系参数方程通出条件根直角坐标系已知量分干量进行求解进行整合出参数方程曲面方程根题目条件设条件关点M坐标通进行方程运算出求曲面方程通动点进行动线运算线数点形成面数点线形成通中关系层层递进求解抓牢步行首先图形分析准确找出中关键点建立直角坐标系点坐标轴方便理清题目条件点坐标化通图形坐标联系出中代数关系进行求解检验防计算错误
解析法五步骤应分三层次点线面间关系层层递进关系述题通层次层层递进进行简单复杂点线面逐步加深题出解析法形图形认知理解图形认识许题目中予隐藏条件正隐藏条件解题思路铺路图形直角坐标系相结合良开端建立合适直角坐标系解决问题图形外延中点层次设点坐标形式表现出结合图形直角坐标系出代数式求解解决数问题：线层次线数点构成样设点直角坐标系中找出两点坐标表示出直线方程中参数方程应频率逐渐增加通轨迹方程参数方程运算更容易出结面层次面数点线构成中包含点线运算面运算中参数方程应较常见曲面点特征值点坐标xyz间关系表达然通量间关系求解出参数方程转换成般形式通量参数方程应解决问题包括：截距式方程点法式方程等
形层次层层递进解析动态问题体现通般方程求解应参数方程求解应量式参数方程进行求解消M1法应消动直线求直纹面方程分析拓展学生思维力时激发学生探索力提高学生数学学力做题时应形态变灵活变助解题
核应形应出条件选择满足条件解析式进行接运算核分析根形结进行应代数式应中通中特殊性采量设点进行运算量应方便解题应十分广泛通常量方法解决问题事半功倍量频繁应会衍生出量参数方程进行求解般死解更快捷简便计算量减
结
解析法核心务求轨迹方程形层次性体现求种方法种类解析法代数方法解决问题建立合适直角坐标系通里面条件进行条件坐标化结合图形坐标系进行分析该种代数方法解决问题代数方法应熟练需做题积累图形解进行化简运算忘记检验中字母繁检查条件标注计算串数字需悉心检验计算解析法通形外延进行题目方法分析形外延基基轨迹方程求解方法方法形式样性体现解析法灵活性应五步骤进行分析曲面方程中消动点方法消动直线方法进行层次讨源动点问题基础思路方法外延样性体现解析法灵活性核研究前面图形剖析采取应解析式解决问题出答案解析法意境深远法样笛卡尔建立直角坐标系提出代数方法解决问题时拓宽类发展思维时数学家全新方研究学飞速发展举创立解析门解析法基础课程解析法创立体现代类智慧精华数学研究道路迈出步笛卡尔前验必缺部分解析法仅种解题方法督促进行探索事学程中需发现探索程发现研究东西牢牢记住探索精神研究数学发展数学通外延方法分析五步骤直纹面问题中消动点消直线出直纹面方程层次分析体现解析法定历史位根应灵活性深刻性
足处：力足解析法良应够完善实践力足提出建议加实践检验合理性
继续研究问题：该样加强学生学解析法力学生解析法解更深刻更处理坐标系问题学生结合坐标图形轻松找应方法解决问题
参考文献：
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[2] 李铁安宋庆高中解析教学策略——数学史视角[J]数学教育学报2007(02)9094
[3] 王兴成直角坐标系创始──笛卡尔[J]中学数学教学参考1997(04)49
[4] 王晓荣培养学生空间想象力逻辑思维力[J]延安教育学院学报1998(02)4345
[5] 黄燕玲试析解析数学方法特点[J]河池师范高等专科学校学报(然科学版)2000(02)5558
[6] 朱丽丽 关立体课程设置较研究[D]首师范学2002
[7] 张 解析学中存问题教学策研究[D]苏州学2016
[8] 王建云 高中学生学解析易犯逻辑错误剖析[C] 国家教师科研专项基金科研成果2019（五）国家教师科研基金理办公室2019154156
[9] 王丽丽刘晓晖立体面化处理方法技巧[J]濮阳职业技术学院学报2004(02)4950
[10] 李雪徐福辩证法逻辑解析法张岱年哲学方法两基法[J]史文苑2007(12)4243
[11] 李铁安 基笛卡数学思想高中解析教学策略研究[D]西南学2007
[12] 万义 高中解析探究式教学实践[D]蒙古师范学2013
[13] 陆文凤 立体教学研究[D]蒙古师范学2013
[14] 张琳 立体教学解题方法研究[D]西北学2016
[15] 熊露赵思林解析法应[J]中学数学2019(09)5961
[16] Seyed Hashem Alavi Hamidreza Eipakchi Geometry and load effects on transient response of a VFGM annular plate An analytical approach 2019 70(2)179197
[17] 顾亚萍 数形结合思想方法教学研究[D]南京师范学2004
[18] 杨渭清解析思想方法数形结合转化中作[J]西安联合学学报2003(04)7173
[19] 刘川锋量立体面解析中应[J]中国校外教育2015(33)15
致谢
写文段充满奋斗期间带学生生涯限激情收获写文中感谢老师学带帮助克服困难终完成篇文特感谢文指导老师指导私进行文修改改进时感谢位学者专
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摘 解析法问题中种十分重方法解析法形成根直角坐标系创建笛卡尔创建直角坐标系代数建立座桥梁创造代数方法研究图形方法解析形成解析法核心通直角坐标系转换成代数式方法解决问题形求解轨迹方程形式般方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程转换成动直线方法求直纹面方程层次表示解析法层次性通解析法五步骤进行分析学生学核心图形题目中层次性进行分析发现中学生题目中图形理解程度够图形坐标进行结合导致找应解析式难出问题解决解析法形五层次性步骤应体现解析法灵活性深刻性
关键词： 解析法 解析 数形结合 直角坐标系 代数
Hierarchical Analysis of Kernel and Shape in Analytical Method
Abstract Analytic method is a very important method in today＇s geometric problems The formation of analytic method depends on the creation of rectangular coordinate system Descartes created the Cartesian coordinate system built a bridge in algebra and geometry created the method of using algebra to study geometry and thus the analytic geometry was formed The core of the analytic method is to solve the geometric problem by converting the geometry into algebraic form in rectangular coordinate system By solving the general trajectory equation solving the parameter equation of the trajectory equation finding the trajectory equation with the vector formula parameter equation eliminating M1 finding the trajectory square Cheng using the method of moving point into moving straight line to find these levels of straight surface equation representing the analytic hierarchy process Through the analysis of the five steps of the analytic method the students learn its core and the level of graphics in the topic to analyze found that the students do not understand the degree of graphics in the topic graphics and coordinates can not be well combined resulting in the subsequent search for its corresponding analytic formula is difficult to come up with the problem can not be solved The application of analytic form and fivelevel steps reflects the flexibility and depth of analytic method
KEY WORDSanalytic method analytic geometry Number combinationRectangular coordinate system algebra
目 录
引 言……………………………………………………………………………………………………2
1 研究题概况………………………………………………………………………4
11 解析法概念法…………………………………………………4
12 解析法意义…………………………………………………4
2 学解析法程中存问题…………………………………………………5
3 问题成分析………………………………………………………5
31 学生存问题分析………………………………………………6
32 老师存问题分析………………………………………………………6
4 策建议……………………………………………………6
41 研究材料…………………………………………6
42建议…………………………………………7
43策…………………………………………7
5案例分析…………………………………9
51例题………………………………9
52分析………………………………17
结…………………………………………………………………………………18
参考文献……………………………………………………………………………………19
致谢………………………………………………………………………………20
引言
解析法通代数方法进行研究笛卡尔建立直角坐标系代数两方面紧紧联系起运代数计算通直角坐标系转化解决问题时引发巨轰动开辟问题解决先河引发时数学家探讨数学家找数学研究新陆数学家前赴继努力逐步完善建立解析课程通问题图形研究通直角坐标系问题转换成代数问题解决通解题发现外延方法样性通般方程参数方程量式参数方程求解消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程层次进行研究希通分析够找图形间关联达方便解题效果学生学解析法更鉴
1研究题概况
11解析法概念法
解析法概念：解析法通直角坐标系代数方法解决问题
解析法概念点通直角坐标系转换成坐标形式然问题准换成代数问题解决
解析法核容代数化通直角坐标系桥梁轨迹动点坐标表示方程解决问题
形应形式样外延应形态轨迹方程轨迹方程参数方程量式参数方程程
层次性表现般方程参数方程量式参数方程求解消M1求轨迹方程动直线求直纹面方程进行研究体现解析法灵活性深刻性
12解析法意义
解析历史意义：侯维民（1998）谈解析产生背景方法意义[1]p12李铁安宋庆（2007）高中解析教学策略——数学史视角[2]p9094王兴成（1997）直角坐标系创始──笛卡尔[3]p49笛卡尔病重起时候然忘数学研究生病时候想着数学问题否够图形代数方程联系起期间想方法然毫头绪没点思路没放弃研究数学家探索钻研精神轻易放弃学点数学问题探索研究中勇直前轻言放弃直探索钻研够成功然笛卡尔成功功蜘蛛 予笛卡尔灵感带着笛卡尔走出困境蜘蛛墙角通吐丝丝线爬爬引发笛卡尔进行思考想否够通三条轴确定点位置接进行研究终创立直角坐标系见笛卡尔伟数学家钻研时候认真微事物放抓住切抓住细细节研究出直角坐标系方法直角坐标系创立解析学派创立基础解析基础解析法解析法代数解决问题然中中间媒介直角坐标系解析法程中代数充分代数方法极应解析法时候会许方法解决题目方法样性解析应中解析法解题方法形式样性展现解析法灵活性深刻性特点
2学生学解析法程中存问题
通王晓荣（1998）培养学生空间想象力逻辑思维力黄燕玲[4]p4345（2000）试析解析数学方法特点[5]p5558朱丽丽（2002） 关立体课程设置较研究[6]p131张 （2016）解析学中存问题教学策研究[7]p158王建云（2019） 高中学生学解析易犯逻辑错误剖析[8]p154156文献分析出学生图形理解足解析式熟悉建立直角坐标系问题计算问题四方面存问题
学生应解析法时候部班进行设未知量标注容代数化时候手解析法核代数方法解决学生通题目分析已知条件快出方法结合中图形特征进行分析学生图形认知差没数感全死记硬背段时间基忘学生解决解析问题时候写出前面点点面步骤手计算力中学生扣分重点解析字母条件导致计算量偏学生容易丢三落四导致计算错误
学生探究力足学生学程中会知识应熟练图形感知力差造成解题困难等系列问题首先学生知识储备够探究力差知识掌握全题目开始束手策甚方法差题目稍微改点会次数学应该标注完条件题目什方法解题步极阻碍图形理解没探究图形奥秘知识理解程度够
问题学生直角坐标系图形结合解足导致题目中直角坐标系图形时思维混乱够第时间想出正确解题思路形外延认知足停留解般轨迹方程层次发展般轨迹方程参数方程甚轨迹量式参数方程应次题目中已知量未知量标注解题目概找出应方法进行步解题解题方法欠缺知识掌握够熟练快速找出应方法学生图形特征解充分图形特殊性考试重点通图形中性质解决问题般轨迹方程求解轨迹方程参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程层次进行研究出问题需空间思维力足图形性质理解深刻代数方法选迷茫手导致学生解析法应足解析法核形掌握足解题困难加
3问题成分析
31 学生存问题分析
解析法应解析中应广泛重 点理解解析法解决问题思想然列出求解方程式解析法代数方法解决问题中笛卡尔直角坐标系代数直角坐标系相结合直角坐标系中呈现出学生说难点题目中已知条件构建直角坐标系中找应代数关系解决问题代学生直角坐标系应完善常标错已常态空间思维力够问题字母容易代入时候出错代入式子长容易漏数字强坐标认知够强代数方法解决问题难点代数方法应学生够完善代数方法解决问题难点代数方法应学生够完善代数理解知半解良应中知识体系解决问题学生直角坐标系理解够透彻初步解直角坐标系身特征直角坐标系掌握差方面学生加强题目训练动手探究解中性质通实际题目训练解直角坐标系中关系中发现数学乐趣老师应该教学程中注意学生探究培养学生仅仅着老师思路走探究学生解题发现直角坐标系奥秘题目方法分析解析法重点找方法方法简便进行长时间做题目积累验加强知识储备方法应理解进行记忆强化题目想出应方法已达解析法应求坐标系图形结合处迷茫状态快速出中关系图形外延仅仅停留般轨迹方程应没参数方程量式参数方程发展解析法方法掌握足导致做题困难解析法核形解够深刻做题困难理应计算问题永远解析中导致计算错误
32教师存问题分析
学生课学程中注意知识探究实践训练力足做题理解着老师思路进行步操作没思考老师课时候注意发散学生思维力忽视学生探究学生训练足导致学生图形解保存图形身质特征阶段图形图形间关系知识存知识空白状态学生空间思维力足王晓荣（1998）培养学生空间想象力逻辑思维[4]面寻找方法解决问题学生综合力体现没通量题目训练题目中图形理解强化知识储备学生教学仅解决般轨迹方程参数方程联系轨迹量式参数方程研究更少致学生问题求解时方法掌握足解题困难进行解题时候学生估计没进行深入思考错题没继续进行探讨稍微订正甚抄录正确答案题目理解放没找相似题目训练时记忆勉强做天回原点学生错题复效率抓紧知识掌握牢知识衔接应力弱造成解析法应力弱学生做题困难
4 策建议
41研究材料
通王丽丽刘晓晖（2004）立体面化处理方法技巧[9]p4950李雪徐福（2007）辩证法逻辑解析法张岱年哲学方法两基法[10]p4243李铁安（2007） 基笛卡数学思想高中解析教学策略研究[11]p190万义（2013） 高中解析探究式教学实践[12]p146陆文凤（2013） 立体教学研究[13]p120张琳（2016） 立体教学解题方法研究[14]p155熊露赵思林（2019）解析法应[15]p59Seyed Hashem Alavi Hamidreza Eipakchi （2019）Geometry and load effects on transient response of a VFGM annular plate An analytical approach[16]p179197研究出建议策
42建议：
解析法核心务求轨迹方程形层次性体现求种方法种类面五步骤进行解析法应层次题目进行研究
通常解析法般解题方法：(1)建立适坐标系设动点坐标（2）找出动点应满足关系（3）坐标表示关系（4）整理化简（5）检验
第步根题目图形相结合建立合适坐标系坐标系进行标注标已知量设未知数标注量家会步第二步根直角坐标系已知条件进行坐标化基步骤
第三步坐标系进行推理演算首先做图形坐标系分析找出两者联系（公定点交点等）条件进行代数关系推算出应关系式子第四步中未知量进行求解然转化求结果
学生通图形认识解决题目通结合数学图形直角坐标系相应题目条件出应关系通代数式方法解决问题抓住中图形关系解图形间关系通数形结合顾亚萍（2004） 数形结合思想方法教学研究[17]p150杨渭清（2003）解析思想方法数形结合转化中作[18]p7173出应条件关系加强图形认识通形层次性研究般轨迹方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线求直纹面方程方法进行层次研究体现解析法灵活性变性
代数式形式表示图形解析法核找应关系式子进行求解学生代数式子足够知识基础进行求解通题目进行训练熟练掌握图形转换成代数式方法求解学程中图形充分解图形坐标系关系结合思考出代数式进行解答计算问题需老师予题目练强化训练解决
43策：
通轨迹方程普通方程求解参数方程求解量式参数方程求解消M1方法求柱面锥面旋转曲面方程动直线求直纹面方程进行分析探讨中区联系出解析法灵活性深刻性概念
五步骤策
第步基步骤关键建立合适坐标系量点坐标轴清晰标出应条件进行思考更清楚表达中应关系建立合适直角坐标系运算中起极作点存坐标轴方便代数式代入计算时减少学生计算中麻烦解题速度加快留更长时间进行检验建立合适直角坐标系解决问题良开头题目中条件清晰见做题效率提高题目更快更解决
第二步先形分析通图形坐标系联系出条件学生缺少种图形感觉图形什思路没教师着重培养学生空间思维力图形概念学生建议引导学生探索图形中奥秘延展图形中点线面问题图形关系进行层层递进般方程求解参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程方面进行研究加强学生数形结合力 空间思维力促进学生探究力进行思考推测纳验证总结等思维力图形分析进行延展图形理解简单复杂引入通题目强化训练进行图形直角坐标系间联系理解引发学生思考达学生理解图形目时加强学生动手力做题图形定记忆达解图形目学生探索做题进行训练错题加深记忆完完全全弄明白中原理样够快速找中隐藏条件进行分析动手做题探究数学问题通实际动手操作进行记忆数学学探究程死记硬背通做题理解进行记忆总言形方面学生解图形特殊方里需学生探究学中应关系题目考部分题目中图形特殊性考点特殊图形方法特殊较容易出相应条件解图形特殊性结合图形直角坐标系结合题目条件出应满足关系代数式解决应问题充分应外形样性进行研究展现灵活性解决问题
第三步接着坐标方式表示中关系直角坐标系中坐标表示点需第步建立合适直角坐标系绝部分点坐标轴更方便进行标注表示点坐标量等刘川锋（2015）量立体面解析中应[19]p15够清晰表示出计算太复杂已知条件坐标化接转换代数式形式基础更容易出中点间应关系进行题目分析代数式更容易表示出
第四步核分析题目进行分析应代数方法进行解题方法灵活应显极重根动点关系出相应代数关系然根坐标找出应代数关系式解决问题教师教学程中学生思考什办法解决道题学生着思路走方法解决问题体现方法样性学生局限种方法解题懂灵活变通类型题目进行训练学生思维活跃起吃透部分常见题型学生种题目应该思考独立完成题目做练错题解应代数方法思考没方法解决问题根前面图形根图形外延进行分析出种代数式进行求解代数方法应熟练掌握代数方法应根图形特殊性进行代数方法选择然进行整合计算
第五步计算问题解析中计算重点字母标注条件容易搞混导致代入错误结果错者代入式子长容易漏掉项普通计算错误式子长容易出错学生运算时候步步跳步骤算完检验检验动点满足方程点轨迹方程计算力提高学生觉
中直角坐标系理解第重点准确认识直角坐标系中关系出题关条件进行接解题体现直角坐标系理解程度然重点根已条件分析出合适解题方法解析法体现数形结合思想方法曲线曲面研究种基方法研究数形结合密分引导学生发散思维力数转化形形转化数两方面学生练数感抽象问题简单化学生中更容易理清题目条件思路等促进解答题目效率数形结合思想助造轻松学氛围激发学生学兴趣拓展学生思维空间培养学生空间想象力助提高学生学效率教学质量学生探究力学生做中学学中乐数形结合思想方法熟练运解析法基石完善掌握种方法形数完美应够解析法第步中进行良图形分析接方法应提供基础
次形基础核进行分析完善解析法进行良应形基础核进行分析完善解析法进行良应方法选择图形分析选择根基图形出合适推理演算进行做题快速出结教师教学程中明确方法应出类型题目学生动手分析解决问题方法然进行讲解找出合适方法通题目种方法种题目方法进行纳总结予课题目进行强化训练学生程中动手做熟悉方法方法进行纳总结错题整理极重错题强化训练老师培养学生方法应力学生快速找出应方法进行解题中学生知识储备力着重注意点通断题目训练充实学生知识储备加强解析法分析应
解析法应根五基步骤进行研究探讨般形态表现轨迹方程形态根五步骤进行分析外延成般轨迹方程参数方程量参数式解决问题研究图形象般轨迹方程求解轨迹方程参数方程求解量式参数方程求轨迹方程消M1求轨迹方程动点转换成动直线方法求直纹面方程进行研究解析法应形态灵活变产生形层次性根五步骤解决问题缺乏学生研究探索做题目进行分析记忆加强解析法容应运解析法灵活性更方便解决问题
5案例分析
51例题
例1已知两点分A（22）B（22）求满足条件||||4动点M轨迹方程什
解动点M轨迹充条件||||4
点M坐标（xy）表达
4
化简
xy2（x+y≧2）
例2已知P焦点双曲线动点求△F1F2P重心G轨迹方程
解设重心
代入出求轨迹方程
两题两种轨迹方程普通应普通方程参数方程两种形式体现形两种轨迹方程形式外延
例3x²16+y²8 1AB椭圆右顶点顶点M第象限椭圆点原点坐标求OAMB面积值
解1：连OM四边形面积三角形OAB三角形MAB组成
AB
直线AB方程x+y4AB行线方程l：x+y代入
x²16+y²8 1
化简
²+2y²16
直线lAB方l方程：
d值两行线间距离dmax
Smax
解法2设M中
S
时
Smax8
两种解法相较言解法二解析法直接通参数方程更快捷解出题答案解法通出方程代入方程进行运算四边形割成两三角形进行计算中代入步骤计算繁琐容易出错解题慢体现解析法处
例4圆直线滑动滚动求圆周点轨迹方程
解：取直角坐标系设半径b圆x轴滚动开始时P点位O点段时间运动圆x轴切点A圆心变C时r++
设
cos
|a
中参数P点参数方程
例5求联结两点A(123)B(214)线段垂直分面方程
解法1 题意AB中点O（150535）
AB确定法量n（ABC）（211243）（131）
点法式方程
1（x15）+（3）（y05）+1（z35）0
2x6y+2z70
解法2垂直分面AB等距离动点M（xyz）轨迹垂直分面点M特征性质||||
|| （1）
|| （2）
（1）式（2）式
化简
2x6y+2z70
两种方法解决方法通题目特殊性求垂直分面通AB找中点MM垂直分面点通法量M直接点法式方程进行求解量参数方程种应通法量定点构成点法式方程求解方法二常规解法通量关系解决问题图形进行解特殊解析式解决问题
例6已知线三点求三点面方程
解根量式参数方程分消参数
改成
已知交点
截距式方程：
例7求xOy坐标 面半径等R圆心原点圆方程
解 O球心半径R球面坐标xOy交线圆方程
理参数方程表达设量函数rr（t）
r（t）x（t）e1+y（t）e2+z（t）e3
中t参数
题轨迹方程发展应量式参数方程应解析法直角坐标系进行解题中量应必少通量应引入量式参数方程进行解决体现解析法方法样性灵活应题目中条件方法进行解题
例8柱面准线方程母线方数101求柱面方程
解设准线点母线
设
(x+t)²+y²+(zt)²12(x+t)²+2y²+(zt)²2
化简
(zt)²0tz
求柱面方程
(x+z)²+y²1
x²+y²+z²+2xz10
例9已知圆柱面轴 点（121）圆柱求圆柱面方程
解轴方量轴定点圆柱面点轴距离
设圆柱面意点
例10求三条行线圆柱面方程
解准线点方直线方程
代入准线方程消t
例11已知空间两异面直线间距离夹角两条直线分作面两面相互垂直求样两面交线轨迹
解：建立直角坐标系：两异面直线公垂线z轴公垂线中点原点Ox轴二异面直线夹角相等：
两条直线面：
二面交线：
二异面直线相交时消
（单叶双曲面）求轨迹方程
二异面直线直交时
时轨迹面
时轨迹面
二异面直交时动直线轨迹面二面
例12求三坐标轴母线圆锥面方程
解锥面意点M顶点O母线
令准线交点存t
代入准线方程消t
圆锥面方程
例13求列三条直线面直线构成曲面
解：设第条直线相交第二条直线面：
p直线面
动直线方程
消参数
求轨迹方程
题面问题中通消动点（M）消动直线两种方法进行面方程求解曲面中动点动直线应消动点消动直线体现解析法层次性方法样性体现解析法灵活性深刻性
52分析：
例1例2轨迹方程普通方程求解核参数方程求解例3例7关量式参数方程求解例8消M1方法求解曲面方程动直线求曲面方程普通方程求解参数方程求解体现方法延伸通参数方程更容易解出题目接量式参数方程应通参数方程量（法量方量）结合更容易解决复杂问题体现解析法灵活性接着消M1方法求曲面方程通设点代入方程消点出方程通动直线方程结合消中参数出直纹面轨迹方程通轨迹方程运算体现解析法灵活性深刻形解析法应程中方法变灵活通种方法进行解决问题促进学生思维力发展发展学生探究意识
先普通求方程参数方程问题根题意容易解量相联系参数方程通出条件根直角坐标系已知量分干量进行求解进行整合出参数方程曲面方程根题目条件设条件关点M坐标通进行方程运算出求曲面方程通动点进行动线运算线数点形成面数点线形成通中关系层层递进求解抓牢步行首先图形分析准确找出中关键点建立直角坐标系点坐标轴方便理清题目条件点坐标化通图形坐标联系出中代数关系进行求解检验防计算错误
解析法五步骤应分三层次点线面间关系层层递进关系述题通层次层层递进进行简单复杂点线面逐步加深题出解析法形图形认知理解图形认识许题目中予隐藏条件正隐藏条件解题思路铺路图形直角坐标系相结合良开端建立合适直角坐标系解决问题图形外延中点层次设点坐标形式表现出结合图形直角坐标系出代数式求解解决数问题：线层次线数点构成样设点直角坐标系中找出两点坐标表示出直线方程中参数方程应频率逐渐增加通轨迹方程参数方程运算更容易出结面层次面数点线构成中包含点线运算面运算中参数方程应较常见曲面点特征值点坐标xyz间关系表达然通量间关系求解出参数方程转换成般形式通量参数方程应解决问题包括：截距式方程点法式方程等
形层次层层递进解析动态问题体现通般方程求解应参数方程求解应量式参数方程进行求解消M1法应消动直线求直纹面方程分析拓展学生思维力时激发学生探索力提高学生数学学力做题时应形态变灵活变助解题
核应形应出条件选择满足条件解析式进行接运算核分析根形结进行应代数式应中通中特殊性采量设点进行运算量应方便解题应十分广泛通常量方法解决问题事半功倍量频繁应会衍生出量参数方程进行求解般死解更快捷简便计算量减
结
解析法核心务求轨迹方程形层次性体现求种方法种类解析法代数方法解决问题建立合适直角坐标系通里面条件进行条件坐标化结合图形坐标系进行分析该种代数方法解决问题代数方法应熟练需做题积累图形解进行化简运算忘记检验中字母繁检查条件标注计算串数字需悉心检验计算解析法通形外延进行题目方法分析形外延基基轨迹方程求解方法方法形式样性体现解析法灵活性应五步骤进行分析曲面方程中消动点方法消动直线方法进行层次讨源动点问题基础思路方法外延样性体现解析法灵活性核研究前面图形剖析采取应解析式解决问题出答案解析法意境深远法样笛卡尔建立直角坐标系提出代数方法解决问题时拓宽类发展思维时数学家全新方研究学飞速发展举创立解析门解析法基础课程解析法创立体现代类智慧精华数学研究道路迈出步笛卡尔前验必缺部分解析法仅种解题方法督促进行探索事学程中需发现探索程发现研究东西牢牢记住探索精神研究数学发展数学通外延方法分析五步骤直纹面问题中消动点消直线出直纹面方程层次分析体现解析法定历史位根应灵活性深刻性
足处：力足解析法良应够完善实践力足提出建议加实践检验合理性
继续研究问题：该样加强学生学解析法力学生解析法解更深刻更处理坐标系问题学生结合坐标图形轻松找应方法解决问题
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[18] 杨渭清解析思想方法数形结合转化中作[J]西安联合学学报2003(04)7173
[19] 刘川锋量立体面解析中应[J]中国校外教育2015(33)15
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