2020届1月省市一模数学(理)试题(解析版)


    2020届1月市一模数学(理)试题 一、单选题 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先解不等式得集合B,再根据交集定义求结果. 【详解】 故选:B 【点睛】 本题考查一元二次不等式以及交集定义,考查基本分析求解能力,属基础题. 2.命题,,则为( ) A., B., C., D., 【答案】A 【解析】根据全称命题的否定直接判断选择. 【详解】 ,, :, 故选:A 【点睛】 本题考查全称命题的否定,考查基本分析判断能力,属基础题. 3.已知复数z满足,且,则( ) A.2 B.2i C. D. 【答案】C 【解析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程,解得结果. 【详解】 设,则, ,且,,且. 故选:C 【点睛】 本题考查共轭复数概念以及复数乘法,考查基本分析求解能力,属基础题. 4.已知均为单位向量,若夹角为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先求数量积,再求模的平方,最后得结果. 【详解】 故选:D 【点睛】 本题考查向量数量积以及向量的模,考查基本分析求解能力,属基础题. 5.若实数x,y满足不等式组,则的最大值为( ) A.4 B. C.-6 D.6 【答案】A 【解析】先作可行域,再根据目标函数所表示的直线,结合图象确定最优解,代入得结果. 【详解】 作可行域如图,则直线过点时取最大值4, 故选:A 【点睛】 本题考查线性规划求最值,考查基本分析求解能力,属基础题. 6.已知,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小. 【详解】 故选:D 【点睛】 本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小,考查基本分析判断能力,属基础题. 7.垃圾分类是一种新时尚,沈阳市为推进这项工作的实施,开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比,从中各随机选出20户家庭进行评比打分,每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小( ) A., B., C., D., 【答案】C 【解析】根据茎叶图数据分布,比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小,根据数据分布集中情况确定方差大小,即可选择. 【详解】 因为甲的最大值比乙小,甲的最小值比乙小,甲的中间数值没乙的中间数值大,所以; 因为甲的数据没有乙的数据集中,所以. 故选:C 【点睛】 本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小,考查基本分析判断能力,属基础题. 8.已知a,b为两条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下列说法中正确的是( ) ①若,,则 ②若,,则 ③若,,则 ④若,,则 A.①③ B.②③ C.①②③ D.②③④ 【答案】B 【解析】根据线面位置关系逐一判断,即可选择. 【详解】 若,,a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证,; 若,,则; 若,,则; 若,,则或; 故选:B 【点睛】 本题考查线面有关命题判断,考查基本分析判断能力,属基础题. 9.新高考的改革方案开始实施后,某地学生需要从化学,生物,政治,地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学,乙与甲没有相同的课程,丙与甲恰有一门课相同,丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是() A.丙没有选化学 B.丁没有选化学 C.乙丁可以两门课都相同 D.这四个人里恰有2个人选化学 【答案】D 【解析】根据题意合理推理,并作出合理的假设,最终得出正确结论. 【详解】 根据题意可得,∵甲选择了化学,乙与甲没有相同课程,∴乙必定没选化学; 又∵丙与甲有一门课相同,假设丙选择了化学,而丁与丙无相同课程,则丁一定没选化学; 若丙没选化学,又∵丁与丙无相同课程,则丁必定选择了化学. 综上,必定有甲,丙或甲,丁这两种情况下选择化学,故可判断A,B不正确,D正确。 假设乙丁可以两门课都相同,由上面分析可知,乙丁都没有选择化学,只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治,则甲选的是化学和地理,而丙和甲共同选择了化学,另一门课丙只能从生物、政治中选一科,这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾,故假设不成立,因此C不正确。 【点睛】 本题主要考查学生的逻辑推理能力。 10.已知双曲线的两条渐近线分别为直线与,若点A,B为直线上关于原点对称的不同两点,点M为直线上一点,且,则双曲线C的离心率为( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】C 【解析】先求渐近线方程,再设坐标,根据斜率公式化简条件,即得离心率. 【详解】 渐近线方程为,不妨设 则可设 因此 故选:C 【点睛】 本题考查双曲线渐近线以及离心率,考查基本分析求解能力,属中档题. 11.如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值为( ) A.2 B. C. D.3 【答案】A 【解析】先根据左右平移不改变最值求得,再根据平移规律列等量关系,最后根据两角差正切公式解得结果. 【详解】 因为左右平移不改变最值,所以 因为,向右平移个单位得到, 而, 所以,即 从而 故选:A 【点睛】 本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式,考查综合分析求解能力,属中档题. 12.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则函数的零点个数为( ) A.20 B.18 C.16 D.14 【答案】C 【解析】先解,再作图,结合图象确定交点个数,即得零点个数. 【详解】 或 根据函数解析式以及偶函数性质作图象,零点个数为, 故选:C 【点睛】 本题考查函数零点以及函数综合性质,考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力,属中档题. 二、填空题 13.已知椭圆方程为,则其焦距为________. 【答案】6 【解析】根据椭圆方程求,即得焦距. 【详解】 故答案为: 【点睛】 本题考查根据椭圆方程求焦距,考查基本分析求解能力,属基础题. 14.已知等差数列的前n项和为,且,.数列中,,.则________. 【答案】 【解析】先根据条件解得等差数列公差与首项,即得;再根据解得通项公式,即得,最后求积得结果. 【详解】 设等差数列公差为,则由,得, 因为,所以 故答案为: 【点睛】 本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式,考查基本分析求解能力,属基础题. 15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 【答案】 【解析】先分间隔一个与不间隔分类计数,再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果. 【详解】 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻,则学习方法有种; 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种; 因此共有种. 故答案为: 【点睛】 本题考查排列组合实际问题,考查基本分析求解能力,属基础题. 16.在四面体ABCD中,若,则当四面体ABCD的体积最大时,其外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】先根据底面ACD面积为定值,确定四面体ABCD的体积最大时,平面,再确定外接球球心位置,解得球半径,代入球的表面积公式得结果. 【详解】 因为,所以底面ACD面积为定值, 因此当平面时,四面体ABCD的体积最大. 设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且, 因此外接球的半径满足 从而外接球的表面积为 故答案为: 【点睛】 本题考查四面体外接球的表面积,考查综合分析求解能力,属中档题. 三、解答题 17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,. (1)求A及a; (2)若,求BC边上的高. 【答案】(1),(2) 【解析】(1)根据正弦定理化简可得a;根据二倍角正弦公式化简可得A; (2)先根据余弦定理求得,再根据三角形面积公式求BC边上的高. 【详解】 (1) ; (2)由余弦定理得 , 设BC边上的高为. . 即BC边上的高为 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,考查综合分析求解能力,属中档题. 18.如图,已知为等边三角形,为等腰直角三角形,.平面平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且,.点F为AD中点,连接EF. (1)求证:平面ABC; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1)取AB中点M,根据平几知识得四边形为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果; (2)先根据面面垂直得线面垂直,再建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积求各面法向量,根据向量夹角公式得两法向量夹角余弦值,最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 (1)取AB中点M,连FM,CM. 因为点F为AD中点,所以 因为,,所以 因此四边形为平行四边形,所以 因为平面ABC,平面ABC,所以平面ABC; (2)因为,平面平面ABD,平面平面ABD,平面,所以平面因此以AC中点O为坐标原点,AC,BO,平行于BD的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设边长为2,则 因此平面一个法向量为,设平面一个法向量为, 由得,令 所以 因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为 【点睛】 本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角,考查综合分析论证与求解能力,属中档题. 19.已知抛物线的焦点为F,点,点B在抛物线C上,且满足(O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程; (2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与,直线l与抛物线C交于P,Q两点,直线与抛物线C交于M,N两点,的面积记为,的面积记为,求证:为定值. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】(1)先根据条件解得B点坐标,代入抛物线方程解得,即得结果; (2)先设直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及弦长公式求得与,最后代入化简得结果. 【详解】 (1)设 因为点B在抛物线C上, (2)由题意得直线l的斜率存在且不为零,设,代入得,所以 因此,同理可得 因此 【点睛】 本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题. 20.在2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛: (1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率; (2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率p(x). 【答案】(1)(2)x的取值为2或4, . 【解析】(1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况,再分别根据独立事件概率乘法公式求解,最后根据互斥事件概率加法公式得结果; (2)先根据比赛规则确定x的取值,再确定甲赢得整场比赛的情况,最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果. 【详解】 (1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢, 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为, (2)根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为 两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为; 两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为. 【点睛】 本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式,考查综合分析求解能力,属中档题. 21.已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有三个零点,求实数a的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1)先求导数,再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律,进而确定单调性; (2)根据函数单调性确定零点个数,并用零点存在定理加以论证. 【详解】 (1) 当时,,即在上单调递增; 当时,,即在上单调递增; 当时,时,即在和上单调递增;时,即在上单调递减; 综上:当时, 在上单调递增; 当时, 在和上单调递增;在上单调递减; (2)因为单调函数至多一个零点,所以, 因为 所以 因为 而在和上单调递增;在上单调递减; 所以在上有且仅有一个零点,在上有且仅有一个零点(即1),在上有且仅有一个零点, 所以当时,函数有三个零点. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点,考查综合分析求解能力,属较难题. 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线,直线l的参数方程为:(t为参数),直线l与曲线C分别交于M,N两点. (1)写出曲线C和直线l的普通方程; (2)若点,求的值. 【答案】(1),(2) 【解析】(1)根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程,利用消元法化直线l的参数方程为普通方程 (2)先化直线l的参数方程为标准式,再代入曲线C方程,最后根据参数几何意义求解 【详解】 (1) (2) 代入得 【点睛】 本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程,考查基本分析求解能力,属中档题. 23.已知函数. (1)求不等式的解集; (2)若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集得结果; (2)先化简不等式,再根据绝对值三角不等式性质求最值,即得结果. 【详解】 (1) 或或 或或 即不等式的解集为. (2) 【点睛】 本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式,考查基本分析求解能力,属基础题. 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    文档贡献者

    橘***小

    贡献于2020-10-18

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