北师大版九年级下册数学全册周周测40个


    1.1锐角三角函数 一、选择题 1.若0°<α<90°,则下列说法不正确的是(  ) A. sinα随α的增大而增大                                         B. cosα随α的增大而减小 C. tanα随α的增大而增大                                        D. sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大 2.如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是(   ) A.                                      B.                                      C.                                      D.  3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,下列等式中正确的是(  ) A. cosA=                            B. sinB=                            C. tanB=                            D. cotA= 4.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更陡些,则下列结论正确的是(       ) A. tanα<tanβ                      B. sinα<sinβ                      C. cosα<cosβ                      D. cosα>cosβ 5.已知A,B都是锐角、且sinA<sinB,则下列关系正确的是(  ) A. ∠A>∠B                      B. tanA>tanB                      C. cosA>cosB                      D. 以上都不正确 6.如图,以圆O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是弧 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是(   ) A. (sinα,sinα)            B. (cosα,cosα)            C. (cosα,sinα)            D. (sinα,cosα) 7.如图,一根铁管CD固定在墙角,若BC=5米,∠BCD=55°,则铁管CD的长为() A. 米                          B. 5sin55°米                          C. 米                          D. 5cos55°米 8.在△ABC中,∠C=90°,a、b分别是∠A、∠B所对的两条直角边,c是斜边,则有( ) A. sinA=                            B. cosB=                            C. tanA=                            D. cosB= 9.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值为( ) A. 2                                        B.                                         C.                                         D.  10.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A、B、O为格点,则tan∠AOB=(   ) A.                                       B.                                       C.                                       D.  二、填空题 11.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,cosB=, 则BC=________  12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=8,sinA= ,则BC的长是________. 13.在△ABC中,∠C=90°,AC =3,BC=4,则sinA的值是________  14.若∠A是锐角,cosA>, 则∠A的取值范围是________ . 15.在Rt 中, , ,则 的值为________. 16.在Rt△ABC中,,BC=2,,则AB=________  17.正方形网格中,如图放置,则tan的值为________ . [MISSING IMAGE: , ] 18.若等腰三角形的两边分别为8和10,则底角的余弦值为________. 三、解答题 19.△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求sinA,cosA,tanA的值. 20.(1)计算: (2)根据图中数据,求sinC和sinB的值. 21.在△ABC中,∠C=90°,BC=24cm,cosA= ,求这个三角形的周长. 22.如图 (1)如图,锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定,也随着其变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值的变化规律; (2)根据你探索到的规律,试比较18°,34°,52°,65°,88°,这些角的正弦值的大小和余弦值的大小; (3)比较大小:(在空格处填写“<”或“>”或“=”) 若∠α=45°,则sinα________cosα;若∠α<45°,则sinα________cosα;若∠α>45°,则sinα________cosα; (4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系,比较下列正弦值和余弦值的大小: sin10°,cos30°,sin50°,cos70°. 1.1锐角三角函数 一、 选择题 1. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=8,CD=4,DA=3,则sinB的值是( ) A. B. C. D. 2. 如图. 的直径 垂直于弦 ,垂足是 , , , 的长为 A. B. C. D.8 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于(  ) A. B. C. D. 4. 下列各数: ,π, ,cos60°,0, ,其中无理数的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 2 sin 60°的值等于(  ) A.1 B. C. D. 6. 在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=cosB= ,那么△ABC的形状是(  ) A.钝角三角形 B.直角三角形   C.锐角三角形   D.无法确定 7. 正方形网格中,∠AOB如图放置,则sin∠AOB=(  ) A. B. C. D.2 8. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为(  ) A. B. C. D. 9. 如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ,堤高BC=10m,则坡面AB的长度是(  ) A.15m B. C.20m D. 10. 在△ABC中,若 ,则∠C的度数是(  ) A.45° B.60° C.75° D.105° 11. 如图,已知一商场自动扶梯的长l为13米,高度h为5米,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,则tan θ的值等于 A. B. C. D. 二、填空题 12. 如图,河流两岸a、b互相平行,点A、B是河岸a上的两座建筑物,点C、D是河岸b上的两点,A、B的距离约为200米.某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为     米. 13. 一山坡的坡度为i=1: ,那么该山坡的坡角为       度. 14. 网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=   . 15. 等腰三角形的面积为24,底边长4,则底角的正切值为   。 16. 在Rt△ABC中,∠C=90°, a ∶ b =2∶1,则tan A=________,cos A=________,sin B=______. 17. 如图,点B,C是河岸边的两点,A是河对岸岸边的一点,测得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC=200米,则点A到岸边BC的距离是_________米. 三、解答题 18. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续向前飞行了800米到达B点,此时测得点F在点B俯角为45°的方向上,请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A、B、C在同一直线上),竖直高度CF约为多少米?(结果保留整数,参考数值: ≈1.7) 19. 如右图在某建筑物AC上,挂着“和谐广东”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测的仰角为 ,条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测的仰角为 ,求宣传条幅再往BC的长,(小明的身高不计,结果精确到0.1米) 20. 先化简,再求值: ÷ ,其中x=4cos60°+1. 21. 已知α和α-15°均为锐角,且3tan(α-15°)= ,求α的值. 答案 一、选择题 1、 A. 2、 C 3、 D 4、 B. 5、 D 6、 B. 7、 B. 8、 D. 9、 C. 10、 C. 11、 A 二、填空题 12、 . 13、 30°. 14、 . 15、 6 16、2     17、100 三、解答题 18、∵∠BDC=90°,∠DBC=45°, ∴BC=CF, ∵∠CAF=30°, ∴tan30°= , 解得:CF=400 +400≈400(1.7+1)=1080(米). 答:竖直高度CF约为1080米. 19、设BC为x米,由两仰角的正切值及BC的长可表示出FE,从而求出BC. 试题解析:设BC为x米,∠BEC=60°,∠BFC=30°,EF=20米, FE= ,20= x x, 解得:x=10 ≈17.3(米). 答:宣传条幅BC的长为17.3米. 20、 原式= =  =  ,  当 =3时,原式= = . 21、 解: 因为α和α-15°均为锐角,且3tan(α-15°)= ,所以tan(α-15°)= . 因为tan 30°= ,所以α-15°=30°,所以α=45°. 1.2 30°,45°,60°的三角函数值 参考答案 30°、45°、60°角的三角函数值 一、选择题 1.sin60°=(   ) A.                                        B.                                        C.                                        D.  2.3tan60°的值为(  ) A.                                       B.                                       C.                                       D. 3 3.对于sin60°有下列说法: ①sin60°是一个无理数;②sin60°>sin50°;③sin60°=6sin10°. 其中说法正确的有(  ) A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个 4.在△ABC中, ,则△ABC为(   ) A. 直角三角形          B. 等边三角形          C. 含60°的任意三角形          D. 是顶角为钝角的等腰三角形 5.在△ABC中,若cosA= ,tanB= ,则这个三角形一定是(   ) A. 锐角三角形                       B. 直角三角形                       C. 钝角三角形                       D. 等腰三角形 6.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为(  ) A. ​                                        B. ​                                        C.                                         D. ​ 7.若规定sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ,则sin15°=(   ) A.                                B.                                C.                                D.  8.如图,P为∠XOY上一点,作PH⊥OY于H,对于sin2∠XOY+cos2∠XOY的大小,下列说法正确的是(  ) A. 与点P的位置有关                                                B. 与PH的长度有关 C. 与∠XOY的大小有关                                            D. 与点P的位置和∠XOY的大小都无关 9.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则的值为(  ) A.                                          B.                                          C. 1                                         D.  二、填空题 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=, 则tanA=________  11.求值:sin60°﹣tan30°=________ 12.计算:=________ . 13.若 ,则锐角α=________. 14.若 tan(x+10°)=1,则锐角x的度数为________. 15.锐角A满足sinA=, 则∠A=________  16.将三角板(不是等腰的)顶点放置在直线AB上的O点处,使AB∥CD,则∠2的余弦值是________ . 三、解答题 17.计算:cos230°+2sin60°﹣tan45°. 18.计算:2cos230°﹣sin30°+ . 19.先化简,再求代数式( ﹣ )÷ 的值,其中a=2sin60°+tan45°. 20.如图,海中有一小岛P,在距小岛16 海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处测得小岛P位于北偏东45°,且A,P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,有无触礁的危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向,才能安全通过这一海域? 1.3 三角函数的有关计算 参考答案 1.3三角函数的计算 一、选择题 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB的值等于(  ) A.                                          B.                                          C.                                          D.  2.用计算器求sin20°+tan54°33′的结果等于(结果精确到0.01)(  ) A. 2.25                                     B. 1.55                                     C. 1.73                                     D. 1.75 3.按键 , 使科学记算器显示 回后,求sin90°的值,以下按键顺序正确的是(  ) A.      B.  C.                          D.  4.在△ABC中,∠C=90°,a=5,c=13,用计算器求∠A约等于(  ) A. 14°38′                                B. 65°22′                                C. 67°23′                                D. 22°37′ 5.在△ABC中,已知∠A,∠B都是锐角,且sinA=, tanB=1,则∠C的度数为(  ) A. 75°                                      B. 105°                                      C. 60°                                      D. 45° 6.Rt△ABC中,∠C=90°,a:b=3:4,运用计算器计算,∠A的度数(精确到1°)(  ) A. 30°                                       B. 37°                                       C. 38°                                       D. 39° 7.在△ABC中,∠C=90°如果tanA=  ,那么sinB的值是(       ). A.                                        B.                                        C.                                        D.  8.用计算器求sin24°37′18″的值,以下按键顺序正确的是(  ) A.  B.  C.  D.  9.在Rt△ABC中,已知cosB=, 则tanB的值为(  ) A.                                        B.                                        C.                                        D.  10.如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则 等于(   ) A.                                           B.                                           C.                                           D.  二、填空题 11.利用计算器求值(结果精确到0.001):sin55°≈________ ;tan45°23′≈________ . 12.若tanα=2,则 =________. 13.选做题:在下面两题中选做一题;若两题都做,只以第(I)题计分. (I) 上海世博会正在举办,其中中国馆投资约1095600000元,将这次投资经费用科学记数法可表示为________ 元(保留两个有效数字). (II)比较大小:sin57°________ tan57°(可用计算器计算,填“>,=,<”之一). 14.若sin(90°﹣A)= ,则cosA________. 15.若tanα=1(0°≤α≤90°),则cos(90°﹣α)=________. 16.利用计算器求sin20°tan35°的值时,按键顺序是________ . 17.若sinα=, 则α=________ 18.小虎同学在计算a+2cos60°时,因为粗心把“+”看成“-”,结果得2006,那么计算a+2cos60°的正确结果应为________. 三、解答题 19.等腰三角形中,两腰和底的长分别是10和13,求三角形的三个内角的度数(精确到l′). 20.利用计算器求下列各函数值. (1)sin 54°,(2)cos 40°,(3)tan 38°,(4)sin17°54′,(5)cos57°32′58″, (6)tan 73°20″,(7)sin28.7°﹣cos54°36′+tan51°47′,(8)tan 24.5°•tan 65.5°. 21.已知:如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°. 求: (1)AB边上的高(精确到0.01); (2)∠B的度数(精确到1′). 1.4解直角三角形 一、选择题 1.在直角三角形中不能求解的是(  ) A. 已知斜边和一锐角                B. 已知两边                C. 已知两角                D. 已知一直角边和一锐角 2.已知:△ABC中,∠C=90°,cosB= , AB=15,则BC的长是(  ) A. 3                                      B. 3                                      C. 6                                      D.  3.如图,△ABC与△DEF都是等腰三角形,且AB=AC=3,DE=DF=2,若∠B+∠E=90°,则△ABC与△DEF的面积比为(  ) A. 9:4                               B. 3:2                               C. :                               D. 3:2 4.在Rt△ABC中, , , ,则 (    )。 A. 9                                          B. 4                                          C. 18                                          D. 12 5.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且sinA=, cosB=, AC=40,则△ABC的面积是(  ) A. 800                                   B. 800                                   C. 400                                   D. 400 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AC=4,BC=3,则tan∠ACD的值为(  ) A.                                           B.                                           C.                                           D.  7. 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,BC=6,则AB=(  ) A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10 8.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.AB=BC.点D是线段AB上的一点,连结CD.过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF,给出以下四个结论:① = ;②若点D是AB的中点,则AF= AB;③当B、C、F、D四点在同一个圆上时,DF=DB;④若 = ,则S△ABC=9S△BDF , 其中正确的结论序号是(   ) A. ①②                                 B. ③④                                 C. ①②③                                 D. ①②③④ 9.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高线,若BD=2,BC=6,则AB=(  ) A.                                B.                                C. 2                                D. 2 10.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且sinA=, cosB=, AC=40,则△ABC的面积是(  ) A. 800                                   B. 800                                   C. 400                                   D. 400 二、填空题 11.如图,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2000米,则他实际上升了________ 米. 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°.若AB=1,则sin∠B= ________  ;BC=________  13.如图,在3×3的网格中点C也在格点上,设∠CAB=,当△ABC面积最大时,tan的值可以是________ . 14.在△ABC中,sinA= ,AB=8,BC=6,则AC=________. 15.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=, AC=2,那么BC=________  16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB= ,则sin∠CAD=________. 17.某水库水坝的坝高为10米,迎水坡的坡度为1:2.4,则该水库迎水坡的长度为________ 米. 18.在△ABC中,AB=AC=5,△ABC的面积为10,则tan∠ACB的值为________.  三、解答题 19.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,根据下列条件:c=8 ,∠A=60°,求出直角三角形的其他元素. 20.如图,已知在△ABC中,AB=AC=2, sin∠B=, D为边BC的中点,E为边BC的延长线上一点,且CE=BC.联结AE,F为线段AE的中点. 求:线段DE的长; 21.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠ BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.(结果保留三位有效数字,参考数据: ≈1.414; ≈1.732.) 22.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°. (1)若AD=2,求AB; (2)若AB+CD=2 +2,求AB. 第一章第4节《解直角三角形》同步练习 一、选择题 1.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为(  ) A.2+3 B.23 C.3+3 D.33 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,则BC=(  ) A.5      B.102     C.45     D.15 3.在Rt△ABC中.∠C=90°,tanA=34,AB=10,则BC的长为(  ) A.5      B.6      C.7      D.8 4.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,∠CBD=30°,则AD:DC=(  ) A.33 B.22 C.2-l D.3-l 5.在△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=13,则AC等于(  ) A.18     B.2      C.12     D.118 6.如图,在2×2的网格中,以顶点O为圆心,以2个单位长度为半径作圆弧,交图中格线于点A,则tan∠ABO的值为(  ) A.2-3      B.2      C.2+3      D.3 7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若AC=62,∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD等于(  ) A.2      B.3       C.32      D.23 8.如图,△ABC中AB=AC=4,∠C=72°,D是AB中点,点E在AC上,DE⊥AB,则cosA的值为(  ) A.5-12 B.5-14 C.5+14 D.5+12 9.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,BC=6,则AB=(  ) A.4      B.6      C.8      D.10 10.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,tanA=2,则BD的长等于(  ) A.5      B.3      C.10      D.4 二、解答题 11.如图,在△ABC中,∠A=30°,cosB=45,AC=63.求AB的长. 12.已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB,sinA=45,AB=13,CD=12. 求:AC的长和tanB的值. 13.△ABC是一块钢板余料,其中∠A=30°,∠B=45°,AB=20dm,现要从中剪裁出边长为6dm的等边△DEF,如图所示,其中点D在BC上,点E和点F在AB上,求AE、BF的长(结果保留根号). 周周练(1.1~1.4) (时间:45分钟 满分:100分)                     一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(天津中考)sin60°的值等于( ) A. B. C.1 D. 2.在△ABC中,∠C=90°,a,b分别是∠A,∠B所对的两条直角边,c是斜边,则有( ) A.sinA= B.cosB= C.tanA= D.cosB= 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为( ) A.4 B.2 C. D.     4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则BC∶AC∶AB等于( ) A.1∶2∶5 B.1∶∶ C.1∶∶2 D.1∶2∶ 5.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tanα等于( ) A. B. C. D. 6.一个直角三角形有两条边长为3,4,则较小的锐角约为( ) A.41° B.37° C.41°或37° D.以上答案都不对 7.(泰州中考)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是( ) A.1,2,3 B.1,1, C.1,1, D.1,2, 8.(孝感中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,则▱ABCD的面积是( ) A.absinα B.absinα C.Abcosα D.abcosα 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4.则∠B的正弦值是____________. 10.(滨州中考)如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为____________.     11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,∠BAC的平分线交BC于D,AD= cm,则BC=____________cm. 12.如图,某建筑物BC直立于水平地面,AC=9米,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20 cm,则此阶梯最少要建____________阶.(最后一阶的高度不足20 cm时,按一阶算,取1.732) 三、解答题(共52分) 13.(10分)计算: (1)cos30°+sin45°; (2)(sin60°+cos45°)(sin60°-cos45°). 14.(8分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号) 15.(10分)(重庆中考A卷)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sinC的值. 16.(12分)(益阳中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E. (1)求证:AC⊥BD; (2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长. 17.(12分)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长. 参考答案 1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 9. 10.24 11.5 12.26 13.(1)原式=×+×=+1=. (2)原式=sin260°-cos245°=()2-()2=. 14.∵△ABD是等边三角形, ∴∠B=60°.∵∠BAC=90°, ∴∠C=30°.∵sinC=, ∴BC==4.∵cosC=, ∴AC=BC·cosC=2. ∴△ABC的周长是6+2. 15.∵AD⊥BC, ∴tan∠BAD=. ∵tan∠BAD=,AD=12, ∴BD=9. ∴CD=BC-BD=14-9=5. ∴在Rt△ADC中,AC===13. ∴sinC==. 16.(1)证明:∵∠CAB=∠ACB, ∴AB=CB. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. (2)在Rt△AOB中,cos∠CAB==,AB=14, ∴AO=14×=.在Rt△ABE中,cos∠EAB==,AB=14, ∴AE=AB=16. ∴OE=AE-AO=16-=. 17.过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°,BC=ACtan60°=10.∵AB∥CF, ∴∠BCM=∠ABC=30°. ∴BM=BC·sin30°=10×=5,CM=BC·cos30°=10×=15. ∵∠BMD=90°,∠E=45°, ∴∠EDF=45°. ∴MD=BM=5. ∴CD=CM-MD=15-5. 1.5 三角函数的应用 一、 选择题 1. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,已知AD=5 m,DC=3 m,CE=4 m,CB的坡度 i =1∶,则AB的长为 … ( ) A.(3+4)m    B.14 m C.(6+4)m    D.(6+5)m 2. 如图,梯形护坝的斜坡 AB 的坡度 i =1∶3,坝高 BC 为2米,则斜坡 AB 的长是(  ) A.米 B.米 C.米 D.6米 3. 铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1∶1.5,上底宽为6 m,路基高为4 m,则路基的下底宽为(  ) A.18 m  B.15 m    C.12 m  D.10 m 4. 如图,把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,当水杯中的水在点 P 与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为(  ) A.2 cm    B.4 cm    C.6 cm    D.8 cm 5. 小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m,则他升高了( ) A. 200m    B.500 m C.500m    D.1 000 m 6. 已知Rt△ABC中,斜边AB的长为 m ,∠B=40°,则直角边BC的长是( ) A. m sin 40°      B. m cos 40° C. m tan 40° D. 7. 某水坝的坡度 i =1∶,坡长AB=20 m,则坝的高度为( ) A.10 m   B.20 m C.40 m  D.2m 8. 如图,梯形护坡石的斜坡AB的坡度 i =1∶3,坝高BC为2 m,则斜坡AB的长是( ) 9. 如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( ) 10. 如图,把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为( ) A.2 cm   B.4 cm C.6 cm    D.8 cm 11. 如图,坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离 AC 为2 m,则两树间的坡面距离 AB 为(  ) 12. 某人上坡沿直线走了50m,他升高了 25 m ,这坡的坡度为(    ) A.30°     B.45°    C.1∶1 D. ∶2 二、填空题 13. 根据图中所给的数据,求得避雷针 CD 的长约为________m.(结果精确到0.01 m) 14. 小强和小明去测量一座古塔的高度,如图,他们在离古塔60 m处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°,已知测角仪高 AD =1.5 m,则古塔BE的高为______m. 15. 如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸,从C处看桥的两端A,B,夹角∠BCA=60°,测得BC=7 m,则桥长AB=________ m (结果精确到1 m). 16. 如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_________海里(不作近似计算). 17. 如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是_________米. 三、解答题 18. 如图,山坡AB的坡角α为25°,坡的长度AB=480 m,求山坡的高度 h . 19. 已知Rt△ABC中,∠C=90°. (1)已知 a =4 , b =2,求 c ; (2)已知∠A=60°, c =2+4,求 b ; (3)已知 a =10, c =10 ,求∠B; (4)已知 b =35,∠A=45°,求 a . 20. 已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,D为AC上一点,∠BDC=45°,DC=6,求AB的长. 21. 某省将地处A,B两地的两所大学合并成了一所综合性大学.为了方便A,B两地师生交往,学校准备在相距 2千米 的A,B两地之间修筑一条笔直的公路(即图4.33中的线段AB).经测量,在A地的北偏东60°方向,B地北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园 为什么 北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高 同步练习 1.如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°.如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( ) A.200米 B.200米 C.220米 D.100(+1)米 2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度,她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4m,测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m,则这棵树的高度为(结果精确到0.1m,≈1.73)( ) A.3.5m B.3.6m C.4.3m D.5.1m 3. 如图,从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD是( ) A.(6+6)米 B.(6+3)米 C.(6+2)米 D.12米 4. 如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为( ) A.米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米 5.如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A,C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°,矩形建筑物宽度AD=20 m,高度DC=30 m,则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( ) A.(35+55)m B.(25+45)m C.(25+75)m D.(50+20)m 6. 如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上.已知AC=32米,CD=16米,则荷塘宽BD为________米(取≈1.73,结果保留整数). 7.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD=_________米(结果保留根号). 8.如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为______m(结果不作近似计算). 9. 如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M的仰角为45°.小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度. (参考数据:≈1.4,≈1.7,结果保留整数.) 10. 如图,小山顶上有一信号塔AB,山坡BC的倾角为30°,现为测量塔高AB,测量人员选择山脚C处为一测量点,测得塔顶仰角为45°,然后顺山坡向上行走100米到达E处,再测得塔顶仰角为60°.求塔高AB(结果保留整数,≈1.73,≈1.41). 11. 如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计) 答案: 1---5 DDACC 6. 39 7. (7++21) 8. 12 9. 解:过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2(m).∵在Rt△AEM中,∠AEM=90°,∠MAE=45°,∴AE=ME.设AE=ME=xm,则MF=(x+0.2)m,FC=(28-x)m.在Rt△MFC中,∵∠MFC=90°,∠MCF=30°,∴MF=CF·tan∠MCF.∴x+0.2=(28-x).解得x≈10.0.∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12(米).答:旗杆MN的高度约为12米. 10. 解:由题意得∠AEB=30°,∠ACE=15°,又∠AEB=∠ACE+∠CAE, ∴∠CAE=15°,即△ACE为等腰三角形,∴AE=CE=100m, 又在Rt△AEF中,∠AEF=60°,∴EF=AE·cos60°=50(m),AF=AE·sin60°=50(m). 又在Rt△BEF中,∠BEF=30°,∴BF=EF·tan30°=50×=(m), ∴AB=AF-BF=50-=≈58(m). 11. 解:过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形, ∴AF=BE,EF=AB=2,设DE=x米, 在Rt△CDE中,CE===x, 在Rt△ABC中,∵=,AB=2,∴BC=2, 在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2, ∴AF===(x-2), ∵AF=BE=BC+CE,∴(x-2)=2+x, 解得x=6,即树DE的高度为6米. 一、选择题 1.一段拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡度为i=1:, 坝高BC=6m,则坡面AB的长度(  ) A. 12m                                    B. 18m                                    C. 6                                    D. 12 2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是(   ) A. 2海里                       B. 2sin55°海里                       C. 2cos55°海里                       D. 2tan55°海里 3.如图,是意大利著名的比萨斜塔,塔身的中心线与垂直中心线的夹角A约为5゜28′,塔身AB的长为54.5m,则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC是(  ) A. 54.5×sin5°28′m              B. 54.5×cos5°28′m              C. 54.5×tan5°28'm              D.  m 4.如图,在综合实践活动中,小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°,同时测得BC=20米,则树的高AB(单位:米)为(   ) A.                              B. 20tan37°                             C.                              D. 20sin37° 5.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300 m,250 m,200 m;线与地面所成的角度分别为30°,45°,60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝(   ) A. 甲的最高                           B. 乙的最低                           C. 丙的最低                           D. 乙的最高 6.如图,为了对一颗倾斜的古杉树AB进行保护,需测量其长度:在地面上选取一点C,测得∠ACB=45°,AC=24m,∠BAC=66.5°,(参考数据: ≈1.414,sin66.5°≈0.92,cos66.5°≈0.40,tan66.5°≈2.30).则这颗古杉树AB的长约为(   ) A. 7.27                                   B. 16.70                                   C. 17.70                                   D. 18.18 7.如图,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得1米的影长为2米,则电线杆的高度为( ) A. 9米                           B. 28米                           C. (7+)米                           D. (14+2)米 8.一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD.已知她的眼睛与地面的距离为1.6米,小迪在B处测量时,测角器中的∠AOP=60°(量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角,如图);然后她向小山走50米到达点F处(点B,F,D在同一直线上),这时测角器中的∠EO′P′=45°,那么小山的高度CD约为(  )(注:数据≈1.732,≈1.414供计算时选用) A. 68米                                   B. 70米                                   C. 121米                                   D. 123米 9.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 米,坡顶有旗杆BC , 旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连 . 若AB=10米,则旗杆BC的高度为(  ) A. 5米                                 B. 6米                                 C. 8米                                 D. (3+ )米 10. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计, ≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为(  ) A. 47m                                    B. 51m                                    C. 53m                                    D. 54m 二、填空题 11.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上,它们的坡面距离是4米,则它们之间的水平距离是________ 米.(可用计算器计算,精确到0.1米) 12.如图,小亮在太阳光线与地面成35°角时,测得树AB在地面上的影长BC=18m,则树高AB约为________ m(结果精确到0.1m)   13.如图,秋千链子的长度OA=3m,静止时秋千踏板处于A位置.此时踏板距离地面0.3m,秋千向两边摆动.当踏板处于A′位置时,摆角最大,即∠AOA′=50°,则在A′位置,踏板与地面的距离为________m.(sin50°≈0.766,cos50°≈0.6428,结果精确到0.01m) 14.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=60°.则垂直支架CD的长度为________厘米(结果保留根号). 15.如图,某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离,他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点,测得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之间的距离为50m,则古树A、B之间的距离为________ m. 16.如图,山脚下有一棵树AB,小强从点B沿山坡向上走50m到达点D,用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°,已知山坡的坡脚为15°,则树AB的高=________(精确到0.1m)(已知sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27). 17.如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB=20°)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,则木板CD的长度为________. (参考数据:sin20°≈0.3420,cos20°≈0.9397,精确到0.1m). 18.在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°,旗杆顶部的仰角为45°,则该旗杆的高度为________米.(结果保留根号) 三、解答题 19.某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图所示),已知立杆AB的高度是3米,从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况警示牌宽BC的值. 20. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米?(结果精确到0.1.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 21. 如图某幢大楼顶部有广告牌CD.张老师目高MA为1.60米,他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进14米、站在点B处,测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(取, 计算结果保留一位小数) (1)求这幢大楼的高DH; (2)求这块广告牌CD的高度. 锐角三角函数章检测 一、选择题 1.在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB= 2.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更陡些, 则下列结论正确的是( ) A.tanα<tanβ B.sinα<sinβ; C.cosα<cosβ D.cosα>cosβ 3.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( ) A. B. C. D. 4.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A. B.100sinβ C. D. 100cosβ 5.在Rt△ABC中,如果边长都扩大2倍,则锐角A的正弦值和余弦值( ) A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定 6.Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于( ) A. B. C. D. A B C C’ B’ 7.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’,则tanB’的是( ) A. B. C. D. 二、填空题 1.在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,BC=10,AB= ,sinB= 3.在Rt△ABC中,∠A=90°,,,则,面积S=    ; 4. 在△ABC中.∠C=90°,若tanA=,则sinA= . 5.离旗杆20米处的地方用测倾器测得旗杆顶的仰角为, 如果测倾器高为1.5米。那么旗杆的高为 米(用含的三角函数表示)。 6.如图,在△ABC中,若∠A=30°,∠B=45°,AC=,则BC= 7.在△ABC中,—3tanA=0,则∠A= . 三、计算题 1. 2. 3. ·tan60° 4. 四、解答题 1根据下列条件,解直角三角形.在Rt△ABC中, ∠A、∠B、∠C所对的边分别为 a、b、c。 30° 2.5m 2. 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两 边摆动时,摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)恰好 为30°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与 其摆至最低位置时的高度之差. 3. 在拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内? 4.如图,某一水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=5米,斜坡AD=16米,坝高 8米,斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A和坝底宽AB。(保留根号) 5.一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?(参考数据:sin21.3°≈,tan21.3°≈, sin63.5°≈,tan63.5°≈2) 6、某校教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB长22m,坡角∠BAD=680,为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测, 当坡角为500时,可确保山体不滑坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精确到0.1m); (2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F点处,问BF至少是多少米(精确到0.1m)? 7、如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺,测倾器,(1)请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案,具体需求如下: (1)测量数据尽可能少 (2)在所给图形上画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间的距离用m表示;如果测D、C间距离用n表示;如果测角用α、β、γ等表示,测倾器高度不变。) (3)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示) 第一单元练习题 1. cos60°的值等于(  ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是(  ) A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中,cosA=,那么sinA的值是(  ) A. B. C. D.    图1-Y-1 4. 如图1-Y-1,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是(  ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 5.如图1-Y-2,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为(  ) A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 图1-Y-2   图1-Y-3 6. 如图1-Y-3,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)(  ) A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米 7.如图1-Y-4,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了________米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67) 图1-Y-4    图1-Y-5 8.如图1-Y-5,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764). 9.如图1-Y-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tanα=,则tan2α=________. 图1-Y-6 10.某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图1-Y-7所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出,已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°). 图1-Y-7 11.“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m.如图1-Y-8,DE∥BC,BD=1700 m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m) 图1-Y-8 12.乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图1-Y-9所示).建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97 m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测).无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处的俯角为80°36′. (1)求主桥AB的长度; (2)若两观察点P,D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长度. (长度均精确到1 m,参考数据:≈1.73, sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06) 图1-Y-9 13.如图1-Y-10,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数) (参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24) 图1-Y-10 14.把(sinα)2记作sin2α,根据图1-Y-11①和②完成下列各题: (1)sin2A1+cos2A1=________,sin2A2+cos2A2=________,sin2A3+cos2A3=________; (2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=________; (3)如图②,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想; (4)在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sinA=,求cosA的值. 图1-Y-11 详解 1.D 2.A 3.B 4.A 5.A [解析] 由题意知∠AGC=∠FGE.又∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG,∴=,即=,∴AC=8.∴AB=AC+BC=8.5米.故选A. 6.A [解析] 如图,延长DE交AB的延长线于点P,过点C作CQ⊥AP于点Q. ∵CE∥AP,∴DP⊥AP,∴四边形CEPQ为矩形, ∴CE=PQ=2,CQ=PE. ∵i===,∴设CQ=4x,BQ=3x. 由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102,解得x=2或x=-2(舍去). 则CQ=PE=8,BQ=6,∴DP=DE+PE=11. 在Rt△ADP中,AP==≈13.1, ∴AB=AP-BQ-PQ≈13.1-6-2=5.1(米). 7.280 8.15.3 9. [解析] 如图,连接BE, ∵D是AB的中点,ED⊥AB, ∴ED是AB的垂直平分线,∴EB=EA, ∴∠EBA=∠A=α,∴∠BEC=2α. 设DE=a,∵tanα=, ∴AD=3a,AE=a, ∴AB=6a,∴BC=,AC=, ∴CE=AC-AE=-a=a, ∴tan2α===.故答案为. 10.解: 如图,延长AD交BC所在直线于点E. 由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°. 在Rt△ACE中,tan∠CAE=, ∴CE=AE·tan60°=15 米. 在Rt△ABE中,tan∠BAE==, ∴∠BAE≈71°. 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°. 11.解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,延长DE交AC于点M. 由题意可得EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29°. 在Rt△DFB中,sin80°=, 则DF=BD·sin80°, AM=AC-MC=AC-DF=1790-1700·sin80°, 在Rt△AME中,sin29°=, 故AE==≈238.9(m). 答:斜坡AE的长度约为238.9 m. 12.解:(1)由题意知∠ABP=30°,AP=97 m, ∴AB====97 ≈168(m). 答:主桥AB的长度约为168 m. (2)∵∠ABP=30°,AP=97 m,∴PB=2AP=194 m. ∵∠DBA=90°,∠PBA=30°, ∴∠DBP=60°. 又∠DPB=30°+30°=60°, ∴△PBD是等边三角形,∴DB=PB=194 m. 在Rt△BCD中,∵∠C=80°36′, ∴BC==≈32(m). 答:引桥BC的长度约为32 m. 13.解:假设点D移动到点D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D作DE⊥AC于点E,过点D′作D′E′⊥AC于点E′. ∵CD=12米,∠DCE=60°, ∴DE=CD·sin60°=12×=6 (米),CE=CD·cos60°=12×=6(米). ∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′, ∴四边形DEE′D′是矩形, ∴DD′=EE′,D′E′=DE=6 米. ∵∠D′CE′=39°, ∴CE′=≈≈12.8(米), ∴DD′=EE′=CE′-CE≈12.8-6=6.8≈7(米). 答:学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全. 14.解:(1)sin2A1+cos2A1=()2+()2=+=1, sin2A2+cos2A2=()2+()2=+=1, sin2A3+cos2A3=()2+()2=+=1. 故答案为:1,1,1. (2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=1. 故答案为:1. (3)证明:在Rt△ABC中,∵sinA=,cosA=,且a2+b2=c2, ∴sin2A+cos2A=()2+()2=+===1,即sin2A+cos2A=1. (4)∵在△ABC中,∠A+∠B=90°, ∴∠C=90°, ∴sin2A+cos2A=1, 即()2+cosA2=1, 解得cosA=或cosA=-(舍), 即cosA的值为. 2.1二次函数 一、选择题 1.下列结论正确的是(       ) A. 二次函数中两个变量的值是非零实数                  B. 二次函数中变量x的值是所有实数 C. 形如y=ax²+bx+c的函数叫二次函数                   D. 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零 2.若y=(2-m)xm2−2是二次函数,则m等于(  ) A. ±2                                      B. 2                                      C. -2                                      D. 不能确定 3.下列各式中,y是x的二次函数的是(  ) A. y=mx2+1(m≠0)              B. y=ax2+bx+c               C. y=(x﹣2)2﹣x2               D. y=3x﹣1 4.若A(3,y1),B(5,y2),C(﹣2,y3)是抛物线y=﹣x2+4x+k上的三点,则y1、y2、y3的大小关系为(  ) A. y2>y1>y3                      B. y3>y2>y1                      C. y1>y2>y3                      D. y3>y1>y2 5.下列函数不属于二次函数的是(   ) A. y=(x﹣1)(x+2)          B. y= (x+1)2          C. y=2(x+3)2﹣2x2          D. y=1﹣ x2 6.下列函数①、;②、;③、;④、中是二次函数的有(      )。 A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 7.函数的图像与y轴的交点坐标是( ). A. (2,0)                        B. (-2,0)                        C. (0,4)                        D. (0,-4) 8.若二次函数y=ax2的图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点(   ) A. (2,4)                      B. (﹣2,﹣4)                      C. (﹣4,2)                      D. (4,﹣2) 二、填空题 9.若函数y=(a+1)为二次函数,则a=________ . 10.请选择一组你喜欢的a,b,c的值,使二次函数 的图象同时满足下列条件:①开口向下,②当 时, 随 的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的表达式可以是________ 11.若函数y=是二次函数,则m的值为________ . 12.当m________时,y=(m﹣2)是二次函数. 13.如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与(x≥0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则=________ . 14.已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+a﹣3在﹣2≤x≤2时的函数值始终是负的,则常数a的取值范围是________. 15.对于二次函数y=x2+3x﹣2,当x=﹣1时,y的值为________ . 16.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标为________ . 三、解答题 17.已知函数 y=(m﹣1) +3x为二次函数,求m的值. 18.函数y=(kx﹣1)(x﹣3),当k为何值时,y是x的一次函数?当k为何值时,y是x的二次函数? 19.一个二次函数y=(k﹣1) +2x﹣1. (1)求k值. (2)求当x=0.5时y的值? 2.1二次函数 一、 选择题 1. 下列函数中,不是二次函数的是( ) A. B. C. D. 2. 若 是二次函数,且开口向上,则m的值为(  ) A. B. C. D.0 3. 下列表格是二次函数 的自变量 与函数值 的对应值,判断方程 ( 为常数)的一个解 的范围是( ) x … 6.17 6.18 6.19 6.20 … … … A.  B. C.  D. 4. 下列结论正确的是(   ) A.二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量x的值是所有实数; C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数; D.二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c的值均不能为零 5. 函数(y是x的函数):①y=-x 2 +1,②2(x-1) 2 ,③y= ,④y=(x-1) 2 +2,⑤y=x 2 -4x+m,⑥y= 中,二次函数有( ) A.5个 B.4个   C.3个    D.2个 6. 下列各式中,y是x的二次函数的是( ) A.xy+x 2 =1   B.x 2 +y-2= 0 C .y 2 -ax=-2   D.x 2 -y 2 +1=0 7. 抛物线y=x 2 -mx-m 2 +1的图象过原点,则m为( ) A.0   B .1    C .-1 D.±1 8. 若二次函数y=(m+1)x 2 +m 2 -2m -3的图象经过原点,则m的值必为( ) A.-1或3   B. -1    C .3   D.无法确定 9. 函数y=(m-n)x 2 +mx+n是二次函数的条件是( ) A.m、n为常数,且m≠0 B.m、n为常数,且m≠n C.m、n为常数,且n≠0   D.m、n可以为任何常数 10. 下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)模型的是( ) A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D.圆的周长与圆的半径之间的关系 二、填空题 11. 已知抛物线 与x轴交点的横坐标为 ,则 =    . 12. 在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形,剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为_________. 13. 已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为_____. 14. 当m=_______________时,函数y=(m-2)x m+1 是二次函数. 15. 苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S= (g=9.8),则t=0.5时下落经过的路程是_____________________. 三、解答题 16. 原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃,现在准备扩大面积,设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 . (1)写出y与x的函数关系式; (2)当半径增大到多少时面积增大1倍; (3)试猜测半径是多少时,面积是原来的3、4、5、…倍. 17. 如图 2-1-5 所示,用 20 m 的篱笆(细线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.   图 2-1-5 (1)设矩形的一边长为x(m),面积为y(m 2 ),求y关于x的函数表达式; (2)求当x取8、9、10、11、12时y的值,并观察这几种情况下,哪种情况面积最大? 18. 某企业投资112万元引进一条农产品加工生产线,若不计维修、保养等费用,预计投产后每年可创利33万元,该生产线投产后从第一年到第x年的维修、保养费用累计为y万元,且y=ax 2 +bx,若第一年的维修保养费用为2万元,第二年为4万元. (1)求y关于x的解析式; (2)设x年后企业纯利润为z万元(纯利润=创利-维修、保养费用),投产后这个企业在第几年就能收回投资? 19. 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米20元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x米. (1)求y与x之间的关系式; (2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽. 20. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元,每天所赚利润为y元,请你写出y与x之间的函数表达式. 答案 一、选择题 1、 D 2、 C 3、 C 4、B 5、C6、B7、D8、C9、B10、C 二、填空题 11、 1 12、y=16-x2 13、S= c2 14、1 15、1.225 三、解答题 16、(1)y=πx 2 -π;(2) m;(3) 、 、 …. 17、(1)y=x(20-x); (2)把x=8、9、10、11、12代入y=x(20-x),得y=96、99、100、99、96; ∴当x取10时得到的面积大. 18、(1) 解得 ∴y=x 2 +x. (2)z=33x-x 2 -x,当z=112时,x 2 -32x+112=0. 解得x 1 =4,x 2 =28(舍去). ∴第四年就可收回投资. 19、 (1)y=120×2x×x+20×(2x+4x)+45,化简,得y=240x 2 +180x+45. (2)195=240x 2 +180x+45, ∴解得x 1 = ,x 2 = (舍去),可得长为1.∴长 1 m ,宽 0.5 m . 20、由题意可知,y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x 2 +280x-1 600. 2.2二次函数的图像和性质 一、选择题 1.抛物线的顶点坐标是(      )  A. (2,1)                         B. (-2,-1)                         C. (-2,1)                         D. (2,-1) 2. 抛物线y=x2+2x+3的对称轴是(  ) A. 直线x=1                          B. 直线x=﹣1                          C. 直线x=﹣2                          D. 直线x=2 3.下列函数中,y随x增大而增大的是(  ) A.                     B. y=﹣x+5                    C.                     D.  4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是(   ) A. 图象关于直线x=1对称                                        B. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根    D. 当x<1时,y随x的增大而增大 5. 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线是(     ) A. y=3(x+3)2-2            B. y=3(x+3)2+2            C. y=3(x-3)2-2            D. y=3(x-3)2+2 6.在函数①y=3x2;②y=x2;③y=−x2中,图象开口按从大到小的顺序排列的是() A. ①②③                                B. ③②①                                C. ②③①                                D. ②①③ 7.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣ ),( )是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是(   ) A. ①②                                    B. ②③                                    C. ②④                                    D. ①③④ 8.要得到二次函数的图象,则需将的图象 (   ) A. 向右平移两个单位;                                           B. 向下平移1个单位; C. 关于x轴做轴对称变换;                                      D. 关于y轴做轴对称变换; 9.在平面直角坐标系中,函数y=x2﹣2x(x≥0)的图象为C1 , C1关于原点对称的图象为C2 , 则直线y=a(a为常数)与C1、C2的交点共有(   ) A. 1个                     B. 1个或2个                     C. 1个或2个或3个                     D. 1个或2个或3个或4个 10.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,那么在新坐标系中此抛物线的解析式是(  ) A. y=3(x﹣3)2+3          B. y=3(x﹣3)2﹣3          C. y=3(x+3)2+3          D. y=3(x+3)2﹣3 11. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则(  ) ​ A. ac+1=b                           B. ab+1=c                           C. bc+1=a                           D. 以上都不是 二、填空题 12.把抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得的抛物线的解析式是________. 13.抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是________,当x________  时,y随x的增大而减小. 14.如图,二次函数的图象经过点, 对称轴为直线, 下列5个结论:①; ②; ③;④; ⑤, 其中正确的结论为________ .(注:只填写正确结论的序号) 15.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 17 7 1 ﹣1 1 … 则当y<7时,x的取值范围是________. 16.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的关系式为h=30t﹣5t2 , 那么小球抛出________秒后达到最高点. 17.已知点A(-2,y1),B( ,y2)在二次函数y=x2-2x-m的图象上,则y1________y2(填“>”、“=”或“<”). 三、解答题 18.将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5化为顶点式y=(x﹣h)2+k,并写出它的对称轴及顶点坐标. 19.已知二次函数y=x2+2x+m的图象过点A(3,0). (1)求m的值; (2)当x取何值时,函数值y随x的增大而增大. 20.已知抛物线y=3ax2+2bx+c, (1)若a=3k,b=5k,c=k+1,试说明此类函数图象都具有的性质; (2)若a=, c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3,求b的值; (3)若a+b+c=1,是否存在实数x,使得相应的y的值为1,请说明理由. 21.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线 y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点. (1)求出点A、点B的坐标; (2)若在线段AB上方的抛物线有一动点P,过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q,设点P的横坐标为t(0<t<8),求△ABP的面积S与t的函数关系式,并求出△ABP的最大面积; (3)在(2)的条件下,是否存在一点P,使S△APB= S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.2 二次函数的图像与性质 一、 选择题 1. 抛物线 y =( x -2) 2 +3的顶点坐标是(  ). A.(2,3)   B.(-2,3)     C.(2,-3)   D.(-2,-3) 2. 把抛物线 y =- x 2 向右平移1个单位,然后向下平移3个单位,则平移后抛物线的表达式为(  ). A. y =-( x -1) 2 +3   B. y =-( x +1) 2 +3   C. y =-( x -1) 2 -3   D. y =-( x +1) 2 -3 3. 已知二次函数 y =- x 2 + bx + c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示,点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )在函数的图象上,当0< x 1 <1,2< x 2 <3时, y 1 与 y 2 的大小关系正确的是(  ). x … 0 1 2 3 … y … -1 2 3 2 … A. y 1 ≥ y 2   B. y 1 > y 2    C. y 1 < y 2   D. y 1 ≤ y 2 4. 若把函数 y = x 的图象用 E ( x , x )表示,函数 y =2 x +1的图象用 E ( x, 2 x +1)表示,…,则 E ( x , x 2 -2 x +1)可以由 E ( x , x 2 )怎样平移得到(  ). A.向上平移1个单位     B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位     D.向右平移1个单位 5. 下列抛物线中,开口最大的是(  ) A.   B. C. y =- x 2        D. 6. 抛物线 的顶点坐标和对称轴分别是(  ) A.(1,2),直线 x =1 B.(-1,2),直线 x =-1 C.(-4,-5),直线 x =-4 D.(4,-5),直线 x =4 7. 二次函数 y = x 2 的图象向右平移3个单位,得到新的图象的函数关系式是(  ) A. y = x 2 +3 B. y = x 2 -3 C. y =( x +3) 2   D. y =( x -3) 2 8. 已知函数 y =-3 x 2 +1的图象是抛物线,若该抛物线不动,把 x 轴向上平移两个单位, y 轴向左平移一个单位,则该函数在新的直角坐标系内的函数关系式为(  ) A. y =-3( x +1) 2 +2   B. y =-3( x -1) 2 -1 C. y =3( x +1) 2 +2    D. y =3( x -1) 2 -2 9. 在平面直角坐标系中,函数 y =- x +1与 y = ( x -1) 2 的图象大致是(  ) 10. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 中, b 2 = ac ,且 x =0时, y =-4,则(  ) A. y 最大值 =-4 B. y 最小值 =-4 C. y 最大值 =-3 D. y 最小值 =-3 二、填空题 11. 将 y =2 x 2 -12 x -12变为 y = a ( x - m ) 2 + n 的形式,则 m n =__________. 12. 当 x =__________时,二次函数 y = x 2 +2 x -2有最小值. 13. 抛物线 y =2 x 2 - bx +3的对称轴是直线 x =1,则 b 的值为__________. 14. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a >0)的对称轴为直线 x =1,且经过点(-1, y 1 ),(2, y 2 ),试比较 y 1 和 y 2 的大小: y 1 __________ y 2 (填“>”“<”或“=”). 15. 二次函数的一般式为____________;若抛物线的顶点坐标为(h,k),则可设该抛物线的顶点式为____________;若抛物线与x轴交于(x 1 ,0)、(x 2 ,0),则可设该抛物线的两点式为____________. 16. 抛物线y=ax 2 +bx+c的形状与y=2x 2 -4x-1相同,对称轴平行于y轴,且x=2时,y有最大值-5,该抛物线关系式为____________. 三、解答题 17. 已知反比例函数 的图象经过点(-1,-2). (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若点(2, n )在这个图象上,求 n 的值. 18.如图所示的二次函数 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1) ;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0。你认为其中错误的有(  ) A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 19.如图,已知A(a,m)、B(2a,n)是反比例函数y= (k>0)与一次函数y=- x+b图象上的两个不同的交点,分别过A、B两点作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结OA、OB,若已知1≤a≤2,则求S △OAB 的取值范围. 20.已知反比例函数 和一次函数y=-x+a-1(a为常数) (1)当a=5时,求反比例函数与一次函数的交点坐标(5分) (2)是否存在实数a,使反比例函数与一次函数有且只有一个交点,如果存在,求出实数a,如果不存在,说明理由(5分) 答案解析部分(共有 20 道题的解析及答案) 一、选择题 1、A 点拨: 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0)的顶点坐标是( h , k ). 2、C 点拨: 抛物线 y =- x 2 向右平移1个单位,得到 y =-( x -1) 2 ,再下平移3个单位,得到 y =-( x -1) 2 -3. 3、C 点拨: 由题中条件可知,该抛物线的对称轴是 x =2,且开口向下,∴当0< x 1 <1,2< x 2 <3时, y 1 < y 2 . 4、D 点拨: 根据给出的新定义, E ( x , x 2 -2 x +1)为函数 y = x 2 -2 x +1的图象, E ( x , x 2 )为函数 y = x 2 的图象.因为 y = x 2 -2 x +1=( x -1) 2 ,因此只要把函数 y = x 2 的图象向右平移1个单位就得到函数 y = x 2 -2 x +1的图象. 5、D  点拨: 抛物线 y = ax 2 ,| a |越小,抛物线的开口越大. 6、D  点拨: y = x 2 -4 x +3= ( x 2 -8 x )+3= ( x -4) 2 -5. 7、D  点拨: 抛物线左右平移横坐标变化,而纵坐标不变,平移规律是“左加右减”. 8、B  点拨: 平移坐标轴相当于把图象反向平移. 9、D  点拨: 一次函数 y =- x +1中, b =1>0,交于 y 轴的正半轴,排除A、B;二次函数 的顶点坐标是(1,0),由此可作出判断. 10、C  点拨: y = ax 2 + bx + c 配方为 ,∵ b 2 = ac , ∴ .当 x =0时, y = c ,即 c =-4. ∴ .∵ c <0, b 2 ≥0,∴ a <0.∴ y 有最大值是-3. 二、填空题 11、-90 点拨: 将 y =2 x 2 -12 x -12进行配方,得 y =2( x -3) 2 -30,所以 m =3, n =-30,所以 m n =-90. 12、-1 点拨: 当 x =- =- =-1时,二次函数 y = x 2 +2 x -2有最小值. 13、4 点拨: 由于- =1,解得 b =4. 14、> 15、 解析: 一般情况下,若知道抛物线上的三点坐标,可设二次函数的一般式为y=ax 2 +bx+c;若知道顶点坐标(h,k)或对称轴x=h,可设顶点式y=a(x-h) 2 +k;若知道抛物线与x轴的两个交点坐标,可设两点式y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),这样将比较简便. 答案: y=ax 2 +bx+c  y=a(x-h) 2 +k  y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) 16、 解析: 两个抛物线形状相同,二次系数相同或互为相反数.这里a=-2,又对称轴为x=2,y有最大值-5,即抛物线y=ax 2 +bx+c与y=2x 2 -4x-1形状相同, ∴a=±2. 又∵二次函数有最大值,∴a=-2. ∴y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2 +8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2 -5. 答案: y=-2(x-2) 2 -5 三、解答题 17、(1)   (2) 18、 【答案】A 【解析】解:  观察图像:函数与x轴有两个交点,所以(1) 正确;函数与y轴的交点的纵坐标在0到1之间,所以0<c<1,故(2)c>1错误;由函数的对称轴 ,而 ,所以 ,所以(3)2a-b<0正确;当 时,函数y的值为 ,观察图像可知: ,所以(4)a+b+c<0错误。故选A。 19、 【答案】2≤S △OAB ≤8. 【解析】 试题分析:先根据函数图象上点的坐标特征得出m= ,n= , =- a+b, =- a+b,于是k= a 2 ,再由反比例函数系数k的几何意义可知S △OAC =S △OBD ,那么S △OAB =S △OAC -S △OBD +S 梯形ABDC =S 梯形ABDC =2a 2 ,根据二次函数的性质即可求解. 试题解析:∵A(a,m)、B(2a,n)在反比例函数y= (k>0)的图象上, ∴m= ,n= , ∵A(a,m)、B(2a,n)在一次函数y=- x+b图象上, ∴ =- a+b, =- a+b, 解得:k= a 2 , ∴S △OAB =S △OAC -S △OBD +S 梯形ABDC =S 梯形ABDC = ( + )(2a-a) = × ×a = k = × a 2 =2a 2 . 当1≤a≤2时,S △OAB =2a 2 ,随自变量的增大而增大,此时2≤S △OAB ≤8. 考点:反比例函数系数k的几何意义. 20、 【答案】(1) 交点坐标为 或 ;(2) 存在,当a=3或a=-1时,有且只有一个交点 【解析】 试题分析:(1)当a=5时,一次函数为y=-x+4 则交点满足: 解得  , ∴交点坐标为 或 (2)把y=-x+a-1代入反比例函数可得:x(-x+a-1)=1 即-x 2 +(a-1)x-1=0 当反比例函数与一次函数有且只有一个交点时,△=(a-1) 2 -4=0 解得a=3或a=-1 也即存在实数a,当a=3或a=-1时,有且只有一个交点 考点:反比例函数和一次函数交点 北师大版九年级下册 第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式 同步练习 1.二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1,-3),则b、c的值分别是( ) A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4 2.若抛物线经过点(3,0)和(2,-3),且以直线x=1为对称轴,则该抛物线的解析式为( ) A.y=-x2-2x-3 B.y=x2-2x+3C.y=x2-2x-3 D.y=-x2+2x-3 3.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式 是( ) x -1 0 1 ax2     1 ax2+bx+c 8 3   A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 4.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于(  ) A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 5. 若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为(  ) A. B. C. D. 6. 将二次函数化为的形式,结果为(  ) A. B. C. D. 7. 抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则它关于y轴对称的抛物线的解析式是____________. 8.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)、B(4,3)、C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为__________________________________. 9.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表: x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知,下列说法中正确的是_______________ (填写序号). ①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;③抛物线的对称轴是x=0.5;④在对称轴左侧,y随x的增大而增大. 10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0)、B(0,-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值. 11.如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A、B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为(-1,0). (1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标; (2)求△EMF与△BNF的面积之比. 12.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2)、B(3,4). (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A、B之间的部分为图象G(包含A、B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围. 答案: 1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 7. y=x2+4x+3 8. y=x2-x+2或y=-x2+x+2 9. ①③④ 10. 解:(1)y=x2-x-1 (2)D(-1,0) (3)画图略.-1<x<4 11. 解:(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点M(1,4).  (2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴点B(3,0) ,∴EM=1,BN=2,∵EM∥BN, ∴△EMF∽△BNF,∴=()2=()2=. 12. 解:(1)y=2x2-4x-2,对称轴x=-=1.  (2)由题意可知C(-3,-4).二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4. 由图象可以看出D点纵坐标最小值即为-4,最大值即BC与对称轴交点, 直线BC的解析式y=x,当x=1时y=,∴-4≤t≤. 一、选择题 1.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于(  ) A. 4                                          B. 8                                          C. -4                                          D. 16 2.如图,抛物线与x轴交于点(﹣1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,﹣3)则此抛物线对此函数的表达式为(   ) A. y=x2+2x+3                   B. y=x2﹣2x﹣3                   C. y=x2﹣2x+3                   D. y=x2+2x﹣3 3.如图所示,抛物线 的对称轴是直线 ,且图像经过点 (3,0),则 的值为(   ) A. 0                                          B. -1                                          C. 1                                          D. 2 4. 向空中发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 米,且时间与高度的关系为 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(  ). A.第8秒   B.第10秒   C.第12秒   D.第15秒 5. 一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,则每件需降价的钱数为(  ) A.5元   B.10元   C.0元   D.3 600元 6.有一拱桥的桥拱是抛物线形, 其表达式是Y=-0.25x2,当桥下水面宽为12米时,水面到拱桥拱顶的距离为(      )  A. 3米                                 B. 2 米                                 C. 4 米                                 D. 9米 7. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x , y 应分别为(  ) A. x =10, y =14   B. x =14, y =10 C. x =12, y =15   D. x =15, y =12 8.如图为一座抛物线型的拱桥,AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度,O为拱桥顶部,水面AB宽为10米,AB距桥顶O的高度为12.5米,水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时,水面宽为(  )米. A. 5                                        B. 2                                        C. 4                                        D. 8 9.某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状.今在一个坡度为1:5的斜坡上,沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱(如图),这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为(  ) A. 12.75米                             B. 13.75米                             C. 14.75米                             D. 17.75米 二、填空题 10.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),则该抛物线的解析式为________ . 11.请写出一个开口向下,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式,y=________ . 12.若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同,开口方向相反,且其顶点坐标是(0,﹣2),则该抛物线的函数表达式是________ . 13.用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y=-(x-12)2+144(0<x<24),那么该矩形面积的最大值为________m2 . 14. 某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 ________元. 15. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是  cm2. 16. 某种火箭竖直向上发射时,它的高度 h (m)与时间 t (s)的关系可以用 h =-5 t 2 +150 t +10表示.经过__________ s,火箭达到它的最高点. 17.如图是某拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=﹣ (x﹣80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为________米. 三、解答题 18.已知二次函数当x=﹣1时,有最小值﹣4,且当x=0时,y=﹣3,求二次函数的解析式. 19.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米. (1)求y关于x的函数关系式; (2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米? (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由. 20.拱桥的形状是抛物线,其函数关系式为 ,当水面离桥顶的高度为 m时,水面的宽度为多少米? 21.某公司经营一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系式为:w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间的销售利润为y(元),解答下列问题: (1)求y与x的关系式 (2)当x取何值时,销售利润最大?最大利润是多少? 22.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S. 求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 2.5 二次函数与一元二次方程 一、 选择题 1. 二次函数y=ax 2 +bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1).则代数式1-a-b的值为(  ) A.-3 B.-1 C.2 D.5 2. 发射一枚炮弹,经过x秒后炮弹的高度为y米,x,y满足y=ax 2 +bx,其中a,b是常数,且a≠0.若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等,则炮弹达到最大高度的时刻是(  ) A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 3. 已知二次函数y=kx 2 -7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为( ) A.k>- B.k<- 且k≠0 C.k≥- D.k>- 且k≠0 4. 函数 的图像如图所示,那么关于x的方程 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 5. 如果抛物线 y =- x 2 +2( m -1) x + m +1与 x 轴交于 A 、 B 两点,且 A 点在 x 轴正半轴上, B 点在 x 轴的负半轴上,则 m 的取值范围应是(  ) A. m >1   B. m >-1   C. m <-1   D. m <1 6. 根据下列表格中的对应值,判断 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0, a 、 b 、 c 为常数)与 x 轴的交点的横坐标的取值范围是(  )   x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax 2 + bx + c -0.69 -0.02 0.03 0.36 A.0< x <3.23  B.3.23< x <3.24 C.3.24< x <3.25   D.3.25< x <3.26 7. 若二次函数y=Ax 2 +C,当x取x 1 ,x 2 (x 1 ≠x 2 )时函数值相等,则当x取x 1 +x 2 时,函数值为( ) A.A+C B.A-C C.-C D.C 8. 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(1,0)则关于x的一元二次方程 的两实数根是(  ) A. B. C. D. 9. 若关于x的二次函数 与 x轴只有一个交点,则实数k的值为( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 10. 已知抛物线 y = x 2 -2 bx +4的顶点在 x 轴上,则 b 的值一定是(  ) A.1   B.2   C.-2  D.2或-2 11. 二次函数 y = x 2 -3 x + 的图象与 x 轴交点的个数是(  ) A.0   B.1   C.2   D.不能确定 二、填空题 12. 已知抛物线 与x轴有两个交点,那么一元二次方程 的根的情况是 . 13. 已知二次函数 ,若当x取 , ( ≠ )时,函数值相等,则当x取 + 时,函数值为    . 14. 已知抛物线的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为 则它与x轴的另一个交点 为_______________. 15. 二次函数y=x 2 +2x+k的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程x 2 +2x+k=0的一个解x 1 =3,另一个解x 2 =   16. 在二次函数y=x 2 +bx+c中,若系数b和c可在1,2,3,4,5,6中取值,则其中与x轴有交点的抛物线的个数是_________________. 17. 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30),y值越大,表示接受能力越强,在第______________分钟时,学生接受能力最强. 三、解答题 18. 利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0;   (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0;   (3)x2-x-1=0. 19. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax 2 -2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 20. 已知关于x一元二次方程 有两个不相等的实数根 (1)求k取值范围; (2)当k最小的整数时,求抛物线 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标; (3)将(2)中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你画出这个新图象,并求出新图象与直线 有三个不同公共点时m值. 21. 已知过原点O的两直线与圆心为M(0,4),半径为2的圆相切,切点分别为P、Q,PQ交y轴于点K,抛物线经过P、Q两点,顶点为N(0,6),且与x轴交于A、B两点. (1)求点P的坐标; (2)求抛物线解析式; (3)在直线y=nx+m中,当n=0,m≠0时,y=m是平行于x轴的直线,设直线y=m与抛物线相交于点C、D,当该直线与⊙M相切时,求点A、B、C、D围成的多边形的面积(结果保留根号). 答案 一、选择题 1、 B. 2、 B 3、 D 4、 C. 5、B  6、C  7、 D 8、 B. 9、 A. 10、D  11、C  二、填空题 12、 有两个不相等的实数根 13、 -3 14、 (5.5,0) 15、 -1 16、19 17、13 三、解答题 18、(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4; (3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0.6 19、(1)∵y=ax 2 -2ax+3 ∴它的对称轴为直线x= 令x=0,则y=3, ∴B(0,3) 根据抛物线的对称性知:C(2,3),A(1,4) 把A(1,4)代入y=ax 2 -2ax+3,得:a=-1 ∴抛物线的解析式为:y=-x 2 +2x+3; (2)存在.分两种情况: (1)当CD为直角边时,设P(1,a): i)当点P在x轴上方时,DP= ,CP= , , ∵CD 2 +CA 2 =AD 2 ∴18+2=4+a 2 即:a 2 =16 解得a=±4(负舍去) ∴a=4 ii)当点P在x轴下方时,CD 2 +DP 2 =CP 2 ∴ 解得:a=-2 (2)当CD为斜边时,同理可以得出:a= 综上所述,点P的坐标分别为:P 1 (1,4)  P 2 (1,-2)  20、(1)由题意,得 , ∴k>-1, ∴k的取值范围为k>-1. (2)∵k>-1,且k取最小的整数,∴k=0. ∴ . 则抛物线的顶点坐标为(1,-4). ∵ 的图象与x轴相交, ∴ ,∴解得:x=-1或3. ∴抛物线与x轴相交于A(-1,0),B(3,0); (3)翻折后所得新图象如图所示. 平移直线y=x+m知:直线位于l1和l2时,它与新图象有三个不同的公共点. ①当直线位于l 1 时,此时l 1 过点A(-1,0), ∴0=-1+m,即m=1.   ②当直线位于l 2 时,此时l 2 与函数 的图象有一个公共点, ∴方程x+m=-x 2 +2x+3,即x 2 -x-3+m=0有两个相等实根. ∴△=1-4(m-3)=0,即m= . 当m= 时,x 1 =x 2 = 满足-1≤x≤3, 由①②知m=1或m= . 考点:1.抛物线与x轴的交点;2.二次函数图象与几何变换;3.一元二次方程根的判别式;4.分类思想的应用. 21、(1)如图1, ∵⊙M与OP相切于点P, ∴MP⊥OP,即∠MPO=90°. ∵点M(0,4)即OM=4,MP=2, ∴OP=2 . ∵⊙M与OP相切于点P,⊙M与OQ相切于点Q, ∴OQ=OP,∠POK=∠QOK. ∴OK⊥PQ,QK=PK. ∴PK= . ∴OK= =3. ∴点P的坐标为( ,3). (2)如图2, 设顶点为(0,6)的抛物线的解析式为y=ax 2 +6, ∵点P( ,3)在抛物线y=ax 2 +6上, ∴3a+6=3. 解得:a=1. 则该抛物线的解析式为y=x 2 +6. (3)当直线y=m与⊙M相切时, 则有 =2. 解得;m 1 =2,m 2 =6. ①m=2时,如图3, 则有OH=2. 当y=2时,解方程x 2 +6=2得:x=±2, 则点C(2,2),D(2,2),CD=4. 同理可得:AB=2 . 则S 梯形ABCD = (DC+AB)OH= ×(4+2 )×2=4+2 . ②m=6时,如图4, 此时点C、点D与点N重合. S △ABC = ABOC= ×2 ×6=6 . 综上所述:点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6 . 2.5二次函数与一元二次方程 一、选择题 1.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是(   ) A. 抛物线开口向上                                                  B. 抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0) C. 当x=1时,y的最大值为﹣4                                 D. 抛物线的对称轴是直线x=1 2.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第三象限,则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0根的情况是(  ) A. 有两个不相等的实数根            B. 有两个相等的实数根            C. 无实数根                    D. 无法确定 3.二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则以下关于m的结论正确的是(  ) A. m的最大值为2                 B. m的最小值为-2                C. m是负数                  D. m是非负数 4.二次函数y=x2﹣3x+ 的图象与x轴交点的个数是(   ) A. 3个                                       B. 2个                                       C. 1个                                       D. 0个 5.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=﹣3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为(  ) A. 4.4                                       B. 3.4                                       C. 2.4                                        D. 1.4 6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(   ) A. ﹣1<x<5                        B. x>5                        C. x<﹣1且x>5                        D. x<﹣1或x>5 7.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m,n(m<n),方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p,q(p<q),则m,n,p,q的大小关系为(  ) A. p<m<n<q                   B. m<p<q<n                   C. m<p<n<q                   D. p<m<q<n 8.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=﹣1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是(   ) A. x<﹣4或x>2                      B. ﹣4≤x≤2                      C. x≤﹣4或x≥2                      D. ﹣4<x<2 9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情况是(  ) A. 有两个不相等的实数根           B. 有两个异号实数根           C. 有两个相等的实数           D. 无实数根 二、填空题 10.抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点,已知点A的坐标为(1,0),则线段AB的长度为________ . 11.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y<5时,x的取值范围是________. 12. 如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ________. 13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)自变量x与函数y的对应值如下表: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣4 m﹣2 m﹣4 若1<m<1,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1 , x2的取值范围是________  . 14.二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1≤x≤3的范围内有解,则t的取值范围是________. 15.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m,则代数式m2﹣m+2016的值为________. 16.若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A,B两点,则A,B的坐标为________ 17.如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1 , 将C1关于点B的中心对称得C2 , C2与x轴交于另一点C,将C2关于点C的中心对称得C3 , 连接C1与C3的顶点,则图中阴影部分的面积为________. 三、解答题 18.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来. 19.已知二次函数y=﹣x2+x的图象如图. (1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式. 20.已知关于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0. (1)求证:无论k为任何实数,方程总有实数根. (2)若抛物线y=kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)与x轴交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两段,且线段AB=2,求k的值. 第二章 二次函数 1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是(  ) A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2 C.对称轴是直线x=-1,最小值是2 D.对称轴是直线x=-1,最大值是2 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-Y-1所示,则(  ) A.b>0,c>0 B.b>0,c<0 C.b<0,c<0 D.b<0,c>0 图2-Y-1    图2-Y-2 3. 将如图2-Y-2所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(  ) A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1 4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-Y-3所示,以下四个结论:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0;④-<0,正确的是(  ) A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 图2-Y-3   图2-Y-4 5.如图2-Y-4,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,给出下列结论:①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a-2b+c>0,其中正确的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是________. 7. 如图2-Y-5,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x=1对称,则点Q的坐标为________. 8. 已知函数y=-(x-1)2的图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“=”). 图2-Y-5    图2-Y-6 9.如图2-Y-6,图中二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列命题中正确的有________(填序号). ①abc>0;②b2<4ac;③4a-2b+c>0;④2a+b>c. 10.如图2-Y-7是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: 图2-Y-7 ①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是________.(只填序号) 11. 已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上; (3)当-2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 12.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式; (2)这种双肩包销售单价定为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少? 13.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米. (1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数表达式; (2)求出水柱的最大高度是多少. 图2-Y-8 14.我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线: (1)当抛物线经过点(-2,0)和(-1,3)时,求抛物线的表达式; (2)当抛物线的顶点在直线y=-2x上时,求b的值; (3)如图2-Y-9,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上,横坐标依次为-1,-2,-3,…,-n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长. 图2-Y-9 详解详析 1.B 2.B [解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,∴a<0. ∵二次函数图象与y轴交于负半轴,∴c<0. ∵对称轴为直线x=->0,∴b>0.故选B. 3.C [解析] 由图象,得原抛物线的表达式为y=2x2-2. 由平移规律,得平移后所得抛物线的表达式为y=2(x-1)2+1,故选C. 4.C [解析] ∵抛物线开口向上,∴a>0,结论①正确; ∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴, ∴c<0,结论②错误; ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,结论③正确; ∵抛物线的对称轴在y轴右侧, ∴->0,结论④错误. 故选C. 5.C [解析] ∵抛物线与x轴有2个交点, ∴b2-4ac>0,∴①错误; ∵抛物线开口向上,∴a>0. ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧, ∴a,b同号,∴b>0. ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0, ∴abc>0, ∴②正确; ∵x=-1时,y<0,即a-b+c<0. ∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1, ∴b=2a, ∴a-2a+c<0,即a>c, ∴③正确; ∵抛物线的对称轴为直线x=-1, ∴x=-2和x=0时的函数值相等,即x=-2时,y>0, ∴4a-2b+c>0,∴④正确. ∴正确的有②③④,3个, 故选C. 6.m>9 [解析] 由Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×m<0,解得m>9. 7.(-2,0) [解析] 设Q(a,0),由对称性知,=1,∴a=-2.即Q(-2,0). 8.> [解析] ∵函数y=-(x-1)2,图象的对称轴是直线x=1,开口向下, ∴当x>1时,y随x的增大而减小. ∵函数图象上两点A(2,y1),B(a,y2),a>2, ∴y1>y2.故答案为:>. 9.①③④ [解析] ∵抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴交于负半轴, ∴a>0,->0,c<0, ∴b<0,∴abc>0,①正确; ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,即b2>4ac,②错误; 当x=-2时,y=4a-2b+c>0,③正确; ∵0<-<1, ∴-2a<b<0, ∴2a+b>0>c,④正确. 故答案为:①③④. 10.②⑤ [解析] 根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.由图象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确; 根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故③错误;观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误;因为当x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确. 所以②⑤正确.故答案为②⑤. 11.[解析] (1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果; (2)将二次函数表达式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可; (3)根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可. 解:(1)∵函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数), ∴Δ=(m-1)2+4m=(m+1)2≥0, 则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D. (2)证明:y=-x2+(m-1)x+m=-(x-)2+,其图象顶点坐标为(,). 把x=代入y=(x+1)2,得y=(+1)2=,故不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)设z=, 当m=-1时,z有最小值为0; 当m<-1时,z随m的增大而减小; 当m>-1时,z随m的增大而增大. 当m=-2时,z=;当m=3时,z=4. 则当-2≤m≤3时,该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4. 12.解:(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1800. 所以w与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60). (2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225. ∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值为225. 答:销售单价定为45元/个时,每天的销售利润最大,最大利润为225元. (3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200. 解得x1=40,x2=50. ∵50>42, ∴x2=50不符合题意,应舍去. 答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元/个. 13.解:(1)所建直角坐标系不唯一,如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3). 抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线表达式可得 解得 ∴水柱抛物线的表达式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).化为一般式为y=-x2+x+2(0≤x≤3). (2)由(1)知抛物线的表达式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).当x=1时,y最大=. ∴水柱的最大高度为米. 14.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点(-2,0)和(-1,3), ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=-3x2-6x. (2)∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是 (-,-), 且该点在直线y=-2x上, ∴-=-2×(-). ∵a≠0,∴-b2=4b, 解得b1=-4,b2=0. (3)这组抛物线的顶点A1,A2,…,An在直线y=-2x上, 由(2)可知,b=-4或b=0. ①当b=0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去; ②当b=-4时,抛物线的表达式为y=ax2-4x. 由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(-n,2n),则Dn(-3n,2n). ∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第(n+k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第(n+k)条抛物线的顶点坐标是An+k(-n-k,2n+2k), ∴-=-n-k, ∴a==-, ∴第(n+k)条抛物线的表达式为y=-x2-4x. ∵Dn(-3n,2n)在第(n+k)条抛物线上, ∴2n=-×(-3n)2-4×(-3n),解得k=n. ∵n,k为正整数,且n≤12, ∴n1=5,n2=10. 当n=5时,k=4,n+k=9; 当n=10时,k=8,n+k=18>12(舍去), ∴D5(-15,10), ∴正方形的边长是10. 第二章 二次函数自我检测题 (满分85分) 一、选择题(每题5分,共25分) 1.抛物线的顶点坐标是( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,3) D.(0,-3) 2.若直线经过第一、三、四象限,则抛物线的顶点必在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.你知道吗?平时我们跳大绳时,绳甩到最高处时的形状可近似地看做抛物线。如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m,2.5m处。绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶。已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示) ( ) A.1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m x y O D y O C x y O B 4.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) (第5题) x y O A 5.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线l上的点,且-1<x1<x2,x3<-1,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A. y1<y2<y3 B. y3<y1<y2 C. y3<y2<y1 D. y2<y1<y3 (第3题) 二、填空题(每题5分,共25分) 6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,2)和(3,2)两点,则4a+2b+3的值为    . 7.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y= . 8.在距离地面2米高的某处把一物体以初速度(米/秒)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度(米)与抛出时间(秒)满足: (其中是常数,通常取10米/秒2),若米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面_______米. 9.已知抛物线的对称轴是,且经过点和点,则该抛物线的解析式为________。 10.抛物线与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为________. 三、(本题20分) 11.已知抛物线经过A(3,0),,C(1,2)三点。 (1)求抛物线的解析式 12.已知抛物线的顶点坐标为P(3,0),且过点(2,1)。 (1)求抛物线的解析式 五、(本题15分) 13.某农场为防风沙在一山坡上种植一片树苗,并安装了自动喷灌设备。一瞬间,喷水头喷出的水流呈抛物线。如图所示,建立直角坐标系。已知喷水头B高出地面1.5m,喷水管与山坡所成的夹角∠BOA约63°,水流最高点C的坐标为(2,3.5)。 (1)求此水流抛物线的解析式; (2)求山坡所在的直线OA的解析式;(解析式中的系数精确到0.1) (3)计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA。(精确到0.1) 六、(本题15分) 14.如图,抛物线经过点A(1 ,0 ),与y轴交于点B。 ⑴求抛物线的解析式; ⑵P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求P点坐标。 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    思***1

    贡献于2020-11-21

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