传染病传播数学模型
医学工作者试图医学角度解释传染病传播时种现象种现象某民族区某种传染病传播时次涉数体常数结果令满意数学工作者参建立数学模型现象进行模拟证较满意解答
种疾病传播程种非常复杂程受社会素制约影响传染病少易受传染者少传染率排率口出生死亡员迁入迁出潜伏期长短预防疾病宣传体差异等建立实际较吻合数学模型开始显然素考虑进必须诸素中抓住素掉次素先问题简化建立相应数学模型结果实际较找出问题修改原假设建立实际较吻合模型模型逐步完善面简单复杂建模程代表性读者应中体会建模程方法思路
简单模型
假设：(1) 病单位时间传染数常数k(2) 病久愈传染期会死亡
i(t)表示t时刻病数表示病单位时间传染数i(0) 表示初时传染病时间增加病数
两边令→0微分方程
………… （21）
解
表明传染病转播指数函数增加结果传染病传播初期较吻合传染病传播初期传播快传染数指数函数增长(21)解知t→∞时i(t)→∞显然符合实际情况传染问题里呢？问题出两条假设时间较长时合理特假设(1)病单位时间传染数常数实际情况符着时间推移病越越未传染数越越少时期传播情况实际情况较吻合原基础修改假设建立新模型
二 模型修改
群分成两类：类传染病类未传染分i(t)s(t)表示t时刻两类数i (0)
假设：(1) 病单位时间传染数时未传染数成正
(2) 病久愈传染期会死亡
假设微分方程
………… (22)
变量分离方程分离变量法求解
………… (23)
图形图21示
模型 (22) 预报传染较快疾病前期传染病高峰时询
医学称传染病曲线表示传染病增加率时间关系图22示
(23)式
………… （24)
求二阶导数令解极点
………… (25)
(25) 式出传染病强度k口总数n增加时变传染病高峰快实际情况吻合时果知道传染率k(k统计数)预报传染病高峰时间预防传染病益处
模型 (22) 缺点：t→∞时(23)式知i(t)→n病显然实袜情况符造成结果原假设 (2) 中假设病久愈会死亡
实际情况更吻合模型必须修改假设 (2) 实际病会传染中部份会隔离医治身抵抗力会痊愈会死亡会传染必须模型作进步修改建立新模型
三 模型进步完善
面分析模型 (22) 假设 (2) 合理病会久愈必部份医治身免疫力隔离死成会继续传染第三类群分成三类：
第类够疾病传染传染者组成 I(t) 表示 t 时刻第类数
第二类非传染者够病成传染者组成 S(t) 表示 t 时刻第二类数
第三类包括患病死病愈具长期免疫力病隔离起R(t) 表示 t 时刻第三类数
假设疾病传染服列法：
(1) 考虑时期口总数保持固定水N考虑出生原引起死亡口迁入迁出情况
(2) 易受传染者数S(t)变化率正第类数I(t)第二类粉S(t)积
(3) 第类第三类转变速度第类数成正
三条假设情况微分方程：
………… (26)
中rλ例常数r传染率λ排率
方程(26)三方程相加
求出 S(t)I(t) 求出 R(t)
方程组 (26) 第第二方程 R(t) 关
………… (27)
………… (28)
积分
初始条件： 记
代入式确定常数
………… (29)
面讨积分曲线 (29) 性质(28)知
S＜ρ时I(S) S增函数S＞ρ时I(S) S减函数
I(0)－∞ 连续函数中间值定理单调性知存唯点 时I(S)＞0
(27) 知I0时方程组 (27) 衡点
时方程(29)图形图23t变 ∞ 时点(S(t)I(t))曲线 (29) 移动S减少方移动 S(t) 时间增加单调减少果ρ I(t) 单调减少零S(t) 单调减少果数群传染者分散居民中种病会快消灭
果着 S(t) 减少ρ时I(t) 增加Sρ时I(t) 达值S(t)＜ρ 时 I(t) 开始减少
分析出结：
居民中易受传染者数超阈值 时传染病会蔓延
般常识检验面结符合口拥挤密度高缺少应科学文化知识缺乏必医疗条件隔离良排率低时传染病会快蔓延反口密度低社会条件良医疗条件较理排率高时传染病限范围出现会快消灭
传染病学中阈值定理 设假设1相量设初传染者数终患病数2r易受传染者数初阈值高少终会阈值低少名传染病阈值定理生物数学家KermackMekendrick1927年首先证明定理(证明略)
根阈值定理起初易受传染者数估计终患病数定理解释研究员长期难解释什某民族区某种传染病传播时次涉数体常数现象
传染病发生程中准确调查天星期病数医院医者知道病隔离起防止传染统计记录天星期新排者数新病数数学模型预示结果疾病实际情况进行较必须解出(26)中第三方程
………… (210)
方程 (210) 分离变量方程显式求解果传染病严重Rρ量取泰勒级数前三项
解
中
………… (211)
方程 (211) 面定义条称钟形曲线称疾病传染曲线疾病传染曲线说明实际发生传染病情况：天报告新病案数目逐渐升峰值然减少
KermakMekendrick (211) 值 取1905年半年1906年半年印度孟买发生瘟疫资料进行较假设
中t星期计图24中实际数字(图中表示)理曲线非常致表明模型(26)固定居民中传染病传播准确数学模型传染病传播数学模型机模型章容读者参关资料节介绍传染病传播数学模型建模方法实际数学建模步骤方法典型例子实际建模程中简单开始出数学模型实际较逐步修改假设模型终达完善步值家仿效学
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医学工作者试图医学角度解释传染病传播时种现象种现象某民族区某种传染病传播时次涉数体常数结果令满意数学工作者参建立数学模型现象进行模拟证较满意解答
种疾病传播程种非常复杂程受社会素制约影响传染病少易受传染者少传染率排率口出生死亡员迁入迁出潜伏期长短预防疾病宣传体差异等建立实际较吻合数学模型开始显然素考虑进必须诸素中抓住素掉次素先问题简化建立相应数学模型结果实际较找出问题修改原假设建立实际较吻合模型模型逐步完善面简单复杂建模程代表性读者应中体会建模程方法思路
简单模型
假设：(1) 病单位时间传染数常数k(2) 病久愈传染期会死亡
i(t)表示t时刻病数表示病单位时间传染数i(0) 表示初时传染病时间增加病数
两边令→0微分方程
………… （21）
解
表明传染病转播指数函数增加结果传染病传播初期较吻合传染病传播初期传播快传染数指数函数增长(21)解知t→∞时i(t)→∞显然符合实际情况传染问题里呢？问题出两条假设时间较长时合理特假设(1)病单位时间传染数常数实际情况符着时间推移病越越未传染数越越少时期传播情况实际情况较吻合原基础修改假设建立新模型
二 模型修改
群分成两类：类传染病类未传染分i(t)s(t)表示t时刻两类数i (0)
假设：(1) 病单位时间传染数时未传染数成正
(2) 病久愈传染期会死亡
假设微分方程
………… (22)
变量分离方程分离变量法求解
………… (23)
图形图21示
模型 (22) 预报传染较快疾病前期传染病高峰时询
医学称传染病曲线表示传染病增加率时间关系图22示
(23)式
………… （24)
求二阶导数令解极点
………… (25)
(25) 式出传染病强度k口总数n增加时变传染病高峰快实际情况吻合时果知道传染率k(k统计数)预报传染病高峰时间预防传染病益处
模型 (22) 缺点：t→∞时(23)式知i(t)→n病显然实袜情况符造成结果原假设 (2) 中假设病久愈会死亡
实际情况更吻合模型必须修改假设 (2) 实际病会传染中部份会隔离医治身抵抗力会痊愈会死亡会传染必须模型作进步修改建立新模型
三 模型进步完善
面分析模型 (22) 假设 (2) 合理病会久愈必部份医治身免疫力隔离死成会继续传染第三类群分成三类：
第类够疾病传染传染者组成 I(t) 表示 t 时刻第类数
第二类非传染者够病成传染者组成 S(t) 表示 t 时刻第二类数
第三类包括患病死病愈具长期免疫力病隔离起R(t) 表示 t 时刻第三类数
假设疾病传染服列法：
(1) 考虑时期口总数保持固定水N考虑出生原引起死亡口迁入迁出情况
(2) 易受传染者数S(t)变化率正第类数I(t)第二类粉S(t)积
(3) 第类第三类转变速度第类数成正
三条假设情况微分方程：
………… (26)
中rλ例常数r传染率λ排率
方程(26)三方程相加
求出 S(t)I(t) 求出 R(t)
方程组 (26) 第第二方程 R(t) 关
………… (27)
………… (28)
积分
初始条件： 记
代入式确定常数
………… (29)
面讨积分曲线 (29) 性质(28)知
S＜ρ时I(S) S增函数S＞ρ时I(S) S减函数
I(0)－∞ 连续函数中间值定理单调性知存唯点 时I(S)＞0
(27) 知I0时方程组 (27) 衡点
时方程(29)图形图23t变 ∞ 时点(S(t)I(t))曲线 (29) 移动S减少方移动 S(t) 时间增加单调减少果ρ I(t) 单调减少零S(t) 单调减少果数群传染者分散居民中种病会快消灭
果着 S(t) 减少ρ时I(t) 增加Sρ时I(t) 达值S(t)＜ρ 时 I(t) 开始减少
分析出结：
居民中易受传染者数超阈值 时传染病会蔓延
般常识检验面结符合口拥挤密度高缺少应科学文化知识缺乏必医疗条件隔离良排率低时传染病会快蔓延反口密度低社会条件良医疗条件较理排率高时传染病限范围出现会快消灭
传染病学中阈值定理 设假设1相量设初传染者数终患病数2r易受传染者数初阈值高少终会阈值低少名传染病阈值定理生物数学家KermackMekendrick1927年首先证明定理(证明略)
根阈值定理起初易受传染者数估计终患病数定理解释研究员长期难解释什某民族区某种传染病传播时次涉数体常数现象
传染病发生程中准确调查天星期病数医院医者知道病隔离起防止传染统计记录天星期新排者数新病数数学模型预示结果疾病实际情况进行较必须解出(26)中第三方程
………… (210)
方程 (210) 分离变量方程显式求解果传染病严重Rρ量取泰勒级数前三项
解
中
………… (211)
方程 (211) 面定义条称钟形曲线称疾病传染曲线疾病传染曲线说明实际发生传染病情况：天报告新病案数目逐渐升峰值然减少
KermakMekendrick (211) 值 取1905年半年1906年半年印度孟买发生瘟疫资料进行较假设
中t星期计图24中实际数字(图中表示)理曲线非常致表明模型(26)固定居民中传染病传播准确数学模型传染病传播数学模型机模型章容读者参关资料节介绍传染病传播数学模型建模方法实际数学建模步骤方法典型例子实际建模程中简单开始出数学模型实际较逐步修改假设模型终达完善步值家仿效学
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