选修22 131 函数单调性导数
选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)f(x)R增函数充条件( )
A．b2－4ac>0 B．b>0c>0
C．b＝0c>0 D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0f(x)增函数
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0∴b2－3ac<0
2．(2009·广东文8)函数f(x)＝(x－3)ex单调递增区间( )
A．(－∞2) B．(03)
C．(14) D．(2＋∞)
[答案] D
[解析] 考查导数简单应．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex
令f′(x)>0解x>2选D
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)点(x0f(x0))处切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2该函数单调递减区间( )
A．[－1＋∞) B．(－∞2]
C．(－∞－1)(12) D．[2＋∞)
[答案] B
[解析] 令k≤0x0≤2导数意义知函数单调减区间(－∞2]．
4．已知函数y＝xf′(x)图象图(1)示(中f′(x)函数f(x)导函数)面四图象中y＝f(x)图象致( )
[答案] C
[解析] 0∴f′(x)<0y＝f(x)(01)减函数
x>1时xf′(x)>0∴f′(x)>0y＝f(x)(1＋∞)增函数否定ABD选C
5．函数y＝xsinx＋cosxx∈(－ππ)单调增区间( )
A
B
C
D
[答案] A
[解析] y′＝xcosx－πcosx<0∴y′＝xcosx>0
00∴y′＝xcosx>0
6．列命题成立( )
A．f(x)(ab)增函数x∈(ab)f′(x)>0
B．(ab)xf′(x)>0f(x)(ab)增函数
C．f(x)(ab)单调函数f′(x)必存
D．f′(x)(ab)存f(x)必单调函数
[答案] B
[解析] f(x)(ab)增函数f′(x)≥0A错f(x)(ab)单调函数f′(x)否存必然联系C错f(x)＝2(ab)导数f′(x)＝0存f(x)单调性D错．
7．(2007·福建理11)已知意实数xf(－x)＝－f(x)g(－x)＝g(x)x>0时f′(x)>0g′(x)>0x<0时( )
A．f′(x)>0g′(x)>0 B．f′(x)>0g′(x)<0
C．f′(x)<0g′(x)>0 D．f′(x)<0g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)奇函数g(x)偶函数奇(偶)函数关原点称两区间单调性相(反)∴x<0时f′(x)>0g′(x)<0
8．f(x)定义(0＋∞)非负导函数满足xf′(x)＋f(x)≤0意正数abaA．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0x>0f(x)≥0
∴f′(x)≤－f(x)(0＋∞)减函数
0＜a＜b∴af(b)≤bf(a)．
9．R导意函数f(x)满足(x－1)f′(x)≥0必( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
[答案] C
[解析] (x－1)f′(x)≥0f(x)[1＋∞)单调递增(－∞1]单调递减f(x)恒常数
f(0)＋f(2)≥2f(1)．应选C
10．(2010·江西理12)图正五角星薄片(称轴水面垂直)匀速升出水面记t时刻五角星露出水面部分图形面积S(t)(S(0)＝0)导函数y＝S′(t)图致
( )
[答案] A
[解析] 图象知五角星露出水面面积变化率增→减→增→减中恰露出角时变化连续选A
二填空题
11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3R单调增函数b范围________．
[答案] b<－1b>2
[解析] y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立Δ＝4b2－4(b＋2)≤0∴－1≤b≤2
题意b＜－1b＞2
12．已知函数f(x)＝ax－lnxf(x)＞1区间(1＋∞)恒成立实数a取值范围________．
[答案] a≥1
[解析] 已知a＞区间(1＋∞)恒成立．
设g(x)＝g′(x)＝－＜0 (x＞1)
∴g(x)＝区间(1＋∞)单调递减
∴g(x)＜g(1)
∵g(1)＝1
∴＜1区间(1＋∞)恒成立
∴a≥1
13．函数y＝ln(x2－x－2)单调递减区间__________．
[答案] (－∞－1)
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)定义域(2＋∞)∪(－∞－1)
令f(x)＝x2－x－2f′(x)＝2x－1<0x<
∴函数y＝ln(x2－x－2)单调减区间(－∞－1)．
14．函数y＝x3－ax2＋4(02)单调递减实数a取值范围____________．
[答案] [3＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax题意知3x2－2ax<0区间(02)恒成立
a>x区间(02)恒成立∴a≥3
三解答题
15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx图象直线12x＋y－1＝0相切点(1－11)．
(1)求ab值
(2)讨函数f(x)单调性．
[解析] (1)求导f′(x)＝3x2－6ax＋3b
f(x)图象直线12x＋y－1＝0相切点(1－11)f(1)＝－11f′(1)＝－12
解a＝1b＝－3
(2)a＝1b＝－3
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0解x<－1x>3令f′(x)<0解－1x∈(－∞－1)时f(x)增函数
x∈(3＋∞)时f(x)增函数
x∈(－13)时f(x)减函数．
16．求证：方程x－sinx＝0根x＝0
[证明] 设f(x)＝x－sinxx∈(－∞＋∞)
f′(x)＝1－cosx＞0
∴f(x)(－∞＋∞)单调递增函数．
x＝0时f(x)＝0
∴方程x－sinx＝0唯根x＝0
17．已知函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数试确定函数y＝ax3＋bx2＋5单调区间．
[分析] 先函数y＝axy＝－单调性确定ab取值范围根ab取值范围确定y＝ax3＋bx2＋5单调区间．
[解析] ∵函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数∴a＜0b＜0
y＝ax3＋bx2＋5y′＝3ax2＋2bx
令y′＞03ax2＋2bx＞0∴－＜x＜0
∴x∈时函数增函数．
令y′＜03ax2＋2bx＜0
∴x＜－x＞0
∴(0＋∞)时函数减函数．
18．(2010·新课标全国文21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2
(1)a＝求f(x)单调区间
(2)x≥0时f(x)≥0求a取值范围．
[解析] (1)a＝时f(x)＝x(ex－1)－x2
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
x∈(－∞－1)时f′(x)>0x∈(－10)时f′(x)<0x∈(0＋∞)时f′(x)>0
f(x)(－∞－1][0＋∞)单调递增[－10]单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－axg′(x)＝ex－a
a≤1x∈(0＋∞)时g′(x)>0g(x)增函数g(0)＝0x≥0时g(x)≥0f(x)≥0
a>1x∈(0lna)时g′(x)<0g(x)减函数g(0)＝0x∈(0lna)时g(x)<0f(x)<0
综合a取值范围(－∞1]．
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选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)f(x)R增函数充条件( )
A．b2－4ac>0 B．b>0c>0
C．b＝0c>0 D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0f(x)增函数
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0∴b2－3ac<0
2．(2009·广东文8)函数f(x)＝(x－3)ex单调递增区间( )
A．(－∞2) B．(03)
C．(14) D．(2＋∞)
[答案] D
[解析] 考查导数简单应．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex
令f′(x)>0解x>2选D
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)点(x0f(x0))处切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2该函数单调递减区间( )
A．[－1＋∞) B．(－∞2]
C．(－∞－1)(12) D．[2＋∞)
[答案] B
[解析] 令k≤0x0≤2导数意义知函数单调减区间(－∞2]．
4．已知函数y＝xf′(x)图象图(1)示(中f′(x)函数f(x)导函数)面四图象中y＝f(x)图象致( )
[答案] C
[解析] 0
x>1时xf′(x)>0∴f′(x)>0y＝f(x)(1＋∞)增函数否定ABD选C
5．函数y＝xsinx＋cosxx∈(－ππ)单调增区间( )
A
B
C
D
[答案] A
[解析] y′＝xcosx－π
0
6．列命题成立( )
A．f(x)(ab)增函数x∈(ab)f′(x)>0
B．(ab)xf′(x)>0f(x)(ab)增函数
C．f(x)(ab)单调函数f′(x)必存
D．f′(x)(ab)存f(x)必单调函数
[答案] B
[解析] f(x)(ab)增函数f′(x)≥0A错f(x)(ab)单调函数f′(x)否存必然联系C错f(x)＝2(ab)导数f′(x)＝0存f(x)单调性D错．
7．(2007·福建理11)已知意实数xf(－x)＝－f(x)g(－x)＝g(x)x>0时f′(x)>0g′(x)>0x<0时( )
A．f′(x)>0g′(x)>0 B．f′(x)>0g′(x)<0
C．f′(x)<0g′(x)>0 D．f′(x)<0g′(x)<0
[答案] B
[解析] f(x)奇函数g(x)偶函数奇(偶)函数关原点称两区间单调性相(反)∴x<0时f′(x)>0g′(x)<0
8．f(x)定义(0＋∞)非负导函数满足xf′(x)＋f(x)≤0意正数aba
C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0x>0f(x)≥0
∴f′(x)≤－f(x)(0＋∞)减函数
0＜a＜b∴af(b)≤bf(a)．
9．R导意函数f(x)满足(x－1)f′(x)≥0必( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
[答案] C
[解析] (x－1)f′(x)≥0f(x)[1＋∞)单调递增(－∞1]单调递减f(x)恒常数
f(0)＋f(2)≥2f(1)．应选C
10．(2010·江西理12)图正五角星薄片(称轴水面垂直)匀速升出水面记t时刻五角星露出水面部分图形面积S(t)(S(0)＝0)导函数y＝S′(t)图致
( )
[答案] A
[解析] 图象知五角星露出水面面积变化率增→减→增→减中恰露出角时变化连续选A
二填空题
11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3R单调增函数b范围________．
[答案] b<－1b>2
[解析] y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立Δ＝4b2－4(b＋2)≤0∴－1≤b≤2
题意b＜－1b＞2
12．已知函数f(x)＝ax－lnxf(x)＞1区间(1＋∞)恒成立实数a取值范围________．
[答案] a≥1
[解析] 已知a＞区间(1＋∞)恒成立．
设g(x)＝g′(x)＝－＜0 (x＞1)
∴g(x)＝区间(1＋∞)单调递减
∴g(x)＜g(1)
∵g(1)＝1
∴＜1区间(1＋∞)恒成立
∴a≥1
13．函数y＝ln(x2－x－2)单调递减区间__________．
[答案] (－∞－1)
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)定义域(2＋∞)∪(－∞－1)
令f(x)＝x2－x－2f′(x)＝2x－1<0x<
∴函数y＝ln(x2－x－2)单调减区间(－∞－1)．
14．函数y＝x3－ax2＋4(02)单调递减实数a取值范围____________．
[答案] [3＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax题意知3x2－2ax<0区间(02)恒成立
a>x区间(02)恒成立∴a≥3
三解答题
15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx图象直线12x＋y－1＝0相切点(1－11)．
(1)求ab值
(2)讨函数f(x)单调性．
[解析] (1)求导f′(x)＝3x2－6ax＋3b
f(x)图象直线12x＋y－1＝0相切点(1－11)f(1)＝－11f′(1)＝－12
解a＝1b＝－3
(2)a＝1b＝－3
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0解x<－1x>3令f′(x)<0解－1
x∈(3＋∞)时f(x)增函数
x∈(－13)时f(x)减函数．
16．求证：方程x－sinx＝0根x＝0
[证明] 设f(x)＝x－sinxx∈(－∞＋∞)
f′(x)＝1－cosx＞0
∴f(x)(－∞＋∞)单调递增函数．
x＝0时f(x)＝0
∴方程x－sinx＝0唯根x＝0
17．已知函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数试确定函数y＝ax3＋bx2＋5单调区间．
[分析] 先函数y＝axy＝－单调性确定ab取值范围根ab取值范围确定y＝ax3＋bx2＋5单调区间．
[解析] ∵函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数∴a＜0b＜0
y＝ax3＋bx2＋5y′＝3ax2＋2bx
令y′＞03ax2＋2bx＞0∴－＜x＜0
∴x∈时函数增函数．
令y′＜03ax2＋2bx＜0
∴x＜－x＞0
∴(0＋∞)时函数减函数．
18．(2010·新课标全国文21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2
(1)a＝求f(x)单调区间
(2)x≥0时f(x)≥0求a取值范围．
[解析] (1)a＝时f(x)＝x(ex－1)－x2
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
x∈(－∞－1)时f′(x)>0x∈(－10)时f′(x)<0x∈(0＋∞)时f′(x)>0
f(x)(－∞－1][0＋∞)单调递增[－10]单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－axg′(x)＝ex－a
a≤1x∈(0＋∞)时g′(x)>0g(x)增函数g(0)＝0x≥0时g(x)≥0f(x)≥0
a>1x∈(0lna)时g′(x)<0g(x)减函数g(0)＝0x∈(0lna)时g(x)<0f(x)<0
综合a取值范围(－∞1]．
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