导数参数范围数学高考
G导数高考中新济增长点
1利导数研究函数单调性问题
设函数yf(x)某区间导果f＇(x)>0f(x)增函数果f＇(x)<0f(x)减函数反然高考常函数单调区间单调性证明等问题载体考查导数单调性质分类讨思想应
(20)(安徽文 题满分14分)
设函数f（x）cos2x4tsincos+4t2+t23t+4x∈R
中≤1f(x)值记g(t)
(Ⅰ)求g(t)表达式
(Ⅱ)讨g(t)区间（11）单调性求极值
20．（福建文 题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）恒成立求实数取值范围．
2利导数求解函数极（）值问题
设yf(x)导函数函数f(x)某点取极值充条件该点导数零存该点两侧导数异号定义闭区间初等函数必存值区间端点区间极值点取高考常结合求函数极值(值)参数取值范围解决数学应等问题考查导数值性质函数问题中应
19．（北京理 题13分）
图块半椭圆形钢板半轴长短半轴长计划钢板切割成等腰梯形形状底半椭圆短轴底端点椭圆记梯形面积．
（I）求面积变量函数式写出定义域
（II）求面积值．
19．（湖南理 题满分12分）
图4某开发旅游资源欲修建条连接风景点居民区公路点山坡面山脚水面成二面角（）点面距离（km）．山脚原段笔直公路供利．点山脚修路造价万元km原公路改建费万元km．山坡公路长度km（）时造价万元．已知．
（I）求点折线修建公路总造价
（II） （I）中点求点折线修建公路总造价．
（III）否存两点折线修建公路总造价（II）中总造价证明结．
Ｏ
A
E
D
B
H
P
3利导数意义解决关切线问题
函数f(x)点x0处导数f＇(x0)曲线yf(x)点(x0f(x0))处切线斜率高考常结合函数图象切线面积等式等问题导数意义应进行考查
19(全国二理 题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）设果点作曲线三条切线
证明：．
4利导数求解参数取值范围恒成立等式问题
构造函数运导数函数单调性方面性质解决等式证明参数取值范围等问题设置类试题旨考查导数基础性工具性现代性作强化数学应意识
21 (陕西文 题满分12分)
已知区间[01]增函数区间减函数
(Ⅰ)求解析式
(Ⅱ)区间(m＞0)恒≤x成立求m取值范围
（22）（浙江理 题15分）设意实数记．
（I）求函数单调区间
（II）求证：（ⅰ）时意正实数成立
（ⅱ）仅正实数意正实数成立．
5利导数知识求解数列问题
数列类特殊函数利导数知识研究数列关问题取简化运算效果
设函数
(Ⅰ)x6时求展开式中二项式系数项
(Ⅱ)意实数x证明＞
(Ⅲ)否存an＜＜恒成立存试证明结求出a值存请说明理
F 函数导数典例题剖析
题型1函数概念表示
例1（2008年山东卷）设函数值（ ）
A． B． C． D．
例2（2008年山东卷）已知值等 ．
例3（2008年广东惠州模）设 记
（ ）
A． B． C． D．
解析题考查周期函数运算
型选
［点评］题考查复合函数求法函数周期性考查学生观察问题力通观察关总结纳特殊般思想
题型2函数图象性质
例4（2008广东惠州模） 龟兔赛跑讲述样事：领先兔子着慢慢爬行乌龟骄傲起睡觉醒时发现乌龟快终点急忙追赶时已晚乌龟先达终点…S1S2分表示乌龟兔子行路程t时间图事情节相吻合 （ ）
A B C D
解析：选（B）（B）中乌龟达终点时兔子时间路程乌龟短
［点评］函数图象年高考热点试题考查函数图象实际应考查学生解决问题分析问题力复时应引起重视
题型3函数零点
例6（2008山东荷泽模拟题）函数零点区间 ）
A． B．（110） C． D．
解析：f（1）＝0－1＜0f（10）＝1－＞0f（1）•f（10）＜0函数f（x）区间（110）间零点
例7（2007广东高考题）已知a实数函数果函数区间[11]零点求实数a取值范围
解析a0时函数f (x)2x 3零点x区间[11]
a≠0时函数f (x) 区间[11]分两种情况：
①函数区间[─11]零点时
解1≤a≤5a
②函数区间[─11]两零点时
解a5a<
综述果函数区间[─11]零点实数a取值范围
(∞ ]∪[1 +∞)
题型4函数应
例8（2008广东高考试题）某单位2160万元购块空计划该块建造栋少10层层2000方米楼房测算果楼房建x（x10）层方米 均建筑费560+48x（单位：元）楼房方米均综合费少该楼房应建少层？
（注：均综合费均建筑费+均购费均购费）
解析：设楼房方米均综合费元题意
令解
时时
时取值元
答：楼房方米均综合费少该楼房应建15层
［点评］：题应题利函数导数知识解决问题利导数求函数单调性求函数值域值种常方法
题型5导数简单应
例9（2008年广东卷）设函数零极值点（ ）
A． B． C． D．
解析函数零极值点正根成立时显然时马参数范围答案B
题型6导数综合应
例10（2008年山东卷）已知函数中常数．
（Ⅰ）时求函数极值
（Ⅱ）时证明：意正整数时．
解析：（Ⅰ）解：已知函数定义域
时．
（1）时
时．
时单调递减
时单调递增．
（2）时恒成立极值．
综述时
时处取极值极值．
时极值．
（Ⅱ）证法：．
偶数时
令
（）．
时单调递增
恒成立
成立．
奇数时
证需证
令
（）
时单调递增
时恒命题成立．
综述结成立．
证法二：时．
时意正整数恒
需证明．
令
时单调递增
时成立．
时．
．
［点评］题托函数导数知识综合考查考生数学素养题第（1）问常规问题考生基功扎实解决起困难第（2）问需考生较高分析问题解决问题力利导数证明等式基思路通构造函数转化研究函数单调性区间端点值值问题证明程中进行等式放缩果考生缺乏样思想意识觉方思考利完成问解答
E高考中导数问题常见类型解法
类型1——利导数意义处理曲线公切线问题
例1 （03年全国高考文科试题）已知抛物线C yx+2x抛物线Cyx+取什值时C C仅条公切线？写出公切线方程
解 ：设公切线L切CP(xy)切CP(xy) L方程两种表达方式：①②
∵
∴①②变
消题意知时重合
时仅条公切线公切线方程
评注：题考察导数意义公切线方程两种表示法二次方程相关知识注意表示条直线充条件曲线公切线问题中常常构建方程
类型2——利导数研究三次函数简单分式函数性质
例2 （2003年安徽省春季高考题）已知x1时取极值（1）求bc值（2）意恒成立求d取值范围
解 ⑴
题意知方程两根
⑵
时
时
时
时极值
时 值
意恒成立
例3 (2004年合肥市高考模拟题)研究函数单调性
题考查导数函数单调性关系注意分类讨思想方法
解
① 时
+
+
表中符号取值变化规律发现时单调区间单调减区间
② 时 时定义域
单调递增
③ 时定义域
时单调区间没单调减区间
评注传统数学教材中知识方法难研究象例2例3种函数问题单调性极值值导数疑类问题解决提供方法掌握导函数单调区间极值值求解方法解题关键
类型3——已知函数单调性反确定函数式中特定字母值范围
例4 (2000年全国高考试题) 设函数中求取值范围函数区间单调函数
解函数单调函数恒成立
① 值0题设矛盾
②
连续递增值1
综合①②知时函数区间单调函数
评注导函数(ab)单调递增(单调递减)函数充条件意()(ab)意子区间恒零高中阶段出现(限)点情况例4种逆设置问题高考命题种趋充分体现高考力立意思想复中应引起高度重视
类型4——利导数处理含参数恒成立等式问题
例5 (2003年安庆市高考模拟题) 已知等式意实数恒成立求实数取值范围
解 令
① 时时时
值
恒成立
② 时
x
(x)
(0)
(0)
(+x)
f(x)
1
+
+
表知f(x) a +2极值f()极值f(x)(+)值．
f(x)>0(+)恒成立f()aa+2>0
2 综合①②知实数a取值范围2 评注：题求元四次恒成立等式中参数取值范围短时间难快寻正确解题思路．导数知识入手解题十分令耳目新体现导数较高思维价值．
类型5——利导数处理实际生活中优化问题．
D 高考数学命题趋势预测考场创优策略
考点命题特点趋势展
1传统容常考常新重考点重点凸现
11函数导数等式
观年高考试题重考点表现方面：
111函数图象性质
函数定义域值域值函数单调性周期性奇偶性称性等历年高考热点容题目基础题出现
[题1]（2007年重庆卷）已知定义域R函数f(x)减函数函数yf(x+8)偶函数（ ）
A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
[解析]：已知yf(x)称轴x8f(x)减函数f(x)增函数f(6)f(10)[答案]：D
[点评]：题考查函数单调性奇偶性称性等
[题2]（2007湖南卷）函数图象函数图象交点数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析]：作f(x)g(x)图象图观察图象两图象3交点选B
[答案]B
[点评]题考查基函数图象画图象时函数y图象画位容易出2交点
112 三二次关系
[题3] （2006浙江卷）设求证：
（1）a>0 （2）方程f(x)0(0 1)两实根
解析：（1） 条件a+b+c0消ba>c>0条件a+b+c0消c
（2）抛物线顶点坐标两边
方程f(x)0区间分实根
方程f(x)0(0 1)两实根
[点评]高考三二次联考常存常新特充分利二次函数图象常问题解决显直观明
113函数等式综合问题
[题4]（2007年全国卷）设函数
（1）证明：导数
（2）求a取值范围
[解析] （1）略（2）令
（1）x>0时g(x)(0+∞)增函数x≥0时
（2）a>2方程正根时g(x)该区间减函数
时题设相矛盾
综满足条件a取值范围
[点评]：导数知识等式知识结合求解类参数取值范围知识交汇点设计题目考查学生知识点进行渗透综合分析问题力年高考少样题年
12 数列等式
数列等式高考干知识数学高考重点容年高考试题中注重数列极限等身容综合注重考查思维力数列等式部分常压轴题形式出现部分考查：
121 等差等数列
[题5]（2007福建卷）等差数列{an}前n项
（1）求数列通项前n项Sn
（2）设求证：数列{bn}中意三项成等数列
解析：（1）已知
（2）（1）
假设数列{bn}中存三顶bpbqbr（pqr互相等）成等数列
∴
∵
∴ p≠r矛盾
数列{bn}中意三项成等数列
[点评]：题考查数列基知识考查等差数列概念通项公式前n项公式考查等数列概念性质考查化数学思想方法推理运算力
122 递推数列
递推数列年高考命题热点容常考常新模型化解题常方法：化等差等数列解决助数学纳法解决推出通项公式解决直接利递推公式推断数列性质解决
[题6]（2007天津理）数列{an}中
中
求数列{an}通项公式
[解析]方法1：根已知条件猜想然数学纳法证明：（略）
方法2：
两边
：
令
∴{bn}等差数列公差d1
∴
[点评]解法1通求出基础猜想出an通项公式然数学纳法出证明解法2利等价转换思想数列转化等差数列注重力考查
123 数列等式
数列知识等式容整合起形成证明等式求等式中参数范围求数列中项项较数列中项关系研究数列单调性等问题 数列等式证明解决调动证明等式种手段较法放缩法函数法反证法均值等式法数学纳法分析法等 类问题解决方法相丰富考查逻辑推理演译证明运算求解纳抽象等理性思维推理数学联结力素材
[题7]（2006天津卷）已知数列满足（非零参数n23…）
（1）成等数列求参数取值范围
（2）>0时证明
（3）>1时证明
解析：（1）（略）
（2）已知等式性质
方面
(3)>1时（2）知
（2）
[点评]：题中（2）利等式性质进行证明（3）利放缩法转化数列求进行证明
13 三角量
131 三角恒等变换
[题8]（2007四川卷）已知
（1）求值
（2）求
解析：（1）
（2）
[点评]：题考查三角恒等变形基公式三角函数值符号已知三角函数值求角计算力
132三角函数图象性质
[题9]（2007安徽卷）函数图象C
①图象C关直线称
②函数f(x)区间增函数
③图象右移单位长度图象C
三断中正确断序号
[解析]代入函数
＝－3∴①正确
令
∴②正确x图象右移单位
∴③错误[答案]：①②
[点评]：考查三角函数图象性质
133量运算
量行垂直面量数量积量运算中重考点2008年命题客观题出现
[例10]（2007重庆卷）图四边形ABCD中
值（ ）
A．2
B．
C．4
D．
[解析]：
BD⊥DC
∴ABDC 延长ABEBEDC（图）连CECDDB
∴CE⊥AE△AEC等腰直角三角形∠EAC＝45°
∴
[答案]C
[点评]：题考查量基运算
134 三角形三角函数
三角形三角函数问题考查解三角形三角形形状判定三角形恒等变换
[题11] （2007浙江卷）已知△ABC周长
（1）求边AB长
（2）△ABC面积求角C度数
[解析]（I）题意正弦定理
两式相减AB＝1
（II）△ABC面积
余弦定理
∴
[点评]：题充分利正弦定理余弦定理解三角形
14 排列组合二项式定理概率统计
141 排列组合问题
具体解题策略：
（1）相邻问题捆绑
（2）相邻问题插空处理
（3）特殊优先般
（4）定序问题选排（先排）
（5）元素相排列定序处理
（6）条件交叉容斥原理
（7）均分堆先分
（8）球入盒先分堆排列
（9）相球入盒隔板处理
（10）正难反排法处理
142 二项式定理
二项式定理考查二项展开式展开式通项利通项求特征项特征项系数注意系数二项式系数区般客观题形式出现题目较基础
143 概率统计
概率统计引入拓宽应问题取材范围概率计算离散型机变量分布列数学期计算等容考查实践力极素材 中学数学中学概率统计容数学分支中基础容考虑教学实际学生生活实际高考部分容考查贴考生生活注重考查基础知识基方法
机变量理科高考必考容中理科离散型机变量分布列期方差热点 题型解答题选择题填空题辅 种形势发生变化转变客观题 文科抽样方法考查客观题
[题12]（2007安徽卷）医学生物学试验中常果蝇作试验象关6果蝇笼子里慎混入两苍蝇（时笼8蝇子：6果蝇2苍蝇）笼子开孔蝇子外飞
直两苍蝇飞出关闭孔表示笼剩果蝇数
（1）写出分布列（求写出计算程）
（2）求数学期E
（3）求概率P（≥E）
解析：（1）分布列
0
1
2
3
4
5
6
P
（2）数学期
（3）求概率
[点评]：题考查等场合事件概率计算离散型机变量分布列数学期概念计算考查分析问题解决实际问题力
15 立体
立体线面关系重点考查容特注意道试题二种方法选特强调量法解决问题 中线面垂直热点中点常考正方体重模型总立体常方面考查
151 位置关系判断证明
[题13] （2007年江苏卷）已知两条直线mn两面αβ出面四命题：
①m∥n m⊥α n⊥α ②αβmα nβmn
③m∥n m∥αn∥α ④α∥βm∥nm⊥αn⊥β
中正确序号（ ）
A①③ B②④ C①④ D②③
[解析]：α∥βmα nβm∥nmn异面∴②错
m∥nm∥an∥αnα ∴③错选C
[答案]：C
[点评]：题考查两直线面垂直问题①两行直线垂直面④两行直线两行面中垂直面垂直
152 空间距离空间角
[题14] （2007福建卷）图示正三棱柱ABC－A1B1C1棱长2DCC1中点
（1）求证：AB1⊥面A1BD
（2）求二面角A—A1D—B
（3）求点C面A1BD距离
[解析]：（1）取BC 中点O连结AO
∵正三棱柱ABC－A1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1∴AO⊥面BCC1B1
连结B1O正方形BB1C1C中OD分BCCC1中点
∴B1O⊥BD∴AB1⊥BD
正方形ABB1A1中AB1⊥A1B
∴AB1⊥面A1BD
（2）设AB1A1B交点G面A1BD中作CF⊥A1DF连结AF（1）AB1⊥面A1BD∴AF⊥A1D ∴∠AFG二面角A－AD1—B面角
△AA1D中等面积法求AF
二面角A—A1D—B
（3）△A1BD中BDA1D
正三棱柱中A1面BCC1B1距离
设点C面A1BD距离d
∴ 点C面A1BD距离
[点评]：题考查直线面位置关系二面角点面距离等知识考查空间想象力逻辑思维力运算力题空间量方法解答
153 关面积体积计算
计算体体积问题应记住相应体体积公式边证明边计算般会涉割补问题特定位置问题涉面体正棱柱（锥）球性质求体积面积值时会选择导数方法处理
[题15]（2007年江西卷）直三棱柱（A1B1C1底面）面截体截面ABC已知A1B1B1C11∠A1B1C190°AA14BB12CC13求体体积
[解析]题体体积转化求三棱柱A1B1C1—A2B2C2四棱锥B—AA2C2C体积已知三棱锥A1B1C1—A2B2C2四棱锥B—AA2C2C体积容易求解
B作截面BA2C2面A1B1C1分交AA1CC1A2C2
作BH⊥A2C2H连CH A1B1B1C11
[点评]题求体分割成三棱柱四棱锥规体求积方法求解割补方法解决类问题较合理
16 面解析
圆锥曲线四方面考查：
①客观题形式考查圆锥曲线基概念性质
②求面曲线方程轨迹
③圆锥曲线关元素计算关系证明范围确定
④涉圆锥曲线称变换值位置关系关问题
综合知识纳：
161 直线圆
[题16] （2007浙江卷）设m实数
m取值范围
[解析] 题中集合关系两点集关系记O(0 0) C(3－4)助图形结合分析m<0条件成立m≥0时mx+y0斜率等时结成立
[点评]题考查等式表示区域开放性考查分析解决问题力时练较出入应予重视
162圆锥曲线概念性质
[题17] （2007安徽卷）已知F1F2分双曲线左右焦点ABO圆心|OF1|半径圆该双曲线左支两交点△F2AB等边三角形双曲线离心率（ ）
A B C D
[解析]
∴选D
[答案]D
[点评]题考查双曲线性质圆性质离心率求法
圆焦半径位置关系该题解决关键否运算量容易出错
163 曲线轨迹方程
[题18] （2007江西卷）设动点P点A(－10)B（10）B（10）距离分d1d2∠APB＝2θ存常数
（1）证明：动点P轨迹C双曲线 求出C方程
（2）点B作直线交曲线C右支MN两点试确定范围中O坐标原点
[解析] （1）△PAB中|AB|＝2
∴点P轨迹CAB焦点实轴长双曲线
方程
（II）略
[点评] 题利双曲线定义证明P轨迹双曲线求轨迹方程常方法直接法定义法相关点代入法参数法定系数法等
164 直接圆锥曲线关系
[题19]（2007天津卷）设椭圆1(a>b>0)左右焦点分F1F2A椭圆点AF2⊥F1F2原点O直线AF1距离
（1）（略）
（2）设Q1Q2椭圆两动点OQ1⊥OQ2原点O作直线Q1Q2垂线OD垂足D求点D轨迹方程
[解析] （II）
设点D(x0 y0)y0≠0时OD⊥Q1Q2
∴Q1Q2方程ykx+mQ1(x1 y1) Q2(x2 y2)满足
OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y20∴
∴
y00时xx0 Q1(x1 y1) Q2(x2 y2)满足
∴ x1x2+y1y20
∴ D坐标满足方程
[点评] 直线圆锥曲线位置关系高考中重中重应熟练掌握解决类问题基思想方法方程组思想设直线方程时应考虑直线垂直x轴特殊情况分类讨等韦达定理时忘记△>0条件
165 定值值参数取值范围
[题20] （2007四川卷）设F1F2分椭圆左右焦点
（1）P该椭圆动点求值值
（2）设定点M(0 2)直线椭圆交两点AB∠AOB锐角（中O坐标原点）求直线l斜率k取值范围
[解析]（1）设P(x y) ∴x0时点P椭圆短轴端点时值－2
时点P椭圆长轴端点时值1
（2）直线x0满足条件设直线
令
cos<∠AOB>0 ∴
∴ ∴k2>4－2综
[点评] 题求值参数取值范围类问题涉面广条件隐蔽力求高常见思想： ①根问题中显性条件隐蔽性条件构建变量等式组 利圆锥曲线界性判式二次方程根分布点曲线位置关系（右支左支等）②根变量间关系构造变量目标函数通求函数值域值确定③根面性质求变量值
2 注重知识交汇交叉整合重组模式样
高考试题区分选拔功考查基础知识时注重力考查确立力立意命题指导思想命题时特注意知识间交叉渗透整合命题者常常知识整合交汇点设计试题应特关注列整合模式
21 面量知识点整合
面量具代数式双重形式身份具极丰富数形教学背景强工具性成高考中力考查新热点
211面量代数整合
例：（湖北卷）已知量ab函数a·b区间(－11)增函数求t取值范围
答案：t≥5
212面量三角函数整合
例：（山东卷17）已知量mn |m+n|求
答案：
213面量解析整合
例：（全国卷I）已知椭圆中心坐标原点O焦点x轴斜率1椭圆右焦点F直线交椭圆AB两点a＝（3－1）线
（1）求椭圆离心率
（2）设M椭圆意点证明定值
答案：略
214面量面整合
例：（湖南卷）P△ABC面点
点△ABC（ ）
A外心 B心 C重心 D垂心
答案：D
22 数学期知识整合
数学期作新增教学容教学重点教学难点年出现数学期知识点整合高考试题耳目新
221数学期函数整合
例：（湖南卷）某城市甲乙丙3旅游景点位客游览3景点概率分040506客否游览景点互影响设表示客离开该城市游览景点没游览景点数差绝值
（1）求分布列数学期
（2）记函数f(x)x2－3x+1区间[2+∞）单调递增事件A求事件A概率
答案：（略）
222数学期解析整合
例：（全国卷III）设l面点(0 1)直线l斜率等取表示坐标原点l距离机变量数学期E
答案：
223数学期数列整合
例：（广东卷）箱中装相黄白两种颜色乒乓球黄白球数量st现箱中次意取出球取出黄球结束取出白球中放回箱中继续箱中意取出球取球次数超n次表示取球结束时已取白球次数
（1）求分布列（2）求数学期
答案：（略）
23 导数知识整合
导数研究函数重工具两年已出现导数研究等式量三角函数等方面综合试题
231导数等式整合
例：（湖南卷）设f(x)g(x)分定义R奇函数x<0时
g(－3)0等式f(x)g(x)<0解集（ ）
A B
C D
[答案]D
232三角导数量整合
例：（江西卷）已知量ab令f(x)＝a·b否存实数（中f(x)导函数）存求出x值存证明
简解：时
意义存样实数x
3 应问题规循偶尔出意料外
应性问题年改应问题局限函数等式范畴线性规划导数概率期两年出现许容新颖贴生活优秀试题2008年应重点关注列4种模式应题
31利线性规划求值
例：（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106kg现市场该原料两种包装种袋35kg价格140元袋24kg价格120元满足需条件少花费 元
解析：设购买35kgx袋24kgy袋35x+24y≥106x∈N y∈N 花费z140x+120y
作出35x+24y≥106x∈N y∈N应行域目标函数z140x+120y格点（13）处取值500元填500
32利导数求值
例（辽宁卷）甲方农场乙方工厂 乙方生产需占甲方资源甲方权乙方索赔弥补济损失获定净收入乙方赔付甲方情况乙方利润x(元)年产量(t)吨满足函数关系x2000乙方生产吨产品必须赔付甲方s元（称s赔付价格）
(1)乙方年利润w（元）表示年产量t(吨)函数求出乙方获利润年产量
（2）甲方年受乙方生产影响济损失金额y0002t2(元)乙方获利润产量进行生产前提甲方索赔中获净收入应乙方求赔付价格s少？
[答案]略
33概率期实际应
例（天津卷）某公司5万元资金投资开发项目果成功年获利12旦失败年丧失全部资金50表200例类似项目开发实施结果
投资成功
投资失败
192次
8次
该司年估计获收益期 （元）
[答案]6760
34正态分布线性回应
例（07广东卷）表提供某厂节降耗技术改造甲产品程中记录产量x（吨）相应生产耗y（吨标准煤）组应数
x
3
4
5
6
y
25
3
4
45
（1）请画出表数散点图
（2）请根表提供数二法求出y关x线性回方程
（3）已知该厂技改前100吨甲产品生产耗90吨标准煤试根（II）求出线性回方程预测生产100吨甲产品生产耗技改前降低少吨标准煤？（参考数值：3×25+4×3+5×4+6×45665）
[答案]略
： 2006年湖北2007年连续两年考查正态分布问题
4 高考新题层出容设计线索扑朔迷离
41 时定义题层出穷
谓时定义题试题叙述中场出概念概念出常伴设称规定定义等字眼然根概念现学现解题 类试题考生较陌生新意
例：（辽宁卷）R定义运算：等式
意实数x成立（ ）
A－1答案：C
：（2005年浙江卷）设记＝（ ）
A{0 3} B{1 2} C{3 4 5} D{1 2 6 7}
答案：A
42 试题背景开放情境设计新颖
里说试题背景开放指试题定高中见容背景君见诸数阵等差数阵单峰函数曲线面积计算机计数制已纷纷登场亮相？情境设计相关高中知识初中面知识等分学科分学段整合嫁接改成道新试题
例：（全国卷III）计算机中常十六制进制逢16进1计数制采数字0—9字母A—F16计数符号符号十进制数应关系表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例十六进制表示：E+D＝1BA×B＝（ ）
A6E B72 C5F DB0
答案：A
（北京卷）已知n次项式
果种算法中计算值需k1次法计算P3(x0)值需9次运算（6次法3次加法）计算Pn(x0)值需 次运算
面减少运算次数算法：利该算法计算值需6次运算计算值需 次运算
答案：
43 图象信息题断翻新
图象信息高考试题中露面已十余年稀奇两年已超越函数绝值函数叠加迈步
44高等数学背景断渗透重点关注五条设计线索
441李普希茨条件设计线索
函数yf(x)果存正常数a定义域D意两等值x1x2成立称函数yf(x)D李普希茨函数 背景题目年调考北京江苏高考中出现学生情境陌生感深具区分价值
442数设计线索
例（2007年湖北高考题）已知mn正整数
（1）数学纳法证明：x>—1时
（2）n≥6已知求证：
（3）求出满足等式正整数n
数数学重分支整数基性质中重部分 题具高等数学背景第1问伯努利等式助导数证第3问定方程问题具勾股定理费尔马定理埃斯柯特猜想等背景题选材立意时代感强类试题高考中较常见
443函数确界设计线索
例：定义D函数f(x)果满足：常数M>0|f(x)|≤M成立称f(x)D界函数中M称函数界
（1）试判断函数[1 3]界函数？请出证明
（2）已知质点运动方程时刻瞬时速度M＝1界界函数求实数a取值范围
[答案]略
界函数数学分析基概念题高观点背景通出定义（设置新情景）考查学生阅读理解迁移新知识力灵活运函数知识求解等式恒成立问题力
444图知识设计线索
例：等2然数mn次宽幂进行图方式分裂仿52分裂中数 m3分裂中数211m值
图作数学分支计算机关学科学研究着密切关系题通图形语言传递种信息定规进行分裂题求解程中融入等差数列知识试题创新坚实基础
445级数收敛性设计线索
例：（2006年全国卷）设数列{an}前n项
（1）求首项a1通项an
（2）设 证明：
高等数学中级数收敛性背景数列等式知识载体考查转化思想分析问题解决问题力类问题时较复杂时数学纳法放缩性基解法放缩时应注意放缩目标应熟悉基求方法适数列准类问题高考中屡见鲜
表述方法带高等数学色彩试题许函数凹凸性介值定理行列式线性关分形等剖析类试题难出新定义概念简单解法形式出现高考试卷中充分体现中学数学高等数学形式思想方法知识谐衔接题目形式新颖种力考查融身已成高考道独特风景值引起注意尤力较强学生老师指导阅读点高等数学书籍便争创高分满分
C 高考题型解题技巧
必做题部分填空题解答题两种题型组成．快速准确进行解答面介绍常方法：
填空题
填空题种传统题型完整陈述句形式填写词语数字符号数学语句等．根填写容形式填空题分成两类：求填写数值数集数量关系方程等式解集函数定义域值域()值线段长度角度数等
称定量型二求填写具某种性质象定某种数学象性质曲线方程焦点坐标离心率等称定性型．
填空题解法致种：①直接求解法：直接题设条件出发利定义定理性质常结等解结果②特例求解法：题目暗示结唯结果定值时取特例求解③数形结合法：助图形进行直观分析辅计算出结果④等价转化法：题设中复杂抽象问题转化简单具体问题解决⑤编外公式法：编外公式指课题中总结出真命题解答填空题具起点高速度快准确性强等优点⑥逆思维法：未知入手寻求结成立原问题解．
填空题需解题程省某步骤跨度前进配合心算速算力求快速避免题做．结果设中间分正确性求较高解答程中力求准确误填写结果规范结果化简解集集合表示根式化简实际量注意单位等．
二解答题
2008年数学试卷解答题6题90分中前三题属中等难度题三题较难题限时间发挥水做做解答题学生数学成绩影响分十分甚更根验做点：
()审题
审题实际分析问题解决问题思维程保持清醒头脑清浙思路．审题慢正确审出题意必须逐字逐句脑滤千万想然方面清题目求方面清题目身力求准确误耐心仔细审题准确握题目中关键词量(少a>0变量取值范围等)中获取信息迅速找准解题方正确解题前提．步图快．审题时保持清醒头脑旦某道题目解答卡壳时紧张马变换思维方式换角度换方位思考判定死刑放弃．历年考试中常见审题方面出现毛病(1)试卷急作答审题细导致漏笔求作答导致失分(2)审错题答案切题意求答案错误．毛病应该克服．
(二)解题
解题策略转化分点准确完整数学语言解题程表述出点学生忽视．道题目理解深理解浅解决解决少区分种情况高考阅卷评分办法懂少知识少分种方法分段评分者踩点分——踩知识点分踩分 分段分基精神：会做题目力求失分部分理解题目力争分
1会做题目解决会全老难问题考生题目明明会做终答案错——会
考生答案然中间逻辑缺陷概念错误缺少关键步骤——全会做题目特注意表达准确考虑周密书写规范语言科学防止分段扣点分验表明考生会做题目阅卷老师更注意找中合理成分分段点分做出题目二分易做出题目满分难
会做题目书写快复查慢．解题思路书写文字快赢时间．复查时候特注意全部检查时间允许针性检查先检查否漏答根草稿纸记录题号检查疑惑题目争取里补分数．二重复原思路换思路思考问题仅检查答案检查问题性质否真题目弄清楚．
2绝数考生说更重题目中分段点分说什样解题策略什样分策略解题真实程原原写出分段分全部秘密
（1）缺步解答果遇困难问题确实啃动聪明解题策略分解系列步骤者问题先解决问题部分解决少解决少演算步写步尚未成功等失败特解题层次明显题目者已程序化方法步分点演算分结然未出分数已半题分
（2）跳步答题解题程卡某渡环节常见时先承认中间结推否结
果说明途径立改变方果出预期结回头集中力量攻克卡壳处考试时间限制卡壳处攻克果前面写写出证实某步继续……直做底许中间步骤想出时乱七八糟插补面题目两问第问想出第问作已知先做第二问跳步解答
（3）退步解答退求进重解题策略果解决提出问题般退特殊抽象退具体复杂退简单整体退部分较强结退较弱结总退够解决问题产生偏概全误解应开门见山写题分种情况样会寻找正确般性解法提供意义启发
（4）辅助解答道题目完整解答实质性步骤次辅助性步骤实质性步骤未找前找辅助性步骤明智举准确作图题目中条件翻译成数学表达式设应题未知数等答卷中做稳扎稳字字步步准确量次成功提高成功率试题做完认真做解检查答卷否准确写字母题中图形否致格式否规范尤审查字母符号否抄错确信万失方交卷
(三)处理三关系
〔1〕会做分关系．许考生考试中常心中数
说清楚扣分者少数．重视解题程语言表述会做题分．
〔2〕快准关系．目前题量时间紧情况准字尤重．准分准必考虑花时间检查快时练结果考场解决问题味求快会落错误百出．适慢点准点点分相反快点错片花时间分．
〔3〕难题容易题关系．试卷应全卷通览遍做三心中数：全卷道题数防止漏做题道题占分心中数致区分属容易题属中档量属难题便合理制定解题策略通览全卷克服前面难题做出面易题没时间做效措施根防止漏做题答题时般说应先易难先简繁序作答．年考题序完全难易序体差异学生知识点掌握程度样难题中部分题难答题时合理安排时间某卡住题持久战样耗费时间分会做题耽误．
B高考备考建议
1．正确处理时教学高考备考间关系
教学观念中早点完成全部高中数学必考容教学然快进入高考复数学教学全部意义．里暂讨样做数学教育真正意义间差距实际效果样做学生高考中取定考试成绩作．学生取高水考试成绩困难．正确处理时教学高考备考间关系非常重．
图笔者根教学生高考中表现总结出反映学生数学学状态考试成绩关系．般说学生高考中取成绩必须数学学状态时达概念清原理透方法熟思想通．通常数学概念原理通断重复学学生相较短时间理解掌握．方法思想（特思想）需较长时间学生练体会达熟通状态．常教学中仅引导学生重视知识学急求成留足够时间悟出思想方法真谛．样真正体会学数学意义高考中考出成绩．
例1．（2007年高考广东数学第21题）已知函数 方程 两根（ ） 导数设 ．
（1）求 值
（2）证明：意正整数
（3）记 求数列 前 项 ．
答案：（1） （3）
分析：考题函数零点方程解联系二分法求方程似解（见教A版数学1）直线点斜式方程（见教A版数学2）数列表示（见教A版数学5）导数意义牛顿切线法求方程似解（见教A版数学2－2）极限思想等等均着密切关系．果时教学中没学生体会教科书容高考时难完成全部解答．
例2．（2008年高考广东理科第21题）设pq实数 方程 两实根．数列 满足 （n 34…）．
（1）证明： （2）求数列 通项公式
（3）p 1q 求 前n项 ．
分析：（1）题仅仅数学生分机会更重揭露 关系 表示出 表示出．说问题解答中选 表达结选 表达结．
（2）题然直接特征根方法求解超出高中数学知识范围．然定系数法方法求解：
设 ． 方程 两根
问题转化等数列求解程然简单．
家知道高中数学新课程中仅增加新数学知识增加少新数学思想方法．合情推理新增属思想方法容．实际教学中少没重视新增容教学意义育意义．数学教学中教师较关注数学身逻辑体系教学中演绎程帮助学生通观察类纳概括发现结提出猜想教学程少实践证明样教学程学生思维健康发展利．
高中新课程实施程中教师果注意述说问题教学中会较落实选修系列12中增加合情推理容．样述高考试题会思考：
… 表示试图中发现 表示难出 表示．
基（1）结尝试 … 进行表示希通列举纳 表示合情推理．
已知
猜想：
利数学纳法容易证明式．
述程中较利合情推理复杂问题变简单．
实方便学生作答试卷公式列表中出述公式：
述公式正普通高中课程标准实验教科书数学必修5（教A版）第二章数列题25B组中问题．
（3）题实际（2）种特殊情形．
代入 解 ．（2） ．利错位相减求法 ．
2．关注新增容教学备考
新课程中增加少新教学容三视图算法统计定积分（理科）等等增加少新思想方法模型思想回思想算法思想等等．时重视培养学生阅读理解（特图表）力．
例3．（2007年高考广东理科第4题）客车甲60kmh速度匀速行驶1时达乙乙停留半时然80kmh速度匀速行驶1时达．列描述客车甲出发乙达丙路程 时间 间关系图象中正确（ ）
例4．（2008年高考海南宁夏理科第12题）某体条棱长 该体正视图中条棱投影长 线段该体侧视图俯视图中条棱投影分长ab线段a + b值（ ）
A B C 4 D
例5．（2007年高考海南宁夏理科第20题） 图面积 正方形 中规图形 面方法估计 面积：正方形 中机投掷 点 点中 点落入 中 面积估计值 假设正方形 边长2 面积1正方形 中机投掷 点 表示落入 中点数目．
（I）求 均值
（II）求方法估计 面积时 面积估计值实际值差区间 概率．
附表：
例6．（2007年高考广东理科第17题）表提供某厂节降耗技术改造生产甲产品程中记录产量 （吨）相应生产耗 （吨标准煤）组数．
3
4
5
6
25
3
4
45
（1）请画出表数散点图
（2）请根表提供数二法求出 关 线性回方程
（3）已知该厂技改前 吨甲产品生产耗 吨标准煤．试根（2）求出线性回方程预测生产 吨甲产品生产耗技改前降低少吨标准煤？（参考数值： ）
例7．（2008年高考海南宁夏理科第22－24题）请考生第222324题中选题做答果做做第题记分．做答时2B铅笔答题卡选题目应题号涂黑．
22．（题满分10分）选修4－1：
证明选讲
图圆O外点M作条切线切点AA作直线AP垂直直线OM垂足P．
（1）证明：OM·OP OA2
（2）N线段AP点直线NB垂直直线ON交圆OB点．B点切线交直线ONK．证明：∠OKM 90°．
23（题满分10分）选修4－4：坐标系参数方程
已知曲线C1： 曲线C2： ．
（1）指出C1C2什曲线说明C1C2公点数
（2）C1C2点坐标压缩原半分曲线 ．写出 参数方程． 公点数C1C2公点数否相？说明理．
24（题满分10分）选修4－5：等式选讲
已知函数 ．（1）作出函数 图（2）解等式 ．
例8．已知正数数列 前n项 求数列通项 ．
题改列情景题：定程序框图右图示请根程序框图解决列问题：
（1）输入m值3请次写出输出t值
（2）输入正整数m记第n次输出t值 求 表达式
解：（1）m3时输出t值次
（2）第（1）题结猜想：
面证明述猜想．
时（1）知猜想正确．设 时猜想正确
程序框图表达算法知道
．
时猜想正确．
根数学纳法知猜想正确．
3．高考备考中模特元定界
谓模思考问题中涉数学模型什否模型供选择数学模型熟悉数学模型时特注意什
谓特问题特殊情形什问题特殊情形结样否特殊情形检验结正确性
谓元问题中数学象元问题中条件阶问题中条件阶数数学象元数样关系否关系寻找问题解决途径
谓定问题中数学象确定性常常涉数学象元数问题中条件阶数关系高考中数学象通常确定条件约束元数学象问题转化研究元函数独立变元方程等等
谓界变化数学象界什两变量通常呈等相等作界变量变化范围（定义域值域等等）通常界通常研究界情形决定情形分类讨中特注意情形
般说模特元定界蕴含思想指引通常找问题解决途径面举例加说明
例9．（2005年高考广东数学第20题）面直角坐标系中已知矩形ABCD长2宽1ABAD分x轴y轴正半轴点
A坐标原点重合（图示1） 矩形折叠点A落线段DC
（Ⅰ）拆痕直线斜率k试写出拆痕直线方程
（Ⅱ）求拆痕长值
（图1） （图2）
分析：（1）模：数学模型直线斜截式方程 （拆痕斜率均存）分段函数
（2）特：折痕特殊情形AD中点点B点DAC中点
（图3） （图4）
（图5） （图6）
（3）元：数学象拆痕面直角坐标系中原二元象条件矩形折叠点A落线段DC成元数学象
（4）定：拆痕元数学象k确定截距b着确定 b定k表示出果简便引进n变元定找关n+2变元n+1等式
（5）界： 拆痕特殊情形仅写出直线方程提供方便求出拆痕长值指明方
解：设点A关拆痕称点E点E线段DC设点E坐标（t1）（ ）．
（Ⅰ） 拆痕直线线段AD中垂线方程
线段AE中点M坐标 拆痕直线方程
．
综述拆痕直线方程 ．
（Ⅱ）设拆痕长 ．
（1）折痕AD中点时（图3） 折痕点B时（图4） 求 ． 时折痕y轴 均交点分求
．
时 ．
l关k函数 减函数 时
．
（2）折痕点D时（图5） ． A运导数探求参数范围
求参数取值范围历年高考热点运导数解决类问题效方法文问题作探讨
类型：已知函数单调性求参数取值范围
例1． 已知单调递增函数求取值范围
分析：题已知函数递增求导数令导数等0
∵ 令
单调递增函数
∴
纳步骤：（1）求导数（2）令参数分离出（3）求参数边函数值域参数范围
例2．（2000全国高考）设中求取值范围单调递增函数
分析：x>0 ∴
单调递增函数∴
∴已知相矛盾舍
单调递减函数∴
∴
综述时单调递增函数
注意问题：已知函数（）增函数（减函数）求参数范围时应令（）D恒成立解出参数取值范围然检验参数取值否D恒等0恒0应舍参数取值利导数研究函数单调性时应注意（）
（）导函数（）递增（递减）充分必条件
类型二：已知等式恒成立求参数取值范围
例3．设恒成立求取值范围
分析：恒成立
∴ 令
＝0时＝2
∴g(2)函数极值等－2∴恒成立
例4．已知－时等式恒成立求m取值范围
分析：令＝0
时时函数极值
＝1
纳：已知等式恒成立求参数取值范围问题类型相似方导数作解决问题工具参数分离出转化求函数值域问题
类型三：开放型问题求参数取值范围
例5．已知
（1）设求解析式
（2）设试问：否存（）单调递减函数（）单调递增函数存求出值存说明理
分析：（1）易求c1
（2）＝∴
题意（）单调递减函数（）单调递增函数知极值∴
时∴单调递增函数
时∴单调递减函数存原命题成立
高考解题谈求参数取值范围九背景
福建省永定县城关中学 364100 童林
解析中确定参数取值范围类转常见探索性问题历年高考试题中常出现类问题少考生处理类问题时手知道确定参数范围函数关系等关系文通实例介绍类问题形成背景相应解法期考生备考帮助
背景：题目条件
利题设条件沟通求参数曲线点坐标曲线特征参数间联系建立等式等式组求解求范围问题显然背景
例1：椭圆焦点F1F2点P(x y)动点∠F1PF2钝角时点P横坐标取值范围___
解：设P(x1 y)∠F1PF2钝角cos∠F1PF2
说明：利∠F1PF2钝角等式解题关键题特殊化2000年全国高考题理科第14题：
椭圆焦点F1F2点P动点∠F1PF2钝角时点P横坐标取值范围__________
（答案 x）
例2：（2000年全国高考题理科第22题）图已知梯形ABCD中2点E分线段AC成双曲线点CDE三点AB焦点时求双曲线离心率e取值范围
解：图线段AB垂直分线 y 轴双曲线点CDAB焦点双曲线称性知CD关y轴称题意记AC(h)E(x0y0) 中c 双曲线半焦距h梯形高
定分点坐标公式：x0y0
设双曲线方程－1离心率e
点CE双曲线点CE坐标e 代入双曲线方程
①
②
①式 ③
③式代入②式整理：
∴
说明：建立e函数关系式利已知范围求e范围
背景二：曲线身范围
圆椭圆双曲线抛物线身范围椭圆>b>0)
中x利范围确定参数范围途径
例3：（2002年全国高考题）设点P点M(－10)N(10)距离差2mx轴y轴距离2求m取值范围
解：设点P坐标(xy)题设y ①
x点P(xy)M(－10)N(10)三点线
点PMN 焦点实轴长2双曲线
1 ②
①式代入②解
m
∴(0
说明：Px轴y轴距离2Px轴m隐含条件容易忽视
例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆
两焦点F1 (－c 0)F2 (c 0) (c > 0)椭圆存点P直线PF1PF2垂直
(1)求实数m取值范围
(2)设l相应焦点F2准线直线PF2l相交Q求直线PF2方程
解：(1)题设m＋1>1m > 0c 设点P坐标(x0 y0)PF⊥PF2 ①
①联立解x
m +)
(2)答案y () (x) ( 解答略)
背景三：二次方程解条件
直线圆锥曲线关系解析中常见关系联立消元判式非负直线圆锥曲线公点充条件限制条件应考虑根分布情况等确定参数取值范围常见背景
例5：（全国高考题）定双曲线x２－ 1点B(11)否作直线
ll双曲线交P1P2点B线段P1P2中点？样直线l果存求出方程果存说明理
解：画出图知直线斜率存时满足题设条件l存
直线l斜率存时设kl方程y k(x－1)＋1联立
设
满足已知条件直线l存
例6：（2004年湖北省高考题理科20题 文科20题）直线双曲线右支交两点AB
(1)求实数k取值范围
(2)否存实数k线段AB直径圆曲线C右焦点F？存求出k值存说明理
解：(1)直线代入双曲线方程整理
题意直线l双曲线C右支交两点
(2)答案存满足题设
说明：问题(1)涉直线双曲线右支相交问题转化方程等
两正根方程根分布充条件建立等式组
背景四：已知变量范围
利题中出某已知变量范围已知条件求出某变量范围然找出变量欲求参变量间关系进求解
1双参数中知道中参数范围
例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线中心原点右顶点A(1 0)点PQ双曲线右支点M(m 0)直线AP距离1
(1)直线AP斜率k求实数m取值范围
(2)时心恰点M求双曲线方程
解：(1)条件知直线AP方程点
M直线AP距离1
∵
∴
(2)答案（解答略）
例8：（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）定抛物线FC焦点点F直线lC相交AB两点
(1)设l斜率1求夹角
(2)设求ly轴截距m变化范围
解：(1)答案（解答略）
(2)F(1 0) 设A(x1 y1) B(x2 y2) 题设
②
∵
∴ ③
联立①③解题意
∴直线l方程：
时方程ly轴截距
知递减
∵
∴
直线ly轴截距m变化范围
说明：例7例8已知变量范围求变量范围先利题设条件建立变量关系式求变量已知变量分离函数关系已知变量范围求出函数值域求变量范围类背景结背景
2双参数中范围均未知
例9：（2004年全国卷Ⅰ文2 理21）设双曲线直线相交点AB
(1)求双曲线C离心率e取值范围
(2)设直线ly轴交点P求a值
解：(1)Cl相交两点知方程两实数解消y整理：
∴双曲线离心率
∵
∴
(2)略
说明：先求出a范围建立ea函数关系式求出e范围
例10：直线双曲线左支交AB两点直线l点AB中点求直线ly轴截距b取值范围
解：方程组消y：
设AB中点：
∵
设直线l方程单调递减
∵
∴
说明：类问题先求出变量范围变量范围相应求出
背景五：点圆锥曲线域外域充条件
果规定圆锥曲线包含焦点区域称圆锥曲线域时坐标面圆锥曲线划分部分称圆锥曲线外域点
椭圆（外）域充条件点双曲线（外）域充条件点抛物线（外）域充条件充条件背景范围问题利述等式获解
例11：（1986年全国高考题）已知椭圆试确定m取
值范围直线椭圆C两点PQ关该直线称
解：设中点：
①
②
①－②
③
④
③④解
点椭圆部
∴
背景六：三角形两边第三边
椭圆双曲线点两焦点构成三角形具背景问题利三角形两边第三边产生等式确定参数范围
例12：已知双曲线左右两焦点分F1
F2左准线l双曲线左支存点P|PF1|Pl距离d|PF2|等中项求离心率e取值范围
解：|PF1|2 d |PF2|
|PF2| 2a＋|PF1| ③
①③|PF1||PF2|
△PF1F2中|PF1|＋|PF2||F1F2|
说明：P点双曲线顶点|PF1|＋|PF2||F1F2|
背景七：参数意义
解析门数形相结合学科中许变量十分明显意义背景范围问题抓住参数意义达目
例13：椭圆C准线抛物线准线C条抛物
线焦点椭圆离心率求椭圆长半轴a范围
解：设椭圆焦点F(x y)定义知
椭圆焦点F轨变A(0 －1)圆心半径1圆
易知焦点F准线y 1距离p范围
∴
背景八：均值等式
解析质代数方法研究图形性质利代数基等式求范围方法
例14：已知直线l定点A(3 0)倾斜角试求范围曲线弦直线l垂直分
解：直线斜率0存时符合题意
设直线l方程垂直分弦两端点BC中点P
线段BCl垂直分时
∴符合题意直线斜率
∴
说明：题求解利补集法先求弦l垂直分直线l斜率取补集满足题设斜率利斜率倾斜角关系求出范围
背景九：目标函数值域
确定变量k范围先建立k函数目标函数种具函数背景范围问题迎刃解
例15：椭圆点F1F2两焦点求|PF1|·|PF2|取值范围
解：∵|PF1|＋|PF2| 2a
∴|PF1|·|PF2| |PF1|·(2a－|PF1|) －(|PF1|－a)2＋a2
∵
∴时 值b2 时 |PF1|·|PF2|值a2
|PF1|·|PF2|取值范围
例16：（2004年福建省高考题理科22题）图P抛物线点直线
l点P抛物线C交点Q
(1)直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨变方程
(2)直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围
解：(1)设题意
∴点P切线斜率
∵合题意
∴
∴直线l斜率
∴直线l方程
联立直线l抛物线方程消y
∵MPQ中点
∴消x1
∴PQ中点M轨迹方程
(2)设直线l方程题意分PQ作轴轴垂足分
①
∴
方法1：∴
∵y1y2取切相等正数
∴取值范围
方法2：∴
时
时
方程①两相异实根
∵时取切正数
∴取值范围
说明：利图形找PQ两点坐标间关系快速求解第(2)问题关键
求参数取范围20111023
1果函数区间增函数实数取值范围
（A） （B） （C） （D）
2设函数值等式解集
3．方程 解 ．
4已知函数
（1）a＞0定义域
(2) 区间减函数实数a取值范围
5设函数．意恒成立实数取值范围 ．
6设函数．意恒成立实数取值范围 ．
7已知函数常数．
（1）讨函数奇偶性说明理
（2）函数增函数求取值范围．
8已知函数
（1）求值
（2）恒成立求实数取值范围
9已知函数
（I）求单调区间
（II）求区间值
10设函数中ab常数
已知曲线点（20）处相切线
(I) 求ab值写出切线方程
(II)方程三互相实根0中
意恒成立求实数m取值范围
11设函数
(I)讨单调性
（II）两极值点记点直线斜率
问：否存存求出值存请说明理．
12设
（1）存单调递增区间求取值范围
（2）时值求该区间值
13设函数
（Ⅰ）a求单调区间
（Ⅱ）≥0时≥0求a取值范围
14已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）求取值范围
15设．
（1）求单调区间值
（2）讨关系
（3）求取值范围＜意＞0成立．
16已知函数中常数满足
（1）判断函数单调性
（2）求时取值范围．
17已知函数中．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）区间恒成立求取值范围．
18设函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）求实数恒成立．
注：然数底数．
19设讨函数 单调性．
20111023参考答案
1函数y作关二次函数a>1增函数原函数区间增函数求称轴≤0矛盾02设函数值∵值∴ 03
4答案 解析（1）a＞0时定义域
(2) a＞1时题意知0 a<0时区间减函数填
5答案．解析解法1．显然函数增函数
时恒成立．
时函数 减函数
时取值
恒成立等价值
解．实数取值范围．
解法2．然函数增函数时成立．
设函数时增函数时取值．
解．实数取值范围．
解法3．意恒成立等式成立
解．实数取值范围．
6答案．解析解法１．等式化
整理
设．
题目化意恒成立问题．
需求值．设．
函数区间增函数处取值．
整理
解实数取值范围．
解法2．解法1题目化意恒成立问题．
需求值．
设．．
函数增函数时取值．
值．整理
解
实数取值范围．
解法3．等式化
整理
令．
判式值函数图象顶点
意恒成立必须值
实数应满足
解实数取值范围．
解法4．(针填空题选择题)题设意
恒成立
等式成立
代入式
式两边整理
解
实数取值范围．
7解：（1）时
意 偶函数．
时
取
函数奇函数偶函数．
（2）解法：设
函数增函数必须恒成立．
恒成立．
．
取值范围．
解法二：时显然增函数．
时反例函数增函数
增函数．
时解法．
8[解] （1）时时 …… 2分
条件知
解 …… 6分
…… 8分
（2）时 …… 10分
…… 13分
取值范围 …… 16分
9解：（I）令递减递增
（II）时函数区间递增
时（I）知函数区间递减递增
时函数区间递减
（中）
10解：(I)曲线曲线点（20）处相切线解：切线方程：
(II)(I)题意：方程三互相等根
方程两相异实根
意恒成立特取时
成立韦达定理知：意：
函数值0时意恒成立综：取值范围
11解析：（I）定义域
令
单调递增．
两根0
单调递增．
两根
时 时 时 分
单调递增单调递减．
（II）（I）知．
(I)知．
存．．
（I）知函数单调递增
式矛盾．存
12解析（1）存单调递增区间存某子区间
区间单调递减需解
时存单调递增区间
（2）令两根
单调递减单调递增
时值
值
值
13解：
（Ⅰ）时时时时单调增加（10）单调减少
（Ⅱ）令时减函数x≥0时≥0≥0
时减函数时＜0＜0综合取值范围
14解析(Ⅰ)
曲线切线方程：式中令
曲线
（Ⅱ）（i）时没极值
(ii)时
题设知时等式
解
时解等式
综合(i)(ii)取值范围
15分析（1）先求出原函数求然利导数判断函数单调性（单调区间）求出值（2）作差法较构造新函数利导数判断函数单调性单调性判断函数正负（3）意＞0成立恒成立问题转化函数值问题．
解（1）题设知∴令01
∈（01）时＜0减函数（01）单调减区间
∈（1+∞）时＞0增函数（1+∞）单调递增区间
1唯极值点极值点值点值
(2)设
时时
单调递减时
（3）（1）知值1意成立
16解：⑴ 时意
∵
∴ 函数增函数时理函数减函数
⑵时时
17解（Ⅰ）时．．
曲线点处切线方程．
（Ⅱ）．令解．针区间需分两种情况讨：
(1) ．
变化时变化情况表：
增
极值
减
区间值区间端点．区间恒成立等价
解．
(2) ．
变化时变化情况表：
增
极值
减
极值
增
区间值区间端点处．
区间恒成立等价
解．
综合(1)(2) 取值范围
18题考查函数单调性导数运算法导数应等基础知识时考查抽象概括推理证力满分15分
（Ⅰ）解：
增区间减区间
（Ⅱ）证明：题意（Ⅰ）知单调递增
恒成立解
19解：函数f(x)定义域（0+∞）
综述f(x)单调区间表：
2012届高考数学（文）考前刺六解答题导数参数范围
1已知函数中
（1）时判断单调性
（2）定义域增函数求正实数取值范围
（3）设函数总成立求实数m取值范围
答案：解析：
时（）单调递增
（2）已知定义域（）
定义域增函数
仅x1时等号成立
（3）a2时时
（01）
成立等价（01）值值
2 已知函数∈R．
(I)讨函数单调性
(Ⅱ)时≤恒成立求取值范围．
解： (Ⅰ) 时()………………2分
解
函数单调递增区间． …………4分
(Ⅱ)题意
∴
∵ ∴ ∴
∴ …………6分
设
令解
时单调递增…………8分
时单调递减 …………10分
∴
∴ ．
3已知函数．
（I）时求函数单调区间
（II）函数图象点处切线倾斜角45o问：m什范围取值时意函数区间总存极值？
（I）时 …………………………………2分
令时解（01）单调递增 ……4分
令时解（1+∞）单调递减． ………6分
（II）函数图象点（2）处切线倾斜角45o
．
． ………………………………………………8分
……………………………………………10分
意函数区间总存极值
需 ……………………………………………………12分
解． ………………………………………………………14分
6已知函数
（1）求函数单调区间
（2）等式区间恒成立求实数k取值范围
解：（Ⅰ）定义域
令>0令<0
函数单调递增区间单调递减区间…………4分
（Ⅱ）令
令解
x变化时变化表
x
)
+
0
↗
↘
表知时函数值值
…………10分
7已知函数
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）意 恒成立求实数取值范围．
（I）时
………………………………………………………………2分
单调递增区间单调递减区间………………4分
（II）意 恒成立 时恒成立
时恒成立………………………………6分
设
设 恒成立
单调递增
单调递增………………8分
零点
单调递减单调递增……………10分
8已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)否存实数等式恒成立存求实数取值范围存请说明理
解(Ⅰ)……………………1分
①时函数增函数
函数单调增区间……………………2分
②时令
时时…………4分
函数递增区间递减区间……………5分
(Ⅱ)假设存样实数等式恒成立
恒成立令
恒成立…………………………6分
……………………………7分
①时函数单调递减
矛盾舍 ……………………8分
②时
时函数单调递减
ylnx(x>1)
yax2ax(a<0)
x
O
y
图象知趋正穷时趋负穷
恒成立矛盾舍 …………10分
(注考生出抛物线草图说明
右样该步骤应分分)
③时等价()
记两根()
易知时时
(i)时函数递减矛盾舍 ………11分
(ii)时函数递增恒成立
解………………12分
综①②③知存样实数等式恒成立…………13分
9设函数
(Ⅰ) 时求函数极值
（Ⅱ）时讨函数单调性
（Ⅲ）意意恒 成立求实数取值范围
解：(Ⅰ)函数定义域
时令
时时
极值4分
（Ⅱ）
5分
时 减函数
时令
令
时令
令 7分
综时定义域减函数
时单调递减单调递增
时单调递减单调递8分
（Ⅲ）（Ⅱ）知时单调递减
时值时值
10分
整理
11已知函数．
（Ⅰ）函数处取极值求值
（Ⅱ）函数单调函数求取值范围．
21解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）函数定义域
．
单调函数恒成立．
……………………10分
时恒成立单调函数
时令
时单调函数
时单调函数
综述取值范围．
16已知处取极值
（I）求值
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围
解：（1）
处取极值
7分
（2）（1）知
令
单调递减单调递增10分
值15分
意时恒成立必须
27 已知函数常数时函数取极值
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）曲线两交点求实数取值范围
（文）解：（Ⅰ） ………………………………………………2分
题意解
∴ ……………………………………………4分
（Ⅱ）（Ⅰ）知曲线两
交点两实数解…5分
设 ………7分
0
时递增
时递减 ………………9分
题意 …………………11分
∴实数取值范围
31
已知函数(a实常数)
(1)求证：函数(1+．∞)增函数
(2)求函数[1e]值相应值
(3)存成立求实数a取值范围
（1）时
函数增函数．…………………………………………………4分
（2）．
非负（仅x1时）函数增函数时． ………………………………………………6分
时时时
减函数 时时增函数．
．
非正（仅xe时）函数减函数时．……………………………………8分
综知时值1相应x值1时
值相应x值时值
相应x值．……………………………………………………………………10分
（3）等式 化．
∵ ∴等号时取
（）………………………………………………12分
令（）…………………14分
时
（仅x1时取等号）增函数
值a取值范围． ………………………16分
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G导数高考中新济增长点
1利导数研究函数单调性问题
设函数yf(x)某区间导果f＇(x)>0f(x)增函数果f＇(x)<0f(x)减函数反然高考常函数单调区间单调性证明等问题载体考查导数单调性质分类讨思想应
(20)(安徽文 题满分14分)
设函数f（x）cos2x4tsincos+4t2+t23t+4x∈R
中≤1f(x)值记g(t)
(Ⅰ)求g(t)表达式
(Ⅱ)讨g(t)区间（11）单调性求极值
20．（福建文 题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）恒成立求实数取值范围．
2利导数求解函数极（）值问题
设yf(x)导函数函数f(x)某点取极值充条件该点导数零存该点两侧导数异号定义闭区间初等函数必存值区间端点区间极值点取高考常结合求函数极值(值)参数取值范围解决数学应等问题考查导数值性质函数问题中应
19．（北京理 题13分）
图块半椭圆形钢板半轴长短半轴长计划钢板切割成等腰梯形形状底半椭圆短轴底端点椭圆记梯形面积．
（I）求面积变量函数式写出定义域
（II）求面积值．
19．（湖南理 题满分12分）
图4某开发旅游资源欲修建条连接风景点居民区公路点山坡面山脚水面成二面角（）点面距离（km）．山脚原段笔直公路供利．点山脚修路造价万元km原公路改建费万元km．山坡公路长度km（）时造价万元．已知．
（I）求点折线修建公路总造价
（II） （I）中点求点折线修建公路总造价．
（III）否存两点折线修建公路总造价（II）中总造价证明结．
Ｏ
A
E
D
B
H
P
3利导数意义解决关切线问题
函数f(x)点x0处导数f＇(x0)曲线yf(x)点(x0f(x0))处切线斜率高考常结合函数图象切线面积等式等问题导数意义应进行考查
19(全国二理 题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）设果点作曲线三条切线
证明：．
4利导数求解参数取值范围恒成立等式问题
构造函数运导数函数单调性方面性质解决等式证明参数取值范围等问题设置类试题旨考查导数基础性工具性现代性作强化数学应意识
21 (陕西文 题满分12分)
已知区间[01]增函数区间减函数
(Ⅰ)求解析式
(Ⅱ)区间(m＞0)恒≤x成立求m取值范围
（22）（浙江理 题15分）设意实数记．
（I）求函数单调区间
（II）求证：（ⅰ）时意正实数成立
（ⅱ）仅正实数意正实数成立．
5利导数知识求解数列问题
数列类特殊函数利导数知识研究数列关问题取简化运算效果
设函数
(Ⅰ)x6时求展开式中二项式系数项
(Ⅱ)意实数x证明＞
(Ⅲ)否存an＜＜恒成立存试证明结求出a值存请说明理
F 函数导数典例题剖析
题型1函数概念表示
例1（2008年山东卷）设函数值（ ）
A． B． C． D．
例2（2008年山东卷）已知值等 ．
例3（2008年广东惠州模）设 记
（ ）
A． B． C． D．
解析题考查周期函数运算
型选
［点评］题考查复合函数求法函数周期性考查学生观察问题力通观察关总结纳特殊般思想
题型2函数图象性质
例4（2008广东惠州模） 龟兔赛跑讲述样事：领先兔子着慢慢爬行乌龟骄傲起睡觉醒时发现乌龟快终点急忙追赶时已晚乌龟先达终点…S1S2分表示乌龟兔子行路程t时间图事情节相吻合 （ ）
A B C D
解析：选（B）（B）中乌龟达终点时兔子时间路程乌龟短
［点评］函数图象年高考热点试题考查函数图象实际应考查学生解决问题分析问题力复时应引起重视
题型3函数零点
例6（2008山东荷泽模拟题）函数零点区间 ）
A． B．（110） C． D．
解析：f（1）＝0－1＜0f（10）＝1－＞0f（1）•f（10）＜0函数f（x）区间（110）间零点
例7（2007广东高考题）已知a实数函数果函数区间[11]零点求实数a取值范围
解析a0时函数f (x)2x 3零点x区间[11]
a≠0时函数f (x) 区间[11]分两种情况：
①函数区间[─11]零点时
解1≤a≤5a
②函数区间[─11]两零点时
解a5a<
综述果函数区间[─11]零点实数a取值范围
(∞ ]∪[1 +∞)
题型4函数应
例8（2008广东高考试题）某单位2160万元购块空计划该块建造栋少10层层2000方米楼房测算果楼房建x（x10）层方米 均建筑费560+48x（单位：元）楼房方米均综合费少该楼房应建少层？
（注：均综合费均建筑费+均购费均购费）
解析：设楼房方米均综合费元题意
令解
时时
时取值元
答：楼房方米均综合费少该楼房应建15层
［点评］：题应题利函数导数知识解决问题利导数求函数单调性求函数值域值种常方法
题型5导数简单应
例9（2008年广东卷）设函数零极值点（ ）
A． B． C． D．
解析函数零极值点正根成立时显然时马参数范围答案B
题型6导数综合应
例10（2008年山东卷）已知函数中常数．
（Ⅰ）时求函数极值
（Ⅱ）时证明：意正整数时．
解析：（Ⅰ）解：已知函数定义域
时．
（1）时
时．
时单调递减
时单调递增．
（2）时恒成立极值．
综述时
时处取极值极值．
时极值．
（Ⅱ）证法：．
偶数时
令
（）．
时单调递增
恒成立
成立．
奇数时
证需证
令
（）
时单调递增
时恒命题成立．
综述结成立．
证法二：时．
时意正整数恒
需证明．
令
时单调递增
时成立．
时．
．
［点评］题托函数导数知识综合考查考生数学素养题第（1）问常规问题考生基功扎实解决起困难第（2）问需考生较高分析问题解决问题力利导数证明等式基思路通构造函数转化研究函数单调性区间端点值值问题证明程中进行等式放缩果考生缺乏样思想意识觉方思考利完成问解答
E高考中导数问题常见类型解法
类型1——利导数意义处理曲线公切线问题
例1 （03年全国高考文科试题）已知抛物线C yx+2x抛物线Cyx+取什值时C C仅条公切线？写出公切线方程
解 ：设公切线L切CP(xy)切CP(xy) L方程两种表达方式：①②
∵
∴①②变
消题意知时重合
时仅条公切线公切线方程
评注：题考察导数意义公切线方程两种表示法二次方程相关知识注意表示条直线充条件曲线公切线问题中常常构建方程
类型2——利导数研究三次函数简单分式函数性质
例2 （2003年安徽省春季高考题）已知x1时取极值（1）求bc值（2）意恒成立求d取值范围
解 ⑴
题意知方程两根
⑵
时
时
时
时极值
时 值
意恒成立
例3 (2004年合肥市高考模拟题)研究函数单调性
题考查导数函数单调性关系注意分类讨思想方法
解
① 时
+
+
表中符号取值变化规律发现时单调区间单调减区间
② 时 时定义域
单调递增
③ 时定义域
时单调区间没单调减区间
评注传统数学教材中知识方法难研究象例2例3种函数问题单调性极值值导数疑类问题解决提供方法掌握导函数单调区间极值值求解方法解题关键
类型3——已知函数单调性反确定函数式中特定字母值范围
例4 (2000年全国高考试题) 设函数中求取值范围函数区间单调函数
解函数单调函数恒成立
① 值0题设矛盾
②
连续递增值1
综合①②知时函数区间单调函数
评注导函数(ab)单调递增(单调递减)函数充条件意()(ab)意子区间恒零高中阶段出现(限)点情况例4种逆设置问题高考命题种趋充分体现高考力立意思想复中应引起高度重视
类型4——利导数处理含参数恒成立等式问题
例5 (2003年安庆市高考模拟题) 已知等式意实数恒成立求实数取值范围
解 令
① 时时时
值
恒成立
② 时
x
(x)
(0)
(0)
(+x)
f(x)
1
+
+
表知f(x) a +2极值f()极值f(x)(+)值．
f(x)>0(+)恒成立f()aa+2>0
2
类型5——利导数处理实际生活中优化问题．
D 高考数学命题趋势预测考场创优策略
考点命题特点趋势展
1传统容常考常新重考点重点凸现
11函数导数等式
观年高考试题重考点表现方面：
111函数图象性质
函数定义域值域值函数单调性周期性奇偶性称性等历年高考热点容题目基础题出现
[题1]（2007年重庆卷）已知定义域R函数f(x)减函数函数yf(x+8)偶函数（ ）
A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
[解析]：已知yf(x)称轴x8f(x)减函数f(x)增函数f(6)f(10)
[点评]：题考查函数单调性奇偶性称性等
[题2]（2007湖南卷）函数图象函数图象交点数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析]：作f(x)g(x)图象图观察图象两图象3交点选B
[答案]B
[点评]题考查基函数图象画图象时函数y图象画位容易出2交点
112 三二次关系
[题3] （2006浙江卷）设求证：
（1）a>0 （2）方程f(x)0(0 1)两实根
解析：（1） 条件a+b+c0消ba>c>0条件a+b+c0消c
（2）抛物线顶点坐标两边
方程f(x)0区间分实根
方程f(x)0(0 1)两实根
[点评]高考三二次联考常存常新特充分利二次函数图象常问题解决显直观明
113函数等式综合问题
[题4]（2007年全国卷）设函数
（1）证明：导数
（2）求a取值范围
[解析] （1）略（2）令
（1）x>0时g(x)(0+∞)增函数x≥0时
（2）a>2方程正根时g(x)该区间减函数
时题设相矛盾
综满足条件a取值范围
[点评]：导数知识等式知识结合求解类参数取值范围知识交汇点设计题目考查学生知识点进行渗透综合分析问题力年高考少样题年
12 数列等式
数列等式高考干知识数学高考重点容年高考试题中注重数列极限等身容综合注重考查思维力数列等式部分常压轴题形式出现部分考查：
121 等差等数列
[题5]（2007福建卷）等差数列{an}前n项
（1）求数列通项前n项Sn
（2）设求证：数列{bn}中意三项成等数列
解析：（1）已知
（2）（1）
假设数列{bn}中存三顶bpbqbr（pqr互相等）成等数列
∴
∵
∴ p≠r矛盾
数列{bn}中意三项成等数列
[点评]：题考查数列基知识考查等差数列概念通项公式前n项公式考查等数列概念性质考查化数学思想方法推理运算力
122 递推数列
递推数列年高考命题热点容常考常新模型化解题常方法：化等差等数列解决助数学纳法解决推出通项公式解决直接利递推公式推断数列性质解决
[题6]（2007天津理）数列{an}中
中
求数列{an}通项公式
[解析]方法1：根已知条件猜想然数学纳法证明：（略）
方法2：
两边
：
令
∴{bn}等差数列公差d1
∴
[点评]解法1通求出基础猜想出an通项公式然数学纳法出证明解法2利等价转换思想数列转化等差数列注重力考查
123 数列等式
数列知识等式容整合起形成证明等式求等式中参数范围求数列中项项较数列中项关系研究数列单调性等问题 数列等式证明解决调动证明等式种手段较法放缩法函数法反证法均值等式法数学纳法分析法等 类问题解决方法相丰富考查逻辑推理演译证明运算求解纳抽象等理性思维推理数学联结力素材
[题7]（2006天津卷）已知数列满足（非零参数n23…）
（1）成等数列求参数取值范围
（2）>0时证明
（3）>1时证明
解析：（1）（略）
（2）已知等式性质
方面
(3)>1时（2）知
（2）
[点评]：题中（2）利等式性质进行证明（3）利放缩法转化数列求进行证明
13 三角量
131 三角恒等变换
[题8]（2007四川卷）已知
（1）求值
（2）求
解析：（1）
（2）
[点评]：题考查三角恒等变形基公式三角函数值符号已知三角函数值求角计算力
132三角函数图象性质
[题9]（2007安徽卷）函数图象C
①图象C关直线称
②函数f(x)区间增函数
③图象右移单位长度图象C
三断中正确断序号
[解析]代入函数
＝－3∴①正确
令
∴②正确x图象右移单位
∴③错误[答案]：①②
[点评]：考查三角函数图象性质
133量运算
量行垂直面量数量积量运算中重考点2008年命题客观题出现
[例10]（2007重庆卷）图四边形ABCD中
值（ ）
A．2
B．
C．4
D．
[解析]：
BD⊥DC
∴ABDC 延长ABEBEDC（图）连CECDDB
∴CE⊥AE△AEC等腰直角三角形∠EAC＝45°
∴
[答案]C
[点评]：题考查量基运算
134 三角形三角函数
三角形三角函数问题考查解三角形三角形形状判定三角形恒等变换
[题11] （2007浙江卷）已知△ABC周长
（1）求边AB长
（2）△ABC面积求角C度数
[解析]（I）题意正弦定理
两式相减AB＝1
（II）△ABC面积
余弦定理
∴
[点评]：题充分利正弦定理余弦定理解三角形
14 排列组合二项式定理概率统计
141 排列组合问题
具体解题策略：
（1）相邻问题捆绑
（2）相邻问题插空处理
（3）特殊优先般
（4）定序问题选排（先排）
（5）元素相排列定序处理
（6）条件交叉容斥原理
（7）均分堆先分
（8）球入盒先分堆排列
（9）相球入盒隔板处理
（10）正难反排法处理
142 二项式定理
二项式定理考查二项展开式展开式通项利通项求特征项特征项系数注意系数二项式系数区般客观题形式出现题目较基础
143 概率统计
概率统计引入拓宽应问题取材范围概率计算离散型机变量分布列数学期计算等容考查实践力极素材 中学数学中学概率统计容数学分支中基础容考虑教学实际学生生活实际高考部分容考查贴考生生活注重考查基础知识基方法
机变量理科高考必考容中理科离散型机变量分布列期方差热点 题型解答题选择题填空题辅 种形势发生变化转变客观题 文科抽样方法考查客观题
[题12]（2007安徽卷）医学生物学试验中常果蝇作试验象关6果蝇笼子里慎混入两苍蝇（时笼8蝇子：6果蝇2苍蝇）笼子开孔蝇子外飞
直两苍蝇飞出关闭孔表示笼剩果蝇数
（1）写出分布列（求写出计算程）
（2）求数学期E
（3）求概率P（≥E）
解析：（1）分布列
0
1
2
3
4
5
6
P
（2）数学期
（3）求概率
[点评]：题考查等场合事件概率计算离散型机变量分布列数学期概念计算考查分析问题解决实际问题力
15 立体
立体线面关系重点考查容特注意道试题二种方法选特强调量法解决问题 中线面垂直热点中点常考正方体重模型总立体常方面考查
151 位置关系判断证明
[题13] （2007年江苏卷）已知两条直线mn两面αβ出面四命题：
①m∥n m⊥α n⊥α ②αβmα nβmn
③m∥n m∥αn∥α ④α∥βm∥nm⊥αn⊥β
中正确序号（ ）
A①③ B②④ C①④ D②③
[解析]：α∥βmα nβm∥nmn异面∴②错
m∥nm∥an∥αnα ∴③错选C
[答案]：C
[点评]：题考查两直线面垂直问题①两行直线垂直面④两行直线两行面中垂直面垂直
152 空间距离空间角
[题14] （2007福建卷）图示正三棱柱ABC－A1B1C1棱长2DCC1中点
（1）求证：AB1⊥面A1BD
（2）求二面角A—A1D—B
（3）求点C面A1BD距离
[解析]：（1）取BC 中点O连结AO
∵正三棱柱ABC－A1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1∴AO⊥面BCC1B1
连结B1O正方形BB1C1C中OD分BCCC1中点
∴B1O⊥BD∴AB1⊥BD
正方形ABB1A1中AB1⊥A1B
∴AB1⊥面A1BD
（2）设AB1A1B交点G面A1BD中作CF⊥A1DF连结AF（1）AB1⊥面A1BD∴AF⊥A1D ∴∠AFG二面角A－AD1—B面角
△AA1D中等面积法求AF
二面角A—A1D—B
（3）△A1BD中BDA1D
正三棱柱中A1面BCC1B1距离
设点C面A1BD距离d
∴ 点C面A1BD距离
[点评]：题考查直线面位置关系二面角点面距离等知识考查空间想象力逻辑思维力运算力题空间量方法解答
153 关面积体积计算
计算体体积问题应记住相应体体积公式边证明边计算般会涉割补问题特定位置问题涉面体正棱柱（锥）球性质求体积面积值时会选择导数方法处理
[题15]（2007年江西卷）直三棱柱（A1B1C1底面）面截体截面ABC已知A1B1B1C11∠A1B1C190°AA14BB12CC13求体体积
[解析]题体体积转化求三棱柱A1B1C1—A2B2C2四棱锥B—AA2C2C体积已知三棱锥A1B1C1—A2B2C2四棱锥B—AA2C2C体积容易求解
B作截面BA2C2面A1B1C1分交AA1CC1A2C2
作BH⊥A2C2H连CH A1B1B1C11
[点评]题求体分割成三棱柱四棱锥规体求积方法求解割补方法解决类问题较合理
16 面解析
圆锥曲线四方面考查：
①客观题形式考查圆锥曲线基概念性质
②求面曲线方程轨迹
③圆锥曲线关元素计算关系证明范围确定
④涉圆锥曲线称变换值位置关系关问题
综合知识纳：
161 直线圆
[题16] （2007浙江卷）设m实数
m取值范围
[解析] 题中集合关系两点集关系记O(0 0) C(3－4)助图形结合分析m<0条件成立m≥0时mx+y0斜率等时结成立
[点评]题考查等式表示区域开放性考查分析解决问题力时练较出入应予重视
162圆锥曲线概念性质
[题17] （2007安徽卷）已知F1F2分双曲线左右焦点ABO圆心|OF1|半径圆该双曲线左支两交点△F2AB等边三角形双曲线离心率（ ）
A B C D
[解析]
∴选D
[答案]D
[点评]题考查双曲线性质圆性质离心率求法
圆焦半径位置关系该题解决关键否运算量容易出错
163 曲线轨迹方程
[题18] （2007江西卷）设动点P点A(－10)B（10）B（10）距离分d1d2∠APB＝2θ存常数
（1）证明：动点P轨迹C双曲线 求出C方程
（2）点B作直线交曲线C右支MN两点试确定范围中O坐标原点
[解析] （1）△PAB中|AB|＝2
∴点P轨迹CAB焦点实轴长双曲线
方程
（II）略
[点评] 题利双曲线定义证明P轨迹双曲线求轨迹方程常方法直接法定义法相关点代入法参数法定系数法等
164 直接圆锥曲线关系
[题19]（2007天津卷）设椭圆1(a>b>0)左右焦点分F1F2A椭圆点AF2⊥F1F2原点O直线AF1距离
（1）（略）
（2）设Q1Q2椭圆两动点OQ1⊥OQ2原点O作直线Q1Q2垂线OD垂足D求点D轨迹方程
[解析] （II）
设点D(x0 y0)y0≠0时OD⊥Q1Q2
∴Q1Q2方程ykx+mQ1(x1 y1) Q2(x2 y2)满足
OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y20∴
∴
y00时xx0 Q1(x1 y1) Q2(x2 y2)满足
∴ x1x2+y1y20
∴ D坐标满足方程
[点评] 直线圆锥曲线位置关系高考中重中重应熟练掌握解决类问题基思想方法方程组思想设直线方程时应考虑直线垂直x轴特殊情况分类讨等韦达定理时忘记△>0条件
165 定值值参数取值范围
[题20] （2007四川卷）设F1F2分椭圆左右焦点
（1）P该椭圆动点求值值
（2）设定点M(0 2)直线椭圆交两点AB∠AOB锐角（中O坐标原点）求直线l斜率k取值范围
[解析]（1）设P(x y) ∴x0时点P椭圆短轴端点时值－2
时点P椭圆长轴端点时值1
（2）直线x0满足条件设直线
令
cos<∠AOB>0 ∴
∴ ∴k2>4－2
[点评] 题求值参数取值范围类问题涉面广条件隐蔽力求高常见思想： ①根问题中显性条件隐蔽性条件构建变量等式组 利圆锥曲线界性判式二次方程根分布点曲线位置关系（右支左支等）②根变量间关系构造变量目标函数通求函数值域值确定③根面性质求变量值
2 注重知识交汇交叉整合重组模式样
高考试题区分选拔功考查基础知识时注重力考查确立力立意命题指导思想命题时特注意知识间交叉渗透整合命题者常常知识整合交汇点设计试题应特关注列整合模式
21 面量知识点整合
面量具代数式双重形式身份具极丰富数形教学背景强工具性成高考中力考查新热点
211面量代数整合
例：（湖北卷）已知量ab函数a·b区间(－11)增函数求t取值范围
答案：t≥5
212面量三角函数整合
例：（山东卷17）已知量mn |m+n|求
答案：
213面量解析整合
例：（全国卷I）已知椭圆中心坐标原点O焦点x轴斜率1椭圆右焦点F直线交椭圆AB两点a＝（3－1）线
（1）求椭圆离心率
（2）设M椭圆意点证明定值
答案：略
214面量面整合
例：（湖南卷）P△ABC面点
点△ABC（ ）
A外心 B心 C重心 D垂心
答案：D
22 数学期知识整合
数学期作新增教学容教学重点教学难点年出现数学期知识点整合高考试题耳目新
221数学期函数整合
例：（湖南卷）某城市甲乙丙3旅游景点位客游览3景点概率分040506客否游览景点互影响设表示客离开该城市游览景点没游览景点数差绝值
（1）求分布列数学期
（2）记函数f(x)x2－3x+1区间[2+∞）单调递增事件A求事件A概率
答案：（略）
222数学期解析整合
例：（全国卷III）设l面点(0 1)直线l斜率等取表示坐标原点l距离机变量数学期E
答案：
223数学期数列整合
例：（广东卷）箱中装相黄白两种颜色乒乓球黄白球数量st现箱中次意取出球取出黄球结束取出白球中放回箱中继续箱中意取出球取球次数超n次表示取球结束时已取白球次数
（1）求分布列（2）求数学期
答案：（略）
23 导数知识整合
导数研究函数重工具两年已出现导数研究等式量三角函数等方面综合试题
231导数等式整合
例：（湖南卷）设f(x)g(x)分定义R奇函数x<0时
g(－3)0等式f(x)g(x)<0解集（ ）
A B
C D
[答案]D
232三角导数量整合
例：（江西卷）已知量ab令f(x)＝a·b否存实数（中f(x)导函数）存求出x值存证明
简解：时
意义存样实数x
3 应问题规循偶尔出意料外
应性问题年改应问题局限函数等式范畴线性规划导数概率期两年出现许容新颖贴生活优秀试题2008年应重点关注列4种模式应题
31利线性规划求值
例：（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106kg现市场该原料两种包装种袋35kg价格140元袋24kg价格120元满足需条件少花费 元
解析：设购买35kgx袋24kgy袋35x+24y≥106x∈N y∈N 花费z140x+120y
作出35x+24y≥106x∈N y∈N应行域目标函数z140x+120y格点（13）处取值500元填500
32利导数求值
例（辽宁卷）甲方农场乙方工厂 乙方生产需占甲方资源甲方权乙方索赔弥补济损失获定净收入乙方赔付甲方情况乙方利润x(元)年产量(t)吨满足函数关系x2000乙方生产吨产品必须赔付甲方s元（称s赔付价格）
(1)乙方年利润w（元）表示年产量t(吨)函数求出乙方获利润年产量
（2）甲方年受乙方生产影响济损失金额y0002t2(元)乙方获利润产量进行生产前提甲方索赔中获净收入应乙方求赔付价格s少？
[答案]略
33概率期实际应
例（天津卷）某公司5万元资金投资开发项目果成功年获利12旦失败年丧失全部资金50表200例类似项目开发实施结果
投资成功
投资失败
192次
8次
该司年估计获收益期 （元）
[答案]6760
34正态分布线性回应
例（07广东卷）表提供某厂节降耗技术改造甲产品程中记录产量x（吨）相应生产耗y（吨标准煤）组应数
x
3
4
5
6
y
25
3
4
45
（1）请画出表数散点图
（2）请根表提供数二法求出y关x线性回方程
（3）已知该厂技改前100吨甲产品生产耗90吨标准煤试根（II）求出线性回方程预测生产100吨甲产品生产耗技改前降低少吨标准煤？（参考数值：3×25+4×3+5×4+6×45665）
[答案]略
： 2006年湖北2007年连续两年考查正态分布问题
4 高考新题层出容设计线索扑朔迷离
41 时定义题层出穷
谓时定义题试题叙述中场出概念概念出常伴设称规定定义等字眼然根概念现学现解题 类试题考生较陌生新意
例：（辽宁卷）R定义运算：等式
意实数x成立（ ）
A－1
：（2005年浙江卷）设记＝（ ）
A{0 3} B{1 2} C{3 4 5} D{1 2 6 7}
答案：A
42 试题背景开放情境设计新颖
里说试题背景开放指试题定高中见容背景君见诸数阵等差数阵单峰函数曲线面积计算机计数制已纷纷登场亮相？情境设计相关高中知识初中面知识等分学科分学段整合嫁接改成道新试题
例：（全国卷III）计算机中常十六制进制逢16进1计数制采数字0—9字母A—F16计数符号符号十进制数应关系表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例十六进制表示：E+D＝1BA×B＝（ ）
A6E B72 C5F DB0
答案：A
（北京卷）已知n次项式
果种算法中计算值需k1次法计算P3(x0)值需9次运算（6次法3次加法）计算Pn(x0)值需 次运算
面减少运算次数算法：利该算法计算值需6次运算计算值需 次运算
答案：
43 图象信息题断翻新
图象信息高考试题中露面已十余年稀奇两年已超越函数绝值函数叠加迈步
44高等数学背景断渗透重点关注五条设计线索
441李普希茨条件设计线索
函数yf(x)果存正常数a定义域D意两等值x1x2成立称函数yf(x)D李普希茨函数 背景题目年调考北京江苏高考中出现学生情境陌生感深具区分价值
442数设计线索
例（2007年湖北高考题）已知mn正整数
（1）数学纳法证明：x>—1时
（2）n≥6已知求证：
（3）求出满足等式正整数n
数数学重分支整数基性质中重部分 题具高等数学背景第1问伯努利等式助导数证第3问定方程问题具勾股定理费尔马定理埃斯柯特猜想等背景题选材立意时代感强类试题高考中较常见
443函数确界设计线索
例：定义D函数f(x)果满足：常数M>0|f(x)|≤M成立称f(x)D界函数中M称函数界
（1）试判断函数[1 3]界函数？请出证明
（2）已知质点运动方程时刻瞬时速度M＝1界界函数求实数a取值范围
[答案]略
界函数数学分析基概念题高观点背景通出定义（设置新情景）考查学生阅读理解迁移新知识力灵活运函数知识求解等式恒成立问题力
444图知识设计线索
例：等2然数mn次宽幂进行图方式分裂仿52分裂中数 m3分裂中数211m值
图作数学分支计算机关学科学研究着密切关系题通图形语言传递种信息定规进行分裂题求解程中融入等差数列知识试题创新坚实基础
445级数收敛性设计线索
例：（2006年全国卷）设数列{an}前n项
（1）求首项a1通项an
（2）设 证明：
高等数学中级数收敛性背景数列等式知识载体考查转化思想分析问题解决问题力类问题时较复杂时数学纳法放缩性基解法放缩时应注意放缩目标应熟悉基求方法适数列准类问题高考中屡见鲜
表述方法带高等数学色彩试题许函数凹凸性介值定理行列式线性关分形等剖析类试题难出新定义概念简单解法形式出现高考试卷中充分体现中学数学高等数学形式思想方法知识谐衔接题目形式新颖种力考查融身已成高考道独特风景值引起注意尤力较强学生老师指导阅读点高等数学书籍便争创高分满分
C 高考题型解题技巧
必做题部分填空题解答题两种题型组成．快速准确进行解答面介绍常方法：
填空题
填空题种传统题型完整陈述句形式填写词语数字符号数学语句等．根填写容形式填空题分成两类：求填写数值数集数量关系方程等式解集函数定义域值域()值线段长度角度数等
称定量型二求填写具某种性质象定某种数学象性质曲线方程焦点坐标离心率等称定性型．
填空题解法致种：①直接求解法：直接题设条件出发利定义定理性质常结等解结果②特例求解法：题目暗示结唯结果定值时取特例求解③数形结合法：助图形进行直观分析辅计算出结果④等价转化法：题设中复杂抽象问题转化简单具体问题解决⑤编外公式法：编外公式指课题中总结出真命题解答填空题具起点高速度快准确性强等优点⑥逆思维法：未知入手寻求结成立原问题解．
填空题需解题程省某步骤跨度前进配合心算速算力求快速避免题做．结果设中间分正确性求较高解答程中力求准确误填写结果规范结果化简解集集合表示根式化简实际量注意单位等．
二解答题
2008年数学试卷解答题6题90分中前三题属中等难度题三题较难题限时间发挥水做做解答题学生数学成绩影响分十分甚更根验做点：
()审题
审题实际分析问题解决问题思维程保持清醒头脑清浙思路．审题慢正确审出题意必须逐字逐句脑滤千万想然方面清题目求方面清题目身力求准确误耐心仔细审题准确握题目中关键词量(少a>0变量取值范围等)中获取信息迅速找准解题方正确解题前提．步图快．审题时保持清醒头脑旦某道题目解答卡壳时紧张马变换思维方式换角度换方位思考判定死刑放弃．历年考试中常见审题方面出现毛病(1)试卷急作答审题细导致漏笔求作答导致失分(2)审错题答案切题意求答案错误．毛病应该克服．
(二)解题
解题策略转化分点准确完整数学语言解题程表述出点学生忽视．道题目理解深理解浅解决解决少区分种情况高考阅卷评分办法懂少知识少分种方法分段评分者踩点分——踩知识点分踩分 分段分基精神：会做题目力求失分部分理解题目力争分
1会做题目解决会全老难问题考生题目明明会做终答案错——会
考生答案然中间逻辑缺陷概念错误缺少关键步骤——全会做题目特注意表达准确考虑周密书写规范语言科学防止分段扣点分验表明考生会做题目阅卷老师更注意找中合理成分分段点分做出题目二分易做出题目满分难
会做题目书写快复查慢．解题思路书写文字快赢时间．复查时候特注意全部检查时间允许针性检查先检查否漏答根草稿纸记录题号检查疑惑题目争取里补分数．二重复原思路换思路思考问题仅检查答案检查问题性质否真题目弄清楚．
2绝数考生说更重题目中分段点分说什样解题策略什样分策略解题真实程原原写出分段分全部秘密
（1）缺步解答果遇困难问题确实啃动聪明解题策略分解系列步骤者问题先解决问题部分解决少解决少演算步写步尚未成功等失败特解题层次明显题目者已程序化方法步分点演算分结然未出分数已半题分
（2）跳步答题解题程卡某渡环节常见时先承认中间结推否结
果说明途径立改变方果出预期结回头集中力量攻克卡壳处考试时间限制卡壳处攻克果前面写写出证实某步继续……直做底许中间步骤想出时乱七八糟插补面题目两问第问想出第问作已知先做第二问跳步解答
（3）退步解答退求进重解题策略果解决提出问题般退特殊抽象退具体复杂退简单整体退部分较强结退较弱结总退够解决问题产生偏概全误解应开门见山写题分种情况样会寻找正确般性解法提供意义启发
（4）辅助解答道题目完整解答实质性步骤次辅助性步骤实质性步骤未找前找辅助性步骤明智举准确作图题目中条件翻译成数学表达式设应题未知数等答卷中做稳扎稳字字步步准确量次成功提高成功率试题做完认真做解检查答卷否准确写字母题中图形否致格式否规范尤审查字母符号否抄错确信万失方交卷
(三)处理三关系
〔1〕会做分关系．许考生考试中常心中数
说清楚扣分者少数．重视解题程语言表述会做题分．
〔2〕快准关系．目前题量时间紧情况准字尤重．准分准必考虑花时间检查快时练结果考场解决问题味求快会落错误百出．适慢点准点点分相反快点错片花时间分．
〔3〕难题容易题关系．试卷应全卷通览遍做三心中数：全卷道题数防止漏做题道题占分心中数致区分属容易题属中档量属难题便合理制定解题策略通览全卷克服前面难题做出面易题没时间做效措施根防止漏做题答题时般说应先易难先简繁序作答．年考题序完全难易序体差异学生知识点掌握程度样难题中部分题难答题时合理安排时间某卡住题持久战样耗费时间分会做题耽误．
B高考备考建议
1．正确处理时教学高考备考间关系
教学观念中早点完成全部高中数学必考容教学然快进入高考复数学教学全部意义．里暂讨样做数学教育真正意义间差距实际效果样做学生高考中取定考试成绩作．学生取高水考试成绩困难．正确处理时教学高考备考间关系非常重．
图笔者根教学生高考中表现总结出反映学生数学学状态考试成绩关系．般说学生高考中取成绩必须数学学状态时达概念清原理透方法熟思想通．通常数学概念原理通断重复学学生相较短时间理解掌握．方法思想（特思想）需较长时间学生练体会达熟通状态．常教学中仅引导学生重视知识学急求成留足够时间悟出思想方法真谛．样真正体会学数学意义高考中考出成绩．
例1．（2007年高考广东数学第21题）已知函数 方程 两根（ ） 导数设 ．
（1）求 值
（2）证明：意正整数
（3）记 求数列 前 项 ．
答案：（1） （3）
分析：考题函数零点方程解联系二分法求方程似解（见教A版数学1）直线点斜式方程（见教A版数学2）数列表示（见教A版数学5）导数意义牛顿切线法求方程似解（见教A版数学2－2）极限思想等等均着密切关系．果时教学中没学生体会教科书容高考时难完成全部解答．
例2．（2008年高考广东理科第21题）设pq实数 方程 两实根．数列 满足 （n 34…）．
（1）证明： （2）求数列 通项公式
（3）p 1q 求 前n项 ．
分析：（1）题仅仅数学生分机会更重揭露 关系 表示出 表示出．说问题解答中选 表达结选 表达结．
（2）题然直接特征根方法求解超出高中数学知识范围．然定系数法方法求解：
设 ． 方程 两根
问题转化等数列求解程然简单．
家知道高中数学新课程中仅增加新数学知识增加少新数学思想方法．合情推理新增属思想方法容．实际教学中少没重视新增容教学意义育意义．数学教学中教师较关注数学身逻辑体系教学中演绎程帮助学生通观察类纳概括发现结提出猜想教学程少实践证明样教学程学生思维健康发展利．
高中新课程实施程中教师果注意述说问题教学中会较落实选修系列12中增加合情推理容．样述高考试题会思考：
… 表示试图中发现 表示难出 表示．
基（1）结尝试 … 进行表示希通列举纳 表示合情推理．
已知
猜想：
利数学纳法容易证明式．
述程中较利合情推理复杂问题变简单．
实方便学生作答试卷公式列表中出述公式：
述公式正普通高中课程标准实验教科书数学必修5（教A版）第二章数列题25B组中问题．
（3）题实际（2）种特殊情形．
代入 解 ．（2） ．利错位相减求法 ．
2．关注新增容教学备考
新课程中增加少新教学容三视图算法统计定积分（理科）等等增加少新思想方法模型思想回思想算法思想等等．时重视培养学生阅读理解（特图表）力．
例3．（2007年高考广东理科第4题）客车甲60kmh速度匀速行驶1时达乙乙停留半时然80kmh速度匀速行驶1时达．列描述客车甲出发乙达丙路程 时间 间关系图象中正确（ ）
例4．（2008年高考海南宁夏理科第12题）某体条棱长 该体正视图中条棱投影长 线段该体侧视图俯视图中条棱投影分长ab线段a + b值（ ）
A B C 4 D
例5．（2007年高考海南宁夏理科第20题） 图面积 正方形 中规图形 面方法估计 面积：正方形 中机投掷 点 点中 点落入 中 面积估计值 假设正方形 边长2 面积1正方形 中机投掷 点 表示落入 中点数目．
（I）求 均值
（II）求方法估计 面积时 面积估计值实际值差区间 概率．
附表：
例6．（2007年高考广东理科第17题）表提供某厂节降耗技术改造生产甲产品程中记录产量 （吨）相应生产耗 （吨标准煤）组数．
3
4
5
6
25
3
4
45
（1）请画出表数散点图
（2）请根表提供数二法求出 关 线性回方程
（3）已知该厂技改前 吨甲产品生产耗 吨标准煤．试根（2）求出线性回方程预测生产 吨甲产品生产耗技改前降低少吨标准煤？（参考数值： ）
例7．（2008年高考海南宁夏理科第22－24题）请考生第222324题中选题做答果做做第题记分．做答时2B铅笔答题卡选题目应题号涂黑．
22．（题满分10分）选修4－1：
证明选讲
图圆O外点M作条切线切点AA作直线AP垂直直线OM垂足P．
（1）证明：OM·OP OA2
（2）N线段AP点直线NB垂直直线ON交圆OB点．B点切线交直线ONK．证明：∠OKM 90°．
23（题满分10分）选修4－4：坐标系参数方程
已知曲线C1： 曲线C2： ．
（1）指出C1C2什曲线说明C1C2公点数
（2）C1C2点坐标压缩原半分曲线 ．写出 参数方程． 公点数C1C2公点数否相？说明理．
24（题满分10分）选修4－5：等式选讲
已知函数 ．（1）作出函数 图（2）解等式 ．
例8．已知正数数列 前n项 求数列通项 ．
题改列情景题：定程序框图右图示请根程序框图解决列问题：
（1）输入m值3请次写出输出t值
（2）输入正整数m记第n次输出t值 求 表达式
解：（1）m3时输出t值次
（2）第（1）题结猜想：
面证明述猜想．
时（1）知猜想正确．设 时猜想正确
程序框图表达算法知道
．
时猜想正确．
根数学纳法知猜想正确．
3．高考备考中模特元定界
谓模思考问题中涉数学模型什否模型供选择数学模型熟悉数学模型时特注意什
谓特问题特殊情形什问题特殊情形结样否特殊情形检验结正确性
谓元问题中数学象元问题中条件阶问题中条件阶数数学象元数样关系否关系寻找问题解决途径
谓定问题中数学象确定性常常涉数学象元数问题中条件阶数关系高考中数学象通常确定条件约束元数学象问题转化研究元函数独立变元方程等等
谓界变化数学象界什两变量通常呈等相等作界变量变化范围（定义域值域等等）通常界通常研究界情形决定情形分类讨中特注意情形
般说模特元定界蕴含思想指引通常找问题解决途径面举例加说明
例9．（2005年高考广东数学第20题）面直角坐标系中已知矩形ABCD长2宽1ABAD分x轴y轴正半轴点
A坐标原点重合（图示1） 矩形折叠点A落线段DC
（Ⅰ）拆痕直线斜率k试写出拆痕直线方程
（Ⅱ）求拆痕长值
（图1） （图2）
分析：（1）模：数学模型直线斜截式方程 （拆痕斜率均存）分段函数
（2）特：折痕特殊情形AD中点点B点DAC中点
（图3） （图4）
（图5） （图6）
（3）元：数学象拆痕面直角坐标系中原二元象条件矩形折叠点A落线段DC成元数学象
（4）定：拆痕元数学象k确定截距b着确定 b定k表示出果简便引进n变元定找关n+2变元n+1等式
（5）界： 拆痕特殊情形仅写出直线方程提供方便求出拆痕长值指明方
解：设点A关拆痕称点E点E线段DC设点E坐标（t1）（ ）．
（Ⅰ） 拆痕直线线段AD中垂线方程
线段AE中点M坐标 拆痕直线方程
．
综述拆痕直线方程 ．
（Ⅱ）设拆痕长 ．
（1）折痕AD中点时（图3） 折痕点B时（图4） 求 ． 时折痕y轴 均交点分求
．
时 ．
l关k函数 减函数 时
．
（2）折痕点D时（图5） ． A运导数探求参数范围
求参数取值范围历年高考热点运导数解决类问题效方法文问题作探讨
类型：已知函数单调性求参数取值范围
例1． 已知单调递增函数求取值范围
分析：题已知函数递增求导数令导数等0
∵ 令
单调递增函数
∴
纳步骤：（1）求导数（2）令参数分离出（3）求参数边函数值域参数范围
例2．（2000全国高考）设中求取值范围单调递增函数
分析：x>0 ∴
单调递增函数∴
∴已知相矛盾舍
单调递减函数∴
∴
综述时单调递增函数
注意问题：已知函数（）增函数（减函数）求参数范围时应令（）D恒成立解出参数取值范围然检验参数取值否D恒等0恒0应舍参数取值利导数研究函数单调性时应注意（）
（）导函数（）递增（递减）充分必条件
类型二：已知等式恒成立求参数取值范围
例3．设恒成立求取值范围
分析：恒成立
∴ 令
＝0时＝2
∴g(2)函数极值等－2∴恒成立
例4．已知－时等式恒成立求m取值范围
分析：令＝0
时时函数极值
＝1
纳：已知等式恒成立求参数取值范围问题类型相似方导数作解决问题工具参数分离出转化求函数值域问题
类型三：开放型问题求参数取值范围
例5．已知
（1）设求解析式
（2）设试问：否存（）单调递减函数（）单调递增函数存求出值存说明理
分析：（1）易求c1
（2）＝∴
题意（）单调递减函数（）单调递增函数知极值∴
时∴单调递增函数
时∴单调递减函数存原命题成立
高考解题谈求参数取值范围九背景
福建省永定县城关中学 364100 童林
解析中确定参数取值范围类转常见探索性问题历年高考试题中常出现类问题少考生处理类问题时手知道确定参数范围函数关系等关系文通实例介绍类问题形成背景相应解法期考生备考帮助
背景：题目条件
利题设条件沟通求参数曲线点坐标曲线特征参数间联系建立等式等式组求解求范围问题显然背景
例1：椭圆焦点F1F2点P(x y)动点∠F1PF2钝角时点P横坐标取值范围___
解：设P(x1 y)∠F1PF2钝角cos∠F1PF2
说明：利∠F1PF2钝角等式解题关键题特殊化2000年全国高考题理科第14题：
椭圆焦点F1F2点P动点∠F1PF2钝角时点P横坐标取值范围__________
（答案 x）
例2：（2000年全国高考题理科第22题）图已知梯形ABCD中2点E分线段AC成双曲线点CDE三点AB焦点时求双曲线离心率e取值范围
解：图线段AB垂直分线 y 轴双曲线点CDAB焦点双曲线称性知CD关y轴称题意记AC(h)E(x0y0) 中c 双曲线半焦距h梯形高
定分点坐标公式：x0y0
设双曲线方程－1离心率e
点CE双曲线点CE坐标e 代入双曲线方程
①
②
①式 ③
③式代入②式整理：
∴
说明：建立e函数关系式利已知范围求e范围
背景二：曲线身范围
圆椭圆双曲线抛物线身范围椭圆>b>0)
中x利范围确定参数范围途径
例3：（2002年全国高考题）设点P点M(－10)N(10)距离差2mx轴y轴距离2求m取值范围
解：设点P坐标(xy)题设y ①
x点P(xy)M(－10)N(10)三点线
点PMN 焦点实轴长2双曲线
1 ②
①式代入②解
m
∴(0
说明：Px轴y轴距离2Px轴m隐含条件容易忽视
例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆
两焦点F1 (－c 0)F2 (c 0) (c > 0)椭圆存点P直线PF1PF2垂直
(1)求实数m取值范围
(2)设l相应焦点F2准线直线PF2l相交Q求直线PF2方程
解：(1)题设m＋1>1m > 0c 设点P坐标(x0 y0)PF⊥PF2 ①
①联立解x
m +)
(2)答案y () (x) ( 解答略)
背景三：二次方程解条件
直线圆锥曲线关系解析中常见关系联立消元判式非负直线圆锥曲线公点充条件限制条件应考虑根分布情况等确定参数取值范围常见背景
例5：（全国高考题）定双曲线x２－ 1点B(11)否作直线
ll双曲线交P1P2点B线段P1P2中点？样直线l果存求出方程果存说明理
解：画出图知直线斜率存时满足题设条件l存
直线l斜率存时设kl方程y k(x－1)＋1联立
设
满足已知条件直线l存
例6：（2004年湖北省高考题理科20题 文科20题）直线双曲线右支交两点AB
(1)求实数k取值范围
(2)否存实数k线段AB直径圆曲线C右焦点F？存求出k值存说明理
解：(1)直线代入双曲线方程整理
题意直线l双曲线C右支交两点
(2)答案存满足题设
说明：问题(1)涉直线双曲线右支相交问题转化方程等
两正根方程根分布充条件建立等式组
背景四：已知变量范围
利题中出某已知变量范围已知条件求出某变量范围然找出变量欲求参变量间关系进求解
1双参数中知道中参数范围
例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线中心原点右顶点A(1 0)点PQ双曲线右支点M(m 0)直线AP距离1
(1)直线AP斜率k求实数m取值范围
(2)时心恰点M求双曲线方程
解：(1)条件知直线AP方程点
M直线AP距离1
∵
∴
(2)答案（解答略）
例8：（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）定抛物线FC焦点点F直线lC相交AB两点
(1)设l斜率1求夹角
(2)设求ly轴截距m变化范围
解：(1)答案（解答略）
(2)F(1 0) 设A(x1 y1) B(x2 y2) 题设
②
∵
∴ ③
联立①③解题意
∴直线l方程：
时方程ly轴截距
知递减
∵
∴
直线ly轴截距m变化范围
说明：例7例8已知变量范围求变量范围先利题设条件建立变量关系式求变量已知变量分离函数关系已知变量范围求出函数值域求变量范围类背景结背景
2双参数中范围均未知
例9：（2004年全国卷Ⅰ文2 理21）设双曲线直线相交点AB
(1)求双曲线C离心率e取值范围
(2)设直线ly轴交点P求a值
解：(1)Cl相交两点知方程两实数解消y整理：
∴双曲线离心率
∵
∴
(2)略
说明：先求出a范围建立ea函数关系式求出e范围
例10：直线双曲线左支交AB两点直线l点AB中点求直线ly轴截距b取值范围
解：方程组消y：
设AB中点：
∵
设直线l方程单调递减
∵
∴
说明：类问题先求出变量范围变量范围相应求出
背景五：点圆锥曲线域外域充条件
果规定圆锥曲线包含焦点区域称圆锥曲线域时坐标面圆锥曲线划分部分称圆锥曲线外域点
椭圆（外）域充条件点双曲线（外）域充条件点抛物线（外）域充条件充条件背景范围问题利述等式获解
例11：（1986年全国高考题）已知椭圆试确定m取
值范围直线椭圆C两点PQ关该直线称
解：设中点：
①
②
①－②
③
④
③④解
点椭圆部
∴
背景六：三角形两边第三边
椭圆双曲线点两焦点构成三角形具背景问题利三角形两边第三边产生等式确定参数范围
例12：已知双曲线左右两焦点分F1
F2左准线l双曲线左支存点P|PF1|Pl距离d|PF2|等中项求离心率e取值范围
解：|PF1|2 d |PF2|
|PF2| 2a＋|PF1| ③
①③|PF1||PF2|
△PF1F2中|PF1|＋|PF2||F1F2|
说明：P点双曲线顶点|PF1|＋|PF2||F1F2|
背景七：参数意义
解析门数形相结合学科中许变量十分明显意义背景范围问题抓住参数意义达目
例13：椭圆C准线抛物线准线C条抛物
线焦点椭圆离心率求椭圆长半轴a范围
解：设椭圆焦点F(x y)定义知
椭圆焦点F轨变A(0 －1)圆心半径1圆
易知焦点F准线y 1距离p范围
∴
背景八：均值等式
解析质代数方法研究图形性质利代数基等式求范围方法
例14：已知直线l定点A(3 0)倾斜角试求范围曲线弦直线l垂直分
解：直线斜率0存时符合题意
设直线l方程垂直分弦两端点BC中点P
线段BCl垂直分时
∴符合题意直线斜率
∴
说明：题求解利补集法先求弦l垂直分直线l斜率取补集满足题设斜率利斜率倾斜角关系求出范围
背景九：目标函数值域
确定变量k范围先建立k函数目标函数种具函数背景范围问题迎刃解
例15：椭圆点F1F2两焦点求|PF1|·|PF2|取值范围
解：∵|PF1|＋|PF2| 2a
∴|PF1|·|PF2| |PF1|·(2a－|PF1|) －(|PF1|－a)2＋a2
∵
∴时 值b2 时 |PF1|·|PF2|值a2
|PF1|·|PF2|取值范围
例16：（2004年福建省高考题理科22题）图P抛物线点直线
l点P抛物线C交点Q
(1)直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨变方程
(2)直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围
解：(1)设题意
∴点P切线斜率
∵合题意
∴
∴直线l斜率
∴直线l方程
联立直线l抛物线方程消y
∵MPQ中点
∴消x1
∴PQ中点M轨迹方程
(2)设直线l方程题意分PQ作轴轴垂足分
①
∴
方法1：∴
∵y1y2取切相等正数
∴取值范围
方法2：∴
时
时
方程①两相异实根
∵时取切正数
∴取值范围
说明：利图形找PQ两点坐标间关系快速求解第(2)问题关键
求参数取范围20111023
1果函数区间增函数实数取值范围
（A） （B） （C） （D）
2设函数值等式解集
3．方程 解 ．
4已知函数
（1）a＞0定义域
(2) 区间减函数实数a取值范围
5设函数．意恒成立实数取值范围 ．
6设函数．意恒成立实数取值范围 ．
7已知函数常数．
（1）讨函数奇偶性说明理
（2）函数增函数求取值范围．
8已知函数
（1）求值
（2）恒成立求实数取值范围
9已知函数
（I）求单调区间
（II）求区间值
10设函数中ab常数
已知曲线点（20）处相切线
(I) 求ab值写出切线方程
(II)方程三互相实根0中
意恒成立求实数m取值范围
11设函数
(I)讨单调性
（II）两极值点记点直线斜率
问：否存存求出值存请说明理．
12设
（1）存单调递增区间求取值范围
（2）时值求该区间值
13设函数
（Ⅰ）a求单调区间
（Ⅱ）≥0时≥0求a取值范围
14已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）求取值范围
15设．
（1）求单调区间值
（2）讨关系
（3）求取值范围＜意＞0成立．
16已知函数中常数满足
（1）判断函数单调性
（2）求时取值范围．
17已知函数中．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）区间恒成立求取值范围．
18设函数
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）求实数恒成立．
注：然数底数．
19设讨函数 单调性．
20111023参考答案
1函数y作关二次函数a>1增函数原函数区间增函数求称轴≤0矛盾0
4答案 解析（1）a＞0时定义域
(2) a＞1时题意知0
5答案．解析解法1．显然函数增函数
时恒成立．
时函数 减函数
时取值
恒成立等价值
解．实数取值范围．
解法2．然函数增函数时成立．
设函数时增函数时取值．
解．实数取值范围．
解法3．意恒成立等式成立
解．实数取值范围．
6答案．解析解法１．等式化
整理
设．
题目化意恒成立问题．
需求值．设．
函数区间增函数处取值．
整理
解实数取值范围．
解法2．解法1题目化意恒成立问题．
需求值．
设．．
函数增函数时取值．
值．整理
解
实数取值范围．
解法3．等式化
整理
令．
判式值函数图象顶点
意恒成立必须值
实数应满足
解实数取值范围．
解法4．(针填空题选择题)题设意
恒成立
等式成立
代入式
式两边整理
解
实数取值范围．
7解：（1）时
意 偶函数．
时
取
函数奇函数偶函数．
（2）解法：设
函数增函数必须恒成立．
恒成立．
．
取值范围．
解法二：时显然增函数．
时反例函数增函数
增函数．
时解法．
8[解] （1）时时 …… 2分
条件知
解 …… 6分
…… 8分
（2）时 …… 10分
…… 13分
取值范围 …… 16分
9解：（I）令递减递增
（II）时函数区间递增
时（I）知函数区间递减递增
时函数区间递减
（中）
10解：(I)曲线曲线点（20）处相切线解：切线方程：
(II)(I)题意：方程三互相等根
方程两相异实根
意恒成立特取时
成立韦达定理知：意：
函数值0时意恒成立综：取值范围
11解析：（I）定义域
令
单调递增．
两根0
单调递增．
两根
时 时 时 分
单调递增单调递减．
（II）（I）知．
(I)知．
存．．
（I）知函数单调递增
式矛盾．存
12解析（1）存单调递增区间存某子区间
区间单调递减需解
时存单调递增区间
（2）令两根
单调递减单调递增
时值
值
值
13解：
（Ⅰ）时时时时单调增加（10）单调减少
（Ⅱ）令时减函数x≥0时≥0≥0
时减函数时＜0＜0综合取值范围
14解析(Ⅰ)
曲线切线方程：式中令
曲线
（Ⅱ）（i）时没极值
(ii)时
题设知时等式
解
时解等式
综合(i)(ii)取值范围
15分析（1）先求出原函数求然利导数判断函数单调性（单调区间）求出值（2）作差法较构造新函数利导数判断函数单调性单调性判断函数正负（3）意＞0成立恒成立问题转化函数值问题．
解（1）题设知∴令01
∈（01）时＜0减函数（01）单调减区间
∈（1+∞）时＞0增函数（1+∞）单调递增区间
1唯极值点极值点值点值
(2)设
时时
单调递减时
（3）（1）知值1意成立
16解：⑴ 时意
∵
∴ 函数增函数时理函数减函数
⑵时时
17解（Ⅰ）时．．
曲线点处切线方程．
（Ⅱ）．令解．针区间需分两种情况讨：
(1) ．
变化时变化情况表：
增
极值
减
区间值区间端点．区间恒成立等价
解．
(2) ．
变化时变化情况表：
增
极值
减
极值
增
区间值区间端点处．
区间恒成立等价
解．
综合(1)(2) 取值范围
18题考查函数单调性导数运算法导数应等基础知识时考查抽象概括推理证力满分15分
（Ⅰ）解：
增区间减区间
（Ⅱ）证明：题意（Ⅰ）知单调递增
恒成立解
19解：函数f(x)定义域（0+∞）
综述f(x)单调区间表：
2012届高考数学（文）考前刺六解答题导数参数范围
1已知函数中
（1）时判断单调性
（2）定义域增函数求正实数取值范围
（3）设函数总成立求实数m取值范围
答案：解析：
时（）单调递增
（2）已知定义域（）
定义域增函数
仅x1时等号成立
（3）a2时时
（01）
成立等价（01）值值
2 已知函数∈R．
(I)讨函数单调性
(Ⅱ)时≤恒成立求取值范围．
解： (Ⅰ) 时()………………2分
解
函数单调递增区间． …………4分
(Ⅱ)题意
∴
∵ ∴ ∴
∴ …………6分
设
令解
时单调递增…………8分
时单调递减 …………10分
∴
∴ ．
3已知函数．
（I）时求函数单调区间
（II）函数图象点处切线倾斜角45o问：m什范围取值时意函数区间总存极值？
（I）时 …………………………………2分
令时解（01）单调递增 ……4分
令时解（1+∞）单调递减． ………6分
（II）函数图象点（2）处切线倾斜角45o
．
． ………………………………………………8分
……………………………………………10分
意函数区间总存极值
需 ……………………………………………………12分
解． ………………………………………………………14分
6已知函数
（1）求函数单调区间
（2）等式区间恒成立求实数k取值范围
解：（Ⅰ）定义域
令>0令<0
函数单调递增区间单调递减区间…………4分
（Ⅱ）令
令解
x变化时变化表
x
)
+
0
↗
↘
表知时函数值值
…………10分
7已知函数
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）意 恒成立求实数取值范围．
（I）时
………………………………………………………………2分
单调递增区间单调递减区间………………4分
（II）意 恒成立 时恒成立
时恒成立………………………………6分
设
设 恒成立
单调递增
单调递增………………8分
零点
单调递减单调递增……………10分
8已知函数
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)否存实数等式恒成立存求实数取值范围存请说明理
解(Ⅰ)……………………1分
①时函数增函数
函数单调增区间……………………2分
②时令
时时…………4分
函数递增区间递减区间……………5分
(Ⅱ)假设存样实数等式恒成立
恒成立令
恒成立…………………………6分
……………………………7分
①时函数单调递减
矛盾舍 ……………………8分
②时
时函数单调递减
ylnx(x>1)
yax2ax(a<0)
x
O
y
图象知趋正穷时趋负穷
恒成立矛盾舍 …………10分
(注考生出抛物线草图说明
右样该步骤应分分)
③时等价()
记两根()
易知时时
(i)时函数递减矛盾舍 ………11分
(ii)时函数递增恒成立
解………………12分
综①②③知存样实数等式恒成立…………13分
9设函数
(Ⅰ) 时求函数极值
（Ⅱ）时讨函数单调性
（Ⅲ）意意恒 成立求实数取值范围
解：(Ⅰ)函数定义域
时令
时时
极值4分
（Ⅱ）
5分
时 减函数
时令
令
时令
令 7分
综时定义域减函数
时单调递减单调递增
时单调递减单调递8分
（Ⅲ）（Ⅱ）知时单调递减
时值时值
10分
整理
11已知函数．
（Ⅰ）函数处取极值求值
（Ⅱ）函数单调函数求取值范围．
21解：（Ⅰ）
．
（Ⅱ）函数定义域
．
单调函数恒成立．
……………………10分
时恒成立单调函数
时令
时单调函数
时单调函数
综述取值范围．
16已知处取极值
（I）求值
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围
解：（1）
处取极值
7分
（2）（1）知
令
单调递减单调递增10分
值15分
意时恒成立必须
27 已知函数常数时函数取极值
（Ⅰ）求函数解析式
（Ⅱ）曲线两交点求实数取值范围
（文）解：（Ⅰ） ………………………………………………2分
题意解
∴ ……………………………………………4分
（Ⅱ）（Ⅰ）知曲线两
交点两实数解…5分
设 ………7分
0
时递增
时递减 ………………9分
题意 …………………11分
∴实数取值范围
31
已知函数(a实常数)
(1)求证：函数(1+．∞)增函数
(2)求函数[1e]值相应值
(3)存成立求实数a取值范围
（1）时
函数增函数．…………………………………………………4分
（2）．
非负（仅x1时）函数增函数时． ………………………………………………6分
时时时
减函数 时时增函数．
．
非正（仅xe时）函数减函数时．……………………………………8分
综知时值1相应x值1时
值相应x值时值
相应x值．……………………………………………………………………10分
（3）等式 化．
∵ ∴等号时取
（）………………………………………………12分
令（）…………………14分
时
（仅x1时取等号）增函数
值a取值范围． ………………………16分
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