学数学典型应题
目 录
01 问题 3
02 总问题 3
03 差问题 4
04 倍问题 6
05 差倍问题 7
06 倍问题 8
07 相遇问题 9
08 追问题 10
09 植树问题 12
10 年龄问题 13
11 行船问题 15
12 列车问题 16
13 时钟问题 18
14 盈亏问题 19
15 工程问题 20
16 正反例问题 22
17 例分配问题 24
18 百分数问题 25
19 牛吃草问题 27
20 鸡兔笼问题 28
21 方阵问题 30
22 商品利润问题 31
23 存款利率问题 33
24 溶液浓度问题 33
25 构图布数问题 35
26 幻方问题 36
27 抽屉原问题 37
28 公约公倍问题 38
29 值问题 39
30 列方程问题 41
学数学中含数量关系实际问题语言文字叙述出样形成题目做应题道应题两部分构成第部分已知条件（简称条件）第二部分求问题（简称问题）应题条件问题组成应题结构
应题分般应题典型应题
没特定解答规律两步运算应题做般应题
题目中特殊数量关系特定步骤方法解答应题做典型应题
资料研究30类典型应题：
1问题
2总问题
3差问题
4倍问题
5差倍问题
6倍问题
7相遇问题
8追问题
9植树问题
10年龄问题
11行船问题
12列车问题
13时钟问题
14盈亏问题
15工程问题
16正反例问题
17例分配
18百分数问题
19牛吃草问题
20鸡兔笼问题
21方阵问题
22商品利润问题
23存款利率问题
24溶液浓度问题
25构图布数问题
26幻方问题
27抽屉原问题
28公约公倍问题
29值问题
30列方程问题
01 问题
含义 解题时先求出份少（单量）然单量标准求出求数量类应题做问题
数量关系 总量÷份数＝1份数量 1份数量×占份数＝求份数量
总量÷（总量÷份数）＝求份数
解题思路方法 先求出单量单量标准求出求数量
例1 买5支铅笔06元钱买样铅笔16支需少钱？
解（1）买1支铅笔少钱？ 06÷5＝012（元）
（2）买16支铅笔需少钱？012×16＝192（元）
列成综合算式 06÷5×16＝012×16＝192（元）
答：需192元
例2 3台拖拉机3天耕90公顷样计算5台拖拉机6 天耕少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
（2）5台拖拉机6天耕少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
答：5台拖拉机6 天耕300公顷
例3 5辆汽车4次运送100吨钢材果样7辆汽车运送105吨钢材需运次？
解 （1）1辆汽车1次运少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次运少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需运次？ 105÷35＝3（次）
列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需运3次
02 总问题
含义 解题时常常先找出总数量然根条件算出求问题总问题谓总数量指货物总价时（天）总工作量公亩总产量时行总路程等
数量关系 1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数
总量÷份数＝份数量
解题思路方法 先求出总数量根题意出求数量
例1 服装厂原做套衣服布32米改进裁剪方法套衣服布28米原做791套衣服布现做少套？
解 （1）批布总少米？ 32×791＝25312（米）
（2）现做少套？ 25312÷28＝904（套）
列成综合算式 32×791÷28＝904（套）
答：现做904套
例2 华天读24页书12天读完红岩书明天读36页书天读完红岩？
解 （1）红岩书总少页？ 24×12＝288（页）
（2）明天读完红岩？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
答：明8天读完红岩
例3 食堂运批蔬菜原计划天吃50千克30天慢慢消费完批蔬菜根家意见天原计划吃10千克批蔬菜吃少天？
解 （1）批蔬菜少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）批蔬菜吃少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：批蔬菜吃25天
03 差问题
含义 已知两数量差求两数量少类应题差问题
数量关系
第种：
（两数－两数差 ）÷ 2＝数
两数－数＝数 数+两数差＝数
第二种：（两数＋两数差）÷ 2 ＝ 数
两数－数＝数 数－两数差＝数
解题思路方法 简单题目直接套公式复杂题目直接告诉两数差进行变通求出两数差公式
例1 甲乙两班学生98甲班乙班6求两班少？
解 甲班数＝（98＋6）÷2＝52（）
乙班数＝（98－6）÷2＝46（）
答：甲班52乙班46
例2 长方形长宽18厘米长宽2厘米求长方形面积
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形面积 ＝10×8＝80（方厘米）
答：长方形面积80方厘米
例3 甲乙丙三袋化肥甲乙两袋重32千克乙丙两袋重30千克甲丙两袋重22千克求三袋化肥重少千克
解 甲乙两袋乙丙两袋含乙中出甲丙（32－30）＝2千克甲数丙数知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克乙袋化肥重20千克丙袋化肥重10千克
例4 甲乙两车原装苹果97筐甲车取14筐放乙车结果甲车乙车3筐两车原装苹果少筐？
解 甲车取14筐放乙车结果甲车乙车3筐说明甲车数乙车数甲乙差（14×2＋3）甲乙97
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车原装苹果64筐乙车原装苹果33筐
04 倍问题
含义 已知两数数数倍（数数分）求两数少类应题做倍问题
数量关系 总 ÷（倍＋1）＝较数 总 － 较数 ＝ 较数
较数 ×倍 ＝ 较数
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 果园里杏树桃树248棵桃树棵数杏树3倍求杏树桃树少棵？
解 （1）杏树少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树62棵桃树186棵
例2 东西两仓库存粮480吨东库存粮数西库存粮数14倍求两库存粮少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（14＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮280吨西库存粮200吨
例3 甲站原车52辆乙站原车32辆天甲站开乙站28辆乙站开甲站24辆天乙站车辆数甲站2倍？
解 天甲站开乙站28辆乙站开甲站24辆相天甲站开乙站（28－24）辆天甲站车辆数作1倍量时乙站车辆数2倍量两站车辆总数（52＋32）相（2＋1）倍天甲站车辆数减少
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
求天数 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天乙站车辆数甲站2倍
例4 甲乙丙三数170乙甲2倍少4丙甲3倍6求三数少？
解 乙丙两数甲数直接关系甲数作1倍量
乙甲2倍少4乙加4乙数变成甲数2倍
丙甲3倍6丙数减6变甲数3倍
时（170＋4－6）相（1＋2＋3）倍
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数28乙数52丙数90
05 差倍问题
含义 已知两数差数数倍（数数分）求两数少类应题做差倍问题
数量关系 两数差÷（倍数－1）＝较数
较数×倍＝较数
较数+差＝较数
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 果园里桃树棵数杏树3倍桃树杏树124棵求杏树桃树少棵？
解 （1）杏树少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树62棵桃树186棵
例2 爸爸子27岁年爸爸年龄子年龄4倍求父子二年少岁？
解 （1）子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二年年龄分36岁9岁
例3 商场改革营理办法月盈利月盈利2倍12万元知月盈利月盈利30万元求两月盈利少万元？
解 果月盈利作1倍量（30－12）万元相月盈利（2－1）倍
月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：月盈利18万元月盈利48万元
例4 粮库94吨麦138吨玉米果天运出麦玉米9吨问天剩玉米麦3倍？
解 天运出麦玉米数量相等剩数量差等原数量差（138－94）天剩麦作1倍量天剩玉米3倍量（138－94）相（3－1）倍
剩麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮天数＝72÷9＝8（天）
答：8天剩玉米麦3倍
06 倍问题
含义 两已知类量中量量干倍解题时先求出倍数倍方法算出求数类应题做倍问题
数量关系 总量÷数量＝倍数 数量×倍数＝总量
解题思路方法 先求出倍数倍关系求出求数
例1 100千克油菜籽榨油40千克现油菜籽3700千克榨油少？
解 （1）3700千克100千克少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）榨油少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：榨油1480千克
例2 年植树节天某学300名师生植树400棵样计算全县48000名师生植树少棵？
解 （1）48000名300名少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）植树少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全县48000名师生植树64000棵
例3 凤翔县年苹果丰收田家庄户家4亩果园收入11111元样计算全乡800亩果园收入少元？全县16000亩果园收入少元？
解 （1）800亩4亩倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩800亩倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园收入2222200元全县16000亩果园收入44444000元
07 相遇问题
含义 两运动物体时两出发相行途中相遇类应题做相遇问题
数量关系 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 南京海水路长392千米时两港开出艘轮船相行南京开出船时行28千米海开出船时行21千米时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（时）
答：8时两船相遇
例2 李刘周长400米环形跑道跑步李秒钟跑5米刘秒钟跑3米点时出发反跑二出发第二次相遇需长时间？
解 第二次相遇理解二跑两圈总路程400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二出发第二次相遇需100秒时间
例3 甲乙二时两骑行车相行甲时行15千米乙时行13千米两距中点3千米处相遇求两距离
解 两距中点3千米处相遇正确理解题题意关键题中知甲骑快乙骑慢甲中点3千米乙距中点3千米说甲乙走路程（3×2）千米
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（时）
两距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两距离84千米
08 追问题
含义 两运动物体点时出发（者点时出发者点时出发）作运动面行进速度快前面行进速度较慢定时间面追前面物体类应题做追问题
数量关系 追时间＝追路程÷（快速－慢速）
追路程＝（快速－慢速）×追时间
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 马天走120千米劣马天走75千米劣马先走12天马天追劣马？
解 （1）劣马先走12天走少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）马天追劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：马20天追劣马
例2 明亮200米环形跑道跑步明跑圈40秒点时出发跑明第次追亮时跑500米求亮速度秒少米
解 明第次追亮时亮跑圈200米时亮跑（500－200）米知亮速度须知追时间明跑500米时间知明跑200米40秒跑500米〔40×（500÷200）〕秒亮速度 （500－200）÷〔40×（500÷200）〕＝300÷100＝3（米）
答：亮速度秒3米
例3 民解放军追击股逃窜敌敌午16点开始甲时10千米速度逃跑解放军晚22点接命令时30千米速度开始乙追击已知甲乙两相距60千米问解放军时追敌？
解 敌逃跑时间解放军追击时间时差（22－16）时段时间敌逃跑路程〔10×（22－6）〕千米甲乙两相距60千米推知
追时间＝〔10×（22－6）＋60〕÷（30－10）＝220÷20＝11（时）
答：解放军11时追敌
例4 辆客车甲站开乙站时行48千米辆货车时乙站开甲站时行40千米两车距两站中点16千米处相遇求甲乙两站距离
解 道题相遇问题转化追问题解决题中知客车落货车（16×2）千米客车追货车时间前面说相遇时间时间
16×2÷（48－40）＝4（时）
两站间距离 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×〔16×2÷（48－40）〕＝88×4＝352（千米）
答：甲乙两站距离352千米
例5 兄妹二时家学哥哥分钟走90米妹妹分钟走60米哥哥校门口时发现忘记带课立原路回家取行离校180米处妹妹相遇问家离学校远？
解 求距离速度已知关键求出相遇时间题中知相时间（出发相遇）哥哥妹妹走（180×2）米哥哥妹妹分钟走（90－60）米二家出走相遇时间
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校距离 90×12－180＝900（米）
答：家离学校900米远
例6 孙亮算课前5分钟学校时4千米速度家步行学校走1千米时发现手表慢10分钟立跑步前进学校恰准时课算果孙亮家开始跑步原步行早9分钟学校求孙亮跑步速度
解 手表慢10分钟等晚出发10分钟果原速走迟（10－5）分钟段路程跑步恰准时学校说明段路程跑走少（10－5）分钟果家开始跑步步行少9分钟知行1千米跑步步行少〔9－（10－5）〕分钟
步行1千米时间 1÷〔9－（10－5）〕＝025（时）＝15（分钟）
跑步1千米时间 15－〔9－（10－5）〕＝11（分钟）
跑步速度时 1÷11／60＝1×60／11＝55（千米）
答：孙亮跑步速度时55千米
09 植树问题
含义 相等距离植树距离棵距棵数三量间已知中两量求第三量类应题做植树问题
数量关系 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
解题思路方法 先弄清楚植树问题类型然利公式
例1 条河堤136米隔2米栽棵垂柳头尾栽栽少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：栽69棵垂柳
例2 圆形池塘周长400米岸边隔4米栽棵白杨树栽少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：栽100棵白杨树
例3 正方形运动场边长220米隔8米安装明灯安装少明灯？
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（）
答：安装106明灯
例4 面积96方米住宅铺设板砖板砖长宽分60厘米40厘米问少需少块板砖？
解 96÷（06×04）＝96÷024＝400（块）
答：少需400块板砖
例5 座桥长500米桥两边电杆安装路灯隔50米电杆电杆安装2盏路灯安装少盏路灯？
解 （1）桥边少电杆？ 500÷50＋1＝11（）
（2）桥两边少电杆？ 11×2＝22（）
（3）桥两边安装少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：桥两边安装44盏路灯
10 年龄问题
含义特点 类问题根题目容名
特点：
1两年龄差始终变
2两年龄着岁月变化增加（减）然数
3两年龄间倍数关系着年龄增长（减 ）发生变化年龄增倍数减前推：年龄减倍数增
数量关系年龄问题差倍差倍问题着密切联系尤差倍问题解题思路致紧紧抓住年龄差变特点
解题思路方法 利差倍问题解题思路方法
年年龄＝年龄差÷倍数差－年龄
年前年龄＝年龄－年龄差÷倍数差
注意：年龄差÷倍数差求出倍数年龄
年龄＝年数×年岁岁倍数差÷年间倍数差（：姐年妹5倍3年姐妹2倍年姐妹年龄少？：妹年＝3×（2－1）÷（5－2）＝1）
提示：较复杂年龄问题结合线段图认真分析题目中数量关系特注意知道倍数找倍数年两年龄年龄差知道年龄差找出相应倍数然转化成倍差倍问题求出倍数
例1 爸爸年35岁亮亮年5岁年爸爸年龄亮亮倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：年爸爸年龄亮亮7倍明年爸爸年龄亮亮6倍
例2 母亲年37岁女年7岁年母亲年龄女4倍？
解 （1）母亲女年龄少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）年母亲年龄女4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年母亲年龄女4倍
例3 3年前父子年龄49岁年父亲年龄子年龄4倍父子年少岁？
解 年父子年龄应该3年前增加（3×2）岁年二年龄
49＋3×2＝55（岁）
年子年龄作1倍量年父子年龄相（4＋1）倍年子年龄
55÷（4＋1）＝11（岁）
年父亲年龄 11×4＝44（岁）
答：年父亲年龄44岁子年龄11岁
例4 甲乙说：岁数现岁数时4岁乙甲说：岁数现岁数时61岁求甲乙现岁数少？
解里涉三年份：某年年某年列表分析：
某年
年
某年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
□岁
△岁
表中两□表示数两△表示数
两年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△4□△61成等差数列61应该43年龄差二年龄差 （61－4）÷3＝19（岁）
甲年岁数 △＝61－19＝42（岁）
乙年岁数 □＝42－19＝23（岁）
答：甲年岁数42岁乙年岁数23岁
11 行船问题
含义 行船问题航行关问题解答类问题弄清船速水速船速船身航行速度船静水中航行速度水速水流速度船水航行速度船速水速船逆水航行速度船速水速差
数量关系 水速度船速+水速
逆水速度船速－水速
船速＝（水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（水速度－逆水速度）÷2
水速度＝逆水速＋水速×2＝船速×2－逆水速
逆水速度＝水速－水速×2＝船速×2－水速
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 船水行320千米需8时水流速度时15千米船逆水行段路程需时？
解 条件知水速＝船速＋水速＝320÷8水速时15千米船速时 320÷8－15＝25（千米）
船逆水速 25－15＝10（千米）
船逆水行段路程时间 320÷10＝32（时）
答：船逆水行段路程需32时
例2 甲船逆水行360千米需18时返回原需10时乙船逆水行样段距离需15时返回原需少时间？
解题意 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
见 （36－20）相水速2倍
水速时（36－20）÷2＝8（千米）
乙船速－水速＝360÷15
乙船速 360÷15＋8＝32（千米）
乙船水速 32＋8＝40（千米）
乙船水航行360千米需 360÷40＝9（时）
答：乙船返回原需9时
例3 架飞机飞行两城市间飞机速度时576千米风速时24千米飞机逆风飞行3时达风飞回需时？
解 道题流水问题解答
（1）两城相距少千米？ （576－24）×3＝1656（千米）
（2）风飞回需少时？ 1656÷（576＋24）＝276（时）
列成综合算式〔（576－24）×3〕÷（576＋24）＝276（时）
答：飞机风飞回需276时
12 列车问题
含义 列车行驶关问题解答时注意列车车身长度
数量关系
火车桥：桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追： 追时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 座桥长2400米列火车分钟900米速度通桥车头开桥车尾离开桥需3分钟列火车长少米？
解 火车3分钟行路程桥长火车车身长度
（1）火车3分钟行少米？ 900×3＝2700（米）
（2）列火车长少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：列火车长300米
例2 列长200米火车秒8米速度通座桥2分5秒钟时间求桥长度少米？
解 火车桥时间2分5秒＝125秒走路程（8×125）米段路程（200米＋桥长）桥长
8×125－200＝800（米）
答：桥长度800米
例3 列长225米慢车秒17米速度行驶列长140米快车秒22米速度面追赶求快车追追慢车需长时间？
解 追追快车慢车行（225＋140）米快车慢车秒行（22－17）米求时间
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需73秒
例4 列长150米列车秒22米速度行驶扳道工秒3米速度迎面走火车工身旁驶需少时间？
解 果作列长度零火车原题相火车相遇问题
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车工身旁驶需6秒钟
例5 列火车穿越条长2000米隧道88秒样速度通条长1250米桥58秒求列火车车速车身长度少？
解 车速车长没变通隧道桥时间隧道桥长知火车（88－58）秒时间行驶（2000－1250）米路程
火车车速秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进知车长桥长（25×58）米车长
25×58－1250＝200（米）
答：列火车车速秒25米车身长200米
13 时钟问题
含义 研究钟面时针分针关系问题两针重合两针垂直两针成线两针夹角60度等时钟问题追问题相类
数量关系 分针速度时针12倍
二者速度差1112
通常追问题差倍问题计算
解题思路方法 变通追问题直接利公式
例1 时针指4点开始少分钟时针正分针重合？
解 钟面周分60格分针分钟走格时走60格时针时走5格分钟走560＝112格分钟分针时针走（1－112）＝1112格4点整时针前分针两针相距20格
分针追时针时间 20÷（1－112）≈ 22（分）
答：22分钟时针正分针重合
例2 四点五点间时针分针什时候成直角？
解 钟面60格1415格两针成直角时候相差15格（包括分针时针前15格两种情况）四点整时候分针时针（5×4）格果分针时针成直角分针时针走 （5×4－15）格果分针时针前成直角分针时针走（5×4＋15）格根1分钟分针时针走（1－112）格求出二针成直角时间
（5×4－15）÷（1－112）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－112）≈ 38（分）
答：4点06分4点38分时两针成直角
例3 六点七点间什时候时针分针重合？
解 六点整时候分针时针（5×6）格分针时针重合追时针实际追问题
（5×6）÷（1－112）≈ 33（分）
答：6点33分时候分针时针重合
14 盈亏问题
含义 盈亏问题盈足问题指定数量物品均分固定象果某种标准分分配会剩余（盈）种标准分分配会足（亏）求物品数量分配象数量类应题
数量关系
总分配份数总差÷差
总数量＝次分配数量×份数+盈数
＝次分配数量×份数－亏数
般说两次分配中样种情况：
(1)果次盈次亏：参加分配总数＝（盈＋亏）÷分配差
(2)果两次盈亏：参加分配总数＝（盈－盈）÷分配差
参加分配总数＝（亏－亏）÷分配差
(3)果正盈： 参加分配总数＝盈÷分配差
(4)果正亏： 参加分配总数＝亏÷分配差
(1)盈亏： 总差盈+亏
(2)两盈： 总差盈盈
(3)两亏： 总差亏亏
(4)盈正：总差盈
(5)亏正：总差亏
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 幼园朋友分苹果分3余11分4少1问少朋友？少苹果？
解 参加分配总数＝（盈＋亏）÷分配差数量关系：
（1）朋友少？ （11＋1）÷（4－3）＝12（）
（2）少苹果？ 3×12＋11＝47（）
答：朋友1247苹果
例2 修条公路果天修260米修完全长延长8天果天修300米修完全长延长4天条路全长少米？
解 题中原定完成务天数相参加分配总数参加分配总数＝（亏－亏）÷分配差数量关系知
原定完成务天数 （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
条路全长 300×（22＋4）＝7800（米）
答：条路全长7800米
例3 学校组织春游果辆车坐40余30果辆车坐45刚坐完问少车？少？
解 题中车辆数相参加分配总数
（1）少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）少？ 40×6＋30＝270（）
答：6 辆车270
15 工程问题
含义 工程问题研究工作量工作效率工作时间三者间关系类问题已知条件中常常出工作量具体数量提出项工程块土条水渠件工作等解题时常常单位1表示工作总量
数量关系 解答工程问题关键工作总量作1样工作效率工作时间倒数（表示单位时间完成工作总量分）进根工作量工作效率工作时间三者间关系列出算式
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
解题思路方法 变通利述数量关系公式
例1 项工程甲队单独做需10天完成乙队单独做需15天完成现两队合作需天完成？
解 题中项工程工作总量没出项工程具体数量项工程作单位1甲队独做需10天完成天完成项工程110乙队单独做需15天完成天完成项工程115两队合做天完成项工程（110＋115）列出算式： 1÷（110＋115）＝1÷16＝6（天）
答：两队合做需6天完成
例2 批零件甲独做6时完成乙独做8时完成现两合做完成务时甲乙做24求批零件少？
解 设总工作量1甲时完成16乙时完成18甲乙时完成（16－18）二合做时时完成（16＋18）二合做需〔1÷（16＋18）〕时时间甲乙做24零件
（1）时甲乙做少零件？ 24÷〔1÷（16＋18）〕＝7（）
（2）批零件少？ 7÷（16－18）＝168（）
答：批零件168
解二 面道题种方法计算：
两合做完成务时甲乙工作量 16∶18＝4∶3
知甲乙完成总工作量 4－3 4＋3 ＝17
批零件 24÷17＝168（）
例3 件工作甲独做12时完成乙独做10时完成丙独做15时完成现甲先做2时余乙丙二合做需时完成？
解 必须先求出时工作效率果效率整数表示会计算带方便设总工作量121015某公倍数例公倍数60甲乙丙三工作效率分
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
余工作量乙丙合做需 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（时）
答：需5时完成
例4 水池底部装常开排水部装干样粗细进水开4进水时需5时注满水池开2进水时需15时注满水池现2时水池注满少开少进水？
解 注（排）水问题类特殊工程问题水池注水水池排水相项工程水流量工作量单位时间水流量工作效率
2时水池注满2时进水量排水量差刚池水需知道进水排水工作效率总工作量（池水）设某量单位1余两量便条件推出
设样进水时注水量14进水5时注水量（1×4×5）2进水15时注水量（1×2×15）知
时排水量 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
排水进水工作效率相知
池水总工作量 1×4×5－1×5＝15 2时
进水注水量 1×2 2时注满池水
少需少进水？ （15＋1×2）÷（1×2）＝85≈9（）
答：少需9进水
16 正反例问题
含义两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数值定（商定）两种量做成正例量关系做正例关系正例应题正例意义解例等知识综合运
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数积定两种量做成反例量关系做反例关系反例应题反例意义解例等知识综合运
数量关系 判断正例反例关系解类应题关键许典型应题转化正反例问题解决较简捷
解题思路方法 解决类问题重方法：分率（倍数）转化应例性质解应题
正反例问题前面讲倍问题基类似
例1 修条公路已修未修13修300米已修变成未修12求条公路总长少米？
解 条件知 公路总长变
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
较两式知总长度作12份300米相（4－3）份知公路总长
300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 条公路总长3600米
例2 张晗做4道应题28分钟样计算91分钟做道应题？
解 做题效率定做题数量做题时间成正例关系
设91分钟做X应题 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分钟做13道应题
例3 孙亮十万什书天24页15天完果天36页天完？
解 书页数定天页数需天数成反例关系
设X天完 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10
答：10天完
例4 矩形分成六矩形中四矩形面积图示求矩形面积
A
25
20
36
B
16
解 面积÷宽＝长知长定时面积宽成正两矩形面积等宽正第行三矩形宽相等第二行三矩形宽相等A∶36＝20∶16
25∶B＝20∶16 解两例 A＝45 B＝20
矩形面积 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：矩形面积162
17 例分配问题
含义 谓例分配数定分成干份类题已知条件般两种形式：连形式反映部分占总数量份数种直接出份数
数量关系 条件已知总量部分量
问题求部分量少 总份数＝前项
解题思路方法 先部分量转化占总量分前项相加求出总份数求部分占总量分（总份数作分母前项分作分子）求数分少计算方法分求出部分量值
例1 学校植树560棵务数分配五年级三班已知班47二班48三班45三班植树少棵？
解 总份数 47＋48＋45＝140
班植树 560×47140＝188（棵）
二班植树 560×48140＝192（棵）
三班植树 560×45140＝180（棵）
答：二三班分植树188棵192棵180棵
例2 60厘米长铁丝围成三角形三角形三条边3∶4∶5三条边长少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×312＝15（厘米） 60×412＝20（厘米）
60×512＝25（厘米）
答：三角形三条边长分15厘米20厘米25厘米
例3 前牧民死前留遗言17羊分三子子分总数12二子分总数13三子分总数19规定许羊宰割分求三子分少羊
解 果总数分率方法解答显然符合题意整数解果例分配方法解容易 12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×917＝9 17×617＝6 17×217＝2
答：子分9羊二子分6羊三子分2羊
例4 某工厂第二三车间数8∶12∶21第车间第二车间少80三车间少？
数
80
少？
应份数
12－8
8＋12＋21
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（）
答：三车间820
18 百分数问题
含义 百分数表示数数百分数百分数种特殊分数分数常常通分约分百分数需分数表示率表示量百分数表示率分数分子分母必须然数百分数分子数百分数专门记号
实际中常百分点概念百分点1两百分点2
数量关系 掌握百分数标准量较量三者间数量关系：
百分数＝较量÷标准量 标准量＝较量÷百分数
解题思路方法 般三种基类型：
（1）求数数百分
（2）已知数求百分少
（3）已知数百分少求数
例1 仓库里批化肥720千克剩6480千克剩占原重量百分？
解 （1）占 720÷（720＋6480）＝10
（2）剩占 6480÷（720＋6480）＝90
答：10剩90
例2 红旗化工厂男职工420女职工525男职工数女职工少百分？
解 题中女职工数标准量男职工女职工少数较量
（525－420）÷525＝02＝20
者 1－420÷525＝02＝20
答：男职工数女职工少20
例3 红旗化工厂男职工420女职工525女职工男职工数百分？
解 题中男职工数标准量女职工男职工数较量
（525－420）÷420＝025＝25
者 525÷420－1＝025＝25
答：女职工数男职工25
例4 红旗化工厂男职工420女职工525男女职工占全厂职工总数百分？
解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0444＝444
（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0556＝556
答：男职工占全厂职工总数444女职工占556
例5 百分数百分率百分率工农业生产中应广泛常见百分率：
增长率＝增长数÷原基数×100
合格率＝合格产品数÷产品总数×100
出勤率＝实际出勤数÷应出勤数×100
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100
缺席率＝缺席数÷实总数×100
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100
出粉率＝面粉重量÷麦重量×100
出油率＝油重量÷油料重量×100
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100
命中率＝命中次数÷总次数×100
烘干率＝烘干重量÷烘前重量×100
格率＝格数÷参加考试数×100
19 牛吃草问题
含义 牛吃草问题科学家牛顿提出问题牛顿问题类问题特点考虑草边吃边长素
数量关系 草总量＝原草量＋草天生长量×天数
解题思路方法 解类题关键求出草天生长量
例1 块草10头牛20天草吃完15头牛10天草吃完问少头牛5天草吃完？
解 草均匀生长草总量＝原草量＋草天生长量×天数求少头牛5天草吃完说5 天草总量5 天吃完话少头牛？ 设头牛天吃草量1步骤解答：
（1）求草天生长量
方面20天草总量10头牛20天吃草（1×10×20）方面20天草总量等原草量加20天生长量
1×10×20＝原草量＋20天生长量
理 1×15×10＝原草量＋10天生长量
知 （20－10）天草生长量 1×10×20－1×15×10＝50
草天生长量 50÷（20－10）＝5
（2）求原草量
原草量＝10天总草量－10生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天草总量
5 天草总量＝原草量＋5天生长量＝100＋5×5＝125
（4）求少头牛5 天吃完草
头牛天吃草量1头牛5天吃草量55天吃完草需牛头数 125÷5＝25（头）
答：需5头牛5天草吃完
例2 船漏洞水均匀速度进入船发现漏洞时已进水果12淘水3时淘完果5淘水10时淘完求17时淘完？
解 道变相牛吃草问题题问出数（相牛数）求时间设时淘水量1步骤计算：
（1）求时进水量
3时总水量＝1×12×3＝原水量＋3时进水量
10时总水量＝1×5×10＝原水量＋10时进水量
（10－3）时进水量 1×5×10－1×12×3＝14
时进水量 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原水量
原水量＝1×12×3－3时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17时淘完
17时淘水量17时漏进水2实际船中时减少水量（17－2）17淘完水时间 30÷（17－2）＝2（时）
答：172时淘完水
20 鸡兔笼问题
含义 古典算术问题已知笼子里鸡兔少少脚求鸡兔少问题做第鸡兔笼问题已知鸡兔总数鸡脚兔脚差求鸡兔少问题做第二鸡兔笼问题
数量关系
第鸡兔笼问题：
假设全鸡 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全兔 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔笼问题：
假设全鸡 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡兔脚差）÷（4＋2）
假设全兔 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡兔脚差）÷（4＋2）
解题思路方法 解答类题目般假设法先假设鸡假设兔果先假设鸡然兔换鸡果先假设兔然鸡换兔类问题置换问题通先假设置换问题解决
例1 长毛兔子芦花鸡鸡兔圈笼里数数头三十五脚数九十四请仔细算算少兔子少鸡？
解 假设35全兔 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（）
兔数＝35－23＝12（）
先假设35全鸡 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（）
鸡数＝35－12＝23（）
答：鸡23兔12
例2 2亩菠菜施肥1千克5亩白菜施肥3千克两种菜16亩施肥9千克求白菜少亩？
解 题实际改头换面鸡兔笼问题亩菠菜施肥（1÷2）千克鸡两脚相应亩白菜施肥（3÷5）千克兔4脚相应16亩鸡兔总数相应9千克鸡兔总脚数相应假设16亩全菠菜
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜10亩
例3 李老师69元学校买作业日记45作业 3 20元日记070元问作业日记买少？
解 题变通鸡兔笼问题假设45全日记
作业数＝（69－070×45）÷（320－070）＝15（）
日记数＝45－15＝30（）
答：作业15日记30
例4 （第二鸡兔笼问题）鸡兔100鸡脚兔脚80问鸡兔少？
解 假设100全鸡
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（）
鸡数＝100－20＝80（）
答：鸡80兔20
例5 100馍100尚吃尚吃3馍尚3吃1馍问尚少？
解 假设全尚吃馍（3×100）实际吃（3×100－100）尚算成尚保证尚总数100变情况换尚换掉尚减少馍（3－13）尚
（3×100－100）÷（3－13）＝75（）
尚 100－75＝25（）
答：尚25尚75
21 方阵问题
含义 干物定条件排成正方形（简称方阵）根已知条件求总数总物数类问题做方阵问题
数量关系 （1）方阵边数四周数关系：
四周数＝（边数－1）×4
边数＝四周数÷4＋1
（2）方阵总数求法：
实心方阵：总数＝边数×边数
空心方阵：总数＝（外边数）－（边数）
边数＝外边数－层数×2
（3）空心方阵分成四相等矩形计算：
总数＝（边数－层数）×层数×4
解题思路方法 方阵问题实心空心两种实心方阵求法边数空心方阵变化较解答方法应根具体情况确定
例1 育学运动会进行体操表演学排成方阵行22参加体操表演学少？
解 22×22＝484（） 答：参加体操表演学484
例2 3层中空方阵外边层10求全方阵数
解 10－（10－3×2）
＝84（）
答：全方阵84
例3 队学生排成中空方阵外层数52层数28队学生少？
解 （1）中空方阵外层边数＝52÷4＋1＝14（）
（2）中空方阵层边数＝28÷4－1＝6（）
（3）中空方阵总数＝14×14－6×6＝160（）
答：队学生160
例4 堆棋子排列成正方形余4棋子正方形横两方增加层缺少9棋子问棋子少？
解 （1）横方增加层需棋子数＝4＋9＝13（）
（2）横增加层正方形边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（）
（3）原棋子数＝7×7－9＝40（）
答：棋子40
例5 三角形树林顶点1棵树排树前排1棵面排5棵树树林少棵树？
解 第种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：三角形树林15棵树
22 商品利润问题
含义 种生产营中常遇问题包括成利润利润率亏损亏损率等方面问题
数量关系 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 某商品均价格月份调10二月份调10种商品原价二月份价格变动情况？
解 设种商品原价1月份售价（1＋10）二月份售价（1＋10）×（1－10）二月份售价原价降
1－（1＋10）×（1－10）＝1
答：二月份原价降1
例2 某服装店搬迁店商品八折销售苗苗买件衣服52元已知衣服原期盈利30定价该店亏盈利？亏（盈）率少？
解 知亏盈知实际售价52元成少少少元进需知成52元原价80原价（52÷80）元原价期盈利30定成 52÷80÷（1＋30）＝50（元）
出该店盈利盈利率 （52－50）÷50＝4
答：该店盈利盈利率4
例3 成025元作业1200册期获40利润定价出售销售出80剩作业折扣结果获利润预定86问剩作业出售时定价少折扣？
解 问题计算剩作业册实际售价原定价百分题意知册原定价025×（1＋40）关键求出剩册实际售价知道剩册盈利少元剩作业售出盈利额等实际总盈利先售出80盈利额差
025×1200×40×86－025×1200×40×80＝720（元）
剩作业册盈利 720÷［1200×（1－80）］＝003（元）
知 （025＋003）÷［025×（1＋40）］＝80
答：剩作业原定价八折出售
例4 某种商品甲店进货价乙店进货价便宜10甲店30利润定价乙店20利润定价结果乙店定价甲店定价贵6元求乙店定价
解 设乙店进货价1甲店进货价 1－10＝09
甲店定价 09×（1＋30）＝117
乙店定价 1×（1＋20）＝120
乙店进货价 6÷（120－117）＝200（元）
乙店定价 200×12＝240（元）
答：乙店定价240元
23 存款利率问题
含义 钱存入银行定利息利息少金利率存期三素关利率般年利率月利率两种年利率指存期年金生利息占金百分数月利率指存期月生利息占金百分数
数量关系 年（月）利率＝利息÷金÷存款年（月）数×100
利息＝金×存款年（月）数×年（月）利率
利＝金＋利息＝金×〔1＋年（月）利率×存款年（月）数〕
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 李强存入银行1200元月利率08期连带利取出1488元求存款期长
解 存款期总利息（1488－1200）元
总利率 （1488－1200）÷1200 已知月利率
存款月数 （1488－1200）÷1200÷08＝30（月）
答：李强存款期30月两年半
例2 银行定期整存整取年利率：二年期792三年期828五年期9果甲乙二时存入1万元甲先存二年期期连带利改存三年期乙直存五年期五年二时取出谁收益？少元？
解 甲总利息
〔10000×792×2＋〔10000×（1＋792×2）〕×828×3
＝1584＋11584×828×3＝446147（元）
乙总利息 10000×9×5＝4500（元）
4500－446147＝3853（元）
答：乙收益较乙甲3853元
24 溶液浓度问题
含义 生产生活中常会遇溶液浓度问题类问题研究溶剂（水液体）溶质溶液浓度量关系例水种溶剂溶解东西溶质溶解混合物溶液溶质量溶液量中占百分数浓度百分浓度
数量关系 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 爷爷16糖水50克（1）稀释成10糖水需加水少克？（2）变成30糖水需加糖少克？
解 （1）需加水少克？ 50×16÷10－50＝30（克）
（2）需加糖少克？ 50×（1－16）÷（1－30）－50＝10（克）
答：（1）需加水30克（2）需加糖10克
例2 30糖水15糖水混合配成25糖水600克需3015糖水少克？
解 假设全30糖水溶液含糖量会出
600×（30－25）＝30（克）
30糖水设想保证总重量600克变情况15溶液换掉部分30溶液样换掉100克会减少糖 100×（30－15）＝15（克） 需换掉30溶液（换15溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
知需15溶液200克
需30溶液 600－200＝400（克）
答：需15糖水溶液200克需30糖水400克
例3 甲容器浓度12盐水500克乙容器500克水甲中盐水半倒入乙中混合乙中现盐水半倒入甲中混合甲中部分盐水倒入乙中甲乙两容器中盐水样求乙中盐水百分浓度
解 条件知倒三次甲乙两容器中溶液重量相等500克算出乙容器中含盐量便会知求浓度面列表推算：
甲容器
乙容器
原
盐水500
盐500×12＝60
水500
第次甲中
半倒入乙中
盐水500÷2＝250
盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
第二次乙中
半倒入甲中
盐水250＋375＝625
盐30＋15＝45
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
第三次甲乙
中盐水样
盐水500
盐45－9＝36
盐水500
盐45－36＋15＝
推算知乙容器中盐水百分浓度 24÷500＝48
答：乙容器中百分浓度48
25 构图布数问题
含义 种数学游戏现实生活中常数学问题谓构图设计出种图形谓布数定数字填入图中构图布数问题关键符合条件
数量关系 根题目求定
解题思路方法 通常三角形正方形圆形五角星等图形方面考虑题意构图布数符合题目条件
例1 十棵树苗子栽五行子行四棵子请想法子
解 符合题目求图形应五角星
4×5÷2＝10
五角星5条边交叉重复应减半
例2 九棵树苗子栽十行子行三棵子请想法子
解 符合题目求图形两倒立交叉等腰三角形
三角形顶点三角形底边中线
例3 九棵树苗子栽三行子行四棵子请想法子
解 符合题目求图形三角形边栽4棵树三顶点重复应减正9棵 4×3－3＝9
例4 12拆成17七数中三数种写法？请设计种图形填入七数数填处条线三数等12
解 五种写法 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
五算式中4出现三次余123567出现两次4应位三条线交点处余数位两条线交点处设计出三种图形：
26 幻方问题
含义 n×n然数排正方形格子中行列角线数相等样图做幻方简单幻方三级幻方
数量关系 行列条角线数相等做幻
三级幻方幻＝45÷3＝15
五级幻方幻＝325÷5＝65
解题思路方法首先确定行列条角线数（幻）次确定正中间方格数然确定方格中数
例1 123456789九数填入九方格中行列条角线三数相等
解 幻3倍正等九数幻
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九数八条线反复出现构成幻时数次数全相中心数四次（出现中行中列两条角线四条线）四角四数三次余四数两次四次中心数位重宜优先考虑
设中心数ΧΧ出现四条线条线三数等15 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
45＋3Χ＝60 Χ＝5
接着奇偶分析法寻找余四偶数位置
2
7
6
9
5
1
4
3
8
分四角确定余四奇数位置分
中行中列进步尝试容易正确结果
例2 2345678910九数填九方格中
行列角线数相等
解 三行三行完9数行三数
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合求数已填三行三列两条角线8行三数等1818写成三数：
数10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
数9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
数8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
数7： 18＝7＋6＋5 刚写成8算式
首先确定正中间方格数第二横行第二竖行两斜行正中间方格数四次观察述8算式64次正中间方格中应填6
9
2
7
4
6
8
5
10
3
然确定四角数四角数三次述8算式中9753三次9753应填四角应兼顾两条角线三数18
确定方格中数图
27 抽屉原问题
含义 3苹果放进两抽屉中会出现结果呢？2苹果放进抽屉剩放进抽屉3苹果放进抽屉中两种情况句话表示：定抽屉中放22苹果数学中抽屉原问题
数量关系 基抽屉原：果n＋1物体（元素）放n抽屉中少抽屉中放着2更物体（元素）
抽屉原推广：果m抽屉k×m＋r（0＜r≤m）元素少抽屉中放（k＋1）更元素
通俗说果元素数抽屉数k倍少抽屉放（k＋1）更元素
解题思路方法 （1）改造抽屉指出元素
（2）元素放入（取出）抽屉
（3）说明理出结
例1 育学3672000年出生学生中少学生生日
天？
解 2000年润年全年366天作366抽屉3672000年出生学生作367元素367元素放进366抽屉中少抽屉中放2更元素
说明少2学生生日天
例2 说头发超20万果陕西省3645万根数知道陕西省少少头发根数样？
解 头发超20万根作20万抽屉3645万作3645万元素3645万元素放20万抽屉中
3645÷20＝182……5 根抽屉原推广规律知k＋1＝183
答：陕西省少183头发根数样
例3 袋子里球球仅颜色中红球10白球9黄球8蓝球2某闭着眼睛中取出干试问少取少球保证少4球颜色相？
解 四种颜色球总数（3＋3＋3＋2）＝11 作11抽屉少取（11＋1）球保证少4球颜色相
答少取12球保证少4球颜色相
28 公约公倍问题
含义 需公约数公倍数解答应题做公约数公倍数问题
数量关系 绝数公约数公倍数解答
解题思路方法 先确定题目中公约数者公倍数求出答案公约数公倍数求法常短法
例1 张硬纸板长60厘米宽56厘米现需剪成干相正方形许剩余问正方形边长少？
解 硬纸板长宽公约数求边长
6056公约数4
答：正方形边长4厘米
例2 甲乙丙三辆汽车环形马路行驶甲车行周36分钟乙车行周30分钟丙车行周48分钟三辆汽车时起点出发问少少时间三辆汽车时起点相遇？
解 求少时间起点相遇时间必定时363048倍数问少少时间应363048公倍数 363048公倍数720
答：少720分钟（12时）三辆汽车时起点相遇
例3 四边形广场边长分60米72米96米84米现四角四边植树四边两棵树间距相等少植少棵树？
解 相邻两树间距应60729684公约数植树棵数量少须相邻两树间距量相等间距应60729684数公约数12
少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：少植26棵树
例4 盒围棋子44数155数166数1知棋子总数150200间求棋子总数
解 果总数中取出1余总数便456公倍数456公倍数60知棋子总数150200间总数
60×3＋1＝181（）
答：棋子总数181
29 值问题
含义 科学发展观认国民济发展讲求效率节约源少花钱办事办事代价取效益类应题做值问题
数量关系 般求值值
解题思路方法 题目求求出值值
例1 火炉烤饼饼两面烤烤面需3分钟炉时放两块饼现需烤三块饼少需少分钟？
解 先两块饼时放烤3分钟熟面时第块饼取出放入第三块饼翻第二块饼3分钟取出熟第二块饼翻第三块饼放入第块饼烤面烤3分钟样做时间少9分钟
答：少需9分钟
例2 条公路五卸煤场相邻两间距离10千米已知1号煤场存煤100吨2号煤场存煤200吨5号煤场存煤400吨余两煤场空现煤集中煤场里吨煤运1千米花费1元集中号煤场花费少？
解 采尝试较方法解答
集中1号场总费 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中2号场总费 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中3号场总费 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中4号场总费 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中5号场总费 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
较显然集中5号煤场费少
答：集中5号煤场费少
例3 北京海时制成计算机干台北京调运外10台海调运外4台现决定重庆调运8台武汉调运6台
重庆
武汉
北京
800
400
海
500
300
台运费右表问调运运费省？
解 北京调运重庆运费高北京
重庆应量少调运样海4台全调
重庆北京调重庆4台调武汉6台运费会少数额
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：海调重庆4台北京调武汉6台调重庆4台样运费少
30 列方程问题
含义 应题中未知数字母Χ代根等量关系列出含未知数等式——方程通解方程应题答案程做列方程解应题
数量关系 方程等号两边数量相等
解题思路方法 概括审设列解验答六字法
（1）审：认真审题弄清应题中已知量未知量什问题中等量关系什
（2）设：应题中未知数设Χ
（3）列根设未知数题目中已知条件等量关系列出方程
（4）解求出列方程解
（5）验：检验方程解否正确否符合题意
（6）答：回答题目问写出答问话
学列方程解应题时般写出四项容设未知数列方程解方程答语设未知数时Χ面写单位名称方程中已知数未知数带单位名称求出Χ值带单位名称答语中写出单位名称检验程必写出必须检验
例1 甲乙两班90甲班乙班数2倍少30求两班少？
解 第种方法：设乙班Χ甲班（90－Χ）
找等量关系：甲班数＝乙班数×2－30
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程 Χ＝40 知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班Χ甲班（2Χ－30）
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程 Χ＝40 知 2Χ－30＝50
答：甲班50乙班40
例2 鸡兔3594脚问少兔？少鸡？
解 第种方法：设兔Χ鸡（35－Χ）兔脚数4Χ鸡脚数2（35－Χ）根等量关系兔脚数＋鸡脚数＝94列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程 Χ＝12 35－Χ＝23
第二种方法：鸡兔笼问题解答假设全鸡
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（）
鸡数＝35－12＝23（）
答：鸡23兔12
例3 仓库里化肥940袋两辆汽车4次运完已知甲汽车次运125袋乙汽车次运少袋？
解 第种方法：求出甲乙两车次运袋数减甲车次运袋数求 940÷4－125＝110（袋）
第二种方法：总量里减甲汽车4次运袋数乙汽车运袋数4求 （940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车次运Χ袋列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车次运Χ袋题意
（125＋Χ）×4＝940 解方程 Χ＝110
答：乙汽车次运110袋
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目 录
01 问题 3
02 总问题 3
03 差问题 4
04 倍问题 6
05 差倍问题 7
06 倍问题 8
07 相遇问题 9
08 追问题 10
09 植树问题 12
10 年龄问题 13
11 行船问题 15
12 列车问题 16
13 时钟问题 18
14 盈亏问题 19
15 工程问题 20
16 正反例问题 22
17 例分配问题 24
18 百分数问题 25
19 牛吃草问题 27
20 鸡兔笼问题 28
21 方阵问题 30
22 商品利润问题 31
23 存款利率问题 33
24 溶液浓度问题 33
25 构图布数问题 35
26 幻方问题 36
27 抽屉原问题 37
28 公约公倍问题 38
29 值问题 39
30 列方程问题 41
学数学中含数量关系实际问题语言文字叙述出样形成题目做应题道应题两部分构成第部分已知条件（简称条件）第二部分求问题（简称问题）应题条件问题组成应题结构
应题分般应题典型应题
没特定解答规律两步运算应题做般应题
题目中特殊数量关系特定步骤方法解答应题做典型应题
资料研究30类典型应题：
1问题
2总问题
3差问题
4倍问题
5差倍问题
6倍问题
7相遇问题
8追问题
9植树问题
10年龄问题
11行船问题
12列车问题
13时钟问题
14盈亏问题
15工程问题
16正反例问题
17例分配
18百分数问题
19牛吃草问题
20鸡兔笼问题
21方阵问题
22商品利润问题
23存款利率问题
24溶液浓度问题
25构图布数问题
26幻方问题
27抽屉原问题
28公约公倍问题
29值问题
30列方程问题
01 问题
含义 解题时先求出份少（单量）然单量标准求出求数量类应题做问题
数量关系 总量÷份数＝1份数量 1份数量×占份数＝求份数量
总量÷（总量÷份数）＝求份数
解题思路方法 先求出单量单量标准求出求数量
例1 买5支铅笔06元钱买样铅笔16支需少钱？
解（1）买1支铅笔少钱？ 06÷5＝012（元）
（2）买16支铅笔需少钱？012×16＝192（元）
列成综合算式 06÷5×16＝012×16＝192（元）
答：需192元
例2 3台拖拉机3天耕90公顷样计算5台拖拉机6 天耕少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
（2）5台拖拉机6天耕少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
答：5台拖拉机6 天耕300公顷
例3 5辆汽车4次运送100吨钢材果样7辆汽车运送105吨钢材需运次？
解 （1）1辆汽车1次运少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次运少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需运次？ 105÷35＝3（次）
列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需运3次
02 总问题
含义 解题时常常先找出总数量然根条件算出求问题总问题谓总数量指货物总价时（天）总工作量公亩总产量时行总路程等
数量关系 1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数
总量÷份数＝份数量
解题思路方法 先求出总数量根题意出求数量
例1 服装厂原做套衣服布32米改进裁剪方法套衣服布28米原做791套衣服布现做少套？
解 （1）批布总少米？ 32×791＝25312（米）
（2）现做少套？ 25312÷28＝904（套）
列成综合算式 32×791÷28＝904（套）
答：现做904套
例2 华天读24页书12天读完红岩书明天读36页书天读完红岩？
解 （1）红岩书总少页？ 24×12＝288（页）
（2）明天读完红岩？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
答：明8天读完红岩
例3 食堂运批蔬菜原计划天吃50千克30天慢慢消费完批蔬菜根家意见天原计划吃10千克批蔬菜吃少天？
解 （1）批蔬菜少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）批蔬菜吃少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：批蔬菜吃25天
03 差问题
含义 已知两数量差求两数量少类应题差问题
数量关系
第种：
（两数－两数差 ）÷ 2＝数
两数－数＝数 数+两数差＝数
第二种：（两数＋两数差）÷ 2 ＝ 数
两数－数＝数 数－两数差＝数
解题思路方法 简单题目直接套公式复杂题目直接告诉两数差进行变通求出两数差公式
例1 甲乙两班学生98甲班乙班6求两班少？
解 甲班数＝（98＋6）÷2＝52（）
乙班数＝（98－6）÷2＝46（）
答：甲班52乙班46
例2 长方形长宽18厘米长宽2厘米求长方形面积
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形面积 ＝10×8＝80（方厘米）
答：长方形面积80方厘米
例3 甲乙丙三袋化肥甲乙两袋重32千克乙丙两袋重30千克甲丙两袋重22千克求三袋化肥重少千克
解 甲乙两袋乙丙两袋含乙中出甲丙（32－30）＝2千克甲数丙数知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克乙袋化肥重20千克丙袋化肥重10千克
例4 甲乙两车原装苹果97筐甲车取14筐放乙车结果甲车乙车3筐两车原装苹果少筐？
解 甲车取14筐放乙车结果甲车乙车3筐说明甲车数乙车数甲乙差（14×2＋3）甲乙97
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车原装苹果64筐乙车原装苹果33筐
04 倍问题
含义 已知两数数数倍（数数分）求两数少类应题做倍问题
数量关系 总 ÷（倍＋1）＝较数 总 － 较数 ＝ 较数
较数 ×倍 ＝ 较数
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 果园里杏树桃树248棵桃树棵数杏树3倍求杏树桃树少棵？
解 （1）杏树少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树62棵桃树186棵
例2 东西两仓库存粮480吨东库存粮数西库存粮数14倍求两库存粮少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（14＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮280吨西库存粮200吨
例3 甲站原车52辆乙站原车32辆天甲站开乙站28辆乙站开甲站24辆天乙站车辆数甲站2倍？
解 天甲站开乙站28辆乙站开甲站24辆相天甲站开乙站（28－24）辆天甲站车辆数作1倍量时乙站车辆数2倍量两站车辆总数（52＋32）相（2＋1）倍天甲站车辆数减少
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
求天数 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天乙站车辆数甲站2倍
例4 甲乙丙三数170乙甲2倍少4丙甲3倍6求三数少？
解 乙丙两数甲数直接关系甲数作1倍量
乙甲2倍少4乙加4乙数变成甲数2倍
丙甲3倍6丙数减6变甲数3倍
时（170＋4－6）相（1＋2＋3）倍
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数28乙数52丙数90
05 差倍问题
含义 已知两数差数数倍（数数分）求两数少类应题做差倍问题
数量关系 两数差÷（倍数－1）＝较数
较数×倍＝较数
较数+差＝较数
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 果园里桃树棵数杏树3倍桃树杏树124棵求杏树桃树少棵？
解 （1）杏树少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树62棵桃树186棵
例2 爸爸子27岁年爸爸年龄子年龄4倍求父子二年少岁？
解 （1）子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二年年龄分36岁9岁
例3 商场改革营理办法月盈利月盈利2倍12万元知月盈利月盈利30万元求两月盈利少万元？
解 果月盈利作1倍量（30－12）万元相月盈利（2－1）倍
月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：月盈利18万元月盈利48万元
例4 粮库94吨麦138吨玉米果天运出麦玉米9吨问天剩玉米麦3倍？
解 天运出麦玉米数量相等剩数量差等原数量差（138－94）天剩麦作1倍量天剩玉米3倍量（138－94）相（3－1）倍
剩麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮天数＝72÷9＝8（天）
答：8天剩玉米麦3倍
06 倍问题
含义 两已知类量中量量干倍解题时先求出倍数倍方法算出求数类应题做倍问题
数量关系 总量÷数量＝倍数 数量×倍数＝总量
解题思路方法 先求出倍数倍关系求出求数
例1 100千克油菜籽榨油40千克现油菜籽3700千克榨油少？
解 （1）3700千克100千克少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）榨油少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：榨油1480千克
例2 年植树节天某学300名师生植树400棵样计算全县48000名师生植树少棵？
解 （1）48000名300名少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）植树少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全县48000名师生植树64000棵
例3 凤翔县年苹果丰收田家庄户家4亩果园收入11111元样计算全乡800亩果园收入少元？全县16000亩果园收入少元？
解 （1）800亩4亩倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩800亩倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园收入2222200元全县16000亩果园收入44444000元
07 相遇问题
含义 两运动物体时两出发相行途中相遇类应题做相遇问题
数量关系 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 南京海水路长392千米时两港开出艘轮船相行南京开出船时行28千米海开出船时行21千米时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（时）
答：8时两船相遇
例2 李刘周长400米环形跑道跑步李秒钟跑5米刘秒钟跑3米点时出发反跑二出发第二次相遇需长时间？
解 第二次相遇理解二跑两圈总路程400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二出发第二次相遇需100秒时间
例3 甲乙二时两骑行车相行甲时行15千米乙时行13千米两距中点3千米处相遇求两距离
解 两距中点3千米处相遇正确理解题题意关键题中知甲骑快乙骑慢甲中点3千米乙距中点3千米说甲乙走路程（3×2）千米
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（时）
两距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两距离84千米
08 追问题
含义 两运动物体点时出发（者点时出发者点时出发）作运动面行进速度快前面行进速度较慢定时间面追前面物体类应题做追问题
数量关系 追时间＝追路程÷（快速－慢速）
追路程＝（快速－慢速）×追时间
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 马天走120千米劣马天走75千米劣马先走12天马天追劣马？
解 （1）劣马先走12天走少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）马天追劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：马20天追劣马
例2 明亮200米环形跑道跑步明跑圈40秒点时出发跑明第次追亮时跑500米求亮速度秒少米
解 明第次追亮时亮跑圈200米时亮跑（500－200）米知亮速度须知追时间明跑500米时间知明跑200米40秒跑500米〔40×（500÷200）〕秒亮速度 （500－200）÷〔40×（500÷200）〕＝300÷100＝3（米）
答：亮速度秒3米
例3 民解放军追击股逃窜敌敌午16点开始甲时10千米速度逃跑解放军晚22点接命令时30千米速度开始乙追击已知甲乙两相距60千米问解放军时追敌？
解 敌逃跑时间解放军追击时间时差（22－16）时段时间敌逃跑路程〔10×（22－6）〕千米甲乙两相距60千米推知
追时间＝〔10×（22－6）＋60〕÷（30－10）＝220÷20＝11（时）
答：解放军11时追敌
例4 辆客车甲站开乙站时行48千米辆货车时乙站开甲站时行40千米两车距两站中点16千米处相遇求甲乙两站距离
解 道题相遇问题转化追问题解决题中知客车落货车（16×2）千米客车追货车时间前面说相遇时间时间
16×2÷（48－40）＝4（时）
两站间距离 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×〔16×2÷（48－40）〕＝88×4＝352（千米）
答：甲乙两站距离352千米
例5 兄妹二时家学哥哥分钟走90米妹妹分钟走60米哥哥校门口时发现忘记带课立原路回家取行离校180米处妹妹相遇问家离学校远？
解 求距离速度已知关键求出相遇时间题中知相时间（出发相遇）哥哥妹妹走（180×2）米哥哥妹妹分钟走（90－60）米二家出走相遇时间
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校距离 90×12－180＝900（米）
答：家离学校900米远
例6 孙亮算课前5分钟学校时4千米速度家步行学校走1千米时发现手表慢10分钟立跑步前进学校恰准时课算果孙亮家开始跑步原步行早9分钟学校求孙亮跑步速度
解 手表慢10分钟等晚出发10分钟果原速走迟（10－5）分钟段路程跑步恰准时学校说明段路程跑走少（10－5）分钟果家开始跑步步行少9分钟知行1千米跑步步行少〔9－（10－5）〕分钟
步行1千米时间 1÷〔9－（10－5）〕＝025（时）＝15（分钟）
跑步1千米时间 15－〔9－（10－5）〕＝11（分钟）
跑步速度时 1÷11／60＝1×60／11＝55（千米）
答：孙亮跑步速度时55千米
09 植树问题
含义 相等距离植树距离棵距棵数三量间已知中两量求第三量类应题做植树问题
数量关系 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
解题思路方法 先弄清楚植树问题类型然利公式
例1 条河堤136米隔2米栽棵垂柳头尾栽栽少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：栽69棵垂柳
例2 圆形池塘周长400米岸边隔4米栽棵白杨树栽少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：栽100棵白杨树
例3 正方形运动场边长220米隔8米安装明灯安装少明灯？
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（）
答：安装106明灯
例4 面积96方米住宅铺设板砖板砖长宽分60厘米40厘米问少需少块板砖？
解 96÷（06×04）＝96÷024＝400（块）
答：少需400块板砖
例5 座桥长500米桥两边电杆安装路灯隔50米电杆电杆安装2盏路灯安装少盏路灯？
解 （1）桥边少电杆？ 500÷50＋1＝11（）
（2）桥两边少电杆？ 11×2＝22（）
（3）桥两边安装少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：桥两边安装44盏路灯
10 年龄问题
含义特点 类问题根题目容名
特点：
1两年龄差始终变
2两年龄着岁月变化增加（减）然数
3两年龄间倍数关系着年龄增长（减 ）发生变化年龄增倍数减前推：年龄减倍数增
数量关系年龄问题差倍差倍问题着密切联系尤差倍问题解题思路致紧紧抓住年龄差变特点
解题思路方法 利差倍问题解题思路方法
年年龄＝年龄差÷倍数差－年龄
年前年龄＝年龄－年龄差÷倍数差
注意：年龄差÷倍数差求出倍数年龄
年龄＝年数×年岁岁倍数差÷年间倍数差（：姐年妹5倍3年姐妹2倍年姐妹年龄少？：妹年＝3×（2－1）÷（5－2）＝1）
提示：较复杂年龄问题结合线段图认真分析题目中数量关系特注意知道倍数找倍数年两年龄年龄差知道年龄差找出相应倍数然转化成倍差倍问题求出倍数
例1 爸爸年35岁亮亮年5岁年爸爸年龄亮亮倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：年爸爸年龄亮亮7倍明年爸爸年龄亮亮6倍
例2 母亲年37岁女年7岁年母亲年龄女4倍？
解 （1）母亲女年龄少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）年母亲年龄女4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年母亲年龄女4倍
例3 3年前父子年龄49岁年父亲年龄子年龄4倍父子年少岁？
解 年父子年龄应该3年前增加（3×2）岁年二年龄
49＋3×2＝55（岁）
年子年龄作1倍量年父子年龄相（4＋1）倍年子年龄
55÷（4＋1）＝11（岁）
年父亲年龄 11×4＝44（岁）
答：年父亲年龄44岁子年龄11岁
例4 甲乙说：岁数现岁数时4岁乙甲说：岁数现岁数时61岁求甲乙现岁数少？
解里涉三年份：某年年某年列表分析：
某年
年
某年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
□岁
△岁
表中两□表示数两△表示数
两年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△4□△61成等差数列61应该43年龄差二年龄差 （61－4）÷3＝19（岁）
甲年岁数 △＝61－19＝42（岁）
乙年岁数 □＝42－19＝23（岁）
答：甲年岁数42岁乙年岁数23岁
11 行船问题
含义 行船问题航行关问题解答类问题弄清船速水速船速船身航行速度船静水中航行速度水速水流速度船水航行速度船速水速船逆水航行速度船速水速差
数量关系 水速度船速+水速
逆水速度船速－水速
船速＝（水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（水速度－逆水速度）÷2
水速度＝逆水速＋水速×2＝船速×2－逆水速
逆水速度＝水速－水速×2＝船速×2－水速
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 船水行320千米需8时水流速度时15千米船逆水行段路程需时？
解 条件知水速＝船速＋水速＝320÷8水速时15千米船速时 320÷8－15＝25（千米）
船逆水速 25－15＝10（千米）
船逆水行段路程时间 320÷10＝32（时）
答：船逆水行段路程需32时
例2 甲船逆水行360千米需18时返回原需10时乙船逆水行样段距离需15时返回原需少时间？
解题意 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
见 （36－20）相水速2倍
水速时（36－20）÷2＝8（千米）
乙船速－水速＝360÷15
乙船速 360÷15＋8＝32（千米）
乙船水速 32＋8＝40（千米）
乙船水航行360千米需 360÷40＝9（时）
答：乙船返回原需9时
例3 架飞机飞行两城市间飞机速度时576千米风速时24千米飞机逆风飞行3时达风飞回需时？
解 道题流水问题解答
（1）两城相距少千米？ （576－24）×3＝1656（千米）
（2）风飞回需少时？ 1656÷（576＋24）＝276（时）
列成综合算式〔（576－24）×3〕÷（576＋24）＝276（时）
答：飞机风飞回需276时
12 列车问题
含义 列车行驶关问题解答时注意列车车身长度
数量关系
火车桥：桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追： 追时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 座桥长2400米列火车分钟900米速度通桥车头开桥车尾离开桥需3分钟列火车长少米？
解 火车3分钟行路程桥长火车车身长度
（1）火车3分钟行少米？ 900×3＝2700（米）
（2）列火车长少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：列火车长300米
例2 列长200米火车秒8米速度通座桥2分5秒钟时间求桥长度少米？
解 火车桥时间2分5秒＝125秒走路程（8×125）米段路程（200米＋桥长）桥长
8×125－200＝800（米）
答：桥长度800米
例3 列长225米慢车秒17米速度行驶列长140米快车秒22米速度面追赶求快车追追慢车需长时间？
解 追追快车慢车行（225＋140）米快车慢车秒行（22－17）米求时间
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需73秒
例4 列长150米列车秒22米速度行驶扳道工秒3米速度迎面走火车工身旁驶需少时间？
解 果作列长度零火车原题相火车相遇问题
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车工身旁驶需6秒钟
例5 列火车穿越条长2000米隧道88秒样速度通条长1250米桥58秒求列火车车速车身长度少？
解 车速车长没变通隧道桥时间隧道桥长知火车（88－58）秒时间行驶（2000－1250）米路程
火车车速秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进知车长桥长（25×58）米车长
25×58－1250＝200（米）
答：列火车车速秒25米车身长200米
13 时钟问题
含义 研究钟面时针分针关系问题两针重合两针垂直两针成线两针夹角60度等时钟问题追问题相类
数量关系 分针速度时针12倍
二者速度差1112
通常追问题差倍问题计算
解题思路方法 变通追问题直接利公式
例1 时针指4点开始少分钟时针正分针重合？
解 钟面周分60格分针分钟走格时走60格时针时走5格分钟走560＝112格分钟分针时针走（1－112）＝1112格4点整时针前分针两针相距20格
分针追时针时间 20÷（1－112）≈ 22（分）
答：22分钟时针正分针重合
例2 四点五点间时针分针什时候成直角？
解 钟面60格1415格两针成直角时候相差15格（包括分针时针前15格两种情况）四点整时候分针时针（5×4）格果分针时针成直角分针时针走 （5×4－15）格果分针时针前成直角分针时针走（5×4＋15）格根1分钟分针时针走（1－112）格求出二针成直角时间
（5×4－15）÷（1－112）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－112）≈ 38（分）
答：4点06分4点38分时两针成直角
例3 六点七点间什时候时针分针重合？
解 六点整时候分针时针（5×6）格分针时针重合追时针实际追问题
（5×6）÷（1－112）≈ 33（分）
答：6点33分时候分针时针重合
14 盈亏问题
含义 盈亏问题盈足问题指定数量物品均分固定象果某种标准分分配会剩余（盈）种标准分分配会足（亏）求物品数量分配象数量类应题
数量关系
总分配份数总差÷差
总数量＝次分配数量×份数+盈数
＝次分配数量×份数－亏数
般说两次分配中样种情况：
(1)果次盈次亏：参加分配总数＝（盈＋亏）÷分配差
(2)果两次盈亏：参加分配总数＝（盈－盈）÷分配差
参加分配总数＝（亏－亏）÷分配差
(3)果正盈： 参加分配总数＝盈÷分配差
(4)果正亏： 参加分配总数＝亏÷分配差
(1)盈亏： 总差盈+亏
(2)两盈： 总差盈盈
(3)两亏： 总差亏亏
(4)盈正：总差盈
(5)亏正：总差亏
解题思路方法 数情况直接利数量关系公式
例1 幼园朋友分苹果分3余11分4少1问少朋友？少苹果？
解 参加分配总数＝（盈＋亏）÷分配差数量关系：
（1）朋友少？ （11＋1）÷（4－3）＝12（）
（2）少苹果？ 3×12＋11＝47（）
答：朋友1247苹果
例2 修条公路果天修260米修完全长延长8天果天修300米修完全长延长4天条路全长少米？
解 题中原定完成务天数相参加分配总数参加分配总数＝（亏－亏）÷分配差数量关系知
原定完成务天数 （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
条路全长 300×（22＋4）＝7800（米）
答：条路全长7800米
例3 学校组织春游果辆车坐40余30果辆车坐45刚坐完问少车？少？
解 题中车辆数相参加分配总数
（1）少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）少？ 40×6＋30＝270（）
答：6 辆车270
15 工程问题
含义 工程问题研究工作量工作效率工作时间三者间关系类问题已知条件中常常出工作量具体数量提出项工程块土条水渠件工作等解题时常常单位1表示工作总量
数量关系 解答工程问题关键工作总量作1样工作效率工作时间倒数（表示单位时间完成工作总量分）进根工作量工作效率工作时间三者间关系列出算式
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
解题思路方法 变通利述数量关系公式
例1 项工程甲队单独做需10天完成乙队单独做需15天完成现两队合作需天完成？
解 题中项工程工作总量没出项工程具体数量项工程作单位1甲队独做需10天完成天完成项工程110乙队单独做需15天完成天完成项工程115两队合做天完成项工程（110＋115）列出算式： 1÷（110＋115）＝1÷16＝6（天）
答：两队合做需6天完成
例2 批零件甲独做6时完成乙独做8时完成现两合做完成务时甲乙做24求批零件少？
解 设总工作量1甲时完成16乙时完成18甲乙时完成（16－18）二合做时时完成（16＋18）二合做需〔1÷（16＋18）〕时时间甲乙做24零件
（1）时甲乙做少零件？ 24÷〔1÷（16＋18）〕＝7（）
（2）批零件少？ 7÷（16－18）＝168（）
答：批零件168
解二 面道题种方法计算：
两合做完成务时甲乙工作量 16∶18＝4∶3
知甲乙完成总工作量 4－3 4＋3 ＝17
批零件 24÷17＝168（）
例3 件工作甲独做12时完成乙独做10时完成丙独做15时完成现甲先做2时余乙丙二合做需时完成？
解 必须先求出时工作效率果效率整数表示会计算带方便设总工作量121015某公倍数例公倍数60甲乙丙三工作效率分
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
余工作量乙丙合做需 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（时）
答：需5时完成
例4 水池底部装常开排水部装干样粗细进水开4进水时需5时注满水池开2进水时需15时注满水池现2时水池注满少开少进水？
解 注（排）水问题类特殊工程问题水池注水水池排水相项工程水流量工作量单位时间水流量工作效率
2时水池注满2时进水量排水量差刚池水需知道进水排水工作效率总工作量（池水）设某量单位1余两量便条件推出
设样进水时注水量14进水5时注水量（1×4×5）2进水15时注水量（1×2×15）知
时排水量 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
排水进水工作效率相知
池水总工作量 1×4×5－1×5＝15 2时
进水注水量 1×2 2时注满池水
少需少进水？ （15＋1×2）÷（1×2）＝85≈9（）
答：少需9进水
16 正反例问题
含义两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数值定（商定）两种量做成正例量关系做正例关系正例应题正例意义解例等知识综合运
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数积定两种量做成反例量关系做反例关系反例应题反例意义解例等知识综合运
数量关系 判断正例反例关系解类应题关键许典型应题转化正反例问题解决较简捷
解题思路方法 解决类问题重方法：分率（倍数）转化应例性质解应题
正反例问题前面讲倍问题基类似
例1 修条公路已修未修13修300米已修变成未修12求条公路总长少米？
解 条件知 公路总长变
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
较两式知总长度作12份300米相（4－3）份知公路总长
300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 条公路总长3600米
例2 张晗做4道应题28分钟样计算91分钟做道应题？
解 做题效率定做题数量做题时间成正例关系
设91分钟做X应题 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分钟做13道应题
例3 孙亮十万什书天24页15天完果天36页天完？
解 书页数定天页数需天数成反例关系
设X天完 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10
答：10天完
例4 矩形分成六矩形中四矩形面积图示求矩形面积
A
25
20
36
B
16
解 面积÷宽＝长知长定时面积宽成正两矩形面积等宽正第行三矩形宽相等第二行三矩形宽相等A∶36＝20∶16
25∶B＝20∶16 解两例 A＝45 B＝20
矩形面积 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：矩形面积162
17 例分配问题
含义 谓例分配数定分成干份类题已知条件般两种形式：连形式反映部分占总数量份数种直接出份数
数量关系 条件已知总量部分量
问题求部分量少 总份数＝前项
解题思路方法 先部分量转化占总量分前项相加求出总份数求部分占总量分（总份数作分母前项分作分子）求数分少计算方法分求出部分量值
例1 学校植树560棵务数分配五年级三班已知班47二班48三班45三班植树少棵？
解 总份数 47＋48＋45＝140
班植树 560×47140＝188（棵）
二班植树 560×48140＝192（棵）
三班植树 560×45140＝180（棵）
答：二三班分植树188棵192棵180棵
例2 60厘米长铁丝围成三角形三角形三条边3∶4∶5三条边长少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×312＝15（厘米） 60×412＝20（厘米）
60×512＝25（厘米）
答：三角形三条边长分15厘米20厘米25厘米
例3 前牧民死前留遗言17羊分三子子分总数12二子分总数13三子分总数19规定许羊宰割分求三子分少羊
解 果总数分率方法解答显然符合题意整数解果例分配方法解容易 12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×917＝9 17×617＝6 17×217＝2
答：子分9羊二子分6羊三子分2羊
例4 某工厂第二三车间数8∶12∶21第车间第二车间少80三车间少？
数
80
少？
应份数
12－8
8＋12＋21
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（）
答：三车间820
18 百分数问题
含义 百分数表示数数百分数百分数种特殊分数分数常常通分约分百分数需分数表示率表示量百分数表示率分数分子分母必须然数百分数分子数百分数专门记号
实际中常百分点概念百分点1两百分点2
数量关系 掌握百分数标准量较量三者间数量关系：
百分数＝较量÷标准量 标准量＝较量÷百分数
解题思路方法 般三种基类型：
（1）求数数百分
（2）已知数求百分少
（3）已知数百分少求数
例1 仓库里批化肥720千克剩6480千克剩占原重量百分？
解 （1）占 720÷（720＋6480）＝10
（2）剩占 6480÷（720＋6480）＝90
答：10剩90
例2 红旗化工厂男职工420女职工525男职工数女职工少百分？
解 题中女职工数标准量男职工女职工少数较量
（525－420）÷525＝02＝20
者 1－420÷525＝02＝20
答：男职工数女职工少20
例3 红旗化工厂男职工420女职工525女职工男职工数百分？
解 题中男职工数标准量女职工男职工数较量
（525－420）÷420＝025＝25
者 525÷420－1＝025＝25
答：女职工数男职工25
例4 红旗化工厂男职工420女职工525男女职工占全厂职工总数百分？
解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0444＝444
（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0556＝556
答：男职工占全厂职工总数444女职工占556
例5 百分数百分率百分率工农业生产中应广泛常见百分率：
增长率＝增长数÷原基数×100
合格率＝合格产品数÷产品总数×100
出勤率＝实际出勤数÷应出勤数×100
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100
缺席率＝缺席数÷实总数×100
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100
出粉率＝面粉重量÷麦重量×100
出油率＝油重量÷油料重量×100
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100
命中率＝命中次数÷总次数×100
烘干率＝烘干重量÷烘前重量×100
格率＝格数÷参加考试数×100
19 牛吃草问题
含义 牛吃草问题科学家牛顿提出问题牛顿问题类问题特点考虑草边吃边长素
数量关系 草总量＝原草量＋草天生长量×天数
解题思路方法 解类题关键求出草天生长量
例1 块草10头牛20天草吃完15头牛10天草吃完问少头牛5天草吃完？
解 草均匀生长草总量＝原草量＋草天生长量×天数求少头牛5天草吃完说5 天草总量5 天吃完话少头牛？ 设头牛天吃草量1步骤解答：
（1）求草天生长量
方面20天草总量10头牛20天吃草（1×10×20）方面20天草总量等原草量加20天生长量
1×10×20＝原草量＋20天生长量
理 1×15×10＝原草量＋10天生长量
知 （20－10）天草生长量 1×10×20－1×15×10＝50
草天生长量 50÷（20－10）＝5
（2）求原草量
原草量＝10天总草量－10生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天草总量
5 天草总量＝原草量＋5天生长量＝100＋5×5＝125
（4）求少头牛5 天吃完草
头牛天吃草量1头牛5天吃草量55天吃完草需牛头数 125÷5＝25（头）
答：需5头牛5天草吃完
例2 船漏洞水均匀速度进入船发现漏洞时已进水果12淘水3时淘完果5淘水10时淘完求17时淘完？
解 道变相牛吃草问题题问出数（相牛数）求时间设时淘水量1步骤计算：
（1）求时进水量
3时总水量＝1×12×3＝原水量＋3时进水量
10时总水量＝1×5×10＝原水量＋10时进水量
（10－3）时进水量 1×5×10－1×12×3＝14
时进水量 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原水量
原水量＝1×12×3－3时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17时淘完
17时淘水量17时漏进水2实际船中时减少水量（17－2）17淘完水时间 30÷（17－2）＝2（时）
答：172时淘完水
20 鸡兔笼问题
含义 古典算术问题已知笼子里鸡兔少少脚求鸡兔少问题做第鸡兔笼问题已知鸡兔总数鸡脚兔脚差求鸡兔少问题做第二鸡兔笼问题
数量关系
第鸡兔笼问题：
假设全鸡 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全兔 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔笼问题：
假设全鸡 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡兔脚差）÷（4＋2）
假设全兔 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡兔脚差）÷（4＋2）
解题思路方法 解答类题目般假设法先假设鸡假设兔果先假设鸡然兔换鸡果先假设兔然鸡换兔类问题置换问题通先假设置换问题解决
例1 长毛兔子芦花鸡鸡兔圈笼里数数头三十五脚数九十四请仔细算算少兔子少鸡？
解 假设35全兔 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（）
兔数＝35－23＝12（）
先假设35全鸡 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（）
鸡数＝35－12＝23（）
答：鸡23兔12
例2 2亩菠菜施肥1千克5亩白菜施肥3千克两种菜16亩施肥9千克求白菜少亩？
解 题实际改头换面鸡兔笼问题亩菠菜施肥（1÷2）千克鸡两脚相应亩白菜施肥（3÷5）千克兔4脚相应16亩鸡兔总数相应9千克鸡兔总脚数相应假设16亩全菠菜
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜10亩
例3 李老师69元学校买作业日记45作业 3 20元日记070元问作业日记买少？
解 题变通鸡兔笼问题假设45全日记
作业数＝（69－070×45）÷（320－070）＝15（）
日记数＝45－15＝30（）
答：作业15日记30
例4 （第二鸡兔笼问题）鸡兔100鸡脚兔脚80问鸡兔少？
解 假设100全鸡
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（）
鸡数＝100－20＝80（）
答：鸡80兔20
例5 100馍100尚吃尚吃3馍尚3吃1馍问尚少？
解 假设全尚吃馍（3×100）实际吃（3×100－100）尚算成尚保证尚总数100变情况换尚换掉尚减少馍（3－13）尚
（3×100－100）÷（3－13）＝75（）
尚 100－75＝25（）
答：尚25尚75
21 方阵问题
含义 干物定条件排成正方形（简称方阵）根已知条件求总数总物数类问题做方阵问题
数量关系 （1）方阵边数四周数关系：
四周数＝（边数－1）×4
边数＝四周数÷4＋1
（2）方阵总数求法：
实心方阵：总数＝边数×边数
空心方阵：总数＝（外边数）－（边数）
边数＝外边数－层数×2
（3）空心方阵分成四相等矩形计算：
总数＝（边数－层数）×层数×4
解题思路方法 方阵问题实心空心两种实心方阵求法边数空心方阵变化较解答方法应根具体情况确定
例1 育学运动会进行体操表演学排成方阵行22参加体操表演学少？
解 22×22＝484（） 答：参加体操表演学484
例2 3层中空方阵外边层10求全方阵数
解 10－（10－3×2）
＝84（）
答：全方阵84
例3 队学生排成中空方阵外层数52层数28队学生少？
解 （1）中空方阵外层边数＝52÷4＋1＝14（）
（2）中空方阵层边数＝28÷4－1＝6（）
（3）中空方阵总数＝14×14－6×6＝160（）
答：队学生160
例4 堆棋子排列成正方形余4棋子正方形横两方增加层缺少9棋子问棋子少？
解 （1）横方增加层需棋子数＝4＋9＝13（）
（2）横增加层正方形边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（）
（3）原棋子数＝7×7－9＝40（）
答：棋子40
例5 三角形树林顶点1棵树排树前排1棵面排5棵树树林少棵树？
解 第种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：三角形树林15棵树
22 商品利润问题
含义 种生产营中常遇问题包括成利润利润率亏损亏损率等方面问题
数量关系 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 某商品均价格月份调10二月份调10种商品原价二月份价格变动情况？
解 设种商品原价1月份售价（1＋10）二月份售价（1＋10）×（1－10）二月份售价原价降
1－（1＋10）×（1－10）＝1
答：二月份原价降1
例2 某服装店搬迁店商品八折销售苗苗买件衣服52元已知衣服原期盈利30定价该店亏盈利？亏（盈）率少？
解 知亏盈知实际售价52元成少少少元进需知成52元原价80原价（52÷80）元原价期盈利30定成 52÷80÷（1＋30）＝50（元）
出该店盈利盈利率 （52－50）÷50＝4
答：该店盈利盈利率4
例3 成025元作业1200册期获40利润定价出售销售出80剩作业折扣结果获利润预定86问剩作业出售时定价少折扣？
解 问题计算剩作业册实际售价原定价百分题意知册原定价025×（1＋40）关键求出剩册实际售价知道剩册盈利少元剩作业售出盈利额等实际总盈利先售出80盈利额差
025×1200×40×86－025×1200×40×80＝720（元）
剩作业册盈利 720÷［1200×（1－80）］＝003（元）
知 （025＋003）÷［025×（1＋40）］＝80
答：剩作业原定价八折出售
例4 某种商品甲店进货价乙店进货价便宜10甲店30利润定价乙店20利润定价结果乙店定价甲店定价贵6元求乙店定价
解 设乙店进货价1甲店进货价 1－10＝09
甲店定价 09×（1＋30）＝117
乙店定价 1×（1＋20）＝120
乙店进货价 6÷（120－117）＝200（元）
乙店定价 200×12＝240（元）
答：乙店定价240元
23 存款利率问题
含义 钱存入银行定利息利息少金利率存期三素关利率般年利率月利率两种年利率指存期年金生利息占金百分数月利率指存期月生利息占金百分数
数量关系 年（月）利率＝利息÷金÷存款年（月）数×100
利息＝金×存款年（月）数×年（月）利率
利＝金＋利息＝金×〔1＋年（月）利率×存款年（月）数〕
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 李强存入银行1200元月利率08期连带利取出1488元求存款期长
解 存款期总利息（1488－1200）元
总利率 （1488－1200）÷1200 已知月利率
存款月数 （1488－1200）÷1200÷08＝30（月）
答：李强存款期30月两年半
例2 银行定期整存整取年利率：二年期792三年期828五年期9果甲乙二时存入1万元甲先存二年期期连带利改存三年期乙直存五年期五年二时取出谁收益？少元？
解 甲总利息
〔10000×792×2＋〔10000×（1＋792×2）〕×828×3
＝1584＋11584×828×3＝446147（元）
乙总利息 10000×9×5＝4500（元）
4500－446147＝3853（元）
答：乙收益较乙甲3853元
24 溶液浓度问题
含义 生产生活中常会遇溶液浓度问题类问题研究溶剂（水液体）溶质溶液浓度量关系例水种溶剂溶解东西溶质溶解混合物溶液溶质量溶液量中占百分数浓度百分浓度
数量关系 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100
解题思路方法 简单题目直接利公式复杂题目变通利公式
例1 爷爷16糖水50克（1）稀释成10糖水需加水少克？（2）变成30糖水需加糖少克？
解 （1）需加水少克？ 50×16÷10－50＝30（克）
（2）需加糖少克？ 50×（1－16）÷（1－30）－50＝10（克）
答：（1）需加水30克（2）需加糖10克
例2 30糖水15糖水混合配成25糖水600克需3015糖水少克？
解 假设全30糖水溶液含糖量会出
600×（30－25）＝30（克）
30糖水设想保证总重量600克变情况15溶液换掉部分30溶液样换掉100克会减少糖 100×（30－15）＝15（克） 需换掉30溶液（换15溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
知需15溶液200克
需30溶液 600－200＝400（克）
答：需15糖水溶液200克需30糖水400克
例3 甲容器浓度12盐水500克乙容器500克水甲中盐水半倒入乙中混合乙中现盐水半倒入甲中混合甲中部分盐水倒入乙中甲乙两容器中盐水样求乙中盐水百分浓度
解 条件知倒三次甲乙两容器中溶液重量相等500克算出乙容器中含盐量便会知求浓度面列表推算：
甲容器
乙容器
原
盐水500
盐500×12＝60
水500
第次甲中
半倒入乙中
盐水500÷2＝250
盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
第二次乙中
半倒入甲中
盐水250＋375＝625
盐30＋15＝45
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
第三次甲乙
中盐水样
盐水500
盐45－9＝36
盐水500
盐45－36＋15＝
推算知乙容器中盐水百分浓度 24÷500＝48
答：乙容器中百分浓度48
25 构图布数问题
含义 种数学游戏现实生活中常数学问题谓构图设计出种图形谓布数定数字填入图中构图布数问题关键符合条件
数量关系 根题目求定
解题思路方法 通常三角形正方形圆形五角星等图形方面考虑题意构图布数符合题目条件
例1 十棵树苗子栽五行子行四棵子请想法子
解 符合题目求图形应五角星
4×5÷2＝10
五角星5条边交叉重复应减半
例2 九棵树苗子栽十行子行三棵子请想法子
解 符合题目求图形两倒立交叉等腰三角形
三角形顶点三角形底边中线
例3 九棵树苗子栽三行子行四棵子请想法子
解 符合题目求图形三角形边栽4棵树三顶点重复应减正9棵 4×3－3＝9
例4 12拆成17七数中三数种写法？请设计种图形填入七数数填处条线三数等12
解 五种写法 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
五算式中4出现三次余123567出现两次4应位三条线交点处余数位两条线交点处设计出三种图形：
26 幻方问题
含义 n×n然数排正方形格子中行列角线数相等样图做幻方简单幻方三级幻方
数量关系 行列条角线数相等做幻
三级幻方幻＝45÷3＝15
五级幻方幻＝325÷5＝65
解题思路方法首先确定行列条角线数（幻）次确定正中间方格数然确定方格中数
例1 123456789九数填入九方格中行列条角线三数相等
解 幻3倍正等九数幻
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九数八条线反复出现构成幻时数次数全相中心数四次（出现中行中列两条角线四条线）四角四数三次余四数两次四次中心数位重宜优先考虑
设中心数ΧΧ出现四条线条线三数等15 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
45＋3Χ＝60 Χ＝5
接着奇偶分析法寻找余四偶数位置
2
7
6
9
5
1
4
3
8
分四角确定余四奇数位置分
中行中列进步尝试容易正确结果
例2 2345678910九数填九方格中
行列角线数相等
解 三行三行完9数行三数
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合求数已填三行三列两条角线8行三数等1818写成三数：
数10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
数9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
数8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
数7： 18＝7＋6＋5 刚写成8算式
首先确定正中间方格数第二横行第二竖行两斜行正中间方格数四次观察述8算式64次正中间方格中应填6
9
2
7
4
6
8
5
10
3
然确定四角数四角数三次述8算式中9753三次9753应填四角应兼顾两条角线三数18
确定方格中数图
27 抽屉原问题
含义 3苹果放进两抽屉中会出现结果呢？2苹果放进抽屉剩放进抽屉3苹果放进抽屉中两种情况句话表示：定抽屉中放22苹果数学中抽屉原问题
数量关系 基抽屉原：果n＋1物体（元素）放n抽屉中少抽屉中放着2更物体（元素）
抽屉原推广：果m抽屉k×m＋r（0＜r≤m）元素少抽屉中放（k＋1）更元素
通俗说果元素数抽屉数k倍少抽屉放（k＋1）更元素
解题思路方法 （1）改造抽屉指出元素
（2）元素放入（取出）抽屉
（3）说明理出结
例1 育学3672000年出生学生中少学生生日
天？
解 2000年润年全年366天作366抽屉3672000年出生学生作367元素367元素放进366抽屉中少抽屉中放2更元素
说明少2学生生日天
例2 说头发超20万果陕西省3645万根数知道陕西省少少头发根数样？
解 头发超20万根作20万抽屉3645万作3645万元素3645万元素放20万抽屉中
3645÷20＝182……5 根抽屉原推广规律知k＋1＝183
答：陕西省少183头发根数样
例3 袋子里球球仅颜色中红球10白球9黄球8蓝球2某闭着眼睛中取出干试问少取少球保证少4球颜色相？
解 四种颜色球总数（3＋3＋3＋2）＝11 作11抽屉少取（11＋1）球保证少4球颜色相
答少取12球保证少4球颜色相
28 公约公倍问题
含义 需公约数公倍数解答应题做公约数公倍数问题
数量关系 绝数公约数公倍数解答
解题思路方法 先确定题目中公约数者公倍数求出答案公约数公倍数求法常短法
例1 张硬纸板长60厘米宽56厘米现需剪成干相正方形许剩余问正方形边长少？
解 硬纸板长宽公约数求边长
6056公约数4
答：正方形边长4厘米
例2 甲乙丙三辆汽车环形马路行驶甲车行周36分钟乙车行周30分钟丙车行周48分钟三辆汽车时起点出发问少少时间三辆汽车时起点相遇？
解 求少时间起点相遇时间必定时363048倍数问少少时间应363048公倍数 363048公倍数720
答：少720分钟（12时）三辆汽车时起点相遇
例3 四边形广场边长分60米72米96米84米现四角四边植树四边两棵树间距相等少植少棵树？
解 相邻两树间距应60729684公约数植树棵数量少须相邻两树间距量相等间距应60729684数公约数12
少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：少植26棵树
例4 盒围棋子44数155数166数1知棋子总数150200间求棋子总数
解 果总数中取出1余总数便456公倍数456公倍数60知棋子总数150200间总数
60×3＋1＝181（）
答：棋子总数181
29 值问题
含义 科学发展观认国民济发展讲求效率节约源少花钱办事办事代价取效益类应题做值问题
数量关系 般求值值
解题思路方法 题目求求出值值
例1 火炉烤饼饼两面烤烤面需3分钟炉时放两块饼现需烤三块饼少需少分钟？
解 先两块饼时放烤3分钟熟面时第块饼取出放入第三块饼翻第二块饼3分钟取出熟第二块饼翻第三块饼放入第块饼烤面烤3分钟样做时间少9分钟
答：少需9分钟
例2 条公路五卸煤场相邻两间距离10千米已知1号煤场存煤100吨2号煤场存煤200吨5号煤场存煤400吨余两煤场空现煤集中煤场里吨煤运1千米花费1元集中号煤场花费少？
解 采尝试较方法解答
集中1号场总费 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中2号场总费 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中3号场总费 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中4号场总费 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中5号场总费 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
较显然集中5号煤场费少
答：集中5号煤场费少
例3 北京海时制成计算机干台北京调运外10台海调运外4台现决定重庆调运8台武汉调运6台
重庆
武汉
北京
800
400
海
500
300
台运费右表问调运运费省？
解 北京调运重庆运费高北京
重庆应量少调运样海4台全调
重庆北京调重庆4台调武汉6台运费会少数额
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：海调重庆4台北京调武汉6台调重庆4台样运费少
30 列方程问题
含义 应题中未知数字母Χ代根等量关系列出含未知数等式——方程通解方程应题答案程做列方程解应题
数量关系 方程等号两边数量相等
解题思路方法 概括审设列解验答六字法
（1）审：认真审题弄清应题中已知量未知量什问题中等量关系什
（2）设：应题中未知数设Χ
（3）列根设未知数题目中已知条件等量关系列出方程
（4）解求出列方程解
（5）验：检验方程解否正确否符合题意
（6）答：回答题目问写出答问话
学列方程解应题时般写出四项容设未知数列方程解方程答语设未知数时Χ面写单位名称方程中已知数未知数带单位名称求出Χ值带单位名称答语中写出单位名称检验程必写出必须检验
例1 甲乙两班90甲班乙班数2倍少30求两班少？
解 第种方法：设乙班Χ甲班（90－Χ）
找等量关系：甲班数＝乙班数×2－30
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程 Χ＝40 知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班Χ甲班（2Χ－30）
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程 Χ＝40 知 2Χ－30＝50
答：甲班50乙班40
例2 鸡兔3594脚问少兔？少鸡？
解 第种方法：设兔Χ鸡（35－Χ）兔脚数4Χ鸡脚数2（35－Χ）根等量关系兔脚数＋鸡脚数＝94列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程 Χ＝12 35－Χ＝23
第二种方法：鸡兔笼问题解答假设全鸡
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（）
鸡数＝35－12＝23（）
答：鸡23兔12
例3 仓库里化肥940袋两辆汽车4次运完已知甲汽车次运125袋乙汽车次运少袋？
解 第种方法：求出甲乙两车次运袋数减甲车次运袋数求 940÷4－125＝110（袋）
第二种方法：总量里减甲汽车4次运袋数乙汽车运袋数4求 （940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车次运Χ袋列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车次运Χ袋题意
（125＋Χ）×4＝940 解方程 Χ＝110
答：乙汽车次运110袋
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