普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 83届

1983年普通高等学校招生全国统考试理科数学试题答案
（份试题九道题满分120分）
．（题满分10分）题5题题出代号ABCD四结中结正确正确结代号写题圆括号题：选2分选选错者选出代号超（否写圆括号）律0分
1．两条异面直线指 （ D ）
（A）空间相交两条直线
（B）分位两面两条直线
（C）某面条直线面外条直线
（D）面两条直线
2．方程x2y20表示图形 （ A ）
（A）两条相交直线 （B）两条行直线
（C）两条重合直线 （D）点
3．三数a b c全零充条件 （ D ）
（A）a b c零 （B）a b c中零
（C）a b c中零（D）a b c中少零
4．设值 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
5．三数间序 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
二．（题满分12分）
1．面直角坐标系分画出两方程
图形写出交点坐标
2．极坐标系方程表示什曲线？画出图形
解：
Y

2
1 1

O X
P
1图形左图示
交点坐标：O（00）P（11）




O X
( 0)
2．曲线名称：圆
图形右示
三．（题满分12分）
1．已知求微分
2．组10名学中4名女学6名男学组选出3名代表中少1名女学求少种选法
解：1

2．
：
四．（题满分12分）
计算行列式（求结果简）：



解：第列加第2列第三列加第2列

五．（题满分15分）
1．证明：意实数t复数模
适合
2．实数t取什值时复数幅角值适合？
1．证：复数（中t 实数）模

证意实数t证意实数t
成立
意实数t令


2．复数实部虚部非负数z幅角值定适合
显然


求实数t取值范围
六．（题满分15分）
图三棱锥SABC中S底面射影N位底面高CDM侧棱SC点截面MAB底面成角等
S

M

P C
A N
D
B
∠NSC求证SC垂直截面MAB
证：SN底面垂线NC斜线SC底面射影
AB⊥NCAB⊥SC（三垂线定理）
连结DMAB⊥DCAB⊥SC
AB垂直DCSC决定面DM面AB⊥DM
∴∠MDC截面底面成二面角面角∠MDC∠NSC
△MDC△NSC中∠MDC∠NSC∠DCS公角
∠DMC∠SNC900DM⊥SCAB⊥SCDM⊥SC
知SC⊥截面MAB
七．（题满分16分）
图已知椭圆长轴|A1A2|6焦距|F1F2|椭圆焦点F1作直线交椭圆两点MN设∠F2F1Mα（0≤α＜π）α取什值时|MN|等椭圆短轴长？
Y

M
α
A1 F1 O F2 A X
N
解：椭圆焦点F1极点F1起点F2射线极轴建立极坐标系
已知条件知椭圆长半轴a3半焦距c短半轴b1离心率e中心准线距离
焦点准线距离p椭圆极坐标方程


解
解方程程中步逆
时|MN|等短轴长
解二：椭圆中心原点F1F2直线x轴建立直角坐标系（图）已知条件知椭圆方程
MN直线方程
解方程组
消y

解法
解三：建立坐标系椭圆解二
MN直线参数方程
代入椭圆方程

设t1t2方程两根韦达定理

解
解四：设|F1M|x |F2M|6x|F1F2|∠F2F1Mα
△MF1F2中余弦定理


理设|F1N|y|F2N|6y△F1F2N中余弦定理

解
八．（题满分16分）
已知数列{an}首项a1b(b≠0）前n项Sna1+a2+…+an
(n≥1)S1S2Sn…等数列公p（p≠0|p|＜1）
1．证明：a2a3a3…an…({an}第二项起）等数列
2．设Wna1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1)求（bp表示）
1．证：已知条件S1a1b
SnS1pn1bpn1(n≥1）
n≥2时Sna1+a2+…+an1+anSn1+an
anSnSn1bpn2(p1)(n≥2)

a2a3a3…an…公p等数列
2．解：n≥2时

已知条件知p2<1数列a1S1a2S2a3S3…anSn…公p2<1穷等数列




九．（题满分12分）
1．已知ab实数eba
2果正实数ab满足abbaa<1证明ab
1．证：eba 证blna>alnb
证
考虑函数时
函数减函数
eba
2．证：abbablnaalnb
考虑函数导数

（01）f(x)（01）增函数
00ab<1baab<1ba<1a>0
推出b<1
0ab
证二：0假a矛盾
ab
假a>b矛盾
abab
证三：假a000
根幂函数指数函数性质

ab假b0证ababba矛盾ab
ab

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