(毕业论文)张帆解析法的核与形的层次性分析


    解析法的核与形的层次性分析 摘要 解析法在如今的几何问题之中是一种十分重要的方法,解析法的形成要归根于直角坐标系创建。笛卡尔创建直角坐标系,在代数和几何上建立一座桥梁,创造用代数方法研究几何图形方法,由此解析几何形成。解析法的核心就是通过直角坐标系把几何转换成代数式的方法去解决几何问题,它的形就是求解轨迹方程的不同形式。一般方程求解,参数方程的求解,向量式参数方程求轨迹方程,消M1求轨迹方程,用转换成“动直线”的方法来求直纹面方程这些层次,表示解析法的层次性。通过对解析法的五个步骤进行分析,对学生学习它的核心与图形在题目中的层次性来进行分析,发现其中学生对于题目中图形的理解程度不够,图形与坐标不能很好的进行结合,导致之后对找其对应的解析式也难以得出,问题就解决不了了。解析法的形的与五层次性步骤的应用体现了解析法的灵活性与深刻性。 关键词: 解析法 解析几何 数形结合 直角坐标系 代数 Hierarchical Analysis of Kernel and Shape in Analytical Method Abstract Analytic method is a very important method in today's geometric problems. The formation of analytic method depends on the creation of rectangular coordinate system. Descartes created the Cartesian coordinate system, built a bridge in algebra and geometry, created the method of using algebra to study geometry, and thus the analytic geometry was formed. The core of the analytic method is to solve the geometric problem by converting the geometry into algebraic form in rectangular coordinate system. By solving the general trajectory equation, solving the parameter equation of the trajectory equation, finding the trajectory equation with the vector formula parameter equation, eliminating M1 finding the trajectory square. Cheng, using the method of “moving point“ into “moving straight line“ to find these levels of straight surface equation, representing the analytic hierarchy process. Through the analysis of the five steps of the analytic method, the students learn its core and the level of graphics in the topic to analyze, found that the students do not understand the degree of graphics in the topic, graphics and coordinates can not be well combined, resulting in the subsequent search for its corresponding analytic formula is difficult to come up with, the problem can not be solved. The application of analytic form and five-level steps reflects the flexibility and depth of analytic method. KEY WORDS:analytic method , analytic geometry , Number combination,Rectangular coordinate system, algebra 目 录 引 言……………………………………………………………………………………………………2 1 研究主题概况………………………………………………………………………4 1.1 解析法的概念用法…………………………………………………4 1.2 解析法的意义…………………………………………………4 2 学习解析法的过程中存在的问题…………………………………………………5 3 问题成因的分析………………………………………………………5 3.1 学生存在的问题分析………………………………………………6 3.2 老师存在的问题分析………………………………………………………6 4 对策与建议……………………………………………………6 4.1 研究材料…………………………………………6 4.2建议…………………………………………7 4.3对策…………………………………………7 5案例分析…………………………………9 5.1例题………………………………9 5.2分析………………………………17 结论…………………………………………………………………………………18 参考文献……………………………………………………………………………………19 致谢………………………………………………………………………………20 引言 解析法是通过代数的方法对几何进行研究,笛卡尔建立直角坐标系就把代数和几何这两个方面紧紧地联系在一起,运用代数的计算通过直角坐标系的转化可以解决几何的问题,在当时引发了巨大的轰动,开辟了几何问题解决的先河,引发了当时数学家的探讨,数学家找到了数学研究的新大陆,经过数学家们前赴后继的努力的逐步完善并建立了解析几何这一课程。通过对几何问题的图形的研究,我们可以通过直角坐标系将几何问题转换成代数问题解决,通过解题发现其外延,即方法的多样性,通过一般方程,参数方程,向量式参数方程求解,消M1求轨迹方程,用“动点”转换成“动直线”方法求直纹面方程这些层次进行研究,希望通过我的分析能够找到几何图形之间的关联,达到方便解题的效果,给学生学习解析法更多的借鉴。 1.研究主题的概况 1.1解析法的概念用法 解析法概念:解析法就是通过直角坐标系用代数的方法来解决几何问题。 解析法的概念就是把点通过直角坐标系转换成坐标的形式,然后把几何的问题准换成代数问题来解决。 解析法的“核”就是将几何内容代数化,通过直角坐标系为桥梁把轨迹上的动点用坐标表示得到方程解决问题。 “形”就是其应用的形式多样而外延,即应用的形态从轨迹方程到轨迹方程参数方程到向量式参数方程的过程。 层次性表现在一般方程,参数方程,向量式参数方程求解,消M1求轨迹方程,用“动直线”来求直纹面方程进行研究,体现解析法的灵活性和深刻性。 1.2解析法的意义 解析几何的历史意义:侯维民.(1998)谈解析几何产生的背景、方法和意义[1]p12李铁安,宋乃庆.(2007)高中解析几何教学策略——数学史的视角[2]p90-94,王兴成.(1997)直角坐标系的创始人──笛卡尔[3]p49。笛卡尔在病重不起的时候仍然忘不了数学研究,在他生病的时候还在想着一个数学的问题,就是是否能够把几何图形和代数方程联系起来,,在此期间他想了很多方法,但是仍然毫无头绪,没有一点的思路,但他也没有因此就放弃了研究,这就是数学家的探索钻研精神,使他不轻易放弃。这是我们所要学习的一点,在数学问题的探索与研究之中我们要勇往直前不轻言放弃,一直去探索钻研才能够成功。当然,笛卡尔成功了。这都要归功于一个小蜘蛛,是 它给予了笛卡尔灵感,带着笛卡尔走出了这个困境。小蜘蛛在墙角通过吐丝在丝线上爬来爬去,这就引发了笛卡尔进行思考,他在想是否能够通过三条轴来确定一点的位置。由此他接下来进行了研究,最终创立了直角坐标系。由此可见笛卡尔是一个伟大的数学家,在钻研的时候及其的认真,对于每一个微小的事物都不放过,抓住一切可抓住的细小的细节来研究出来直角坐标系这一方法。直角坐标系的创立是解析几何这一个学派创立的基础,解析几何的基础就是解析法,解析法就是用代数解决几何问题,当然其中的中间媒介就是直角坐标系。解析法在使用的过程中,是对代数的充分使用,代数的使用方法是极多的,所以在应用解析法的时候也会有许多不同的方法来解决题目,其方法的多样性,故而在解析几何的应用中,解析法的解题方法形式的多样性展现了解析法的灵活性与深刻性的特点。 2.学生学习解析法过程中存在的问题 通过王晓荣.(1998)培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力黄燕玲[4]p43-45.(2000)试析解析几何的数学方法论特点[5]p55-58,朱丽丽.(2002) 关于立体几何课程设置的比较与研究[6]p1-31,张平. (2016)解析几何学习中存在的问题及教学对策研究[7]p1-58,王建云.(2019) 高中学生学习解析几何易犯的逻辑错误剖析[8]p154-156的文献分析得出学生对图形的理解不足,对解析式的使用不熟悉,对建立直角坐标系的问题,以及计算问题这四方面存在问题。 学生在应用解析法的时候往往是按部就班的进行设未知量和标注,到对其几何内容代数化的时候就无从下手了。解析法的核是将几何用代数的的方法解决,学生通过对题目的分析到得到已知条件后,往往不能很快的得出方法,这也要结合其中的图形特征进行分析,如今的学生对图形的认知也很差,没有数感,全都靠死记硬背,过段时间就基本忘了,所以学生在解决解析几何问题的时候往往都是只能写出前面一点点,后面的步骤就无从下手了。计算能力也是其中学生扣分的一大重点,解析几何的字母多,条件多,导致计算量偏大,学生就很容易丢三落四,导致计算错误。 学生的自主探究能力的不足。从而学生在学习的过程中会对知识应用的不熟练,对图形的感知能力差,造成解题困难等一系列问题。首先这是学生的知识储备不够,探究能力差,对知识的掌握不全。在题目的一开始就束手无策,甚至方法差不多的题目稍微改一点就不会了。其次,大多数同学应该都是在标注完条件之后对题目用什么方法来解题这一步有极大的阻碍,这就是对图形的不理解,没有自主探究图形的奥秘,知识理解程度不够。 其问题就是学生对直角坐标系与图形结合的了解不足,导致看到题目中的直角坐标系与图形时思维混乱不能够第一时间想出正确的解题思路。对于“形”的外延的认知不足,还停留在解一般的轨迹方程这一层次上,要发展到一般轨迹方程的参数方程,甚至是轨迹的向量式参数方程的应用。其次在对题目中的已知量未知量标注之后,了解了题目的大概,也找不出对应的方法来进行下一步的解题。对解题方法的欠缺,知识的掌握不够熟练,不能快速找出对应的方法。学生对图形的特征了解不充分,每一个图形有哪些特殊性就是考试的重点,它们都是通过对图形中的一些性质来解决问题。在一般轨迹方程的求解,轨迹方程的参数方程的求解,用向量式参数方程求轨迹方程,消M1求轨迹方程,用“动点”转换成“动直线”的方法来求直纹面方程不同层次进行研究得出对于这些问题需要的空间思维能力不足对不同图形的不同性质理解不深刻,从而对于代数方法的选用也就很迷茫,无从下手,导致学生对解析法的应用的不足,解析法的核与形的掌握不足,从而解题的困难加大。 3.问题的成因分析 3.1 学生存在问题分析 解析法的应用在解析几何中应用广泛,其重 点是理解解析法解决问题的思想,然后列出求解的方程式。解析法是用代数的方法来解决几何的问题,其中就要用到笛卡尔的直角坐标系,将代数与直角坐标系相结合,在直角坐标系中呈现出来,对学生来说是一个难点。将题目中的已知条件构建在直角坐标系之中,再来找到对应的代数关系来解决问题,当代学生对直角坐标系的应用很不完善,经常标错已是常态,空间思维能力不够的一大问题,字母一多就容易在代入的时候出错,代入的式子也很长,容易漏数字,强,对几何坐标的认知不够强,再用代数的方法来解决问题也是一个难点,代数方法的应用学生也不够完善,再用代数的方法来解决问题也是一个难点,代数方法的应用学生也不够完善,对代数的理解是一知半解,不能良好的应用其中的知识体系解决问题。当今学生对直角坐标系的理解不够透彻,只是初步了解了直角坐标系的自身特征,对直角坐标系的掌握还是很差的,在这方面学生自己要加强题目的训练,自己去动手探究了解其中的性质,通过实际的题目训练了解直角坐标系其中的关系,从中发现数学的乐趣。老师也应该在教学的过程之中多注意对学生自主探究的培养,不要让学生仅仅是跟着老师的思路走,要有自己的探究,多让学生自己去解题,发现直角坐标系的奥秘。对于之后的题目方法的分析,也是解析法的重点,要找对方法,而且方法要简便,这要进行长时间的做题目积累经验来加强自己的知识储备。方法的应用还是要靠自己的理解去进行记忆强化,看到题目就能想出对应的方法是最好的了,已经达到了解析法应用的要求了。对坐标系与图形的结合也是处于迷茫的状态,不能快速得出其中的关系,对于图形的外延仅仅停留在一般轨迹方程的应用,没有向参数方程以及向量式参数方程发展,对解析法的方法掌握不足,从而导致做题的困难。对解析法的“核”与“形”了解都不够深刻,做题困难就是理所应当的。计算问题永远是解析几何中就导致计算的错误。 3.2教师存在的问题分析 学生在上课学习的过程之中不注意对知识的探究,实践训练的能力的不足,对做题理解都是顺着老师的思路进行下一步的操作,没有自己的思考。老师在上课的时候只注意发散学生的思维能力,从而忽视了学生的自主探究,对学生的训练的不足导致学生对图形的了解只保存在对图形自身本质特征的阶段,对图形与图形之间关系的知识存在了一个知识空白的状态,即学生空间思维能力的不足。王晓荣.(1998)培养学生的空间想象能力和逻辑思维能[4]后面的寻找方法解决问题,也是学生综合能力的体现,没有通过大量的题目的训练以及对题目中的图形的理解来强化自己的知识储备。对于学生的教学仅是解决一般的轨迹方程,对于参数方程的联系也不是很多,对轨迹的向量式参数方程的研究就更少了。致使学生在对几何问题求解时方法的掌握不足而解题困难。在进行解题的时候学生估计没有进行深入的思考,而且可能对于错题也没有继续进行探讨,只是稍微的订正一下,甚至只是抄录一下正确答案,对题目的理解就放任了。也没有去找几个相似的题目去训练,可能当时的记忆让你勉强做对,过几天可能就又回到原点。对于学生错题的复习效率要抓紧。对知识的掌握不牢靠,知识的衔接应用能力弱。造成了解析法应用能力弱,学生做题的困难。 4. 对策与建议 4.1研究材料 通过对王丽丽,刘晓晖.(2004)立体几何平面化的处理方法与技巧[9]p49-50,李雪,徐福来.(2007)辩证法与逻辑解析法:张岱年哲学方法论的两个基本法则[10]p42-43,李铁安.(2007) 基于笛卡儿数学思想的高中解析几何教学策略研究[11]p1-90,万义.(2013) 高中解析几何探究式教学与实践[12]p1-46,陆文凤.(2013) 立体几何教学研究[13]p1-20,张琳.(2016) 立体几何教学及解题方法研究[14]p1-55,熊露,赵思林.(2019)解析法及其应用[15]p59,Seyed Hashem Alavi, Hamidreza Eipakchi. (2019)Geometry and load effects on transient response of a VFGM annular plate: An analytical approach.[16]p179-197的研究得出以下建议与对策 4.2建议: 解析法的核心任务就是求轨迹方程,形的层次性体现在求各种方法的各种类别,用下面的五步骤进行解析法的应用,并对其不同层次的题目进行研究。 通常解析法的一般解题方法:(1)建立适当的坐标系设“动点”及其坐标(2)找出动点对应满足关系(3)用坐标表示关系(4)整理化简(5)检验 第一步根据题目与图形相结合建立合适的坐标系,并且在坐标系上进行标注,标好已知量,设未知数标注其他有用的量,这是大家都会的一步。第二步是根据直角坐标系把已知的条件进行坐标化,也是很基本的一个步骤。 第三步在坐标系内进行推理演算,首先要做的就是对图形与坐标系的分析,找出两者的联系(公共的定点,交点等),以此为条件进行代数关系的推算,得出对应的关系式子;第四步就是对其中的未知量进行求解,然后将其转化为所求的结果。 学生也要通过对图形的认识去解决题目,通过结合数学图形与直角坐标系去得到相应的题目条件去得出对应的关系,通过代数式的方法去解决问题,还是要抓住其中的图形的关系,要去多了解图形之间的关系,通过数形结合顾亚萍.(2004) 数形结合思想方法之教学研究[17]p1-50,杨渭清.(2003)解析几何思想方法在数形结合转化中的作用[18]p71-73来得出对应的条件关系,要加强对图形的认识,通过对“形”的层次性研究,即在一般轨迹方程求解,参数方程求解,向量式参数方程求轨迹方程,消M1求轨迹方程,用“动点”转换成“动直线”求直纹面方程来的方法来进行不同层次的研究。因此体现了解析法的灵活性,多变性。 用代数式的形式来表示几何图形是解析法的“核”,要找到对应的关系式子来进行求解,学生要对代数式子也要有足够的知识基础来进行求解,要通过对题目进行训练,熟练掌握图形转换成代数式的方法求解。在学习的过程中要对图形的充分的了解,对图形与坐标系的关系也要结合思考,得出代数式进行解答,计算的问题也是需要老师给予题目练习强化训练去解决。 4.3对策: 通过对轨迹方程普通方程的求解,参数方程的求解,用向量式参数方程的求解,消M1的方法求柱面锥面和旋转曲面的方程,依据“动直线”求直纹面方程进行分析,探讨其中的区别与联系,得出解析法的灵活性与深刻性概念。 五步骤的对策 第一步都是基本步骤,关键是建立合适的坐标系,尽量使点都在坐标轴上。清晰的标出对应的条件来进行思考,也能更清楚的表达其中的对应关系。建立合适的直角坐标系在之后的运算之中也起了极大的作用,点都存在于坐标轴之上方便代数式的代入计算,同时减少了学生在计算之中的麻烦,解题的速度也就加快了,留下来更长的时间来让我们进行检验。建立合适的直角坐标系是解决几何问题的一个良好的开头,让题目中的条件清晰可见,做题的效率也就提高了,题目也更快更好地解决。 第二步是先对“形”的分析了,通过图形与坐标系的联系来得出一些有用的条件,如今学生缺少的就是这种对图形的感觉,看到图形什么思路都没有,教师要着重培养学生的空间思维能力,对图形的概念要多给学生一些建议,引导学生探索图形之中的奥秘。延展图形中的点到线到面的问题的图形关系,进行层层递进,一般方程求解,参数方程求解,向量式参数方程求轨迹方程,消M1求轨迹方程,用“动点”转换成“动直线”的方法来求直纹面方程这些方面进行研究加强学生的数形结合的能力 ,空间思维能力来促进学生自主探究的能力,自己进行思考,推测,归纳,验证,总结等思维能力。把图形的分析进行延展,对图形的理解从简单到复杂的引入,通过不同的题目的强化训练来进行对图形以及直角坐标系之间的联系的理解引发学生的思考,从而达到学生理解图形的目的。同时要加强学生的动手能力多去做题,对图形就有一定的记忆,也达到了解图形的目的。学生也要自主探索多做题进行训练,对于错题要加深记忆,完完全全弄明白其中的原理。这样就能够快速的找到其中的隐藏条件来进行分析。自己动手去做题探究,数学的问题都是通过自己的实际动手操作去进行记忆的,数学的学习是一个自主探究的过程,它不是死记硬背,而是通过自己的做题理解来进行记忆,总而言之对于形这一方面学生要了解每一个图形它特殊的地方在哪里,这就需要学生的自主探究去学习其中的对应关系了,题目往往考的就是这一部分,题目中图形的特殊性是一大考点,特殊的图形往往用的方法也是特殊的,也就比较容易去得出相应条件。所以要了解图形的特殊性,结合图形与直角坐标系,再结合题目条件就能得出其对应的满足关系,得到代数式解决对应的问题。要充分的应用其外形的多样性进行研究,展现其灵活性来解决几何问题。 第三步接着就是用坐标的方式来表示其中的关系。在直角坐标系之中用坐标来表示各点,这需要第一步建立合适的直角坐标系了,绝大部分点都在坐标轴之上就更方便的去进行标注,用来表示点的坐标,向量等刘川锋.(2015)论向量在立体几何和平面解析几何中的应用[19]p15也能够清晰的表示出来,计算也不用太复杂。已知条件的坐标化也给接下来转换到代数式的形式打下了基础,更容易看出其中的点之间的对应的关系来进行对题目的分析,代数式也更容易表示出来了。 第四步对“核”的分析了,在对题目进行分析之后就要应用代数的方法来进行解题,这是方法的灵活应用就显得极为重要了。我们要根据对其动点的关系来的得出相应的代数关系,然后根据坐标找出对应的代数关系式来解决问题。教师在教学的过程中要让学生自己去思考用什么办法来解决这道题,不要让学生跟着自己的思路走,还要用不同的方法来解决问题,体现方法的多样性,不让学生局限于一种方法解题,要懂得灵活变通。多用不同类型的几何题目来进行训练,让学生的思维活跃起来,吃透大部分常见题型。学生对于这种题目也应该要自主思考,独立完成题目,多做多练,对于错题也要了解其对应的代数方法,再思考有没有其他的方法来解决问题。根据前面的图形,根据图形的外延进行分析来得出用何种代数式进行求解,从而对代数方法的应用得到熟练的掌握。对于代数方法的应用还是根据于图形的特殊性来进行代数方法的选择,然后来进行整合计算。 第五步最主要的是计算的问题了,解析几何中计算是一个大重点,字母多,要标注的也多,条件也多。很容易就搞混导致代入错误结果就错了;再者代入后式子也很长,也容易漏掉一项;普通的计算错误也有,式子长就容易出错。所以学生在运算的时候要一步一步来,不要跳步骤,算完后再检验一下,检验其动点满足方程,点在轨迹方程之上。计算能力的提高还是要看学生自己的自觉了。 其中对直角坐标系的理解是第一个重点,要准确的认识到直角坐标系中的关系,得出对本题有关的条件进行接下来的解题,这就体现对直角坐标系的理解程度了,然后重点是根据已有的条件来分析得出合适的解题方法。.解析法体现了数形结合的思想方法,也是几何曲线以及曲面研究的一种基本的方法.几何的研究与数形结合是密不可分的,引导学生发散思维能力。从数转化为形,从形转化为数这两个方面让学生练习他的数感,让抽象的问题简单化,学生在其中更容易理清题目的条件、思路等,促进解答题目的效率。数形结合的思想有助于打造一个轻松的学习氛围,激发学生的学习兴趣,拓展学生的思维空间,培养学生空间想象能力,助于提高学生的学习效率,教学质量以及学生的探究能力。让学生在做中学,学中乐。数形结合思想方法的熟练运用是解析法的基石,要完善掌握这种方法,对形与数的完美应用,就能够在解析法的第一步中进行良好的图形分析,为接下来方法的应用提供基础。 其次在形的基础之上对核进行分析完善,从而对解析法进行良好的应用。在形的基础之上对核进行分析完善,从而对解析法进行良好的应用。方法的选择就是看图形的分析来选择,根据基本的图形得出合适的推理演算进行做题,从而快速得出结论。教师在教学的过程之中明确方法的应用,给出不同类型的题目让学生自己动手去分析解决问题的方法,然后进行讲解,找出合适且的方法。通过不同的题目的同种方法,同种题目的不同方法进行归纳总结,再给予课后题目进行强化训练。学生也要在此过程之中自己动手去做,去熟悉不同的方法,对不同的方法进行归纳总结,错题的整理也极为重要,对错题也要强化训练。老师主要的是培养学生自己对方法的应用能力,让学生快速的找出对应的方法进行解题。其中学生的知识储备能力也是要着重注意点,通过不断的题目训练充实学生的知识储备,加强对解析法的分析与应用。 对于解析法的应用,还是要根据这五个基本步骤来进行研究探讨,其一般形态就是表现在轨迹方程的形态,根据五步骤进行分析外延成用一般轨迹方程的参数方程以及向量参数式来解决问题。研究图形的对象从一般轨迹方程的求解,轨迹方程的参数方程的求解,用向量式参数方程求轨迹方程,消M1求轨迹方程,用“动点”转换成“动直线”的方法来求直纹面方程进行研究,使得解析法的应用形态上灵活多变,产生了形的层次性。根据五步骤就可以解决问题,缺乏的是学生自己的研究探索,做好每一个题目,进行自我分析与记忆,来加强对解析法这一内容的应用,运用解析法的灵活性更方便的去解决几何问题。 5.案例分析 5.1例题 例1已知两点分别为A(-2,-2)和B(2,2),求满足条件||-||=4的动点M的轨迹方程是什么 解:动点M在轨迹上的充要条件是||-||=4 用点M的坐标(x,y)来表达就是 -=4 化简得 xy=2(x+y≧2) 例2已知P是以为焦点的双曲线上的动点,求△F1F2P的重心G的轨迹方程。 解设重心因为 则有 得 代入得出所求轨迹方程为 以上两题是对于两种轨迹方程的普通应用,是普通方程和参数方程两种形式,体现了其“形”的两种轨迹方程的形式,即外延。 例3x²/16+y²/8 =1,A,B是椭圆右顶点,上顶点,M是第一象限内椭圆上任一点,是原点坐标,求OAMB面积最大值。 解1:连OM,可得四边形面积可由三角形OAB和三角形MAB组成 AB=, 直线AB的方程为x+y=4,AB平行线方程l为:x+y=,将其代入 x²/16+y²/8 =1 化简得 ²+2y²=16 由得直线l在AB的上方,所以l的方程为: 从而d的最大值为两平行线之间的距离,dmax= Smax= 解法2设M其中 S= 时, Smax=8 由两种解法相比较而言,解法二是解析法直接通过参数方程更为快捷的解出了本题的答案,解法一则通过得出方程,代入方程进行运算,把四边形割成两个三角形进行计算,其中代入步骤多,计算繁琐,即容易出错,解题也慢。由此体现解析法的好处。 例4圆在一直线上无滑动滚动,求圆周上一点轨迹方程。 解:取直角坐标系,设半径b的圆在x轴上滚动开始时P点位于O点,经过一段时间的运动圆与x轴的切点为A,圆心变为C这时有r==++ 设 cos= |=a 其中为参数故P点参数方程为 例5求联结两个点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。 解法1 由题意得AB的中点O为(1.5,0.5,3.5) 由AB确定法向量n=(A,B,C)=(2-1,-1-2,4-3)=(1,-3,1) 由点法式方程可得 1(x-1.5)+(-3)(y-0.5)+1(z-3.5)=0 2x-6y+2z-7=0 解法2垂直平分面是到A和B为等距离动点M(x,y,z)轨迹,垂直平分面上点M特征性质||=|| ||= (1) ||= (2) 由(1)式和(2)式得 = 化简得 2x-6y+2z-7=0 以上两种方法都可以解决,方法一是通过其题目的特殊性是求垂直平分面,可以通过AB找到中点M,M也是这个垂直平分面上的点,通过法向量与M可以直接用点法式方程进行求解,这是向量参数方程的一种应用,通过法向量与定点构成的点法式方程求解方法二就是常规解法通过向量的关系解决问题。所以对图形进行了解可以使用特殊的解析式去解决问题。 例6已知不共线的三个点求同三点的平面的方程。 解根据向量式参数方程,分别消去参数得到 可以改成 已知交点, 故可得截距式方程为: 例7求在xOy坐标 面上,半径等于R,圆心是原点的圆的方程。 解 以O为球心,半径为R的球面与坐标xOy的交线,所以圆的方程为 同理也可以用参数方程来表达设向量函数r=r(t) r(t)=x(t)e1+y(t)e2+z(t)e3 其中t为参数 以上几题是对于轨迹方程的发展应用,向量式参数方程的应用,解析法依据直角坐标系进行解题,其中对于向量的应用也是必不可少的,通过向量的应用可以引入向量式参数方程进行解决,体现了解析法的方法的多样性,可以灵活地应用题目中的条件用不同的方法进行解题。 例8柱面的准线方程为,而母线的方向数是1,0,1,求这个柱面方程。 解设是准线上的点,那么过的母线为 有再设 (x+t)²+y²+(z-t)²=1,2(x+t)²+2y²+(z-t)²=2 化简得 (z-t)²=0,t=z 故所求柱面方程为 (x+z)²+y²=1, x²+y²+z²+2xz-1=0 例9已知圆柱面的轴为 ,点(1,-2,1)在此圆柱上,求圆柱面方程 解轴的方向向量,轴上的定点为圆柱面上的点,所以,因此到轴的距离为 再设为圆柱面上的任意点,那么有 即 例10求过三条平行线,,的圆柱面方程 解过准线一点,且方向为的直线方程为 代入准线方程,并消去t得到 例11已知空间两异面直线间的距离为,夹角为,过这两条直线分别作平面,并使这两平面相互垂直,求这样的两个平面交线的轨迹。 解:建立直角坐标系:两异面直线公垂线为z轴,公垂线中点为原点O,x轴与二异面直线夹角相等,故:与 过这两条直线的平面为: 二平面的交线为: 故 当二异面直线不相交时,,消去得 (单叶双曲面)此为要求的轨迹方程 当二异面直线直交时,则,, 当时,它的轨迹平面是 当时,它的轨迹平面为 从而当二异面直交时,动直线的轨迹平面为二平面与 例12求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程 解对锥面上的任意一点,过M与顶点O的母线为 令它与准线的交点为即存在t,使得 , 代入准线方程并消去t得 即圆锥面方程。 例13求与下列三条直线,,都共面的直线所构成的曲面。 解:设其与第一条直线相交于,与第二条直线的平面为: 过p与直线的平面为 故动直线方程为 消去参数得到 为所求轨迹方程 以上几题是在平面问题中通过消动点(M)和消动直线两种方法进行对面的方程的求解,是在曲面中对于动点和动直线的应用从消去动点到消去动直线体现了解析法的层次性,方法的多样性体现了解析法的灵活性与深刻性。 5.2分析: 例1例2是轨迹方程的普通方程求解核参数方程求解,例3到例7是关于向量式参数方程的求解,例8之后是使用消M1的方法求解曲面方程,是依据“动直线”求曲面方程。普通方程的求解到参数方程的求解体现了其方法的延伸,通过参数方程更容易的解出题目,接下来向量式参数方程的应用是通过参数方程与向量(法向量与方向向量)的结合,从而更容易解决这些复杂的问题,体现了解析法的灵活性。接着使用消M1的方法来求曲面方程,通过设点代入方程再消去这个点来得出方程,最后通过动直线方程的结合消去其中参数得出直纹面的轨迹方程。通过轨迹方程的运算体现了解析法的灵活性和深刻形。解析法的应用过程之中方法是多变的,很灵活,可以通过多种方法进行解决问题,促进学生的思维能力发展,发展学生的探究意识。 先是普通的求方程参数方程问题根据题意很容易解得,之后是和向量相联系的参数方程,要通过其给出的条件根据直角坐标系将已知向量分为若干个向量进行求解最后再进行整合得出参数方程。对于曲面的方程根据题目条件可设一个与条件有关的点M的坐标,通过其进行方程的运算得出所求曲面的方程。通过动点来进行动线的运算,线是由无数个点形成的,而面也是由无数个点与线形成的,通过其中的关系层层递进去求解,抓牢每一步就行,首先对图形的分析要准确,找出其中的关键点,建立直角坐标系要尽可能多的使点在坐标轴上,方便理清题目条件,再将点坐标化,通过图形与坐标的联系得出其中的代数关系进行求解,最后要检验以防计算错误。 对于解析法的“五步骤”应用分三个层次在点和线和面之间的关系是层层递进的关系,上述各题也是通过对其层次的层层递进进行的,由简单到复杂,由点到线到面的逐步加深。由上题我们可以得出解析法的形是对于图形的认知和理解在图形的认识下可以得到许多题目中不曾给予的隐藏条件,正是这些隐藏的条件为解题的思路铺路,对于图形与直角坐标系相结合就是一个良好的开端,要建立合适的直角坐标系来解决问题。在图形的外延之中对于点的这一层次大多就是设这个点,用坐标的形式表现出来,结合图形与直角坐标系得出代数式求解就可以解决大多数的问题:在线的这一层次上,线就是由无数个点构成的,同样的设点,在直角坐标系之中我们找出两点的坐标就可以表示出直线的方程,其中参数方程的应用频率也逐渐增加,通过对轨迹方程的参数方程运算能更容易的得出结论;在面这一层次上,面就是由无数个点与线构成的,它其中包含了点与线的运算,在面的运算之中参数方程的应用就比较常见了,把曲面上的点的特征值用点的坐标x,y,z之间的关系来表达,然后通过向量之间的关系来求解出它的参数方程,最后也可以转换成一般形式。这是通过向量参数方程的应用来解决问题,包括:截距式方程,点法式方程等。 形的层次是层层递进的,也是解析几何动态问题的体现,通过对一般方程的求解到应用参数方程求解到应用向量式参数方程进行求解,到消M1法的应用,到消“动直线”求直纹面的方程分析。拓展了学生的思维能力,同时也激发了学生的探索能力。提高了学生的数学学习能力,在做题时应用的形态也变得灵活多变,助于解题。 在对于其核的应用,是对于其形的应用得出的条件来选择满足其条件的解析式进行接下来的运算,核的分析要根据形的结论进行对应使用,在代数式的应用之中我们也要通过其中的特殊性采用向量,设点进行运算,向量的应用可以方便解题,应用也是十分的广泛,通常使用向量的方法解决问题事半功倍,对于向量的频繁应用就会衍生出向量参数方程来进行求解,比一般的死解更为快捷简便,计算的量也随之减小。 结论 解析法的核心任务就是求轨迹方程,形的层次性体现在求各种方法的各种类别,解析法用代数方法解决几何问题,建立合适直角坐标系,通过里面的条件进行条件的坐标化,结合图形与坐标系进行分析,该使用哪种代数方法去解决问题,对代数方法的应用要尽可能的熟练,这就需要自己做题的积累以及对图形的了解了,之后进行化简运算不要忘记检验,几何中的字母繁多,要检查条件的标注,计算也是一大串数字也需要去悉心的检验计算。解析法要通过对其“形”的外延进行对题目不同方法的分析,“形”的外延基于基本的轨迹方程求解的不同的方法,其方法形式的多样性体现了解析法的灵活性。应用“五步骤”进行分析其在曲面方程中用消去动点的方法到消去动直线的方法进行对其不同层次的讨论都是源于动点问题为基础的思路方法,其外延的多样性体现了解析法的灵活性。对于其“核”的研究就是对前面图形的剖析采取对应的解析式来解决几何问题得出答案。解析法的意境深远,用法多样,在笛卡尔建立直角坐标系,提出用代数的方法来解决几何问题时就拓宽了人类的发展思维,在当时给数学家们一个全新的方向去研究,使得几何学的飞速发展,一举创立了解析几何这一门以解析法为基础的课程。解析法的创立体现了近代人类智慧的精华,在数学研究的道路上迈出了一大步,笛卡尔以及前人的经验是必不可缺的一部分。解析法不仅是一种解题方法,它也是一个督促我们进行探索的故事。在学习的过程中我们最需要的的是发现探索的过程,自己发现研究过的东西才可以被牢牢地记住,我们要有探索的精神去研究数学,发展数学。通过对其外延的不同方法的分析,以及“五步骤”的直纹面问题中消动点消直线来得出直纹面方程不同层次的分析,体现了解析法之所以有一定的历史地位归根于其应用的灵活性和深刻性。 不足之处:由于本人个人能力的不足在对解析法如何良好的应用还不够完善,实践能力也不足,所提出的建议还要多加实践去检验其合理性。 可以继续研究的问题:该怎样来加强学生学习解析法的能力,让学生对解析法的了解更深刻,更好地处理坐标系的问题。让学生结合坐标与图形轻松的找到对应的方法去解决问题。 参考文献: [1] 侯维民.谈解析几何产生的背景、方法和意义[J].天水师专学报,1998(03):1-2+8. 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[19] 刘川锋.论向量在立体几何和平面解析几何中的应用[J].中国校外教育,2015(33):15. 致谢 在写论文这段充满奋斗的期间,带给了我学生生涯的无限激情与收获。在写论文中感谢老师和同学带给我的帮助,让我克服一个又一个的困难,最终完成这篇论文。由此特别感谢我的论文指导老师对我的指导,无私的为我进行论文的修改和改进。同时感谢各位学者的专 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    小***5

    贡献于2021-04-04

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