专题32：含参数导数分类讨问题研究拓展
探究拓展
探究：已知函数
（1）讨函数单调性
（2）求函数区间值
变式1：已知函数
（1）试含式子表示（2）求单调区间
变式2：函数图两点轴中点
中
（1）试写出点横坐标表示面积函数解析式
（2）记值求
变式3：设函数求函数单调区间
拓展1：设函数．
（1）时求证：单调增函数
（2）时值4求值．
解：（1）时
单调增函数．
（2）．
①时区间单调增函数值
（舍）．
②时区间减函数区间增函数值
（舍）．
③时区间减函数值（舍）
综述．
变式：已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x
（1）函数f (x)区间(－∞+∞)单调函数求m取值范围
（2）函数f (x)区间［12］值4求m值．
解（1）(0)＝9 > 0f (x)区间单调增函数．(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0区间(－∞+∞)恒成立m≥3．m取值范围［3+∞) ．
（2）m≥3时f (x)［12］增函数[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4
解m＝<3合题意舍．
m＜3时(x)＝3(m－3) x2 + 90．
f (x)单调区间：单调减单调增单调减．
①时f (x)区间［12］单调增[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4m＝满足题设求．
②0＜m＜时[f (x)] max舍．
③m≤0时f (x)区间［12］单调减[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4m＝－2综述：m＝－2．
拓展2：已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx m∈R．
（1）m＝0时求函数f(x)单调增区间
（2）m＞0时曲线y＝f(x)点P(11)处切线l曲线y＝f(x)公点求实数m值．
解（1）题意知f(x)＝－2x＋3＋lnxf′(x)＝－2＋＝ (x＞0)． … 2分
f′(x)＞0x∈(0) ． 函数f(x)单调增区间(0)．……… 4分
（2）f′(x)＝mx－m－2＋f′(1)＝－1
曲线y＝f(x)点P(11)处切线l方程y＝－x＋2．…………………… 6分
题意关x方程f(x)＝－x＋2解
关x方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0解．
令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．
g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)． …………… 8分
①0＜m＜1时g′(x)＞00＜x＜1x＞g′(x)＜01＜x＜
函数g(x)(01)增函数(1)减函数(＋∞)增函数．
g(1)＝0x→∞时g(x)→∞时曲线y＝g(x)x轴两交点．
0＜m＜1合题意． ……………………… 10分
②m＝1时g′(x)≥0g(x)(0＋∞)增函数g(1)＝0m＝1符合题意．
③m＞1时g′(x)＞00＜x＜x＞1g′(x)＜0＜x＜1
函数g(x)(0) 增函数(1)减函数(1＋∞)增函数．
g(1)＝0x→0时g(x)→－∞时曲线y＝g(x)x轴两交点．
m＞1合题意．综实数m值m＝1．
变式：已知函数．
（1）函数定义域单调增函数求取值范围
（2）设函数图象点分成两部分（点外）该函数图象点处切线分完全位直线两侧试求满足条件值．
解：（1）需
．
（2）．切线方程．
令．
．
时时
直线侧合题意
单调增函数
时时符合题意…10分
时
时合题意
时
时合题意
时
时合题意．
符合题意．
拓展3：已知函数．
（1）讨单调性
（2）设证明：时
（3）函数图x轴交AB两点线段AB中点横坐标x0证明：
．
解：（1）
（i）单调增加
（ii）
单调增加单调减少
（2）设函数
（3）（I）图x轴交点
值
妨设
（II）
（I）知
拓展4：已知函数．
（1）a＝1求函数应曲线行x轴切线方程
（2）直接写出（需出演算步骤）函数单调递增区间
（3）果存函数处取值试求b取值范围．
解：（1）题意知
时时．
∴求切线方程．
（2）时存增区间
时增区间
时增区间
时增区间．
（3）题意知区间恒成立
区间恒成立．
时式显然成立∴
时转化区间恒成立
令二次函数图象开口抛物线闭区间值必区间端点处取
关a等式解
解
解
∴．
综求b取值范围．
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探究：已知函数
（1）讨函数单调性
（2）求函数区间值
变式1：已知函数
（1）试含式子表示（2）求单调区间
变式2：函数图两点轴中点
中
（1）试写出点横坐标表示面积函数解析式
（2）记值求
变式3：设函数求函数单调区间
拓展1：设函数．
（1）时求证：单调增函数
（2）时值4求值．
解：（1）时
单调增函数．
（2）．
①时区间单调增函数值
（舍）．
②时区间减函数区间增函数值
（舍）．
③时区间减函数值（舍）
综述．
变式：已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x
（1）函数f (x)区间(－∞+∞)单调函数求m取值范围
（2）函数f (x)区间［12］值4求m值．
解（1）(0)＝9 > 0f (x)区间单调增函数．(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0区间(－∞+∞)恒成立m≥3．m取值范围［3+∞) ．
（2）m≥3时f (x)［12］增函数[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4
解m＝<3合题意舍．
m＜3时(x)＝3(m－3) x2 + 90．
f (x)单调区间：单调减单调增单调减．
①时f (x)区间［12］单调增[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4m＝满足题设求．
②0＜m＜时[f (x)] max舍．
③m≤0时f (x)区间［12］单调减[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4m＝－2综述：m＝－2．
拓展2：已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx m∈R．
（1）m＝0时求函数f(x)单调增区间
（2）m＞0时曲线y＝f(x)点P(11)处切线l曲线y＝f(x)公点求实数m值．
解（1）题意知f(x)＝－2x＋3＋lnxf′(x)＝－2＋＝ (x＞0)． … 2分
f′(x)＞0x∈(0) ． 函数f(x)单调增区间(0)．……… 4分
（2）f′(x)＝mx－m－2＋f′(1)＝－1
曲线y＝f(x)点P(11)处切线l方程y＝－x＋2．…………………… 6分
题意关x方程f(x)＝－x＋2解
关x方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0解．
令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．
g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)． …………… 8分
①0＜m＜1时g′(x)＞00＜x＜1x＞g′(x)＜01＜x＜
函数g(x)(01)增函数(1)减函数(＋∞)增函数．
g(1)＝0x→∞时g(x)→∞时曲线y＝g(x)x轴两交点．
0＜m＜1合题意． ……………………… 10分
②m＝1时g′(x)≥0g(x)(0＋∞)增函数g(1)＝0m＝1符合题意．
③m＞1时g′(x)＞00＜x＜x＞1g′(x)＜0＜x＜1
函数g(x)(0) 增函数(1)减函数(1＋∞)增函数．
g(1)＝0x→0时g(x)→－∞时曲线y＝g(x)x轴两交点．
m＞1合题意．综实数m值m＝1．
变式：已知函数．
（1）函数定义域单调增函数求取值范围
（2）设函数图象点分成两部分（点外）该函数图象点处切线分完全位直线两侧试求满足条件值．
解：（1）需
．
（2）．切线方程．
令．
．
时时
直线侧合题意
单调增函数
时时符合题意…10分
时
时合题意
时
时合题意
时
时合题意．
符合题意．
拓展3：已知函数．
（1）讨单调性
（2）设证明：时
（3）函数图x轴交AB两点线段AB中点横坐标x0证明：
．
解：（1）
（i）单调增加
（ii）
单调增加单调减少
（2）设函数
（3）（I）图x轴交点
值
妨设
（II）
（I）知
拓展4：已知函数．
（1）a＝1求函数应曲线行x轴切线方程
（2）直接写出（需出演算步骤）函数单调递增区间
（3）果存函数处取值试求b取值范围．
解：（1）题意知
时时．
∴求切线方程．
（2）时存增区间
时增区间
时增区间
时增区间．
（3）题意知区间恒成立
区间恒成立．
时式显然成立∴
时转化区间恒成立
令二次函数图象开口抛物线闭区间值必区间端点处取
关a等式解
解
解
∴．
综求b取值范围．
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