数学分析十讲题册课题答案
题 11
1．计算列极限
（1）
解：原式
（2）
解：原式
（3）
解：原式
（4）
解：原式
（5）
解：原式
（6） 正整数
解：原式
2．设处二阶导计算
解：原式
3．设存计算
解：
题 12
1求列极限
（1）
解：原式 中间
（2）
解：原式中间
（3）
解：原式 中间
（4）
解：原式中中间
2．设处导计算
解：原式
题 13
1．求列极限
（1）
解：原式
（2）
解：
（3）
解：原式
（4）
解：原式
2 求列极限
（1）
解：原式
（2）
解：原式
题 14
1．求列极限
（1）
解：原式
（2）求
解：原式
（3）
解：原式
（4）
解：原式
题已换3．设处导时高阶穷试确定值
解：
解：
3．设处二阶导泰勒公式求
解：原式
4 设处导求
解
题 15
1 计算列极限
(1)
解：原式
(2)
解：原式
2． 设求 (1)
解：原式
(2)
解：
3．设求
解：
stolz定理
4．设中
证明：
证明：
数学纳法易证
单调递减
单调界原理存记
两边令
题 16
1 设导 存
证明
证明：
2 设微 存
证明
证明：记（限）（限）
3 设导意
证明
证明：广义罗必达法
4．设存界导函数证明
证明：界
题 21
（题已换） 1 然数完全方数证明理数
1证明理数
证明：反证法 假互质
知子假设矛盾
2 求列数集确界
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
3．设验证
证明：界
方面设界理数集实数系中稠密性
区间中必理数
界确界定义
4．定义证明（）确界唯性
证明：设数集确界定义
确界
妨设
矛盾
确界唯性类似证
题 22
1．区间套定理证明：界数集必确界
证明：设界界
令界取
界取
令界取
界取……
方式继续作区间套满足：
界界
区间套定理
证：
界
充分
界界界
2 设界证明：存
意邻域界
证明：条件知界
记界区间二等分
记界区间……继续作
区间套满足界
根区间套定理
意存时知
界
3设满足
连续 单调递增
证明：存
证明：记二等分
记记
类似已取二等分
记
记方式继续
区间套中
根区间套定理知
连续
注意
知
题 23
1 证明列数列发散
(1)
证
发散
(2)
证明：
发散
2．证明单调数列收敛充条件存收敛子列
证明：收敛数列子列关系结显然
妨假设数列单调递增存收敛子列
极限定义
意定总存正整数时
意存正整数
时取
意时
3 设极限存证明：
证明：记海茵定理
取
取
取解
（题取消）4 数列收敛充条件：偶数项子列奇数项子列皆收敛
（题改4）5 已知界数列发散证明存两子列收敛
极限
证明：界致密性定理必收敛子列设
收敛存外穷项
记穷项成子列显然界致密性定理必收敛子列
设 显然
题 25
1 柯西收敛准判定列数列收敛性
(1)
解：
柯西列
(2)
解：
柯西列
2 满足列条件数列柯西列
(1) 意然数
解：柯西列意然数数列收敛
(2)
解：
柯西列
(3)
证明：记单调递增界必极限记
柯西列
题 31
1设定义函数连续存(限) 问否界 否取值
解：闭区间构造辅助函数
连续界
界存
令
条件定取极值 例：
2设连续证明取值
证明：时
时
时
连续定取值时
时
处取值
题 32
（题已换）1 设 证明方程恰实根
1 证明开普勒(Kepler)方程唯实根
证明：令连续
零点原理方程少实根
单调递增方程唯实根
（题已换）2 设函数（）连续极值点 证明 存
2设讨方程实根数
解：step1令零点原理少实根
单调递增方程仅实根
step2令
时函数单调递减时函数单调递增函数点取极值时方程解时解时两解
综：时方程解时两解时三解
3设连续 证明存
证法1 连续存值值介值定理知
证法2 界存收敛子列连续
题102
1 设连续 然数 证明：
（1）存
证明：令
取
否零点原理
综
（2）存
解：取方法
2设连续 证明：存
证：已知计算
1）积分中值定理
2）否
a）1）积分中值定理
b）异号中值定理
零点原理
3 设求证
(1) 意然数 方程唯实根
证明：时唯实根
时零点存原理
实根
严格单调递减方程唯实根
(2) 设根
证：严格单调递减严格单调递增界收敛
设
令
4 设连续恒常数证明存 ．
证：令连续恒常数
零点原理：
证明存．
题41
1．证明函数没原函数
证：设存原函数达布定理矛盾原函数
2．设导 证明：
（1） 存
证明：取均否达布定理存介间综存
（2） 存
证明：取均否
达布定理存介间
综存
题42
1．求列函数导函数讨导函数连续性
（1）
解：连续
时
时
连续
连续
（2）
解：显然连续
时
时
连续
连续
2 设 分满足什条件时
（1）处连续
解：
（2） 处导
解：存存
（3）处连续？
解：
3．分两种方法证明符号函数存原函数
证明：法
设存原函数达布定理矛盾原函数
法二
单侧导数极限定理导函数存第类间断点第类间断点
原函数
题51
1 设函数导
（1）证明存
证明：令广义洛尔定理
(2) 证明存
证明：令广义洛尔定理
题52
1． 设导中常数证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
2． 设导证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
3． 设导证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
题61
1区间凸函数证明意四点 逆否成立？
证明：区间凸函数三弦等式
成立逆成立
2 设均区间凸函数证明：凸函数
证明：设
凸函数定义凸函数
题62
1 验证列函数（严格）凸函数
（1）
解：（）严格凸函数
（2）
解：（）严格凹函数
题63
1．证明等式
（1）
证：设（）严格凸函数
（2）
证：设（）严格凸函数
题 91
1 求列函数项级数收敛域
(1)
解：时级数绝收敛时级数绝收敛时发散时发散级数收敛域
(2)
解：
时级数发散时级数发散时级数绝收敛时
级数绝收敛时级数发散时级数发散时级数收敛
原级数收敛域
题 92
1 证明函数项级数致收敛
证明：
意
取时
意成立
致收敛
2 设区间致收敛意试问否存时意
解：答案正确例 致收敛
题 93
1 利定理931＇证明列函数项级数致收敛
(1)
证：级数部分
连续级数致收敛
(2)
证：级数部分
连续级数致收敛
2 设试问否致收敛否
解：
致收敛
外
3 设试问否致收敛否 中
解：
致收敛
4 求收敛域讨函数连续性
解：设根值判法时级数绝收敛时级数发散时级数发散级数收敛域
总
连续致收敛
连续连续
连续
题 94
1 讨列函数序列指定区间致收敛性
（1）
解：
处取值取
致收敛
（2）
（i）
解：
取致收敛
（ii）
解：
致收敛
2 讨列函数项级数致收敛性
（1）
解：意收敛M判法原级数致收敛
（2）
解：意收敛M判法原级数致收敛
3 设 证明函数项级数致收敛讨函数连续性积性微性
解：意成立
收敛M判法知致收敛
（1）致收敛函数连续（定理1）
（2）致收敛函数积（定理2）
（3）收敛M判法知致收敛函数微（定理3）
题101
1．块金属板底锅面占区域 已知板点处温度锅底点处蚂蚁逃温度更低方 逃逸方( D )
解：梯度方温度降低快方
2．高柱体储油罐底面长轴短轴椭圆现储油罐放油罐中油面高度时计算油质量（长度单位m质量kg油密度常数）
解：储油罐放般指长轴行面油罐中油面高度时垂直面截面面积（方米）
4． 形状旋转抛物面容器已盛水现倒入水问水面原升高少
解：旋转抛物面容器体积深度函数
题中水面升高高度
题103
1 设证明：
（1）时
证明：取
严格凸函数定理623恒
（2）时 ．
证明：取
严格凸函数定理623恒
2 设 证明
证明：令利单调性证（略）
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题 11
1．计算列极限
（1）
解：原式
（2）
解：原式
（3）
解：原式
（4）
解：原式
（5）
解：原式
（6） 正整数
解：原式
2．设处二阶导计算
解：原式
3．设存计算
解：
题 12
1求列极限
（1）
解：原式 中间
（2）
解：原式中间
（3）
解：原式 中间
（4）
解：原式中中间
2．设处导计算
解：原式
题 13
1．求列极限
（1）
解：原式
（2）
解：
（3）
解：原式
（4）
解：原式
2 求列极限
（1）
解：原式
（2）
解：原式
题 14
1．求列极限
（1）
解：原式
（2）求
解：原式
（3）
解：原式
（4）
解：原式
题已换3．设处导时高阶穷试确定值
解：
解：
3．设处二阶导泰勒公式求
解：原式
4 设处导求
解
题 15
1 计算列极限
(1)
解：原式
(2)
解：原式
2． 设求 (1)
解：原式
(2)
解：
3．设求
解：
stolz定理
4．设中
证明：
证明：
数学纳法易证
单调递减
单调界原理存记
两边令
题 16
1 设导 存
证明
证明：
2 设微 存
证明
证明：记（限）（限）
3 设导意
证明
证明：广义罗必达法
4．设存界导函数证明
证明：界
题 21
（题已换） 1 然数完全方数证明理数
1证明理数
证明：反证法 假互质
知子假设矛盾
2 求列数集确界
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
3．设验证
证明：界
方面设界理数集实数系中稠密性
区间中必理数
界确界定义
4．定义证明（）确界唯性
证明：设数集确界定义
确界
妨设
矛盾
确界唯性类似证
题 22
1．区间套定理证明：界数集必确界
证明：设界界
令界取
界取
令界取
界取……
方式继续作区间套满足：
界界
区间套定理
证：
界
充分
界界界
2 设界证明：存
意邻域界
证明：条件知界
记界区间二等分
记界区间……继续作
区间套满足界
根区间套定理
意存时知
界
3设满足
连续 单调递增
证明：存
证明：记二等分
记记
类似已取二等分
记
记方式继续
区间套中
根区间套定理知
连续
注意
知
题 23
1 证明列数列发散
(1)
证
发散
(2)
证明：
发散
2．证明单调数列收敛充条件存收敛子列
证明：收敛数列子列关系结显然
妨假设数列单调递增存收敛子列
极限定义
意定总存正整数时
意存正整数
时取
意时
3 设极限存证明：
证明：记海茵定理
取
取
取解
（题取消）4 数列收敛充条件：偶数项子列奇数项子列皆收敛
（题改4）5 已知界数列发散证明存两子列收敛
极限
证明：界致密性定理必收敛子列设
收敛存外穷项
记穷项成子列显然界致密性定理必收敛子列
设 显然
题 25
1 柯西收敛准判定列数列收敛性
(1)
解：
柯西列
(2)
解：
柯西列
2 满足列条件数列柯西列
(1) 意然数
解：柯西列意然数数列收敛
(2)
解：
柯西列
(3)
证明：记单调递增界必极限记
柯西列
题 31
1设定义函数连续存(限) 问否界 否取值
解：闭区间构造辅助函数
连续界
界存
令
条件定取极值 例：
2设连续证明取值
证明：时
时
时
连续定取值时
时
处取值
题 32
（题已换）1 设 证明方程恰实根
1 证明开普勒(Kepler)方程唯实根
证明：令连续
零点原理方程少实根
单调递增方程唯实根
（题已换）2 设函数（）连续极值点 证明 存
2设讨方程实根数
解：step1令零点原理少实根
单调递增方程仅实根
step2令
时函数单调递减时函数单调递增函数点取极值时方程解时解时两解
综：时方程解时两解时三解
3设连续 证明存
证法1 连续存值值介值定理知
证法2 界存收敛子列连续
题102
1 设连续 然数 证明：
（1）存
证明：令
取
否零点原理
综
（2）存
解：取方法
2设连续 证明：存
证：已知计算
1）积分中值定理
2）否
a）1）积分中值定理
b）异号中值定理
零点原理
3 设求证
(1) 意然数 方程唯实根
证明：时唯实根
时零点存原理
实根
严格单调递减方程唯实根
(2) 设根
证：严格单调递减严格单调递增界收敛
设
令
4 设连续恒常数证明存 ．
证：令连续恒常数
零点原理：
证明存．
题41
1．证明函数没原函数
证：设存原函数达布定理矛盾原函数
2．设导 证明：
（1） 存
证明：取均否达布定理存介间综存
（2） 存
证明：取均否
达布定理存介间
综存
题42
1．求列函数导函数讨导函数连续性
（1）
解：连续
时
时
连续
连续
（2）
解：显然连续
时
时
连续
连续
2 设 分满足什条件时
（1）处连续
解：
（2） 处导
解：存存
（3）处连续？
解：
3．分两种方法证明符号函数存原函数
证明：法
设存原函数达布定理矛盾原函数
法二
单侧导数极限定理导函数存第类间断点第类间断点
原函数
题51
1 设函数导
（1）证明存
证明：令广义洛尔定理
(2) 证明存
证明：令广义洛尔定理
题52
1． 设导中常数证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
2． 设导证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
3． 设导证明：存
证明：积分中值定理
令洛尔定理
题61
1区间凸函数证明意四点 逆否成立？
证明：区间凸函数三弦等式
成立逆成立
2 设均区间凸函数证明：凸函数
证明：设
凸函数定义凸函数
题62
1 验证列函数（严格）凸函数
（1）
解：（）严格凸函数
（2）
解：（）严格凹函数
题63
1．证明等式
（1）
证：设（）严格凸函数
（2）
证：设（）严格凸函数
题 91
1 求列函数项级数收敛域
(1)
解：时级数绝收敛时级数绝收敛时发散时发散级数收敛域
(2)
解：
时级数发散时级数发散时级数绝收敛时
级数绝收敛时级数发散时级数发散时级数收敛
原级数收敛域
题 92
1 证明函数项级数致收敛
证明：
意
取时
意成立
致收敛
2 设区间致收敛意试问否存时意
解：答案正确例 致收敛
题 93
1 利定理931＇证明列函数项级数致收敛
(1)
证：级数部分
连续级数致收敛
(2)
证：级数部分
连续级数致收敛
2 设试问否致收敛否
解：
致收敛
外
3 设试问否致收敛否 中
解：
致收敛
4 求收敛域讨函数连续性
解：设根值判法时级数绝收敛时级数发散时级数发散级数收敛域
总
连续致收敛
连续连续
连续
题 94
1 讨列函数序列指定区间致收敛性
（1）
解：
处取值取
致收敛
（2）
（i）
解：
取致收敛
（ii）
解：
致收敛
2 讨列函数项级数致收敛性
（1）
解：意收敛M判法原级数致收敛
（2）
解：意收敛M判法原级数致收敛
3 设 证明函数项级数致收敛讨函数连续性积性微性
解：意成立
收敛M判法知致收敛
（1）致收敛函数连续（定理1）
（2）致收敛函数积（定理2）
（3）收敛M判法知致收敛函数微（定理3）
题101
1．块金属板底锅面占区域 已知板点处温度锅底点处蚂蚁逃温度更低方 逃逸方( D )
解：梯度方温度降低快方
2．高柱体储油罐底面长轴短轴椭圆现储油罐放油罐中油面高度时计算油质量（长度单位m质量kg油密度常数）
解：储油罐放般指长轴行面油罐中油面高度时垂直面截面面积（方米）
4． 形状旋转抛物面容器已盛水现倒入水问水面原升高少
解：旋转抛物面容器体积深度函数
题中水面升高高度
题103
1 设证明：
（1）时
证明：取
严格凸函数定理623恒
（2）时 ．
证明：取
严格凸函数定理623恒
2 设 证明
证明：令利单调性证（略）
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