前言 ……………………………………………………… 2
第章 高中数学解题基方法 ……………………… 3
配方法 ……………………………………… 3
二 换元法 ……………………………………… 7
三 定系数法 ………………………………… 14
四 定义法 ……………………………………… 19
五 数学纳法 ………………………………… 23
六 参数法 ……………………………………… 28
七 反证法 ……………………………………… 32
八 消法 ………………………………………
九 分析综合法 ………………………………
十 特殊般法 ………………………………
十 类纳法 …………………………
十二 观察实验法 …………………………
第二章 高中数学常数学思想 …………………… 35
数形结合思想 ……………………………… 35
二 分类讨思想 ……………………………… 41
三 函数方程思想 …………………………… 47
四 转化（化）思想 ………………………… 54
第三章 高考热点问题解题策略 …………………… 59
应问题 …………………………………… 59
二 探索性问题 ………………………………… 65
三 选择题解答策略 …………………………… 71
四 填空题解答策略 …………………………… 77
附录 ………………………………………………………
高考数学试卷分析 …………………………
二 两套高考模拟试卷 …………………………
三 参考答案 ……………………………………
前 言
美国著名数学教育家波利亚说掌握数学意味着善解题解题时遇新问题总想熟悉题型套满足解出数学思想数学方法理解透彻融会贯通时提出新法巧解法高考试题十分重视数学思想方法考查特突出考查力试题解答程蕴含着重数学思想方法意识应数学思想方法分析问题解决问题形成力提高数学素质具数学头脑眼光
高考试题方面数学思想方法进行考查：
① 常数学方法：配方法换元法定系数法数学纳法参数法消法等
② 数学逻辑方法：分析法综合法反证法纳法演绎法等
③ 数学思维方法：观察分析概括抽象分析综合特殊般类纳演绎等
④ 常数学思想：函数方程思想数形结合思想分类讨思想转化（化）思想等
数学思想方法数学基础知识相较较高位层次数学知识数学容文字符号记录描述着时间推移记忆力减退忘记数学思想方法种数学意识够领会运属思维范畴数学问题认识处理解决掌握数学思想方法受阵子受辈子数学知识忘记数学思想方法起作
数学思想方法中数学基方法数学思想体现数学行具模式化操作性特征选作解题具体手段数学思想数学灵魂数学基方法常常学掌握数学知识时获
说知识基础方法手段思想深化提高数学素质核心提高学生数学思想方法认识运数学素质综合体现力
帮助学生掌握解题金钥匙掌握解题思想方法书先介绍高考中常数学基方法：配方法换元法定系数法数学纳法参数法消法反证法分析综合法特殊般法类纳法观察实验法介绍高考中常数学思想：函数方程思想数形结合思想分类讨思想转化（化）思想谈谈解题中关策略高考中热点问题附录部分提供年高考试卷
节容中先方法者问题进行综合性叙述三种题组形式出现现性题组组简单选择填空题进行方法现示范性题组进行详细解答分析方法问题进行示范巩固性题组旨检查学效果起巩固作题组中题选取量综合代数三角部分重章节数学知识
第章 高中数学解题基方法
配方法
配方法数学式子进行种定变形（配成完全方）技巧通配方找已知未知联系化繁简时配方需适预测合理运裂项添项配凑技巧完成配方时称凑配法
常见配方进行恒等变形数学式子出现完全方适：已知者未知中含二次方程二次等式二次函数二次代数式讨求解者缺xy项二次曲线移变换等问题
配方法基配方二项完全方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b公式灵活运种基配方形式：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合数学知识性质相应外配方形式：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 …… 等等
Ⅰ现性题组：
1 正项等数列{a}中asa+2asa+aa25 a＋a＝_______
2 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆充条件_____
A
3 已知sinα＋cosα＝1sinα＋cosα值______
A 1 B －1 C 1－1 D 0
4 函数y＝log (－2x＋5x＋3)单调递增区间_____
A （－∞ ] B [+∞) C (－] D [3)
5 已知方程x+(a2)x+a10两根xx点P(xx)圆x+y4实数a＝_____
简解 1题：利等数列性质aa＝a已知等式左边配方（a＋a）易求答案：5
2题：配方成圆标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r解r>0选B
3题：已知等式配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1求出sinαcosα然求出求式方值开方求解选C
4题：配方称轴结合定义域数函数复合函数单调性求解选D
5题：答案3－
Ⅱ示范性题组：
例1 已知长方体全面积1112条棱长度24长方体条角线长_____
A 2 B C 5 D 6
分析 先转换数学表达式：设长方体长宽高分xyz 欲求角线长配凑成两已知式组合形式
解设长方体长宽高分xyz已知长方体全面积1112条棱长度24：
长方体求角线长：＝＝＝5
选B
注题解答关键两已知未知转换三数学表示式观察分析三数学式容易发现配方法三数学式进行联系联系已知未知求解配方法种解题模式
例2 设方程x＋kx＋20两实根pq()+()≤7成立求实数k取值范围
解方程x＋kx＋20两实根pq韦达定理：p＋q＝－kpq＝2
()+()＝＝＝＝≤7 解k≤－k≥
∵pq方程x＋kx＋20两实根 ∴ △＝k－8≥0k≥2k≤－2
综合起k取值范围：－≤k≤－ 者 ≤k≤
注 关实系数元二次方程问题总先考虑根判式Δ已知方程两根时恰运韦达定理题韦达定理p＋qpq观察已知等式结构特征联想先通分配方表示成p＋qpq组合式假题△讨结果出错题目结果相掉△讨解答严密完整点尤注意重视
例3 设非零复数ab满足a＋ab＋b0求()＋()
分析 已知式联想：变形()＋()＋1＝0＝ω （ω1立方虚根）配方(a＋b)＝ab 代入求式
解a＋ab＋b0变形：()＋()＋1＝0
设ω＝ω＋ω＋1＝0知ω1立方虚根：＝ω＝＝1
a＋ab＋b0变形：(a＋b)＝ab
()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2
注 题通配方简化求表达式巧1立方虚根活ω性质计算表达式中高次幂系列变换程较灵活性求善联想展开
解a＋ab＋b＝0变形：()＋()＋1＝0 解出＝化成三角形式代入求表达式变形式()＋()完成面运算方法未联想ω时进行解题
假题没想系列变换程时a＋ab＋b＝0解出：a＝b直接代入求表达式进行分式化简化成复数三角形式利棣莫佛定理完成计算
Ⅲ巩固性题组：
1 函数y＝(x－a)＋(x－b) （ab常数）值_____
A 8 B C D值存
2 αβ方程x－2ax＋a＋6＝0两实根(α1) +(β1)值_____
A － B 8 C 18 D存
3 已知xy∈R满足x＋3y－1＝0函数t＝2＋8_____
A值2 B值 C值2 B值
4 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0焦点直线x＋y＋4＝0a＝_____
A 2 B －6 C －2－6 D 26
5 化简：2＋结果_____
A 2sin4 B 2sin4－4cos4 C －2sin4 D 4cos4－2sin4
6 设FF双曲线－y＝1两焦点点P双曲线满足∠FPF＝90°△FPF面积_________
7 x>－1f(x)＝x＋2x＋值___________
8 已知〈β<α〈πcos(αβ)＝sin(α+β)＝－求sin2α值(92年高考题)
9 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C定mn（m
② 否存实数tt∈(m+tnt)时f(x)<0 ？存说出理存指出t取值范围
10 设s>1t>1m∈Rx＝logt＋logsy＝logt＋logs＋m(logt＋logs)
① y表示x函数y＝f(x)求出f(x)定义域
② 关x方程f(x)＝0仅实根求m取值范围
二换元法
解数学题时某式子成整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理
换元法称辅助元素法变量代换法通引进新变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉形式复杂计算推证简化
化高次低次化分式整式化理式理式化超越式代数式研究方程等式函数数列三角等问题中广泛应
换元方法：局部换元三角换元均值换元等局部换元称整体换元已知者未知中某代数式次出现字母代简化问题然时候通变形发现例解等式：4＋2－2≥0先变形设2＝t（t>0）变熟悉元二次等式求解指数方程问题
三角换元应根号者变换三角形式易求时利已知代数式中三角知识中某点联系进行换元求函数y＝＋值域时易发现x∈[01]设x＝sinα α∈[0]问题变成熟悉求三角函数值域什会想设中应该发现值域联系根号需变量xy适合条件x＋y＝r（r>0）时作三角代换x＝rcosθy＝rsinθ化三角问题
均值换元遇x＋y＝S形式时设x＝＋ty＝－t等等
换元法时遵循利运算利标准化原换元注重新变量范围选取定新变量范围应原变量取值范围缩扩例中t>0α∈[0]
Ⅰ现性题组：
1y＝sinx·cosx＋sinx+cosx值_________
2设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1）f(x)值域_______________
3已知数列{a}中a＝－1a·a＝a－a数列通项a＝___________
4设实数xy满足x＋2xy－1＝0x＋y取值范围___________
5方程＝3解_______________
6等式log(2－1) ·log(2－2)〈2解集_______________
简解1题：设sinx+cosx＝t∈[－]y＝＋t－称轴t＝－1t＝y＝＋
2题：设x＋1＝t (t≥1)f(t)＝log[(t1)＋4]值域(－∞log4]
3题：已知变形－＝－1设b＝b＝－1b＝－1＋(n－1)(1)＝－na＝－
4题：设x＋y＝kx－2kx＋1＝0 △＝4k－4≥0k≥1k≤－1
5题：设3＝y3y＋2y－1＝0解y＝x＝－1
6题：设log(2－1)＝yy(y＋1)<2解－2
例1 实数xy满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） 设S＝x＋y求＋值（93年全国高中数学联赛题）
分析 S＝x＋y联想cosα＋sinα＝1进行三角换元设代入①式求SS值
解设代入①式： 4S－5S·sinαcosα＝5
解 S＝
∵ 1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
种解法面求S值值sin2α＝界性求解等式：||≤1种方法求函数值域时常界法
解 S＝x＋y设x＝＋ty＝－tt∈[－]
xy＝±代入①式：4S±55
移项方整理 100t+39S－160S＋100＝0
∴ 39S－160S＋100≤0 解：≤S≤
∴ ＋＝＋＝＝
注 题第种解法属三角换元法利已知条件S＝x＋y三角公式cosα＋sinα＝1联系联想发现三角换元代数问题转化三角函数值域问题第二种解法属均值换元法等式S＝x＋y均值换元思路设x＝＋ty＝－t减少元数问题容易求解外求值域种方法：界法等式性质法分离参数法
均值换元法类似种换元法题中两变量xy时设x＝a＋by＝a－b称差换元法换元简化代数式题设x＝a＋by＝a－b代入①式整理3a＋13b＝5 求a∈[0]S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[]求＋值
例2． △ABC三角ABC满足：A＋C＝2B＋＝－求cos值（96年全国理）
分析 已知A＋C＝2B三角形角等180°性质 A＋C＝120°进行均值换元设 代入求cosαcos
解△ABC中已知A＋C＝2B
A＋C＝120°设代入已知等式：
＋＝＋＝＋＝＝＝－2
解：cosα＝ ：cos＝
解A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－
＝－2设＝－＋m＝－－m
cosA＝cosC＝两式分相加相减：
cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝
：sin＝－＝－代入sin＋cos＝1整理：3m－16m－12＝0解出m＝6代入cos＝＝
注 题两种解法A＋C＝120°＋＝－2分进行均值换元结合三角形角关系三角公式进行运算已知想均值换元外求三角公式运相熟练假未想进行均值换元三角运算直接解出：A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－＝－2cosA＋cosC＝－2cosAcosC积互化：
2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(AC)cos＝－cos(AC)＝－(2cos－1)整理：4cos＋2cos－3＝0
解：cos＝
y
－ x
例3 设a>0求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a值值
解 设sinx＋cosx＝tt∈[](sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0）t∈[]
t＝时取值：－2a－2a－
2a≥时t＝取值：－2a＋2a－
0<2a≤时t＝2a取值：
∴ f(x)值－2a－2a－值
注 题属局部换元法设sinx＋cosx＝t抓住sinx＋cosxsinx·cosx联系三角函数值域问题转化二次函数闭区间值域问题容易求解换元程中定注意新参数范围（t∈[]）sinx＋cosx应否会出错题解法中包含含参问题时分类讨数学思想方法称轴闭区间位置关系确定参数分两种情况进行讨
般遇题目已知未知中含sinxcosx差积等求三角式值值题型时函数f(sinx±cosxsinxcsox)常样设元换元法转化闭区间二次函数次函数研究
例4 设实数x等式xlog＋2x log＋log>0恒成立求a取值范围（87年全国理）
分析等式中log loglog三项联系？进行数式关变形难发现实施换元法
解 设log＝tlog＝log＝3＋log＝3－log＝3－tlog＝2log＝－2t
代入原等式简化（3－t）x＋2tx－2t>0切实数x恒成立：
解 ∴ t<0log<0
0<<1解0
例5 已知＝＋＝ (②式)求值
解 设＝＝ksinθ＝kxcosθ＝kysinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1代入②式： ＋＝＝ ：＋＝
设＝tt＋＝ 解：t＝3 ∴＝±±
解 ＝＝tgθ等式②两边时表示成含tgθ式子：1＋tgθ＝＝tgθ设tgθ＝t3t—10t＋3＝0
∴t＝3 解＝±±
注 第种解法＝进行等量代换进行换元减少变量数第二种解法已知变形＝难发现进行结果tgθ进行换元变形两种解法求代数变形较熟练解高次方程时换元法方程次数降低
例6 实数xy满足＋＝1x＋y－k>0恒成立求k范围
分析已知条件＋＝1发现a＋b＝1相似处实施三角换元
解＋＝1设＝cosθ＝sinθ
： 代入等式x＋y－k>0：
3cosθ＋4sinθ－k>0k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
k<5时等式恒成立
注题进行三角换元代数问题（者解析问题）化含参三角等式恒成立问题运分离参数法转化三角函数值域问题求出参数范围般遇圆椭圆双曲线方程相似代数式时者解决圆椭圆双曲线等关问题时常三角换元法
y
x
x＋y－k>0
k 面区域
题种解题思路数形结合法思想方法：面直角坐标系等式ax＋by＋c>0 (a>0)表示区域直线ax＋by＋c＝0分面成两部分中含x轴正方部分题等式恒成立问题化图形问题：椭圆点始终位面x＋y－k>0区域直线x＋y－k＝0椭圆部相切切线时直线椭圆相切时方程组相等组实数解消元△＝0求k＝－3k<3时原等式恒成立
Ⅲ巩固性题组：
1 已知f(x)＝lgx (x>0)f(4)值_____
A 2lg2 B lg2 C lg2 D lg4
2 函数y＝(x＋1)＋2单调增区间______
A [2+∞) B [1+∞) D (∞+∞) C (∞1]
3 设等差数列{a}公差d＝S＝145a＋a＋a＋……＋a值_____
A 85 B 725 C 60 D 525
4 已知x＋4y＝4xx＋y范围_________________
5 已知a≥0b≥0a＋b＝1＋范围____________
6 等式>ax＋解集(4b)a＝________b＝_______
7 函数y＝2x＋值域________________
8 等数列{a}中a＋a＋…＋a＝2a＋a＋…＋a＝12求a＋a＋…＋a
y D C
A B
O x
9 实数m什范围取值意实数x等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立
10 已知矩形ABCD顶点C(44)A点曲线x＋y＝2 (x>0y>0)移动ABAD始终行x轴y轴求矩形ABCD面积
三定系数法
确定变量间函数关系设出某未知系数然根条件确定未知系数方法定系数法理项式恒等利项式f(x)g(x)充条件：意a值f(a)g(a)者两项式类项系数应相等
定系数法解题关键已知正确列出等式方程定系数法具某种确定形式数学问题通引入定系数转化方程组解决判断问题否定系数法求解求解数学问题否具某种确定数学表达式果具定系数法求解例分解式拆分分式数列求求函数式求复数解析中求曲线方程等问题具确定数学表达形式定系数法求解
定系数法解题基步骤：
第步确定求问题含定系数解析式
第二步根恒等条件列出组含定系数方程
第三步解方程组者消定系数问题解决
列出组含定系数方程方面着手分析：
① 利应系数相等列方程
② 恒等概念数值代入法列方程
③ 利定义身属性列方程
④ 利条件列方程
求圆锥曲线方程时定系数法求方程：首先设求方程形式中含定系数条件转化含求方程未知系数方程方程组解方程方程组求出未知系数求出系数代入已明确方程形式求圆锥曲线方程
Ⅰ现性题组：
1 设f(x)＝＋mf(x)反函数f(x)＝nx－5mn值次_____
A －2 B － 2 C 2 D － －2
2 二次等式ax＋bx＋2>0解集(－)a＋b值_____
A 10 B －10 C 14 D －14
3 (1－x)（1＋x）展开式中x系数_____
A －297 B－252 C 297 D 207
4 函数y＝a－bcos3x (b<0)值值－y＝－4asin3bx正周期_____
5 直线L：2x＋3y＋5＝0行点A(14)直线L’方程_______________
6 双曲线x－＝1渐线点(22)双曲线方程____________
简解1题：f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m较系数易求选C
2题：等式解集(－)知－方程ax＋bx＋2＝0两根代入两根列出关系数ab方程组易求a＋b选D
3题：分析x系数C(－1)C两项组成相加x系数选D
4题：已知值值列出ab方程组求出ab值代入求答案
5题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0点A(14)代入求C＝102x＋3y＋10＝0
6题：设双曲线方程x－＝λ点(22)代入求λ＝3方程－＝1
Ⅱ示范性题组：
例1 已知函数y＝值7值－1求函数式
分析求函数表达式实际确定系数mn值已知值值实际已知函数值域分子分母二次函数分式函数值域易联想判式法
解 函数式变形： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0 x∈R 已知y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 ： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
等式①解集(17)－17方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0两根
代入两根： 解：
∴ y＝者y＝
题解集(17)设(y＋1)(y－7)≤0y－6y－7≤0然等式①较系数：解出mn求函数式y
注 求函数式中两系数mn需确定首先判式法处理函数值域问题含参数mn关y元二次等式知道解集求参数mn两种方法求解视方程两根代入列出mn方程求解二已知解集写出等式较含参数等式列出mn方程组求解题求元二次等式解集概念理解透彻求理解求函数值域判式法：y视参数函数式化成含参数y关x元二次方程知解利△≥0建立关参数y等式解出y范围值域判式法关键否函数化成元二次方程
例2 设椭圆中心(21)焦点短轴两端连线互相垂直焦点长轴较端点距离－求椭圆方程
y B’
x
A F O’ F’ A’
B
分析求椭圆方程根条件确定数abc值问题全部解决设abc已知垂直关系联想勾股定理建立方程焦点长轴较端点距离转化a－c值列出第二方程
解 设椭圆长轴2a短轴2b焦距2c|BF’|＝a
∴ 解：
∴ 求椭圆方程：＋＝1
垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’性质推证出等腰Rt△B’O’F’进行列式： 更容易求出ab值
注 圆锥曲线中参数（abcep）确定定系数法生动体现确定抓住已知条件转换成表达式曲线移中数（abce）变题利特征列出关a－c等式
般解析中求曲线方程问题部分定系数法基步骤：设方程（数）→条件转换成方程→求解→已知系数代入
例3 否存常数abc等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)切然数n成立？证明结 （89年全国高考题）
分析否存妨假设存已知等式切然数n成立取特殊值n＝123列出关abc方程组解方程组求出abc值数学纳法证明等式然数n成立
解假设存abc等式成立令：n＝14＝(a＋b＋c)n＝222＝(4a＋2b＋c)n＝370＝9a＋3b＋c整理：
解
n＝123等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立面数学纳法证明意然数n该等式成立：
假设n＝k时等式成立1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)
n＝k＋1时1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]
说等式n＝k＋1成立
综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
注建立关定系数方程组特殊值代入种解法中体现方程思想特殊值法否存性问题定系数时先试值猜想纳证明步骤进行题果记两特殊数列1＋2＋…＋n1＋2＋…＋n求公式抓住通项拆开运数列求公式直接求解：n(n＋1)＝n＋2n＋nS＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
例4 矩形铁皮长30cm宽14cm四角剪掉边长xcm四正方形剩余部分折成盖矩形盒子问x值时矩形盒子容积容积少？
分析实际问题中值值研究先已知条件选取合适变量建立目标函数实际问题转化函数值值研究
解 题意矩形盒子底边边长(30－2x)cm底边宽(14－2x)cm高xcm
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x
显然15－x>07－x>0x>0
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0b>0）
均值等式
解：a＝ b＝ x＝3
V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576
x＝3时矩形盒子容积容积576cm
注均值等式应时注意等号成立条件条件满足时凑配系数定系数法求题解答中令V＝(15a－ax)(7－x)bx (15－x)(7a－ax)bx均值等式佳条件列出方程组求出三项该进行凑配系数题体现凑配法函数思想
Ⅲ巩固性题组：
1 函数y＝logxx∈[2+∞)恒|y|>1a取值范围_____
A 2>a>a≠1 B 0
A 1 B －1 C p＋q D 法确定
3 果函数y＝sin2x＋a·cos2x图关直线x＝－称a＝_____
A B － C 1 D －1
4 满足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500正整数_____
A 4 B 5 C 6 D 7
5 穷等数列{a}前n项S＝a－ 项等_____
A － B 1 C Da关
6 (1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bxb＋b＋b＋…＋b＝－1k＝______
7 两直线11x－3y－9＝012x＋y－19＝0交点点(32)直线方程_____________
8 正三棱锥底面边长2侧棱底面成角60°底面边作截面底面成30°角截面面积______________
9 设y＝f(x)次函数已知f(8)＝15f(2)f(5)(f14)成等数列求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)值
10 设抛物线两点(16)(12)称轴x轴行开口右直线y＝2x＋7抛物线截线段长4 求抛物线方程
四定义法
谓定义法直接数学定义解题数学中定理公式性质法等定义公理推演出定义揭示概念涵逻辑方法通指出概念反映事物质属性明确概念
定义千百次实践必然结果科学反映揭示客观世界事物质特点简单说定义基概念数学实体高度抽象定义法解题直接方法讲回定义中
Ⅰ现性题组：
1 已知集合A中2元素集合B中7元素A∪B元素数n______
A 2≤n≤9 B 7≤n≤9 C 5≤n≤9 D 5≤n≤7
2 设MPOMAT分46°角正弦线余弦线正切线_____
A MP
A －1
4 椭圆＋＝1点P左准线距离P点右焦点距离_____
A 8 C 75 C D 3
5 奇函数f(x)正周期Tf(－)值_____
A T B 0 C D 确定
6 正三棱台侧棱底面成45°角侧面底面成角正切值_____
简解1题：利集定义选B
2题：利三角函数线定义作出图形选B
3题：利复数模定义<选A
4题：利椭圆第二定义＝e＝选A
5题：利周期函数奇函数定义f(－)＝f()＝－f(－)选B
6题：利线面角面面角定义答案2
Ⅱ示范性题组：
例1 已知z＝1＋ｉ ① 设w＝z＋3－4求w三角形式 ② 果＝1－ｉ求实数ab值（94年全国理）
分析代入z进行运算化简运复数三角形式复数相等定义解答
解z＝1＋ｉw＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉw三角形式（cos＋ｉsin）
z＝1＋ｉ＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ
题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ
根复数相等定义：
解
注求复数三角形式般直接利复数三角形式定义求解利复数相等定义实部虚部分相等建立方程组复数中常遇
例2 已知f(x)＝－x＋cxf(2)＝－14f(4)＝－252求y＝logf(x)定义域判定(1)单调性
分析判断函数单调性必须首先确定nc值求出函数解析式利函数单调性定义判断
解 解：
∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0：0
∴ f(x)－f(x)>0f(x)(1)减函数
∵ <1 ∴ y＝logf(x) (1)增函数
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
注关函数性质：奇偶性单调性周期性判断般直接应定义解题题求nc程中运定系数法换元法
例3 图已知A’B’C’—ABC正三棱柱DAC中点
① 证明：AB’∥面DBC’
② 假设AB’⊥BC’求二面角D—BC’—C度数（94年全国理）
分析 线面行定义证①问通证AB’行面DBC’条直线二面角面角定义作出面角通解三角形求②问
解 ① 连接B’C交BC’O 连接OD
∵ A’B’C’—ABC正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’矩形
∴ OB’C中点
△AB’C中 DAC中点 ∴ AB’∥OD
∴ AB’∥面DBC’
② 作DH⊥BCH连接OH ∴ DH⊥面BC’C
∵ AB’∥OD AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH ∠DOH求二面角面角
设AC＝1作OE⊥BCEDH＝sin60°＝BH＝EH＝
Rt△BOH中OH＝BH×EH＝
∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°二面角D—BC’—C度数45°
注二面角D—BC’—C面角容易误认∠DOC求利二面角面角定义两边垂直棱抓住面角作法先作垂直面垂线DH证垂直棱垂线DO连接两垂足OH∠DOH求三垂线定理题求解三角形十分熟练Rt△BOH中运射影定理求OH长计算关键
题文科考生第二问：假设AB’⊥BC’BC＝2求AB’侧面BB’C’C 射影长解答中抓住斜线面射影定义先作面垂线连接垂足斜足射影解法：作AE⊥BCE连接B’E求易OE∥B’B＝＝EF＝B’ERt△B’BE中易BF⊥BE射影定理：B’E×EF＝BEB’E＝1B’E＝
y
M F
A x
例4 求定点M(12)x轴准线离心率椭圆顶点轨迹方程
分析运动椭圆定点M准线固定x轴M准线距离2抓住圆锥曲线统性定义＝建立方程离心率定义建立方程
解设A(xy)F(xm)M(12)椭圆定点M准线距离2顶点A准线距离y根椭圆统性定义离心率定义：
消m：（x－1）＋＝1
椭圆顶点轨迹方程（x－1）＋＝1
注求曲线轨迹方程求曲线轨迹方程步骤设曲线动点满足条件根条件列出动点满足关系式进行化简题引入参数m列出满足方程组消参数m动点坐标满足方程求曲线轨迹方程建立方程组时巧妙运椭圆统性定义离心率定义般圆锥曲线点焦点准线离心率等问题常定义法解决求圆锥曲线方程总利圆锥曲线定义求解注意椭圆双曲线抛物线两定义恰选
Ⅲ巩固性题组：
1． 函数y＝f(x)＝a＋k图点(17)反函数图点(40)f(x)表达式___
2 抛物线焦点F直线抛物线相交AB两点AB抛物线准线射影分AB∠AFB等_____
A 45° B 60° C 90° D 120°
3 已知A＝{01}B＝{x|xA}列关系正确_____
A AB B AB C A∈B D AB
4 双曲线3x－y＝3渐线方程_____
A y＝±3x B y＝±x C y＝±x D y＝±x
5 已知定义R非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)f(x)_____
A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶函数
6 C＋C＝________
7 Z＝4(sin140°－ｉcos140°)复数辐角值__________
8 等式ax＋bx＋c>0解集(12)等式bx＋cx＋a<0解集__________
9 已知数列{a}等差数列求证数列{b}等差数列中b＝(a＋a＋…＋a)
10 已知FF椭圆＋＝1 (a>b>0)两焦点中F抛物线y＝12x焦点重合M两曲线焦点cos∠M FF·cos∠MFF＝求椭圆方程
五数学纳法
纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象纳出结
数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n)时成立递推基础第二步假设n＝k时命题成立证明n＝k＋1时命题成立限递推理判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳
运数学纳法证明问题时关键n＝k＋1时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题
运数学纳法证明列问题：然数n关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题等等
Ⅰ现性题组：
1 数学纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N）kk＋1左端需代数式_____
A 2k＋1 B 2(2k＋1) C D
2 数学纳法证明1＋＋＋…＋
A 2 B 2－1 C 2 D 2＋1
3 某命题然数n关n＝k (k∈N)时该命题成立推n＝k＋1时该命题成立现已知n＝5时该命题成立推______ (94年海高考)
An＝6时该命题成立 Bn＝6时该命题成立
Cn＝4时该命题成立 Dn＝4时该命题成立
4 数列{a}中已知a＝1n≥2时a＝a＋2n－1次计算aaa猜想a表达式_____
A 3n－2 B n C 3 D 4n－3
5 数学纳法证明3＋5 (n∈N)14整n＝k＋1时式子3＋5应变形_______________________
6 设k棱柱f(k)角面k＋1棱柱角面数f(k+1)＝f(k)＋_________
简解1题：n＝k时左端代数式(k＋1)(k＋2)…(k＋k)n＝k＋1时左端代数式(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)应代数式选B
2题：（2－1）－（2－1）＝2选C
3题：原命题逆否命题等价n＝k＋1时命题成立n＝k命题成立选C
4题：计算出a＝1a＝4a＝9a＝16猜想a选B
5题：答案（3＋5）3＋5（5－3）
6题：答案k－1
Ⅱ示范性题组：
例1 已知数列……S前n项求SSSS推测S公式数学纳法证明 （93年全国理）
解 计算S＝S＝S＝S＝
猜测S＝ (n∈N)
n＝1时等式显然成立
假设n＝k时等式成立：S＝
n＝k＋1时S＝S＋
＝＋
＝
＝＝
知n＝k＋1时等式成立
综述等式n∈N成立
注 证等式S＝作目标先通分分母含(2k＋3)考虑约分分子变形注意约分（2k＋3）－1样证题程中简洁效确定证题方题思路试验观察出发完全纳法作出纳猜想数学纳法进行严格证明关探索性问题常见证法数列问题中常见 假猜想数学纳法证明结定正确正确解答程严密必须进行三步：试值 → 猜想 → 证明
解 裂项相消法求：
a＝＝－
S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－
＝
种解法试值猜想证明相程十分简单求发现＝－裂项公式说试值猜想证明三步解题具般性
例2 设a＝＋＋…＋ (n∈N)证明：n(n＋1)
解 n＝1时a＝n(n+1)＝ (n+1)＝2
∴ n＝1时等式成立
假设n＝k时等式成立：k(k＋1)
(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)
(k＋1)(k＋2)
题种解题思路直接采放缩法进行证明抓住分析注意目标较进行适放缩解法：>na>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)
分析 证明{a}等差数列证明通项符合等差数列通项公式形式证：a＝a＋(n－1)d 命题n关考虑否数学纳法进行证明
解 设a－a＝d猜测a＝a＋(n－1)d
n＝1时a＝a ∴ n＝1时猜测正确
n＝2时a＋(2－1)d＝a＋d＝a ∴n＝2时猜测正确
假设n＝k（k≥2）时猜测正确：a＝a＋(k－1)d
n＝k＋1时a＝S－S＝－
a＝a＋(k－1)d代入式 2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d
整理(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d
k≥2a＝a＋kdn＝k＋1时猜测正确
综述然数na＝a＋(n－1)d{a}等差数列
注 证明等差数列问题转化成证明数学恒等式关然数n成立问题证明程中a出题解答关键利已知等式S＝数列中通项前n项关系a＝S－S建立含a方程代入假设成立式子a＝a＋(k－1)d解出a外题注意点忽视验证n＝1n＝2正确性数学纳法证明时递推基础n＝2时等式成立(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)da＝a＋kd条件k≥2
解 证a －a＝ a－ a意n≥2成立：n≥2时a＝S－S＝－理a＝S－S＝－a－a＝－n(a＋a)＋整理a －a＝ a－ a{a}等差数列
般数列问题中含aS时考虑运a＝S－S关系注意n≥2时关系成立象已知数列S求a类型题应关系
Ⅲ巩固性题组：
1 数学纳法证明：6＋1 (n∈N)7整
2 数学纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)
3 n∈N试较2(n＋1)证明结
4 数学纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全国高考)
5 数学纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N） （85年广东高考）
6 数列{a}通项公式a＝ (n∈N)设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)试求f(1)f(2)f(3)值推测出f(n)值数学纳法加证明
7 已知数列{a}满足a＝1a＝acosx＋cos[(n－1)x] (x≠kπn≥2n∈N)
①．求aa ②猜测a数学纳法证明猜测
8 设f(logx)＝ ①求f(x)定义域 ②y＝f(x)图否存两点两点直线x轴行？证明结 ③求证：f(n)>n (n>1n∈N)
六参数法
参数法指解题程中通适引入题目研究数学象发生联系新变量（参数）作媒介进行分析综合解决问题直线二次曲线参数方程参数法解题例证换元法引入参数典型例子
辨证唯物肯定事物间联系穷联系方式丰富采科学务揭示事物间联系发现事物变化规律参数作刻画事物变化状态揭示变化素间联系参数体现代数学中运动变化思想观点已渗透中学数学分支运参数法解题已较普遍
参数法解题关键恰处引进参数沟通已知未知间联系利参数提供信息利解答问题
Ⅰ现性题组：
1 设2＝3＝5>12x3y5z排列________________
2 （理）直线点A(23)距离等点坐标________
（文）k<－1圆锥曲线x－ky＝1离心率_________
3 点Z虚轴移动复数C＝z＋1＋2ｉ复面应轨迹图____________________
4 三棱锥三侧面互相垂直面积分643体积______
5 设函数f(x)意xy∈Rf(x＋y)＝f(x)＋f(y)x>0时f(x)<0f(x)R______函数(填增减)
6 椭圆＋＝1点直线x＋2y－＝0距离_____
A 3 B C D 2
简解1题：设2＝3＝5＝t分取235底数解出xyz较法较2x3y5z出3y<2x<5z
2题：（理）A(23)t＝0时求点t＝±时(45)(01)（文）已知曲线椭圆a＝1c＝e＝－
3题：设z＝bｉC＝1－b＋2ｉ图：(12)出发行x轴右射线
4题：设三条侧棱xyzxy＝6yz＝4xz＝3xyz＝24体积4
5题：f(0)＝0f(0)＝f(x)＋f(x)f(x)奇函数答案：减
6题：设x＝4sinαy＝2cosα求d＝值选C
Ⅱ示范性题组：
例1 实数abc满足a＋b＋c＝1求a＋b＋c值
分析a＋b＋c＝1 想均值换元法引入新参数设a＝＋tb＝＋tc＝＋t代入a＋b＋c求
解a＋b＋c＝1设a＝＋tb＝＋tc＝＋t中t＋t＋t＝0
∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥
a＋b＋c值
注均值换元法引入三参数代数式研究进行简化题种解法技巧
题种解题思路利均值等式配方法进行求解解法：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)a＋b＋c≥
两种解法求代数变形技巧性强次练提高代数变形力
例2 椭圆＋＝1两点PQO原点连OPOQk·k＝－
①．求证：|OP|＋|OQ|等定值 ②求线段PQ中点M轨迹方程
分析 换元法引入新参数设（椭圆参数方程）参数θθPQ两点先计算k·k出结计算|OP|＋|OQ|运参数法求中点M坐标消参
解＋＝1设P(4cosθ2sinθ)Q(4cosθ2sinθ)
k·k＝＝－整理：
cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0cos（θ－θ）＝0
∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20
|OP|＋|OQ|等定值20
中点坐标公式线段PQ中点M坐标
()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2
求线段PQ中点M轨迹方程＋＝1
注椭圆方程联想a＋b＝1进行三角换元通换元引入新参数转化成三角问题进行研究题求够熟练三角公式方法中点坐标公式求出M点坐标方程组稍作变形方相加（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ）求点M轨迹方程消参法关键步般求动点轨迹方程运参数法时点xy坐标分表示成参数函数运消法消含参数求轨迹方程
题第问种思路设直线斜率k解出PQ两点坐标求：
设直线OP斜率kOQ斜率－椭圆直线OPOQ相交PQ两点：
消y(1＋4k)x＝16|x|＝
消y(1＋)x＝16|x|＝
|OP|＋|OQ|＝()＋（）
＝＝20|OP|＋|OQ|等定值20
解法中利直线两点间距离公式|AB|＝|x－x|求|OP||OQ|长
S
E
D C
O F
A B
例3已知正四棱锥S—ABCD侧面底面夹角β相邻两侧面夹角α求证：cosαcosβ
分析证明cosαcosβ考虑求出αβ余弦αβ三角形中利关定理求解
解连ACBD交O连SO取BC中点F连SFOF作BE⊥SCE连DE∠SFO＝β∠DEB＝α
设BC＝a (参数) SF＝＝
SC＝＝
＝
∵BE＝＝＝
△DEB中余弦定理：cosα＝＝＝－cosβ
cosα＝－cosβ
注 设参数a求参数a利作中间变量辅助计算参数法中参数起作设参数辅助解决关问题
Ⅲ巩固性题组：
1 已知复数z满足|z|≤1复数z＋2ｉ复面表示点轨迹________________
2 函数y＝x＋2＋值域________________
3 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθx轴两交点距离值_____
A 5 B 10 C 2 D 3
4 点M(01)作直线L两已知直线L：x－3y＋10＝0L：2x＋y－8＝0截线段点P分求直线L方程
5 求半径R球接圆锥体积
6 f(x)＝(1－cosx)sinxx∈[02π)求f(x)≤1实数a取值范围
7 关x方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0模1虚根求实数a值方程根
8 定抛物线y＝2px (p>0)证明：x轴正定存点M抛物线意条点M弦PQ＋定值
七反证法
前面讲方法反证法属间接证明法类反面角度思考问题证明方法：肯定题设否定结导出矛盾推理法国数学家阿达玛(Hadamard)反证法实质作概括：肯定定理假设否定结会导致矛盾具体讲反证法否定命题结入手命题结否定作推理已知条件进行正确逻辑推理已知条件已知公理定理法者已证明正确命题等相矛矛盾原假设成立肯定命题结命题获证明
反证法逻辑思维规律中矛盾律排中律思维程中两互相矛盾判断时真少假逻辑思维中矛盾律两互相矛盾判断时假简单说A者非A逻辑思维中排中律反证法证明程中矛盾判断根矛盾律矛盾判断时真必假已知条件已知公理定理法者已证明正确命题真否定结必假根排中律结否定结立互相否定判断时假必真原结必真反证法逻辑思维基规律理反证法信
反证法证题模式简概括否定→推理→否定否定结开始正确误推理导致逻辑矛盾达新否定认反证法基思想否定否定应反证法证明三步：否定结 → 推导出矛盾 → 结成立实施具体步骤：
第步反设：作出求证结相反假设
第二步谬：反设作条件通系列正确推理导出矛盾
第三步结：说明反设成立肯定原命题成立
应反证法证题时定反设进行推理否反证法反证法证题时果欲证明命题方面情况种种情况驳倒种反证法谬法果结方面情况种必须反面情况驳倒推断原结成立种证法穷举法
数学解题中常反证法牛顿说：反证法数学家精武器般讲反证法常证明题型：命题结否定形式少唯限形式出现命题者否定结更明显具体简单命题者直接证明难手命题改变思维方结入手进行反面思考问题解决十分干脆
Ⅰ现性题组：
1 已知函数f(x)定义域减函数方程f(x)＝0 ______
A实根 B少实根 C实根 D实根
2 已知a<0－1
3 已知α∩β＝la αb βab异面直线_____
A abl相交 B ab中少条l相交
C ab中条l相交 D abl相交
4 四面体顶点棱中点10中取4面点取法_____(97年全国理)
A 150种 B 147种 C 144种 D 141种
简解1题：结入手假设四选择项逐成立导出中三特例矛盾选A
2题：采特殊值法取a＝－1b＝－05选D
3题：逐假设选择项成立着手分析选B
4题：分析清楚结种情况列式：C－C×4－3－6选D
S
C
A O
B
Ⅱ示范性题组：
例1 图设SASB圆锥SO两条母线O底面圆心CSB点求证：AC面SOB垂直
分析结垂直呈否定性考虑反证法假设垂直导出矛盾肯定垂直
证明 假设AC⊥面SOB
∵ 直线SO面SOB ∴ AC⊥SO
∵ SO⊥底面圆O ∴ SO⊥AB
∴ SO⊥面SAB ∴面SAB∥底面圆O
显然出现矛盾假设成立
AC面SOB垂直
注否定性问题常反证法例证明异面直线假设面假设作已知条件推导出矛盾
例2 列方程：x＋4ax－4a＋3＝0 x＋(a－1)x＋a＝0 x＋2ax－2a＝0少方程实根试求实数a取值范围
分析 三方程少方程实根反面情况仅种：三方程均没实根先求出反面情况时a范围范围补集正面情况答案
解 设三方程均实根：
解－
注少问题常反面考虑情况变简单题判式法补集法（全集R）正面直接求解分求出三方程实根时（△≥0）a取值范围三范围起求集合集两种解法求等式解集交补概念运算理解透彻
例3 定实数aa≠0a≠1设函数y＝ (中x∈Rx≠)证明：①函数图意两点直线行x轴 ②函数图关直线y＝x成轴称图(88年全国理)
分析行否定行假设行出矛盾推翻假设
证明 ① 设M(xy)M(xy)函数图意两点x≠x
假设直线MM行x轴必y＝y＝整理a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1 已知a≠1矛盾
假设直线MM行x轴
② y＝axy－y＝x－1(ay－1)x＝y－1x＝
原函数y＝反函数y＝图致
互反函数两图关直线y＝x称函数y＝图关直线y＝x成轴称图
注行否定性结反证法假设行情况容易性质正确误推理导出已知a≠1互相矛盾第②问中称问题反函数称性进行研究方法较巧妙求反函数求法性质运熟练
Ⅲ巩固性题组：
1 已知f(x)＝求证：x≠x时f(x)≠f(x)
2 已知非零实数abc成等差数列a≠c求证：成等差数列
3 已知f(x)＝x＋px＋q求证：|f(1)||f(2)||f(3)|中少
4 求证：抛物线y＝－1存关直线x＋y＝0称两点
5 已知ab∈R|a|＋|b|<1求证：方程x＋ax＋b＝0两根绝值均1
A
F D
B M
N
E C
6 两互相垂直正方形图示MN相应角线EM＝CN求证：MN垂直CF
第二章 高中数学常数学思想
数形结合思想方法
中学数学基知识分三类：类纯粹数知识实数代数式方程（组）等式（组）函数等类关纯粹形知识面立体等类关数形结合知识体现解析
数形结合数学思想方法包含形助数数辅形两方面应致分两种情形：者助形生动直观性阐明数间联系形作手段数目应函数图直观说明函数性质者助数精确性规范严密性阐明形某属性数作手段形作目应曲线方程精确阐明曲线性质
恩格斯说：数学研究现实世界量关系空间形式科学数形结合根数学问题条件结间联系分析代数意义揭示直观数量关精确刻划空间形式直观形象巧妙谐结合起充分利种结合寻找解题思路问题化难易化繁简解决数形矛盾宇宙间万物数形矛盾统华罗庚先生说：数缺形时少直观形少数时难入微数形结合百般隔裂分家万事休
数形结合思想实质抽象数学语言直观图结合起关键代数问题图形间相互转化代数问题化问题代数化运数形结合思想分析解决问题时注意三点：第彻底明白概念运算意义曲线代数特征数学题目中条件结分析意义分析代数意义第二恰设参合理参建立关系数思形形想数做数形转化第三正确确定参数取值范围
数学中知识身作数形结合：锐角三角函数定义助直角三角形定义意角三角函数助直角坐标系单位圆定义
Ⅰ现性题组：
5 设命题甲：0
6 log2
7 果|x|≤函数f(x)＝cosx＋sinx值_____ (89年全国文)
A B － C －1 D
8 果奇函数f(x)区间[37]增函数值5f(x)[73]____(91年全国)
A增函数值－5 B增函数值－5
C减函数值－5 D减函数值－5
9 设全集I＝{(xy)|xy∈R}集合M＝{(xy)| ＝1}N＝{(xy)|y≠x＋1}等_____ (90年全国)
A φ B {(23)} C (23) D {(xy)|y＝x＋1
10 果θ第二象限角满足cos－sin＝_____
A第象限角 B第三象限角 C第象限角第三象限角 D第二象限角
11 已知集合E＝{θ|cosθ
12 复数z辐角实部－2z＝_____
A －2－2ｉ B －2＋2ｉ C －2＋2ｉ D －2－2ｉ
13 果实数xy满足等式(x－2)＋y＝3值_____ (90年全国理)
A B C D
14 满足方程|z＋3－ｉ|＝辐角值复数z_____
简解1题：等式解集数轴表示出甲＝>乙选A
2题：已知画出数曲线选B
3题：设sinx＝t助二次函数图求f(x)值选D
4题：奇函数图关原点称画出图选B
5题：集合意义图形表示出选B
6题：利单位圆确定符号象限选B
7题：利单位圆选A
8题：复数表示复面选B
9题：转化圆动点原点连线斜率范围问题选D
10题：利复面复数表示两点间距离公式求解答案－＋ｉ
注 题历年高考客观题助直观性处理数关问题助数轴（①题）图（②③④⑤题）单位圆（⑥⑦题）复面（⑧⑩题）方程曲线（⑨题）
y
4 y1m
1
O 2 3 x
Ⅱ示范性题组：
例1 方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)x∈(03)唯解求实数m取值范围
分析数方程进行等价变形转化元二次方程某范围实解问题利二次函数图进行解决
解 原方程变形
：
设曲线y＝(x－2) x∈(03)直线y＝1－m图图示图知：
① 1－m＝0时唯解m＝1
②1≤1－m<4时唯解－3
注 般方程解等式解集函数性质等进行讨时助函数图直观解决简单明题代数方法讨方程解情况分离参数法求（注意结合图分析x值）
y A
D
O B x
C
例2 设|z|＝5|z|＝2 |z－|＝求值
分析 利复数模四运算意义复数问题图形帮助求解
解 图设z＝z＝＝＝图示
图知||＝∠AOD＝∠BOC余弦定理：
cos∠AOD＝＝
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
y A
D
O x
解设z＝＝图示||＝
cos∠AOD＝＝sin∠AOD＝±
＝(±ｉ)＝2±ｉ＝2±ｉ
注题运数形结合法轭复数性质复面量表示代数运算意义等表达淋漓致体现数形结合生动活泼 般复数问题利复数意义问题变成问题利复数代数形式三角形式复数性质求解
题设三角形式转化三角问题求解程：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)z＝＋ｉsinθ)|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ|＝
＝cos(θ＋θ)＝sin(θ＋θ)＝±
＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ
题直接利复数性质求解程：|z－|＝：
（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13
zz＋＝16z＋＝4设＝z解z＝2±ｉ
种解法特点立足点思维方式选择方法般复数问题应求解种方法：直接运复数性质求解设复数三角形式转化三角问题求解设复数代数形式转化代数问题求解利复数意义转化问题求解
例3 直线L方程：x＝－ (p>0)椭圆中心D(2＋0)焦点x轴长半轴2短半轴1左顶点A问p什范围取值椭圆四点中点点A距离等该点直线L距离？
分析 抛物线定义问题转化成：p值时A焦点L准线抛物线椭圆四交点联立方程组转化成代数问题（研究方程组解情况）
解 已知：a＝2b＝1 A(0)设椭圆双曲线方程联立：
消y：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0
△＝16－64p＋48p>06p－8p＋2>0解：p
1
结合范围(4+)两根设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)
<<4+p
结合－4＋3
例4 设ab两实数A＝{(xy)|x＝ny＝na＋b} （n∈Z）B＝{(xy)|x＝my＝3m＋15} (m∈Z)C＝{(xy)|x＋y≤144}讨否A∩B≠φ(ab)∈C时成立(85年高考)
分析集合AB连续点集存abA∩B≠φ含意存abna＋b＝3n＋15(n∈Z)解（A∩B时x＝n＝m）抓住参数ab问题意义：动点(ab)直线L：nx＋y＝3n＋15直线圆x＋y＝144公点原点直线L距离≥12
解 A∩B≠φ：na＋b＝3n＋15
设动点(ab)直线L：nx＋y＝3n＋15直线圆x＋y＝144公点
圆心直线距离d＝＝3(＋)≥12
∵ n整数 ∴ 式取等号ab存
注 集合转化点集（曲线）方法进行研究题属探索性问题数形结合法解中体现元思想方程思想体现公点问题恰处理方法
题直接运代数方法进行解答思路：
A∩B≠φ：na＋b＝3n＋15 b＝3n＋15－an （①式）
(ab)∈Ca＋b≤144 （②式）
①式代入②式关a等式：
(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）
判式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3)
n整数n－3≠0△<01＋n>0③式实数解
存abA∩B≠φ(ab)∈C时成立
Ⅲ巩固性题组：
1 已知5x＋12y＝60值_____
A B C D 1
2 已知集合P＝{(xy)|y＝}Q＝{(xy)|y＝x＋b}P∩Q≠φb取值范围____
A |b|<3 B |b|≤3 C －3≤b≤3 D －3
A 1 B 2 C 3 D
4 方程x＝10sinx实根数_______
5 等式m>|x－1|＋|x＋1|解集非空数集实数m取值范围_________
6 设z＝cosα＋ｉ|z|≤1argz取值范围____________
7 方程x－3ax＋2a＝0根1根1实数a取值范围______
8 sin20°＋cos80°＋sin20°·cos80°＝____________
9 解等式： >b－x
10 设A＝{x|<1x<3}设B关x等式组解集试确定ab取值范围AB （90年高考副题）
11 定义域等式〉x＋a恒成立求实数a取值范围
12 已知函数y＝＋求函数值时x值
13 已知z∈C|z|＝1求|(z＋1)(z－ｉ)|值
14 方程lg(kx)＝2lg(x＋1)实数解求常数k取值范围
二分类讨思想方法
解答某数学问题时时会遇种情况需种情况加分类逐类求解然综合解分类讨法分类讨种逻辑方法种重数学思想时种重解题策略体现化整零积零整思想类整理方法关分类讨思想数学问题具明显逻辑性综合性探索性训练思维条理性概括性高考试题中占重位置
引起分类讨原方面：
① 问题涉数学概念分类进行定义|a|定义分a>0a＝0a<0三种情况种分类讨题型称概念型
② 问题中涉数学定理公式运算性质法范围者条件限制者分类出等数列前n项公式分q＝1q≠1两种情况种分类讨题型称性质型
③ 解含参数题目时必须根参数取值范围进行讨解等式ax>2时分a>0a＝0a<0三种情况讨称含参型
外某确定数量确定图形形状位置确定结等通分类讨保证完整性具确定性
进行分类讨时遵循原：分类象确定标准统遗漏重复科学划分分清次越级讨中重条漏重
解答分类讨问题时基方法步骤：首先确定讨象讨象全体范围次确定分类标准正确进行合理分类标准统漏重分类互斥（没重复）分类逐步进行讨分级进行获取阶段性结果进行纳结综合出结
Ⅰ现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4x∈R}B＝{x||x－3|≤ax∈R}ABa范围_____
A 0≤a≤1 B a≤1 C a<1 D 0
A p＝q B pq Da>1时p>q0
4θ∈(0 )值_____
A 1－1 B 0－1 C 01 D 01－1
5函数y＝x＋值域_____
A [2+∞) B (∞2]∪[2+∞) C (∞+∞) D [22]
6正三棱柱侧面展开图边长分24矩形体积_____
A B C D
7点P(23)坐标轴截距相等直线方程_____
A 3x－2y＝0 B x＋y－5＝0 C 3x－2y＝0x＋y－5＝0 D确定
简解1题：参数a分a>0a＝0a<0三种情况讨选B
2题：底数a分a>10
4题：分θ＝0<θ<<θ<三种情况选D
5题：分x>0x<0两种情况选B
6题：分侧面矩形长宽分2442两种情况选D
7题：分截距等零等零两种情况选C
Ⅱ示范性题组：
例1 设0
分析 较数运数函数单调性单调性底数a关底数a分两类情况进行讨
解 ∵ 0
① 0
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0
② a>1时log(1－x)<0log(1＋x)>0
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0
①②知|log(1－x)|>|log(1＋x)|
注题求数函数y＝logx单调性两种情况十分熟悉a>1时增函数0
分析 已知结合集合概念C中元素分两类：①属A 元素②属A属B元素含A中元素数123取法分三种
解 C·C＋C·C＋C·C＝1084
注题排列组合中包含排基问题正确解题前提合理科学分类达分类完整类互斥求关键确定C中元素取法种解题思路直接排法C－C＝1084
例3 设{a}正数组成等数列S前n项 ① 证明：
分析 证等式讨等式进行等价变形应较法求解中应等数列前n项公式时公式求分q＝1q≠1两种情况
解 设{a}公qa>0q>0
①．q＝1时S＝naSS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a<0
q≠1时S＝
SS－S＝－＝－aq<0
SS
分两种情况讨：
q＝1时S＝na
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
q≠1时S＝(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0c＝
S－c＝S－＝－<0 ∴数式意义
综述存常数c>0 ＝lg（S－c）成立
注 例公式适范围导致分类讨该题文科考生改问题：证明>logS 理科第问类似利底数05时数函数单调递减
例1例2例3属涉数学概念定理公式运算性质法等分类讨问题者分类出解决时求进行分类题型概念性质型
例4 设函数f(x)＝ax－2x＋2满足1
1 4 x
1 4 x
分析 含参数元二次函数界区间值值等值域问题需先开口方讨抛物线称轴位置闭区间关系进行分类讨综合解
解a>0时f(x)＝a（x－）＋2－
∴
∴ a≥1
a<0时解φ
a＝0时f(x)＝－2x＋2 f(1)＝0f(4)＝－6 ∴合题意
实数a取值范围a>
注题分两级讨先决定开口方二次项系数a分a>0a<0a＝0三种情况种情况结合二次函数图a>0时称轴闭区间关系分三种闭区间左边右边中间题解答关键分析符合条件二次函数图成数形结合法运
例5 解等式>0 (a常数a≠－)
分析 含参数等式参数a决定2a＋1符号两根－4a6a参数a分四种情况a>0a＝0－
a>0时(x＋4a)(x－6a)>0解：x<－4ax>6a
a＝0时x>0解：x≠0
－
a>－时(x＋4a)(x－6a)<0解： 6a
例6 设a≥0复数集C中解方程：z＋2|z|＝a (90年全国高考)
分析已知z＋2|z|＝a|z|∈Rz∈Rz分实数纯虚数两种情况进行讨求解
解 ∵ |z|∈Rz＋2|z|＝a：z∈R ∴ z实数纯虚数
z∈R时|z|＋2|z|＝a解：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)
z纯虚数时设z＝±yｉ (y>0) ∴ －y＋2y＝a 解：y＝1± （0≤a≤1）
z＝±(－1＋)±(1±)ｉ
注题标准解法（设z＝x＋yｉ代入原式方程组解方程组）程十分繁难挖掘隐含z分两类讨简化数学问题
解 设z＝x＋yｉ代入 x－y＋2＋2xyｉ＝a
∴
y＝0时x＋2|x|＝a解x＝±(－1＋)z＝±(－1＋)
x＝0时－y＋2|y|＝a解y＝±(1±)±(1±)ｉ
z＝±(－1＋)±(1±)ｉ
注题属复数问题标准解法设代数形式求解中抓住2xy＝0分x＝0y＝0两种情况进行讨求解实际种情况中绝值方程求解渗透分类讨思想
例7 xoy面定曲线y＝2x设点A(a0)a∈R曲线点点A距离值f(a)求f(a)函数表达式 （题难度040）
分析 求两点间距离值问题先公式建立目标函数转化二次函数约束条件x≥0值问题引起参数a取值讨
解 设M(xy)曲线y＝2x意点
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
y＝2x限定x≥0分情况讨：
a－1≥0时x＝a－1取值|MA}＝2a－1
a－1<0时x＝0取值|MA}＝a
综述f(a)＝
注题解题基思路先建立目标函数求二次函数值值问题十分熟悉含参数a隐含条件x≥0限制中找出正确分类标准d＝f(a)函数表达式
Ⅲ巩固性题组：
1 log<1a取值范围_____
A (0 ) B (1) C (0 )∪(1+∞) D (+∞)
2 非零实数abc＋＋＋值组成集合_____
A {44} B {04} C {40} D {404}
3 f(x)＝(a－x)|3a－x|a正常数列结正确_____
Ax＝2a时值0 Bx＝3a时值0
C值值 D值值
4 设f(xy)＝0椭圆方程f(xy)＝0直线方程方程f(xy)＋λf(xy)＝0 （λ∈R）表示曲线_____
A椭圆 B椭圆直线 C椭圆点 D述外情况
5 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)闭区间[23]值5值2ab值_____
A a＝1b＝0 B a＝1b＝0a＝－1b＝3
C a＝－1b＝3 D 答案均正确
6方程(x－x－1)＝1整数解数_____
A 1 B 3 C 4 D 5
7 空间面4点距离相等面数_____
A 7 B 6 C 5 D 4
8z∈C方程z－3|z|＋2＝0解数_____
A 2 B 3 C 4 D 5
9复数z＝a＋aｉ (a≠0)辐角值______________
10解关x等式： 2log(2x－1)>log(x－a) (a>0a≠1)
11设首项1公q (q>0)等数列前n项S设T＝求T
12 复数zzz复面应三点ABC组成直角三角形|z|＝2求z
13 卡片9张012…89数字分写张卡片现中取3张排成三位数6作9问组成少三位数
14 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1图x轴公点求参数m值交点坐标
三函数方程思想方法
函数思想指函数概念性质分析问题转化问题解决问题方程思想问题数量关系入手运数学语言问题中条件转化数学模型（方程等式方程等式混合组）然通解方程（组）等式（组）问题获解时实现函数方程互相转化接轨达解决问题目
笛卡尔方程思想：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题宇宙世界充斥着等式等式知道里等式里方程里公式里方程求值问题通解方程实现……等等等式问题方程亲密切相关函数元方程没什质区函数y＝f(x)作关xy二元方程f(x)－y＝0说函数研究离开方程列方程解方程研究方程特性应方程思想时需重点考虑
函数描述然界中数量间关系函数思想通提出问题数学特征建立函数关系型数学模型进行研究体现联系变化辩证唯物义观点般函数思想构造函数利函数性质解题常利性质：f(x)f(x)单调性奇偶性周期性值值图变换等求熟练掌握次函数二次函数幂函数指数函数数函数三角函数具体特性解题中善挖掘题目中隐含条件构造出函数解析式妙函数性质应函数思想关键问题观察分析判断较深入充分全面时产生彼联系构造出函数原型外方程问题等式问题某代数问题转化相关函数问题函数思想解答非函数问题
函数知识涉知识点面广概念性应性理解性定求高考中考查重点应函数思想种常见题型：遇变量构造函数关系解题关等式方程值值类问题利函数观点加分析含变量数学问题中选定合适变量揭示中函数关系实际应问题翻译成数学语言建立数学模型函数关系式应函数性质等式等知识解答等差等数列中通项公式前n项公式成n函数数列问题函数方法解决
Ⅰ现性题组：
1方程lgx＋x＝3解区间_____
A (01) B (12) C (23) D (3+∞)
2果函数f(x)＝x＋bx＋c意实数tf(2＋t)＝f(2－t)_____
A f(2)
A仅实根 B实根 C少实根 D结
4已知sinθ＋cosθ＝θ∈(π)tgθ值_____
A － B － C D
5已知等差数列前n项SS＝S (p≠qpq∈N)S＝_________
6关x方程sinx＋cosx＋a＝0实根实数a取值范围__________
7正六棱锥体积48侧面底面成角45°棱锥侧面积___________
8 建造容积8m深2m长方体盖水池果池底池壁造价方米分120元80元水池低造价___________
简解1题：图法解方程代入区间数（特值法代入法）选C
2题：函数f(x)称轴2结合单调性选A
3题：反面考虑注意应特例选B
4题：设tg＝x (x>0）＋＝解出x＝2万公式选A
5题：利关n次函数设S＝S＝m＝x（p）(q)(xp+q)直线两点斜率相等解x＝0答案：0
6题：设cosx＝tt∈[11]a＝t－t－1∈[－1]答案：[－1]
7题：设高h体积解出h＝2答案：24
8题：设长x宽造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760答案：1760
Ⅱ示范性题组：
例1 设a>0a≠1试求方程log(x－ak)＝log(x－a)实数解k范围(89年全国高考)
分析换底公式进行换底出现底进行等价转化方程组分离参数分析式子特点选三角换元法三角函数值域求解
解 原方程化：log(x－ak)＝log 等价 （a>0a≠1）
∴ k＝－ ( ||>1 ）
设＝cscθ θ∈(－0)∪(0 ) k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
θ∈(－0)时f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1k<－1
θ∈(0 )时f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(01)0
C
ak
a a x
注 求参数范围分离参数变成函数值域问题观察求函数式引入新变量转化三角函数值域问题进行三角换元时注意新变量范围般种思路解决关等式方程值值参数范围类问题题分离参数法三角换元法等价转化思想等数学思想方法
种解题思路采取数形结合法： 原方程化：log(x－ak)＝log等价x－ak＝ (x－ak>0)设曲线C：y＝x－ak曲线C：y＝ (y>0)图示
图知－ak>a－a<－ak<0时曲线CC交点方程实解k取值范围：k<－10
分析 问题常见思维定势易成关x等式讨然变换角度m变量关m次等式(x－1)m－(2x－1)<0[22]恒成立问题研究设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)问题转化求次函数（常数函数）f(m)值[22]恒负值时参数x应该满足条件
解问题变成关m次等式：(x－1)m－(2x－1)<0[22] 恒成立设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)
解x∈（）
注 题关键变换角度参数m作变量构造函数式等式问题变成函数闭区间值域问题题关x等式2x－1>m(x－1)解集[22]时求m值关x等式2x－1>m(x－1)[22]恒成立时求m范围
般含变量数学问题中确定合适变量参数揭示函数关系问题更明朗化者含参数函数中函数变量作参数参数作函数更具灵活性巧妙解决关问题
例3 设等差数列{a}前n项S已知a＝12S>0S<0
①求公差d取值范围 ②指出SS…S中值说明理(92年全国高考)
分析 ①问利公式aS建立等式容易求解d范围②问利Sn二次函数S中值变成求二次函数中n值时S取值函数值问题
解① a＝a＋2d＝12a＝12－2d
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0
解：－
＝[n－(5－)]－[(5－)]
d<0[n－(5－)]时S－
题种思路寻求a>0a<0 ：d<0知道a>a>…>aS＝13a<0a<0S＝6(a＋a)>0a>0SS…S中S值
例4 图AB圆O直径PA垂直圆O面C圆周点设∠BAC＝θPA＝AB2r求异面直线PBAC距离
分析 异面直线PBAC距离成求直线PB意点AC距离值设定变量建立目标函数求函数值
P
M
A H B
D C
解 PB取点M作MD⊥ACDMH⊥ABH
设MH＝xMH⊥面ABCAC⊥HD
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
x＝时MD取值两异面直线距离
注 题巧立体中异面直线距离变成求异面直线两点间距离值设立合适变量问题变成代数中函数问题般求值值实际问题先文字说明转化成数学语言建立数学模型函数关系式然利函数性质重等式关知识进行解答现性题组第8题典型例子
例5 已知△ABC三角ABC成等差数列tgA·tgC＝2＋知顶点C边c高等4求△ABC三边abc三角
分析已知积式考虑否已知式方程思想求解
解 ABC成等差数列B＝60°
△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC
tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1＋)
设tgAtgC方程x－(＋3)x＋2＋＝0两根解x＝1x＝2＋
设A
注题解答关键利△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC条性质tgA＋tgC设立方程求出tgAtgC值问题解决
例6 (z－x) －4(x－y)(y－z)＝0求证：xyz成等差数列
分析 观察题设发现正判式b－4ac＝0形式联想构造元二次方程进行求解
证明 x＝y时x＝z ∴xyz成等差数列
x≠y时设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0△＝0t＝t易知t＝1方程根
∴t·t＝＝1 2y＝x＋z ∴xyz成等差数列
注般题设条件中果已具备变形整理具备x＋x＝ax·x＝b形式利根系数关系构造方程果具备b－4ac≥0b－4ac≤0形式利根判式构造元二次方程种方法非方程问题方程思想解决体现定技巧性解题基方法中种构造法
例7 △ABC中求证：cosA·cosB·cosC≤
分析考虑首先三角公式进行变形结合三角形中关性质定理运三角形角180°变形通观察式子特点选择发现合适方法解决
证明 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC
整理：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0作关cosC元二次方程
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 8k≤cos(A－B)≤1
∴ k≤cosA·cosB·cosC≤
注题原三角问题引入参数通三角变形发现等式具二次特点联想元二次方程问题变成代数中方程实解问题方程思想体现判式法参数法
题外种思路放缩法放缩程中体现配方法具体解答程：cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC ＝－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－ [cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤
例8 设f(x)＝lg果x∈(∞1]时f(x)意义求实数a取值范围
分析x∈(∞1]时f(x)＝lg意义函数问题转化1＋2＋4a>0x∈(∞1]恒成立等式问题
解 题设知等式1＋2＋4a>0x∈(∞1]恒成立
：()＋()＋a>0x∈(∞1]恒成立
设t＝() t≥ 设g(t)＝t＋t＋a称轴t＝－
∴ t＋t＋a＝0[+∞)实根 g()＝()＋＋a>0a>－
a取值范围a>－
注等式恒成立引入新参数化简等式构造二次函数利函数图单调性进行解决问题中联系方程解体现方程思想函数思想般解题中抓住二次函数图二次等式二次方程三者间紧密联系问题进行相互转化
解决等式()＋()＋a>0x∈(∞1]恒成立问题时分离参数法： 设t＝() t≥a＝－t－t∈(－∞－]a取值范围a>－中a范围利二次函数某区间值域研究属应函数思想
Ⅲ巩固性题组：
1 方程sin2x＝sinx区间(02π)解数_____
A 1 B 2 C 3 D 4
2 已知函数f(x)＝|2－1|a
A a<0b<0c>0 B a<0b>0c>0 C 2<2 D 2＋2<2
3 已知函数f(x)＝log(x－4x＋8) x∈[02]值－2a＝_____
A B C 2 D 4
4已知{a}等数列a＋a＋a＝18a＋a＋a＝－9S＝a＋a＋…＋aS等_____
A 8 B 16 C 32 D 48
5等差数列{a}中a＝84前n项S已知S>0S<0n＝______时S
6 满足0≤p≤4实数p等式x＋px〉4x＋p－3成立x取值范围________
7关x方程|x－6x＋8|＝a恰两等实根实数a取值范围____________
8已知点A(01)B(23)抛物线y＝x＋mx＋2抛物线线段AB相交两点求实数m取值范围
9已知实数xyz满足等式x＋y＋z＝5xy＋yz＋zx＝3试求z取值范围
10已知lg－4·lg·lg＝0求证：bac等中项
11设αβγ均锐角cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1求证：α＋β＋γ＝π
12p值时曲线y＝2px (p>0)椭圆(x―2―)＋y＝1四交点(88年全国高考)
13已知关x实系数二次方程x＋ax＋b＝0两实数根αβ证明：
① 果|α|<2|β|<22|a|<4＋b|b|<4
② 果2|a|<4＋b|b|<4|α|<2|β|<2 （93年全国理）
14设f(x)定义区间(∞+∞)2周期函数k∈ZI表示区间(2k12k+1]已知x∈I时f(x)＝x ①求f(x)I解析表达式 ②然数k求集合M＝{a|方程f(x)＝axI两相等实根} （89年全国理）
四等价转化思想方法
等价转化未知解问题转化已知识范围解问题种重思想方法通断转化熟悉规范复杂问题转化熟悉规范甚模式法简单问题历年高考等价转化思想处见断培养训练觉转化意识利强化解决数学问题中应变力提高思维力技技巧
转化等价转化非等价转化等价转化求转化程中前果充分必保证转化结果原问题结果非等价转化程充分必结进行必修正（理方程化理方程求验根）带思维闪光点找解决问题突破口应时定注意转化等价性非等价性求实施等价转化时确保等价性保证逻辑正确
著名数学家莫斯科学教授CA雅洁卡娅次数学奥林匹克参赛者发表什解题演讲时提出：解题解题转化已解题数学解题程未知已知复杂简单化转换程
等价转化思想方法特点具灵活性样性应等价转化思想方法解决数学问题时没统模式进行数数形形数形间进行转换宏观进行等价转化分析解决实际问题程中普通语言数学语言翻译符号系统部实施转换说恒等变形消法换元法数形结合法求值求范围问题等等体现等价转化思想更常函数方程等式间进行等价转化说等价转化恒等变形代数式方面形变升保持命题真假变样性灵活性合理设计转化途径方法避免死搬硬套题型
数学操作中实施等价转化时遵循熟悉化简单化直观化标准化原遇问题通转化变成较熟悉问题处理者较繁琐复杂问题变成较简单问题超越式代数式理式理式分式整式…等者较难解决较抽象问题转化较直观问题便准确握问题求解程数形结合法者非标准型标准型进行转化原进行数学操作转化程省时省力水推舟常渗透等价转化思想提高解题水力
Ⅰ现性题组：
1 f(x)R奇函数f(x＋2)＝f(x)0≤x≤1时f(x)＝xf(75)等_____
A 05 B －05 C 15 D －15
2设f(x)＝3x－2f[f(x)]等______
A B 9x－8 C x D
3 mnpq∈Rm＋n＝ap＋q＝bab≠0mp＋nq值______
A B C D
4 果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2|z＋ｉ＋1|值______
A 1 B C 2 D
5 设椭圆＋＝1 （a>b>0）半焦距c直线l(0a)(b0)已知原点l距离等c椭圆离心率_____
A B C D
6 已知三棱锥SABC三条侧棱两两垂直SA＝5SB＝4SC＝3DAB中点EAC中点四棱锥SBCED体积_____
A B 10 C D
简解1题：已知转化周期2f(75)＝f(05)＝－f(05)选B
2题：设f(x)＝y互反函数值域定义域关系选C
3题：mp＋nq≤＋容易求解选A
4题：复数模意义利数形结合法求解选A
5题：ab＝×变形12e－31e＋7＝0解出e选B
6题：S＝S三棱椎等体积转化容易求选A
Ⅱ示范性题组：
例1 xyz∈Rx＋y＋z＝1求(－1)( －1)( －1)值
分析已知x＋y＋z＝1联想求式变形含代数式x＋y＋z者运均值等式含xyz形式关键求式进行合理变形等价转化
解(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)
＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
注求式进行等价变换：先通分整理分子拆分问题转化求＋＋值难均值等式进行解决题属代数恒等变形题型代数式形变中保持值变
例2 设xy∈R3x＋2y＝6x求x＋y范围
分析 设k＝x＋y代入消y转化关x方程实数解时求参数k范围问题中注意隐含条件x范围
解6x－3x＝2y≥00≤x≤2
设k＝x＋yy＝k－x代入已知等式：x－6x＋2k＝0
k＝－x＋3x称轴x＝3
0≤x≤2k∈[04]
x＋y范围：0≤x＋y≤4
解 数形结合法（转化解析问题）：
3x＋2y＝6x(x－1)＋＝1表示图示椭圆顶点坐标原点x＋y范围椭圆点坐标原点距离方图知值0距离点原点圆心圆椭圆相切切点设圆方程x＋y＝k代入椭圆中消yx－6x＋2k＝0判式△＝36－8k＝0k＝4x＋y范围：0≤x＋y≤4
解 三角换元法已知式求式进行三角换元（转化三角问题）：
3x＋2y＝6x(x－1)＋＝1设
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[04]
x＋y范围：0≤x＋y≤4
注题运种方法进行解答实现种角度转化联系知识点助提高发散思维力题利均值换元法进行解答种方法运分代数问题转化问题属问题转换题型
例3 求值：ctg10°－4cos10°
分析分析求值式子估计两条途径：函数名化相二非特殊角化特殊角
解ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝＝＝
（基程：切化弦→通分→化名→拆项→差化积→化名→差化积）
解二ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝
＝＝＝
（基程：切化弦→通分→化名→特值代入→积化→差化积）
解三ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝
＝＝
（基程：切化弦→通分→化名→拆角80°→差角公式）
注条件三角求值问题高考中常见题型变换程等价转化思想体现种题型属三角变换型般三角恒等变换需灵活运角三角函数关系式诱导公式差角公式倍半角公式积互化公式万公式常手段：切割化弦拆角次升次积互化异名化名异角化角化特殊角等等掌握变换通法活2公式攻克三角恒等变形道难关
例4 已知f(x)＝tgxx∈(0 )xx∈(0 )x≠x
求证：[f(x)＋f(x)]>f() （94年全国高考）
分析问题着手进行思考运分析法步步探求问题成立充分条件
证明[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg
(＋)> >
1＋cos(x＋x)>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosx
cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－x)<1
已知显然cos(x－x)<1成立[f(x)＋f(x)]>f()
S
A M
D N C
B
注 题分析法证明数学问题程中步实施等价转化种题型属分析证明型
例5 图三棱锥SABC中S底面射影N位底面高CDM侧棱SC点截面MAB底面成角等∠NSC求证：SC垂直截面MAB（83年全国高考）
分析 三垂线定理容易证明SC⊥AB面SDNC中利面知识证明SC⊥DM
证明已知：SN⊥底面ABCAB⊥CDCD斜线SC底面AB射影
∴ AB⊥SC
∵ AB⊥SCAB⊥CD
∴ AB⊥面SDNC
∴ ∠MDC截面MAB底面成二面角
已知∠MDC＝∠NSC
∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
SC⊥DM
SC⊥截面MAB
注立体中问题证明转化面证明解决考虑面证明时运面知识
Ⅲ巩固性题组：
1 正方形ABCD正方形ABEF成90°二面角ACBF成角_____
A 45° B 60° C 30° D 90°
2 函数f(x)＝|lgx|0
A ab≤1 B ab<1 C ab>1 D a>1b>1
3 [－] (n∈N)值______
A B C 0 D 1
4 (a＋b＋c)展开式项数_____
A 11 B 66 C 132 D 3
5 已知长方体ABCDA’B’C’D’中AA’＝AD＝1AB＝顶点A截面A’BD距离_______
6 已知点M(3cosx3sinx)N(4cosy4siny)|MN|值_________
7 函数y＝＋值域____________
8 等式log（x＋x＋3）>log(x＋2)解____________
9．设x>0y>0求证：(x＋y)>(x＋y) (86年海高考)
10 x∈[0 ]时求cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立实数m取值范围
11 设△ABC三角ABC边分abc三边abc次成等差数列求复数z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]辐角值argz值
12 已知抛物线C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)实数tx轴交P(10)点设抛物线Cx轴交点Q(m0)求m取值范围
第三章 高考热点问题解题策略
数学高考坚持两利（利高校选拔新生利中学教学）指导思想严格遵循考试说明规定容超纲力超规定层次（解理解掌握灵活综合运）考查三基（基础知识基技基技巧）四种力（逻辑思维力运算力空间想象力分析解决问题力）时侧重考查教材中容数学思想方法应意识特突出考查数学学科思维力
函数均年占高考总分138％考查知识背景幂指般函数概念定义域值域反函数函数性质函数单调性奇偶性周期性函数图等
三角函数均年占高考总分126％考查知识背景三角函数概念性质关公式应常规题居
解（证）等式均年占高考总分112％考查知识背景等式性质定理立数列中值问题解中范围问题
数列极限数学纳法均年占高考总分138％考查知识背景等差（）数列概念计算公式数列极限概念求法
线面间位置关系均年占高考总分118％考查知识背景线面间行垂直性质判定关概念年均阅读理解型试题
圆锥曲线均年占高考总分117％考查知识背景圆锥曲线定义性质解中基数学思想方法
1993年—1999年高考试题中常数学方法年考常数学思想方法考查频率明显提高探索性力题年年考应性问题考查力度断加阅读理解力题渗透
年高考命题选择题继续保持14题题量分15题题4分614题题5分适降低23题难度控制语言抽象水填空题保持19971999年水4题左右题4分难度中等题计算题计算量会加相99年高考2000高考适降低试卷难度进步加强思维力考查
进步注重通性通法考查继续突出体容（函数方程等式数列圆锥曲线等）淡化某宜升温知识（递推数列复数立体等）做新高中教材渡准备
应题适控制建模力难度考查减少普通语言转译数学语言难度注意贴生活注意课探索性综合题信息迁移题增加难度数列综合题纳猜想形式
应问题
应问题考试求考查考生应意识运数学知识方法分析问题解决问题力求分解三点：
1求考生关心国家事解信息社会讲究联系实际重视数学生产生活科学中应明确数学数学积累处理实际问题验
2考查理解语言力求考生够普通语言中捕捉信息普通语言转化数学语言数学语言工具进行数学思维交流
3考查建立数学模型初步力运考试说明规定数学知识方法求解
应题考生弱点表现实际问题转化成数学问题力实际问题转化数学问题关键提高阅读力数学审题力审出函数方程等式等式求读懂材料辨析文字叙述反应实际背景领悟背景中概括出数学实质抽象中数量关系文字语言叙述转译成数学式符号语言建立应数学模型解答说解答应题重点三关：事理关读懂题意需定阅读理解力二文理关文字语言转化数学符号语言三数理关构建相应数学模型构建需扎实基础知识较强数理力
求解应题般步骤（四步法）：
1读题：读懂深刻理解译数学语言找出关系
2建模：关系似化形式化抽象成数学问题
3求解：化常规问题选择合适数学方法求解
4评价：结果进行验证评估错误加调节结果应现实作出解释验证
年高考中常涉数学模型类型：数列模型函数模型等式模型三角模型排列组合模型等等
Ⅰ性性题组：
1某种细菌培养程中20分钟分裂次（分裂两）3时种细菌1繁殖成______(94年全国高考)
A 511 B 512 C 1023 D 1024
2图墙边篱笆围成长方形场行边篱笆隔开已知篱笆总长定值L块场长_______时场面积面积_________(82年全国高考)
3圆柱轴截面周长L定值圆柱体积值_______(93年全国高考)
A ()π B ()π C ()π D 2()π
4半径30m圆形广场中央空置明光源射面光呈圆锥形轴截面顶角120°光源恰亮整广场高度应_______(精确01m) (93年全国高考)
5甲乙丙丁四公司承包8项工程甲公司承包3项乙公司承包1项丙丁公司承包2项_______种承包方式(86年全国高考)
简解1题：答案B
2题：设长x面积S＝x×≤()答案：长面积
3题：V＝πr＝πr(－2r)≤π()选A
4题：＝tg60°h＝10≈173
5题：CCC＝1680
Ⅱ示范性题组：
例1．某现耕10000公顷规划10年粮食单产现增加22％均粮食产量现提高10％果口年增长率1％耕年减少少公顷（精确1公顷）？ （96年全国高考）
（粮食单产＝ 均粮食产量＝）
分析题关系国计民生耕口粮食背景出两组数求考生两条线索抽象数列模型然进行较决策
解1读题：问题涉耕面积粮食单产均粮食占量总口数三百分率中均粮食占量P＝ 关系：P≥P
2建模：设耕面积均年减少x公顷现粮食单产a吨／公顷现口数m现占量10年粮食单产a(1＋022)口数m(1＋001)耕面积（10－10x）
∴ ≥（1＋01）
122（10－10x）≥11×10×（1＋001）
3求解： x≤10－×10×（1＋001）
∵ （1＋001）＝1＋C×001＋C×001＋C×001＋…≈11046
∴ x≤10－9959≈4（公顷）
4评价：答案x≤4公顷符合控制耕减少国情验算破作答（答略）
解1读题：粮食总产量＝单产×耕面积 粮食总占量＝均占量×总口数
关系： 粮食总产量≥粮食总占量
2建模：设耕面积均年减少x公顷现粮食单产a吨／公顷现口数m现占量10年粮食单产a(1＋022)口数m(1＋001)耕面积（10－10x）
∴ a(1＋022)×(1O－10x)≥×(1＋01)×m(1＋001)
3求解： x≤10－×10×（1＋001）
∵ （1＋001）＝1＋C×001＋C×001＋C×001＋…≈11046
∴ x≤10－9959≈4（公顷）
4评价：答案x≤4公顷符合控制耕减少国情验算破作答（答略）
注题抓住量间关系注重3百分率中耕面积等差数列总口数等数列模型问题等式模型求解题两种解法建立等式模型建立时意义求灵活掌握求指数函数等式增长率二项式定理应似计算等知识熟练种解法解决关统筹安排佳决策优化等问题种题型属等式模型作数列模型相求解程建立等式模型解出等式
解答应问题时强调评价步少解题者调节题求解程中令101≈1算结果x≤98公顷然会问：耕减少符合国家保持耕政策？进行调控检查发现错101似计算
例2．已知某市1990年底口100万均住房面积5m果该市年口均增长率2％年均新建住房面积10万m试求2000年底该市均住房面积（精确001）？（91年海高考）
分析城市年口数成等数列年住房总面积成等数列分写出2000年口数住房总面积计算均住房面积
解1读题：关系：均住房面积＝
2建模：2000年底均住房面积
3求解：化简式＝
∵ 102＝1＋C×002＋C×002＋C×002＋…≈1219
∴ 均住房面积≈492
4评价：答案492符合城市实际情况验算正确2000年底该市均住房面积492m
注般涉利率产量降价繁殖等增长率关实际问题通观察分析纳出数成等差数列等数列然两基础数列知识进行解答种题型属应问题中数列模型
例3．甲乙两相距S千米汽车甲匀速行驶乙速度超c千米／时已知汽车时运输成（元单位）变部分固定部分组成：变部分速度 v（千米／时）方成正例系数b固定部分a元
① 全程运输成y（元）表示速度v（千米／时）函数指出函数定义域
② 全程运输成汽车应速度行驶？ （97年全国高考）
分析变量（运输成速度固定部分）相互关联抽象出中函数关系求函数值
解（读题）关系：运输总成＝时运输成×时间
（建模）y＝(a＋bv)
（解题）全程运输成y（元）表示速度v（千米／时）函数关系式：y＝S(＋bv)中函数定义域v∈(0c]
整理函数y＝S(＋bv)＝S(v＋)
函数y＝x＋ (k>0)单调性：
综述全程成y
A
M C D B
例4．图假设河条岸边直线MNAC⊥MNC点BDMN现货物A陆AD水陆BD运B已知AC＝10kmBC＝30km陆单位距离运价水陆单位距离运价2倍运费少D点应选距C点远处？
分析设∠ADC＝αADBCα表示进运费表示成α函数求运费值等
解设∠ADC＝αAD＝BD＝30－10ctgα
设水路km运费1运费y＝(30－10ctgα)＋2×
＝10(3－＋)＝10(3＋)
设t＝t×sinα＋cosα＝2sin(α＋θ)＝2
∴≥2t≥
t＝时2－cosα＝sinαsinα＋cosα＝1
∴ sin(α＋30°)＝1α＝60°
∴ CD＝10ctgα＝km
综述D点应选距C点km时运费少
注作工具学科三角跨学科应特点少物理学工程测量航海航空等应题转化三角函数解决者运解三角形中基知识手段进行解答种题型属应问题中三角模型
解答应问题中常见种模型：函数模型等式模型数列模型三角模型外种应问题模型：排列组合关应问题特征较明显属排列组合模型解答时定分清楚分类分步排列组合否重复遗漏光学力学轨迹等关方面应问题通建立适坐标系运曲线知识建立数学模型解答曲线研究二次曲线称二次曲线模型
Ⅲ巩固性题组：
1某商品降价10％欲恢复原价应提价______
A 10％ B 9％ C 11％ D 11％
2某工厂年12月月厂值a已知月均增长率P年12月厂值年期增加倍数______
A (1＋P)－1 B (1＋P) C (1＋P) D 12P
3半径R木球加工成正方形木块木块体积______
A R B R C R D R
4北纬45°圈甲乙两分东50°140°圈设球半径R甲乙两球面距离______
A πR B πR C R D πR
5某种商品分两次提价三种提价方案方案甲：第次提价p％第二次提价q％方案乙：第次提价q％第二次提价p％方案丙：第次提价％第二次提价％已知p>q>0述三方案中______
A方案甲提价 B方案乙提价 C方案丙提价 D
6假设国家收购某种农产品价格120元／担中征税标准100元征8元（税率8百分点8％）计划收购m万担减轻农民负担决定税率降低x百分点预计收购量增加2x百分点 ① 写出税收y（万元）x函数关系式 ② 项税收税率调节低原计划78％试确定x范围
7某单位分期付款方式职工购买40套住房需1150万元购买天先付150万元月天交付50万元加付欠款利息月利率1％交付150万元第月开始算分期付款第月问分期付款第10月应该付少钱？全部货款付清买40套住房实际花少钱？
A
O 水面
8公园建造圆形喷水池水池中央垂直水面安装花形柱子OAO恰水面中心OA＝125米安置柱子顶端A处喷头外喷水水流方形状相抛物线路径落OA面抛物线路径图示水流形状较漂亮设计成水流OA距离1米处达距水面高度225米果计素水池半径少少米喷出水流致落池外？（97年海高考）
9电灯挂圆桌正中央空光学定律指出：桌边A处度I射点A光线桌面夹角θ正弦成正点A光源距离方成反已知桌面半径r＝05米电灯离桌面1米时桌边A处度I ① 试度I表示角θ函数 ② 样选择电灯悬挂高度h桌边处亮？
10国际足联规定法国世界杯决赛阶段赛场长105米宽68米足球门宽732米高244米试确定边锋佳射门位置（边锋足球场长边移动佳射门位置应边锋足球门水视角θ） （精确1米）
二探索性问题
年着社会义济建设迅速发展求学校应试教育素质教育转化培养全面发展开拓型创造型种求数学教学中开放型问题产生探索性问题成年高考命题中热点问题高等学校选拔高素质材需中学数学教学培养学生具创造力开拓力务求实际学生学数学知识时知识形成程观察分析纳类猜想概括推证探索程探索方法学生应该学掌握数学教育重方
般出明确条件没明确结者结稳定需探索者通观察分析纳出结判断结问题（探索结）者出问题明确结条件足未知需解题者寻找充分条件加证明问题（探索条件）称探索性问题外探索性问题改变条件探讨结相应发生变化者改变结探讨条件相应发生变化者出实际中数通分析探讨解决问题
探索性问题般种类型：猜想纳型存型问题分类讨型
猜想纳型问题指问题没出结时需特殊情况入手进行猜想证明猜想般性结思路：条件出发通观察试验完全纳猜想探讨出结然利完全纳理求结进行证明体现解答数列中等n关数学问题
存型问题指结确定问题数学命题中结常否存形式出现结果存需找出存需说明理解答类问题时先假设结存推矛盾结确定存推证出矛盾结存代数三角中出现种探讨否存类型问题
分类讨型问题指条件者结确定时情况进行分类讨找出满足条件条件结种题型常见含参数问题者情况种问题
探索性问题高层次考查学生创造性思维力新题型正确运数学思想方法解决类问题桥梁导通常需综合运纳猜想函数方程数形结合分类讨等价转化非等价转化等数学思想方法解决学中重视问题训练提高思维力开拓力
Ⅰ现性题组：
1否存常数abc等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)切然数n成立？证明结 （89年全国理）
2已知数列……S前n项求SSSS推测S公式数学纳法证明 （93年全国理）
简解1题：令n＝123代入已知等式列出方程组解a＝3b＝11c＝10猜测abc值n∈N成立运数学纳法进行证明（属否存型问题属猜想纳型问题）
2题：计算S＝S＝S＝S＝观察猜测S＝运数学纳法进行证明
Ⅱ示范性题组：
例1已知方程kx＋y＝4中k实数范围k值分指出方程代表图形类型画出曲线简图（78年全国高考题）
分析圆椭圆双曲线等方程具体形式结合方程kx＋y＝4特点参数k分k>1k＝10
② k＝1时表示圆圆心原点r＝2
③ 0
⑤ k<0时表示双曲线中心原点焦点y轴
y y y y y
x x x x x
五种情况简图次示：
注分类讨型问题情况分类讨找出满足条件条件结
例2定双曲线x－＝1 ① 点A(20)直线L双曲线交PP求线段PP中点P轨迹方程 ② 点B(11)否作直线mm双曲线交两点QQ点B线段QQ中点？样直线m果存求出方程果存说明理（81年全国高考题）
分析两问设直线L点斜式方程双曲线方程联立成方程组解直线双曲线交点坐标韦达定理求解中点坐标等
解① 设直线L：y＝k(x－2)
∴ 消y(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0
∴ x＋x＝ ∴x＝ 代入直线L：y＝
∴ 消k2x－4x－y＝0－＝1
线段PP中点P轨迹方程：－＝1
② 设求直线m方程：y＝k(x－1)＋1
∴ 消y(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0
∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2
代入消y方程计算：△<0 ∴满足题中条件直线m存
注题综合性较强解析知识进行横综合直线曲线交点问题关交点弦长中点问题般利韦达定理根判式求解题属存型问题般解法：假设结存推矛盾结确定存推证出矛盾结存解题思路中分析法反证法起关键作类问题般先列出条件组通等价转化解组
例3设{a}正数组成数列前n项S然数na2等差中项等S2等中项 ① 写出数列{a}前3项 ② 求数列{a}通项公式（写出推证程） ③ 令b＝（＋） (n∈N)求(b＋b＋…＋b－n)(94年全国高考题)
分析题意容易＝求aaa通观察猜想a数学纳法证明求出a代入难求出b求求极限
解① ∵ ＝＝ ∴ a＝2
∵ ＝＝＝ ∴ a＝6
∵ ＝＝＝ ∴a＝10
数列{a}前3项次2610
② 数列{a}前3项次2610猜想a＝4n－2
面数学纳法证明a＝4n－2：
n＝1时通项公式成立
假设n＝k时结成立a＝4k－2
题意＝a＝4k－2代入：S＝2k
n＝k＋1时题意＝＝
∴ ()＝2(a＋2k) a－4a＋4－16k＝0
a>0解a＝2＋4k＝4(k＋1)－2
n＝k＋1时结成立
综述述结然数n成立
③ 设c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）
＝[（－1）＋(－1)]＝－
b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－
∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1
注题求数列通项公式属猜想纳型问题般思路：简单特殊情况出发推测出结进行严格证明第③问极限求解裂项相消法设立新数列c具定技巧性
外题第②问数列通项公式求解属出数列中Sa函数关系式求a类问题直接求解解答思路a＝S－S关系转化数列通项间递推关系发现数列特征者通构造新数列求解具体解答程：
题意＝整理S＝(a＋2)S＝(a＋2)
∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)]
整理(a＋a)( a－a－4)＝0
题意a>0：a－a－4＝0a－a＝4
∴数列{a}等差数列中a＝2公差d＝4通项公式a＝4n－2
例4已知x>0x≠1x＝ (n∈N)较xx(86年全国理)
分析较xx采作差法判差式符号式分情况讨
解x－x＝－x＝
x>0数列{x}定义知x>0x－x1－x符号相
假定x<1n＝1时1－x>0假设n＝k时1－x>0n＝k＋1时
1－x＝1－[]＝>0切然数n1－x>0x
1－x＝1－[]＝<0切然数n1－x<0x
切然数nx
Ⅲ巩固性题组：
1 设{a}正数组成等数列S前n项 ① 证明：
①求数列{b}通项 ②设数列{a}通项a＝lg(1＋)记S数列{a}前n项试较Slgb证明结（98年全国高考题）
3否存abca＝an＋bn＋c满足a＝13S＝(n＋2)a切然数n成立（中S＝a＋a＋…＋a）？试证明结
4已知P＝(1＋x)Q＝1＋nx＋xn∈Nx∈(1+∞)较PQ
5已知数列{a}满足关系式a＝a (a>0)a＝ (n≥2n∈N)
① a表示aaa ② 猜想a表达式证明结
A y
B O C x
6△ABC中∠A∠B∠C边分abcbac成等差数列b≥c已知B(10)C(10)
① 求顶点A轨迹L
② 否存直线mm点B曲线L交两点PQ|PQ|恰等原点O直线m距离倒数？存求出m方程存说明理
P
N
B M A
C D
7图已知矩形ABCDPA⊥面ABCDMN分ABPC中点
① 求证：MN⊥AB
② 面PDC面ABCD成二面角θ否确定θ直线MN异面直线ABPC公垂线？确定求出θ值确定说明理
三选择题解答策略
年高考数学试题中选择题稳定14～15道题分值65分占总分433高考选择题注重知识点型综合渗逶种数学思想方法体现基础知识求深度考基础考力导作中低档题选择题成具备较佳区分度基题型否选择题获取高分高考数学成绩影响重解答选择题基策略准确迅速
准确解答选择题先决条件选择题设中间分步失误造成错选全题分应仔细审题深入分析正确推演谨防疏漏初选认真检验确保准确
迅速赢时间获取高分必条件高考中考生适应力型考试致超时失分造成低分素选择题答题时间应该控制超50分钟左右速度越快越高考求道选择题1～3分钟解完
选择题考查基础知识理解基技熟练基计算准确基方法运考虑问题严谨解题速度快捷等方面否达考试说明中解理解掌握三层次求历年高考选择题采四选型选择项中正确包括两部分：题干完整陈述句疑问句构成备选答案通常四选项ABCD组成
选择题特殊结构决定具相应特殊作特点：选择题需写出运算推理等解答程试卷配选择题时增加试卷容量扩考查知识覆盖面阅卷简捷评分客观定程度提高试卷效度信度侧重考查学生否迅速选出正确答案解题手段拘常规利考查学生选择判断力选择支中包括学生常犯概念错误运算推理错误具较迷惑性
般解答选择题策略：① 熟练掌握种基题型般解法② 结合高考单项选择题结构（四选指令题干选择项构成）求书写解题程特点灵活运特例法筛选法图解法等选择题常解法技巧③ 挖掘题目性寻求简便解法充分利选择支暗示作迅速作出正确选择
Ⅰ示范性题组：
直接法：
直接题设条件出发运关概念性质定理法等知识通推理运算出结选择项中选正确答案方法直接法
例1（96年高考题）sinx>cosxx取值范围______
A．{x|2k－
解直接解三角等式：sinx>cosxcosx－sinx<0cos2x<0： ＋2kπ<2x<＋2kπ选D
解数形结合法：已知|sinx|>|cosx|画出单位圆：
利三角函数线知选D
例2（96年高考题）设f(x)(－∞∞)奇函数f(x＋2)＝－f(x)0≤x≤1时f(x)＝xf(75)等______
A 05 B －05 C 15 D －15
解f(x＋2)＝－f(x)f(75)＝－f(55)＝f(35)＝－f(15)＝f(－05)f(x)奇函数f(－05)＝－f(05)＝－05选B
f(x＋2)＝－f(x)周期T＝4f(75)＝f(－05)＝－f(05)＝－05
例3（87年高考题）七排站成行果甲乙两必需相邻排法种数_____
A 1440 B 3600 C 4320 D 4800
解排法：七排站成行总排法P种中甲乙两相邻排法2
×P种甲乙两必需相邻排法种数：P－2×P＝3600应选B
解二插空法：P×P＝3600
直接法解答选择题常基方法低档选择题法迅速求解直接法适范围广运算正确必出正确答案提高直接法解选择题力准确握中档题目性简便方法巧解选择题建扎实掌握三基基础否味求快会快中出错
二 特例法：
特殊值(特殊图形特殊位置)代题设普遍条件出特殊结选项进行检验作出正确判断方法特例法常特例特殊数值特殊数列特殊函数特殊图形特殊角特殊位置等
例4(97年高考题)定义区间(∞∞)奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间[0+∞）图象f(x)图象重合设a>b>0出列等式①f(b)－f(a)>g(a)－g(b)②f(b)－f(a)
解令f(x)＝xg(x)＝|x|a＝2b＝1：f(b)－f(a)＝1－(－2)＝3 g(a)－g(b)＝2－11①式正确f(a)－f(b)＝2－（－1）＝3 g(b)－g(a)＝1－2＝－1③式正确选C
解直接法：f(b)－f(a)＝f(b)＋f(a)g(a)－g(b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)①式正确f(a)－f(b)＝f(a)＋f(b)g(b)－g(a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)③式正确选C
例5（85年高考题）果n正偶数C＋C＋…＋C＋C＝______
A 2 B 2 C 2 D (n－1)2
解特值法：n＝2时代入C＋C＝2排答案ACn＝4时代入C＋C＋C＝8排答案D选B
解直接法：二项展开式系数性质C＋C＋…＋C＋C＝2选B
正确选择象题设普遍条件成立情况特殊值（取愈简单愈）进行探求清晰快捷正确答案通特殊情况研究判断般规律解答类选择题佳策略年高考选择题中结合特例法解答约占30％左右
三 筛选法
题设条件出发运定理性质公式推演根四选指令逐步剔干扰项出正确判断方法筛选法剔法
例6（95年高考题）已知y＝log(2－ax)[01]x减函数a取值范围_____
A [01] B (12] C (02) D [2+∞)
解∵ 2－ax[01]减函数a>1排答案ACa＝22－ax>0x<1[01]符合排答案C选B
例7（88年高考题）抛物线y＝4x焦点作直线抛物线相交两点PQ线段PQ中点轨迹方程______
A y＝2x－1 B y＝2x－2 C y＝－2x＋1 D y＝－2x＋2
解筛选法：已知知轨迹曲线顶点(10)开口右排答案ACD选B
解直接法：设焦点直线y＝k(x－1)消y：
kx－2(k＋2)x＋k＝0中点坐标消ky＝2x－2选B
筛选法适应定性型易直接求解选择题题目中条件时先根某条件选择支中找出明显矛盾予否定根条件缩选择支范围找出矛盾样逐步筛选直出正确选择特例法图解法等结合解选择题常方法年高考选择题中约占40％
四 代入法：
选择项逐代入题设进行检验获正确判断方法代入法称验证法选择支分作条件验证命题命题成立选择支应选答案
例8（97年高考题）函数ysin(－2x)＋sin2x正周期_____
A． B C 2 D 4
解代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)
f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x)应选B
解直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)T＝π选B
例9（96年高考题）母线长1圆锥体积时侧面展开图圆心角等_____
A B C D
解代入法：四选项次代入求r分：求h分：计算体积取者选D
解直接法：设底面半径rV＝πr＝π≤…
中＝r＝＝2π／1＝选D
代入法适应题设复杂结简单选择题题意确定代入序较提高解题速度
五 图解法：
题设条件作出研究问题曲线关图形助图形直观性作出正确判断方法图解法数形结合法
例10（97年高考题）椭图C椭圆＋＝1关直线x＋y＝0称椭圆C方程_____
A．＋＝1 B ＋＝1
C ＋＝1 D ＋＝1
解图解法：作出椭圆称椭圆C中心焦点位置容易选A
解直接法：设椭圆C动点(xy)称点(－y－x)代入已知椭圆方程＋＝1整理求曲线C方程选A
例11（87年高考题）圆x＋y＝4直线4x＋3y－120距离点坐标_____
y
O x
A （） B (－) C (－) D (－－)
解图解法：直角坐标系中作出圆x＋y＝4直线4x＋3y－120图知距离点第象限选A
直接法先求原点垂线已知直线相交
M i
2
例12已知复数z模2 |z－ｉ| 值_______
A 1 B 2 C D 3
解图解法：复数模意义画出右图知圆点M距离时|z－ｉ|选D
解等式法代数法三角法：
|z－ｉ|≤|z|＋|ｉ|＝3选D
数形结合助图形直观性迅速作正确判断高考考查重点97年高考选择题直接图形关数形结合思想求解题目约占50％左右
考试角度解选择题选行什方法甚猜测时做题时量弄清选择支正确理错误原样会高考时充分利题目身提供信息化常规特殊避免题作真正做熟练准确快速利完成三层次目标务
Ⅱ巩固性题组：
1（86年高考题）函数y＝（）＋1反函数______
A y＝logx＋1 （x>0） B y＝log5＋1 （x>0x≠1）
C y＝log(x－1) (x>1) D y＝logx－1 (x>1)
2（90年高考题）已知f(x)＝x＋ax＋bx－8f(－2)＝10f(2)等_____
A －26 B －18 C －10 D 10
3凸边形角角成等差数列公差边形边数_____
A 9 B 16 C 916 D 1625
4设abc实数cos2x＝acosx＋bcosx＋c恒成立a＋b＋c＝______
A 2 B 3 C 4 D 5
5ab意实数a>b______
A a>b B <1 C lg(a－b)>0 D （）<()
6果方程x＋ky＝2表示焦点y轴椭圆实数k取值范围_____
A (0+∞) B (02) C (1+∞) D (01)
7中心原点准线方程x＝±4离心率椭圆方程______
A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋y＝1 D x＋＝1
8已知正三棱台底面边长分24高2中截面截较部分体积_____
A B C D
9α＝arg(2＋ｉ)β＝arg(－3＋ｉ)β－α等______
A B C － D －
10 (95年高考题)等差数列{a}{b}前n项分ST＝等______
A 1 B C D
四填空题解答策略
填空题种传统题型高考试卷中常见题型年高考定数量填空题稳定4题左右题4分16分越占全卷总分11％
填空题填充题数学真命题写成中缺少语句完整形式求学生指定空位缺少语句填写清楚准确完整陈述句形式填写词语数字符号数学语句等
根填空时填写容形式填空题分成两种类型：
定量型求学生填写数值数集数量关系：方程解等式解集函数定义域值域值值线段长度角度等等填空题选择题相缺少选择支信息高考题中数定量型问题出现
二定性型求填写具某种性质象者填写定数学象某种性质：定二次曲线准线方程焦点坐标离心率等等
填空题求学生书写推理者演算程求直接填写结果选择题样够短时间作答加高考试卷卷面知识容量时考查学生数学概念理解数量问题计算解决力推理证力解答填空题时基求：正确迅速合理简捷般讲道题应力争1～3分钟完成填空题求填写结果道题填满分填错零分考生填空题失分般选择题解答题严重必探讨填空题解答策略方法
Ⅰ示范性题组：
直接推演法：
直接法根数学概念者运数学定义定理法公式等已知条件出发进行推理者计算出结果结填入空位处解填空题基常方法
例1（94年高考题）已知sinθ＋cosθ＝θ∈(0π)ctgθ值
解已知等式两边方sinθcosθ＝－解方程组sinθ＝cosθ＝答案：－
解设tg＝t利万公式求解
例2（95年高考题）方程log(x＋1)＋log(x＋1)＝5解
解换底公式4log(x＋1)＋log(x＋1)＝5log(x＋1)＝1解x＝3
二特值代入法：
填空题已知条件中含某确定量题目暗示答案定值时变量取特殊数值特殊位置者种特殊情况求出定值样简化推理证程
例3（89年高考题）已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋axa＋a＋…＋a＝
解令x＝1（－1）＝a＋a＋a＋…＋a＝－1令x＝0a＝1a＋a＋…＋a＝－1－1－2
例4（90年高考题）三棱柱ABC—A’B’C’中EF分ABAC中点面EB’C’F三棱柱分成体积VV两部分VV＝
解题意分析结三棱柱具体形状关取特殊直三棱柱底面积4高1体积V＝4V＝（1＋＋4）V＝V－V＝VV＝75
三图解法：
计算程复杂代数三角解析问题作出关函数图者构造适图形利图示辅助进行直观分析出结数形结合解题方法
y
O 2 x
例5等式>x＋1解集
解图坐标系中画出函数y＝y＝x＋1图图中直观：－≤x<2求解集[－2)
y
O 1 3|k| x
例6（93年高考题）双曲线－＝1圆x＋y＝1没公点实数k取值范围
解坐标系中作出双曲线－＝1圆x＋y＝1双曲线顶点位置坐标|3k|>1求实数k取值范围k>k<－
Ⅱ巩固性题组：
1
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