2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题
第Ⅰ卷（选择题 60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．复数值 （ ）
A．－1 B．1 C．－32 D．32
2．tan15°+cot15°值 （ ）
A．2 B．2+ C．4 D．
3．命题p：ab∈R|a|+|b|>1|a+b|>1充分必条件
命题q：函数y定义域（－∞－1∪[3+∞ （ ）
A．pq假 B．pq真
C．p真q假 D．p假q真
4．已知F1F2椭圆两焦点F1椭圆长轴垂直直线交椭圆AB两点△ABF2真正三角形椭圆离心率 （ ）
A． B． C． D．
5．已知mn重合直线αβ重合面列命题：
①mαn∥αm∥n
②m∥αm∥βα∥β
③α∩βnm∥nm∥αm∥β
④m⊥αm⊥βα∥β
中真命题数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某校高二年级六班级现外转入4名学生安排该年级两班级班安排2名安排方案种数 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数ylog2x反函数yf—1(x)函数y f—1(1－x)图象 （ ）
8．已知非零量满足(－2) ⊥(－2) ⊥夹角 （ ）
A． B． C． D．
9．(12x)9展开式第3项288值 （ ）
A．2 B．1 C． D．
10．图ABC表面积48π球面三点
AB2BC4∠ABC60°O球心直线
OA截面ABC成角（ ）
A．arcsin B．arccos
C．arcsin D．arccos
11．定义R偶函数f(x)满足f(x)f(x+2)x∈[35]时f(x)2－|x－4|（ ）
A．f(sin)f(cos1)
C．f(cos)f(sin2)
12．图BA正东方4 km处C
B北偏东30°方2 km处河流
没岸PQ（曲线）意点A距离
B距离远2 km现曲线PQ
选处M建座码头BC两转运
货物测算MBMC修建公
路费分a万元km2a万元km
修建两条公路总费低（ ）
A．(2－2)a万元 B．5a万元
C．(2+1) a万元 D．(2+3) a万元
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
13．直线x+2y0曲线x2+y2－6x－2y－150截弦长等
14．设函数 x0处连续实数a值
15．某射手射击1次击中目标概率09连续射击4次次射击否击中目标相互间没影响列结：
①第3次击中目标概率09
②恰击中目标3次概率093×01
③少击中目标1次概率1014
中正确结序号 （写出正
确结序号）
16．图1边长1正六边形铁皮六角
切全等四边形虚线折起做成
盖正六棱柱容器正六棱柱容器
底面边长 时容积
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（题满分12分）
设函数f(x)·中量(2cosx1)(cosx sin2x)x∈R
（Ⅰ）f(x)1－x∈[－]求x
（Ⅱ）函数y2sin2x图象量(mn)(|m|<)移函数yf(x)图象求实数mn值
18．（题满分12分）
甲乙两参加次英语口语考试已知备选10道试题中甲答中6题乙答中8题规定次考试备选题中机抽出3题进行测试少答2题算合格
（Ⅰ）求甲答试题数ξ概率分布数学期
（Ⅱ）求甲乙两少考试合格概率
19．（题满分12分）
三棱锥S—ABC中△ABC边长4正三角形面SAC⊥面ABCSASC2MN分ABSB中点
（Ⅰ）证明：AC⊥SB
（Ⅱ）求二面角N—CM—B
（Ⅲ）求点B面CMN距离
20．（题满分12分）
某企业2003年纯利润500万元设备老化等原企业生产力逐年降进行技术改造预测年起年年纯利润减少20万元年初该企业次性投入资金600万元进行技术改造预测未扣技术改造资金情况第n年（年第年）利润500(1+)万元（n正整数）
（Ⅰ）设年起前n年该企业进行技术改造累计纯利润An万元进行技术改造累计纯利润Bn万元（须扣技术改造资金）求AnBn表达式
（Ⅱ）述预测年起该企业少少年进行技术改造累计纯利润超进行技术改造累计纯利润？
21．（题满分14分）
已知f(x)(x∈R)区间[－11]增函数
（Ⅰ）求实数a值组成集合A
（Ⅱ）设关x方程f(x)两非零实根x1x2试问：否存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立？存求m取值范围存请说明理
22．（题满分12分）
图P抛物线C：yx2点直线l点P抛物线C交点Q
（Ⅰ）直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围
2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题
参考答案
1A 2C 3D 4A 5B 6C 7C 8B 9A 10D 11D 12B
二13．4 1412 1513 1623
三
17 题考查面量概念计算三角函数恒等变换图象变换基技考查运算力满分12分
解：（Ⅰ）题设f(x)2cos2x+sin2x1+2sin(2x+)
1+2sin(2x+)1－sin(2 x +)－
∵≤x≤∴≤2x+≤∴2x+
x
（Ⅱ）函数y2sin2x图象量c(mn)移函数y2sin2(x－m)+n图象函数yf(x)图象
（Ⅰ） f(x)2sin2(x+)+1
∵|m|<∴mn1
18题考查概率统计基础知识运数学知识解决问题力满分12分
解：（Ⅰ）题意甲答试题数ξ概率分布：
ξ
0
1
2
3
P
甲答试题数ξ数学期
Eξ0×+1×+2×+3×
（Ⅱ）设甲乙两考试合格事件分AB
P(A)
P(B)
事件AB相互独立
方法：
∴甲乙两考试均合格概率
P()P()P()1－)(1－)
∴甲乙两少考试合格概率
P1－P()1－
答：甲乙两少考试合格概率
方法二：
∴甲乙两少考试合格概率
PP(A·)+P(·B)+P(A·B)P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
×+×+×
答：甲乙两少考试合格概率
19题考查直线直线直线面二面角点面距离等基础知识考查空间想象力逻辑推理力满分12分
解法：（Ⅰ）取AC中点D连结SDDB
∵SASCABBC
∴AC⊥SDAC⊥BD
∴AC⊥面SDBSB面SDB
∴AC⊥SB
（Ⅱ）∵AC⊥面SDBAC面ABC
∴面SDB⊥面ABC
N作NE⊥BDENE⊥面ABC
E作EF⊥CMF连结NF
NF⊥CM
∴∠NFE二面角N－CM－B面角
∵面SAC⊥面ABCSD⊥AC∴SD⊥面ABC
∵NE⊥面ABC∴NE∥SD
∵SNNB∴NESDEDEB
正△ABC中知识求EFMB
Rt△NEF中tan∠NFE2
∴二面角N—CM—Barctan2
（Ⅲ）Rt△NEF中NF
∴S△CMNCM·NFS△CMBBM·CM2
设点B面CMN距离h
∵VBCMNVNCMBNE⊥面CMB∴S△CMN·hS△CMB·NE
∴h点B面CMN距离
解法二：（Ⅰ）取AC中点O连结OSOB
∵SASCABBC
∴AC⊥SOAC⊥BO
∵面SAC⊥面ABC面SAC∩面 ABCAC
∴SO⊥面ABC∴SO⊥BO
图示建立空间直角坐标系O－xyz
A（200）B（020）C（－200）
S（002）M(10)N(0)
∴（－400）（022）
∵·（－400）·（022）0
∴AC⊥SB
（Ⅱ）（Ⅰ）（30）（－10）设n（xyz）面CMN法量
·n3x+y0
取z1xy
·n－x+z0
∴n(－1)
(002)面ABC法量
∴cos(n)
∴二面角N－CM－Barccos
（Ⅲ）（Ⅰ）（Ⅱ）（－10）n（－1）面CMN法量
∴点B面CMN距离d
20题考查建立函数关系式数列求等式等基础知识考查运数学知识解决实际问题力满分12分
解：（Ⅰ）题设An(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)490n－10n2
Bn500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600500n－－100
（Ⅱ）Bn－An(500n－－100) －(490n－10n2)
10n2+10n－－10010[n(n+1) － －10]
函数yx(x+1) － －10（0+∞）增函数
1≤n≤3时n(n+1) － －10≤12－－10<0
n≥4时n(n+1) － －10≥20－－10>0
∴仅n≥4时Bn>An
答：少4年该企业进行技术改造累计纯利润超进行技术改造累计纯利润
21题考查函数单调性导数应等式等关知识考查数形结合分类讨思想灵活运数学知识分析问题解决问题力满分14分
解：（Ⅰ）f＇(x)
∵f(x)[－11]增函数
∴f＇(x)≥0x∈[－11]恒成立
x2－ax－2≤0x∈[－11]恒成立 ①
设(x)x2－ax－2
方法：
① －1≤a≤1
∵x∈[－11]f(x)连续函数a1时f＇(1)0a－1时f＇(1)0
∴A{a|－1≤a≤1} 方法二：
①
0≤a≤1 －1≤a≤0
－1≤a≤1
∵x∈[－11]f(x)连续函数a1时f＇(－1)0a1时f＇(1)0
∴A{a|－1≤a≤1}
（Ⅱ）x2－ax－20 ∵△a2+8>0
∴x1x2方程x2－ax－20两非零实根x1+x2ax1x2－2
|x1－x2|
∵－1≤a≤1∴|x1x2|≤3
等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立
仅m2+tm+1≥3意t∈[－11]恒成立
m2+tm－2≥0意t∈[－11]恒成立 ②
设g(t)m2+tm－2mt+(m2－2)
方法：
② g(－1)m2－m－2≥0g(1)m2+m－2≥0
m≥2m≤－2
存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立取值范围{m|m≥2m≤－2}
方法二：
m0时②显然成立
m≠0时
② m>0g(－1)m2－m－2≥0 m<0g(1)m2+m－2≥0
m≥2m≤－2
存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[11]恒成立取值范围{m|m≥2m≤－2}
22 题考查直线抛物线等式等基础知识求轨迹方程方法解析基思想综合解题力满分12分
解：（Ⅰ）设P(x1y1)Q(x2y2)M(x0y0)题意x1≠0y1>0y2>0
yx2 ①
y＇x
∴点P切线斜率k切 x1
∴直线l斜率kl－
∴直线l方程y－x12－ (x－x1)
方法：
联立①②消yx2+x－x12－20
∵MPQ中点
∴ x0y0x12－(x0－x1)
消x1y0x02++1(x0≠0)
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)
方法二：
y1x12y2x22x0
y1－y2x12－x22(x1+x2)(x1－x2)x0(x1－x2)
x0kl
∴x1－
式代入②整理
y0x02++1(x0≠0)
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)
（Ⅱ）设直线lykx+b题意k≠0b≠0T(0b)
分PQ作PP＇⊥x轴QQ＇⊥y轴垂足分P＇Q＇
yx2 ykx+b 消xy2－2(k2+b)y+b20 ③
y1+y22(k2+b)y1y2b2
方法：
∴|b|()≥2|b|2|b|2
∵y1y2取切相等正数
∴取值范围（2+）
方法二：
∴|b||b|
b>0时b+2>2
b<0时－b
方程③两相异实根△4(k2+b)24b24k2(k2+2b)>0
k2+2b>0k2>－2b
>2
∵b>0时取切正数
∴取值范围（2+）
方法三：
PQT三点线kTQKTP
x1y2－bx1x2y1－bx2b(x2－x1)(x2y1－x1y2)
b－x1x2
2
2
∴++≥2
∵取切等1正数
∴取值范围（2+）
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第Ⅰ卷（选择题 60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1．复数值 （ ）
A．－1 B．1 C．－32 D．32
2．tan15°+cot15°值 （ ）
A．2 B．2+ C．4 D．
3．命题p：ab∈R|a|+|b|>1|a+b|>1充分必条件
命题q：函数y定义域（－∞－1∪[3+∞ （ ）
A．pq假 B．pq真
C．p真q假 D．p假q真
4．已知F1F2椭圆两焦点F1椭圆长轴垂直直线交椭圆AB两点△ABF2真正三角形椭圆离心率 （ ）
A． B． C． D．
5．已知mn重合直线αβ重合面列命题：
①mαn∥αm∥n
②m∥αm∥βα∥β
③α∩βnm∥nm∥αm∥β
④m⊥αm⊥βα∥β
中真命题数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某校高二年级六班级现外转入4名学生安排该年级两班级班安排2名安排方案种数 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数ylog2x反函数yf—1(x)函数y f—1(1－x)图象 （ ）
8．已知非零量满足(－2) ⊥(－2) ⊥夹角 （ ）
A． B． C． D．
9．(12x)9展开式第3项288值 （ ）
A．2 B．1 C． D．
10．图ABC表面积48π球面三点
AB2BC4∠ABC60°O球心直线
OA截面ABC成角（ ）
A．arcsin B．arccos
C．arcsin D．arccos
11．定义R偶函数f(x)满足f(x)f(x+2)x∈[35]时f(x)2－|x－4|（ ）
A．f(sin)
C．f(cos)
12．图BA正东方4 km处C
B北偏东30°方2 km处河流
没岸PQ（曲线）意点A距离
B距离远2 km现曲线PQ
选处M建座码头BC两转运
货物测算MBMC修建公
路费分a万元km2a万元km
修建两条公路总费低（ ）
A．(2－2)a万元 B．5a万元
C．(2+1) a万元 D．(2+3) a万元
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
13．直线x+2y0曲线x2+y2－6x－2y－150截弦长等
14．设函数 x0处连续实数a值
15．某射手射击1次击中目标概率09连续射击4次次射击否击中目标相互间没影响列结：
①第3次击中目标概率09
②恰击中目标3次概率093×01
③少击中目标1次概率1014
中正确结序号 （写出正
确结序号）
16．图1边长1正六边形铁皮六角
切全等四边形虚线折起做成
盖正六棱柱容器正六棱柱容器
底面边长 时容积
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（题满分12分）
设函数f(x)·中量(2cosx1)(cosx sin2x)x∈R
（Ⅰ）f(x)1－x∈[－]求x
（Ⅱ）函数y2sin2x图象量(mn)(|m|<)移函数yf(x)图象求实数mn值
18．（题满分12分）
甲乙两参加次英语口语考试已知备选10道试题中甲答中6题乙答中8题规定次考试备选题中机抽出3题进行测试少答2题算合格
（Ⅰ）求甲答试题数ξ概率分布数学期
（Ⅱ）求甲乙两少考试合格概率
19．（题满分12分）
三棱锥S—ABC中△ABC边长4正三角形面SAC⊥面ABCSASC2MN分ABSB中点
（Ⅰ）证明：AC⊥SB
（Ⅱ）求二面角N—CM—B
（Ⅲ）求点B面CMN距离
20．（题满分12分）
某企业2003年纯利润500万元设备老化等原企业生产力逐年降进行技术改造预测年起年年纯利润减少20万元年初该企业次性投入资金600万元进行技术改造预测未扣技术改造资金情况第n年（年第年）利润500(1+)万元（n正整数）
（Ⅰ）设年起前n年该企业进行技术改造累计纯利润An万元进行技术改造累计纯利润Bn万元（须扣技术改造资金）求AnBn表达式
（Ⅱ）述预测年起该企业少少年进行技术改造累计纯利润超进行技术改造累计纯利润？
21．（题满分14分）
已知f(x)(x∈R)区间[－11]增函数
（Ⅰ）求实数a值组成集合A
（Ⅱ）设关x方程f(x)两非零实根x1x2试问：否存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立？存求m取值范围存请说明理
22．（题满分12分）
图P抛物线C：yx2点直线l点P抛物线C交点Q
（Ⅰ）直线l点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围
2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题
参考答案
1A 2C 3D 4A 5B 6C 7C 8B 9A 10D 11D 12B
二13．4 1412 1513 1623
三
17 题考查面量概念计算三角函数恒等变换图象变换基技考查运算力满分12分
解：（Ⅰ）题设f(x)2cos2x+sin2x1+2sin(2x+)
1+2sin(2x+)1－sin(2 x +)－
∵≤x≤∴≤2x+≤∴2x+
x
（Ⅱ）函数y2sin2x图象量c(mn)移函数y2sin2(x－m)+n图象函数yf(x)图象
（Ⅰ） f(x)2sin2(x+)+1
∵|m|<∴mn1
18题考查概率统计基础知识运数学知识解决问题力满分12分
解：（Ⅰ）题意甲答试题数ξ概率分布：
ξ
0
1
2
3
P
甲答试题数ξ数学期
Eξ0×+1×+2×+3×
（Ⅱ）设甲乙两考试合格事件分AB
P(A)
P(B)
事件AB相互独立
方法：
∴甲乙两考试均合格概率
P()P()P()1－)(1－)
∴甲乙两少考试合格概率
P1－P()1－
答：甲乙两少考试合格概率
方法二：
∴甲乙两少考试合格概率
PP(A·)+P(·B)+P(A·B)P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
×+×+×
答：甲乙两少考试合格概率
19题考查直线直线直线面二面角点面距离等基础知识考查空间想象力逻辑推理力满分12分
解法：（Ⅰ）取AC中点D连结SDDB
∵SASCABBC
∴AC⊥SDAC⊥BD
∴AC⊥面SDBSB面SDB
∴AC⊥SB
（Ⅱ）∵AC⊥面SDBAC面ABC
∴面SDB⊥面ABC
N作NE⊥BDENE⊥面ABC
E作EF⊥CMF连结NF
NF⊥CM
∴∠NFE二面角N－CM－B面角
∵面SAC⊥面ABCSD⊥AC∴SD⊥面ABC
∵NE⊥面ABC∴NE∥SD
∵SNNB∴NESDEDEB
正△ABC中知识求EFMB
Rt△NEF中tan∠NFE2
∴二面角N—CM—Barctan2
（Ⅲ）Rt△NEF中NF
∴S△CMNCM·NFS△CMBBM·CM2
设点B面CMN距离h
∵VBCMNVNCMBNE⊥面CMB∴S△CMN·hS△CMB·NE
∴h点B面CMN距离
解法二：（Ⅰ）取AC中点O连结OSOB
∵SASCABBC
∴AC⊥SOAC⊥BO
∵面SAC⊥面ABC面SAC∩面 ABCAC
∴SO⊥面ABC∴SO⊥BO
图示建立空间直角坐标系O－xyz
A（200）B（020）C（－200）
S（002）M(10)N(0)
∴（－400）（022）
∵·（－400）·（022）0
∴AC⊥SB
（Ⅱ）（Ⅰ）（30）（－10）设n（xyz）面CMN法量
·n3x+y0
取z1xy
·n－x+z0
∴n(－1)
(002)面ABC法量
∴cos(n)
∴二面角N－CM－Barccos
（Ⅲ）（Ⅰ）（Ⅱ）（－10）n（－1）面CMN法量
∴点B面CMN距离d
20题考查建立函数关系式数列求等式等基础知识考查运数学知识解决实际问题力满分12分
解：（Ⅰ）题设An(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)490n－10n2
Bn500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600500n－－100
（Ⅱ）Bn－An(500n－－100) －(490n－10n2)
10n2+10n－－10010[n(n+1) － －10]
函数yx(x+1) － －10（0+∞）增函数
1≤n≤3时n(n+1) － －10≤12－－10<0
n≥4时n(n+1) － －10≥20－－10>0
∴仅n≥4时Bn>An
答：少4年该企业进行技术改造累计纯利润超进行技术改造累计纯利润
21题考查函数单调性导数应等式等关知识考查数形结合分类讨思想灵活运数学知识分析问题解决问题力满分14分
解：（Ⅰ）f＇(x)
∵f(x)[－11]增函数
∴f＇(x)≥0x∈[－11]恒成立
x2－ax－2≤0x∈[－11]恒成立 ①
设(x)x2－ax－2
方法：
① －1≤a≤1
∵x∈[－11]f(x)连续函数a1时f＇(1)0a－1时f＇(1)0
∴A{a|－1≤a≤1} 方法二：
①
0≤a≤1 －1≤a≤0
－1≤a≤1
∵x∈[－11]f(x)连续函数a1时f＇(－1)0a1时f＇(1)0
∴A{a|－1≤a≤1}
（Ⅱ）x2－ax－20 ∵△a2+8>0
∴x1x2方程x2－ax－20两非零实根x1+x2ax1x2－2
|x1－x2|
∵－1≤a≤1∴|x1x2|≤3
等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立
仅m2+tm+1≥3意t∈[－11]恒成立
m2+tm－2≥0意t∈[－11]恒成立 ②
设g(t)m2+tm－2mt+(m2－2)
方法：
② g(－1)m2－m－2≥0g(1)m2+m－2≥0
m≥2m≤－2
存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[－11]恒成立取值范围{m|m≥2m≤－2}
方法二：
m0时②显然成立
m≠0时
② m>0g(－1)m2－m－2≥0 m<0g(1)m2+m－2≥0
m≥2m≤－2
存实数m等式m2+tm+1≥|x1－x2|意a∈At∈[11]恒成立取值范围{m|m≥2m≤－2}
22 题考查直线抛物线等式等基础知识求轨迹方程方法解析基思想综合解题力满分12分
解：（Ⅰ）设P(x1y1)Q(x2y2)M(x0y0)题意x1≠0y1>0y2>0
yx2 ①
y＇x
∴点P切线斜率k切 x1
∴直线l斜率kl－
∴直线l方程y－x12－ (x－x1)
方法：
联立①②消yx2+x－x12－20
∵MPQ中点
∴ x0y0x12－(x0－x1)
消x1y0x02++1(x0≠0)
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)
方法二：
y1x12y2x22x0
y1－y2x12－x22(x1+x2)(x1－x2)x0(x1－x2)
x0kl
∴x1－
式代入②整理
y0x02++1(x0≠0)
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)
（Ⅱ）设直线lykx+b题意k≠0b≠0T(0b)
分PQ作PP＇⊥x轴QQ＇⊥y轴垂足分P＇Q＇
yx2 ykx+b 消xy2－2(k2+b)y+b20 ③
y1+y22(k2+b)y1y2b2
方法：
∴|b|()≥2|b|2|b|2
∵y1y2取切相等正数
∴取值范围（2+）
方法二：
∴|b||b|
b>0时b+2>2
b<0时－b
方程③两相异实根△4(k2+b)24b24k2(k2+2b)>0
k2+2b>0k2>－2b
>2
∵b>0时取切正数
∴取值范围（2+）
方法三：
PQT三点线kTQKTP
x1y2－bx1x2y1－bx2b(x2－x1)(x2y1－x1y2)
b－x1x2
2
2
∴++≥2
∵取切等1正数
∴取值范围（2+）
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