高数学必修1章知识点总结
（拂晓搜集整理）
第章 集合函数概念
集合关概念
1 集合含义
2 集合中元素三特性：
(1) 元素确定性：世界高山
(2) 元素互异性：HAPPY字母组成集合{HAPY}
(3) 元素序性 ：{abc}{acb}表示集合
3集合表示：{ … } ：{校篮球队员}{太洋西洋印度洋北冰洋}
(1) 拉丁字母表示集合：A{校篮球队员}B{12345}
(2) 集合表示方法：列举法描述法
u 注意：常数集记法：
非负整数集（然数集） 记作：N
正整数集 N* N+ 整数集Z 理数集Q 实数集R
1） 列举法：{abc……}
2） 描述法：集合中元素公属性描述出写括号表示集合方法{xÎR| x3>2} {x| x3>2}
3） 语言描述法：例：{直角三角形三角形}
4） Venn图
4集合分类：
(1) 限集 含限元素集合
(2) 限集 含限元素集合
(3) 空集 含元素集合 例：{x|x2－5｝
二集合间基关系
1包含关系—子集
注意：两种（1）AB部分（2）AB集合
反 集合A包含集合B集合B包含集合A记作ABBA
2．相等关系：AB (5≥55≤555)
实例：设 A{x|x210} B{11} 元素相两集合相等
：① 集合身子集AÍA
②真子集果AÍBA¹ B说集合A集合B真子集记作AB(BA)
③果 AÍB BÍC AÍC
④ 果AÍB 时 BÍA AB
3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
u n元素集合含2n子集2n1真子集
三集合运算
运算类型
交 集
集
补 集
定 义
属A属B元素组成集合做AB交集．记作AB（读作A交B’）AB｛x|xAxB｝．
属集合A属集合B元素组成集合做AB集．记作：AB（读作AB’）AB {x|xAxB})．
设S集合AS子集S中属A元素组成集合做S中子集A补集（余集）
S
A
记作
CSA
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AAA
AΦΦ
ABBA
ABA
ABB
AAA
AΦA
ABBA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
Cu (AB)
(CuA) (CuB)
Cu(AB)
A (CuA)U
A (CuA) Φ．
例题：
1列四组象构成集合 （ ）
A某班高子学生 B著名艺术家 C切书 D 倒数等身实数
2集合{abc }真子集
3集合M{y|yx22x+1xR}N{x|x≥0}MN关系
4设集合ABAB取值范围
550名学生做物理化学两种实验已知物理实验做正确40化学实验做正确31
两种实验做错4两种实验做
6 描述法表示图中阴影部分点（含边界点）组成集合M
7已知集合A{x| x2+2x80} B{x| x25x+60} C{x| x2mx+m2190} B∩C≠ΦA∩CΦ求m值
二函数关概念
1．函数概念：设AB非空数集果某确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数f(x)应称f：A→B集合A集合B函数．记作： yf(x)x∈A．中x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{f(x)| x∈A }做函数值域．
注意：
1．定义域：函数式意义实数x集合称函数定义域
求函数定义域时列等式组：
(1)分式分母等零
(2)偶次方根开方数零
(3)数式真数必须零
(4)指数数式底必须零等1
(5)果函数基函数通四运算结合成定义域部分意义x值组成集合
(6)指数零底等零
(7)实际问题中函数定义域保证实际问题意义
u 相函数判断方法：①表达式相（表示变量函数值字母关）②定义域致 (两点必须时具备)
(见课21页相关例2)
2．值域 先考虑定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3 函数图象知识纳
(1)定义：面直角坐标系中函数 yf(x) (x∈A)中x横坐标函数值y坐标点P(xy)集合C做函数 yf(x)(x ∈A)图象．C点坐标(xy)均满足函数关系yf(x)反满足yf(x)组序实数xy坐标点(xy)均C
(2) 画法
A 描点法：
B 图象变换法
常变换方法三种
1) 移变换
2) 伸缩变换
3) 称变换
4．区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间
（2）穷区间
（3）区间数轴表示．
5．映射
般设AB两非空集合果某确定应法f集合A中意元素x集合B中唯确定元素y应称应f：AB集合A集合B映射记作f（应关系）：A（原象）B（象）
映射f：A→B说应满足：
(1)集合A中元素集合B中象象唯
(2)集合A中元素集合B中应象
(3)求集合B中元素集合A中原象
6分段函数
(1)定义域部分解析表达式函数
(2)部分变量取值情况．
(3)分段函数定义域段定义域交集值域段值域集．
补充：复合函数
果yf(u)(u∈M)ug(x)(x∈A) yf[g(x)]F(x)(x∈A) 称fg复合函数
二．函数性质
1函数单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数yf(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量x1x2x1果区间D意两变量值x1x2x1注意：函数单调性函数局部性质
（2） 图象特点
果函数yf(x)某区间增函数减函数说函数yf(x)区间具(严格)单调性单调区间增函数图象左右升减函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：
取x1x2∈Dx1 作差f(x1)－f(x2)
变形（通常式分解配方）
定号（判断差f(x1)－f(x2)正负）
结（指出函数f(x)定区间D单调性）．
(B)图象法(图象升降)
(C)复合函数单调性
复合函数f[g(x)]单调性构成函数ug(x)yf(u)单调性密切相关规律：增异减
注意：函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集
8．函数奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)f(x)做偶函数．
（2）．奇函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)—f(x)f(x)做奇函数．
（3）具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关y轴称奇函数图象关原点称．
利定义判断函数奇偶性步骤：
首先确定函数定义域判断否关原点称
确定f(－x)f(x)关系
作出相应结：f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0f(x)偶函数f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2) f(x)±f(x)0f(x)／f(x)±1判定 (3)利定理助函数图象判定
9函数解析表达式
（1）函数解析式函数种表示方法求两变量间函数关系时求出间应法二求出函数定义域
（2）求函数解析式方法：
1) 凑配法
2) 定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数（）值（定义见课p36页）
利二次函数性质（配方法）求函数（）值
利图象求函数（）值
利函数单调性判断函数（）值：
果函数yf(x)区间[ab]单调递增区间[bc]单调递减函数yf(x)xb处值f(b)
果函数yf(x)区间[ab]单调递减区间[bc]单调递增函数yf(x)xb处值f(b)
例题：
1求列函数定义域：
⑴ ⑵
2设函数定义域函数定义域_ _
3函数定义域函数定义域
4函数
5求列函数值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6已知函数求函数解析式
7已知函数满足
8设R奇函数时时
R解析式
9求列函数单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10判断函数单调性证明结．
11设函数判断奇偶性求证：．
第二章 基初等函数
指数函数
（）指数指数幂运算
1．根式概念：般果做次方根中>1∈*．
u 负数没偶次方根0次方根0记作
奇数时偶数时
2．分数指数幂
正数分数指数幂意义规定：
u 0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）·
（2）
（3） ．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数做指数函数中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
R单调递增
R单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象定点（01）
函数图象定点（01）
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
二数函数
（）数
1．数概念：般果数做底数记作：（— 底数— 真数— 数式）
说明： 注意底数限制
注意数书写格式．
两重数：
常数：10底数
然数：理数底数数．
u 指数式数式互化
幂值 真数
＝ N＝ b
底数
指数 数
（二）数运算性质
果：
·＋
－
．
注意：换底公式
（）．
利换底公式推导面结
（1）（2）．
（二）数函数
1数函数概念：函数做数函数中变量函数定义域（0+∞）．
注意： 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨： 数函数称数型函数．
数函数底数限制：．
2数函数性质：
a>1
0
定义域x＞0
定义域x＞0
值域R
值域R
R递增
R递减
函数图象定点（10）
函数图象定点（10）
（三）幂函数
1幂函数定义：般形函数称幂函数中常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）时幂函数图象通原点区间增函数．特时幂函数图象凸时幂函数图象凸
（3）时幂函数图象区间减函数．第象限右边趋原点时图象轴右方限逼轴正半轴趋时图象轴方限逼轴正半轴．
例题：
1 已知a>0a0函数yaxyloga(x)图象 ( )
2计算： ① ②
③
3函数ylog(2x23x+1)递减区间
4函数区间值值3倍a
5已知（1）求定义域（2）求取值范围
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标
：方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
（1）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
（2）△＝０方程两相等实根二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
（3）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
5函数模型
收集数
画散点图
选择函数模型
求函数模型
函数模型解释实际问题
符合实际
符合实际
检验
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第章 集合函数概念
集合关概念
1 集合含义
2 集合中元素三特性：
(1) 元素确定性：世界高山
(2) 元素互异性：HAPPY字母组成集合{HAPY}
(3) 元素序性 ：{abc}{acb}表示集合
3集合表示：{ … } ：{校篮球队员}{太洋西洋印度洋北冰洋}
(1) 拉丁字母表示集合：A{校篮球队员}B{12345}
(2) 集合表示方法：列举法描述法
u 注意：常数集记法：
非负整数集（然数集） 记作：N
正整数集 N* N+ 整数集Z 理数集Q 实数集R
1） 列举法：{abc……}
2） 描述法：集合中元素公属性描述出写括号表示集合方法{xÎR| x3>2} {x| x3>2}
3） 语言描述法：例：{直角三角形三角形}
4） Venn图
4集合分类：
(1) 限集 含限元素集合
(2) 限集 含限元素集合
(3) 空集 含元素集合 例：{x|x2－5｝
二集合间基关系
1包含关系—子集
注意：两种（1）AB部分（2）AB集合
反 集合A包含集合B集合B包含集合A记作ABBA
2．相等关系：AB (5≥55≤555)
实例：设 A{x|x210} B{11} 元素相两集合相等
：① 集合身子集AÍA
②真子集果AÍBA¹ B说集合A集合B真子集记作AB(BA)
③果 AÍB BÍC AÍC
④ 果AÍB 时 BÍA AB
3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
u n元素集合含2n子集2n1真子集
三集合运算
运算类型
交 集
集
补 集
定 义
属A属B元素组成集合做AB交集．记作AB（读作A交B’）AB｛x|xAxB｝．
属集合A属集合B元素组成集合做AB集．记作：AB（读作AB’）AB {x|xAxB})．
设S集合AS子集S中属A元素组成集合做S中子集A补集（余集）
S
A
记作
CSA
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AAA
AΦΦ
ABBA
ABA
ABB
AAA
AΦA
ABBA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
Cu (AB)
(CuA) (CuB)
Cu(AB)
A (CuA)U
A (CuA) Φ．
例题：
1列四组象构成集合 （ ）
A某班高子学生 B著名艺术家 C切书 D 倒数等身实数
2集合{abc }真子集
3集合M{y|yx22x+1xR}N{x|x≥0}MN关系
4设集合ABAB取值范围
550名学生做物理化学两种实验已知物理实验做正确40化学实验做正确31
两种实验做错4两种实验做
6 描述法表示图中阴影部分点（含边界点）组成集合M
7已知集合A{x| x2+2x80} B{x| x25x+60} C{x| x2mx+m2190} B∩C≠ΦA∩CΦ求m值
二函数关概念
1．函数概念：设AB非空数集果某确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数f(x)应称f：A→B集合A集合B函数．记作： yf(x)x∈A．中x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{f(x)| x∈A }做函数值域．
注意：
1．定义域：函数式意义实数x集合称函数定义域
求函数定义域时列等式组：
(1)分式分母等零
(2)偶次方根开方数零
(3)数式真数必须零
(4)指数数式底必须零等1
(5)果函数基函数通四运算结合成定义域部分意义x值组成集合
(6)指数零底等零
(7)实际问题中函数定义域保证实际问题意义
u 相函数判断方法：①表达式相（表示变量函数值字母关）②定义域致 (两点必须时具备)
(见课21页相关例2)
2．值域 先考虑定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3 函数图象知识纳
(1)定义：面直角坐标系中函数 yf(x) (x∈A)中x横坐标函数值y坐标点P(xy)集合C做函数 yf(x)(x ∈A)图象．C点坐标(xy)均满足函数关系yf(x)反满足yf(x)组序实数xy坐标点(xy)均C
(2) 画法
A 描点法：
B 图象变换法
常变换方法三种
1) 移变换
2) 伸缩变换
3) 称变换
4．区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间
（2）穷区间
（3）区间数轴表示．
5．映射
般设AB两非空集合果某确定应法f集合A中意元素x集合B中唯确定元素y应称应f：AB集合A集合B映射记作f（应关系）：A（原象）B（象）
映射f：A→B说应满足：
(1)集合A中元素集合B中象象唯
(2)集合A中元素集合B中应象
(3)求集合B中元素集合A中原象
6分段函数
(1)定义域部分解析表达式函数
(2)部分变量取值情况．
(3)分段函数定义域段定义域交集值域段值域集．
补充：复合函数
果yf(u)(u∈M)ug(x)(x∈A) yf[g(x)]F(x)(x∈A) 称fg复合函数
二．函数性质
1函数单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数yf(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量x1x2x1
（2） 图象特点
果函数yf(x)某区间增函数减函数说函数yf(x)区间具(严格)单调性单调区间增函数图象左右升减函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：
取x1x2∈Dx1
变形（通常式分解配方）
定号（判断差f(x1)－f(x2)正负）
结（指出函数f(x)定区间D单调性）．
(B)图象法(图象升降)
(C)复合函数单调性
复合函数f[g(x)]单调性构成函数ug(x)yf(u)单调性密切相关规律：增异减
注意：函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集
8．函数奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)f(x)做偶函数．
（2）．奇函数
般函数f(x)定义域意xf(－x)—f(x)f(x)做奇函数．
（3）具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关y轴称奇函数图象关原点称．
利定义判断函数奇偶性步骤：
首先确定函数定义域判断否关原点称
确定f(－x)f(x)关系
作出相应结：f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0f(x)偶函数f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2) f(x)±f(x)0f(x)／f(x)±1判定 (3)利定理助函数图象判定
9函数解析表达式
（1）函数解析式函数种表示方法求两变量间函数关系时求出间应法二求出函数定义域
（2）求函数解析式方法：
1) 凑配法
2) 定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数（）值（定义见课p36页）
利二次函数性质（配方法）求函数（）值
利图象求函数（）值
利函数单调性判断函数（）值：
果函数yf(x)区间[ab]单调递增区间[bc]单调递减函数yf(x)xb处值f(b)
果函数yf(x)区间[ab]单调递减区间[bc]单调递增函数yf(x)xb处值f(b)
例题：
1求列函数定义域：
⑴ ⑵
2设函数定义域函数定义域_ _
3函数定义域函数定义域
4函数
5求列函数值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6已知函数求函数解析式
7已知函数满足
8设R奇函数时时
R解析式
9求列函数单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10判断函数单调性证明结．
11设函数判断奇偶性求证：．
第二章 基初等函数
指数函数
（）指数指数幂运算
1．根式概念：般果做次方根中>1∈*．
u 负数没偶次方根0次方根0记作
奇数时偶数时
2．分数指数幂
正数分数指数幂意义规定：
u 0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）·
（2）
（3） ．
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数做指数函数中x变量函数定义域R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零1．
2指数函数图象性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
R单调递增
R单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象定点（01）
函数图象定点（01）
注意：利函数单调性结合图象出：
（1）[ab]值域
（2）取遍正数仅
（3）指数函数总
二数函数
（）数
1．数概念：般果数做底数记作：（— 底数— 真数— 数式）
说明： 注意底数限制
注意数书写格式．
两重数：
常数：10底数
然数：理数底数数．
u 指数式数式互化
幂值 真数
＝ N＝ b
底数
指数 数
（二）数运算性质
果：
·＋
－
．
注意：换底公式
（）．
利换底公式推导面结
（1）（2）．
（二）数函数
1数函数概念：函数做数函数中变量函数定义域（0+∞）．
注意： 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨： 数函数称数型函数．
数函数底数限制：．
2数函数性质：
a>1
0
定义域x＞0
定义域x＞0
值域R
值域R
R递增
R递减
函数图象定点（10）
函数图象定点（10）
（三）幂函数
1幂函数定义：般形函数称幂函数中常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）时幂函数图象通原点区间增函数．特时幂函数图象凸时幂函数图象凸
（3）时幂函数图象区间减函数．第象限右边趋原点时图象轴右方限逼轴正半轴趋时图象轴方限逼轴正半轴．
例题：
1 已知a>0a0函数yaxyloga(x)图象 ( )
2计算： ① ②
③
3函数ylog(2x23x+1)递减区间
4函数区间值值3倍a
5已知（1）求定义域（2）求取值范围
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标
：方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
（1）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
（2）△＝０方程两相等实根二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
（3）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
5函数模型
收集数
画散点图
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求函数模型
函数模型解释实际问题
符合实际
符合实际
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