新人教版九年级数学上册全册教案

教版九年级册全书教案
第二十章 二次根式

教材容
1．单元教学容：
二次根式概念二次根式加减二次根式简二次根式．
2．单元教材中位作：
二次根式学完八年级册第十七章反例正函数第十八章勾股定理应等容基础继续学学数学知识基础．
教学目标
1．知识技
（1）理解二次根式概念．
（2）理解（a≥0）非负数（）2a（a≥0）a（a≥0）．
（3）掌握·＝（a≥0b≥0）·
（a≥0b>0）（a≥0b>0）．
（4）解简二次根式概念灵活运二次根式进行加减．
2．程方法
（1）先提出问题学生探讨分析问题师生纳出概念．概念涵进行分析出重结运重结进行二次根式计算化简．
（2）具体数探究规律完全纳法出二次根式（）法规定运规定进行计算．
（3）利逆思维出二次根式（）法规定逆等式运进行化简．
（4）通分析前面计算化简结果抓住特点出简二次根式概念．利简二次根式概念相二次根式进行合达二次根式进行计算化简目．
3．情感态度价值观
通单元学培养学生：利规定准确计算化简严谨科学精神探索二次根式重结二次根式规定发展学生观察分析发现问题力．
教学重点
1．二次根式（a≥0）涵．（a≥0）非负数（）2＝a（a≥0）a（a≥0）运．
2．二次根式法规定运．
3．简二次根式概念．
4．二次根式加减运算．
教学难点
1．（a≥0）非负数理解等式（）2＝a（a≥0）a（a≥0）理解应．
2．二次根式法法条件限制．
3．利简二次根式概念二次根式化成简二次根式．
教学关键
1．潜移默化培养学生具体般推理力突出重点突破难点．
2．培养学生利二次根式规定重结进行准确计算力培养学生丝苟科学精神．
单元课时划分
单元教学时间约需11课时具体分配：
21．1 二次根式 3课时
21．2 二次根式法 3课时
21．3 二次根式加减 3课时
教学活动题课结 2课时

21．1 二次根式
第课时
教学容
二次根式概念运
教学目标
理解二次根式概念利（a≥0）意义解答具体题目．
提出问题根问题出概念应概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形（a≥0）式子做二次根式概念
2．难点关键：利（a≥0）解决具体问题．
教学程
复引入
（学生活动）请学独立完成列三问题：
问题1：已知反例函数y图象第象限横坐标相等点坐标___________．
问题2：图直角三角形ABC中AC3BC1∠C90°AB边长__________．

问题3：甲射击6次次击中环数：879978甲次射击方差S2S_________．
老师点评：
问题1：横坐标相等xyx23．点第象限x求点坐标（）．
问题2：勾股定理AB
问题3：方差概念S
二探索新知
明显正数算术方根．样正数算术方根式子称二次根式．般形（a≥0）式子做二次根式称二次根号．
（学生活动）议议：
1．1算术方根？
2．0算术方根少？
3．a<0意义？
老师点评（略）
例1．列式子二次根式二次根式：（x>0）（x≥0y≥0）．
分析：二次根式应满足两条件：第二次根号第二开方数正数0．
解：二次根式：（x>0）（x≥0y≥0）二次根式：．
例2．x少时实数范围意义？
分析：二次根式定义知开方数定等03x1≥0意义．
解：3x1≥0：x≥
x≥时实数范围意义．
三巩固练
教材P练123．
四应拓展
例3．x少时+实数范围意义？
分析：+实数范围意义必须时满足中≥0中x+1≠0．
解：题意
①：x≥
②：x≠1
x≥x≠1时+实数范围意义．
例4(1)已知y++5求值．(答案2)
(2)+0求a2004+b2004值．(答案)
五纳结（学生活动老师点评）
节课掌握：
1．形（a≥0）式子做二次根式称二次根号．
2．二次根式实数范围意义必须满足开方数非负数．
六布置作业
1．教材P8复巩固1综合应5．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练

第课时作业设计
选择题
1．列式子中二次根式（ ）
A． B． C． D．x
2．列式子中二次根式（ ）
A． B． C． D．
3．已知正方形面积5边长（ ）
A．5 B． C． D．皆
二填空题
1．形________式子做二次根式．
2．面积a正方形边长________．
3．负数________方根．
三综合提高题
1．某工厂制作批体积1m3产品包装盒高02m设计需底面应做成正方形试问底面边长应少？
2．x少时+x2实数范围意义？
3．+意义_______．
4式子意义未知数x（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．数
5已知ab实数+2b+4求ab值．

第课时作业设计答案
1．A 2．D 3．B
二1．（a≥0） 2． 3．没
三1．设底面边长x02x21解答：x．
2．题意：
∴x>x≠0时＋x2实数范围没意义．
3
4．B
5．a5b4


211 二次根式(2)
第二课时
教学容
1．（a≥0）非负数
2．（）2a（a≥0）．
教学目标
理解（a≥0）非负数（）2a（a≥0）利进行计算化简．
通复二次根式概念逻辑推理方法推出（a≥0）非负数具体数结合算术方根意义导出（）2a（a≥0）运结严谨解题．
教学重难点关键
1．重点：（a≥0）非负数（）2a（a≥0）运．
2．难点关键：分类思想方法导出（a≥0）非负数探究方法导出（）2a（a≥0）．
教学程
复引入
（学生活动）口答
1．什二次根式？
2．a≥0时什？a<0时意义？
老师点评（略）．
二探究新知
议议：（学生分组讨提问解答）
（a≥0）什数呢？
老师点评：根学生讨面练出
（a≥0）非负数．
做做：根算术方根意义填空：
（）2_______（）2_______（）2______（）2_______
（）2______（）2_______（）2_______．
老师点评：4算术方根根算术方根意义方等4非负数（）24．
理：（）22（）29（）23（）2（）2（）20
（）2a（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
分析：直接利（）2a（a≥0）结解题．
解：（）2 （3）2 32·（）232·545
（）2（）2．
三巩固练
计算列式值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2

四应拓展
例2 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
4．（）2
分析：（1）x≥0x+1>0（2）a2≥0（3）a2+2a+1（a+1）≥0
（4）4x212x+9（2x）22·2x·3+32（2x3）2≥0．
面4题运（）2a（a≥0）重结解题．
解：（1）x≥0x+1>0
（）2x+1
（2）∵a2≥0∴（）2a2
（3）∵a2+2a+1（a+1）2
∵（a+1）2≥0∴a2+2a+1≥0 ∴a2+2a+1
（4）∵4x212x+9（2x）22·2x·3+32（2x3）2
∵（2x3）2≥0
∴4x212x+9≥0∴（）24x212x+9
例3实数范围分解列式
（1）x23 （2）x44 (3) 2x23
分析：(略)
五纳结
节课应掌握：
1．（a≥0）非负数
2．（）2a（a≥0）反a（）2（a≥0）．
六布置作业
1．教材P8 复巩固2．（1）（2） P9 7．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练
第二课时作业设计
选择题
1．列式中二次根式数（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没算术方根a取值范围（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a0
二填空题
1．（）2________．
2．已知意义_______数．
三综合提高题
1．计算
（1）（）2 （2）（）2 （3）（）2 （4）（3）2
(5)
2．列非负数写成数方形式
（1）5 （2）34 （3） （4）x（x≥0）
3．已知+0求xy值．
4．实数范围分解列式
（1）x22 （2）x49 3x25

第二课时作业设计答案
1．B 2．C
二1．3 2．非负数
三1．（1）（）29 （2）（）23 （3）（）2×6
（4）（3）29×6 (5)6
2．（1）5（）2 （2）34（）2
（3）（）2 （4）x（）2（x≥0）
3． xy3481
4（1）x22（x+）（x）
（2）x49（x2+3）（x23）（x2+3）（x+）（x）
(3)略




211 二次根式(3)
第三课时
教学容
＝a（a≥0）
教学目标
理解a（a≥0）利进行计算化简．
通具体数解答探究a（a≥0）利结解决具体问题．
教学重难点关键
1．重点：＝a（a≥0）．
2．难点：探究结．
3．关键：讲清a≥0时＝a成立．
教学程
复引入
老师口述板收两节课重容
1．形（a≥0）式子做二次根式
2．（a≥0）非负数
3．()2＝a（a≥0）．
猜想a≥0时a否成立呢？面探究问题．
二探究新知
（学生活动）填空：
____________________
_______________________．
（老师点评）：根算术方根意义：
20010．
般：a（a≥0）
例1 化简
（1） （2） （3） （4）
分析：（1）932（2）（4）242（3）2552
（4）（3）232运a（a≥0）化简．
解：（1）3 （2）4
（3）5 （4）3
三巩固练
教材P7练2．
四应拓展
例2 填空：a≥0时_____a<0时_______根性质回答列问题．
（1）aa什数？
（2）aa什数？
（3）>aa什数？
分析：∵a（a≥0）∴填第空格根结第二空格行应变形（ ）2中数正数a≤0时a≥0．
（1）根结求条件（2）根第二填空分析逆思想（3）根（1）（2）知│a││a│a什时候保证呢？a<0．
解：（1）aa≥0
（2）aa≤0
（3）a≥0时a>aa>aa存a<0时a>aa>aa<0综a<0
例3x>2化简．
分析：(略)
五纳结
节课应掌握：a（a≥0）运时理解a<0时＝－a应拓展．
六布置作业
1．教材P8题21．1 3468．
2．选作课时作业设计．
3课作业步训练
第三课时作业设计
选择题
1．值（ ）．
A．0 B． C．4 D．
2．a≥0时较结果面四选项中正确（ ）．
A．≥ B．>>
C．<< D．>
二填空题
1．________．
2．正整数正整数m值________．
三综合提高题
1．先化简求值：a9时求a+值甲乙两解答：
甲解答：原式a+a+（1a）1
乙解答：原式a+a+（a1）2a117．
两种解答中_______解答错误错误原__________．
2．│1995a│+a求a19952值．
（提示：先a2000≥0判断1995a值正数负数掉绝值）
3 3≤x≤2时试化简│x2│++

答案
1．C 2．A
二1．0．02 2．5
三1．甲 甲没先判定1a正数负数
2．已知a2000≥0a≥2000
a1995+a1995a200019952
a199522000．
3 10x




21．2 二次根式
第课时
教学容
·＝（a≥0b≥0）反·（a≥0b≥0）运．
教学目标
理解·＝（a≥0b≥0）·（a≥0b≥0）利进行计算化简
具体数发现规律导出·＝（a≥0b≥0）运进行计算利逆思维出·（a≥0b≥0）运进行解题化简．
教学重难点关键
重点：·＝（a≥0b≥0）·（a≥0b≥0）运．
难点：发现规律导出·＝（a≥0b≥0）．
关键：讲清（a<0b<0）×．
教学程
复引入
（学生活动）请学完成列题．
1．填空
（1）×_____________
（2）×_______________．
（3）×_______________．
参考面结果><＝填空．
×_____×_____×________
2．利计算器计算填空
（1）×______（2）×______
（3）×______（4）×______
（5）×______．
老师点评（纠正学生练中错误）
二探索新知
（学生活动）34学台总结规律．
老师点评：（1）开方数正数
（2）两二次根式等二次根式两二次根式中数相作等号边二次根式中开方数．
般二次根式法规定
·＝．（a≥0b≥0）
反 ·（a≥0b≥0）
例1．计算
（1）× （2）× （3）× （4）×
分析：直接利·＝（a≥0b≥0）计算．
解：（1）×
（2）×
（3）×9
（4）×
例2 化简
（1） （2） （3）
（4） （5）
分析：利·（a≥0b≥0）直接化简．
解：（1）×3×412
（2）×4×936
（3）×9×1090
（4）×××3xy
（5）×3
三巩固练
（1）计算（学生练老师点评）
① × ②3×2 ③·
(2) 化简
教材P11练全部
四应拓展
例3．判断列式否正确正确请予改正：
（1）
（2）×4××4×48
解：（1）正确．
改正：＝×2×36
（2）正确．
改正：××＝4

五纳结
节课应掌握：（1）·＝（a≥0b≥0）·（a≥0b≥0）运．
六布置作业
1．课P15 1456．（1）（2）．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练

第课时作业设计
选择题
1．直角三角形两条直角边边长分cmcm直角三角形斜边长（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a结果（ ）．
A． B． C． D．
3．等式成立条件（ ）
A．x≥1 B．x≥1 C．1≤x≤1 D．x≥1x≤1
4．列等式成立（ ）．
A．4×28 B．5×420
C．4×37 D．5×420
二填空题
1．_______．
2．落体公式Sgt2（g重力加速度值10ms2）物体落高度720m落时间_________．
三综合提高题
1．底面30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水现部分水例入底面正方形高10cm铁桶中铁桶装满水时容器中水面降20cm铁桶底面边长少厘米？
2．探究程：观察列式验证程．
（1）2
验证：2×

（2）3
验证：3×

理：4
5……
通述探究猜测出： a_______（a>0）验证结．
答案
1．B 2．C 3A 4D
二1．13 2．12s
三1．设：底面正方形铁桶底面边长x
x2×1030×30×20x230×30×2
x×30．
2． a
验证：a






21．2 二次根式
第二课时
教学容
（a≥0b>0）反（a≥0b>0）利进行计算化简．
教学目标
理解（a≥0b>0）（a≥0b>0）利进行运算．
利具体数通学生练活动发现规律纳出法规定逆思维写出逆等式利进行计算化简．
教学重难点关键
1．重点：理解（a≥0b>0）（a≥0b>0）利进行计算化简．
2．难点关键：发现规律纳出二次根式法规定．
教学程
复引入
（学生活动）请学完成列题：
1．写出二次根式法规定逆等式．
2．填空
（1）_________________
（2）________________
（3）_________________
（4）________________．
规律：___________________
_______．
3．利计算器计算填空
（1）_________（2）_________（3）______（4）________．
规律：_______________________
组推荐名学生台阐述运算结果．
（老师点评）
二探索新知
刚学练台学回答十分准确根家练回答：
般二次根式法规定：
（a≥0b>0）
反（a≥0b>0）
面利规定计算化简题目．
例1．计算：（1） （2） （3） （4）
分析：面4题利（a≥0b>0）便直接出答案．
解：（1）2
（2）×2
（3）2
（4）2
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
分析：直接利（a≥0b>0）达化简目．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
三巩固练
教材P14 练1．
四应拓展
例3．已知x偶数求（1+x）值．
分析：式子a≥0b>0时成立．
9x≥0x6>06 解：题意
∴6 ∵x偶数
∴x8
∴原式（1+x）
（1+x）
（1+x）
∴x8时原式值6．
五纳结
节课掌握（a≥0b>0）（a≥0b>0）运．
六布置作业
1．教材P15 题21．2 2789．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练

第二课时作业设计
选择题
1．计算结果（ ）．
A． B． C． D．
2．阅读列运算程：

数学种分母根号掉程称作分母理化化简结果（ ）．
A．2 B．6 C． D．
二填空题
1．分母理化(1) _________(2) ________(3) ______
2．已知x3y4z5结果_______．
三综合提高题
1．种房梁截面积矩形矩形长宽：1现直径3cm种圆木做原料加工种房梁加工房染截面积少？
2．计算
（1）·（）÷（m>0n>0）
（2）3÷（）× （a>0）

答案
1．A 2．C
二1．(1) (2) (3)
2．
三1．设：矩形房梁宽x（cm）长xcm题意
：（x）2+x2（3）2
4x29×15x（cm）
x·xx2（cm2）．
2．（1）原式＝÷

（2）原式22a



212 二次根式(3)
第三课时
教学容
简二次根式概念利简二次根式概念进行二次根式化简运算．
教学目标
理解简二次根式概念运简二次根式化成简二次根式．
通计算化简结果提炼出简二次根式概念根特点检验结果否满足简二次根式求．
重难点关键
1．重点：简二次根式运．
2．难点关键：会判断二次根式否简二次根式．
教学程
复引入
（学生活动）请学完成列题（请三位学台板书）
1．计算（1）（2）（3）
老师点评：
2．现章引言中问题：果两电视塔高分h1kmh2km传播半径_________．
．
二探索新知
观察面计算题1结果发现式子中二次根式两特点：
1．开方数含分母
2．开方数中含开方数式．
满足述两条件二次根式做简二次根式．
题中否简二次根式呢？果化成简二次根式．
学生分组讨推荐3～4黑板板书．
老师点评：．

例1．(1) (2) (3)
例2．图Rt△ABC中∠C90°AC25cmBC6cm求AB长．

解：AB2AC2+BC2
AB65（cm）
AB长65cm．
三巩固练
教材P14 练23
四应拓展
例3．观察列式通分母理数简二次根式化成简二次根式：
1

理：……
计算结果中找出规律利规律计算
（+++……）（+1）值．
分析：题意知题组分母理化式子分母理化达化简目．
解：原式（1+++……+）×（+1）
（1）（+1）
200212001
五纳结
节课应掌握：简二次根式概念运．
六布置作业
1．教材P15 题21．2 3710．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练

第三课时作业设计
选择题
1．果（y>0）二次根式化简二次根式（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．
2．（a1）中根号外（a1）移入根号（ ）．
A． B． C． D．
3．列式中化简正确（ ）
A．3 B．±
C．a2 D． x
4．化简结果（ ）
A． B． C． D．
二填空题
1．化简_________．（x≥0）
2．a化简二次根式号结果_________．
三综合提高题
1．已知a实数化简：a阅读面解答程请判断否正确？正确请写出正确解答程：
解：aaa·（a1）
2．xy实数y求值．
答案
1．C 2．D 3C 4C
二1．x 2．
三1．正确正确解答：
a<0
原式＝a··a·a+(1a)
2．∵ ∴x40∴x±2∵x+2≠0∴x2y
∴



213 二次根式加减(1)
第课时
教学容
二次根式加减
教学目标
理解掌握二次根式加减方法．
先提出问题分析问题分析问题中渗透二次根式进行加减方法理解．总结验指导根式计算化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简简根式．
2．难点关键：会判定否简二次根式．
教学程
复引入
学生活动：计算列式．
（1）2x+3x （2）2x23x2+5x2 （3）x+2x+3y （4）3a22a2+a3
教师点评：面题目结果实际前学类项合．类项合字母变系数相加减．
二探索新知
学生活动：计算列式．
（1）2+3 （2）23+5
（3）+2+3 （4）32+
老师点评：
（1）果成x转化面问题？
2+3（2+3）5
（2）成y
23+5（23+5）48
（3）成z
+2+
2+2+3（1+2+3）6
（4）xy．
32+
（32）+
+
二次根式开方数相合2表面相合？．
（板书）3+3+25
3+3+36
二次根式加减时先二次根式化成简二次根式开方数相二次根式进行合．
例1．计算
（1）+ （2）+
分析：第步简二次根式项化简二次根式第二步相简二次根式进行合．
解：（1）+2+3（2+3）5
（2）+4+8（4+8）12
例2．计算
（1）39+3
（2）（+）+（）
解：（1）39+3123+6（123+6）15
（2）（+）+（）++
4+2+26+
三巩固练
教材P19 练12．
四应拓展
例3．已知4x2+y24x6y+100求（+y2）（x25x）值．
分析：题首先已知等式进行变形配成完全方式（2x1）2+（y3）20xy3．次根二次根式加减运算先项化成简二次根式合类二次根式代入求值．
解：∵4x2+y24x6y+100
∵4x24x+1+y26y+90
∴（2x1）2+（y3）20
∴xy3
原式+y2x2+5x
2x+x+5
x+6
xy3时
原式×+6+3
五纳结
节课应掌握：（1）简二次根式应化成简二次根式（2）相简二次根式进行合．
六布置作业
1．教材P21 题21．3 1235．
2．选作课时作业设计．
3课作业步训练
第课时作业设计
选择题
1．二次根式：①②③④中类二次根式（ ）．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
2．列式：①3+36②1③+2④2中错误（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
二填空题
1．32中类二次根式________．
2．计算二次根式537+9结果________．
三综合提高题
1．已知≈2236求（）（+）值．（结果精确001）
2．先化简求值．
（6x+）（4x+）中xy27．


答案
1．C 2．A
二1． 2．62
三1．原式4≈×2236≈045
2．原式6+3（4+6）（6+346）
xy27时原式



213 二次根式加减(2)
第二课时
教学容
利二次根式化简数学思想解应题．
教学目标
运二次根式化简解应题．
通复二次根式化成开方数相简二次根式进行合解应题．
重难点关键
讲清解答应题节课重点节课难点关键点．
教学程
复引入
节课已讲二次根式加减问题两步骤：第步先二次根式化成简二次根式第二步开方数相二次根式进行合面讲三道例题做巩固．
二探索新知
例1．图示Rt△ABC中∠B90°点P点B开始BA边1厘米秒速度点A移动时点Q点B开始BC边2厘米秒速度点C移动．问：秒△PBQ面积35方厘米？PQ距离少厘米？（结果简二次根式表示）

分析：设x秒△PBQ面积35方厘米PBxBQ2x根三角形面积公式求出x值．
解：设x △PBQ面积35方厘米．
PBxBQ2x
题意：x·2x35
x235
x
秒△PBQ面积35方厘米．
PQ5
答：秒△PBQ面积35方厘米PQ距离5厘米．
例2．焊接图示钢架约需少米钢材（精确01m）？
分析：框架ABBCBDAC组成求钢架钢材需知道四段长度．


解：勾股定理
AB2
BC
需钢材长度
AB+BC+AC+BD
2++5+2
3+7
≈3×224+7≈137（m）
答：焊接图示钢架约需137m钢材．
三巩固练
教材P19 练3
四应拓展
例3．简根式根式类二次根式求ab值．（类二次根式开方数相简二次根式）
分析：类二次根式指二次根式化成简二次根式开方数相事实根式简二次根式化简成|b|·类二次根式定义3ab22ab+64a+3b．
解：首先根式化简二次根式：
|b|·
题意
∴
∴a1b1
五纳结
节课应掌握运简二次根式合原理解决实际问题．
六布置作业
1．教材P21 题21．3 7．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练
作业设计
选择题
1．已知直角三角形两条直角边长分55斜边长应（ ）．（结果简二次根式）
A．5 B． C．2 D．
2．明想钉长宽分30cm20cm长方形木框增加稳定性长方形角线钉根木条木条长应（ ）米．（结果简二次根式表示）
A．13 B． C．10 D．5
二填空题
1．某长方形鱼塘已知鱼塘长宽2倍面积1600m2鱼塘宽_______m．（结果简二次根式）
2．已知等腰直角三角形直角边边长等腰直角三角形周长________．（结果简二次根式）
三综合提高题
1．简二次根式类二次根式求mn值．
2．学前学完全方公式a2±2ab+b2（a±b）2定熟练掌握吧现学二次根式正数（包括0）作数方3（）25（）2知道谁二次根式呢？面观察：
（1）2（）22·1·+1222+132
反3222+1（1）2
∴32（1）2
∴1
求：（1）


（2）


（3）会算？


（4）mnab关系什？说明理．


答案
1．A 2．C
二1．20 2．2+2
三1．题意

2．（1）+1
（2）+1
（3）1
（4） 理：两边方a±2m+n±2





213 二次根式加减(3)
第三课时
教学容
含二次根式单项式单项式相相项式单项式相相项式项式相相法公式应．
教学目标
含二次根式式子进行运算含二次根式项式法公式应．
复整式运算知识该知识运含二次根式式子方等运算．
重难点关键
重点：二次根式方等运算规律
难点关键：整式运算知识迁移含二次根式运算．
教学程
复引入
学生活动：请学完成列题
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x3y） （2）（2x+1）2+（2x1）2
老师点评：容八年级册整式运算现．（1）单项式×单项式（2）单项式×项式（3）项式÷单项式（4）完全方公式（5）方差公式运．
二探索新知
果面xyz改写成二次根式呢？运算规律否成立呢？成立．
整式运算中xyz种字母意义十分广泛代表切然代表二次根式整式中运算规律适二次根式．
例1．计算
（1）（+）× （2）（43）÷2
分析：刚已分析二次根式然满足整式运算规律直接整式运算规律．
解：（1）（+）××+×
+3+2
解：（43）÷24÷23÷2
2
例2．计算
（1）（+6）（3） （2）（+）（）
分析：刚已分析二次根式项式项式运算法公式运算中然成立．
解：（1）（+6）（3）
3（）2+186
133
（2）（+）（）（）2（）2
1073
三巩固练
课P20练12．
四应拓展
例3．已知2中ab实数a+b≠0
化简+求值．
分析：（+）（）1代数式化简先分母理化通解含字母系数元次方程x值代入化简结果．
解：原式+
+
（x+1）+x2+x+2
4x+2
∵2
∴b（xb）2aba（xa）
∴bxb22abax+a2
∴（a+b）xa2+2ab+b2
∴（a+b）x（a+b）2
∵a+b≠0
∴xa+b
∴原式4x+24（a+b）+2
五纳结
节课应掌握二次根式方等运算．
六布置作业
1．教材P21 题21．3 189．
2．选课时作业设计．
3课作业步训练

作业设计
选择题
1．（3+2）×值（ ）．
A．3 B．3
C．2 D．
2．计算（+）（）值（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二填空题
1．（+）2计算结果（简根式表示）________．
2．（12）（1+2）（21）2计算结果（简二次根式表示）_______．
3．x1x2+2x+1________．
4．已知a3+2b32a2bab2_________．
三综合提高题
1．化简
2．x时求+值．（结果简二次根式表示）

课外知识
1．类二次根式：二次根式化成简二次根式开方数相二次根式称类二次根式书中讲开方数相二次根式．
练：列组二次根式中类二次根式（ ）．
A． B．
C． D．
2．互理化式：互理化式指两二次根式积运方差公式（a+b）（ab）a2b2时积理数含二次根式：x+1x+1+互理化式互理化式．
练：+理化式________
x理化式_________．
理化式_______．
3．分母理化指分母中根号化通常分子分母二次根式达化分母中根号目．
练：列式分母理化
（1） （2） （3） （4）．
4．材料：果n意正整数n
理：n
练：填空______________________．

答案
1．A 2．D
二1．1 2．424 3．2 4．4
三1．原式＝

（）
2．原式＝
2（2x+1）
∵x+1 原式＝2（2+3）4+6




二次根式复课
教学目标
1．学生进步理解二次根式意义基性质熟练化简含二次根式式子
2．熟练进行二次根式加减混合运算．
教学重点难点
重点：含二次根式式子混合运算．
难点：综合运二次根式性质运算法化简计算含二次根式式子．
教学程设计
复
1．请学回忆二次根式基性质？式子表示出说明式成立条件．
　　
　　 指出：二次根式基性质定条件成立应化简二次根式．
2．二次根式法法法什？式子表示出．
　　
　　指出：二次根式法定条件成立．两二次根式相
　　计算结果分母理化．
　　3．二次根式化简计算中常两二次根式关系式：
　　
　　4．含二次根式式子化简求值等问题中常运三逆式子：
　　　
　　　
　　　
　　　
　　二例题
　　例1 x取什值时列式实数范围意义：
　　
　　分析：
　　(1)题两二次根式x取值必须两二次根式意义
　　
　　(3)题两二次根式x取值必须两二次根式意义
　　(4)题分子二次根式分母含x单项式x取值必须二次根式意义时分母值等零．
　　
　
　　　
　　
x≥2x≠0．
　　
　　解n29≥09n2≥0n3≠0n29n≠3

　　
　　例3
　　
　　 分析：第二次根式开方数分子分母分解式．分分解式利二次根式基性质式子化简化简中应注意利题中隐含条件3a≥01a＞0．
　　解 1a＞03a≥0
a＜1|a2|＝2a．
(a1)(a3)[(1a)][(3a)](1a)(3a)≥0．
　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　
　
　　
　　性质化简含二次根式式子时注意述条件阐述清楚样满足条件．
　　
　　问：面代数式中两二次根式开方数式子化完全方式？
　　　
　　　
　　　
　　　
　　
　　　
　　分析：先第二式子化简两式子进行通分然进行计算．
　　
　　解
　　　
　　　
　　　
　　
　　注意：
　　
　　化简程中
　　
　　例6
　　
　　分析：果两式子通分式子分母理化进行计算两种方法运算量较根式子结构特点分两式子分母作整体换元法式子变形运算变简捷．
　　　　
　　　　　　　　　a+b＝2(n+2)ab(n+2)2(n24)＝4(n+2)
　　
　　三课堂练
　　1．选择题：
　　
　　A．a≤2　　B．a≥2
　　C．a≠2　　D．a＜2
　　
　　A．x+2 　　B．x2
　　C．x+2　　D．x2
　　
　　A．2x 　　　B．2a
　　C．2x　　　D．2a
　　　
　　　
　　　
　　
　　2．填空题：
　　　
　　　　
　　
　　
　　
　　4．计算：
　　
　　　　　
　　　　四结
　　1．节课复五基问题二次根式章基础知识学深刻理解牢固掌握．
　　2．次根式化简计算求值程中应注意利题中二次根式意义条件(题中隐含条件)开方数非负数确定开方数中字母式子取值范围．
　　3．运二次根式四基性质进行二次根式运算时定注意述性质中字母取值范围条件．
　　4．通例题讨学会综合灵活运二次根式意义基性质法关项式式分解解答关含二次根式式子化简计算求值等问题．
　　五作业
　　1．x什值时列式实数范围意义？
　　
2．列式化成简二次根式：

























第二十三章 旋转
单元点分析
教学容
1．容：
图形旋转关概念：包括旋转旋转中心旋转角．图形旋转关性质：应点旋转中心距离相等应点旋转中心连线段夹角等旋转角旋转前图形全等．通形式旋转设计图案．中心称关概念：中心称称中心关中心称点关中心称两图形．中心称性质：称点连线段称中心称中心分关中心称两图形全等图形．中心称图形：概念性质：包括中心称图形称中心．关原点称点坐标：两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P′（xy）．课题学．图案设计．
2．单元教材中位作：
学生通移面直角坐标系轴称反例函数四边形等知识学初步积累定图形变换数学活动验．章基础学生进行观察分析画图简单图案欣赏设计等操作性活动形成图形旋转概念．继续学数学尤包括圆等容学起着桥梁铺垫作．
教学目标
1．知识技
解图形旋转关概念理解基性质．
解中心称概念理解基性质．
解中心称图形概念掌握关原点称两点关系应通操作题练掌握课题学中图案设计方法．
2．程方法
（1）学生感受生活中通情景设计纳出图形旋转关概念概念解决问题．
（2）通复图形旋转关概念中纳出应点旋转中心距离相等应点旋转中心连线段夹角等旋转角旋转前图形全等等重性质运解决实际问题．
（3）历复图形旋转关概念性质分析旋转中心旋转角出现效果种情况进行分类．
（4）复称轴轴称图形关概念通知识迁移讲授中心称图形称中心关容附加练巩固容．
（5）通操作题探究猜测发现规律予证明附加例题进步巩固．
（6）复中心称图形称中心关概念然提出问题学生观察思考老师纳出中心称图形称中心关概念例题练巩固容．
（7）复面直角坐标系关概念通实例纳出两点关原点称时坐标符号间关系运解决实际问题．
（8）通复移轴称旋转等关概念研究进行图形设计．
3．情感态度价值观
学生历观察操作等程解图形旋转概念事图形旋转基性质探索活动进步发展空间观察培养运动观点增强审美意识．学生通独立思考探究合作交流进步体会旋转数学涵获知识体验成功享受学乐趣．学生事应学知识进行图案设计活动享受成功喜悦激发学热情．
教学重点
1．图形旋转基性质．
2．中心称基性质．
3．两点关原点称时坐标间关系．
教学难点
1．图形旋转基性质纳运．
2．中心称基性质纳运．
教学关键
1．利直观历观察产生概念
2．利操作通观察探究完全纳法纳出图形旋转中心称基性质．
单元课时划分
单元教学时间约需10课时具体分配：
23．1 图形旋转 3课时
23．2 中心称 4课时
23．3 课题学图案设计 1课时
教学活动题课结 2课时

231 图形旋转（1）
第课时
教学容
1．什旋转？旋转中心？旋转角？
2．什旋转应点？
教学目标
解旋转旋转中心旋转角概念解旋转应点概念应解决实际问题．
通复移轴称关概念性质生活中数学开始历观察产生概念应概念解决实际问题．
重难点关键
1．重点：旋转应点关概念应．
2．难点关键：活生生数学中抽出概念．
教具学具准备
黑板三角尺
教学程
复引入
（学生活动）请学完成面题．
1．图示四边形ABCD移点B应点点D作出移图形．

2．图已知△ABC直线L请画出△ABC关L称图形△A′B′C′．

3．圆轴称图形？等腰三角形呢？指出？
（口述）老师点评总结：
（1）移关概念性质．
（2）画图形关条直线（称轴）称图形口述性质．
（3）什轴称图形？
二探索新知
前面已复移等关容生活中否运动变化呢？回答肯定面研究．
1．请学讲台时钟什停转动？旋绕什点呢？现课时钟转少度？分针转少度？秒针转少度？
（口答）老师点评：时针分针秒针停转动绕时针中心．果现课时针转_______度分针转_______度秒针转______度．
2．制风车风轮玩具停转动．转新位置？（老师点评略）
3．第12两题什特点呢？
特点果时针风车风轮成图形图形绕着某固定点转动定角度．
样图形绕着某点O转动角度图形变换做旋转点O做旋转中心转动角做旋转角．
果图形点P旋转变点P′两点做旋转应点．
面运概念解决问题．
例1．图果钟表指针做三角形OAB绕O点时针方旋转△OEF旋转程中：
（1）旋转中心什？旋转角什？
（2）旋转点AB分移动什位置？
解：（1）旋转中心O∠AOE∠BOF等旋转角．
（2）旋转点A点B分移动点E点F位置．
例2．（学生活动）图四边形ABCD四边形EFGH边长1正方形．
（1）图案做基图案通旋转？
（2）请画出旋转中心旋转角．
（3）指出旋转点ABCD分移什位置？
（老师点评）
（1）做正方形ABCD基图案通旋转．（2）画图略．（3）点A点B点C点D移位置点E点F点G点H．
强调旋转中心固定正方形角线交点旋转角应点唯．
三巩固练
教材P65 练123．
四应拓展
例3．两边长1正方形图示正方形顶点正方形中心重合难知道重合部分面积现中正方形固定动正方形绕中心旋转问旋转程中两正方形重叠部分面积否发生变化？说明理．
分析：设转角度图中虚线部分说明旋转正方形重叠部分面积变说明S△OEE`S△ODD`说明△OEF′≌△ODD′．
解：面积变．
理：设转角度图示．
Rt△ODD′Rt△OEE′中
∠ODD′∠OEE′90°
∠DOD′∠EOE′90°∠BOE
ODOD
∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD`S△OEE`
∴S四边形OE`BD`S正方形OEBD
五纳结（学生总结老师点评）
节课掌握：
1．旋转旋转中心旋转角概念．
2．旋转应点应．
六布置作业
1．教材P66 复巩固123．
2．步练
选择题
1．26英文写字母中通旋转180°原字母重合（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．5点15分5点20分分针旋转度数（ ）．
A．20° B．26° C．30° D．36°
3．图1Rt△ABC中∠ACB90°∠A40°直角顶点C旋转中心△ABC旋转△A′B′C位置中A′B′分AB应点点B斜边A′B′直角边CA′交ABD旋转角等（ ）．
A．70° B．80° C．60° D．50°

(1) (2) (3)
二填空题．
1．面图形绕定点着某方转动角度样图形运动称________定点称________转动角________．
2．图2△ABC△ADE等腰直角三角形∠C∠AED直角点EAB果△ABC旋转△ADE重合旋转中心点_________旋转度数__________．
3．图3△ABC等边三角形D△ABC点△ABD旋转达△ACP位置（1）旋转中心________（2）旋转角度________（3）△ADP________三角形．
三综合提高题．
1．阅读面材料：
图4△ABC直线BC行移动线段BC长度变△ECD位置．
图5BC轴△ABC翻折180°变△DBC位置．

(4) (5) (6) (7)
图6A点中心△ABC旋转90°变△AED位置样中三角形三角形行移动翻折旋转等方法变成种改变位置改变形状图形变换做三角形全等变换．
回答列问题
图7正方形ABCD中EAD中点FBA延长线点AFAB．
（1）图7示通行移动翻折旋转中种方法△ABE移△ADF位置？
（2）指出图7示中线段BEDF间关系．

2．块等边三角形木块边长1图现木块水线翻滚五三角形B点开始结束走路径长少？



答案
1．B 2．C 3．B
二1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边
三1．（1）通旋转点A旋转中心△ABE逆时针旋转90°．
（2）BEDFBE⊥DF
2．翻滚次 滚120° 翻滚五三角形正翻滚圆走路径2．













231 图形旋转(2)
第二课时
教学容
1．应点旋转中心距离相等．
2．应点旋转中心连线段夹角等旋转角．
3．旋转前图形全等运．
教学目标
理解应点旋转中心距离相等理解应点旋转中心连线段夹角等旋转角理解旋转前图形全等．掌握三图形旋转基性质运．
先复旋转旋转中心旋转角旋转应点概念接着操作实验探究图形旋转基性质．
重难点关键
1．重点：图形旋转基性质应．
2．难点关键：运操作实验出图形旋转三条基性质．
教学程
复引入
（学生活动）老师口问学生口答．
1．什旋转？什旋转中心？什旋转角？
2．什旋转应点？
3．请独立完成面题目．
图O六正三角形公顶点正六边形ABCDEF否做某条线段绕O点旋转干次形成图形？
（老师点评）分析：．做条边（线段AB）绕O点方法连续旋转60°120°180°240°300°形成．
二探索新知
面解题程中否出什结请回答面问题：
1．ABCDEFO点距离否相等？
2．应点旋转中心连线段夹角∠BOC∠COD∠DOE∠EOF∠FOA否相等？
3．旋转前图形里指三角形△OAB△OBC△OCD△ODE△OEF△OFA全等？
老师点评：（1）距离相等（2）夹角相等（3）前图形全等否般性？面请实验．
请手里着硬纸板硬纸板挖三角形洞挖点O作旋转中心挖硬纸板放黑板先黑板描出挖掉三角形图案（△ABC）然围绕旋转中心O转动硬纸板黑板描出挖掉三角形（△A′B′C′）移硬纸板．
（分组讨）根图回答面问题（组推荐台说明）
1．线段OAOA′OBOB′OCOC′什关系？
2．∠AOA′∠BOB′∠COC′什关系？
3．△ABC△A′B′C′形状什关系？
老师点评：1．OAOA′OBOB′OCOC′应点旋转中心相等．
2．∠AOA′∠BOB′∠COC′三相等角应点旋转中心连线段夹角称旋转角．
3．△ABC△A′B′C′形状相相等全等．
综合实验操作刚作（3）出
（1）应点旋转中心距离相等
（2）应点旋转中心连线段夹角等旋转角
（3）旋转前图形全等．
例1．图△ABC绕C点旋转顶点A应点点D试确定顶点B应点位置旋转三角形．
分析：绕C点旋转A点应点D点旋转角∠ACD根应点旋转中心连线段夹角等旋转角∠BCB′ACD应点旋转中心距离相等CBCB′确定B′位置图示．
解：（1）连结CD
（2）CB边作∠BCE∠BCE∠ACD
（3）射线CE截取CB′CB
B′求B应点．
（4）连结DB′
△DB′C△ABC绕C点旋转图形．
例2．图四边形ABCD边长1正方形DE△ABF△ADE旋转图形．
（1）旋转中心点？
（2）旋转少度？
（3）AF长度少？
（4）果连结EF△AEF样三角形？
分析：△ABF△ADE旋转图形直接出旋转中心旋转角求AF长度根旋转前应线段相等求AE长度勾股定理容易．△ABF△ADE完全重合直角三角形．
解：（1）旋转中心A点．
（2）∵△ABF△ADE旋转成
∴BD应点
∴∠DAB90°旋转角
（3）∵AD1DE
∴AE
∵应点旋转中心距离相等FE应点
∴AF
（4）∵∠EAF90°（旋转角相等）AFAE
∴△EAF等腰直角三角形．
三巩固练
教材P64 练12．
四应拓展
例3．图K正方形ABCD点AK边作正方形AKLMLMAK旁连接BKDM试旋转思想说明线段BKDM关系．
分析：旋转思想说明旋转中心旋转角应点知识说明．
解：∵四边形ABCD四边形AKLM正方形
∴ABADAKAM∠BAD∠KAM旋转角90°
∴△ADMA旋转中心∠BAD旋转角△ABK旋转成
∴BKDM
五纳结（学生总结老师点评）
节课应掌握：
1．应点旋转中心距离相等
2．应点旋转中心连线段夹角等旋转角
3．旋转前图形全等应．
六布置作业
1．教材P66 复巩固4 综合运56．
2．作业设计．

作业设计
选择题
1．△ABC绕着A点旋转△AB′C′∠BAC′130°∠BAC80°旋转角等（ ）
A．50° B．210° C．50°210° D．130°
2．图形旋转中列说法错误（ ）
A．图形点旋转中心距离相等
B．图形点移动角度相
C．图形存动点
D．图形意两点连线应两点连线长度相等
3．图面四图案中包含图形旋转包含图形轴称（ ）


二填空题
1．作旋转图形中应点旋转中心距离________．
2．图△ABC△ADE均顶角42°等腰三角形BCDE分底边图中△ABD绕A旋转42°图形________间关系______中BD_________．
3．图正方形ABCD顶点A引两条射线分交BCCDEF∠EAF45°保持∠EAF45°前提点EF分边BCCD移动时BE+DFEF关系________．

三综合提高题
1．图正方形ABCD中心OM边意点OM意连条曲线画曲线绕O点方连续旋转3次次旋转角度90°四部分间关系？

2．图△ABC三顶点圆心半径1作两两相交扇形图中三扇形面积少？

3．图已知正方形ABCD角线交O点点EAC延长线AG⊥EB交EB延长线点GAG延长线交DB延长线点F△OAF△OBE重合？果重合予证明果重合请说明理？


答案
1．C 2．A 3．D
二1．相等 2．△ACE 图形全等 CE 3．相等
三1．四部分全等图形
2．∵∠A+∠B+∠C180°
∴绕ABAC中点旋转180°半圆
∴面积．
3．重合：证明：∵EG⊥AF
∴∠2+∠390°
∵∠3+∠1+90°180°
∵∠1+∠390°
∴∠1∠2
理∠E∠F∵四边形ABCD正方形∴ABBC
∴△ABF≌△BCE∴BFCE∴OEOF∵OAOB
∴△OBE绕O点旋转90°便△OAF重合．
















231 图形旋转(3)
第三课时
教学容
选择旋转中心旋转角设计出美丽图案．
教学目标
理解选择旋转中心旋转角度会出现效果掌握根需旋转知识设计出美丽图案．
复图形旋转基性质着重强调旋转中心旋转角然应已学知识作图设计出美丽图案．
重难点关键
1．重点：旋转关知识画图．
2．难点关键：根需设计美丽图案．
教具学具准备
黑板
教学程
复引入
1．（学生活动）老师口问学生口答．
（1）应点旋转中心距离关系呢？
（2）应点旋转中心连线段夹角旋转角关系？
（3）两图形旋转前图形全等？
2．请学独立完成面作图题．

图△AOB绕O点旋转G点B点应点作出△AOB旋转三角形．
（老师点评）分析：作出△AOB旋转三角形应找出三方面：第旋转中心：O第二旋转角：∠BOG第三A点旋转应点：A′．
二探索新知
面作图题中知道作图应满足三素：旋转中心旋转角应点旋转中心旋转角固定应点然然固定．面选择旋转中心旋转角进行研究．
1．旋转中心变改变旋转角
画出图示四边形ABCDO点中心旋转角分30°60°旋转图形．

2．旋转角变改变旋转中心
画出图四边形ABCD分OO中心旋转角30°旋转图形．

画图中旋转中心变改变旋转角旋转角变改变旋转中心会产生效果旋转设计出美丽图案．

例1．图菊花叶中心圆圈现O旋转中心画出分旋转45°90°135°180°225°270°315°菊花图案．
分析：O旋转中心旋转角面变化旋转长度菊花长OA菊花叶形状画出．
解：（1）连结OA
（2）O点圆心OA长半径旋转45°A．
（3）类推画出旋转角分90°135°180°225°270°315°AAAAAA．
（4）菊花叶图案画出菊花叶．
画图案绕O点旋转图形．

例2．（学生活动）图果面菊花叶绕面点O′旋转中心请学画出图案原菊花？
老师点评：显然画出图案菊花外种花．
三巩固练
教材P65 练．
四应拓展

例3．图作出该图案绕O点逆时针旋转90°图形．
分析：该备案较复杂图案作出复合图形组成图案先画出图中关键点关键点图案里线端点角顶点圆圆心等然根旋转特征作出关键点应点原图案作出旋转图案．
解：（1）连结OAO点OA逆时针作∠AOA′90°射线OA′截取OA′OA
（2）样方法分求出BCDEFGH应点B′C′D′E′F′G′H′
（3）作出应线段A′B′B′C′C′D′D′E′E′F′F′A′A′G′G′D′D′H′H′A′
（4）作出图案求图案．
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．选择旋转中心旋转角设计出美丽图案
2．作出复合图形组成图案旋转图案先求出图中关键点──线端点角顶点圆圆心等．
六布置作业
1．教材P67 综合运789．
2．选作课时作业设计．
第三课时作业设计
选择题
1．图摆放五杂梅花列说法错误（中心梅花初始位置）（ ）

A．左角梅花需角线移
B．右角梅花需先角线移时针旋转45°
C．右角梅花需先角线移时针旋转180
D．左角梅花需先角线移时针旋转90°
2．学玩万花筒吧三块等宽等长玻璃镜片围成图2333万花筒图案图中三角形均等边三角形中菱形AEFG成菱形ABCDA中心（ ）
A．时针旋转60° B．时针旋转120°
C．逆时针旋转60° D．逆时针旋转120°

3．面图形2334绕着点旋转120°原位置重合（ ）
A．（1）（4） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（3）（4）

二填空题
1．图五角星作三角形绕中心点旋转_______次次旋转角度________．

2．图形间变换关系包括移_______轴称组合变换．
3．图圆心O图点A连条曲线OA绕O点方连续旋转三次次旋转90°圆分成四部分四部分面积_________．

三综合提高题．
1．请利线段三角形菱形正方形圆作基图案绘制幅校运动会题徽标．




2．图某设计师设计方桌布图案部分请运旋转方法该图案绕原点O时针次旋转90°180°270°画出图形试试吧涂阴影时注意利旋转变换特点涂错位置否理想效果扣分噢

3．图△ABC直角三角形BC斜边△ABP绕点A逆时针旋转△ACP′重合果AP3求PP′长．

答案
1．D 2．D 3．C
二1．4 72° 2．旋转 3．相等
三1．答案唯学生设计符合题目求应予鼓励．
2．略
3．∵△ABP绕点A逆时针旋转△ACP′重合
∴AP′AP∠CAP′∠BAP
∴∠PAP′∠PAC+∠CAP′∠PAC+∠BAP∠BAC90°
△PAP′等腰直角三角形PP′斜边
∴PP′AP3．
232 中心称(1)
第课时
教学容
两图形关点称中心称称中心关中心称点等概念运解决实际问题．
教学目标
解中心称称中心关中心称点等概念掌握概念解决问题．
复运旋转知识作图旋转角度变化设计出美丽图案引入旋转180°特殊旋转──中心称概念运解决实际问题．
重难点关键
1．重点：利中心称称中心关中心称点概念解决问题．
2．难点关键：般旋转中导入中心称．
教具学具准备
黑板三角尺
教学程
复引入
请学独立完成题．

图△ABC绕点O旋转点A旋转点D处画出旋转三角形写出简作法．

老师点评：分析题已知旋转点A应点点D旋转中心已知关键找出旋转角旋转方．显然逆时针时针旋转符合求般选择180°旋转角宜题选择旋转方时针方已知应点旋转中心容易确定旋转角．图连结OAOD∠AOD旋转角．接根意应点旋转中心连线成角旋转角应点旋转中心距离相等两作图．
作法：（1）连结OAOBOCOD
（2）分OBOB边作∠BOM∠CON∠AOD
（3）分截取OEOBOFOC
（4）次连结DEEFFD
：△DEF求作三角形图示．

二探索新知
问题：作出图两图形绕点O旋转180°图案回答列问题：
1．O旋转中心旋转180°两图形否重合？
2．称点绕O旋转180°三点否条直线？

老师点评：发现图示两图案绕O旋转180°重合甲图乙图重合△OAB△COD重合．

样图形绕着某点旋转180°果够图形重合说两图形关点称中心称点做称中心．
两图形中应点做关中心称点．
例1．图四边形ABCD绕D点旋转180°请作出旋转图案写出作法回答．
（1）两图形中心称图形？果称中心点？果请说明理．
（2）果中心称ABCD关中心称点点．

分析：（1）根中心称定义便直接知两图形中心称图形称中心旋转中心．
（3）旋转应点便中心称点．
解：作法：（1）延长ADDA′AD
（2）样：BDB′DCDC′D
（3）连结A′B′B′C′C′D四边形A′B′C′D求四边形图2344示．

答：（1）根中心称定义便知两图形中心称图形称中心D点．
（2）ABCD关中心D称点A′B′C′D′里D′D重合．
例2．图已知AD△ABC中线画出点D称中心△ABD成中心称三角形．

分析：D称中心AD△ABC中线CB应点画出A关D应点．
解：（1）延长ADADDA′C点关D中心称点B（C′）B点关中心D称点C（B′）
（2）连结A′B′A′C′．
△A′B′C′求作三角形图示．

三巩固练
教材P74 练2．
四应拓展
例3．衅△ABC中∠C70°BC4AC4现△ABCCB方移△A′B′C′位置．
（1）移距离3求△ABC△A′B′C′重叠部分面积．
（2）移距离x（0≤x≤4）求△ABC△A′B′C′重叠部分面积y写出yx关系式．

分析：（1）∵BC4AC4
∴△ABC等腰直角三角形易△BDC′等腰直角三角形BC′1
（2）∵移距离x∴BC′4x
解：（1）∵CC′3CB4ACBC
∴BC′C′D1
∴S△BDC`×1×1
（2）∵CC′x∴BC′4x
∵ACBC4
∴DC′4x
∴S△BDC`（4x）（4x）x24x+8
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．中心称称中心概念
2．关中心称点概念运．
六布置作业
1．教材P73 练1．
2．选作课时作业设计．
第课时作业设计
选择题
1．英文字母VWXYZ中中心称英文字母数（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．面图案中中心称图形数（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．图张长方形ABCD纸片EF折叠ED′BC交点G点DC分落D′C′位置∠EFG55°∠1（ ）
A．55° B．125° C．70° D．110°

二填空题
1．关某点成中心称两图形称点连线必通_________．
2．图形绕着某点旋转180°果够图形重合说两图形_________图形．
3．两全等直角非等腰三角形拼成面图形中种：_______（填序号）
（1）长方形（2）菱形（3）正方形（4）般行四边形（5）等腰三角形（6）梯形．
三综合提高题
1．仔细观察列26英文字母相应字母填入表中适空格．
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
称
形式
轴称
旋转
称
中心
称
条称轴
两条称轴




2．图正方形ABCD中作出关P点中心称图形写出作法．

3．图两半圆组成图形已知点BAC中点画出图形关点B成中心称图形．

答案
1．B 2．D 3．D
二1．点（称中心） 2．中心称 3．（1）（4）（5）
三1．略
2．作法：（1）延长CBBC′BC
（2）延长DBBD′DB延长ABBA′BA
（3）连结A′D′D′C′C′B
四边形A′BC′D′求作中心称图形图示．

3略














232 中心称(2)
第二课时
教学容
1．关中心称两图形称点连线段称中心称中心分．
2．关中心称两图形全等图形．
教学目标
理解关中心称两图形称点连线段称中心称中心分理解关中心称两图形全等图形掌握两性质运．
复中心称基概念（中心称称中心关中心称点）提出问题学生分组讨解决问题老师引导总结中心称基性质．
重难点关键
1．重点：中心称两条基性质运．
2．难点关键：学生合作讨出中心称两条基性质．
教学程
复引入
（老师口问学生口答）
1．什中心称？什称中心？
2．什关中心称点？
3．请学便画三角形三角形顶点称中心画出三角形关称中心称图形分组讨什结．
（组推荐台陈述老师点评）
（老师）黑板画三角形ABC分两种情况作两图形
（1）作△ABC顶点称中心称图形
（2）作关定点O称中心称图形．
第步画出△ABC．
第二步△ABCC点（O点）中心旋转180°画出△A′B′△A′B′C′图12示．

(1) (2)
图1中出△ABC△A′B′C全等三角形
分连接称点AA′BB′CC′点O线段O分线段．
面图2例证明两结．
证明：（1）△ABC△A′B′C′中
OAOA′OBOB′∠AOB∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴ABA′B′
理证：ACA′C′BCB′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
（2）点A′点A绕点O旋转180°线段OA绕点O旋转180°线段OA′点O线段AA′OAOA′点O线段AA′中点．
样点O线段BB′CC′OBOB′OCOC′点OBB′CC′中点．

1．关中心称两图形称点连线段称中心称中心分．
2．关中心称两图形全等图形．
例1．图已知△ABC点O画出△DEF△DEF△ABC关点O成中心称．

分析：中心称旋转180°关点O成中心称绕O旋转180°连AOBOCO延长取相等线段．
解：（1）连结AO延长AODODOA点A称点D图示．

（2）样画出点B点C称点EF．
（3）次连结DEEFFD．
△DEF求三角形．
例2．（学生练老师点评）图已知四边形ABCD点O画四边形A′B′C′D′四边形A′B′C′D′四边形ABCD关点O成中心称（保留作图痕迹求写出作法）．

二巩固练
教材P70 练．
三应拓展
例3．图等边△ABC点O试说明：OA+OB>OC．

分析：证明OA+OB>OC必然OAOBOC转三角形应两边第三边（两点间线段短）说明应旋转．A旋转中心旋转60°便OAOBOC转化三角形．
解：图△AOCA旋转中心时针方旋转60°△AO′B位置△AOC≌△AO′B．

∴AOAO′OCO′B
∵∠OAO′60°∴△AO′O等边三角形．
∴AOOO′
△BOO′中OO′+OB>BO′
OA+OB>OC
四纳结（学生总结老师点评）
节课应掌握：
中心称两条基性质：
1．关中心称两图形应点连线称中心称中心分
2．关中心称两图形全等图形应．
五布置作业
1．教材P74 复巩固1 综合运67．
2．选作课时作业设计．
第二课时作业设计
选择题
1．面图形中轴称图形中心称图形（ ）
A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线
2．列命题中真命题（ ）
A．两等腰三角形定全等
B．正边形角度数边数增减少
C．菱形中心称图形轴称图形
D．两直线行旁角相等
3．矩形ABCDAE折叠图示图形已知∠CED′60°∠AED（ ）
A．60° B．50° C．75° D．55°

二填空题
1．关中心称两图形称点连线段__________称中心________．
2．关中心称两图形_________图形．
3．线段轴称图形中心称图形称轴_________称中心__________．
三综合提高题
1．分画出已知四边形ABCD成中心称四边形满足条件：（1）顶点A称中心（2）BC边中点K称中心．
2．图已知圆点O画圆已知圆关点O成中心称．

3．图ABC新建三居民区已三区距离相等方修建学校M现计划修建居民区D求：（1）学校距离区学校距离相等（2）控制口密度利生态环境建设试写居民区D位置．






答案
1．D 2．C 3．A
二1．称中心 分 2．全等 3．线段中垂线线段中点．
三1．略 2．作出已知圆圆心关O点称点O′O′圆心已知圆半径半径作圆．
3．连结ABAC分作ABAC中垂线PQGH相交M学校M位置△ABC外接圆圆心区D劣弧BC中点满足题意．

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232 中心称(3)
第三课时
教学容
1．中心称图形概念．
2．称中心概念运．
教学目标
解中心称图形概念中心称图形称中心概念掌握两概念应．
复两图形关中心称关概念利学知识探索图形中心称图形关概念运．
重难点关键
1．重点：中心称图形关概念运．
2．难点关键：区关中心称两图形中心称图形．
教具学具准备
黑板三角形
教学程
复引入
1．（老师口问）口答：关中心称两图形具什性质？
（老师口述）：关中心称两图形称点连线段称中心称中心分．
关中心称两图形全等图形．
2．（学生活动）作图题．
（1）作出线段AO关O点称图形图示．

（2）作出三角形AOB关O点称图形图示．

（2）延长AOOCAO
延长BOODBO
连结CD
△COD求图示．

二探索新知
角度面（1）题线段AB绕中点旋转180°OAOB线段AB绕中点旋转180°重合．
面（2）题连结ADBC刚两关中心称两图形成行四边形图示．
∵AOOCBOOD∠AOB∠COD
∴△AOB≌△COD
∴ABCD
ABCD绕两条角线交点O旋转180°身重合．
样图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做中心称图形点称中心．
（学生活动）例1：刚讲线段行四边形中心称图形外位学举出三图形中心称图形．
老师点评：老师边提问学生边解答．
（学生活动）例2：请说出中心称图形具什特点？
老师点评：中心称图形具匀称美观稳．
例3．求证：图具称中心四边形行四边形．

分析：中心称图形称中心应点连线交点应点间线段中点直接角线互相分．
证明：图O四边形ABCD称中心根中心称性质线段ACBD必点OAOCOBODO四边形ABCD角线互相分四边形ABCD行四边形．
三巩固练
教材P72 练．
四应拓展
例4．图矩形ABCD中AB3BC4矩形折叠C点A点重合求折痕EF长．
分析：矩形折叠C点A点重合折痕EFAC两点关O点称方面知识解决翻折问题中起关键作称点连线称轴垂直分进转化中垂线性质勾股定理应求线段长度面积．
解：连接AF
∵点C点A重合折痕EFEF垂直分AC．
∴AFCFAOCO∠FOC90°四边形ABCD矩形∠B90°ABCD3ADBC4
设CFxAFxBF4x
勾股定理AC2BC2+AB252
∴AC5OCAC
∵AB2+BF2AF2 ∴32+（4x）2x2
∴x
∵∠FOC90°
∴OF2FC2OC2（）2（）2（）2 OF
理OEEFOE+OF
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．中心称图形关概念
2．应中心称图形解决关问题．
六布置作业
1．教材P74 综合运5 P75 拓广探索89．
2．选作业设计

作业设计
选择题
1．列图形中轴称图形中心称图形（ ）
A．等边三角形 B．等腰梯形
C．行四边形 D．正六边形
2．列图形中中心称图形轴称图形（ ）．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．行四边形
3．图示放正立镜子前桌面数码21085镜子中（ ）
A．21085 B．28015 C．58012 D．51082
二填空题
1．图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做__________．
2．请写出熟悉三中心称图形_________．
3．中心称图形具什特点（少写出两）_____________．
三解答题
1．面果图形绕定点旋转定角度身重合称图形旋转称图形转动角称图形旋转角例：正方形绕着角线交点旋转90°身重合正方形旋转称图形应旋转角90°．
（1）判断列命题真假（相应括号填真假）
①等腰梯形旋转称图形旋转角180°（ ）
②矩形旋转称图形旋转角180°（ ）
（2）填空：列图形中旋转称图形旋转角120°_____．（写出正确结序号）
①正三角形②正方形③正六边形④正八边形．
（3）写出两边形旋转称图形旋转角72°分满足列条件：①轴称图形中心称图形②轴称图形中心称图形．




2．图矩形A1B1C1D1EF折叠B1点落A1D1边B处BG折叠D1点落D处BDF点．
（1）求证：四边形BEFG行四边形
（2）连接BB判断△B1BG形状写出判断程．

3．图直线y2x+2x轴y轴分交AB两点△AOB绕点O时针旋转90°△A1OB1．
（1）图中画出△A1OB1
（2）设AA1B三点函数解析式yax2+bx+c求解析式．

答案：
1．D 2．D 3．D
二1．中心称图形 2．答案唯 3．答案唯
三1．（1）①假 ②真 （2）①③
（3）①例正五边形 正十五边形 ②例正十边 正二十边形
2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1∴∠A1BD∠C1FB
∵四边形ABEF四边形A1B1EF翻折
∴∠B1FE∠EFB理：∠FBG∠D1BGwww1230org 初中数学资源网
∴∠EFB90°∠C1FB∠FBG90°∠A1BD
∴∠EFB∠FBG
∴EF∥BG∵EB∥FG
∴四边形BEFG行四边形．
（2）直角三角形理：连结BB
∵BD1∥FC1∴∠BGF∠D1BG∴∠FGB∠FBG
理：∠B1BF∠FB1B．
∴∠B1BG90°∴△B1BG直角三角形
3．解：（1）右图示

（2）题意知AA1B1三点坐标分（10）（01）（20）
∴ 解方程组
∴求五数解析式yx2+x+1．

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232 中心称（4）
第四课时
教学容
两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P′（xy）运．
教学目标
理解P点P′点关原点称时横坐标关系掌握P（xy）关原点称点P′（xy）运．
复轴称旋转尤中心称知识迁移关原点称点坐标关系运．
重难点关键
1．重点：两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P′（xy）运．
2．难点关键：运中心称知识导出关原点称点坐标性质运解决实际问题．
教具学具准备
黑板三角尺
教学程
复引入
（学生活动）请学完成面三题．
1．已知点A直线L图请画出点A关L称点A′．

2．图△ABC正三角形点A中心△ADC时针旋转60°画出旋转图形．




3．图△ABO绕点O旋转180°画出旋转图形．

老师点评：老师通巡查根学生解答情况进行点评．（略）
二探索新知
（学生活动）图2374直角坐标系中已知A（31）B（40）C（03）D（22）E（33）F（22）作出ABCDEF点关原点O中心称点写出坐标回答：
坐标已知点坐标什关系？

老师点评：画法：（1）连结AO延长AO
（2）射线AO截取OA′OA
（3）A作AD′⊥x轴D′点A′作A′D″⊥x轴点D″．
∵△AD′O△A′D″O全等
∴AD′A′D″OAOA′
∴A′（31）
理BCDEF点关原点中心称点坐标．
（学生活动）分组讨（四组）：讨容：关原点作中心称时①横坐标横坐标绝值什关系？坐标坐标绝值什关系？②坐标坐标间符号什特点？
提问学口述面问题．
老师点评：（1）知横坐标横坐标绝值相等坐标坐标绝值相等．（2）坐标符号相反设P（xy）关原点O称点P′（xy）．
两点关原点称时坐标符号相反
点P（xy）关原点O称点P′（xy）．



例1．图利关原点称点坐标特点作出线段AB关原点称图形．

分析：作出线段AB关原点称线段作出点A点B关原点称点A′B′．
解：点P（xy）关原点称点P′（xy）
线段AB两端点A（01）B（30）关原点称点分A′（10）B（30）．
连结A′B′．
线段AB关原点称线段A′B′．
（学生活动）例2．已知△ABCA（12）B（13）C（24）利关原点称点坐标特点作出△ABC关原点称图形．
老师点评分析：先直角坐标系中画出ABC三点连结组成△ABC作出△ABC关原点O称三角形需作出△ABC中ABC三点关原点称点次连结便求作△A′B′C′．
三巩固练
教材P73 练．
四应拓展
例3．图直线ABx轴y轴分相交AB两点直线AB绕点O时针旋转90°直线A1B1．
（1）图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点反例函数解析式．
（3）否存条直线AB行直线ykx+b（发现互相行两条直线斜率k值相等）双曲线交点存求直线函数解析式存请说明理．

分析：（1）需画出AB两点绕点O时针旋转90°点A1B1连结A1B1．
（2）先求出A1B1中点坐标设反例函数解析式y代入求k．
（3）回答否存果判断存需找出果存加予说明．条直线存A1B1双曲线相切通A1B1线段作A1B1关原点称点A2B2连结A2B2直线求直线．
解：（1）分作出AB两点绕点O时针旋转90°点A1（10）B1（20）连结A1B1直线A1B1求．
（2）∵A1B1中点坐标（1）
设求反例函数y
k
∴求反例函数解析式y
（3）存．
∵设A1B1：yk′x+b′点A1（01）B1（20）
∴ ∴
∴yx+1
线段A1B1作出关原点称图形求直线．
根点P（xy）关原点称点P′（xy）：
A1（01）B1（20）关原点称点分A2（01）B2（20）
∵A2B2：ykx+b
∴ ∴
∴A2B2：yx1
面证明yx1双曲线y相切
x1x+2
x2+2x+10b24ac44×1×10
∴直线yx1y相切
∵A1B1A2B2斜率k相等
∴A2B2A1B1行
∴A2B2：yx1求．
五纳结（学生总结老师点评）
节课应掌握：
两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P′（xy）利特点解决实际问题．
六布置作业
1．教材P74 复巩固34．
2．选作业设计．
作业设计
选择题
1．列函数中图象定关原点称图象（ ）
A．y B．y2x+1 C．y2x+1 D．三种
2．图已知矩形ABCD周长56cmO称线交点点O矩形两条邻边距离差等8cm矩形边长中较长边等（ ）

A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm
二填空题
1．果点P（31）点P（31）关原点称点P′坐标P′_______．
2．写出函数yy具性质________（称观点写）．
三综合提高题
1．图面直角坐标系中A（31）B（23）C（02）画出△ABC关x轴称△A′B′C′画出△A′B′C′关y轴称△A″B″C″△A″B″C″△ABC什关系请说明理．

2．图直线ABx轴y轴分相交AB两点A（03）B（30）现直线AB绕点O时针旋转90°直线A1B1．
（1）图中画出直线A1B1
（2）求出线段A1B1中点反例函数解析式
（3）否存条直线A1B1行直线ykx+b（发现互相行两条直线斜率k相等）双曲线交点存求直线解析式存请说明存理．

答案
1．A 2．B
二1．（31） 2．答案唯 参考答案：关原点中心称图形．
三1．画图略△A″B″C″△ABC关系关原点称．
2．（1）右图示连结A1B1
（2）A1B1中点P（1515）设反例函数解析式yy．
（3）A1B1：设yk1x+b1
∴yx+3
∵A1B1直线行y相切直线A1B1旋转．
∴求直线yx+3
面证明yx+3y相切
www1230org 初中数学资源网
x2+3x+2250b24ac94×1×2250
∴yx+3y相切．


















233 课题学 图案设计
教学容
课题学──图案设计
教学目标
利移轴称旋转图形变换中种组合进行图案设计设计出称心意图案．
通复移轴称旋转知识然利知识学生开动脑筋敝开胸怀胆联想设计出幅幅美丽图案．
重难点关键
1．重点：设计图案．
2．难点关键：利移轴称旋转等图形变换中种组合出图案．
教具学具准备
黑板三角尺
教学程
复引入
（学生活动）请学独立完成面题．
1．图已知线段CD线段AB移图形DB点称点作出线段AB回答ABCD什位置关系．

2．图已知线段CD作出线段CD关称轴L称线段C′D′说明CD称线段C′D′间什关系？

3．图已知线段CD作出线段CD关D点旋转90°旋转图形说明两条线段间什关系？

老师点评：
1．ABCD行相等
2．D点作DE⊥L垂足E延长ED′ED理作出C′点连结C′D′CD′求．CD延长线C′D′延长线相交点点LCDC′D′．
3．D点旋转中心旋转CD⊥C′D′垂足DCDC′D．
二探索新知
请讲移轴称旋转等图形变换中种组合完成面图案设计．
例1．（学生活动）学生亲动手操作题．
面步骤请位学完成致图案．
（1）准备张正三角形纸片（课前准备）（图a）
（2）纸片意撕成两部分（图b图c）
（3）撕图b正三角形边作轴称新图形．
（4）（3）图形正三角形顶点作旋转中心旋转图（d）（图c）保持动）
（5）图（d）移图（c）右边图（e）
（6）图（e）进行适修饰致美丽图（f）图案．
老师必时予定指导．

三巩固练
教材P78 活动1．
四应拓展
例2．（学生活动）请利线段三角形矩形菱形圆作基图形绘制幅反映身边面貌图案班级里交流展示．
老师点评：老师点止学生联想老师黑板设计二图案．
五纳结
节课应掌握：
利移轴称旋转图形变换中种组合设计图案．
六布置作业
1．教材P78 活动2 P80 综合运4567．
2．选作业设计．
作业设计
选择题
1．图示4图案中包含图形旋转图形轴称（ ）

2．三角形绕直线L旋转周图示立体图形（ ）

二填空题
1．基图案轴称移旋转变化程中图形____________保持变．
2．右图________关系图形．
三综合提高题
1．（1）图案设计员进行图设计时常常模具板设计幅幅美丽漂亮图案说出模具板设计出两图案间什关系？
（2）现利模具板移旋转轴称设计图案说明表达意义．
2．图利移旋转轴称样变化程分析形成程？

答案
1．D 2．B
二1．形状 2．旋转
三1．（1）块模块设计出两图案间移旋转轴称变化者三种变化组合成
（2）略 2．略





















第二十二章 元二次方程
单元点分析
教材容
1．单元教学容．
元二次方程概念解元二次方程方法元二次方程应题．
2．单元教材中位作．
元二次方程学元次方程二元次方程分式方程等基础学种数学建模方法．学元二次方程学二次函数缺学高中数学奠基工程．应该说元二次方程书重点容．
教学目标
1．知识技
解元二次方程关概念掌握通配方法公式法式分解法降次──解元二次方程掌握实际问题建立元二次方程数学模型方法应熟练掌握知识解决问题．
2．程方法
（1）通丰富实例学生合作探讨老师点评分析建立数学模型．根数学模型恰分出元二次方程概念．
（2）结合八册整式中关概念介绍元二次方程派生概念二次项等．
（3）通掌握缺次项元二次方程解法──直接开方法导入配方法解元二次方程通量练巩固配方法解元二次方程．
（4）通已学配方法解ax2+bx+c0（a≠0）导出解元二次方程求根公式接着讨求根公式条件：b24ac>0b24ac0b24ac<0．
（5）通复八年级册整式第5节式分解进行知识迁移解决式分解法解元二次方程练巩固．
（6）提出问题分析问题建立元二次方程数学模型该模型解决实际问题．
3．情感态度价值观
历事实问题中抽象出元二次方程等关概念程学体会通元二次方程刻画现实世界中数量关系效数学模型历配方法公式法分解式法解元次方程程学体会转化等数学思想历设置丰富问题情景学生体会建立数学模型解决实际问题程更理解方程意义作激发学生学兴趣．
教学重点
1．元二次方程关概念．
2．配方法公式法式分解法降次──解元二次方程．
3．利实际问题建立元二次方程数学模型解决问题．
教学难点
1．元二次方程配方法解题．
2．公式法解元二次方程时讨．
3．建立元二次方程实际问题数学模型方程解实际问题解区．
教学关键
1．分析实际问题建立元二次方程数学模型．
2．配方法解元二次方程步骤．
3．解元二次方程公式法推导．
课时划分
单元教学时间约需16课时具体分配：
22．1 元二次方程 2课时
22．2 降次──解元二次方程 7课时
22．3 实际问题元二次方程 4课时
教学活动题课结 3课时

22．1 元二次方程
第课时
教学容
元二次方程概念元二次方程般式关概念．
教学目标
解元二次方程概念般式ax2+bx+c0（a≠0）派生概念应元二次方程概念解决简单题目．
1．通设置问题建立数学模型模仿元次方程概念元二次方程定义．
2．元二次方程般形式关概念．
3．解决概念性题目．
4．态度情感价值观
4．通生活学数学数学解决生活中问题激发学生学热情．
重难点关键
1．重点：元二次方程概念般形式元二次方程关概念概念解决问题．
2．难点关键：通提出问题建立元二次方程数学模型元次方程概念迁移元二次方程概念．
教学程
复引入
学生活动：列方程．
问题（1）九章算术勾股章题：户高广六尺八寸两隅相适丈问户高广？
意说：已知长方形门高宽6尺8寸门角线长1丈门高宽少？
果假设门高x尺门宽_______尺根题意________．
整理化简：__________．
问题（2）图果点C做线段AB黄金分割点．

果假设AB1ACxBC________根题意：________．
整理：_________．
问题（3）面积54m2长方形边剪短5m边剪短2m恰变成正方形正方形边长少？
果假设剪正方形边长x原长方形长________宽_____根题意：_______．
整理：________．
老师点评分析建立元二次方程数学模型整理．
二探索新知
学生活动：请口答面问题．
（1）面三方程整理含未知数？
（2）整式中项式规定高次数次？
（3）等号？前项式样式子？
老师点评：（1）含未知数x（2）高次数2次（3）等号方程．
样方程两边整式含未知数（元）未知数高次数2（二次）方程做元二次方程．
般关x元二次方程整理化成形式ax2+bx+c0（a≠0）．种形式做元二次方程般形式．
元二次方程整理化成ax2+bx+c0（a≠0）中ax2二次项a二次项系数bx次项b次项系数c常数项．
例1．方程（82x）（52x）18化成元二次方程般形式写出中二次项系数次项系数常数项．
分析：元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）．方程（82x）（52x）18必须运整式运算进行整理包括括号移项等．
解：括号：
4016x10x+4x218
移项：4x226x+220
中二次项系数4次项系数26常数项22．
例2．（学生活动：请二三位学台演练） 方程（x+1）2+（x2）（x+2）1化成元二次方程般形式写出中二次项二次项系数次项次项系数常数项．
分析：通完全方公式方差公式（x+1）2+（x2）（x+2）1化成ax2+bx+c0（a≠0）形式．
解：括号：
x2+2x+1+x241
移项合：2x2+2x40
中：二次项2x2二次项系数2次项2x次项系数2常数项4．
三巩固练
教材P32 练12
四应拓展
例3．求证：关x方程（m28m+17）x2+2mx+10m取值该方程元二次方程．
分析：证明m取值该方程元二次方程证明m28m+17≠0．
证明：m28m+17（m4）2+1
∵（m4）2≥0
∴（m4）2+1>0（m4）2+1≠0
∴m取值该方程元二次方程．
五纳结（学生总结老师点评）
节课掌握：
（1）元二次方程概念（2）元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）二次项二次项系数次项次项系数常数项概念运．
六布置作业
1．教材P34 题22．1 12．
2．选作业设计．

作业设计
选择题
1．列方程中元二次方程数（ ）．
①3x2+70 ②ax2+bx+c0 ③（x2）（x+5）x21 ④3x20
A．1 B．2 C．3 D．4
2．方程2x23（x6）化般形式二次项系数次项系数常数项分（ ）．
A．236 B．2318 C．236 D．236
3．px23x+p2q0关x元二次方程（ ）．
A．p1 B．p>0 C．p≠0 D．p意实数
二填空题
1．方程3x232x+1二次项系数________次项系数_________常数项_________．
2．元二次方程般形式__________．
3．关x方程（a1）x2+3x0元二次方程a取值范围________．
三综合提高题
1．a满足什条件时关x方程a（x2+x）x（x+1）元二次方程？





2．关x方程（2m2+m）xm+1+3x6元二次方程？什？






3．块矩形铁片面积1m2长宽3m求铁片长明做道题时样做：
设铁片长x列出方程x（x3）1整理：x23x10．明列出方程想知道铁片长底少面探索程：
第步：
x
1
2
3
4
x23x1
3
3


________第二步：
x
31
32
33
34
x23x1
096
036


________ （1）请帮明填完空格完成未完成部分
（2）通探索估计出矩形铁片整数部分_______十分位______．





答案
1．A 2．B 3．C
二1．324
2．ax+bx+c0（a≠0）
3．a≠1
三1．化：ax2+（a+1）x+10a≠0时元二次方程．
2．
∴m1时该方程元二次方程．
3．（1）13340010363334 （2）33

22．1 元二次方程
第二课时
教学容
1．元二次方程根概念
2．根题意判定数否元二次方程根利解决具体题目．
教学目标
解元二次方程根概念会判定数否元二次方程根利解决具体问题．
提出问题根问题列出方程化元二次方程般形式列式求解解出根概念根概念判定数否根．时应知识点解决具体问题．
重难点关键
1．重点：判定数否方程根
2．难点关键：实际问题列出元二次方程解出根考虑根否确定实际问题根．
教学程
复引入
学生活动：请学独立完成列问题．
问题1．图长10m梯子斜墙梯子顶端距面垂直距离8m梯子底端距墙少米？

设梯子底端距墙xm
根题意方程___________．
整理_________．
列表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…











问题2．面积120m2矩形苗圃长宽2m苗圃长宽少？
设苗圃宽xm长_______m．
根题意________．
整理________．
列表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11













老师点评（略）
二探索新知
提问：（1）问题1中元二次方程解少？问题2中元二次方程解少？
（2）果抛开实际问题问题1中解？问题2呢？
老师点评：（1）问题1中x6x2360解问题2中x10x2+2x1200解．
（3）果抛开实际问题问题（1）中x6解问题2中x12解．
前学元次方程等解区称：
元二次方程解做元二次方程根．
回头：x2360两根6－66满足题意理问题2中x12根满足题意．实际问题列出方程解根定实际问题根考虑根否确实实际问题解．
例1．面数方程2x2+10x+120根？
432101234．
分析：判定数否方程根代入等式等式两边相等．
解：面数代入23满足方程等式x2x3元二次方程2x2+10x+120两根．
例2．前学知识求出列方程根？
（1）x2640 （2）3x260 （3）x23x0
分析：求出方程根求出满足等式数直接观察结合方根意义．
解：（1）移项x264
根方根意义：x±8
x18x28
（2）移项整理x22
根方根意义x±
x1x2
（3）x23xx（x3）
x23x0x（x3）0
x0x30
x10x23
三巩固练
教材P33 思考题 练12．
四应拓展
例3．剪块面积150cm2长方形铁片长宽5cm块铁片应该样剪？
设长xcm宽（x5）cm
列方程x（x5）150x25x1500
请根列方程回答问题：
（1）x5？等10？说说理．
（2）完成表：
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x25x150









（3）知道铁片长x少？
分析：x25x1500面两道例题明显方根意义八年级册整式中分解式方法求根种新方法──夹逼方法求出该方程根．
解：（1）x5．理：果x<5宽（x5）<0合题意．
x等10．理：果x10面积x25x150100．
（2）
x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x25x150
100
84
66
46
24
0
26
54
……
（3）铁片长x15cm
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
（1）元二次方程根概念前解相处处
（2）会判断数否元二次方程根
（3）会方法求元二次方程根．
六布置作业
1．教材P34 复巩固34 综合运567 拓广探索89．
2．选课时作业设计．
作业设计
选择题
1．方程x（x1）2两根（ ）．
A．x10x21 B．x10x21 C．x11x22 D．x11x22
2．方程ax（xb）+（bx）0根（ ）．
A．x1bx2a B．x1bx2 C．x1ax2 D．x1a2x2b2
3．已知x1方程ax2+bx+c0根（b≠0）（ ）．
A．1 B．1 C．0 D．2
二填空题
1．果x2810x2810两根分x1________x2__________．
2．已知方程5x2+mx60根x3m值________．
3．方程（x+1）2+x（x+1）0方程根x1______x2________．
三综合提高题
1．果x1方程ax2+bx+30根求（ab）2+4ab值．




2．果关x元二次方程ax2+bx+c0（a≠0）中二次项系数常数项等次项系数求证：1必该方程根．



3．次数学课外活动中明全班学演示趣变形（）22x+10令yy22y+10根述变形数学思想（换元法）解决明出问题：（x21）2+（x21）0中求出（x21）2+（x21）0根．





答案
1．D 2．B 3．A
二1．99 2．13 3．11
三1．已知a+b3原式（a+b）2（3）29．
2．a+cbab+c0x1代入
ax2+bx+ca×（1）2+b×（1）+cab+c0
∴1必该方程根．
3．设yx21y2+y0y10y21
x210x11x21
y21时x211x20
∴x3x40
∴x11x21x3x40原方程根．


2221 直接开方法

教学容
运直接开方法根方根意义元二次方程降次转化两元次方程．
教学目标
理解元二次方程降次──转化数学思想应解决具体问题．
提出问题列出缺次项元二次方程ax2+c0根方根意义解出方程然知识迁移解a（ex+f）2+c0型元二次方程．
重难点关键
1．重点：运开方法解形（x+m）2n（n≥0）方程领会降次──转化数学思想．
2．难点关键：通根方根意义解形x2n知识迁移根方根意义解形（x+m）2n（n≥0）方程．
教学程
复引入
学生活动：请学完成列题
问题1．填空
（1）x28x+______（x______）2（2）9x2+12x+_____（3x+_____）2（3）x2+px+_____（x+______）2．
问题2．图△ABC中∠B90°点P点B开始AB边点B1cms速度移动点Q点B开始BC边点C2cms速度移动果AB6cmBC12cmPQB点时出发秒△PBQ面积等8cm2？

老师点评：
问题1：根完全方公式：（1）16 4（2）4 2（3）（）2 ．
问题2：设x秒△PBQ面积等8cm2
PBxBQ2x
题意：x·2x8
x28
根方根意义x±2
x12x22
验证22方程x·2x8两根移动时间负值．
2秒△PBQ面积等8cm2．
二探索新知
面已讲x28根方根意义直接开方x±2果x换元2t+1（2t+1）28否直接开方方法求解呢？
（学生分组讨）
老师点评：回答肯定2t+1变面x2t+1±2
2t+122t+12
方程两根t1t2
例1：解方程：x2+4x+41
分析：清楚x2+4x+4完全方公式原方程转化（x+2）21．
解：已知：（x+2）21
直接开方：x+2±1
x+21x+21
方程两根x11x23
例2．市政府计划2年均住房面积现10m2提高144m求年均住房面积增长率．
分析：设年均住房面积增长率x．年均住房面积应该10+10x10（1+x）二年均住房面积应该10（1+x）+10（1+x）x10（1+x）2
解：设年均住房面积增长率x
：10（1+x）2144
（1+x）2144
直接开方1+x±12
1+x121+x12
方程两根x10220x222
年均住房面积增长率应正x222应舍．
年均住房面积增长率应20．
（学生结）老师引导提问：解元二次方程特点什？
特点：元二次方程降次转化两元次方程．种思想称降次转化思想．
三巩固练
教材P36 练．
四应拓展
例3．某公司月份营业额1万元第季度总营业额331万元求该公司二三月份营业额均增长率少？
分析：设该公司二三月份营业额均增长率x二月份营业额应该（1+x）三月份营业额二月份基础增长应（1+x）2．
解：设该公司二三月份营业额均增长率x．
1+（1+x）+（1+x）2331
（1+x）成数配方：
（1+x+）2256（x+）22．56
x+±16x+16x+16
方程根x110x231
增长率正数
该公司二三月份营业额均增长率10．
五纳结
节课应掌握：
应直接开方法解形x2p（p≥0）x±转化应直接开方法解形（mx+n）2p（p≥0）mx+n±达降次转化目．
六布置作业
1．教材P45 复巩固12．
2．选作业设计

选择题
1．x24x+p（x+q）2pq值分（ ）．
A．p4q2 B．p4q2 C．p4q2 D．p4q2
2．方程3x2+90根（ ）．
A．3 B．3 C．±3 D．实数根
3．配方法解方程x2x+10正确解法（ ）．
A．（x）2x±
B．（x）2原方程解
C．（x）2x1+x2
D．（x）21x1x2
二填空题
1．8x2160x值_________．
2．果方程2（x3）272元二次方程两根________．
3．果ab实数满足+b212b+360ab值_______．
三综合提高题
1．解关x方程（x+m）2n．





2．某农场建长方形养鸡场鸡场边墙（墙长25m）三边木栏围成木栏长40m．
（1）鸡场面积达180m2？达200m？
（2）鸡场面积达210m2？




3．次手工制作中某学准备根长4米铁丝需现制成矩形方框面积帮助名学制成方框说明制作理？



答案
1．B 2．D 3．B
二1．± 2．93 3．8
三1．n≥0时x+m±x1mx2m．n<0时解
2．（1）达．设宽x长402x
题意：x（402x）180
整理：x220x+900x110+x210
理x（402x）200x1x210长402020．
（2）达．理x（402x）210x220x+1050
b24ac40041010<0解达．
3．制矩形方框面积
应正方形边长1米正方形．




2222 配方法
第1课时
教学容
间接通变形运开方法降次解方程．
教学目标
理解间接通变形运开方法降次解方程熟练应解决具体问题．
通复直接化成x2p（p≥0）（mx+n）2p（p≥0）元二次方程解法引入直接化成面两种形式解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清直接降次困难x2+6x160元二次方程解题步骤．
2．难点关键：直接降次解方程化直接降次解方程化转化方法技巧．
教学程
复引入
（学生活动）请学解列方程
（1）3x215 （2）4（x1）290 （3）4x2+16x+169
老师点评：面方程化成x2p（mx+n）2p（p≥0）形式
x±mx+n±（p≥0）．
：4x2+16x+16（2x+4）2
二探索新知
列出面二问题方程回答：
（1）列出化简般形式方程刚解题方程什呢？
（2）否直接面三方程解法呢？
问题1：印度古算中样首诗：群猴子分两队高高兴兴游戏八分方蹦蹦跳跳树林里余十二叽喳喳伶俐活泼调皮告总数少两队猴子起．
意说：群猴子分成两队队猴子数猴子总数方队猴子数12猴子总数少？解决问题？
问题2：图宽20m长32m矩形面修筑样宽两条行条相互垂直道路余六相部分作耕耕面积5000m2道路宽少？

老师点评：问题1：设总x猴子根题意：
x（x）2+12
整理：x264x+7680
问题2：设道路宽x列方程：（20x）（322x）500
整理：x236x+700
（1）列出化简般形式方程前面讲三道题处：前三左边含x完全方式二具．
（2）．
然直接降次解方程应该设法转化直接降次解方程方程面讲转化：
x264x+7680 移项→ x264x768
两边加（）2左边配成x2+2bx+b2形式 → x264x+322768+1024
左边写成方形式 → （x32）2256 降次→x32±16 x3216x3216
解次方程→x148x216
验证：x148x216方程根1648猴子．
学生活动：
例1．方程完成x236x+700解题．
老师点评：x236x70x236x+18270+324（x18）2254x18±x18x18x1≈34x2≈2．
验证x1≈34x2≈2原方程根x≈34合题意道路宽应2．
例2．解列关x方程
（1）x2+2x350 （2）2x24x10
分析：（1）显然方程左边完全方式前面方法化完全方式（2）．
解：（1）x22x35 x22x+1235+1 （x1）236 x1±6
x16x16
x17x25
验证x17x25x2+2x350两根．
（2）x22x0 x22x
x22x+12+1 （x1）2
x1±x1x1
x11+x21
验证：x11+x21方程根．
三巩固练
教材P38 讨改课堂练说明理．
教材P39 练1 2．（1）（2）．
四应拓展
例3．图Rt△ACB中∠C90°AC8mCB6m点PQ时AB两点出发分ACBC方点C匀速移动速度1ms秒△PCQ面积Rt△ACB面积半．

分析：设x秒△PCQ面积Rt△ABC面积半△PCQ直角三角形．根已知列出等式．
解：设x秒△PCQ面积Rt△ACB面积半．
根题意：（8x）（6x）××8×6
整理：x214x+240
（x7）225x112x22
x112x22原方程根x112合题意舍．
2秒△PCQ面积Rt△ACB面积半．
五纳结
节课应掌握：
左边含x完全方形式左边非负数元二次方程化左边含x完全方形式右边非负数直接降次解方程方程．
六布置作业
1．教材P45 复巩固2．
2．选作业设计．

选择题
1．二次三项式x24x+1配方（ ）．
A．（x2）2+3 B．（x2）23 C．（x+2）2+3 D．（x+2）23
2．已知x28x+150左边化成含x完全方形式中正确（ ）．
A．x28x+（4）231 B．x28x+（4）21
C．x2+8x+421 D．x24x+411
3．果mx2+2（32m）x+3m20（m≠0）左边关x完全方式m等（ ）．
A．1 B．1 C．19 D．19
二填空题
1．方程x2+4x50解________．
2．代数式值0x值________．
3．已知（x+y）（x+y+2）80求x+y值设x+yz原方程变_______求出z值x+y值x+y值______．
三综合提高题
1．已知三角形两边长分24第三边方程x24x+30解求三角形周长．


2．果x24x+y2+6y++130求（xy）z值．


3．新华商场销售某种冰箱台进货价2500元市场调研表明：销售价2900元时均天售出8台销售价降50元时均天售出4台商场想种冰箱销售利润均天达5000元台冰箱定价应少元？


答案
1．B 2．B 3．C
二1．x11x25 2．2 3．z2+2z8024
三1．（x3）（x1）0x13x21
∴三角形周长9（∵x21∴构成三角形）
2．（x2）2+（y+3）2+0
∴x2y3z2（xy）z（6）2
3．设台定价x：（x2500）（8+×4）5000
x25500x+75062500解x2750


2222 配方法
第2课时
教学容
出配方法概念然运配方法解元二次方程．
教学目标
解配方法概念掌握运配方法解元二次方程步骤．
通复节课解题方法出配方法概念然运配方法解决具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法解题步骤．
2．难点关键：常数项移方程右边两边加常数次项系数半方．
教具学具准备
黑板
教学程
复引入
（学生活动）解列方程：
（1）x28x+70 （2）x2+4x+10
老师点评：前节课已学解左边含x完全方形式右边非负数直接开方降次解方程转化问题两道题面方法进行解题．
解：（1）x28x+（4）2+7（4）20 （x4）29
x4±3x17x21
（2）x2+4x1 x2+4x+221+22
（x+2）23x+2±
x12x22
二探索新知
面解题方法通配成完全方形式解元二次方程方法配方法．
出配方法降次元二次方程转化两元次方程解．
例1．解列方程
（1）x2+6x+50 （2）2x2+6x20 （3）（1+x）2+2（1+x）40
分析：已介绍配方法解方程配方法完成配含x完全方．
解：（1）移项：x2+6x5
配方：x2+6x+325+32（x+3）24
：x+3±2x11x25
（2）移项：2x2+6x2
二次项系数化1：x2+3x1
配方x2+3x+（）21+（）2（x+）2
x+±x1x2
（3）括号整理：x2+4x10
移项x2+4x1
配方（x+2）25
x+2±x12x22
三巩固练
教材P39 练 2．（3）（4）（5）（6）．
四应拓展
例2．配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）6
分析：果展开（6x+7）2方程变复杂果（6x+7）数y（6x+7）2y23x+4（6x+7）+x+1（6x+7）方程转化y方程样转化称换元法．
解：设6x+7y
3x+4y+x+1y
题意：y2（y+）（y）6
分母：y2（y+1）（y1）72
y2（y21）72 y4y272
（y2）2
y2±
y29y28（舍）
∴y±3
y3时6x+73 6x4 x
y3时6x+73 6x10 x
原方程根x1x2
五纳结
节课应掌握：
配方法概念配方法解元二次方程步骤．
六布置作业
1教材P45 复巩固3．
2作业设计
选择题
1．配方法解方程2x2x20应先变形（ ）．
A．（x）2 B．（x）20
C．（x）2 D．（x）2
2．列方程中定实数解（ ）．
A．x2+10 B．（2x+1）20
C．（2x+1）2+30 D．（xa）2a
3．已知x2+y2+z22x+4y6z+140x+y+z值（ ）．
A．1 B．2 C．1 D．2
二填空题
1．果x2+4x50x_______．
2．xy取实数项式x2+y22x4y+16值总_______数．
3．果16（xy）2+40（xy）+250xy关系________．
三综合提高题
1．配方法解方程．
（1）9y218y40 （2）x2+32x








2．已知：x2+4x+y26y+130求值．






3．某商场销售批名牌衬衫均天售出20件件赢利40元扩销售增加盈利快减少库存商场决定采取适降价措施调查发现果件衬衫降价元商场均天售出2件．
①商场均天赢利1200元件衬衫应降价少元？
②件衬衫降价少元时商场均天赢利？请设计销售方案．











答案
1．D 2．B 3．B
二1．15 2．正 3．xy
三1．（1）y22y0y22y（y1）2
y1±y1+1y21
（2）x22x3 （x）20x1x2
2．（x+2）2+（y3）20x12y23
∴原式
3．（1）设件衬衫应降价x元（40x）（20+2x）1200
x230x+2000x110x220
（2）设件衬衫降价x元时商场均天赢利y
y2x2+60x+8002（x230x）+8002[（x15）2225]+8002（x15）2+1250
∵2（x15）2≤0
∴x15时赢利y1250元．
答：略


2223 公式法

教学容
1．元二次方程求根公式推导程
2．公式法概念
3．利公式法解元二次方程．
教学目标
理解元二次方程求根公式推导程解公式法概念会熟练应公式法解元二次方程．
复具体数字元二次方程配方法解题程引入ax2+bx+c0（a≠0）求根公式推导公式应公式法解元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式推导公式法应．
2．难点关键：元二次方程求根公式法推导．
教学程
复引入
（学生活动）配方法解列方程
（1）6x27x+10 （2）4x23x52
（老师点评） （1）移项：6x27x1
二次项系数化1：x2x
配方：x2x+（）2+（）2
（x）2
x± x1+1
x2+
（2）略
总结配方法解元二次方程步骤（学生总结老师点评）．
（1）移项
（2）化二次项系数1
（3）方程两边加次项系数半方
（4）原方程变形（x+m）2n形式
（5）果右边非负数直接开方求出方程解果右边负数元二次方程解．
二探索新知
果元二次方程般形式ax2+bx+c0（a≠0）否面配方法步骤求出两根请学独立完成面问题．
问题：已知ax2+bx+c0（a≠0）b24ac≥0试推导两根x1x2
分析：前面具体数字已做现妨abc成具体数字根面解题步骤直推．
解：移项：ax2+bxc
二次项系数化1x2+x
配方：x2+x+（）2+（）2
（x+）2
∵b24ac≥04a2>0
∴≥0
直接开方：x+±
x
∴x1x2
知元二次方程ax2+bx+c0（a≠0）根方程系数abc定：
（1）解元二次方程时先方程化般形式ax2+bx+c0b4ac≥0时abc代入式子x方程根．
（2）式子做元二次方程求根公式．
（3）利求根公式解元二次方程方法公式法．
（4）求根公式知元二次方程两实数根．
例1．公式法解列方程．
（1）2x24x10 （2）5x+23x2
（3）（x2）（3x5）0 （4）4x23x+10
分析：公式法解元二次方程首先应化般形式然代入公式．
解：（1）a2b4c1
b24ac（4）24×2×（1）24>0
x
∴x1x2
（2）方程化般形式
3x25x20
a3b5c2
b24ac（5）24×3×（2）49>0
x
x12x2
（3）方程化般形式
3x211x+90
a3b11c9
b24ac（11）24×3×913>0
∴x
∴x1x2
（3）a4b3c1
b24ac（3）24×4×17<0
实数范围负数开方方程实数根．
三巩固练
教材P42 练1．（1）（3）（5）
四应拓展
例2．某数学兴趣组关x方程（m+1）+（m2）x10提出列问题．
（1）方程元二次方程m否存？存求出m解方程．
（2）方程元二次方程m否存？存请求出．
解决问题？
分析：．（1）元二次方程必须满足m2+12时满足（m+1）≠0．
（2）元次方程必须满足
①②③
解：（1）存．根题意：m2+12
m21 m±1
m1时m+11+12≠0
m1时m+11+10（合题意舍）
∴m1时方程2x21x0
a2b1c1
b24ac（1）24×2×（1）1+89
x
x1x2
该方程元二次方程时m1两根x11x2．
（2）存．根题意：①m2+11m20m0
m0时（m+1）+（m2）2m11≠0
m0满足题意．
②m2+10m存．
③m+10m1时m23≠0
m1满足题意．
m0时元次方程x2x10
解：x1
m1时元次方程3x10
解x
m01时该方程元次方程m0时根x1m1时元次方程根x．
五纳结
节课应掌握：
（1）求根公式概念推导程
（2）公式法概念
（3）应公式法解元二次方程
（4）初步解元二次方程根情况．
六布置作业
1．教材P45 复巩固4．
2．选作业设计

选择题
1．公式法解方程4x212x3（ ）．
A．x B．x
C．x D．x
2．方程x2+4x+60根（ ）．
A．x1x2 B．x16x2
C．x12x2 D．x1x2
3．（m2n2）（m2n22）80m2n2值（ ）．
A．4 B．2 C．42 D．42
二填空题
1．元二次方程ax2+bx+c0（a≠0）求根公式________条件________．
2．x______时代数式x28x+12值4．
3．关x元二次方程（m1）x2+x+m2+2m30根0m值_____．
三综合提高题
1．公式法解关x方程：x22axb2+a20．
2．设x1x2元二次方程ax2+bx+c0（a≠0）两根（1）试推导x1+x2x1·x2（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）值．
3．某电厂规定：该厂家属区户居民月电量超A千瓦时户居民月交10元电费果超A千瓦时月交10元电费外超部分千瓦时元收费．
（1）某户2月份电90千瓦时超规定A千瓦时超部分电费少元？（A表示）
（2）表户居民3月4月电情况交费情况
月份
电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根表数求电厂规定A值少？

答案
1．D 2．D 3．C
二1．xb24ac≥0 2．4 3．3
三1．xa±│b│
2．（1）∵x1x2ax2+bx+c0（a≠0）两根
∴x1x2
∴x1+x2
x1·x2·
（2）∵x1x2ax2+bx+c0两根∴ax12+bx1+c0ax22+bx2+c0
原式ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
0
3．（1）超部分电费（90A）·A2+A
（2）题意：（80A）·15A130（舍）A250





223 实际问题元二次方程(1)

教学容
倍数关系等问题建立数学模型通配方法公式法分解式法解决实际问题．
教学目标
掌握倍数关系建立数学模型利解决具体问题．
通复二元次方程组等建立数学模型利解决实际问题引入倍数关系建立数学模型利解决实际问题．
重难点关键
1．重点：倍数关系建立数学模型
2．难点关键：倍数关系建立数学模型
教学程
复引入
（学生活动）问题1：列方程解应题
表某周甲乙两种股票天股收盘价（收盘价：股票天交易结果时价格）：
星期

二
三
四
五
甲
12元
125元
129元
1245元
1275元
乙
135元
133元
139元
134元
1375元
某周持干甲乙两种股票两种股票天收盘价计算（计手续费税费等）帐户星期二星期增加200元星期三星期二增加1300元持甲乙股票少股？
老师点评分析：般直接设元问什设什设持甲乙股票xy张表中知道天股收盘价两种股票天帐户总数xy相应天股收盘价根已知等量关系星期二星期增加200元星期三星期二增加1300元便列出等式．
解：设持甲乙股票xy张．
解
答：（略）
二探索新知
面道题家做种利二元次方程组数量关系建立数学模型没利形式利前面学元二次方程建立数学模型解应题呢？请学完成面问题．
（学生活动）问题2：某工厂第季度月份生产电视机1万台第季度生产电视机总台数331万台求二月份三月份生产电视机均增长百分率少？
老师点评分析：直接假设二月份三月份生产电视机均增长率x．月份1万台二月份应（1+x）台三月份应二月份基础二月份月份增长样倍数增长（1+x）+（1+x）x（1+x）2容易第季度总台数列出等式．
解：设二月份三月份生产电视机均增长百分率x1+（1+x）+（1+x）2331
括号：1+1+x+1+2x+x2331
整理：x2+3x0310
解：x10
答：（略）
道题前学元次二元次方程（组）分式方程等背景建立数学模型样助元二次方程背景建立数学模型分析实际问题解决问题类型．
例1．某电脑公司2001年项营中月份营业额200万元月二月三月营业额950万元果均月营业额增长率相求增长率．
分析：设增长率x月份营业额列出x表示二三月份营业额三月份总营业额列出等量关系．
解：设均增长率x
200+200（1+x）+200（1+x）2950
整理：x2+3x1750
解：x50
答：求增长率50．
三巩固练
（1）某林场现木材a立方米预计两年年均增长p两年该林场木材少立方米
（2）某化工厂年月份生产化工原料15万吨通优化理产量逐年升第季度生产化工原料60万吨设二三月份均增长百分率相均x列出方程__________．
四应拓展
例2．某2000元民币年定期存入银行期支取1000元购物剩1000元应利息全部年定期存入银行存款利率变期金利息1320元求种存款方式年利率．
分析：设种存款方式年利率x第次存2000元取1000元剩金利息1000+2000x·80第二次存金变1000+2000x·80类推．
解：设种存款方式年利率x
：1000+2000x·80+（1000+2000x·8）x·801320
整理：1280x2+800x+1600x3208x2+15x20
解：x12（符舍）x20125125
答：求年利率12．5．
五纳结
节课应掌握：
利倍数关系建立关元二次方程数学模型利恰方法解．
六布置作业
1．教材P53 复巩固1 综合运1．
2．选作业设计．
作业设计
选择题
1．2005年月份越南发生禽流感养鸡场100家二三月份新发生禽流感养鸡场250家设二三月份均月禽流感感染率x题意列出方程（ ）．
A．100（1+x）2250 B．100（1+x）+100（1+x）2250
C．100（1x）2250 D．100（1+x）2
2．台电视机成价a元销售价成价增加25库存积压销售价70出售台售价（ ）．
A．（1+25）（1+70）a元 B．70（1+25）a元
C．（1+25）（170）a元 D．（1+25+70）a元
3．某商场标价成高p该商品降价出售时亏损成售价折扣（降低百分数）超ddp表示（ ）．
A． B．p C． D．
二填空题
1．某农户粮食产量均年增长率x第年产量6万kg第二年产量_______kg第三年产量_______三年总产量_______．
2．某糖厂2002年食糖产量at果两年均增长百分率x预计2004年产量________．
3．国政府解决老百姓病难问题决定调药品价格某种药品1999年涨价302001年降价70a元种药品1999年涨价前价格__________．
三综合提高题
1．响应国家退耕林改变省水土流失严重现状2000年省某退耕林1600亩计划2002年年退耕林1936亩问两年均年退耕林均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂月份生产甲乙两种新型拖拉机中乙型16台二月份起甲型月增产10台乙型月相增长率逐年递增知二月份甲乙两型产量3：2三月份甲乙两型产量65台求乙型拖拉机月增长率甲型拖拉机月份产量．
















3．某商场第年初投入50万元进行商品营年年终年获利润年年初投入资金相加总资金作年年初投入资金继续进行营．
（1）果第年年获利率p第年年终总资金少万元（代数式表示）（注：年获利率×100）
（2）果第二年年获利率10百分点（第二年年获利率第年年获利率10）第二年年终总资金66万元求第年年获利率．













答案
1．B 2．B 3．D
二1．6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2
2．a（1+x）2t
3．
三1．均增长率x1600（1+x）21936x10
2．设乙型增长率x甲型月份产量y：

16x2+56x150解x25y20（台）
3．（1）第年年终总资金50（1+P）
（2）50（1+P）（1+P+10）66整理：P2+21P0220解P10







223 实际问题元二次方程(2)

教学容
建立元二次方程数学模型解决全面较象变化状况．
教学目标
掌握建立数学模型解决全面较象变化状况问题．
复种象变化状况解题程引入两种两种象变化状况解题方法．
重难点关键
1．重点：全面较象变化状况．
2．难点关键：某量变化状况衡量外量变化状况．
教具学具准备
黑板
教学程
复引入
（学生活动）请学独立完成面题目．
问题：某商场礼品柜台春节期间购进量贺年卡种贺年卡均天售出500张张盈利03元快减少库存商场决定采取适降价措施调查发现果种贺年卡售价降低01元商场均天售出100张商场想均天盈利120元张贺年卡应降价少元
老师点评：总利润件均利润×总件数．设张贺年卡应降价x元件均利润应（03x）元总件数应（500+×100）
解：设张贺年卡应降价x元
（03x）（500+）120
解：x01
答：张贺年卡应降价01元．
二探索新知
刚分析种贺年卡原均天售出500张张盈利03元减少库存降价销售知降价01元便售出100元达某目张贺年卡应降价少元果题中两种贺年卡者两种东西量量间样关系呢绝量相量间关系．
例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲乙两种贺年卡甲种贺年卡均天售出500张张盈利03元乙种贺年卡均天售出200张张盈利075元快减少库存商场决定采取适降价措施调查发现果甲种贺年卡售价降价01元商场均天售出100张果乙种贺年卡售价降价025元商场均天售出34张．果商场想种贺年卡均天盈利120元种贺年卡张降价绝量．
分析：原两种贺年卡均天盈利样150元数目象两种贺年卡张降价绝量样面通解题说明问题．
解：（1）复引入中知商场想均天盈利120元甲种贺年卡应降价01元．
（2）乙种贺年卡：设张乙种贺年卡应降价y元
：（075y）（200+×34）120
（y）（200+136y）120
整理：68y2+49y150
y
∴y≈098（符题意应舍）
y≈023元
答：乙种贺年卡张降价绝量．
绝量较说明绝量者相量样变化规律．
（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品成5000元生产1t乙种药品成6000元着生产技术进步现生产1t甲种药品成3000元生产1t乙种药品成3600元种药品成年均降率较
老师点评：
绝量：甲种药品成年均降额（50003000）÷21000元乙种药品成年均降额（60003000）÷21200元显然乙种药品成年均降额较．
相量：面绝量否说明相量呢否说明乙种药品成年均降率呢面通计算说明问题．
解：设甲种药品成年均降率x
年甲种药品成5000（1x）元两年甲种药品成5000（1x）元．
题意5000（1x）23000
解：x1≈0225x2≈1775（合题意舍）
设乙种药品成均降率y．
：6000（1y）23600
整理：（1y）206
解：y≈0225
答：两种药品成年均降率样．
然绝量相差相量相等．
三巩固练
新华商场销售甲乙两种冰箱甲种冰箱台进货价2500元市场调研表明：销售价2900元时均天售出8台销售价降低50元时均天售出4台．乙种冰箱台进货价2000元市场调研表明：销售价2500元时均天售出8台销售价降低45元时均天售出4台商场想两种冰箱销售利润均天达5000元两种冰箱定价应少
四应拓展
例3．某商店销种销售成千克40元水产品市场分析千克50元销售月售出500kg销售单价涨1元月销售量减少10kg针种水产品情况请解答问题：
（1）销售单价定千克55元时计算销售量月销售利润．
（2）设销售单价千克x元月销售利润y元求yx关系式．
（3）商品想月销售成超10000元情况月销售利润达8000元销售单价应少
分析：（1）销售单价定55元原销售价50元提高5元销售量减少5×10kg．
（2）销售利润y（销售单价x销售成40）×销售量[50010（x50）]
（3）月销售成超10000元销售量超250kg提前求月销售利润达8000元销售单价应少．
解：（1）销售量：5005×10450（kg）销售利润：450×（5540）450×156750元
（2）y（x40）[50010（x50）]10x2+1400x40000
（3）水产品超10000÷40250kg定价x元（x400）[50010（x50）]8000
解：x180x260
x180时进货50010（8050）200kg<250kg满足题意．
x260时进货50010（6050）400kg>250kg（舍）．
五纳结
节课应掌握：
建立种元二次方程数学建模解决全面较象变化状况问题．
六布置作业
1．教材P53 复巩固2 综合运79．
2．选作业设计：
选择题
1．组干新年互送贺卡全组送贺卡72张组（ ）．
A．12 B．18 C．9 D．10
2．某商进货价便宜8售价变利润（进货价定）目前x增加（x+10）x（ ）．
A．12 B．15 C．30 D．50
3．育中学迎接香港回1994年1997年四年师生植树1997棵已知该校1994年植树342棵1995年植树500棵果1996年1997年植树年增长率相该校1997年植树棵数（ ）．
A．600 B．604 C．595 D．605
二填空题
1．产品原价a元受市场济影响先提价20降价15现价原价_______．
2．甲1000元民币购买手股票手股票转卖乙获利10乙手股票返卖甲乙损失10甲乙卖甲价格九折手股票卖出述股票交易中甲盈_________元．
3．容器盛满纯药液63L第次倒出部分纯药液水加满第二次倒出样药液加水补满时容器剩纯药液28L设次倒出液体xL列出方程________．
三综合提高题
1．海甲商场七月份利润100万元九月份利率121万元乙商场七月份利率200万元九月份利润288万元商场利润年均升率较



2．某果园100棵桃树棵桃树均结1000桃子现准备种桃树提高产量试验发现种棵桃树棵桃树产量会减少2果产量增加152应种少棵桃树



3．某玩具厂4车间某周质量检查周现车间原a（a>0）成品车间天生产b（b>0）成品质量科派出干名检验员周周二检验中两车间原两天生产成品然周三周五检验外两车间原周生产成品假定名检验员天检验成品数相．
（1）干名检验员1天检验少成品（含ab代数式表示）
（2）名检验员1天检验b成品质量科少派出少名检验员

答案：
1．C 2．B 3．D
二1．2 2．1 3．（1）2
三1．甲：设升率x100（1+x）2121x10
乙：设升率y200（1+y）2288y20
乙商场年均利润升率．
2．设种x棵树（100+x）（10002x）100×1000×（1+152）
整理：x2400x+76000（x20）（x380）0
解x120x2380
3．（1）a+2b
（2）假定名检验员天检验成品数相．
a+2b解：a4b
（a+2b）÷b6b÷b75（）
少派8名检验员．





223 实际问题元二次方程(3)

教学容
根面积面积间关系建立元二次方程数学模型解决类问题．
教学目标
掌握面积法建立元二次方程数学模型运解决实际问题．
利提问方法复种特殊图形面积公式引入新课解决新课中问题．
重难点关键
1．重点：根面积面积间等量关系建立元二元方程数学模型运解决实际问题．
2．难点关键：根面积面积间等量关系建立元二次方程数学模型．
教具学具准备
黑板
教学程
复引入
（口述）1．直角三角形面积公式什？般三角形面积公式什呢？
2．正方形面积公式什呢？长方形面积公式什？
3．梯形面积公式什？
4．菱形面积公式什？
5．行四边形面积公式什？
6．圆面积公式什？
（学生口答老师点评）
二探索新知
现根刚复面积公式建立数学模型解决实际问题．
例1．某林场计划修条长750m断面等腰梯形渠道断面面积16m2口宽渠深2m渠底渠深04m．
（1）渠道口宽渠底宽少？
（2）果计划天挖土48m3需少天条渠道挖完？
分析：渠深便计算妨设渠深xm口宽x+2渠底x+04根梯形面积公式便建模．
解：（1）设渠深xm
渠底（x+04）m口宽（x+2）m
题意：（x+2+x+04）x16
整理：5x2+6x80
解：x108mx22（舍）
∴口宽28m渠底12m．
（2）25天
答：渠道口宽渠底深28m12m需25天挖完渠道．
学生活动：例2．图设计书封面封面长27cm宽21cm正中央整封面长宽例相矩形果四周彩色边衬占面积封面面积四分边衬等宽左右边衬等宽应设计四周边衬宽度（精确01cm）？

老师点评：题意知：中央矩形长宽等封面长宽＝9：7判定：边衬宽左右边衬宽9：7设边衬宽均9xcm左右边衬宽均7xcm题意：中央矩形长（2718x）cm宽（2114x）cm．
四周彩色边衬点面积封面面积中央矩形面积封面面积．
（2718x）（2114x）×27×21
整理：16x248x+90
解方程：x
x1≈28cmx2≈02
：9x1252cm（舍）9x218cm7x214cm
边衬宽均18cm左右边衬宽均14cm．
三巩固练
张长方形桌子长6尺宽3尺块台布面积桌面面积2倍铺桌面时边垂长度相求台布长宽少（精确0．1尺）
四应拓展
例3．图（a）（b）示△ABC中∠B90°AB6cmBC8cm点P点A开始AB边点B1cms速度运动点Q点B开始BC边点C2cms速度运动．
（1）果PQ分AB时出发秒钟S△PBQ8cm2．
（2）果PQ分AB时出发PB继续BC边前进QC继续CA边前进秒钟△PCQ面积等126cm2．（友情提示：点Q作DQ⊥CB垂足D：）

分析：（1）设x秒钟S△PBQ8cm2APxPB6xQB2x面积公式便元二次方程数学模型．
（2）设y秒钟里y>6△PCQ面积等126cm2．AB6BC8勾股定理：AC10PAyCP（14y）CQ（2y8）友情提示便DQ根三角形面积公式建模．
解：（1）设x秒点PAB点QBC△PBQ面积8cm2．
：（6x）·2x8
整理：x26x+80
解：x12x24
∴2秒点P离A点1×22cm处点Q离B点2×24cm处4秒点P离A点1×44cm处点Q离B点2×48cm处符合求．
（2）设y秒点P移BCCP（14y）cm点QCA移动CQ（2y8）cm点Q作DQ⊥CB垂足D
∵AB6BC8
∴勾股定理：AC10
∴DQ
：（14y）·126
整理：y218y+770
解：y17y211
7秒点PBC距C点7cm处（CP14y7）点QCA距C点6cm处（CQ2y86）△PCD面积126cm2．
11秒点PBC距C点3cm处点QCA距C点14cm>10
∴点Q已超CA范围解存．
∴题解y17．
五纳结
节课应掌握：
利已学特殊图形面积公式建立元二次方程数学模型运解决实际问题．
六布置作业
1．教材P53 综合运56 拓广探索全部．
2．选作业设计

选择题
1．直角三角形两条直角边7面积6斜边（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．两块木板第块长宽2倍第二块长第块长少2m宽第块宽3倍已知第二块木板面积第块108m2两块木板长宽分（ ）．
A．第块木板长18m宽9m第二块木板长16m宽27m
B．第块木板长12m宽6m第二块木板长10m宽18m
C．第块木板长9m宽45m第二块木板长7m宽135m
D．
3．正方形铁片截2cm宽条长方形余面积48cm2原正方形铁片面积（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二填空题
1．矩形周长8面积1矩形长宽分________．
2．长方形长宽4cm面积60cm2周长________．
3．图长方形鸡场面示意图边墙外三面竹篱笆围成竹篱笆总长35m围面积150m2长方形鸡场长宽分_______．

三综合提高题
1．图示防水坝横截面（梯形）坝顶宽3m背水坡度1：2迎水坡度1：1坝长30m完成坝土方4500m2问水坝高应少（说明：背水坡度迎水坡度）（精确01m）




2．块长12m宽8m长方形中央划出方砌面积8m2长方形花台花坛四周宽宽度样宽度少










3．谁量出道路宽度
图2210矩形ABCD块中央修矩形花辅EFGH面积块面积半花圃四周道路宽相等测量工具刻度足够长绳子条量出道路宽度
请学利掌握数学知识解决实际问题相信定行．


答案
1．B 2．B 3．D
二1．2+ 2
2．32cm
3．20m75m15m10m
三
1．设坝高xAExBF2xAB3+3x
题意：（3+3+3x）x×304500
整理：x2+2x1000
解x≈x≈905（m）
2．设宽x12×882×8x+2（122x）x
整理：x210x+220
解：x15+（舍）x25
3．设道路宽xABaADb
（a2x）（b2x）ab
解：x [（a+b）]
量法：绳子量出AB+AD（a+b）长中减BD长（角线BD）LAB+ADBDL折两次道路宽．












223 实际问题元二次方程(4)

教学容
运速度时间路程关系建立元二次方程数学模型解决实际问题．
教学目标
掌握运速度时间路程三者关系建立数学模型解决实际问题．
通复速度时间路程三者关系提出问题知识解决问题．
重难点关键
1．重点：通路程速度时间间关系建立数学模型解决实际问题．
2．难点关键：建模．
教具学具准备
黑板
教学程
复引入
（老师口问学生口答）路程速度时间三者关系什？
二探究新知
节课利学刚回答路程＝速度×时间建立元二次方程数学模型解决实际问题．
请思考面二道例题．
例1．某辆汽车公路行驶行驶路程s（m）时间t（s）间关系：s10t+3t2行驶200m需长时间
分析：加速运运根已知路程求时间s200代入求关系t元二次方程．
解：s200时3t2+10t2003t2+10t2000
解t（s）
答：行驶200m需s．
例2．辆汽车20ms速度行驶司机发现前方路面情况紧急刹车汽车滑行25m停车．
（1）刹车停车少时间
（2）刹车停车均秒车速减少少
（3）刹车汽车滑行15m时约少时间（精确01s）
分析：（1）刚刹车时时速20ms逐渐减少停车时时速0．刹车速度减少受摩擦力造成理解匀速均速度10ms根：路程速度×时间便求出求时间．
（2）明显刚刹车时车速20ms停车车速0车速减少值20020车速减少值20刹车停车时间完成20刹车停车时间．
（3）设刹车汽车滑行15m时约xs．均秒减少车速已题求出便求出滑行15米车速求出刹车滑行15m均速度根：路程速度×时间便求出x值．
解：（1）刹车停车路程25m刹车停车均车速10（ms）
刹车停车时间25（s）
（2）刹车停车车速减少值20020
刹车停车秒均车速减少值8（ms）
（3）设刹车汽车滑行15m时约xs时车速（208x）ms
段路程均车速（204x）ms
x（204x）15
整理：4x220x+150
解方程：x
x1≈408（合舍）x2≈09（s）
答：刹车汽车行驶15m时约09s．
三巩固练
（1）题求刹车汽车行驶10m时约少时间．（精确01s）
（2）刹车汽车行驶20m时约少时间．（精确01s）
四应拓展
例3．图某海军基位A处正南方200海里处重目标BB正东方200海里处重目标C岛D位AC中点岛补码头：岛F位BC恰处岛D正南方艘军舰A出发BC匀速巡航般补船时D出发南偏西方匀速直线航行欲批物品送达军舰．
（1）岛D岛F相距少海里
（2）已知军舰速度补船2倍军舰BC途中补船相遇E处相遇时补船航行少海里（结果精确01海里）

分析：（1）题意知△ABC等腰直角三角形△DFC等腰直角三角形AC求CD求勾股定理便求DF长．
（2）求补船航行距离求DE长度DF已求Rt△DEF中勾股定理求．
解：（1）连结DFDF⊥BC
∵AB⊥BCABBC200海里．
∴ACAB200海里∠C45°
∴CDAC100海里
DFCFDFCD
∴DFCFCD×100100（海里）
岛D岛F相距100海里．
（2）设相遇时补船航行x海里DEx海里AB+BE2x海里
EFAB+BC（AB+BE）CF（3002x）海里
Rt△DEF中根勾股定理方程
x21002+（3002x）2
整理3x21200x+1000000
解方程：x1200≈1184
x2200+（合题意舍）
相遇时补船约航行1184海里．
五纳结
节课应掌握：
运路程＝速度×时间建立元二次方程数学模型解决实际问题．
六布置作业
1．教材P53 综合运9 P58 复题22 综合运9．
2．选作业设计

选择题
1．两位数等位数方位数字十位数字3两位数（ ）．
A．25 B．36 C．2536 D．2536
2．某种出租车收费标准：起步价7元（行驶距离超3km需付7元车费）超3km增加1km加收24元（足1km1km计）某出租车甲乙支付车费19元甲乙路程（ ）．
A．正8km B．8km C．少8km D．正7km
二填空题
1．约水成45°角方斜方抛出标枪抛出距离s（单位：m）标枪出手速度v（单位：ms）间致关系：s+2
果抛出40m标枪出手时速度________（精确01）
2．球静止开始斜坡滚动通仪器观察球滚动距离s（m）时间t（s）数：
时间t（s）
1
2
3
4
……
距离s（m）
2
8
18
32
……
写出t表示s关系式_______．
三综合提高题
1．球10ms速度坦面开始滚动均匀减速滚动20m球停．
（1）球滚动少时间
（2）均秒球运动速度减少少
（3）球滚动5m时约少时间（精确01s）








2．某军舰20节速度西东航行艘电子侦察船30节速度南北航行侦察出周围50海里（包括50海里）范围目标．图该军舰行A处时电子侦察船正位A处正南方B处AB90海里果军船侦察船原速度原方继续航行航行途中侦察船否侦察艘军舰果早时侦察果请说明理．



答案
1．C 2．B
二1．193ms 2．s2t2
三
1．（1）球滚动均速度5（ms） 球滚动时间：4（s）
（2）25（ms）
（3）球滚动5m时约xs 均速度
题意：x·5整理：x28x+40
解：x4±2x42
2．．设侦察船早B出发x时侦察军舰（9030x）2+（20x）2502
整理：13x254x+560（13x28）（x2）0x12x22
∴早2时侦察．







第二十四章 圆
单元点分析
教学容
1．单元数学容．
（1）圆关概念：垂直弦直径弧弦圆心角圆周角．
（2）圆关位置关系：点圆位置关系直线圆位置关系圆圆位置关系．
（3）正边形圆．
（4）弧长扇形面积：弧长扇形面积圆锥侧面积全面积．
2．单元教材中位作．
学生学章前已通折叠称移旋转推理证明等方式认识许图形性质积累量空间图形验．章学直线型图形关性质基础进步探索种特殊曲线──圆关性质．通章学学生继续学数学尤逐步树立分类讨数学思想纳数学思想起着良铺垫作．章学高中数学学尤圆锥曲线学基础性工程．
教学目标
1．知识技
（1）解圆关概念探索理解垂径定理探索认识圆心角弧弦间相等关系定理探索理解圆周角圆心角关系定理．
（2）探索理解点圆直线圆圆圆位置关系：解切线概念探索切线切点直径间关系判定条直线否圆切线会圆点画圆切线．
（3）进步认识理解正边形圆关系正边关计算．
（4）熟练掌握弧长扇形面积公式应理解圆锥侧面展开图熟练掌握圆锥侧面积全面积计算．
2．程方法
（1）积极引导学生事观察测量移旋转推理证明等活动．解概念理解等量关系掌握定理公式．
（2）教学程中鼓励学生动手动口动脑进行伴间交流．
（3）探索圆周角圆心角间关系程中学生形成分类讨数学思想纳数学思想．
（4）通移旋转等方式认识直线圆圆圆位置关系学生明确图形运动变化中特点规律进步发展学生推理力．
（5）探索弧长扇形面积圆锥侧面积全面积计算公式理解公式意义理解算法意义．
3．情感态度价值观
历探索圆相关结程发展学生数学思考力通积极引导帮助学生意识积累活动验获成功体验利现实生活数学中素材设计具挑战性情景激发学生求知探索欲．
教学重点
1．分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧运．
2．圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等运．
3．圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半运．
4．半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径运．
5．直线三点确定圆．
6．直线L⊙O相交dr运．
7．圆切线垂直切点半径运．
8．半径外端垂直条半径直线圆切线利解决具体问题．
9．圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角运．
10．两圆位置关系：dr1r2间关系：外离d>r1+r2外切dr1+r2相交│r2r1│ 11．正边形圆中半径R边心距r中心角θ间等量关系应等量关系解决具体题目．
12．n°圆心角弧长Ln°圆心角扇形面积S扇形运两公式进行计算．
13．圆锥侧面积全面积计算．
教学难点
1．垂径定理探索推导利解决实际问题．
2．弧弦圆心间互推关定理探索推导运解决实际问题．
3．关圆周角定理探索推导运．
4．点圆位置关系应．
5．三点确定圆探索应．
6．直线圆位置关系判定应．
7．切线判定定理性质定理运．
8．切线长定理探索运．
9．圆圆位置关系判定运．
10．正边形圆中半径R边心距r中心角θ关系应．
11．n圆心角弧长LS扇形＝公式应．
12．圆锥侧面展开图理解．
教学关键
1．积极引导学生通观察测量折叠移旋转等数学活动探索定理性质三位置关系推理证明等活动．
2．关注学生思考方式样化注重学生计算力培养提高．
3．观察操作推导活动中学生意识反思中数学思想方法发展学生条理思考力语言表达力．
单元课时划分
单元教学时间约需13课时具体分配：
24．1 圆 3课时
24．2 圆关位置关系 4课时
24．3 正边形圆 1课时
24．4 弧长扇形面积 2课时
教学活动题课结 3课时






24．1 圆
第课时
教学容
1．圆关概念．
2．垂径定理：分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧应．
教学目标
解圆关概念理解垂径定理灵活运垂径定理圆概念解决实际问题．
感受圆生活中量存圆形圆形成程讲授圆关概念．利操作方法理解圆轴称图形圆心直线称轴．通复合图形折叠方法出猜想垂径定理辅逻辑证明加予理解．
重难点关键
1．重点：垂径定理运．
2．难点关键：探索证明垂径定理利垂径定理解决实际问题．
教学程
复引入
（学生活动）请学口答面两问题（提问两学）
1．举出生活中圆三四．
2．讲出形成圆方法少种？
老师点评（口答）：（1）车轮杯口时针等．（2）圆规：固定定点固定长度绕定点拉紧运动形成圆．
二探索新知
圆形成程出：
面线段OA绕固定端点O旋转周端点形成图形做圆．固定端点O做圆心线段OA做半径．
点O圆心圆记作⊙O读作圆O．
学生四组讨面两问题：
问题1：图点定点（圆心O）距离什规律？
问题2：定点距离等定长点什特点？
老师提问名学生点评总结．
（1）图点定点（圆心O）距离等定长（半径r）
（2）定点距离等定长点圆．
圆新定义：圆心O半径r圆成定点O距离等定长r点组成图形．
时
①连接圆意两点线段做弦图线段ACAB
②圆心弦做直径图241线段AB
③圆意两点间部分做圆弧简称弧AC端点弧记作读作圆弧弧AC．半圆弧（图示做优弧半圆弧（图示）做劣弧．

④圆意条直径两端点圆分成两条弧条弧做半圆．
（学生活动）请学回答面两问题．
1．圆轴称图形？果称轴什？找少条称轴？
2．什方法解决述问题？伴进行交流．
（老师点评）1．圆轴称图形称轴直径找数条直径．
3．利着圆意条直径折叠方法解决圆称轴问题．
：
圆轴称图形称轴意条圆心直线．
（学生活动）请学面求完成题：
图AB⊙O条弦作直径CDCD⊥AB垂足M．

（1）图轴称图形？果称轴什？
（2）发现图中等量关系？说说理．
（老师点评）（1）轴称图形称轴CD．
（2）AMBM直径CD分弦AB分．
样面定理：
垂直弦直径分弦分弦两条弧．
面逻辑思维证明：
已知：直径CD弦ABCD⊥AB垂足M
求证：AMBM
分析：证AMBM证AMBM构成两三角形全等．连结OAOBACBC．
证明：图连结OAOBOAOB
Rt△OAMRt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AMBM
∴点A点B关CD称
∵⊙O关直径CD称
∴圆着直线CD折时点A点B重合重合重合．
∴
进步结：
分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧．
（题证明作课练）
例1．图条公路转弯处段圆弦（图中点O圆心中CD600mE点OE⊥CD垂足FEF90m求段弯路半径．
分析：例1垂径定理应解题程中列方程方法种代数方法解决问题代数解数学思想方法定掌握．
解：图连接OC
设弯路半径ROF（R90）m
∵OE⊥CD
∴CFCD×600300（m）
根勾股定理：OC2CF2+OF2
R23002+（R90）2 解R545
∴段弯路半径545m．
三巩固练
教材P86 练 P88 练．
四应拓展
例2．石拱桥桥拱圆弧形图245示正常水位水面宽AB60m水面拱顶距离CD18m洪水泛滥时水面宽MN32m时否需采取紧急措施？请说明理．
分析：求洪水时水面宽MN32m否需采取紧急措施求出DE长求半径R然运代数解求R．
解：需采取紧急措施
设OARRt△AOC中AC30CD18
R2302+（R18）2 R2900+R236R+324
解R34（m）
连接OM设DExRt△MOE中ME16
342162+（34x）2
162+34268x+x2342 x268x+2560
解x14x264（合设）
∴DE4
∴需采取紧急措施．
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．圆关概念
2．圆轴称图形条直径直线称轴．
3．垂径定理推应．
六布置作业
1．教材P94 复巩固123．
2．车轮什圆呢？
3．垂径定理推证明．
4．选课时作业设计．
第课时作业设计
选择题．
1．图1果AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足E列结中错误（ ）．
A．CEDE B． C．∠BAC∠BAD D．AC>AD

(1) (2) (3)
2．图2⊙O直径10圆心O弦AB距离OM长3弦AB长（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．图3⊙O中P弦AB中点CD点P直径列结中正确（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB4∠ACD C． D．POPD
二填空题
1．图4AB⊙O直径E中点OE交BC点DBD3AB10AC_____．

(4) (5)
2．P⊙O点OP3cm⊙O半径5cmP点短弦长________长弦长_______．
3．图5OEOF分⊙O弦ABCD弦心距果OEOF_______（需写正确结）
三综合提高题
1．图2411AB⊙O直径CD弦CD分作CN⊥CDDM⊥CD分交ABNM请问图中ANBM否相等说明理．




2．图⊙O直径AB弦CD相交点EAE2EB6∠DEB30°求弦CD长．




3．（开放题）AB⊙O直径ACAD⊙O两弦已知AB16AC8AD8求∠DAC度数．






答案
1．D 2．D 3．D
二1．8 2．8 10 3．ABCD
三1．ANBM 理：点O作OE⊥CD点ECEDECN∥OE∥DM．
∴ONOM∴OAONOBOM
∴ANBM．
2．O作OF⊥CDF右图示
∵AE2EB6∴OE2
∴EFOF1连结OD
Rt△ODF中4212+DF2DF∴CD2．
3．（1）ACADAB旁右图示
∵AB16AC8AD8
∴AC（AB）∴∠CAB60°
理∠DAB30°
∴∠DAC30°．
（2）ACADAB异旁理：∠DAC60°+30°90°．






241 圆(第2课时)
教学容
1．圆心角概念．
2．关弧弦圆心角关系定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等．
3．定理推：圆等圆中果两条弧相等圆心角相等弦相等．
圆等圆中果两条弦相等圆心角相等弧相等．
教学目标
解圆心角概念：掌握圆等圆中圆心角弦弧中量两相等推出两量相应两值相等解题中应．
通复旋转知识产生圆心角概念然圆心角旋转知识探索圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量分相等应解决具体问题．
重难点关键
1．重点：定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等两推应．
2．难点关键：探索定理推导应．
教学程
复引入
（学生活动）请学完成题．
已知△OAB图示作出绕O点旋转30°45°60°图形．

老师点评：绕O点旋转O点固定点旋转30°旋转角∠BOB′30°．
二探索新知
图示∠AOB顶点圆心样顶点圆心角做圆心角．

（学生活动）请学列求作图回答问题：
图示⊙O中分作相等圆心角∠AOB∠A′OB′圆心角∠AOB绕圆心O旋转∠A′OB′位置发现等量关系？什？

ABA′B′
理：∵半径OAO′A′重合∠AOB∠A′OB′
∴半径OBOB′重合
∵点A点A′重合点B点B′重合
∴重合弦AB弦A′B′重合
∴ABA′B′
圆中相等圆心角弧相等弦相等．
等圆中相等圆心角否弧相等弦相等呢？请学现动手作作．
（学生活动）老师点评：图1⊙O⊙O′中分作相等圆心角∠AOB∠A′O′B′图2滚动圆OO′重合固定圆心中圆旋转角度OAO′A′重合．

(1) (2)
发现等量关系？说说理？
发现：ABAB．
现证明方法转化前面说明回数学思想呢──化思想化未知已知面定理：
圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等．
样：
圆等圆中果两条弧相等圆心角相等弦相等．
圆等圆中果两条弦相等圆心角相等弧相等．
（学生活动）请学现予说明．
请三位学黑板板书老师点评．
例1．图⊙O中ABCD两条弦OE⊥ABOF⊥CD垂足分EF．
（1）果∠AOB∠CODOEOF什关系？什？
（2）果OEOF什关系？ABCD什关系？什？∠AOB∠COD呢？

分析：（1）说明OEOF直角三角形AOE直角三角形COF中说明AECF说明ABCD运前面讲定理．
（2）∵OEOF∴Rt△AOERt△COF中
AOCO半径∴Rt△AOE≌Rt△COF
∴AECF∴ABCD运面定理
解：（1）果∠AOB∠CODOEOF
理：∵∠AOB∠COD
∴ABCD
∵OE⊥ABOF⊥CD
∴AEABCFCD
∴AECF
∵OAOC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OEOF
（2）果OEOFABCD∠AOB∠COD
理：
∵OAOCOEOF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AECF
∵OE⊥ABOF⊥CD
∴AEABCFCD
∴AB2AECD2CF
∴ABCD
∴∠AOB∠COD
三巩固练
教材P89 练1 教材P90 练2．
四应拓展
例2．图3图4MN⊙O直径弦ABCD相交MN点P∠APM∠CPM．
（1）条件认ABCD关系什请说明理．
（2）交点P⊙O外部述结否成立？成立加证明成立请说明理．

(3) (4)
分析：（1）说明ABCD证明ABCD圆心角相等说明半相等．
述结然成立证明思路面题目模样．
解：（1）ABCD
理：O作OEOF分垂直ABCD垂足分EF
∵∠APM∠CPM
∴∠1∠2
OEOF
连结ODOBOBOD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DFBE
根垂径定理：ABCD
（2）作OE⊥ABOF⊥CD垂足EF
∵∠APM∠CPNOPOP∠PEO∠PFO90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OEOF
连接OAOBOCOD
易证Rt△OBE≌Rt△ODFRt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2∠3+∠4
∴ABCD
五纳总结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量部分相等应．
六布置作业
1．教材P9495 复巩固45678．
2．选课时作业设计．
第二课时作业设计
选择题．
1．果两圆心角相等（ ）
A．两圆心角弦相等B．两圆心角弧相等
C．两圆心角弦弦心距相等D．说法
2．圆中圆心角∠AOB2∠COD两条弧ABCD关系（ ）
A．2 B．> C．<2 D．确定
3．图5⊙O中果2（ ）．
A．ABAC B．ABAC C．AB<2AC D．AB>2AC

(5) (6)
二填空题
1．交通工具轮子做圆运圆性质中_________．
2．条弦长恰半径长弦弧半圆_________．
3．图6ABDE⊙O直径弦AC∥DE弦BE3弦CE________．
三解答题
1．图⊙O中CD直径AB两点ACBDMC⊥ABND⊥ABMN⊙O．
（1）求证：
（2）CD分OAOB中点成立？

2．图ABCD顶点A圆心AB半径作圆分交BCADEF∠D50°求度数度数．

3．图∠AOB90°CDAB三等分点AB分交OCOD点EF求证：AEBFCD．

答案
1．D 2．A 3．C
二1．圆旋转变形 2． 3．3
三1．（1）连结OMONRt△OCMRt△ODN中OMONOAOB
∵ACDB∴OCOD∴Rt△OCM≌Rt△ODN
∴∠AOM∠BON∴
（2）www1230org 初中数学资源网
2．BE度数80°EF度数50°．
3．连结ACBD∵CD三等分点
∴ACCDDB∠AOC×90°30°
∵OAOC∴∠OAC∠OCA75°
∠AEC∠OAE+∠AOE45°+30°75°
∴AEAC
理证BFBD∴AEBFCD
241 圆(第3课时)

教学容
1．圆周角概念．
2．圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弦圆心角半．
推：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径应．
教学目标
1．解圆周角概念．
2．理解圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半．
3．理解圆周角定理推：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径．
4．熟练掌握圆周角定理推理灵活运．
设置情景出圆周角概念探究圆周角圆心角关系运数学分类思想予逻辑证明定理出推导学生活动证明定理推正确性运定理推导解决实际问题．
重难点关键
1．重点：圆周角定理圆周角定理推导运解题．
2．难点：运数学分类思想证明圆周角定理．
3．关键：探究圆周角定理存．
教学程
复引入
（学生活动）请学口答面两问题．
1．什圆心角？
2．圆心角弦弧间什联系呢？
老师点评：（1）顶点圆心角圆心角．
（2）圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等余组量分相等．
刚讲顶点圆心角组等量关系果顶点圆心位置？圆周否存等量关系呢？天探讨研究解决问题．
二探索新知
问题：图示⊙O射门游戏中设EF球门设球员⊙O位置射门图示ABC点．通观察发现∠EAF∠EBF∠ECF样角顶点圆两边圆相交角做圆周角．
现通圆周角概念度量方法回答面问题．
1．弧圆周角数少？
2．弧圆周角度数否发生变化？
3．弧圆周角圆心角什关系？
（学生分组讨）提问二三位学代表发言．
老师点评：www1230org 初中数学资源网
1．弧圆周角数数．
2．通度量发现弧圆周角没变化．
3．通度量出弧圆周角圆心角半．
面通逻辑证明说明弧圆周角度数没变化度数恰等条弧圆心角度数半．
（1）设圆周角∠ABC边BC⊙O直径图示
∵∠AOC△ABO外角
∴∠AOC∠ABO+∠BAO
∵OAOB
∴∠ABO∠BAO
∴∠AOC∠ABO
∴∠ABC∠AOC
（2）图圆周角∠ABC两边ABAC条直径OD两侧∠ABC∠AOC？请学独立完成道题说明程．
老师点评：连结BO交⊙OD理∠AOD△ABO外角∠COD△BOC外角∠AOD2∠ABO∠DOC2∠CBO∠AOC2∠ABC．
（3）图圆周角∠ABC两边ABAC条直径OD侧∠ABC∠AOC？请学独立完成证明．
老师点评：连结OAOC连结BO延长交⊙OD∠AOD2∠ABD∠COD2∠CBO∠ABC∠ABD∠CBO∠AOD∠COD∠AOC
现果画意圆周角∠AB′C样证等弧圆心角半弧圆周角相等．
（1）（2）（3）总结纳出圆周角定理：
圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半．
进步面推导：
半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径．
面通定理推解题目．
例1．图AB⊙O直径BD⊙O弦延长BDCACABBDCD什关系？什？
分析：BDCDABAC△ABC等腰证明DBC中点连结AD证明AD高∠BAC分线．
解：BDCD
理：图2430连接AD
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°AD⊥BC
∵ACAB
∴BDCD
三巩固练
1．教材P92 思考题．
2．教材P93 练．
四应拓展
例2．图已知△ABC接⊙O∠A∠B∠C边分设abc⊙O半径R求证：2R．
分析：证明2R证明2R2R2RsinAsinBsinC十分明显直角三角形中进行．
证明：连接CO延长交⊙OD连接DB
∵CD直径
∴∠DBC90°
∵∠A∠D
Rt△DBC中sinD2R
理证：2R2R
∴2R
五纳结（学生纳老师点评）
节课应掌握：
1．圆周角概念
2．圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角相等相等条弧圆心角半
3．半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径．
4．应圆周角定理推导解决具体问题．
六布置作业
1．教材P95 综合运91011 拓广探索1213．
2．选课时作业设计．












第三课时作业设计
选择题
1．图1ABC三点⊙O∠AOC100°∠ABC等（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°

(1) (2) (3)
2．图2∠1∠2∠3∠4关系（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3∠2
3．图3AD⊙O直径AC弦OB⊥ADOB5∠CAD30°BC等（ ）．
A．3 B．3+ C．5 D．5
二填空题
1．半径2a⊙O中弦AB长2a弦AB圆周角度数________．
2．图4AB⊙O直径CDE圆点∠1+∠2_______．

(4) (5)
3．图5已知△ABC⊙O接三角形BC1∠A60°⊙O半径_______．

三综合提高题
1．图弦AB圆周分成1：2两部分已知⊙O半径1求弦长AB．


2．图已知ABAC∠APC60°
（1）求证：△ABC等边三角形．
（2）BC4cm求⊙O面积．


3．图⊙C坐标原点两坐标轴分交点A点B点A坐标（04）M圆点∠BMO120°．
（1）求证：AB⊙C直径．
（2）求⊙C半径圆心C坐标．

答案
1．D 2．B 3．D
二1．120°60° 2．90° 3．
三1． 2．（1）证明：∵∠ABC∠APC60°
∴∠ACB∠ABC60°∴△ABC等边三角形．
（2）解：连结OC点O作OD⊥BC垂足D
Rt△ODC中DC2∠OCD30°
设ODxOC2x∴4x2x24∴OC
3．（1）略 （2）4（22）

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点圆位置关系
教学目标
()教学知识点
解条直线三点确定圆条直线三点作圆方法解三角形外接圆三角形外心等概念．
(二)力训练求
1．历条直线三点确定圆探索程培养学生探索力．
2．通探索条直线三点确定圆问题进步体会解决数学问题策略．
(三)情感价值观求
1．形成解决问题基策略体验解决问题策略样性发展实践力创新精神．
2．学会合作交流思维程结果．
教学重点
1．历条直线三点确定圆探索程掌握结．
2．掌握条直线三点作圆方法．
3．解三角形外接圆三角形外心等概念．
教学难点
历条直线三点确定圆探索程条直线三点作圆．
教学方法
教师指导学生探索交流法．
教具准备
投影片三张
第张：(记作§3．4A)
第二张：(记作§3．4B)
第三张：(记作§3．4C)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]知道点作数条直线两点作条直线．点作圆？两点三点……呢？节课进行关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆思考
投影片(§3．4A)
1．线段垂直分线性质作法．
2．作圆关键什？
[生]1．线段垂直分线性质：线段垂直分线点线段两端点距离相等．
作法：图分AB圆心AB长半径画弧AB两侧找出两交点CD作直线CD直线CD线段AB垂直分线直线CD点AB距离相等．

[师]知道圆定义：面定点距离等定长点组成图形做圆．定点圆心定长半径．根定义家觉作圆关键什？
[生]定义知作圆问题实质圆心半径问题．作圆关键确定圆心半径．确定圆心半径圆确定．
2．做做(投影片§3．4B)
(1)作圆已知点A作出样圆？
(2)作圆已知点AB．作？作出样圆？圆心分布什特点？线段AB什关系？什？
(3)作圆已知点ABC(ABC三点条直线)．作？作出样圆？
[师]根刚分析已知作圆关键确定圆心半径面请家互相交换意见作出解答．
[生](1)作圆实质确定圆心半径已知点A作圆圆心确定半径确定．点A外意点圆心点点A连线段半径作圆．圆心意．样圆数．图(1)．

(2)已知点AB圆圆心距离等半径．圆心AB距离相等．根前面提线段垂直分线性质知线段垂直分线点线段两端点距离相等圆心应线段AB垂直分线．AB垂直分线意取点满足AB两点距离相等AB垂直分线取点作圆心点A距离半径．圆确定．线段AB垂直分线数点数圆心作出圆数．图(2)．
(3)作圆ABC三点确定点作圆心三点距离相等．AB两点距离相等点集合线段AB垂直分线BC两点距离相等点集合线段BC垂直分线两条垂直分线交点满足ABC三点距离相等作圆圆心．
两条直线交点圆心作出满足条件圆．
[师]家分析道理究竟应该样找圆心呢？
3．条直线三点作圆．
投影片(§3．4C)

作法
图示
1．连结ABBC

2．分作ABBC垂直
分线DEFGDE
FG相交点O

3．O圆心OA半径作圆
⊙O求作圆


作圆符合求？伴交流．
[生]符合求．
连结AB作AB垂直分线EDED意点AB距离相等连结BC作BC垂直分线FGFG点BC距离相等．EDFG满足条件．
[师]知已知点作数圆．已知两点作数圆条直线三点作圆作圆．
直线三点确定圆．
4．关定义
知三角形三顶点作圆圆做三角形外接圆(circumcircle of triangle)三角形圆接三角形．
外接圆圆心三角形三边垂直分线交点做三角形外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练
已知锐角三角形直角三角形钝角三角形分作出外接圆外心位置样特点？
解：图．

O外接圆圆心外心．
锐角三角形外心三角形部直角三角形外心斜边钝角三角形外心三角形外部．
Ⅳ．课时结
节课学容：
1．历条直线三点确定圆探索程．
方法．
3．解三角形外接圆三角形外心等概念．
Ⅴ．课作业
题3．6
Ⅵ．活动探究
图CD直线垂直分线段AB．样样工具找圆形工件圆心？

解：AB两点圆圆心必AB两点距离相等条线段两端点距离相等点条线段垂直分线圆心CD直线．样工具作出圆形工件意两条直径．交点圆心．
板书设计
§3．4 确定圆条件
1．回忆思考(投影片§3．4A)
2．做做(投影片§3．4B)
3．条直线三点作圆．
4．关定义
二课堂练
三课时结
四课作业



直线圆位置关系
教学目标
()教学知识点
1．理解直线圆相交相切相离三种位置关系．
2．解切线概念探索切线切点直径间关系．
(二)力训练求
1．历探索直线圆位置关系程培养学生探索力．
2．通观察出圆心直线距离d半径r数量关系直线圆位置关系应等价实现位置关系数量关系相互转化．
(三)情感价值观求
通探索直线圆位置关系程体验数学活动充满着探索创造感受数学严谨性数学结确定性．
数学学活动中获成功体验锻炼克服困难意志建立信心．
教学重点
历探索直线圆位置关系程．
理解直线圆三种位置关系．
解切线概念切线性质．
教学难点
历探索直线圆位置关系程纳总结出直线圆三种位置关系．
探索圆切线性质．
教学方法
教师指导学生探索法．
教具准备
投影片三张
第张：(记作§3．5．1A)
第二张：(记作§3．5．1B)
第三张：(记作§3．5．1C)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]前面学点圆位置关系请家回忆位置关系？
[生]圆面定点距离等定长点组成图形．圆点圆心距离等半径圆部圆心距离半径圆外部圆心距离半径．点圆位置关系三种点圆点圆点圆外．点圆心距离半径作较距离半径圆外等半径圆半径圆．
[师]节课类学直线圆位置关系．
Ⅱ．新课讲解
1．复点直线距离定义
[生]已知点已知直线作垂线已知点垂足间线段长度做点条直线距离．
图C直线AB外点CAB引垂线D垂足线段CD点C直线AB距离．

2．探索直线圆三种位置关系
[师]直线圆位置关系现实生活中处见家注意观察样例子．家请课113页观察图中三幅片线太阳位置关系样？作圆直尺边缘成条直线固定圆移直尺直线圆种位置关系？
[生]太阳作圆线作直线直线圆三种位置关系直尺边缘成条直线直线圆三种位置关系．
[师]面举例中家否出结直线圆位置关系种呢？
[生]三种位置关系：
[师]直线圆三种位置关系图：

分相交相切相离．
直线圆相切时(直线圆唯公点)条直线做圆切线(tangent line)．
直线圆两公点时做直线圆相交．
直线圆没公点时做直线圆相离．
直线圆公点数断定种位置关系总结？
[生]直线圆唯公点时时直线圆相切
直线圆两公点时时直线圆相交
直线圆没公点时时直线圆相离．
[师]否根点圆位置关系点圆心距离d半径r作较类似推导出点直线距离d半径r间关系确定三种位置关系呢？
[生]图中圆心O直线l距离d圆半径r直线圆相交时d＜r直线圆相切时d＝r直线圆相离时d＞rdr间关系断定直线圆位置关系．
[师]知：判断直线圆位置关系两种方法．种直线圆公点数断定种dr关系断定．
投影片(§3．5．1A)
(1)公点数判断：
直线圆两公点时直线圆相交直线圆唯公点时直线圆相切直线圆没公点时直线圆相离．
(2)点直线距离d半径r关系判断：
d＜r时直线圆相交
d＝r时直线圆相切
d＞r时直线圆相离．
投影片(§3．5．1B)
[例1]已知Rt△ABC斜边AB＝8cmAC＝4cm．
(1)点C圆心作圆半径长时AB⊙C相切？
(2)点C圆心分2cm4cm长半径作两圆两圆AB分样位置关系？
分析：根dr间数量关系知：
d＝r时相切d＜r时相交d＞r时相离．

解：(1)图点C作AB垂线段CD．
∵AC＝4cmAB＝8cm
∴cosA＝
∴∠A＝60°．
∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2(cm)．
半径长2cm时AB⊙C相切．
(2)(1)知圆心CAB距离d＝2cmr＝2cm时d＞r⊙CAB相离
r＝4cm时d＜r⊙CAB相交．
3．议议(投影片§3．5．1C)
(1)举出生活中直线圆相交相切相离实例？
(2)图(1)中三图形轴称图形？果画出称轴？
(3)图(2)直线CD⊙O相切点A直径AB直线CD样位置关系？说说理．

(3)颖亮认直径AB垂直CD．意观点？
[师]请家发表想法．
[生](1)筷子放碗碗作圆筷子作直线时直线圆相交
行车轮胎面滚动车轮圆线直线时直线圆相切
杂技团中骑行车走钢丝中行车车轮圆线直线时直线圆相离．
(2)图(1)中三图形轴称图形．着d直线折叠直线两旁部分完全重合．称轴d直线圆心O直线l垂直直线．
(3)谓两条直线位置关系相交行相交分垂直斜交直线CD⊙O相切点A直径AB直线CD垂直图(2)轴称图形AB称轴AB折图形时ACAD重合∠BAC＝∠BAD＝90°．
[师]直线CD⊙O相切点A直径AB直线CD垂直直线CD⊙O切线圆切线垂直切点直径．
圆切线性质面证明结．
图(2)中ABCD垂直垂直．假设ABCD垂直点O作条直径垂直CD垂足MOM＜OA圆心O直线CD距离⊙O半径CD⊙O相交已知条件直线CD⊙O相切相矛盾ABCD垂直．
种证明方法反证法反证法步骤第步假设结成立第二步结成立推出已知条件定理相矛盾．第三步肯定假设错误结成立．
Ⅲ．课堂练
堂练
Ⅳ．课时结
节课学容：
1．直线圆三种位置关系．
(1)公点数判断．
(2)dr间数量关系判断．
2．圆切线性质：圆切线垂直切点半径．
3．例题讲解．
Ⅴ．课作业
题3．7
Ⅵ．活动探究
图A城气象台测台风中心A城正西方300千米B处时10千米速度北偏东60°BF方移动距台风中心200千米范围受台风影响区域．

(1)A城否会受次台风影响？什？
(2)A城受次台风影响试计算A城遭受次台风影响时间长？
分析：台风影响范围成台风中心圆心半径200千米圆A城否受影响较A直线BF距离d半径200千米．d＞200影响d≤200影响．
解：(1)A作AC⊥BFC．
Rt△ABC中∵∠CBA＝30°BA＝300
∴AC＝ABsin30°＝300×＝150(千米)．
∵AC＜200∴A城受次台风影响．
(2)设BFDE两点A距离200千米台风中心线段DE时A城均影响DE外时A城没影响．
∵AC＝150AD＝AE＝200
∴DC＝．
∴DE＝2DC＝100．
∴t＝＝10(时)．
答：A城受影响时间10时．
板书设计
§3．5．1 直线圆位置关系()
1．复点直线距离定义
2．探索直线圆三种位置关系
(1)公点数判断
(2)点直线距离d半径r间数量关系判断．
3．议议
二课堂练
堂练
三课时结
四课作业









直线圆位置关系(2)
教学目标
()教学知识点
1．判定条直线否圆切线．
2．会圆点画圆切线．
3．会作三角形切圆．
(二)力训练求
1．通判定条直线否圆切线训练学生推理判断力．
2．会圆点画圆切线训练学生作图力．
(三)情感价值观求
历观察实验猜想证明等数学活动程发展合情推理力初步演绎推理力条理清晰阐述观点．
历探究圆直线位置关系程掌握图形基础知识基技解决简单问题．
教学重点
探索圆切线判定方法运．
作三角形切圆方法．
教学难点
探索圆切线判定方法．
教学方法
师生探索法．
教具准备
投影片三张
第张：(记作§3．5．2A)
第二张：(记作§3．5．2B)
第三张：(记作§3．5．2C)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]节课学直线圆位置关系圆切线性质懂直线圆三种位置关系：相离相切相交．判断直线圆属种位置关系公点数圆心直线距离半径作较两种方法进行判断掌握圆切线性质圆切线垂直切点直径．
知判断直线圆相切方法两种否仅两种呢？节课继续探索切线判定条件．
Ⅱ．新课讲解
1．探索切线判定条件
投影片(§3．5．2A)
图AB⊙O直径直线l点AlAB夹角∠αl绕点A旋转时

(1)着∠α变化点Ol距离d变化？直线l⊙O位置关系变化？
(2)∠α等少度时点Ol距离d等半径r？时直线l⊙O样位置关系？什？
[师]家先画圆画出直径AB直尺直线直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时点Ol距离d变化然互相交流意见．
[生](1)图直线l1AB夹角α点Ol距离d1d1＜r时直线l1⊙O位置关系相交直线l1时针方旋转l位置时∠α锐角变直角点Ol距离dd＝r时直线l⊙O位置关系相切直线l继续旋转l2位置时∠α直角变钝角点Ol距离d2d2＜r时直线l⊙O位置关系相离．
[师]回答非常精彩．通旋转知着∠α变点Ol距离d变∠α＝90°时d达．时d＝r∠α继续增时d逐渐变．第(2)题解决．
[生](2)∠α＝90°时点Ol距离d等半径．时直线l⊙O位置关系相切节课知圆心O直线l距离d＝r时直线⊙O相切．
[师]面分析中知直线l直径间满足什关系时直线l⊙O切线？请家互相交流．
[生]直线l垂直直径AB直径端A点．
[师]．出判定圆切线种方法：直径端垂直条直径直线圆切线．
2．做做
已知⊙O点AA作出⊙O切线．
分析：根刚讨圆切线第三判定条件知：直径端垂直直径直线圆切线现已知圆心O圆点AA点直径作出作直径垂线请家动手．
[生]图．

(1)连接OA．
(2)点A作OA垂线ll求切线．
3．作三角形切圆．
投影片(§3．5．2B)
图块三角形材料中否剪圆边相切．

分析：假设符号条件圆已作出圆心三角形三边距离相等．圆心三角形三角分线半径圆心三边距离．
解：(1)作∠B∠C分线BECF交点I(图)．
(2)I作ID⊥BC垂足D．
(3)I圆心ID半径作⊙I．
⊙I求圆．
[师]例题知BECF交点II△ABC三边距离相等什？
[生]∵I∠B角分线BE∴ID＝IM∵I∠C分线CF∴ID＝IN∴ID＝IM＝IN．根角分线性质定理出．
[师]三角形三边相切圆作出三角形三角分线交点点圆心点三角形三边距离相等距离半径圆心半径确定圆．作出圆做三角形切圆(inscribed circle of triangle)切圆圆心三角形三条角分线交点做三角形心(incenter)．
4．例题讲解
投影片(§3．5C)
图AB⊙O直径∠ABT＝45°AT＝AB．

求证：AT⊙O切线．
分析：AT直径端证AT垂直AB已知条件知AT＝AB∠ABT＝∠ATB∠ABT＝45°∠ATB＝45°．
三角形角证∠TAB＝90°AT⊥AB．
请家写步骤．
[生]证明：∵AB＝AT∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．
∴AT⊥ABAT⊙O切线．
Ⅲ．课堂练
堂练
Ⅳ．课时结
节课学容：
1．探索切线判定条件．
2．会圆点作圆切线．
3．会作三角形切圆．
4．解三角形切圆三角形心概念．
Ⅴ．课作业
题3．8
Ⅵ．活动探究
已知AB⊙O直径BC⊙O切线切点BOC行弦AD．

求证：DC⊙O切线．
分析：证DC⊙O切线需证DC垂直切点直径半径作辅助线半径OD利行关系推出∠3＝∠4OD＝OBOC公边△CDO≌△CBO∠ODC＝∠OBC＝90°．
证明：连结OD．
∵OA＝OD∴∠1＝∠2
∵AD∥OC∴∠1＝∠3∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4．
∵OD＝OBOC＝OC
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵BC⊙O切线
∴∠OBC＝90°．
∴∠ODC＝90°．
∴DC⊙O切线．
板书设计
§3．5．2 直线圆位置关系(二)
1．探索切线判定条件
2．做做
3．作三角形切圆
4．例题讲解
二课堂练
三课时结
四课作业

圆圆位置关系
教学目标
()教学知识点
1．解圆圆间种位置关系．
2．解两圆外切切两圆圆心距d半径Rr数量关系联系．
(二)力训练求
1．历探索两圆间位置关系程训练学生探索力．
2．通移实验直观探索圆圆位置关系发展学生识图力动手操作力．
(三)情感价值观求
1．通探索圆圆位置关系体验数学活动充满着探索创造感受数学严谨性数学结确定性．
2．历探究图形位置关系丰富现实空间图形认识发展形象思维．
教学重点
探索圆圆间种位置关系解两圆外切切两圆圆心距d半径Rr数量关系联系．
教学难点
探索两圆间位置关系外切切时两圆圆心距d半径Rr数量关系程．
教学方法
教师讲解学生合作交流探索法
教具准备
投影片三张
第张：(记作§3．6A)
第二张：(记作§3．6B)
第三张：(记作§3．6C)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]已研究点圆位置关系分点圆点圆点圆外三种探究直线圆位置关系分相离相切相交．位置关系三种．天学容圆圆位置关系结果三种呢？没调查没发言权．面进行关探讨．
Ⅱ．新课讲解
想想
[师]家思考现实生活中见两圆位置关系呢？
[生]行车两车轮间位置关系车轮轮胎两边界圆间位置关系手住两圆环时两圆环间位置关系等．
[师]现实生活中见关两圆位置．面讨位置关系分什．
二探索圆圆位置关系
张透明纸作⊙O．张透明纸作⊙O1半径等⊙O2．两张透明纸叠起固定⊙O1移⊙O2⊙O1⊙O2种位置关系？
[师]请家先动手操作总结出位置关系然互相交流．
[生]总结出五种位置关系图：

[师]家纳总结力强说出五种位置关系中什特点？公点数圆点圆部外部考虑．
[生]图：(1)外离：两圆没公点圆点圆外部
(2)外切：两圆唯公点公点外圆点圆外部
(3)相交：两圆两公点圆点圆外部圆部
(4)切：两圆公点公点外⊙O2点⊙O1部
(5)含：两圆没公点⊙O2点⊙O1部．
[师]总结出色果公点数考虑面五种位置关系中相类型？
[生]外离含没公点外切切公点相交两公点．
[师]公点数考虑分相离相切相交三种．
家讨知：
投影片(§3．6A)
(1)果公点数圆点圆外部部考虑两圆位置关系五种：外离外切相交切含．
(2)果公点数考虑分三种：相离相切相交相离相切
三例题讲解
投影片(§3．6B)
两样肥皂泡黏起剖面图示(点OO＇圆心)分隔两肥皂泡肥皂膜PQ成条直线TPNP分两圆切线求∠TPN．

分析：两圆相半径OP＝O＇P＝OO＇TPNP分两圆切线PT⊥OPPN⊥O＇P∠OPT＝∠O＇PN＝90°∠TPN等360°减∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇．
解：∵OP＝OO＇＝PO＇
∴△PO＇O等边三角形．
∴∠OPO＇＝60°．
∵TPNP分两圆切线
∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．
∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．
四想想
图(1)⊙O1⊙O2外切图轴称图形？果称轴什？切点称轴什位置关系？果⊙O1⊙O2切呢？〔图(2)〕

[师]知道圆轴称图形称轴直径直线两圆否组成轴称图形呢？切点T否连接两圆心直线面反证法证明．反证法步骤三步：第步假设结成立第二步根假设推出已知条件定理相矛盾结第三步证明假设错误原结成立．
证明：假设切点TO1O2．
圆轴称图形T关O1O2称点T＇两圆公点已知条件⊙O1⊙O2相切矛盾假设成立．
TO1O2．
知图(1)轴称图形称轴两圆连心线切点称轴位置关系切点称轴．
图(2)中应样结．
通面讨出结：两圆相切外切时两圆连心线定切点图(1)图(2)轴称图形称轴连心线．
五议议
投影片(§3．6C)
设两圆半径分Rr．
(1)两圆外切时两圆圆心间距离(简称圆心距)dRr具样关系？反dRr满足关系时两圆定外切？
(2)两圆切时(R＞r)圆心距dRr具样关系？反dRr满足关系时两圆定切？
[师]图请家互相交流．

[生]图(1)中两圆相外切切点A．切点A连心线O1O2O1O2＝O1A＋O2A＝R＋rd＝R＋r反d＝R＋r时说明圆心距等两圆半径O1AO2条直线⊙O1⊙O2交点A⊙O1⊙O2外切．
图(2)中⊙O1⊙O2相切切点B．切点B连心线O1O2O1O2＝O1B－O2Bd＝R－r反d＝R－r时圆心距等两半径差O1O2＝O1B－O2B说明O1O2B条直线B⊙O1⊙O2⊙O1⊙O2切．
[师]知两圆相外切时d＝R＋r反d＝R＋r时两圆相外切两圆相外切d＝R＋r．
两圆相切时d＝R－r反d＝R－r时两圆相切两圆相切d＝R－r．
Ⅲ．课堂练
堂练
Ⅳ．课时结
节课学容：
1．探索圆圆五种位置关系
2．讨两圆外切切情况图形轴称性称轴切点称轴位置关系
3．探讨两圆外切切时圆心距dRr间关系．
Ⅴ．课作业
题3．9
Ⅵ．活动探究
已知图中圆两两相切⊙O半径2R⊙O1⊙O2半径R求⊙O3半径．

分析：根两圆相外切连心线长两半径果设⊙O3半径rO1O3＝O2O3＝R＋r连接OO3OO3⊥O1O2OO2O3构成直角三角形利勾股定理求⊙O3半径r．
解：连接O2O3OO3
∴∠O2OO3＝90°OO3＝2R－r
O2O3＝R＋rOO2＝R．
∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
∴r＝R．
板书设计

§3．6 圆圆位置关系
1．想想 2．探索圆圆位置关系
3．例题讲解 4．想想 5．议议
二课堂练
三课时结
四课作业


弧长扇形面积
教学目标
()教学知识点
1．历探索弧长计算公式扇形面积计算公式程
2．解弧长计算公式扇形面积计算公式会应公式解决问题．
(二)力训练求
1．历探索弧长计算公式扇形面积计算公式程培养学生探索力．
2．解弧长扇形面积公式公式解决问题训练学生数学运力．
(三)情感价值观求
1．历探索弧长扇形面积计算公式学生体验教学活动充满着探索创造感受数学严谨性数学结确定性．
2．通弧长扇形面积公式解决实际问题学生体验数学类生活密切联系激发学生学数学兴趣提高学积极性时提高家运力．
教学重点
1．历探索弧长扇形面积计算公式程．
2．解弧长扇形面积计算公式．
3．会公式解决问题．
教学难点
1．探索弧长扇形面积计算公式．
2．公式解决实际问题．
教学方法
学生互相交流探索法
教具准备
2．投影片四张
第张：(记作§3．7A)
第二张：(记作§3．7B)
第三张：(记作§3．7C)
第四张：(记作§3．7D)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]学已学关圆周长面积公式弧圆周部分扇形圆部分弧长扇形面积应样计算？圆周长圆面积间样关系呢？节课进行探索．
Ⅱ．新课讲解
复
1．圆周长计算？
2．圆面积计算？
3．圆圆心角少度？
[生]圆半径r周长l＝2πr面积S＝πr2圆圆心角360°．
二探索弧长计算公式
投影片(§3．7A)
图某传送带转动轮半径10cm．

(1)转动轮转周传送带物品A传送少厘米？
(2)转动轮转1°传送带物品A传送少厘米？
(3)转动轮转n°传送带物品A传送少厘米？
[师]分析：转动轮转周传送带物品应传送圆周长圆周长应360°圆心角转动轮转1°传送带物品A传送圆周长转动轮转n°传送带物品A传送转1°时传送距离n倍．
[生]解：(1)转动轮转周传送带物品A传送2π×10＝20πcm
(2)转动轮转1°传送带物品A传送cm
(3)转动轮转n°传送带物品A传送n×＝cm．
[师]根面计算猜想出半径R圆中n°圆心角弧长计算公式？请家互相交流．
[生]根刚讨知360°圆心角应圆周长2πR1°圆心角应弧长n°圆心角应弧长应1°圆心角应弧长n倍n×．
[师]表述非常棒．
半径R圆中n°圆心角弧长(arclength)计算公式：
l＝．
面弧长公式运．
三例题讲解
投影片(§3．7B)
制作弯形道时需先中心线计算展直长度料试计算图中道展直长度长(结果精确01mm)．

分析：求道展直长度求长根根弧长公式l＝求长中n圆心角R半径．
解：R＝40mmn＝110．
∴长＝πR＝×40π≈768mm．
道展直长度约768mm．
四想想
投影片(§3．7C)

块空旷草根柱子柱子拴着条长3m绳子绳子端拴着狗．
(1)狗活动区域？
(2)果狗绕柱子转n°角活动区域？
[师]请家互相交流．
[生](1)图(1)狗活动区域圆面积9π

(2)图(2)狗活动区域扇形扇形圆部分360°圆心角应圆面积1°圆心角应圆面积×9π＝n°圆心角应圆面积n×＝．
[师]请家根刚例题纳总结扇形面积公式．
[生]果圆半径R圆面积πR21°圆心角应扇形面积n°圆心角应扇形面积n·．扇形面积计算公式S扇形＝πR2中R扇形半径n圆心角．
五弧长扇形面积关系
[师]探讨弧长扇形面积公式半径R圆中n°圆心角弧长计算公式l＝πRn°圆心角扇形面积公式S扇形＝πR2两公式中弧长扇形面积圆心角n．半径R关系lS间定关系猜出？请家互相交流．
[生]∵l＝πRS扇形＝πR2
∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．
六扇形面积应
投影片(§3．7D)
扇形AOB半径12cm∠AOB＝120°求长(结果精确01cm)扇形AOB面积(结果精确01cm2)
分析：求弧长扇形面积根公式需知道半径R圆心角n题中条件已告诉问题解决．
解：长＝π×12≈251cm．
S扇形＝π×122≈1507cm2．
长约251cm扇形AOB面积约1507cm2．
Ⅲ．课堂练
堂练
Ⅳ．课时结
节课学容：
1．探索弧长计算公式l＝πR运公式进行计算
2．探索扇形面积公式S＝πR2运公式进行计算
3．探索弧长l扇形面积S间关系已知方求方．
Ⅴ．课作业
题3．10
Ⅵ．活动探究
图两心圆两条半径截长6π cm长10π cmAC＝12cm求阴影部分ABDC面积．

分析：求阴影部分面积需求扇形COD面积扇形AOB面积差．根扇形面积S＝lRl已知需求两半径OCOAOC＝OA＋ACAC已知求出OA．
解：设OA＝ROC＝R＋12∠O＝n°根已知条件：

．
∴3(R＋12)＝5R∴R＝18．
∴OC＝18＋12＝30．
∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π cm2．
阴影部分面积96π cm2．
板书设计
§3．7 弧长扇形面积
1．复圆周长面积计算公式
2．探索弧长计算公式
3．例题讲解
4．想想
5．弧长扇形面积关系
6．扇形面积应．
二课堂练
三课时结
四课作业












圆锥侧面积
教学目标
()教学知识点
1．历探索圆锥侧面积计算公式程．
2．解圆锥侧面积计算公式会应公式解决问题．
(二)力训练求
1．历探索圆锥侧面积计算公式程发展学生实践探索力．
2．解圆锥侧面积计算公式公式进行计算训练学生数学应力．
(三)情感价值观求
1．学生先观察实物想象结果实践出结通系列活动培养学生观察想象实践力时训练语言表达力获学数学验感受成功体验．
2．通运公式解决实际问题学生懂数学类生活密切联系激发学数学兴趣克服困难决心更服务实际．
教学重点
1．历探索圆锥侧面积计算公式程．
2．解圆锥侧面积计算公式会应公式解决问题．
教学难点
历探索圆锥侧面积计算公式．
教学方法
观察——想象——实践——总结法
教具准备
圆锥模型(纸做)
投影片两张
第张：(记作§3．8A)
第二张：(记作§3．8B)
教学程
Ⅰ．创设问题情境引入新课
[师]家见圆锥？举出实例？
[]见漏斗蒙古包．
[师]知道圆锥表面面构成？请家互相交流．
[生]圆锥表面圆面曲面围成．
[师]圆锥曲面展开图什形状呢？应样计算面积呢？节课解决问题．
Ⅲ．新课讲解
探索圆锥侧面展开图形状
[师](学生展示圆锥模型)请家先观察模型展开想象讨圆锥侧面展开图什形状．
[生]圆锥侧面展开图扇形．
[师]说说理？
[生甲]数学知识环扣环面知识前面知识基础学．节课容弧长扇形面积节课容圆锥侧面积弧长面积猜想圆锥侧面展开图应该扇形．
[师]位学然猜想定道理空瞎想理？
[生乙]实践出结扇形纸片卷起圆锥模型．
[师]究竟家猜想否正确呢？面家做演示(圆锥母线剪开)请家观察侧面展开图什形状？
[生]扇形．
[师]家猜想非常正确然已知道侧面展开图扇形根节课扇形面积公式计算出圆锥侧面积圆锥剖开展开图中扇形半径圆心角展开图形中素关呢？进步研究象．
二探索圆锥侧面积公式
[师]圆锥侧面展开图扇形图设圆锥母线(generating line)长l底面圆半径r圆锥侧面展开图中扇形半径母线长l扇形弧长底面圆周长2πr根扇形面积公式知S＝·2πr·l＝πrl．圆锥侧面积S侧＝πrl．

圆锥侧面积底面积称圆锥全面积(surfacearea)全面积S全＝πr2＋πrl．
三利圆锥侧面积公式进行计算．
投影片(§3．8A)
圣诞节某家商店正制作圣诞节圆锥形纸帽．已知纸帽底面周长58cm高20cm制作20顶样纸帽少少方厘米纸？(结果精确01cm)2
分析：根题意求纸帽面积求圆锥侧面积．现已知底面圆周长中求出底面圆半径求出扇形弧长．高h底面圆半径r母线l组成直角三角形中根勾股定理求出母线l代入S侧＝πrl中．

解：设纸帽底面半径r cm母线长l cmr＝
l＝≈2203cm
S圆锥侧＝πrl≈×58×2203＝63887cm2．
63887×20＝127774cm2．
少需127774cm2纸．
投影片(§3．8B)
图已知Rt△ABC斜边AB＝13cm条直角边AC＝5cm直线AB轴旋转周体．求体表面积．

分析：首先应解体形状两圆锥底面表面积两圆锥侧面积．根S侧＝πR2S侧＝πrl知第二公式较求求出底面圆半径AB垂直底面圆Rt△ABC中OCAB＝BCAC求出r问题解决．
解：Rt△ABC中AB＝13cmAC＝5cm
∴BC＝12cm．
∵OC·AB＝BC·AC
∴r＝OC＝．
∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)
＝π cm2．
Ⅲ．课堂练
堂练
Ⅳ．课时结
节课学容：
探索圆锥侧面展开图形状面积公式公式进行计算．
Ⅴ．课作业
题3．11
Ⅵ．活动探究
探索圆柱侧面展开图
生活中常常遇圆柱形物体油桶铅笔圆形柱子等学已知圆柱两圆底面侧面围成底面两等圆侧面曲面两底面间距离圆柱高．
圆柱作矩形旋转旋转轴做圆柱轴圆柱侧面行轴线段做圆柱母线．容易出圆柱轴通底面圆心圆柱母线长相等等圆柱高圆柱两底面行．
图圆柱侧面条母线剪开展面侧面展开图矩形矩形边长等圆柱高圆柱母线长边长底面圆周长圆柱侧面积等底面圆周长圆柱高．

[例1]图(1)圆柱形木块轴剖开矩形ABCD．已知AD＝18cmAB＝30cm求圆柱形木块表面积(精确1cm2)．

解：图(2)AD圆柱底面直径AB圆柱母线设圆柱表面积SS＝2S圆＋S侧．
∴S＝2π()2＋2π××30＝162π＋540π≈2204cm2．
圆柱形木块表面积约2204cm2．


板书设计
§3．8 圆锥侧面积
1．探索圆锥侧面展开图形状
2．探索圆锥侧面积公式
3．利圆锥侧面积公式进行计算．
二课堂练
三课时结
四课作业




回顾思考
教学目标
()教学知识点
1．掌握章知识结构图．
2．探索圆相关结．
3．掌握理解垂径定理．
4．认识圆心角弧弦间相等关系定理．
5．掌握圆心角圆周角关系定理．
(二)力训练求
1．通探索圆相关结程发展学生数学思考力．
2．折叠旋转方法探索圆称性圆心角弧弦间关系定理发展学生动手操作力．
3．推理证明方法研究圆周角圆心角关系发展学生推理力．
4．学生总结交流学容发展学生语言表达力合作交流力．
(三)情感价值观求
通学生纳总结章容动手操作方面探索研究方面语言表达方面分类讨纳等方面发展．
教学重点
掌握圆定义圆称性垂径定理圆心角弧弦间关系圆心角圆周角关系．容仅仅知道结注重推导程运．
教学难点
面容推导应．
教学方法
教师引导学生纳总结法．
教具准备
投影片三张：
第张：(记作A)
第二张：(记作D
第三张：(记作C)
教学程
Ⅰ．回顾章容
[师]章容已全部学完家总结学容？
[生]首先学圆定义知道圆轴称图形中心称图形旋转变性特点利轴称变换方法探索出垂径定理逆定理旋转变换方法探索圆心角弧弦间相等关系定理推理证明方法研究圆心角圆周角关系研究确定圆条件点圆直线圆圆圆位置关系圆切线性质判断探究圆弧长扇形面积公式圆锥侧面积．
[师]家学知识掌握错．章容纳三部分第部分圆引出圆概念称性圆周角圆心角关系弧长扇形面积圆锥侧面积称性方面学垂径定理圆心角孤弦间关系定理第二部分讨直线圆位置关系中包括切线性质判定切线作图第三部分圆圆位置关系．三部分构成全章容结构：(投影片A)

Ⅱ．具体容巩固
[师]面致梳理章容现具体进行回顾．
圆关概念性质
[生]圆面定点距离等定长点组成图形．定点圆心定长半径．
圆轴称图形中心称图形称轴意条圆心直线称中心圆心圆具旋转变性．
[师]圆性质日常生活中应呢？举出例子？
[生]车轮做成圆形利圆旋转变性．车轮坦面行驶时面线相切前滚动时轮子中心面距离总变距离半径．车厢装轮子中心车轴车辆坦公路行驶时坐车厢里会感觉非常稳．果车轮圆形坐车会觉非常颠．
二垂径定理逆定理
[生]垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦弧．
逆定理：分弦(直径)直径垂直弦分弦弧．
[师]两定理家定弄清楚混淆应先进行区分．定理命题命题条件结．垂径定理中条件：条直径垂直条弦结：条直径分条弦分弦弧(两弧相等)．逆定理中条件：条直径分条弦(直径)结：条直径垂直条弦分弦弧(两弧相等)．面分析知垂径定理中条件逆定理中结垂径定理中结逆定理中条件具体运中根已知条件提供信息决定垂径定理逆定理已知直径垂直弦垂径定理已知直径分弦逆定理．面具体例子区．
(投影片B)
1．图(1)⊙O中ABAC互相垂直两条相等弦OD⊥ABOE⊥ACDE垂足四边形ADOE正方形？请说明理．
2．图(2)⊙O中半径50mm长50mm弦ABCAB中点OC垂 直AB？OC长度少？

[师]面两题中家分析应该垂径定理呢逆定理呢？
[生]第1题中ODOE圆心OD⊥ABOE⊥AC已知条件直径垂直弦应垂径定理第2题中C弦AB中点已知条件分弦(直径)直径应逆定理．
[师]家两定理完成两题？
[生]1．解：∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC
∴四边形ADOE矩形．
∵AC＝AB∴AE＝AD．
∴四边形ADOE正方形．
2．解：∵CAB中点
∴OC⊥AB
Rt△OAC中AC＝AB＝25mmOA＝50mm．
∴勾股定理OC＝(mm)．
三圆心角弧弦间关系定理
[师]家先回忆部分容．
[生]圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等．
圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦两条弦弦心距中组量相等应余组量分相等．
[师]面进行关练
(投影片C)
1．图⊙O中弦AB劣弧圆圆半径2cm求AB长．

[生]解：题意知度数120°
∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB垂足C
∠AOC＝60°AC＝BC．
Rt△ABC中
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×．
∴AB＝2AC＝2(cm)．
四圆心角圆周角关系
[生]条弧圆周角等圆心角半．
圆等圆中弧等弧圆周角相等．
直径圆周角直角90°圆周角弦直径．
五弧长扇形面积圆锥侧面积全面积
[师]探索纳出弧长扇形面积圆锥侧面积公式家仅牢记公式表述清楚时间关系里推导公式学生掌握公式运．
[生]弧长公式l＝π圆心角R半径．
扇形面积公式S＝S＝lR．n圆心角R扇形半径l扇形弧长．
圆锥侧面积S侧＝πrl中l圆锥母线长r底面圆半径．
S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．
Ⅲ．课时结
节课复巩固圆概念称性垂径定理逆定理圆心角弧弦弦心距间关系圆心角圆周角关系弧长扇形面积圆锥侧面积全面积．
Ⅳ．课作业
复题 A组
Ⅴ．活动深究
弓形面积
图扇形OAmB面积△OAB面积计算出弓形AmB面积．图(1)中弓形AmB面积半圆面积时S弓形＝S扇形－S△OAB图(2)中弓形AmB面积半圆面积时S弓形＝S扇形＋S△OAB图(3)中弓形AmB面积等半圆面积时S弓形＝S圆．

例题：水放着圆柱形排水截面半径06m中水面高03m求截面水弓形面积(精确001m2)．
解：图⊙O中连接OAOB作弦AB垂直分线垂足D交点C．

∵OA＝06DC＝03
∴OD＝06－03＝03∠AOD＝60°AD＝03．
∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB
∴S扇形OACB＝·062＝012π(m2)
S△OAB＝AB·OD＝×06×03＝009(m2)
∴S弓形ACB＝012π－009≈022(m2)．
板书设计
回顾思考
1．圆关概念性质2．垂径定理逆定理
3．圆心角弧弦间关系定理4．圆心角圆周角关系
5．弧长扇形面积圆锥侧面积全面积．二课时结
三课作业





回顾思考(2)
教学目标
()教学知识点
1．解点圆直线圆圆圆位置关系．
2．解切线概念切线性质判定．
3．会圆点画圆切线．
(二)力训练求
1．通移旋转等方式认识直线圆圆圆位置关系学生明确图形运动变化中特点规律进步发展学生推理力．
2．通探索弧长扇形面积圆锥侧面积全面积计算公式发展学生探索力．
3．通画圆切线训练学生作图力．
4．通全章容纳总结训练学生方面力．
(三)情感价值观求
1．通探索关公式学生懂数学活动充满探索创造感受数学严谨性数学结确定性．
2．历观察猜想证明等数学活动程发展合情推理力初步演绎推理力条理清晰阐述观点．
教学重点
1．探索解点圆直线圆圆圆位置关系．
2．探索切线性质判断条直线否圆切线会圆点画圆切线．
教学难点
探索种位置关系切线性质．
教学方法
学生交流总结法．
教具准备
投影片五张：
第张：(记作A)
第二张：(记作B)
第三张：(记作C)
第四张：(记作D)
第五张：(记作E)
教学程
Ⅰ．回顾章容
[师]节课章知识进行回顾讨知识间关系绘制章知识结构图部分容进行回顾节课继续进行关知识巩固．
Ⅱ．具体容巩固
确定圆条件
[师]作圆问题实质圆心半径问题确定圆心半径圆确定．探索问题时作直线类研究点两点三点作圆圆心分布半径什特点．面请家总结．
[生]点作数圆．点外意点圆心两点连线段半径作圆．圆心意样圆数．
两点作数圆．
设两点ABAB两点圆圆心AB两点距离定相等圆心应线段AB垂直分线AB垂直分线意取点圆心点AB距离半径作AB两点圆．样圆数．
直线三点作圆．
直线三点作圆．作圆ABC三点确定点作圆心三点ABC距离相等AB两点距离相等点线段AB垂直分线BC两点距离相等点应线段BC垂直分线时满足ABC三点距离相等点应AB垂直分线BC垂直分线两条直线交点交点确定圆心．交点A点距离半径样圆作出．
[师]条直线四点ABCD确定圆？
[生]定条直线三点确定圆果外点圆心距离等半径说明四点圆果外点圆心距离等半径说明四点圆．
例题讲解(投影片A)
矩形四顶点角线交点圆心圆？什？
[师]请家互相交流．
[生]解：图矩形ABCD角线ACBD相交点O．

∵四边形ABCD矩形
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴ABCD四点定点O距离等矩形角线半．
∴ABCD四点O圆心OA半径圆．
二三种位置关系
[师]章学三种位置关系点圆位置关系直线圆位置关系圆圆位置关系．面逐回顾．
1．点圆位置关系
[生]点圆位置关系三种点圆外点圆点圆．判断点圆什部位点圆心距离半径关系果距离半径说明点圆外果距离等半径说明点圆果距离半径说明点圆．
[师]总结错面具体例子．
(投影片B)
1．⊙O半径r＝5cm圆心O直线l 距离d＝OD＝3 m．直线lPQR三点PD＝4cmQD＞4cmRD＜4cmPQR三点⊙O位置样？
2．菱形边中点圆？
分析：判断某点否圆点圆心距离否等半径．
[生]1．解：图(1)Rt△OPD中

∵OD＝3PD＝4
∴OP＝＝5＝r．
点P圆．
理知OR＝＜5OQ＝＞5．
点R圆点Q圆外．
2．图(2)菱形ABCD中角线ACBD相交点OEFGH分边中点．菱形角线互相垂直△AOB△BOC△COD△DOA直角三角形EFGH分直角三角形斜边中点OEOFOGOH分直角三角形斜边中线OE＝ABOF＝BCOG＝CDOH＝ADAB＝BC＝CD＝DA．OE＝OF＝OG＝OH．中点EFGH角线交点O距离相等菱形边中点圆．
2．直线圆位置关系
[生]直线圆位置关系三种相离相切相交直线圆两公点时时直线圆相交直线圆公点时时直线圆相切直线圆没公点时时直线圆相离．
[师]总结错判断条直线圆位置关系方法呢？
[生]两种方法种公点数判断面已知讨种较圆心直线距离d半径．
d＜r时直线圆相交
d＝r时直线圆相切
d＞r时直线圆相离．
[师]面做练．
(投影片C)
图点A坐标(－43)点A圆心4半径作圆⊙Ax轴y轴原点样位置关系？

分析：x轴y轴直线判断⊙Ax轴y轴位置关系判断直线圆位置关系根条件需圆心A直线距离d半径r较．O点⊙A原点求点圆位置关系通求OAr作较．
[生]解：∵A点坐标(－43)
∴A点x轴y轴距离分34．
⊙A半径4
∴A点x轴距离半径y轴距离等半径．
∴⊙Ax轴y轴位置关系分相交相切．
勾股定理求出OA距离等5OA＞4点O圆外．
[师]面讨直线圆三种位置关系面相切种位置关系进行深层次研究切线性质判定．
[生]切线性质：圆切线垂直切点直径．
切线判定：直径端垂直条直径直线圆切线．
[师]面应．
(投影片D)
1．图(1)Rt△ABC中∠C＝90°AC＝12BC＝9DAB点BD直径⊙O切AC点E求AD长．

2．图(2)AB⊙O直径C⊙O点∠CAE＝∠B认AE⊙O相切？什？
分析：1．⊙OAC相切知OE⊥AC∠C＝90°△AOE∽△ABC应边成例．求出半径OAOA－OD＝AD求出AD．
2．根切线判定求AE⊙O相切需求∠BAE＝90°AB
⊙O直径∠ACB＝90°∠BAC＋∠B＝90°∠CAE＋∠BAC＝90°∠BAE＝90°．
[师]请家刚分析写出步骤．
[生]1．解：∵∠C＝90°AC＝12BC＝9
∴勾股定理AB＝15．
∵⊙O切AC点E连接OE
∴OE⊥AC．
∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．
∴．
∴．∴OE＝
∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．
2．解：∵AB⊙O直径
∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．
∴∠CAE＝∠B
∴∠CAB＋∠CAE＝90°
BA⊥AE．∵BA⊙O直径
∴AE⊙O相切．
3．圆圆位置关系
[师]请家先总结容进行练．
[生]圆圆位置关系三类相离相切相交中相离包括外离含相切包括外切切说圆圆位置关系五种外离外切相交切含．
[师]应根什条件判断间关系呢？
[生]判断圆圆位置关系根公点数圆点圆部外部判断．
两圆没公点时两种情况外离含两种位置关系．圆点圆外部时外离中圆点圆部时含．
两圆唯公点时外切切两种位置关系公点外圆点圆外部时外切公点外中圆点圆部时切．
两圆两公点时圆点圆部圆外部时相交．两圆相交两公点判定位置关系相交．
[师]种判定方法？
[生]圆心距d两圆半径Rr间关系判断外切切两种位置关系d＝R＋r时外切d＝R－r(R＞r)时切．
[师]面dRr关系讨出外三种两圆位置关系家分画出外离含相交三种位置关系．探索间关系关系存相等关系存等关系．(学生探索)家出结？样．
d＞R＋r时两圆外离
R－r＜d＜R＋r时两圆相交
d＜R－r(R＞r)时两圆含．
(投影片E)
设⊙O1⊙O2半径分Rr圆心距d列情况⊙O1⊙O2位置关系样？
①R＝6cmr＝3cmd＝4cm
②R＝6cmr＝3cmd＝0
③R＝3cmr＝7cmd＝4cm
④R＝1cmr＝6cmd＝7cm
⑤R＝6cmr＝3cmd＝10cm
⑥R＝5cmr＝3cmd＝3cm
⑦R＝3cmr＝5cmd＝1cm．
[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm
∴⊙O1⊙O2位置关系相交
(2)∵d＜R－r∴两圆位置关系含
(3)∵d＝r－R∴两圆位置关系切
(4)∵d＝R＋r∴两圆位置关系外切
(5)∵d＞R＋r∴两圆位置关系外离
(6)∵R－r＜d＜R＋r∴两圆位置关系相交
(7)∵d＜r－R∴两圆位置关系含．
三关外接圆切圆定义画法
[生]条直线三点确定圆圆做三角形外接圆外接圆圆心三角形外心三角形三边垂直分线交点．
画圆关键确定圆心半径作三角形外接圆时找三边垂直分线交点圆心点三角形顶点间距离半径作出三角形外接圆．
三角形三边相切圆做三角形切圆切圆圆心三角形三条角分线交点三角形心．作三角形切圆时作两条角分线找圆心点边间距离半径作出三角形切圆．
Ⅲ．课堂练
1．画三半径分2cm25cm4cm圆两两外切．
2．两心圆中圆弦ABAC分圆相切点DEDEBC位置关系样？DEBC间样数量关系？(DEBC)
Ⅳ．课时结
节课巩固确定圆点圆直线圆圆圆间位置关系作三角形外接圆切圆．
Ⅴ．课作业
复题 B组
Ⅵ．活动探究
图⊙ORt△ABC切圆∠ACB＝90°AB＝13AC＝12求图中阴影部分面积．

分析：根图形阴影部分面积等三角形ABC面积⊙O面积差勾股定理求出直角边BC长度求出S△ABC求圆面积需求⊙O半径ODOEOF．连接OAOBOC△ABC分成三三角形△OAB△OBC△OCAS△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA中求出半径．
解：图连接OAOBOC△ABC分成三三角形△OAB△OBC△OCAOEOFOD分三角形边切点半径．
∴S△OAB＝AB·OFS△OBC＝BC·ODS△OCA＝CA·OE．
∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA
∴AC·BC＝AB·OF＋BC·OD＋CA·OE．
∵OD＝OE＝OF
∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．
Rt△ABC中AB＝13AC＝12勾股定理BC＝5．
∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．
∴OD＝2．
∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝×12×5－π·22＝30－4π．
板书设计
回顾思考
确定圆条件
二三种位置关系
1．点圆位置关系2．直线圆位置关系．
3．圆圆位置关系
三关外接圆切圆定义画法
四课堂练五课时结 六课作业

第二十五章 概率
课题： 251 机事件
教学目标：
知识技目标
解必然发生事件发生事件机事件特点
数学思考目标
学生历体验操作观察纳总结程发展学生纷繁复杂表
象中提炼出质特征加抽象概括力
解决问题目标
根机事件特点辨事件机事件
情感态度目标
引领学生感受机事件身边增强学生珍惜机会握机会意识
教学重点：
机事件特点
教学难点：
判断现实生活中事件机事件
教学程
<活动>
问题情境
摸球游戏
三透明袋子均装10乒乓球挑选名学参加游戏
游戏规
次选择袋子中摸出球记录颜色放回搅匀重复前面试验摸球5次摸出黄色球次数排序次数第名次第二名少第三名
师生行
教师事先准备三袋子中分装10白色乒乓球5白色乒乓球5黄色乒乓球10黄色乒乓球
学生积极参加游戏通操作观察纳猜测出第1袋子中摸出黄色球第2袋子中否摸出黄色球确定第3袋子中摸出黄色球必然
教师适时引导学生纳出必然发生事件机事件发生事件特点
设计意图
通生动活泼游戏然然引出必然发生事件机事件发生事件仅够激发学生学兴趣利学生理解够巧妙实现实践认识理性认识渡
<活动二>
问题情境
指出列事件中必然发生发生机事件？
1通常加热100°C时水沸腾
2姚明罚球线投篮次命中
3掷次骰子面6点
4度量三角形角结果360°
5 城市中某交通信号灯路口遇红灯
6某射击运动员射击次命中靶心
7太阳东升西落
8离开水正常生活100天
9正月十五雪灯
10宇宙飞船速度飞机快
师生行
教师利媒体课件演示问题问题情境更具生动性
学生积极思考回答问题进步夯实必然发生事件机事件发生事件特点较充分感知达加深理解目
教师学生完成问题应注意引导学生发现生活周围量存着机事件
设计意图
引领学生历实践认识理性认识重新认识实践问题程 时引入常识问题学生进步感悟数学认识客观世界重工具
<活动三>
问题情境
情境1
5名学参加讲演赛抽签方式决定出场序签筒中5根形状相纸签面分标出场序号12345军首先抽签纸签数字情况签筒中机抽取根纸签
情境2
伟掷质均匀正方体骰子骰子六面分刻16点数
具体情境中列举发生事件必然发生事件机事件
师生行
学生首先独立思考观点组学交流提炼出组成员列举事件全班发布
设计意图
开放性问题利培养学生发散性思维创新思维利学生加深学容理解
<活动四>
问题情境
请列举生活中必然发生事件机事件发生事件
师生行
教师引导学生充分交流热烈讨
设计意图
机事件现实世界中广泛存通学生找量丰富彩实例学生侧面视角进步深化机事件理解认识
<活动五>
问题情境
李宁运动品牌出口号切皆请谈谈句话理解
师生行
教师注意引导学生独立思考交流合作提升学生问题理解判断力
设计意图
意识引领学生数学角度重新审视现实世界初步感悟辩证统思想
<活动六>
问题情境
纳结
布置作业
设计摸球游戏求甲乙公
师生行
学生反思讨 学生设计游戏程中进步感悟机事件特点作业开放性学生创设更学空间
设计意图
课堂结采取学生反思汇报形式帮助学生形成较完整认知结构作业课堂容丰富延展
教 学 设 计 说 明

现实生活中存着量机事件概率正研究机事件门学科课概率初步章第节课教学中教师首先学生喜闻乐见摸球游戏背景通试验分析学生体验事件发生必然确定引出必然发生事件机事件发生事件然通事件分析判断学生进步理解必然发生事件机事件发生事件特点结合具体问题情境引领学生设计提出必然发生事件机事件发生事件具相开放度鼓励学生逆思维创新思维定程度满足层次学生学需
做游戏学数学方法根节课容特点教师设计摸球游戏力求引领学生游戏中形成新认识学新概念获新知识充分调动学生学数学积极性体现学生学性游戏中参数学活动游戏中分析纳合作思考领悟数学道理快乐轻松学氛围中显性目标隐性目标然达成定程度开创崭新数学课堂教学模式
课题 2512 概率意义
教学目标
〈〉知识技
1知道通量重复试验时频率作事件发生概率估计值
2具体情境中解概率意义
〈二〉教学思考
学生历猜想试验收集数分析结果探索程丰富机现象体验体会概率描述确定现象规律数学模型初步理解频率概率关系
〈三〉解决问题
分组合作学程中积累数学活动验发展学生合作交流意识力锻炼质疑独立思考惯精神帮助学生逐步建立正确机观念
〈四〉情感态度价值观
合作探究学程中激发学生学奇心求知欲体验数学价值学乐趣通概率意义教学渗透辩证思想教育
教学重点具体情境中解概率意义
教学难点频率概率关系初步理解
教具准备壹元硬币数枚图钉数枚媒体课件
教学程
创设情境引出问题
教师提出问题：周末市体育场场精彩篮球赛老师手中张球票强明班里篮球迷两想难真知该球谁请家帮想办法决定球票谁
学生：抓阄抽签猜拳投硬币……
教师学较想法予肯定（学生肯定许较想法众方法中推举出家较认方法抓阄投硬币）
追问什抓阄投硬币方法呢？
学生讨：样做公保证强明球票性样
学生讨发言教师评价纳
抛掷硬币方法分配球票机事件事先确定正面反面学容易感觉猜两机事件发生性样占半强明球票性样
质疑：种直觉否真正确呢？
引导学生投掷壹元硬币例妨动手做投掷硬币试验验证
说明：现实中确定现象量存 新课标指出：学生数学学容应现实意义富挑战设置实际生活问题情境贴学生生活实际容易激发学生学热情教师应予肯定鼓励学生积极思考课堂教学营造民谐气氛步引导学生开展探索交流活动基础
二 动手实践合作探究
1．教师布置试验务
（1）明确规
全班分成10组组中名学生投掷硬币名学作记录余学观察试验必须样条件进行
（2）明确务组掷币50次实事求态度认真统计正面 频数 正面频率整理试验数记录
2．教师巡视学生分组试验情况
注意：
（1）．观察学生探究活动中否积极参试验活动否愿意交流等关注学生否积极思考勇克服困难
（2）．求真实记录试验情况合作学中产生纪律问题予调控
3组汇报实验结果
试验次数较少组试验获正面频率先前猜想出入
提出问题：猜想出问题？引导学生分析讨产生差异原
学生充分讨基础启发学生分析讨产生差异原学生认识次机试验频率具确定性时相信机事件发生频率规律性 引导组合作进步探究
解决办法增加试验次数鉴课堂时间限引导学生进行全班交流合作
4．全班交流
组测数汇报教师组数记录黑板全班学数进行累计书P140求填252根整理数2511图标注出应点完成统计图

表252
抛掷次数
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
正面频数










正面频率












05
1
正面频率
投掷次数n
100
50
250
150
500
450
300
350
200
图2511










想想1（投影出示） 观察统计表统计图发现正面频率什规律？
注意学生语言表述情况意思正确予肯定鼓励正面频率05波动
想想2（投影出示）
着抛掷次数增加正面频率变化趋势规律？
学生讨基础教师帮助纳学生认识次试验中机事件发生频率具确定性时发现机事件发生频率规律性试验次数较少时正面频率起伏较着试验次数逐渐增加般频率会趋稳定正面频率越越接05 刚开始猜想致05常数表示正面发生性
说明：注意帮助解决学生填写统计表统计图遇困难通实践探究活动学生真实感受清楚观察试验体现规律量重复试验事件发生频率接事件发生性（概率）鼓励学生学中积极合作交流思考探究学会倾听意见勇表达见解

学生提供量快捷试验数利计算机模拟掷硬币试验课件丰富学生体验提高课堂教学效率直观便捷观察试验结果规律性量重复试验中事件发生频率逐渐稳定某常数附
实历史许著名数学家做掷硬币试验学生阅读历史数学家做掷币试验数统计表（书P141表253）
表253
试验者
抛掷次数（n）
正面次数（m）
正面频率（mn）
棣莫弗
2048
1061
0518
布丰
4040
2048
05069
费勒
10000
4979
04979
皮尔逊
12000
6019
05016
皮尔逊
24000
12012
05005

通学生亲动手实践电脑辅助演示历史材料展示 学生真实感受清楚观察试验体现规律量重复试验中事件发生频率逐渐稳定某常数附量重复试验事件发生频率接事件发生性（概率）时感受试验次数法保证事件发生频率充分接事件发生概率
探究学程中应注意评价学生活动中参程度信心否愿意交流等鼓励学生学中怕困难积极思考敢表达观点感受养成实事求科学态度
5面否研究反面频率情况？
学生然正面研究方法容易总结出：反面频率相应稳定05
教师纳：
（1）试验验证开始猜想抛掷枚质均匀硬币时正面反面性相等（占半）说抛掷硬币方法明强球票性样
（2）实际生活许样例子足球赛中裁判掷硬币办法决定双方赛场等等
说明：环节学生亲身历猜想试验——收集数——分析结果探索程真实数分析中形成数学思考讨交流中达成知识动建构环节概率意义教学作铺垫
三评价概括揭示新知
问题1通量试验频率什新认识？没发现频率作？
学生探究交流发现机事件性机事件发生频率逐渐稳定值（常数）估计描述
通猜想试验探究讨学生难认识学生存语言描述中准确等注意予纠正求必高
纳：机事件发生频率逐渐稳定常数刻画机事件性
样常数名称引入概率定义出概率定义（板书）：般量重复试验中果事件A发生频率会稳定某常数p附常数p做事件A概率（probability） 记作P（A） p
注意指出：
1．概率机事件发生性数量反映
2．概率事件量重复试验中频率逐渐稳定值量重复试验中事件发生频率估计事件发生概率二者简单等
想想(学生交流讨)
问题2．频率概率什区联系
定义二者联系 量重复试验中事件发生频率估计事件发生概率方面量重复试验中事件发生频率稳定某常数(事件发生概率)附说明概率定值频率试验次数概率似值二者简单等
说明：猜想试验分析讨合作探究学方式十分益学生概率意义理解明确频率概率联系节课教学重难点突破节课进步研究概率学基础 然学生机观念养成循序渐进长期节课教学应握教学难度注意关注学生接受情况
四．练巩固发展提高
学生练
1．书P143练1 巩固频率估计概率方法
2．书P143练2 巩固概率意义理解
教师应关注学生知识掌握情况帮助学生解决遇问题
五．纳总结交流收获：
1．学生互相交流节课体会收获教师学生总结板书串起学生知识掌握条理化系统化
2．学生交流总结时应注意总结评价节课历探索程体会数学价值合作交流学意义
作业设计
（1）完成P144 题251 24
（2）课外活动分组活动试验方法获图钉定高度落钉尖着概率
教学设计说明
节课学2511节机事件基础学学生通量重复试验体验事件发生频率刻画事件发生性概率定义
1．概率意义正确理解建立学生通量重复试验发现事件发生频率刻画机事件发生性基础结合学生认知规律教材特点节课掷硬币方法分配球票问题情境引导学生亲身历猜测试验—收集数—分析结果探索程符合新课标学生已生活验出发学生亲身历实际问题抽象数学模型进行解释应程理念
贴生活现实问题情境仅易激发学生求知欲探索热情会促进面解决问题胆猜想动试验收集数分析结果寻求问题解决动交流合作知识动建构程中促进教学目标效达成更重动参数学活动历会终身受益
2．机现象现实世界中普遍存概率教学重目标培养学生机观念实现目标教学设计中学生亲身历机事件探索程通合作探究学生动修正错误验揭示频率概率关系逐步建立正确机观念进步学概率关知识基础
3．教学中课力求学生提供事数学活动时间空间学生探索伴合作交流提供保障促进学生学方式转变获广泛数学活动验教师学活动中组织者引导者合作者应注意评价学生活动中参程度信心否愿意交流等学生适时引导鼓励



课题 252 列举法求概率
教学目标：
知识技目标
学列表法画树形图法计算概率通较概率作出合理决策
程方法目标
历实验列表统计运算设计等活动学生具体情境中分析事件计算发生概率渗透数形结合分类讨特殊般思想提高分析问题解决问题力
情感态度目标
通丰富数学活动交流成功验体验数学活动充满着探索创造体会数学应价值培养积极思维学惯
教学重点：
运列表法树形图法计算事件概率
教学难点：
根情况选择恰方法进行列举解决较复杂事件概率计算问题
教学程
1创设情景发现新知
教材通P151—P152例5例6介绍列表法树形图法
例5（教材P151）：时掷两质均匀骰子计算列事件概率：
(1) 两骰子点数相
(2) 两骰子点数9
(3) 少骰子点数2
例题难度较事件出现结果36种首先例题学生讲解数学生理解起会较困难里新课引入方式改实际背景转盘游戏（前课已例２作基础）
（1）创设情景
引例：活跃联欢晚会气氛组织者设计转盘游戏：AB两带指针转盘分分成三面积相等扇形转盘A数字分168转盘B数字分457（两转盘表面数字外完全相）次选择2名学分拨动AB两转盘指针产生旋转指针停止指数字较方获胜者负者表演节目（箭头恰停留分界线重转次）作游戏者会选择装置呢？请说明理

1
6
8
A
4
5
7
B
图2 联欢晚会游戏转盘



设计意图 选引例基考虑：贴学生生活联欢晚会背景创设转盘游戏引入短时间激发学生兴趣引起学生高度注意力进入情境
（2）学生分组讨探索交流
环节里首先求学生分组讨探索交流然引导学生实际问题转化数学问题：
停止转动转盘指针指数字较性更呢？
事件机性必须考虑事件发生概率时首先引导学生观转盘动画学会发现游戏涉AB两转盘 涉2素前课讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相产生结果数目增列举时容易造成重复遗漏样避免问题呢？
实际游戏分两步进行 指导学生构造表格
（3）指导学生构造表格
A B
4
5
7
1



6



8



首先考虑转动A盘：指针指168三数字中意出现结果会3接着考虑转动B盘：A盘指针指1时B盘指针指457三数字中意列举法简单情况A盘指针指68时B盘指针样指457三数字中意会产生9种结果
设计意图　样分散难点激发学生兴趣渗透转化数学思想
（4）学生独立填写表格通观察计算出结（列表法）




A B
4
5
7
1
（14）
（15）
（17）
6
（64）
（65）
（67）
8
（84）
（85）
（87）
表中发现：A盘数字B盘数字结果5种
∴P(A数较) P(B数较)
∴P(A数较)＞ P(B数较)
∴选择A装置获胜性较
学生填写表格程中注意学生强调数序性
游戏分两步进行方法列举先转动Ａ盘出现168三种结果第二步考虑转动Ｂ盘出现457三种结果
1
6

appreciate vt 鉴赏感激意识8
开始

参（卷入）……A装置

pack (sth) up （东西）装箱包4
5

be back on one’s feet (困境)恢复完全复原7
4

escape vi 逃脱逃走泄露5

extreme adj 极度7

惯4
5
7
B装置
（5）解法二：

Diet n 日常饮食


astonish vt 惊诧

president n 总统会长校长行长
　　
图知：结果： （14）（15）（17）
　　　　　　　　　　　　　　（64）（65）（67）
　　　　　　　　　　　　　　（84）（85）（87）计9种
∴P(A数较) P(B数较)
∴P(A数较)＞ P(B数较)
∴选择A装置获胜性较
然引导学生画图形进行观察：图形倒置会联想什？图形棵树称树形图（幻灯片放映）列表树形图列举法求概率两种常方法
设计意图然学生感染分类计数分步计数思想
2分析探新知
通引例分析学生列表法树形图法求概率初步解帮助学生熟练掌握两种方法选列两道例题（节教材P151—P152例5例6）
例1：时掷两质均匀骰子计算列事件概率：
(1) 两骰子点数相
(2) 两骰子点数9
(3) 少骰子点数2
例1教材道掷骰子问题引例作基础学生难发现：引例涉两转盘里涉两骰子实质涉两素学生通类列出列表

第2
第1
1
2
3
4
5
6
1
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
2
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
3
（31）
（32）
（33）
（34）
（35）
（36）
4
（41）
（42）
（43）
（44）
（45）
（46）
5
（51）
（52）
（53）
（54）
（55）
（56）
6
（61）
（62）
（63）
（64）
（65）
（66）
　表出时掷两骰子出现结果36出现性相等列表格发现：
（1）满足两骰子点数相（记事件A）结果6（11）（22）（33）（44）（55）（66）P(A)
[满足条件结果表格角线]
（2）满足两骰子点数9（记事件B）结果4（36）（45）（54）（63）P(B)
[满足条件结果（36）（63）斜线]
（3）少骰子点数2（记事件C）结果11P(C)
[满足条件结果数字2行2列]
接着引导学生进行题结：
事件涉两素出现结果数目较时通常采列表法运列表法求概率步骤：
①列表
②通表格计数确定公式P(A)中mn值
③利公式P(A)计算事件概率
分析里会问学生：例1题目中掷两骰子改掷三骰子列表法做？引出例题
例2： 甲口袋中装2相球分写字母AB乙口袋中3相球分写字母CDE丙口袋中2相球分写字母HI三口袋中机取出1球
（1）取出三球恰123元音字母概率分少？
（2）取出三球全辅音字母概率少？
例2前面两题较：三袋子里摸球涉3素时学会发现列表法太方便尝试树形图法
游戏分三步进行分步画图分类排列相关结解题关键

A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
甲
乙
丙




图形出出现结果12：
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
H
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
B
C
I


（幻灯片颜色区分）
结果出现性相等
（1）元音字母结果（黄色）5ACHADHBCIBDIBEH
两元音结果（白色）4ACIADIAEHBEI
全部元音字母结果（绿色）1AEI
（2）全辅音字母结果（红色）2BCHBDH
通例2解答容易出题结：
次试验涉3更素时通常采画树形图运树形图法
求概率步骤：（幻灯片）
①画树形图
②列出结果确定公式P(A)中mn值
③利公式P(A)计算事件概率
接着学生提问：现止学列举法求概率分种情况？ 列表法画树形图法求概率什优越性？什时候列表法方便什时候树形图法更呢？
设计意图 通述问题思考加深学生新方法理解更认识列表法画树形图法求概率优越性够直观快捷准确获取需信息利学生根实际情况选择正确方法
3应新知深化拓展
检验学生列表法画树形图法掌握情况提高应学知识解决问题力选择教材P154课练作堂练
（1）某十字路口汽车继续前行左右果三种性相三辆汽车十字路口求列事件概率：
①三辆车全部继续前行
②两辆车右转辆车左转
③少两辆车左转
[堂练（1）道实际生活相关交通问题树形图法解决]
（2）6张卡片分写1——6整数机抽取张放回机抽取张第二次取出数字够整第次取出数字概率少？
通解答堂练（2）学生会发现列出表格例1表格完全样：变换实际背景设置问题样时提出：否根表格编道列举法求概率题目呢？
进步拓展思维学生提出样问题供学生课思考：
前面引例中转盘游戏规公改成公游戏？
设计意图 问题提出解决利学生发现数学问题质做举反三融会贯通
4纳总结形成力
引导学生知识方法情感三方面谈谈节课收获求学生组交流派组代表发言
设计意图 通环节提高学生概括力表达力助学生全面解学程感受成长进步增强信教师全面解学生学状况材施教提供重
5布置作业巩固提高
考虑学生体差异促学生发展时促进学生学进行反思第五环节布置作业巩固提高里作安排：
（1）必做题：书P154 3P155 45
（2）选做题：
①请设计游戏列举法计算游戏者获胜概率
②研究性课题：通调查学校周围道路交通状况交通部门提出合理建议等
设计意图 通教学实践作业社会实践活动引导学生灵活运学知识学生动脑动口动手三者结合起启发学生创造性思维培养协作精神科学态度





25．3 利频率估计概率
疑难分析：
1．试验结果限种结果发生性相等时般统计频率方法估计概率．
2．利频率估计概率数学数定律：试验次数时机事件A出现频率稳定某数值P附摆动．稳定值P做机事件A概率记P(A)P．
3．利频率估计出概率似值
例题选讲
例1 某篮球运动员场赛中罚球投篮结果：
投篮次数n
8
10
12
9
16
10
进球次数m
6
8
9
7
12
7
进球频率






　　(1)计算表中次赛进球频率
　　(2)位运动员投篮次进球概率约少？
解答：（1）0750807507807507
（2）075．
评注：题中运动员赛中投篮视等条件重复试验求出概率似值．
例2 某商场设立转动转盘(图)规定：顾客购物10元获次转动转盘机会转盘停止时指针落区域获相应奖品表活动进行中组统计数：
(1) 计算完成表格：
转动转盘次数n
100
150
200
500
800
1000
落铅笔次数m
68
111
136
345
546
701
落铅笔频率






(2) 请估计时频率会接少？
(3) 转动该转盘次获铅笔概率约少？
(4) 该转盘中标铅笔区域扇形圆心角约少？(精确1°)
解答：（1）068074068069068250701
（2）069
（3）069
（4）069×360°≈248°．
评注：（1）试验次数越频率越反映概率（2）频数分布表扇形图条形图直方图较反映频数频率分布情况利提供信息估计概率．
基础训练
选选（请唯正确答案代号填入题括号）
1．盒子中白色乒乓球8黄色乒乓球干求盒中黄色乒乓球数某学进行实验：次摸出乒乓球记颜色重复360次摸出白色乒乓球90次黄色乒乓球数估计 ( )
A．90 B．24 C．70 D．32
2．生产批螺钉中抽取1000进行质量检查结果发现5次品中取1次品概率约（ ）．
A． B． C． D．
3．列说法正确( )．
A．抛枚硬币正面机会抛枚图钉钉尖着机会样
B．解汉口火车站某天中通列车车辆数采全面调查方式进行
C．彩票中奖机会1％买100张定会中奖
D．中学生亮栋住宅楼家庭进行调查发现拥空调家庭占100％出全市拥空调家庭百分100％结．
4．亮全班50名学期中数学测试成绩绘成图示条形图中左起第二三四长方形高1∶3∶5∶1．中时抽份低分数段份高分数段成绩概率分（ ）．
A． B．
C． D．
5．某50粒黄豆染色袋黄豆充分混匀接着抓出100黄豆数出中10粒黄豆染色袋黄豆原（ ）．
A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒
6．某校男生中机抽取干名学做否喜欢足球问卷调查抽喜欢足球学概率含义（ ）．
A．发出5份调查卷中三份喜欢足球答卷
B．答卷中喜欢足球答卷总问卷3∶8
C．答卷中喜欢足球答卷占总答卷
D．答卷中抽出100份问卷恰60份答卷喜欢足球．
7．口袋中装入干形状完全相球袋中摸红球概率四位学分采列装法认中装错（ ）．
A．口袋中装入10球中两红球
B．装入1红球1白球1黄球1蓝球1黑球
C．装入红球5白球13黑球2
D．装入红球7白球13黑球2黄球13．
8．某学生调查班学身零钱数位学零钱数记录（单位：元）：2505256505552580552558652552565506565250
假老师机问学零钱老师回答（ ）．
A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元
二填填
9． 时抛掷两枚硬币正面出现次数分2正面1正面没正面3种结果红明两做6组实验组实验时抛掷两枚硬币10次表实验记录统计表：
结果
第组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
两正面
3
3
5
1
4
2
正面
6
5
5
5
5
7
没正面
1
2
0
4
1
1
表结果计算出现2正面1正面没正面3种结果频率分___________________．试验组数增加时请三种结果性作出预测：______________．
10．红星养猪场400头猪质量(质量均整数千克)频率分布中数分点
组
频数
频率
46 ~ 50
40

51 ~ 55
80

56 ~ 60
160

61 ~ 65
80

66 ~ 70
30

71~ 75
10

中选头猪质量65kg概率_____________．
11．配新课程实施某市举行应创新知识竞赛1万名学生参加次竞赛（满分100分分全整数）解次竞赛成绩情况中机抽取部分学生竞赛成绩进行统计整理见表：
组
分 组
频 数
频率
1
495～595
60
012
2
595～695
120
024
3
695～795
180
036
4
795～895
130
c
5
895～995
b
002
合 计
a
100
表中a________b________ c＝_______成绩90分（含90分）学生获等奖估计全市获等奖数___________．
三做做
12．颖20张相卡片面写1~2020数字卡片放盒子中搅匀次盒中抽出张卡片记录结果：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3倍数频数
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3倍数频率










（1）完成表
（2）频率着实验次数增加稳定什值左右？
（3）试验数盒中摸出张卡片3倍数概率估计少？
（4）根推理计算知盒中摸出张卡片3倍数概率应该少？





13．甲乙两学开展投球进筐赛双方约定：① 赛分6局进行局指定区域球投筐中投进次该局便结束② 次未进投第二次类推局投8次8次投球未进该局结束③ 计分规：a 分正数0b 8次未投进该局分0c 投球次数越分越低d6局赛总分高者获胜
(1) 设某局赛第n(n12345678)次球投进请述约定公式表格语言叙述等方式甲乙两位学制定n换算分M计分方案
(2) 两6局赛投球情况(中数字表示该局赛进球时投球次数×表示该局赛8次投球未进)：

第局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
根述计分规制定计分方案确定两谁次赛中获胜





四试试
16．理讲两机正整数互质概率P．请班学合作机写出干正整数（利计算器产生）n正整数找出中互质数m计算两机正整数互质概率利面等式估算似值．






解答

1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B
二
9． 10 010204020075002501
11．5010026200
三

12．（1）025033028033032030033031031031
（2）031
（3）031
（4）03

　　　
13．解：(1)计分方案表：
n(次)
1
2
3
4
5
6
7
8
M(分)
8
7
6
5
4
3
2
1
(公式语言表述正确样分)
(2) 根方案计算6局赛甲24分乙分23分甲次赛中获胜．
四
14 略





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