初三数学 圆知识点总结
章知识框架
二章重点
1．圆定义：
(1)线段OA绕着端点O旋转周端点A形成封闭曲线做圆．
(2)圆定点距离等定长点集合．
2．判定点P否⊙O．
设⊙O半径ROP＝d
d>r点P⊙O 外
d＝r点P⊙O
d3．圆关角
(1)圆心角：顶点圆心角圆心角．
圆心角性质：圆心角度数等弧度数．
(2)圆周角：顶点圆两边圆相交角做圆周角．
圆周角性质：
①圆周角等弧圆心角半．
②弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等．
③90°圆周角弦直径半圆直径圆周角直角．
④果三角形边中线等边半三角形直角三角形．
⑤圆接四边形角互补外角等角．
(3)弦切角：顶点圆边圆相交边圆相切角弦切角．
弦切角性质：弦切角等夹弧圆周角．
弦切角度数等夹弧度数半．
4．圆性质：
(1)旋转变性：圆旋转称图形绕圆心旋转角度原图形重合圆中心称图形称中心圆心．
圆等圆中两圆心角两条弧两条弦两条弦心距四组量中意组相等应组分相等．
(2)轴称：圆轴称图形圆心直线称轴．
垂径定理推：
(1)垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
(2)分弦(直径)直径垂直弦分弦两条弧．
(3)弦垂直分线圆心分弦两条弧．
(4)分条弦两条弧直线圆心垂直分弦．
(5)行弦夹弧相等．
5．三角形心外心重心垂心
(1)三角形心：三角形三角分线交点三角形切圆圆心三角形部三角形三边距离相等通常I表示．
(2)三角形外心：三角形三边中垂线交点三角形外接圆圆心锐角三角形外心三角形部直角三角形外心斜边中点钝角三角形外心三角形外部三角形外心三角形三顶点距离相等通常O表示．
(3)三角形重心：三角形三边中线交点三角形部顶点距离边中点距离2倍通常G表示．
(4)垂心：三角形三边高线交点．
6．切线判定性质：
(1)切线判定：
①半径外端垂直条半径直线圆切线．
②圆心距离d等圆半径直线圆切线．
(2)切线性质：
①圆切线垂直切点半径．
②圆心作圆切线垂线切点．
③切点作切线垂线圆心．
(3)切线长：圆外点作圆切线点切点间线段长度做切线长．
(4)切线长定理：圆外点作圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角．
7．圆接四边形外切四边形
(1)四点圆四边形圆接四边形圆接四边形角互补外角等角．
(2)边圆相切四边形圆外切四边形圆外切四边形边相等．
8．直线圆位置关系：
设⊙O 半径R点O直线l距离d．
(1)直线圆没公点直线圆相离d>R．
(2)直线⊙O唯公点直线l⊙O相切d＝R．
(3)直线l⊙O 两公点直线l⊙O 相交d9．圆圆位置关系：
设半径Rr(R>r)圆心距．
(1)没公点圆点圆外部外离d>R＋r．
(2)没公点点外部含d(3)唯公点点外圆点圆外部外切d＝R＋r．
(4)唯公点点外点部切d＝R－r．
(5)两公点相交R－r10．两圆性质：
(1)两圆轴称图形称轴两圆连心线．
(2)相交两圆连心线垂直分公弦相切两圆连心线切点．
11．圆中关计算：
圆面积公式：周长C＝2πR．
圆心角n°半径R弧长．
圆心角n°半径R弧长l扇形面积．
弓形面积转化扇形三角形面积差计算．
圆柱侧面图矩形底面半径R母线长l圆柱体积侧面积2πRl全面积．
圆锥侧面展开图扇形底面半径R母线长l高h圆锥侧面积πRl 全面积母线长圆锥高底面圆半径间．
典例题精讲
例1 图232已知AB⊙O直径C点CD⊥ABD∠OCD分线CP交⊙OP试判断P点位置否C点位置改变改变？
分析：确定P点位置采尝试办法取符合条件点试试观察P点位置变化然中观察规律．
解：
连结OP
P点中点．
结：题运垂径定理进行推断．
例2 列命题正确( )
A．相等圆周角弧相等
B．等弧弦相等
C．三点确定圆
D．分弦直径垂直弦．
解：
A．圆等圆中相等圆周角劣弧相等A正确．
B．等弧圆等圆中重合弧B正确．
C．三点直线确定圆．
D．分弦(直径)直径垂直弦．
选B．
例3 四边形ABCD接⊙O∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3求∠D．
分析：圆接四边形角相等圆外切四边形边相等．
解：
设∠A＝x∠B＝2x∠C＝3x∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°
x＝45°．
∴∠D＝90°．
结：题变形：四边形ABCD外切⊙O周长20AB︰BC︰CD＝1︰2︰3求AD长．
例4 测量圆柱形铁环半径某学采方法：铁环放水桌面锐角30°三角板刻度尺图234示方法相关数进求铁环半径．测PA＝5cm铁环半径__________cm．
分析：测量铁环半径方法题考查切线长性质定理切线性质解直角三角形知识进行合作解决
P点作直线OP⊥PA三角板画顶点A边AP60°角角边OP交点圆心O三角函数知识求解．
解：
．
结：应圆知识解决实际问题应实际问题变成数学问题建立数学模型．
例5 已知相交AB两点半径10半径17公弦AB＝16求两圆圆心距．
解：分两种情况讨：
(1)位AB两侧(图238)设AB交C连结垂直分AB∴．
∵AB＝16
∴AC＝8．
中．
中．
．
(2)位AB侧(图239)设延长线AB交C连结．
∵垂直分AB
∴．
∵AB＝16
∴AC＝8．
中．
中．
．
注意：圆中解两等行弦距离两圆相切两圆相离点圆点距离距离相交两圆圆心距等问题时注意双解解问题．
三相关定理：
1相交弦定理
圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等（圆点引两条线弦点分成两段积相等）
说明：语言： 弦ABCD交点PPA·PBPC·PD（相交弦定理）
例1． 已知P⊙O点⊙O半径P作弦AB设关函数关系式
解：相交弦定理中
2切割线定理
推：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
说明：语言：AB直径CD垂直AB点PPC^2PA·PB
例2． 已知PT切⊙OTPBA割线交OCDCT直径OCBD4cmAD3cm求PB长
解：设TDBP相交弦定理：
（舍）
切割线定理 勾股定理
∴ ∴
∴
四辅助线总结
1圆中常见辅助线
1）．作半径利圆等圆半径相等．
2）．作弦心距利垂径定理进行证明计算利圆心弧弦弦心距间关系进行证明．
3）．作半径弦心距构造半径半弦弦心距组成直角三角形进行计算．
4）．作弦构造弧等弧圆周角．
5)．作弦直径等构造直径圆周角——直角．
6)．遇切线作切点弦构造弦切角．
7)．遇切线作切点半径构造直角．
8)．欲证直线圆切线时分两种情况：(1)知道直线圆公点时常连结公点圆心证明直线垂直(2)知道直线圆公点时常圆心直线作垂线证明垂线段长等圆半径．
9)．遇三角形外心常连结外心三角形顶点．
10)．遇三角形心常作：(1)心三边垂线(2)连结心三角形顶点．
11)．遇相交两圆常作：(1)公弦(2)连心线．
12)．遇两圆相切常切点作两圆公切线．
13)．求公切线时常圆圆心圆半径作垂线公切线移成直角三角形条直角边．
2圆中较特殊辅助线
1)．圆外点圆点作圆切线．
2)．割线相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
例1图2310AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足E果AB＝10CD＝8AE长( )
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：连结OCAB⊙O直径弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝xRt△CEO中(舍)．
答案：A．
例2图2311CA⊙O切线切点A点B⊙O果∠CAB＝55°∠AOB等( )
A．35° B．90°
C．110° D．120°
分析：弦切角夹弧圆心角关系知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．
例3 果圆柱底面半径4cm母线长5cm侧面积等( )
A． B． C． D．
分析：圆柱侧面展开图矩形矩形边长等圆柱高圆柱母线长边长底面圆周长圆柱侧面积等底面圆周长圆柱高．答案：B．
例4 图2312半径4⊙O中ABCD两条直径MOB中点延长CM交⊙OEEM>MC连结OEDE．
求：EM长．
简析：(1)DC⊙O直径知DE⊥EC．设EM＝xAM·MB＝x(7－x)．．EM>MCEM＝4．
例5图2313AB⊙O直径PB切⊙O点BPA交⊙O点CPF分交ABBCED交⊙OFGBEBD恰关x方程(中m实数)两根．
(1)求证：BE＝BD
(2)求∠A度数．
简析：(1)BEBD关x方程两根m＝－2．原方程．．BE＝BD．
(2)相交弦定理．PB切⊙O点BAB⊙O直径∠ABP＝∠ACB＝90°．易证∠BPD＝∠APE△PBD∽△PAE△PDC∽△PEB．Rt△ACB中∠A＝60°．
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章知识框架
二章重点
1．圆定义：
(1)线段OA绕着端点O旋转周端点A形成封闭曲线做圆．
(2)圆定点距离等定长点集合．
2．判定点P否⊙O．
设⊙O半径ROP＝d
d>r点P⊙O 外
d＝r点P⊙O
d
(1)圆心角：顶点圆心角圆心角．
圆心角性质：圆心角度数等弧度数．
(2)圆周角：顶点圆两边圆相交角做圆周角．
圆周角性质：
①圆周角等弧圆心角半．
②弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等．
③90°圆周角弦直径半圆直径圆周角直角．
④果三角形边中线等边半三角形直角三角形．
⑤圆接四边形角互补外角等角．
(3)弦切角：顶点圆边圆相交边圆相切角弦切角．
弦切角性质：弦切角等夹弧圆周角．
弦切角度数等夹弧度数半．
4．圆性质：
(1)旋转变性：圆旋转称图形绕圆心旋转角度原图形重合圆中心称图形称中心圆心．
圆等圆中两圆心角两条弧两条弦两条弦心距四组量中意组相等应组分相等．
(2)轴称：圆轴称图形圆心直线称轴．
垂径定理推：
(1)垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
(2)分弦(直径)直径垂直弦分弦两条弧．
(3)弦垂直分线圆心分弦两条弧．
(4)分条弦两条弧直线圆心垂直分弦．
(5)行弦夹弧相等．
5．三角形心外心重心垂心
(1)三角形心：三角形三角分线交点三角形切圆圆心三角形部三角形三边距离相等通常I表示．
(2)三角形外心：三角形三边中垂线交点三角形外接圆圆心锐角三角形外心三角形部直角三角形外心斜边中点钝角三角形外心三角形外部三角形外心三角形三顶点距离相等通常O表示．
(3)三角形重心：三角形三边中线交点三角形部顶点距离边中点距离2倍通常G表示．
(4)垂心：三角形三边高线交点．
6．切线判定性质：
(1)切线判定：
①半径外端垂直条半径直线圆切线．
②圆心距离d等圆半径直线圆切线．
(2)切线性质：
①圆切线垂直切点半径．
②圆心作圆切线垂线切点．
③切点作切线垂线圆心．
(3)切线长：圆外点作圆切线点切点间线段长度做切线长．
(4)切线长定理：圆外点作圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角．
7．圆接四边形外切四边形
(1)四点圆四边形圆接四边形圆接四边形角互补外角等角．
(2)边圆相切四边形圆外切四边形圆外切四边形边相等．
8．直线圆位置关系：
设⊙O 半径R点O直线l距离d．
(1)直线圆没公点直线圆相离d>R．
(2)直线⊙O唯公点直线l⊙O相切d＝R．
(3)直线l⊙O 两公点直线l⊙O 相交d
设半径Rr(R>r)圆心距．
(1)没公点圆点圆外部外离d>R＋r．
(2)没公点点外部含d
(4)唯公点点外点部切d＝R－r．
(5)两公点相交R－r
(1)两圆轴称图形称轴两圆连心线．
(2)相交两圆连心线垂直分公弦相切两圆连心线切点．
11．圆中关计算：
圆面积公式：周长C＝2πR．
圆心角n°半径R弧长．
圆心角n°半径R弧长l扇形面积．
弓形面积转化扇形三角形面积差计算．
圆柱侧面图矩形底面半径R母线长l圆柱体积侧面积2πRl全面积．
圆锥侧面展开图扇形底面半径R母线长l高h圆锥侧面积πRl 全面积母线长圆锥高底面圆半径间．
典例题精讲
例1 图232已知AB⊙O直径C点CD⊥ABD∠OCD分线CP交⊙OP试判断P点位置否C点位置改变改变？
分析：确定P点位置采尝试办法取符合条件点试试观察P点位置变化然中观察规律．
解：
连结OP
P点中点．
结：题运垂径定理进行推断．
例2 列命题正确( )
A．相等圆周角弧相等
B．等弧弦相等
C．三点确定圆
D．分弦直径垂直弦．
解：
A．圆等圆中相等圆周角劣弧相等A正确．
B．等弧圆等圆中重合弧B正确．
C．三点直线确定圆．
D．分弦(直径)直径垂直弦．
选B．
例3 四边形ABCD接⊙O∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3求∠D．
分析：圆接四边形角相等圆外切四边形边相等．
解：
设∠A＝x∠B＝2x∠C＝3x∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°
x＝45°．
∴∠D＝90°．
结：题变形：四边形ABCD外切⊙O周长20AB︰BC︰CD＝1︰2︰3求AD长．
例4 测量圆柱形铁环半径某学采方法：铁环放水桌面锐角30°三角板刻度尺图234示方法相关数进求铁环半径．测PA＝5cm铁环半径__________cm．
分析：测量铁环半径方法题考查切线长性质定理切线性质解直角三角形知识进行合作解决
P点作直线OP⊥PA三角板画顶点A边AP60°角角边OP交点圆心O三角函数知识求解．
解：
．
结：应圆知识解决实际问题应实际问题变成数学问题建立数学模型．
例5 已知相交AB两点半径10半径17公弦AB＝16求两圆圆心距．
解：分两种情况讨：
(1)位AB两侧(图238)设AB交C连结垂直分AB∴．
∵AB＝16
∴AC＝8．
中．
中．
．
(2)位AB侧(图239)设延长线AB交C连结．
∵垂直分AB
∴．
∵AB＝16
∴AC＝8．
中．
中．
．
注意：圆中解两等行弦距离两圆相切两圆相离点圆点距离距离相交两圆圆心距等问题时注意双解解问题．
三相关定理：
1相交弦定理
圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等（圆点引两条线弦点分成两段积相等）
说明：语言： 弦ABCD交点PPA·PBPC·PD（相交弦定理）
例1． 已知P⊙O点⊙O半径P作弦AB设关函数关系式
解：相交弦定理中
2切割线定理
推：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
说明：语言：AB直径CD垂直AB点PPC^2PA·PB
例2． 已知PT切⊙OTPBA割线交OCDCT直径OCBD4cmAD3cm求PB长
解：设TDBP相交弦定理：
（舍）
切割线定理 勾股定理
∴ ∴
∴
四辅助线总结
1圆中常见辅助线
1）．作半径利圆等圆半径相等．
2）．作弦心距利垂径定理进行证明计算利圆心弧弦弦心距间关系进行证明．
3）．作半径弦心距构造半径半弦弦心距组成直角三角形进行计算．
4）．作弦构造弧等弧圆周角．
5)．作弦直径等构造直径圆周角——直角．
6)．遇切线作切点弦构造弦切角．
7)．遇切线作切点半径构造直角．
8)．欲证直线圆切线时分两种情况：(1)知道直线圆公点时常连结公点圆心证明直线垂直(2)知道直线圆公点时常圆心直线作垂线证明垂线段长等圆半径．
9)．遇三角形外心常连结外心三角形顶点．
10)．遇三角形心常作：(1)心三边垂线(2)连结心三角形顶点．
11)．遇相交两圆常作：(1)公弦(2)连心线．
12)．遇两圆相切常切点作两圆公切线．
13)．求公切线时常圆圆心圆半径作垂线公切线移成直角三角形条直角边．
2圆中较特殊辅助线
1)．圆外点圆点作圆切线．
2)．割线相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
例1图2310AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足E果AB＝10CD＝8AE长( )
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：连结OCAB⊙O直径弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝xRt△CEO中(舍)．
答案：A．
例2图2311CA⊙O切线切点A点B⊙O果∠CAB＝55°∠AOB等( )
A．35° B．90°
C．110° D．120°
分析：弦切角夹弧圆心角关系知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．
例3 果圆柱底面半径4cm母线长5cm侧面积等( )
A． B． C． D．
分析：圆柱侧面展开图矩形矩形边长等圆柱高圆柱母线长边长底面圆周长圆柱侧面积等底面圆周长圆柱高．答案：B．
例4 图2312半径4⊙O中ABCD两条直径MOB中点延长CM交⊙OEEM>MC连结OEDE．
求：EM长．
简析：(1)DC⊙O直径知DE⊥EC．设EM＝xAM·MB＝x(7－x)．．EM>MCEM＝4．
例5图2313AB⊙O直径PB切⊙O点BPA交⊙O点CPF分交ABBCED交⊙OFGBEBD恰关x方程(中m实数)两根．
(1)求证：BE＝BD
(2)求∠A度数．
简析：(1)BEBD关x方程两根m＝－2．原方程．．BE＝BD．
(2)相交弦定理．PB切⊙O点BAB⊙O直径∠ABP＝∠ACB＝90°．易证∠BPD＝∠APE△PBD∽△PAE△PDC∽△PEB．Rt△ACB中∠A＝60°．
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