11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修22 133 函数值导数

选择题
1．函数y＝f(x)区间[ab]值M值mM＝mf′(x)(　　)
A．等0　　　　　　　 B．0
C．0 D．
[答案]　A
[解析]　∵M＝m∴y＝f(x)常数函数
∴f′(x)＝0应选A
2．设f(x)＝x4＋x3＋x2[－11]值(　　)
A．0　　　　 B．－2　 　　
C．－1　 　　 D
[答案]　A
[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)
令y′＝0解x＝0
∴f(－1)＝f(0)＝0f(1)＝
∴f(x)[－11]值0应选A
3．函数y＝x3＋x2－x＋1区间[－21]值(　　)
A B．2
C．－1 D．－4
[答案]　C
[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)
令y′＝0解x＝x＝－1
x＝－2时y＝－1x＝－1时y＝2
x＝时y＝x＝1时y＝2
函数值－1应选C
4．函数f(x)＝x2－x＋1区间[－30]值(　　)
A．值13值
B．值1值4
C．值13值1
D．值－1值－7
[答案]　A
[解析]　∵y＝x2－x＋1∴y′＝2x－1
令y′＝0∴x＝f(－3)＝13f＝f(0)＝1
5．函数y＝＋(01)值(　　)
A B．1
C．0 D．存
[答案]　A
[解析]　y′＝－＝·
y′＝0x＝y′>0
y′<0∴x＝时y极＝
x∈(01)∴ymax＝
6．函数f(x)＝x4－4x (|x|<1)(　　)
A．值值
B．值值
C．值值
D．值值
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0x＝1x∈(－11)
∴该方程解
函数f(x)(－11)极值值．选D
7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5[03]值值分(　　)
A．5－15 B．54
C．－4－15 D．5－16
[答案]　A
[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)
令y′＝0x＝2x＝－1(舍)．
∵f(0)＝5f(2)＝－15f(3)＝－4
∴ymax＝5ymin＝－15选A
8．已知函数y＝－x2－2x＋3[a2]值a等(　　)
A．－ B
C．－ D－
[答案]　C
[解析]　y′＝－2x－2令y′＝0x＝－1
a≤－1时值f(－1)＝4合题意．
－1值f(a)＝－a2－2a＋3＝
解a＝－a＝－(舍)．
9．函数f(x)＝x3－12x区间(k－1k＋1)单调函数实数k取值范围
(　　)
A．k≤－3－1≤k≤1k≥3
B．－3C．－2D．存样实数
[答案]　B
[解析]　y′＝3x2－12y′>0函数增区间(－∞－2)(2＋∞)y′<0函数减区间(－22)函数(k－1k＋1)单调函数k－1<－210．函数f(x)＝x3＋ax－2区间[1＋∞)增函数实数a取值范围(　　)
A．[3＋∞) B．[－3＋∞)
C．(－3＋∞) D．(－∞－3)
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2[1＋∞)增函数∴f′(x)＝3x2＋a≥0[1＋∞)恒成立
a≥－3x2[1＋∞)恒成立
∵[1＋∞)(－3x2)max＝－3
∴a≥－3应选B
二填空题
11．函数y＝x＋(1－x)0≤x≤1值______．
[答案]　

y′>0x>y′<0x<
函数减函数增函数∴值x＝时取ymin＝
12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3区间[－2＋∞)值________值________．
[答案]　存－28
[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2
令f′(x)＝0x1＝－2x2＝x>时函数增函数－2≤x≤时函数减函数值f(－2)＝57f＝－28值－28
13．函数f(x)＝(a>0)[1＋∞)值a值________．
[答案]　－1
[解析]　f′(x)＝＝
令f′(x)＝0解x＝x＝－(舍)
x>时f′(x)<000
x＝时f(x)＝＝＝<1合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝解a＝－1
14．f(x)＝x3－12x＋8[－33]值M值mM－m＝________
[答案]　32
[解析]　f′(x)＝3x2－12
f′(x)>0x>2x<－2
f′(x)<0－2∴f(x)[－3－2]单调递增[－22]单调递减[23]单调递增．
f(－3)＝17f(－2)＝24f(2)＝－8
f(3)＝－1
∴值M＝24值m＝－8
∴M－m＝32
三解答题
15．求列函数值：
(1)f(x)＝sin2x－x
(2)f(x)＝x＋
[解析]　(1)f′(x)＝2cos2x－1
令f′(x)＝0cos2x＝
x∈∴2x∈[－ππ]
∴2x＝±∴x＝±
∴函数f(x)两极值分
f＝－f＝－＋
f(x)区间端点取值
f＝－f＝
较函数值f(x)max＝f(x)min＝－
(2)∵函数f(x)意义
∴必须满足1－x2≥0－1≤x≤1
∴函数f(x)定义域[－11]．
f′(x)＝1＋(1－x2)－·(1－x2)′＝1－
令f′(x)＝0x＝
∴f(x)[－11]极值
f＝＋＝
f(x)区间端点函数值f(1)＝1f(－1)＝－1较函数值f(x)max＝f(x)min＝－1
16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2求f(x)区间值值．
[解析]　f(x)定义域
f′(x)＝2x＋＝
＝
－0
－1x>－时f′(x)>0
f(x)值
f＝ln2＋
f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0
f(x)区间值 f＝ln＋
17．(2010·安徽理17)设a实数函数f(x)＝ex－2x＋2ax∈R
(1)求f(x)单调区间极值
(2)求证：a>ln2－1x>0时ex>x2－2ax＋1
[分析]　题考查导数运算利导数研究函数单调区间求函数极值证明函数等式考查运算力综合分析解决问题力．
解题思路：(1)利导数符号判定函数单调性进求出函数极值．(2)等式转化构造函数利函数单调性证明．
[解析]　(1)解：f(x)＝ex－2x＋2ax∈R知f′(x)＝ex－2x∈R
令f′(x)＝0x＝ln2x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
(－∞ln2)
ln2
(ln2＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln2＋a)
单调递增
f(x)单调递减区间(－∞ln2)单调递增区间(ln2＋∞)
f(x)x＝ln2处取极值极值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1x∈Rg′(x)＝ex－2x＋2ax∈R
(1)知a>ln2－1时g′(x)值g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0
意x∈Rg′(x)>0g(x)R单调递增．
a>ln2－1时意x∈(0＋∞)g(x)>g(0)．
g(0)＝0意x∈(0＋∞)g(x)>0
ex－x2＋2ax－1>0ex>x2－2ax＋1
18．已知函数f(x)＝x∈[01]．
(1)求f(x)单调区间值域
(2)设a≥1函数g(x)＝x3－3a2x－2ax∈[01]．意x1∈[01]总存x0∈[01]g(x0)＝f(x1)成立求a取值范围．
[解析]　(1)函数f(x)求导
f′(x)＝＝－
令f′(x)＝0解x＝x＝
x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
0
(0)

(1)
1
f′(x)

－
0
＋

f(x)
－

－4

－3
x∈(0)时f(x)减函数
x∈时f(x)增函数．
x∈[01]时f(x)值域[－4－3]．
(2)g′(x)＝3(x2－a2)．
a≥1x∈(01)时g′(x)<0
x∈(01)时g(x)减函数x∈[01]时g(x)∈[g(1)g(0)]．
g(1)＝1－2a－3a2g(0)＝－2ax∈[01]时g(x)∈[1－2a－3a2－2a]．
x1∈[01]f(x1)∈[－4－3]存x0∈[01]g(x0)＝f(x1)成立
[1－2a－3a2－2a]⊇[－4－3]．

解①式a≥1a≤－解②式a≤
a≥1a取值范围1≤a≤




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